Integrales triples

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  • INTEGRALESTRIPLES Ing. Gabriela Marijan

  • Sea f una funcin continua de tres variables en una regin slida acotada B Supongamos primero que B es una caja rectangular (paraleleppedo rectangular)

    Matemtica III - S.R.T.-

  • Primero dividamos el rectngulo B en n subcajas . Para esto dividamos los tres lados en n partes iguales. El intervalo [a,b] quedar dividido en n subintervalos, con una ancho igual a [c,d] quedar dividido en n subintervalos con ancho igual a y el intervalo [p,q] en subintervalos con ancho igual a Matemtica III - S.R.T.-

  • Cada subcaja Bijk tiene un volumen .Si formamos la suma triple de Riemann Definimos la integral triple como el limite de las sumas triples riemannianas, para cuando la norma de la particin tiende a cero

  • Sea f una funcin continua de tres variables, definida en una regin slida acotada B, si

    existe, decimos que f es integrable en B. Adems la

    llamada la integral triple de f en B, est dada entonces por Definicin: La integral tripleMatemtica III - S.R.T.-

  • No toda funcin de tres variables es integrable en una regin slida B.

    Si f est acotada en la regin slida B y si es continua ah, excepto en un nmero finito de superficies suaves ( es decir sus discontinuidades estn confinadas en grficas de funciones continuas como x=(y,z), y=(x,z), z=(x,y) ) entonces f es integrable en B. En particular si f es continua en todo B, entonces f es integrable ah IntegrabilidadMatemtica III - S.R.T.-

  • Sean f y g funciones integrables regin slida B, y sea c una constante. Entonces f + g y cf son integrables y Propiedades de la integral tripleDonde B es la unin de dos regiones slidas B1 y B2 sin solapamiento.Matemtica III - S.R.T.-

  • Clculo de integrales triples Teorema de Fubini para las integrales triplesSi f es continua en una caja rectangular

    entonces, si existe cualquier integral iterada es igual a la integral tripleAl igual que con las integrales dobles, el mtodo prctico para evaluar las integrales triples es expresarla como integrales iteradasAs sucesivamente (en total hay seis ordenaciones)Matemtica III - S.R.T.-

  • 1-Evale la integral triple donde B es la caja rectangular dada por

    2-Integrar sobre la caja

    EjerciciosMatemtica III - S.R.T.-

  • Sea S un conjunto cerrado y acotado en el espacio tridimensional. Sea B cualquier caja que contiene a S

    Dada f definida y continua en S, definimos una nueva funcin F con dominio B mediante

    Definicin:La integral sobre regiones elementalesMatemtica III - S.R.T.-

  • Definicin:La integral sobre regiones elementalesSi la integral triple de F existe sobre S, entonces definimos la integral triple de f sobre S como

    Nota: Esta integral existe si f es continua y la frontera de S es razonablemente suave.

    Matemtica III - S.R.T.-

  • Regiones:Tipo 1 o z-simplesSe dice que una regin slida B es de tipo 1 si se halla entre las grficas de dos funciones continuas de x e y , es decir

    donde Dxy es la proyeccin de S en el plano XY. La frontera superior del slido es la superficie deecuacin en tanto quela frontera inferior es la sup. de ecuacin

    La integral triple sobre regiones elementales: Regiones tipo 1SMatemtica III - S.R.T.-

  • Entonces si S es una regin tipo 1

    Adems, si la proyec. Dxy de S sobre el plano XY es una regin tipo1

    la ecuacin anterior se convierte en

    y=g2(x)y=g1(x)SMatemtica III - S.R.T.-

  • Ejercicio-Evale la integral triple donde S es el tetraedro slido acotado por los cuatro planos x=0 , y=0 , z=0 y x+y+z = 1 Si la proyec. Dxy de S sobre el plano XY es una regin tipo2

    la ecuacin anterior se convierte en

    SMatemtica III - S.R.T.-

  • Una regin slida S es de tipo 2 si es de la forma

    Donde Dyz es el proyeccin sobre el plano YZ.La superficie de atrs es , la superficie de enfrente es as que tenemosRegiones tipo 2Matemtica III - S.R.T.-

  • Una regin slida S es de tipo 3 si es de la forma

    Donde Dxz es el proyeccin sobre el plano YZ.La superficie de la izq. es , la superficie de la derecha es as que tenemosRegiones tipo 3Matemtica III - S.R.T.-

  • 1-Evale la integral Trazar la regin de integracin S e interpretar.

    2-Calcular

    3- Calcular EjerciciosMatemtica III - S.R.T.-

  • 1- La regin del primer octante acotado superiormente por el cilindro y comprendida entre los planos verticales x+y=1 e x+y=3.

    2- El hemisferio superior dado por

    3- La regin limitada inferiormente por el paraboloidey superiormente por la esfera Determinacin de los lmites de integracinMatemtica III - S.R.T.-

  • Para una regin slida simple S se define su volumen como Aplicacin geomtrica: Volumen Ejercicios1-Calcular el volumen de

    2- Calcular el volumen del slido

    NOTA: Matemtica III - S.R.T.-

  • En el sistema de coordenadas cilndricas, un punto P en el espacio tridimensional se representa mediante una tripleta ordenadadonde r y son las coordenadas polares de la proyeccin de P sobre el plano XY, y z es la distancia desde el plano XY a P.

    Las ecuaciones para pasar de coordenadas cilndricas a rectangulares son:

    Como resultado la funcin f (x,y,z) se trans-forma en :Coordenadas cilndricas:Revisin Matemtica III - S.R.T.-

  • Para expresar en coordenadas cilndricas una integral triple, supongamos que S es una regin slida y f es continua en S.Dividamos S por medio de una cuadrcula cilndrica, donde el elemento de volumen tpico tiene la forma de una cua cilndrica cuyo volumen es

    Y la suma que aproxima la integral tiene la formaentonces, al tomar el lmite cuando l:Integrales triples en coordenadas cilndricas

  • Sea f una funcin continua de tres variables, definida en una regin slida acotada S

    cuya proyeccin DXY en el plano XY puede describirse en coordenadas polares, es decir DXY es una regin plana r-simple o -simple, entonces

    donde la integral doble se calcula en polares.. Si DXY es r-simple

    la integral triple en coordenadas cilndricas es

    NOTA:Esto es uno de los seis posibles ordenes de integracin.Definicin: La integral triple en coordenadas cilndricas

  • Para visualizar un orden particular de integracin conviene interpretar la integral triple como una secuencia de tres movimientos de barrido, cada uno de los cuales aade una dimensin al slido.Por ejemplo, si el orden de integracin es dr d dz

    *La primera integracin tiene lugar en la direccin de r, como si un punto barriera un segmento radial conforme r crece

    *Seguidamente, al crecer , el segmento recto Barre un sector

    *Finalmente al crecer z, ese sector barre una cua slida

  • 1-Evale la integral en coordenadas cilndricas. Trazar la regin de integracin S e interpretar.

    2-Calcular en coordenadas cilndrcas el volumen de una esfera de radio a

    3 Aplicando coordenadas cilndricas calcular el volmen de la regin EjerciciosMatemtica III - S.R.T.-

  • En el sistema de coordenadas esfricas, un punto P en el espacio tridimensional se representa mediante una tripleta ordenadadonde , es el mismo ngulo que en las coordenadas cilndricas y es el ngulo entre el eje positivo Z y el segmento de recta OP. Observe que,

    Las ecuaciones para pasar de coordenadas esfricas a rectangulares son:

    Como resultado la funcin f (x,y,z) se trans-forma en :Coordenadas esfricas:Revisin

  • Para expresar en coordenadas esfricas una integral triple, supongamos que S es una regin slida y f es continua en S.Dividamos S por medio de una cuadrcula esfrica,mediante las esferas los semiplanos y los semiconos El elemento de volmen tpico tiene la forma de una cua esfrica con dimensiones , (el arco de un crculo con radio y un ngulo ) y (el arco de un crculo de radio y un ngulo ). De modo que su volmen ser.

    Y la suma que aproxima la integral ser Integrales triples en coordenadas esfricas

  • Entonces, al tomar el lmite cuando la norma de la particin tiende a cero, obtenemos la frmula para la integracin triple en coord. esfricas

    Donde S es una cua esfrica dada por

    NOTA: La frmula anterior dice que convertimos una integral triple, de coordenadas rectangulares a coordenadas esfricas, al escribir

    Utilizando los lmites de integracin adecuados y sustituyendo Integrales triples en coordenadas esfricas

  • Al igual que en coordenadas cilndricas la integrales triples en coordenadas esfricas se calculan mediante integrales iteradas.Se puede visualizar un orden particular de integracin, interpretando la integral triple como una secuencia de tres movimientos de barrido, cada uno de los cuales aade una dimensin al slido.Por ejemplo, para la integral iterada

  • 1-Calcular la integral iterada

    2- Evaledonde B es la bola unitaria

    3- Use las coordenadas esfricas para determinar el volumen del slido que est encima del cono y debajo de la esfera EjerciciosMatemtica III - S.R.T.-

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