DIO III.

UVOD U ANALIZU VREMENSKIH NIZOVA

12. TEMELJNI POJMOVI ANALIZE VREMENSKIH NIZOVA

odaci o pojavama u gospodarstvu, ekonomiji i drugim podrujima istraivanja esto se

prikupljaju kao vremenske serije. Vrijednosti pojave u pravilu se odnose na jednake vremenske intervale, kao na primjer mjesene vrijednosti industrijske proizvodnje u

Republici Hrvatskoj, ili se odnose na jednako udaljene vremenske toke, na primjer stanje tednih uloga Zagrebake banke na dan 31. 12. Analiza takvih nizova ukazuje na potrebu

definiranja analitikog izraza ili modela kojim se opisuje mehanizam generiranja vrijednosti pojave (stohastikog procesa) u vremenu. Izuavanje pojava koje se mijenjaju, variraju u

vremena see daleko u povijest. Postoje dokazi o zapaanju kretanja i variranja geofizikih,

astronomskih i drutvenih pojava nekoliko stoljea unazad. Prva tjedna statistika praenja broja umrlih u Londonu potjeu iz 1532. godine. U Francuskoj slubena praenja krtenja,

vjenanja i broja umrlih zapoinju 1539. godine. injenica da sve pojave, u veoj ili manjoj

mjeri, evoluiraju i da se mijenjaju u vremenu, kao i sve vei zahtjevi za upoznavanjem i analizom tih pojava, stimulirali su razvoj velikog broja metoda i tehnika. Te su tehnike i metode u poecima imale za cilj jednostavnu dokumentaciju i opisivanje pojava koje variraju

u vremenu. Vremenom, te su se metodologije mijenjale, prilagoavale i razvijale (i jo se razvijaju). Danas postoji cijeli niz sofisticiranih metodologija visokog potencijala i irokog

dijapazona primjene koje se koriste u analizi vremenskih nizova. DEFINICIJA VREMENSKIH SERIJA

Vremenski niz ili vremenska serija (engl. Time Series) je

skup kronoloki ureenih vrijednosti varijable koja predouje pojavu ili statistiki proces u vremenu.

Vrijednosti niza nazivaju se lanovima niza, a po pravilu se odnose na jednake vremenske

intervale ili jednako udaljene vremenske toke. Broj lanova predoava njegovu duljinu.

Slika 1: Primjer vremenskog niza: Broj nezaposlenih osoba u Australiji: veljaa 1978 - kolovoz 1995

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

1 20 39 58 77 96 115 134 153 172 191

mjesec

broj

nez

apos

leni

h

P

U vremenskom nizu ureenje numerikih vrijednosti varijable nije sluajno. Spoznaja

vanosti takvog ne sluajnog ureenja, karakteristika je po kojoj se analiza vremenskih serija

razlikuje od ostalih statistikih analiza. U vremenskom nizu pretpostavlja se da postoji zavisnost meu vrijednostima iduih varijabli te da je ta zavisnost povezana s poloajem

opaanja u seriji. Istraivanje i modeliranje takve zavisnosti, te njeno koritenje u svrhe

predvianja, predstavljaju kljune elemente analize vremenskih serija. Dinamika struktura vremenskog niza moe se istraivati ne temelju jedne jednadbe ili predmet analize moe

biti uzrono-posljedina povezanost vie vremenskih nizova, koja se provodi na temelju vektorskih modela.

CILJEVI ANALIZE VREMENSKIH SERIJA

Razumijevanje analize vremenskih nizova, zahtijeva prije svega definiranje njenih ciljeva. Statistika analiza vremenskih nizova ima za cilj uoavanje i definiranje mehanizma koji je

niz generirao, opisivanje karakteristika i osobina niza, i svakako predvianje evolucije pojave u vremenu.

Cilj analize vremenskih serija je opisivanje razvoja pojave u vremenu, objanjavanje varijacija pojave te predvianje budue razine pojave.

Stoga se ciljevi analize vremenskih ciljeva mogu saeti kao:

Opisivanje: sastoji se u sintetikom opisu kretanja pojave. U te svrhe koristi se grafiko prikazivanje serije u odnosu na vrijeme, odnosno grafikon toaka (t, yt), t=1,, n. Iz grafikog prikaza vremenskog niza mogue je dobiti prve informacije o karakteristikama

razmatranog niza; dinamika kretanja niza ili postojanje outliera (streih vrijednosti).

Objanjavanje: svodi se na uoavanje mehanizma koji generira pojavu i odnosa koji povezuju varijable.

Predvianje: sastoji se u prognoziranju budueg stanja i kretanja pojave temeljem prolih

vrijednosti varijabli sa to manjom pogrekom prognoze. Predvianje zahtijeva postojanje modela koji e opisati vremenski niz. Model (matematiki model ili proces) je sustav jednadbi koji moe proizvesti umjetni skup podataka vremenskog niza.

Osnovni koraci predvianja su slijedei:

odabrati skupinu modela vremenskog niza; odabire se onaj model iji skup

podataka najbolje odgovara empirijskom vremenskom nizu,

procijeniti odabrani model (unutar skupine),

predvia se odreena oekivana vrijednost budueg ponaanja procijenjenog

modela,

granice predvianja su granice intervala povjerenja; ako je model uspjean,

budua e se vrijednost sa npr. 95% vjerojatnosti, nalaziti u tom intervalu. Postoji cijeli niz tehnika predvianja kretanja vremenskog niza: metoda pominih prosjeka (Moving Average Method), metoda eksponencijalnog izglaivanja (Exponential Smoothing Method), Holt-Wintersova metoda eksponencijalnog izglaivanja (Holt-Winters Exponential Smoothing Method), prognoze vremenske serije po metodi dekompozicije-ekstrapolacija trenda i mnoge druge. Prognoziranje po metodi dekompozicije zasnovano je na prilagoavanju odreene funkcije vremena podacima i na njenoj ekstrapolaciji u budunost. Drugim rijeima, prognoziranje se temelji na ekstrapolaciji trenda, odnosno

na produavanju funkcije trenda u budunost. Osnovna pretpostavka prilikom

prognoziranja vremenske serije uporabom metode dekompozicije jest da e imbenici koji su djelovali na razinu serije u prolosti i sadanjosti djelovati i u buduem razdoblju

na isti nain, priblino istim intenzitetom, u istom smjeru i bez znaajnijeg utjecaja novih

imbenika. Radi se dakle, o mehanikoj projekciji ponaanja pojave iz prolog i sadanjeg

perioda u budunost.

Filtriranje: svodi se na upotrebu podataka vremenskog niza s ciljem procjenjivanja ne opaenih komponenata samog niza.

Kontroliranje: analiza vremenskog niza omoguava kontrolu procesa koji generiraju niz.

Zadae statistike analize vremenskih nizova mogu se definirati i kao:

deskripcija proteklog razvoja pojave u vremenu,

objanjenje njezine varijacije pomou drugih pojava,

predvianje i kontrola dinamikih procesa,

testiranje pretpostavki o postavkama gospodarske teorije,

objanjenje varijacije jedne varijable pomou drugih varijabli,

uklanjanje sustavne razvojne komponente (trenda) radi usporedbe kovarijacija razliitih

serija (De-Trending),

kvantifikacija sezonske komponente i drugih sustavnih komponenti (desezoniranje),

kvantitativno ispitivanje gospodarskih ciklusa,

ispitivanje strukturnih promjena. PODJELA VREMENSKIH SERIJA

Vremenski nizovi koji se susreu praksi dolaze iz razliitih podruja ljudskog ili prirodnog

djelovanja. Mogua podjela vremenskih nizova s obzirom na podruje nastajanja je slijedea:

ekonomski vremenski nizovi,

fiziki vremenski nizovi,

demografski vremenski nizovi,

vremenski nizovi koji nastaju kontrolom procesa,

vremenski nizovi koji nastaju kontrolom binarnih procesa i

vremenski nizovi koji nastaju kontrolom procesa u odreenoj toki.

S obzirom na obiljeja postoje slijedei vremenski nizovi:

opisni vremenski nizovi,

redoslijedni vremenski nizovi i

numeriki vremenski nizovi.

Vremenski niz je dakle, slijed vrijednosti varijabli u kojem je svaki podatak zdruen s odreenim trenutkom ili vremenskim intervalom, pa s obzirom na nastanak postoje:

intervalni vremenski niz (aggregate, flow, accumulate series): vrijednosti pojave zbrajaju se po vremenskim intervalima, posjeduju svojstvo kumulativnosti. Primjer intervalnog vremenskog niza dan je godinjom finalnom potronjom porodica, godinja koliina

izvoza ili mjeseni broj nezaposlenih osoba kroz vrijeme.

trenutani vremenski niz (stock series, series of instantaneous values): vrijednosti su kronoloki ureene i u vezi s odreenim vremenskim tokama, takvi nizovi ne posjeduju svojstvo

kumulativnosti. Primjer trenutanog vremenskog niza dan je populacijom odreenog

podruja u danoj vremenskoj toki s danom koliinom novca prisutnog u ekonomskom

sustavu u odreenom vremenskom trenutku.

Ako se u svakoj pojedinoj vremenskoj toki ili intervalu opaa jedna pojava, vremenski niz

koji nastaje zove se univarijatni vremenski niz. Ako se opaaju dvije ili vie pojava, dobije se viestruki(multivarijatni) vremenski niz. Vremenski parametar t, koji definira ureenje podataka u vremenskom nizu pripada skupu T, koji moe biti diskretan ili kontinuiran. S obzirom na vremenski parametar niz moe biti:

diskretan vremenski niz: mjerna varijabla poprima konaan broj vrijednosti,

kontinuiran vremenski niz: mjerna varijabla poprima vrijednosti iz nekog intervala.

Slijedea vana podjela dijeli vremenskih nizova na:

deterministike vremenske nizove: vremenski niz je deterministiki se razine pojave deterministikog niza mogu, temeljem njegovih lanova, egzaktno predvidjeti;

stohastike (statistike) vremenske nizove: veina vremenskih nizova je stohastike prirode,

to znali da se budua stanja pojave mogu tek procijeniti, a ne egzaktno predvidjeti.

Postoje jo i:

izvorni vremenski nizovi: vrijednosti takvog niza izraene su u izvornim jedinicama i

izvedeni vremenski nizovi: lanovi takvog niza dobiju se brojanim operacijama nad vrijednostima izvornog niza ili vie njih.

S obzirom na domenu analize, vremenske serije dijele se na:

modele u vremenskoj domeni: polaze od klasine podijele vremenskog niza ili dolaze iz skupine linearnih stohastikih modela, koje se odnose na stacionarne procese;

vremenska je serija stacionarna ako ne sadri trend komponentu (razina pojave ne mijenja se s vremenom), ako u nizu nisu prisutne striktno periodine varijacije, te

ako mu varijanca ne ovisi o vremenu.

modele u domeni frekvencija (spektralni modeli): opisuju podjelu varijance stacionarnog stohastikog procesa.

GRAFIKO PRIKAZIVANJE VREMENSKE SERIJE

Cilj grafikog prikaza vremenske serije jest njen vizualni pregled. Na osnovu grafikog

prikaza vremenske serije moe se zakljuiti da li vremenska serija pokazuje tendenciju rasta

ili pada, da li postoje izraene sezonske varijacije i da li je karakterizirana nestabilnom varijancom. Da bi se uoila prisutnost nestandardnih opaanja korisno je da se prikae i prva

diferencija date serije. Prema grafikonu prve diferencije jednostavnije je primijetiti da li se pojavljuju podaci koji nisu suglasni s prethodnim tijekom vremenske serije.

Intervalni vremenski nizovi prikazuju se povrinskim i linijskim grafikonima, trenutani

vremenski nizovi linijskim grafikonima. Usporedba dvaju ili vie vremenskih nizova na

istom grafikonu mogua je ako su vrijednosti nizova izraene u istim mjernim jedinicama, u

protivnome konstruira se polulogaritamski grafikon. Za prikazivanje sezonskih pojava koriste se i polarni dijagrami. Osim grafikog prikaza korisne informacije dobiju se

izraunom sredine niza te analizom varijacija.

12.1.PRISTUPI ANALIZI VREMENSKIH SERIJA

Metode analize vremenskih serija mogu se podijeliti na kvalitativne i kvantitativne. Kvalitativni modeli koriste se kada podaci o nekoj pojavi nisu dostupni ili se ne mogu kvantificirati. Zasnivaju se na procesu usklaivanje miljenja strunjaka. Jedna od najpoznatijih kvalitativnih metoda analize vremenske serije je Delphi metoda.

Nasuprot kvalitativnim metodama, preduvjeti primjene kvantitativnih metoda su, prije svega, da se informacije o pojavi koju analiziramo mogu kvantificirati, da su podaci u prolom i sadanjem periodu dostupni i da oslikavaju pravu prirodu promatrane pojave. Primjena

kvantitativnih metoda zasniva se na opoj pretpostavci da e se pojava u budunosti

ponaati na priblino isti nain kao i u prolom periodu. Sve kvantitativne metode mogu se

svrstati u dvije osnovne skupine:

metode statistike analize vremenskih nizova, i

kauzalne (uzrone) metode.

S obzirom na navedenu podjelu postoje dva osnovna pristupa analizi vremenskih nizova:

statistiki (klasini, tradicionalni) i

ekonometrijski (moderni, kauzalni). Metode statistike analize vremenske serije, odnosno statistiki pristup orijentirane su na analizu

osnovnih karakteristika pojedinane vremenske serije i na prognoziranje njenih buduih

vrijednosti iskljuivo na osnovi vrijednosti iz prolog i sadanjeg perioda. U ovu grupu metoda spadaju metode dekompozicije, razliite metode izglaivanja i Boks-Jenkinsvoa metoda. Kauzalne metode (ekonometrijski pristup) spadaju u domenu regresijske analize vremenskih serija. Opi stohastiki model koji opisuje proces koji generira podatke vremenskog niza

koji se odnosi na varijablu Y dan je funkcijom:

( ) (1)

Pretpostavlja se da se dani vremenski niz sastoji iz:

(a) deterministikog dijela f (t) koji predstavlja sustavni dio niza

(b) sluajnih varijabli ut koje predstavljaju stohastiki dio niza i ponaaju se prema odreenom zakonu vjerojatnosti.

Klasini (statistiki) pristup analizi vremenskih nizova pretpostavlja da postoji zakon vremenske evolucije pojave predstavljen sa f(t). Sluajna varijabla (ut) predstavlja skup varijabli ne zamjetne vrijednosti koje se ne ele ili se ne mogu explicite promatrati u Yt. Reziduali od Yt koji nisu objanjeni sa f(t) smatraju se stoga sluajnima i definiraju se kao sluajne pogreke. Stohastiki promatrajui, to je ekvivalentno hipotezi da je stohastika

komponenta modela generirana white-noise procesom (proces bijelog uma), odnosno slijedom sluajnih varijabli, jednako distribuiranih, nezavisnih, s oekivanjem 0 i konstantnom

varijancom. Takav proces, sintetiki notiran sa (

) (2)

i ima: [ ]

[ ]

[ ]

(3)

Dakle, u klasinom pristupu analizi vremenskih nizova panja se poklanja deterministikoj komponenti f(t), dok se (ut) zanemaruje smatrajui se procesom nekoreliranih komponenti. U klasinom pristupu koriste se metode ralambe vremenskog niza na komponente.

U modernom pristupu analizi vremenskih nizova pretpostavlja se da f(t) nedostaje ili je ve ranije procijenjena. Panja se posveuje stohastikoj komponenti modela (ut) za koju se

pretpostavlja da je proces sa koreliranim komponentama tipa ttttt Yu ,...,,...Y , 212-t1 kojeg treba analizirati adekvatnim statistikim metodama. Navedeni pristup polazi od

pretpostavke da je vremenska serija konana realizacija stohastikog procesa. Uvodi se tako

stohastika (vjerojatnosna) komponenta koja omoguava formalizaciju inferencijalne sheme

u temelju opaanih podataka. Moderni pristup slui se modelima za analizu empirijskih

vremenskih nizova. Primjena modela vremenskih serija je dvostruka: (a) razumjeti mehanizam i strukturu veza koji generiraju vremenski niz te (b) prilagoditi model te ga koristiti za predvianje, praenje ili kontroliranje vremenskog niza. KOMPONENTE VREMENSKE SERIJE KLASINA DEKOMPOZICIJA VREMENSKE SERIJE

Modeliranje vremenskih serija temelji se na ralambi serije na komponente koje pokazuju

specifine oblike kovarijacija pojave s vremenom. Klasina metoda dekompozicije

vremenskih serije polazi od pretpostavke da na razvojnu komponentu vremenske serije odreeni imbenici utjeu postojano u odreenom pravcu, dok ostali imbenici uzrokuju

odstupanja od te osnovne putanje serije. Tradicionalno se za vremenske nizove ekonomskih pojava generiranih funkcijom

tt u)t(fY pretpostavlja da je njihov sistematski dio f(t) rezultat djelovanja slijedeih komponenata:

komponente trenda

sezonske komponente

komponente ciklusa Na razvoj vremenske serije utjeu i nesistematski imbenici, pa se uz sistematske komponente pojavljuje i stohastika (sluajna komponenta) koja predstavlja sluajnu varijablu odreenih svojstava.

Komponenta trenda pokazuje dugoroni tijek razvoja pojave u vremenu. Izraava se funkcijom vremena, a prema obliku funkcije trend moe biti: linearni, parabolini, eksponencijalni.

Sezonska komponenta oituje se u obnavljanjem pojave unutar jedne godine, a pojavljuje se kao posljedica klimatskih uvjeta, drutvenih faktora, proizvodnih ciklusa i td.

Ciklina komponenta pokazuje obnovljeno kretanje pojave u vremenu od dvije ili vie godina. Tee se identificira od komponente trenda te je stoga i tee predvidiva.

MODELI VREMENSKIH SERIJA

Modeli slue za opisivanje evolucije pojave u vremenu, odnosno prikazivanje zavisnosti tekue vrijednosti pojave o njezinim proteklim vrijednostima te o tekuim i proteklim

vrijednostima sluajne varijable. Usporedo se analizira i autokorelacijska struktura (stupanj i smjer meusobne zavisnosti lanova vremenskog niza razmaknutih jedno ili vie

vremenskih razdoblja).

Klasina ralamba empirijskih vremenskih nizova temelji se na pretpostavci da se svaki

vremenski niz moe predoiti kombinacijom pojedinih komponenti vremenske serije. Stoga, u pogledu djelovanja komponenti na kretanje vremenske serije razlikuju se tri osnovne grupe modela:

aditivan

multiplikativan

mjeoviti (pseudoaditivan) ADITIVNI MODEL

Opi oblik aditivnog modela je:

(4)

gdje je

Y je empirijska serija,

T vrijednost trenda,

C vrijednost ciklike komponente,

S vrijednosti sezonske komponente i

sluajna varijabla.

Sve su komponente izraene u istim mjernim jedinicama kao i vrijednosti serije Yt. Trend i ciklus komponenta esto se ne razdvajaju pa se govori o jedinstvenoj trend-ciklus komponenti, a takav se model predouje izrazom

( ) 5)

odnosno

(6)

u kojem T predstavlja trend-ciklus komponentu. Pri primjeni aditivnog modela pretpostavlja se da sezonska i iregularna komponenta ne zavise o trendu, da se amplituda sezonskih varijacija ne mijenja s vremenom te da je tijekom godine prosjek sezonskih fluktuacija jednak nuli. Dakle, aditivni model pogodan je za analizu vremenskih serija kojih se amplitude sezonskih varijacija ne mijenjaju s vremenom. MULTIPLIKATIVNI MODEL

Multiplikativni model karakteristian je po tome to su komponente faktori umnoka, a u

opem obliku model glasi:

(7)

Ako vremenski niz sadri sve pozitivne vrijednosti multiplikativni model se moe

logaritamskom transformacijom prevesti u aditivni model (log-aditivni) oblika

(8)

U ovom je modelu samo komponenta trenda izraena u mjernim jedinicama pojave Yt. Ostale su komponente dane u relativnom iznosu (indeksi nepomnoeni sa sto). Dekompozicija predoena multiplikativnim modelom oslanja se na pretpostavke da je

amplituda sezonske komponente upravno proporcionalna razini trenda (poveava li se

trend, poveava se i amplituda sezonske komponente, i obrnuto), te da je varijanca iregularne komponente upravno proporcionalna veliini trend-ciklus i sezonske komponente. Multiplikativni model se koristi kada se amplitude sezonskih varijacija poveavaju ili smanjuju proporcionalno s vremenom to je karakteristika veine vremenskih

serija u ekonomiji. Multiplikativni, odnosno log-aditivni model ne moe se primijeniti ukoliko serija sadri 0 ili negativne vrijednosti, u kojem se sluaju kao alternativan rabi

pseudoaditivni model. PSEUDOADITIVNI MODEL

Pseudoaditivni model predstavlja kombinaciju aditivnog i multiplikativnog modela. Pretpostavka njegove primjene je da su sezonska i iregularna komponenta meusobno

nezavisne, ali da obje zavisne o trendu. Opi oblik mjeovitog modela je

( ) ( )

(9)

odnosno

( )

(10)

U navedenom modelu vrijednosti varijable Y jesu vrijednosti serije, T je komponenta trend-ciklus koja je izraena u mjernim jedinicama vrijednosti niza, a sezonska i iregularna

komponenta izraene su kao koeficijenti umnoka (varijabilnost izraena u relativnom iznosu).

Uz trend (trend-ciklus) komponentu, u model se kadto uvodi i komponenta koja izraava varijacije kalendarski varijacija istoimenih vremenskih jedinica (mjeseci, kvartali) re raspored nacionalnih praznika.

12.2. POKAZATELJI DINAMIKE

Pokazatelji dinamike brojane su veliine kojima se opisuju promjene razine pojava u vremenu. Dijele se na one koji pokazuju:

Pojedinane promjene razina pojave u uzastopnim razdobljima ili

Promjene razine tekueg vremena prema razini odabranog razdoblja. Promjene se mogu izraziti u mjernim jedinicama pojave ili u relativnom iznosu pa se u svezi s time razlikuju apsolutne mjere od relativnih mjera promjene pojave. Od pojedinanih mjera razlikuju se prosjene mjere. Relativna promjena uzastopnih razina pojave naziva se stopom promjene. Pokazatelji dinamike grafiki se prikazuju povrinskim i linijskim grafikonom.

Postoji vie mjera promjene razine pojave u vremenu. Mjere se odreuju za jednu vremensku

pojavu ili istodobno vie njih. Polazne brojane veliine za raunanje pokazatelja dinamike jesu vrijednosti vremenske serije . Za njih se pretpostavlja da su konzistentne i da su vezane za jednake vremenske intervale ili jednako udaljene vremenske toke.

Pojedinana mjera promjena po jedinici vremena dana je u obliku prvih diferencija vrijednosti vremenske serije. Ako su vrijednosti vremenske serije, prve su diferencije . Prve diferencije vrijednosti izraavaju veliinu promjena razina pojava u uzastopnim razdobljima. Dane su u mjernim jedinicama pojave, pa su u tom smislu apsolutne mjere promjena. Prvih diferencija ina (n-1). Prosjena promjena razina pojava u uzastopnim razdobljima aritmetika je sredina pojedinanih promjena. Prosjena prva diferencija definira se izrazom:

( ) ( ) ( )

(11)

Prosjena diferencija rauna se uporabom samo posljednje i prve vrijednosti niza. Bit e

reprezentativna ako ne postoje velike varijacije pojedinanih diferencija. Prve diferencije i

prosjena prva diferencija zavise o mjernim jedinicama vrijednosti niza. Njima se ne mogu

usporeivati promjene u uzastopnim razdobljima pojava izraenih u razliitim mjernim jedinicama ni pojava s izrazito razliitim vrijednostima. Zbog toga se raunaju relativne

mjere.

Relativna pojedinana mjera promjena razina pojave u uzastopnim razdobljima naziva se koeficijent dinamike, a izraena postotno naziva se stopom promjene. Stopa promjene empirijske serije jest omjer prve diferencije i odgovarajue vrijednosti serije pomnoen sa sto. Neka su

prve diferencije vremenske serije. Pojedinane stope promjene definiraju se izrazom:

(12)

to jest

(13)

Pojedinanih stopa ima (n-1). Stopa st pokazuje za koliko se postotaka razlikuje razina pojave u vremenu t prema vremenu (t-1). Moe biti pozitivna ili negativna.

12.3. INDEKSI

Indeksi vremenske serije relativni su brojevi koji izraavaju odnos stanja jedne pojave ili skupine pojava u razliitim razdobljima ili vremenskim tokama. Ako se pomou njih prati razvoj jedne pojave u vremenu, tada je rije o individualnim indeksima. Skupnim indeksima prati se razvoj skupine pojava. INDIVIDUALNI INDEKSI

Individualni indeksi pojavljuju se u dva oblika i to kao:

Verini indeksi i

Indeksi na stalnoj bazi. Pomou indeksa esto se jednostavnije uoava priroda varijacija pojave u vremenu. VERINI INDEKSI

Verini indeksi su relativni brojevi koji pokazuju promjene stanja pojave u uzastopnim razdobljima. Verini indeks razdoblja t dobije se tako da se vrijednost tog razdoblja podijeli s vrijednosti prethodnog razdoblja, razdoblja t-1, a zatim se omjer pomnoi sa sto. Omjer tekue i prethodne vrijednosti vremenske serije nepomnoene sa sto naziva se koeficijentom dinamike. Ako se s oznae vrijednosti vremenske serije od n lanova, koeficijenti dinamike su:

(14)

a verini indeksi:

(15)

Openito koeficijent dinamike razdoblja t dan je izrazom:

(16)

a verini indeks izrazom:

(17)

Verini indeksi prikazuju se specifinim linijskim grafikonom i grafikonom jednostavnih

stupaca.

INDEKSI NA STALNOJ BAZI

Indeksima na stalnoj bazi mjeri se promjena razine vremenske pojave u relativnom iznosu prema lanu niza jednog odabranog razdoblja ili vremenske toke. Neka se vremenska serija

sastoji od n lanova i neka je vrijednost razdoblja b. Veliine

(18)

Predouje indekse na stalnoj bazi. Opi je izraz za indeks na stalnoj bazi za razdoblje t dan

izrazom:

(19)

Prema tome, indeksi na stalnoj bazi dobivaju se tako da se svaki lan vremenske serije

podijeli s vrijednou baznog razdoblja i pomnoi sa sto. Za bazno se razdoblje uzima

vrijeme u kojemu pojava nije bila izloena neuobiajenim utjecajima. Indeks na stalnoj bazi pokazuje koliko jedinica pojave u razdoblju t dolazi na svakih sto jedinica pojave u razdoblju b. Indeksi na stalnoj bazi upravo su proporcionalni originalnim vrijednostima niza. Grafiki

se prikazuju linijskim grafikom i pomou jednostavnih stupaca. SKUPNI INDEKSI

Skupni indeksi su relativni brojevi kojima se mjere relativne promjene skupine pojava u vremenu. Predmet su indeksne analize skupine koje ine neku loginu cjelinu. Skupnim

indeksima se openito prati dinamika cijena, fizikog obujma (koliina) i vrijednost, pa se s

tim u vezi rabe:

skupni indeksi cijena,

skupni indeksi koliina i

skupni indeksi vrijednosti. Varijabilnost raznih pojedinanih pojava u skupini moe se pratiti individualnim indeksima.

Budui da su mjerne jedinice pojava razliite, individualnim indeksima kao relativnim

brojevima prati se dinamika pojedinanih pojava unutar skupine i usporeuje njihova

kovarijacija. Skupni indeksi raunaju se u obliku potpunih srednjih vrijednosti individualnih

indeksa, najee u obliku aritmetike sredine. U analizi dinamike skupina pojava uobiajeno

se raunaju:

Laspeyresov indeks cijena i koliina,

Paascheov indeks cijena i koliina,

Indeks vrijednosti i

Fisherovi indeksi.

ZADACI ZA VJEBU

1. Klasificirajte sljedee vremenske nizove prema opim obiljejima: (1) Stanovnitvo RH po popisnim godinama. (2) Izvoz RH u razdoblju od 1991-2002. (3) Noenja turista u RH po mjesecima u razdoblju od 1991-2000. (4) Dnevna stanja rauna na iroraunima komitenata banke XY u rujnu 2010. (5) Zakljune cijene dionica odabranih kompanija na burzi po danima prve dekade prosinca

2002. godine. (6) Potronja elektrine energije u RH tijekom 24. listopada 2010. (7) Narodni dohodak po stanovniku u RH po godinama razdoblja 1991-2002. (8) Indeksi proizvodnje preraivake industrije u RH po mjesecima 2010 (sijeanj = 100). (9) Mjesene otplatne kvote potroakog zajma u 2009. godini.

2. Prevezeni putnici (u 000) u cestovnom prometu u Republici Hrvatskoj.

Godina 1991.

1992. 1993. 1994. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000.

Prevezeni putnici 97140

80177 79263 79027 83652 85764 85236 77595 64763 66556

(a) O kojoj je vrsti statistikog niza rije? (b) Niz prikaite povrinskim i linijskim grafikonom. (c) Formirajte kumulativni niz i prikaite ga povrinskim i linijskim grafikonom. Komentirajte

grafike prikaze i dinamiku prijevoza putnika u navedenom razdoblju na temelju uvida u

varijacije vrijednosti lanova serije.

3. Zavreni i nezavreni stanovi u Republici Hrvatskoj

Godina, kvartal Broj zavrenih stanova Broj nezavrenih stanova

1999. 12863 5591 2000. 12522 5308 2001. I. 643 5265 II. 1071 4751 III. 871 4712

Napomena: broj nezavrenih stanova odnosi se na stanje potkraj razdoblja.

(a) O kojoj je vrsti statistikih nizova rije u ovom primjeru? (b) Prvi niz prikaite povrinskim, a drugi linijskim grafikonom.

4. Noenja turista u Republici Hrvatskoj po mjesecima 2001. godine.

Mjesec I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. IX. X. XI. XII.

Noenja (u 000) 257 254 353 1213 2063 5826 13185 14242 4521 918 301 117

Navedeni niz prikaite grafiki odgovarajuom vrstom grafikona.

5. Proizvodnja sirovog elika elektropeima u Republici Hrvatskoj. godina 1996 1997 1998 1999 2000

proizvodnja u t 45752 70660 104114 76832 71021

a) Izraunajte iznose promjene proizvodnje elika u uzastopnim razdobljima. b) Kolika je bila prosjena godinja promjena proizvodnje? Kada je prosjena prva diferencija

dobar analitiki pokazatelj? c) Kolike su promjene proizvodnje prema proizvodnji 1996. godine?

6. Novana masa (M1) u Republici Hrvatskoj u milijunima kuna u 2001.

Mjesec Novana masa

Sijeanj 16717,2

Veljaa 16970,6

Oujak 17395,2

Travanj 18252,7

Svibanj 18845,0

Lipanj 19065,1

Srpanj 20530,8

Kolovoz 19838,2

Rujan 20284,5

Listopad 20064,9

Studeni 20975,8

Prosinac 23703,5

(a) Kolike su promjene novane mase u milijunima kuna u uzastopnim razdobljima? Izraunajte stope promjene novane mase.

(b) Stope prikaite povrinskim grafikonom. (c) Odredite promjene novane mase za stanja u 2001. godini prema stanju u sijenju te godine

u apsolutnom i relativnom iznosu.

7. Indeksi proizvodnje penice i kukuruza u Republici Hrvatskoj

Godina 1994. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001.

Indeksi proizvodnje penice

1994=100

100,00 116,93 98,80 111,20 136,00 74,40 137,60 128,67

Indeksi proizvodnje kukuruza 1998=100

85,12 87,59 95,16 110,14 100,00 107,72 76,99 97,93

a) Izraunajte indekse proizvodnje kukuruza u kojima je bazna proizvodnja 1994. godina.

Indekse prikaite grafiki. b) Izraunajte verine indekse proizvodnje penice i verine indekse proizvodnje kukuruza, te

ih prikaite grafiki. c) Kolika je bila proizvodnje penice po godinama navedenog razdoblja ako je 1998.

proizvedeno 1020 tisua tona?

RJEENJA ZADATAKA

1. Serije od (1) do (8) su statistiki nizovi. Niz (9) je deterministiki. Nizovi: (2), (3) i (6) su intervalni nizovi. Nizovi: (1), (4) i (5) su trenutani nizovi. Nizovi (7) i (8) su izvedeni nizovi.

2. (a) Rije je o intervalnom vremenskom nizu, a razine pojave dane su po jednakim (godinjim)

vremenskim intervalima. (b) Povrinski grafikon crta se u pravokutnom koordinatnom sustavu. Ako su razdoblja jednaka,

pravokutnici jednakih osnovica oslanjaju se na os apscisa, a visine su im odreene aritmetikim

mjerilom osi ordinata. Razlika visina pravokutnika govori o razlici vrijednosti lanova niza. Linijski dijagram nastaje spajanjem toaka kojima su apscise sredine razdoblja, a ordinate su dane

aritmetikim mjerilom osi ordinata. Razlike ordinata upuuju na razlike vrijednosti lanova niza. to

su linije u grafu strmije, te su razlike vee i obrnuto.

Povrinski grafikon prevezenih putnika u cestovnom prometu u RH (u 000)

Linijski dijagram prevezenih putnika u cestovnom prometu u RH (u 000)

(c) Kumulativni niz prevezenih putnika u cestovnom prometu u RH (u 000)

Godina 1991.

1991./1992.

1991./1993.

1991./1994.

1991./1995. 1991./1996. 1991./1997. 1991./1998. 1991.1999. 1991./2000.

Kumulativni niz

97140

177317 256580 335607 419259 505023 590259 667854 732617 799173

Kumulativni niz formiran je postupnim zbrajanjem vrijednosti lanova serije. lan kumulativnog niza

335607 pokazuje da je od 1991. do 1994. godine prevezeno ukupno 335607 tisua putnika.

Kumulativni niz broja prevezenih putnika u cestovnom prometu u RH (u 000), povrinski grafikon

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

100000

1991. 1992. 1993. 1994. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000.

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

100000

1991. 1992. 1993. 1994. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000.

Kumulativni niz broja prevezenih putnika u cestovnom prometu u RH (u 000), linijski dijagram

3. (a) Prvi je niz vremenski intervalni, a drugi vremenski trenutani niz.

(b) Za grafiki prikaz prvog niza iskoristit e se pravokutnici, a kako intervali promatranja nisu jednaki,

pri konstrukciji grafikona rabit e se korigirane vrijednosti lanova niza. Godinje vrijednosti

korigiraju se dijeljenjem s etiri. Vrijednosti se trenutanog niza ne korigiraju jer pokazuju salda u

navedenim vremenskim tokama. Pri konstrukciji grafikona trenutanog niza spajaju se toke s

apscisa koje odgovaraju vremenskim tokama u aritmetikom mjerilu osi apscisa i ordinatama danima

u aritmetikom mjerilu osi ordinata.

Zavreni stanovi u Republici Hrvatskoj prosjek po kvartalu, povrinski grafikon.

Nezavreni stanovi u Republici Hrvatskoj stanje potkraj razdoblja, linijski grafikon.

4. Vremenski niz Noenja turista predouje sezonsku pojavu. Takvi se nizovi prikazuju, osim ostalih, i

specifinim dijagramom koji se zove polarni dijagram. Mrea polarnog dijagrama sastoji se od

koncentrinih krugova koji prolaze markantnim tokama aritmetikog mjerila. Mjerilo se nalazi na jednom

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

800000

1991. 1991./1992. 1991./1993. 1991./1994. 1991./1995. 1991./1996. 1991./1997. 1991./1998. 1991.1999. 1991./2000.

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

800000

1991. 1991./1992. 1991./1993. 1991./1994. 1991./1995. 1991./1996. 1991./1997. 1991./1998. 1991.1999. 1991./2000.

0

1000

2000

3000

4000

I. II. III.

1999. 2000. 2001. 2001. 2001.

4600

4800

5000

5200

5400

5600

I. II. III.

1999. 2000. 2001. 2001. 2001.

od radijvektora. Ako su na grafu naznaeni samo radijvektori, govori se o dijagramom radarskog tipa.

Polarni i radar dijagrami sezonske pojave Noenje turista u RH u 2001.

5. Promjene proizvodnje u uzastopnim razdobljima dane su prvim diferencijama vrijednosti niza, tj.:

odnosno

..

Prosjena prva diferencija dana je izrazom

Diferencije su izraene u mjernim jedinicama vrijednosti serije. Diferencija uz 1997. godinu pokazuje da je te godine proizvedeno 24908 tona sirovog elika vie nego 1996. godine. Godine 2000. proizvodnja elika

bila je za 5811 tona manja nego prethodne godine. Prosjena prva diferencija 6317,25 tona i nije reprezentativan pokazatelj jer su diferencije razliitog predznaka i znatne varijabilnosti. Prosjena prva

diferencija reprezentativna je kada su prve diferencije istoga predznaka i kada nisu izrazito varijabilne. Njezin je nedostatak i u tome to se odreuje samo na osnovi dviju vrijednosti serije (prve i posljednje). Promjene proizvodnje prema proizvodnji odabranog razdoblja dane su izrazom:

U primjeru je to:

.

Navedene razlike pokazuju veliine promjene proizvodnje u tonama u tekuem razdoblju prema

odabranom baznom razdoblju, odnosno proizvodni elika u 1996. godini.

Pomona tablica godina proizvodnja u t Prve diferencije Diferencije prema 1996

yt

1996 45752 0

1997 70660 24908 24908

1998 104114 33454 58362

1999 76832 -27282 31080

2000 71021 -5811 25269

0

5000

10000

15000I.

II.

III.

IV.

V.

VI.

VII.

VIII.

IX.

X.

XI.

XII.

6. Pomona tablica

Mjesec Novana

masa Diferencije Stope

Diferencije prema I.

Stope prema I

Sijeanj 16717,2 * * * * Veljaa 16970,6 253,4 1,515804 253,4 1,515804 Oujak 17395,2 424,6 2,501974 678 4,055703 Travanj 18252,7 857,5 4,929521 1535,5 9,185151 Svibanj 18845 592,3 3,244999 2127,8 12,72821 Lipanj 19065,1 220,1 1,167949 2347,9 14,04482 Srpanj 20530,8 1465,7 7,687869 3813,6 22,81243

Kolovoz 19838,2 -692,6 -3,37347 3121 18,66939 Rujan 20284,5 446,3 2,2497 3567,3 21,3391

Listopad 20064,9 -219,6 -1,0826 3347,7 20,02548 Studeni 20975,8 910,9 4,539768 4258,6 25,47436 Prosinac 23703,5 2727,7 13,00403 6986,3 41,79109

(a) Promjene novane mase u milijunima kuna u uzastopnim razdobljima izraunate su kao prve

diferencije (razlike tekue i prethodne vrijednosti) i uvrtene u trei stupac pomone tablice.

Pojedinane stope predouju iznos relativne promjene tekue razine prema prethodnoj razini.

Definirane su izrazom:

Vrijednosti stopa promjena u uzastopnim razdobljima nalaze se u etvrtom stupcu pomone tablice.

Prva je stopa 1,52 i pokazuje da je novana masa u veljai 2001. bila 1,52% vea od novane mase u sijenju 2001. Stopa -1,08 pokazuje da je u listopadu mjesecu 2001., prema rujnu te godine, smanjena novana masa za 1,08%.

(b) U opisu grafikona mora se obavezno naznaiti da visine stupaca (ili ako se rabi linijski dijagram,

ordinate spojnih toaka) oznaavaju relativne promjene prema prethodnom razdoblju.

Stope promjene novane mase u RH (prema stanjima potkraj razdoblja), povrinski grafikon

(c) Promjene novane mase prema stanju potkraj sijenja 2001.:

Diferencije se nalaze u petom stupcu pomone tablice. Promjene su novane mase prema razini u

sijenju varijabilne. Diferencija od 4258,6 milijuna kuna pokazuje da je novana masa potkraj listopada

2001. bila vea od novane mase potkraj sijenja te godine za navedeni iznos. Relativne promjene stanja novane mase prema stanju potkraj sijenja 2001. raunaju se pomou

izraza:

odnosno

(

)

U primjeru su navedene stope sljedee:

-5

0

5

10

15

II/I III/II IV/III V/IV VI/V VII/VI VIII/VII IX/VIII X/IX XI/X XII/XI

Stope su navedene u estom stupcu pomone tablice. Posljednja izraunata stopa iznosi 41,79 i pokazuje da

je novana masa potkraj prosinca bila 41,79% vea od novane mase potkraj sijenja te godine.

7. Pomona tablica

godina Indeksi proizvodnje penice

1994=100

Indeksi proizvodnje kukuruza 1998=100

indeksi proizvodnje kukuruza 1994=100

verini

indeksi proizvodnje penice

verini

indeksi proizvodnje kukuruza

proizvodnja penice

u 000 t

1994 100 85,12 100,00 * * 750

1995 116,93 87,59 102,90 116,93 102,90 877

1996 98,8 95,16 111,80 84,49 108,64 741

1997 111,2 110,14 129,39 112,55 115,74 834

1998 136 100 117,48 122,30 90,79 1020

1999 74,4 107,72 126,55 54,71 107,72 558

2000 137,6 76,99 90,45 184,95 71,47 1032

2001 128,67 97,93 115,05 93,51 127,20 965

a) Indeksi proizvodnje kukuruza 1994=100 raunaju se dijeljenjem svakog lana niza s 85,12 (vrijednost

baze, veliine vezane za 1994.) i mnoenjem omjera sa 100. Indeksi na stalnoj bazi preraunavaju se na

drugu bazu tako da se s raspoloivim indeksima postupa kao s originalnim podacima. Taj postupka slijedi iz svojstva proporcionalnosti indeksa na stalnoj bazi i originalnih podataka. Indeksi proizvodnje kukuruza 1994=100 nalaze se u etvrtom stupcu pomone tablice.

Indeksi proizvodnje kukuruza u Republici Hrvatskoj 1994=100

b) Indeksi na stalnoj bazi pretvaraju se u verine indekse tako da se indeks tekueg razdoblja podijeli s

indeksom prethodnog razdoblja, a omjer pomnoi sa sto, tj. s indeksima se postupa ka da je rije o

originalnim podacima. Verini indeksi uvrteni su u trei i etvrti stupac pomone tablice.

Verini indeksi proizvodnje penice i kukuruza u Republici Hrvatskoj

c) Za utvrivanje niza originalnih podataka, polazei od niza indeksa, dovoljno je raspolagati jednom vrijednou originalne serije. 1020 je peta vrijednost serije, a indeks na bazi 1994=100 jest

dakle,

koristei se definicijskim izrazom za indekse na stalnoj bazi,

izraunate su i preostale originalne vrijednosti lanova serije proizvodnje penice.

90

95

100

105

110

115

120

125

130

40

60

80

100

120

140

160

180

200

1995/1994 1996/1995 1997/1996 1998/1997 1999/1998 2000/1999 2001/2000

verini indeksi proizvodnje penice verini indeksi proizvodnje kukuruza

13. DESKRIPTIVNE METODE STATISTIKE ANALIZE VREMENSKIH SERIJA

Svrha primjene deskriptivnih metoda jest realizacija prvog cilja u analizi vremenskih serija deskripcije vremenske serije. Uporabom ovih metoda dobije se prva informacija o prirodi vremenske serije i o tome da li ju je potrebno transformirati prije pristupanja realizaciji drugog cilja analize vremenske serije objanjenju kretanja vremenske serije. Postoje brojne metode koje se mogu koristiti u ovoj fazi. Uobiajeno je da se grupiraju kako slijedi:

Grafiki prikazi vremenske serije

Sumarni pokazatelji

Metode transformacije vremenske serije i

Metode izglaivanja vremenske serije. Sumarni pokazatelji Cilj primjene sumarnih pokazatelja jest sagledavanje empirijske raspodjele dane vremenske serije. Ovo je relevantno da bi se ustanovilo da li se empirijska raspodjela moe dobro

aproksimirati normalnom distribucijom. Ukoliko normalna distribucija ne predstavlja dovoljno dobar okvir za danu empirijsku raspodjelu, tada je potrebno utvrditi zato dolazi

do odstupanja od normalnosti. Neke od metoda istraivanja sumarnih pokazatelja su:

Histogram,

Koeficijent asimetrije i spljotenosti i

Jarque-Bera test statistika. Histogram predstavlja grafiki prikaz uestalosti pojavljivanja podataka vremenske serije u pojedinim grupnim intervalima.

Koeficijenti asimetrije i koeficijenti spljotenosti predstavljaju neke od parametara kojima se opisuje empirijska raspodjela vremenske serije. Koeficijent asimetrije, pokazuje u kojoj mjeri postoji koncentracija podataka vremenske serije oko toke koja je vea ili manja od srednje

vrijednosti. Pritom, je raspodjela simetrina ako su podaci grupirani priblino simetrino u

odnosu na srednju vrijednost. Koeficijent asimetrije jednak je nuli kod simetrinih raspodjela. Asimetriju u desno prati vrijednost koeficijenta asimetrije koja je vea od nule, dok je

koeficijent asimetrije manji od nule kod raspodjele koja je asimetrina u lijevo. Koeficijent spljotenosti ili zaobljenosti, opisuje repove empirijske raspodjele. Spljotenost se uvijek izraava u odnosu na spljotenost normalne raspodjele. Vrijednost koeficijenta

spljotenosti kod normalne raspodjele jednaka je tri. Ako je koeficijent spljotenosti vei od

tri, tada su repovi dane raspodjele tei od repova normalne raspodjele, obrnuto, ako je

vrijednost koeficijenta spljotenosti manja od tri, onda su repovi raspodjele laki od repova

normalne distribucije. Termin teki rep sugerira da se na repu empirijske raspodjele nalazi vei dio jedininih vjerojatnosti nego to je to sluaj kod repova normalne raspodjele. Jarque-Bera test statistika (JB) koristi se da bi se napravila diskriminacija izmeu sljedeih hipoteza:

( ) ( )

Metode transformacije vremenske serije Cilj metoda transformacije jest dobivanje vremenske serije sljedeih svojstava:

Vremenska serija ima empirijsku raspodjelu koja je simetrina i normalna.

Vremenska serija posjeduje stabilan nivo i varijabilnost.

Simetrinost raspodjele i stabilizacija razine vremenske serije esto se postie koritenjem

transformacije Box-Cox, koja se u veini sluajeva svodi na logaritmiranje originalnih vrijednosti. U cilju stabiliziranja razine vremenske serije koristi se operator prve diferencije, ime se dobije vremenska serija sa stabilnom razinom. Metode izglaivanja vremenske serije Metode izglaivanja polaze od tradicionalnog shvaanja da se vremenska serija moe

predstaviti kao suma dugorone komponente i kratkoronih varijacija. Pri tome, dugorona

komponenta odraava osnovni tijek serije, dok kratkorone varijacije oznaavaju sluajne

fluktuacije. Smisao primjene ovih metoda jest izdvajanje dugorone tendencije u kretanju

vremenske serije, to se postie eliminiranjem sluajnih varijacija. Ovaj pristup sadri

izvjesnu dozu proizvoljnosti zato to je izuzetno teko napraviti jasnu razliku izmeu osnovnog tijeka i sporadinih varijacija. Najee koritene metode izglaivanja su:

Regresijske metode i

Metode pominih prosjeka

Metode eksponencijalnog izglaivanja i

Hodrick-Prescottov filter (HP filter/trend)

14. ODABRANI MODELI VREMENSKIH NIZOVA

Metoda dekompozicije polazi od pretpostavke da pojava slijedi jedan isti obrazac ponaanja

tijekom vremena. Nakon definiranja osnovnih komponenti vremenske serije pristupa se njihovoj procjeni. Modelima trenda statistiki se opisuje dugorona kovarijacija pojave s

vremenom. Ako se pretpostavi da serija ne sadri periodine komponente, model trenda u

opem obliku je

aditivni model

multiplikativni model

gdje je ( ).

U navedenim izrazima je pojava predoena vremenskom serijom, T komponenta trenda predoena nepoznatom funkcijom vremena ( ), a su nepoznata sluajna odstupanja od trenda s obiljejima sluajnih varijabli. Pretpostavi li se da se parametri u modelima trenda ne mijenjaju s vremenom, rije je o globalnom, odnosno deterministikom modelu trenda. Lokalnom modelu trenda svojstvena je promjenjivost parametara. U sklopu analize vremenskih serija uvodi se i specifian model

trenda koji se naziva stohastikim trendom.

14.1. MODELI TRENDA

U praksi je relativno esta upotreba linearnog trenda, eksponencijalnog trenda te nekih

asimptotskih modela. Njihova se analiza provodi metodama regresijske analize.

Model trend polinoma K-tog stupnja je oblika:

(20)

a model eksponencijalnog trenda:

(21)

odnosno:

(

)

(22)

Exp oznaava bazu prirodnog logaritma. Eksponencijalni modeli trenda lineariziraju se logaritamskom transformacijom radi pojednostavljenja numerike analize. Oblici modela

trenda iz navedenih skupina i skupine asimptotskih modela koji se relativno esto

primjenjuju dani su sljedeoj tablici.

Tablica 1: Oblici modela trenda

NAZIV MODELA OBLIK TRENDA

Model linearnog trenda (model trend polinoma prvog stupnja)

Parabolini trend drugog stupnja

Eksponencijalni trend (jednostavni)

Eksponencijalni trend- sloeni, logaritamska parabola

Modificirani eksponencijalni trend

Gompertzov trend

Logistiki trend

U navedenim izrazima su vrijednosti vremenske serije, je varijabla vrijeme koja odgovorno poprima vrijednosti prvih n prirodnih brojeva ( ) , su vrijednosti sluajne varijable e, a , , 1 su parametri. Izbor tipa modela zavisi o danom sluaju primjene. Izbor trenda proizlazi iz kvalitativne analize, grafikog prikaza serije,

analize prvih ili viih diferencija originalnih ili logaritamskih vrijednosti serije te statistiko-analitikih postupaka. Numerika analiza modela obuhvaa procjenu nepoznatih

parametara, odreivanje pokazatelja reprezentativnosti i ispitivanje kvalitete modela.

Pretpostavi li se da e trend biti postojan i u prognostikom horizontu, model s procijenjenim parametrima moe se iskoristiti u prognostike svrhe. Kadto trend komponentu valja ukloniti kako bi se mogao primijeniti odgovarajui model.

Trend komponenta uobiajeno se otklanja pomou diferencija serije, diferencija vrijednosti logaritama ili drugih prikladno transformiranih vrijednosti serije. Moe se pokazati da se

prvim diferencijama odstranjuje linearni trend, drugim diferencijama trend polinom drugog

stupnja, odnosno openito k-tim diferencijama eliminira se trend polinom k-tog stupnja. Diferencijama logaritama eliminira se eksponencijalni trend. Uklanjanje trend komponente provodi se i tako da se od vrijednosti vremenske serije oduzmu vrijednosti trenda izraunate

na temelju modela trenda s procijenjenim parametrima. U tom je sluaju izvedena serija jednaka seriji rezidualnih odstupanja.

14.2. ODABIR TIPA FUNKCIJE TRENDA

Analizi trenda prethodi utvrivanje oblika funkcije vremena. Prvi korak u analizi

deterministikog trenda jest ispitati da li vremenska serija uope posjeduje izraeni trend.

Nakon, toga, ako trend postoji, ispituje se koja se funkcija trenda najbolje prilagoava

empirijskim podacima. Izbor funkcije trenda podrazumijeva odabir linearne, paraboline,

eksponencijalne ili neke druge nelinearne funkcije koja najbolje odgovara vremenskoj seriji. Postoji vie metoda kojima se vri ispitivanje odabira funkcije trenda:

1. Grafiko prikazivanje, 2. Metoda diferencija, 3. Srednja kvadratna pogreka, te 4. Metoda pominih prosjeka.

15. METODE IZGLAIVANJA VREMENSKE SERIJE

Metode izglaivanja omoguavaju analizu osnovne tendencija vremenske serije, ali imaju i

iroku primjenu u prognoziranju buduih vrijednosti vremenske serije. Dvije

najjednostavnije metode izglaivanja vremenske serije jesu metoda pominih prosjeka i metoda eksponencijalnog izglaivanja.

15.1. METODA POMINIH PROSJEKA

Metoda pominih prosjeka spada meu metode izglaivanja koje omoguavaju analizu osnovne tendencija vremenske serije, ali imaju i iroku primjenu u prognoziranju buduih

vrijednosti same serije. Tom se metodom sluajna odstupanja u podacima ublaavaju

njihovim svoenjem na prosjek, s ciljem da se na tako izglaenim podacima prepozna

pravilno ponaanje na temelju kojeg se moe izvesti prognoza. To se postie tako da se tone

vrijednosti iz vremenskog niza zamjenjuju prosjekom te vrijednosti i nekoliko susjednih vrijednosti. Serija pominih prosjeka je zapravo serija aritmetikih sredina. Ova je metoda

korisna ukoliko se moe pretpostaviti da e potranja na tritu ostati stabilna tijekom

vremena, te se koristi kada je trend komponenta mala ili je uope nema.

Pomini prosjeci su aritmetike sredine M uzastopnih vrijednosti lanova vremenske serije

(M

Razlikuju se:

Jednostavni pomini prosjeci od

Vaganih pominih prosjeka JEDNOSTAVNI POMINI PROSJECI

Jednostavni pomini prosjeci jednostavne su aritmetike sredine M uzastopnih vrijednosti lanova vremenske serije. Ako je broj lanova pominog prosjeka neparan, to jest M=2m+1, raunaju se pomou izraza:

(23)

U navedenom izrazu su vrijednosti pominih prosjeka, a vrijednosti lanova serije.

Vrijednost prosjeka pridruuje se razdoblju sredinjeg lana pominog prosjeka. Kada je broj lanova pominog prosjeka M paran broj, to jest M=2m, provodi se postupak centriranja. Centrirani prosjeci raunaju se u obliku dvostrukih pominih prosjeka, to jest odreivanjem

jednostavnih pominih prosjeka od prethodnih pominih prosjeka od po dva lana. Formula

je za izravno raunanje centriranih prosjeka:

[

( )

] (24)

Za prvih m i posljednjih m razdoblja ne mogu se izraunati vrijednosti pominih prosjeka. S obzirom na to da su jednostavni pomini prosjeci nevagane aritmetike sredine, svaka

vrijednost serije ima jednak ponder.

Metoda pominih prosjeka je prognostika metoda koja koristi srednju vrijednost podataka za n najsvjeijih vremenskih razdoblja da bi se prognozirala potranja za naredno vremensko razdoblje. Jednostavni pomini prosjeci najee se primjenjuju kod odstranjivanja sezonskih

i ciklikih komponenti iz strukture vremenskog niza, ili u sluaju da se pojava razvija

priblino po linearnom trendu. U suprotnom pomini e prosjeci (izglaivanjem) sistematski

precjenjivati ili podcjenjivati prisutni trend u vremenskom nizu. U takvoj se situaciji umjesto jednostavnih koriste vagani pomini prosjeci. VAGANI POMINI PROSJECI

Kada je u vremenskoj seriji prisutan trend ili neka druga zakonitost, koriste se teinski

faktori, ponderi, tako da se jai naglasak stavi na svjeije podatke, a stariji se podaci smatraju

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

3000000

3500000

1 5 9 131721252933374145495357616569737781858993

broj turista

pomini prosjeci m=3

pomini prosjeci m=6

pomini prosjeci m=12

manje vanima. Vagani pomini prosjeci jesu vagane aritmetike sredine M uzastopnih

vrijednosti lanova serije, to jest:

(25)

U vaganom pominom prosjeku znaaj jednog lana niza odreen je njegovim ponderom.

Ponderi su obino unaprijed poznati i tabelirani. Oni su simetrini u odnosu na sredinji, a

njihov je zbroj jednak nuli. Ponderi odreuju se na razliite naine. Uobiajena je primjena modela lokalnog trenda, odnosno pominog regresijskog modela. Postupak se sastoji u tome da se najprije odredi jednadba trend polinoma odreenog stupnja na temelju prvih

M=2m+1 vrijednosti lanova serije. Pomou te jednadbe izrauna se vrijednost trenda za (m+1) toku ili se, to je isto, odredi vrijednost trenda za sredinje razdoblje od M razdoblja. Slijedi odreivanje trend polinoma istog stupnja za sljedeu skupinu od M uzastopnih

lanova (bez prvog lana niza, a s ukljuenim M+1 lanom) te raunanje vrijednosti trenda sredinjeg razdoblja. Postupak se nastavlja sve do posljednje skupine od M=2m+1 lana. Vrijednosti trenda ekvivalentno se odreuju u obliku linearne kombinacije koeficijenata i

odgovarajuih vrijednosti lanova serije. Koeficijenti ili, to je isto, ponderi izvode se iz

normalnih jednadbi lokalnih polinom trenda. Postojani su i tabelirani za dano M i K (stupanj polinoma). Za koeficijente kojima se ponderiraju vrijednosti serije uzimaju se katkada binomni koeficijenti, ili su to vrijednosti prvih M prirodnih brojeva, pri emu je

najvei ponder za M-tu vrijednost serije i sl. Nad pominim prosjecima provode se razliite operacije. Primjerice, raunaju se viestruki

prosjeci (prosjeci prosjeka), pomini se prosjeci zbrajaju i raunaju njihovi prosjeci itd. Postoje pomini prosjeci specifinih svojstava. Takvi su Hendersonovi i Spencerovi pomini prosjeci. Rije je o pominim prosjecima sa simetrinim ponderima kojima se aproksimira

polinom trenda drugoga i treega stupnja. Osim u brojanom opisivanju tendencije razvoja, uporaba pominih prosjeka vana je u postupcima analize sezonskih (ciklikih) pojava. Pominim prosjecima izraava se

komponenta trenda. Ako je broj lanova jednostavnog pominog prosjeka jednak periodu

obnavljanja ili viekratniku tog perioda, niz pominih prosjeka nee biti periodian. Tom operacijom u cijelosti se odstranjuje periodina komponenta.

Osim u brojanom opisivanju tendencije razvoja, uporaba pominih prosjeka vana je u

postupcima analize sezonskih (ciklikih) pojava. Pominim prosjecima izraava se

komponenta trenda. Ako je broj lanova jednostavnog pominog prosjeka jednak periodu obnavljanja ili viekratniku tog perioda, niz pominih prosjeka nee biti periodian. Tom

operacijom u cijelosti se odstranjuje periodina komponenta. I jednostavni i vagani pomini prosjeci efektivni su u izglaivanju iznenadnih fluktuacija u

dijagramu potranje kako bi se jamile stabilne prognoze. Ipak kod pominih prosjeka

postoje tri problema:

Poveanje veliine n (broj uprosjeenih razdoblja) bolje izglauje fluktuacije, no ini metodu manje osjetljivom na realne promjene podataka

Pomini prosjeci dovoljno dobro ne osjeaju trend. Naime budui se radi o prosjecima,

uvijek ostaju unutar prolih razina i ne predviaju promjene u pravcu viih ili niih

razina, stoga zaostaju za stvarnim vrijednostima.

Zahtijevaju znaaju koliinu povijesnih podataka.

15.2. METODA EKSPONENCIJALNOG IZGLAIVANJA

Metoda eksponencijalnog izglaivanja srodna je metodi pominih prosjeka. Radi se o metodi

koja koristi trenutane i prole vrijednosti vremenskoga niza za predvianje njegovih

buduih vrijednosti. Vrijednosti serije izglauju se ponderiranjem lanova niza nejednakim ponderima. Izglaena vrijednost tekueg razdoblja t vagana je sredina vrijednosti prethodnih razdoblja. Eksponencijalno izglaivanje moe biti:

Jednostavno ili

Viestruko. S obzirom na komponente koje sadri vremenska serija primijenjuju se razliite metode

eksponencijalnog izglaivanja. Sljedea tablica prikazuje odabir metode eksponencijalnog

izglaivanja s obzirom na komponente vremenske serije. Tablica 2: Modeli eksponencijalnog izglaivanja

Jednostavno eksponencijalno izglaivanje (SingleExponentialSmoothing, SES)

Stacionarni vremenski niz (prisutna samo iregularna komponenta)

Dvostruko eksponencijalno izglaivanje

(DoubleExponentialSmoothing, DES) Prisutna trend komponenta

Trostruko eksponencijalno izglaivanje (TripleExponentialSmoothing, TES) Holt-Wintersovi aditivni i multiplikativni modeli

Prisutne trend i sezonska komponenta

Jednostavno eksponencijalno izglaivanje koristi se za prognozirane buduih razina pojave

kod stacionarnih vremenskih nizova, dvostruko eksponencijalno izglaivanje primjereno je kod vremenskih nizova s izraenom trend komponentom. Trostruko eksponencijalno

izglaivanje moe se koristiti kod vremenskih nizova koji pokazuju trend, ali i sezonsku

komponentu. Ako vremenska serija sadri trend, izglaene vrijednosti dobivene jednostavnim eksponencijalnim izglaivanjem sistematski e precjenjivati ili podcjenjivati

razinu pojave. Zbog toga se u sluaju prisutnosti trenda rabi model dvostrukog, trostrukog

odnosno viestrukog eksponencijalnog izglaivanja. Vie je takvih modela. Meu njima je,

primjerice, Brownov model dvostrukog, trostrukog, itd. izglaivanja, Holt-Wintersov model itd. JEDNOSTAVNO EKSPONENCIJALNO IZGLAIVANJE

Postupak jednostavnog eksponencijalnog izglaivanja svodi se na izraunavanje vagane

sredine sadanjih i ranijih vrijednosti, pri emu vrijednost tekueg razdoblja ima najvei

ponder. Vrijednosti pondera proteklih razdoblja smanjuju se eksponencijalno. Opi izraz za

izraunavanje izglaenih vrijednosti je:

( )

(26) gdje je vrijednost serije razdoblja t,

eksponencijalno izglaena vrijednost razdoblja t, je konstanta izglaivanja, . Uzastopnom supstitucijom navedeni izraz postaje:

( ) ( ) ( )

( ) , (27)

Budui da je konstanta izglaivanja broj izmeu nule i jedan, vidljivo je da se ponderi

vrijednosti lanova serije eksponencijalno smanjuju. U postupku je potrebno odrediti

konstantu izglaivanja i izglaenu vrijednost nultog razdoblja (inicijalne vrijednosti). Konstanta izglaivanja obino se odreuje iterativnim postupkom (vrijednosti se mijenjaju u

koracima 0,1, 0,01 i sl., a za svaku se vrijednost izrauna veliina pogreke-srednje apsolutno odstupanje ili drugi pokazatelj). Odgovarajua je veliina konstante izglaivanja ona za koju

je prosjena pogreka najmanja. Za izglaenu vrijednost nultog razdoblja esto se uzima da

je ta vrijednost jednaka prvoj vrijednosti serije.

Model eksponencijalnog izglaivanja predstavlja model zaborava prolosti. Ponderi ine

eksponencijalno opadajui niz, na nain da kronoloki posljednja vrijednost u nizu ima

najvei ponder u formiranju prognostike vrijednosti. to je vrijednost niza udaljenija od vremena za koje se prognozira, to je njen utjecaj na prognostiku vrijednost manji. Prognostike vrijednosti za jedno razdoblje nakon tekuega (jedno razdoblje unaprijed),

unutar vremenske serije utvruju se izrazom:

( ) (28)

gdje je = konstanta izglaivanja

= prognostika vrijednost za prvo razdoblje, inicijalna prognostika vrijednost

(najee je jednaka prvoj stvarnoj vrijednosti ili aritmetikoj sredini vremenske serije)

Model jednostavnog eksponencijalnog izglaivanje koristi se za prognozu pojava bez

sistemskih komponenti (vremenske serije u kojima je prisutna samo iregularna komponenta). Ako vremenski niz sadri trend, izglaene vrijednosti dobivene jednostavnih eksponencijalnim izglaivanjem sustavno e precjenjivati ili podcjenjivati razinu pojave.

Stoga se, u sluaju prisutnosti trenda upotrebljava model dvostrukoga, trostrukoga odnosno

viestrukoga eksponencijalnoga izglaivanja. Meu takve modele ubrajaju se Brownov model dvostrukoga, trostrukoga eksponencijalnog izglaivanja, Holt-Wintersov model i drugi. HOLT-WINTERSOV MODEL EKSPONENCIJALNOGA IZGLAIVANJA Holt-wintersov model eksponencijalnog izglaivanja za pojave s trendom ima slijedei oblik:

( )(

) (

) ( )

0

(29)

gdje je

= stvarna razina pojave u vremenu t

= izglaena vrijednost = procjena utjecaja trenda

i = konstante izglaivanja

Da bi se proveo postupak izglaivanja, potrebno je utvrditi inicijalne vrijednosti za razinu

pojave i efekta trenda te konstante izglaivanja.

Od modela analize sezonskih pojava koristi se Holt-Wintersov model izglaivanja za sezonske pojave. Model moe biti aditivni, multiplikativni i mjeoviti. Pretpostavi li se da

vremenski niz sadri trend, sezonsku i sluajnu komponentu i da je prikladan

multiplikativni model, tada analiza pojave poiva na trima jednandbama: prvom

jednadbom izglauje se razina pojave, drugom trend komponenta, a treom sezonska

komponenta. Te su jednadbe:

( )( )

(

) ( )

( )

( ) ( )

0

(30)

gdje je

= stvarna razina pojave u vremenu t

= izglaena vrijednost = procjena utjecaja trenda

, = konstante izglaivanja L = 4 ili 12 i predouje sezonski period

( ) = sezonski faktor Da bi se proveo postupak izglaivanja, potrebno je utvrditi inicijalne vrijednosti za razinu

pojave i efekta trenda te konstante izglaivanja. Taj se izbor provodi na razliite naine.

Primjerice, za razinu pojave nultog razdoblja uzima se konstantni lan u jednadbi linearnog

trenda, a za efekt trenda toga razdoblja koeficijent uz varijablu vrijeme. Inicijalne se vrijednosti kadto odreuju i ovako: izglaena vrijednost drugoga razdoblja jednaka je

vrijednosti drugog lana serije, to jest . Za procjenu poetne vrijednosti efekta trenda

uzima se diferencija druge i prve vrijednosti niza, odnosno . Konstante izglaivanja odreuju se od sluaja do sluaja,pri emu se polazi od razliitih

kriterija, kao to je, primjerice, srednje apsolutno odstupanja stvarnih od izglaenih

vrijednosti. Odabire se za konstantu za koju je to odstupanje najmanje.

Od modela analize sezonskih pojava rabi se i Holt-Wintersov model izglaivanja za sezonske pojave. Model moe biti aditivni, multiplikativni i mjeoviti. Poe li se od pretpostavke da serija sadrava trend sezonsku i sluajnu komponentu i da je prikladan multiplikativni

model, tada analiza pojave poiva na trima jednadbama: prvom jednadbom izglauje se

razina pojave, drugom jednadbom trend komponenta, a treom sezonska komponenta. Te

jednadbe su sljedee:

( )(

),

(

) ( ) ,

( )

( )

( ) .

(31)

U navedenim su jednadbama konstante izglaivanja. To su vrijednosti izmeu 0 i 1. L je 4 ili 12 i predouje sezonski period.

je izglaena srednja razina pojave. su

vrijednosti trenda. ( )

je sezonski faktor.

Prvo razdoblje s izglaenom vrijednosti srednje razine pojave jest ( ) i ona je

( ( ) ( ) ) ( ) ( )

Inicijalne vrijednosti za faktor trenda i sezonski faktor i ovdje se odreuju na razliite naine,

primjerice:

( )

( ) ( )

[ ( ) ( )

( ) ( )

]

Pri primjeni metoda eksponencijalnog izglaivanja potrebno je donijeti razliite odluke koje

se ne oslanjaju samo na poznavanje opih svojstava metoda ve i svojstava serije. Na odluku

o broju lanova pominog prosjeka (M) i njegovu obliku utjee priroda pojave koju serija

predouje. Meutim, ne postoje egzaktni kriteriji koji omoguuju izbor tih veliina. Broj

lanova pominog prosjeka ovisi o stupnju varijabilnosti i o namjeni prosjeka. S poveanjem stupnja varijabilnosti potrebno je, u naelu, poveati i broj lanova prosjeka. Odstranjuje li se

periodina komponenta, broj lanova pominog prosjeka jednak je periodu obnavljanja

pojave. Iskoristi li se izglaena serija u drugim postupcima, primjerice u regresijskog analizi, trena imati na umu da serija pominih prosjeka moe oitovati osobitosti koje nisu svojstvene

izvornoj seriji (periodinost, autokorelacija). Stanovitu potekou ini i nedostatka vrijednosti

pominih prosjeka na poetku i na kraju serije. Kada je rije o modelima eksponencijalnog izglaivanja, valja istaknuti problem izbora

konstanti izglaivanja i odgovarajuih inicijalnih vrijednosti u postupku. Metode izbora

konstanti i inicijalnih vrijednosti nisu jedinstvene, a o njima ovise rezultati izglaivanja. Primjenom razliitih algoritama, kadto se dobivaju rezultati koje se znatno razlikuju.

Metode pominih prosjeka eksponencijalnog izglaivanja primjenjuju se na modificirani

nain u prognostike svrhe.

15.3. METODE ANALIZE SEZONSKIH POJAVA

Sezonske su periodine pojave one koje se obnavljaju na isti ili priblino isti nain s

periodom od jedne godine. Temelj su numerike analize modeli koji polaze od

dekompozicije serije na trend-ciklinu, sezonsku i iregularnu komponentu. Kako je ve navedeno, u analizi se uobiajeno polazi od aditivnog modela, multiplikativnog modela i

njegova lineariziranog (logaritamskog) oblika ili od pseudoaditivnog modela. U opem su

obliku ti modeli:

(1) , (2) , (3) ( ).

U navedenim izrazima Y predouje vrijednosti vremenske serije, T trend-ciklus komponentu, , vrijednosti iregularne (sluajne) komponente. Uz komponentu trenda (trend-ciklus) i iregularnu komponentu u model se kadto uvodi i komponenta koja izraava varijacije istih vremenskih jedinica (mjeseci,kvartali) te raspored nacionalnih praznika. Dva su temeljna pristupa analizi sezonskih pojava. Prvi se pristup sastoji u ralanjivanju

sezonske pojave na komponente pomou pominih prosjeka (filtriranje, ad hoc pristup) i u osnovi ima obiljeja neparametarske statistike. Drugi se pristup oslanja na modele u kojima

se analitiki izraavaju komponente serije (trend, sezonska, iregularna), odnosno definira

model stohastikog procesa koji generira seriju. Postoji vie metoda analize sezonskih pojava u sklopu navedenih pristupa. Relativno je

jednostavna metoda odnosa prema pominim prosjecima, zatim regresijski model sa sezonskim indikator-varijablama. Posebno je rairena CENSUS metoda i njene varijante, primjerice X-12-

ARIMA, koju rabi vei broj dravnih zavoda za statistiku, te TRAMO/SEATS, STAMP i druge. Svrha je analize sezonskih pojava izmjeriti sezonski utjecaj i veliine drugih prisutnih

komponenti te analitiki (modelom) izraziti njihov razvoj. Postupci desezoniranja pruaju vane informacije za prosudbu gospodarskih kretanja, odnosno za voenje poslovne i

gospodarske politike. S obzirom na to da razliite metode analize sezonskih pojava esto

daju razliite rezultate, nuno je poznavati temelje svake od njih i osobitosti analiziranih pojava kako bi se prosudila kvaliteta dobivenih statistikih pokazatelja. Metoda odnosa prema pominim prosjecima uobiajeno polazi od multiplikativnog modela . U navedenom izrazu T je vrijednost trenda, je sezonski faktor, a faktor

rezidualnih odstupanja. Prvi se korak u analizi navedenog modela metodom odnosa prema pominom prosjeku

sastoji u procjeni trend komponente vrijednostima pominih prosjeka . Za kvartalne

podatke, odreuju se vrijednosti etverolanih centriranih pominih prosjeka. U drugom koraku izraunavaju se prve procjene sezonskih faktora. One su dane omjerima

odgovarajuih vrijednosti serije i pripadajuih pominih prosjeka, to jest .

Procjene sezonskih faktora istih mjeseci (kvartala) variraju. Da bi se dobio sezonski faktor (konstanta) za svaki mjesec ili kvartal valja odrediti prosjenu vrijednost prvih procjena sezonskih faktora istih mjeseci (kvartala). Za prosjek se uzima medijan, modificirana aritmetika sredina (iskljuuju se najmanja i najvea vrijednost) ili jednostavna aritmetika

sredina. Zbroj sezonskih faktora mora biti jednak 4 odnosno 12. U protivnome, navedene prosjeke istoimenih kvartala (mjeseci) valja korigirati, to jest njihov zbroj svesti na 4 odnosno 12. Trei se korak sastoji u izraunavanju vrijednosti oienih od sezonskih utjecaja. Taj se

postupak provodi dijeljenjem vrijednosti serije sa sezonskim faktorima, odnosno . etvrti korak u analizi odnosi se na izraunavanje rezidualnih faktora. Oni se odreuju tako

da se desezonirane vrijednosti pojave podijele s pominim prosjecima kao procjenama trenda, to jest

. Rezidualni faktori pomnoeni sa sto nazivaju se indeksima rezidualnih odstupanja. Metoda X-12-ARIMA ubraja se meu filtarske metode. Odreivanje vrijednosti komponenti i desezoniranje (ostvarivanje sezonskog utjecaja na razinu pojave) u sklopu te metode temelji se na vremenskoj seriji koja sadri najmanje tri ciklusa, odnosno 12 kvartalnih i 36 mjesenih

vrijednosti. Analiza se provodi na temelju aditivnog, multiplikativnog ili pseudoaditivnog modela. Postupak desezoniranja gospodarskih serija najee polazi od multiplikativnog modela.

Sam se postupak provodi koracima i sadri vrlo velik broj razliitih brojanih operacija te

konstrukciju grafikog prikaza. Opisni koraci su u nastavku. U prvom koraku se utvruju inicijalne procjene komponenti, u drugom se one revidiraju

odnosno poboljavaju. U treem se koraku daju konane procjene komponenti i

mnogobrojnih statistiko-analitikih pokazatelja kakvoe rezultata. Inicijalna procjena trenda predouje se centriranim pominim prosjecima po 4 lana (za

kvartalne serije) ili 12 lanova (za mjesene serije). U nizu pominih prosjeka nedostaju

vrijednosti na njegovu poetku (za dva prva, odnosno prvih est razdoblja) i na kraju niza (za posljednja dva, odnosno posljednjih est razdoblja). Omjer originalnih vrijednosti i

procjene trenda predouju inicijalnu (zajedniku) procjenu sezonske i iregularne

komponente. Da bi se dobila prva procjena sezonske komponente, za navedene omjere odreuju se vagani pomini prosjeci, a preliminarna procjena sezonske komponente slijedi korekcijom prve

procjene tako da zbroj vrijednosti te komponente iznosi 4 ili 12 za multiplikativni model, a 0

za aditivni. Dijeljenjem originalnih vrijednosti serije s preliminarnim procjenama vrijednosti sezonske komponente dobivaju se preliminarne desezonirane vrijednosti pojave. Slijede postupci revidiranja preliminarnih procjena radi poboljanja njihovih svojstava.

Poboljanje procjene trenda postie se Hendersonovim pominim prosjecima po 9, 13 ili 23 lana preliminarnih desezoniranih vrijednosti serije. Broj lanova prosjeka zavisi o stupnju

varijabilnosti serije. Dijeljenjem vrijednosti originalne serije s navedenim pominim prosjecima dobiva se druga procjena sezonske i iregularne komponente. Slijedi procjena vrijednosti koje nedostaju na poetku i na kraju serije odgovarajuim (asimetrinim) pominim prosjecima. Konana

procjena sezonske komponente dobiva se primjenom odgovarajuih pominih prosjeka i njihovom korekcijom tako da im je zbroj jednak 4, odnosno 12 ili 0 u aditivnom modelu. Dobivenim vrijednostima utvruju se desezonirane vrijednosti. Konana procjena trend

komponente slijedi iz primjene Hendersonovih pominih prosjeka od 9, 13 ili 23 lana na

desezoniranim serijom, koja je prethodno modificirana za ekstremne vrijednosti. Konana

procjena iregularne komponente dobije se tako da se vrijednosti trend komponente podijele s vrijednostima desezonirane serije. Metoda X-12-ARIMA je iterativna metoda, a ukljuuje primjenu mnogobrojnih statistiko-analitikih pokazatelja i postupaka (prosjeci, standardne devijacije, modifikacije zbog pojave

atipinih-ekstremnih vrijednosti, testiranje hipoteza o znaajnosti sezonske komponente, procjene efekata varijacija kalendara pomou regresijske analize i dr.). metoda je programski podrana. Cjelokupni izlaz obrade sastoji se od tabelarno prikazanih rezultata i grafikih

prikaza. Za razliku od X-12-ARIMA metode desezoniranja, koja se ubraja meu filtarske metode, metode analize sezonskih pojava TRAMO/SEATS, STAMP temelje se na modelima vremenskih serija u vremenskoj domeni.

ZADACI ZA VJEBU

1. a) Dane su vremenske serije ( je varijabla vrijeme, a vrijednosti su nizova u stupcima)

xt Niz 1. Niz 2. Niz 3. Niz 4. Niz 5.

1 25 29 31 105,0000 99,75000

2 30 31 47 110,2500 89,79931

3 35 31 85 115,7625 72,95925

4 40 29 157 121,5506 53,49767

5 45 25 275 127,6282 35,40272

6 50 19 451 134,0096 21,14392

7 55 11 697 140,7100 11,39677

8 60 1 1025 147,7455 5,54402

Napiite analitiki oblik funkcija kojima se generiraju podaci. Za serije u tablici odredite sljedee

vrijednosti (1) (2) (3) (4) (5)

to zakljuujete? 2. Stanovnitvo SAD-a (u milijunima, stanje sredinom godine)

Godina 1989. 1990. 1991. 1992. 1993. 1994. 1995. 1996. 1997.

Stanovnitvo

247 250 253 255 258 261 263 266 268

(a) Prikaite navedeni niz linijskim grafikonom. to zakljuujete na temelju grafa o trendu broja stanovnika?

(b) Analizirajte model linearnog trenda tako da odredite trend vrijednosti i rezidualna odstupanja. Kolika je standardna devijacija, koeficijent varijacije trenda i standardne pogreke procjena? Liniju trenda ucrtajte u grafikon. Protumaite znaenje procjena

parametara i drugih izraunatih veliina. (c) Testirajte hipotezu o pozitivnoj autokorelaciji pogreaka relacije. Primijenite Durbin-

Wattsononv test. Razina signifikantnosti 5%. DW=2,281

3. Godinji prihod tvrtke XX u milijunima kuna

Godina 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001. 2002.

Prihod 22 19 20 23 25 26 30 39

a) Navedeni niz prikaite linijskim grafikonom. to se na temelju grafikog prikaza moe zakljuiti o obliku trenda?

b) Odredite jednadbu trenda i druge uobiajene veliine. Testirajte hipotezu o znaajnosti kvadratnog lana u modelu. Razina signifikantnosti 5%.

c) Dobiveni trend polinom prikaite na linijskom grafikonu. (c)

4. Prodaja svjeeg mlijeka (u 000 litara) u lancu trgovina XC.

Godina

1993. 1994. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001 2002.

Prodaja

199 250 313 403 525 678 900 1153 1428 1825

a) Navedeni niz prikaite linijskim grafikonom. b) Izaberite prikladni model trenda i analizirajte ga.

5. Proizvodnja maslinovog ulja u RH (u 000 hl)

Godina

1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

Proiz 23,7 5,8 30,6 27,0 13,1 25,1 54,5 22,9 15,7 31,7 52,8 23,5

vodnja

a) Izraunajte (1) trogodinje pomine prosjeke, (2) etverogodinje pomine prosjeke, (3) petogodinje pomine prosjeke.

b) Usporedite originalnu seriju i serije izraunatih pominih prosjeke ja jednom grafikonu. to zakljuujete?

6. Kamatne stope poslovnih banaka na kratkorone devizne kredite 2001. godine

Mjesec VI. VII. VIII. IX. X. XI. XII,

Kamatna stopa (%)

5,27 6,22 5,36 6,07 5,25 5,25 5,78

Izraunajte izglaene vrijednosti serije. Primijenite postupak jednostavnog eksponencijalnog izglaivanja. Konstanta izglaivanje je 0,3.

7. a) Primijenite postupak izglaivanja Holt-Wintersovim dvoparametarskim modelom za

pojave s linearnim trendom polazei od ovih podataka:

Godina, kvartal

2001, I. II. III. IV. 2002, I. II. III. IV.

Prodaja (u 000)

95 111 129 133 147 155 174 171

Konstante su izglaivanja: = 0,3, =0,4. Izraunajte izglaene vrijednosti primijenivi postupak

jednostavnog eksponencijalnog izglaivanja. Konstanta izglaivanja jednaka je 0,3. Za izglaenu vrijednost nultog razdoblja uzmite vrijednosti prvog lana serije. b) Prikaite na istom grafikonu originalnu seriju te serije izglaenih vrijednosti.

8. Vrijednosti prodaje tvrtke XX po godinama i kvartalima (u 000 )

Godina I. kvartal II. kvartal III. kvartal IV. kvartal

1998 2758 1151 250 887

1999 3140 1449 211 452

2000 3665 1290 389 596

2001 3611 1321 371 645

2002 3902 1151 302 693

a) Analizirajte navedenu seriju polazei od multiplikativnog modela. Trend i ciklinu komponentu uzmite kao jednu. Primijenite postupak odnosa prema pominom prosjeku.

Interpretirajte pomine prosjeke, sezonske i iregularne faktore. b) Niz iz tablice, pomine prosjeke i desezoniranu seriju prikaite na istom grafikonu.

32

RJEENJA ZADATAKA

1. a) Sve su navedene vremenske serije deterministike.

(1) PRVA VREMENSKA SERIJA Model Summary and Parameter Estimates Dependent Variable: y

Equation

Model Summary Parameter Estimates

R Square F df1 df2 Sig. Constant b1

Linear 1,000 . 1 6 . 20,000 5,000

Logarithmic ,919 67,974 1 6 ,000 20,375 16,691

Exponential ,985 383,433 1 6 ,000 23,483 ,123

Model koji generira niz je:

Slika 1.: Prikaz prve vremenske serije i modela koji seriju generira

(2) DRUGA VREMENSKA SERIJA Model Summary and Parameter Estimates Dependent Variable: yy

Equation Model Summary Parameter Estimates

R Square F df1 df2 Sig. Constant b1 b2

Linear ,800 24,000 1 6 ,003 40,000 -4,000

Quadratic 1,000

5742936909539640,00

2 5 ,000 25,000 5,000 -1,000

y = 5x + 20

0

10

20

30

40

50

60

70

1 2 3 4 5 6 7 8

33

0

Growth ,570 7,939 1 6 ,030 4,397 -,362

Model koji generira niz je:

Slika 2.: Prikaz druge vremenske serije i modela koji seriju generira

(3) TREA VREMENSKA SERIJA

Model Summary and Parameter Estimates Dependent Variable: y3

Equation

Model Summary Parameter Estimates

R Square F df1 df2 Sig.

Constant b1 b2 b3

Linear ,870 40,200 1 6 ,001 -266,000 136,000

Logarithmic

,646 10,928 1 6 ,016 -194,749 407,935

Quadratic

,997 936,869 2 5 ,000 124,000 -98,000 26,000

Cubic 1,000

10671458238996350,000

3 4 ,000 25,000 5,000 -1,000 2,000

Compound

,995 1302,93

4 1 6 ,000 18,474 1,679

Growth ,995 1302,93 1 6 ,000 2,916 ,518

y = -x2 + 5x + 25

0

5

10

15

20

25

30

35

1 2 3 4 5 6 7 8

34

4

Exponential

,995 1302,93

4 1 6 ,000 18,474 ,518

Model koji generira niz je:

Slika 3.: Prikaz tree vremenske serije i modela koji seriju generira

(4) ETVRTA VREMENSKA SERIJA Model Summary and Parameter Estimates Dependent Variable: y4

Equation

Model Summary Parameter Estimates

R Square F df1 df2 Sig.

Constant b1 b2 b3

Linear ,998

2523,967

1 6 ,000 97,885 6,099

Logarithmic

,892 49,656 1 6 ,000 98,706 20,086

Quadratic

1,000 1130471

,790 2 5 ,000 100,115 4,762 ,149

Cubic 1,000

1299886433,089

3 4 ,000 99,995 4,886 ,116 ,002

Compou 1,000 1590160 1 6 ,000 100,000 1,050

y = 2x3 - x2 + 5x + 25

0

200

400

600

800

1000

1200

1 2 3 4 5 6 7 8

35

nd 522810,629

Growth 1,000

1590160522810,

629 1 6 ,000 4,605 ,049

Exponential 1,000

1590160522810,

629 1 6 ,000 100,000 ,049

Model koji generira niz je:

(5) PETA VREMENSKA SERIJA

Rije je eksponencijalnom polinomu drugog stupanja. Vrijednosti varijable x su prirodni brojevi.

Model koji generira niz je:

Diferencije polinoma prvog stupnja, polinoma drugog i treeg stupnja navedene su u pomonoj tablici.

Pomona tablica

xt Niz 1. Niz 2. Niz 3.

( ) ( )

( )

1 25 * 29 * * 31 * * *

2 30 5 31 2 * 47 16 * *

3 35 5 31 0 -2 85 38 22 *

4 40 5 29 -2 -2 157 72 34 12

5 45 5 25 -4 -2 275 118 46 12

6 50 5 19 -6 -2 451 176 58 12

36

7 55 5 11 -8 -2 697 246 70 12

8 60 5 1 -10 -2 1025 328 82 12

Iz tablice je vidljivo da su prve diferencije polinoma prvog stupnja konstantne. Prve diferencije polinoma drugog stupanja zavise o varijabli vrijeme (varijabilne su), a druge su diferencije konstante. Tree su diferencije polinoma treeg stupanja konstante. Moe se pokazati da su K-te diferencije polinoma K-tog stupnja konstantne, a (K+1) su jednake nuli. etvrti niz ine vrijednosti eksponencijalne funkcije, odnosno eksponencijalnog polinoma prvog stupnja, a peti vrijednosti eksponencijalnog polinoma drugog stupnja. Vrijednosti polinoma , njihove logaritamske vrijednosti te verini indeksi vrijednosti i verini indeksi verinih indeksa, diferencije logaritamskih vrijednosti dani su u sljedeoj pomonoj tablici.

Pomona tablica x

t Niz 4. Niz 5.

( ) 1 105,000

0 * 2,02118

9 * 99,7500

0 * * 1,9989

1 * *

2 110,2500

105

2,042379

0,02119

89,79931

90,02 *

1,95327 -0,04564 *

3 115,7625

105

2,063568

0,02119

72,95925

81,25 90,25

1,86308 -0,09019 -0,04455

4 121,5506

105

2,084757

0,02119

53,49767

73,33 90,25

1,72833 -0,13475 -0,04455

5 127,6282

105

2,105947

0,02119

35,40272

66,18 90,25

1,54904 -0,17930 -0,04455

6 134,0096

105

2,127136

0,02119

21,14392

59,72 90,25

1,32519 -0,22385 -0,04455

7 140,7100

105

2,148325

0,02119

11,39677

53,90 90,25

1,05678 -0,26840 -0,04455

8 147,7455

105

2,169514

0,02119

5,54402 48,65 90,25

0,74382 -0,31296 -0,04455

Verini indeksi 4. niza, koji predouje vrijednosti eksponencijalnog polinoma prvog stupanja, konstantni.

Konstantne su i prve diferencije logaritamskih vrijednosti toga niza. Peti niz se odnosi na eksponencijalni polinom drugog stupanja. Iz tablice je vidljivo da su verini indeksi verinih indeksa toga niza konstantni.

Takoer su konstantne druge diferencije logaritamskih vrijednosti toga niza. Na temelju navedenih rezultata moe se zakljuiti da diferencije serije, diferencije njihovih logaritama ili drugih prikladno transformiranih vrijednosti lanova serije mogu posluiti kao pomono sredstvo pri

izboru trenda. Pri tome valja imati na umu da empirijske vremenske serije nisu deterministike, jer na

razvoj pojave u vremenu utjeu sluajne varijacije, odnosno model razvoja razine pojave osim deterministike funkcije vremena sadri i sluajnu varijablu.

2. a)

Slika 4.: Prikaz vremenske serije stanovnitva SAD-a, stanje sredinom godine

245

250

255

260

265

270

1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

stan

ovn

itv

o, u

mili

juim

a

Stanovnitvo

37

Grafiki prikaz pokazuje da postoji priblina linearna kovarijacija broja stanovnika s vremenom. To

potvruju i prve diferencije serije (pomona tablica), koje su istoga predznaka i ne variraju na izrazito

razliitim vrijednostima, pa se moe iskoristiti model linearnog trenda.

Godina Stanovnitvo (u milijunima) Varijabla vrijeme Prve diferencije

1989 247 1 *

1990 250 2 3

1991 253 3 3

1992 255 4 2

1993 258 5 3

1994 261 6 3

1995 263 7 2

1996 266 8 3

1997 268 9 2

2321 45

b) Model linearnog trenda identian je modelu jednostavne linearne regresije u kojem je vrijeme

nezavisna varijabla. Oblika je . Model linearnog trenda s procijenjenim

parametrima glasi . Procjene parametara, standardne pogreke procjena i drugi rezultati dani su u sljedeoj tablici.

SUMMARY OUTPUT

Regression Statistics

Multiple R 0,999013

R Square 0,998028

Adjusted R Square 0,997746

Standard Error 0,342725

Observations 9

ANOVA

df SS MS F Significance F

Regression 1 416,0667 416,0667 3542,189 9,92E-11

Residual 7 0,822222 0,11746

Total 8 416,8889

Coefficients Standard

Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%

Lower 95,0%

Upper 95,0%

Intercept 244,7222 0,248984 982,884 2,98E-19 244,1335 245,311 244,1335 245,311

X Variable 1 2,633333 0,044246 59,51629 9,92E-11 2,528709 2,737958 2,528709 2,737958

RESIDUAL OUTPUT

Observation Predicted Y Residuals

1 247,3556 -0,35556

2 249,9889 0,011111

3 252,6222 0,377778

4 255,2556 -0,25556

5 257,8889 0,111111

6 260,5222 0,477778

7 263,1556 -0,15556

8 265,7889 0,211111

9 268,4222 -0,42222

Durbin-Watson 2,281

Model linearnog trenda s procijenjenim parametrima i oznakama glasi:

38

( )

Uz jednadbu trenda s procijenjenim parametrima navode se uobiajene oznake (vrijeme za poetnu

vrijednost varijable x, jedinica mjere vremena, jedinica mjere vrijednosti lanova niza). Jednadbom trenda s procijenjenim parametrima metodom najmanjih kvadrata opisuje se razvoj pojave u vremenu

u smislu prosjeka. Koeficijent (isto to i regresijski koeficijent u modelu linearne regresije) pokazuje prosjenu linearnu promjenu razine pojave za jedinini porast vrijednosti varijable vrijeme. U primjeru

koeficijent pokazuje da se broj stanovnika poveao u prosjeku linearno 2,6 milijuna godinje. Konstantni lan iznosi 244,7 i predstavlja vrijednost trenda broja stanovnika za godinu koja prethodi prvoj godini u nizu, to jest za godinu 1988.

Slika 5.: Prikaz linearnog trenda i vremenske serije stanovnitva SAD-a, stanje sredinom godine

Pomou jednadbe linearnog trenda s procijenjenim parametrima i vrijednosti varijable vrijeme

izraunavaju se vrijednosti trenda. Vrijednosti trenda procjene su razine pojave prema trendu i isto su

to i regresijske vrijednosti. Rezidualna odstupanja su razlike vrijednosti vremenskog niza i vrijednosti trenda te upuuju na disperziju oko trenda kao srednje vrijednosti. Vrijednosti trenda i rezidualna odstupanja dani su u pomonoj tablici. Rezidualna odstupanja podloga su za izraunavanje varijance, odnosno standardne devijacije trenda, kojom