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CARATULA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE BARRANCA
“Año de la Promoción de la IndustriaResponsable y Compromiso Climático”
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
INTEGRANTES:
ASENCIOS CASTILLO, Wilfredo
BERNUY COCHACHIN, Ángel Asunción
DURAN GABRIEL, Kevin Cristopher
FLORES SOTO, Christian Béker
ROSARIO ADRIAN, Zozimo Vicente
DOCENTE:
ING. LEO AVELINO LA BORDA DUEÑAS TOVAR
ESTATICA
Barranca – 2014
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INTRODUCCION
En el presente trabajo se tratamos de brindar las diferentes definiciones, ejercicios yejemplos de Momento de inercia de superficies planas, teorema de ejes paralelos,
Momento Segundo mixto, Momentos de inercias principales, Circulo de Mohr.
Partiendo de que momento de inercia es una medida de la inercia rotacional de un
cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la
inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada
momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia
rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y
componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es
necesaria para el análisis de sistemas complejos, como por ejemplo enmovimientos giroscópicos.
El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema
de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo
depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no
depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.
El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso
del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento
angular longitudinal de un sólido rígido.
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INDICE
Contenido
CARATULA ..................................................................................................................... 2INTRODUCCION ............................................................................................................. 3
INDICE ............................................................................................................................ 4
MOMENTO DE INERCIA ............................................................................................. 5
MOMENTO DE INERCIA Y SUS PROPIEDADES ........................................................... 8
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS O TEOREMA DE STEINER .................................. 9
RADIO DE GIRO ........................................................................................................ 11
PRODUCTO DE INERCIA ........................................................................................... 12
TEORIA DE LOS EJES PARALELOS ............................................................................. 13
Producto de inercia de un rectángulo ..................................................................... 13
EJES PRINCIPALES Y MOMENTOS PRINCIPALES ...................................................... 15
Circulo de Mohr ....................................................................................................... 16
Circunferencia de Mohr para esfuerzos .............................................................. 16
Esfuerzos principales. .......................................................................................... 18
Procedimiento para calcular el círculo de Mohr. ................................................ 18
EJERCICIOS ........................................................................................................... 20
CONCLUSIONES ........................................................................................................... 26
ANEXOS ....................................................................................................................... 27
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MOMENTO DE INERCIA
En muchos problemas técnicos figura el cálculo de una integral de la forma ∫y2dA,donde y es la distancia de un elemento de superficie (dA) a un eje contenido en elplano del elemento (ejes x ó Y) o normal a éste (eje Z).Resulta conveniente desarrollar dicha integral para las superficies de formas máscorrientes (círculo, rectángulo, triangulo, entre otras) y tabular los resultados a finde tenerlos a mano.Ejemplo:
1.
Una viga de sección transversal uniforme está sometida a dos pares iguales yopuestos que están aplicados en cada uno de los extremos de la viga.
Se afirma que la viga bajo estas condiciones está a flexión Pura.
En mecánica de los materiales se demuestra que las fuerzas internas encualquier sección transversal de la viga son fuerzas distribuidas cuyasmagnitudes, ΔF=KyΔA, varían linealmente con la distancia “y” que hay entre
el elemento de área ΔA y un eje que pasa a través el centroide de la sección.
Nota: El eje que pasan a través del centroide de la sección se llaman Eje Neutro óEje centroidal.Las fuerzas en un lado del eje neutro son fuerzas a tracción, mientras que en el otrolado del eje neutro son fuerzas a compresión, lo cual permite decir que la resultantede las fuerzas sobre el eje neutro es cero.En forma general la magnitud de la resultan de las fuerzas ΔF, que actuan en un
diferencial de área ΔA, es R.
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En este caso R= cero, ya que la cantidad YA=0 define el centroide por el área, el cual
se encuentra sobre el eje X. Por lo tanto el sistema de las ΔF se reduce a un par, cuya
magnitud M es la suma de los momentos dM=y*ΔF=y2
*ΔF de las fuerzas
elementales.
La integral ∫y2dA define el segundo momento del área o momento de inercia de la
sección de la viga con respecto al eje horizontal (x).
El segundo momento se obtiene integrando sobre la sección de la viga, el producto
del área dA Como cada producto y2 dA es positivo la integral ∫y2dA será positiva,
independientemente del valor y signo de la distancia “y”. r el cuadrado de la
distancia “y “existente entre el eje (x) y el diferencial de área.
2. El agua actuando sobre una superficie vertical ABCD produce sobre cada
elemento diferencial de área una presión proporcional a la profundidad delelemento P=γy. El momento respecto a el eje AB debido a la fuerza ejercida
sobre el elemento dA es :
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El momento total sobre la superficie ABCD, M, es la suma de todos losmomentos diferenciales dM.
donde la integral ∫ y2 dA representa la inercia del área “A” respecto al eje AB, se
denota por Iab, siendo el subíndice el nombre del eje sobre el cual se toma el
momento.
El momento de inercia tiene unidades de longitud al cuadrado. Ejemplo: cm4
,m4
,pulg4
.
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MOMENTO DE INERCIA Y SUS PROPIEDADES
El momento de inercia de un área respecto al eje polar, momento polar de inerciaJo, es igual a la suma de los momentos de inercia respecto a dos ejesperpendiculares entre sí, contenidos en el plano del área y que se intercepta en eleje polar.El momento polar de inercia es de gran importancia en los problemas relacionados
con la torsión de barras cilíndricas y en los problemas relacionados con la rotación
de placas.
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TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS O TEOREMA DE STEINER
La integral , representa el primer momento del área con respecto aleje C.
Si el centroide del área se localiza en el Eje C, dicha integral será nula.
La integral , representa el área total.
La integral , define el momento de inercia de un área con respecto del eje
C,
finalmente el segundo momento del área total se consigue mediante:
El momento de inercia I de un área con respecto a cualquier eje A, IA, es igual al
momento de inercia respecto a un eje paralelo centroidal más el producto del área
multiplicada por el cuadrado de la distancia (d) entre los dos ejes. Dicho en otras
palabras la distancia d es la distancia existente entre el eje centroidal (Eje C) hasta el
eje donde se desea calcular el momento de inercia (Eje A).
LOS EJES A Y C DEBEN SER PARALELOS (Eje A // Eje C)
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LIMITANTE: el teorema de Steiner sólo se puede aplicar si uno de los dos ejes
paralelos pasa a través del centroide del área.
Para comprender los términos de la ecuación que define el teorema de los ejes
paralelos, se ilustra a continuación un área A (figura morada) con su centroide en elpunto C y el origen de coordenadas pasando por el punto “o”.
Donde:
Jo: momento polar de inercia de un área con respecto de un punto O.
Jc es el momento polar de inercia de un área respecto a su centroide C.
d3: distancia entre el polo o y el centroide C.
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En las cuatro expresiones precedentes, la distancia d debe interpretarse como la
distancia entre los dos eje paralelos involucrados; dependiendo el caso, se tomarácomo la distancia (d
2) entre los ejes X y X
centroidal, o se razonará como la distancia (d
1)
entre los eje Y e Ycentroidal
.
RADIO DE GIRO
Representa la distancia K, perpendicular respecto al eje L, a la cual habría que
colocarse el área concentrada de tal manera que produzca el mismo momento de
inercia del área total.
El radio de giro expresa una medida de la distribución del área respecto al eje.
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PRODUCTO DE INERCIA
Otra integral de aparición frecuente en análisis ingenieriles es la integral de la forma:
Ésta integral es considerada como el producto de inercia del área A respecto a losejes coordenados XY. Contrario a lo que sucede con el momento de Inercia puede
ser positiva, negativa o cero.
Cuando uno ó ambos de los ejes (x ∧ y) es un eje de simetría el producto de inercia
será nulo.
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TEORIA DE LOS EJES PARALELOS
El producto de inercia respecto a los ejes x ∧ y ubicados en el plano del área
será
equivalente a la suma del producto de inercia respecto a los ejes
centroidales más el producto del área A por las distancias x e y desde los
ejes x y hasta los ejes centroidales.
PRODUCTO DE INERCIA DE UN RECTÁNGULO
De acuerdo al teorema de los ejes paralelos para el producto de inercia es:
aplicando dicho teorema a un diferencial de área se tiene:
Como el diferencial de área (dA=h*dx) (rectángulo rayado) es simétrico respecto asus ejes centroidales (Xce,xce), el valor del producto diferencial de inercia centroidal
es nulo.
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EJES PRINCIPALES Y MOMENTOS PRINCIPALES
Cálculo de los momentos de inercia respecto a los ejes U y V (ejes aules):
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CIRCULO DE MOHR
El Círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería y geofísica para
representar gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con
ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las
características de una circunferencia (radio, centro, entre otros). También es posible
el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta.
Este método fue desarrollado hacia 1882 por el ingeniero civil alemán Christian Otto
Mohr (1835-1918).
Circunferencia de Mohr para esfuerzos
Caso bidimensional
En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la
tensión máxima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y
tangencial sobre dos ángulos que forman 90º:
Medida 1 ( )
Medida 2 ( )
Ha de hacer notar que el eje vertical se encuentra invertido, por lo que
esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte
superior.
Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensión
normal () y el eje vertical representa la tensión cortante o tangencial () para cadauno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados
de la siguiente manera:
Centro del círculo de Mohr:
Radio de la circunferencia de Mohr:
Las tensiones máximas y mínimas vienen dados en términos de esas
magnitudes simplemente por:
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Estos valores se pueden obtener también calculando los valores
propios del tensor tensión que en este caso viene dado por:
| [ ]
Caso tridimensional
El caso del estado tensional de un punto P de un sólido tridimensional es más
complicado ya que matemáticamente se representa por una matriz de 3x3 para la
que existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.
|
En el caso general, las tensiones normal () y tangencial (), medidas sobrecualquier plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama (, ) caen
siempre dentro de una región delimitada por 3 círculos. Esto es más complejo que el
caso bidimensional, donde el estado tensional caía siempre sobre una única
circunferencia. Cada uno de las 3 circunferencias que delimitan la región de posibles
pares (, ) se conoce con el nombre de circunferencia de Mohr.
Círculo de Mohr para la tracción simple.
El círculo de Mohr es un círculo en el que las coordenadas de los puntos de
su circunferencia son la tensión normal y la tensión cortante que existen en una
sección inclinada cualquiera de la barra.
El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para representar
gráficamente un tensor simétrico y calcular con ella momentos de inercia,
deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de un círculo
(radio, centro, entre otros.). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante
máximo absoluto y la deformación máxima absoluta.
El círculo de Mohr se construye de la siguiente forma:
Se toman unos ejes coordenados de forma que en el eje de abscisas situamos
las tensiones normales y en el de las ordenadas las tensiones cortantes.
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Los puntos representativos de las tensiones que actúan en 2 caras
perpendiculares definen un diámetro del círculo de Mohr.
Las tensiones cortantes que actúan en dos secciones perpendiculares son
iguales y de sentido contrario.
Para dibujar correctamente el círculo de Mohr deben tenerse en cuenta los
siguientes detalles:
El sentido de giro del ángulo en el círculo se corresponde con el sentido de
giro del plano AB en la realidad.
El signo de las tensiones tangenciales (t) se toma como positivo si giran en
sentido de las agujas del reloj alrededor del elemento diferencial y negativo
en caso contrario.
El ángulo entre dos radios del círculo equivale al doble del ángulo entre los
planos reales correspondientes.
Esfuerzos principales.
Los esfuerzos principales son los mayores esfuerzos que actúan sobre el
elemento y se hallan por medio de una rotación de coordenadas. Los esfuerzosnormales principales se notan como , y donde , y en el
ángulo de rotación en el que se dan el esfuerzo cortante es cero. El esfuerzo
cortante máximo absoluto se nota como y en el ángulo de rotación al que se
da los esfuerzos normales son el promedio de los esfuerzos normales del tensor de
esfuerzos.
Procedimiento para calcular el círculo de Mohr.
Para construir un círculo de Mohr que sirva en la solución de problemas, se usa
el siguiente procedimiento:
1.- Se traza un par de ejes coordenadas tomando a σ como eje de las abscisas
ya τ como eje de las ordenadas.
2.- Se trazan los valores de τ y σ correspondientes a dos superficies
mutuamente perpendiculares del cubo elemental, tales como las caras cd y
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ac de la Fig. 6.24 (a), obteniendo dos puntos en la periferia del círculo. De
acuerdo con la convención de signos, los esfuerzos de tensión son positivos
y los esfuerzos de compresión, negativos. Los esfuerzos cortantes que
tienden a hacer girar al bloque en sentido de las manecillas del reloj, tales
como los de las caras ac y bd, se consideran negativos. En el círculo de la Fig.
6.24 (b), el punto V con coordenadas (+ σ x, + τ), y el punto H con
coordenadas (+ σ y, - τ) son los puntos que se trazarán.
3.- Se traza la línea recta HCV que une estos dos puntos. Esta recta es el
diámetro del círculo cuyo centro es el punto C.
4.-
Se completa el círculo tomando como centro el punto C y como radio CV
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EJERCICIOS
1. Determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo con el
círculo de Mohr. Las series de datos siguientes dan los esfuerzos en el
elemento sometido a esfuerzo inicial realice las operaciones siguientes:
a) Dibuje el círculo de Mohr completo con los puntos críticos identificados
incluidos .
b) En el círculo de Mohr, indique la línea que presenta el eje x en el elemento
sometido a esfuerzo inicial.
c) En el círculo de Mohr, indique los ángulos a partir de la línea que representa
el eje x hacia el eje y el eje .
d)
Dibuje el elemento sometido a esfuerzo inicial y el elemento sometido a
esfuerzo cortante máximo orientados adecuadamente con respecto al
elemento sometido a esfuerzo inicial.
DATOS:
El lado inferior del triangulo: El centro O del circulo esta en
:
( ) ( )
El radio del circulo: El lado vertical del triangulo
√
√ Esfuerzo cortante máximo = 764,53 KPa
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Ángulos:
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2. Determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo con el
círculo de Mohr. Las series de datos siguientes dan los esfuerzos en el
elemento sometido a esfuerzo inicial realice las operaciones siguientes:
a)
Dibuje el círculo de Mohr completo con los puntos críticos identificados
incluidos .
b)
En el círculo de Mohr, indique la línea que presenta el eje x en el elemento
sometido a esfuerzo inicial.
c) En el círculo de Mohr, indique los ángulos a partir de la línea que representa
el eje x hacia el eje y el eje .
d)
Dibuje el elemento sometido a esfuerzo inicial y el elemento sometido a
esfuerzo cortante máximo orientados adecuadamente con respecto al
elemento sometido a esfuerzo inicial.
DATOS: El lado inferior del triángulo: El centro O del circulo esta en :
( ) ( )
El radio del circulo: El lado vertical del triangulo
√
√ Esfuerzo cortante máximo = 460 KPa
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Ángulos:
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CONCLUSIONES
Logramos determinar el momento de inercia de dos sólidos con masassimilares (disco y aro) y pudimos ver como variaba el momento de inercia
entre ellos gracias a la distribución de su masa, siendo mayor el momento
del aro porque su masa esta distribuida en el borde de la circunferencia.
El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la
posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en
el movimiento.
El teorema de ejes paralelos permite relacionar el momento de inercia
respecto a un eje que pasa por el Centro de Masa de un cuerpo con elmomento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior.
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ANEXOS
![Estatica [2] Baricentro y Momentos de Inercia](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/55b63448bb61ebe25d8b464d/estatica-2-baricentro-y-momentos-de-inercia.jpg)
