Momentos y Productos de Inercia...doc

Momentos de Inercia:Problemas ResueltosM. Chiumenti

Pro logoE S T E

libro recoge una parte del programa docente de la asignatura Meca nica, que se imparte

en la Escuela Tecnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de Barcelona,

dentro de las titulaciones de Ingeniera Civil e Ingeniera de la Construccio n. Su contenido abarca los temas relacionados con el calculo de los momentos estaticos de primer orden, centroides y momentos de inercias a traves de una amplia coleccio n de problemas resueltos. Por una parte, se calculan los momentos de inercia de las secciones mas simples por integracio n y por otra parte, se resuelven muchos problemas de secciones compuestas, secciones de pared delgada y secciones mixtas acero/hormigo n. Los problemas se explican paso a paso siguiendo la metodologa propuesta en las clases teo ricas de la asignatura.

L autor agradece a todos los profesores de la asignatura la ayuda recibida. Asimismo, se

agradece al Sr. Xavier Agullo su colaboracio n en las tareas de edicio n, al Sr. Rau l Gimenez, la delineacio n de las figuras y esquemas de resolucio n que se incluyen. Por u ltimo, se agradece el apoyo de la Escuela Tecnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de Barcelona, a traves de su programa de ayudas para la elaboracio n de material docente.

Michele ChiumentiBarcelona, Enero de 2012Indice general1. Secciones resueltas por integracio n1.1.Seccion rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........1

1.1.1.Calculo del area de la seccio n rectangular . . . . . . . . .........1

1.1.2.Calculo del momento de inercia Iy de la seccio n rectangular.......2

1.1.3.Calculo del momento de inercia Ix de la seccio n rectangular.......3

1.1.4.Calculo del producto de inercia Ixy de la seccio n rectangular.......4

1.2.Seccion triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........6

1.2.1.Calculo del area de la seccio n triangular . . . . . . . . . .........6

1.2.2.Calculo del momento de inercia Iy de la seccio n triangular........7

1.2.3.Calculo del momento de inercia Ix de la seccio n triangular........7

1.2.4.Calculo del producto de inercia Ixy de la seccio n triangular........8

1.3.Seccion parabo lica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........10

1.3.1.Calculo del area de la seccio n parabo lica . . . . . . . . .........10

1.3.2.Calculo del momento de inercia Iy de la seccio n parabo lica........11

1.3.3.Calculo del momento de inercia Ix de la seccio n parabo lica........12

1.3.4. Calculo del producto de inercia Ixy de la seccio n parabo lica........13

1.4.Seccio n circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........14

1.4.1. Calculo del area de la seccio n circular . . . . . . . . . . .........14

1.4.2. Calculo de los momentos de inercia de la seccio n circular........14

1.5.Cuarto de crculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........17

1.5.1. Calculo del area del cuarto de crculo . . . . . . . . . . .........17

1.5.2. Calculo de los momentos de inercia del cuarto de crculo .........18

V I

INDICE GENERAL2. Secciones compuestas 21

2.1.Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........21

2.1.1. Calculo del area y del centroide de la seccio n compuesta.........21

2.1.2. Calculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . ..........22

2.1.3. Calculo de los momentos principales de inercia . . . . ..........23

2.2.Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........25

2.2.1. Calculo del area y del centroide de la seccio n compuesta.........25

2.2.2. Calculo de los momentos de inercia . . . . . . . . . . ..........26

2.2.3. Calculo de los momentos principales de inercia . . . . ..........27

2.3.Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............29

2.3.1. Calculo del area y del centroide de la seccio n compuesta . . . . . . . . . 29

2.3.2.Calculo de los momentos de inercia . . . . . ...............30

2.3.3.Calculo de los momentos principales de inercia..............31

2.4.Problema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............33




2.5.Problema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............37




2.6.Problema 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............41




2.7.Problema 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............44


2.7.2. Calculo de los momentos de inercia . . . . . . ..............45

2.7.3. Calculo de los Momentos Principales de Inercia ..............46

2.8.Problema 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............47


INDICE GENERAL V I I3. Secciones de pared delgada3.1.Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................59

3.1.1.Calculo del area y del centroide de la seccio n...............59

3.1.2.Calculo de los momentos de inercia . . . . ................60

3.1.3. Calculo de los momentos principales de inercia..............61

3.2.Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............64

3.2.1. Calculo del area y del centroide de la seccio n ...............64

3.2.2. Calculo de los momentos de inercia . . . . . ...............65


3.3.Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............69




3.4.Problema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............73




3.5.Problema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............77




V I I I

INDICE GENERAL3.6. Problema 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............81

3.6.1.Calculo del area y del centroide de la seccio n...............81

3.6.2.Calculo de los momentos de inercia . . . . ................82


3.7. Problema 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............85




3.8. Problema 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............88




3.9. Problema 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............92




3.10. Problema 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............97




4. Secciones mixtas 101

4.1.Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............101

4.1.1. Calculo del area mecanica y del centro de masa de la seccio n mixta . . . 101

4.1.2.Calculo de los momentos de inercia mecanicos..............102


4.2.Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............105

4.2.1. Calculo del area mecanica y del centro mecanico de la seccio n mixta . . 105

4.2.2.Calculo de los momentos de inercia mecanicos..............106


4.3.Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............109


Indice general I X4.4. Problema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113


4.4.2. Calculo de los momentos de inercia mecanicos . . . . . . . . . . . . . . 114

4.4.3. Calculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . 115

4.5. Problema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116




4.6. Problema 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119




4.7. Problema 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122




4.8. Problema 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125




4.9. Problema 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129




4.10. Problema 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....132

4.10.1. Calculo del area mecanica y del centro mecanico de la seccio n mixta..132

4.10.2. Calculo de los momentos de inercia mecanicos . . . . . . . . . . ....133

4.10.3. Calculo de los momentos principales de inercia . . . . . . . . . . ....134

X Indice generalSecciones resueltas

por integracion1.1. Seccio n rectangularCalcular el area, los momentos de inercia y el producto de inercia de la seccio n rectangular

que se muestra a continuacio n.

Figura 1.1: Seccio n rectangular1.1.1. Ca lculo del a rea de la seccio n rectangularPara realizar el calculo del area de la seccio n dada nos apoyamos a la definicio n de la misma:

ZA = dA (1.1)

AEn la figura 1.2 se puede apreciar como el diferencial de area dA es una franja de espesor dx y altura h de tal manera que:

dA = h dx (1.2) El area se calcula como suma de estos diferenciales de area por x que corre entre 0 y b:

Z bA = h dx = h [x]b = b h (1.3)0Figura 1.2: Esquema del diferencial de a rea para calcular IyPara calcular la posicio n del centroide de la seccio n es necesario obtener los momentos estaticos segu n ambos ejes x y y definidos como:

Mx =My =

Z

YG dA (1.4a)

A

ZXG dA (1.4b)

A

donde XG y YG definen la posicio n del centroide de la franja de area dA. En este caso, valen:

XG = x (1.5a)

y (x) hYG =

= (1.5b)2 2de tal manera que los mementos estaticos resultan:

Mx =

Z hdA =

Z b h

(h dx) =

h [ x]b =

b h2

(1.6a)A 2 0 2

2 0 2

My =

Z

x dA =

Z bx (h dx) = h

x2 b=

b2h

(1.6b)A 0 2 0 2Una vez obtenidos los valores de los momentos estaticos, la posicio n del centroide de la

seccio n rectangular se halla como:

My bxg =

A = 2 (1.7a)Mx hyg =

A = 2 (1.7b)1.1.2. Ca lculo del momento de inercia Iy de la seccio n rectangularEl calculo del momento de inercia Iy (respecto del eje y en definido en la figura 1.1) se realiza facilmente considerando la subdivisio n de la seccio n segu n los mismos diferenciales de

area mostrados en la figura 1.2:Z Z b

x3 b 1Iy =

X 2 dA =A

x2 (hdx) = h

0

=3 0 3

b3h (1.8)

Una vez se ha obtenido el momento la inercia respecto al eje y, se puede transportar al eje yg(que pasa por el centroide de la seccio n) mediante el teorema de los ejes paralelos (o teorema de

Steiner): 2

1 3Iyg = Iy A 2

= b h (1.9)121.1.3. Ca lculo del momento de inercia Ix de la seccio n rectangularPara calcular el momento de inercia Ix , es conveniente dividir la seccio n en diferenciales de area de espesor dy, tal y como se muestra en la figura 1.3:

Figura 1.3: Esquema del diferencial de a rea para calcular IxEn este caso, el valor del diferencial de area dA resulta:

dA = b dy (1.10)

y la correspondiente posicio n del centroide de cada diferencial de area es:

bXG =

(1.11a)2YG = y (1.11b)

El calculo del momento de inercia Ix se realiza de la siguiente manera:

ZIx =

Y 2 dA =

Z y2 (b dy) = b

y3 h=

1 bh3 (1.12)A 0 3 0 3y aplicando el teorema de los ejes paralelos es posible transportarlo al eje horizontal que pasa por

el centroide:Ixg = Ix A

h 22

= 1 bh312

(1.13)

1.1.4. Ca lculo del producto de inercia Ixy de la seccio n rectangularPara el calculo del producto de inercia es conveniente dividir la seccio n en pequen os rectangulos de lados dx y dy como se muestra en la figura 1.4

Figura 1.4: Esquema del diferencial de a rea para calcular IxyEl diferencial de area dA es, por lo tanto:

dA = dx dy (1.14)

y el centroide del diferencial de area se encontrara en la posicio n:

XG= x(1.15a)

YG= y(1.15b)

El producto de inercia Ixy se calcula como:

Ixy =

Z

xG yG dA =A

Z

xy dA =A

Z b Z hx0 0

y dy

dx =Z b = x

y2 h!

dx =

h2 Z b

x dx =

h2 x2 b=0 2 0 2 01

2 2 0= b2h2 (1.16)4El valor del producto de inercia Ixg yg respecto de los ejes que pasan por el centroide de la seccio n se obtiene como:

h bIxg yg = Ixy A 2 2 = 0 (1.17)1.2. Seccio n triangularCalcular el area, los momentos de inercia y el producto de inercia de la seccio n triangular que

se muestra a continuacio n.

Figura 1.5: Seccio n triangular1.2.1. Ca lculo del a rea de la seccio n triangularLa seccio n triangular esta delimitada por la recta y (x) =

hx y el eje de las abscisas, por x queb

vara entre 0 y b. En la figura 1.6 se muestra el diferencial de area dA que se usa para el calculo

del area de la seccio n: h dA = y (x) dx = x

bLa posicio n del centroide del diferencial de area:

dx (1.18)

XG = x (1.19a)

y(x) 1 hYG =

= x (1.19b)2 2 bEl area de la seccio n se obtiene integrando en todo el dominio (sumando los diferenciales de area):

ZA = dA =

Z b h

x dx =

h x2 b b h=

(1.20)A 0 b

b 2 0 2La posicio n del centroide de la seccio n se obtiene calculando los momentos estaticos:

Mx =

Z

YG dA =

Z b 1 h

h x

x dx

h2 x3 b= =

b h2

(1.21a)A 0 2 b b

2b2 3 0 6My =

Z Z bXG dA = x

hx dx

h x3 b= =

b2 h

(1.21b)A 0 b

b 3 0 3

Figura 1.6: Esquema del diferencial de a rea para calcular Iyde tal manera que:

My 2xg =

A = 3 b (1.22a)Mx 1xg =

A = 3 h (1.22b)1.2.2. Ca lculo del momento de inercia Iy de la seccio n triangularEl valor del momento de inercia Iy se obtiene como:

ZIy =

X 2 dA =

Z b hx2 x dx

h x4 b= =

1 b3h (1.23)A 0 b

b 4 0 4y posteriormente, aplicando el teorema de los ejes paralelos, el valor del momento de inercia Iygcorrespondiente a un eje que pasa por el centroide (xg, yg) se calcula como:

Iyg = Iy A

2 2b3

= 1 b3h (1.24)361.2.3. Ca lculo del momento de inercia Ix de la seccio n triangularPara calcular el valor de la inercia Ix es conveniente descomponer la seccio n en diferenciales de area horizontales dA de espesor dy como se muestra en la figura 1.7. Por un lado, este diferencial de area vale:

dA = [b x(y)] dy = b

y dy (1.25)hdonde se ha invertido la funcio n y = y(x) para poder escribir la funcio n x = x(y)

h y(x) =b

x x(y) =

by (1.26)h

Figura 1.7: Esquema del diferencial de a rea para calcular IxPor otro lado, la posicio n del centroide del diferencial de area es la siguiente:

[b x(y)]XG = x(y) +

(1.27a)2YG = y (1.27b)

El momento de inercia Ix se calcula como:

Ix =

Z Y 2 dA =

Z y2 b

y dy = b

y3 h

b y4 hA 0 1 1

h 3 0

h 4 0= 3 4

bh3 = 1 bh3 (1.28)12Por u ltimo, se transporta el momento de inercia al eje que pasa por el centroide usando el

teorema de los ejes paralelos:

1 2 1 1 1 3 3 3Ixg = Ix A 3 h

= bh12

18 bh

= bh36

(1.29)

1.2.4. Ca lculo del producto de inercia Ixy de la seccio n triangularPara el calculo del producto de inercia Ixy es conveniente dividir la seccio n en pequen os rectangulos de lados dx y dy como se muestra en la figura 1.8.

El diferencial de area se escribe como:

dA = dx dy (1.30)

Figura 1.8: Esquema del diferencial de a rea para calcular IxyEl centroide del diferencial de area se situ a en la posicio n:

XG= x(1.31a)

YG= y(1.31b)

El producto de inercia Ixy se calcula integrando con ambas variables:

Z Z b Z y(x)= h x !

hZ b 2 Ixy =

XGYG dA =A 0 0

b

y dy

x dx =0

y b x2 0

x dx

1 h2 Z b=

x3 dx =

1 h2 x4 b=

1 b2h2 (1.32)2 b2 0

2 b2 4 0 8y transportando el producto de inercia hacia los ejes que pasan por el centroide (teorema de los ejes paralelos), obtenemos:

2 1

1 1 2 2

1 2 2IxG yG = Ixy A 3 b

3 h = 8 9

b h = b h72

(1.33)

1.3. Seccio n parabo licaCalcular el area, los momentos de inercia y el producto de inercia de la seccio n que se

encuentra entre el eje de las abscisas y la parabola y(x) = kx2, que se muestra a continuacio n.

Figura 1.9: Seccio n parabo lica1.3.1. Ca lculo del a rea de la seccio n parabo licaPara calcular el area de esta seccio n es conveniente considerar unos diferenciales de area verticales dA de espesor dx como se muestra en la figura 1.10.

Figura 1.10: Esquema del diferencial de a rea para calcular IyEl diferencial de area dA resultante es:

dA = y(x) dx = kx2 dx (1.34)

y la posicio n del centroide del diferencial de area es:

XG = x (1.35a)

y (x)YG =

(1.35b)2El area de la seccio n se obtiene integrando en el dominio respecto a la variable x:

ZA = dA =A

Z ay(x) dx =0

Z kx2 dx

0

x3 a= k =

ka3 ab=

(1.36)3 0 3 3siendo b = ka2 se ha expresado el valor de k en la forma k = b .a2Para obtener la posicio n del centroide de la seccio n es necesario calcular el valor de losmomentos estaticos My y Mx como se muestra a continuacio n:

My =

Z

XG dA =

Z ax [y(x) dx] =

Z kx3 dx = k

x4 aAka4=4

0a2b=4

0 4 0

(1.37a)

Mx =

ZYG dA =

Z a y(x)

[y(x) dx] =

Z a k2x4

dx =

k2 x5 aAk2a5=10

0 2ab2=10

0 2 2 5 0

(1.37b)

Con estos resultados es posible sacar la posicio n del centroide:

My 3xg =

A = 4 a (1.38a)Mx 3yg =

A = 10 b (1.38b)1.3.2. Ca lculo del momento de inercia Iy de la seccio n parabo licaE calculo del momento de inercia Iy se halla como:

ZIy =

X 2 dA =

Z x2 kx2 dx = k

x5 a=

ka5

= 1 a3b (1.39)A 0 5 0 5 5y haciendo uso del teorema de los ejes paralelos:

3 2 1 3 1 3 3Iyg = Iy A 4 a

= 5 16

ba = a b (1.40)801.3.3. Ca lculo del momento de inercia Ix de la seccio n parabo lica

Figura 1.11: Esquema del diferencial de a rea para calcular Ix .

Pasando a un diferencial de area horizontal de espesor dy, como se muestra en la figura 1.11, se puede escribir:

dA = [a x(y)] dy (1.41)

siendo x(y) = q y la funcio n inversa que representa la parabola.La distancia del diferencial de area desde el eje x, es simplemente:

YG = y (1.42)

El momento de inercia Ix se obtiene resolviendo la siguiente integral:

Ix =

Z Y 2 dA =A

Z y20

r y a

dy k

y3 b " 2 y 7 b= a 3 0ab3 2

7 k0r b 1 2 1= 3

b3 =7 k

3 7

ab3 =

ab3 (1.43)21y haciendo uso del teorema de los ejes paralelos:

3 2 1 3

3 37 3Ixg = Ix A 10 a

= 21 100

ab = ab2100

(1.44)

Figura 1.12: Esquema del diferencial de a rea para calcular Ixy1.3.4. Ca lculo del producto de inercia Ixy de la seccio n parabo licaPor u ltimo, para hallar el valor del producto de inercia, Ixy, se escoge un diferencial de area dAde lados dx y dy, tal y como puede verse en la figura 1.12

El valor de dA y la posicio n de su centroide se expresan en funcio n de las variables independientes x e y:

dA= dx dy(1.45a)

XGYG= x

= y(1.45b)(1.45c)

El producto de inercia se obtiene con la siguiente integral doble:

Ixy =

Z

XGYG dA =

Z a Z kx2

!y dy

x dx =

Z a y2 kx

x dxA 0 0

0 2 0Z a k2x5=

dx =

k2 x6 a=

k a6 = 1 a2b2 (1.46)0 2 2 6 0 12 12Si se requiere el valor respecto a los ejes que pasan por el centroide de la seccio n, (xg, yg), se debe aplicar la formula del transporte de Steiner (teorema de los ejes paralelos) como sigue:

3 3

1

3 2 2

1 2 2Ixg yg = Ixy A 4 a

10 b = 12 48

a b = a b48

(1.47)

1.4. Seccio n circularCalcular el area, los momentos de inercia y el producto de inercia de la seccio n circular que se muestra a continuacio n.

Figura 1.13: Seccio n circular1.4.1. Ca lculo del a rea de la seccio n circularEn este caso, teniendo en cuenta la simetra radial de la seccio n, es conveniente considerar un diferencial de area (aros de espesor dr) como lo que se muestra en la figura 1.14. E ste diferencial de area vale:

dA = 2 r dr (1.48)

Integrando entre 0 y R, se obtiene el area de la seccio n:

ZA = dA =

Z R2 r dr = 2

r2 R

= R2 (1.49)A 0 2 01.4.2. Ca lculo de los momentos de inercia de la seccio n circularLo mas sencillo de calcular es el momento polar de inercia, como se muestra a continuacio n:

ZIo =

r2 dA =

Z 2 r3 dr = 2

r4 R=

1 R4 (1.50)A 0 4 0 2Teniendo en cuenta que Io = Ix + Iy y que por la doble simetra de la seccio n Ix = Iy, se puede

calcular el momento de inercia:Io 1 4Ix = Iy = 2 = 4 R

(1.51)

Figura 1.14: Esquema del diferencial de a reaUna forma alternativa de calcular el momento de inercia de la seccio n circular es trabajando en coordenadas polares.

Figura 1.15: Esquema del diferencial de a rea.En este caso, el diferencial de area, dA, que resulta interesante utilizar consiste en un pequen o rectangulo de espesor dr y longitud rd como se muestra en la figura 1.15:

dA = (rd ) dr (1.52) La posicio n del centroide del diferencial de area se encuentra en:

XG = r cos (1.53a)

YG = r sin (1.53b)

Utilizando las coordenadas polares, la integral sobre el dominio de la seccio n para el calculo

del momento de inercia, Ix , se resuelve como sigue:

Ix =

Z Y 2 dA =

Z 2 Z R

r3 dr

sin2 d =

Z 2 r4 R

!dr sin2 dA 0 0

R4 Z 2 4

0 4 0 2= sin2 d = R 4 0 4

sin 22 4

= R4 (1.54)0 4Por razones de simetra, el producto, Ixy, tiene que ser nulo y efectivamente:

Ixy =

Z

XGYG dA =

Z 2 Z R

r3dr

sin cos dA 0 0R4 sin2 2=4 2 0

= 0 (1.55)

1.5. Cuarto de crculoCalcular el area, los momentos de inercia y el producto de inercia de la seccio n que se muestra

a continuacio n.

Figura 1.16: Cuarto de crculo1.5.1. Ca lculo del a rea del cuarto de crculoEn este caso, lo mas co modo es trabajar en coordenadas polares, utilizando el radio r y el angulo como variables de integracio n.

El diferencial de area, dA, que resulta interesante usar, consiste en un pequen o rectangulo de espesor dr y longitud rd como se muestra en la figura 1.17.

dA = (rd ) dr (1.56) La posicio n del centroide del diferencial de area se encuentra en:

XG = r cos (1.57a)

YG = r sin (1.57b)

El area del cuarto de crculo se calcula integrando en todo el dominio utilizando las

coordenadas polares:

Z

Z Z R

Z r2

R!

R2

R2A = dA =A 0

r dr0

d =0

d =2 0

[ ] 2 =2 4

(1.58)

Para calcular la posicio n del centroide de la seccio n, es necesario obtener el valor de los

momentos estaticos:

Mx =

Z

YG dA =

Z Z R

r2 dr

sin d =

Z r3 R

sin dAR3 Z =

0sin d =

0 0 3 0R3 R3[ cos ] 2 =

(1.59a)3 0 3

Z Z Z R

0 3R3 R3My =

XG dAA 0

r2 dz

0

cos d =

[sin ] 2 =3 3

(1.59b)

de tal manera que:

My 4 RXG =

A = 3 (1.60a)Mx 4 RYG =

A = 3 (1.60b)1.5.2. Ca lculo de los momentos de inercia del cuarto de crculoFigura 1.17: Esquema del diferencial de a rea.El momentos de inercia respecto del eje de las abscisas, Ix , se obtiene resolviendo la siguiente integral:

ZIx =

Y 2 dA =

Z Z R

r3dr

sin2 d = R

sin 2 2

R4=

(1.61)A 0 0

4 2 4 0 16Por un lado se puede observar como el valor del momento de inercia es justamente la cuarta parte del momento de inercia del crculo. Por otro lado, la simetra impone Ix = Iy.

Finalmente, utilizando el teorema de los ejes paralelos podemos mover el momento de inercia

, Ix , hacia el eje que pasa por el centroide de la seccio n:

4 R 2

R4

4 R4Ixg = Ix A 3

= 16 9 (1.62)El calculo del producto de inercia Ixy se realiza de forma similar:

Ixy =

Z

XG YG dA =

Z Z R

r3 dr

sin cos dA 0 0R4 sin2 2 R4= =

(1.63)4 2 0 8y utilizando el teorema de los ejes paralelos podemos movernos al eje que pasa por el centroide de la seccio n:

4 R 4 R

R4 4 R4Ixg yg = Ixy A 3

3 = 8 9 (1.64)Secciones compuestas

2.1. Problema 1Calcular los momentos principales de inercia de la seccio n compuesta de figura 2.1a respecto

de su centroide.

a) b)Figura 2.1: Problema 1: (a) Seccio n propuesta; (b) Posicio n de los centroides considerados en el despiece de la seccio n compuesta

2.1.1. Ca lculo del a rea y del centroide de la seccio n compuestaPara resolver el problema, primero se procede al despiece de la seccio n compuesta en dos rectangulos, (1) y (2), tal y como se muestra en la figura 2.1b.

En primer lugar se calculan las areas de los dos rectangulos descritos y el area total, AT :A(1) = 5 l2 (2.1a) A(2) = 3l2 (2.1b) AT = A(1) + A(2) = 8l2 (2.1c)En segundo lugar, se calculan los momentos estaticos (respecto de los ejes de figura 2.1b)

como paso previo al calculo del centroide de la seccio n compuesta:

Mx = A(1)(2

) + A(2)(

l ) = 14l3 (2.2a)2 l My = A(1) 2

5l + A(2)

2

= 10l3 (2.2b)

Finalmente, la posicio n del centroide se obtiene con las siguientes expresiones:

xg =yg =

My 5l= = 1,25 l (2.3a)T 4Mx 7l= = 1,75 l (2.3b)T 42.1.2. Ca lculo de los momentos de inerciaEn este apartado se calculan los momentos de inercia Ix e Iy, el producto Ixy y el momento polar

Io respecto a los ejes xG e yG (ver figura 2.2a) que pasan por el centroide de la seccio n compuesta.

El momento de inercia I(i) de cada rectangulo se obtiene sumando dos terminos: el primero corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio centroide, G(i), mientras el segundo termino corresponde al valor del transporte hacia el centroide de la seccio n compuesta (teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner):

I(1)

1 l (5 l)12

(1) 5 l + A 2 yg2

(2.4a)

I(2)

1 3l (l)12

(2) l+ A 2 yg

(2.4b)

El valor del momento de inercia de la seccio n compuesta se obtiene sumando las

contribuciones de las diferentes partes del despiece:

Ix = I(1)

(2)x + Ix = 18,16 l4 (2.5)De la misma forma, se procede con el calculo de los momentos de inercia, I(i):I(1)

1 (5l) l12

(1) l + A 2 xg2

(2.6a)

I(2)

1 l (3l)12

(2) 5l+ A 2 xg

(2.6b)

y calcula el momento de inerciade la seccio n compuesta, Iy, sumando las inercias del despiece:

Iy = I(1)

(2)y + Iy = 10,16 l4 (2.7)Se sigue la misma metodologa en el calculo del producto de inercia:

xy = 0 + A(1)

l2 xg

5 l2

yg

(2.8a)

xy = 0 + A(2)

5l2

xg

l2

yg

(2.8b)

Ixy = I(1)

(2)xy + Ixy = 7,5 l4 (2.8c)Por

u ltimo, el valor del momento polar de inercia, Io, respecto al centroide se calcula

facilmente sumando Ix e Iy.

Io = Ix + Iy = 28,33 l4 (2.9)

2.1.3. Ca lculo de los momentos principales de inerciaComo se puede apreciar en la figura 2.2b los momento principales de inercia inercias (maximo y mnimo) se dan cuando el producto de inercia se anula (Ixy = 0) , una situacio n que corresponde a la interseccio n del crculo Mohr con el eje horizontal.

El centro, Im, y el radio, R, del crculo de Mohr se obtienen:

Im =

Ix + Iy = 14,16 l42s I I 2

(2.10a)

R = y x2

2 = 8,5 l4 (2.10b)

de tal manera que los momento principales de inercia inercias, Imax e Imin, resultan:

Imax = Im + R = 22,67 l4 (2.11a)

Imin = Im R = 5,67 l4 (2.11b)

Para finalizar, la rotacio n de ejes, , necesaria para que estos coincidan con los ejes principales de inercia (figura 2.2b) se calcula como:

= 0,5 arctan

2 Ixy Iy Ix

= 30,9o (2.12)

El resultado obtenido es positivo, dando lugar a una rotacio n de ejes en sentido antihorario, o bien

(manteniendo los ejes fijos) a una rotacio n horaria de la seccio n.

a) b)

Figura 2.2: Problema 1: (a) Posicio n del centroide y de los ejes principales de inercia; (b) Circulo de Mohr.

2.2. Problema 2Calcular los momentos principales de inercia de la seccio n compuesta de figura 2.3a respecto de su centroide.

a) b)

Figura 2.3: Problema 2: (a) Seccio n compuesta propuesta; (b) Posicio n de los centroides considerados en el despiece

2.2.1. Ca lculo del a rea y del centroide de la seccio n compuestaLa seccio n dada se puede considerar como la suma de los cuatro triangulos (1), (2), (3) y (4), como se muestra en figura 2.3b. Las areas de los triangulos descritos son las siguientes:

A(1) = (2 l)( 3l ) = 3 l2 (2.13a)2A(2) = A(1) (2.13b)

A(3) = (2 l)( 3 l ) = 3 l2 (2.13c)2A(4) = A(3) (2.13d) Sumando estas areas se obtiene el area, AT , de la seccio n compuesta:

AT = A(1) + A(2) + A(3) + A(4) = 12 l2 (2.14)Debido a la doble simetria de la seccio n compuesta, su centroide se situ a en la interseccio n de estos ejes de simetria:

xg = 0 (2.15a)

yg = 0 (2.15b)

2.2.2. Ca lculo de los momentos de inerciaEn este apartado se calculan los momentos de inercia Ix e Iy, el producto de inercia Ixy y el momento polar de inercia, Io, respecto a los ejes xG e yG que pasan por el centroide de la seccio n compuesta (vease figura 2.4a).

El valor del momento de inercia de la seccio n compuesta, Ix , se obtiene sumando las contribuciones, I(i), de las diferentes partes del despiece:

I(1)

1 (2 l)(3 l)364

+ A(1)

(l)2 =

9 l 4(2.16a)2I(2)

(1)

9 l x = Ix =

(2.16b)24I(3)

1 (2 l)(3 l)364

+ A(3)

(l)2 =

9 l (2.16c)2I(4)

(3)

9 l x = Ix =

(2.16d)2Se puede observar como el primero termino corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por el centroide, G(i), de cada parte del despiece, mientras el segundo termino corresponde al valor del transporte hacia el centroide de la seccio n compuesta (teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner). La suma de los cuatro momentos de inercias

parciales permite obtener el valor, Ix , de la seccio n compuesta:

Ix = I(1)

(2)

(3)

(4)x + Ix + Ix + Ix = 18 l4 (2.17)De la misma manera se procede con el calculo de, Iy. Primero se calculan las inercias parciales

y despues, sumandolas, se obtiene el valor del momento de inercia, Iy, de la seccio n compuesta:

I(1)

1

3 (1) 2 l 4y =I(2)

(3 l)(2 l)36 1 3

+ A(2)

= 2 l32 l 2

(2.18a)

y =I(3)

(3 l)(2 l) + A36(2)

3 = 2 l

(2.18b)

y = Iy = 2 l4 (2.18c)I(4)

(1)y = Iy = 2 l4 (2.18d)Iy = I(1)

(2)

(3)

(4)y + Iy + Iy + Iy = 8 l4 (2.18e)El producto de inercia, Ixy = 0 debido a la doble simetra de la seccon. Esto se puede comprobar siguiendo exactamente el mismo procedimiento anterior:

I(1)

1

2 2 (1) 2 l xy = 72 (2 l) (3 l) + A

(l) (2.19a)3I(2)

1

2 2 (2)

2 l xy =

(2 l) (3 l) + A72

3 (l) (2.19b)I(3)

1

2 2 (3)

2 l xy = 72 (2 l) (3 l) + A

3 (l) (2.19c)I(4)

1

2 2 (4) 2 l xy =

(2 l) (3 l) + A72

3 (l) (2.19d)Ixy = I(1)

(2)

(3)

(4)xy + Ixy + Ixy + Ixy = 0 (2.19e)Por u ltimo, el valor del momento polar de inercia, Io, se obtiene sumando Ix e Iy:

I0 = Ix + Iy = 26 l4 (2.20)

2.2.3. Ca lculo de los momentos principales de inerciaEn este caso, los ejes que hemos utilizado para el calculo de los momentos de inercia son ejes principales de inercia (Ixy = 0). De ese modo resulta:

Imax= Ix = 18 l4(2.21a)

Imin= Iy = 8 l4(2.21b)

a) b)


2.3. Problema 3Calcular los momentos principales de inercia de la seccio n compuesta de figura 2.5a respecto de su centroide.

a) b)

Figura 2.5: Problema 3: (a) Seccion compuesta propuesta; (b) Posicio n de los centroides considerados en el despiece

2.3.1. Ca lculo del a rea y del centroide de la seccio n compuestaSi se analiza la geometra de la seccio n copuesta propuesta (figura 2.5a), se observa como esta se puede ver como una seccio n rectangular (1) a la cual se restan los triangulos (2) y (3). De esta forma, el area de la seccio n compuesta, AT , resulta:

A(1) = (4 l)(4 l) = 16 l2 (2.22a)

2A(2) = l ( 3 l ) = 3 l

(2.22b)2 2A(3) = l ( 4 l ) = 2 l2 (2.22c)2AT = A(1) A(2) A(3) =

25 l22

(2.22d)

Los momentos estaticos respecto de los ejes de figura 2.5b se obtienen con las siguientes

expresiones:

l3Mx = A(1)(0) A(2)(l) A(3)( ) =

= 0,167 l3 (2.23a)

My = A(1)(0) A(2)(

) A(3)( 5 ) =

5 l36

= 0,83 l3 (2.23b)

de tal manera que el centroide de la seccio n compuesta se encuentra en la siguiente posicio n (vease figura 2.6a):

xg =yg =

My l= = 0,067 l (2.24a)AT 15Mx l= = 0,013 l (2.24b)AT 752.3.2. Ca lculo de los momentos de inerciaEn este apartado se calculan los momentos de inercia Ix e Iy, el producto Ixy y el momento polar

Io respecto a los ejes xG e yG (ver figura 2.6a) que pasan por el centroide de la seccio n compuesta.

El momento de inercia, I(i), de cada seccio n del despiece se obtiene sumando dos terminos: el primero corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio centroide, G(i) (vease figura 2.5b), mientras el segundo termino corresponde al valor del transporte hacia el centroide de la seccio n compuesta (teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner):

I(1)

1

3 (1) 2x = (4 l) (4 l) + A12

(yg)

(2.25a)

I(2)

1 (l)(3 l)36

+ A(2)

(l yg)22

(2.25b)

I(3)

1 (l)(4 l)36

(3) 2 l+ A 3 yg

(2.25c)

El momento de inercia, Ix , de la seccio n compuesta se calcula restando a la inercia generada

por la seccio n rectangular I(1), las que generan los dos triangulos I(2) y I(3):xIx = I(1)

(2)

x x

(3)x Ix Ix = 16,4 l4 (2.26)El calculo de la inercia Iy sigue el mismo procedimiento, tal y como se muestra a continuacio n:

I(1)

1

3 (1) 2y = (4 l) (4 l) + A12

(xg)2

(2.27a)

I(2)

1 3

(2) 5 ly = (l) (3 l) + A36

3 xg2

(2.27b)

I(3)

1 3

(3)

5 ly = (l) (4 l) + A36

3 xg

(2.27c)

Iy = I(1)

(2)

(2)y Iy Iy = 11,3 l4 (2.27d)y de la misma manera, para el producto de inercia, Ixy:

xy = 0 + A(1) (xg) (yg) (2.28a)

I(2)

1 2

2 (2) 5 lxy =

(l) (3 l) + A72

3 xg

(l yg) (2.28b)I(3)

1 2

2 (3)

5 l

2 lxy =

(l) (4 l) + A72

3 xg

3 yg

(2.28c)

Ixy = I(1)

(2)

(3)xy Ixy Ixy = 4,3 l4 (2.28d)Por u ltimo, se obtiene el momento polar de inercia, Io, cono la suma de Ix e Iy.

I0 = Ix + Iy = 27,7 l4 (2.29)

2.3.3. Ca lculo de los momentos principales de inerciaEl centro, Im y el radio, R, del crculo de Mohr en la figura 2.6b resultan:

Im =

Ix + Iy = 13,9 l42s I I 2

(2.30a)

R = y x2

2 = 5,04 l4 (2.30b)

y los correspondientes momentos de inercia Imax e Imin tienen por lo tanto el siguiente valor:

Imax= Im + R = 18,9 l4(2.31a)

Imin= Im R = 8,8 l4(2.31b)

Para finalizar, el angulo, , que corresponde a la rotacio n de ejes necesaria para que estos

coincidan con los ejes principales de inercia (figura 2.6a) vale:

1 = arctan2

2 Ixy Iy Ix

= 29,9o (2.32)

a) b)


2.4. Problema 4Calcular los momentos principales de inercia de la seccio n compuesta representada en la figura

2.7a respecto de su centroide.

a) b)Figura 2.7: Problema 4: (a) Seccio n compuesta propuesta; (b) Posicio n de los centroides considerados en el despiece

2.4.1. Ca lculo del a rea y del centroide de la seccio n compuestaSi se analiza la geometra de la seccio n propuesta, se observa como esta se puede ver como una seccio n rectangular (1) a la cual se resta un triangulo (2) y un cuarto de crculo (3) como se muestra en la figura 2.7b. De esta forma, el area de la seccio n compuesta, AT , resulta:

A(1) = (8 l)(6 l) = 48 l2 (2.33a)

A(2) = (4 l)( 3 l ) = 6 l2 (2.33b)2A(3) = 1 (3 l)2 = 7,07 l2 (2.33c)4AT = A(1) A(2) A(3) = 34,93 l2 (2.33d)

El valor de los momentos estaticos se calculan como:

Mx = A(1)(3l) A(2)(l) A(3)(6l

(3l)) = 104,6 l3 (2.34a)

My = A(1)(4l) A(2)(8l

4 l 4) A (3l) = 143 l (2.34b)3 3y la posicio n del centroide (que se muestra en la figura 2.8a) se obtiene como :

xg =yg =

My= 4,1 l (2.35a)ATMx= 3 l (2.35b)AT2.4.2. Ca lculo de los momentos de inerciaEn este apartado se calcula los momentos de inercia, Ix e Iy, el producto de inercia, Ixy y el momento polar, Io, respecto a ejes que pasan por el centroide (xg, yg) de la seccio n compuesta.

El momento de inercia de la seccio n compuesta, Ix se calcula restando a la inercia generada

por el rectangulo, I(1), la que corresponde al triangulo, I(2) y al cuarto de crculo, I(3).x x x

El momento de inercia, I(i), de cada seccio n del despiece se obtiene sumando dos terminos: el primero corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio centroide, G(i) (vease figura 2.7b), mientras el segundo termino corresponde al valor del transporte hacia el centroide (xg, yg) de la seccio n compuesta (teorema de los ejes paralelos o formula del transporte de Steiner). Observese que en el caso del cuarto de crculo es necesario aplicar la formula del transporte dos veces: primero desde el valor del momento de inercia calculado respecto del centro del crculo hacia el centroide del crculo y una segunda vez hacia el centroide de la seccio n compuesta:

I(1)

1

3 (1) 2x = (8 l)(6 l) + A12

(3 l yg)

(2.36a)

I(2)

1

3 (2) 2x = (4 l)(3 l) + A36

(l yg)

(2.36b)

I(3)

1 1 4

(3)

4 (3 l ) 2

(3)

4 (3 l ) 2x = ( (3l) ) A4 4

( 3 ) + A

(6 l

3 yg)

(2.36c)

Ix = I(1)

(2)

(3)x Ix Ix = 91,4 l4 (2.36d)El calculo de la inercia Iy sigue el mismo procedimiento, tal y como se muestra a continuacio n:

I(1)

1

3 (1) 2y = (6l)(8l) + A12

(4 l xg)

(2.37a)

I(2)

1

3 (2)

4 l 2y = (3 l)(4 l) + A36

(8 l 3

) xg

(2.37b)

I(3)

1 1 4

(3)

4 3l 2

(3)

4 3 ly = ( (3 l) ) A4 4

( 3 ) + A

( 3 xg) (2.37c)Iy = I(1)

(2)

(3)y Iy Iy = 150,7 l4 (2.37d)y de la misma manera, para el producto de inercia, Ixy:

xy = 0 + A(1)(4 l xg) (3 l yg) (2.38a)

I(2)

1

2 2 (2)

4 lxy =

(4 l) (3 l) + A72

(8 l

3 xg) (l xg) (2.38b)I(3)

1 4

(3)

4 (3 l ) 2

(3)

4 (3 l )

4 (3 l )xy = Ixy = I(1)

(3 l)8(2)

A ((3)

3 )

+ A (

3 xg)(6 l

3 yg) (2.38c)xy Ixy Ixy = 61,9 l4 (2.38d)Por u ltimo, para obtener el momento polar de inercia se debe sumar las inercias Ix e Iy.

I0 = Ix + Iy = 242,16 l4 (2.39)



Im =

Ix + Iy = 121 l42s I I 2

(2.40a)

R = y x2

2 = 68,68 l4 (2.40b)

de tal manera que los momento principales de inercia inercias, Imax e Imin, resultan:

Imax= Im + R = 189,7 l4(2.41a)

Imin= Im R = 53,4 l4(2.41b)

Para finalizar, la rotacio n de ejes, , necesaria para que estos coincidan con los ejes principales

de inercia (figura 2.8b) se calcula como:

1 = arctan2

2 Ixy Iy Ix

= 32,2o (2.42)

El resultado obtenido es positivo, dando lugar a una rotacio n de ejes en sentido antihorario, o bien

(manteniendo los ejes fijos) a una rotacio n horaria de la seccio n.

a) b)


2.5. Problema 5Calcular los momentos principales de inercia de la seccio n compuesta representada en la figura2.9a respecto de su centroide.

a) b)


2.5.1. Ca lculo del a rea y del centroide de la seccio n compuestaSi se analiza la geometra de la seccio n propuesta, se observa como esta se puede ver como una seccio n rectangular (1) a la cual se restan dos secciones cuadradas, (2) y (3), tal y como se muestra en la figura 2.9b. De esta forma, el area de la seccio n compuesta, AT , resulta:

A(1) = (3 l)(3 l) = 9 l2 (2.43a) A(2) = l2 (2.43b) A(3) = A(2) = l2 (2.43c) AT = A(1) A(2) A(3) = 7 l2 (2.43d)Los momentos estaticos tienen el siguiente valor:

3 l Mx = A(1)

2 3 l My = A(1)

2

A(2) A(2)

2 l +2 l +

l l A(3) =2 2l l A(3) =2 2

21 l3221 l32

= 10,5 l3 (2.44a)

= 10,5 l3 (2.44b)

ya posicio n del centroide de la seccio n compuesta (vease figura 2.10a) es la siguiente:

xg =yg =

My 3 l= = 1,5 l (2.45a)T 2Mx 3 l= = 1,5 l (2.45b)T 22.5.2. Ca lculo de los momentos de inerciaEl momento de inercia de la seccio n compuesta, Ix se calcula restando a la inercia generada por el rectangulo, I(1), las que corresponden a los cuadrados, I(2) y I(3).x x xEl momento de inercia, I(i), de cada seccio n del despiece se obtiene sumando dos terminos: el primero corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio centroide, G(i) (vease figura 2.9b), mientras el segundo termino corresponde al valor del transporte hacia el centroide (xg, yg) de la seccio n compuesta (teorema de los ejes paralelos o formula del transporte de Steiner):

I(1)

1 4x = (3 l)12

(2.46a)2I(2)

1 4

(2) lx = ( l) + A12

2 l + yg2

(2.46b)

I(3)

1 (l)12

(3) l+ A 2 yg

(2.46c)

Ix = I(1)

(2)

(3)x Ix Ix = 4,58 l4 (2.46d)El calculo de la inercia Iy sigue el mismo procedimiento, tal y como se muestra a continuacio n:

I(1)

1

4 (1) 3 l y = (3 l) + A12

2 xg2

(2.47a)

I(2)

1 4

(2) ly = ( l) + A12

2 l + xg2

(2.47b)

I(3)

1 (l)12

(3) l+ A 2 xg

(2.47c)

Iy = I(1)

(2)

(3)y Iy Iy = 4,58 l4 (2.47d)y de la misma manera, para el producto de inercia, Ixy (en este caso el primer termino es nulo por

ser todas secciones simetricas):

xy = 0 + A(1)

3 l2

xg

3 l2

yg

(2.48a)

xy = 0 + A(2)

2 l +

l2 xg

2 l +

l2 yg

(2.48b)

xy = 0 + A(3)

l2 xg

l 2 yg

(2.48c)

Ixy = I(1)

(2)

(3)xy Ixy Ixy = 2 l4 (2.48d)Finalmente, el momento polar de inercia se calcula como suma de Ix e Iy:

I0 = Ix + Iy = 9,16 l4 (2.49)



Im =

Ix + Iy =2

55l 4= 4,58 l412

(2.50a)

s I I 2R = y x2

2 = 2 l4 (2.50b)

Los momentos principales de inercia asumen los siguientes valores:

Imax= Im + R = 6,58 l4(2.51a)

Imin= Im R = 2,58 l4(2.51b)

Para finalizar, la rotacio n de ejes, , necesaria para que estos coincidan con los ejes principales de inercia (figura 2.10b) se calcula como:

1 = arctan2

2 Ixy Iy Ix

= 45o (2.52)

a) b)


2.6. Problema 6Calcular los momentos principales de inercia de la seccio n compuesta representada en la figura2.11a respecto de su centroide.

a) b)


2.6.1. Ca lculo del a rea y del centroide de la seccio n compuestaComo se puede observar en la figura 2.11b la seccio n esta definida por un cuadrado, (1), de lado 3l al cual se le han sacado otors dos cuadrados, (2) y (3), de lado l. De esta forma, el area de la seccio n compuesta, AT , resulta:

A(1) = (3 l)(3 l) = 9 l2 (2.53a) A(2) = l2 (2.53b) A(3) = A(2) = l2 (2.53c) AT = A(1) A(2) A(3) = 7 l2 (2.53d)El centroide se encuentra en la origen de los ejes elejidos debido a la doble simetra de la seccio n. Esto se puede verificar calculando los correspondientes momentos estatico de la seccio n,

Mx y My:

Mx = A(1) (0) A(2) (0) A(3) (0) = 0 (2.54a)

My = A(1) (0) A(2) (l) A(3) (l) = 0 (2.54b)

as que resulta:

xg =yg =

My= 0 (2.55a)ATMx= 0 (2.55b)AT2.6.2. Ca lculo de los momentos de inerciaEl momento de inercia de la seccio n compuesta, Ix se calcula restando a la inercia generada por el rectangulo, I(1), las que corresponden a los cuadrados, I(2) y I(3):xI(1)

x x 1 (3 l)12

(2.56a)

I(2)

1 4x = ( l)12

(2.56b)

I(3)

1 (l)12

(2.56c)

Ix = I(1)

(2)

(3)x Ix Ix = 6,58 l4 (2.56d)Para calcular la Iy se procede exactamente de la misma forma. En este caso, el momento de inercia, I(i), de cada seccio n del despiece se obtiene sumando dos terminos: el primero corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio centroide, G(i) (vease figura 2.11b), mientras el segundo termino corresponde al valor del transporte hacia el centroide (xg, yg) de la seccio n compuesta (teorema de los ejes paralelos o formula del transporte de Steiner):

I(1)

1 (3 l)12

(2.57a)

I(2)

1 4

(2) 2y = ( l) + A12

(l)

(2.57b)

I(3)

1 (l)12

+ A(3)

(l)2

(2.57c)

Iy = I(1)

(2)

(3)y Iy Iy = 4,58 l4 (2.57d)y de la misma manera, para el producto de inercia, Ixy (en este caso el primer termino es nulo por ser todas secciones simetricas):

(1)xy(2)xy(3)xyIxy = I(1)

(2)

(3)xy Ixy Ixy = 0 (2.58d)Observese que el resultado final es Ixy = 0 debido a la doble simetra de la seccio n compuesta propuesta. Finalmente, el momento polar de inercia, I0, se calcula sumando Ix e Iy:

I0 = Ix + Iy = 11,16 l4 (2.59)

2.6.3. Ca lculo de los momentos principales de inerciaComo se vio en el apartado anterior el producto de inercia de la seccio n compuesta es nulo. Esto quiere decir que los ejes elegidos son tambien ejes principales de inercia, de tal manera que:

Imax= Ix = 6,58 l4(2.60a)

Imin= Iy = 4,58 l4(2.60b)

a) b)


2.7. Problema 7Calcular los momentos principales de inercia de la seccio n maciza representada en la figura2.13a respecto de su centroide.

a) b)Figura 2.13: Problema 7: (a) Seccio n compuesta propuesta; (b) Posicio n de los centroides considerados en el despiece.

2.7.1. Ca lculo del a rea y del centroide de la seccio n compuestaComo se puede observar en la figura 2.13b la seccio n esta compuesta por un rectangulo (1) y un cuadrado (2) a los cuales se le ha substraido el crculo (3). De esta forma, el area de la seccio n compuesta, AT , resulta:

A(1) = (8 l)(4 l) = 32 l2 (2.61a) A(2) = (4 l)(4 l) = 16 l2 (2.61b) A(3) = l2 = l2 (2.61c) AT = A(1) + A(2) A(3) = 48 l2 l2 = 44,86 l2 (2.61d)Los momentos estaticos de la seccio n compuesta resultan:

Mx = A(1) (2 l) A(2) (4 l + 2 l) A(3) (4 l + 2 l) = 160 l3 6 l3 = 141,15 l3 (2.62a)My = 0 (2.62b)Por lo que la posicio n del centroide es la siguiente:

Myxg =

= 0 (2.63a)ATMx 160 l 3 6 l 3yg =

= 48 l2

l2 = 3,14 l (2.63b)2.7.2. Ca lculo de los momentos de inerciaEl momento de inercia de la seccio n compuesta, Ix se calcula restando a la inercia generada por el rectangulo, I(1), las que corresponden a los cuadrados, I(2) y I(3).x x xEl momento de inercia, I(i), de cada seccio n del despiece se obtiene sumando dos terminos: el primero corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio centroide, G(i) (vease figura 2.13b), mientras el segundo termino corresponde al valor del transporte hacia el centroide (xg, yg) de la seccio n compuesta (teorema de los ejes paralelos o formula del transporte de Steiner):

I(1)

1

3 (1) 2x = (8 l) (4 l) + A12

(2 l yg)

(2.64a)

I(2)

1 ( 4 l)12

+ A(2)

(6 l yg)2

(2.64b)

I(3)

(l)44

+ A(3)

(6 l yg)2

(2.64c)

Ix = I(1)

(2)

(3)x Ix Ix = 210 l4 (2.64d)El calculo de la inercia, Iy, sigue el mismo procedimiento, tal y como se muestra a continuacio n:

I(1)

1 3y = (4 l) (8 l)12

(2.65a)

I(2)

1 ( 4 l)12

(2.65b)

I(3)

(l)44

(2.65c)

Iy = I(1)

(2)

(3)y + Iy Iy = 191,2 l4 (2.65d)El producto de inercia, Ixy, se anula por la simetra de la seccio n compuesta respecto del eje de ordenadas, como se muestra a continuacio n:

xy = 0 + A(1) (0) (2 l yg) (2.66a) xy = 0 + A(2) (0) (6 l yg) (2.66b) xy = 0 + A(3) (0) (6 l yg) (2.66c)

Ixy = I(1)

(2)

(3)xy + Ixy Ixy = 0 (2.66d)El calculo del momento polar de inercia, Io, se obtiene sumando Ix e Iy:

I0 = Ix + Iy = 401,2 l4 (2.67)

2.7.3. Ca lculo de los Momentos Principales de InerciaComo se vio en el apartado anterior el producto de inercia de la seccio n compuesta es nulo. Esto quiere decir que los ejes elegidos son tambien ejes principales de inercia (como se muesta el la figura 2.14), de tal manera que:

Imax= Ix = 210 l4(2.68a)

Imin= Iy = 191,2 l4(2.68b)

a) b)




a) b)


2.8.1. Ca lculo del a rea y del centroide de la seccio n compuestaComo se puede observar en la figura 2.15b la seccio n esta compuesta por un semicrculo (1) y un triangulo (2). De esta forma, el area de la seccio n compuesta, AT , resulta:

A(1) = 1 l2 (2.69a)2A(2) = (3l ) (2l )2AT = A(1) + A(2) =

l22

(2.69b)+ 3l2 = 4,57l2 (2.69c)El valor de los momentos estaticos se obtienen con las siguientes expresiones:

4l Mx = A(1)

3

+ A(2) (l) = 2,3 l3 (2.70a)

My = 0 (2.70b)

de tal manera que la posicio n del centroide es:

Myxg =TMxyg =T

= 0 (2.71a)

= 0,51l (2.71b)

2.8.2. Ca lculo de los momentos de inerciaEl momento de inercia de la seccio n compuesta, Ix , se calcula sumando a la inercia generada por el semicrculo, I(1), la que corresponde al triangulo, I(2).x xEl momento de inercia, I(i), de cada seccio n del despiece se obtiene sumando dos terminos: el primero corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio centroide, G(i) (vease figura 2.15b), mientras el segundo termino corresponde al valor del transporte hacia el centroide (xg, yg) de la seccio n compuesta (teorema de los ejes paralelos o formula del transporte de Steiner):

" 1 1

4l 2#

4l 2I(1) 4

(1)

(1) x =I(2)

2 1

4 l A3

3(2)

+ A 3 yg2

(2.72a)

x = (2l) (3l) + A36

(l yg)

(2.72b)

Ix = I(1)

(2)x + Ix = 3,7 l4 (2.72c)El calculo de la inercia, Iy, sigue el mismo procedimiento, tal y como se muestra a continuacio n:

I(1)

1 1 4

l 4

(2.73a)y = 2 4 l

+ 0 =8" 1I(2)

(2) 2# 43

y = 2Iy = I(1)

(3l) l +36 2 3(2)

= (2.73b)

2y + Iy = 0,9 l4 (2.73c)El producto de inercia, Ixy = 0 por la simetra de la seccio n compuesta respecto del eje de ordenadas. Finalmente, el valor del momento polar de inercia se obtiene:

I0 = Ix + Iy = 4,6 l4 (2.74)2.8.3. Ca lculo de los momentos principales de inerciaComo se vio en el apartado anterior el producto de inercia de la seccio n compuesta es nulo. Esto quiere decir que los ejes elegidos son tambien ejes principales de inercia (como se muesta el la figura 2.16), de tal manera que:

Imax= Ix = 3,7 l4(2.75a)

Imin= Iy = 0,9 l4(2.75b)

a) b)




a) b)


2.9.1. Ca lculo del a rea y del centroide de la seccio n compuestaPara resolver el problema primero se procede al despiece de la seccio n en un cuadrado (5) y cuatro triangulos (1), (2), (3) y (4) tal y como se muestra en la figura 2.17b. De esta forma, el area de la seccio n compuesta, AT , resulta:

A(1) = 3l 22

(2.76a)

A(2) = A(1) = 3l 2A(3) = A(1) = 3l 2A(4) = A(1) = 3l 2

(2.76b) (2.76c)

(2.76d)

A(5) = 9l2 (2.76e)

AT = A(1) + A(2) + A(3) + A(4) + A(5) = 15l2 (2.76f)

La posicio n del centroide coincide con la origen de los ejes elegidos debido a la simetra de la seccio n. Este resultado lo podemos comprobar verificando como se anulan ambos momentos

estaticos:

Mx = A(1)

3l+

l + A(2)

3l

l + A(3)

3l

(4)

3l

(5)2 3 2 3

2 1 + A

+ 1 + A2

((02).7=7a0)My = A(1)

3l2

+ 1 + A(2)

3l2 l

+ A(3)

3l2

+ 1 + A(4)3

3l2

l + A(5)((02).7=7b0)3de tal manera que:

xg =

MyA = 0 (2.78a)Mxyg =

= 0 (2.78b)AT2.9.2. Ca lculo de los momentos de inerciaEl momento de inercia de la seccio n compuesta, Ix se calcula sumando a la inercia generada por el cuadrado, I(5), las que corresponden a los cuatro triangulos, I(1), I(2), I(3)y I(4).x x x x xEl momento de inercia, I(i), de cada triangulo se obtiene sumando dos terminos: el primero corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio centroide, G(i) (vease figura 2.17b), mientras el segundo termino corresponde al valor del transporte hacia el centroide (xg, yg) de la seccio n compuesta (teorema de los ejes paralelos o formula del transporte de Steiner):

I(1)

1

3 (1) 3l

l 2

41l 4x = 3l(l) + A364

+ = (2.79a)2 3 8I(2)

(1)

41l x = Ix =

(2.79b)8I(3)

1

3 (3) 3 l

2 9l 4x = l(3l) + A364

2 1

= (2.79c)8I(4)

(3)

9l x = Ix =

(2.79d)84I(5)

1

4 27l x = (3l) =12

(2.79e)477l4Ix = I(1)

(2)

(3)

(4)

(5) 4x + Ix + Ix + Ix + Ix =

= 19,25 l4

(2.79f)

Ixy:

Con un procedimiento analogo se calcula el momento de inercia, Iy y el producto de inercia,

I(1)

1

3 (1) 3l

2 9l 4y = l(3l) + A364

2 1

= (2.80a)8I(2)

(1)

9l y = Iy =

(2.80b)8I(3)

1

3 (3) 3l

l 2

41l 4y = (3l)l + A364

+ = (2.80c)2 3 8I(4)

(3)

41l y = Iy =

(2.80d)84I(5)

1 (3l) =12

27l (2.80e)477l4Iy = I(1)

(2)

(3)

(4)

(5) 4y + Iy + Iy + Iy + Iy =

= 19,25 l4

(2.80f)

Es importante observar que por razones de simetra resulta: Iy = Ix y como se demuestra a

continuacio n: Ixy = 0.

I(1) 1

3l

3l l

3l 4xy = 72

(3l)2l2 + A(1) + 12

2 + 3 = 2

(2.81a)

I(2) 1

3l

3l l

3l 4

(2.81b)

xy = 72

(3l)2l2 + A(2)

2 1

2 3 = 2I(3)

1 2 2

(3) 3l

l 3l

3l 4xy =I(4)

l72 1 2

(3l)2

+ A +2 3(4) 3l

2 1l 3l

= (2.81c)2 3l 4xy =I(5)

l (3l) + A72

2 3

+ 1 =2

(2.81d)2xy = 0 (2.81e)Ixy = I(1)

(2)

(3)

(4)

(5)xy + Ixy + Ixy + Ixy + Ixy = 0 (2.81f)El momento de inercia polar se calcula como la suma de Ix e Iy.

I0 = Ix + Iy =

77l 4= 38,5 l42

(2.82)

2.9.3. Ca lculo de los momentos principales de inerciaComo se vio en el apartado anterior el producto de inercia de la seccio n compuesta es nulo. Ademas tenemos que Ix = Iy de tal manera que el crculo de Mohr se reduce a un punto como

se muestra en la figura 2.18b. Esto significa que los ejes elegidos son principales de inercia y los momentos principales de inercia tienen el mismo valor:

Imax = Imin = Ix = Iy = 19,25 l4 (2.83)

a) b)




a) b)


2.10.1. Ca lculo del a rea y del centroide de la seccio n compuestaPara resolver el problema primero se procede al despiece de la seccio n en dos triangulos (1) y (2) a los cuales sumamos un cuarto de crculo (3) y una u ltima seccio n que calculamos como un cuadrado (4) menos el cuarto de crculo (5), tal y como se muestra en la figura 2.19b. De esta forma, el area de la seccio n compuesta, AT , resulta:

A(1) = l 2A(2) = l 22

(2.84a)

(2.84b)

A(3) = l 4

(2.84c)

A(4) = l2 (2.84d)

2A(5) = l 4

(2.84e)

AT = A(1) + A(2) + A(3) + A(4) A(5) = 2l2 (2.84f)

Para situar el centroide, se debe calcular los momentos estaticos de la seccio n:

l Mx = A(1) 3

+ A(2)

l 3

+ A(3)

4l 3

l + A(4) 2

A(5)

4l l3

= 0,2(28.8l35a) l My = A(1) 3

+ A(2)

l 3

4l + A(3)

3

+ A(4)

l 2

A(5)

l +

4l 3

= 0,2(28.8l35b)

La posicio n del centro de masas resultante es la siguiente:

Myxg =yg =

= 0,14 l (2.86a)ATMx= 0,14 l (2.86b)T2.10.2. Ca lculo de los momentos de inerciaEn este apartado se calculan los momentos de inercia, Ix e Iy, el producto de inercia, Ixy, y el momento polar de inercia, Io, respecto a los ejes que pasan por el centroide (xg, yg) de la seccio n compuesta.

Segu n el despiece propuesto, el momento de inercia Ix se consigue sumando las contribuciones de todas las seccio nes que forman el area compuesta. En particular, cada momento de inercia, I(i), se obtiene sumando dos terminos: el primero corresponde al valor del momento de inercia respecto a unos ejes que pasan por su propio centroide, G(i) (vease figura 2.19b), mientras el segundo termino corresponde al valor del transporte hacia el centroide (xg, yg) de la seccio n compuesta (teorema de los ejes paralelos o formula del transporte de Steiner):

I(1)

1

3 (1) l x = l (l) + A36

3 yg2

(2.87a)

I(2)

1

3 (2) lx = l (l) + A36" 1 1

3 yg4l 2#

4l 2

(2.87b)

I(3) 4

(3)

(3) x = 4 4 l A 32

+ A 3 yg

(2.87c)

I(4)

1 l412

(4) l+ A 2 yg

(2.87d)

" 1 1

4 l 2#

4l 2I(5) 4

(5)

(5) x = 4 4 l A 3

+ A l 3 yg

(2.87e)

de tal manera que el valor de Ix , resulta:

Ix = I(1)

(2)

(3)

(4)

(5)x + Ix + Ix + Ix Ix = 0,34 l4 (2.88)Observese que en el caso del cuarto de crculo es necesario aplicar la formula del transporte dos veces: primero desde el valor del momento de inercia calculado respecto del centro del crculo hacia el centroide del crculo; y una segunda vez hacia el centroide de la seccio n compuesta:

De forma similar el momento de inercia, Iy se calcula como:

I(1)

1 (l) l36

(1) l + A 3 xg2

(2.89a)

I(2)

1

3 (2) ly = (l) l + A36" 1 1

3 xg4l 2#

4l 2

(2.89b)

I(3) 4

(3)

(3) y =I(4)

4 1

4 l A 3 + A4 (4) l

3 xg

(2.89c)

y = (l) + A12" 1 1

2 xg4l 2#

4l 2

(2.89d)

I(5) 4

(5)

(5) y = 4 4 l A 3

+ A l + 3 xg

(2.89e)

Iy = I(1)

(2)

(3)

(4)

(5)y + Iy + Iy + Iy Iy = 0,34 l (2.89f)Siguiendo exactamente el mismo proceso, el producto de inercia, Ixy, resulta:

I(1)

1 2 2

(1) l

lxy = 72 l l + A

3 xg

3 yg

(2.90a)

I(2)

1 2 2

(2) l lxy = 72 l l + A

3 xg

3 yg

(2.90b)

" 1 4l 2# 4l 4lI(3) 4

(3)

(3)

xy = I(4)

8 l A l

3 + A l

3 xg

l 3 yg

(2.90c)

xy = A(4)" 1

2 xg

2 yg4l 2# 4l

(2.90d)

4l

I(5) 4

(5)

(5)

xy = 8 lIxy = I(1)

A(2)

(3)

3(4)

+ A(5)

l + 3 xg

l 3 yg

(2.90e)xy + Ixy + Ixy + Ixy Ixy = 0,0072 l4 (2.90f)Finalmente, para calcular el momento polar de inercia, Io, hay que sumar los valores de Ix e Iy:

I0 = Ix + Iy = 0,68 l4 (2.91)

2.10.3. Ca lculo de los Momentos Principales de InerciaComo se puede apreciar en la figura 2.20b los momento principales de inercia inercias (maximo y mnimo) se dan cuando el producto de inercia se anula (Ixy = 0) , una situacio n que corresponde a la interseccio n del crculo Mohr con el eje horizontal.

El centro, Im y el radio, R, del crculo de Mohr se obtienen:Im =

Ix + Iy = 0,34 l42s I I 2

(2.92a)

R = y x2

2 = 0,0072 l4 (2.92b)

Los momentos principales de inercia asumen los siguientes valores:

Imax= Im + R = 0,347 l4(2.93a)

Imin= Im R = 0,333l4(2.93b)

Para finalizar, la rotacio n de ejes, , necesaria para que estos coincidan con los ejes principales

de inercia (vease figura 2.20) se calcula como:

1 = arctan2

2 Ixy Iy Ix

= 45o (2.94)

a) b)


Secciones de pared

delgada3.1. Problema 1Calcular los momentos principales de inercia para la seccio n de pared delgada que se presenta

en la figura 3.1a respecto de su centroide.

a) b)

Figura 3.1: Problema 1: (a) Seccio n de pared delgada propuesta; (b) Posicio n de los centroides considerados en el despiece

3.1.1. Ca lculo del a rea y del centroide de la seccio nEl primer paso para la solucio n del problema consiste en el despiece de la seccio n original en tres areas rectangulares de pared delgada, como se muestra en la figura 3.1b. Se procede al calculo del area de cada rectangulo que forma la seccio n:

A(1) A(2) A(3)El area total, AT , se obtiene sumando las diferentes contribuciones obtenidas con el despiece:

AT = A(1) + A(2) + A(3) = 14 t l (3.2) Los momentos estaticos, Mx y My, se calculan de forma analoga en funcio n de la posicio n de

los centroides de los diferentes rectangulos que forman la seccio n propuesta respecto de los ejes cartesianos de referencia que se muestran en la figura 3.1b:

Mx = A(1)(2

+ l) + A(2)(2l) + A(3)(2l) =

61 t l2 = 30,5 t l2 (3.3a)2My = A(1)(2l) + A(2) (0) + A(3)( ) =2

35 t l2 = 17,5 t l2 (3.3b)2Finalmente, la posicio n del centroide de la seccio n (vease figura 3.2a) se obtiene como:

Myxg =

= 1,25 l (3.4a)ATyg =

Mx= 2,18 l (3.4b)AT3.1.2. Ca lculo de los momentos de inerciaEn este apartado calcularemos los momentos de inercia Ix y Iy, el producto de inercia Ixy as como el momento polar de inercia Io respecto de los ejes xG e yG (ver figura 3.2a) que pasan por el centroide de la seccio n.

El momento de inercia, Ix , se calcula sumando las contribuciones, I(i),

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