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MOMENTOS DE INERCIA · PDF file MOMENTOS DE INERCIA 8.1 INTRODUCCIÓN En este capítulo desarrollaremos un método para determinar el momento de inercia de un área y de un cuerpo

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  • 126

    Capítulo VIII

    MOMENTOS DE INERCIA

    8.1 INTRODUCCIÓN

    En este capítulo desarrollaremos un método para determinar el momento de inercia de un

    área y de un cuerpo que tenga una masa específica. El momento de inercia de un área es una

    propiedad importante en ingeniería, puesto que ésta debe determinarse o especificarse si uno va

    a analizar o diseñar un miembro de una estructura o parte mecánica. Por otro lado, se debe

    conocer el momento de inercia del cuerpo si se estudia el movimiento del mismo cuerpo.

    8.2 MOMENTOS DE INERCIA PARA ÁREAS

    Cuando se determina el centroide de un área se considera el primer momento de área con

    respecto a un eje, es decir, para el cálculo se evalúa una integral de la forma:

    x dA

    Las integrales del segundo momento de un área tal como: 2x dA son llamadas momentos

    de inercia del área.

    El momento de inercia de un área se origina siempre al tener que calcular el momento de

    una carga distribuida, variable en forma lineal, del eje de momentos.

    Asimismo podemos formular el segundo momento del área con respecto al polo O, o eje z.

    Esto se conoce como momento polar de inercia J0 y se define por:

    2

    o x y

    A

    J r dA I I   ; Donde: 2 2 2r x y 

    r

    x

    y

    x

    y

    dA A

    O

    Si consideramos un área A, en el plano xy, los

    momentos de inercia de esta área con respecto a

    los ejes x e y se define por:

    2 2

    x x A

    I y dA K A 

    2 2

    y y A

    I x dA K A 

    Dónde:

    xK = radio de giro con respecto al eje x

    yK = radio de giro con respecto al eje y

  • 127

    Notas:

    - ,x y oI I y J son siempre positivos.

    - Las unidades del momento de inercia son: m4, cm4, mm4, pulg4.

    8.3 TEOREMA DEL EJE PARALELO PARA UN ÁREA (TEOREMA DE STEINER)

    “El momento de inercia de un área con respecto a un eje es igual al momento de inercia

    del área con respecto a un eje paralelo que atraviesa su centroide, más el producto del área y el

    cuadrado de la distancia perpendicular entre los ejes”

    Donde: dx y dy son distancias perpendiculares entre los ejes.

    8.4 RADIO DE GIRO DE UN ÁREA

    El radio de giro de un área plana se utiliza en el diseño de columnas en mecánica de

    estructuras. Siempre y cuando se conozcan las áreas y los momentos de inercia, el radio de giro

    se determina con las fórmulas:

    0 0

    yx x y

    II J K K K

    A A A   

    8.5 MOMENTOS DE INERCIA DE ÁREAS COMPUESTAS

    El momento de inercia de un área compuesta es igual a la suma algebraica de los

    momentos de inercia de todas sus partes componentes.

    Método de cálculo:

    - Divide el área compuesta en sus partes componentes e indique la distancia perpendicular

    existente desde el centroide de cada parte hasta el eje de referencia.

    !

    2

    x yx I I Ad 

    !

    2

    y xy I I Ad 

    2

    o cJ J Ad 

    dx

    dy

    x

    y

    o

    !x

    !x

    !y

    dA

    c

    d

    dx

    dy

    x

    y

    O

    !x

    !y

    !x

    !y

    dA

    c

    d

  • 128

    - Determine el momento de inercia de cada parte con respecto a su eje centroidal, paralelo al eje

    de referencia, utilizando el Teorema de Steiner.

    - Calcule el momento de inercia del área total, con respecto al eje de referencia, sumando los

    resultados de sus partes componentes. Si una parte componente tiene un “agujero”, su

    momento de inercia se obtiene restando el momento de inercia del agujero al momento de

    inercia de la parte completa, incluyendo al agujero.

    8.6 PRODUCTO DE INERCIA DE UN ÁREA

    Para algunas aplicaciones de diseño mecánico o estructural es necesario primero calcular

    el producto de inercia del área así como también sus momentos de inercia para los ejes x y y

    dados.

    TEOREMA DE STEINER PARA EL PRODUCTO DE INERCIA DE UN ÁREA

    x

    y

    x

    y

    dA

    A Para un área A, el producto de inercia

    viene dado por:

    xy A

    I xy dA 

    Las unidades del producto de inercia

    son: m4, mm4, pie4, pulg4.

    dx

    dy

    x

    y

    o

    !x

    !y

    !x

    !y

    dA

    c

    Para el área sombreada que se

    muestra en la figura, se cumple que:

    yxXY ddAII YX  ''

    Dónde: ''YXI representa el producto

    de inercia del área con respecto al

    eje centroidal.

  • 129

    8.7 MOMENTOS DE INERCIA DE MASAS

    El momento de inercia de masa es una propiedad que mide la resistencia del cuerpo a una

    aceleración angular. Se define como la integral del “segundo momento” con respecto a un eje de

    todos los elementos de masa dm que componen el cuerpo.

    OBSERVACIONES:

    a) Si el cuerpo se compone de un material cuya densidad  es variable, entonces el momento

    de inercia de masa “ I ” está dado por:

    2

    V I r dV 

    b) Si  es constante, entonces “ I ” se halla por: 2

    V I r dV 

    Nota:

    El teorema de Steiner (o del eje paralelo) para el momento de inercia de masa, viene dado por la

    siguiente expresión:

    2

    GI I md 

    dónde:

    GI = momento de inercia con respecto al eje z´ que atraviesa el centro de masa G.

    m = masa del cuerpo

    d = distancia perpendicular entre los ejes paralelos.

    r

    z

    dm

    Para el cuerpo rígido mostrado en la figura, su momento de

    inercia de masa con respecto al eje z, viene dado por:

    2

    m I r dm 

    r = distancia perpendicular desde el eje hasta el elemento

    diferencial “ dm ”.

    * El eje que generalmente se elige para el análisis atraviesa el

    centro de masa del cuerpo.

  • 130

    8.7.1 MOMENTOS DE INERCIA DE MASA PARA UN DISCO CIRCULAR

    DELGADO DE MASA “m” Y RADIO “r”

    Cálculo de zI (momento de inercia del disco circular delgado, respecto al eje z)

    Por definición, el momento de inercia del disco circular delgado, respecto al eje z que

    atraviesa su centro de masa, viene dado por:

    dmrI m

    z

    2

    )'( , 'r = distancia perpendicular del eje z al elemento “dm”

    Se cumple: )''( dzddrrdVdm  

    Reemplazando “ dm ”, la ecuación de zI queda:

    Resolviendo la integral y reemplazando la densidad “  ” del disco circular:

    zr

    m

    V

    m

     

    2  ,

    obtenemos que:

    2

    2

    1 rmI z 

    Cálculo de xI (momento de inercia del disco circular delgado, respecto al eje x)

    Por definición, el momento de inercia del disco circular delgado, respecto al eje x que

    atraviesa su centro de masa, viene dado por:

    dmrI m

    x

    2

    )''( , ''r = distancia perpendicular del eje x al elemento “dm”

    Para calcular los momentos de inercia del

    disco circular delgado se debe recordar

    que en coordenadas cilíndricas, el

    volumen para el elemento diferencial de

    masa “dm”, mostrado en la figura, viene

    dado por:

    dzddrrdV  ''

    y

    z

    x

    r’ dm

    ϕ

    r z

  • 131

    Al trazar la distancia perpendicular ''r , desde el eje x hasta el elemento diferencial “dm”,

    se obtiene que:

    senrr ''' 

    Si esta distancia ''r y el diferencial de masa “dm” se reemplazan en la ecuación del

    momento de inercia xI , tenemos:

    )''()'( 2

    0

    2

    0 0

    dzddrrsenrI

    z r

    X      

    Resolviendo la integral y reemplazando la densidad “  ” del disco circular:

    zr

    m

    V

    m

     

    2  ,

    obtenemos que:

    2

    4

    1 rmI X 

    NOTA.- debido a la simetría de la figura, el momento de inercia del disco circular delgado,

    respecto al eje y que atraviesa su centro de masa, es igual al momento de inercia respecto

    al eje x. Es decir:

    2

    4

    1 rmII XY 

  • 132

    8.7.2 MOMENTOS DE INERCIA DE MASA PARA UN CILINDRO DE MASA “m”,

    ALTURA “h” Y SECCIÓN TRANSVERSAL DE RADIO “r”

    Cálculo de zI (momento de inercia del cilindro, respecto al eje z)

    El momento de inercia para el cilindro, respecto al eje z que atraviesa su centro de masa,

    se halla a partir del valor conocido del momento de inercia para un disco delgado.

    Se cumple:

    2

    )( )( 2

    1 rdmdI CILINDROz 