126

Capítulo VIII

MOMENTOS DE INERCIA

8.1 INTRODUCCIÓN

En este capítulo desarrollaremos un método para determinar el momento de inercia de un

área y de un cuerpo que tenga una masa específica. El momento de inercia de un área es una

propiedad importante en ingeniería, puesto que ésta debe determinarse o especificarse si uno va

a analizar o diseñar un miembro de una estructura o parte mecánica. Por otro lado, se debe

conocer el momento de inercia del cuerpo si se estudia el movimiento del mismo cuerpo.

8.2 MOMENTOS DE INERCIA PARA ÁREAS

Cuando se determina el centroide de un área se considera el primer momento de área con

respecto a un eje, es decir, para el cálculo se evalúa una integral de la forma:

x dA

Las integrales del segundo momento de un área tal como: 2x dA son llamadas momentos

de inercia del área.

El momento de inercia de un área se origina siempre al tener que calcular el momento de

una carga distribuida, variable en forma lineal, del eje de momentos.

Asimismo podemos formular el segundo momento del área con respecto al polo O, o eje z.

Esto se conoce como momento polar de inercia J0 y se define por:

2

o x y

A

J r dA I I ; Donde: 2 2 2r x y

r

x

y

x

y

dA A

O

Si consideramos un área A, en el plano xy, los

momentos de inercia de esta área con respecto a

los ejes x e y se define por:

2 2

x xA

I y dA K A

2 2

y yA

I x dA K A

Dónde:

xK = radio de giro con respecto al eje x

yK = radio de giro con respecto al eje y

127

Notas:

- ,x y oI I y J son siempre positivos.

- Las unidades del momento de inercia son: m4, cm4, mm4, pulg4.

8.3 TEOREMA DEL EJE PARALELO PARA UN ÁREA (TEOREMA DE STEINER)

“El momento de inercia de un área con respecto a un eje es igual al momento de inercia

del área con respecto a un eje paralelo que atraviesa su centroide, más el producto del área y el

cuadrado de la distancia perpendicular entre los ejes”

Donde: dx y dy son distancias perpendiculares entre los ejes.

8.4 RADIO DE GIRO DE UN ÁREA

El radio de giro de un área plana se utiliza en el diseño de columnas en mecánica de

estructuras. Siempre y cuando se conozcan las áreas y los momentos de inercia, el radio de giro

se determina con las fórmulas:

00

yxx y

II JK K K

A A A

8.5 MOMENTOS DE INERCIA DE ÁREAS COMPUESTAS

El momento de inercia de un área compuesta es igual a la suma algebraica de los

momentos de inercia de todas sus partes componentes.

Método de cálculo:

- Divide el área compuesta en sus partes componentes e indique la distancia perpendicular

existente desde el centroide de cada parte hasta el eje de referencia.

!

2

x yxI I Ad

!

2

y xyI I Ad

2

o cJ J Ad

dx

dy

x

y

o

!x

!x

!y

dA

c

d

dx

dy

x

y

O

!x

!y

!x

!y

dA

c

d

128

- Determine el momento de inercia de cada parte con respecto a su eje centroidal, paralelo al eje

de referencia, utilizando el Teorema de Steiner.

- Calcule el momento de inercia del área total, con respecto al eje de referencia, sumando los

resultados de sus partes componentes. Si una parte componente tiene un “agujero”, su

momento de inercia se obtiene restando el momento de inercia del agujero al momento de

inercia de la parte completa, incluyendo al agujero.

8.6 PRODUCTO DE INERCIA DE UN ÁREA

Para algunas aplicaciones de diseño mecánico o estructural es necesario primero calcular

el producto de inercia del área así como también sus momentos de inercia para los ejes x y y

dados.

TEOREMA DE STEINER PARA EL PRODUCTO DE INERCIA DE UN ÁREA

x

y

x

y

dA

A Para un área A, el producto de inercia

viene dado por:

xy

A

I xy dA

Las unidades del producto de inercia

son: m4, mm4, pie4, pulg4.

dx

dy

x

y

o

!x

!y

!x

!y

dA

c

Para el área sombreada que se

muestra en la figura, se cumple que:

yxXY ddAIIYX

''

Dónde: ''YXI representa el producto

de inercia del área con respecto al

eje centroidal.

129

8.7 MOMENTOS DE INERCIA DE MASAS

El momento de inercia de masa es una propiedad que mide la resistencia del cuerpo a una

aceleración angular. Se define como la integral del “segundo momento” con respecto a un eje de

todos los elementos de masa dm que componen el cuerpo.

OBSERVACIONES:

a) Si el cuerpo se compone de un material cuya densidad es variable, entonces el momento

de inercia de masa “ I ” está dado por:

2

VI r dV

b) Si es constante, entonces “ I ” se halla por: 2

VI r dV

Nota:

El teorema de Steiner (o del eje paralelo) para el momento de inercia de masa, viene dado por la

siguiente expresión:

2

GI I md

dónde:

GI = momento de inercia con respecto al eje z´ que atraviesa el centro de masa G.

m = masa del cuerpo

d = distancia perpendicular entre los ejes paralelos.

r

z

dm

Para el cuerpo rígido mostrado en la figura, su momento de

inercia de masa con respecto al eje z, viene dado por:

2

mI r dm

r = distancia perpendicular desde el eje hasta el elemento

diferencial “ dm ”.

* El eje que generalmente se elige para el análisis atraviesa el

centro de masa del cuerpo.

130

8.7.1 MOMENTOS DE INERCIA DE MASA PARA UN DISCO CIRCULAR

DELGADO DE MASA “m” Y RADIO “r”

Cálculo de zI (momento de inercia del disco circular delgado, respecto al eje z)

Por definición, el momento de inercia del disco circular delgado, respecto al eje z que

atraviesa su centro de masa, viene dado por:

dmrIm

z

2

)'( , 'r = distancia perpendicular del eje z al elemento “dm”

Se cumple: )''( dzddrrdVdm

Reemplazando “ dm ”, la ecuación de zI queda:

Resolviendo la integral y reemplazando la densidad “ ” del disco circular:

zr

m

V

m

2 ,

obtenemos que:

2

2

1rmI z

Cálculo de xI (momento de inercia del disco circular delgado, respecto al eje x)

Por definición, el momento de inercia del disco circular delgado, respecto al eje x que

atraviesa su centro de masa, viene dado por:

dmrIm

x

2

)''( , ''r = distancia perpendicular del eje x al elemento “dm”

Para calcular los momentos de inercia del

disco circular delgado se debe recordar

que en coordenadas cilíndricas, el

volumen para el elemento diferencial de

masa “dm”, mostrado en la figura, viene

dado por:

dzddrrdV ''

y

z

x

r’ dm

ϕ

r z

131

Al trazar la distancia perpendicular ''r , desde el eje x hasta el elemento diferencial “dm”,

se obtiene que:

senrr '''

Si esta distancia ''r y el diferencial de masa “dm” se reemplazan en la ecuación del

momento de inercia xI , tenemos:

)''()'( 2

0

2

0 0

dzddrrsenrI

z r

X

Resolviendo la integral y reemplazando la densidad “ ” del disco circular:

zr

m

V

m

2 ,

obtenemos que:

2

4

1rmI X

NOTA.- debido a la simetría de la figura, el momento de inercia del disco circular delgado,

respecto al eje y que atraviesa su centro de masa, es igual al momento de inercia respecto

al eje x. Es decir:

2

4

1rmII XY

132

8.7.2 MOMENTOS DE INERCIA DE MASA PARA UN CILINDRO DE MASA “m”,

ALTURA “h” Y SECCIÓN TRANSVERSAL DE RADIO “r”

Cálculo de zI (momento de inercia del cilindro, respecto al eje z)

El momento de inercia para el cilindro, respecto al eje z que atraviesa su centro de masa,

se halla a partir del valor conocido del momento de inercia para un disco delgado.

Se cumple:

2

)( )(2

1rdmdI CILINDROz

Dónde: )( 2 dzrdVdm

* Como el elemento diferencial (disco circular delgado) y el cilindro son del mismo material,

entonces su densidad es la misma. Esta densidad la hallo dividiendo la masa del

cilindro entre su respectivo volumen, es decir:

)( 2 hr

m

V

m

Reemplazando “ dm ” en la ecuación del momento de inercia “ )(CILINDROzdI ” e

integrando, obtenemos:

2

)(2

1rmI CILINDROz

Para calcular los momentos de

inercia del cilindro se

recomienda elegir como

elemento diferencial un disco

circular delgado de masa “dm”,

radio “r” y espesor “dz”, tal

como se observa en la figura.

z

z

dz

y

x

y ’

r

r

h/2

h/2

133

Cálculo de YI (momento de inercia del cilindro, respecto al eje y)

El momento de inercia para el cilindro, respecto al eje y que atraviesa su centro de masa,

se halla a partir del valor conocido del momento de inercia para un disco delgado y

aplicando el teorema de Steiner o teorema del eje paralelo.

Por lo tanto, se cumple:

22

)( )()(4

1zdmrdmdI CILINDROY

Reemplazando “ dm ” e integrando, obtenemos:

)3(12

1 22

)( hrmI CILINDROY

NOTA.- debido a la simetría de la figura, el momento de inercia del cilindro, respecto al eje

x que atraviesa su centro de masa, es igual al momento de inercia respecto al eje y. Es

decir:

)3(12

1 22

)()( hrmII CILINDROYCILINDROX

8.7.3 MOMENTOS DE INERCIA DE MASA PARA UNA ESFERA DE MASA “m”

Y RADIO “r”

y

x

z

r ’

r

z

dz Al igual que en el caso del

cilindro, para calcular los

momentos de inercia de la

esfera se recomienda elegir

como elemento diferencial

un disco circular delgado de

masa “dm”, radio “r ‘ ” y

espesor “dz”, tal como se

observa en la figura.

134

Debido a la simetría de la figura, los momentos de inercia para la esfera, respecto a los

tres ejes coordenados que atraviesan su centro de masa, son iguales. En consecuencia es

suficiente calcular sólo uno de ellos.

Cálculo de XI (momento de inercia de la esfera, respecto al eje x)

El momento de inercia para la esfera, respecto al eje x que atraviesa su centro de masa,

se halla a partir del valor conocido del momento de inercia para un disco delgado y

aplicando el teorema de Steiner o teorema del eje paralelo.

Por lo tanto, se cumple:

22

)( )()'()(4

1zdmrdmdI ESFERAX

De la figura se observa que: 222222 )'()'( zrrrrz

dzzrdmdzrdVdm )()'( 222

* Como el elemento diferencial (disco circular delgado) y la esfera son del mismo material,

entonces su densidad es la misma. Esta densidad la hallo dividiendo la masa de la

esfera entre su respectivo volumen. Es decir:

3

3

4r

m

V

m

Reemplazando “ dm ” y “2)'(r ” en la ecuación del momento de inercia “ )(ESFERAXdI ” e

integrando, obtenemos:

2

)(5

2rmI ESFERAX

Nota.- se cumple que:

2

)()()(5

2rmIII ESFERAZESFERAYESFERAX

135

8.7.4 MOMENTOS DE INERCIA DE MASA PARA UNA PLACA DELGADA DE

MASA “m” Y LADOS “a” Y “b”

Para calcular los momentos de inercia de la placa delgada elegimos un elemento

diferencial de masa “dm”, ubicado a una distancia perpendicular “r”, respecto al eje z, tal

como se aprecia en la figura. De ella también se concluye que las componentes de r : “x” e

“y”, son distancias perpendiculares del elemento diferencial a los ejes coordenados.

Además, asumiremos que la placa delgada tiene espesor “z”.

Cálculo de zI (momento de inercia de la placa delgada, respecto al eje z)

Por definición, el momento de inercia de la placa delgada, respecto al eje z que atraviesa

su centro de masa, viene dado por:

dmrIm

z 2

, r = distancia perpendicular del eje z al elemento “dm”

Se cumple: )( dzdydxdVdm

De la figura se observa que: 222 yxr

Reemplazando “2r ” y “ dm ”, la ecuación de zI queda:

)()( 22

2/

2/

2/

2/

2/

2/

dzdydxyxI

z

z

b

b

a

a

z

Resolviendo la integral y reemplazando la densidad “ ” de la placa delgada:

zba

m

V

m

,

obtenemos que:

)(12

1 22 bamI z

x

y

z

dm r x

y

b

a

136

Cálculo de XI (momento de inercia de la placa delgada, respecto al eje x)

Por definición, el momento de inercia de la placa delgada, respecto al eje x que atraviesa

su centro de masa, viene dado por:

dmrIm

x

2

)'( , 'r = distancia perpendicular del eje x al elemento “dm”

Al trazar la distancia perpendicular 'r , desde el eje x hasta el elemento diferencial “dm”,

se observa que esta distancia es igual a la distancia “y”. Es decir:

yr '

Si esta distancia “ 'r ” y el diferencial de masa “dm” se reemplazan en la ecuación del

momento de inercia xI , tenemos:

)()( 2

2/

2/

2/

2/

2/

2/

dzdydxyI

z

z

b

b

a

a

X

Resolviendo la integral y reemplazando la densidad “ ” de la placa delgada:

zba

m

V

m

,

obtenemos que:

2

12

1bmI X

Cálculo de YI (momento de inercia de la placa delgada, respecto al eje y)

Para calcular el momento de inercia YI se procede de manera similar al cálculo de XI .

En este caso, la distancia perpendicular del eje y que atraviesa su centro de masa, al

elemento diferencial, es “x”.

Al evaluar la ecuación del momento de inercia YI se obtiene que:

2

12

1amIY

137

8.7.5 MOMENTOS DE INERCIA DE MASA PARA UN PRISMA RECTANGULAR

DE MASA “m” Y LADOS “a”, “b” y “c”

Cálculo de XI (momento de inercia del prisma rectangular, respecto al eje x)

El momento de inercia para el prisma rectangular, respecto al eje x que atraviesa su centro

de masa, se halla a partir del valor conocido del momento de inercia para una placa

delgada, y además aplicando el teorema de Steiner o teorema del eje paralelo.

Por lo tanto, se cumple:

22

)( )()()(12

1ydmcdmdI PRISMAX

El elemento diferencial tiene masa:

)( dycadVdm

* Como el elemento diferencial (placa delgada) y el prisma rectangular son del mismo

material, entonces su densidad es la misma. Esta densidad la hallo dividiendo la masa

del prisma entre su respectivo volumen. Es decir:

cba

m

V

m

Reemplazando “ dm ” en la ecuación del momento de inercia “ )(PRISMAXdI ” e integrando,

obtenemos:

)(12

1 22

)( bcmI PRISMAX

x

y

z

c

a

b

y dy

138

Cálculo de YI (momento de inercia del prisma rectangular, respecto al eje y)

El momento de inercia para el prisma rectangular, respecto al eje y que atraviesa su centro

de masa, se halla a partir del valor conocido del momento de inercia para una placa

delgada.

Por lo tanto, se cumple que:

)()(2

1 22

)( cadmdI PRISMAY

donde: )( dycadVdm ; siendo: cba

m

V

m

Reemplazando “ dm ” en la ecuación del momento de inercia “ )(PRISMAYdI ” e integrando,

obtenemos:

)(12

1 22

)( camI PRISMAY

NOTA.- para calcular el momento de inercia del prisma rectangular, respecto al eje z que

atraviesa su centro de masa, se procede de manera similar al cálculo del momento de

inercia con respecto al eje x. Procediendo de esta forma, se obtiene que:

)(12

1 22

)( bamI PRISMAz

139

8.8 TABLA 8.1 – Momentos de inercia de formas corrientes

140

TABLA 8.1 – Momentos de inercia de formas corrientes (Continuación)

Fuente: RILEY W. y STURGES L. Estática. Editorial Reverté. 2005

141

8.9 PROBLEMAS RESUELTOS DE MOMENTOS DE INERCIA

PROBLEMA Nº 1

Determine el momento de inercia de masa Iz del sólido que se forma al girar el área sombreada

alrededor del eje z. La densidad del material es 7,85 Mg/m3.

Resolución

Al girar el área sombreada alrededor del eje z, se obtiene el sólido mostrado a continuación. Para

calcular el momento de inercia de dicho sólido elijo como elemento diferencial un disco circular

delgado porque se conoce sus momentos de inercia de masa, respecto a los ejes x, y, z.

Se sabe que:

2

4

1rmII yx

2

2

1rmI z

y

z

x

r

Disco circular delgado de masa “m”

yz 82

4 m

y

x

z

142

Para el problema dado, el momento de inercia del disco será un diferencial del momento de

inercia del sólido, es decir:

2

)( )(2

1rdmdI SOLIDOZ . . . (1)

Dónde:

8

2zryr ; dz

zdmdzrdVdm

64)(

42

Reemplazamos en (1):

64642

1 44

)(

zdz

zdI SOLIDOZ

Integrando tenemos:

dzzI SOLIDOZ

4

0

8

)()64)(64(2

1

2

)( 546,68587 mkgI SOLIDOZ

yz 82 4 m

R = 2 m

y

x

z

z

dz

y

r

143

PROBLEMA Nº 2

El cilindro circular mostrado está hecho de aluminio con densidad de 2 700 kg/m3 y hierro con

densidad de 7 860 kg/m3. Determine sus momentos de inercia con respecto a los ejes x´ e y´.

Resolver el problema tomando como referencia los valores conocidos de los momentos de inercia

de un disco circular delgado.

Resolución

Primero hallo masa del aluminio Alm , masa del hierro Fem y la coordenada “x” del centro

de masa del cilindro compuesto ( x ).

Las masas Alm y Fem se determinan utilizando la ecuación Vm , dado que la densidad del

cuerpo ( ) es dato del problema y el volumen V se halla multiplicando el área de la sección

transversal y la altura. Es decir:

323 )6,0)(1,0(/2700 mmkgVm AlAlAl kgmAl 8938,50

323 )6,0)(1,0(/7860 mmkgVm FeFeFe kgmFe 1575,148

Para calcular x (coordenada “x” del centro de masa) aplico la ecuación siguiente:

FEAl

FeFeAlAl

mm

mxmx

m

mxx

mx 7466,0

* De la figura dada se obtiene que: mxymx FeAl 9,03,0

Cálculo de )(' TOTALxI (momento de inercia para el cilindro compuesto, respecto al eje 'x )

Por tratarse de un cilindro compuesto se cumple el principio de superposición, es decir que el

momento de inercia total, respecto al eje 'x , es igual a la suma de los momentos de inercia del

cilindro de aluminio y del cilindro de hierro, con respecto al mismo eje 'x .

y

z

y’

z’ x, x’

60 cm

60 cm

10 cm

C.M.

Al

Fe

144

)(')(')(' FexAlxTOTALx III . . . (1)

Hallo )(' AlxI (momento de inercia del cilindro de aluminio, respecto al eje 'x ):

Si consideramos como elemento diferencial un disco circular delgado de radio r, masa dm y

espesor dx, se sabe que su momento de inercia, respecto al eje 'x , está dado por:

2

)(' )(2

1rdmdI Alx ; donde: dxrdm Al )( 2

Reemplazamos “ dm ”:

22

)(' )(2

1rdxrdI AlAlx

Integrando, tenemos:

6,0

0

4

)('2

dxr

I Al

Alx

2

)(' 25497,0 mkgI Alx

Hallo )(' FexI (momento de inercia del cilindro de hierro, respecto al eje 'x ):

En este caso, se cumple:

2

)(' )(2

1rdmdI Fex ; donde: dxrdm Fe )( 2

Reemplazamos “ dm ” :

22

)(' )(2

1rdxrdI FeFex

Integrando, tenemos:

2,1

6,0

4

)('2

dxr

I FeFex

2

)(' 740789,0 mkgI Fex

Reemplazando en la ecuación (1), tenemos:

2

)(' 94526,0 mkgI TOTALx

Cálculo de )(' TOTALyI (momento de inercia para el cilindro compuesto, respecto al eje 'y )

En este caso debemos recordar que el momento de inercia para un cilindro de masa “m”, altura “h”

y sección transversal de radio “r”, respecto al eje centroidal “y”, el cual es perpendicular al eje del

cilindro, viene dado por la ecuación siguiente:

)3(12

1 22

)( hrmI Cilindroy

h y

Eje centroidal

r

145

Aplicando esta ecuación y el principio del eje paralelo, tenemos que el momento de inercia del

cilindro de aluminio, respecto al eje 'y , está dado por:

2

1

22

)(' )3(12

1dmhrmI AlAlAly

222

)(' )3,07466,0()3(12

1 AlAlAly mhrmI

2

)(' 804896,11 mkgI Aly

Para comprender mejor la ecuación anterior, ver la figura siguiente:

Para el cilindro de hierro, tenemos:

2

2

22

)(' )3(12

1dmhrmI FeFeFey

222

)(' )7466,09,0(1575,148)6,01,03()1575,148(12

1FeyI

2

)(' 307495,8 mkgI Fey

Para calcular )(' TOTALyI aplicamos principio de superposición. Es decir:

)(')(')(' FeyAlyTOTALy III 2

)(' 106391,20 mkgI TOTALy

y

z

y’

z’ x, x’

0,3 m

Eje centroidal para el aluminio

10 cm

C.M.

Al

Fe

0,9 m

d1

mx 7466,0

Eje centroidal para el hierro

d2