09 Apéndice, Momentos y productos de inercia

8/2/2019 09 Apndice, Momentos y productos de inercia

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Este cuadernillo:

09 Apndice. Momentos y Productos deInercia

2011

Teoremas de la DinmicaCinemtica

Sistemas de PartculasEcuaciones Cardinales de la Dinmica

Dinmica del Movimiento Plano

Campo de FuerzasOscilador Lineal Unidimensional

Funcin Lagrangiana


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Diego E. Garca Apndice. Momentos y productos de inercia168

Presentacin

El presente texto Teoremas de la Dinmica, corresponde a una seleccin de contenidos

tomados del amplio campo de la Mecnica Clsica. Est destinado a los estudiantes de diversas ramasde Ingeniera, que hayan completado los cursos de Anlisis Matemtico y de Fsica. Parte de ellos,

corresponden a las clases Mecnica Analtica (Ingeniera Civil), en el Departamento de Fsica de la F. de

C.E.F y N. de la UNC, a mi cargo entre 2001 y 2010. El trabajo lo desarroll a partir de una Mecnica de

nivel intermedio, necesariamente limitado a un curso breve, por las restricciones de tiempo en la

formacin de grado en Ingeniera. En este cuadernillo se presenta un apndice sobre momentos y

productos de inercia, tanto de reas como de masas.

Apndice, Momentos de Inercia

Contenido de este cuadernillo

Momentos de inercia de un rea, definiciones 169

Productos de inercia de un rea, definicin 170

Momentos y productos de inercia de un rea con respecto a ejes con una orientacin

dada170

Ejes y momentos principales del rea 171

Momentos y productos de inercia de masas con respecto a una terna del cuerpo 172

Momento de inercia de masas de un cuerpo con respecto a una direccin cualquiera 174

Ejes y momentos principales de inercia de masas de un cuerpo 176

Momentos y productos de inercia de una cuerpo con forma de placa delgada de espesor

uniforme o de una figura plana de masa M (cuerpo plano)177

Derechos reservados. Ley 11723ISBN 978-987-05-4041-0Impreso en la ciudad de Crdoba, Argentina

2 edicin, marzo 2008Reimpresiones en 2009, 2010, 2011

Prof. Diego Edgardo GarcaCrdoba, marzo de 2008


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Teoremas de la dinmica. Apndice. Momentos y productos de inercia169

Apndices

Momentos de inercia y productos de inercia de reas, ejes principales

Momentos de inercia de un rea, definiciones

Las definiciones de momentos y de productos de inercia de reas, se refieren a la figura 1, en la

que se muestra una cierta rea A , en el plano ,x y .Los momentos de inercia del rea A con respecto a los ejes son:

2

x

A

I y dA

(1)2

y

A

I x dA

El momento polar de inercia del rea, con respecto al polo O , o tambin con respecto al eje z

(perpendicular al plano), que pasa por O , se define como:2

O

A

J r dA (2)

como2 2 2

r x y , se llega fcilmente a:

O x yJ I I (3)

El teorema del eje paralelo, o teorema de Steinerestablece que:

2

'x x yI I Ad

2

'y y xI I Ad (4)

2

O CJ J Ad

C es el baricentro del rea considerada. Este trmino no es el ms apropiado, porque barosest relacionado con fuerza, o presin se adecua mas para el centro de masas de un cuerpo, noobstante se lo empela por analoga. Tambin suele ser usual designarlo como centroide. Recordemosque el baricentro, o centroidede un rea se define como el punto con respecto al cual el momentoesttico, o de primer orden es cero (el momento esttico se obtena como la suma de las reaselementales por sus respectivas distancias al eje o punto considerado).

CJ es el momento polar con respecto al baricentro C, o bien con respecto a un eje

perpendicular a la figura que pasa por C.

'y

'x

A

r

y

dAx

x

y

v

ud

O

C

Figura 1


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', 'x y son ejes baricntricos paralelos a ,x y ; xd es la distancia entre 'y e y en tanto que yd

es la distancia entre 'x y x . d es la distancia entre C O , ver la figura 1.No hacemos la demostracin del teorema de los ejes paralelos, por ser conocida de los cursos de

Fsica y de Mecnica de las Estructuras.

Productos de inercia de un rea, definicinEl conocimiento de los productos de inercia de un rea resulta importante en clculos

estructurales, porque en determinados problemas, es necesario conocer los ejes con respecto a loscuales, los momentos de inercia de un rea se hacen mximos o mnimos y estos son aquellos conrespecto a los que los productos de inercia del rea se hacen cero. Ampliaremos esta cuestin cuandodefinamos ejes principales de inercia.

Los productos de inercia de un rea, con respecto a los ejes ,x y , se calculan en base a la

siguiente expresin:

xy

A

I xydA (5)

Las unidades del producto de inercia del rea se miden, al igual que los momentos de inercia, en4m . Pero los momentos de inercia siempre dan un valor positivo, en cambio los productos de inercia,

pueden resultar con signo positivo, negativo o cero. Por ejemplo, si los ejes que se toman, son desimetra, el producto de inercia con respecto a ellos es cero. Es fcil convencerse de esto si

consideramos que, por definicin de simetra, acada elemento de rea dA le corresponde otro elemento

dA a la misma distancia (pero con signo cambiado), del otro lado del eje.

Se cumple que xy yxI I .

El teorema del eje paralelopara los productos de inercia, se expresa como:

' 'xy x y x yI I Ad d (6)

Momentos y productos de inercia de un rea, con respecto a ejes con una orientacindada

Con referencia a la figura 1, supongamos un sistema de ejes ,u v , que se encuentra girado uncierto ngulo con respecto al sistema original ,x y . Es posible comprobar que los momentos y

productos de inercia del rea, con respecto a los ejes rotados, resultan de las siguientes operaciones conmatrices (ver el artculo momento de inercia con respecto a una direccin cualquiera, en este apndice):

x xy

u

xy y

x xy

v

xy y

x xy

uv

xy y

I I cosI cos sen

I I sen

I I senI sen cos

I I cos

I I senI cos sen

I I cos

(7)

En las expresiones (7):

cos sen : son los cosenos de los ngulos que forma el eje u con los ejes ,x y , respectivamente

( cosenos directores del eje u )

sen cos : son los cosenos de los ngulos que forma el eje v con los ejes ,x y , respectivamente

(cosenos directores del eje v )

x xy

xy y

I I

I I: se llama matriz de inerciadel rea, referida a los ejes ,x y de la figura 1.

El desarrollo de los productos de matrices de las (7), conduce a:


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2 2

2 2

2 2

2

2

u x y xy

v x y xy

uv x y xy

I I cos I sen I sen cos

I I sen I cos I sen cos

I I I sen cos I cos sen

(7)

Si ahora usamos las siguientes identidades trigonomtricas:

2 2

2 2

1 2 1 2;

2 2

sen sen cos

cos coscos sen

resulta finalmente:

2 22 2

2 22 2

2 22

x y x y

u xy

x y x yv xy

x y

uv xy

I I I II cos I sen

I I I II cos I sen

I II sen I cos

(8)

Ejes y momentos principales del reaLos momentos de inercia uI , vI y los productos de inercia uvI son funciones del ngulo y por

ende, tambin son funciones de la orientacin de los ejes ,u v . Se llaman ejes principales de inerciadel

rea a las direcciones ,u v para las cuales los momentos de inercia son mximo y mnimo

respectivamente. En cada punto O habr una determinada orientacin de los ejes ,u v , para la cual se

cumple esta condicin y tienen especial importancia los ejes principales que tienen origen en el baricentrodel rea.

Los momentos de inercia con respecto a los ejes principales, se llaman momentos principales deinercia del rea. Es posible comprobar que el producto de inercia con respecto a un par de ejesprincipales es cero.

Para encontrar el ngulo que corresponde a la orientacin de los ejes principales, podemos

derivar con respecto a y luego igualar a cero la primera de las (8):

2 2 2 2 02

x yuxy

I IdIsen I cos

d

de donde se obtiene el valor de1

correspondiente a la orientacin de los ejes principales:

22

xy

prin

x y

ItanI I

(9)

De la (9) se obtienen 2 valores para el ngulo , los cuales se encuentran separados un ngulo

de90 y que corresponden a la orientacin de los ejes principales.

Es posible comprobar que si reemplazamos el valor de prin en la tercera de las (8) (no hacemos

aqu la demostracin), resulta 0uv prinI , es decir que el producto de inercia del rea con respecto a

un par de ejes principales, es cero. Ya vimos, por otra parte, que el producto de inercia con respecto aejes de simetra (si los hubiere), es cero. En consecuencia, si por un punto pasa por lo menos un eje desimetra, ste es principal de inercia del rea en ese punto.

Nota 1:Puede consultarse la demostracin y ampliar esta cuestin en Ingeniera Mecnica, Esttica, R.C. Hibbeler,

Prentice Hall Hispanoamericana, S.A. 1996


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Momentos y productos de inercia de masas, ejes principales de inercia de un cuerpo

Momentos y productos de inercia con respecto a una terna del cuerpo

Con referencia al cuerpo de la figura 2, consideremos un punto O , cualquiera del mismo y tomemos unaterna de ejes , ,x y z , la que puede tener una orientacin arbitraria.

En primer trmino, si se tratase de un sistema rgido de N partculas de masas im y

coordenadas , ,i i ix y z , los momentos de inercia de masas con respecto a los ejes, se expresaran

mediante sumatorias de la siguiente forma:

2 2

1

2 2

1

2 2

1

i N

xx i i i

i

i N

yy i i i

i

i N

zz i i i

i

I m y z

I m x z

I m x y

(1)

Si, en cambio, el cuerpo rgido corresponde a una distribucin continua de masa, podemos tomarelementos diferenciales de masa de coordenadas , ,x y z (ver en la figura 2) y los momentos de inercia

con respeto a los ejes considerados, se expresarn mediante las siguientes integrales:

2 2

2 2

2 2

xx

M

yy

M

zz

M

I y z dm

I x z dm

I x y dm

(2)

En el subndice de los momentos de inercia de masas, escribimos repetida la letra del eje, porejemplo xx , yy o zz . Adems, las 2 letras permiten uniformar los subndices de la matriz de inercia de

masas (ver prrafos siguientes). En cambio, en el subndice de los momentos de inercia de reas, se haescrito una sola vez la letra del eje.

En general, el momento de inercia de una partcula de masa im con respecto a un eje e , se

expresa como:2

ee i iiI m P O e (3)

v

u

'z

'y

'x

y

x

G

O

dm

w

x

y

Figura 2

e


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e es el versor en la direccin del eje e y el mdulo del producto vectorial del corchete, es la distancia aleje.

En cuanto al producto de inercia de una partcula de masa im y coordenada iP , con respecto a

los ejes ,x y , se puede expresar como el resultado del siguiente producto escalar

xy i i iiI m P O i P O j (4)

Al final de este artculo se demuestra que la definicin (4) conduce a:xy i i ii

I m x y (4)

De acuerdo con la (4), vemos que el momento centrfugo de una partcula ya no es, como lo eraen el caso de un rea, el producto del elemento (en este caso de masa), por sus distancias a cada eje,sino que es el producto del elemento de masa por sus coordenadas en cada eje. La coordenada ix es la

distancia desde im al plano perpendicular al eje x , en tanto que iy es la distancia desde im al plano

perpendicular al eje y . Los productos de inercia del cuerpo, con respecto a cada par de ejes del sistema

, ,x y z , se expresan como:

xy

M

xz

M

yz

M

I xydm

I xzdm

I yzdm

(5)

Se cumple que xy yxI I ; xz zxI I ; yz zyI I

Al presentar la definicin de producto de inercia en la (4), se lo hizo precediendo la expresin deun signo menos, porque de esa forma, las definiciones (5), apa recen con signo ms y es una forma vlidade expresar la definicin. Esta forma de presentar las (5), lleva a que, cuando se escriban los momentoscentrfugos en la matriz de inercia, haya que ponerlos con signo menos y esto, en si mismo, no sera uninconveniente. Pero la matriz de inercia (ver su definicin en el tema siguiente) aparece en prcticamente

todas las expresiones de la dinmica del movimiento espacial del rgido y en ese caso, resulta mscmodo escribir, en esa matriz, los momentos centrfugos con signo ms. Por esta razn, puede resultarconveniente las siguientes, e igualmente vlidas, expresiones alternativas para los momentos centrfugos,que surgen de no poner el signo menos en la (4):

xy

M

xz

M

yz

M

I xydm

I xzdm

I yzdm

(5)

El teoremade los ejes paraleloso teorema de Steinerpara los momentos de inercia, se expresade la siguiente forma:

2 2

' '

2 2

' '

2 2

' '

xx x x G G

yy y y G G

zz z z G G

I I M y z

I I M x z

I I M x y

(6)

donde ', ', 'x y z son ejes paralelos a , ,x y z y , ,G G Gx y z son las coordenadas del centro de masas, ver

en la figura 2. La (6), cuya demostracin no realizaremos, permite calcular los momentos de inercia de uncuerpo con respecto a loe ejes de una terna cualquiera, teniendo como datos los momentos y productos

de inercia con respecto a una terna paralela a ella con origen en G . Los parntesis de la (6) representan

respectivamente las distancias entre los ejes 'x x , 'y y , 'z z .

Forma alternativa deexpresar los productosde inercia


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Demostracin de xy i i iiI m x y

Partimos de:

xy xy iI I

xy i i iiI m P O i P O j (a)

Podemos expresar:

1 0 0

i i i i i i

i j k

P O i x y z z j y k

0 1 0

i i i i i i

i j k

P O j x y z z i x k (b)

Reemplazamos (b) en (a):

xy i i i i iI m z j y k z i x k

Si efectuamos el producto indicado llegamos a:

xy i i i

I m x y y en forma anloga obtendramos:xz i i i

I m x z z i i i

I m y z

O finalmente, en forma de integral:

xy

M

I xydm ;xz

M

I xzdm ;yz

M

I yzdm

Si no hubiramos puesto el signo menos en la (a) hubiramos llegado a las (5).

Momento de inercia de masas de un cuerpo con respecto a una direccin cualquiera

Con referencia a la figura 2, supongamos un eje de orientacin arbitraria, al que indicamos con e

(lnea punteada en la figura). Llamaremos e a un vector unitario o versoren dicha direccin de manera

que , ,x y ze e e sern sus componentes en las direcciones , ,x y z respectivamente. tambin podemos decir

que , ,x y ze e e son los valores de los cosenos que el versor e forma con los ejes considerados los

llamaremos cosenos directoresde la direccin e .Es posible comprobar que el momento de inercia del cuerpo, con respecto a la direccin e

resulta de las siguientes operaciones con matrices (la demostracin se realiza al final de este artculo):

xx xy xz x

ee x y z yx yy yz y

zx zy zz z

I I I e

I e e e I I I e

I I I e

(7)

La matriz:

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

I I I

I I I

I I I

se llama matriz de inercia del cuerpo, referida a la terna , ,x y z , indicada en la figura 2.

Si efectuamos las operaciones con se indican en (7), llegaremos a:2 2 2

2 2 2ee xx x yy y zz z xy x y xz x z z y zI I e I e I e I e e I e e I e e (8)

La (8) permite calcular el momento de inercia con respecto a una orientacin arbitraria, dada porsus cosenos directores, a partir de los momentos y productos de inercia de una determinada terna de

referencia.


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Si usamos la definicin alternativa de los productos de inercia:xy

M

I xydm , xzM

I xzdm ,

yz

M

I yzdm , la (8) resulta:

2 2 22 2 2ee xx x yy y zz z xy x y xz x z z y zI I e I e I e I e e I e e I e e (8)

Demostracin del momento de inercia con respecto a una direccin cualquiera

Podemos expresaree

I como:

2

ee i i

i

I m P O e (a)

x y ze e i e j e k (b)

Reemplazando (b) en (a):

2

ee i i x y z

i

I m P O e i e j e k

2

ee i i x i y i z

iI m P O e i P O e j P O e k

2 2 22 2 2

ee x i i y i i z i i

i i i

I e m P O i e m P O j e m P O k

2 x y i i ii

e e m P O i P O j

2 x z i i ii

e e m P O i P O k

2 y z i i ii

e e m P O j P O k (c)

2 2 2

e x xx y yy z zzI e I e I e I

Pero:

2

2

2

i i xx

i

i i yy

i

i i zz

i

m P O i I

m P O j I

m P O k I

(d)

Adems:

i i im P O i P O j

1 0 0 0 1 0

i i i i i i i

i j k i j k

m x y z x y z

Lo que lleva a:

i i i i i i im P O i P O j z j y k z i x k (e)


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Reemplazando las anteriores expresiones (d) y (e) en (c) resulta:2 2 2

2 2 2ee x xx y yy z zz x y xy x z xz y z yzI e I e I e I e e I e e I e e I

La expresin (d) resulta de desarrollar el siguiente producto de matrices:

Ejes y momentos principales de inercia de un cuerpoEn un punto cualquiera de un cuerpo rgido, podemos tomar una terna de referencia, , ,x y z

orientada en forma arbitraria. Con respecto a la misma, tendremos un conjunto 3 momentos de inercia de

masas: , ,xx yy zzI I I y 6 productos de inercia, ,, , , ,xy xz yx yz zx zyI I I I I I , los que estarn representados en la

matriz de inercia, correspondiente a la terna elegida. En la expresin de la matriz de inercia queescribiremos seguidamente, los productos de inercia que figuran en ella, han sido definidos de acuerdocon las expresiones (5) del artculo momentos y productos de inercia respecto a una terna del cuerpo,de este apndice:

x xy xz

yx yy yz

zx zy zz

I I I

I I I I

I I I

De entre todas las ternas con diferentes orientaciones que se pueden imaginar con origen en elpunto del cuerpo elegido, habr una determinada terna, cuya orientacin sea tal que, los productos deinercia de masas valgan cero. Y asimismo se cumple que, para dicha terna, los valores de los momentosde inercia resultan ser mximos mnimos.

Decimos entonces que:los ejes principales de inercia en un punto del cuerpo rgido, son aquellos para los cuales los

productos de inercia son cero, y los momentos de inercia son mximos, o mnimos.

Adems: La matriz de inercia correspondiente a los ejes principales de inercia es unamatriz diagonal de la forma:

en donde los valores de , ,xx yy zzI I I , son mximos, o mnimos.

Se llaman momentos principales de inercia en un punto del cuerpo, a los momentos de inerciareferidos a los ejes principales que pasan por ese punto.

Se llama terna principal de inercia del cuerpo, a la terna principal cuyo origen est en el centro demasas del cuerpo.

Muchos cuerpos presentan ejes de simetra. Decimos que un conjunto de puntos es simtrico conrespecto a un eje, cuando, a cada punto de ese conjunto, le corresponde otro punto que est ubicadosobre la perpendicular al eje, y a la misma distancia de l. Por ejemplo:

0 0

0 0

0 0

xx

yy

zz

I

I

I

xx xy xz x

ee x y z yx yy yz y

zx zy zz z

I I I e

I e e e I I I e

I I I e

i i i i i i xy

i i i i i i xz

i i i i i i yz

m P O i P O j m x y I

m P O i P O k m x z I

m P O j P O k m y z I

Anlogamente :


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Todos los ejes que pasan por el centro de una esfera, son ejes de simetra. Dado un cilindroalargado, el eje longitudinal, y los ejes diametrales que pasan por el centro del cilindro, son ejes desimetra.

Se cumple que:cuando un cuerpo tiene uno, o ms ejes de simetra, los mismos son principales de inerciaPor ejemplo:

En un cilindro, todas las ternas , ,u v w , donde uno de sus ejes coincide con el eje longitudinal, y losotros dos son ejes diametrales, son principales de inercia, figura 3 (a).

Todas las ternas , ,u v w cuyo origen est en el centro de una esfera, son principales de inercia,

figura 3 (b).

Si nos ubicamos en un punto cualquiera del cuerpo, y adoptamos una terna con orientacinarbitraria, establecemos asimismo, las siguientes definiciones:

Se llaman autovectores o vectores propios, a los 3 vectores unitarios, o versores, que corresponden ala terna principal de inercia en el punto del cuerpo considerado.

Se llaman autovalores, o valores propios, a los 3 valores de los momentos de inercia, con respecto alos ejes de la terna principal en el punto dado.

El problema de, dada la matriz de inercia correspondiente a una terna cualquiera en un punto,encontrar los autovectores y los autovalores, se llama problema de los vectores y valores propios.

Para resolverlo, ser necesario diagonalizar la matriz de inercia, es decir, encontrar los ejes de

referencia, para los cuales los nicos elementos diferentes de cero de la matriz, son los elementosdiagonales, y adems, encontrar el valor de esos elementos. Para ello, ser necesario emplear losrecursos del lgebra de matrices.

Momentos y productos de inercia de masa de un cuerpo con forma de placa delgada deespesor uniforme o de una figura plana de masa M (cuerpo plano)

Este modelo de la placa delgada de espesor uniforme o lo que es equivalente, una figura plana

de masa My carente de espesor, es importante en el estudio del movimiento plano de un cuerpo. Nosreferiremos a la figura 1, que ya hemos usado para los momentos de inercia de reas, pero ahora

supondremos que el rea sombreada de la figura 1, representa una figura plana, de masa M , rea A ycarente de espesor.

Como en este caso es 0iz 0z las expresiones de los momentos y productos de inercia

de masas (1) y (2) se expresan ahora de la siguiente forma:

Para un sistema rgido plano de partculas:

Para un cuerpo plano:

Figura 3(b)(a)

w

v

u

w

v

u

2

1

2

1

2 2

1

i N

xx i i

i

i N

yy i i

ii N

zz i i i

i

I m y

I m x

I m x y

(9)


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2

2

2 2

xx

M

yy

M

zzM

I y dm

I x dm

I x y dm

(10)

En cuanto a los productos de inercia, slo es diferente de cero el referido a los ejes ,x y que

estn en el plano, porque las distancias en la direccin z son cero. Resulta entonces:

xy

M

I xydm ; 0xzI ; 0yzI (11)

Al igual que para las reas, el momento polar de inercia del cuerpo plano, con respecto al

polo O (ver la figura 1), o tambin con respecto al eje z (perpendicular al plano), que pasa por O , sedefine como:

2

O

M

J r dm

en el cuerpo plano tambin se cumple que:

zz xx yyI I I (12)

y adems:

O zzJ I

Los momentos y productos de inercia de masas de un cuerpo plano en2kg m , se

pueden calcular a partir de las frmulas correspondientes a las reas, con slo multiplicar por la

constante2

M kg

A m.

Ello se comprueba fcilmente, si tenemos en cuenta que el diferencial de masa del cuerpo plano,se expresa en funcin del diferencial de rea, de la siguiente forma:

22M kgdm kg dA mA m

.

Por lo tanto, podemos escribir:

xx x

MI I

A;

yyy

MI I

A;

A

xz xz

MI I

A (13)

El suprandice A en la ltima de las (13) se puso para indicar que el producto de inercia delsegundo miembro, se refiere al rea. Recordar tambin que xI es momento de inercia de rea e xxI lo

es de masas.Para calcular los momentos y productos de inercia de masas del cuerpo plano con respecto a

ejes rotados, son de aplicacin las (8) del artculo anterior que se usan para las reas, con la solaprecaucin de reemplazar los momentos y los productos de inercia de reas, por los de masas.

Para calcular la orientacin de los ejes principales, se puede usar la (9) de reas, del mismoartculo, con la misma salvedad expresada anteriormente.


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09 Apéndice, Momentos y productos de inercia