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COORDENADAS POLARES ALGEBRA VECTORIAL BERRIEL MARTINEZ VALERIA ALEJANDRA DE JESUS CAMACHO JOSE ERNESTO DIAZ OROPEZA VANIA AIMEÉ HERNANDEZ OLVERA STHEPHANIE BETSABEL MERINO AGUILAR HECTOR BARUC MORALES ROSAS DIEGO URIEL TISCAREÑO SAUCEDO GERSON R. GRUPO. 2FM1 PROFESOR: ROSAS MENDOZA JORGE LUIS

Coordenadas polares e integrales triples

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Page 1: Coordenadas polares e integrales triples

COORDENADAS POLARES

ALGEBRA VECTORIAL

BERRIEL MARTINEZ VALERIA ALEJANDRA

DE JESUS CAMACHO JOSE ERNESTO

DIAZ OROPEZA VANIA AIMEÉ

HERNANDEZ OLVERA STHEPHANIE BETSABEL

MERINO AGUILAR HECTOR BARUC

MORALES ROSAS DIEGO URIEL

TISCAREÑO SAUCEDO GERSON R.

GRUPO. 2FM1

PROFESOR: ROSAS MENDOZA JORGE

LUIS

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EL SISTEMA POLARO El plano cartesiano es un sistema rectangular, debido a que las

coordenadas de un punto geométricamente describen un rectángulo. Si

hacemos que este punto represente un vector de magnitud r que parte

desde el origen y que tiene ángulo de giro θ, se tendrá otra forma de definir

un punto.

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O Seria suficiente, para denotar al punto de esta manera,

mencionar el valor de r y el valor de θ. Esto se lo va a

hacer indicando el par ordenado (r, θ. En este caso se

dice que son las coordenadas polares de este punto.

O Se deducen las siguientes ecuaciones:

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O Un plano con estas características se le llama sistema polar o plano

polar. Consiste de circunferencias concéntricas al origen y rectas

concurrentes al origen con diferentes ángulos de inclinación.

O Al eje horizontal se le llama eje polar, al eje vertical se le llama π/2.

O El punto de intersección de estos dos ejes se le llama polo.

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Ejemplo 1 : Trazar la grafica de la ecuación polar r=4sen𝜃

O Solución : La sig. Tabla muestra algunas soluciones de la ecuación.

El tercer renglón da aproximaciones de r con una precisión de una

cifra decimal

O En coordenadas rectangulares, la grafica de la ec. Consta de una

onda senoidal de amplitud 4 y periodo 2𝜋. Sin embargo, si se usan

coordenadas polares, entonces los puntos correspondientes a los

pares en la tabla parecen estar en una circunferencia de radio 2 y se

traza la grafica de acuerdo con esto :

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Grafica de la ecuación r=4sen𝜃

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O Los puntos que e obtienen cuando 𝜃 varia de

𝜋 𝑎 2𝜋 están en la misma circunferencia.

O Por ejemplo, la solución de

O Da el mismo punto que

El punto correspondiente a

Es el mismo que se obtiene para

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OSi 𝜃 recorre todos los números reales,

obtenemos los mismos puntos una y

otra vez debido a la periodicidad del la

función

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Encontrar una ecuación en x, y, z, que tenga la misma grafica que la ecuación polar r=4sen𝜃

En el ejemplo anterior se considero la ecuación r=4sen𝜃 .

Multiplicando ambos lados por r llegamos a

Aplicando el teorema, obtenemos

Que es equivalente a

Entonces la grafica es una circunferencia de radio 2 en el

punto (0,2) del plano x, y

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INTEGRALES TRIPLES:

O UN POCO DE TEORIA.

O APLICACIÓN.

O UN PROBLEMA.

O UN PROBLEMA DE APLICACIÓN.

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INTEGRALES TRIPLES

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DEFINICION

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Aplicación:

O Generalmente se utilizan para el cálculo de

volúmenes de curvas espaciales cerradas o

de cuerpos espaciales tales como esferas,

elipsoides, cubos, tetraedros o

combinaciones de estas superficies.

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O Cálculo de la integral triple:

O en coordenadas rectangulares , etc. tomando los

límites de integración de forma que cubran la

región R.

O en coordenadas cilíndricas tomando los limites de

integración de forma que cubran la región R.

O en coordenadas esféricas tomando los limites de

integración de forma que cubran la región R.

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EJEMPLO

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Aplicaciones de las integrales triples.

O La principal aplicación de las integrales triples es en

la determinación de volúmenes.

Correspondientemente, si se conoce la función de la

densidad de un cuerpo en función de las

coordenadas, es posible hallar la masa de una

porción del cuerpo acotada por determinadas

funciones. Esto permite a su vez el cálculo de

momentos de inercia, etc.

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BIBLIOGRAFIA

• Análisis matemático, Norman B. Haaser-

Joseph P. LaSalle, ed. Trillas

• Algebra Y Trigonometria Con Geometria

Analitica 9na Edicion Swokowski Cole