UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNAFACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICAESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIALIII UNIDAD

INTEGRACIÓN TRIPLE

Las integrales triples cumplen las propiedades de las integrales dobles y simples. La propiedad de linealidad se cumple una de las más importantes en la integración, además las integrales triples se pueden evaluar como integrales iteradas. No tiene UNA INTERPETACION GEOMETRICA, ya que resulta imposible aún poder hacer una gráfica en la cuarta dimensión, ya que según nuestros estudios sabemos que las integrales dobles generan un volumen y las integrales triples me deben generar un volumen CUATRIDIMENSIONAL y hasta ahora no se ha podido graficar esto. Estas integrales son de mucha utilidad para poder calcular la masa total de un sólido, el centro de masa, flujo que pasa por un sólido etc. Algunas de estas aplicaciones las veremos más adelante básicamente las aplicaciones están orientadas a ser la base matemática para los cursos de física.

TEOREMA DE FUBINI PARA INTEGRALES TRIPLES

Teorema 1: Consideremos una función acotada en una región S ⊂ R3, es decir f: S ⊂ R3 → R,

: La integral triple de una función f(x,y,z) sobre una superficie (caja) S = {a≤ x ≤ b, c ≤ y≤ d, p ≤ z ≤ q} es igual a la integral iterada:

∭S

❑

f (x , y , z ) dV = ∫a

b

∫c

d

∫p

q

f (x , y , z ) dzdydx

Además, la integral triple iterada se puede expresar en cualquier orden:

Ejemplo1:

Integración sobre S (caja). Calcule la integral ∭S

❑

xy z2dV, donde

S = {0≤ x ≤ 1,0-1≤ y≤ 2, 0≤ z ≤ 3} es igual a la integral iterada:

∭S

❑

xy z2 dV = ∫0

3

∫−1

2

∫0

1

xy z2 dxdydz Rpta. 274

∭S

❑

xy z2 dV = ∫0

3

∫−1

2

∫0

1

xy z2 dxdydz

= ∫0

3

∫−1

2 12

x2|10 yz2 dydz = ∫

0

3

∫−1

2

[ 12

(12−02 )] y z2dydz= 12∫0

3

∫−1

2

y z2 dydz

= 12∫0

3

( 12

y2|¿ 2−1

)z2 dz¿ = 14∫0

3

(22−(−1)2) z2dz =14

.3∫0

3

z2 dz = 14 .3.

13

z3|30 = 27

4 Rpta

Teorema 2: La integral triple de una función continua f sobre la región S S : (x,y)∈ D, z1(x,y) ≤ z ≤ z2(x,y) Es igual a la integral iterada:

∭S

❑

f (x , y , z ) dV = ∬D

❑

¿¿

Ejemplo 2: Región solida con una base rectangular

Evalué ∭S

❑

zdV , donde S es la región comprendida entre los planos z = x+y

y z = 3x+5y y que se encuentra por encima del rectángulo : 0≤ x≤ 3, 0≤ y ≤ 2

∫0

3

∫0

2

∫x+ y

3 x+5 y

zdzdydx = ∫0

3

∫0

2 12

z2|3 x+5 yx+ y

dydx

= ∫0

3

∫0

2 12 [(3 x+5 y)2−(x+ y)2 ¿dydx

= 12∫0

3

∫0

2

[9 x2+30xy+25 y2−x2−2 xy− y2]dydx

= 12∫0

3

[ 9 x2 y|¿20+ 30

2x y2|2

0+25

3y3|2

0−x2 y|2

0−2

2x y2|2

0− 1

3y3|2

0]dx ¿

= 12∫0

3

[9 x2 (2−0 )+15 x (22−02)¿+25

3(23−03 )−x2 (2−0 )−x (22−02 )−1

3(23−03)]dx¿

= 12∫0

3

¿¿]dx

= 12∫0

3

[16 x2+56 x+ 1923 ¿]dx ¿

¿ 12∫0

3

[16 x2+56 x+64 ¿]dx¿ ¿ 12∫0

3

[16 x2+56 x+64 ]dx=¿ 12 [

163

x3|30+56

2x2|3

0+64 x|30]

¿ 12 [

163

(33−03 )+28 (32−02 )+64 (3−0)¿ = 12[16.9+28.9+192]

= 12[144+252+192] =

12 [588]= 294 Rpta

Ejemplo3 : Región solida con una base triangular: ∭S

❑

zdV donde S es la región de

la figura dada

∭S

❑

zdV =∫0

1

∫0

1− x

∫x+ y

3x+5 y

zdzdydx

¿ ∫0

1

∫0

1− x 12

z2|3x+5 yx+ y

dydx=12∫0

1

∫0

1−x

[(3x+5 y )2−(x+ y )2 ]dydx

¿ 12∫0

1

∫0

1−x

[9 x2+30xy+25 y2−x2−2 xy− y2 ]dydx

¿ 12∫0

1

[¿ 9 x2 y|1−x0

+302

x y2|1−x0

+253

y3|1−x0

−x2 y|1−x0

− 22x y2|1−x

0−1

3y3|1−x

0]dx ¿

¿ 12∫0

1

¿¿ +15x(1−x )2+253

(1−x)3-x2¿)-x(1−x )2-

13(1−x)3

]dx

¿ 12∫0

1

¿¿]dx

¿ ∫0

1

¿¿]dx

Solución: Límites para x: 0≤ x≤1Límites para y: 0≤ y≤1−xSe debe calcular la recta que corta a los ejes X e Y

Límites para z: 3x+5y≤ z≤ x+ y

¿ ∫0

1

[ 4 x2−4 x3+7 x (1−2 x+ x2 )+4 (1−3x+3 x2−x3 ) ]dx

¿ ∫0

1

¿¿+7x-14x2+7x3+4-12x+12x2−4 x3 ¿dx

¿ ∫0

1

[−x3+2 x2¿−5x+4]dx ¿= -14

x4|10+

23

x3|10-

52

x2|10+4x|1

0

¿ -14 +

23 -

52 +4 =

−3+8−30+4812 = 23

12 Rpta.

Ejemplo 4: Región entre dos superficies que se cortanIntegre f(x,y,z) = x sobre la región S limitada superiormente por z = 4-x2− y2 e inferiormente por z = x2+3 y2 en el OCTANTE x≥0, y≥0, z≥0.

La región S es: ∭S

❑

xdV = ∬D

❑

∫x2+3 y2

4− x2− y2

xdzdydx

1° Se debe hallar la frontera D

D: x2+2 y2=2 De aquí sacamos los límites de integración para X e Y

2° Calculo de los límites de integración Límites para x: 0≤ x≤√2−2 y2

Límites para y: 0≤ y≤1Límites para z: x2+3 y2 ≤ z ≤4−x2− y2

∫0

1

∫0

√2−2 y2

∫x2+3 y2

4− x2−y2

xdzdxdy

= ∫0

1

∫0

√2−2 y2

¿¿¿)dxdy = ∫0

1

∫0

√2−2 y2

x (¿¿4−x2− y2−x2−3 y2)dxdy ¿¿

= ∫0

1

∫0

√2−2 y2

x¿¿¿)dxdy = ∫0

1

∫0

√2−2 y2

(4 x¿¿−2x3−4 x y2)dxdy¿¿

= ∫0

1

¿¿)dy

= ∫0

1

[2(2−2 y2)¿−12

(2−2 y2 )2−2(2−2 y2) y2]dy¿

= ∫0

1

¿¿(4-8y2−4 y4)−4 y2+4 y 4]dy

=∫0

1

[¿4−4 y2−2+4 y2−2 y4−4 y2+4 y4 ]dy ¿

= ∫0

1

¿¿2−4 y2+2 y 4¿dy

= 2 y|10 - 4

3y3|1

0+25

y5|10

= 2(1-0)-43

(13−03 )+25(15−05)

= 2−43

+ 25 = 30−20+6

15 = 1615 Rpta

.

VOLUMEN MEDIANTE INTEGRALES TRIPLES

Sea una función f definida en una región cerrada S ⊂ R3, es decir f: S ⊂ R3 →R, tal que f(x,y,z) = 1, ∀ (x,y,z) ∈ S, entonces el volumen del solido S es dado por:

V(S) = ∭S

❑

dV = ∭S

❑

dxdydz

Ejemplo 1: Encontrar el volumen de la región acotada por:Z= x2+3 y2 ( Abajo ) y z= 12-1

3x2 (arriba)

Solución:

V =4∫0

3

∫0

√36−4 x2

3

∫x2+3 y2

12−13

x2

dzdydx

V = 4∫0

3

∫0

√36−4 x2

3

z|12−13x2

x2+3 y2

dydx--

V = 4∫0

3

∫0

√36−4 x2

3

[12−13x2¿¿−x2−3 y2]dydx ¿¿

V = 4∫0

3

¿¿dx

V = 4∫0

3

¿¿]dx

V = 4∫0

3

¿¿ −(36−4 x2)3/2

27]dx

V = 4∫0

3

¿¿ −89 √9−x2− 8

27(9−x2)3/2]dx

Para resolver estas integrales debemos hace un cambio de variable a integrales trigonométricas

30|x = 3 senθ|

π20→dx=3cosθdθ

senθ= x3

V = 4∫0

π2

¿¿]3cosθdθ

V = 12∫0

π2

¿¿] cosθdθ

V = 12.8.3∫0

π2

¿¿]dθ

V = 12.8.3∫0

π2

89

cos2θdθ -12.8.3. 127∫0

π2

cos4 θdθ

V = 12.8.3.89∫0

π2

cos2θdθ−323 ∫

0

π2

cos4θdθ

V = 2563 ∫

0

π2

(1+cos 2θ)2

dθ−323 ∫

0

π2

((1+cos2θ)

2)

2

dθ

V = 2563

. 12∫0

π2

dθ+¿ 2563

¿.12∫0

π2

cos2θdθ−3212∫0

π2

¿¿)dθ

V = 1283

θ|π20

+1283

.(−sen2θ2

)|π20−8

3∫0

π2

dθ−163 ∫

0

π2

cos2θdθ−83∫0

π2

¿¿)dθ

V = 1283

. π2−64

3.(sen2( π2 )−sen2 (0 ))−8

3. π

2−16

3. (−sen2θ

2 )|π20−4

3θ|

π20−4

3 (−sen2θ2 )|π2

0

V ¿ 64 π3

−¿ 643

(0−0 )−4 π3

− 83 (sen 2( π2 )−sen 2 (0 ))− 4

3. π2−2

3 (sen2( π2 )−sen2 (0 ) ¿

V = 64 π3

−4 π3

−2 π3 ¿ 58π

3u3Rpta.

Ejemplo 2: Empleando integrales triples. Calcular el volumen de la esfera que tiene por ecuación: x2+ y2+z2=a2 , (Sug. Use coordenadas polares)

Recordar: x=rcosθ; y = rsenθ ; x2+ y2=r2por COORDENADAS POLARESNota: Las coordenadas polares se utilizan solo en integrales dobles asi que primero debemos integrar una vez y luego recién se integra

Solución:

V = 8∫0

a

∫0

√a2−x2

∫0

√a2− x2− y2

dzdydx

1° Se integra con respecto a z

V = 8∫0

a

∫0

√a2− x2

z|√a2−x2− y2

0dydx

V = 8∫0

a

∫0

√a2− x2

√a2−x2− y2dydx

Ahora ya estamos en integrales dobles y se puede hacer el cambio a coordenadas polares2° pasar a coordenadas polaresLimites de integración para θ

0≤θ≤ π2

Limites de integración para r 0≤r ≤a

V = 8∫0

π2

∫0

a

√a2−r2 rdrdθ = 8∫0

π2

−13

(a2−r 2)3 /2|a0dθ

V = −83 ∫

0

π2

(¿ (a2−a2 )32−(a2−02 )

32)dθ ¿

V = −83 ∫

0

π2

−a3 dθ ¿8a3

3θ|

π20=8a3

3. π

2 ¿ 4 a3 π3 Rpta.

CAMBIO DE VARIABLE EN INTEGRALES TRIPLESSea T: R3 →R, una transformación tal que:

f(x,y,z) = T(u, v, w)= (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)), continuamente diferenciable y uno a uno en D y con Jacobiano no nulo, es decir: J(u,v,w)= ∂(x , y , z)

∂(u , v ,w) ≠0Sea S ⊂ D⊂(u,v,w) un conjunto cerrado y acotado y sea T(s) = E la imagen del conjunto S via la transformación T, entonces si es integrable sobre E, la imagen foT(u,v,w) = f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)), es integrable sobre S.

∭E

❑

f (x , y , z ) dxdydz=∭s

❑

f (x (u ,v ,w) , y (u , v ,w) , z (u , v ,w))|J (u , v ,w)|dudvdw

Observación: Cuando f(x,y,z) =1, ∀(x , y , z)∈ E se tiene el volumen del solido E es decir:

V( E ) = ∭E

❑

dxdydz=¿∭E

❑

|J (u , v ,w)|dudvdw ¿

Nota: Una de las aplicaciones de los cambios de variables están las COORDENADAS ESFERICIAS Y CILINDRICAS, que veremos más adelante.

Donde: J (u , v ,w) = ∂(x , y , z)∂(u , v ,w) = |

∂ x∂u

∂x∂v

∂x∂w

∂ y∂u

∂ y∂v

∂ y∂ w

∂ z∂u

∂ z∂v

∂ z∂w

|Y también se cumple que: J (u , v ,w) =

∂(x , y , z)∂(u , v ,w) =

1∂ (u , v ,w)∂( x , y , z )

ósea:

J (u , v ,w) = 1

∂ (u , v ,w)∂( x , y , z )

=

1

|∂u∂ x

∂u∂ y

∂u∂ z

∂v∂ x

∂v∂ y

∂v∂ z

∂w∂x

∂ w∂ y

∂w∂z

| Ejemplo 1:

Calcular: ∭E

❑

x2dxdydz donde E: -1≤ x-z ≤1, 0 ≤ y+z ≤ 2, 0 ≤ x+z ≤ 1

Solucion: de : (1) y (3) de (3): de: (1) y (2):

Sean: {x−z=u…. (1 )y+z=v…. (2 )x+z=w…. (3 )

{x−z=u…. (1 )x+z=w…. (3 ) z=w−x {x−z=u…. (1 )

y+z=v…. (2 )

2 x+0=u+w z=w−u+w2 x+ y ¿u+v

x=u+w2 z = 2w−u−w

2 y=u+v -x

y=u+v −u+w2

Z = w−u2

y ¿u−u2+v−w

2

y=v−w−u2

Luego la nueva región es D: −1≤u≤1,0≤v ≤2 ,0≤w≤1

Calculamos el Jacobiano

J(u,v,w)= ∂(x , y , z)∂(u , v ,w) = |

∂ x∂u

∂x∂v

∂x∂w

∂ y∂u

∂ y∂v

∂ y∂ w

∂ z∂u

∂ z∂v

∂ z∂w

| = |−12

0−12

−12

1−12

−12

0 12

|= 14 –(-14 ) = 1

2

O también :

{x−z=u…. (1 )y+z=v…. (2 )x+z=w…. (3 )

J (u , v ,w) = 1

∂ (u , v ,w)∂( x , y , z )

=

1

|∂u∂ x

∂u∂ y

∂u∂ z

∂ v∂ x

∂ v∂ y

∂ v∂ z

∂w∂x

∂ w∂ y

∂w∂z

| =

1

|10−101−110−1

¿| = 1

(1+1) = 12

∭E

❑

x2dxdydz = ∭D

❑ (u+w)4

2

|J (u , v ,w)|dudvdw= ∭D

❑ (u+w )4

2

( 12)dwdvdu

∭E

❑

x2dxdydz =18∭D

❑

(u+w)2dwdvdu= 1

8∫−1

1

∫0

2

∫0

1

(u+w)2 dwdvdu

18∫−1

1

∫0

2 13

(u+w)3|10

dvdu = 124∫−1

1

∫0

2

¿¿¿]dvdu

124 ∫−1

1

∫0

2

(u+1−u)((u+1)2¿¿+u(u+1)+u2)¿ ¿ dvdu

124 ∫

−1

1

∫0

2

(u ¿¿2+2u+1+u2+u+u2)dvdu¿

124 ∫

−1

1

∫0

2

(3u¿¿2+3u+1)dvdu¿ 124∫−1

1

¿¿

124 ∫

−1

1

[6u2¿+2(3u+1)]du=¿¿ 112∫−1

1

[3u2+3u+1¿]du¿

112 ¿1

12 [2+ 32

(1−1 )+(1+1 )] ¿ 112

[ 2+2 ] ¿ 412

=13Rpta .

Ejemplo 2: ∭E

❑

(x+ y+z )dxdydz donde E: 1≤ x+y+z ≤2, 0 ≤ x+y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ 1

Solución: 1° Cambio de variablesu =x+y+z→u=w+v−w+z →z=u−vv = x+y→ y=v−ww = xLimites de integración: 1≤u≤20≤v ≤2 0≤w≤1

2° Calculo del Jacobiano

J(u,v,w)= ∂(x , y , z)∂(u , v ,w) = |

∂ x∂u

∂x∂v

∂x∂w

∂ y∂u

∂ y∂v

∂ y∂ w

∂ z∂u

∂ z∂v

∂ z∂w

|=| 0 0 10 1−11−10|= 0+0+0-1-0-0 = -1

Necesitamos el |J (u ,v ,w)| = |−1| = 13° Integramos con las nuevas variables

∭s

❑

f (x (u , v ,w ) , y (u , v ,w ) , z (u , v ,w ) )|J (u , v ,w )|dudvdw

¿ ∫0

1

∫0

2

∫1

2

¿¿¿¿)(1)dudvdw = ∫0

1

∫0

2

∫1

2

u)(1)dudvdw ¿∫0

1

∫0

2

∫1

2

ududvdw = ∫0

1

∫0

2 12u2|2

1dvdw =

12∫0

1

∫0

2

(22−11 )dvdw

¿ 32∫0

1

∫0

2

dvdw = 32∫0

1

v|20dw = 3

2∫01

(2−0 ) dw= 3∫0

1

dw = 3w|10

= 3(1-0) = 3 Rpta.

TRABAJO ENCARGADO 1Calcule las siguientes integrales triples

1. ∭s

❑

z4dV, donde S: 2≤x ≤8 ,0≤ y≤5 ,0≤z ≤1

Rpta.6 2. ∭

s

❑

xz2dV, donde S: −2≤x ≤3 ,1≤ y ≤3 ,1≤z ≤4

Rpta . 1053. ∭

s

❑

xe y−2 zdV, donde S: 0≤ x≤2,0≤ y≤1 ,0≤ z≤1

Rpta. (e−1)(1−e−2)

4. ∭s

❑ x( y+z )2dV, donde S: 0≤ x≤2,2≤ y ≤4 ,−1≤ z ≤1

Rpta. -2ln5+4ln3

5. ∭s

❑

(x− y )( y−z )dV, donde S: 0≤ x≤1,0≤ y≤3 ,0≤z ≤3

Rpta . −274

6. Calcular ∭S

❑

xdV . y S : 0≤ x≤√2, 0≤ y≤√2−x2, x2+ y2≤ z≤2

x≥0 , y≥0.

Rpta. 8√215

7. Calcule ∭S

❑

xdV y Sea S: 0≤ x≤1, x2≤ y ≤1− x

2 , 0≤ z≤2−x−2 y

Rpta. 1/24 (Verificar la respuesta)

8. Calcular la integral ∭S

❑

e zdV, sobre el tetraedro S que se forma con los ejes coordenados

como se muestra en la figura. Rpta. 118

e12−8518

9. Hallar ∭S

❑

zdV sobre la región S, por debajo del hemisferio x2+ y2+z2=9, y que se

encuentra por encima del triángulo D en el plano XY , limitado por : x=1, y= 0 y x=y. Como se muestra en la figura. S: 0≤ x≤1,0≤ y≤ x, 0≤ z≤√9−x2− y2 Rpta. 25

12

10.. Evalué ∭S

❑

zdV , donde E es el tetraedro sólido acotado por los 4 planos: x=0, y= 0,

z= 0 y x+y+z=1; S: 0≤ x≤1, 0≤ y≤1−x ,0≤ z≤1−x− y

Rpta. 1/24

11. Hallar el volumen del solido S determinado por las ecuaciones: 1≤x2+ y2≤9 y 0≤ z≤9−x2− y2

Sugerencia: Utilice coordenadas polares (Vea el ejemplo 2 de Volumen)

.

12. Halle el volumen de la región limitada por z = 1- y2, y = x2 y los planos z=0 , y=1

Rpta. (16/21)u3

13.Calcule el volumen ∭S

❑

dV y S: 0≤ x≤1, x2≤ y ≤1− x

2 , 0≤ z≤2−x−2 y

14. Calcular el volumen ∭S

❑

dV , sobre el tetraedro S que se forma con los ejes

coordenados y sea S: 0≤ x≤1, 0≤ y≤1−x ,0≤ z≤1−x− y

15. Halle el volumen ∭

S

❑

dV , limitado por S: 0≤ x≤1, x2≤ y ≤√ x, 0≤ z≤ x+ y+5

Rpta. 5930

u3

16. Calcular el volumen de del solido D encerrado en el elipsoide x2

a2 + y2

b2 + z2

c2 =1 (Cambio de variable)

Sugerencia :hagau= xa, v= y

b , w= zc

Se pideV (D )=∭D

❑

dV

Rpta: 4 πabc3

u3

Tacna, 02 de marzo del 2015Docente: Ing° Luis Nina Ponce