MOMENTO DE INERCIA MXIMO Y MNIMO

MOMENTO DE INERCIA MXIMO Y MNIMOResistencia de los materiales I

I. MOMENTOS DE INERCIA DE AREAPara determinar el centroide para un rea se considera el primer momento de rea con respecto a un eje, vale decir, para el clculo se evala una integral de la forma . A una integral del segundo momento de un rea, tal como , se le llama momento de inercia para el rea. Considere el rea A, mostrada en la figura siguiente: Por definicin, los momentos de inercia del rea diferencial plana con respecto a los ejes x e y son:

Los momentos de inercia son determinados por integracin para toda el rea; es decir,

II. TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS O DE STEINERSi el momento de inercia para un rea se conoce con respecto a un eje que pasa a travs de su centroide, lo que a menudo es el caso, es conveniente determinar el momento de inercia del rea respecto a un eje paralelo correspondiente usando lo que se llama teorema de ejes paralelos. Para derivar este teorema, considere encontrar el momento de inercia del rea sombreada que se muestra en la figura con respecto al eje x.En este caso, un elemento diferencial dA est ubicado a una distancia arbitraria y' del eje centroidal x, mientras que la distancia fija entre los ejes paralelos x y x' es definida como dy'

Luego, para el elemento diferencial de rea dA, el momento de inercia respecto al eje x es:

Entonces, para toda el rea es:

La primera integral representa el momento de inercia del rea respecto al eje centroidal x y la denotamos .

Para la segunda integral se da lo siguiente: Siendo la distancia desde el eje y hasta el centroide, ahora como y pasa justo por el centroide implica que =0. Por ltimo la tercera integral representa el rea de la figura. Por tanto el resultado final es:

Anlogamente:

III. MOMENTOS DE INERCIA PARA REAS COMPUESTAS:Un rea compuesta consiste en una serie de partes o formas "ms simples" conectadas, tales como semicrculos, rectngulos y tringulos. Si el momento de inercia de cada una de esas partes se conoce o puede ser determinado con respecto a un eje comn, entonces el momento de inercia del rea compuesta es igual a la suma algebraica de los momentos de inercia de todas sus partes.

IV. PRODUCTOS DE INERCIA PARA UN REAEn general, el momento de inercia para un area es diferente para cada eje con respecto al cual de calcula. Los productos de inercia de un rea estn dados, por definicin, por:

Note que los ejes que se consideran son los que pasan por el centroide de la figura. Es importante notar que el producto de inercia es nulo para reas de simetra doble y sencilla. Esto puede notarse en la figura de la pgina siguiente. Donde, debido a la simetra, para cada hay otra y su suma se anula. Comenzando con la definicin de producto de inercia y usando el mismo procedimiento de la seccin anterior se puede llegar a desarrollar una expresin anloga al teorema de Steiner o de ejes paralelos, vale decir:

Donde es el producto de inercia del rea A respecto de los ejes centroidales de la figura.

V. EJES PRINCIPALES DE INERCIA En el anlisis anterior, los ejes centrooidales para un rea de forma general fueron escogidos arbitrariamente. Por tanto, es importante investigar cmo cambian los momentos y productos de inercia si los ejes son girados. Esto se muestra en la figura siguiente, donde los ejes estn girados un ngulo , formando un nuevo conjunto de ejes coordenados.

Usando un procedimiento anlogo:

Ahora el producto de inercia est dado por:

Note que la suma de los momentos de inercia respecto a los ejes x e y es:+=+

VI. MOMENTOS DE INERCIA PRINCIPALES. Las ecuaciones muestran que , e xy dependen del ngulo de inclinacin O de los ejes x, y. Determinaremos ahora la orientacin de esos ejes con respecto a los cuales los momentos de inercia del rea, Iu e Iv, son mximo y mnimo. Este conjunto particular de ejes se llama ejes principales del rea, y los correspondientes momentos de inercia con respecto a esos ejes son llamados momentos de inercia principales. En general, hay un conjunto de ejes principales Para cada origen O elegido. Para realizar el diseo estructural y mecnico de un miembro, el origen O se ubica, generalmente, en el centroide del rea de la seccin transversal.El ngulo que define la orientacin de los ejes principales para el rea, puede encontrarse diferenciando la primera de las ecuaciones con respecto a estableciendo el resultado igual a cero.As en

Esta ecuacin entrega dos races separadas entre s por 180 Como stas son para un ngulo doble, las races para estn separadas entre s slo 90. Y especifican la inclinacin de los ejes principales. Para sustituirlos en la ecuacin. Debemos encontrar primero el seno y el coseno de .Esto puede hacerse usando los tringulos mostrados en la figura que se basan en la ecuacin.Para ,

Para ,

Una de estas races localiza un eje respecto al cual el momento de inercia es mximo; la otra localiza el eje conjugado para el momento mnimo de inercia. Estos dos ejes se llaman ejes principales de inercia. Los mismos ngulos definen los ejes para los cuales el producto de inercia es cero.Sustituyendo esos dos conjuntos de relaciones trigonomtricas en la primera o la segunda de las ecuaciones y simplificando, obtenemos.

VII. CRCULO DE MOHR PARA MOMENTOS DE INERCIALas ecuaciones tienen una solucin grfica que es, en general, fcil de usar y recordar. Elevando al cuadrado la primera y la tercera de las ecuaciones y sumndolas, encontramos que:

En un problema dado, e son variables, e , e son constantes conocidas. As, la ecuacin puede ser escrita en forma compacta como

Cuando esta ecuacin es graficada sobre un par de ejes que representan el respectivo momento de inercia y producto de inercia, figura, la grfica resultante representa un crculo de radio.

Con su centro ubicado en el punto (A,O), donde . El crculo as construido se llama crculo de Mohr, en honor del ingeniero alemn Qtto Mohr (1835-1918).

VIII. EJERCICIOS APLICATIVOS

1. Determine los momentos de inercia principales para el rea de la seccin transversal de la viga mostrada en la figura con respecto a un eje que pase a travs del centroide.

SolucinLos momentos y productos de inercia de la seccin transversal con respecto a los ejes x, y fueron calculados en los ejemplos 10.6 y 10.8. Los resultados son

Usando la ecuacin, los ngulos de inclinacin de los ejes principales x o y son

Entonces, como se muestra en la figura,

Los momentos de inercia principales con respecto a los ejes u o y son determinados con la ecuacin. Por tanto,

Especficamente, el momento de inercia mximo, , ocurre con respecto al eje u seleccionado ya que por inspeccin nos damos cuenta de que la mayor parte del rea de la seccin transversal est muy alejada de este eje. 0, dicho de otra manera, ocurre con respecto al eje u ya que ste est ubicado dentro de 45 del eje y, el cual tiene el mayor valor de Adems, esto puede concluirse tambin sustituyendo los datos con en la primera de las ecuaciones 10-9.

UNPRG.FICSAINGENIERIA CIVIL