Tema 3

GEOMETRÍA DE MASAS

1. Introducción

2. Centro de masas, centro de gravedad y centroide

3. Momento de inercia

4. Radio de giro

5. Teoremas de Steiner para momentos de inercia

6. Productos de inercia

7. Momentos principales de inercia

AugustoBeléndezVázquezDepartamentodeFísica,IngenieríadeSistemasyTeoríadelaSeñalUniversidaddeAlicante(2017)

CENTRO DE MASAS

mi Myz =M xG = mi

i=1

N

∑ xi

Mxz =M yG = mii=1

N

∑ yi

Mxy =M zG = mii=1

N

∑ zi

xG =mi

i=1

N

∑ xi

MyG =

mii=1

N

∑ yi

MzG =

mii=1

N

∑ zi

M

M= mii=1

N

∑

O

z

G

y

x

xi yi

zi zG

xG yG

CENTRO DE MASAS!MO =M

!rG = mii=1

N

∑!ri

!ri =xi!i + yi

!j+ zi!k

!rG =xG!i + yG

!j+ zG

!k

⎫⎬⎪

⎭⎪

!rG =1M

mii=1

N

∑!ri

M= mii=1

N

∑

mi

O

z

G

y

x

xi yi

zi zG

xG yG

!ri!rG

CENTRO DE MASAS

xG =xdm

M∫

MyG =

ydmM∫

MzG =

zdmM∫

M

O

z

G

y

x

dm

x y

z zG

xG yG

Myz =M xG = xdmM∫

Mxz =M yG = ydmM∫

Mxy =M zG = zdmM∫

M= dmM∫

CENTRO DE MASAS

!rG =1M!rdm

M∫

O

z

G

y

x

dm

x y

z zG

xG yG

!MO =M

!rG =!rdm

M∫

M= dmM∫

!r!rG

!ri =xi!i + yi

!j+ zi!k

!rG =xG!i + yG

!j+ zG

!k

⎫⎬⎪

⎭⎪

CENTRO DE MASAS

Myz =M xG = xdmM∫ , Mxz =M yG = ydm,

M∫ Mxy =M zG = zdm

M∫

Momentosdeprimerorden:Momentosestá/cosdelsistemarespectoalosplanosx=0,y=0,z=0

Myz =M xG = mii=1

N

∑ xi , Mxz =M yG = mii=1

N

∑ yi , Mxy =M zG = mii=1

N

∑ zi

ElmomentoestáJcorespectoaunplanoesnulosiladistribucióndemasaessimétricarespectoadichoplano:

G

EG EG

G

EG EG

CENTRO DE MASASCuerposcompuestos

Myz = xdmM∫ = xdm

M1

∫ + xdmM2

∫ + xdmM3

∫ +…= xdmMi

∫i=1

N

∑

xdmMi

∫ =Mi xGi xdmM∫ =M xG

xG =Mi xGi

i=1

N

∑

MyG =

Mi yGii=1

N

∑

MzG =

Mi zGii=1

N

∑

M

M = Mii=1

N

∑

CENTRO DE MASASCuerposconhuecos

xG =

Mti xGti + (−Mhj ) xGhjj=1

N '

∑i=1

N

∑

M

M = Mti −i=1

N

∑ Mhjj=1

N´

∑

Un cuerpo con huecos puede considerarse como la unión de NcuerposdemasatotalMtyN’huecosconmasatotalnegaJva−Mh

Línea

Densidadlinealdemasa, λ

!rG =1M

λ!rdL

L∫

λ =dmdL

→ dm = λdL

dmdL

L,M

CENTRO DE MASAS

Superficie

Densidadsuperficialdemasa, σ

!rG =1M

σ!rdS

S∫

σ =dmdS

→ dm =σ dS

dmdS

S,M

CENTRO DE MASAS

Volumen

Densidadvolumétricademasa, ρ

!rG =1M

ρ!rdV

V∫

ρ =dmdV

→ dm = ρdV

dm, dV

V ,M

CENTRO DE MASAS

CENTRO DE GRAVEDAD

xCG =1P

xdpP∫ =

↑

dp=gdmP=Mg

1Mg

gxdmM∫ =

↑

Si g es cte.

gMg

xdm = 1M

xdmM∫

M∫

xCG = xG

CENTROIDE

xC =1V

xdVV∫ yC =

1V

ydVV∫ zC =

1V

zdVV∫

Volumen

Superficie

Línea

xC =1S

xdSS∫ yC =

1S

ydSS∫ zC =

1S

zdSS∫

xC =1L

xdLL∫ yC =

1L

ydLL∫ zC =

1L

zdLL∫

MOMENTO DE INERCIA

dm

O

O

!r

M

I = r2dmM∫

dI = r2dm

MOMENTO DE INERCIA RESPECTO A LOS EJES COORDENADOS

O

z

x

dm

x y

z

y

rx

Ix ≡ Ixx = rx2

M∫ dm = (y2 + z2)

M∫ dm

I y ≡ I yy = ry2

M∫ dm = (x2 + z2)

M∫ dm

Iz ≡ Izz = rz2

M∫ dm = (x2 + y2)

M∫ dm

ry

rz

MOMENTO DE INERCIA RESPECTO A UN PUNTO

O

z

x

dm

x y

z

P Q

O(0,0,0)

P(x, y, z)

Q(xQ , yQ , zQ )y

PQ

IQ = QP2 dmM∫ = [(x − xQ )

2 + (y − yQ )2 + (z − zQ )

2]dmM∫

MOMENTO DE INERCIA POLAR

O

z

x

y

z’

x’

y’

IO = OP2 dmM∫ = (x2 + y2 + z2)dm

M∫

IO =12(Ix + I y + Iz )

MOMENTO DE INERCIA DE CUERPOS COMPUESTOS

Ix = (y2 + z2)dmM∫ =

= (y2 + z2)dm1M1

∫ + (y2 + z2)dm2 +…+ (y2 + z2)dmN =MN

∫M2

∫

= Ix1+ Ix2 +…+ IxN

RADIO DE GIRO

dm

E

r

M E

kM

I = r2 dmM∫

I =Mk 2

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⇒ k = IM

PRODUCTOS DE INERCIA

O

z

x

y x y

dIxy = xydm

Ixy = xy dmM∫

I yz = yz dmM∫

Ixz = xz dmM∫

dm

distanciadedmalplanoyz

distanciadedmalplanoxz

x y

Ixy = I yx I yz = Izy Ixz = Izx

PRODUCTOS DE INERCIA

Si alguno o ambos planos ortogonales respecto a los cuales secalculaelproductodeinerciasonplanosdesimetríaparalamasa,elproductodeinerciarespectoaestosplanosseránulo

(a)  ElplanoyzesunplanodesimetríayentoncesIxy=Ixz=0,mientrasqueIyz>0.

(b)  Losplanosxzeyzsonplanosdesimetríay,portanto,Ixy=Iyz=Ixz=0.

TEOREMAS DE STEINER PARA MOMENTOS DE INERCIA

G

z

x

dm

dQG

Q

P

G(0,0,0)P(x, y, z)Q(xQ , yQ , zQ )

y

dPQ

TeoremadeSteinerrespectodepuntos

TEOREMAS DE STEINER PARA MOMENTOS DE INERCIA

O

z’

x’

y’

TeoremadeSteinerrespectodeejes(teoremadelosejesparalelos)

G

z

x

y

xG yG

zG

dz = xG2 + yG

2Ix ' = IxG +Mdx

2

I y ' = I yG +Mdy2

Iz ' = IzG +Mdz2

dx2 = yG

2 + zG2

dy2 = xG

2 + zG2

dz2 = xG

2 + yG2

TEOREMAS DE STEINER PARA PRODUCTOS DE INERCIA

O

z’

x’

y’

G

z

x

y

xG yG

zG

Ix ' y ' = IxyG +M xG yGI y ' z ' = I yzG +M yGzGIx ' z ' = IxzG +M xGzG

MOMENTOS DE INERCIA RESPECTO A UN EJE ARBITRARIO

O

z

x

y

E

u

γ

βα

MOMENTOS DE INERCIA RESPECTO A UN EJE ARBITRARIO

O

z

x

y

E

uθ

dm

!r

90º