Kinetyczna Teoria Gazów

Termodynamika

Kinetyczna Teoria Gazu

• Teoria opisująca własności gazów na podstawie badania cząstek które go tworzą, ze szczególnym uwzględnieniem charakteru ruchu cząstek oraz ich oddziaływania ze sobą.

Termodynamika

• Dział fizyki zajmujący się zagadnieniami przemian energetycznych oraz analizą tendencji do zmian stanów równowagi, ze szczególnym uwzględnieniem stanów równowagi cieplnej.

• Analiza zjawisk zachodzących w maszynach i urządzeniach cieplnych (interpretacja techniczna).

Wielkości Opisujące Gaz

• p - ciśnienie

• T - temperatura

• V - objętość

• CP - ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu

• CV - ciepło właściwe przy stałej objętości

• Przewodnictwo cieplne

Temperatura

• Temperaturę definiujemy jako średnią wartość prędkości ruchu postępowego drobin gazu

16

Temperatura

• Przewodzenie ciepła - przekazywanie energii kinetycznej

15

Skala Temperatur

Temperatura w liczbach

Jednostki – stopnie Kelwina [K]. Punkt podstawowy: T = 0 K.

Kelwin (K) jest to 1/273,16 część temperatury termodynamicznej punktu potrójnego wody

Wg. mechaniki klasycznej dla T = 0 cząsteczki mają zerową energię kinetyczną. Tak nie jest – istnieje minimalna energia (zgodnie z mechaniką kwantową).

Energia wewnętrzna

• Wielkość charakteryzująca stan energetyczny materiału

14

Ciśnienie

• Ciśnienie gazu rozumiemy jako efekt sprężystych zderzeń cząstek tworzących gaz pomiędzy sobą jak i ze ściankami naczynia.

11

Ciśnienie

• Od czego zależy wartość ciśnienia

12

Ciśnienie

Ciśnieniem p nazywamy wielkość fizyczną liczbowo równą sile działającej na powierzchnię ciała wzdłuż normalnej do tej powierzchni:

p = dFn/ dS

 

dFn – składowa normalna

siły działającej na dS

Gaz Doskonały

• Podejście statystyczne– Ogromna liczba cząstek– Konieczność stosowania wartości średnich– Im większa liczba cząstek tym większa

dokładność

Gaz Doskonały C.D.

• Założenia kinetycznej teorii gazu doskonałego– Cząsteczki gazu poruszają się bezładnie, po

liniach prostych– Ich liczba jest bardzo duża– Ich objętość jest zaniedbywanie mała– Oddziaływają tylko w zderzeniach sprężystych

Gaz Doskonały C.D.• Równanie stanu gazu doskonałego

nRTpV

kNR

N

Nn

NkTpV

V

N

kTp

A

A

k – Stała Botzmana 1,38 *10-23 [J/K]

R – Uniwersalna stała gazowa [J/mol K]

Ciśnienie gazu doskonałego

Ciśnienie gazu wynika z procesy odbijania sprężystego cząsteczek od ścianki naczynia.

 Kolejność rozumowania:

 zmiana pędu p w czasie t siła F

 siła wypadkowa wielu zderzeń / powierzchnia ciśnienie p.

Ciśnienie gazu doskonałego

- gaz doskonały zamknięty w zbiorniku sześciennym o wymiarach l.

  - cząsteczki o masie m mają prędkości opisane przez wektor υ (υx, υy, υz)

 - jest N cząsteczek w objętości V = l3

Ciśnienie gazu doskonałego

p = px’ - px = -2 m υx Zmiana pędu cząstki

odstęp czasu miedzy uderzeniami danej cząstki o tę samą ścianę

t = 2 l / υx

Siła ‘średnia’ Fi dla

czasu t dla cząstki o prędkości υx:

Fi ≡ p / t = m υx2 / l

ciśnienie ‘cząstkowe’ od tej siły

pi ≡ Fi / S = Fi / l2 =

=m υx2 / l3

Ciśnienie gazu doskonałegociśnienie sumaryczne: suma po wszystkich cząsteczkach od i = 1 do i = N

pm

V xii

N

2

1

wartość średnia kwadratu prędkości < υ2 >

2 2

1

2 2 2

1

1 1

N Nii

N

xi yi zii

N

N

ixiv

Nv

1

22 3

Ciśnienie gazu doskonałego

pm

V

m N

Vxii

N

2

1

2 2

3

1

3

gdzie ≡ M / V ; M – masa całego gazu

Kinetyczna interpretacja ciśnienia:

ciśnienie gazu p jest proporcjonalne do gęstości oraz średniej wartości prędkości <υ2>

Energia gazu doskonałego

Średnia energia kinetyczna cząsteczek

<E> ≡ ½ m <υ2> pV = 2/3 N <E>

porównując z równaniem stanu gazu: p V = N k T

<E> ≡ 3/2 k T

Energia gazu doskonałego

Energia średnia <E> jest proporcjonalna do temperatury a współczynnik zależy od liczby atomów w cząsteczce:

  i – liczba stopni swobody

 i = 3 dla jedno atomowych

i = 5 dla dwu atomowych

i = 6 dla 3 i więcej atomowych.

<E> ≡ i/2 k T

Kinetyczny model gazuJedno z podstawowych zagadnień kinetycznej teorii gazów zawiera się w sposobie opisu prędkości cząstek.

Ze względu na ogromną liczbę cząstek należy wykorzystać bardziej ogólne, zbiorcze modele opisu prędkości cząstek (a nie każdej z osobna). Do tego celu służą rozkłady statystyczne i dla prędkości poruszania się cząstek w gazie wykorzystujemy rozkład Maxwell’a

Kinetyczny model gazuMaxwell na podstawie założeń teorii kinetycznej wyprowadził prawo rozkładu gęstości prawdopodobieństwa wartości f(υ) prędkości poruszających się cząstek

założenia modelu

-         jest N cząstek N w danej objętości

-         cząsteczki maja masę m

-         cząsteczki poruszają się ruchem chaotycznym w danej objętości.

Kinetyczny model gazu

Definicja prawdopodobieństwa:

  P(x) = Nx / N

gdzie Nx – liczba zdarzeń oczekiwanych ‘x’,

N – liczba wszystkich zdarzeń.

P a b f x dxa

b

, f (x) - gęstości prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwo P wystąpienia wartości x w przedziale od a do b :

Kinetyczny model gazu

P a b f x dxa

b

,

Kinetyczny model gazu

fdN

N dA

m

k T

2

2

2ex p A

k Tm

4 1

2 3 2 /

Funkcja f(υ) rozkładu gęstości prawdopodobieństwa wystąpienia cząsteczki o prędkości z przedziału wartości υ, υ + dυ:

Kinetyczny model gazuWartości charakterystyczne !!

Prędkość maksymalna f(υ)’ ≡ 0

2 03

ex p ex p m

k T p

k T

m

2

Prędkość średnia

<υ> ≡ υ f(υ) dυ <υ> = A ½ υp4 = (8kT / m)1/2

Prędkość średnia kwadratowa

<υ2> ≡ υ2 f(υ) dυ n = 4 υ4 exp(- υ2/υp2) dυ = 3/8 1/2 υp

5

<υ2> = A 3/8 1/2 υp 5 υsk = (3kT /m)1/2 υsk ≡ <υ2>1/2

Kinetyczny model gazuRozkład energii cząsteczek g(E):

Energia kinetyczna E ≡ ½ m υ2

UWAGA: musi być spełniona tożsamość: dN(υ+dυ) ≡ dN(E+dE)

f(υ) dυ = g(E) dE a dE = m υ dυ

g Ek T

EE

kT

23 2

/ ex p

: Es = <E> = E f(E)

dE

Es = 3/2 k T

Kinetyczny model gazuRozkład cząsteczek w potencjalnym polu sił (rozkład Boltzmana)

Cząsteczki znajdują się pod wpływem pola grawitacji przyciąganie zwiększa koncentrację w kierunku prostopadłym do powierzchni Ziemi.

Energia potencjalna cząsteczek o masie m na wysokości h względem powierzchni: Ep = m g h

Zmiana ciśnienia gazu w funkcji wysokości słup powietrza o podstawie S. Stała temperatura i lokalna koncentracja n(h)

Kinetyczny model gazuRozkład cząsteczek w potencjalnym polu sił (rozkład Boltzmana)

na wysokości h zmiana ciśnienia dp na odcinku dh zależy od ciężaru Q gazu w tej warstwie :

dp = Q/S = - m g n dh p ≡ n k T dp = k T dn dn/ n = (- m g / k T ) dh

całkowanie w granicach h1 do h2

n2 = n1 exp [ - mg (h2 – h1) / kT ]

p = p0 exp ( - m g h / kT )

Kinetyczny model gazuRozkład cząsteczek w potencjalnym polu sił (rozkład Boltzmana)

Przykład dla H2 oraz O2 w

temperaturach:

T = 73 K oraz T = 273 K

f (E) exp(-E/ kT)

Rozkład Boltzmana:

Przemiany Fazowe

• Stanowią element nieciągłości w przemianach termodynamicznych

• Bardzo duże różnice pomiędzy własnościami fizycznymi różnych stanów skupienia ciał.

Przemiany Fazowe

- Skraplanie

- Powstawania mgły

- Skraplanie powietrza

- Śnieg wiosną

Energia wewnętrzna i ciepło właściwe gazu doskonałego

a) energia kinetyczna ruchu postępowego i obrotowego, b) energia kinetyczna i potencjalna oscylacji atomów w cząsteczce, c) energia potencjalna oddziaływania cząsteczek między sobą, d) energia powłok elektronów atomów,

energia kinetyczna i oddziaływania nukleonów wewnątrz jądra

Ciepło – energia kinetyczna przekazywana ciału poprzez kontakt z ciałem o wyższej temperaturze lub poprzez promieniowane temperaturowe (fale elektromagnetyczne).

Ciepło właściwe c Q = c m T

Energia wewnętrzna i ciepło właściwe gazu doskonałego

ciepło molowe C – ilość energii potrzebnej do ogrzania o 1 K masy równej masie jednego mola m = 1 M

Energia wewnętrzna 1 mola gazu U = NA Es

U = ½ i NA k T = ½ i R T

Dla gazu jedno-atomowego U = 3/2 R T

Przemiany Gazowe• Przemiana izochoryczna

Przemiany Gazowe

• Przemiana izobaryczna

Przemiany Gazowe

• Przemiana izotermiczna

Przemiany Gazowe• Przemiana adiabatyczna

Zerowa Zasada Dynamiki

• Definicja równowagi termicznej

Jeżeli ciała 1 i 2 są w równowadze termicznej i ciała 2 i 3 są w równowadze termicznej to ciała 1 i 3 są w tej samej równowadze termicznej

(Średnie energie kinetyczne ruchu postępowego cząstek są równe)

Pierwsza Zasada Termodynamiki

Pierwsza Zasada Termodynamiki• Praca

Pomińmy chwilowo tarcie wewnętrzne w gazie

xFL dd

xpAL dd

VpL dd

2

1

d21

V

V

VpL

praca bezwzględna przemianyp

VdV

F

1

2

p

v

praca techniczna przemiany

wdt LLLL 221121d

w

1

2

p

V

d

w

1

2

11111 dd VpVpVpL11 V

0

V

0d

22

0

2

0

22

22

dd VpVpVpLVV

w

22211121 VpLVpLt

2

1

2

1

22

11

2

1

d

dd

1122

21

p

p

p

p

Vp

Vp

V

V

pVVpVp

pVpVVpL

22211121 VpLVpLt

pVLpVL t

p

pt dd;d

2

1

21

Pierwsza Zasada Termodynamiki

• Można zwiększyć energię U dostarczając ciepło oraz, lub, ściskając gaz .

Ciepło molowe przy stałej objętości

przemiana izochoryczna

Q ≡ U ; Q = Cv T U = ½ i RT U = ½ i R T

CV = ½ i R

Pierwsza Zasada Termodynamiki

Ciepło molowe przy stałym ciśnieniu

przemiana izobaryczna W = p V

Q = U + p V

p V = R T p d V = R T z równania stanu gazu:

Q ≡ Cp T = U + p V = ½ i R T + R T

Cp = Cv + R = Cp / Cv = (i+2) / i

Cykle Termodynamiczne

Cykl Carnota

Sprawność Cyklu Carnota

Maszyny Cieplne

Entalpia (energia zgromadzona)

1 2

EsL1-2

p=idem

WUE

21 LUEs

UEu

02 UU221 pVL

22 pVUEs pVUEs

I1

I2Q1-2

Lt1-2

p

v

211 QIEd

212 tw LIE

211221 tLIIQ

wud EEE

0 uE

pviqc ddd

Tłokowa maszyna przepływowa

Druga Zasada Termodynamiki

Druga Zasada Termodynamiki

Entropia

Różniczka niezupełna ciepła całkowitego dQc posiada czynnik całkujący, który zamienia ją w różniczkę zupełną jednoznacznej funkcji stanu zwanej entropią.

TQ

S cdd

dS jest różniczką zupełną

Zasada wzrostu entropii

Dla każdego rzeczywistego zjawiska nieodwracal-nego suma przyrostów entropii wszystkich ciał uczestniczących w zjawisku jest nieujemna:

0

0

0 Procesy nieodwracalne

Procesy odwracalne

Procesy niemożliwe

Silnik parowy