Momentos y Productos de Inercia de Masas

5/11/2018 Momentos y Productos de Inercia de Masas - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/momentos-y-productos-de-inercia-de-masas 1/21

“ Año del Centenario de Machu Picchu para el Mundo”

CURSO : DINAMICA

TEMA : MOMENTOS Y PRODUCTOS DEINERCIA DE MASAS.

DOCENTE : Dr. Msc. Ing. SERBANDO SOPLOPUCOQUIROGA.

INTEGRANTES : DEISY ATALAYA GARCIASHIRLY CHUJUTALLI TORRESCHANDY PAREDES RODRIGUEZ

JOSE E. RAMIREZ RAMIREZDIEGO SANCHEZ GILSANDRA I. TENAZOA RAMIREZ



MOMENTO DE INERCIA

ydAdF R ydAk R

ydA Primer Momento de la sección respecto al eje X

Similarmente: dA yk ydF M 2

dA y2

Segundo Momento (Momento de Inercia) de la sección respecto al eje X

Entonces: dA y I X

2

Momento de Inercia de la sección respecto al eje X

Similarmente: dA x I Y 2

Momento de Inercia de la sección respecto al eje Y

y F y A

x

y



MOMENTOS RECTANGULARES DE INERCIA DE UN ÁREA

dA y I X

2

dxdy y I X

2

dA x I Y

2

dxdy x I Y

2

MOMENTO POLAR DE INERCIA

dAr J o2

dA y x J o22

dA ydA x22

X Y o I I J

y

Y

x

X

dA = dx dy

y

x

Y

X

r



TEOREMA DE STEINER (Teorema de los ejes paralelos)

Nótese: cg X X y yd

dA y I X

2 dAd y X X cg

2

dAd dAd ydA y X X X X cgcg

222

dAd dA yd I I X X cg X X X X

22

Ad dA yd I I X X cg X X X X

22

dA ycg : Ubicación del C.G. respecto del eje X cg 0 dA ycg

De esta manera se demuestra que: Ad I I X X X X

2

Análogamente: Ad I I Y Y Y Y

2

Similarmente para Momento Polar: Ad J J r OO

2

Donde r d es la distancia entre los centros de los pares de ejes paralelos

X

X cg = X

X X d

CG

ycg

y



MOMENTO DE INERCIA DE ÁREAS COMPUESTAS

X Xto ta l I I

Y Ytotal I I

OOtotal J J

Observación: Todos los momentos de inercia de las figuras individuales estánreferidos al mismo eje.

PRODUCTO DE INERCIA

xydAP XY

Producto de inercia puede ser positivo o negativo

En caso uno de los ejes sea eje de simetría: 0 XY P

y

x

Y

X

dA



Similarmente se puede usar el Teorema de los ejes paralelos:

Nótese:

cg X X y yd : Representa ubicación del centro de gravedad respecto el eje X ;

por lo tanto, yd X X

cgY Y x xd : Representa ubicación del centro de gravedad respecto el eje Y ;

por lo tanto, xd Y Y

xydAP XY

dAd yd xP X X cgY Y cg XY

dA y y x xP cgcg XY

dA y xdA y xdA y xdA y xP cgcgcgcg XY

dA y xdA x ydA y xPP cgcgY X XY

A y xPPY X XY

y

x

Y

X

dA

ycg

xcgY CG

X CG CG



MOMENTO DE INERCIA RESPECTO DE EJES ORTOGONALES CON EL MISMO ORIGEN

Se conoce: X I , Y

I , X Y P y se desea conocer: u

I , v I , uv

P

Se puede deducir: θ xθ yu cossen ; θ xθ yv sencos

Nótese:

dAv I u2

dAθ xθ y I u2

sencos

dAu I v2

dAθ xθ y I u2

cossen

θ Pθ I θ I I xy y xu 2sensencos22

θ Pθ I θ I I xy y xv 2sencossen22

Análogamente: θ Pθ I I P xy y xuv 2cos2sen2

1

Observación importante: y xr uO I I I I J

y

x

v

u

y

x

dA

u

v



Nótese que los valores de Momento de Inercia Máximo y Mínimo se obtienen

cuando el producto de inercia es cero:

02cos22

1 m xym y xuv Psen I I P y x

xy

m I I

P

2)2tan(

De esta manera se obtiene el ángulo m que permite determinar el valor máximo ymínimo del momento de inercia.

m xym ym xminmax θ Pθ I θ I I 2sensencos22

,

m xym ym xminmax θ Pθ I θ I I 2sencossen22

,

I I min

I max

P

I

Puv

I u

C

R

P

-Puv

I v



EJES PRINCIPALES

Se llaman ejes principales de inercia al par de ejes ortogonales para los cuales los

momentos de inercia son máximos y mínimos respectivamente.

Se sabe: y x

xy

p I I

Pθ tan

2)2(

Nótese que se obtienen dos valores para pθ 2 que difieren en 180°, por lo tanto los

valores de pθ difieren en 90°. De esta manera se dice que los valores de pθ

definen 2 ejes perpendiculares entre sí.

EJES PRINCIPALES Y CENTRALES

Son los ejes principales que pasan por el centroide de la figura

x

u

y

v

P1

P2

9021 PP θ θ



x

y

u

v

ROTACIÓN DE EJES

Hasta el momento hemos analizado lo que ocurre con los momentos y productos deinercia de un área plana al TRASLADAR los ejes respecto de los cuales estamosrealizando los cálculos.

¿Qué ocurrirá si en lugar de trasladarlos en forma paralela, los rotamos alrededordel origen de coordenadas? En principio debemos definir el momento polar deinercia que se denota y calcula de la siguiente manera:

v uyxO IIIIJ

donde: JO es el momento polar de inerciaIx e Iy son los momentos de inercia respecto de ejes x e y

perpendiculares entre sí.Iu e Iv son los momentos de inercia respecto de ejes u e v perpendiculares entre sí.

Basándonos en esta relación y calculandolos momentos y productos de inercia enfunción del ángulo de rotación podemosllegar a expresiones de Iu, Iv y Puv enfunción de , Ix, Iy y Pxy.

Estas expresiones se conocen como“fórmulas o ecuaciones de rotación” y sonlas siguientes:

cos2Psen22

IIP

sen2Pcos22

II

2

III

sen2Pcos22

II

2

III

xyyx

uv

xyyxyx

v

xyyxyx

u



EJES PRINCIPALES DE INERCIA

Al realizar la rotación de ejes los momentos y productos de inercia del área planavan a ir cambiando de valores hasta que llegue un punto en el que para un ángulo

determinado se cumpla que el producto de inercia Puv sea igual a cero y porconsiguiente los valores de los momentos de inercia Iu e Iv tomarán un valor máximoy un valor mínimo (pero SIEMPRE POSITIVOS). Estos ejes se donominan EJESPRINCIPALES DE INERCIA.

CÍRCULO DE MOHR

Una forma alternativa y muy útil de calcular los momentos y productos de inercia deejes rotados es el Método del Círculo de Mohr, que se resume en lo siguiente:

Para obtener cualquier valor de momento o producto de inercia, respecto decualquier ángulo de giro, bastará con aplicar relaciones de geometría dentro delcírculo.

22

xyyx

yx

P2

IIR

0,2

IIC

RCI

RCI

mín

máx

C Iu

Puv

RImínImáx



MOMENTOS DE INERCIA DE MASAS

El momento de inercia de un cuerpo se define por medio de las siguientesexpresiones:

m

dm z y xx

I 22

m

dm z x yy

I 22

m

dm y x I zz22

donde:Ix es el momento de inercia con respecto al eje x.Iy es el momento de inercia con respecto al eje y.Iz es el momento de inercia con respecto al eje z.y es la posición del plano xz al elemento diferencial dm.x es la posición del plano yz al elemento diferencial dm.z es la posición del plano xy al elemento diferencial dm.

Para efectos de este curso vamos a trabajar con valores conocidos de momentos deinercia que pueden ser obtenidos de tablas. Las figuras compuestas con las quevamos a trabajar serán combinaciones de las áreas contenidas en las tablas.

TEOREMA DE STEINER PARA MASAS

El Teorema de Steiner nos permite obtener el momento y producto de inercia de uncuerpo con respecto a ejes distintos de los que se presentan en la tabla.

La única consideración que debemos tomar en cuenta para aplicarlo es que siempre debemos incluir un eje centroidal (es decir, que pase por el centroide de la figuraanalizada) en el cálculo.

El Teorema de Steiner, para el caso de masas, se expresa de la siguiente manera:

mzyII 22Cxx

mzxII 22

Cyy

myxII22

Czz

donde: Ix es el momento de inercia con respecto al eje x.Iy es el momento de inercia con respecto al eje y.Iz es el momento de inercia con respecto al eje z.y es la posición del plano xz al centro de gravedad del sólido. x es la posición del plano yz al centro de gravedad del sólido. z es la posición del plano xy al centro de gravedad del sólido. IxC es el momento de inercia centroidal en x.IyC es el momento de inercia centroidal en y.

IzC es el momento de inercia centroidal en z.m es la masa del sólido analizado.



Momento de inercia de una distribución de masaspuntuales

Tenemos que calcular la cantidad

donde xi es la distancia de la partícula de masa mi al eje de rotación.

Una varilla delgada de 1 m de longitud tiene una masa despreciable. Se colocan 5 masas de 1

kg cada una, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, y 1.0 m de uno de los extremos. Calcular el

momento de inercia del sistema respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa a través

de

Un extremo De la segunda masa

Del centro de masa

El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la

varilla y que pasa por la primera partícula es

I A=1·02+1·0.25

2+1·0.5

2+1·0.75

2+1·1

2=1.875 kgm

2


varilla y que pasa por la segunda partícula es

I B=1·0.252+1·0

2+1·0.25

2+1·0.5

2+1·0.75

2=0.9375 kgm

2


varilla y que pasa por la tercera partícula (centro de masas) es

I C =1·0.52+1·0.25

2+1·0

2+1·0.25

2+1·0.5

2=0.625 kgm

2

En vez de calcular de forma directa los momentos de inercia, podemos calcularlos de forma

indirecta empleando el teorema de Steiner. Conocido I C podemos calcular I A e I B, sabiendo lasdistancias entre los ejes paralelos AC=0.5 m y BC=0.25 m.

La fórmula que tenemos que aplicar es

I=I C +Md 2

I C es el momento de inercia del sistema respecto de un eje que pasa por el centro de

masa

I es el momento de inercia respecto de un eje paralelo al anterior

M es la masa total del sistema

d es la distancia entre los dos ejes paralelos.

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/teoria/teoria.htm#Teorema%20de%20Steiner




I A= I C +5·0.52=0.625+1.25=1.875 kgm

2.

I B= I C +5·0.252=0.625+0.3125=0.9375 kgm

2.

Momento de inercia de una distribución continua de masa

Pasamos de una distribución de masas puntuales a una distribución continua de masa. La

fórmula que tenemos que aplicar es

dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación

Resolveremos varios ejemplos divididos en dos categorías

Aplicación directa del concepto de momento de inercia

Partiendo del momento de inercia de un cuerpo conocido

Momento de inercia de una varilla

Vamos a calcular el momento de inercia de unavarilla de masa M y longitud L respecto de un eje

perpendicular a la varilla que pasa por el centro de

masas.

La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x+dx es

El momento de inercia de la varilla es

Aplicando el teorema de Steiner, podemos calcular el

momento de inercia de la varilla respecto de un eje

perpendicular a la misma que pasa por uno de sus

extremos.





Momento de inercia de un disco

Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R respecto de un eje

perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un anillo de

radio x y de anchura dx. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un

rectángulo de longitud 2 x y anchura dx, cuya masa es

El momento de inercia del disco es

Momento de inercia de un cilindro

Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M , radio R y

longitud L respecto de su eje.



Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es una capa

cilíndrica cuyo radio interior es x, exterior x+dx, y de longitud L, tal como se muestra en la

figura. La masa dm que contiene esta capa es

El momento de inercia del cilindro e

Momento de inercia de una placa rectangular

Vamos a calcular el momento de inercia de una placa rectangular

delgada de masa M de lados a y b respecto del eje que pasa por la

placa.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El

elemento es un rectángulo de longitud a de anchura dx. La masa de

este rectángulo es

El momento de inercia de la placa rectangular es

Momento de inercia de un disco



Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de

masa M y radio R, respecto de uno de sus diámetros.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de

rotación. El elemento es un rectángulo de longitud 2 y deanchuradx. La masa de este rectángulo es

El momento de inercia del disco es

Haciendo el cambio de variable

x=R·cosθ

y=R·senθ

Llegamos a la integral

Momento de inercia de una esfera

Vamos a calcular el momento de inercia de una esfera de masa M y radio R respecto de uno

de sus diámetros



Dividimos la esfera en discos de radio x y de espesor dz. El momento de inercia de cada unode los discos elementales es

La masa de cada uno de los discos es

El momento de inercia de la esfera, es la suma de los momentos de inercia de todos los discos

elementales.

Para resolver la integral tenemos que relacionar la variable x con la z. Como vemos en la

figura x2+z

2=R

2

Momento de inercia de un cilindro

Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M , radio R y longitud L,

respecto de un eje perpendicular a su generatriz y que pasa por su centro.

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/inercia/inercia.htm#Momento%20de%20inercia%20de%20un%20disco






Dividimos el cilindro en discos de radio R y espesor dx. El momento de inercia de cada uno

de los discos respecto de uno de sus diámetros es

Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de este disco, respecto de

un eje paralelo situado a una distancia x.

El momento de inercia del cilindro es

Momento de inercia de un paralepípedo

Vamos a calcular el momento de inercia de un paralepípedo de masa M y de

lados a, b y c respecto de un eje perpendicular a una de sus caras.

Dividimos el paralepípedo en placas rectangulares de lados a y b y de espesor dx.









El momento de inercia de cada una de las placas respecto de su eje de simetría es

Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de esta placa respecto deun eje paralelo situado a una distancia x es

El momento de inercia del sólido en forma de paralepípedo es

EJERCICIOS

1.



Documents

Momentos y Productos de Inercia de Masas