CENTRO DE GRAVEDAD Y MOMENTOS DE INERCIA

Centro de gravedad. Si ρ ( x , y , z , ) es la densidad (masa por unidad de volumen) de un objeto que

ocupa una región D en el espacio, la integral de ρsobre D nos proporciona la masa del objeto. Para ver por qué, debemos imaginar que el objeto se divide en n elementos de masa.

La masa del objeto es el límite

M=¿ limn → ∞

∑k=1

n

∆ mk=limn→∞

∑k=1

n

ρ ( xk , yk , zk) ∆ V k=∭D

ρ ( x , y , z , ) dV

El primer momento de una región sólida D con respecto a un plano coordenado se define como la

integral triple sobre D de la distancia de un punto ( x , y , z , ) en D al plano multiplicada por la

densidad del sólido en ese punto. Por ejemplo, el primer momento con respecto al plano yz es la integral

M y z=∭D

x ρ ( x , y , z , )dV

El centro de gravedad se obtiene a partir de los primeros momentos. Por ejemplo, la coordenada x

del centro de masa es x=M y z/ M .

Para un objeto bidimensional, como una placa plana y delgada, calculamos los primeros momentos con respecto a los ejes coordenados eliminando simplemente la coordenada z. De esta forma, el primer momento con respecto al eje y es la integral doble sobre la región R de la distancia al eje multiplicada por la densidad, es decir,

M yz=∬R

❑

xρ ( x , y , z )dA

Fórmulas para la masa y primer momento

SOLIDO TRIDIMENSIONAL

Masa: M=∭D

ρ dV ρ=¿ ρ ( x , y , z , ) es la densidad en ( x , y , z , ).

Primeros momentos con respecto a los planos coordenados:

M yz=∭D

xρ dV , M x z=∭D

y ρ dV , M x y=∭D

z ρ dV

Centro de masa:

x=M yz

M , y=

M x z

M , z=

M x y

M

PLACA DE DOS DIMENSIONES

Masa: M yz=∬R

❑

ρdA ρ=¿ ρ ( x , y ) es la densidad en ( x , y ).

Primeros momentos:

M y=∬R

❑

x ρdA , M x=∬R

❑

y ρdA

Centro de masa:

x=M y

M , y=

M x

M

Momentos de inercia

Los primeros momentos de un cuerpo nos hablan acerca del equilibrio y de la torca que un objeto experimenta con respecto a diferentes ejes en un campo gravitacional. Sin embargo, si el cuerpo es un eje en rotación, es más probable que estemos más interesados en conocer cuanta energía se almacena en el eje o cuánta energía genera este eje a una velocidad angular determinada. Aquí es donde el segundo momento o momento de inercia entra es escena.

Imaginemos que dividimos el eje en pequeños bloques de masa ∆ mk y sea rk la distancia desde el

centro de masa k- ésimo bloque hasta el eje de rotación. Si el eje gira a una velocidad angular constante w=dθ /dt radianes por segundo, el centro de masa del bloque recorrerá su órbita a una rapidez lineal de

vk=ddt

(rk θ )=rkd θdt

=rk w

La energía cinética del bloque será aproximadamente

12

∆ mk vk2=1

2∆ mk (r¿¿k w)2=1

2w2 rk

2 ∆ mk¿

La energía cinética del eje será aproximadamente

∑ 12

w2 rk2 ∆ mk

La integral aproximada por estas sumas cuando el eje se divide en bloques cada vez más pequeños nos da la energía cinética del eje:

EC eje=∫ 12

w2r 2dm=12

w2∫ r2dm (1)

El factor:

I=∫r2 dm

Es el momento de inercia de la flecha con respecto a su eje de rotación.

Las fórmulas de los momentos de inercia (segundos momentos porque invocan los cuadrados de las distancias) son las siguientes: