TEMA 6

CENTROIDES Y MOMENTOS DE INERCIA DE AREAS PLANAS

INTRODUCCION

El estudio de las condiciones estticas internas de una seccin, como son encontrar su centro de gravedad, que en el caso de reas planas se conoce como centroide, permite ubicar los ejes centroidales de los cuerpos rgidos sobre los cuales trabajan los sistemas de fuerzas actuantes, tanto externas como internas, de tal manera que la distribucin de esfuerzos sea uniforme, as mismo permite calcular los momentos estticos, momentos de inercia y radios de giros, los cuales en conjunto dan los requerimientos de diseo de las secciones de los elementos estructurales en una construccin.

OBJETIVO

Calcular las condiciones estticas internas de una seccin plana

CENTROIDES

Termino utilizado para definir el punto correspondiente al centro de gravedad de una seccin geomtrica de espesor infinitesimal, cuyo peso es despreciable.

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Conocer su posicin permite producir una distribucin uniforme de los esfuerzos en la seccin transversal de una estructura y localizar el eje neutro de las vigas sometidos a esfuerzos de flexin y corte.

El centroide de rea esta definido por las siguientes ecuaciones.

xo =

A* x ;A

(a)

Y

yo =

A* y ;A

(b)

Las coordenadas centroidales se expresan como cg (xo; yo), en unidades de longitud (cm, m).

Donde:

dA * x ; dA * y :

Momentos estticos de las reas respecto a los ejes x

e y. Representados como Qx y Qy, respectivamente A: rea total de la seccin.

x o ; yo : Coordenadas de los centros de gravedad respecto a los ejes x e y.

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CENTROIDE DE REA COMPUESTA

En el caso de secciones compuestas, se tomar un eje comn de referencia, se dividir en secciones de reas conocidas y se aplicarn las

ecuaciones de momento esttico a cada una de las secciones, respecto a dicho eje. El Momento esttico del rea total ser la sumatoria de los momentos de cada una de sus reas individuales y el centroide de la figura vendr dado por las mismas ecuaciones (a) y (b)

xo =

dA * x = A1 * x1 + A2 * x2 dA A1 + A2

y

yo =

dA * y = A1 * y1 + A2 * y 2dA A1 + A2

Los signos del momento esttico de un rea depende de los signos de A y de x, considerndose positivas las reas que se suman y negativas las reas que se restan; as mismo con respecto a x e y, se regirn por la posicin respecto al cuadrante entre los ejes cartesianos x e y, ya asumidos en este trabajo.

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MOMENTO ESTATICO

El momento esttico de una seccin geomtrica es el numerador de la formula para calcular los centrides, conocido como el primer momento de rea, se expresa en unidades longitud al cubo (cm3, m3).

Qy = dA * x

Y

Qx = dA * y

Cuando se calculan respecto al eje centroidal, los momentos estticos son iguales por arriba y por debajo del mismo, lo cual hace que su sumatoria sea nula, manteniendo el equilibrio esttico de la seccin. Es una caracterstica importante para el diseo por corte.

MOMENTO DE INERCIA

El Momento de Inercia de un rea finita, se define como la suma de los momentos de inercia de las reas que la componen, conocido tambin como segundo momento de rea es muy utilizado en las formulas de diseo de los elementos estructurales.

Las unidades en las cuales viene expresado el momento de inercia son medidas de longitud elevadas a la cuarta ( cm4, m4); no existen valores negativos para el momento de inercia total, se tomaran como positivos los de reas que sumen y negativos los de reas que resten, al rea total de la figura.

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Partiendo de la grafica, la expresin matemtica para los ejes coplanares x e y, vienen dadas por las formulas:

Ix = y 2 * dA = A * y 2

Y

Iy = x 2 * dA = A * x 2

Donde: Ixo e Iyo: Momentos de Inercia, respecto a los ejes xo e yo respectivamente. A: rea total de la seccin. xo e yo: coordenadas de los centrides respecto a los ejes x e y. C: centroide del rea total.

TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS O STEINER

Este teorema nos dice que El momento de inercia de un rea respecto a un eje cualquiera, es igual a la suma del momento de inercia axial respecto al eje centroidal paralelo, a dicho eje, ms el producto de su rea por el cuadrado de la distancia perpendicular entre ambos ejes.

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La expresin matemtica es:

Ix = IxO + Ad 2 yDonde: Ix e Iy:

Y

Iy = Iy O + Ad 2 x

momentos de inercia respecto al eje x e y respectivamente.

Ixo e Iyo: momentos de inercia respecto a eje xo e yo centroidales de cada rea A: rea de la seccin transversal.

d2 y ; d2 x : distancia entre el eje de referencia y el eje centroidal, yo xo.

RADIO DE GIRO

Se asume como una distancia uniforme a partir del eje de referencia a la cual se puede suponer que esta distribuida toda el rea. Es de mxima utilidad en el diseo estructural y se especifica en los manuales de perfiles estructurales comerciales o se determina por su expresin matemtica.

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k=

I A

o

I = k2 * A

Donde: K: radio de giro I: momento de Inercia, respecto a un eje dado. A: rea de la seccin.

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REFERENCIAS Beer, Ferdinand y Russell, Johnston. 1999. Mecnica Vectorial para Ingenieros. Esttica Editorial Mc Graw Hill. Pg. 210-215, 218, 222-223.

Hibbeler, R. C. 1992. Mecnica para Ingenieros. Esttica. Editorial. Pg. 340-348, 353-360, 379-394.

Huang, T.C. 1974.Mecnica para Ingenieros. Esttica. Fondo Educativo Interamericano. Pg. 241-270.

Jimnez, Lenni. Guas de la asignatura. Tema 4. Centros de Gravedad y Momentos de Inercia. UCLA. Agronoma.

Orozco,

Enrique.1999.

La

Esttica

en

los

Componentes

Constructivos.

Universidad Nacional experimental del Tchira. UNET. SerieTexto. Pg. 132-144.

Parker Harry, 1991. Texto simplificado de Mecnica y Resistencia de Materiales. Editorial Limusa S.A. de C.V, Mxico, DF. Pg. 103-130.

Pytel y Singer, Ferdinand. 1991. Resistencia de Materiales. Editorial Mxico. Pg. 502-516.

Harla.

Singer, Ferdinand. 1991. Mecnica para Ingenieros. Esttica. Editorial

Harla.

http://www.eng.iastate.edu/efmd/statics.htm#mecanics http://www.ual.es/aposadas/08_Estatica.pdf http://www.fisica.usach.cl/|didactic/estatica_murrieta.pdf http://www.fisicanet.fateback.com/materias/f1/f1_1/estatica.html-6k

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http://www.edu.aytolacoruna.es/aula/fisica/teoria/A_Franco/problemas/estatica/ esttica.htm http://www.mec.puc-rio.br/prof/dreux/estatica.htm/ http://www.ociv.utfsm.cl/docencia/academicos/Estatica_Estructuras/files/guia1. PDF http://www.ualg.pt/rlanca/sebenta_fisica/02_aulateorica_estatica_das_particulas_no_plano.pdf http://www.newton.cnice.es/4eso/esttica/estatica4.htm http://www.virtual.unaledu.co/cursos/ingenieria/2001734/

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