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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA “Norte de la Universidad Peruana” SECCIÓN JAÉN FACULTAD DE INGENIERÍA INTEGRALES MULTIPLES Como anteriormente se trato sobre el área comprendida entre la gráfica de una función positiva: y = f(x), el eje OX y las rectas x = a, x = b. Dicha área se representaba como a b f ( x ) dx. ANALISIS MATEMATICO III Página 1 Lic. Eladio Sánchez Culqui

PRACTICA N°1 INTEGRALES TRIPLES

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PRACTICA N°1 INTEGRALES TRIPLES

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INTEGRALES MULTIPLES

Como anteriormente se trato sobre el área comprendida entre la gráfica de una función positiva: y = f(x), el eje OX y las rectas x = a, x = b.

Dicha área se representaba como

∫a

b

f ( x )dx.

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INTEGRALES DOBLES SOBRE UN RECTANGULO

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INTEGRALES DOBLES

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Teorema: Cualquier función continua sobre un rectángulo es integrable

PROPIEDADES DE LA INTREGRAL DOBLE

INTEGRAL DOBLE SOBRE REGIONES MAS GENERALES

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Sea D una región de tipo I, II ó III. Sea z = f(x,y) una función continua.

Consideremos una región del tipo I. Entonces:

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Análogamente consideremos una región del tipo II, se tiene:

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INTEGRAL TRIPLE

Definición:

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Propiedades de las integrales triples

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CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES DOBLES

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Teorema del cambio de variable para integrales dobles

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CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES

JACOBIANO

COORDENADAS CILÍNDRICAS

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Cambio a Coordenadas Cilíndricas

Diferencial de Volumen en Coordenadas Cilíndricas

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Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas

COORDENADAS ESFERICAS

Cambio a Coordenadas Esféricas

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Diferencial de Volumen en Coordenadas Esféricas

Integrales Triples en Coordenadas Esféricas

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES

A. Masa de un Sólido

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B. Momentos de Primer Orden

C. Centro de Masa

D. Momentos de Inercia de una Región Sólida

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Propiedades

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1)Hallar el valor de las siguientes integrales.

a) ∫0

π /2

∫0

y

(cos2 y ) √1−k2 senx dxdy 0<k 2<1

Solución:

1º gráfica:

¿∫0

π /2

∫x

π /2

[cos (2 y ) ] √1−k2 sen2 x dydx

¿∫0

π /2

√1−k2 sen2[ sen2 y2 ]

x

π /2

dx

¿∫0

π /2 √1−k2 sen2

2(−sen 2x )dx

¿∫0

π /2 √1−k2 sen2

2(−2 senxcosx )dx

Sea: 1−k2 sen2 x=u

-2k 2senxcosxdx=du

−2 senxcosxdx=duk2

I=∫ √u2k2 =

12k 2

u32

32

=u

32

3k2 =( 1−k2 sen2 x )

32

3k2

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I= 13k2 [(1−k 2 sen2 π

2 )32−( 1−k2 sen20 )

32 ]

I= 13k2 [√(1−k2 )3−1 ]

I=(1−k 2)

32

3k2 ……………………………………. Rpta

b)∫0

π2

∫0

senx

(1+ 1√1− y2 )dydx

¿∫0

π2

[ y+arcseny ]|0senx

dx

¿∫0

π2

( senx+ x )dx

¿(−cosx+ x2

2 )0

π2

¿ [(−cos π2+ π 2

8 )— cos0+02)]¿2.234……………………………………….Rpta

c ¿T=∫0

a

∫0

√a2−x2

∫0

√a2−x2− y2

√a2−x2− y2dzdydx

Solución:

1 ºpaso :

-transformandoacilindricas :

0≤ x≤a

0≤ y≤√a2−x2…………………………. y=0 ; y2+x2=a2

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0≤ z≤√a2−x2− y2……………………z2+x2+ y2=a2

x=rcosθ

y=rsenθ

Z=z………..J (r ,θ , z )=r

T={(r , θ , z )0

≤ r≤a;0≤θ≤ π2,0≤ z ≤√a2−r2}

2 ºpaso :

Grafica:

3 ºpaso :

T=∫0

a

∫0

π2

∫0

√a2−r2

r √a2−r2dzdθdr

T=∫0

a

∫0

π2

r (a2−r2 )dθdr

T=∫0

a

r (a2−r2 ) π2dr

T=( a2r2

2− r4

4 )|0

a

T= π2 ( a4

2− a4

4 )

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XY

ZEscriba aquí laecuación .

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T=π a4

8………………………………………….Rpta

d ¿∭ dxdydz, S limitado por los tres coordenados, z=x2+ y2 y el plano x+ y=1.

Solución:

1º grafica:

2ºdesarrollando la integral:

v=∫0

1

∫0

1−x

∫0

x2 + y2

dzdydx

v=∫0

1

∫0

1−x

(x2+ y2 )dydx

v=∫0

1

[ x2 y+ y3

3 ]0

1−x

dx

v=∫0

1 [ x2 (1−x )+ (1−x )3

3 ]dxv=∫

0

1 [ x2−x3+[1−x3−3 x (1−x ) ]

3 ]dxv= 1

3∫01

[3 x2−3x3+1−x3−3 x+3 x2 ]dx

v=13∫0

1

[6 x2−4 x3+1−3 x ] dx

v= 13 [2 x3−x4+x−3x2

2 ]0

1

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v=13

[ 2−1+1−3 /2 ]

v=16u3………………………………………… .. Rpta .

e)∫∫∫¿¿¿¿, siendo z la región entre x2+ y2+z2=a2 y x2+ y2+z2=b3, a>b>0

a) Grafica:

b) transformación

T=|X=δsen∅ cosθy=sen∅ senθ

z=δcosθ

j (δ ,θ ,∅ )=δ 2 senθ

T={(δ ,θ ,∅ ) /b≤δ ≤a0≤θ≤2 π 0≤∅ ≤ π2 }

V=∫b

a

∫0

2 π

∫0

π2

(δ−3)δsenθd∅ dθdδ

V=∫b

a

∫0

2 π

−δ−1cos∅|π20 dθdδ

V=∫b

a

∫0

2 π

−δ−1dθdδ

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X

Y

Z

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V=2π∫b

a

δ−1dδ

V=2πlnδ|abV=2π ln ( a

b)u3

f ¿∭s

√ x2+ y2+z2dzdydx, S es el sólido limitado por las superficies:

z=3∇ z=√x2+ y2

Transformando a cilíndricos:

x=sinφcos θ

y=sinφ sinθ

z=cos φ

J ( , θ , φ )=❑2 sinφ

Entonces: z=√ x2+ y2

❑2cos2φ=❑2 sin2φ sin2θ+❑2 sin2φ cos2θ

cos2φ=sin2φ(sin¿¿2θ+cos2θ)¿

tan2φ=1

tanφ¿1 , entonces φ=π4

→z=3

cos φ=3

cos π4=3

¿3√2

Donde:

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T={ ( ,θ , φ )0

≤≤3√2;0≤θ≤2 π; 0≤φ≤π /4}De:

∭s

√ x2+ y2+z2dv

→∫0

3√2

∫0

∫0

π /4

(❑2 sinφ )dφdθd

∫0

3√2

∫0

−❑3( √22

−1)dθd

2π ∫0

3√2

❑3( 2−√22

)d

v=149.1u3

g)∭s

(x2+ y2)dxdydz, S limitado por: x2+ y2=2 z , z=2

Solucion

Transformando a cilindricos.

x=r cosθ J (r ,θ , z )=r

y=r sinθ

z=z

T={(r ,θ , z )/0≤r≤2 ,0≤θ≤2π , r2

2≤ z≤2}

∫0

2

∫0

2 π

∫r2

2

2

r2(r)dzdθdr

∫0

2

∫0

2 π

r3(2− r2

2)dθdr

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2π∫0

2

(2r 3− r5

2)dr

v=16 π3

u3

2) Calcular el área de la región acotada por las curvas: y2 = 2x y x2 + y2 – 4y =0

Desarrollando la integral tenemos:

3) Calcular el área de la región limitada por las curvas:

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1º Transformado a coordenadas polares

x = r.cosθ

y = r.senθ

Representan un lemniscata y una circunferencia

2º Integrando

4) Calcular el área de la región limitada por las curvas: xy=4; xy=8; xy3=15; xy3=5

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5) Calcular el volumen del solido limitado por las superficies:

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6) Calcular el volumen del sólido limitado por las superficies:

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18) Hallar el volumen del solido común a las dos esferas:ρ = 2˄ ρ = 2√2cosφ

SOLUCION

X = ρsenφcosθ y = ρsenφsenθ z = ρcosφ

E1: ρ = 2→ x2 + y2 +z2 = 4

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E2: ρ = 2√2cosφ → x2 + y2 +z2 = 2√2 z

x2 + y2 +(z−√2)2 = 2

Interceptando Grafica

ρ = 2 = 2√2cosφ y

→φ = π4

TRANSFORMANDO φ = π4

PARA E1 2√2

0≤θ≤2π

0≤φ≤2 π

0≤ ρ≤2

PARA E2 ρ = 2√2cosφ ρ = 2

0≤θ≤2π 2 x

π4 ≤φ≤ π

2

0≤ ρ≤2√2cos φ

E1 U E2

V (S)= ∫0

∫0

π4

∫0

2

ρ2Senφdρdφdθ + ∫0

∫π4

π2

∫0

2√2cosφ

ρ2Senφdρdφdθ = π3 (16 - 6√2 )

V (S)= π3 (16 - 6√2 )

19) Hallar el volumen del solido común a la esfera ρ = a y al cono

φ=α, donde 0≤ α ≤ π2

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2

E1

E2

0

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SOLUCION

X = ρsenφcosθ y = ρsenφsenθ z = ρcosφ z

E1: ρ = a→ x2 + y2 +z2 = a2

φ=α : tagφ=tan α = √x2+ y2

z = z tan α = √ x2+ y2

0≤θ≤2π

0 ≤φ≤ α , pero 0≤α≤ π2

0 ≤φ≤ π2 y

0≤ ρ≤a

V (S)= ∫0

∫0

π2

∫0

a

ρ2Senφdρdφdθ

V (S)= 2a3π3

x

20) Hallar el volumen del solido limitado por la superficie con ecuación:

¿ = a3 x , a¿0

SOLUCION

X = ρsenφcosθ y = ρsenφsenθ z = ρcosφ

x2+ y2+z2=ρ2

REMPLAZAMOS EN LA ECUACION

¿ = a3 x

¿ = a3ρ cosφ

ρ3=a3 cosφ

ρ=a 3√cosφ

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→ x≥0 : cos φ≥0 → 0 ≤φ≤ π2

0≤θ≤2π

0≤φ≤2 π

0≤ ρ≤ a 3√cosφ

V (S)= ∫0

∫0

π2

∫0

a 3√cosφ

ρ2Senφdρdφdθ

V (S)= a3π3

21) Hallar el volumen por encima del cono x2 + y2 = z2 y dentro de la esfera ρ = 2√2cosφ

X = ρsenφcosθ y = ρsenφsenθ z = ρcosφ z

x2 + y2 +z2 = 2a z

x2 + y2 +¿= a2

0≤θ≤2π

0≤φ≤π

0≤ ρ≤ a

y

V (S)= ∫0

∫0

π

∫0

a

ρ2Senφdρdφdθ

V (S)= 4 a3π3

x

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22. Hallar el centroide de la región limitada por la parte superior de la elipse 25x2 + 16y2 = 400 y por la parte superior por el eje X.

Como es simétrico respecto al eje y, el centro será:C (4/3; 0)

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23. Hallar el centro de masa del sólido dentro del paraboloide x2 + y2 = z y fuera del cono x2 + y2 = z2. La densidad del volumen es constante.

1º. En forma cartesiana resulta

2º. Transformado a Coordendas Cilíndricas:

T={(r ,θ , z )/0≤r ≤1;0≤θ≤2 π ;r2≤ z≤ r }

3º. Como existe simetría respecto al eje x, y. Además son nulos.Es decir C (0, 0, z)

a) Para: z= M xy

V

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Por lo tanto, C = (0; 0; 0.5)

24. Hallar el centro de masa del sólido limitado por las superficies: z2 = x2 + y2,

x2 + y2 + z2 = a2 sobre el cono, la densidad des constante.

1º. Existe simetría respecto al eje x, y.Entonces; C (0, 0, z)

z=M xy

V2º. Puntos de intersección:

De la gráfica: z= a√2

V=∭ dV

3º. Transformando a coordenadas esféricasANALISIS MATEMATICO III Página 35Lic. Eladio Sánchez Culqui

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T={(ρ ,θ ,φ)/0≤ ρ≤a;0≤θ≤2π ;0≤φ≤ π4

}

Para: z= M xy

V

C (0; 0 ; 0.212a)

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