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CALCULO VECTORIAL ROSA ÑIQUE ALVAREZ 1 INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS ∫∫∫ E dV z r f ) , , ( q CÁLCULO VECTORIAL CAPÍTULO III SESIÓN 30 Coordenadas cilíndrica: (r,θ,z) ) , ( q r = = = z z rsen y r x q q cos = = x y y x r q tan 2 2 2 - < z r , 2 0 , 0 p q Rosa Ñique Alvarez 2 Rosa Ñique Alvarez 3 Diferencial de volumen en coordenadas cilíndricas dV z d d r d r V = = q Rosa Ñique Alvarez 4 ( dV z r r V = = q Rosa Ñique Alvarez 5 ) , ( ) , ( ) ( ) ( : 2 1 2 1 q q b q a q q r u z r u XY R h r h E Evaluación de la integral triple en coordenadas cilíndricas dA dz z rsen r f dV z y x f R r u r u E ∫∫ ∫∫∫ = ) , ( ) , ( 2 1 ) , , cos ( ) , , ( q q q q Rosa Ñique Alvarez 6 dA: diferencial de área en coordenadas polares dA = r dr dθ dA = dθ (r dr) PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

31 INTEGRALES TRIPLES CILINDRICAS.pdf

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  • CALCULO VECTORIAL

    ROSA IQUE ALVAREZ 1

    INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILNDRICAS

    E

    dVzrf ),,( q

    CLCULO VECTORIAL CAPTULO III

    SESIN 30 Coordenadas cilndrica: (r,,z)

    ),( qr

    ===

    zzrsenyrx

    qqcos

    =

    +=

    xy

    yxr

    qtan

    222

    -

  • CALCULO VECTORIAL

    ROSA IQUE ALVAREZ 2

    Relacin del Diferencial de volumen entrecoordenadas cartesianas y cilndricas

    Rosa ique Alvarez 7

    Jacobiano

    ===

    zzrsenyrx

    qqcos

    rrsensenr

    zrzyxzrJ =

    -=

    =1000cos0cos

    det),,(),,(),,( qq

    qq

    qq

    Rosa ique Alvarez 8

    EJEMPLO 1

    Calcular el volumen del slido limitado por elcilindro x2 + y2 = 2y, el paraboloide 2z = x2 + y2y el plano XY.

    =E

    dVV

    Rosa ique Alvarez 9 Rosa ique Alvarez 10

    2z=x2+y2x2+y2=2y

    Cambio de coordenadas

    222

    22

    21;2:eParaboloid

    2;2:Cilindro

    ;;cos

    rzzyx

    senryyx

    zzsenryrx

    ==+

    q==+

    =q=q=

    Rosa ique Alvarez 11 Rosa ique Alvarez 12

    2z=x2+y2

    x2+y2=2y

    qsenr 2=

    2

    21 rz =

    dAdzdVVR

    r

    E

    ==

    2

    21

    0

    2/0

    :2rz

    XYRr

    E q

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  • CALCULO VECTORIAL

    ROSA IQUE ALVAREZ 3

    Rosa ique Alvarez 13

    x2+y2=2y

    r= 2 sen

    Descripcin de la regin

    R

    2/0

    demitad2/0

    20:

    2rz

    XYRsenr

    E pqq

    SOLUCION

    Rosa ique Alvarez 14

    ==

    2/

    0

    2

    0

    2/

    0

    2

    2p q

    qsen r dA

    E

    ddrrdzdVV876

    2/0

    demitad2/0

    20:

    2rz

    XYRsenr

    E pqq

    Solucin

    p q

    q==2/

    0

    2

    0

    2/

    0

    2

    2sen r

    E

    ddrdzrdVV

    43p

    =V

    Rosa ique Alvarez 15

    EJEMPLO 2

    Obtenga el volumen del slido que seencuentra dentro de la esfera x2 + y2 + z2 = 2zy por arriba del paraboloide z = x2 + y2.

    =E

    dVV

    Rosa ique Alvarez 16

    Rosa ique Alvarez 17

    Cambio de coordenadas

    222

    2222

    ;:eParaboloid

    11;2:Esfera

    ;;cos

    rzzyx

    rzzzyx

    zzsenryrx

    ==+

    -==++

    === qq

    Rosa ique Alvarez 18

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  • CALCULO VECTORIAL

    ROSA IQUE ALVAREZ 4

    Rosa ique Alvarez 19

    211 rz -+=

    2rz =

    -+

    22 11

    :

    rzr

    XYRr

    E q

    dAdzdVVR

    r

    rE

    ==

    -+ 2

    2

    11

    Interseccin de las superficies

    La Esfera: x2 + y2 + z2 = 2z yParaboloide: x2 + y2 = z se intersecancuando z =1 ( z = 0), es decir en lospuntos que estn sobre la circunferenciax2 + y 2 =1.

    Rosa ique Alvarez 20

    Rosa ique Alvarez 21

    x2+y2=1r =1

    -+

    22 11

    2010

    rzr

    Rr

    E pq

    Descripcin de la regin Solucin

    -+

    22 11

    2010

    rzr

    XYRr

    E pq

    Rosa ique Alvarez 22

    ( ) -+

    ==p

    q2

    0

    1

    0

    11 2

    2

    r

    rE

    drrdzddVV

    Solucin

    p

    qp

    67

    2

    0

    1

    0

    11 2

    2

    =

    == -+

    V

    ddrzdrdVVr

    rE

    Rosa ique Alvarez 23

    EJEMPLO 3

    Evale

    donde E es el slido que est entre los cilindros:x2 + y2 =1 y x2 + y2 = 4, arriba del plano XY, yabajo del plano z = x + 2.

    Rosa ique Alvarez 24

    E

    dVy

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  • CALCULO VECTORIAL

    ROSA IQUE ALVAREZ 5

    Rosa ique Alvarez 25

    -4-2

    02

    4

    -4

    -2

    0

    2

    4-2

    0

    2

    4

    6

    X

    Grfica del Cilindro

    Y

    Z

    z=x+2Cambio de coordenadas

    2cos;2:Plano

    2;4:Cilindro

    1;1:Cilindro

    ;;cos

    22

    22

    +q=+=

    ==+

    ==+

    =q=q=

    rzxz

    ryx

    ryx

    zzsenryrx

    Rosa ique Alvarez 26

    Rosa ique Alvarez 27

    -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

    -4

    -2

    0

    2

    4-2

    0

    2

    4

    6

    Y

    X

    Grfica del Cilindro

    Z

    +

    2cos0:

    q

    q

    rz

    XYRr

    E

    dAdzsenrydVR

    r

    E

    =

    +2cos

    0

    q

    q

    2cos += qrz

    Rosa ique Alvarez 28

    DESCRIPCION DE LA REGION

    +

    2cos02021

    :q

    pq

    rz

    XYRr

    E

    x2+y2=4

    x2+y2=1

    R

    r = 2

    r = 1

    Solucin

    +

    2cos020

    21:

    q

    pq

    rz

    XYRr

    E

    Rosa ique Alvarez 29

    ( ) +

    =2

    1

    2

    0

    2cos

    0

    p q

    qqr

    E

    drrddzsenrdVy

    Solucin

    0

    2

    1

    2

    0

    2cos

    0

    =

    =

    +

    E

    r

    E

    dVy

    drddzrsenrdVyp q

    qq

    Rosa ique Alvarez 30

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  • CALCULO VECTORIAL

    ROSA IQUE ALVAREZ 6

    EJEMPLO 4

    Evale

    donde E es el slido que est entre los planos: x = 0,y = 0, z = 1 en el primer octante, acotadasuperiormente por la esfera x2 + y2 + z2 = 4 y alexterior del cilindro x2 + y2 = 1.

    Rosa ique Alvarez 31

    E

    dVzyx

    Solucin:

    Rosa ique Alvarez 32

    Solucin

    1:Plano

    1;1:Cilindro

    4;4:Esfera

    22

    2222

    =

    ==+

    -==++

    z

    ryx

    rzzyx

    Rosa ique Alvarez 33

    La esfera y cilindro se interceptan cuando z = 3Esfera y Plano se interceptan cuando x2 + y2 = 3

    zzrsenyrx === ,,cos qq Solucin:

    Rosa ique Alvarez 34

    Solucin

    Rosa ique Alvarez 35

    -

    241 rz

    XYRr

    E q

    dAxyzdzxyzdVR

    r

    E

    =

    - 24

    1

    Rosa ique Alvarez 36

    31

    R

    -

    2412

    0

    31

    rz

    XYRr

    E pq

    Solucin

    dAxyzdzxyzdVR

    r

    E

    =

    - 24

    1

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  • CALCULO VECTORIAL

    ROSA IQUE ALVAREZ 7

    Solucin

    ( )( ) ( ) -

    =2

    0

    3

    1

    4

    1

    2

    cos

    p

    qqqr

    E

    drdrdzzsenrrdVzyx

    Rosa ique Alvarez 37

    -

    pq

    241

    20

    31

    rz

    r

    E

    Solucin

    ( )( )

    ( )( )

    125

    cos

    cos

    2

    0

    3

    1

    4

    1

    3

    2

    0

    3

    1

    4

    1

    2

    2

    =

    =

    =

    -

    -

    E

    r

    E

    r

    E

    dVzyx

    ddrzdzrsendVzyx

    ddrdzrzsenrrdVzyx

    p

    p

    qqq

    qqq

    Rosa ique Alvarez 38

    Rosa ique Alvarez 39

    125=

    E

    dVzyxSolucin EJEMPLO 5

    Evale la siguiente integral iterada

    Rosa ique Alvarez 40

    - +

    +

    1

    0

    1

    0

    2 22

    22

    y yx

    yx

    dydxdzzyx

    Solucin

    Rosa ique Alvarez 41

    - +

    +

    1

    0

    1

    0

    2 22

    22

    y yx

    yx

    dydxdzzyx

    ++

    -

    2222

    2

    1010

    :

    yxzyx

    Ry

    yxE

    XY

    = - +

    +

    1

    0

    1

    0

    2 22

    22

    y yx

    yx

    dydxdzzyx

    Rosa ique Alvarez 42

    ++

    -

    2222

    2

    1010

    :

    yxzyx

    yyx

    E

    22 yxz +=

    22 yxz +=PARABOLOIDE

    CONO

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  • CALCULO VECTORIAL

    ROSA IQUE ALVAREZ 8

    Solucin: usando coordenadas cilndricas

    Rosa ique Alvarez 43

    222 ,:eParaboloid rzyxz =+=

    rzyxz =+= ,:Cono 222

    El Paraboloide y Cono se interceptan cuando z = 0 z = 1

    Rosa ique Alvarez 44

    rzr

    r

    E2

    20

    10

    :p

    qz = r2

    z = rr = 1

    Solucin

    Rosa ique Alvarez 45

    ++

    -

    2222

    2

    1010

    :

    yxzyx

    yyx

    E

    rzr

    r

    E2

    20

    10

    :p

    q

    Descripcin de slido en coordenadas cartesianas

    Descripcin de slido en coordenadas cilndricas

    Solucin

    Rosa ique Alvarez 46

    ( )

    =

    - +

    +

    2/

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    2

    2 22

    22

    ))(cos(p

    qqqr

    r

    y yx

    yx

    rdrddzzrsenr

    dydxdzzyx

    rzr

    r

    E2

    20

    10

    :p

    q

    Solucin

    Rosa ique Alvarez 47

    ( )

    ( )

    =2/

    0

    1

    0

    3

    2/

    0

    1

    0

    2

    2

    ))((cos

    ))(cos(

    p

    p

    qqq

    qqq

    r

    r

    r

    r

    drdrdzzsen

    rdrddzzrsenr

    Solucin

    Rosa ique Alvarez 48

    9611

    0

    1

    0

    2 22

    22

    = - +

    +

    y yx

    yx

    dydxdzzyx

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  • CALCULO VECTORIAL

    ROSA IQUE ALVAREZ 9

    OBSERVACIONES 1

    La regin plana R se ubica en el plano XZ

    cosR en Plano

    ( , , )

    x ry y XZz r sen

    J r y r

    q

    q

    q

    = = =

    =

    Rosa ique Alvarez 49

    dV = r dr d dy

    OBSERVACIONES 2

    La regin plana R se ubica en el plano YZ

    cos R en Plano

    ( , , )

    x xy r YZz r sen

    J r x r

    qq

    q

    = = =

    =

    Rosa ique Alvarez50

    dV = r dr d dx

    EJEMPLO 6

    Evale

    donde E es el slido limitado por elparaboloide x = 1- y2 - z2 y el plano x = 0.

    Rosa ique Alvarez51

    dVzyE

    22

    Solucin: suma de cuadrados en YZ

    Rosa ique Alvarez 52

    rxrJ =),,( q

    YZPlanoelenRcos

    ==

    =

    qq

    senrzryxx

    ( )2222 11 zyzyx +-=--=

    dV = r dr d dx

    Solucin

    Coordenadas cilndricas para (x, y, z)

    Rosa ique Alvarez 53

    ===

    qq

    senrzryxx

    cos

    222 1,1:eParaboloid rxzyx -=--=

    ( )2222 11 zyzyx +-=--= Solucin

    Rosa ique Alvarez 54

    ( )( ) ( ) -

    =p

    qqq2

    0

    1

    0

    1

    0

    222222

    2

    cosr

    E

    ddrrdxsenrrdVzy

    -

    YZplanoelenR201010

    :

    2

    pqr

    rxE

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  • CALCULO VECTORIAL

    ROSA IQUE ALVAREZ 10

    Solucin

    Rosa ique Alvarez 55

    96

    cos

    22

    2

    0

    1

    0

    1

    0

    22422

    2

    p

    qqqp

    =

    =

    -

    dVzy

    ddrdxrsenrdVzy

    E

    r

    E

    COORDENADAS CILNDRICAS MODIFICADAS

    22

    2

    2

    2

    2

    :CIRCULAR EPARABOLOID

    ;;

    0;

    ELIPTICOEPARABOLOID

    vuz

    zzbyv

    axu

    baby

    axz

    +=

    ===

    +=

    Rosa ique Alvarez 56

    Rosa ique Alvarez 57

    zzrsenvru

    vuz

    ===

    +=

    qqcos

    :CIRCULAR EPARABOLOID 22

    zzvbyuax

    zzbyv

    axu

    ===

    ===

    ;;

    ;;

    Coordenadas cilndricas modificadas

    =q=q=

    zzsenrby

    rax cos

    rbazrJ

    rbsenbsenraa

    zrzyxzrJ

    =q

    qqq-q

    =q

    =q

    ),,(1000cos0cos

    det),,(),,(

    ),,(

    Rosa ique Alvarez 58

    0;

    ELIPTICOEPARABOLOID

    2

    2

    2

    2

    += baby

    axz

    EJEMPLO 7

    Calcular el volumen del slido acotado porlos paraboloides elpticos: z = x2 + 9 y2 yz =18 (x2 + 9 y2).

    =E

    dVV

    Rosa ique Alvarez 59

    Solucin

    Rosa ique Alvarez 60

    2

    31

    2221 ,9:

    +=+=

    yxzyxzS

    ( )

    +-=-

    +-=+-=

    2

    31

    2

    2

    31

    2222

    18

    18,918:

    yxz

    yxzyxzS

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  • CALCULO VECTORIAL

    ROSA IQUE ALVAREZ 11

    -4-2

    02

    4

    -40-20

    0

    2040

    0

    5

    10

    15

    20

    X

    z=18-(x2+9y2)

    Y

    z=x2+9y2

    Z

    Paraboloide8

    Solucin

    Haciendo uso de las coordenadas cilndricasmodificadas

    Rosa ique Alvarez 62

    ( )

    =

    =

    =

    =

    zz

    rzrJsenry

    rx

    31)1(),,(;

    31

    cos1

    qq

    q

    Solucin

    ( ) 2222

    2221

    18918:eParaboloidS

    9:eParaboloidS

    rzyxz

    rzyxz

    -=+-=

    =+=

    Rosa ique Alvarez 63

    La superficies S1 y S2 se interceptan cuando z = 9 (r=3).

    zzsenryrx === ,31,cos qq Solucin

    ( ) ( ) -

    ==

    p

    q2

    0

    3

    0

    18 2

    2 311

    r

    rE

    drdrdzdVV

    Rosa ique Alvarez 64

    -

    22 18

    2030

    rzr

    XYRr

    E pq

    -4-2

    02

    4

    -40

    -20

    0

    20

    400

    5

    10

    15

    20

    X

    z=18-(x2+9y2)

    Y

    z=x2+9y2

    Z

    Solucin

    p

    qp

    27

    312

    0

    3

    0

    18 2

    2

    =

    == -

    V

    ddrdzrdVVr

    rE

    Rosa ique Alvarez 65 Rosa ique Alvarez 66

    Solucin

    -4-2

    02

    4

    -40

    -20

    0

    20

    400

    5

    10

    15

    20

    X

    z=18-(x2+9y2)

    Y

    z=x2+9y2

    Z

    p27== E

    dVV

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