1. Momentos de Inercia de Área

Esttica

2015-1 [MOMENTOS DE INERCIA DE REAS]

Profesor Herbert Ypez Castillo

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1. Momento de inercia de reas

El centroide de un rea es evaluado mediante las siguientes expresiones:

=

=

El trmino del numerador se denomina primer momento del rea. Una integral de segundo momento del

rea, tal como 2 o 2

, se conoce como momento de inercia.

Momento de inercia respecto al eje

= 2

Momento de inercia respecto al eje

= 2

Momento polar de inercia respecto al eje

= 2

Producto de Inercia =

= +

Momentos de inercia

(en funcin del radio de giro) =

2 = 2 =

2

Radios de giro de x, y, o , ,

2 =

2 + 2

Unidades [longitud]4: , , ,

[longitud] : , ,

Signos Positivo: , , , , , para cualquier

rea

Positivo o negativo:

Simetra Si un rea es simtrica respecto a un eje (x o y), su Producto de

Inercia es igual a cero. = 0

Esttica



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1.1. Determinacin del momento de inercia por integracin simple

El momento de inercia puede ser determinado por integracin simple mediante dos procedimientos que se

presentan a continuacin.

1.1.1. Longitud del elemento diferencial orientada de forma paralela al eje.

= 2 =

2

= ( ) =

Entonces: Entonces:

= 2( ) =

2

= 2( )

0

= 2

0

= 3

12

=3

4

=2 2

8

Esttica



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1.1.2. Longitud del elemento diferencial orientada perpendicular al eje.

Primero: Determinar el momento de inercia de un rectngulo.

= 2 =

2

= =

Entonces: Entonces:

= 2 =

2

= 2

0

= 2

0

= 3

3]

0

= 3

3]

0

= 3

3 =

3

3

Segundo: Determinar el momento de inercia de un elemento diferencial.

= 3

3 =

3

3

=3

3]

0

=3

3]

0

= 3

3 =

3

3

Esttica



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Tercero: Emplear el momento de inercia del elemento diferencial en diferentes reas.

= 2 = 2 () =

3

3 ()

=2 3

7 =

23

15

= 2 = 3

3 () =

2 ()

= 3

21 =

3

5

Esttica



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2. Teorema de los Ejes Paralelos (Teorema de Steiner)

Por lo general son conocidos los momentos de inercia de reas tpicas (rectngulo, tringulo, etc.) respecto a

un eje que pasa por el centroide (inercias centroidales), sin embargo a menudo se requiere determinar el

momento de inercia respecto a otro eje paralelo, para lo cual se emplea el teorema de los ejes paralelos.

= + 2

= + 2

= +

rea = + 2

1

=46.08E6

2

=47.43E6

3

= -18.22E6

Total =75.30E6 mm4

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3. Momentos de inercia para un rea con respecto a ejes inclinados

Una prctica ingenieril muy conocida es calcular los momentos y el producto de inercia para un rea

respecto a ejes girados e , para lo cual, conocidos los valores de , e , se emplean ecuaciones de

transformacin.

=

2

=

2

=

= + = 2

= = 2

=

= +

2+

2

2 2

= +

2

2

2 + 2

=

2 2 + 2

= + = + = Respecto a 0, ambos sistemas tienen el

mismos centro de coordenadas

Esttica



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4. Crculo de Mohr para momentos de inercia

Las ecuaciones de transformacin tienen una solucin grfica que se presenta a continuacin.

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Donde:

, Momentos y producto de Inercia

respecto a los ejes x e y

, Momentos y producto de Inercia

respecto a los ejes x e y

Centro del crculo de Mohr,

( , 0)

= +

2=

+ 2

= (

2)

2

+ 2

= (

2)

2

+ 2

Esttica



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a) Determinar:

= =

=

Respecto a los ejes x e y que pasan por O.

b) Representar en el Crculo de Mohr los momentos de inercia de los ejes girados 30 anti-horario y 10

horario.

=

+ 2

=

+ 2

= +

1 =4x1

4.00

=1x43/3

21.33

=4x13/3

1.33

=12x4

2/4

4.00

2 =2x1

2.00

=3-1

2.00

=1/2

0.50

=1x23/12

0.67

=2x13/3

0.67

8.67

2.00

Total (pie4) 22 10 6

= 30 = 10

= +

2+

2

2 2

= +

2

2

2 + 2

=

2 2 + 2

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Esttica



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5. Momentos principales de inercia.

Los puntos donde el Crculo de Mohr interseca al eje de las abscisas proporcionan los valores de los

momentos de inercia principales e . Cabe mencionar que, el producto de inercia es igual a cero

en estos puntos.

Ejes , Ejes ,

: Ejes cualesquiera que pasan por O.

: Ejes principales que pasan por O.

=

+ 2

: Momento de Inercia Mximo.

: Momento de Inercia Mnimo.

: Centro del crculo de Mohr ( , 0).

= (

2)

2

+ 2

Momentos de inercia principales respecto a los ejes principales A y B que pasan por .

2 =

2

ngulo de giro para alcanzar los momentos

principales

= +

2+ = + Momento de inercia mximo

= +

2 = Momento de inercia mnimo

= 0 Producto de inercia respecto a los ejes principales

que pasan por O.

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2 =

2

2 =

2

2 = [][+]

[+]= [][+] = [] 2 = []

[]

[+]= [][] = [+]

2 =

2

2 =

2

2 = [][]

[]= [][+] = [] 2 = []

[+]

[]= [][] = [+]

Esttica



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Si se conoce que:

= 22 4

= 10 4

= 6 4

Entonces, determinar los Momentos Principales respecto a

los ejes que pasan por O.

2 = (

2

) = = (

2)

2

+ 2 =

= +

2+ = =

+ 2

=

= +

2 =

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6. Momentos principales centroidales de inercia.

Ejes , Ejes ,

: Ejes cualesquiera que pasan por O.

: Ejes centrales o centroidales

= +

2

Ejes , : Ejes principales centrales o principales centroidales

= (

2)

2

+ 2

: Momento de inercia central o centroidal mximo.

: Momento de inercia central o centroidal mnimo.

: Centro del Crculo de Mohr ( , 0).

Momentos de inercia principales centroidales respecto a los ejes A y B que pasan por el centroide del rea.

2 =

2

Angulo de giro para alcanzar los momentos

principales centroidales

= +

2+ Momento de inercia centroidal mximo

= +

2 Momento de inercia centroidal mnimo

= 0 Producto de inercia centroidal respecto ejes

principales centroidales

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Determinar:

a) Determinar los momentos principales centrales.

b) Determinar el mnimo momento de inercia de la figura.

=

+ 2

=

+ 2

=

+

1 =4x1

4.00

=1/2

0.50

=4/2

2.00

2.00

8.00

=1x43/3

21.33

=4x13/3

1.33

=12x4

2/4

4.00

2 =2x1

2.00

=3-1

2.00

=1/2

0.50

4.00

1.00

=1x23/12

0.67

=2x13/3

0.67

8.67

2.00

6.00 6.00 9.00 Total (pie4) 22 10 6

=

= 6/6 = 1.00 pie

=

= 6/9 = 1.50 pie

= 2 =

= 2 =

= =

2 = (

2

) = = (

2)

2

+ 2 =

= +

2 = =

+ 2

+ =

= +

2 =

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Esttica



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Resumen

Momentos y producto de inercia

para cualquier par de ejes que pasan por .

= +

2+

2

2 2

= +

2

2

2 + 2

=

2 2 + 2

Momentos de Inercia Principales

respecto a los ejes que pasan por .

2 =

2

= +

2+ = +

= +

2 =

= 0

Momentos de inercia principales centrales o centroidales

respecto a los ejes A y B

que pasan por el centroide.

2 =

2

= +

2+

= +

2

= 0

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