Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Anita Antunovic

Teorija grupa i kristalografija

Diplomski rad

Osijek, 2011.

Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Anita Antunovic

Teorija grupa i kristalografija

Diplomski rad

doc. dr. sc. Kresimir Burazin

Osijek, 2011.

Sadrzaj

Uvod ii

1 Teorija grupa 11.1 Grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Direktan produkt grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Homomorfizmi grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Podgrupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.1 Susjedne klase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4.2 Normalne podgrupe i kvocijentne grupe . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Teoremi o izomorfizmima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Grupe permutacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Izometrije prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8 Ciklicke i diedralne grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.9 Algebra matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.10 Vektorski prostori i linearni operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.11 Primjeri grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Kristalografija 282.1 Kristalna resetka i jedinicna celija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Kristalografska restrikcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3 Dvodimenzionalna Bravaisova resetka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4 Kristalni sustavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.5 Trodimenzionalna Bravaisova resetka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.6 Schoenfliesova i Hermann-Mauguinova notacija . . . . . . . . . . . . . . 442.7 Tockine grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.8 Prostorne grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Literatura 52

Sazetak 53

Summary 54

Zivotopis 55

i

Uvod

Neobicna svojstva minerala i njihova ljepota te trajnost privlacili su ljude davnoprije pocetka pisane povijesti covjecanstva. Od njih se vrlo rano izradivao nakit, orudei oruzje. Spoznaja o pravoj prirodi minerala sporo se probijala kroz zablude i pra-znovjerja. Kod Plinija Starijeg (23. - 79. pr. Kr.), antickog pisca i uglednog rimskogznanstvenika, koji je napisao poznato djelo Naturalis historia (enciklopediju koja sadrzivecinu znanja onog vremena, napisanu pod Neronovom vladavinom), iz kojeg je Europastoljecima crpila spoznaje o prirodi, nalazimo prvi opis kristala: ”Zasto se javlja usesterostranom obliku, tome nije lako naci razlog, tim vise sto njegovi siljci nemajuuvijek isti oblik, a plohe su njegove tako glatke da se to ne moze postici nikakvimumijecem.” Takvo misljenje zadrzalo se vise od dvije tisuce godina. Francuski mi-neralog, Jean Baptiste Louis Rome de l’ Isle (1736.-1790.), kojeg smatramo jednimod osnivacem Kristalografije, bio je prvi koji je pojam kristal upotrijebio u skladu sdanasnjim smislom: ”Kristal je prirodno geometrijsko tijelo omedeno ravnim plohama,poliedarskog je oblika koji je za njega bitan i iskonski.” Iako danas znamo kako nastaju,za mnoge ljude oni su jos uvijek tajanstveni predmet. Zanimljivo je spomenuti danajtvrdi kristal, dijamant, danas doseze cijenu kakvu si samo rijetki mogu priustiti.

Slika 1: Dijamant

Na aukciji u Zenevi 2009. godine plavi dijamant 7.03-karatni prodan je po cijeni od 9,5milijuna dolara. Ruzicasti dijamant, 24-karatni, velicine osrednjeg klikera, 2010. godineprodan je za 46 milijuna dolara. U zelji da saznam kako je gradeno nesto toliko lijepoi vrijedno, poput kristala, na naslovnoj stranici mojeg Diplomskog rada stoji upravonavedena tema. Sav alat koji imam pri ovom istrazivanju je ”Matematika”, tocnijeTeorija grupa.

ii

U prvom poglavlju ovog Rada dane su osnove Teorije grupa. U drugom poglavljuopisana je grada kristala. Klasificirali smo kristale po raznim matematickim kriterijimatemeljenim na Teoriji grupa simetrija. Osnovna klasifikacija na 7 kristalnih sustava te-melji se na tzv. holoedriji kristalne resetke, koja opisuje grupu simetrija resetke i timetranslacijsku simetriju kristalne strukture. Obzirom na svaku holoedriju invarijantanje jedan ili vise tipova resetki, te finiji opis translacijske simetrije kristalne strukturedaju Bravaisove resetke. Cilj ovog rada je opisati potrebnu Teoriju grupa i geometrijskuinterpretaciju kristalnih sustava i Bravaisovih resetki.

Ovom prilikom zelim zahvaliti svome mentoru doc. dr. sc. Kresimiru Burazinu nakorisnim savjetima tijekom izrade ovog Rada. Takoder, zahvaljujem kolegama Odjelaza matematiku prof. matematike Zlatku Milicu, Tomislavu Zivkovicu i Danijelu Ko-laricu za pomoc oko unosa dijelova teksta u LaTeX i izradu vecine slika u programskimpaketima Inkspace i Photoshop. Zahvaljujem svim profesorima koji su mi kroz ovaj stu-dij predavali, ostalim zaposlenicima Odjela za matematiku koji su na neizravan nacinsudjelovali u jednom lijepom dijelu mojeg zivota te mojim roditeljima na nesebicnojpodrsci kroz citav moj studij. Ispricavam se i zahvaljujem na strpljenju svim onim dra-gim ljudima oko mene koji su mjesecima iscekivali da ovaj Rad dobije svoju konacnuverziju.

U Osijeku, srpanj 2011.

Anita Antunovic

iii

Poglavlje 1

Teorija grupa

Jedan od temeljnih pojmova suvremene matematike su grupe. Koncept grupematematicko je poopcenje razmatranja simetrije skupova, upravo iz tog razloga stose grupe cesto pojavljuju kao simetrije odredenih matematickih objekata. Opcenito,teorija grupa je centralna teorija apstraktne algebre koja se bavi proucavanjem raznihalgebarskih struktura poput skupova, prstena, polja, vektorskih prostora.

Teorija grupa ima veliku primjenu u mnogim podrucjima ne samo matematike, veci fizike te kemije. Koristi se pri npr. klasifikaciji elementarnih cestica, opisu kristalnihstruktura, nalazenju simetrija u kristalnim resetkama kemijskih spojeva . . . Tema ovograda je proucavanje primjene teorije grupa u kristalografiji.

1.1 Grupe

Definirajmo sada neke osnovne pojmove teorije grupa.

Definicija 1.1 Grupa G = (G, ·) je neprazan skup objekata na kojem je definiranabinarna operacija ·, tako da vrijede sljedeca svojstva (aksiomi grupe):

1. (∀a, b ∈ G) a · b ∈ G,

2. (∀a, b, c ∈ G) a · (b · c) = (a · b) · c,

3. (∃e ∈ G)(∀a ∈ G) a · e = e · a = a,

4. (∀a ∈ G)(∃a−1 ∈ G) a · a−1 = a−1 · a = e.

Binarna operacija cesto se oznacava s a · b ≡ ab. Prvo svojstvo naziva se zatvo-renost. Zatvorenost znaci da binarna operacija dvama elementima od G pridruzujeelement iz istog skupa G. Element e naziva se neutralni element grupe ili jedinica ugrupi G. Za zadani a ∈ G, element a−1 ∈ G koji zadovoljava cetvrto po redu svojstvogrupe, naziva se inverzni element od a ili krace inverz od a. Drugo svojstvo grupenaziva se asocijativnost. Pretpostavimo da je ax = ay. Mnozenjem slijeva s a−1, zbogasocijativnosti mnozenja imamo

(a−1a)x = (a−1a)y

1

sto daje ex = ey, odnosno x = y jer je e neutralni element. Slicno se pokazuje daxb = yb povlaci x = y i opcenito da axb = ayb povlaci x = y.

Za grupu G kazemo da je komutativna ili Abelova grupa ako uz navedena cetirisvojstva vrijedi jos i peto svojstvo komutativnost:

(∀a, b ∈ G) a · b = b · a.

Vazni primjeri komutativnih grupa su skupovi Z,Q,R,C sa zbrajanjem kao binar-nom operacijom. Grupe koje nisu komutativne, nazivaju se nekomutativne grupe.Sljedeca moguca podjela grupa je na konacne i beskonacne grupe.

Definicija 1.2 Ako je G grupa, definirajmo njezin red kao

|G| := card(G),

tj. red grupe je kardinalni broj skupa G.

Kazemo da je grupa G konacna, ukoliko je |G| < ∞. U suprotnom kazemo da jebeskonacna. Tako da bi daljnja specijalizacija bila proucavanje npr. konacnih nekomu-tativnih ili npr. beskonacnih komutativnih grupa itd.

1.2 Direktan produkt grupa

Neka su G1, G2, . . . , Gn grupe s odgovarajucim neutralnim elementima e1, e2, . . . en.Na kartezijevom produktu G1 × G2 × · · · × Gn mozemo definirati strukturu grupe,ako mnozenje definiramo pomocu

(g1, g2, . . . , gn)(h1, h2, . . . , hn) = (g1h1, g2h2, . . . , gnhn).

Neutralni element G1 ×G2 × · · · ×Gn dan je s

e = (e1, e2, . . . , en),

a inverzni element definiran je s

(g1, g2, . . . , gn)−1 = (g−11 , g−12 , . . . , g−1n ).

Skup G1×G2× · · · ×Gn s gore definiranim operacijama naziva se direktan produktgrupa i oznacava s

Πni=1Gi.

2

1.3 Homomorfizmi grupa

Nakon sto smo definirali pojam grupe, promatrat cemo preslikavanja s jedne u drugugrupu.

Definicija 1.3 Neka su G i H dvije grupe. Preslikavanje f : G → H naziva se ho-momorfizam grupa, ako vrijedi

(∀x, y ∈ G) f(xy) = f(x)f(y).

Homomorfizmi su vazni jer ”cuvaju” mnozenje u grupi, umnozak xy preslikava seu umnozak slika f(x) i f(y). S Hom(G,H) oznacavamo skup svih homomorfizamaiz G u H. Ako je homomorfizam jos i injekcija naziva se monomorfizam, a ako jesurjekcija naziva se epimorfizam. Homomorfizam koji je ujedno bijekcija, nazivamoizomorfizam.Za dvije grupe G i H kazemo da su izomorfne, ako postoji neki izomorfizam f medunjima i tada pisemo

G ' H.

S apstraktnog gledista izomorfne grupe G i H se ne razlikuju. Imaju jednaku ”tablicumnozenja” tzv. Cayleyevu1 tablicu. Ako je G = H, tj. ako imamo homomorfizamf : G→ G, tada f zovemo endomorfizam od G. Endomorfizam koji je jos i bijekcijanazivamo automorfizam od G, a skup svih automorfizama od G oznacavamo s AutG.Navedimo neka osnovna svojstva homomorfizma.

Teorem 1.1 Neka su G i H dvije grupe s neutralnim elementima e ∈ G i e′ ∈ H i

neka je f : G→ H homomorfizam. Tada vrijedi

1. f(e) = e′,

2. (∀x ∈ G) f(x−1) = (f(x))−1.

Dokaz: 1. Znamo da je ee = e, pa slijedi f(e)f(e) = f(e). Kako je e′

neutralni elementpa je f(e) = f(e)e

′, sto dalje implicira f(e)f(e) = f(e)e

′. Pomnozimo li lijevu stranu

s (f(e))−1 dobivamo f(e) = e′.

2. Neka je x ∈ G. Iz xx−1 = e slijedi f(x)f(x−1) = f(e) = e′. Slicno, iz x−1x = e

dobivamo f(x−1)f(x) = e′. Primjenimo li definiciju inverznog elementa zakljucujemo

da je f(x−1) = (f(x))−1. 2

Teorem nam pokazuje da homomorfizam preslikava neutralni element iz G u ne-utralni element iz H, f(x−1) identicno je preslikavanju inverza f(x). Moze se dogoditida se homomorfizmom preslikava vise razlicitih elemenata iz G u neutralni element izH. Zbog toga imamo iducu definiciju.

Definicija 1.4 Jezgra homomorfizma f : G→ H je skup

Ker(f) = {x ∈ G|f(x) = e′},

1Arthur Cayley (1821.-1895.) - engleski matematicar, najvazniji doprinos u razvoju algebre je radna algebri matrica

3

a slika homomorfizma je skup

Im(f) = {f(x)|x ∈ G}.

Kako je f(e) = e′, jezgra homomorfizma je ocito neprazan skup.

Teorem 1.2 Homomorfizam f : G→ H je injektivan ako i samo ako je

Ker(f) = {e}.

Dokaz: Potrebno je dokazati obje strane ekvivalencije. Neka je f injektivan i x ∈Ker(f). Tada je f(x) = e

′= f(e). Zbog injektivnosti zakljucujemo da x = e.

Pretpostavimo sada da jeKer(f) = {e}. Ako je f(x) = f(y), onda je f(x)(f(y))−1 =e, odnosno f(x)f(y−1) = e. Ovo povlaci f(xy−1) = e

′, odnosno xy−1 ∈ Ker(f). Iz pret-

postavke slijedi xy−1 = e, tj. x = y. Zakljucujemo da je f injektivan homomorfizam,cime je tvrdnja dokazana. 2

Navedimo jos neka svojstva homomorfizama.

Teorem 1.3 Ako su f : G→ H i g : H → K homomorfizmi grupa, tada je kompozicijag ◦ f : G→ K homomorfizam grupa. Stovise, ako su f i g oba monomorfizmi, onda jei g ◦ f monomorfizam.

Dokaz: Neka su x, y ∈ G. Koristeci definiciju kompozicije dviju funkcija i cinjenicu dasu f i g homomorfizmi grupa, imamo

(g ◦ f)(xy) = g(f(xy)) = g(f(x)f(y)) = g(f(x))g(f(y)) = (g ◦ f)(x)(g ◦ f)(y)

Za dokaz druge tvrdnje teorema dovoljno je sjetiti se da je kompozicija dvije injek-cije ponovo injekcija. 2

1.4 Podgrupe

Definicija 1.5 Neka je G grupa. Podskup H ⊆ G naziva se podgrupa od G ako je Hgrupa u odnosu na binarnu operaciju definiranu na G.

Cinjenicu da je H podgrupa od G oznacavamo s

H ≤ G.

Iz gornje definicije slijedi da je podgrupa H zatvorena u odnosu na binarnu opera-ciju zadanu na G, da postoji neutralni element e ∈ H, kao i inverzni element a−1 ∈ H.Ocito je neutralni element e podgrupe H jednak kao i neutralni element grupe G.

Svaka grupa G ima barem dvije podgrupe, to su G i {e}. Te dvije grupe zovemotrivijalne podgrupe. One podgrupe H ≤ G koje nisu trivijalne nazivamo netrivi-jalne ili prave podgrupe.

Jednostavan kriterij za provjeru je li H podgrupa od G dan je sljedecim teoremom:

4

Teorem 1.4 Neka je G grupa. Podskup H ⊆ G je podgrupa od G ako i samo ako je

(∀a, b ∈ H) ab−1 ∈ H.

Dokaz: Neka je a, b ∈ H. Pretpostavimo da je H podgrupa od G. Kako vrijedi zatvo-renost na binarnu operaciju i na operaciju invertiranja definiranu na G, slijedi

b−1 ∈ H i ab−1 ∈ H.

Pretpostavimo sada da vrijedi ab−1 ∈ H, ∀a, b ∈ H. Tada za a = b, dobivamo

e = aa−1 ∈ H.

Stoga je b−1 = eb−1 ∈ H, pa je H zatvoren na operaciju invertiranja. Nadalje,

ab = a(b−1)−1 ∈ H,

pa je H zatvoren na binarnu operaciju definiranu na G, asocijativnost se nasljeduje.Time je dokazano da je H podgrupa od G. 2

Navedimo jos neke primjere podgrupa.

Teorem 1.5 Neka je f : G → H homomorfizam. Tada je jezgra homomorfizmaKer(f) podgrupa od G, a slika homomorfizma Im(f) je podgrupa od H.

Dokaz: Neka je e neutralni element grupe G i neka je e′

neutralni element grupe H.Kako je e ∈ Ker(f) i e

′ ∈ Im(f), slijedi da su skupovi Ker(f) i Im(f) neprazni. Nekaje a, b ∈ Ker(f). Tada je

f(ab−1) = f(a) · f(b−1) = f(a) · f(b)−1 = e′ · (e′)−1 = e

′,

dakle

ab−1 ∈ Ker(f).

Time je dokazano da je Ker(f) ≤ G.

Neka je sada c, d ∈ Im(f). Tada postoje a, b ∈ G takvi da je f(a) = c i f(b) = d.Stoga je

cd−1 = f(a) · f(b)−1 = f(a) · f(b−1) = f(ab−1),

sto pokazuje da je

cd−1 ∈ Im(f).

Time je dokazano da je Im(f) ≤ H. 2

Teorem 1.6 Neka su H1 i H2 podgrupe od G. Tada je H1 ∩ H2 takoder podgrupa odG.

Dokaz: Presjek H1 ∩H2 je neprazan jer je e ∈ H1 ∩H2. Neka je a, b ∈ H1 ∩H2. Tadaje ab−1 ∈ H1 i ab−1 ∈ H2 prema Teoremu 1.4. Dakle, ab−1 ∈ H1 ∩H2 sto pokazuje daje H1 ∩H2 podgrupa od G. 2

5

1.4.1 Susjedne klase

Definirajmo sto je to lijeva, a sto desna susjedna klasa2, te navedimo u kakvoj vezi sususjedne klase i elementi grupe G.

Definicija 1.6 Neka je H podgrupa grupe G i neka je a ∈ G. Lijeva susjedna klasapodgrupe H obzirom na element a je skup

aH = {ah | h ∈ H}. (1.1)

Slicno definiramo i desnu susjednu klasu

Ha = {ha | h ∈ H}.

Neka je G grupa i H ≤ G neka podgrupa. Uvedimo relaciju ∼ na G sa a ∼ b, ako isamo ako je a−1b ∈ H, za svaki a, b, c ∈ G. Pokazimo da je ∼ relacija ekvivalencije na G:

1.) a ∼ a, jer je a−1a = e ∈ H,

2.) a ∼ b⇒ b−1a = (a−1b)−1 ∈ H ⇒ b ∼ a,

3.) a ∼ b i b ∼ c⇒ a−1c = (a−1b)(b−1c) ∈ H ⇒ a ∼ c.

Dvije susjedne klase su jednake, aH = bH, ako i samo ako a = bh za neki h ∈ H.Susjedne klase po nekoj podgrupi H su medusobno disjunkte i sve imaju isti brojelemenata (jednak redu od H) i tako definiraju jednu particiju grupe G:

G = ∪aaH.

Definicija 1.7 Skup svih razlicitih lijevih susjednih klasa

G/H = {aH | a ∈ G}. (1.2)

zove se lijevi kvocijentni skup grupe G po podgrupi H.

Analogno se definira desni kvocijentni skup.

Definicija 1.8 Neka je H podgrupa grupe G. Kardinalni broj skupa G/H naziva seindeks podgrupe H u G i oznacava

[G : H].

Ako je H trivijalna podgrupa {e} < G, tada je aH = {a},∀a ∈ G. Zakljucujemo da jebroj susjednih klasa podgrupe H jednak broju elemenata grupe G, tj.

[G : H] = |G|.

Najvazniji teorem o podgrupama konacnih grupa glasi:

2U literaturi se cesto ”susjedne klase” nazivaju ”susjedni razredi”, engl. coset.

6

Teorem 1.7 [Lagrange3] Ako je G konacna grupa i H neka njezina podgrupa, ondared podgrupe H dijeli red grupe G. Preciznije, imamo

|G| = [G : H]|H|. (1.3)

Dokaz: Neka je a ∈ G. Preslikavanje f : H → aH, f(h) = ah, je bijekcija pa vrijedi

|aH| = |H|,

tj. broj elemenata susjedne klase aH jednak je redu podgrupe H. Kako je G disjunktnaunija susjednih klasa ah koji imaju isti broj elemenata |H|, slijedi da je

|G| = Σ|aH| = k|H|, k ∈ N,

gdje k predstavlja broj razlicitih susjednih klasa koje tvore grupu G.Dakle, k = [G : H] pa dobivamo

|G| = [G : H]|H|,

cime je teorem dokazan. 2

1.4.2 Normalne podgrupe i kvocijentne grupe

Istaknuta vrsta podgrupa su normalne podgrupe.

Definicija 1.9 Neka je G grupa. Kazemo da je N < G normalna podgrupa od Gako vrijedi

(∀a ∈ G) aNa−1 ⊆ N. (1.4)

Cinjenicu da je podgrupa N normalna u G oznacavamo s

N �G. (1.5)

Ako je G komutativna, ocito je svaka njena podgrupa normalna.

Sljedeci teorem pokazuje da su normalne podgrupe one podgrupe kod kojih nemarazlike izmedu lijevih i desnih susjednih klasa.

Teorem 1.8 Neka je N podgrupa od G. Tada je N normalna podgrupa ako i samo akoje

(∀a ∈ G) aN = Na. (1.6)

3Joseph - Louis Lagrange (1736. - 1813.) - francuski matematicar, bavio se problemima infinitezi-malnog racuna, po njemu je Langrangeov teorem srednje vrijednosti dobio ime.

7

Dokaz: Pretpostavimo da je N � G. Neka je b ∈ aN, a ∈ G. Tada za neki c ∈ Nvrijedi

b = ac,

odnosno,

b = ac = (aca−1)a ∈ Na,

jer je aca−1 ∈ N . Dakle, aN ⊆ Na.Slicno, ako je b ∈ Na, tada je

b = ca, za neki c ∈ N,

sto povlaci

b = a(a−1ca) ∈ aN,

jer je a−1ca ∈ N . Kako je Na ⊆ aN , zakljucujemo

aN = Na.

Pretpostavimo sada da je aN = Na, ∀a ∈ G.Odaberimo c ∈ N i a ∈ G. Tada imamo

ac = c′a, za neki c

′ ∈ N,

pa slijediaca−1 = c

′.

Dakle, aNa−1 ⊆ N . Stoga je N normalna podgrupa od G. 2

Vazan pojam ce nam biti i pojam kvocijentne grupe, koju cemo dobiti pomocu nor-malnih podgrupa. Zapravo, radit ce se o kvocijentnom skupu od G obzirom na relacijuekvivalencije definiranu s a ∼ a

′, ako a−1a

′ ∈ N , obzirom na koju su aH klase ekviva-lencije. Sljedeci teorem pokazuje da G/N ima strukturu grupe koju zovemo kvocijentnagrupa.

Teorem 1.9 Neka je N normalna podgrupa grupe G. Tada je G/N grupa u odnosu namnozenje definirano s

(aN)(cN) = (ac)N. (1.7)

Preslikavanje f : G→ G/N, f(a) = aN , je epiformizam, a jezgra Ker(f) = N .

Dokaz: Podsjetimo se da susjedna klasa aN moze imati vise predstavnika. Pretposta-vimo da je aN = a

′N i cN = c

′N .

Tada je potrebno dokazati da je

(ac)N = (a′c′)N.

8

Koristeci Teorem 1.8. i prethodnu pretpostavku imamo

(ac)N = aNc′= Na

′c′= (a

′c′)N.

Dakle, mnozenje (1.7) je dobro definirano. Kako se asocijativnost nasljeduje, zakljucujemoda je mnozenje u G/N asocijativno. Element eN = N je neutralni element za mnozenjeu G/N jer je

(∀a ∈ G), (aN)(eN) = (ae)N = aN.

Slicno vrijedi (eN)(aN) = aN . Inverz elementa aN je a−1N jer je

(aN)(a−1N) = (aa−1)N = eN.

Slijedi da je G/N grupa u odnosu na mnozenje (1.7).Preslikavanje f : G→ G/N, f(a) = aN je ocigledno surjekcija. Nadalje, iz definicije

mnozenja slijedif(ac) = (ac)N = (aN)(cN) = f(a)f(c),

stoga je f homomorfizam. Jezgra homomorfizma dana je s

Ker(f) = {a ∈ G | aN = eN}.Medutim, aN = N ako i samo ako je a ∈ N , sto pokazuje da je Ker(f) = N . 2

Definirajmo sada grupu koja ce nam biti od velikog znacaja.

Definicija 1.10 Neka je G grupa i N�G. Grupa G/N naziva se kvocijentna grupa,a homomorfizam G→ G/N, a 7→ aN , naziva se kanonski homomorfizam ili projekcijasa G na G/N .

Teorem 1.10 Neka je N ≤ G i neka je M �G. Tada je NM ≤ G.

Dokaz: Skup NM definiran je s

NM = {ab | a ∈ N, b ∈M}Odaberimo x, y ∈ NM . Tada je x = a1b1 i y = a2b2 za neki a1, a2 ∈ N i b1, b2 ∈ M .Stoga je

xy−1 = a1b1(a2b2)−1 = a1b1b

−12 a−12 = a1ma

−12 (1.8)

gdje je m = b1b2 ∈ M . prema Teoremu 1.8 vrijedi Mg = gM za svaki g ∈ G jer jeM �G. Ovo implicira da je ma−12 = a−12 m

′za neki m

′M , pa iz (1.8) dobivamo

xy−1 = a1a−12 m

′ ∈ NM,

jer je a1a−12 ∈ N . Time je dokazano da je NM ≤ G. 2

Teorem 1.11 Neka je N �G i neka je M �G. Tada je NM �G.

Dokaz: U prethodnom teoremu dokazali smo da je NM ≤ G. Pokazimo da vrijedi iNM �G, tj. da je NM takoder i normalna podgrupa od G. Odaberimo x ∈ G. Tadaje

xNMx−1 = {xabx−1 | a ∈ N, b ∈M}= {(xax−1)(xbx−1) | a ∈ N, b ∈M} = (xNx−1)(xMx−1) ⊆ NM,

jer je xNx−1 ⊆ N i xMx−1 ⊆M . Dakle vrijedi NM �G, sto je i trebalo dokazati. 2

9

1.5 Teoremi o izomorfizmima

Dokazimo nekoliko vaznih rezultata o izomorfizmima.Prvi rezultat kaze da ako je H homomorfna slika grupe G, tada je G izomorfna nekojkvocijentnoj grupi.

Teorem 1.12 (Prvi teorem o izomorfizmu) Neka je f : G→ H proizvoljan homomor-fizam grupa. Tada je

G/Ker(f) ' Im(f).

Posebno, ako je f surjekcija, tada je

G/Ker(f) ' H.

Dokaz: Neka je F = Ker(f) i definirajmo preslikavanje g : G/F → H, g(aF ) = g(a).Pokazimo da je preslikavanje g dobro definirano. Ako je aF = cF , tada je a−1c ∈ F ,odnosno g(a−1c) = e

′, gdje je e

′neutralni element grupe H. Prema Teoremu 1.1 slijedi

f(a) = f(c). Dakle, g ne ovisi o predstavniku susjedne klase aF . Nadalje, imamo

g((aF )(cF )) = g((ac)F ) = f(ac) = f(a)f(c) = g(aF )g(cF ),

sto pokazuje da je g homomorfizam.Ako je g(aF ) = g(cF ), tada je f(a) = f(c) sto implicira f(a−1c) = e

′, odnosno a−1c ∈

F . Ovo povlaci aF = cF , dakle preslikavanje g je injektivno. Kako je Im(g) = Im(f),g je surjekcija na Im(f) pa zakljucujemo da je g : G/F → Im(f) izomorfizam. 2

Teorem 1.13 (Drugi teorem o izomorfizmu) Neka su H i N podgrupe grupe G i nekaje N / G. Tada je

H/(H ∩N) ' HN/N.

Dokaz: Prema Teoremu 1.10, HN je podgrupa od G. Ocigledno je N ⊆ HN normalnapodgrupa od HN . Stoga je kvocijentna grupa HN/N dobro definirana. Promotrimohomomorfizam

ρ : H → HN/N, ρ(h) = hN.

Jezgra homomorfizma dana je s

Ker(ρ) = {h ∈ H | hN = N} = {h ∈ H | h ∈ N} = H ∩N.

Nadalje, ako je c ∈ HN/N tada c = hnN = hN za neki h ∈ H, n ∈ N . Ovo implicirac = ρ(h), dakle ρ je surjekcija pa je Im(ρ) = HN/N . Prema prvom teoremu o izomor-fizmu vrijedi

10

H/Ker(ρ) ' Im(ρ),

pa zakljucujemo da je

H/(H ∩N) ' HN/N.

2

Teorem 1.14 (Treci teorem o izomorfizmu4) Neka su F i H normalne podgrupe grupeG, i neka je F ⊆ H. Tada je

(G/F )/(H/F ) ' G/H.

Dokaz: Definirajmo preslikavanje f : G/F → G/H, f(aF ) = aH. Pokazimo da je fdobro definirano. Ako je aF = cF , tada je a−1c ∈ F sto povlaci a−1c ∈ H. Dakle,aH = cH. Nadalje, za svaki a, c ∈ G vrijedi

f((aF )(cF )) = f(acF ) = acH = (aH)(cH) = f(aF )f(cF ),

sto pokazuje da je f homomorfizam. Preslikavanje f je ocito surjekcija jer je

Im(f) = {aH | a ∈ G} = G/H.

Jezgra homomorfizma dana je s

Ker(f) = {aF | aH = H} = {aF | a ∈ H} = H/F.

Sada prvi teorem o izomorfizmu daje

(G/F )/(H/F ) ' G/H.

2

1.6 Grupe permutacija

Promotrimo elementarna svojstva i pojmove vezane za grupu permutacija. Neka je Xskup koji se sastoji od n elemenata i neka je G skup svih bijektivnih preslikavanjaσ : X → X. Svako takvo preslikavanje zovemo permutacija na skupu X. Definirajmona G binarnu operaciju koja je dana kompozicijom preslikavanja στ = σ ◦ τ . Neutralnielement u G je preslikavanje indetiteta e. Kako je σ bijekcija, postoji inverzno presli-kavanje σ−1 sa svojstvom σσ−1 = σ−1σ = e. Ovo motivira sljedecu definiciju.

4Treci teorem o izomorfizmu poznat je kao i teorem o dvostrukom kvocijentu.

11

Definicija 1.11 Neka je X neprazan skup. Grupa svih permutacija na X se nazivasimetricna grupa na X i oznacava SX . Podgrupa grupe SX se naziva permutacijana X.

Ako je |X| = n, tada se SX oznacava sa Sn i naziva simetricna grupa reda n. Na tak-vom skupu mozemo uvesti uredaj i bez gubitka opcenitosti elemente mozemo oznacitis 1, 2, . . . , n. Permutacija σ moze se zapisati u matricnom obliku

σ =

(1 2 . . . n

σ(1) σ(2) . . . σ(n)

),

a neutralni element dan je s

e =

(1 2 . . . n1 2 . . . n

).

Uzmimo za primjer n = 3. Sve permutacije na skupu X = {1, 2, 3} su dane s

e =

(1 2 31 2 3

), σ1 =

(1 2 32 3 1

), σ2 =

(1 2 33 1 2

), (1.9)

σ3 =

(1 2 31 3 2

), σ4 =

(1 2 33 2 1

), σ5 =

(1 2 32 1 3

). (1.10)

Pravilima za kompoziciju preslikavanja racunamo umnozak permutacija npr.

σ1σ2 =

(1 2 32 3 1

)(1 2 33 1 2

)=

(1 2 31 2 3

)= e.

Inverzni element se takoder lako nalazi iz matricnog zapisa, npr.

σ−11 =

(1 2 33 1 2

)= σ2.

Elementarnom kombinatorikom pokazuje se da ako je |X| = n, tada SX ima n! eleme-nata.

U ovom radu najvise ce nas zanimati permutacije koje elemente skupa X ”rotirajuu krug”. Takve permutacije zovu se ciklicke permutacije.

12

Definicija 1.12 Neka je σ ∈ Sn. Ako postoje x1, x2, . . . xr ∈ {1, 2, . . . , n} takvi da je

σ(xi) = xi+1, i = 1, 2, . . . , r − 1

σ(xr) = x1,

σ(x) = x, x /∈ {x1, x2, . . . xr},

tada permutaciju σ nazivamo ciklicka permutacija duljine r i oznacavamo sa (x1, x2, . . . xr).Ciklicku permutaciju duljine 2 nazivamo transpozicija.

Ciklicka permutacija σ pomice elemente x1, x2, . . . xr u krug, dok na ostale elementex /∈ {x1, x2, . . . xr} ”ne djeluje”. Iz definicije proizlazi da je ciklicka permutacija duljine1 identiteta, σ(x) = x, za svaki x ∈ {1, 2, . . . , n}.

Promotrimo simetricnu grupu S3 ciji su elementi dani izrazima (1.9) i (1.10). Uocavamoda su sve permutacije u S3 zapravo ciklicke permutacije

e = (1), σ1 = (123), σ2 = (132), σ3 = (23), σ4 = (13), σ5 = (12).

Ocito je da se ciklicka permutacija σ1 = (123) moze napisati na tri razlicita nacina:

σ1 = (123) = (231) = (312)

jer je bitan samo nacin na koji se elementi 1, 2 i 3 rotiraju u krug bez obzira koji jeelement na prvom mjestu. Opcenito, ciklicka permutacija duljine r se moze napisatina r razlicitih nacina tako da svaki od elemenata x1, x2, . . . xr bude na prvom mjestu.Ciklicke permutacije i transpozicije su osnovni blokovi od kojih se moze sastaviti pro-izvoljna permutacija. Sljedeci teorem navodimo bez dokaza.

Teorem 1.15 Svaka permutacija se moze napisati kao umnozak transpozicija.

Ova faktorizacija nije jedinstvena jer se permutacija σ moze napisati kao umnozakrazlicitog broja transpozicija, ali moze se pokazati da je jedinstvena njezina parnost.Drugim rijecima, ako se σ moze napisati kao umnozak n ili m transpozicija, tada su ni m ili oboje parni ili oboje neparni. Sljedeci primjer ilustrira ovo svojstvo.Mnozenjem transpozicija na desnoj strani lako se provjeri da vrijedi

σ =

(1 2 3 4 52 3 4 5 1

)= (45)(35)(25)(15) = (53)(21)(35)(45)(23)(35).

Permutacija σ iz gornjeg primjera moze se napisati iskljucivo kao umnozak parnogbroja transpozicija. To je motivacija za sljedecu definiciju.

13

Definicija 1.13 Permutacija σ ∈ Sn naziva se parna (neparna) ako se moze napisatikao umnozak parnog (neparnog) broja transpozicija. Predznak permutacije σ definiranje s

ε(σ) =

{+1, σ je parna permutacija,

−1, σ je neparna permutacija.

Oznacimo s An skup svih parnih permutacija u Sn, n > 1.

Teorem 1.16 Neka je G = {1,−1} multiplikativna grupa cijelih brojeva 1 i −1. Nekaje n ≥ 2. Tada je preslikavanje ε : Sn → G epimorfizam.

Dokaz: Neka su σ1, σ2 ∈ Sn. Ako su σ1 i σ2 obje parne ili neparne permutacije, tadaje σ1σ2 parna permutacija. Ako je σ1 neparna i σ2 parna permutacija, tada je σ1σ2neparna permutacija. Ovo implicira da u svakom slucaju vrijedi ε(σ1σ2) = ε(σ1)ε(σ2).Nadalje, ε(e) = 1 gdje je e jedinicni element u Sn. Kako je n ≥ 2, transpozicija τ = (21)je u Sn i ε(τ) = −1. Dakle, ε je surjekcija. Zakljucujemo da je ε epiformizam. 2

Teorem 1.17 An je normalna podgrupa simetricne grupe Sn. Ako je n > 1, tada jeindeks od An u Sn jednak 2, stoga je |An| = 1

2n!.

Dokaz: Ako je n = 1, tada je A1 = S1 = {e}, stoga je A1 trivijalno normalna podgrupaod S1. Neka je n ≥ 2 i neka je G = {1,−1} multiplikativna grupa cijelih brojeva 1 i −1.Tada je prema Teoremu (1.16) preslikavanje ε : Sn → G epimorfizam. Dakle, premaprvom teoremu o izomorfizmu vrijedi

Sn/Ker(ε) ' G. (1.11)

Jezgru homomorfizma tvore upravo parne permutacije jer je Ker(ε) = {σ ∈ Sn | ε(σ) =1} = An. Stoga je An � Sn. Zbog izomorfizma (1.11) vrijedi |Sn/An| = |G| = 2, stopovlaci [Sn : An] = 2. Prema Lagrangeovu teoremu |Sn| = [Sn : An]|An| iz cega slijedi|An| = 1

2n! jer je |Sn| = n!. 2

Iskazimo i dajmo dokaz vaznog teorema (Cayleyev teorem) koji kaze da se svakakonacna grupa moze do na izomorfizam reprezentirati nekom grupom permutacija.Teorem nam govori o vaznosti i univerzalnosti grupa permutacija, tj. o cinjenici da jecitava teorija konacnih grupa zapravo obuhvacena svojstvima grupa permutacija.

Teorem 1.18 (Cayley) Svaka konacna grupa G reda n je izomorfna nekoj podgrupigrupe permutacija Sn.

Dokaz: Neka je G grupa. Za odabrani a ∈ G definirajmo preslikavanje fa : G → G,fa(x) = ax koje je bijekcija : iz fa(x) = fb(y) slijedi ax = ay, pa mnozenjem slijeva sa−1 dobivamo x = y, tj. vrijedi injektivnost. Za svaki y ∈ G je relacija ax = y ispunjenas x = a−1y, tj. fa(x) = ax = y, odnosno vrijedi surjektivnost.Promotrimo sada preslikavanje

14

g : G→ SG, g(a) = fa,

gdje je SG simetricna grupa na skupu G.Dokazimo da je g monomorfizam grupa:Najprije pokazimo da je g homomorfizam, tj. da vrijedi g(ab) = g(a) ◦ g(b). Buducida su lijevo i desno u ovoj jednakosti funkcije, da bismo tu jednakost dokazali trebagledati njihove vrijednosti na bilo kojem x ∈ G i vidjeti da su one jednake:

[g(ab)](x) = fab(x) = (ab)x = a(bx) = fa(bx) = fa(fb(x)) = (fa◦fb)(x) = [g(a)◦g(b)](x).

Za injektivnost homomorfizma g dovoljno je vidjeti da iz g(a) = e, gdje je e neutralnielement u SG, slijedi a = e. Doista, iz g(a) = e slijedi [g(a)](x) = e(x) = x, za svex ∈ G, tj. fa(x) = x, tj. ax = x. Nakon mnozenja sa x−1 s desne strane dobivamoa = e.Kako je g : G→ SG monomorfizam grupa, onda je grupa G izomorfna sa slikom g(G),koja je podgrupa od SG. 2

1.7 Izometrije prostora

Slicno kao sto pomocu realnih brojeva mozemo mjeriti povrsinu mnogih skupova uravnini, tako i pomocu grupa mozemo ”mjeriti” simetricnost nekog skupa u ravnini iprostoru. To se provodi na nacin da skupu pridruzimo odgovarajucu grupu simetrije.

Definicija 1.14 Izometrija prostora R3 je bilo koja bijekcija f : R3 → R3 koja cuvaudaljenost medu tockama, tj. za svaki x, y ∈ R3 je ispunjeno svojstvo izometricnosti:

d(x, y) = d(f(x), f(y)).

Pritom d(x, y) oznacava udaljenost od tocke x do tocke y.

Teorem 1.19 Skup I svih izometrija prostora je grupa obzirom na kompoziciju kaobinarnu operaciju.

Dokaz: Ako su f, g ∈ I izometrije, tada je i g ◦ f izometrija, jer za svake dvije tockeA,B ∈ R3 vrijedi

d((g ◦ f)(A), (g ◦ f)(B)) = d(g(f(A)), g(f(B)) = d(f(A), f(B)) = d(A,B).

Dakle, vrijedi svojstvo zatvorenosti.Za bilo koje tri izometrije f, g, h ∈ I vrijedi h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f . Slijedi da vrijediasocijativnost. Identiteta 1R3 na prostoru R3 je ocito izometrija, i ona je neutralnielement. Neka je f ∈ I bilo koja izometrija. Kako je f bijekcija, postoji inverznopreslikavanje f−1 : R3 → R3 i vrijedi f−1 ◦ f = f ◦ f−1 = 1R3 . Da je f−1 izometrijaslijedi iz

d(f−1(A), f−1(B)) = d(f(f−1(A)), f(f−1(B))) = d(1R3(A), 1R3(B)) = d(A,B).

15

Dakle, vrijedi i svojstvo egzistencije inverza. 2

Tu grupu nazivamo grupa izometrija prostora R3. Ona je nekomutativna.Najvaznija vrsta izometrija je ravninska simetrija, koju nazivamo jos i refleksija ilizrcaljenje obzirom na ravninu.

Definicija 1.15 Neka je σ ⊆ R3 bilo koja ravnina. Zrcaljenje obzirom na ravninu σ jepreslikavanje σα : R3 → R3, razlicito od identitete koje svakoj tocki T ∈ R3 pridruzujetocku T

′= σα(T ) tako da je TT

′okomito na ravninu σ i |ST | = |ST ′ |, gdje je S

sjeciste pravca TT′

s ravninom σ.

Ovo preslikavanje ima svojstva:1. σ je involutorno preslikavanje, σασα = id;2. sve tocke ravnine σ su fiksne tocke od σα;3. pravci okomiti na ravninu σ su fiksni pravci od σα;4. ravnine okomite na ravninu σ su fiksne ravnine od σα.

Moze se pokazati da je svako zrcaljenje obzirom na ravninu izometrija prostora, asvaka izometrija prostora moze se prikazati kao kompozicija od najvise cetiri zrcalje-nja. Zbog jednostavnosti, ipak se neke izometrije promatraju kao zasebne vrste (iakose mogu realizirati kao kompozicije zrcaljenja). To su prije svega rotacije i translacije.

Definicija 1.16 Neka je p pravac u prostoru. Rotacija oko osi p za kut φ je izometrijarφp : R3 → R3 sa svojstvom da za sve tocke T ∈ R3 vrijedi |OT | = |Orφp (T )| i da je kutizmedu OT i Orφp (T ) jednak φ, gdje je O sjeciste pravca p s ravninom kroz T koja jeokomita na p.

Ocito su tocke pravca p jedine fiksne tocke rotacije rφp , pravac p jedini fiksni pra-vac, a ravnine okomite na p jedine fiksne ravnine. Lako je uociti da je svaka rotacijakompozicija od dva zrcaljenja na ravninama kroz koje prolazi pravac p i medusobnozatvaraju kut φ

2.

Definicija 1.17 Neka je ~a =−→PQ cvrsti vektor u prostoru R3. Translacija t~a za

vektor ~a je preslikavanje t~a : R3 → R3 koje svakoj tocki T ∈ R3 pridruzuje tocku

T′= t~a(T ) ∈ R3 tako da je

−−→TT

′= ~a.

Svaka translacija je izometrija prostora i vrijedi:

t~a ◦ t~b = t~a+~b

t−~a = (t~a)−1

t~0 = 1R3

Definirajmo jos neke izometrije koje ce nam trebati u ovom radu. To su centralnasimetrija, rotoinverzija i rotorefleksija.

16

Definicija 1.18 Neka je O ∈ R3 bilo koja tocka prostora. Centralna simetrijaso : R3 → R3 je preslikavanje koje svakoj tocki T ∈ R3 pridruzuje tocku T

′= so(T )

tako da je O poloviste duzine TT′. Tocka O se zove centar simetrije.

Tocka O je jedina fiksna tocka preslikavanja so, pisemo so(O) = O. Svaki pravac krozO je fiksan pravac od so. Isto vrijedi i za svaku ravninu kroz O.

U kristalografiji se centralna simetrija obicno naziva inverzija.

Definicija 1.19 Kompozicija rotacije za kut φ s inverzijom naziva se rotoinverzija,a kompozicija rotacije za kut φ sa zrcaljenjem naziva se rotorefleksija.

U kristalografiji, posebno kad je rijec o prostornim grupama, o kojima cemo u nastavkurada govoriti, vazne su jos dvije izometrije, to su vijcana i klizna simetrija.

Definicija 1.20 Kompozicija rotacije za kut φ oko neke osi p i translacije u smjeru teosi p naziva se vijcana simetrija. Pravac p naziva se vijcana os , a φ je kut gibanja.

Definicija 1.21 Kompozicija zrcaljenja obzirom na neku ravninu α i translacije usmjeru paralelnom toj ravnini naziva se klizna simetrija ili simetrija klizne ravnine.

1.8 Ciklicke i diedralne grupe

Neka je G grupa, i neka je a ∈ G. Podgrupa [a] = {ak|k ∈ Z} naziva se ciklickapodgrupa generirana elementom a. Ako postoji najmanji prirodan broj n ∈ N takavda je

an = 1, (1.12)

gdje 1 predstavlja neutralni element grupe G, tada n zovemo red elementa a (akotakav broj ne postoji tada kazemo da je a beskonacnog reda. Koristeci (1.12) i aksiomegrupe mozemo napisati citavu tablicu mnozenja ciklicke podgrupe [a]:

akal = ak+l. (1.13)

Opisimo jednu vaznu klasu grupe permutacija poznatu kao grupa simetrija. Nekaje X skup tocaka u prostoru R3 i neka je d(x, y) udaljenost izmedu tocaka x, y ∈ X.Permutacija σ ∈ SX naziva se simetrija na skupu X ako je

(∀x, y ∈ X) d(σ(x), σ(y)) = d(x, y).

Drugim rijecima, simetrija na skupu X cuva udaljenost izmedu svih tocaka skupa. NekaTX ⊆ SX oznacava skup svih simetrija na skupu X. Ako je σ, τ ∈ TX , tada je

(∀x, y ∈ X) d(τσ−1(x), τσ−1(y)) = d(σ−1(x), σ−1(y)) = d(σσ−1(x), σσ−1(y)) = d(x, y),

sto pokazuje da je τσ−1 ∈ TX . Ocito vrijedi τσ−1(X) = X. Dakle, TX je podgrupasimetricne grupe SX , koju nazivamo grupa simetrija na skupu X.

17

Primjer Neka je X skup tocaka 1, 2, 3 prostora R3 i neka za udaljenosti tocaka skupaX vrijedi

d(1, 2) = d(2, 3) = a, d(1, 3) = 2a.

Simetrije skupa X cine podgrupu simetricne grupe S3 definirane permutacijama (1.9) i(1.10). Promotrimo djelovanje permutacija na tocke iz skupa X. Permutacije σ1, σ2, σ3,i σ5 nisu simetrije jer

d(σ1(2), σ1(3)) = d(3, 1) 6= d(2, 3),

d(σ2(1), σ2(2)) = d(3, 1) 6= d(1, 2),

d(σ3(1), σ3(2)) = d(1, 3) 6= d(1, 2),

d(σ5(2), σ5(3)) = d(1, 3) 6= d(2, 3).

Medutim, za permutaciju σ4 vrijedi

d(σ4(1), σ4(2)) = d(3, 2) = d(1, 2),

d(σ4(2), σ4(3)) = d(2, 1) = d(2, 3),

d(σ4(1), σ4(3)) = d(3, 1) = d(1, 3),

pa zakljucujemo da je σ4 simetrija skupa X. Dakle, grupa simetrija ima dva elementa,TX = {e, σ4}.

Vazna grupa simetrija su simetrije pravilnog poligona Pn s n stranica, n ≥ 3. Pod poj-mom poligon podrazumjevat cemo samo njegove vrhove. Pretpostavimo da se sredistepoligona nalazi u ishodistu koordinatnog sustava u xy ravnini. Vrhove poligona oznacimos 1, 2, . . . , n u smjeru suprotno od kazaljke na satu.

Definicija 1.22 Grupa simetrija pravilnog poligona naziva se diedralna grupa ioznacava s Dn.

Zanima nas sto su elementi ove grupe, odnosno cime je Dn generirana. Permutacijaσ ∈ Sn je simetrija poligona Pn ako i samo ako σ preslikava dva susjedna vrha u dvasusjedna vrha. Ocigledno je da je jedan od elemenata grupe Dn rotacija R za kut360◦/n oko sredista poligona. Kako je Rn = 1, ova rotacija ima red n. Uz rotaciju Rgrupa Dn sadrzi jos i refleksiju M u odnosu na os koja prolazi kroz jedan vrh i sredistepoligona Pn. Kako je M2 = 1, zakljucujemo da je red refleksije 2. R i M zajednogeneriraju 2n razlicitih simetrija:

Dn = {1, R,R2, . . . , Rn−1,M,RM,R2M, . . . , Rn−1M}. (1.14)

Lista (1.14) sadrzi sve simetrije poligona Pn iz sljedeceg razloga. Simetrija je potpunoodredena djelovanjem na vrhove poligona 1, 2, . . . , n. Ako simetrija preslika vrh 1 uneki drugi vrh k, tada djeluje ili kao rotacija Rk−1 tako da zadrzava vrhove u ciklickom

18

poretku ili djeluje kao transformacija Rk−1M tako da vrhove poreda u obrnutom po-retku. Dakle, lista (1.14) sadrzi sve simetrije poligona Pn.

Transformacije MR i Rn−1M imaju jednak ucinak na vrhove poligona, jer objetransformacije obrnu poredak vrhova i preslikaju vrh 1 u vrh n. Dakle, R i M zadovo-ljavaju relacije

Rn = M2 = 1, (1.15)

MR = Rn−1M. (1.16)

Iz (1.14) slijedi da svaki element grupe Dn mozemo zapisati u standardnom obliku

RkM j (1.17)

gdje je 0 ≤ k ≤ n− 1 i 0 ≤ j ≤ 1.

Slika 1.1: Diedralna grupa D3 = {1, R,R2,M,RM,R2M} generirana s dvije rotacije Ri R2 koje interpretiramo kao rotacije jednakostranicnog trokuta oko sredista za kuteve360◦/3 i 2 · 360◦/3, te tri refleksije M,RM,R2M u odnosu na osi trokuta 4ABC kojeprolaze njegovim sredistem. 1 predstavlja identitetu. Red grupe D3 je ocito 6.

Svaki umnozak elemenata Rk1M j1 i Rk2M j2 mozemo svesti na standardni oblik (1.17)koristeci relacije (1.15) i (1.16). Relacijom (1.15) reduciramo eksponente od R i M uodgovarajuce granice, a relacijom (1.16) pomicemo M u desno.Za npr. n = 4 tipicno mnozenje izgleda ovako:

(R3M)(R2M) = R3(MR)(RM) = R3(R3M)RM

= R6(MR)M = R6(R3M)M = R9M2 = R.

19

Vrhovi 1, 2, . . . , n pravilnog poligona Pn pri djelovanju rotacija i refleksija pridruzujuse jedni drugima na sljedeci nacin:

R : 1 7→ 2, k 7→ k + 1 za k = 2, 3, . . . , n− 1, n 7→ 1;

M : 1 7→ 1, k 7→ n+ 2− k za k = 2, 3, . . . , n− 1.

Slika 1.2: Diedralna grupa D4 = {1, R,R2,M,RM,R2M,R3M}, odnosno grupa sime-trija kvadrata ABCD. Elementi grupe su 1, tri rotacije za kuteve 360◦/4 i 2 · 360◦/4,3 · 360◦/4 oko sredista kvadrata, te cetiri refleksije M,RM,R2M,R3M u odnosu naiscrtkane osi sa slike. Red grupe D4 je 8.

Pretpostavili smo da je os refleksije pravac koji prolazi kroz vrh 1 i srediste poligonaPn, a R predstavlja rotaciju koja vrh k preslika u vrh k+1. Preciznije receno, diedralnagrupa Dn se moze opisati permutacijama:

R =

(1 2 . . . n− 1 n2 3 . . . n 1

),

M =

(1 2 3 . . . n1 n n− 1 . . . 2

),

koje zadovaljavaju relacije:

Rn = M2 = 1

MR = Rn−1M.

20

1.9 Algebra matrica

Definirajmo neke osnovne pojmove vezane uz matrice koji ce nam trebati u nastavkurada. Oznacimo s Mn(R) skup svih realnih kvadratnih matrica n-tog reda, a s Mm,n(R)skup svih realnih matrica tipa m × n. Pretpostavimo da su nam poznate osnovneracunske operacije s matricama, poput zbrajanja i mnozenja matrica, te mnozenje ma-trica skalarom.

Definicija 1.23 Transponirana matrica matrice A = [aij] ∈ Mn(R) je matricaAT ∈Mn(R) koja na poziciji (i, j) ima aji.

Vrijedi:(AT )T = A.

Definicija 1.24 Kvadratnu matricu A = [aij] n-tog reda zovemo simetricnom akoje jednaka svojoj transponiranoj matrici tj. ako je aij = aji za sve i, j = 1, . . . , n.

Definicija 1.25 Trag kvadratne matrice je zbroj njenih dijagonalnih elemenata:

trA = a11 + a22 + . . .+ ann.

Pojam traga se cesto koristi u analizi simetrija nekog objekta.

Definicija 1.26 Za kvadratnu matricu A kazemo da je regularna ili invertibilna,ako postoji kvadratna matrica B takva da je

AB = BA = I.

U suprotnom, za matricu A kazemo da je singularna.

Matricu B oznacavamo s A−1 i nazivamo inverznom matricom matrice A. Prema tome,imamo

AA−1 = A−1A = I.

Definicija 1.27 Za realnu kvadratnu matricu A n-tog reda kazemo da je ortogo-nalna, ako je

AAT = ATA = I.

Uocimo da je matrica A ortogonalna ukoliko je regularna i A−1 = AT .

Definicija 1.28 Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Definicija 1.29 Determinanta kvadratne matrice A n-tog reda, oznaka detA = |A|,definira se izrazom:

detA =n∑j=1

(−1)i+jaijdetAij, za svaki i = 1, . . . , n,

gdje je det(Aij) (i, j) - minora matrice A, tj. determinanta kvadratne matrice (n−1)-ogreda dobivena tako da se iz matrice A ispuste i-ti redak i j-ti stupac.

21

Sljedeci teorem navodimo bez dokaza (vidi u [12]):

Teorem 1.20 (Binet-Cauchy) Determinanta produkta matrica jednaka je produktudeterminanti:

det(AB) = det(A) · det(B).

Posljedica Binet-Cauchyjevog teorema je da je determinanta inverzne matrice reci-procna determinanti polazne matrice i da je matrica A regularna ako i samo akoje je det(A) 6= 0. Naime, iz AA−1 = In slijedi det(AA−1) = det(In) = 1. Po Binet-Cauchyjevom teoremu lijeva strana zadnje jednakosti je det(A) · det(A−1) pa je

det(A−1) =1

det(A).

1.10 Vektorski prostori i linearni operatori

Definicija 1.30 Vektorski prostor nad poljem K(R ili C) je neprazan skup V koji jekomutativna grupa s obzirom na operaciju zbrajanja

+ : V × V → V , (v, w) 7→ v + w

i na kojem je definirana operacija mnozenja elementima polja K, tj. preslikavanje

K × V → V , (λ,w) 7→ λv

koja je distributivna s obzirom na obje operacije zbrajanja:

(∀λ, µ ∈ K)(∀v, w ∈ V ) λ(v + w) = λv + λw i (λ+ µ)v = λv + µv,

ima svojstvo kvaziasocijativnosti:

(∀λ, µ ∈ K)(∀v ∈ V ) (λµ)v = λ(µv),

i jedinica 1 ∈ K ima svojstvo:

(∀v ∈ V ) 1v = v.

Neutralni element za zbrajanje, oznacen s 0 ∈ V , zove se nul - vektor. Vektorski prostorje realan ako su skalari realni brojevi, a kompleksan ako su skalari kompleksni brojevi.

Primjer Svaki od skupova Mm,n(R), odnosno Mm,n(C) cini realni odnosno vektorskiprostor uz zbrajanje i mnozenje skalarom. Posebno, skupovi Mm,1 stupcanih matricacine vektorske prostore.

Definicija 1.31 Potprostor vektorskog prostora V je podskup W ⊆ V koji je i samvektorski prostor nad istim poljem s obzirom na iste operacije.

22

Lako se moze vidjeti da je podskup W 6= ∅ potprostor prostora V ako i samo ako jezatvoren na zbrajanje vektora i mnozenje vektora skalarom, tj.

(∀v, w ∈ W ) v + w ∈ W i (∀v ∈ W )(∀λ ∈ K) λv ∈ W.

Kada zelimo iskazati da je W potprostor vektorskog prostora V pisemo W ≤ V .

Neka je S bilo kakav podskup vektorskog prostora. Oznacimo sa∑

skup svih potpros-tora od V koji sadrze skup S: ∑

= {X ≤ V ;X ⊇ S}.

Stavimo:[S] =

⋂W∈

∑W.

Ocito je [S] najmanji potprostor od V koji sadrzi skup S. Naime, ako je W potprostorod V i ako je W ⊇ S, onda W ∈

∑, dakle W ⊇ [S].

[S] se zove potprostor generiran skupom S ili potprostor razapet skupom S. Ako jeW = [S] kazemo da skup S razapinje potprostor W .

Definicija 1.32 Neka je V vektorski prostor nad poljem K i neka je S podskup odV . Kazemo da je skup S linearno nezavisan ako za bilo koji konacan broj medusobnorazlicitih vektora x1, x2, . . . , xn ∈ S vrijdi

(∀ λ1, λ2, . . . , λn ∈ K) λ1x1 + λ2x2 + · · ·+ λnxn = 0 ⇒ λ1 = λ2 = · · · = λn = 0.

Skup vektora je linearno zavisan, ako nije linearno nezavisan.

Definicija 1.33 Baza vektorskog prostora V je podskup B od V sa sljedeca dva svoj-stva:

1.) skup B je linearno nezavisan,2.) [B] = V .

Ako je B baza od V , svaki vektor iz V moze se na jedinstven nacin prikazati kao line-arna kombinacija vektora iz B. Precizno, za svaki x ∈ V postoji jedinstvena funkcijaρ : B → K koja ima sljedeca dva svojstva:

1.) za samo konacno mnogo vektora v ∈ B je ρ(v) 6= 0;2.) x =

∑v∈B ρ(v)v.

Primjer Kanonska baza za Rn je skup {e1, e2, . . . , en} vektora iz tog prostora oblikaei koji na i-toj poziciji imaju broj 1, a na svim ostalim nule.

Vektorski prostor zove se konacno dimenzionalan, ako postoji konacan skup S takavda je [S] = V .Iduci teorem navodimo bez dokaza (vidi [10], str. 6):

Teorem 1.21 Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor nad poljem K.

23

(a) Postoji konacna baza prostora V .

(b) Svaka baza prostora V je konacna.

(c) Ako su B1 i B2 dvije baze od V , onda je |B1| = |B2|. Broj elemenata bilo kojebaze od V zove se dimenzija od V i oznacava dimV , ili preciznije dimK V .

(d) Ako je S linearno nezavisan podskup od V , S je sadrzan u nekoj bazi od V .

(e) Ako je S podskup koji razapinje V , onda S sadrzi neku bazu od V .

(f) Ako je S linearno nezavisan podskup od V koji ima n = dimV elemenata,onda je S baza od V .

(g) Ako je W potprostor od V , onda je prostor W konacnodimenzionalan i dimW ≤dimV. Nadalje, znak jednakosti (dimW = dimV ) vrijedi ako i samo ako je W = V .

Definicija 1.34 Vektorski prostor V nad poljem K (R ili C) je unitaran ako je nanjemu definirana operacija 〈·, ·〉 : V × V → K koju nazivamo skalarni produkt vektorasa svojstvima:

1. (∀v ∈ V ) 〈v, v〉 ≥ 0,

2. (∀v ∈ V ) 〈v, v〉 = 0⇔ v = 0,

3. (∀v, w ∈ V ) 〈v, w〉 = 〈w, v〉,

4. (∀u, v, w ∈ V ) 〈v + w, u〉 = 〈v, u〉+ 〈w, u〉,

5. (∀v, w ∈ V )(∀α ∈ K) 〈αv, w〉 = α〈v, w〉.

U svakom unitarnom prostoru moze se definirati norma (duljina) vektora prekojednakosti:

‖v‖ =√〈v, v〉

Dva vektora unitarnog prostora zovu se ortogonalnim ako im je skalarni produktnula. Svaki skup vektora unitarnog prostora u kojem su svaka dva vektora ortogonalnaje linearno nezavisan.

Baza unitarnog prostora zove se ortonormirana baza ako su svi vektori u njoj norme 1i medusobno ortogonalni. U unitarnim prostorima uvijek vrijedi i nejednakost Cauchy-Schwarz-Buniakowskog :

|〈v, w〉| ≤ ‖v‖ · ‖w‖.

Jednakost vrijedi ako i samo ako su vektori v i w kolinearni.

24

Definicija 1.35 Linearan operator je funkcija A : V → W (V i W su vektorskiprostori, oba realni ili oba kompleksni) koja ima sljedeca dva svojstva:

A(v + w) = A(v) + A(w) (aditivnost)

A(λv) = λA(v) (homogenost)

za sve v, w ∈ V i skalare λ. Ako je W = R odnosno W = C, linearan operator zovemolinearnim funkcionalom.

Neka su vektorski prostori V i W konacnodimenzionalni i neka je A : V → W linearanoperator. Neka je e = {e1, e2, . . . , en} uredena baza prostora V i f = {f1, f2, . . . , fm}uredena baza prostora W . Ae1, Ae2, . . . , Aen su vektori prostora W pa se svaki od njihmoze napisati kao linearna kombinacija vektora iz baze f . Drugim rijecima, postojeskalari αij ∈ K(1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) takvi da vrijedi:

Ae1 = α11f1 + α21f2 + . . .+ αm1fm,

Ae2 = α12f1 + α22f2 + . . .+ αm2fm,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Aej = α1jf1 + α2jf2 + . . .+ αmjfm,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Aen = α1nf1 + α2nf2 + . . .+ αmnfm.

Matrica s m redaka i n stupaca, koja se dobije tako da koeficijente u prikazu vektoraAej stavimo kao j-ti stupac, zove se matrica operatora A u paru baza (f, e) ioznacava A(f, e):

A(f, e) =

α11 α12 α13 . . . α1n

α21 α22 α23 . . . α2n

α31 α32 α33 . . . α3n...

......

. . ....

αm1 αm2 αm3 . . . αmn

.

Primjer Operator rotacije u euklidskom prostoru (u kanonskoj bazi) ima matricu

Rθ =

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0

0 0 1

.

Za primjene u kemiji, osobito kristalografiji, izuzetno su bitni operatori simetrije:linearni operatori A : R3 → R3 za koje vrijedi dodatno svojstvo da neki dio pros-tora - molekulu ili kristal - preslikavaju na samu sebe. Drugim rijecima, ne vidi serazlika izmedu te molekule ili kristala prije i poslije djelovanja operatora. Najvaznijitakvi operatori su jedinicni operator, centralna simetrija (inverzija) koja svakom vek-toru pridruzuje suprotni, zrcaljenje obzirom na neku ravninu i rotacija za neki kutoko nekog pravca. Kad se oni koriste prirodno se poistovjecuju radij-vektori tocaka sasamim tockama prostora (tj. operator djeluje na radij-vektor [x, y, z], a dobiveni novi

25

radij-vektor daje koordinate tocke gdje je nakon djelovanja operatora ”zavrsila” tocka(x, y, z)). Matematicki receno, presutno se koristi izomorfnost vektorskih prostora V 3

i R3.Zanimljivo je da ipak postoji veza izmedu svih mogucih matrica jednog te istog

operatora: sve su one slicne tj. jedna iz druge se mogu dobiti primjenom elementar-nih transformacija. Preciznije, ako su A i B dvije matrice istog operatora, obzirom narazlicite baze, onda postoji invertibilna matrica X takva da je B = X−1AX. Nekevelicine iste su za sve matrice jednog operatora. One se zovu invarijante slicnosti iliinvarijante operatora. Dvije najvaznije takve invarijante su determinanta i trag: svematrice istog operatora imaju jednake determinante i jednake tragove.

1.11 Primjeri grupa

1) Opca linearna grupa

Oznacimo s GLn(R) skup svih invertibilnih matrica reda n nad R, tj.

GLn(R) = {A ∈Mn(R); det(A) 6= 0}.

Ovu grupu nazivamo opca linearna grupa. Ako je A,B ∈ GLn(R), tada je (AB)−1 =B−1A−1 sto pokazuje da jeAB invertibilna matrica, pa jeGLn(R) zatvoren na mnozenje.Matricno mnozenje je asocijatvno, a neutralni element je jedinicna matrica In. Nada-lje, GLn(R) po definiciji sadrzi A−1 za svaki A ∈ GLn(R). Stoga je GLn(R) ocito grupa.

2) Specijalna linearna grupa

Promotrimo podskup SLn(R) ⊆ GLn(R), koji se sastoji od matrica cija je determinantajednaka 1, tj.

SLn(R) = {A ∈Mn(R); det(A) = 1},to je grupa u odnosu na mnozenje matrica jer iz A,B ∈ SLn(R) slijedi det(AB) =det(A) · det(B) = 1, dakle AB ∈ SLn(R), a takoder i det(A−1) = (detA)−1 = 1, dakleA−1 ∈ SLn(R). SLn(R) se zove specijalna linearna grupa.

3) Ortogonalna grupa

GrupaOn(R) = {A ∈ GLn(R); AAT = ATA = 1}

zove se ortogonalna grupa. Ako je A,B ∈ On(R), tada je (AB−1)(AB−1)T =AB−1(B−1)TAT = AIAT = I, sto pokazuje da je On(R) grupa.

4) Grupa rotacija u prostoru

Neka je G skup svih matrica oblika

Rθ =

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0

0 0 1

, θ ∈ R

26

Skup G zatvoren je u odnosu na matricno mnozenje jer za proizvoljne matrice Rθ, Rϕ ∈G vrijedi

RθRϕ =

cos θ cosϕ− sin θ sinϕ − cos θ sinϕ− sin θ cosϕ 0sin θ cosϕ+ cos θ sinϕ − sin θ sinϕ+ cos θ cosϕ 0

0 0 1

=

cos(θ + ϕ) − sin(θ + ϕ) 0sin(θ + ϕ) cos(θ + ϕ) 0

0 0 1

= Rθ+ϕ ∈ G.

Neutralni element je jedinicna matrica I koja odgovara parametru θ = 0,

R0 =

1 0 00 1 00 0 1

= I.

Inverzna matrica R−1θ dana je sa

R−1θ =1

cos2(θ) + sin2(θ)

cos θ sin θ 0− sin θ cos θ 0

0 0 1

=

cos θ sin θ 0− sin θ cos θ 0

0 0 1

,

iz cega slijedi da je R−1θ = R−θ ∈ G. Dakle, svaki element skupa G ima inverz u G, paG ocigledno tvori grupu.

Matrica Rθ predstavlja operator rotacije oko z osi koja djeluje na tocke u ravnini xy.Ako tocku (x, y) zarotiramo u pozitivnom smjeru za kut θ, tada zarotirana tocka imakoordinate x′

y′

z′

=

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0

0 0 1

xyz

=

x cos θ − y sin θx sin θ + y cos θ

z

.

Grupa rotacija G naziva se specijalna ortogonalna grupa reda tri i oznacava saSO3(R).

5) Grupa translacija prostora

Skup svih translacija prostora cini normalnu podgrupu grupe izometrija prostora. To jenajlakse provjeriti koristeci matricni zapis: svaku izometriju mozemo zapisati u oblikuf(x) = Ax+ b, gdje je A ortogonalna matrica.Za translacije je A = I. Inverz od f dan je formulom f−1(y) = A−1y −A−1b. Stoga zaproizvoljnu translaciju t za vektor c i izometriju f vrijedi

f−1 ◦ t◦f(x) = f−1 ◦ t(Ax+b) = f−1(Ax+b+c) = A−1(Ax+b+c)−A−1b = x+A−1c,

tj. f−1 ◦ t◦f je translacija. S druge strane, svaka translacija t se moze zapisati u oblikuf−1 ◦ t◦f uz f = id. Nazivamo ju grupa translacija prostora i oznacavamo s T . Akotranslacija nije identiteta, onda ona ocito nema fiksnu tocku. Svaki pravac paralelan sasmjerom vektora je fiksni pravac te translacije. Svaka ravnina paralelna s pravcem kojiima smjer vektora translacije je fiksna ravnina te translacije.

27

Poglavlje 2

Kristalografija

Mineralogija je znanost koja se bavi proucavanjem minerala, njihovih oblika i struk-tura, fizikalnih svojstava i kemijskog sastava te nacina postanka (geneze) i rasprostra-njenosti u litosferi. Rijec mineralogija je izvedena od dvije rijeci, lat. mineralis = rudnitj. koji sadrzi u sebi rude i grc. logos = nauka, znanost. U mineralogiji proucavamo oneprirodne supstance koje su vezane za rudnike, rudne zile, odnosno za Zemljinu koru.Danas je poznat vrlo veliki broj minerala koji se istrazuju razlicitim metodama. Napitanje ”Sto je mineral?” tesko je dati odgovor iz razloga, sto ne postoje jedinstvenikriteriji na osnovu kojih bismo mogli definirati pojam mineral. No ipak, vrlo rasirenai cesto rabljena definicija koja zapravo obuhvaca najbitnija svojstva minerala glasi:Minerali su prirodni sastojci od kojih je izgradena cvrsta Zemljina kora; fizikalno i ke-mijski su homogeni, sto znaci da im se sastav moze izraziti kemijskom formulom, aodlikuju se pravilnom unutrasnjom gradom.Kad kazemo da su minerali sastojci cvrste Zemljine kore time naznacavamo da je njihovpostanak vezan uz nastanak kore naseg planeta i sva zbivanja koja se u njoj odvijaju.To je sasvim tocno, no i drugi planeti na kojima su se odigrala i odigravaju slicnageoloska zbivanja izgradeni su od posve istih minerala. Mineraloska ekspertiza uzorakadonesenih s nama najblizeg nebeskog tijela - Mjeseca, to i potvrduje. No i prije je bilomoguce materijalno dokazati slicnost ”svemirske” i ”zemaljske” mineralne grade zahva-ljujuci meteoritima. Dakle, minerala ima i izvan nasega planeta. Upravo na toj vaznojspoznaji utemeljene su futuristicke pretpostavke o mogucnosti iskoristavanja mineral-nih sirovina drugih planeta, koje su bile potaknute ne sasvim bezazlenim strahom oskorom iscrpljivanju nekih mineralnih rezervi Zemlje.Prirodno podrijetlo minerala iskljucuje sudjelovanje covjeka u njihovu nastanku.Medutim, medu brojnim raznolikim kemijskim spojevima koje je covjek nacinio u labo-ratoriju ima i onih koji po svojim kemijskim i fizikalnim svojstvima potpuno odgovarajuprirodnim mineralima. Takve produkte zovemo sintetickim mineralima. Njihova pro-izvodnja je vrlo rasirena jer se tim postupkom dobivaju minerali kojih u prirodi nemadovoljno, a potreba za njima je velika. Tako se u znatnim kolicinama proizvode sintetickikremeni i dijamanti bez kojih su neizvediva najnovija tehnoloska dostignuca. Poznava-nje uvjeta pod kojima se minerali sintetiziraju u laboratorijskim uvjetima vrlo je vaznojer na osnovu njih mozemo zakljuciti kako su nastali minerali u prirodi. Razlikovanjeprirodnih od sintetickih minerala vjerojatno ne bi bilo toliko izazovno i potrebno dacovjeku nije poslo za rukom da umjetno napravi gotovo sve one minerale koji se upo-trebljavaju kao vrijedan dekorativan materijal ili kao skupocjeno drago kamenje.

28

U mineralno carstvo uvodi nas mineralogija. S obzirom na opsirnost koju obuhvaca mi-neralogija, potrebno ju je podijeliti u zasebne dijelove i discipline. Mineralogiju mozemopodijeliti na dva dijela: Opca mineralogija (kristalografija, mineralna fizika, mineralnakemija, kristalokemija i minerogenija) i sistemska (specijalna) mineralogija.

Kristalografija je grana znanosti koja se bavi metodama istrazivanja kristalne struk-ture. Razvila se iz mineralogije. Prije 18. stoljeca znanost o kristalima uglavnom seosnivala na makroskopskim promatranjima i klasifikaciji. Kristalografija i mineralo-gija bile su usko povezane od sredine 17. stoljeca pa do kraja 19. stoljeca. FrancuzR.J.Hauy1, proucavajuci kristalografska svojstva minerala dosao je do zakljucka da suona tek odraz unutrasnje grade kristala. Do istog je zakljucka dosao drugi francuskimineralog A. Bravais2, koji je shvatio kristale kao prostorne resetke. Kristalne struktureproucavao je i J. S. Fjodorov3, kojeg smatramo jednim od najvecih kristalografa.

Kristalografija je usko povezana s matematikom i njen se razvoj ne moze zamislitibez nje.Odnos kristalografije i drugih znanosti vidimo na ovom shematskom prikazu:

matematika↓

fizika ↔ kristalografija ↔ kemija↙ ↓ ↘

metalografija mineralogija petrografija

Mineralogija opisuje vise od 2500 razlicitih minerala od kojih vecinu tvore kristali.

2.1 Kristalna resetka i jedinicna celija

Prema strukturnom uredenju materijale dijelimo na dvije velike osnovne grupe,na kristalne i amorfne materijale, s tim da se u praksi pojavljuju jos tzv. kvazikris-tali i tekuci kristali. Karakteristicno svojstvo svih materijala je njihovo uredenje, tj.raspored susjednih atoma. Osnovna razlika izmedu kristalnih i amorfnih materijala jeupravo u stupnju prostorne uredenosti atoma. U kristalnim materijalima se rasporedodredenih osnovnih jedinica (o kojima cemo u nastavku govoriti) prostorno ponavlja,a u amorfnim ta je pravilnost samo djelomicna ili je uopce nema.

Kristali su minerali koji se razvijaju procesom kristalizacije. Za vrijeme kristali-zacije mineralne cestice se redaju pravilno u prostoru, sto nazivamo rastom kristala.Kristal raste u nekom smjeru brze, a u nekom sporije. Odnosno, u paralelnim smje-rovima kristal raste jednakom brzinom. Zbog nejednakog rasta kristala u razlicitimsmjerovima, kristal se razvije u poliedarsko tijelo koje je omedeno ravnim plohama kojese sijeku u bridovima, a bridovi se sijeku pod odredenim kutevima. Prema tome, pod

1Rene Just Hauy (1743.-1822.) - francuski mineralog, osnivac kristalografije i teorije strukturekristala.

2Auguste Bravais (1811.-1863.) - francuski fizicar i mineralog, pokazao je da se u prostoru mogukonstruirati 14 prostornih resetki, po njemu nazvanih Bravaisove resetke.

3Jevgraf Stjepanovic Fjodorov (1853.-1919.) - ruski kristalograf i mineralog.

29

pojmom kristal podrazumijevamo homogeno poliedarsko tijelo pravilne unutrasnjegrade. U tim su tijelima materijalne cestice (atomi, ioni, molekule) poredani u oblikucvorova prostorne resetke.

Kristali su gradeni od manjih strukturnih jedinica koje su pravilno rasporedeneu trodimenzionalnu mrezu ili kristalnu resetku. Kada promatramo svojstva kristalneresetke, smatramo da za razliku od realnih kristala, koji uvijek sadrze odreden brojstrukturnih pogresaka ili defekata, imamo posla s idealnom konstrukcijom, napravlje-nom slaganjem osnovnih ciglica - jedinicnih celija da se popuni prostor, a da se bilogdje ne pojavi prazno mjesto.

Slika 2.1: Konstrukcija kristalne strukture iz jedinicne celije uz ponavljanje po osimax, y i z.

Euklidski vektorski prostor R3 mozemo shvatiti kao prostor kristala na nacin da nje-gove tocke interpretiramo kao stvarne pozicije tocaka u kristalu (npr. pozicije atomau kristalu). Kao baza pripadnog vektorskog prostora fiksira se neka baza koju cemooznacavati s {a,b, c}.

Neka je u prostoru Rn odabrana baza B = {ai}i=1,...,n i ishodiste O ∈ Rn.

Definicija 2.1 Vektorska resetka odredena bazom B je skup

L = {n∑i=1

miai : m1, . . . ,mn ∈ Z},

a tockovna resetka je skup

L′= {T ∈ Rn : (∃v ∈ L) v =

−→OT}.

Jedinicna celija se sada moze definirati kao skup

U = {T ∈ Rn :−→OT =

n∑i=1

xiai : x1, . . . , xn ∈ [0, 1〉}.

Vektorsku resetku nazivamo jos i Bravaisovom resetkom. U R3 baza {a,b, c} se biratako da tim vektorima odredeni paralelepiped mozemo shvatiti kao jedinicnu celiju, acijeli (beskonacni) kristal se tada moze zamisliti kao skup svih translacija jedinicne celije

30

za cjelobrojne linearne kombinacije vektora te baze. Uocimo da je volumen jedinicnecelije

V = (a,b, c) = a · (b× c).

Definicija 2.2 Kristalografska baza za danu vektorsku resetku L je svaka baza n- dimenzionalnog prostora takva da su sve cjelobrojne linearne kombinacije vektora tebaze elementi od L. Ako vrijedi i obrnuto: svaki vektor resetke je cjelobrojna linearnakombinacija vektora baze, onda kristalografsku bazu zovemo primitivnom bazom.Jedinicnu celiju s primitivnom bazom nazivamo primitivnom jedinicnom celijom,a vektore primitivne baze primitivnim vektorima translacije.

Primitivna jedinicna celija ima svojstva: to je celija najmanjeg volumena i maksimalnemoguce simetrije. Ukoliko je translacija za neki vektor simetrija celije, i pri tome tajvektor nije primitivni vektor translacije, nazivamo ga neprimitivnim vektorom trans-lacije.

Koeficijenti vektora iz resetke u svakoj kristalografskoj bazi su racionalni, a u svakojprimitivnoj cjelobrojni.

Primjer Jedna od 14 Bravaisovih resetki (o kojima ce biti vise rijeci u nastavkurada) je kubna volumno centrirana resetka. U tom tipu resetke jedinicna celija jekocka; tocke resetke dobiju se translacijama vrhova i sredista te kocke. Recimo daje {a1, a2, a3} ortogonormirana baza (svi vektori su jednake duljine i svaka dva sumedusobno ortogonalna). Ta baza jest kristalografska baza, ali nije primitivna jer sukoordinate sredista jedinicne celije u toj bazi (1

2, 12, 12). Primjer primitivne baze bio bi

{a1, a2,12(a1 + a2 + a3)}.

Slika 2.2: Jedinicna celija kubno volumno centrirane Bravaisove resetke sa kristalograf-skom bazom

Za svaku vektorsku resetku postoji odgovarajuca primitivna baza. Zapravo, moze sepokazati da postoji beskonacno mnogo primitivnih baza za danu vektorsku resetku. Izprakticnih razloga se cesto koriste kristalografske baze koje nisu primitivne, tj. koristese neki konvencionalni koordinatni sustavi.

31

2.2 Kristalografska restrikcija

Na kristalima uocavamo pozicije u kojima bi ga nekom ravninom mogli podijeliti nadvije zrcalno jednake polovice. Ako je to moguce, za takav kristal kazemo da imaravninu simetrije. Neki kristali imaju vise ravnina simetrije. Na kristalima halita(kuhinjska sol), koji imaju izgled pravilne kocke, mozemo uz malo truda naci cak 9 rav-nina simetrije, razlicitih po polozaju. No ravnina simetrije nije jedini element simetrije.Cesto se opaza jos jedan element simetrije, to je centar simetrije ili centar inverzije.Pod tim podrazumijevamo tocku unutar kristala koji dijeli na pola svaku prostornudijagonalu danog kristalnog poliedra. Kristal koji ima centar inverzije prepoznaje sepo tome sto svakoj njegovoj plohi mora odgovarati suprotna paralelna istovrsna ploha,ali suprotno orijentirana, kao sto se preokrene slika pri prolazu kroz fokus foto-aparata.Drugim rijecima, centar inverzije zahtjeva prisutnost parova istovrsnih, paralelnih, aliinverznih ploha na suprotnim krajevima kristala.Promotrimo sljedeci primjer: uzmimo neku jednostavnu bocu, bez oznake i nekihukrasa. Postavimo je uspravno pred sobom te je postupno polagano zakrecemo okouspravne osi. Zakrenemo li je puno ili malo njezin izgled se time nece nista promijeniti.A sto ako je na boci neka oznaka, npr. etiketa? Tada je potrebno izvrsiti puni okret, tj.bocu zakrenuti za 360◦ da bi je doveli u pocetni polozaj. Za svaki drugi zaokret njezinizgled nece odgovarat izgledu u pocetnom polozaju. U kristalu postoje takvi smjerovioko koje se mogu zakretat na jednu ili drugu stranu, kod kojih se unutar punog okretapocetni polozaj vise puta ponovi. Svaki takav smjer zove se os simetrije ili os rotacije.

Slika 2.3: Osi rotacija 1., 2., 3., 4. i 6. reda.

Uocili smo osnovno svojstvo svih kristala - rotacijska simetrija. Red osi rotacije n-togreda definiramo kao 360◦

ϕ= n, gdje je ϕ kut za koji zakrecemo kristal, da se polozaj

ne razlikuje od prethodnog. Kazemo da je kristal invarijantan prema zakretima za kut360◦

n. Broj n ne moze biti proizvoljan. Ocito svi objekti posjeduju os rotacije prvog reda.

Ostale osi rotacije mogu biti samo 2., 3., 4. i 6. reda (oznake 1, 2, 3, 4 i 6), dakle postojiinvarijantnost prema zakretima za 60◦, 90◦, 120◦, 180◦ i 360◦. Na Slici 2.3 prikazane suosi rotacija.Osnovni teorem o mogucim simetrijama kristala je

Teorem 2.1 (Kristalografska restrikcija) Rotacije koje tockama resetke pridruzuju

32

iskljucivo tocke resetke mogu biti rotacije redova 1, 2, 3, 4 ili 6 (tj. za kuteve360◦, 180◦, 120◦, 90◦ ili 60◦).

Dokaz: Najjednostavniji dokaz koristi teoriju matrica kao prikaza linearnih operatora.Ako je A ∈ O3(R) rotacija oko neke osi koja je element simetrije kristala, onda jekristalna resetka L invarijantna za A, tj. Ar ∈ L, za svaki radij - vektor r ∈ L.Odaberemo li kao bazu prostora primitivnu bazu direktog prostora {a,b, c} onda svir ∈ L imaju cjelobrojne koordinate, pa su svi elementi matrice operatora A u tojbazi cjelobrojni. Nadalje, trag je invarijanta operatora, tj. svi matricni prikazi istogoperatora imaju isti trag.Slijedi da je trag operatora rotacije koja je simetrija kristala cjelobrojan. Ako se radi orotaciji, mozemo sada odabrati drugi matricni prikaz tog operatora, i to u nekoj baziu kojoj se z - os podudara s osi rotacije. Poznato je da u toj bazi (uz oznaku α = 2π

n)

A ima matricu

A =

cosα − sinα 0sinα cosα 0

0 0 1

.

Slijedi da je tr(A) = 1 + 2 cosα ∈ Z, tj. cosα ∈ {−1, −12, 0, 1

2, 1}. Stoga su jedine

moguce simetrije kristala koje su rotacije (ili rotoinverzije) one oko osi 1, 2, 3, 4 i 6.

Definicija 2.3 Osi 2, 3, 4 i 6 zovu se redom digira, trigira, tetragira i heksagira.

Rotacije 5. reda4 nisu sastavni elementi opisivanja kristalne strukture.

2.3 Dvodimenzionalna Bravaisova resetka

Jedini moguci tip resetke na pravcu je niz tocaka Rn takav da je razmak svakesusjedne dvije jednak, preciznije u jednodimenzionalnom slucaju translacijska simetrijapotpuno je odredena jednim vektorom a i postoji jedna moguca kristalna resetka

L = {na : n ∈ Z}.

Resetka u ravnini kao jedinicnu celiju uvijek ima paralelogram, uzet cemo da jeodreden primitivnom bazom. Obzirom na simetriju, ravninske resetke klasificiramo napet tipova. Svima je zajednicko da su im medu simetrijama translacije za cjelobrojnelinearne kombinacije dva vektora baze {a1, a2}, dakle moguce je razlikovanje samo ob-zirom na simetrije koje fiksiraju jednu tocku (ishodiste). Kako je suprotan broj cijelogbroja cijeli broj, slijedi da svaka ravninska resetka kao simetriju posjeduje i centralnusimetriju. Ako resetka ne posjeduje nikakvu drugu simetriju, radi se o paralelogra-mskoj resetki.

Ukoliko ravninska resetka posjeduje os rotacije kao element simetrije, ona moze

4Tek 1984. godine otkriveni su kvazikristali cije su osi rotacije 5. reda, jer njihova grada nije potpunopravilna, tj. nemaju pravu translacijsku simetriju. Vremenom su otkriveni kvazikristali s redovima 5,8 i 12.

33

lezati u ravnini ili biti okomita na nju (i naravno, mora prolaziti kroz O). Ravninskaresetka kao element simetrije ne moze imati trigiru. Takoder, nepotrebno je pri klasifi-kaciji uzimati u obzir rotoinverzne osi, jer se one zbog prisustva centra simetrije svodena obicne osi rotacije. Kako je centar simetrije ravninske resetke ekvivalentan digiriokomitoj na ravninu, eventualne dodatne digire mogu se pojaviti samo kao podskupoviravnine resetke. Ako imamo neku digiru u ravnini resetke, kompozicija rotacija oko tedvije digire povlaci postojanje trece digire okomite na oba dvije. Ako su bazni vektoriresetke okomiti, dobili smo pravokutnu resetku, a ako su jednako dugi, resetku zo-vemo rombska.

Ukoliko resetka posjeduje tetragiru okomitu na resetku, rezultat je kvadratnaresetka. Zadnja mogucnost je da resetka posjeduje heksagiru okomitu na resetku, do-bivamo heksagonsku resetku.

Slika 2.4: Pet dvodimenzionalnih Bravaisovih resetki: (a) kvadratna, (b) rombska, (c)pravokutna, (d) paralelogramska, (e) heksagonska resetka. Vektori a1 i a2 su primitivnivektori translacije, dok je φ kut izmedu njih.

Paralelogramska resetka ima rotaciju za 1800 i translaciju, dok zrcaljenja nema.Pravokutnu resetku mozemo translatirati i rotirati za kut 1800, ali ima jos i osnusimetriju. Rombska resetka uz osnu i kliznu simetriju (o kojoj cemo kasnije detaljnijegovoriti) ima jos translaciju, te rotacije za 1800 i 900. Heksagonska resetka je resetka snajvecim brojem rotacija, to su rotacije za kutove 600, 1200 i 1800. Ima jos i translaciju,osnu te kliznu simetriju. Bravaisove resetke u ravnini dovoljno je klasificirati obziromna osi rotacije.

34

2.4 Kristalni sustavi

Slicnom ”metodom iscrpljivanja” mozemo zakljuciti da je u prostoru mogucedobiti sedam simetrijski razlicitih resetki koje zovemo kristalografski (kristalni)sustavi. Kao i za ravninske resetke, dovoljno je klasificirati resetke obzirom na osirotacije kroz ishodiste. Element simetrije koji je uvijek prisutan je centar simetrije, aza bazu uzimamo primitivnu bazu. Grupu svih simetrija resetke koje fiksiraju jednutocku zovemo holoedrija resetke.

Rekli smo da vektori a,b, c razapinju jedinicnu celiju, odnosno njene bridove. Ko-ordinatne osi odredene tim vektorima nazivamo kristalografske osi. To su zamisljenipravci koji prolaze kroz idealno srediste kristala. Imaju odredene smjerove u prostoru izatvaraju medu sobom odredene kutove. One daju koordinatni sustav u prostoru pogo-dan za opisivanje polozaja atoma i molekula u kristalu, koji nazivamo kristalografski(kristalni) sustav.

Kristalografski sustav se opisuje:

1) kristalografskim osima x, y, z;

2) parametrima po kristalografskim osima a, b, c (koji se poklapaju s duljinamastranica jedinicne celije);

3) kutovima izmedu kristalografskih osi α, β i γ;

4) pripadnim brojem atoma koji pripada jedinicnoj celiji.

Slika 2.5: Kristalografski sustav

Postoji 7 kristalnih sustava u trodimenzionalnom prostoru. To su triklinski, mono-klinski, rombski, trigonski (romboedarski), tertragonski, heksagonski i kubicni kristalnisustav.

35

1. U triklinskom kristalnom sustavu sva tri vektora razlicite su duljine, odnosnoresetka je odredena s tri vektora a,b, c od kojih nikoja dva nisu ortogonalna. Triklinskisustav prepoznajemo po odsustvu svih elemenata simetrije osim eventualno centrasimetrije.

a 6= b 6= c

α, β, γ 6= 900

Slika 2.6: Triklinski sustav

2. Monoklinski sustav je odreden s tri vektora razlicite duljine od kojih je jedanortogonalan sa ostala dva. Ovaj sustav prepoznajemo po jednoj ravnini simetrije i/ilijednoj digiri.

a 6= b 6= c

α 6= 900

β, γ = 900

Slika 2.7: Monoklinski sustav

36

3. Rombski sustav odreden je s tri medusobno orogonalna vektora razlicitih du-ljina. Za rombski sustav karakteristicne su tri medusobno okomite digire ili jedna digirakojom prolaze dvije medusobno okomite ravnine simetrije.

a 6= b 6= c

α = β = γ = 900

Slika 2.8: Rombski sustav

4. Trigonski sustav odreden je s tri jednako duga vektora. Od elemenata simetrijeimamo trigiru.

a = b = c

α, β, γ < 120◦, 6= 900

Slika 2.9: Trigonski sustav

37

5. Tetragonski sustav odreden je s tri medusobno ortogonalna vektora od kojihsu dva jednako duga. Za ovaj sustav karakteristicna je tetragira.

a = b 6= c

α = β = γ = 900

Slika 2.10: Tetragonski sustav

6. Heksagonski sustav odreden je s tri vektora, od kojih su dva jednake duljine izatvaraju kut 2π

3, a jedan je ortogonalan s njima. Za njega je karakteristicna heksagira.

a = b 6= c

α = β = 900

γ = 1200

Slika 2.11: Heksagonski sustav

38

7. Kubicni sustav je odreden s tri jednako duga i medusobno ortogonalna vektora.Karakteristicne su cetiri trigire.

a = b = c

α = β = γ = 900

Slika 2.12: Kubicni sustav

Najopcenitiji sustav je triklinski sustav, kao simetrije resetke pojavljuju se samotranslacije i centralna simetrija. Jedinicna celija tada ima oblik kose cetverostraneprizme. Pretpostavimo da resetka kao simetriju posjeduje rotaciju oko osi o reda n ∈{2, 3, 4, 6}. Za n = 3, 4, 6 su za svaku tocku resetke A1 njeni obzirom na o zarotiranipolozaji A2, . . . , An komplanarne tocke iste resetke. I za n = 2 se takoder moze poka-zati da postojanje osi rotacije povlaci postojanje ravninske podresetke okomite na tu

os. Nadalje, ako zbrojimo sve vektore−−→OAi, i = 1, . . . , n, dobivamo vektor paralelan s

o te slijedi da na osi o lezi beskonacno mnogo tocaka resetke. Nadalje, svaka ravninasimetrije resetke takoder mora sadrzavati beskonacno mnogo tocaka resetke. Zbog pos-tojanja centra simetrije i ravnine simetrije slijedi postojanje digire okomite na ravninusimetrije.

Ako resetka kao element simetrije posjeduje digiru, njen vektor smjera mora biti neki

od baznih vektora, recimo a. Tada je−→OA = a za neku tocku A ∈ L. Ako je

−−→OB = b i−→

OC = c, onda ravnine OAB i OAC odreduju dvije ravninske podresetke od L i nasadigira lezi u obadvije. Slijedi da su te dvije podresetke pravokutne ili rombske. Pokazujese da se moze uzeti da su obje pravokutne ili obje rombske. U oba slucaja govorimo omonoklinskom kristalnom sustavu - elementi simetrije su centar simetrije i jednadigira te zrcalna ravnina okomita na digiru.Holoedrija monoklinskog sustava uz obvezni centar simetrije posjeduje jos tocno dvaelementa simetrije: jednu digiru i na nju okomitu ravninu simetrije.

Moguce je i da resetka kao elemente simetrije posjeduje tri medusobno okomite digire.U tom slucaju imamo rombski kristalni sustav cija holoedrija kao elemente simetrijeima spomenute tri medusobno okomite digire, centar simterije i tri medusobno okomiteravnine simetrije.

39

Trigonski sustav dobivamo kad resetka kao element simetrije posjeduje jednu trigiru.Pokazuje se da se tada primitivna baza moze odabrati tako da su njeni vektori iste du-ljine i svaka dva zatvaraju isti (ali ne pravi) kut. Holoedrija trigonskog sustava sadrzii tri digire te cetiri ravnine simetrije. Trigonski sustav se cesto promatra kao podvrstaheksagonskog.

Ako resetka kao element simetrije posjeduje heksagiru, dobivamo heksagonski sus-tav. Holoedrija heksagonskog sustava kao elemente simetrije uz heksagiru posjeduje isest digira i sedam ravnina simetrije.

Pri postojanju jedne tetragire imamo tetragonski sustav; u holoedriji se uz nju po-javljuju i cetiri digire i cetiri ravnine simetrije. Jedinicnu celiju tetragonskog sustavamozemo zamisliti kao uspravnu kvadratnu prizmu.

Kubicni sustav kao elemente simetrije holoedrije posjeduje tri medusobno okomitetetragire, cetiri trigire, sest digira te devet ravnina simetrije. Jedinicna celija je oblikakocke.

Slika 2.13: (a) Kubicni sustav s odgovarajucim elementima simetrije, (b) rombski sustav

2.5 Trodimenzionalna Bravaisova resetka

S obzirom na pretpostavljenu unutarnju gradu kristala po nacelu prostorne resetke,postavljamo pitanje koliko je uopce pravilnih rasporeda moguce, a da razmjestaj svihsusjednih cestica oko bilo koje odabrane cestice bude uvijek isti. Drugim rijecima, ko-liko ima tipova pravilnih prostornih resetki za kristale. Jos 1850. godine Bravais jeteorijski izveo 14 mogucih tipova kristalne resetke (Bravaisove resetke) prikazanih naSlici 2.14.

Uvedimo notaciju (Pearsonovi simboli): P je oznaka za jednostavnu ili primitivnu Bra-vaisovu resetku (odredena je primitivnom kristalografskom bazom). I je oznaka zavolumno centriranu (u sredini celije nalazi se dodatna tocka), a F je oznaka za plosnocentriranu Bravaisovu resetku (na sredini strana celije nalaze se dodatne tocke), C jeoznaka za plosno centriranu na dvije nasuprotne plohe.

40

Triklinski Monoklinski

Rombski

Trigonski Heksagonski Tetragonski

Kubicni

Slika 2.14: 14 Bravaisovih resetki u tri dimenzije, prikazanih u 7 kristalnih sustava.Oznacene su duljine bridova i kutovi izmedu ploha.

U kubicnom sustavu postoje P, F i I tipovi Bravaisovih resetki. U heksagonskomsamo tip P . Tetragonski sustav sadrzi P i I tip. Trigonski sustav samo resetku P .U rombskom sustavu imamo resetke P,C, F i I. Monoklinski sustav ima resetke P iC, a triklinski P . Umjesto Pearsonovih simbola koriste se jos i tzv. ”Strukturbericht”oznake: SC,BCC, FCC i HCP (u primjerima koji slijede dano je njihovo znacenje).

Primjer 1 Jednostavna kubicna resetka (SC-eng. simple cubic)Primitivni vektori translacije resetke jednostavne kocke su jednostavno bridovi kockeduljine stranice a. Njena primitivna jedinicna celija je konvencionalna kocka. Kompo-

41

nente primitivnih vektora jednostavne kocke su:

a1 = a(1, 0, 0); a2 = a(0, 1, 0); a3 = a(0, 0, 1).

Slika 2.15: SC-resetka

Volumen jedinicne celije zadan je s

V = a1(a2 × a3) = a3.

Jedini materijal koji kristalizira u SC kristalnoj resetki je α-polonij.

Primjer 2 Volumno centrirana kubicna resetka (BCC-eng. body-centered cubic)Jedinicna celija volumno centrirane kocke ima na 8 vrhova po 1 atom i jos jedan nasredini kocke. Svaki od 8 atoma na vrhovima pripada i susjednim jedinicnim celijama,tako da samo 1

8atoma pripada jednoj jedinicnoj celiji . Od svih 8 atoma na vrhovima

jednoj celiji pripada samo 1 atom (8 atoma×18

= 1 atom). Jedan atom u sredini celijepripada samo toj celiji. Prema tome, BCC jedinicnoj celiji pripadaju 2 atoma.

Primitivni vektori translacije resetke volumno centrirane kocke su vektori koji pocinjuu centrima neprimitivne konvencionalne kocke stranice duljine a:

a1 =1

2a(−1, 1, 1); a2 =

1

2a(1,−1, 1); a3 =

1

2a(1, 1,−1).

Slika 2.16: BCC-resetka

42

Volumen primitivne jedinicne celije zadan je s

V = a1(a2 × a3) =a3

2.

Poznati materijali koji kristaliziraju u BCC kristalnoj resetki su srebro, zlato, bakar,stroncij, α-kalcij, β-lantan, γ-zeljezo,...

Primjer 3 Plosno centrirana kubicna resetka (FCC-eng. face-centered cubic)Jedinicna celija FCC resetke je kocka na cijim vrhovima se nalazi 8 atoma, a u sredinisvake od 6 ploha nalazi se po jedan atom. Svaki od 8 atoma na vrhovima pripada isusjednim jedinicnim celijama, tako da samo 1

8atoma pripada jednoj jedinicnoj celiji.

Od svih 8 atoma na vrhovima jednoj celiji pripada samo 1 atom (8 atoma×18

= 1atom ). Svaki od 6 atoma u sredini plohe pripada jos jednoj susjednoj jedinicnoj celiji,pa jednoj jedinicnoj celiji pripadaju 3 atoma (6 atoma×1

2= 3 atoma). Pripadni broj

atoma za FCC jedinicnu celiju iznosi ukupno 4 atoma.

Slika 2.17: (a) FCC Bravaisova resetka; (b) model krutih kuglica; (c) izolirana jedinicnacelija

Primitivni vektori translacije resetke plosno centrirane kocke zavrsavaju u sredinamastranica neprimitivne kubicne celije:

a1 =1

2a(0, 1, 1); a2 =

1

2a(1, 0, 1); a3 =

1

2a(1, 1, 0).

Slika 2.18: FCC-resetka

43

Primitivna jedinicna celija plosno centrirane kocke nije kocka, nego romboedar, te jevolumen primitivne jedinicne celije zadan s

V = a1(a2 × a3) =a3

4.

Poznati materijali koji kristaliziraju u FCC kristalnoj resetki su: litij, natrij, kalij,niobij, molibden, barij,...

Primjer 4 Heksagonska resetka (HCP-eng. ”close-packed” hexagonal lattice)Primitivni vektori translacije heksagonske resetke, gdje je a duljina baze prizme, a cduljina visine prizme, zadani su s

a1 = a(1, 0, 0); a2 =1

2a(−1,

√3, 0); a3 = c(0, 0, 1).

Slika 2.19: HCP-resetka

Volumen primitivne jedinicne celije zadan je s

V =a2√

3

2c.

Uobicajeno je da se za razmak od stomilijuntinke centimetara upotrebljava naziv an-gstrem, po svedskom astronomu i geofizicaru Angstromu (A). Npr. jedinicna celijakuhinjske soli (NaCl) ima izgled kocke duljine brida 5, 628× 10−8 cm, tj. 5, 62A.

2.6 Schoenfliesova i Hermann-Mauguinova notacija

Nijemac Carl Hermann (1898. - 1961.) i francuz Charles Mauguin (1878.-1958.) neo-visno jedan o drugome predlozili su pojednostavljeno i lako razumljivo opisivanje ele-menata simetrije i grupe simetrija, te su od 1933. godine rezultate poceli zajednoobjavljivati u International Tables for Chrystallography. U okviru Medunarodne kris-talografske zajednice dogovoreno je da se prihvate Hermann-Mauguinove (u nastavku

44

HM) oznake za opisivanje elemenata simetrije, tockinih i prostornih grupa. Iako je HMnotacija postala internacionalna, uz njih se koristi jos jedna: Schoenfliesova (u nas-tavku S), nazvana po nijemcu Arthuru Moritzu Schoenfliesu (1853.-1928.). Zajednickoobjema notacijama je da za dani kristal, odnosno grupu simetrija, navode minimalanskup elemenata simetrije iz kojeg je moguce dobiti sve ostale.Objekti bez netrivijalnih simetrija spadaju u grupu 1, odnosno C1. Centar inverzije uHM oznacava se s 1, a u S notaciji s Ci. Iste su oznake za grupu simetrija objekatakoja sadrzi samo identitetu i inverziju.Osi simetrije (s minimalnim kutem rotacije 2π

n, kako smo vec spominjali u HM

oznacavaju se s n, a u S notaciji s Cn. Prema kristalografskoj restrikciji u obzir dolazesamo osi 2, 3, 4 i 6, odnosno C2, C3, C4 i C6. Osi rotoinverzije reda n oznacavaju se sn. U HM uvijek se kao prvi od svih elemenata simetrije navodi tzv. glavna os rotacijeili rotoinverzije, tj. os najveceg reda. Ukoliko objekt (npr. kristalna resetka) ima viseekvivalentnih5 osi reda n, onda znak n oznacava cijeli skup medusobno ekvivalentnihosi.

Primjer Promotrimo li pravilnu uspravnu sesterostranu prizmu, uocavamo da imajednu heksagiru i sest na nju okomitih digira, stoga ce se prvo istaknuti broj 6 pri no-taciji pripadne grupe simetrija.

HM oznaka za zrcalnu ravninu je m (od eng. mirror), a u S notaciji oznaka je σ (even-tualno s indeksom h ili v ako se zeli istaknuti je li okomita ili pak sadrzi os rotacije).Ukoliko grupa simetrija sadrzi samo identitetu i zrcalnu ravninu, HM oznaka za tugrupu je m, a S oznaka je Cs. Znak m se nadopisuje ako zrcalna ravnina sadrzi glavnuos rotacije, a pise kao nazivnik ako je okomita na glavnu os.

Primjer Oznaka 2m

predstavlja digiru s na njom okomitom zrcalnom ravninom.

Dakle, HM oznaka za os n s na njom okomitom zrcalnom ravninom je nm

, a odgo-varajuca S notacija je Cnh.Uocimo da je rotoinverzija oko osi drugog reda isto sto i zrcaljenje obzirom na tu oskoja prolazi centrom inverzije. Stoga umjesto 2, u HM pise m. Nadalje, uocimo da je3m

isto sto i 6, tj. svejedno je zarotiramo li tocku oko osi za 1200 pa zrcalimo obziromna tu os okomitu ravninu ili pak zarotiramo za 600 pa invertiramo obzirom na sjecisteosi s tom ravninom.

2.7 Tockine grupe

Tockine grupe su grupe simetrija koje ostavljaju jednu tocku prostora (ravnine, pravca)fiksnom. Kako translacije za nenul vektor nemaju fiksnih tocaka, slijedi da translacijene mogu biti elementi tockinih grupa. Tockina grupa kristala je podgrupa od holoedrije.Da bi neka konacna grupa mogla biti tockina grupa kristala, ona se mora moci vjernoreprezentirati (vise vidi u [4]) kao podgrupa od SL3(R).

5Geometrijski objekti vezani za kristalnu resetku su ekvivalentni, ako se jedan iz drugog mogudobiti translacijom.

45

Kada tockinim grupama pristupamo vise geometrijski, govorimo o kristalnim klasama.

Posljedica kristalografske restrikcije je da postoje ukupno 32 tockine grupe. Razliku-jemo tockine grupe prve i druge vrste, ovisno o tome jesu li u njima iskljucivo rotacije(elementi s determinantom 1) ili sadrze i rotoinverzije (elementi s determinantom -1).Od ukupno 32 tockine grupe, njih 11 je prve, a 21 druge vrste.

Dokaz da postoji 11 tockinih grupa prve vrste koristi teoriju reprezentacija grupa (visevidi u [6]) kojom se dokazuje da takve grupe mogu imati red koji je djelitelj od 24,dakle mogu biti redova 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ili 24.Poznato je koliko apstraktnih grupa postoji za te redove: 1, 1, 1, 2, 2, 5, 5, 15. Stogapostoje najvise 32 neizomorfne tockine grupe prve vrste iz kojih se zatim eliminiraju oneciji elementi ne zadovoljavaju kristalografsku restrikciju, te ih preostane 11. KoristeciS i HM notaciju za elemente simetrija i tockine grupe, ovih 11 tockinih grupa prvevrste oznacavamo s

C1, C2, C3, C4, C6, D2, D3, D4, D6, T, O.

Tockine grupe C1, C2, C3, C4, C6 nazivamo ciklicke grupe. Znamo da je grupa ciklickaako mozemo naci njen element r (generator grupe) tako da sve ostale elemente dobijemokao rn za neki n ∈ N. Kao sto smo rekli ciklicku grupu reda n oznacavamo s Cn u Snotaciji ili jednostavnije s n u HM notaciji.Prisjetimo se: grupa je diedralna ako mozemo naci dva elementa r i s takva da sesvaki njen element moze zapisati u obliku rnsm za neke n,m ∈ N0 i to tako da je

rn = s2 = e

rs = srn−1.

Njen red je 2n, a oznacava se s Dn. U Poglavlju 1 imali smo dva primjera diedralnihgrupa, to su bile grupe D3 i D4. Rekli smo da ih shvacamo kao grupe simetrija pravil-nog n - terokuta, gdje je r rotacija za kut 2π

n, a s zrcalna simetrija obzirom na ravninu

okomitu na n - terokutu koji prolazi kroz neku od visina doticnog. Zbog kristalografskerestrikcije, kao tockine grupe od diedralnih moguce su samo D2, D3, D4, D6. NjihoveHM oznake su redom 222, 32, 422 i 62. Time smo upoznali 9 od 11 tockinih grupaprve vrste. Preostale dvije tockine grupe prve vrste su Tetraedarska grupa rotacija T iOktaedarska grupa rotacija O. Ne radi se o grupama svih simetrija pravilnog tetraedrai oktaedra, jer one sadrze i rotoinverzije, vec o njihovim podgrupma koje sadrze sveelemente determinante 1, tj. samo one simetrije tetraedra i oktaedra koje su rotacije.Grupa T (HM oznaka je 23) je reda 12. Geometrijski je karakterizirana sljedecim ele-mentima simetrije: 3 medusobno okomite digire i 4 medusobno okomite trigire. GrupaT je podgrupa grupe O (HM oznaka je 432), koja ima 24 elementa i geometrijski jekarakterizirana s 3 medusobno okomite tetragire, 3 medusobno okomite trigire i 6 digira.

Promotrimo sada tockine grupe druge vrste, tj. one cije vjerne reprezentacije sadrzeortogonalne matrice s determinantom -1. Neka je G0 takva tockina grupa, a (G0)

′njena

podgrupa rotacija.Osim vec poznatih 11 tockinih grupa prve vrste kao tockine grupe druge vrste koje

46

njima nisu izomorfne, imamo njihove produkte s C2. No, od 11 mogucih, samo 7 dajunove tockine grupe:

C4 × C2, C6 × C2, D2 × C2, D4 × C2, D6 × C2, T × C2, O × C2.

Kompozicija dvije rotacije ili dvije rotoinverzije je rotacija, dok je kompozicija rotacijei rotoinverzije rotoinverzija. To je posljedica Binet-Cauchyjevog teorema. Posljedica daje kompozicija vise operatora simetrije rotacije/rotoinverzije ako je u toj kompozicijisudjelovalo tocno paran/neparan broj rotoinverzija.Slijedi da svaka tockina grupa sadrzi jednako mnogo rotacija i rotoinverzija.Napomenimo da u tockinoj grupi druge vrste skup svih rotacija cini podgrupu. Tolako provjerimo koristeci Teorem 1.4, odnosno ”kriterij podgrupe”.

Buduci da rotacije cine podgrupu P1 tockine grupe druge vrste i buduci da se sverotoinverzije u njoj mogu shvatiti kao kompozicija jedne fiksne rotoinverzije redom sasvim rotacijama iz grupe, te uzevsi u obzir da simetrije tockine grupe fiksiraju sveelemente simetrije, slijedi da se sve tockine grupe druge vrste mogu naci tako da kom-biniramo grupe prve vrste s po jednom dodatnom rotoinverzijom koja fiksira sve praveosi rotacije. Prije nastavka uvedimo ovakav dogovor: ravnina simetrije koja prolaziglavnom osi rotacije/rotoinverzije zove se vertikalna ravnina simetrije, a ona kojaje okomita na glavnu os je horizontalna ravnina simetrije.

Uzmimo prvo trivijalnu grupu 1 = C1. Ako njoj dodamo centralnu simetriju 1 dobitcemo grupu 1 = Ci, drugu od mogucih tockinih grupa kristala triklinskog sustava (ito je holoedrija). Ako pak trivijalnoj grupi dodamo zrcaljenje obzirom na samo jednuravninu, dobivamo grupu m = Cs. Obje ove grupe su grupe druge vrste reda 2 triklin-skog sustava.Promotrimo li pak grupu 2 = C2, vidimo da rotoinverzija koja fiksira digiru moze bitizrcaljenje obzirom na horizontalnu ravninu simetrije. Grupa koja sadrzi rotaciju reda2 (dakle, dvije rotacije 1 i 2) i zrcaljenje obzirom na horizontalnu ravninu prema vecpokazanom ima red 4. Ta grupa oznacava se s 2

m= C2h (holoedrija monoklinskog sus-

tava). Mogli smo ju shvatiti i kao 2 s dodanom centralnom simetrijom. Tockine grupe2, m i 2

msu sve koje su moguce u monoklinskom sustavu.

Promotrimo moguce tockine grupe u rompskom sustavu. Jedina prve vrste je grupa222. Drugu dobijemo ovako: ako grupa sadrzi rotaciju drugog reda, zrcaljenje koje fik-sira digiru moze biti i obzirom na vertikalnu ravninu σ1. No, u tom slucaju kompozicijate dvije simetrije je zrcaljenje obzirom na drugu vertikalnu ravninu σ2 okomitu na σ1.Stoga takva grupa ima red 4 i sadrzi rotaciju oko digire te zrcaljenja obzirom na dvijemedusobno okomite vertikalne ravnine. To je grupa mm2 = C2v. Primijetimo li da kaosimetriju koja fiksira sva tri spomenuta elementa simetrije mozemo dodati i zrcaljenjeobzirom na horizontalnu ravninu σ, vidjet cemo da σi ∩ σ predstavljaju digire. Dobilismo grupu reda 8 koja je holoedrija rombskog sustava i oznacava se s 2

m2m

2m

= D2h.

U trigonskom sustavu uz tockine grupe C3 i D3 mozemo naci jos tri grupe druge vr-ste. Ako grupi C3 dodamo centralnu simetriju, dobivamo grupu reda 6 koja se oznacavas 3 = C3i. Ukoliko grupi C3 dodamo zrcaljenje obzirom na vertikalnu ravninu simetrije,trigira tu ravninu ponovi jos dvaput. Time smo dobili grupu 3m = C3v koja je reda 6.

47

Holoedriju trigonskog sustava dobivamo ako grupi 3m dodamo i digiru. Takva digiramora biti okomita na trigiru (da bi ju fiksirala) te moraju biti tri takve digire. Oneili leze na simetralama izmedu po dvije od ravnina simetrije ili u njima. Ako leze nasimetralama, dobivamo spomenutu holoedriju triklinskog sustava, tockinu grupu reda12 koju oznacavamo 3 2

m= D3d. U drugom slucaju biti cemo u heksagonskom sustavu.

U heksagonskom sustavu mozemo naci sedam tockinih grupa, od kojih su prvevrste 6 i 622. Kao i ranije, rotaciji reda 6 mozemo dodati centralnu simetriju (ili, sto jeekvivalentno, zrcaljenje obzirom na ravninu okomitu na heksagiru). Dobili smo grupu6m

= C6h reda 12.U heksagonski sustav spadaju i dvije tockine grupe koje bi naizgled zbog postojanjatrigire (a nepostojanja heksagire) trebale spadati u trigonski. Radi se zapravo o roto-inverznim heksagirama koje su ekvivalentne trigirama s na njih okomitim ravninamazrcaljenja. Prva takva je 6 = C3h. Druga je 6m2 = D3h (reda 12) koja uz rotoinverznuheksagiru kao elemente simetrije sadrzi tri vertikalne ravnine, jednu horizontalnu i tridigire u presjecima po jedne vertikalne s horizontalnom ravninom simetrije. Zadnjedvije tockine grupe heksagonskog sustava su 6mm = C6v (koju dobijemo dodavanjemvertikalne ravnine simetrije u 6 te se ona ponovi 6 puta; grupa je reda 12) te holoedrijaheksagonskog sustava: grupa 6

m2m

2m

= D6h koju dobijemo dodavanjem horizontalne rav-nine simetrije grupi 6mm (i posljedicno 6 digira na presjecima vertikalnih s horizontal-nom ravninom). Holoedrija heksagonskog sustava ima red 24. Kao i u heksagonskom,tako i u tetragonskom sustavu imamo 7 tockinih grupa. Prve vrste su 4 i 422, a ostalihpet su druge vrste.Dodavanje centralne simetrije grupi 4 ekvivalentno je dodavanju horizontalne ravninesimetrije. Dobivamo grupu 4

m= C4h reda 8. Rotoinverznu tetragiru sadrze dvije grupe

tetragonskog sustava. Grupa 4 = S4 je reda 4 i rotoinverzna tetragira joj je jedinielement simetrije. Grupa 4m2 = D2d uz rotoinverznu tetragiru sadrzi i vertikalnu rav-ninu simetrije. Zbog operacije 4 pojavi se jos jedna na nju okomita ravnina simetrije,a posljedica su i dvije horizontalne digire na simetralama vertikalnih ravnina simetrije.Grupa je reda 8. Reda 8 je i grupa 4mm = C4v (koju dobijemo dodavanjem vertikalneravnine simetrije u 4 te se ona ponovi 4 puta). Holoedrija tetragonskog sustava je grupa4m

2m

2m

= D4h koju dobijemo dodavanjem horizontalne ravnine simetrije grupi 4mm (iposljedicno 4 digire na presjecima vertikalnih s horizontalnom ravninom). Holoedrijatetragonskog sustava ima red 16.

Kubicni sustav sadrzi pet tockinih grupa, od kojih su prve vrste 23 = T i 432 = O.Elemente simetrije grupe T fiksira zrcaljenje obzirom na svaku ravninu kroz dvije di-gire, stoga ako takve postoje, ima ih 3. Posljedicno se pojavljuje i centar simetrije tesmo dobili grupu 2

m3 = Th reda 24. Iz grupe T dodavanjem ravnina simetrije kroz po

dvije trigire mozemo generirati i grupu 43m = Td svih simetrija pravilnog tetraedra,koja je takoder reda 24. Td ne sadrzi 1 (centar simetrije je nekompatibilan s rotoinverz-nom tetragirom).Iz grupe O grupu svih simetrija pravilnog oktaedra (odnosno kocke), koja ima red 48,dobijemo dodavanjem ravnina simetrije kroz po dvije digire (ili, u ovom slucaju to jeekvivalentno, kroz po dvije trigire).

48

Slika 2.20: Pregled svih tockinih grupa

2.8 Prostorne grupe

Kombinacijom 32 tockine grupe s 14 Bravaisovih resetki dobivamo prostorne grupe.No, nije svaka od 32 tockine grupe kompatibilna sa svakom od 14 Bravaisovih resetki.Pokazalo se da u tri dimenzije dobivamo 230 prostornih grupa koje opisuju sve mogucesimetrije kristala. Do ovog saznanja prvi je dosao ruski kristalograf J. S. Fjodorov, agotovo istovremeno, drugom metodom, njemacki matematicar Schoenflies. Nesto ka-snije, pomocu X-zraka, njemacki fizicar M. Laueu je dokazao ispravnost ove tvrdnje.

Definicija 2.4 Prostorna grupa je grupa G svih simetrija kristala, dakle grupa svihizometrija prostora za koje je kristal invarijantan.

Kako je T (grupa svih translacija) normalna podgrupa grupe G, moguce je rastaviti Gna klase obzirom na T , a pripadna kvocijentna grupa G/T je tockina grupa G0 (tocnijenjoj izomorfna). Svaka T je pak jedna od 14 mogucih translacijskih grupa. Ocito sunam za opis prostorne grupe stoga potrebni podaci o T (tj. pripadnost odredenoj Bra-vaisovoj resetki) i tockinoj grupi G0 (pripadnost klasi kristala), no to nije dovoljno.Pokazuje se da je za potpun opis prostorne grupe potreban i skup tzv. neprimitivnihtranslacija.Kao simetrije u obzir dolaze ne samo translacije, rotacije i rotoinverzije (koje ukljucujui zrcaljenja), nego i njihove kompozicije. Uvodimo dodatne elemente simetrije, a to suvijcana os i klizna ravnina. Kompozicija rotacije i translacije dogada se oko tzv.

49

vijcane osi i ona nije ekvivalentna nekoj translaciji niti nekoj rotaciji. Slicno se ele-ment simetrije za kompoziciju zrcaljenja i translacije zove klizna ravnina. Pripadnatranslacija ne mora sama po sebi biti simetrija kristala, te nju zovemo neprimitivnomtranslacijom. Ako je svaka takva neprimitivna translacija element od T , onda kao njenpredstavnik mozemo uzeti nulvektor.Ovakve prostorne grupe zovemo simorfne grupe. Prostorna grupa u ovakvomsimorfnom slucaju je u biti direktan produkt tockine grupe i grupe translacija.Postoje 73 simorfne prostorne grupe. Osim njih postoji jos i 157 prostornih grupa,dakle onih u kojima imamo operacije kliznog zrcaljenja ili ”vijaka”. Ovakve prostornegrupe nazivamo nesimorfne grupe.

Primjer na Slici 2.21 prikazuje jedan nesimorfan slucaj. Prikazana resetka ima viseatoma u jedinicnoj celiji i primitivne vektore translacije

a1 = (2, 0) i a2 = (0, 2).

Resetka nije invarijantna na zrcaljenje preko pravca AA′, niti je invarijantna na trans-

laciju duz vektora 12a1, ali je zato invarijantna na kompoziciju ove dvije operacije.

Slika 2.21: Dvodimenzionalna resetka sa smjerom klizanja AA′.

U monoklinskom sustavu moguce su P i C resetke, a tockine grupe monoklinskog sus-tava su 2

m, 2 i m (dogovorno: smjer elementa simetrije u smjeru b). Stoga je za prostorne

grupe monoklinskog sustava moguce dobiti vijcane digire i klizne ravnine u smjeru a ic. Kako nije potrebno razlikovati ta dva smjera, dogovorno uzimamo da se takvi ”kom-ponirani” elementi simetrije pojavljuju u smjeru c.

Vijcane osi oznacavamo njenim redom s indeksom koji kaze koliki je pomak. Primje-rice, 41 je vijcana tetragira kod koje je rotacija komponirana s translacijom za 1

4duljine

vektora baze koji joj odreduje smjer.

Klizne ravnine oznacavamo ovisno o tom u kojem smjeru dolazi do klizanja. Oznakea, b, c znace da u smjeru oznacene kristalografske osi imamo translaciju za pola njene

50

duljine. Oznaka n odnosi se na kompoziciju zrcaljenja s translacijom za xa + yb + zc,gdje su bar dva od x, y, z jednaka 1

2, a treci je 1

2ili 0. Oznaka d odnosi se na kompoziciju

zrcaljenja s translacijom za xa + yb + zc, gdje su bar dva od x, y, z jednaka 14, a treci

je 14

ili 0.

Princip cemo objasniti na monoklinskom sustavu. Prvo oznacimo tip Bravaisoveresetke (ovdje: P ili C). Ostali simboli izvode se iz tockine grupe. Tako prije svegau monoklinskom sustavu imamo prostorne grupe P 2

m, P2 i Pm. No, uz obicne ele-

mente simetrije mogu se pojaviti i vijcana digira 21 (u smjeru b) i klizna ravnina c.Stoga su moguce i prostorne grupe P 21

m, P21 i Pc te P 2

ci P 21

c. U plosno centrira-

noj resetki mogli bismo ponoviti isti princip i tako dobiti jos osam prostornih grupaC 2m, C2, Cm,C 21

m, C21, Cc, C

2c

i C 21c

. No, tri od njih su vec ukljucene u P - grupe(C 21

m, C 21

ci C21) te nam ostaje 8 + 8− 3 = 13 prostornih grupa monoklinskog sustava.

Na temelju oznake prostorne grupe mozemo se zakljuciti koja tockina grupa odgovarapromatranoj prostornoj grupi, npr. Cmca je nastao iz mmm, sto je skracena oznakaza 2

m2m

2m

.Od 230 prostornih grupa, u triklinskom sustavu ih se nalaze 2, monoklinskom 13, 59 ihpripada rombskom, 25 trigonskom, 27 heksagonskom, 68 tetragonskom, 36 kubicnom.

51

Bibliografija

[1] F. M. Bruckler, Matematicke metode u kemiji, PMF Zagreb, Matematicki odjel,Zagreb, 2008.

[2] F. M. Bruckler, I.Pazanin, Matematika 2 za kemicare, PMF Zagreb, Kemijskiodjel, Zagreb, 2009.

[3] K. Burazin, Varijacijska teorija faznih prijelaza, diplomski rad, PMF Zagreb, 1999.

[4] P. M. Chaickin, T. C. Lubensky, Principles of condensed matter physics, Cam-bridge, 1998.

[5] F. A. Cotton, Chemical Applications of Group Theory, Wiley, 1963.

[6] M.Hall, The Theory of Groups, AMS, 2000.

[7] H. Hilton, Mathematical Crystallography and the Theory of Groups of Movements,Clarendon Press, 1908.

[8] P. Jacobs, Group Theory with Applications in Chemical Physics, Cambridge Uni-versity Press, 2005.

[9] D. L. Johnson, Symmetries, Springer-Verlag, 2001.

[10] H. Kraljevic, Vektorski prostori, Sveuciliste u Osijeku, Odjel za matematiku, Osi-jek, 2005.

[11] S. Kresic - Juric, Algebarske strukture, PMF Split, Odjel za matematiku, Split,2009.

[12] S. Kurepa, Konacno dimenzionalni vektorski prostori i primjene, Tehnicka knjiga,Zagreb,1990.

[13] V. V. Nikulin, I. R. Shafarevich, Geometries and Groups, Springer-Verlag, BerlinHeidelberg,1994.

[14] B. Pavkovic, D. Veljan, Elementarna matematika 2, Skolska knjiga, Zagreb, 1995.

[15] S. Sacer, Simetrije i kristali, diplomski rad, Odjel za matematiku, 2005.

[16] D. Schwarzenbach, Crystallography, John Wiley & Sons, New York, 1996.

[17] B. Sirola, Algebarske strukture, PMF Zagreb, Matematicki odjel, Zagreb, 2010.

[18] http://img.chem.ucl.ac.uk/sgp/large/sgp.htm

52

Sazetak

U ovom radu govori se o grupama i primjeni grupa simetrija na kristalografiju.Prva glava govori o teoriji grupa i osnovnim pojmovima teorije grupa. To su grupe, pod-grupe, homomorfizmi, normalne grupe, grupe permutacija, simetricne grupe, ciklicke idiedralne grupe.U drugom dijelu rijec je o kristalografiji. Govori se o gradi kristala. Savrseni kristalse sastoji od niza strukturalnih jedinica koje su periodicki razmjestene u prostoru iponavljaju se. Ta ponavljana strukturalna jedinica naziva se jedinicna celija. Podijelilismo sve kristale na sedam kristalnih sustava. Opisali smo Bravaisove resetke, tockinei prostorne grupe. U trodimenzionalnom prostoru postoji najvise cetrnaest razlicitihBravaisovih resetki. Postoje 32 tockine i 230 prostornih grupa.

53

Summary

This work deals with groups and applications of symmetry groups in crystallography.The first chapter is about group theory and basic concepts of group theory. We descri-bed groups, subgroups, homomorphisms, normal groups, permutation groups, symme-try groups, cyclic and dihedral groups.The second chapter deals with crystallography. We described crystal structures. A per-fect crystal consists of a space-filling array of periodically repeated identical copies of asingle structural unit. The repeated structural unit is called a unit cell. The classifica-tion of crystals into 7 crystals systems is also given here. We described Bravais lattices,point groups and space groups. In tree dimensions, there are 14 distinct Bravais lattices.There are 32 point groups and 230 space groups.

54

Zivotopis

Anita Antunovic rodena je 19. studenog 1985. u Dakovu.Gimnaziju ”A. G. Matosa” u Dakovu zavrsila je 2004. godine s odlicnim uspjehom. NaOdjel za matematiku Sveucilista J. J. Strossmayera u Osijeku upisuje se akademske2004./05. godine i to na smjer: Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike.

Dobitnica je stipendija:

2005. - 2007. - Stipendija Ministarstva znanosti, obrazovanja i sporta RepublikeHrvatske za redovite studente

2007. - 2010. - Stipendija Osjecko-baranjske zupanije u kategoriji darovitih stude-nata

55