Integrales Triples

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    Integrantes :

    Garcia Melquiades Alec

    Gonzales Argomedo Renzo

    Prez Vizcarra, Pedro Mara Josu

    Castillo Pulido, Marln

    Vsquez Vsquez, Brenda

    Curso : Matemtica IIITema : Integrales ri!le

    Profesora : C"#ez Martnez $uc% &a%dee

    ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

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    Integrales Triples

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    's la a!licaci(n sucesi#a de tres !rocesos de integraci(n

    de)inida sim!le a una )unci(n de tres #aria*les ) +, %, z-.

    tomando en consideraci(n en )unci(n de que #aria*le se

    encuentran los lmites !ara sa*er cual di)erencial +d, d%,

    dz- se utilizar !rimero % cual des!us % cual al )inal/

    INTEGRAL TRIPLE:

    UTILIDAD DE LAS INTEGRALES TRIPLES:

    Generalmente se utilizan !ara el clculo de #ol0menes de

    cur#as es!aciales cerradas o de cuer!os es!aciales tales

    como es)eras, eli!soides, cu*os, tetraedros o

    com*inaciones de estas su!er)icies/

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    1ea ) una )unci(n continua de tres #aria*lesen una regi(n s(lida acotada B

    1u!ongamos !rimero que B es una ca2a rectangular

    +!aralele!!edo rectangular-

    RR13) 4

    ( ){ }qz!,d%c,*a5z,%,B =

    [ ] [ ] [ ]q,!d,c*,aB =

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    Primero di#idamos el rectnguloBen nsu*ca2as / Para esto di#idamos los treslados en n !artes iguales/'l inter#alo 6a,*7 quedar di#idido en n su*inter#alos, con una anc"o

    igual a

    6c,d7 quedar di#idido en n su*inter#alos con anc"o igual a

    % el inter#alo 6!,q7 en su*inter#alos con anc"o igual a

    [ ]i8i ,

    [ ]282 %,% %[ ]989 z,z z

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    Cada su*ca2a Bi29tiene un #olumen /

    1i )ormamos la suma tri!le de Riemann

    :e)inimos la integral tri!le como el limite de las sumas tri!les

    riemannianas, !ara cuando la norma de la !artici(n tiende a cero

    z%V =

    ( )

    ( ) i29i29i29i29

    n

    8i

    n

    82

    n

    89

    i29i29i29

    Benestz,%,muestra!untoeldonde

    Vz,%,) = = =

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    1ea ) una )unci(n continua de tres #aria*les, de)inida en una regi(ns(lida acotada B, si

    eiste, decimos que ) es integra!een B/ Adems la

    llamada la integra! tri"!ede ) en B, est dada entonces !or

    :e)inici(n3 # La integra! tri"!e$

    ( ) Vz,%,)limn

    8i

    n

    82

    n

    89

    i29i29i29;

    = = =

    dV-z,%,+)B

    ( ) ( ) Az,%,)limdVz,%,)n

    8i

    n

    82

    n

    89

    i29i29i29;

    B

    = = = =

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    1ean ) % g )unciones integra*les regi(n s(lida B, % sea c unaconstante/ 'ntonces ) < g % c) son integra*les %

    #Pro"ie%a%es %e !a integra! tri"!e$

    :onde B es la uni(n de dos regiones s(lidas B8% B= sinsola!amiento/

    [ ] +=+B BB

    dV-z,%,+gdV-z,%,+)-z,%,+g-z,%,+)

    = BB dV-z,%,+)cdV-z,%,+c)

    +=B BB =8

    dV-z,%,+)dV-z,%,+)dV-z,%,+)

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    #C&!'u!o %e integra!es tri"!es $

    Teorema %e Fuini "ara !as integra!es tri"!es$>1i ) es continua en una ca2a rectangular

    entonces, si eiste cualquier integral iterada es igual a la integraltri!le?

    Al igual que con las integrales do*les, el mtodo !rctico !ara

    e#aluar las integrales tri!les es e!resarla como integrales iteradas

    As sucesi#amente +en total "a% seis ordenaciones-

    [ ] [ ] [ ]q,!d,c*,aB =

    ==

    ==

    *

    a

    q

    !

    d

    c

    q

    !

    *

    a

    d

    c

    q

    !

    d

    c

    *

    aBB

    d%dzd-z,%,+)

    d%ddz-z,%,+)

    dd%dz-z,%,+)dd%dz-z,%,+)dV-z,%,+)

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    E(em"!os:

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    E(em"!os:

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    E(em"!os:

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    E(em"!os:

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    1ea 1 un con2unto cerrado % acotado en el es!acio

    tridimensional/ 1ea B cualquier ca2a que contiene a 1

    :ada ) de)inida % continua en 1, de)inimos una nue#a )unci(n @

    con dominio B mediante

    Defini'i)n:#La integra! sore regiones e!ementa!es$

    =

    B%-+,%1z-%,+,si;

    1enest-z,%,+si-z,%,+)-%,+@

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    Defini'i)n:#La integra! sore regiones e!ementa!es$

    1i la integral tri!le de @ eiste so*re 1, entonces de)inimos laintegral tri!le de ) so*re 1 como

    ota3 'sta integral eiste si ) es continua % la )rontera de 1 es

    razona*lemente sua#e/

    =B1

    dV-z,%,+@dV-z,%,+)

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    Regiones3#Ti"o * o +,sim"!es$1e dice que una regi(n s(lida B es de ti!o 8 si se "alla entre las

    gr)icas de dos )unciones continuas de e % , es decir

    donde :%es la !ro%ecci(n de 1 en el !lano / $a )ronterasu!erior del s(lido es la su!er)icie de

    ecuaci(n en tanto que

    la )rontera in)erior es la su!/ de

    ecuaci(n

    #La integra! tri"!e sore regiones e!ementa!es:Regiones ti"o *

    1

    ( ) ( ){ }-%,+z-%,+,:%,5z,%,1 =8% =

    -%,+z ==

    -%,+z 8=

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    'ntonces si 1 es una regi(n ti"o *

    Adems, si la !ro%ec/D-.de 1 so*re el !lano es una regi(n ti"o*

    la ecuaci(n anterior se con#ierte en

    %Dg=+-%Dg8+-

    1

    =

    %

    =

    8:

    -%,+

    -%,+1

    dAdz-z,%,+)dV-z,%,+)

    ( ){ }-%,+z-%,+-,+g%-+g,*a5z,%,1 =8=8 =

    =

    *

    a

    -+g

    -+g

    -%,+

    -%,+

    1

    =

    8

    =

    8

    d%ddz-z,%,+)dV-z,%,+)

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    '2ercicioE'#al0e la integral tri!le

    donde 1 es el tetraedro

    s(lido acotado !or los cuatro !lanos

    D; , %D; , zD; %

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    Fna regi(n s(lida 1 es de ti"o / si es de la )orma

    :onde :%z es el !ro%ecci(n so*re el !lano /

    $a su!er)icie de atrs es , la su!er)icie de en)rentees as que tenemos

    Regiones ti"o /

    -z,%+ 8=

    ( ) ( ){ }-z,%+-z,%+,:%,5z,%,1 =8%z =

    -z,%+ ==

    =

    %z

    =

    8:

    -z,%+

    -z,%+1

    dAd-z,%,+)dV-z,%,+)

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    Fna regi(n s(lida 1 es de ti"o 0 si es de la )orma

    :onde :z es el !ro%ecci(n so*re el !lano /

    $a su!er)icie de la izq/ es , la su!er)icie de laderec"a es as que tenemos

    Regiones ti"o 0

    -z,+% 8=

    ( ) ( ){ }-z,+%-z,+,:%,5z,%,1 =8z =

    -z,+% ==

    =

    z

    =

    8:

    -z,+

    -z,+1

    dAd%-z,%,+)dV-z,%,+)

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    E(er'i'ios

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    E(er'i'ios

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    E(er'i'ios

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    E(er'i'ios

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    E(er'i'ios

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    E(er'i'ios

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    CONSIDERACIONES I1PORTANTES

    A!licacionesde la integral tri!le

    Fna )orma alternati#a del eorema de Green es la siguiente3

    Anlogamente, el eorema de la di#ergencia, llamado tam*in

    de Gauss relaciona una integral tri!le so*re una regi(n s(lida

    H con una integral de su!er)icie so*re la su!er)icie de H/ Para

    !oder a!licar este eorema es necesario que la su!er)icie

    1 sea cerrada % que corres!onda adems, al *orde com!leto

    del s(lido H/

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    eorema de la di#ergencia

    'n clculo #ectorial, el teorema %e !a %i2ergen'ia, tam*in llamado teorema %eGauss, teorema %e Gauss Ostrogra%s3., teorema %e GreenOstrogra%s3.o teorema %e Gauss Green Ostrogra%s3., relaciona el )lu2o deun cam!o #ectorial a tra#s de una su!er)icie cerrada con la integral de

    su di#ergencia en el #olumen delimitado !or dic"a su!er)icie/ Intuiti#amente se

    !uede conce*ir como la suma de todas las )uentes menos la suma de todos los

    sumideros da el )lu2o de salida neto de una regi(n/ 's un resultado im!ortanteen )sica, so*re todo en electrosttica % en dinmica de )luidos/ :esde el !unto de

    #ista matemtico es un caso !articular del teorema de 1to9es/

    &istoria

    'l teorema )ue descu*ierto originariamente !or Jose!" $ouis $agrange en 8=,e inde!endientemente !or Carl @riedric" Gauss en 8K84, !or George Green en

    8K=L % en 8K48 !or Mi9"ail Vasilie#ic" strograds9%, que tam*in dio la

    !rimera demostraci(n del teorema/ Posteriormente, #ariaciones del teorema de

    di#ergencia se conocen como teorema de Gauss, el teorema de Green, % eorema

    de strograds9%/

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    'nunciado

    'ste resultado es una consecuencia natural del eorema de 1to9es, el cual

    generaliza el eorema )undamental del clculo/ 'l teorema )ue enunciado !or el

    matemtico al