Lección 2.Momentos de Inercia. Clase II

7/24/2019 Leccin 2.Momentos de Inercia. Clase II

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Tema 2.- Momentos de Inercia

Calculos del momento de inercia.

Tema 2.- Momentos de InerciaEjercicios propuestos.(recordando)

21

12z

I ML=

Varilla homogneo de masa M y longitud L respecto a un

eje perpendicular que pasa por su centro .

G

G

z

z

21

2zI MR=

Disco homogneo de Varilla de masa M radio R respecto

a un eje perpendicular que pasa por su centro .

G

Ejercicio. Obtener estos resultados por integracin directa.


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Ejercicio. Momento de inercia de un disco homogneo.

( )2 2 2

0

4 22 2

2

12

4 2 2

R

OI r dm r dA r rdr

R RR MR

= = = =

= =

Momento polar de inerciaR

dm

OO

r

y

x

( 0) 0

zI = =

( 0) 0z zI I I =+ =

2

1

2zI MR=

Teorema de los ejes perpendiculares y sabiendo que los momentos

respecto a cualquier dimetro son iguales

x y zI I I+ = 2

x zI I= 21

4x y

I I MR= =

El clculo de los momentos de inercia implica buenasestrategias, aplicar las propiedades, no slo esrealizar integrales. Un ejemplo


Sample Problem 9.2

9 - 23

a) Determine the centroidal polar

moment of inertia of a circular

area by direct integration.

b) Using the result of part a,

determine the moment of inertia

of a circular area with respect to a

diameter.

SOLUTION:

An annular differential area element is chosen,

( ) ===

==

rr

OO

O

duuduuudJJ

duudAdAudJ

0

3

0

2

2

22

2

4

2rJO

=

From symmetry,Ix =Iy,

xxyxO IrIIIJ 22

2 4 ==+=

4

4rII xdiameter

==


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Momentos de Inercia de Placas delgadas

dm d tdAt

dA dA dA

= = = =

,AA

I rea

=

,BB

I rea

=

En estos casos el clculo del momento de inercia se reduce al clculo de los

momentos de inercia de reas


Momento de Inercia de un Area por Integracin

9 - 25

Momento de segundo orden o momento de

inercia de un rea respecto a los ejes x e y

== dAxIdAyI yx22

El clculo de integrales se simplifica eligiendo elementos de reas adecuados

3

31

0

22bhbdyydAyI

h

x ===


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Sample Problem 9.1

9 - 26

Determine the moment of

inertia of a triangle with respect

to its base.

SOLUTION:

A differential strip parallel to thex axis is chosen for

dA.

dyldAdAydIx == 2

For similar triangles,

dyh

yhbdA

h

yhbl

h

yh

b

l =

=

=

Integrating dIx fromy = 0 toy = h,

( )

h

hhx

yyh

h

b

dyyhyh

bdy

h

yhbydAyI

0

43

0

32

0

22

43

=

=

==

12

3bh

Ix=

Tema 2.- Momentos de InerciaTabla de momentos de inercia de reas elementales elementales

Donde son los momentos de inercia respecto a los ejes paralelos a Ox y Oy

que pasan por su centroide y los momentos de inercia respecto al centroide C y

a O, respectivamente.

ex yI Iy

C OJ J


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Tema 2.- Momentos de InerciaRecordando.Aplicacin. Teorema de los ejes paralelos

9 - 28

Momento de inerciaIT de un rea circular

respecto a la tangente de la circunferencia

4

45

224

412

r

rrrAdIIT

=

+=+=

Momento de inercia de un tringulo respecto a

los ejes centroidales

( )3

361

2

31

213

1212

2

bh

hbhbhAdII

AdII

AABB

BBAA

=

==

+=

Cuando se conoce un momento de inercia respecto a un eje, es sencillo calcular su

valor en un eje paralelo.

Tema 2.- Momentos de InerciaRecordando. Teorema de los ejes perpendiculares(objeto plano)


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Momentos de Inercia de un cuerpo 3D por integracin

geometricoI=

Tema 2.- Momentos de InerciaMomentos de inercia de formas geomtricas usuales.


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Ejemplo. Momentos y productos de inercia de un cilindro(1/3)

cosx r

y rsen

=

=

d rd d dz =

2 3

z

cilindro

I r dm r d drdz = = 2

3 3

0 0 0

422 1

4 2

H R

z

cilindro

I r d drdz dz d r dr

H RMR

= = =

=

2Masa R H=

R

Coordenadas cilndricas

R 212z

dI dmR=

2 2

0 0

1 12 2

H H

z zI dI R dm MR= = =

Utilizando elementos

Clculo de Iz

Tema 2.- Momentos de InerciaEjemplo. Momentos y productos de inercia de un cilindro (2/3)

Plano z=0

R3

2 2 2 2 2

0 0

1

3 3

H H

xy

HI z dm R z dz R MH = = = = 2dm R dz=

Planos x=0 e y=0xz yz zI I I+ =

xz yzI I=2

xz zI I=

21/ 4

xzI MR=2

1/ 4yzI MR=

2

2 3 2 2 3

0 0 0

42

cos cos

1

4 4

H R

xz

cilindro

I y dm r d drdz dz d r dr

H RMR

= = = =

=

b)Por integracin directa encilndricas

cosy r = d rd drdz =

a)Utilizando relaciones

!!Preferible utilizar relaciones!!


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Momentos y productos de inercia de un cilindro (3/3)

R

2 21 1

4 3y yz xy

I I I MR MH= + = +

2 21 1

4 3x yz yx

I I I MR MH= + = +

Productos de inercia Los planos xz e yz son de simetra

0xy xz yzP P P= = =

Momentos de inercia del semicilindro delimitado por uncorte con el plano y=0

Momentos de inercia del semicilindro delimitado por uncorte con el plano z=H/2

Ejercicios

Tema 2.- Momentos de InerciaProblema ejemplo.Momentos y productos de inercia por integracin.1/4

Calculara) Productos de inercia respecto a los planos

coordenados en Ob) b) Momentos de inercia respecto a los ejes x y z

de coordenadas en O

z=2

z=y

O

Tomar =1 (momentos geomtricos)


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a) Productos de inercia respecto alos planos coordenados

1) El plano x=0 es un planode simetra en O

( ) 0yz

dP elemento =

0xz xyP P= =

( )y z elemento0; 0 ( )y z centro desimetra elemento= =

22 54

0 0

1 8

4 20 5yz

region

zP yzdm z dz

= = = =

r

z

z=y

y

z=2/ 2 / 2r y z= =

yz yzdP dP yzdm yzdm= + =

xyzP2) Clculo de

2 21

4dm r dz z dz = =


z

2 2 2312 2z

dI r dm r dm r dm= + =1) Eje z

22

2 23 32 2

0

1 3

2 4 5z Z

z

zI dI r dm z dz

= = = =

Plano yz.

2 2

4

0 064 10

yz D

z

I dI z dz

=

= = = D

2

2 2

4

114 4 2 4

64

D

zdI r dm z

z dz

= = =

z=2

y 2) Ejes x e y

Dada la simetra, por sencillez, nos auxiliamos en los momentos planarios

La suma de momentos del discos elementales sobre su dimetro


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10


2 2

2 4

0 0

1 8

4 5xy

z

I z dm z dz =

= = =

Plano xy

Plano xz

z=y

y

z=2/ 2 / 2r y z= =

2 21

4dm r dz z dz = =r

z xz yzI I I= +Podemos obtenerlo sin integracin

3 1 1

5 10 2

xz z yzI I I = = =

Eje y 8 1 17

5 10 10y xy yzI I I = + = + =

Eje x8 1 21

5 2 10x xy xzI I I = + = + =

Tema 2.- Momentos de InerciaUso de simetrias, propiedades y relaciones


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Tema 2.- Momentos de InerciaEjemplo.Uso de simetras Momentos en un cilindro homogneo. (1)

El momento de inercia respecto al eje z, es el mismo

que el del disco proyeccin de la masa del cilindro en

el plano perpendicular al eje z ( plano xy)

21

2z

I MR=

Densidad proyectada.


Ejemplo uso de simetras. Cilindro homogneo (2)

21

12I ML =

L

2

( 0)

1

12xy zI ML= =

La contribucin de cada elemento del cilindro respecto al plano es lamisma que la de cada elemento de una barra delgada respecto al eje

2dI z dm=

z

z


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Ejemplo Momento del cilindro homogneo (3)

21

4DI MR=2

( 0)

1

4zy xI MR= =

Un disco respecto a su dimetro tiene el mismo momento que lasucesin de discos (del cilindro) respecto a los sucesivos dimetros(sobre el plano)

y

Tema 2.- Momentos de InerciaEjemplo. Ciclindro homogneo 4

2 21 1

12 4y zy xy

I I I ML MR= + = +

Teorema de planos perpendiculares.

2

( 0)

1

4zy xI MR= =

2

( 0)

1

12xy zI ML= =


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Aplicacin. Cilindro homogneo. Otra forma

2 21 1

3 2O zI I I ML MR= + = +

2 2O x y z x zI I I I I I= + + = +

2 21 1

2 3 4

zx O

II I ML MR= = +

xy

R Respecto al plano es igual que el de una varilla delongitud L respecto a un extremo.

Respecto al eje Z es igual que el de un disco deRadio R

L

z

O

Teorema de los ejes perp.

Relacin entre polar y axial.

O

Tema 2.- Momentos de InerciaCono por densidad proyectada

Comprobar que es el momento Iz de un cono de altura H y radio R es el

mismo que el de un disco cuya densidad radial es proporcional a la altura

sobre el punto en la forma

( ) H

r H rR

=

Calcular por integracin directa el momento de inercia del disco

respecto al eje perpendicular

( ) H

r H rR

=


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Clculo de Momentos de inercia Figuras compuestas

Por la aditividad de la integral respecto al intervalo

Se puede descomponer el cuerpo en partes mas sencillas

Se puede calcular el momento de inercia de

piezas con hueco sumando el momento de

inercia del hueco con masa negativa

Para poder sumar los momentos de los componentes, estos han de estar

calculados en el mismo punto, eje, plano (emplear Steiner)

Momentos de inercia de figuras compuestas


Repaso.Problema resuelto 9.5 (1/2)Determinar el momento de inercia de la zona

sombreada con respecto al eje x.

Solucin:

Rectngulo: ( )( ) 46313

31 mm102.138120240 === bhIx

Datos.b

h

x

AA

Calculamos los momentos de inercia del rectngulo completo y semicrculocon respecto al eje x.


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Problema resuelto 9.5 (2/2)

Semicrculo:( ) 464

814

81 mm1076.2590 === rI AA

( )( )

( )

23

2

212

21

mm1072.12

90

mm81.8a-120b

mm2.383

904

3

4

=

==

==

===

rA

ra

Momento de inercia respecto ax,46

362

mm1020.7

1072.121076.25

=

== AaII AAx

( )46

2362

mm103.92

8.811072.121020.7

=

+=+= AbII xx

Momento de inercia respecto aAA,

Momento de inercia respecto a x,

46109.45 mmIx

=6 6138.2 10 92.3 10x rectngulo semicrculoI I I= =

Por Steiner calculamos el momento centroidal

Por Steiner


Momento de inercia en un eje de direccin arbitraria.

)cos,cos,(cos

Consideremos un eje arbitrario que pasa por el

origen O y cuya direccin viene dada por

Se puede demostrar que en funcin de los ejes

coordenados la expresin del momento de inercia

respecto a este eje es

Dejamos la demostracin al estudiante interesado. Ref. Ortiz Berrocal

Para el caso de un sistema en el plano xy (=0, +=90)

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