Embed Size (px)
Citation preview
dr Lamija TANOVIC - dr Nenad TANOVIC
FIZIKA MEHANIKA - OSCILACIJE - TALASI
III izdanje
"SVJETLOST" Zavod za udzbenike i nastavna sredstva,
Sarajevo, 1990.
Odgovom; urcdni~
dT NADA ABASBEOOV\('
RCCCfl1.Cn/i
dr STJEPAN MARK:' fnf~' , dr JOSIl' HRANA "r "";>!, MasinsKog fak\lltet~ Ii 5.1mj('VII
, pw,esor 1 tlrodwl-malen1Mirkog flli.uheta u Saf:J.jevll
Lektor
UIUANA CJKOTA
O1ei~, urarh'()
MtTHAMED KAPFTAN(!Vll:'
Naslovoa stnm<l
IvreA (AVAR
Tchnitki lIrcJ"ik
MILORi\D BABlt"
KOTekl",
BRANISLA\'A VARr(/l,I(
l>:dajt; SF ~SVH:TLOST',. hd',,-aik'_ '!L,,' ,'c_ ':",<",<",_ (hreklnr: S-A,VOZ.lRO.lFV1{ - "1',-, , " "
Zilvor] "a ll(lzh('nik(~ i n"sWV"a ,,;:;,!-;tv.]
2',1\ iz(bvaca ABDtiSELAM ROSTEj\,jp AS1<~
Tinoz J non primjenb
Za 't~mpa,--jjll ASII,-! POLIMAC
SADR2Aj
PREDGOVOR ..
UVOD Klasicne grane fizike., _ ............. , ........ "., .... _ ... _ hioderne grane fizike Veza fizike sa drugim naukama lnternacionalni sistem jedinica ............ .
1. KINEMA lTKA 1.1. Mehanicko kretanje, Definidja kinematickih veliCina .. 1.2. Brzina .......... .. __ ..... _. 1.3. Uhrzanje ..............•....... _ .... . 104. Pra\tolinijsko kretanje , ........................ . 1.5. Krivolinijsko kretimje . . , .. _ . _ . _ .... ' . 1.6. Princip relativnosti. Galiiejeve transformacije ... . 1. 7. Racunski primjeti ' ........ '. ' ..... < ••••••••••••• '
2. DINAMIKA MATERIJALNE TACKE 2.1. lJvod,j ... > •••••• __ •• _ •••• _.. • ••••••••••••••••••••
2.2. Njutnovi zakoni mehanike ............. _ ........ _ 2.3. Zakon odrianja koliCine kretanja ...... ", ........ . 204. Primjeri razlicitih sila koje se izucavaju u mehanid
2.4.1. Sila gravitacije i tezina •.............. _ ... . 2.4.2. Elasticne »iIe.. '.' _. _, ..........• , .. _ ... _ ..... 2.4.3. Sila trenja .. ' ...... ' .... , .......... _ . 2.4.4_ SHe kad krivolinijskog kretanja " ......... . 2.4.5. Inercijalne sile .... _ ... , ..................... .
2.5. Rad, snaga i energija _ ....... , ........ _ , , . _ , .............. . 2.5.1. Mehanicki rad .........•.......... , ..... _ ............ . 2.5.2. Snaga, .. , ....... .' .......... _ .. _ .......... _ ............ , 2.5.3. Jedinice za rad i snagu . _ ..••....... 2.5.4. Energija.... . .... "' ..... _,...... . ......... _ ......... _ 2.5.5. Veza izmedu kinetiCke i potencijalne energije. Zakon 0 odrianjJ1 energije 2.5,6. Sudar dva tijela .... ' ... ,.
2.6. Racunski primjt;ri ...•..........................
3. DINAMIKA KR1JTOG TlJEU 3.1. Uvod ... , .. , .. , .........•.................•.................... 3.2. Centar mase sistema materijalnih tacaka, Kretanje centra mase '" _ .... 3.3. Momen. sile .. _ •..... _ ...•......... _ •..... , .......•...•... _. _ ...•. 3.4. M'oment inercije ....•..........•...........•. _ .. _ ............ - ... . 3.5. Teorema 0 paralelnim osama. Stajnerova teorefia ...... _ ................ ' ... . 3.60 Moment kaliCine kretanja ............................... , ......... _ ... _ .. 3.7. Rad, snaga i energija kod rotacije ..... _." _ ..... _, ............. _ ...... . 3.8. Racunski primjeri ..• , ..•..•..........•..... , ..................... _ .... .
4. GRAVlT ACljA 4.1. Uvad ....... _ ...•..•.................... _.' ..... ' .. _ ............•.. _ ... . 4.2. Zakon gravitacije •..••..... , ...•..•..... _ ..•.......•...................
Strana 5
7 7 7 8 9
13 14 15 17 20 26 28
46 46 49 5 1 51 5' 52 54 54
56 5.6. 58 58 59 61 64 66
81 82 84 86 88 89 90 92
103 104
3
Strana
4.3. Inercijalna i gravitaciona lRasa ................................... 0..... 106 404. Gruvirudona potencijalna energija .•........•....•........•...••.. "..... 107 4.5. Ener-gija kod orbitalnog kretauja ..................................... ".. 108 4.6. Gravilacionopolje ................ , ......... , ........................... 111 4.7. Racunski prinljeri .......•............ , ................ >................ 112
5. OSCILATORNO K.RETANJE 5.1, Uvod ...... ,................. , ................................... . 5,2. Eiastiena svojstva tijda. Hukov .. .akon ., , ........ , ....•....... , .. . 5.3. lV10dei 111elmnickog oscitawra.............. . ........ , ........ . 5.4. Hiollmonijsk" oscilaciit ....... < • • • • • • • • ••••••••••••••• , ••
5.5. Energija hannonij"kw; oscitatora ... ,.' ...•. , ......•.. . 5,6. Aial(~rnati(:k.() klutno. . . .. " . . . . . . . . .•....•.. 5.7. .Fizicko klamu ...•......... > .. • • • .t . ... . 5.8. lunnonij{;kih oscilacija .............. . 5.9. oscilacije. . , ................ . 5.10_ oH:iiacijc 5.1 L Ka[l1ll~ki p,itujeri
6. L FruniroJ.njc wi<;.sa \1 elasllcl1uj sredini 6.L B[zinn hmgittHlinaloog talasa U ","vrslOj siplei 6.3. BI.o[na trum;\,crzalnog tulut;a u zut.egnutoj tici . GA. l';ttu,,;U i"·[;WCHlli 6.S Enelgij'J. l,j(:ll.aLl~:kog talasa 6.6. SUP'.!l:PO;cl(;(ja -u\l:.\~a. Intcrferendja 6.7. Rdkksija tala,;\> 6.8. Stojc(-; la1a5i . 6.9, Grupn,,t i fazna br.lina ... [dO. Dopkrv' efeklH {,;, I I .. . R((Cun;;ki primjeri
70 ELEtvlENTI lU"\LATI\"ISTICKE MEHA1"'l:fKE 7. L Bi<:in:t ~;v'jellusli i zakon sabiranja brzina 7.2. Osm,'d'J.i postuhni :;p<o:cijalnc teorije re1ativnosti 7.3. Kdali~'i;;tlC:kl zakon ;,abiranja brzina .. "] A. LorCW:.'LlVC u:mst"ormacije .•.••... 7.5. f'oslitdt{:c Lorencovih transformacija 7.6. Ekmcm,; rclativisticke dinamike 7.7. VCZ~{ I1Jlkdu rdati\'isti~ke i klasicne mehanike .... 7.g. Ra{;unskj pr:m.jeri
8. HIDROMEl-J.,\.NIKA 8.1. Uvod,
4
S ,2. Hidro:mnika .. 8_2.1.. Spccificni .priti~ak. 82.2. f.'rili::;ak li rnirnoj teCnosti. ;;:.2,1 Hjdm~;t,.\lii::ki poti~;ak (Arhimedu\' z<lkon). 8,2.'1. t.'ljkc'()v( jdnaCine za mimi flui.d
.'Lt Hicl.roJinamika .. < ••••••• ,.,
$.3.1. Uvod .. 8.3,2, Jt::jna2in;.' k.ontinuiteta 8.3.3. UernuEJcva jednacina 83."1. Primjcna Bernulijeve jetinaCine ,. 8.3.5. Viskozt\ust X.3.6. I,amlnarth) i turbulcntno krclanjc [juiJa, Otpor sreJine. Stoksov zako{l
8.4. Racun' ki primjeri
115 1J5 1I6 117 119 120 121 If) 129 131 l3.5
157 159 160. 162 164 165 167 162 170 171 173
176 178 178 180 182 184 187 188
191 192 1.92 194 196 197 199 199 200 201 204 210 212
216
PREDGOVOR
Ovaj udzbenik napisan je, prethodno, kao skripta iz OpSce jizikc £ to tako do, prati program predmeta FIZIKA 1 koit' se slusa na ElektroleJmii.-~kom fakulrcltl U Sarajevu u prvom semestru. FIZIKA 1 kao predmct zajednickih o.snova na ETF-u:, a u saglasrwsti sa karakterom procesa kofe is,crazuje, ima dpoSlruk,: eiij .. j)tVO, dao
objasni stlslillu prirodnih pojava i ni£hove zakone i drugo, da naucno za.mltJe i ooiasni mogucl1osri da se u praksi iskorisce prouceni prirodni zako11i.
Da bi Sf oSl/IJarili pomenuti ciljevi~ u okviru programa .F 1.2'1 KE J predajE se <]
strukcuri malerije, 0 objektivnom karakuru prirodnih zakona i fomwtn,l. hreranja time se potvrduju osnovne poslavke materijalisrieke dijaleklike, razraJt~iu mcduwbni odnosi oblika kretcmja mate'rije sa slanovisca savremenog shvatanja 0 jcdinsc'l-'fHosr,' zakona 0 odrzanju maLCrije i energije. Pr£ izucavaniu osno'lmih f/zihalnih koriste Se i f£zikalno tumace neke ad osnovnih postavki dtfercnclJalnog £ in[cgi'J.lno!.? raeuna, razraduiu pojmov£ interakdje tijela koji su himi' za razunuj"C'iJalIj,! jWhi,wlcr;·" talnih :zakona iz elektrotehnt'ke (pojam elekcricnog i magnernog .polja) !wo i principi konverzije energijc koji se detaljno t"zucavaju na spccijalistickim dlj'el<r.;ima swdija na ETF-u,
Dakle, osnovna namjera ovog kursa oPSte Jizike jeste da studentima elektrocehnik.: ih' tehnike uapste, razJasni osnovne principe koji su sadrzani u fizici, njiliovf posljcdice i ogranicenja. Takode cemo, u izlozenoj materiji, nastojau' da se shvati, objasni i dokaze da je, na primjer, isti f£zikalni uzrok prisutan kod nastanka munjc i kod ))slvaranja') slike na ekranu televizora, £/i, pak) da je "sda" koja drlii Zemlju U orbiri oko Sunca odgovorna i za to da se kamen, baeen uvis, vraca na do.
Ne pretendujuCi da kazemo bilo Sta novo iz oblasti opste Jizikc, S obzirom da se neIlO novo U OVO) oblasti, kaja je najveiim dijelom stara nekoliko seorina godina) i ne moze reCi} pokusalz' smo da to t'skazemo na neSto malo drugaC£ji 11.aC£n, da poglcwlja iz opsce j£zike 'treriramo koncizniJe £ da ih obogatt'mo nekolicinom dcwljno uraJmih raczmskih primjera kako bt: studenti efikasnije savladal£ prograinom studiJa pn:dvidena gradivo.
Radeii ovaj udibem'k, korislil£ smo Czlav niz udzbenika iz opste fiz£7u) a t(l,tJll1 shi pr£mjeri predstavljaju najveeim dijelom zadatke koje su studenti ElchrY(ucJmi{/.;'iJg fakulceta u Sarajevu radt'li na pismenim ispitima iz FIZIKE 1 u posljednjih 5 goaina.
Auton'
5
UVOD
Rijec jizika je nastala od grckog izraza fysis koji znaci priroda, pa bi, dosljedno tome, fizika trebala da bude nauka koja istrazuie sve prirodne fenomene. Sve do 19. stoljeca fizika je prihvatana U ovom sifokom smislu i nazivana "prirodna fiiozofija", Medutim, od 19, stoljeca, fizika se koncentrisala na izuCavanje ogranicenog hroja fenomena definisanih kao proCl~.<;i II kojima se priroda supstanci, koje ucestvuju u njima, ne niijenja, Vremenom je i ova definicija fizike napustena i prihvacen je sid j fundamentalniji koncept, u skladu s kojim kazemo da je fizika l1auka koja istrazuje komponente marcrije i njihove interakcije.
Preciznije, predmet fizike jeste tumacenje fenomena, proccsa i dogadaja od svijeta najsitnijih dijcIova matedie do svijeta kosmickih dimenzija, ali tako da se to tumacenie zasniw na reiarivno malom broju osnovnih principa koji obuhvataju mnostvo fen omena, iskazujuCi sve to matematickim jezikom.
Klasicne grane fizike
Radoznaiost U odnosu na prirodu koja ga okruzuje je hila prvi poticaj Covjeku da pacne da shvata svijet oko sebe, da istrazuje uzroke pojava, da uOCava zakonitosti, da prilagodava okofinu sebi i sebe sviletu koji ga okruzuje.
Dugo su jedini izvor informacija 0 tom svijctu bila jedino covjekova cula. Zbog toga su i fenomeni, koje su ljudi istrazivali r bili klasifikovani prem,a tUinoj registraciji pojava.
Rako je direktnom opazanju kretanje najcdCi i najlakse liocljiv fenomen, najprije se razviIa mehanika kao nauka 0 kretanju. Ostale nauke, opredijeljene drugim cuIima (akustika -sluhom, optika -- vidom, kalorika j- termodinamika-opipom)) razvijale su sc kao samostalne nauke. Elektromagnetizam, koji se direktno nije mogao podvesti nj pod jedno culno opaz.anje, nije se ni pojavio kao organizovana grana nauke sve do 19. stoljeea.
Medutim. krajem 19. i pocetkom 20. stoljeca, u fizici se desava velika "revolucija" koja je modifikovala i nacin giedanja i metode kojima su se istraiivali fizikalni fenomeni. Niz istih fenomena, koji su uoceni i u klasicnim granama fizike, u elektromagnetizmu i u novim granama fizike, stvorili s1.1 i novi tip razmisljan;a koji tretira fizikaine zakonitosti i pojavc na unificiran nacin.
A10derne grane fizike
Fizika je u 20, vijek usia sa mnogo novosti: Majkeisonovi (Michaelson) eksperimenti su doveli do speczj'alne tcor£je relativrwsci, Ajnstajn (Einstein) stvara OPSlU relativnosf kao novu sliku graviracije, a Plank (Planck) postavlja
7
temelje kvantne mehanike, Ajnstajnova specijaina i opsta relativnost su vee na svom pocetku skoro potpuno zaokrufene1 i dal;ni rad u ovoj oblasti vdi se, uglavnom, na njihovoj eksperimentalno; potvrdi. Kvantna mehanika se razvija tokom prvih tridesetak godina ovog stoljeca i poprima potpuno zaokruzenu sliku na nerelativistickom nivou. Medutim, logicki potpuno ob!ikovana relativisticka teorija mikroskopskih fenomena nije ni do danas napravljena, pa su to osnovni spoznajni prostori fizike danas. Ove tri osnovne grane, razvijene tokom o\'og stoljeea, testo se naziYaju modema jizika. Dakle, moderna fizika izucava osnovne fenomene u mikrosyijetu, te pro-storno-vremensku i strukturnu \'em sa gravitacionirn i drugim medudjelovanjima.
Unificirana prezentacija fizike zahtijey;), preispitivanje fizike Sa stanoviSta novih saznanja m?derne fizike, a podjela fizike na klasicnu i modernu, U osnovi, nerna opravdan)a. Uvijek ce bid moderne fizike u smislu savremene fizike ko;a se razvija i ona ce u s\'akom momentu zahtijcyati reviziju ranijih ideja i principa.
SlijedeCi klasicnu podje1u fizike U O\'Orn udzbeniku) koliko je to n~ophodno radi pedagoskog pristupa, mi cerno i ovdjc tretirati fiziku kao ejelinu i r~lzmJ.tmti je na logiC-an i konzistentan nacin nagiasavajuci zakone odrZanja, kono..:ept polja, talasa, interakcije i atomsku strukturu matcrije.
Veza Jizike sa drugim naukama
Zidmo u vremenu ubrzanog tehnoloskog raz\·oja. Skoro syaki asr~kt iivo(;J, u savremenom svijetu je pod uticajem nase tehnoloske okoline, KtllllUnika(i!c, transport, zanatstvo, rudarstvo, razlicite industrijskc granc) meJidna, pt)iio.pri~ vreda ~ syima njiniu dominiraju metode, aparature i masine koje su raul!;.!t tdl.noloskog napretka. OSnO\',l tehnologije je nauka. Bas·kao sto jc ncnpht;Jn!J iZUC;lYo1ti istoriju da bi Se shvatilo kJ.ko je s\'ijet dosuo do svog saciasnjcg stanji\, taRn Ie YCnm~l vazno da se nauee oSlllwni principi u nauci cia hi se sh\'utilu uhlga tdmnloV;ijc u modcrnom drustvu.
Centralno mjesto meL1u prirodnim naukama ima fizika. To vel: slijeJi i iz kratkog opisa njenog predmcta istruzivanj;l jer smo rckli da fizika izui;;ava I,IS!lm'ne komponente materijc i njiho\'c mcuusohnc intcrakcije. M.oJcrna inzcnicrska praksa i istraziyanja bi bili ncmoguCi bcz razumijevanja funJamcl1\alnih idda prin)Jnih nauka, a naroCito fizike.
Ne sarno sto obczhjcduje osno\'ni idcjni i tcorctski okvir na kojcm ~t~ n-;nivaju druge prirodne nauke ncgo iizika iSlO tako ima vrio veliki znataj s prakticne t,ld .. '!
gledista jer obezbjcdujc lchnike kojc mogu da sc koriste u skorn svim ol'\La:olilua nauke: astronomi trebaju optickc, spcktroskopske i radio-tchnike, gcol()zi Koristl.! gravimetrijske, akusticke, nuklcJrnc i m.chanicke mctode u svojim islra/.ivanjima. Isto moze da se kaze za okcanografe, clcktroniearc, metcorologc, sciZmtl\O!!;t.! i druge. Ukratko, bilo koja grana istraziyanju, ukljucujuci i takve oblasti kao~ S(O su arheologija iIi istorija umjetnosti, ne moze da postoji bez koristcnja mlllicrnii\ fizikalnih tehnika.
Prema tome, ulogu vodece prirodnc nauke fizika je obezbijcdila zail\'Jljujuci sirini i raznolikosti ideja i metoda koje saudi i fundamentainom 2nacaiu ovih ideja i tehnika u razvoju kako ostalih nauka tako i razvoju tehnike i tchnologije uopste.
Mnogc granc moderne tehnike, kao .?ito su clcktronika (poluprovod.nicka i kvantna), nuktearna tehnika, raketna tchnika i radio-tehnika, tako usko granii;;e
sa fizikom da su postale neodvojive od nje. Nove gramcne nauke .locirane su na spojnici, nekoliko drugib nauka, a zasnovane su na fiZici. Takve SU, na primjer, kibernetika, robotika, radio-asttonomija, bionika, biofizika i druge.
Veza fizike sa ostalim oblastima moderne nauke piikazanz je na s1. 1.
1) Geologija 2) Geofizika 3) Geohemija 4) Hemijska fizika S) Hemija 6) Biohemija 7) Biofizika 8) Biologija mora 9) Okeanografija
10) Egzobiologija 11) Svemirske nauke
12) Astrofizika 13) Astronomija 14) Meteorologija 15) Racunar.ske nauke 16) InzenjerSctvo 17) Tehnologija 18) Bioloske nauke
Incernacionalnt" sislem jedinica
Stika 1,
Godine 1960, Jedanaesta generalna konferencija za tezine i mjerl' usvojila je imernacionalni sistem jedinica (S1). Taj sistem je od tada usvojell 11 veCini Zemalja, a od 1. 1. 1981. godine u Jugoslaviji je zakonom regulisana njegova primjena.
Osnovne i dodatne jedinice koje se koriste U ovom sistemu SIl date u 'Tabd.i 1:
9
U Tabeli 2. i di;agramu veza S1 ;edinica (ko;i sIi;edi iza Tabele 2), dato ;e 19 iZ\"ectenih ;edinica ko;e su dobijerie mnoien;em iIi di;eljen;em devet osnovnih i dodatnih jedinica, bez numeric!:kih faktora.
Tabela 2. Sl IZVEDENE JEDINICE
51 jedinica
Veliona lmc Sinibol 5imbol u funkciji
drugih jedinica I ~~~---;:-c---::-----+~--;:;:-..,.-:-----'r--=--~f-----I ]. Frebend;a Here (Hertz) I Hz 8-.1.
__ ~2~.=SI~.,a~~ ______________ ~I~N~jU=~~CN~~~=n~) __ I __ ~N~ ____ r __ ~k~gm<~_ -~' _____ I 3. Ptitiliak Paakal (Paaca1) Pa Nm-i
4. Energija. rad. kolitina toplote illul Goule) J , Nm
5. Snaga, Flu.ks J;'adijacije Vat (Watt) W Js t
6. EJelttricm naboj, kolicina --I elektticiteta Kulan (Coulomb) C A 8
7. ElektriCni potencijal. II
Razlika potencijala
__ ~_~E='~e~kt~t~o=m=o~to~no~-~'~'=i='a~ ______ -1_~v~o='t~(V~O'=ta~)~~ __ II __ -cV~ _______ ,-__ --~,c:A~-~'------li 1_..::8~. ~K~a=p~a=",=·o~~~vn=o='=t, ____________ +~F~a=ta=d~(Faraday) F CV-1
9. Elektrieni otpor Om (Ohm) n VA 1
10. Elektricna provod_cnc"'-'-'t ____ o-1_sciCmc'cnc'-=(s~'c·'-mc'~n-.c)-I---:s=_ ____ ,--~--A::cv--~~'-----I 11. Magnetni fluks Veber (Weber) Wb V s I 12. Gustina magnetnog fluksa !--:r;la-(T~a-)---- ---~T~------I---=~=-b~~-=~-·-·j
1_,,,3::.-:r=-;;-::d::uk:::ti~vn::os::::-t:---:--_~ ________ I_.~enti (Henry) ,lm~ ---~Cdb,~~=-__ .-==II 14. Fluks osvjedJenja Lumen (Lumen) ~
1--"-'':'5 .'--:O:':,,",=~=je-tl"j'-en'--oC'=t="---------I-:L'--uks (Lux) Jx .. ~ .. _--.!m III ~~ ___ . _____ I 16. Celzijusova temperatura Celzijus (Celsius) 1 __ ·2C=-__ I ____ ~K'-_____ JI' 17. Aktivnost radioaktivnog izvora 1 Beketel
(Becquerel) Bq 5-1
18. Apsorbavana doza -----I
I
I jonizujuceg zracenja Gte; (Gray) Gy Jkg- 1 I 19. Ekviva.lcntna doza i I
____ ..:':"::n,,'::zu='::-u::c2,~g_z=t~.:0:~cn=I::· a~ ____ ....l_S:::civ='ct=' ~(=S.:.i'cv=',,-n=) __ J __ =S_':::....... __ . __ ._1 ____ Jkg~_,~----.J
10
OSNOVNE JED(NICE
kilogram
k,
MASA
lnetar
m
PUZINA
sekunda
ELEKTRJ(N,\ STRUIA
Kelvin ..
r-:-:-1~'" ~
TEMPERA TlJRA l~mp"'ralu'a
kandela
UGAO
PROsrORNJ UCAO
IZVEDENE JEDINICE
l<apacllN
TnlI!,lnelni fll,I\;s
Njllln
HctC~ 5-1
ftcX(j'l
LV"'
:l '"""j. I
I I I
W,-I I
I I
1. KINEMA TlKA
l. MEHANICKO KRETANJE. DEFINIClJA KINEMATICKIH VELICINA
Sva tUcla koja nas okru7.uju, ana velika, kao sto su zvijezde i planete, i ona siCusna, kao atom! i njihovi dijelovi, nalaze se u -stanju stafnog kretanja.
l.Jajjednnstavfliji oblik kreranja je,rc premjcitanje jednog tijela U odnosu na drugn, O,"akvo krcranje se zove mJh:lnicko kreranje. Neko tijelo krece se U odnosu ua drugi) tijelo ako se njegov p01ozaj, mjeren u odnosu na to drugo tijelo, mijenja s 'vremenom. S druge stranC j ako se ovaj relativni poloza; ne. mijenja s vremenOrn, tijelo n:Lttivno miruje. Daklc, i kretanje i mirovanje Sil relativni pojmovi: to znaCi da oni zavlsc od uslova kretanja tijela U odnosu na ono drugo tijelo koje sluzi kao rclcrentl1o. KuCa miruje U odnosu aa zemlju, ali se krece U odnosu na Suncc; kada YOZ prode pored staniee, klzemo da se voz krece U odnosu na stanicu. Ali, ista rako, putnik u Vt1ZU maze da kaze da se stanica kr3ce U odnosu na voz, sarno u suprotnnm smjeru.
Preml tome, d'l bi p:)~mltrao krcranje, p:nmltrac m'Jra da definiSe sistem rejcYe/1cijc U odnom nl koji se anllizira kretanje. U principu, svako iijel0 moze da posluzi kao referentni sistem, ali su u razHcitim slucajevim'l kretanja -uobicajeni .azliCiti slstemi referencije. Tako se, n'l primjer, kretanje automobila obicno analizira u sistemu referencije veZ,lnom Z1 zemlju, dok se kretanje planeta obicno posmurfa u sistemu referencije vezanom za suncc.
Linija koju u datom koordinatnom sistemu opisuje tijelo koje ,se krece zove se putanja iIi rrajektonja. Oblik putanje zlvisi od iZlbranog koordinatnog sistema, pa mozemo govoriti 0 obliku pmanje samo u reliltlvnom smislu, tj, 0 obliku putan;e u darom sistemu referencije,
Opisati kretan;c tijela zl1J.Ci u sVJ.~om m')m!ntu ojre.:iiti polozaj tijela u prostoru i njegovu brzinu. Pri tom-=, treba nlgla<;iti da se ni ;edan fizikalni problem ne moze ri;esiti ap30lurno tacno i da se uvijek dobiju aproksimativha rjesenja. Rjes.avajuCi problem aproksimltivl1o, zlnem,'lfujemo faktore koji nisu znacajni u datom s[ucaju. Tako, na primjer, vrlo ce3to, pri razm ltranju kretan;a tijeia, mozemo zanemariti njegove dimenzije} njegov oblik) te tako po;ednostavlju;emo opis krc_ tanja svodeei to ti.ielo 11a tacku. Takvo tijelo, tije dimenzije moiemo da Z'lnem,arimo u uslovim'i probleml koji raZmltram0, z'Jve se m:uerijalna latka. Kinematika
13
je upravo ona; dio mehanike koji izucava kretanje tijeia, ali tako da zanemaruje uzroke kretanja i osobine tijela, tj. tretira svako tijelo u kretanju kao materi;alnu tacku,
1.2, BRZINA
U zavisnosti od oblika putanje, kojom se materijalna -tacka krece, kretanje moze biti pravolinijsko, kruino iii) opeenito, krivolini;sko.
Posmatrajmo materijalnu tacku koja opisuje pri svom kretanju krivu liniju p kao na 81. 1.1. U momentu t ncka se ona nalazi u tatki A koja je odredena vek
->-torom polozaja r = ~A. U nekom kasnijem momentu t' tacka ce biti na mjestu
->-B odredenom radijus vektorom f' = DB.
Iako se materijalna tatka pomjerila duz dijela putanje 6.s (= luku AB), po-->-
mjeranjem zovemo vektor AB = A1'. Ptema tome, u vremenu At = t' - t r:t1aterijalna tacka je nacinila' pomjeranje AP = P' - r. Vektor vsr jednak kolicniku pomjeranja i odgovarajuceg vremena U kojem je pornjeranje izvrseno,
(Ll)
zove se srednja brzina. Srednja brzina je, dakle, vektor paraielan sa pomjeranjem Ll.r.
z
A lis B
•
Slika 1.1. Slika 1.2.
Da bismo odredili trenutnu brzinu u momentu t kada se materijalna tacka nalazi u polotaju A, pustieemo da vremenski interval ~t tezi nuli (s1. 1.2).
Srednja brzina na intervalu At ce preci u trenutnu brzinu u momentu t, kada At -+ 0, pa je:
- l' M dT ! '0= 1m -=-=T. ."..., L>t dt
(1,2)
Uop8te govoreci, 8to je duzi vremenski interval At, to se vise srednja brzina razlikuje od treuU"l:ne. I ohmuto) sto je kraci vremenski interval Ilt, to se srednja brzina viSe primiee trenutIloj . .MatematiCkom terminoiogijom -receno (limes u izrazu (1.2) zove se derivacija iii izvod), ttenutna je brzina prvi izvod vektora pomjeranja po vrernenu.
J4
Posto se vektor poloiaja T moZe izraziti preko svojih komponenti x, y i z u pravouglom Dekartovom koordinatnom sistemu reiacijom
r=x'+Y]+Zk (1,3)
a brzma v u istom koordinatnom sistemu relacijom
v = v;tl + vJ + V,k
iz reiaci;a (1,2), (1,3) i (IA) slijedi da je
, dx dz v =-' Z dt' 'V~ =-.
dt
(lA)
U granicnom sl1,icaju, kada se vremenski interval At smanjuje i tezi ka nuli) pomjeranje .6.1- ce se pribliZavati po veHCini elem,entu tuka As, pa. je
L>s .. lim -- = 1. <It-+O! Ar I
S druge strane je intenzitet vektora bfzine iz relacije (L2)
I - I I l' L>r I . I M I f}= -v =1 lm- = lim --, J Al-+O At I At-+<> At
tj. vrijedi'reiacija
" = lim lu ~ d.., "'"'" L>t dt
1,3, UBRZANJE
(15)
(/.6)
Kod krivolinijskog kreta~ja brzina se mijenja i po pravcu i po -veliCini (intenzitetu). Po ve1icini se brzina "mijenja zato sto materijalna taeka moze cia se ubrzava iii usporav<!. Po pravcu se opet brzina mijehja zato sto je pravac brzine tangenta na putanju, a putanja se stalno savija kod krivolinijskog kretanja.
Na 81. j .3. prikazana je brzina., u trenutku t i trenutku t l kada se materijalna tacka nalazi ,u poloZajima" A i B, res-pektivno. Promjena vektora br7.ine pd tom) oznacena je sa .6.ti u trouglu na slici"
Srednje ubrzanje u vremenskom in- " tervulu Ilt je definisano je:dnaeinom
l>V il=-
sr At (1.7)
i predstavlja vektor paralelansa Av. Tre- x. Ulimo ubrzanje se definise relacijom
A
li = lim li .. r
= lim at; = dt;. AHoO &-+0 At dt
y
Slika 1.3.
(1.8)
15
" . , Posto je V = v,;; + vy) + v:ll, a it = a",t + ayJ + a~R, su komponente ubrzanja duz osa x, y, z date sa
iz rel.cije (\.8) sHjedi da
a = dv", " a = dvy ; a = dvz . (1.9) z· dl Y dt Z dt .
Dbrzanje je vektor koji ima isti pravac kao tre~utna pr0In:je~a br~ine. Po~to se pravac brzine mijenja u smjeru savijanja trajektonje, ubrzanJe )e uVl!ek USffiJereno u pnwcu udubljenosti (konkavnosti) krivulje i u opstem silica)u pravac ubrzanja oiie TIt tangenta niti normala na krivul;u (s1. 1.4).
Ubrzanje mazerna rastaviti na dvije medusobne upravne komponente: na tangencijalno ubrzanje aT u pravcu tangente AT, na putanju u tacki A i normalno ubrzanje as u pravcu normale AN (51. 1.5). Tada je
Svaka od. ovih komponenti ubrzanja ima jasno definisano znacenje: k~ja se materijalna tacka krcce, mozc da se mijenja intenzitet njene brzine i ova promjena
Stika 1.4.
, ,
Stika 1.5.
(LlO)
T --N
brzine po intetlzt'tetu karakterise tangencijalno ubrzanje; kod krivolinijskog kretanja mi;enja se i pravac brzine, pa promjena brzine po pravcu karakurise normalno ubrzanJe.
Posmatrajmo materi/alnu tacku koja se krece po krivoj liniji. U trenutku t neka je materi;alna tacka u A (s1. 1.6) sa brzinom v} a u trenutku t' = l + D,t, materijalna tacka je na mjestu B sa brzinom v'.
A
SIika 1.6.
16
-+ Prornjena brzine ~v = v' - v jednaka je vektoru DE. Ugao izmedu v i v'
oznacili smo sa 60. Tada je intenzitet tangencijalne komponente od 6.v DF = 1)' cos 6.0 - v, a intenzitet normalne komponente od Ll.V je FE = v' sin 6..6, p~ je tangencijalna komponenta srednjeg ubrzanja
v' cos b.,O - v a psr = ---/1-,---'
a odgovarajuca normalna kornponenta srednjeg ubrzanja
v' sin .6.6 a 1\ sr = ------ .
/1,
Kom.ponente srednjeg ubrzanja preiaze u' komponente tre.nutnng ubrzanja kada vremenski interval D.l teZi nuli:
aT .~~ lim v' cos lie~=-"}I L!.t,··)-i} 6.t
. v' sin .18 aN = hm ~-----
bot...,.O ll.l
(LIt)
Medutim, kada iit ~-'" 0 oada i llO ..:.:-.0, pa je lim (.:0$ 6,0 = I) a lim sin UO = ,1140 61-1-0
=.16 i limv' = 'l;.
",40 UzimajuCi ovo U obzir, mozerno izmcunati limese u re1acijama (1.11);
v' - V . Av dv aT "',., hnl -_._- = hXD ~ -,:"" -
D.HO D.t tlt...,.c Ilt dt
av = lim v' bO = v lim dO = '/) lim .2_ As = ~ dt = _'?~. • ./It-).() D.t Al-jo.{) D..t b.t-?{) R At R dt R
gdje je R radijus zakrivl;enosti putanje u tacki A.
(U2)
(1.13)
Ako je krctanje jednoliko, tj. ako intenziut brzine ostaje konstantan) onda je aT ,";;~; 0, pa tada nema tangcncijalne komponente ubrzanja. S druge strane, ako je kretanjc pravolinijsko, tj. ako se ne mijenja pravac bF.line, radijus krivine je beskonai;an (R = (0») pa je aN = 0, tj, nema normalnog ubrzanja.
1.4. PRAVOLINIJ~KO KRETANJE
Pravolinijsko kretanje je kretanje kod kojeg je trajektorija prava linija. PosIrultrajmo materijalnu tacku koja se krece po pravoj liuiji u nekom koordinatnom sistemu. Na primjer~ mo:temo jednu koordinatnu osu pravouglog Dekartovog koorwnatnog sistemB usmjeriti du.t trajektorije ,ove materijalne tacke. Tada ce u svakom trenutku vremena materijalna tacka imati sasvim odredenu koord.1natu. To znaci da,je koordinata materijalne tacke koja se krcee funkdja vremena: x =f(t). Dobijena funkcija je iednacina krelania date materilalne tacke.
17
OslanjajuCi se na uopstene dcfinicijc srednje brzine i srednjeg ubrzanja, te trenutne brzine i trenutnog ubrzanja, kaje su date u relacijama (1.1), (1.2) i (1.3), dolazimo do izraza za srednju b!"zinu i srednje ubrzanje te trenutne brzine i trenumog ubrzanja kod pravoiinijskog kretanja:
Ilx (U4') 'l)sr
Ilt
dx (U4) v
,k
Ilv CLlo') 0; =~
sr lit
dil" d?x (US) a -_.-
d, j[~l
U najopstije:m siucaju i brzin.a i uhYnnje se mogu mijeDjati II Tnku vremena~ rj. predstavljaju neku funkclju 'Vfe:mCfW
Aka znamo kako sc brzina mijcHja sa vremenom, tj. poznajcm0 funkciju v c--'O (1) (t») mozemo odrediri l'o1o:taj x :matcrijalne tackc u hila kojem momeutu. ifltegracijom.
Iz jednaCine (1.14) slijcdi da je dl'}::""O' 7Jdt pa inrcgrirnnje ove jcdnacine daje
f dx 00 f vdl
gdje je -Xo vrijednost koordinate x u momentll to' I P081;0 je
slijedi
x
Jdx-=x-xo:; Xo
J vdt.
(U6)
(U7)
Da bi se r;n;umjelo n~~i\:alrw zna(;cTl.jc jcdnacinc (1.17)" trcba shvatiti cia ami'; 'udt predstavija pomjcranje materijalnc Tacke U kratkom vr-emenskom inter-valu dL Prema tome., dijelcCi vrcmc-n:;ki interval r. ._- if) u sukcc.sivnc male intervale dt 1 ) dt2.~ dt;}) .. '~ naIazimo da !'ill odgovarajuca pomicranja v 1d!\, v2dt 21 v;tdr ll )
... ~ a ukupno pomjeranje izrncdu to i ,; Ie suma sviju njih, Tr-eba nagiasiti da su Vt~ '0 2' Va' •.• vrijednosti brzina U odgovarajuCim vrcmenskim intervalima dt il dtl'l' dca .. 0 •
Tada~ u saglasnosti sa zna(cnjcm odredenog integrala slijedi da je
pomjeranjc = x - Xtl = !.I i df1 + vllldt2 .+ 'V:tdts + .. , = L 'VjdtJ = f vdt.
'. 18
.0ora?:o uoCiti da pomjeranje dx moze bhi pozitivno iIi ncgativno, sto daje poz!t1van lIt negativan znak za brzinu. Prema tome znak brzine kad pravoli-nijskog kretanja oznacava smjer kretanja. '
Na sliean naCin, aka nam je poznato kako se ubrzanje mijenia sa vremenom, mo~emo izracunati hl'zinu integracijom ;ednaCine (1. I 5), jer je iz nje dv = ad!, pa Je
u
fdv~fadt (U8)
, gdje je Vi) hrzina u momentu to. Posta je J dv ::;.-= 'V -- V
O' slijedi cia .Ie
, v = Vfi -+ fad£. C1.l9)
Prim Jeri razlicitih prat)olimfskih krnanJa
a) }ednaliko pravob'niJsko kretal1je
Kada se. marerijaina tacka krece jcdnolik(l pravoliniiski, njcna brzina je kon~ stantna, pa je
dv a = d~- = 0, tj, ncma ubrzanja.
Takode, iz relacijc (1.17), ako je v konstantno, slijedi
, , x = Xu + f vdt = X(j .+ v f dr.,
10 to
(1.20)
Ako pocetno vriieme oznadmo kao nullo vrijemc) tj. rac-unawo vrijeme od pocetka kretanja, tn:= 0) izraz (1.20) postajc
x-oexo+Vl. (1.20' )
b) lednako ubnano pravolinijsko kretanje
Kod ovakvng krctanja ubrazanje je konstantno pa je, iz jednaCine (1.19))
, V=Vo + fadt=V6+aJdt iii
" " 'V = 'V~ + aCt ~ t.o) (!.21)
19
if. 1z jednacinc (1.17) siiiedi , , '
+ J ['lilt + a (r .- to)] de = Xu + "Do J de + a f (t - to) dr, iii
(1.22)
Aka dirnini§emo {r --- 1:1:, u:razft (1.21) i (1.22), dobijemo rdaciju
unnemc d,a su iednab; null) tj. X'I> = O~ tit = 0, i
kada tHelo bacamo vertikalno navise . U prvom slueaju je
Sloboda'ii pcd ,;<: c·- g
vI) "'".c ()
V =~ gt
1 ~ ::.:.; '0:1 = 2llS.
II' 1 ,
gt
15. KRIVOLf.NUSI<.0 ICJ<i~TIL.1\[JE
OpS.le izraz¢ i ubrz.,anjc, koji vaze za siu'cu; bilo kakvog ·krecanja, vee smo izvdi U pHt"agt;,dirna L20 i 1.3. Kako su brzina i ubrzanja vektori, to se~ 1:.900 takvi, rnogu mijc:njari i. po pravcu i po intenzitetu.
20
U specijalnom slucaju, kada je ubrzanje a konstantan vektor~ rj. ne mijenja se ni po pravcu ni po intenzitetu, integriranjem izraza (1.8) dobijemo
Tada je
, , , f d'ii~ f Ii d, = Ii f dl. t~ IQ ta
v - Uo = Ii (t .- til) Hi
<0 = Va + aCt - to)' (1.23)
Ato je izraz za brzinu u bilo ko;em momentu. Vo je brzina u momentu 10_
Zamjenom izraza (1.23) u izraz (1.2), dobijamo , J df = J {vo -r a (t - t<))] dt = 00 J cit + if f (t-£I}) de
" <,
Odavde je (1.24)
gdje je Pu vektor polo7.aja u moment:u tij.
Izraz (1.24) daje radijusvektor iU vektor po.tozaj;'A tacke u bUG kojem momentu kretan;a.
Ovaj rezultat se moze uporediti sa izrazima (L21) i 0 odgovuraju izrazima kod pravolinijskog krctanja pri koustantnom ub17;an.jtL
Kod pravolinijskog kretan.ia brzina i ubrzan;a imaju i~;ti. (i.Ii SUp1'0lan) smjt;r. Medutim, U opstijem s.!ucaju; koji ovdje dhkutujcJ.Uo, ;u,,· i Zi rn.ogu imati razlicite pravce. Zato v koje je dato izrazom (L23) nije kolincarno sa a~ ali se uvijek nalazi u ravni odredenoj vektorima vn i a. Iz rdadje (1.24) se vidi da je km.jnja tacka vektora r uvijek u ravni koja je paralelna sa 'vo i a prolazi kroz tacku odred.cnu vektorom ro. Na osnovu toga zakljl1cujerno da se kn:w.nje sa konstantnim ubrzanjem odvija uvijek u jednoj ravni -- w je nwa.nsko kretanje,
Trajektorija ovog kretanja opisana jednaCinom. (1.24) je parahola.
Kretanje projekcila -- kosi hitac Jedan od najinteresanrnijih primjera
kretanja tijela sa konstantnim ubrzanjem jesre kretanje projekriiu, tzv" kosi hitac, 81. 1.7.
lzabraeeffio ravan XY za ravan ko)u odredu;u vektori i\, i a = '(1, gdie jc fi gravitaciono ubrzanje koje. gmvitadona sila, tj. sila kojom Zemlja djeiuje na sva tijela u svojoj okolini, daje tijelima na koja djeluje.
Kod ovakvog izbora koordinatnog sistema, karla se projektii ispaljuje u tacki 0 pocetnom brzinom vo, je
'Va .. = 'Vo cos ocl
vOv = 'I'){) sin ocj. (1.25 )
()
Siika 1.7.
2!
Skalame komponente jednacine (1.23) su
(1.26) Vy :c:.:~ VOy - gl
iz kojih se vidi da horizomalna komponenta brzine v ostaje konsrantna posto nema ubrzanja u njenom pravcu.
Intenzitet brzine u bilo kojem momentu se racuna po formuli
v = ..jv: + v;. (1.27)
Isto tako~ kada se na skalarne komponente jednaCine (1.24) primijeni To c:--=:. 0 i to =' 0, dobije se
X=Voxt; (1.28 )
a ovo su koordinate projektiia u funkciji vremena. Da bi se dobio izraz za vrijeme potrebno da projcktil dosegne naj\'isu tacku
trajcktorije A, koristi se uslov Vy = 0 u jednacini (1.26), jer jc tada hrzina projektila horizomalna,
Dahija sc
~"' t =; .----
g
'flO sin 7. ( 1.29)
g
Maksimalna v1sina h se dohije zamjenom ove vrijcqnosti za Yrijcme u drugu od jcdnaCina (L.~g), pa je
( 1.30)
Vrijemc potrcbno cia se projekt.il vrati u prvobitni l1ivo u tackt B, tzv, vrijeme prc1cta sc mozc dobiti iz uslova), = 0, koji se uvrsti u drugu od ~ednaCilla (1.28). ' Ocit(i jc to vrijeme dvostruko vecc od vremena iz rcladje (1.29), tj.
( 1.31 ) g
Domer R = OB je horizomalno rastojanje koje prede projektil i dobije se uvrstavanjem izraza (1.31») za vriieme preieta., u prvu od jednaCina (1.28):
1<' =c XII ,= v{),. (.~'~..:>.~n c<.) "'= 2vg s~-,=-CO~_ = v5 sin 20: . g, g g
(1.32 )
Rezultati kojc smo ovdje dooiH za kretanje projektila vrijede pod izvjesnim uslovima, a to su:
1) da je domet udal) dovoljno malen pa se iakrivijenost Zemlje moze zanemariti;
2) da je domet uvis malen pa se promjena gravitacije sa visinom moze zanemariti;
3) da je pocetna brzina dovoljno malena pa se otpor vazduha moze zanemariti.
22
Ako nije ispunjen prvi od gornjih uslova, onda gravitaciona sila mijenja pra~' vae pa to vise nije kretanje sa k;pnstantnim ubrzanjem (s1. 1.8).
Ako nije ispunjen uslov 2), gravitaciono ubrzanje se mijenja po intenzitetu, pa to opet ne bi bilo kretanje sa konstantnim ubrzanjem (putanja je dio elipse).
r I
Slika 1.8.
;...,---"--, PARABOLICNA ~/ ....... ",- PUTANJA
''\~ VAKUUMU
\ \ \ \ X
.-+-+----"f--*-_+_~
\ \ STVARNA PUTANJA U Vt\ZDUHU
Slika J .9.
\
Ako nije ispunjcl1 usiov ;I), onda trajektarija kretanja nije parahola ncgo tz\'. halisticka kriva, 81. 1.9.
Krubw knnatljc jc spccijaina vrsta krivolinijsKog krctanja Cija putanja je kruznica. Pravac brzine '\ kao rangcma na putanju, je okomit na radijus kruznice R ~ CA (sl. 1. 10).
Kada mjcrimo rastojanja duz lub kru,znice od m<":ke 0, imamo da je s = R6.
Slika l.ll.
PrimjcnjujuCi jcdnaC:inu (1.6), uzimajuCi da j(~ R konstantno, dobijamo
ds 'v 0---'" ._-
dt VeliCina
=R~
dO de
cit
se zove ugaona brzina. M;eri se u radijanima u sekundi ili I
samo-.. - . ,
(1.33)
(1.34)
23
Prema tome je v = Rw. ( 1.35)
Ugaona brzina se, takode, moze izraziti kao vektor (';ij1 jO' pravac okornit na ravan krctanja u smjeru koji se odreduje pFavilom "desne ruke" (sL 1.11).
Ukoliko je ugaona brzina w konstantna, onda se takvo krufno kretanje zove uniformno iii jednoliko kruzno kretan;e. To je periodicno kreranje a materijalna tacka prolazi svaku tacku putanje u regularnim vremenskim intervalima. Period T je vrijeme potrehno da tacka prede cijelu putanju (jedan ophod), a frekvencija u je broj punih ophoda u jedinici vremena. Tako, ako u vremenu t taeka napravi
n ophoda, period T je T = ,-~.-, a frekvencija un. PovezujuCi ova dva izrazn, n t
dohijemo da je
T (1.36)
Kada se period izrazava u sekundama, onda je dimenzija za frckvenciju S~l} to je jedinica koja se zove here, I Hz, prerna njemackom fizicaru Berell (Hertz), koji je prvi eksperimentalno dokazao egzistenciju elektromagnetnih r.alasa. Ako je w konstama, onda integriranjel1l izraza (l.34) dobijamo
e , J 128 f (Jj d! {'} f cit)
00 '0 '0
(1.37)
Ako uzmemo da je no ~."" 0 i to "''' 0, rr:::Lacija (1.37) se pojednost;1vljuje i po~'taje
o ~ wt.
Ako sc, medut.im, ugannu br:t:ina '.0 mijE:nja u \'r~nll;::m.l.> onda definisemo ugaono ubrzanje C( relacijom
d,,) d 26 'X ==- --. _'c~--O- ~--~ •
dt dt2
J . . t·· rad '1' , edlll1Ca za ugaono u )ruZ<U1)C C( ,e --~-,,-. ~ 1 samo S~·. $'
(U8)
Kada je ugaono ubrzanje konstantno, tj. ako se fadi 0 jednako ubrzanom kru:l:nom kremnju, imegracijorn relacije (1.38) se dobije
M , •
f d(,) = f Gt dt = 0: f dc, iii
'. (1.39 )
gdje je Wo vrijednost ugaone brzine u momcntu l(~. ZarnjenjujuCi relaciju (L39} u definicionu formulu za ugaonu brzinu (! ,34), dobijemo
~~ = Wo + oc (t - to) dt
24
i ponovnim integriranjem nalazimo . , J dO ~ f CUo dt + " f (t - to) dt a.. to to
o ~ 00 + "'0 (t - to) + ~ '" (t - to)'. 2
Ako se uzme da je to = 0, 60 = 0 dobije se
I e = wot,+ "--oct2
2
izraz koji daje ugaoni poloza; Tacke u bilo kojem trenutku. PogIedajmo sada kako ,se mogu izra..:.
ziti Jinearna brzina i !inearno ubrzanje kod kruznog kretania.
; Sa s1. 1.12. viditno da je R = r sin y, pa mozemo"da pisemo umjesto v = wR izraz 'lJ = 6)f sin y, 8m predstavlja intenzi.tet vektorskog proizvoda
v = w x r. 0.42)
Ubrzanje cerno izracunati iz relaci;e
dv a=~.
dt
U jednostavnijem slueaju, kada je kruzno kretanje jednoliko, tako da je ugaona brzi-na w konstantan vektor, ubrzanje se mo- X ze izraziti jednacinom
dii d-a=~=(ij x...!:=w x V
dt dt
ili kombinirajuCi relaciju (1.42) sa j~dn2cinom 0.43)
a ~ iil x (iil x'r).
c R
o y
Slika U2.
(lAO}
(1.41)
(1.43 )
(1.44)
Sa' slike 1."I 3. vidimo da je vektor w x v usmjeren prema centru C kruga} pa se moze red da je kod jednolikog kruznog kretanja ubrzan;e okomito na brzinu i usmjereno radi;a:1no prema centru. To je, u stvari, normalno ubrzanje aN 0 kojem smo govorili U odjeljku (1.3).
Intenzitet od co x v u ovom slueaju (posto su OJ i v okomiti) je wv, pa se normaJno uhrzan;e moze izraziti relacijom
iIi ,,' aN =-· R
(1.45)
Treba naglasiti d:l kod jednolikog kruinog kretanja intenzitet brzine ost.je konstantan. Ali, posto se pravac brzine stalno Jllijen;a) to ovdje postoji ubrzanje i to normalno ubrzanje.
25
U opstem slucaju nejednolikog kruznog kretanja kada se brzina mijenja i po pr3\"Cll i po intenzitetu, promjena brzine po intenzitetu daje i tungencijatno ubr
zan;e aT'
dv , Iz relacije (1.12), prema kojoj je aT --=; ~ 1
dE znajuCi
da je v = (,JR, dobi;emo, za sluca; kruznog kretanja
c
SIika 1.13.
dw a:r=R-=Ror..
dE
Ukupno ubrzanje U ovom sluca;u je a = aN prikazano je na slid 1.13.
1.6. PRINCIP RELATIVNOSTl. GALILEJEVE TRANSFORMACUE
(1.46 )
Kretal1je se uvijek odnosi na odredeni sistem referencije koji izabirc posmatrae. Posto razliCiti posmatraei koriste razliCite sisteme referencije, vazno je da se zna u kakvoj su v-ezi opazanja nekog krcranja u razlicitim sistemima refcrenci;e.
Uzmimo,. na primjer, dva sistema referencije (s1. 1.14), U centru svakog od njih nalazi se po jedan posmatrae, 0 i 0'. Neka se ta dva sistema referencijc, tj. ta dva posmatraca krecu jedan u odno-su na drugog konstantnom brzinom i'o' dakle, uniformnim pravolinijskim kretanjem. Tako posmatrac 0 vidi da $e posmatrae 0' krece brzinom ii, dok 0' vidi da se 0 krece brzinom - v. Zelimo da uporedimo njihova opazanja vezana za ne~ lei obickt ko;i se kreee: na primjer, ;edan posmatrac stoji na peronu zeljeznicke stanice, a drugi sjedi u vozu koji se krece jednoliko po pravoj liniji. Oba posmatraju avion koji leri iznad njih. U kakvom su odnosu njihova opazanja polotaja, brzine i ubrzanja ovog aviona?
Kako se vidi sa slike 1.14, izabrali smo koordinatne sisteme vezane za posmatrace 0 i 0' tako da im se jedna osa (X
o
Y'
Slika 1.14.
i XI) podudaraju, a druge dvije Y i Y' i Z i Z' su medusobno paralelne tako ostaju j tokom kretanja.
Pretp03tavi-cemo da se u pocetku kr~tanja, dakle za t = 0, 0 i 0' podudaraju, pa je nakon n~kog vrem~na c
26
-+ OO'=vot ..
Posmatrajmo sada nw objekat koji se u momentu c naSao u tacId A. Sa slike se vidi da je
-+ -+ -+ 0'.1. = 0.'1 - 00' tj. T' = T - Vol. ( 1.47)
Iz jednaCine (1.47) dobijamo tri skalarne jednacine u kojirna smo uzeli u obzir da je 'Do paralelno sa x osom.
Dobijamo,
y' =Y
z' = z.
(1.48)
Ovim jednacinama dodajemo i jednacinu c' = t jer se u klasicnoj fizici, doduse bez ikakvog dokaza, pretpo5tavlja da je'tok vremena id~ntiCan u svim siste-mima referencije. '
Grupa jednacina (1.48) prejstavlja Galilejeve cransJormacije koordinac4. Pokazacemo kasnije u poglavlju veza izmedri relativisticke i klasicne mehanike,
da su prya i posljednja od reladja (1.48) tacne samo pod pretpostavkoin da je relativna brzina Vo m<l.lena u poredenju sabrzinom svje~losti c u vakuumu, tj. "'0« c.
Ako diferenciramo jednaCine (1.48) po vremenu, naci cerna vezU izmedu hrzina posmatranog objekta u tacki A u jednom i drugom sistemu referencije:
dx' dx " -- -- = --- _n_ Vo;
dt dE v", = 'V'" - 'Do
dy dy
de dE
dz dz --=--dE dt
ili vektorski, diferenciran;em jednae-ine (1.47) PJ vremenu, dobije se:
dr' df _ _.- = - - Vo; dt dl
(1.49)
(1.50 )
Vektorska jednacin'1 (1.50) kojo; odgovaraju tri skalarne jednaCine (1.49) pred~ stavlja G.2!ilejeve cr::msform:lcije brzin~, poznate kao klaosicni z'lkon sabiranja brzina, tj. vezu izmeau brzina nekog objekta ko;e mjerc dYa p::nm'ltraca sto se nalazc u medusobnom jednolikom pravolinijskom kreranju.
Ako dalje diferenciram0 jejnacinu (1.50) p::> vremenu, dobicemo
a: = li (1.5 J )
. dvo 0 to}C--= . dt
a posto je Vo = const,
Relacija (1.51) kate da o!:>a p03mnraca i 0 i 0' mjere ism ubrzanic objekta> t;. ubrzanje objekta je isto za sve pcnrnatrace .(refer~ntne sisteme) koje se medusobno kreeu jednoliko pravolinijski. Ta'kvi sistemi referencije, ko;i se medusobno !creeu jednoliko pravolinijski, zovu se inerci;alni siostemi referencije i fit Jemo 0
njima jos govoriti u poglavljima 2.2. i 2.4.5.
27
Postoji beskonacno mnogo inerci;alnih sistema referendje koji se mugu formirati shodno zakljuccima iz poglavlja 1.6. Eksperimentalno je urvrdeno da je inercijalni sistem referencije i sistem eiji je centar Sunce, a ose su mu usmjerene prema pogodno izabranim zvijezdama stajacicama iz udaljenih gaiaksi;a. Taj sistem se naziva heliocentricni sistem referencije (helios grcki znaCi Sunce) i kao inerci;alni ce se pojaviti svi oni sistemi referencije koji se krecu uniformno po pravoj Hni;i U odnosu na heliocentricni si'stem referencije.
Pitanje ie zasto nije izabrana Zeml;a kao ishodiSte jednog takvog sistema? Zemlja se krece 'u odnosu na Sunce i zvijezde duz krivolinijske putanje (trajektorije). Svako krivolinijsko kretanje~ sa svoje strane, je uvijek vezano uz odredeno ubrzanje. Istovremeno, Zemlja i rotira oko svoje ose. Zbog tQga sistem referencije vezan uz povrs.inu Zemlje se krece ubrzanjem U odnosu na heliocentricni sistem referencije i zato ni;e inercijalni. Istinu govoreCi) ubrzanje takvog sistema je veoma malo pa se u nizu slucajeva (ali He i uvijek) i on mozp razmatrati kao inercijulni.
Tvrdnja _ da je ubrzanje nekog objekta isto u svim mercijalnim referentniin sistemima poznatJ;t je u fizici kao Galilejev princip relativnostt'.
Kao posljedica Galilejevih transformacija koordinata, koje vrijede za sve inercijalne referentne sisteme, slijedi da bilo koje rastojanje iii duzina 1 :0:::,' X2. -- Xl
ostaje, neprumijenjena u svim incn:ijalnim referentnim sistemima) tj.
l' = x~ ~, x~ =----=X2 -~ ~)()t1, _. Xl + ViJlt ~""-" Xl: ~ Xi -" Va (t2 ~ t 1) = 1
jer je t'l .=, t 1, posw so pocctak i kl'aj duzine 1 mjel'eni iSlOvremetw. Ovaj rezultat izgleda take oCigiedan da 'sc na pry! pogled cirri nepotrebnim i dokazivati gao Medutim, znacenje ovog izvodenja cc biti jasnije nakon poglavlja 705.
Kao sto smo ranije istaldi, Galilejeve transforma.cije i njihove posljedice (klasieni zakon 0 sabiranju brzina, jedna(:ine (1.49) i (L50)~ i nepromjenljivost f"d.stojanja u razliCitim referentnim sistemima) vaze sv~ dotlt~ dok je, relativna brzina sistema referencije znatno manja od brzine svjetlosti. Medutim) 'kada su Be ove transformacije pokusale primijeniti na fenomene vezane sa prostiranjern svjetlosti, 'dosl0 je do niza komradikcija koje su eliminisane uvodenjem teorije relatiynosti.
1.7. RACUNSKI PRllVlJERI
Zadatak :tl
Ncki c{)vj(~k stoji na obali jezera u tacki 'A. On hoc_e de. sligne u tacku B n3 jezetu za na ~ kra¢e moguce wijeme. Rastojanje oJ ta{ke n do obale je BC = d, a rastojanje AC ~'-' s. Covjek moze da pliva u vodi brzino!li v!) a rnoi!': do. {rei dut obale brzinom U~, koja je veta ad 1}J., Koji'te put cia koristi: iIi cia plisu raVll(> 00. ta';:ke A dl) B Hi cia trCi 12\'je5no rastojauje dui obale i onda da pliva do ta(ke B?
Rjesenjc: Polito je brzina C:ovjekrt U \'odi manja od brzine kojom moze da u-(i cluj, obale, ruta AB nece
obavezuo uzeti najmanje vtemenu. Prctpostavhno da covjek slijedi neku rutu ADE. Odredimo rastojauje x z<.! koje ce yd,eme biti minimalno. Vrijeme kretan;a covjeka dui o\"e rUle je;
, (d2 + x~)2 (s - x)
r = - ..... ~--- + __ _ V l 'IJ!
28
Minimalno ~'rijeme tmin se odreduie jz uslova de. je prvi iz~'od Vremena po rauojanju x jednak _ti .
odakle je
d,
dx v,
v,a x =----,-0.
(V~ -- tI~)2
Ako je s < x, covjek treba odmah da pliva do tacke B dut AB. Ina-ce. cov;elt treba prvo da trei dut obale na rastojanju AD = s - x. a onda da pliva do B. Treba primijetitl da je za rutu mininudnog vremena:
till {} =
I' I I /
I / " I
j. / /
/ / I i
Arl/' "L . Ie 1-...,j
Autobus vozi du:I autoputa brzinom Vi '''' 16 rn/fL Covjek. sc naiazi na udaljenosti a = 60 m od autopm<l. i b = 400 m od autohUS3. U kojem pravcu treba covjek da uti du bi stigao u bilo Ito)u tacku auto-puta u isto vrijem~ kad i autobus iii prije njega? Govjek mnit da trei brzinom v~ 'co. 4 m/s.
Rje§enjz:
Autobus je u tacki A, a covjek u tacki B. U tack! C covjek &rece autobuso 13gao CI je ugao izmedu pravca prem3 autobusu i pravca u koiem hi covjek trebao da trei. DaJ:je je
gdje su " itt vremena za koje autobus i covjek, ,espektivno stizu u tacku C.
h troughl. ABC se vidi. aa je
Odavde je
" gdje jc- sin fl = BC'
Po~1:O je i l :> tz> onda je sin a >- av~ = 0,6 pa je bv,
36"45' "- a -< 143"15'0
29
Pravci u kojima se cO\'jek moi~ kretati su u granicama unutrasn;e oblasti ugla DBE. Trc-eei u pra\'cima BD iIi BE COl.'jek ce dod do auto~puta u isto nijeme kad i autobus. Bilo koju tacku oa auto-putu izmedu D i' E doseCi ee on prije autobusa.
Zadatak 1.3
Kojo~ minimalnom btzinom neba Covjek da trN (vidi prethodni zadatak) da hi susreo autobus i u kojem praveu?
RjeJmje:
Minimalna brxina maze da se odredj iz uslova:
av, odakle je v 2 = - = 2,4 m/s.
b
OVdje ie a = 90°, sto znaci da coyjek treba da ttli u pravcu okomitom nn prvobitnu liuiju, ~ AB, izmedu njega i autobusa.
Zadatak 1.4
Tacka prede polovinu nekog rastojanja brzinom V". Preostali dio puta prede brzinom 'V 1
za polovinu vremena i brzinom 'Vi za drugu polavinu vremcns. NaCi srednju brzinu taCke usrednjenu na djelom \'remenu kre~ja.
RjeSanje:
Zadatak 1.5
!u '" f}s!" = - = b.t (tl + tJ
odakle je
V 6r = -,,7,---~t>-,-2vo (vl + v 2 )
V l + V~ + 2v" -+---2vo VI + V 2
6, t! = ---
VI + v 2
Tacka prede pola kruinice radijusa R = 160 em za vrijeme t = lOs. Izracunati slijedece
velicine usrednjene na tom vremenu: 8rednju brzinu Va;; intenzitet vektora srednie brzine I;; 8T I; intenzitet vektora srednjeg ubrzanja aka se taeka krece konstantnim tangencijalnim ubrzanjem.
RjeIenje:
!u R~ a) V~F = - = -
160· 3,14 em em. --;1""0'- -;: ~ 50,24 -;-
'" t
! ilr j 2R 320cm em ~ -- ~ --- ~ - - ~ 32"-
At 10 S ~ 8
I~ .... 2R1t em
14." I = -- = 10 -. t "
30
Zadatak 1.6
Odrediti rut koji prede tijeio prj slobodnom padu sa visine cd 100m u pnoj, treeoj i po&Jjednjo; sekundi parlanja, Za koje je vrijeme tijeJo prdlo prvi j posljednji metar puta?
RjeSetlje:
gt~ Za t1 = 1 s, hI = S1 = -:2 = 4,9 m,
g"' Ako tijelo pada t = 11 sekundi, onda je htl =' -'2-' Put koji predc tijclo u n-toj sekundi je
Odavde je:
Vrijeme padanja tije1a je
Predeni put u lKlsljednjoj
gn 2 8 (n - l)t. h tl_1 = - - '--'-:::--'-
2 2
5 -sa = 28 = 24,5m.
, 2h "2
t~(g) ~4,53s"
g(i - 1)2 sekundi je SpOIl. = h - -2
Vrijeme prclaska prvog melra (h 1 = 1 m); tl = 0,448. t
2·99 -Vrijeme padanja prvih 99 Tn je tD& "'"' ( 9,8) 2 s = 4~5 s.
Prema tome je nijeme prelaska posijednjeg metra puta
g(2. - I)
2
=40m.
t pQs • = I - -t99 = 4,53 s_ - 4~5 s = O~03 s.
Zadatak 1.7
U posljedn}oj sekundi svog slobodnog pada tijelo prede polovinu ukupne visine padanja. Naci:
a) trajanje pada, b) visinu h s koje tijeio pada.
Rjeienje:
gt' 0) h ~-
2 k
Za t, = (t ~ 1) s tijelo prede put '2;
2
4 ± 2'"../2 2
h g (t - 1)2
2 2
gtt g(~ - l)~
4~ 2
t 2 =_2tt _4t+2
t ll -4t+2=0
Il = 2 +.J'2 = 3,414s
If! = 2 - .../2: = 0,S8578.
(I)
(2)
31
Rjeienje I a = 0.5857 s ocito nema fizikalnog smisla jet daje vrijeme manje ad I s za koje tijelo prede polovinu svoga puts.
Ct' h) h "'" 2" = 56,64m.
Zadatak 1.8
Izraronati visinu s koje je tijelo puheno da slobodno pada aka je posijednjih 15 m puta preMo za 0,4 s.
Rjelenje: gr'
h = 2 - ukupan predeni rut u vremenu t.
gri h t = VUl l + - - prederu put za vrijeme t1 pod uslovom da na pocetku tog pUla ti-
2 jelo ima poeetnu brzinu VOl'
VOl = get - tt) - tijeio je postiglo brzinu 'Vo~ padajuCi u vremenu (t - t}). Uvrstavanjem posljednjeg izraza za VOl u izraz za hlO dobi.je se jednacina iz koje se izracunava vri;eme pad;mja tijela t:
hl 11 ,=-+-=4,02s.
gtl 2
Prema tome je visina 'Sa koje je djeto slobodno pU§teno
gr' h = T = 79.37m.
Zautak t.9
Dva tijela su bacena, jedan nakan drugcg, s istim pocetnim brzinama 1.10 sa visokog tornja. Prvo tijelo je baeeno venikalno navi~e a drugo vertikalno nanize, nakon vremena· T, Odrediti brzine tijela jednog U odnosu na drugo i rastojanje izmedu njih u trenutku t.
Rjelmje:
Ako ozna~o koordinatu i brzinu prvog tijeia u odnosu OR torani sa Xl i Vl> a drugog sa x. i 'Vt. motemo napisati slijedece jednaCine:
gr' Xl = tlet - T"
'Vt = - Vo - g (t - 'f).
(Smjer prema gore se smatra pozitivnim). :Bruna prvog tijeJa u odnosu na drug() je
U = 'VI - Vs = 2vo - gT
i ne mijenja se s vremenom. Rastojanje izmedu tijela je~
gT' S = Xl - Xs = lvot - (vo + gt) T -+ --,-.
2
Dalde~ tileta 8e, jedno U odnosu na drugo. kretu ;ednoliko, pa se i rastojan;e medu tijelima mijenja proporcionalno s vremenom..
Zadatak 1.10
Covjek~ koji stoji na vrhu neke zgrade~ bad loptu vertikalno navi§e' po(!etnom brzinom 12 m/s. Loptapadne na zemlju nakon 4 s.lzrai:'::unati: b) koju maksimalnu visinu u adnosu na zemiJu
32
dosegnelopta;a) koliko je visaka zgrada; c) koUka j~ brzina kaju ima lopta neposredno prije udara a zemliu?
Rjdenje:
a)
b)
c)
v' h :;:;;;..;: = 7,34 m
Zg
t'O-gtl = 0 • t( = 1,22 s ,
gli H-th=Z
gt~ H= --h
2
hmn. = h + H = 37,91 m
m v = glz = 27,27
Zadatak 1.U
= 30,57 m
Posmatrac, koji u trenutku polaska vou stoji pored njegovog I)rednjeg kraja. konstatovao je da je prvi vagen prosao pored njega za vrijeme t = 4 s. Koliko dugo ce se pored njega kretati 'l-ti C7-mi) vagon? Kretanje voza smatrati jednako ubrzanim. Uzeti U obzir da se radi 0 motomom vozu tiji je pry! vagon ujedno i lokomotiva yoza.
RjeIenje:
Neka je b duzina jednog vagona. "fada je:
at! 2b 2b (~) b = --.! odakle je III = - adnosno tl = (-)
2 t~ . a
at~_l (n-l)b =--
2
at' nb=2
2
I
r. = (~) 2(..[n _ v'. - 1) ~ ,,(v'. - ..;n:::T;.
Zan=7je r. = 4(.../'1- .../6),~ O,g,.
Zadatak 1.12
Posma~J koji stoji ns platou stanice, primijetio jt da je prvi vagoR elektrifuog V'Q7.a, priblitavajuCi ae stanici, proiao pored njep :til vrijeme od 4 sdmnde, a drugi :ta vrijeme od S aekundi. Poslije ovoga, prednji k;raj yom zaustavio se na taStojanju 7S m od posm&ttadl. SmatrajuCi da je kretanje vom jednako ubrmno. odrediti n;egovo ubrzanje.
33
RjeIenje:
at: d = f.'ot, -- 2:'
at' . , 2
t', = 1.'0 - all
Cd je duzina jednog vagona),
at2 at~ a 1.'ot1 - i={vo-:-all)t~-"2 pa jevQ =49,Z
a (t - 9)2' 5 = Vo (t - 9) -- ----
2
0= Vu - a (t ,- 9); (t - 9) = ~ a
49 1z relaci;a (I) i .(3) 'je' (t -" 9) = -,
2 a
Uvrstavanjem reiacija (4) i ('I) u (2) dobije se; s .= 491 _.
8
Zadatak 1.13
(I)
(2);,
(3).
(4)
Na disku,. koji je postavljen vcrtikalno, nalaze se ~!jebovi koji medusobno zatvaraju ugaoO. Istovremeno tijeia pocinju da se krccu (klizu) iz taCke A po odgovarajuCim zljebovima. Za koje ce .vrijeme tijeia, ako se zanemare tren;c i otpor v8zduha, stiei na kraje\'c diska (Galilejev problem),
Rje1enje: i
2ABT Tijelo koje se krece ad A do B ueini to za t .. w = (-g--) sekunde,
a tijelo koje se krece po putanji AC utrosi vrijeme od t,w = I
2AC "2' ~ (---) sekundi. Iz slike je AC =- AB cos 6, rho znaCi da
gcosO . je tAB = tACo Na isti nac!n se pokazuje da sva tijela stignu istovremeno na ivicu diska bez obzira kojom se putanjom krceu,
Zadatak 1.14
A
• Tijelo A je smjesterio ns stonoj ravni ciji je ugao nagiba prema horizontu O. Koje ubrzanje
treba da ima strma ravu~ u horizontainom pravcu da bi ti;elo A slobodno padalo vertikalno?
Rje1enje:
Pri slobodnom padu tijdo A Ce preti vertikalno rastojanje 51 = g~ za vtijeme t. U toku istog
a" vremena ravan Ce se pomjetiti za rsstojanje s, = -, Ako je tiielo stalno u dodiru sa ravni, onda. .2
34
je ~ = ctg O~ 5to se "idi sa slike. Prema tome je 'ubrzanje a = g ctg O. Ako je ubrnoje ravoi , u h~rizontalnom pravcu vece od g etg 9, ti;el0 ce se kretati dalje od strrne ravni (nece odrlati kontakt s njom).
Zadatak 1.15
Golf hapom je udarena lopta na vis-ini od J m iznad povrsinc zcmlje i .n~!avlja .let pod uglom ad 45" prema vodoravnom poloiaju sa takvom poc-etnom brzinom da )oJ.l~ honzomaln .. domet 100m. Na rastojan;u od 80m postavljena je prepreka visoka 10m. Da It ce lopt2 p,ecI preko prepreke?
Rje§enje: y
Za y = ~ 1 m = H,
'VUII: = 'VO cos I}
VOII = Vo sin 6
g.' Y='Vovt -"2
x
V0 8in 6 --~tgO 'Vo cos 6
gx' Y = x tg 6 - """== 2tJo' COS-~ 9
x = X D = 100m, g X1
H= XDtgB - 2' vS~16· •
35
h: prethudne jednatinc po&tn~ brzina VI) je
XD
J. ----,---. v,., = -rose -2 (XD tg6 - If)'
Aka se mtrsti VII u jednacinu trajektorije, dobije se:
gx t 2(XD tge - H)oos'" y "---"" x tg« -" ---- . -'-''-''-. 2 cost e ext
Xntg(l"- H y=xtg\} -x~~--:.\~.
Za tatku A u jednadni trsjektorije temo lzrilcunati vrijednost y,,:
x= xj:I= 80m
i.l = 4SO
H= 1m
_ tg4Sa -- 100m - (- t m) Yp = Sit m tg-4:'F - (8(> m)~ - ---- -
(100 m)li
lOOm+lm YJ! .00' 80 m -- 6400 m~ --.-~-
lOOOOOm1
I'osto je na mje!tu xp vi.sina pr-epreke 9 m U odnosu na postavljeni kootdinatnf sisrem; znaCi da. ce iorta preti preko prepreke.
Kamen baceu L'<l. vislnc h 00' 2,1 m. iznad povdine· zemlje pod uglom e = 4Se prema horizonlU, pao je nt;, zeroJiu D;a rasto;anju s = 42 m od mjesta bacanja mierenog duz horizontalc.
,Ko1ikom. je brzinom bl1cen kamen, koliko vremena je letio i do koje: se maksimalne visine popeo?
Rjefer.je "
OdavU(" je:
u t = ---~-. >
v,.,cos{}
gx' y=h+xtgO-- ... ---
2v:cmt 6
I
tg: e)"2 = 19~86 m/s.
Vtijeme leu. kmnena 11:. t" ~"" ~!- = 3 $. Kamen Ce postiti maksimalan domet uvis 'l.i~cosO
na mjl,"f;tu gdje j1; Y Itomponenu, bt'~ine v&' = 0, tj.
36
y = h_ :l:» "'ll' "'" 0; v~ = (Iliff - gt = v@ilin e - gt
tif> 8in 0 o=tI •• ine-gt~t= ---.
g
Uvritavanjem.- gornjeg izraza za t u izraz za y dobije !I,e hlJUix
Zadablk 1.17
v: sini " ~mall' = h + ~~=-~ = 10,05 ro,
2e
Pob:tna brzina' batenog kamena je 10 m/s. Poslije pola sekunde brzina kamena je 7 m!s. Na koju na;vceu visinu Ce se popeti kamen baten nll ovaj nllcin?
Rje1enje:
Najprijc je vdo jednostavno provjeriti da 51! ne radi 0 hicu uvis, vee 0 kO!;om hieu poSta je " = v,., - gt .. tj; 10 - 9,81 . 0,5 :F 1.
'U,.,'" = Vo cos 6
VON = Vo sin 0
VII =V,-,y - gt
I
V = (1); + v1)2
'v= (vi cost I) +" v: sinl (),- 2gt'll~ sin {) + g·t'll)2
hmu.= v: sint 6 ----=3m,
2g
Zadablk t.l8
Kanien je baCen potemom brzinom tin = 20 m/a pod ~lglom ~ ~ 60" :prema ho~ontu. Odrediti radijus krivine R njegove putanje: a) u najvisoj tacln pUtan,e) b) u momentu pada na zenUju.
y
37
.J, R"~-.
- aN
Po zakonu 0 odrzanju energije je 'VB = Vo.
aN ~'" geos e
Zadata 1.19
0' R", = --'- = 82m.
geos 6
Iz podnozja rayni nagnute pod uglom fl~ ispaljen je projektil sa pocetnom brzinom Vo i ele\'acionim uglom 60 (slika). a) Koliki je domet R mjeren dut ravni? b) Pokazati da se izraz za R pod a) svodi na izraz za domet u dalj kada· je a = O.
RjeSenje:
a) XA = R cos (!
YA = Rsina.
]ednacina putanje
\ \
r " \ ,
Tacks A svojim koordinatama zadovoljava jednaCinu (1).
b)zaaooooO
Zadatak. 1.20
R8ina=tg60·Rcosa
R~
2v' R = _._0 cos 60 sin 60 =
g
A(x/,. Y
)(
(1)
Kuglica pada na stnnu ravan nagibnog ugla 37" sa visille h = 20 em. PretpostavljajuCi da je sudar kuglice i strme ravni_ potpuno elastiam, odrediti: a) nB kom.te rasto;an;u ·od.lJliesta_prvog udara kuglica po drugi put udariti 0 strmU ravan?_ b) ukupno vrijeme leta kugUce od momenta njenog ispuStanja ua visini h do momenta drugog udarca 0 stnnu--ravan.
38
Rje1enje:
y
'"
'Vo = ../fiii
13=90-2«
t ~
x
B
x = votcos[:. }
y = votSIn~ _ g~2 ex' y=xtg~- - __ _
2v~ cos~ :3
- ssiuot = seas or.tSf:\-
-sina=cosa sin 13
co,~
X'B = SC05a
Ys= --ssina
gsa fXJst ot
2'V~ cos· (:l
gs c.ost a
2v~ cos! /3
(3)
gs cos2 a
sin 13. = sin (90~ - .20) = cos 2a = cos2 a - sin~ a
-cos f3 = cos (90" - 2a) = sin 2a = 2,8in a cos a
cos~ a _ .. sin~ a - sin a = cos a • --;;--c----
2sinacosa 2v: . 4 sin2 a cost fl
s = g
h) t = tl + t2
t1 = f1:
(
COS2 a - sin2 IX .) -----_ -L. sin fl
2sin a . , 8' 2eh sinl a
9
s = 8hsina = 96cm.
". ts = ---'--V Q cos (j 2vO' sin a cos a
8h sin a cos a
J2ii Jih fiJi. Jh t1+t:""" g+ g=,Jg+2 2 6=0,605s.
cost a + sin! a
2sin a
(I)
(2)
(3)
39
Zadatalt 1.21
Lopta slobodno pada s visine h oa goro;i dio strme ravni nagibnog ugia O. Naci odnosC" rastojanja izmedu tacaka na kojima odskace lopta od same ravni, ako se svi sudari izmedu lopte j strme ravni smatraju elasticnim.
RjeIenje:
Usvojimo koordinatni sistem tako da je X asa paralelna sa kosinom ravni. ay asa normaina na njll, Ubrzanje koje ima lopta u adnosu oa ove dvije ase je a~ = gz ~ g sin f) i
I
all "= gy = - g cos 0, U trenutku prvog udara brzina lopte je Va = (2gh)"£. a ta ista brzina je i kod odb-ijanja samo sada pod uglom O. Rastojanje izmedu prvog i drugog udara je
Nakon sudara brzine ~u
, gt~ sin6 $1 = Va tl SID 6 + --2-
gdje je t 1 tra;anje leta izmedu sudan~ j od~ reduje se iz re1acije za y, tj.
Dakle,
cti cos f.I
2 ~ O.
2vo ' t1 = --, a $1 = Shem 6.
g
Brzina topte kod drugog sudara ae formira na osno,'u jednaCina
Rastojanje izmedu drugog i treceg sudara je sada
gti sin 6 52 ~-"" 3vu ti sinO + --2--
gdje je til vrijeme koje loptll. provede u letu izmedu sudara, a po~to je po£etna brzina did y' ose ina kao za prvi sudar to je 1 ~ .= l1> odakle dijedi da je
$1 = t6h sin 6.
Po anaiogiji So::: Jobija da j;; fllst0janje izmedu ueceg i cetvnog sudara dato relacijom
$1 = 24h sin fl.
Ako se uOpSti, dobije 1>(:'
i : 2: 3 ! ...
J edan totak poluprecnika R = 30 ern pocinje da rotira oko svoje ose simetti;e sa ugaonim. ubrzanjem n = 2 rad/st . Koliko nnose linearna brzina i linearno ubrzanje ta&e na periferiji tocka 5 sekundi poslije pocetka kretan;a?
40
Rjd",je: (U = at = 2 radfs2 . -5 s = 10 rad/s
tI ="Rt.u = 3m!s
aT ~ :~ ~ 0,6 m./S'} aN = R = 30 mIst
I
=}a"~ (ai. + aIv) 2" = 30.006 mIll,
Zadatak 1.23
Materijalna lacka, koja ;e u poeetku mirovala. pocinje da se krece po kru!noj putanji sa 'konstantnim ugaonim ubrzanjem a:o= 0,25 rad,!l)!, PosJije kojeg _vremena ce ojeno radijalno ubrzanje biti jednako taogencijalnom?
RjeItnje:
Zadatak 1.24
t = 2".
!
= (u)2
Jedan homoge.o.i disk se kotdja bez Idiunja po horizontalnoj ravni konstantnom brzinom tI. I) Dokazati daje iinearna brzina totaci)e bilo ko;e tacke na obodu diska u odnosu na njego'l; centat 0. jednaka btzini tnmslacije diska. 2) Nll.CI velitinu i pravac brzina tataka A, E, C i 1) na obodu diska u odnosu na nepokretnog posntatta(':a, 3) Kaje latke na disku iroaju istu apsolutnu brzinu kao i centar disk¥. U odnosu na nepokremog posmatraca?
RjeIenje:
I) U !Oku vremena T potrebnog za pun obrt, disk ce pokriti ra8tojanje jednako svom obimu>. tj. s = 2rlt, St-:lga je brzina transladje bilo koie tatke na njegovom obodu
2" Vtv' = -1'- = v.
S druge strant:, linearna bn.lOa rotacije rataitll on obodu diska U odnosu na centat je tllln =
d" 21'1:
wr> g Ie Je fH- = - ugaona brzina. rotacije. Prema tome je T
'L:rlt' 'Vu!! = -y- "'" Vir_
2) Brzina ta{:aka na obadu diska U odnosu na nepokretnog posmamaea ce biti sum.a ttans-latorne i rotacione brzine. Ukupna brzina lotke Ace biti 2v, ta<::aka BiD: v../2:,-a ukupna brzina
41
tocke C u odnosu nR nepokretnog posmatraea ce biti nula., jer su njene brzine transJaciie i rotacjje jednake po apsolutnoj vrijednosti, a suprotnog su smjera.
3) Ttenutne brzine taeaka oa dijametru AC rastu proporcionalno rastojanju taCke C. Stoga se kreranje diska u datom trenutltu maze smatrati rotaci;om ako tacke gdje disk dodiru;e podlogu. Gsa kroz ovu tacku okomita na ravan diska zove se trenutna osa. Stoga ce sve racke ria disku sa istim ras[ojanjem od C :u datom trenutku imati. istu ukupnu hrzinu U odnOSll na nepokretnog posmatraca. Prcmu tome, brzinu v imaju sve tacke na rastojanju r do C.
Zadatak 1.25
Dva motorna vozila napuste taCku A istoviemeno i stignu u tacku B za vrijeme to = 2 sata. Prvo vozilo putuje polovinu rastojanja AB brzinom VI = 30 km/h, a drugu polovinu brzi_ nom V 2 = 45 km/h. Drugo vozilo prelazi ukuImo rastojanje AB konstantnim ubrzanjem. U ko;em trenutku su brzine oba'vozila iste? Hoee Ii jedan od njih da pretekne drugog na pUtu AS?
Rjdenje:
AB = s
to = 2h
1
l I J
6 s = 2v 1t, = 2.,30 kfn/h· -5 h = 72 km
ato --- ;;;;c~ a =.
2
Brzina drugog vozila u proizvo nom momentu t je v =0 at. Ta bI"Zitla se izjed.nai:; Sll brzj., nom prvog voz11a u dV3 momenta [' i t".
(I)
( )\ -~
5 30 kmlh =. 36 km/h2 . t' ;:;.;. t' = (;h;
5 45 km/h = 36 km/h2 • t" "'* t" = -h.
4
U momentu kad jedno vozilo pretice drugo, oba su preslu isto rastojanje pa stoga treba da. je:
at~
2 za l<
6 -h 5
6 za - h .;: I = 2 h.
5
Iz jcdnabne (t) je { = 0 (vozila simultano krccu iz A) j t = -~- h, sto je u ~uprotn{)sti !~a 6
u~l()\'om I <. - h. 5
. 12 jednaCine (2) je I
uslov t > 6 -h, 5
2. h (vozila simultano stizu u tacku B) i I ~
Prema tome, vozila se nece preticati oa putu AB.
42
1 -hstone 2
zadovoljavia
Zadatak 1~
Kuglica se kotr1;a po horiz:ontalnoj ravni brzinom ~o .= 10 m/s i upada u tli;eb .koj:!g cine
dva paralelna zida, na medusobnom rastojanju d = 5 em. Dubina tog procjepa je .H ,= 1 !fl. ~oliko puta kuglica udari 0 zidove pro(!jepa prije negO padne na dno? Sudar kughce sa ZtdoVJrTla sl11at!ati savrieno elastitnim.
Rjelenje: Posto su sudari sa zidovima proc;epa savdeno elasticni j posto nema sile koja djeiuje na
kuglicu -u hodzonta,lnom praveu, horizontalna komp0':lenta brzine kod. svakog su~ara ~u~lice sa iidoni ostaje ista, ~to znaci da se uzastopni. udarci lopuee 0 zidave proqepa de§ava,u U lstlm vre-menskim intervalima. Prema tome je ukupno vrijeme ~
padanja kugliee od vrha do dna proejepa (aka se za- ~_~'" nemarj vrijeme sudara) ,....1:L.,. ---~, ''''t::':~~--t·
t=nt' ,('"
r--G ./ I I I
gdje je n ukupan btoj sudara kuglice sa zidovima pro- vj 1:'0'),'" " -J' I I (:jepa, -a t' vrijeme jtmedu dva sudara. Takode je ,!~<.f" , , ._
d I f"" g~2 'Cjj
H = d = 'Vo l' =? t' = / -' I i IX
2 v, ~El, I ! I = ~= )2;i, ! /~ I
1 I / I [ ;:;:1!~:1:;::!::::t:;~::i;~;;iil:;~~:t;;;;£;:::;~~:*:;$~?:il~:M::::::-~ t"
~- d -=! n= ~-J~!f = 90.
Zadatak 1..2'1
Na· horizontalnoj platformi kojs ae obrce ugaoncirn brzinorrt 3 radjs f1.~\12<:i se covjek. On baca loptu na mem kOja se,'takode, nalazi na plutform.i. U prvom aJucaju ~ov)ek .I.e n.~entru plat. forme, a meta je na rastojanju 10 mod njega. U drugom slucaju covjek I met~~ lZn1;Jeoe mlestll; Pod kolikim uglom U odnosu na.pravac covjek-meta treba badti Iopru po plauorfll1, u prvom 1
drugom silica;u, da bi pogodila mem? Pocetn:>. brzlnlI Iopte u UdJ1DSll n;; pluti0rmn 15ta je 1.1 oba .slucaja i iznosi 60 m/s. Tren;e zanemariti.
RjeIenje:
U prvom slueaju laptu trebll baciti pod takvim uglom ((I) da stignc n ism tacku istovremen~ kada i meta. To znaCi d.a ce za vrijeme t, za kale meta iZVJ:"Si ugaono pomjeranje $1> lQpta pre6 rastojanje R. pa je
Odavde je R -e, Vo !.
wR .p I. = -- = 0,5 mo'.
v.
U drugom slucaju rezultuJuca br~in~ !opte (brzina U odnosu na nepokretni refel'entm .slstem) mora biti usrrijerena kll_"osi rotacije gdje s(.~ naiazl meta. Rezul-
tujuca brzina ;; je ta;;ia jec\naka vektorskom zbiru brzine
;;0 kojom je lzbacena-iopta (brzina u odno:\IU us- rotirajucl
referenuii sistem) i periferne brzine ~ ta&e platforme iz koje je izbacena lopta (bl'zina u od~ noon na nepokI"etni referentni sisten:). Sa'slike se vidi da -jr;!
43
Perifema brzina tip je
, ,I ~ ,
Zadatak 1.28
. '0
Vp = Rw, pa je R~
sin 41, = -, fj. v,
r. sin 41~ = 0 • .5. jf), = '6 rad.
U pocetnom trenutku tri tacke A, B i C Ide na horizontalnoj pravoj liniji na ;ednakim rast~ ianjima. Tacka A pocinje da se kreee vertikalno navise konstantnom brzinom v, a tacka C vertikaino naniie bez pocetne bnine i s konstanmim ubrzanjem 0, Kako treba da se krece tacka B vertikaIno da bi sve tri tacke stalno bile na jedno; pra\'oj liniji? Tacke pocinju da lie krecu istovremeno,
Rjdenje':
(I) AA' = vt A'
a' t: CC'~~·
2 n'
AB =--' Be "'"..
• BE' =""Y A • BO = x,
lz slicnosti trouglova AA'O, BB'O i ceo slijedi proporcionainost odgovarajuCih stranic.a:
(2) AA' BB' CC' --- = -~ = ~.-. Hi. posto AD EO CO .
AO·= AB -t, EO je co = BC __ BO'
uz kori!\renje oznaka (1) iz uslova (2) dcbijemo dvije jednacine
at' V! (l -,. i) = 2' (l + x)
y (l + x) =, vtx.
Iz prethodnih iednaCiml dohijarno
I ( at'\ BB' =Y ="2 fJt - 21
I
·c
C'
ito znaci da se tatka B krece vertikalno navi!\e jednako 'usporeno poeetnom brzi.l;l.o:m - t! S kon-2 . ~
stantnim usporenjem - sve dok ne dostigne visi.nu Ymall. = -, karla krece prema dolje. 2 4a
Zadatak 1.29
Kamen je gurnut uz strmu ravan nagiba 3O~ i prelazi rastojanje od 16 m za vrijeme 'I = 25, nuon fega se kli2e prema dolje. Za koje vrijeme t. se kamen vrati u podnot;e ravni? Koliki je koeficijent trenja izmedu ravoi i kamena? Koliki procenat 8voje prvobitne energije izgubi kamen nuon povratka u pOCetnu tatku i na Ito se ona potro§i? .
RjeIenje:
(1)
Kada ide prema gore, kamen prc:de put s za vrijeme tl po zakonu
.t' t = vol l _. --.2., s tim ito mu je btzina ntl: kraju pUla s nula, 'tj.
2
(2) O=vo-at p
~ . Iz (1) i (2) je a = -; = 8 mIst, Jednacina kretanja O\'og kamenA na pUN ptema gore Je
t,
odakle je rna = mg sin a + )lmg <:osa,
a - 11 run a = 0)3643. gcosa
Kada se kamen klite nadolje, ooda ie jednatina kretanja
a predeni put s je
ma' = me sin a ~ !Arng cos a, tj.
Il' = g (sin a - )lcosa) = 1,8rnfr/'
JoE E (V" E;=J-E;,=l- ~:J
VII = at t = 16 m/s
AE - = 0,7767 iii 11,7~"H E,
Kamen ie izgubi,:, 77,7% od prvobitne energije na saviadavanje site treni$,
45
2, DINAMIKA MATERIJALNE TACKE
U kinematid smo c}pisaJi kako Sf- tijcla krecu u r~zliCitim usl~.v;ma n~kyo~ec~ ~ medutim mcuna c> uzroku kretanja. lspitajm.o sada zasto. se mateflJa na ta k a re~e
, ,.' k . tiicla u veZ[ sa uzrokom tog rctanla. na ovaj Hi onaj naCin, ij, trctlralmo reranJe, r "c .' tanji zaSto ti;ela Upitajrno se zasto se Zemlja krde oko S~nca po e.lptl no-, pu • i ovezu'u blizu Zemljine povdiil1c padajl.1. S ~onstantt:ll~ ubrzanjcm? _~asto se atom p , u mo1ekulu, zasto opruga oscIlu)e kada Je lstegnemo) It ......
lstraZi'oanjem odnosa. ~'zmedu kretanja Hjela i fJzroka kretanja bavi se dinan:ik!l' , "1 - . d' d' lu'u jedna na druga na nekl na-
1z iskustva znarno aa $va ttle a U pflfO 1. J~ J._ • . . ke interakcijc C'l'n Vazduh iz atmosfere vr.si pritisak na zemlJu 1 SVd u)ela na n)oJ~)a . 1 t 's'kO
. '. u razlog ZU:;.to lC taiCO e izmedu dijelova atomskog jCT!;gra, protona t ne~trona.' ,5 '. ~ • k" . razbiti atomsko jezgro. Mode-rna fizika razlikuJe cenr1 vrste lntera ~1)3: o.
1. Gravitacione interakcije izmedu tijela usl;ed univerzalne graVltaCl,C,
2 ElektromaITnetne interakcije izmedu 'naelektrisanih cestiea. . ~. , b 'h v • k sael-
S k j) iii nuklearne interakdje izmedu eiementarm eestlca oJe 3, " a e n;avaju atomsko jezgro. 'h
4. 'JSlabe,j interakcije zbog ko;ih dolazi do raspada izvjcsnih elementarm
ccstica. ~ . . ./ Sila lee, dakle, mjera inter-
lnterakr:#e sc kvantitan'vno izra~flva}u pOJ.mom Sf e. akcije tijela iIi cestica ad kajih se tt)ela sastoJe.
2,2. NJUTNOVI ZAKONI MEHANIKE
, 'k k' , 1687 odine for-'Osnovu klasicne mehanike Cini tri zakona dinan~ e .. ole Je . g b 'a do
mulisao Isak Njutn (Newton) na osnovu ge~erahzacl,e ogr?mnog u ::I!edeea tada poznatih eksperimentalnih cinjenica. !a, Nlutnov~, me?amk~ se da I u 19. dva stol;eea pokazala primjenljivo:n n.3 ~ ~enom.ena u: fizlke }:n~m~esvodi10 stoljecu isl" toliko daleko da se objaSnJ~nJe bUo _~~Je~ fi~?g uke <>tkriveni na mehanicki proces za koji vrijede N,utnOVl ~oru. azvoJem na:
46
Sil novi fenomeni (linijski spektri atoma, fotoelektricitet, radioaktivnost, itd.) Cije objasnj'enje nije bilo moguce na osnovu zakona klasiene mehanike. Ti fenomeni su bili objasnjeni novim tcorijama - ~pecija1nom teorijom relativnosti i kvanrnom. mehanikom.
Specijalnu teori;u relativnosti formulisao je 1·905. godine Albert Ajnstajn (Einstein). On je uveo u fiziku novi koncept prostora i vremena. Iz te tevizije je nastala mehanika ve1ikih brzina iii re1ativisticka rnehanika, koja nije rezultiraJa negacijom Njutnove mehanike vee su jednacine Njumove rnehanike transformirane jednacine re1ativisticke mehanike za sluCa; brzina ko;e su mnogo manje u odnosu na brzinu svjetlosti. To znaci da razvojem nauke nisu negirani rezultati klasicne mehanike, vee su samo odredene granice njene primjene, rj. mehanika bazirana na Njutnovim zakonima je mehanika tijeJa Cije mase su veIike U odnosu na masu aroma, a brzine kretanja male u odnosu na brzinu svjetiosti.
Iz iskustva znamo da interakcije niedu tijeJima mijenjaju stanje i prirodu njihovog kretanja, Ako, na primjer, tije10 koje pada stigne do podloge) ono ce se iIi zaustaviti ili ce odskociti odakle je i doslo, sto znaci da mu ;e brzina promijenila :'J-mjer. S druge strane, posmatramo li tijelo ko;e miruje U odnosu na zemlju; ustanovicemo da ge ono nikada nece pokrenuti sarno od sebe. Za pokretanje je potrebno djeJovanjc nekog drugog tijeJa koje ce ga izvesti iz stanja mirovanja. Iz ovoga zakljuclljerno; Ako dato tijeio mj'e u interakciji sa okolnim l1Jelima njegova brzina se ne m£jenja niti po pravcu niti po iruenziutu.
Ova tvrdnja je poznata kao prvi Njutnov zakon iIi zakon inercije, a osobin-a svih tijela da nastoje da zadrze stanje svoga kretanja zove se inercija.
Tijda se, daldc, radi inercije opiru prornjeni stanja svoga kretanja. RazliCira tijda to vrSe razlicito. 1'3 mjcra otpora kojom se suprotstavlja tijelo promjeni. brzine jcstc: masa, koja je, istovremeno, i jedno od osnov.nih svo;stava tijela ..
Prvi NjutDOv zakon vrijedi samo u inercijalnim sistemima referencije (vidi poglavlle: i .6), tj. U onim sistcmima referenci;e koji se kreeu jedan U odnosl:i. na drugi jcdnoliko pravolinijski. Tako, na primjer) kuglica ko;a miruje na stolu u vozu koli se krece jednoliko po pravcu, pomaknut ce se tim voz zakoCi iIi ubrza iako na nju pri tome ne djelujc nikakvo drugo tijelo. To znaCi da U ovom slue-aju zakon inerciJc ne vazi jer sistem kojj se krece nejcdnoliko nije incrcijalan vee neinercijaini sistem referencije.
Dakle, da rezimiramo, prema zakonu inercije tijeio ne moze promijeniti svoju brzinu sarno od sebe, a da nu njega ne djeIuju okolna tijela. Svaka promjena sranja kretanja" tj. intenziteta iii pravca brzine tije1a nastaje zbog djelovanja okolnih tijela. Ovo dje!ovanje drugih tije1a smo nazvali sijom, a osobinu tijela da se opiru pokusajima promjene stanja kretanja smo nazvali inercijom. Fizicka veliCina koja kvantitativno karakterise vrijednost inercije je masa tijela i da bismo odredili ffiaSU
bilo kojeg tijda) mi moramo uporediti njegovu masu sa masom standarda (vidjeti poglavlje: Internacionalni sistem jedinica - osnovne jedinice).
Fundarnentalni zakon dinamike, poznat kao drug; Njutn(}1J zakon, izrazava vezu izmed~ sHe i promjene brzinc tijela koje medusobno djeluju.
Jednostavnim cksperimentima se mote pokazati slijedece: a) Kad god tijelo mijcnja brzinu po intehziteru -iii praycu iIi sarno. po jednom
od njih, a to znae-i kad god se krece ubrzano u odnosu na neki inercijalni sistem referencije~ onda na njega djeluje sila.
47
h) SUa daje tijelu ubrzanje koje je proporcionalno toj sib i ima pravac sileo Iednake sile daju ;ednakim masama isto,~ubrzanje. Jednake sile daju raz!icitirn maMma ubrzanja koja su obrnuto proporcionaina tim masama. Iz prethodnog slijedi da je
F = rna (2.1 ) iii
F ~ d(m v)
dt (2.2)
Relacija (2.2) je opstija i poznata ie kao jednaCina krctanja tijcia, a u slucaju brzina kaje su znatno manje od brzine svjetlosti maze da se pise i u formi (2.1) iii U obliku
di) F =m-dt
(2.3)
Relacija (2.2) treba biti shvaccna keo generalizacija niza eksperimentalnih cinjeoica i posmatran;a, jer U ojO} ne postoji nezavisan naNn odredivan;a vrijednosti m i F, sto znaci) da bismo odredili jednu od njih (m iii F) svejedno) mi koristimo rctaciju (2.2) koja ih pavczuje, jednu u ounosu n3 drugu" i sa ubrzanjem tj. defmisanje bila kaje od ve!iCina ne maze bili nezlvisno od dmge.
Opste je poznata Cinjenica da sc si!a uvijck javlJa k:v) medusobno djeistvo dva tijda. Ta djejstva su uyijck uzajamna, ti. ako jedno tiido dielujc nekom si10rn na drugo tijelo, nnda i OYO drugo tijdo istom H)likom silo:n djciu.je na prvo i:.ijclo.
SiJa se, dakIe, nikada ne moze javiti sarna vee uvijci: u sadicistvu sa drugom silom koja je jednaka po veliCini, ima isti pravac, <:l sup rotan smjer.
Akcija i reakcija su U'lJljek jednake po veliCini, a suprotne po smJeru iii uzaJamna djeist1..'a u}e/a su medusobno jednaka po vehc':ni I' suprotno usmjerena. Ova tV"rdnja je poznar,. u fizici kao treCi Njucnov zakon. Matem'uicki izrazen on glasi
(2.4 )
Pokazano je, relacija (1.5J), da je ubrzanje isto u aba izabrana inercijalna sistema referenci;e. To znaci da ce i sile koje djeluju na tijeia u aba sistema referencije (shodno jednacini 2.2) biti, takade, iste) sto nas navodi nll. zakljucak da se dinamicke jednaCine nea mijenjati pri prebsku iz jednog u drugi inercijaini sistem referencije, tj. bite invarijantne U odnosu m\ transformacijc koordinata kOje odgovaraju prelazu iz jednog u drugi inercija!ni si:m::m. 1z ovoga zlkljucujemo cia su svi inercijalni sistemi referencije apsolumo ekvivalentni i da se svi mehanicki procesi u razHCitim inercijalnim sistemima. odvijaju identicno.
Eksperimentalno je utvrdeno da zakoni klasicne mehanike vrijede sarno ako su ispunjeni slijedeCi preduslovi:
1. Za prostor vri;edi Euklidava geometrija.
2. Prostor je izotropan, ij. fizicke osobine tog prostora su iste bez obzira na pravac kretan;a. (U jednaCini 2.2. vrijednost mase m nece zavisiti od pravca kretan;a).
3. Njutnovi zakoni kretanja vrijede u inercijalnim sistemima. 4. Svugdje i za sva tijela ispunjen je Njutnov zakon gravitacije (vidjeri po
glavlie 4.2).
48
2.3. ZAKON ODRZANJA KOLICINE KRETANJA
Stanje kretanja nekog tijela iir~iava se proizvodom mase tog tijela i njegove trenutne brzine, m· v. Ova veliCina se zove kolilina kretanja(impuls)tijela. Prema drugorri Njumovom zakonu, sila je raziog zasto dolazi do promjene stanja kretanja nekog tijela,. tj. sila je ;ednaka promjeni koliCine kretanja u vremenu, tj.
_ d _ ·F~-(mv).
dt
Posmatrajmo ;ednostavan slucaj interakdje dva tijela (nezavisno kakva je interakdja} tj. sila medu njima: elasticna,.magnetna iIi eIe!-<tricna)~ tako da zanemarimo interakciju ovih tijela sa drugim tijelima. Tada kaicroo da ova tijela Cine izolovan siscem. Kao rezultat njihove interakcije, njihove brz,ine se mijenja,iu u vremcnu. a n;ihove putanje sU opcenito zakrivljene (s1. 2.1).
Ukupna koliciml kretanja (impuls) sistema u momentu t je
P = Pi + P2 = m/v1 + mtv2• (2.5)
U kasnijem mome.ntu x' ukupna koHCina kretanja sistema je
p' = p~ + p~ = miv~ + m)!v;. (2.6)
Aleo je F 1 srednja sila u intervaiu Ilt = r:' - t kojom tijdo B djdujc na "tije1o A, a F 2 srednja sila kojom tijelo A djeluje na tijelo B, onda je~ po III Njutnovol1J. zakonu,
--,
t ·'p. rt{ PJ APJ V Pz
ii,
Slika 2.1.
- - I1p, I1p-" F, 0"" - F 2 iii '" odnosno At -7t-'
p; -p, = - (j5;-p,) iii
p, + p, .= p; + p; = const. (2.7)
Relacija (2.7) kaZe da je ukupna promjena koliCine ktetanja £zo[ovanog sistema tijela jednaka nuli iIi kolilina krecanja izolovanog sistema tijela ostaje konstancna~
49
~~o iz~lov~nj si~tem s,adrz.l n <tijc1a (s!. 2.2), pa sa PII> oznacimo sHu kojom n-to tlJe~o d,el~le :,a '1-t(> onda Je UR~rna sl.la n,a svako od ovih tijeJa posebno jednaka zblru sVlh stla kOJom okolna tlJela djcluJu na njega~ tj.
odakle siijedi da je
- d (m! i\) ~ ~ Fl '= '-"'--~i7---- -== F12 + F 13 -+- .,. + Fb
d
(2.8)
r" + i"'; + . ,,~
P,cma HI 1"Tjutrtovorn zakonul je FfJ = -- F'H za $vako £ l~' l. pa 1~\birajucl svih n jednacina (2.8), dohijemo
Slika 23.
+- m",v,.) =' 0
L H1,1i; =0 cons:1.
£=1
(2.9)
(2.1 0)
Veklorski zbir kolit£ne kretanja tijela u izoiovanotn sistemu u toku kretanja ostaje konslantan.
50
2.4. PRIMJERI RAZLICITIH SILA KOJE SE IZUCAVAJU U MEHANICI
2.4.1. Sila gravitacije .i tezina
Zemlja privlaCi sva tijela sHorn zbog koje padaju istlffi ubrzanjem iJ U odnosu na Zemljinu povr.sinu. To znaci da u sistemu referencije vezanom: za Zemlju, bilo koje tijeio mase m se nalazi pod uticajem site
(2.11)
koja se zove sila gravitacije. Ako tijelo miruje u odnosu na Zemljinu povrslnu, sila G je uravnotezena reak
cijom podloge iT koja sprecava da tijelo ne padnc (FO'
= - G). Prema III Njutnov.5;lm zakonu, tijdo u tom slucaju djeluje na podlogu sHorn Q koja ie iednaka - F!", tj. sHorn
(2.12)
Sila Q, kojom til do dieluje na podlogu (Hi na uze na kojem je objeseno), se zove rezina lijela. Ova sila je jednaka mg sarno kad tijelo i njcgova podloga CUi uze na kojem visi) miruju u odnosu na Zemlju. Ako se, pale, oni kreeu nekim ubrza .... njem ii, njihova tezina Q neec biti jednaka m{j. Ovo se moze objasniti na slijed,ecern primjeru.
Ako se tijdo objesi na elasticnu oprugu i krece se skupa sa okvirom ubrzanjem u, jednacina kretanja djeJa ce imati obiik
G+F .. =ma gdje je F .. reakcija u opruzi. tj. sila kojom opruga djeluje na tijelo. Prema III Niutnovom zakonu, tijelo djeluje na oprugu sHorn - fir) koja je po definiciji tezina tije1a Q U ovim uslovima. ZamjenjujuCi sHu Fr sa - Q a silu gttdvitacije G sa mg dobijerno
(2.13 )
Ova formula odreduje tezinu tijela U opstem slucaju. Ona vazi za podl?gtt iii uze bilo koje vrste.
Pretposravimo da se tijelo i uze krecu u vertikainom pravcu (s1. 2.4). Ako projiciramo jednaCinu (2.13) na pravac kretanja, bice
Q ~ m (g ± a) (2.14 )
gdje su Q, g i a intenziteti odgovarajuCih vektora. Znak plus odgovara ubrzanju a usmjerenom prema gore, a znak minus za a llsmjereno prema dole. Iz jednaCine (2.14) sIijedi da velicina tezine Q moze bid iIi veca ili manja od sile gravitacije (}. Ako okvir slobodno pada ubrzanjern a = g, sila Q kojom tijelo djeiuje na oprugu iscezava. Nastaje tzv. bestezinsko stanje. Svemirski brad koji kruzi oko Zemlie s iskljucenim masinama, putuje kao okvir koji slobodno pacta, s ubrzanjem g. Kao rezultat toga, tijela u njemu su u bestezinskom stanju, tj. Qna ne vrSe nikakav pritisak na tijela s kojima su u dodiru. Treba istaCi da se sila gravitacije G cesto brka sa silorn t.un. tijela Q. OVO dolazi otuda sto u sIuCaju podloge koja miruje, sile o i Q se podudaraju i po veHeini i po praveu (objesu jednake mg). Treba upam-
51
titi, mC(lutim, da ove sile djeluju na razliCita tijela: G djeluje na sarno tijelo, dok Q djeluj!,': na podlogu iii uzc, ogranicavajuci slobodno kretanje tijela u polju zemljine"gravlt3cione sileo OSiffi toga, sila G je uvijek jednaka mg bez obzira da Ii se tijdo krcce iIi miruje, dok sila tezine Q zavisi od ubrzanja kojim se krecu_ podloga i tijelo. Ona moze biti Hi veca iii manja od mg, a u posebnom slueaju bestezinskog stania potptlno iscezava.
Slika 2.4.
2.4.2. :m.asticne sHe
" S~'ako n~~lno yjel~ se deform~~e} tj, mijenja dimenzije i oblik pod uticajem ~~la. ~oJe .I~a.-n,1?ga QJ~luJlL Akc: se ~lJclo vrati u prvobitno stanje, tj. poprimi prvoU.l.U11 obhk 1 dl?1enZljC na,kon 8tO sile prestanu da djeluju, onda se takve deforma-cIJe~ zov~ elasttcne 4.cform1.Cije. E.lasticne deformacije 5e uocavaju kada, sila koja prblzvodt JdormaCljU, ne prelazl odredenu granictl knja se zove granica elasticnO:>ii.
, U7:mim~'e1asti6~u oprugu duzine 10 u nedeformisanom StclpjU i djelujmo silama F1.~ F2 >na,uJ:~nc kOjcVC ~s~9jivsi ~'t s~ sile Pi i F2, jednake po intenzitetu, a suprOtIlog su sr~lJera. Pod unca)crn oVlh s.lb, opruga ce da se istegne za neku duzinu /J.I, nakon cega se uspostavi ravnoteia. .
. U s~anj.u. ravnoteze spoljne sile PI i F2 ce biti uravnotezene elasticnim'silama ~~J~ se Ja:~J~Ju U ,opruzi kao .~ez:Utat Iliene detormacije. Eksperimenti pokazuju d,: JC U sluc~)u. mahh o.eform.aclJ<l} lstezanJe opruge At proporcionalno sili istezanja: h.! ~ F (gel)e !e F, ~ F, ~ F).
Prema t()m.c, ela::lticna sila je proporcionalna elongaciji opruge
F ~ MI. (2.15 )
.~onstama propordonalnosti k se Zove konstanta opruge. Tvrdnja da je deformaC1Ja proporclOnalna elasticnoj sili predstavija Hukov (Hooke'ov) zakon.
2.4~3. Sila trenja
Sua t1~~nja se defi.nise kao sila koja nastaj,e na dodirhoj povrSini dva tijela i sprecava nJlh~vo :eiat1~~o kreta~je ... lma pravac duz dodirhe povrsine) a smjer suprotan relatlvnoJ brzlm kretanJa ~Jela. Razliku;emo van;sko i unutrasnje tre-nje.
52
Vanjsko rren;e Je interakcija' izmedu povrsina dva kruta tijeia u kontaktu. Karla dodirne povrSine tijela mirujll jedna u' odnosu na drugu, govorimo 0 starickom rrenju, a kada se relativno krecu jedna U odnosu na drugu, govorimo 0 dinantickom iIi kinetickom erenju.
Dinamicko trenje dalje moze biti trenje pri klizanju i trenje pri kotrljanju.
Unurramie trenje iii viskoznost je interakcija izmedu slojeva tecnosti iii gasa koji se pomjeraju jedan U odnosu na drugi. Ovdje nema statickog trenja.
Teorija vanjskog trenja jos uvijek nije dovol;no istrazena i razyijena, ali, grubo uzevsi, moze da se ukratko rastumaci na slijedeCi naein: povrSina evrstog tijela;> Cak i kada je ono veorna uglaeano, -jos uvijek ima ~a scbi mikr08kopske neravnine i neregularnosti. Cesto je ta povrSina pokrivena oksidirria} adhezionim slojevima gas)J, i tecnosti i stranim ukljuecima. Kada takve dvije povrsine dodu u dodir, onda ce se njihove mikroneravnine "uklopiti" jednc.u druge i sprecavati relativno kretanje dodimih tijela; s1. 2.5. Jednostavni eksperimenti pokazuju da je sila trenja, koja se protivi re1ativnom kretanju dodirnih tijela, proporcionalna 8ili normalnog pritiska N na podlob-'U. Ova - sila moze biti sila gravitaci;e (tefine) iIi njena normalna kompo-
SliJu; 2,5.
ncota (ako tijelo lefi na nagnutoj, kosoj ravni), iii bilo koja druga sUa normalna na kontaktnu povrsinu tijela,
(2.i6)
Eksperimenti pokazuju da koeficijent ~, koji se zove koeJicijent trenja, zavisi od vrste i uglacanosti dodirnih povrsina i razlicit je u slucaju statickog i dinamickog trenja i uvijek je koeficijent dinarnickog trenja manji od koeficijenta statickog trenja (J1. < p. ). Ova razlika lezi u Cinjenici da je staticko trenje posljedica elastic-ne deformaci;e ~ikroneravnina fla kontaktnim povrSinama, a dinamicko trcnje klizanja se desava kao rezultat plasticne deformacije neravnina i njihove djelimicne destrukcije. Dok je trenje u nekim okolnostima korisno i bk neophodno) za samo odvijanje procesa kod veCine masina koje imaju pokretne dijelove, ono je ,stetno pa se na razlicite naCine nastoji da smanji. Cesto se to postize tako sto se trenje klizanja prevodi u trenje kotrljanja koje je znatno manje.
Eksperimentalno je lako dokazati cia je sila tren;a kotrijanja proporcionalna normalnom pritisku na podlogu, a obrimto proporcionalna radijusu cilindra, toCka iii kugle koja se kotrlja, tj.
(2J7)
Ovdje je !J-I: koeficijcm trenja kotrljanja) i ima dimenziju duzine.
53
2.4.4. SHe kod krivolinijskog kretanja
~ilu mozemo o~ara.k~eri~~ti na jedan od ~;a nacina; prema' "izvoru" koji uzroku)~ d.a se ona P?javljuJc, li,1 prema "efektu ko;i ona prouzrokuje. U Oyoj druaoi pod,eh spomenucemo cCnlnpcwlnu silu. . . .. Ako sila, .koja djeluje na tijelo, ima isti pravac kao i brzina, krcranje je pruvo
ltmj1;ko. D? .bl nastalo krivolinijsko kretanje, mora- rezultujuca sila bid pod. un'lom prema brzlDl) tako da ubrzanjc ima kompOnCntl..1 okomitu na hrzinu koja cc od~o-
varati promjeni brzinc po pruycu, sl. 1.6.Prema tome, silu mozemo razloziti na tangencijalnu i normalnu komponentu, tj.
I
F =. FT + F.v I dv FT = mat =m-. 1
dr 1 (2.1 X) I
F\I 'lJ~
J =- nta" 1'11-.
R
!,-Tor~aJn~ sila ~e jos ZO\'C ccncrz'peialna sdl.l 1 uVIJck ie usmJcrena prema centru zakriyIjenosti trajektorije. -
S/ilw 2.6. . Ona prouzrokuje promjenu praYl~a br-zmc, a tangencijalna intenziteta brzinc. Ako
.. je tangencijalna sila iednaka nuli ooda nc~ ill:" tangenc~Jah:og ubrzanj~ i kretanjc je jcdnoiiko, kruzm) kretanje. Ako je ecn. tnpetalna slla Jednaka nul!, onda nema normalnog ubrzill11·o 'I· ne . h ' . '. < ... , • rna prOffi)enC
rZIlle po s?:Jeru, pa Je kretao}c pravolinijsko. U spccljalnom slucaju kruznog kretanja gdje je 'V '_=, Ru), centripetalna siia
se jos. mote izraziti relacijom
FN :.oc, Fc. .--- m(,)2R iii F .-= _. m<o}2R (2 19' .p q . )
. Centripeta.l~a sila. moze bid razliCite prirode ovisoo 0 tome sta uzrokuje kretanJe po ~ruzmcL Kaoa se automobil krece u horizontalnom zavoju tada centripetaln~ s11u "srvara." nenje izmedu tockova i Ceste. Ako to trenje ~ije dovoljno (mokn aSfalt, pOiedlca), onda a~tor.n0bil izleti iz zavoja. U sluc-aju kretanja Mjes.eca oko Zeml,?, centnpetalna ~da je gravitaciona sila privlacenja Mjeseca i ZemIJc. Kod ~ret.~nJ~ clektrona ?ko Jczg.ra atoma cenrripetalnu silu dajc Kulonovo (Cou:~:b) pnvlacen)c; kada vrtlmo nekl predmet na uietu, tada je to naperost u uzetu,
Centripet~lna s~la, dakie, nije neka nova vrsta sile, nego sarno poseban naziv za svaku od s11a kOJu uzrokuje kruino kretanje.
2.4.5. inercijaine sUe
Poznat~. nal? }e ~a ,SUo Nj~.tnovi zakoni invarijantni U odnosu na Galilejeve t:~ns~or~aCIJ~} tJ. Imar~ 1St! obl~k u.~vim inercijalnim sistemima referencije. (InercIJalm Slsteml referenCIJe su Oro kO}l se medusobno krecu jednoliko pravolinijski.)
54
TakQ II Njutnov zakon u dva inercijalna refen:;ntna sistema 0 i 0' .ima isti oblik
F' = ma.' = ma = F. (2.20)
Sistemi referencije, koji su uhrzani U odnosu na inercijalni sistem, su neinercijlrJni sistenii referencije i u njima ne vrijede Njutnovi zakoni. 'Neka se, na primjer,. sistem 0' 'krece s konstantnim ubrzanjem au U odnosu na inercijalni sistcm O. Drugi Njumov zakon u sistemu 0 glasi F ~ rna. U ubrzanom sistemu 0' taj zakon i:udav~ S"e 'r~lac;ijom
F' = ma'=·m (it - iio) = ma - ma, F + -1',. (2.21)
Iz gornje re1acije slijedi da hj se u ovum siste.mu referencije,' cak i u slucaju eta je rezultanta vanjskih sila jednaka nuli, tijelo kretalo ubrzano kao da na njega djeluje sila, - milo. To. sHu, koja se razlikuje od vanjske "prave" sile F, zo.ver:t0 inercijaln.a sila. Qna ruje pro;u:Zfokovana djelovanjern drugog tijeia vee je posljedlCa ubrzanja samog referentnog sisremao
InercijaII',l.u·' sHu izrazavamn re1acijom
Fi = -_. mltu, (2.22)
Inerci;alnu sUu najbolje oswcamo U VOZU,J autohusu i 81. Kad vozilo ubrzava} osjeeamo inercijalnu silu prema nf.lz,ad., \~ slucaju kocen;a., prema naprijed.
m
5;1iko. 2.7,
Kao primier djeiovanja iner ~ dtalnih si\a razmoirimo sj~te~ vezan za lift koji se krece s. odredenim ubrzan;em. Neka. rIa ,Plafonu lifta .visi '!lteg na dinamometru (s1. 2.7)." Kada- lifi -ri1iru;e, -dinarnometar pokazuje_ teZinu utega. Ako se, pak, lift ubrzava' prem3 gore ubrzanjem ao, dinamome-rar pokazuje veci intenxitet tefine nego kae! lift miruje., Kad se lift 'ubrzal:lO spuiha (ao ima smier prema dolje) dinamometal' pokazuje_ manji intenzitet te"' Zine. Medutim, ak'O se lift: krec_e
. jednoliko ~iio gore bilo doije,' di~ namometar pokazuje isti irttenzitet !eiline kaa i u -mirnom iiftu. U inercij"alnoffi sistemu (L1.brzanom. liftu) na tijeio, OSlm vanjske sile, dieluje, takode i ~rtetci~alna sib F\ ,"---" - ma{!. Drugi Njutnov zakon u ndnerci;alnom sistemu, dak:le~ glasi
(2.23)
U 'nasem primjeru pri ·u1.-.?i:zavanru Iifta prema gort::, mercijalna sila je "?ila us~jere~ p!,cma dolje i povecavru.a je tezinu utcgu} pa je dinarnometar pokaZlvao tezmU ~
12'= Q + F, iii. skalamo Q' = mg + mao
KadQ ,se lift:. ubrzano spus.ta;., prividu¥l tet~a je manja i iztlosi
Q' = -mg ,- ~a = m (g - au)'
(2.24)
(2.25)
55
-
Uvoden;em inerdjalnih sila moguee je kretanje tije1a i u neinerci;aInim sistemima referencije opisati preko Njutnovih zakona u istom. obliku. .
Treba posebno naglasiti da su inercijaine sile nesto drugo U odnosu na elasticne, gravitacione sile i sile tren;a~ tj. one sile ko;e su uzrokovane djelovanjem j:dnih tijela .na druga, .Jer, ine:cij,alne sile se pojavljuju zbog osobina referentnog sIstema u kOJcm se datI mehamckl renomen razmatra. U tom smislu ih onda mozemo nazvati fiktivnim silama.
Primjer inercijalne sile je cencrifugalna sila koja se javlja kod kretanja tijela po krugu. UoCimo, dakle, referentni sistem 0', koji' rotira ugaonom brzinom w
u odnosu na inercijalni sistem
z'
0'
X'
y' .--""~---+-
O. Takav rotirajuCi sistein referencije moze, na primjer; da bUde disk koji se okrece u odnosu na nj~ga upravnu osu .. £ brzinom w (s1. 2.8). Xcka se skupa sa diskom obrce opruga pricvrscena za ceritar na Cijem se slobodnom kraju nalazi tijelo mase m. Posmatrac iz inercijalnog sistema 0 (laboratori;a) vidi da se pred~et krece po kruznici jer ga opruga vuce .centripetalnom silom
. ~osm~trac koji .b~ se vrt~o zaj~dno sa plocom, konstatovao bi da predmet lllirUJe U llJcgovom sistem.u rcierenCl)c. Ako bi on htio da napiSe II Njutnov zakon ~ ~~o~ .n~incr~ijalnon: sist,em.u referencije (0'), morao bi sili opruge Fep pribroJ!tl, JO~ 1 ~nerCl}~~nU Sll~ I'e!> tzv. centrifugalnu situ, tako da je rezultantna sila, kOla dJelu)c na tlJelo U Slsremu 0', jednaka nuli, jer tijelo u_tom sistemu miruje tj.
Fcp + Prj = 0; FCI = ""-- Fcp = mw2r'; (2.26)
gdle S~? r' Risali umjf~sto . r .U' = ,) .da.,istaknemo da s:. centrifugalna sila FC!
pOJavlJuJe U slstemu 0 , gdJe Je polozaJ tlJela odreden radiJus-vektorom f'. . Centrifugalna sila nije jedina inercijalna sila koja se javlja u sistemu koji ;ed
n.ohko rotira u ~?n?slt. na i';lcrcijatni sistem referenci;e. 1) ovom neinercijalnom sistemu referenCIJe JaviJa se 1 tzv. Koriolisova sila koju mi ovdje' necemo detaljno obrazlagati.
2.5. RAD, SNAGA I ENERGIJA
2.5.1. Mehanicki rad
Posmatrajmo cesticu A koja se krece duz krive C pod uticajem. sHe F (51. 2.9).
U vrlo ~:a,tk0Z:: v~em~nu dt cestica. , SIb krere od A do A' tako da"je AA I = df. Rad, kOJl lZVrSl sIla F u toku pOfUJeranja, definiSe se skalarnim proizvodom
dA =' F . df (2.27)
56
iii d..A = F cis cos tI, gdje je ds imenzitet od dr, a 6 ugao izmedu pravca sile F i pomjeranja dr.. Dalje je F T = F cos 6 komponenta sile u p!avcu pomjeranja, p. je
dA =F.ds. (2.28)
To znaci da je r:ad jednak pmnosku pomjeranja j::oje proizvodi sila i komponente . site u pravcu pomjeranja: '.
Ukoliko je silo okomita na pomjeranje (6 = 90°), rad koji viii sila je jednak nuli. Na primjer, ovo je slueaj sa centripetalnom s~lom pri ~uZno~ kretanju iii sa sHorn gravitacije mg kada se ti;elo krece po horlzontalnoJ podloZl.
iii
Jednacina (2.27) daje rad na infinitezimalnom pomjeranju. Ukupan rad koji. se izvdi na cestici kada se krece od A do B je suma svih radova .izvrSenih tokom sukcesivnih malih infinitezimalnih pomjer.anja, tj.
Siika 2./0.
A= F,' df, + F,· dr, + F,· dr, + ... B B
.11 = f Ii· df ~ f F. ds. (2.29) A A
Da bisrno izracunali integral (2.29), momma mati iii F u funkci;i od f, ill jednaanu putanje, duz koje se eestica kreee., Iii, opeemto, moramo mati P i r u funkciji vremena iii neke druge varijable.
'" .' £~-
dA-',...,
" 1 dI; ~ ,
"'''I I, FT
.. , F,
A d. B
Slika 2.11. Slilw 2.12.
57
K ada se dielo krece, komponenra FT se mijenja. Elementarni rad je numericki ;ednak srafiranom dijelu ne 51. 2.12.
Slika 2./3,
A
2.5.2. Snaga
: dA = FTds, dok je ukupari rad izvrsen. na guru od A do B jednak povrsini figura A'A B B', koju zaklapa kriva F T , verti;.. kalne linije od tacaka A i B i s-osa. Interesantan, poseban, slucaj je onaj u kojem je sila konstantna po velie-ini i praveu, 8: tijelo se krece po pravoj liniji u smjeru sileo Tada je FT = F, pa je
11 B
J F ds = F r ds = F s. (2.30) A A
U prakticnim primjenama vaZno je znati brzinu kojom se vrsi rad. Trenmna snaga se definise kao rad izvrsen u jedinid vremena. Ako je dA e1ementarni rad izvrsen u vremenskom intervalu dt} tada je trenutna snaga
p= dA (2.31 ) d,
Koristenjem jednaCine (2.27) i uzimajuCi da je v :0;:;;:0 ~~, mozemo, takode, da de
pisemo
(2.32)
pa se snags moze da definise i kao skalarni proizvod sile i brzine. Srednja snaga u toku vremenskog intervala r se definise kao kolicnik ukupnog rada·A i vremenskog intervala l, tj.
A PH =, (2.33 )
Sa inzenjerske tacke gledista, snaga je veoma znacajna veliCina, jer kada inienjer dizajnira maSinu, vaznija je brzina kojom masina vrsi rad od ukupnog iznosa rada koji mas"ina moze da iZVfSi.
2.5.3. Jedinice za rad i snagu
Jedinica za rad je rad kojeg izvrSi jediniCna sila ( F= 1 N) na jedinicnoj duzini (s = 1 m). Prema tome, jedinica za rad je 1 Nm, poznata kao 1 diul (Joule), ovako nazvana prema engleskom naucniku Dzulu (Joule),
Jedinica za snagu je jedinicni rad (A = 1 J) izvrsen u jedinici vremena (c =
= 1 s): II je jedinica za snagu· i,zove se 1 W = 1 vat, prema engleskom inzenjeru s
Vatu (Watt), koji je usavrsio pamu masinu,
58
2.5.4. Energija
Pokazali smo da je u op"tern slueaju rad sile F jednak proizvodu komponente sHe u pravcu pomj~;a i pomjeranja, tj.
dA = F.ds=m.-. ds = m· d., =nwdv =d _ . . dv ds (""')' dt dE . 2 (2.34)
Ukupan rad na nekom interV'alu puta od A do B je tada B B
A = r F'l'ds = f mvdv =~mV~t - t mv~, A· A 2· 2
(2.35)
lz gornje relacije proizlazi da je rad A izvrien had nekim' tijelom na Ptltu
AB jednak razlici velie-ine ~ mv" na krajLl i na poi::etku puta. Ova v~liCina· se zove
kinelicka energija tijel~.
Prema tome.
E", = ~ mf)'l., pa je A = EK a - E ... ~, 2 . n •••
B
tj. f F dr. A
(2.36)
Rad! izvrien na nekom tijeiu je'dnak je promjeni njegove kineticke energije. Mo .... i;emo, takode, reCi da. je energija sposobnost tijela da izvrsi rad) a rad je mjera za proces kojim se energija prenosi sa jednog tijela na drugo.
Kineticku energiju posjetiuju ti-jela koja se krecu nekom brzinom v, te mogu prilikom usporavanja iii zaustavljanja da izvrSe rad.
Pored kineticJ<e u mehanid postoji i tzv. pocencijalna energija i to gra· vitaciona potendjalna energ~ja i e1astiena potencijalna energija.· Gravita· dona potencij4lna energija se izra.zava radom koji treba izvrsiti da se tijeto sa nek;og referentnog nivoa podigne na niva na kojem se nalazi, tj, da se oa putu izmedu ta dva nivoa savlada gra· vitaciona sila. Zamislimo materijalnu tacku mase m koja se krece pod d;e1ovan;em sila te
T
ze. Rad sile teze na putu od A do B je:
'8
y
T
I
I I I I I
~---------YAI ~
I "
Slika 2./4.
A~· J Fdf ~mii(rB - rA)'
POSto je F = mg = - mg], i J (fa - fA) = Ya - Y .. o onda je A = - (mgy. --; mgy.) ~ mg(YA - .vB)' pa je
A ~ mgh = E •.
•
(2.37)
(2.38)
59
Prema tome, rad sHe teze ne zavisi od puta vee sarno od pocetnog i konacnog polo7.aja tijela. Sila koja ima svoj~tvo'd~ joj rad ne zavisi o~ puta.vee samo od krajniih polozaja zove se konzervattvna stla. Rad konzervattvne slle po zatvorenom putu je onda jednak nuli,
(2.39)
RaJ sile trenja, naprotiv, zavisi od puta:'sto je duzi put, rad je veti. Sila trenja je, prema tome,. nekonzef"'vativna sila. Ove sHe jos Zovemo disipativne sileo
Rad svake konzervativne siIe mozemo izraziti preko potenci;alne ,energijc jednaCinom
'B
J 'PH df~; - {EI' erR) - E,} (fA)}' (2.40)
C grankama clastit'':nosti cvrsta tijela se opiru deforrnaciji sHom koja je proporcionalna deformaciji i suprotnog je smjera od smjera sile koju izaziva deformaciju, tj.
F ~ ks ~ ~ k!l.x. (2.4! )
Ako, kao tijelo koje se deformise, uzmemo elasticnu oprugu, uncia jc rad koji treba izvrsiti za rastczanjc (sabijanje) opruge od poc-erne elongacije Sl do konacne elongaciie 52 dot jednaCinom
s, s, 1 A ~ r F ds ~ f ks ds ~ -. k (s; ~ silo
-' 2 -(2.42)
" '" H"l{l silc opruge je iednEk radu vanjske siie, s negativrtim predznakom pu je
Aop "';0 ~ ks~ - ~ ks;. 2 2
(2.43 )
Slicno 'kao kod gravitacione sire, potencijalna energija elasticne sile opruge $C definise izrazom
A, ccc E (s,) ~ E (s,) ~ . .1 ks; ~ 1 p P P 2 2 ks~. (2.44 )
Dogovorimo Ii se da jc potencijaina energija jednaka null u poloiaju ravnotde (S =c- 0), taua je potcncijalna energija opruge
I -h~ = - ks z
2
gdjc je s el.ong.acija, tj. pomak iz raVl1oteZDog polozaja.
60
(2.45)
2.5~5& Veza izme4u kineticke ,i poteticijalne energije~ Zakon 0 odrianju energije
Razmotrimo princip e'nergije u konstantnom gravitacionom polju na primjeru podizanja kamena na neku visinu razlic~tu od nivoa zemljista. Kad di:!emo kamen, vdimo rad~· jer istom. sHoni k6;om vu~etno kamen prema gore, tetina vuce kamen prema dolje. Sto je yeti kanien i 8to ga vise podignemo, to cemo izvrsiti veei rad, jer je rad jednak proizvodu sile i dostignute visine. :Ako se zapitamo 8ta se promijenilo time sto sino kamen podigli na neku visinu j vidjecemo da se sam kamen nije ·promijenio~ vee. da je promena sarno u poloiaju kamena U odnosu na nivo zemlji~ta. Novi po!oiaj osposobljuje kamen cia, padajuCi prema zemlji j vrsi neld rad, tj. Vllee uvis neld teret. Ta sposob-, nost tijela da vrsi tad zbog promjene poio±aja zove se potendjalnom ehergijolll:, koja, uopsteno govoreCi,
y
proizlazi iz raz!icitih polozaja tijela prema zeinlji.
Slika :US.
Ali, nije samo potencijalna e~ergija ta,koja ima sposobnost da vrsi rad. Vjetar i~i voda mogu pokretati vjetrenjace iii, mlinska kola. ZnaCi, i ti;e1a u pokretu imaju sPQsobnost da vde rad i ta sposobnost se naziva kinetickom energijom tijda. Vjetar iii voda~ okreeuci krita vjetrenjaca iii mlinska kola, 'gube brzinu pa time i kineticku energiju.
Potencijalna i kineticka energija su povezane. Do teo spoznaje jt: pry! dosao Galilej ispitujuci padanje tijeIa po kosini, gdje je ustanovio da brzina tije1a pri udaru 0 tio ne zavisi od nt'j.giba ~osine} vee' sarno od visine sa koje kuglica pada. Ispravnost tog stava je Galiiej pONrillo i na primjeru kretanja kuglice U ovainoj posudi. Kad je pomakao kuglicu sa dna posude, Galile; je promijenio potencijalnu energiiu iste. Iz povis.enog polotaja kuglica pada prema polofaj~ ravnoteze, gubeci pri tom potencijalnu energiju, ali dobijajuci na brzini. Ta kineticka energija om,ogucuje .kuglici da se ,popne do iste visine sa koje je krenula na suprotnoj strani zdjele, Cak bez obzira i na oblik zdjclc) tj. puta':lie po kojoj.se krece.
Kvantitativno je princip enetgije pm. uveo Hajgens ~Huygens) konstruisuci sat na bazi klatna 1613, godine. On fe pronasao da je pri njihanju klatna kvadrat brzipe proporcionalan visini sa koje klatno pada. Tako je Hajgens prvi spojio velicine tm:1$ i proizvod tezine i visine~ §to nije nista drugo do izrazi za kineticku, odnosno potenci;alnu energiju.
Tek 173S. godine Daniel Bernuli (Bernoulli) je U okvim mehanike postavio princip energije, sto mu je biln olakSano jer je skoro vijek prije toga Njutn postavio zakone kretanja.
PretpostavUno da vanjskom sUom F pomicemo ujelo uz strmu ravan u polju sile teZe. Smatraeemo najprijecia supovriine glatke i cia. nema trenja. Iednacrus kremnja ovog tiiela ee oncia iinati oblik P' ~ me sin oc = mao
61
Rad vanj,ske sile F' na putU od t~cke I do tacke 2 je
2 2: dV) 2 2 •
A = J F' dl = J (mg sin" + m d~- ds = f mg sin" d, + J mv d" = 1 I 1 I
2 2
~'mg f dy + m J v dv = mlf (y, - y,) 1 1
m + -(V~ - vD = 2
(2.46)
Ova relacija, izvedena 7.a ovaj poseban slucaj, vri;edi i opcenito, tj. ukupna meharucka energija tijela jednaka je radu spoljas.nje nekonzervativne sile.
Ako je spoljasnja sila Odsutn3, onda ukuprta mehanicka energija ostaje konstantna.
U sluCaju da je na strmoj ravni prisutna i sila trenja koja je nekonzervativna, jednacina kretanja postaje
F' - mg sin 0: - F tr = rna' (2.47)
reiacija 2.46 prelazi u rdaciju
(2.48 )
Opcenito zakljucujemo da u zatvorenom (izolovanom) sistemu tl kojem nema disipativnih sila (sile trenja) mehanicka energija je konstantna.
Zak.<mi oddanja u prirodi Stl posljedica svojstava simetrije U 5vemiru. Takvi su zakoni odr:ianja energije, impulsa, momenta impulsa, koliCine naelektrisanja,. broja barjona (protona) neutrorta i drllgih elementarnih cestica) i drllgih veliCina.
Zakoni odcianja su pogodni za rjesavanje niza problema kako u ·fizici, tako i u razliCitim granama tehnike, jer oni sruni ne zavise od obHka trajektorije kojom se kreee tijeio, niti od karaktera 5ila koje na tije10 djejstvu;u - zbog toga nije po!Tebno ni postavljati jednaCine kretanja) a kamoli rjehvati ponekad veoma kom-'c' plikovane oblike njihovih diferenci;alnih jednaCina.
Zakoni odrZanja su funkcij~ koordinata i brzina testiea koje fonniraju sistem i koje ostaju konstantne; vrijednosti za vrijerne kretanja testiea ili sistema cestiea. Te funkcije se nazivaju integralima kretanja.
Zakon 0 odrZanju energije se teme1ji na unlformnosti vremena, ij. na ekvivalenciji svm trenutaka vremena. Meh,anicke osobine :posmatranog sistema se nece promijeniti ako se zamijeni trenutak vremena t2 sa trenutkom vremena (1 ) jer ne dolazi do promjena koordinata pozicija i brzina cestica. Razrnotrimo nekoliko primjera.
62
Primjer I. Hi,,,,, uvU mtI'
Po)o~j 0 : Eo = E .. = -' 2
. "",' Polo~J A : EA = EOA + E... = - + mgy
2 v = flo - gt;
gt' y = vot - -"2;
v~ - v! = 2gy
Slik.:J. 2.16~
Primjer 2. Kosi hitac
mv' EA=~A+mgy
2
'00 - 'V t= ___ "
g
mv~ mvi
T""T+mgy
E. =EA"
'0. Siika 2.17.
x = 'VOxt
gt2 • gt2 y = 'Yay,t - -- = Vo SIn IX. t --
2 2 v~ = v!", + v~u
VAll' = VOy _. ge = V(lsinoc - gt
v~ = v: COS2 Ot + 'V: sinfl Ot - 2vc gt sin IX + glt"
mv: cos2 'oc mtJ: sin' IX • mgZz2 EA~ + -mtl,gtStn"+-- +_"y=
'2 2 2 .. ~
_: (. gt') =T-mg ,,",slO«-2 mv' +rngy=-'
2
"
63
Primjer 3. Senna l'avan !l. ,,= 0, trenje zanemareno
A
11 . ____ ~___ It
1 I Iy I
a !
En = ~ v1 m + mg y 2
., a(l,··y) vil=2as=2'---.,-
sm IX
a = g sin J.
I h-y Eo = - 111 • 20- sin (X. --~ + mg y =
2 0- sin 'Y.
Slika 2.18. = mgh - mgy + mgy "'"-":: mgh =0 E A ,
Zakljucujemo da je u izolovanom sistemu bez disipativnih sib ukupna cnergija ocuvana.
!-L c:f:- 0, trenjc -uzcto U obzir, tj. prisutnll nckonzervativna sila F = f1. mg cos oc.
rna =, mg sin rx. •. ~ f-L mg cos 0:
a gsin(J.~tLgcoStX
~ I h - V bE =, - m 2g (sin 0'. - fL cos x) --~ -- + mg)' :=0
2 sin :t
= mgh -- mg)' - [L»lg (h ~ y) ctg tX- + mgy ,,0=:. mgh -- s· Fu =
= E/t. _. FIr's.
Ovdje se dio energiie potrosio na savladavanje sile rrenja nl rum s.
2.5.6. Sudar dva tijela
Prohl'em sudara dva tijeh tretirace:no ovdje kao primier za primknu zakona o ocuvanju koliCine kretanja i ZJkona 0 oCuvJ.nju energije.
Razlikujemo dva eksrremna slucaja sudara dva tijeh: savrseno cia'itican i potpuno neelastican sudar, Kod saVTseno elascicnog sudara mehanicka energija tijela se ne transformise u nemehanicke vrste energije. Ovdje se kineticka energija pretvara potpuno ili d;elimicno u p3tencijalnu energiju elasticne deforrnacije. Nakon toga, tijela poprimaju svoj prvobitni oblik odbivsi se -,edno od drugog) pri cemu se i potencijalna energija e1asticne deformacije ponovo pretvara u kineticku energiju i tijela se odbijaju brzinama ciji su intenziteti i pravci odredeni sa dva uslova: oCuvanjem energije i ocuvanjem ukupne koliCine kretanja sistem~ tijela.
Kod potpuno neelastilnog sudara nema nastanka potencijaine energije deformacije. Kineticka energija tijela potpuno iii djelirnicno prelazi u unutrasnju energijU. Poslije sudara ti;ela se iIi kreeu istom brzinom iii miruju.
64
Kod l'0tpuno neelastienog sudara vrijedi sarno ·zakon 0 oddanju kolicine kretanja dok zakon 0 odrZanju mehaniCke energije ne Vrijedi,- 'jedino vri;edi -zakon o odrtan;u ukupne energije, razlicitih vrsta - mehanicke i unutrasnje.
Razmotrimo najprije potpuno nee1astiean sudar dvije taCkaste mase koje' Gine zatvoren sistem.
Neka su im mase m 1 i .m2~ a brzine prije·sudara Vl0 i Vto' Prema, zakonu 0
odrianju kolicine kretanja je
m1v;o + m2v2(I = ,m1v + m,io (2.49)
-gd;e je v ista brzina koju iniaju obje mase poslije sudara. Ii; gornje relacije- sli;edi da ie
V m 1v10 + mtvOO (2.50) ml + m2
Ako razmotrimo'" savrieno e1astiean sudar, doei cerno do slijedeceg zakljucka: Prvo moramo istaCi da cerno razmotriti- centralni sameno elastiean sudar
dvije homogene kugle. To je takav sudar gdje su se kugle prije sudara kretaie po prvoj liniji koja.proiazi kroz njihove centre. Centra1ni sudai dvije kugle nastajc: 1) ako se kugle krecu jedna prema drugoj, 2) ako sustifu jedna drugu. Pretpostavicemo da kugle ne rotiraju i da cine izolovan sistern, tj, da je utica; vanjskih tijela zanemarijiv, J ednaCine za oCuvanje energije i koliCine kretan;a su tada~ respektivno
(2.51) Slika 2.19,
m1v10 + m2v20 = m i vi + m2v\U (2.52)
gdie su v. i ii, brune kuglinakon sudara. Uzmemo Ii da je a' - 6' ~ (iJ - 6) (a + b) mozemo napisati jedna~inu (2.51)
m t (v iO - 13 1) (VIO -i--=- Vt) = m2 (.0 2 - V20) (V z -+ V20)
dok se jednacina (2.52) more prevesti u jednacinu
m 1 (vio - VI) = m2 (Vll - iJ 20).
{z(2.53) i (2.54) sHied; da ie
(2.53)
(2.54)
ViO + V1 = V2 + Vw (2.55)
Ako iednacinu (2.55) pomnoZimo sa m, i oduzmemo rezultat od (2.54), dobicemo vi> a ako pomnozimo (2.55) sa nil i dodamo rezultat na (2.54), dobiCemo V2
V, ~ 2.m'V20 + (m. - m,) ii1~1 m, + m, (2.56)
_ 2m1V1o + (m2 - ml) V20 Va = "'1 +ma
65
da U specijalnom slucaju, kada kugle imaju ism
ce one nakon sudara zamijeniti brzine; tj. bite masu., iz izraza (2.56») slijedi
(2.57)
Na' primjer, ako druga od kugli mimjc prije ,':ludara, onda ce nakon sudara ona krenuti brzinom koju je imala prva, koja ce se opet nakon sudara zaustavitL Kod sudara kugic sa stacionarnim ili pokremllU zldom dju masu mozemo uzeti za besko:aacno veliku (m2 ,=.;-, ex') 1Z izraza (2,56) slijedi da ce, kada zid miruje (v~.\O of-:. 0), biti v1 =.- ii t ,), tj. kugla zadrzi ism brzinu po pravcu i intenzitetu, ali promijer.i smier kretanja. Ako s(' pak krece (i\H} ~, 0), onda ce se i intenzitet brzine kugle mijenjati i to ce f'lOrasti za 21)~f); a1<.o se zid krccc prema kugli, a opasti za 2V~M ako se zid udaljav!;l od SfCfC.
2.6 RACUNSKt PIUNIJER1
Zadatak ~u
Malo tijdo A pOClnje df). Si:' klizc <;() \'1"h>1 SfL"Y' Koeficijent !renjn izmedu 1ijda j ravn\ -OJ '1 kllzanja tijda ni:z. ravan najKfatC 7' ix-nosi to
Rjefenje:
d,
do
o,a){WiCfi jcdl1Dkn d, - 2-,j m ~"';ic"""'" \Jp.-ll.l finrru:- :r;:n'ni )c vrijemc
Yrijnnc?
d d COSCcoo;,S=---
coso:
{J, = (s.in n: ~ .. f-t COli a) g
l.I. cos'" sin Iii -- sil1" a + cos l n -+ p. cos « sin fi = (}
1!J. sin it cos j] + cos" a - sin~ Ci = 0
p,sin2a + cos 20 = 0
66
tg241 = -
" ~arctg(- ~) == 49"
J
tmin = [('in49~~' 490)J ~ 1 " Zadatak 2.2 Nekoliko stnnih ravni imaju zajednicku osnovu, kao na sJ~ci. a) Pri kodjO j vrijednosti u~l~
, . t" k' fjclo skhztlc sa vrha 0 dna strme rnvnt ~~~i~:jkt~e u~i!'~1~era~hj~rk~;i~je~t~:;!;iaej:~~a~1~u~i i ~~da o~. i~~~S.i C,;5t b) Koliko iznosi koeficijent trenja ako je vri;eme spustanJ~ tljela pn 0 I ,.-- 45 1 Oz - IstO.
RjeIenje:
a)
tg20 ~ -
b)
a = g (sin 6 -- I-' cos 0)
.,' $=
2
b 2'-~
cos e f1 = _~ ___ " ____ .~
g(sin /j - I' cos. 0)
"
2b
g t! = -~---...,.....-------"--
cos fj (si!1 U ,- p. cos 0)
f(6) = cos e(sm,6 - I.lcos 6) = ~ sin26 - !-I.cos~e
di(S) = ~. 2eos 26 + 112 cOS 6 sin a = 0 dA 2
2b
za l-'- = 0, 0 = 45°
za J.I. = 0,25, e = 52°.
2b
coo 60" ~ -g-(-'-in-6~O=O=~-"'jJ.cOjl:600) -g(si~45" - jJ.cOs45":;
~ (-; -~") ~ 1- (_~2 -" '7) .J3 -" ~ 2(1 - ")
!L = 2 -.../3= 2 ~ 1,73 = O~27
" ~ 0,27,
L/l / o~:p: i
b
I I
67
Zadatak 2.3
Homogcna puna lopta poluprecnika R = 0,2 m bad se po(:etnom brzinom Vu po horizon-talnoj ra'>'ni. Lopta pri tome predc put s 10 m za vrijeme t = 10 s i zaustavi se. Koliici je koe-ficijent ttenia izmedu lopte i podIoge? Koliko obrta napravi lopta u toku krctanja?
RjeSer/je:
a) 5 = t'nr .- ~} ls. 2 ",-.o,a~~-
I' 0= Va " .. - at
JednaCina krclal\ja glasi rna = Fit> gdje. je
k aR ma. = - mg pa je k =
R g O,004m.
b) 1l2Rr: "-'" S odaLit jc n-= :2R"
II obrt.a.
Zadatak 204
U ttenutku t -~- 0 sila F ~~" IJt pocinjc da djeluje 11a malo tijelo mase m koje stolt na glatkoj horizontalnoj podlozi (a je kOtlSlUmfl). Pravac djelovanja sHe je stalan i zaklapa ugao 0 prema horizontu. Naei: a) brzinu tijela 1.1 UlOUlCntU od\"ajallja od ravni; b) rastojanje od pocemog polozaja do polo:i,aia odq~.janja od Ia\'ni. •
RjeIenje:
Posmatrajmo ertd,
pa je trcoutak Oth-ajanja
Posto slla F raste po intcozirctu u vremcnu, to CC njcna projekcija na osu x biti:
F; = Feas fJ = J.teos n
'il 11 pran:J y ose ce dje1o\''ati dvijc l>ile Fy i mg, tj, sila
at sin 0 -" mg.
Aka pretpostavimo da sc tijelo odvaja od podioge, to znae! ua je kOlTlponenta Fy \·cca iIi jcdnaka mg, tj. u granicnom slueajll je
atGsin G ~- mg = 0
mg
Ie "'"" asin6
Br.t;inu tijela u mOn1entu (co) odvajanja od ravni cerna izracunati na osnovu izraza za kamponentu sile u pravcu x asc.
Dobijamo. F", = maz = at cos a
gdje je az Ubl:::,,:::je u pravcu x ase; a dato je relacijom
68
a cos 6 a",=---t
m
pa je brzina u momentu odvajanja tijela od podloge
v = fax dt o
v= m 2
mgt cos 6
2a sin! e
pa je put I.-;\);i tijel" predc do odyajanja od podloge
Zadatak 2.5
t~ t. a cos n tt
I ve,)dl ~ J --' - d,
o 0
a cos tI
6m
no 2
m~Et cos e t~ =
6a~ sin l ()
Tijelo masc 1J/ se vuce pnmo(;u konnpca uz strmu !"avan nagibnog ugla fl. Koefi<.::ij..-m trenja izmedu mase i podloge je p .. Naei ugao f1 za koji je sila zatezanja minima!na kao i \Tijedno:<l te minimalne sile 7.atezanja u konopcu.
Rjeieuje:
Postavimu jednaCinu kretanja za oyaj sistem.
Dobijamo
rlJa = Fens r~ mg sin H :.l (mg cos Q - F sin [3),
odakle !>c za sHu P dobije izraz
ilia mgsin U + \-4mg cos 0
cosj) + f-tsinf3
Izraz za F cc biti minimalan kada nazivnik G = . . cos Ii I- fJ. sin 13 bude maksimalan, a brojnik H mi- 0 nimalan. Potreban uslov je ~::" __ ..Jl __________ _
dG = 0 adakle je - sin j3 + fl"cbs {3 = 0,
d~
It = tg f3.
J-J = ma + mg (sin 0 + fL cos 6)
H ce za odtedenu geometriju strme ravni biu minimalno aka je ma = 0, ij, a -'0 0 iii v.·" canst, pa je
69
Akc se hadrira i lijeva i desna strana posljednje jednacine, dobije se
pa je
1 + cos~ ~ ~os~~
I cos f3 = -----
~,
cos {3 + IL sin {3 cos {3 (I + [J. tg 13) = cos {3 (l + ""t)
sto sa prethodnom iednaCinom daje
coS~,+t.l.sinf3 ,JT+7,
Zadatak 2.6
Dva tijela, koja se dodir-uju, postav!jena su na strmu ravan nagibnog ugla 0, Mase tijela su 1n j i m 2 , a koefici;enti trenja izmedu strme ravni i tiiela Sll lL! i !.I.I> gdje je 1£1 veti ad 111' Nati 2) silu interakdje izmedu tijeia u procesu kretanja: b) minimalnu vrijednost ugJa I} pri kojem tijela pocin}u da se kliiu.
Rjdenj" .'
Oda\de jc
F "'_ m~g cos 0 \~"2~_-:::. !.I.2)~
I -+ :'~2 m,
a) mja = mIg sin 0 ,- !-Il1111 cos 0 + F (1)
m~ = m..g-sin (j - Vgnl,g cos 0 -- F (2)
h jednaCine- (1) je
F a g sin U ~ [A) cos U -I-
sto, uVrSt~no 11 (2), dale
b) Minimalna vrijednost ugla. 0 odredu;e se iz uslova da su sve sHe duz strme ravni u rayno~ tezl, pa je
mIg sin ilm;n + m~g sin emin - jJ'lmjg cos Groin - [J.tm~g COS 6min = 0,
tJ.lm\ + [Llm t tg em,,, = -.~------
In! +m~
Zadatak 2.1
Tijdo te:line 44,5 N gurne se uz ravan nagnutu pod uglom od 30~ prema horizontu brzinom '9,8 m/s. Ono se penje 6,1 m uz ravao, staje i klizi nazad do svog pocetnog poloiaja. NaCi: a) silu trenta koja djeluje ua tije1o; b) brzinu koju tijelo ima karla se vrati u tacku gdie je gurnuto.
RjeJenJe:
0)
mgn mv~ , ---~---mgsm6
s 2~
70
b)
Ftr = 13;44 N ,
m'IJ~ = mv: _ 2Ftr
,s 2 2
I
( 4Ftr ' S)1" m
't' = vi - --- = 4,9 - • m ,
Zadatak 2.8
h
~ Tijelo tdko 8,9 N pusti se iz tacke A na jednoj sini koja 6ni jedan kvadram kruga poluprecnika 1,2 m. Tijdo kliz! niz sinu i stiie u tacku B briinom od 3-,6 mIs, Od taike B tijelo klizi po raviloj povdlnl do tach C udaljene '/",7 m ad B i tu se zaustavi.
a) Koliki je koeficijent trenja klizanja po ravnoj povrlini?
b) Ko-liki je rad izvriiila sila trenja za vrijf:w.e kli:amia tilda po kmznoj sini od tacke A do tack\': B?
Rjdenje:
2as pE je a .""-
ma = Fir =..- iMlIff odll.kk je
fA ,,," 0,245,
b) mv1
+ 2
._. zz.kon 0 odrzanju energije.
mv1-= mgr --2- ~ 4,8 J-
vJ,
:;,
.. Malo tijeio-kiizi bel. rrenja po pHUJ U obliku ornce, Sa ko;e najrnanje yisine se maze pustiti tlldo pa da Sf!" ono fie odvoji 00. oroce? Kolli! se segment, sa uglom €i, moze simetricno odsjeCi od omce pa da tijeio dostigne (a,tlm B nakon letu kw'l vazduh")
Rjeienje:
Uzmimo da segment nije isjecen. Tada jc naP
II tack;' C mt = -- Premn zakom.l 0 ()drza~ - R -
nju energiw , dobijt'- se mgh -,-
I 'h - d ',.. . b"" 5R z nYI Ie fl3,·l\111 se do IJC h = -" Brx.ina ti-2
jei:. u tacki A SE, takode, moze odn:diti iz za~ kona 0 odrianjv energije.
hnamo,
5mgR mv~ __ ~ -- + mgR(l + cos 0). 2 2
m.'
71
Tijeio, kaje izlijece pod ugJom (} prema horizontu iz omce, ce prelet;eti horjzontalno rastojanje AB, dato jednacinom
AB = v~sin 20 g
S Jrugc strane je AB = 2R sin O. Iz dvije posijednje jednacine je
• Rg v.{=--o
cos (I
Aka ~e pnslieJnji rezultat uHsti u jednaCinu za odredivanje VA' dobija' se
Od d "" ok d b" "d " (3 ± I) " 0 Ak " a\"C,IlIJetcso Oitl ajecosO=---,stoda)eOl=O'"j 2=6D. OJe i j>60 4
tijdo CC pasti unutar Office, a ako ie manje 00.1 te vrijednosti tijelo ce izictjeti van om(~.
Zadatak 2.m
Tljclo mase Ni '-~ 5 kg gutnuio je pocetnom brzinom 'V o = 4 m/s niz strmu ravan iz pozicije A" PaJaJu~1 na daHie-nu oprugu, sabije ie za b = 20 em, zaustavi se i ponovo odbije uz strmu l'aYao" CZlmajuci da !la tiielo na Sltmoj ravni djdujc konstantna sHa ttenja FIT = 8 N, odrediti konstantu e!asticnosti k opruge i \ isinu (I.' do koie se tiido popne poslije odbijanja (g = 10 nl!s2).
Rjdcllje:
~i!jf: A
kb'
Pocetna energija tijeta trOSI se na sadadavanj.e sile trenia i na sabiianje opruge za b.
Zato je
Mv~ kb~ T + Mg (a + hjsin (j = F tr (a + b) -- T' N
Oda\"de je k = 7500 - . m
U momentu odbijanja energija opruge $C pOlro';i na tad sile ttenja na putu (I.' •. )- b, a ostatak. ptelazi u potencijalnu energiju tijda, tj.
"""2 -'= jag (a" + b) sin & + Flf Ca' + b) pa je a' = 3,75 m.
Zadatak 2..1i
Dva Camell. se krecu jedan prerna drugom istom brzinom duz bliskih paralelnih pravaea. Kad se sretnu, prebaci sc vteca iz jednog camca u drugi, a zatim se ista vreea iz drugog vrati u ptvi camac" Drugi PUt to se uradi isto\"remeno. U kojem ce siucaju brzine camaea biti veee?
Rjdenje:
Aku us\"ojimo da je masa camaca M. masa vreee m, a brzine camaca vo, moterno pisati slijeJecc iednaCine
za prvi camae
Mvo + tmli" = (M -I- m)t'~ za drugi camae
72
Qvdie su til i 'V! KOnaene btzine tamaca. I~una;mo't.ll 1 tit. Dobijamo~
Mu. til = - 'lis =- -M"':::+::';2m- °
Kada se vreee zarnjene istovremeno, dobije se
t - mtfo = (M + "m)Vl
- Mvo + rntI, = (M + m) v;.
v~ = (M - m)vo
M+m ZnaC1, brzine camaca su vece u pn"Orn slucaju.
Zadatak 2.12-
Odrediti silu zatezanja. u u:letu balistickog kla1na kada ga pogodi zrno koje led horizontalnO"
brzinom 'V.
Rjelenje: Balisticko klatno iroa masu 11.1, duzinu utela L, a wasa zrna je 'nt. Na osnoYu zakona 0 odr
zan;u energije ugao otklona i brzimt su dati relacij(·m
• u = 2 sin ~-..;rg. 2
0\0 se dobije nil QS110VU reia(.ija
(M + m) u t ,
___ " __ .. ~_~".~ = \..M + m) L (! - cos 0) g i JilV = (M + m)u. 2
U trenutku udara Ztnl} u klatno raV'l.lote'.i.a sila je
(M + m) u'l . ~-~-T-- = 1 _. (M + m)g,
gdje je T lila zatezanja. Ako-se uvrsti Yrijednost za u tada je
T=(M+m)g(4sirit~+1).
Zadata;' 2.13
Konac dutme 2,7 m pritvrscen je jesinim svojim krajem okQcena jedna kugliCil. Konac sa kuglicom dovede se u horizontalni polotaj (l), a zatim se p~ti. U ~a¢ki B, ~ja je
u tal:ki Ai doir.. je za drugi kra;:
od ta&e A udaljena 1,35 nt, nalazl se kim na kOJl na-ilazi konac pd dolasku u pOloiaj (2). Koli!~i je ugao koji sa vertikalom gradi pt1lvac konca u trenutku .kada je. _sila zatezan;a konca jednaka nuH (poloi.aj 3) ! ko_ -lib je brzina kuglice u tom trenutku? Kaha je putania po kojoj se kuglic.a dnlje krece? Vzeti g = 10 mis 2
•
Rjelenje:
Kada se kuglica pusti iz polozaja 1, stiCi cc u polozaj 2 kreCuC:i Ie po krugu polupretnika 1,. Od polotala 2 do pololaja. 3 kuslica Cc se krewi po" krugu polupreenika L/2.
Prl tome na nju djeluju lila tete me i sila zatezanja konca
P,'!,. Jladijalna komponenta rezultante rih sila saopbava kug-
mgsina
,
, I , , /
""
~~'S$"~S:$'~"::::::
A
I L.
/ .,-I
I , LI' I , ,
< 1
73
lid centripetalno uhrzanje potreboo za kretanje po tom. krugu, te je na osnovu II Njutnovog zakona bila koji polofaj kuglice
mv' _. = F: + mgcosa.
r (I)
Tangenci;alna komponenta sHe teze mg sin a sman;uje brzinu kuglice. Radijaina komponeota mg COS Q 5e poveeava te Ft mora da se smanjuje da bi jedn~ina (I), kala predstavlja uslov kretan;a po krugu, bila zadovoljena. prema tome, za neki ugao ao i brzinu tlo sUa zatezanja konea
·,Fe bite jednaka Duli, tj. tada je
mvC -- = mg cos all iii poSta ;e
r (2)
Brzina Vi' moie da se dot.ije iz zakona 0 odri:anju energije primijcn;enog oe. polotaje i 3, kad je
(L ) mv'
mgL=mg 2+ xo +--l (3),
gdje je L
,X'~ = "2 '::01> ((0 (4)
visinl); kuglice u odnosu na tacku B u poioiajll 3.
Iz rd_ad]il (2), (3) i (4) dobije sc, poslije sredivanja_,
(5)
. .. .. .. fi[ Zam}enom luaza (5) u )cdnacll1u (21 doblJC se v« =- ~ '3 ,~-,- 3 mis, Kretanje kugiice od poloi'a;».
3 bite ko:> hita;:; poSto na nju djduje samo sHa zemljine td;e, a kuglica ima pocetnu brzinu v~ koja ;sa horizomom zakl~pa ugi.lO Go,
Prema tome. putan;a kuglice ce biti par::;[lola sve dok Of! kuglicu ponovo ne pocHe da dje~ luje; sH~ zatezanja F~,
Lopt!;l., koja jc objesena 0 tanki neistegljivi konac zanemarljive mase, dovede 5e u horizontalan polozaj i pusti. U kOjim je tackam,n trajektori;e koju lopta nakon toga opisvje, ubrzanje usmjereno vertj!~alno navis;::, vertikulno naniic, horizomalno,
Pravac ubr;(.an;a 51!' poklapa sa pravcem .ezultantne sile. Ubrzanje je usmjereno prema dolje karla je lopta \1 svojim krajnjim tackama A i E. Uhrzan;e je usmjereno prema gore kada se lopta nalazi \I najnizoj tacki trajektorije C, a hori;wntaian prBvac ima ubrzanie !opte u tackama BiD. Nadimo ugao 0, PremaII Njutnovom zakonu proizvod mase i centripetalnog ubrzan;a je jednak sumi projekcija !lila na pmvac radijusa rotadje, tj.
mv~ ""~ = T - mg cos 0. r
Sa slike je vidljivo da ie T = mg g, iz u.kona 0 odrzallju energije je "~os 0-'
74
Ako se obje jednaCine uvrste u prvu, dobije se
2.mgr cos 6 mg._ me eos e --1' -- = cesS
2 cost 6 = J - cos~6
Zadatak 2.1.5 . < ,
. ,.. tk' £ radfusa R. Laganim. dodirom. disk po5nle da Mali disk mase In ie:b u, nlJ_JVlSOJ ta I Sf e~ >< J gin i<o;J njegov radijus vektor Qni S!)l ver~
kiizi dofe. Nati sHu pritiska dlska na sfern u un CljU ~ • • tikalom.' Gale disk gnbi kontakt sa sferom? ZmnemanU tren)e.
Rjdr."j( : , It ~,. F.: po v~h~m.i ie.-h,,*-k niH t't·akdl<1;'.· SUe Po III Njumovom :z.lAkonu. pltlUSU dlS ~:r~~:t:~ :ev,kt::~jft l1J i $omponew;t~ $i1e te:'l~,,-:e
kOlt' d,e1wu nu prwm« okomhQ n» vcltto't F t = mg cO$. tl"
Po dn'lgmr" N}HtD9VO!n 7.mkom,1 ;~~
Po§to j!': h = R (I formad!<l;
Z!lt.~.!tww.k: ~.> lH'
_KJunJm ~e _O~f. ~gft S-1:
~tki1~nt t't©flljl";
Ri~~: 1l(",,0i11- R0k? p~'d'Q_#;
h (0 i (2) j<
F~ ,-- N
R
.1
1/ v
.. ra '-')'j '~O' i "l'daT' r;;:,t,,;[l':ljc l)d H. rn z;, Yrijel,'l.'w uz strml., l.;~fJ~';:nje b~'!ijt:n~(' i: "';' i:'~l'\f'n ~T~.ri j]. PO(h0ii'-~ Y:wni"~
1. kwn('n~-'
75
Kada 5e kamen kljfe nadol;e-, onda je iednatina kretanja
ma' = mg sin a - lUfJg COS a, tj.
Q' -= g(sina - !J.Cos I'l) = a pre-dew put s se raWna prema 'obt:ascu
In J,8-.
s'
s = a't: 2
odakle je tt = J~ = 4,2s.
Zadatak 2.17
Ta¢kasta masa m "isi na ko' c K u funkciji ug1a 6. . n u, onae se Otkloni za ugao 60 i puni. NaCi zatezanje u koncu
R/£1enje:
·0
U praYeu normalnom 'na b' 'I . . na masu m su zat za . rzmu. 51 e kO}e dJeluju tdine F ~ = mg ~s onJep u kon~ T i ko~ponenta sile konu je ' rema rugom NJutno"om ZIA-
T-F _mv2 '--,-. Da hi 5e naUa br.lina, '" energije pnml,eni se zakon 0 odri.anju
mV,t mg"/) = mgh +--2-' ps je
. Medutiin ;e T = mgcus. 6 + ~ (hG _ II).
ho=10 -COSOtt)J
h ~ 1(1 - co, 0) pa-je hll - h = I (cos ti'_ eos 0) , . Z'amjenom u izraz za za,e".an,·. k
~. U , oneu. dObijc se
T= mg (3 cos e - 2ees 0u),
:lade ..... 2.18
Na strm '- " , Ii·· 1 - OJ ravOl nagibnog ug13 a = 30'- oal--· ,e 0 mase m = S k 'IT _~ ", • • ~I se fa\'na plota mas 1 ravoi 'e ~~ g. ~nclJent trenJa lzmedu pl~ i ti'ela 'e = e "'.t =, 0 kg, a na njoj Ploo.' f" k- 0.3: Odredal ubrzanja plo~e i tijeia P , k J, ,J ,~l 0.1,5, a lzmedu ploee i strme
ne..,e retan?' . ' n oJo, vnJednostl kmficijtnta trenja -IL: Se
~
76
RjeIenje:
SUa ttenja koja djeluje na"tijelo je FI = tJ.1Nl = Iltmlgco:; a ako pretpostavimo da tijelo klizi niz plocu. ti. da je at > at. Ako ploea klizi po strmo; ravni. onda je PI = 1£aNt. Napisimo jedttaQne kretanja tijela i plate projektovane na x i y ose,
Dobijamo
Oda"de je:
Nt-mlgcosa=O
m,g sin I'l + 1£1N 1 -. 1£~ t = mtO,
Nt --,N l - miECCS (I = O.
m at """' g (sin a - 1£1 COS a) = 3,7 51
( tnl fflt + tn, ) m
as = g sin a + 1:'-1 - COS a - iJ.--<o cOS- a =- 1,8 -; • tnt tnt S
Rjcienje je dalo a K > at. sto znat.i da je na§a ptetpostavka bila ta~a. PIOCa se neee kretati ako je
m¥ [Sin a + 1:'-1 C~~)~ a]
(mt + tnt) cos a = 0,44.
Zadmtak 2.19
n-... ije kuglice, cije su mase 1111 i nl2 = 3m!> objeiene su 0 konce jednakih dui:ina koji su pricvdceni u istoj taCki. Kugliee se izvedu iz ravnotd.nog polo1aja. tako da se prva nalaz~ na
"
yisini 3,2 m, a druga oa visini 5 m u odnosu na horil.ontalnu ravan. Horizontalna ravan prolazi kroz raVnoteini polozaj kuglica. Sa pomenutih vis ina kuglice se istovremeno puste. Odrediti mjesto na kojem Ce se kuglice sudariti, visine do kojih ce se kuglice podic! ako se sudar tretira. leao apsolutno elastican i ako se smatra da se kuglice krecu kan maternaticka klatna Ciie Sll amplitude veorna male. Pri racunu uzcti da je g "". 10 mls!.
~, .~~~ ~uglice ce u ravnotezni polofa; stiti istowe- ml <~1; ~"2
meno Jer su, prema formuli za matematitko klatno~ £1 njiho\'i periodi jednaki PoSto su jednake duzine ko- ---'---------"---~aca 0 kojima kuglice vise. Znaci, sudar ce se: desiti u rsvnoteznotn polozaju. Za apsolutno elas~ h.~an sudar pored zakona 0 odrfanju ko1i6ne kretanja \"ati i :takon 0 odrlanju mehanicke energljC, pa je
m!'V 1 - m,t't = m1Ui + m t "2
gd;e SU;I i v-: brzine kuglica neposredno prije sudara, a ;;1 i ;;t su brzine kuglica neposredno riakon
suda~a, B,rzine ;1 i v-~ imaju suprotne smjerove pa je zato Vt uzets sa znakom minus. RjeScnja gorn,eg sIstema ;ednacina su:
"t =
- 2m,v~ - (ml - m.)va
m 1 + m,
2m1f)1 + (m} - mt)tt~
77
Smjenom m 2 = hn dobiju se uprosteni izrazi za U j i U~:
U j = 2
17. zakona (} OOr7.s11j'U mr:iUl.1;iCkC encrgije dobijamo brzinc kuglica neposrcdno prije sudara:
V 1 = (2gh~)'2 1
v~ = (2gh t )2,
Prema iswm zakonu visint: do kojih Lc St~ kuglice popet: nakon sudara megu se izrazitj reiacijamli:
j
Izraiavll.jlld sve br:tine prcko vis!)"\<! dob!je sc:
I' ., 9i1 t + h, -+ (, (h h1)-2
4
jC]', ~- UJ,05 lT1
(2gh
(Zen;,i} ,
2
1
4
Ix izraza La bflinc u~ j H~ sc vicii 0" onc imilju nc-gatinm predznr.k_;;\O znllb dil im jc· smjer suptOlan :>mjeru hrzine 'lit premB. kojoj smo pretposta\ijah smjcrove brl.ina tome, nakon a.psoiumo clasticnog SUdflill: kuglicc I:e sc podic! na 5trarm rmmje
Zndanik 2.2(1-
Kdiku snagu Ho!\'i smIH":ar, Cija je: rna".a 80 kg, pti krel~nju po snijcgu rIa h(]rizont~Jn()rn pUIU akn $(" krc(~c kons,antnom. hr"iw'l1l od () krn/h'? Pri ~PlJHanJu hcz. utroska sopstvcne ~nage sa h.da visokGg IOQ Hi, ()\'aj SHlllCal" H' zauslavin ml. rllsloianju 2 km vd pmjekcije "rill> brda nft horizontalnu ra.'van_ Kocfi.:iieDli trcnja nit S1tmdt;'l i horizontalnorn diielu puta 51) kdnaki
Rjd(mie:
Sna,l!U kDju fl']OI(! snmeH d::; If(:~i riG bi g,~ krh-;lo knn::;tR;)tnnJ11 hn:irwTfl. mn7,{'mc oobiti na osnOV\l lH'a:z;,
78
P = T·v.
Paste !lC S111UCar krecc uniforrnnn, Gil;;. ,F, koju on ran·ij2, mOTH biti iednaka siH He-oj;! inng, tllko dn je rezultu/uca si·ia koja na njeg;> dicj5tvuje jednaka nulL
P IJmgv.
Koeficijcnt trenja r mozl:' se izracun1!ti 17; podatakH 0 kretanju smucar:a niz brdo. Prim.jenorn <_ .. knoa. 0 odrianju t'.ne:rgiie dobicemo
"" "I· a horizontalnom Jije1u put3¥ d'e je' Al rad sUe trenja na strMotn dlJelu puta. a At rad SJ e tren,a n g ) "d "ed " 0V-1 radovl su atl J na .. lOama
A~ = rungx-.
Sa $like se vidi da je N = mg cos a. Sada moierno napisati
mgh = mg(lcos (1 + x) [i..
h posta je 1 cos a + x = .r~ dobije se da je "" = s pa je
tenzitet,
""'IIV p=-$
m '" 100 m 80 kg 9.8 -: 2,5 -s- s
---iOoom·~'-~·
p ~ 98W.
s torn razlikorn sto je brzina tiieia B USm!eI'en~ naviS~. DaJje krctanje iijela 11 jc venikalni hitac .\Ier Slia tre~Ja kao i sila zatezanja konca djeiuju samo dok h,do A udan u podlogu) sa pocetnom ~~zi~om vo .~ato ce se tijelo B popeti za jos h' koje dabl)a IZ rclac1lc
j
v ~ (2eh')'
(2.gh') 2, to se odatk dobij,@ da jc
• h' ~ -h, g
Maks:im.alna visina 11, do koje se popne tildo .8, je:
H= h+Jl iii
.. . zakona prinlijenjenog na sistem Ubrzanje: a kojim SI.': ktece sistem nalazl se 11: drugog NJutDovog kao cjelinu.
Dobija tie 79
:Hi GJ! - OR - T
a = G .. + GR
g
jerjem= G
UVrStavanjem Ovog izraza u H = h (1 -l~ ;) dobija se g
H= h 2GA - T GA + GR
UVrStavanjem poznatih velicina dobije se
2· 2GR - O,5GB H = 60 em ~-----___ .
iIi, konacno. 2GB + OlJ
H = 70 em.
Zadatak 2.22
. p~ije elastitn~ ku~li~e vjse na tanki~ nitirua jedna uz drugu taka lia sc nataze na istoj yi8in i J dO~lruJU sc. DU:bne ntt! su II = JOcm 11~ = 6 em, a mase kuglica Sil 111). = 8 g i mil = 20g. Xugh~ mase ml se otkloni za ugao a = 60° i puni. Odrediti maksimalni Gtkton kug-lica U odnosu na vernkalu nakon sudara. Sudar smatrati savdeno elaslicnim.
R.iese1/je:
"\
Brzinu Vo kuglice mase /1/ 1 neposredno prije sudara mozt-l:f[U nac! iz reiacije
t:':z"W: ',!o'
/ /
/ I ", \
~,/ \ / «2\ .11 !
/ \ , '-, .../' \
),.,/ r,\ Vi ' __ ;r-. ___ ----_.,o' M, m2
I /
/ /
'i'! = 'lgft ,,- 2g (II - II cos a)
I'Gsto u momenru lludara kugiica n<: Jkiuje nikakva vanjska sila u horizontalnom pravell, to vaz! zakon 0 oddanju kolicine kreta·· nja, pa je
Zakon 0 Ol~r:ianju energije daje
2
Iz ovih jednaCina. dobijemo
1tI 1mt Vi '" ----- VO'
m 1 + m~ v~ =
Posta je nil < mi' to je pravac brzine Vi suprotan ad pravca v(/. Drugim tijeCima, poslije sudara • 1')2 -' VZ
kughca m l odska~e unazad, penje se na vision hi = ..2, a druga kuglica nll visinu -.~= hJ
• UgI{)vi .. 2g 2g
otklona kuglica posh,e suciara se odreduju iz relacija
cos al = J hI 1 2m 1m:. --~-+---.. -
11 2 (ml + Inl)l!
2mill 1-----
l~-(ml + m~Y Dobija se
so
3. DfNAM!KA KRUTOG TIJELA
3.1. UVOD
U pogiavijilUa L i ~2.< izu.c<lvali 5tnCi krc:tanje tijela tako da smo iii zanemarili uzroke ktctanja ili o$c:;bine l.ijcb kOIC sc kn:(:c, t.]. tretir aii smo svako tijelo u krctanju kao mah':riialuu tacku ill srno posmatraE kretanje tijcla u vezi sa uz:-rokor!1 tog kretanja l.narerijainc
Slijt::deb pojam s.e susrecc II tne-hanici po):.lm, S!l'vrSeno krurog ti.iela i njegovo kreumje: je sk<Ienij(: U ocin·usu n<l au sada posmatrana kretanja.
Kad na ne:ko rijeb sHe S fazllc>i.tim napaJnim tal':kama, onda one de-formiSu to tijc-1o~ tj, ob1l1;; i dimen7,ije. Dcformacija tijela mijenja u izvjcsnoj mjeri uslove sih. Kod c>vrslih tijda vdikc otpornosti, kada site nisu vdikog intcnzircu, Jei()f1Tlacije tijc:ht mogu da sc zanernarc, pa se uvodi poiam kyutog t~ida" Knrto tiido id.ealizovano tijdo kojc: se nimalo ne deformisc pod Utlcajcm sila. Svako krumg tijeJ:l Se m02(: razloiiti na dva osnovna dpa krctanja: tralls1atorno kn~tanje i rotaciono; tj. obnno kretanje (s1. 3.0.
A
5'lika 3.1.
Tmnslawrno kfctanje rij<:Ja je takvo kretanje: pd kojern svc tacke tijela imaju podudarne: putanjc~ tj" prava linija koja povezuje bilo ko;c dvije tacke tijela pomjera se paraieino iz jedllog po-Iotaja u drugi prilikom kretanja tijela. S obzirom da se sve tacke tijela kod translacije kre:cu na idemican nacin, onda je kod ovog kretanja dovoljno specificirati krt.~tanje jedne tackc tijela.
8!
Rotaciono kreran.ie je takvo kretanje kod kojeg sve Tacke tijela opisuju krugove koji leze u paraJe1nirn ravnima, Centri svih tih kruznica le~e fia istoj pravoJ liniji koju zovemo osa roradjc.
l\-ioze se pokazati da !ie, opcenito, kretanje krutog tHeia mote sastaviti od translacije toga tijela brzinom kojom se krece neka njegova tacka 0 (na primjer, centar masa) i rotacije okn osc koja prolazi kroz tu tacku. Pri tome, brzina translacije za\isi 0 izboru tacke 0, dok ugaona brzina fotadjc ne zavisi oct izabrane tacke.
Kod transl~cije, kako smo ranije vldjeli j gdje se. kretanje opisuje preko Njuttlo\'ih zakona (F -= mil)) odredena masa pod djejstvom iste sHe dobije uviick ism ubrzanje< Kod rotacije, prije "vega, sve t3ckc tijela nernaiu istu brzinu} niti ubrzanic s pa sc uvode pojmovi ugao1U: brzinc i ugaonog ubrzanJa koji su isti za sve tacke tijcla koje rotira oko neke fiksnc osc.
Osun to£!3, kod rotacije, odrede:'lo tij(!lo pod djclovan;em iSie sik ne dohile 1S1O ugaono ubrzanjc. To zgvisi od uciaijenosli napadne tacke sile od Ose rotacije i od rasporcda ma.qe tijeb ok-a osc fOradje, Ako sib djclu)e u OS! rotaciic:) ne":'c 17.azvati ugaono ubrzanjc. Ckoliko jeo napacing., tack<"l sile dalja od ose rotadje, ugaono ubrzanje je ve6!. Osirn toga, I'd istim okoinosrima djdovanja sik- uJ2~wn(1 ubrzanje ce bid tim \-ecc St0 je: masa tijela rasporedena blize OS! fOl:01cije. Zato sc dinamika rocacije tretira izdvojcno. Okolnosll, koje sc ovdje javljaju, l~ahtijcvaiu uvodcnje nekih ilm'ih pojm(wa: ccntra masc, momenta sile, momenta fnnmenta koliCine kretanja,
3.2. CENTAR ~lASE SISTEMA MATERllALNlH TACAKA. KRETANJE CENTRA ,\!ASE .
Ako neko tijdQ podijeHmo u elemcntarnc- mase ..1m; U = I, 2, 3,. ; nL tada se tn tijdo moze. predstaviti kao slstcm tackastih rrt.'1S;l Cijc mcdusobnc \"C7.C
uvijek ostaju ncpromijcnjenc. Bilo koja ad tih eiememarnih masa je saGa ohjck<n istrazivanja, tj. na nju mogtl da djeluju unmrasnje sile zbog medudjelm"anja sa drugim elemcntarnim masama. biD i vanjske sile<
Kretanjc tijela mogJi hismn sada proucavati posmatranjem krctunja s\'ake pojedine cestice tog sistema, U sillcaju velikog broja cestica, to bi bio 5101:co, a cesm i nemog:u(' pOSa(L Zato se dd'inise posebna zamiStjen'.i"tacka tzv, CCfHar mase sisteflUl} pomo(:u koje mnzemo lakse j jedl10stavnije opisati krctanjr.:: sistema kao cjeline, Time se proh1efYl r:nIwgo c(';stica :,vodi fIB, problcrn krc:ranja kdnc ccstice,
NapiSimo Je-dnaCinu krctanja (I f Ni,utn(1,v zakon) za svaku dememarnu maSH l.\rnp i = I j 2, 3, .. '.t n, nekog tijda,
Dobijamo ilmJij = 1. + F, (3.1 )
gdje: je]1 rezuhanta svih unutrasnjih, a Fi rezultanta svih vanjskih sila koje djcluju na posmatranu elementarnu masu.
Ako se jednatina (3.1) sumira za sve elcmentarne mase~ tada ce biti
82
"Z J, = (l, prem. I II Njutnovom zakonu, pa cemo dobi" n n
L &H,ll, = L F,. (3.2) j=J i=l
SUIna na lijevoj strani se moze sada predstaviti kao proizvod ukupne mase tijeia i ubrzanja centra mase (centra inercije) iiCM'
Centar mase sistema se defini§e kao tacka (eM) cije su koordinate odredene pozicijom vektora r Ci\f') koji se odreduje na slijedeCi naCin:
=~_.c.c=,:=,,-,+_, ... + tim"," = am! + tlm2 + ... + Am,.
i=!
n
2: A:rll, i.." I
n
i=1 (3.3 )
m
gdje su· rnaS2 iotc cestice, m masa tileia, r, radijus-vektor koji odreduje polo-zaJ (,te- u Dekartovom Bistemu.
l(oordinf1te centra, mase su u Dekart()vom si,stemn jednake projekcijama rc"w oa )z(lordinatc osc, tj:
gdjc ic
X.',, = -.----,--" ,YCM :=0-=
:s Arntz! ZeAl :::.-:::c: --~-- (3.4 )
m m
dva pma dife'fcncira i i2v1'si smjcna r~{ ~ ill i
(3.5)
jedoJ.Cinn (3.5) sa jednaCinorn, (3,2)~ ocig!cdno je da ie , n
mac •yo = L r, = L (3.6) i=l i=1
suma svih vanjskih sila.
poseban slucal sistema velikog broja cestica. Koordinate centra dohiju se prosirenjcm jcdnaCine (3.3) na beskonacno mnogo
infin,;""i,,,,,!,,,,, rnale mase Om, 'pa je
relm
Jdm If_'lV J pdV
(3.7)
gdj(~ je 0 gustina, a dT! elernenat zapremine krutog tijela, I)aldc, je:dnacinn (3.6) tvrdi cia se: ce:ntar mase sistema krece kao da je u njemu
koncemrisana ukupna masa sistema i kao da sve vaniske sUe djeluju u toj tacki.
Centar mase sistema se kreee kao materi-jalna tacka mase m = 2: L1m, na koju i
djeiuje ukupna vanjska sila F tJ. Kada na sistem fie djeiuju nikakve vanjske site iii kada je njihova rezultanta fluia~ ouda je
maCM = F. = 0 (3.8)
83
iIi dVCM = 0, dt
VaM = const.
Prema tome) kada je rezultanta svih vanjskih sila jednaka n uti, centar ma'5a 'Ii ili miruje iii se krece konstantnom brzinom (jednoliko) po pravcu. Tako. na primjer, pri ekspioziji, radioaktivnom raspadu i stieno. centar mase tijela (sistema) ostaje u isto; tatki ako je tijelo mirovalo prije procesa eksplozi;e, raspada i s1. Cen tar mase kod topa prije eksplozije je mirovao, te i nakon eksplozije on ostaje u istoj tacki iako su se i top i dule pomjeriIi. Kad bomba udari 0 zemlju i eksplodira, ;i njen centar mase ostaje na tom mjestu iako se bomba rac;pala na mnosNo koma- )1 diea,
3.3. MOMENT SILE
Uticaj sile pod Cijim djelovanjem se tijdo pomjera (translatorno i rotaciono) na rotaciju opisuje sc momentom sileo
Proizvod intenziteta sile F i normalnog rastojanja tacke 0 (kroz koju proiazi osa rot3cije okomito na ravan crteia) od pra\·ca site, zove se moment sileo Ako sila F i tatka o lete u ravni eneia (sl. 3.2), ouda je
Posto je ro = rsin < (r,F)
(3.10)
(3.11 )
U\Tsta\·ajuCi dobijeni izraz u definicioni ob~ razac za moment (3.,10), dobiiamo
M ~ F r sin < (r,f). (3.11)
Izraz (3.12) jc imenzitet vektorskog pr~iz\'oda yektora poloza;a r, koji ide od racke 0 do napadne tacke A sile, i sile F i pise se
M = r x F. (3.13)
VdiCinu r tl datu jednacinom Q. i I) ZO\'C-
010 krah stie F. Smjer momenta M odredujemo po pravilu desnc ruke: uko prste desne ruke usmjcrimo prema smjeru U kome sila F obrl:c tijdo~ palac te ruke ce pokazl\·ati smjer momenta sile F (51. 3.3). Ako na neko tiido djeluje vise sila u razliCitim nieg:ovim ta~kama. onda tijdo moie da vrsi sarno translaciiu iii sarno rotaciju iii bilo kakvo drugo kretanie koje moie da se predstavi preko translaciie i rotacije. Kad materijaine tackc nismo uzimali U obzir mogucnost rotacije zhog zanemarlji-
84
II!
Slika 3.3.
vih dimenzija Ill&... Uslov raVDOteZe materi;alne Ill~ke je zahtjev da suma svm sila kojena nju djeluju bude jednaka nuli,
L F, = O. (3.14)
Kada sile F, djeluju na.kruto tijeto, neophodno~,je razmotriti ravnotezu i u odnosu na translaciju i u odnosu na rOlllciju. Nairne, ovdje pored uslova (3.14), koji predstavlja uslov za ravnoteru za translaciju, postoji i dodatni uslov ravnoteze za rotaciju
L M, =0, (3.15)
posto momenti sila teze da izazovu romciju. u odnosu na ma koju tacku tijela. Obicno se uzima ona lacka koj. je prema datim okol
Prl tome se momenti M t uzimaju
nostima najzgodnija. Posmatrajmo kruto tijelo koje moze d.
rotira oko nepokretne ose koja prolazi kroz taCku 0 (sl. 3.4), normalno na ravan crteZa. Kretanje svake od elementarnih masa, na koje se moze razloziti tije1o, predstavl;a kretanje matetijalne taCke po krugu koji le:!i u !aVID nonnalnoj na osu i ima svoj centar na osi.
Posmatrajmo jednu od proizvoljno izabranih elementamih masa tijela l:i mf. Na Dju djeluje spoljoSnja sila F i unutrasn;a si-1a ], koj. predalllvija rezultantu svih silo kojima druge eestice lijela djeluju na posmatranu masu. PremaII Njumovom zakonu je
F + 1, = Am, ii,. (3.16) Slika 3.4.
RazloZimo sHe i ubrzanje na radi;alnu i tangenci;alnu komponentu
F cos Sf + /, cos tV f = dm{aw
F sin 6, +.f, sin <1>( = dm,a,t' ) . (3.17)
Prvom od ovih jednaCina se necemo dalje baviti jer radijaina komponenta sila obezbjedu;e centripetalno ubrzanje i ne utice na ugaono ubrzanje.
Kada obje strane druge od jednacina (3.17) pomnozimo sa rastojanjem r~ e1ementame mase ~m, od ose 0 (posto prethodno uvrstimo izraz za tangencijalno ubrzanje date elementarne mase)~ dobicemo
Fr, sin 0, + f,r, sin <1>, = llm,rioc (3.18)
gdje je IX ugaono ubrzanje. Prvi clan jednaCine (3.18) predatavlja moment spoljasnje sile, dok je drugi
clan moment unutraAnje,sile. Kako se momenti unutrasnjih sila medusobno uravno-' tetavaju, kada sumiramo sve ovakve jednacine za elementarne mase dieta Ami, dObieemo
M + 0 = (S Am,T;) oc. (3.19)
85
Izraz u za.gradi ·na desrwj strani jednacine (3.19) se zove moment inerdjc tijeta oko ose 0 i ozuaeav<l. s>.l [,
Tak.o smo dobili osnoynu jed.na~inu u dinumid rotacije ·u obliku:
Al = Iii (3.20)
I) Hornegeni tanki Itap - 0$4 rotadj. wrmalna 114 duri""
Premo jedna~ini (3.25), a u skladu sa slikom (3.5) je
I.-I m fA = f ,,'dm = J ,,'-~dx
V _/ L (3.26)
Koja je anait.."lgna ~I Njutnoyom zakonu kod trunsladie (F = mil). jer je
304 . .\\0.\\10::"'''' lXERClJE
rydi sm,) pI)jarn momenta inercije 1 u proslom odjc:l;ku bu\'eci sc rotadjom krutog tikb. ~lcdutim. OYJ. yclicina posta;i bez obzira na romci,u i prcdstuvlja ffileru Z3 inc:r(;iiu Kt),j fOracije J:.JS kao sto masa predstavlia mjeru za incrci.ju knLl trJ.nsla,..::ij~ i dido je posjeduje bez obzira da 1i miruje iIi se kree.;,
..\lomt'"nt irierdje iij::LJ U odno$u na ncku osu se definisc rehcijoln
moze da se predstJyi lJreko gustine tijela reL:i.::ijom
(3.:: [ )
gdje je .3. Vi elementarna zaprernina dementarne mase
1= h F' ,- "
Ako je rijdo homogeno~ mda je njegoya gustina konsr.ant.m1; [.1; """ p::, i -rnnze ita. se napi.s.e ispred znnJ.;;:a sumco
Dobije se
Jednacine (3,23) i (3.24) su aproksixl1ativnC" i njihova filc'nost raste: $<', W);it~ njavanjem elementarnih zapn~mitla !l Vi i ele:mem.arnih mflSm !J"mt im varaju. Prema tome~ definicija momenta inercije se svod~ na. iw:"gra\
t-·~i--- L--.t "I i---+-lL -------1
SUka 3 . .5.
1 = J r" dm ~~. J p r' d V. v
Pri tome su gornji integraH uzeti preko ukupne zapremine tijela, a veHcine p i r su funkdje poiozaja, na primjer, Dekartovih koordinata x, y i z.
Nadimo, kao primjcr" momente iner~ dje nekoliko pravilnih homogenih tijeia.
(3.27)
tj. dm = m <Ix. L
(3.28)
Imegralimo jednacinu (3.26). Dobijamo, m L-l m x3 £-l m
fA =.- f x' dx = - -I = - {(L - I)' + I'} L -i L 3 '_I 3L
fA ~ J. m (L' - 3Ll + 31' - !':. + !') ~. J. m fL' - 3LI - 31'). 3 L L 3
(3.29)
U specijalnim slucajevima ako je osa na lijevom kraju stapa, ouda je 1 = 0
i JA = -~ ml,2;; ako je osa na desnom kraju stapa (l = L)~ dobije sc, takode, 3
IA ,= J_, mL2. Aka je osa na sreruni stapa (I = Lt onda je moment inercije stapa 3 • . 2!
U odnosu na m OSU fA = .!.mL~< 12
2) Supalj £Ii pun dlindar - osa rotaClje se podudara sa, osom simet'nje
Po analogiji sa prethodnim primjerom, a u skladu sa slikom (3.6), napiSimo:
<1m ~ pdV (3.30)
dV = 2rnd,.H
dm = 2nrHpdr
R, H,
(3.31)
(3.32)
l=fr2dm J dr = 21 .. Hp r radr = - J v R. R,
m = p V = p (Ri n: _. Ri ,,) H =
= potHeR; - RD
(3.33)
(3.34)
pa je, konacno, za supal; cilindar izraz za moment inerci;e SJika 3.6.
I = p1tH (Rg - Rl) (R; + Rl) = m (Rl + Ri). 2 2
: i
.... I , i II I
(3.35)
87
Za pun cilindar Je Rl 0; &, ~ R, pa Ie moment !nercije punog cilindra
I 1= -mR't,
2 (3.36)
.. Moment inercije ciIindra oko ose koja se podudara sa njegovom osoril simetrJ/c ne zavisi ou njcgovc "isine VI~C sarno od radijalne raspodjele- rnase, .
3.5. TEO!l.E!vlA 0 PARALELKIM OSA.\\A. STAJKEROV l\. ·IT.O!l.EMA
,'Feorema 0 p~ra<k'lnim .05'1rna dak vezu iznlC'l;.lu. mOmenta inercije nekog krutog tl)cla oko rna KOjC ose 1 Inun1t.~l\b) inercije Tog tijela oko ose koja je paralelna s prv01n osom.
:<eb je I1a sL 3.7 pn;dsta ... ;lieno krmo tijelo Luj:," on;,';/.:: cb, rOlir? ok(} ose lr.roz centar ma-
,I, ,vi; i-iKod(>, j (jkl) ose kroz tack'll P, t,,- ,- ~_c ,'iF" 0S" medusobno pa,'a.le!
f,~' Cj~;O! ;':'It.: }J:t xu.;--asJ-.. !.XtC;l;a, Rastojanje jJ.in~~UU tl:;a ,,)'zn <enG j,e sa d, a R i r 511
(is,:;, k()IZ~
I-J-uz to), j,~u _f) SiSTL"J_U,,a
Cklnel1l._tl mase dm od pal:_I<\?, ct:ntar mast:' i
./\ OSll koordi-£lUlU 1$.0 d.a se
Enijom tacleu P i
(3.37) a oko paralelne ose keo:: P
1°~ ;0;-"" R:? + j'; --~ 2d£;; CdS (if
gdje je R I.;OS Q) = X --- kOOf\hnat-Ut mi.-"SC- am, izmz
(3.38)
(3.39)
(3.40)
_ PI',:"i cla~ des-ne strur:~ r.:.or;~t~eg}lraza }e 10 ; .. lrugi Clan je jednak dZmy
gdje je m - ~ am ukupna m<tsa ti}da_ .t :rt~Cl. clan JC -fiuh posto U 5cbi sadrZi x koordinatu centra masa u si$temu kojem Ie u c-efinu rna,';;£!,
88
Nairne, ZI'lamO ua jt:; prem.J.. jednaCini (3.7)
~Lxdm Jdm
pa posto je kod nas
xc.\! = 0 to je J x dm = 0, pa se izraz (3.40) svodi nu
I = I. + md' (3.41)
8to predsravlja Stajnerov (Steiner) obrazac za motnent inercije oko paralelnih OS3) koji kaie da se moment inercije tije1a oko rna ko;e ose mo~e dobiti kao zbir momenta inercije oko paralelne ose koja prolazi kroz centar masa i proizvoda mase djela sa kvadratom udaljenosti medu paralelnim osama.
Iz-obrasca (3.41) slijedi da je moment inercije oko ose kroz centar masa manji od momenta inercije oko roa koje druge paralelne ose.
3.6. MOMENT KOLlCINE KRETANJA
Definisimo najprije moment koliCine krctanja (moment impulsa) materijalne tacke U odnosu na neku OSll tzv. aksijalni moment koliCiDe krf."tania, Vektorski proizvod vektora poioiaja r mase m i njene kohC:in'c' kretania tnT, U odnos-u na tacku o predstavlja moment koliCine kretanh;- L materijalne tatke oko ose koja prolazi kro:r. tacku 0 normalno nu ravan koju 6ni vekiOf f i mv (Z-osa na 51. 3.8).
Dakle, L = r x mi[;, (3.42)
Vektor -r se mora obrnuti za ugao (}) lia hi postao paralelan vektoru mv. Prema tome, vek,· tor L je usmjeren prema gore i ima inte:nzitet
L-= mrvsin<i). (3.43 )
Potrazimo prvi izvod vektora L po vrem{!nu. Dobijamo,
cil:. = ~_ (f d, a,
odnosno
_ (ar _) {_ >( mv) = ~ ~.- X m'U -+- r
\elt ! \
dl dt
Stika 3.8.
(3.44)
Brzina promjene koliCine kretanja U odnl)su na stalnu osu jednak3 je ukupnom momentu spoljasnjih sila koje djeiuju na masu m oka staine ose. Ako je ovaj rezultantni moment sHa jednak nuii, onda je moment koliCine kretanja U odnosu na tu OSll konstantan) tj.
dL -'- = 0 d,
po je r = const. (3.45)
89
0\'1) jt: sustin • .t z,\kona 0 odr:ianju momenta kolicine kretan;a. Ako se gornje razmatranje, vezano za moment kolicine kretanja, pnmlJeni
na kruta tijelo, koje mozemo smatrati skupinom malih masa am" onda, priIikom rotacije krutog tijela ako stalne ase, svaka ad tih masa Ami' ima svoj vektar poloZaja r, (najkraea udaijenos.t od ase rotacije) i svoju linearnu brzinu vf koja je okomita na 1\0 Prema tome je intenzitet momenta kolicine kretanja svake elementarne mase tijela j.ml jednak
(3.46)
gdje je w ugaona brzina kOJom tijelo ratira, zajednicka za sve mase 6.m/. Ukupni moment koli6ne kretan;a tijela je je.dnak sumi svih momenata Ln tj.:
(3.47)
gdJe je I moment inercije tijeia aka date ose, sto smo pokazali u ;ednaCini (3.21). Posto' vehor ugaone hrzine w ima istl smjer kao i vektor L, relaciju (3.47)
mozerno pisati U ohliku [,=l"rv, (3,48)
Posto je za cvrsto tijdo I konstantno, diferenciranje jednaCine (3.MS) po vremenu daje
dL d(;5 ~-- ~ I ~ ~ I a~ dt di
Prema rome., Y,fi cvrsto tijdo koje rotira oko stalne ose vrijedi reIacija
- d£ M=~=la.
dt
(3.49)
ft..ko ie ukupni moment spoljas.n;ih sila koje djeluju na kruto tijel0 iednak null, 01.1da vdjedi zakon () odrtanju ukupnoIT momenta koliCine kretanja krutog did;),.
'i·
Ai = () = <l_~ = 0, pa je .L = cons!., dE
3.7. RAD, SNAGA I ENERGIJA KOD ROTAC!JE
(3.5!)
(3.52)
Na slid 3.9. je prikazano kruto ti;elo koje rotira oko stalne ose koja prolazi kroz tacku 0 normalno na ravaIl ctijagrama, Tacka P je napadna tatka spoljasnje sile F koja djeluje nn tijeio. Kada se tijelo obrne za mali ugao dO, tatka P se pomjeri za ds =. rdE! i tad koji izvrSi sila F iznosi,
(3.53)
90
, . F r moment site F za osu koja prolazl kroz 0, relaciju (3.53) Pos;tO Je ~T
obliku . dA = MdO.
Za konacno ugaono pomjeranjc od pozicije OJ do O2 bite
e, A = f MdO. (3.55)
e, . __ p dA sIi-
Iz defimCl)e snage, = 'dt '
jedi da je kod rotaci;e snaga
MdO p = ____ = Mw, (3.56) dt
pa je elerncntarni tad
1[1.1 W,
"
pisemo u
(3.54 )
(357)
(3.58)
(359)
i \ -:" .'" ezultanra moment't jednak je poveeanlu kineticke ener~ l)'lUC. fa( ~OJt 12";V151 r· " <>. ,. ':,.'1'" "teskfl
." :~': i-'" SiteDi' tM .... cmi 0 radu i energiji za linearno kretanje. hUlme, m]e ' ~ PiC) ::;,(1 ,t, , _.,.. ".
\ •• z.ti cia i""'"raz _1 __ J {,)2 predstavlja kineticku energiju tijela koje rorim.
po\,<i",_. ", ! .
Ako kruto tij~lo ponovo posma:tramo kao skupinu. konacnih elementarmh .~. ..,d kO~ll'h svaka pd rotaciii tijela ugaonom brzmom (>.I oko stalne ose,
ma5U .3,111, C . , im:} svoju kincticku energiju
oada ce. ukupna kineticka energija tijela pri rotaciji bid
(3.00)
(3.61)
91
E=
,Kada se cvrsto ti;elo kotrlja po ravni, onda se n;egova kineticka energija sastoji od 2 ciana. Prvi Clan je kineticka energija translacije
h
mv' 2
gdje je -tn ukupna masa tije1a a v brzina transl.acije., tj. brzin<l centra mase tijela (ako tijdu fotlra OKO osc: kroz centar nw.s~::), Drugi clan je ki1:lctlcka energija rowcije ti-ida oko ose kroz (entar rnase
(3063)
CLupan fad koji na tijelu izvrse ~;\'e spoIjusnjc site jednak jc poveca-
Stika 3,.10. nju njcgo\"t;: trunsbturne i obrme kinetickc energije, Ako rad Yrse
sarno konzcrvadvne :;ilcy :tbir potcncijalrw i ukupne kinettcke (:Hcrp:ijc- jc K.JnstJ.ntan. Na primjcr, kada se l.ijelc) kotrlja bcz ldizanj;1 niz stnnu y,-;-,,"an. L:lu IH s1. 3.10"
sila N ne vrSi nikakav r:H,L Ako n('rno. kIiz,mia, 11,1 sila tn:;lh ·"-rsi nikakav rad. Sila mg je konzervarivna, tako da je- ukupna konsrantna..
3080 RACUNSKI PRL\\JERI
Zadatal\; 3.1
Niz ho\', Ciji ie nagib pn:nUl hm:iwntu 30' zecj iz m.iro\'anjil, kugla prede pu kron! J,g m je brzina kugle l.l ;:renutku kadn pgdnv Ii,!.
RjeJenje:
kotrlja ~e, bez k!r?anjg" hOH!\}gena kugla. Pola~, krm-a; i napU;I<l knn 113 "I iS1(\! 9 nl. Kolika (:;I.lbi(:i meh:ml,;b: efKrgijr: &0 zHnemarlji\·i.
Brzina kugle u trenmku padll mt zemlju moze da se od.redi it. 'Zakona 0 odrzaniu mehani(:ke enetgije: potencijalna t:nergija u pocetHom pukrl.nJu A (mgN + mgh; jednaka jc ziliru kineticke
; tr(IJ2) I (V~ energ.* trans!acije \ ~-2'~ i rOlacije: ·-2- u kr:.jnjo) uH~ki C pB. k
mgh -l- (1)
92
Odavde je
/~O---lWi
V= 2gH+2gh--0 A iii
(2)
Visina h se mCize izracunati iz reiacije
h = sllin <1'. (1)
Ugaona brzina ~ mo2e da~.se o?r~?i "IZ .zakona 0 oddanju mehamcke energlJI.'" pn~!len:enog na pocemi poloiaj kugle (A) i poloz2J gdJc kugla napu~ta hoY (8), Dobije se
.mv! I {0~ mgh = --- +
2 2 (4)
Ovdje jc (.0; ugaona hrzina kug!e ::. p,?iozaj~ lJ \ ona se tokom daljeg krelanja ne ~nw~nl~. Posto se lugla kotrija pc, kroYU bez kIizntl)a, to j-C
(5)
gdje }e r potupr~cnik kugk:, h rdacije (4), (5) i en dobijc 5<':
gdje je I 2
mr~,
5
Zad$.t:ak 3.2
1mafl
i + mr~
m01ncnt incrc.ije hotUogene kugk.
, .- ,. 'I~' - r -nag'" In '"\)h'", ugaonom brzinorn w 1.1. horizontalnoj t-Iornogt'na sip"a (Hun<:- (~_-", ~ "' . -.. ,. "I""" d os-c rotadje
r3\"ni oko
jednog; sv0'b kraja. Natl naplaan.je U sll>k, na uda jel10stl )t () •
Bile Ti+t od stTatle uzorka i +. 1 i slIe T, od
In pa st: moze napis:ll.i d (ri+t ~ r;),
Podijelirno sipku u tI dije\{H"a is~e ?ufine i razmorrirrto jedan Icprezentatlvm UZ0-cal:.. i. Ubrzanja razlicitih ta?:aka u. to~ uzotku ce biti razlicita p0~tO su udalJcn)u oJ osc l:Or.acije razlicit".
VI mala, ub-Ako je razlika 'Vi+l r!+1: + T,
rzanjc i.,\.og uzorka jc wI!· --2-- , a
ono je tv l2cnije SI.O je manja duzina u~orka i-li uzorak je pOd dejstvorn elastlc::e
sHane" i ,,_ 1 uzotka. Masa i~tog uzorka Je
+r, To, - T~+~ = ~ (rlH - f,) Wi __ 00_';:-__
93
mw' if+:!. - T( = - 2d (rf+l - rn·
Napi~jmo jcdnacine kretanja za uzorke od k do n u5vojiv§i da je r'I+J = d) r.t = x, Dobijamo,
,. . m(l)l
- T = - --Cd' -r') iii . 2d •
PrVb; j£:dllaCina mimi. t:! obzir chljenicu da elasticna sila ne djduje nn. ~raj sir'ltc, tj~ Til'>'} ~-'-, u. Ak0 se smnii'z,jt. !iYe: jednai':ine, nalazif[1Q. da je' siia naprezanja
. U s,i.stem,u prikazancrn ria slid nat) ugaono ubrzanje diska i odne;; sila zaiTzllnjll tl \'en!. kalmm rllJelo\"Jroa kon<:a. Poznale su mase Iijcia III j i m 2, masa diska m i njegoy radijus R.
94
Rjeknjc:
m1.J = mIl! - F,
m~a = F'il - m~g
[0 ~= M;
a=-~---- u= -R
1z (1) jc: Fi = tn, (g - a); iz (2) je Fi = m~(k + a),
F, F, m,
1 -m 2
1 2m1 + - m
2
(1 )
(2)
en
Zadatak 3.4
Na valjku poluprecnika T, koit je u dodiru sa povriinom, prievrScen je buhlllnj p()lupr-eenika R na kome je namotano uze. Drugi kra; uleta preba6:::n je preko malog .1mtufll zanemarijive mase ina njemu visi tijelo tdine Q. TeZina valjka i bubnja skupaje' G, a njihov moment inercije I. Koliko ;e ubrzanje tereta Q U slutaju karla se va1jak kotrl;a bez klizanja?
RjeJenje:
Jednacine transiatornog pomjeranja bubnja i tereta Q, respektivno, su:
a) t)
h roracije yuljb shied!
odakk je
Ja F:R Fle"~ ~ ~-~
r r
Ocinor. mcdv u\Jrzanjimll, ~l_, jEdnak je odnosu medn odgovl!llTijnCim 'breimtwl.@:, tj, a,
(R -+ r)
, R\' QIi + -- g , "
(I)
(3)
(4)
Tijelo mase m pricvrSceno je z&. lako uze uviieno oko osovine tol:klil. Poiupre~nik osodne je ~'. Osovina leii u nepokretnim glatkim le!i~tima. Kada Ie pusti. tijdo pada i prelazi fMstojanje od 115 em za 5 sekundi. NaCi moment inercije tolka j oaovine u funl;ciji ad 11'1 i 1'.
95
RjeIenje:
Jedna6na kretanja za tijelo je mg ~ F~ = mao J~dnatin!l kretanja 2m. tocak je /a = F~T. Ii gomjih jednacina je
a jer je (l =
a T
S dmge ",ane je put koji plede tiielo padajuti
m
Zadatak ~.6
at' ,t = -- odakle je
2
Uvdt&vanjem ove vrijednosti za a. U obrazac za I dobijc se
1= 69m,.!t.
Preko kotura rmue lti" Roji se obrc<, oko hotu,urnaine os{)viue bcz (rcnja, prebacefJ' je konac za tije krajen; su privezana dva lcga mas.: m! i m~ '-~' 2m , . Teg "'t podizemo toliko da teg m.ase m, dodime pod i otpustirn.Q ga. Na koju vis.inn ce se podiCi teg mase: m A posliie udara tega mase m z 0 pod ako je visina [ega nU$~ m~ bila h* = )0 em, .
Rjdel/jc:
m2g-F.=m~1
O~ _ mlR2ai (F, - ~ ,) R ~ -- I
2R t
Fl ~ mIg = tnta)
Bnina !toju ce imali nlasa 110, kada s.e popne na \'isinu h~ (tj. t
u momcntu udara mase m~ 0 pod) je VI = (2ah~):: > hl'enu\"si tom brzinom masa nil ('e &e za'Ustaviti nu. visini hi = h~ -:-- .\:,_ gdje je
v~ 2'l/J,., x = - = ~---"- =-- O,2857h~
2g 2g
h, = I ,28~ 7 ' h~ = 38,57 em.
Stap duZine .i m i mase A1' ",; 2 kg, objesen je tako da mozc da se njiSe oko horizontalne ose koja prolazi kroz njegov vrh. U stap udari zrno mase m .= 15 g, koje leti u horizontainom pravcu i udarivsl u hap zadrti se u njemu (neelastican sudar). Kolika treba da bude brzine ZIna f.I da bi stap dosao u horizontalan polota; ako: a) zrno udari u sredinu slapa; b) zmo udari u donji kraj §tapa?
96
RjeIenje:
a) Prema zakonu 0 oddanju momenta kolicine kretanja 1e
mud ') --=(1+1 hl, 2
, ,'nere,','e stapa i zma1 respekthno, i iznos~ d'e su I i'j moment! g ,
Tada je
Md' l~ -)-'
ma~ i=--
4
6mv (t)=-' - .
(4M+ 3m; a
pocetna energija stapa i zrna u njemu je
ED =
Md1' md~ 36 m'v' (-_. + -\
(l + i) w~ 3 4 I
-~2-- ~ -~2d'''''~(~4':'M : 3m)2
Ova energija se na kraju kre~anja sn. vori u potencijalnu energiju stapa ! zrna,
Mgd mgd Ep ~ '2" + -2'-
Ako nema gUOltaka energijc, cnds. je
Eo = Ep ' ti.
Md2 md2)
36mzv 2 (-3 + -4~ gd(~ + m)
2d(4M + 3m)2 2
.odakle je I
_ [~~M + 3m) (M + m) g~_12 = 485,38 ~. v- 3~ s
." oddan,'u kolicine kretania glasi: b) Ovdje z;.u:.on 0
'd (I + ,") , t,' _cd ~ (,M3~~' -4_ mtfl) w'" tnV = (il,. "'" '
odakle je 3mv'
ro' = -,----_._--(Md + 3md)
U O\'om. slucaju je
(Md~+ mJ'!) w't
, (l + n W'2 3 ' Eo= 2 ~=--- 2
Mgd E' =--+mgd; • 2
E~ = E~.
97
Md' . 9m"'" (-3-- + md') Mgd ___ . _____ ~ -- + mgd~ odakle je
2d' (M + 3m)' 2
I
, [cd(M-+ 2m)(M + 3m)]' m v = _, = 245,63 - .
3m2 ' S
Zadatak 3.8
~ • I
_Sipka hez mase moo.e da rotira u venikalnoj ravni aka taCke O. Na sipki se naJaze masJ m1 i ma na ra~tojanjima r l i r, od O. Sipka se otkloni 2a ugao 6 i pusti da osciluje bex poceme hrzinet Odrediti lir~earne iznose brzina masa ml j m 2 U trenutku prolaska sipke kroz ravnotezni pcloZaj~
Rjelenje:
Iz zakona 0 oddanju ,energije se moze' izracunati ugaona br~l zina w.
Dobije se
Linearne brzine su sada:
Zadatak 3,9
1
[emir; + m~rm2
Kruta savijena sipka rotira ugaonom brzinom (U aka ose 00'. Naci sHu kojom djeluje 8ipka oa kuglu mase m koja se nalazi na s8vijenom kraju sipke.
RjeIenje:,
RazJo~irno sHu kojom sipka djeIuje n8 kugiu na dvije medusobno okotttite komponente TiN. Projektujmo te sile na vertikalnu i horizontalnu osu i napi~imo Njutnove jednacine za njih. Dobijamo
m61t asin 6 = Tsin 6 - N cos-6
me = Teo! 6 + Nsin6.
Ako se iz ove dvije jednacine odrede TiN,
T = m(w1dsinl 6 +gcos 6)
98 N """ m(g - (,)tdeos 6) sin 6,
. r,
o
o·
1akO je odrediti kojom sHorn djduje sipka na loptu. Dobije Sl!'
, F = err< + NZ)2 "'" ttl (g2 + (,}f"p sin~' 0)2.
Zadatak 3.iO b . oko o!>e 00'. Naci rastojanje d od
., ~,~ IlilG' -n,'ra ugaonom Jfzmom w· .. d k 1 . Kruta lHI\"l)cna SlPJ(g n~ .. -' "11 ~. i' s' ka. ako je kocfici;ent trCii)a lzme u ug e I
t3cke 0 nu: kojem ce hiti ktlg!~ hO'f, RO)ll pro aZ) ,IP sipke f.l i &ko cijeli sistcm roma.
RjeJenje: ..... ..... . d ~. . . .)':. "l~ t<~in'" mg si\a reakcije N. Njurno\'c jC naClne
Sile knlc djduju 0:1 kuglu Sll: $l]a tn:''')1)<l <'j..,l it ". '- , .
za projekcije sija na ko",dinamf" me W~
.F sin 0 ± N co;; {\ =. 'iJ%hi ,>1n
F cos fl ± -N .sin(i - - PI/! 7_· (\.
Prc(imak m: 1',T je p·,m'jcorw·n N oriJentiS'dD b0 D2, jednafine, dobijl> SE
Za ravnoldni ~lub,j jc F < N in
d<
k ,;>in 0 .\- un fj J:
. d ;:. sin (I' em I) ';In (I)
Zadatall.. 3, X 1.
Horn
Rj£'.SC1~ic ."
t'(J"t:I>.im(; sada }e.dnd.6n<~. kretanjfi
m(,;~b sin 1] =. Tl sin 0 - ..'VI cos {I
1\ cos 0 .+ N l sin 0 = mg
o·
_M(,'~ (b + a) sin 0 = T~ sin G + N~ cos l~
T'i; COl> e .. - N~ sin 0 = A-fg. 99
Ako SC odavde izrarunaju T f' N l' T t. N,. dobiju se sHjedeCe vrijednosti:
g mb+M(a+b) cos&-- . w. mb2 + M(a + b)'
Prvo rjeSenje je tatno za bile loju brzinu rotacije. a diugo kada je
1
Zadatak 3.12
[ mb + M (a + b) ]2
g mb3 + M(a + b?
Homogena sipka du:Hne L maze da rotira bez ttenja oko ose koja protaxi kroz njen gornji kraj. Sipka je otklcnjena ~a ugao 6{1 i pusten;i. Naci brzinu najniteg dijeI~ sipke u fuukcjji ug1lJ_ B~
Sa slike je
hD = 1 -LO 2
RjeIerife:
Koristeci zakon, 0 ooruianju ~ne:tgiJ{:: za tijdo._ dobijemo
Moment inerdje sipke: oko Mt. IM)iu fH»io.:!:i KtOJ: jedan njen kraj je
I 3" mO.
! h~ -L(l-cosO) ..
2
Zamjenjujuci ave vrijcdnostl u jednaeinu (1). dobijemo
pa je brzina kraja sipkc
v = wL = .J3gL (cos 6 cos 0:5:
Puni cHindar sa bil.Zom radiiusli r je postavljen na \'rh strme aVID dufine L .i '\uigib~ ti111u O. Cilindar se skotrlja niz ravan bez klizanja. Nati brzinu centra masc cilindrn u pt.'XinO'.lju fln:ni ako je koeficijent trenja kotrJjanja k. Mme Ii se trenje kottljanja zanemariti? Kolika hi rou bilM .. brzina ako hi se cilindar klizao bez trenja niz t8,'an? (L = 1m, 6 = 30", T = to em, it ':"-. 5· lC-~ m),
Rjesenje:
Prema zakonu 0 odrianju energije jf;
Ep - A tr = Eft) ill
mvS [fj}'i.
mg(Lain fI-+ Teas 6) - Ftr-L =--+-. 2 2
100
SUa trenja kotrljanja je k
Ftr=-mg·cosa. , Moment inercije punog cilindra je
ugaOn3 brzina
Tada je
I~
V (0)=-.
f
Lkmgcos a mg (L sill·j + T cos 6) - T
tl =
-- LkCOS 6 ) J¥ (Lsin e + Teas e - --,--
m tI=2,7-.
s , , 'er u odsU$tvU trenis. cilindar ae ne bi kotrlja,o,
1. 'f .~rincipu. rrenje se ne moze zanemantl) .. k 1· .• ne bi mogla da sc uzme U ohZlr. " :<"" I ,.' k' ticka energl)a ott Jan)
vdifr hi se lrJiuQ- p9. U ovom s u<..a,u me . ze zenemariti. Neophodau usIov " Ali., 111<:.0 i~ trenje dovoijno maleno, rad sile trenla se mo '
Lk Za num.~'xitki primjer je r
Lk _ <if Ltg 6 + r. T
l'5'lo--~
r tg () + r = . .)3 + 0,1 = 0,68, ~ 3
c Kada se cilindar kliZe, onda je 1j, rad sile trenja kotrJjanja se moze zanemariti u ra unu.
mg (L sin e + r cos 0) = ~mv~ 2
" _. 'kalnog zida. Sto;eCi na \'thu zida, I 12 m postavl)ena JC pored 1, ert! " ,
l)rvt.:lll;l, gre:.ia duzine = , m ." me ce greda past! na zemlJu. , I _. Za ko}e vnJe
c,}vjeL gUfW: gn::du pocetnom brzmom Vo =
RjotJ'et.jt: rti p;l!t!Lt OM z~mlju greda
gjj~ je
posjeduje kineticku energiju
1 I 21w~+ mc Z
mI' J--, • 3
V, t.lo = T·
IO!
Iz prve jedna~ine je
o
102
f)? =--" V~ + 3el
b:zina vrha ~e~e u trenutku udara 0 zemlju. Ugaona brzma l ugaoni otklon grede poslije Vlemena. t 31~
, PnSto je 6 -0.-0 ~'"1t, to je vrijeme
" gredl) pmni nu zemlju
za koje ce
I !
4. GRAVITACIJA
4.1. UVOD
Ljudi su se vrlo rano poteli interesovati za prirodu pojava koje su uoCavali. Vee vise od 5000 godina covjek se bavi izuCavanjem kretanja nebeskih tijela u vasioni pokusavajuci da otkrije i ulogu Zemlje u tom kretanju. Vjerovatno je jedan od najinteresantnijih procesa u istoriji nauke bio razvoj covjekovog shvatanja kretanja planeta.
Covjekovo relativno usko znanje u pocetku ga je dovodilo do psihologije "samocentricnosti" pa su stari Grci, posmatrajuCi covjeka kao centar svega, smjestili Zemlju u geometrijski centar svemira tako da se sva nebeska tijela krecu oko Zemlje. Nujvise uspjeha imala je epiciklicna teorija Ptolomeja, astronoma iz Aleksandrije koji je zivio u drugom vijeku nase ere. Ptolomej je smatrao da je Zemlja mirna sfera smjestena u centar svemira. Ostale planete, Sunce i Mjesec, se krecu po kruznim stazama, tzv. ep£ciklama oko nekog centra, dok se centri epicikla istovremeno krecu po vecoj kruznoj orbiti oko Zemlje. Tako se rezulrujuce kretan;e svake planete, Sunca i Mjeseca vrsi po komplikovanoj putanji epiciklidi. Nebeska tije1a., tada poznata, bila su rasporeciena po njihovoj srednjoj udaljenosti od Zemlje po slijedecem redu: Mjesec, Merkur, Venera, Sunce, 1\'13rs, JUT'\iter i Saturn. Pri tome, epicikle Merkura i Venere leze na pravo; liniji koja spaja Zemlju i Sunce ~s1. 4.1). lake je bio veoma komplikovan, Ptolomejov geocentricni sistem se veoma dugo zadrZao kao jedini, podesan za opis kretanja nebeskih tijela.
Tek cetrnaest stoljeea kasnije, U vrijeme opsteg oslobadanja Ijudske misli, kanonik Franenburske crkve u Poljskoj, Nikola Kopernik (Copernicus) predlozio ie da se krctanje planeta posmatra tako da je u centru njihovog krctanja Sunce, 1 sve planete, ukljucujuCi i Zemlju, sc krecu oko njega. Njegova ideja nije bila lova; prvi ju je predlozio jos u trecem stoljecu prije nase ere astronom Aristarh. Kopernikova ideja je pomogla astronomu Kepleru (Kepler) da otkrijc zakone plalctarnog kretanja, analizirajuci pazljivo astronomska mjerenja Tiho de Brahea 'Tycho de Brahe) koji je godinama, radeCi uglavnom notu) bez teleskopa (koji ada jos nije bio poznat) metodom kvadratnih sekstanata sa nevjerovatnom tacnosCu
: do 5~ step~na) odredivao poloZaje zvijezda i planeta sa opserv¥ltorije u Kopen
lagenu. Sam Tiho de Brahe je, medutim, vjerovao u geocentricni sistCIJ1.
Kcplerovi zakoni predstavljaju kinematicki opis planetarnog kretanja i tvrde lijedece;
103
1. Orbite planeta oko Sunca su elipse u Cijoj jednoj ziti je Sunce. (Zemljina orbita oko Sunea je skore kruzna - razlika izrnedu maksimalnog i minimalnog rastojanja Zemlje od Sunca je svega oko 3%).
MJESE(
/ / SUka 4.1.
2. Vektor poiozaja planete' U odnosn na Sunce opise jednaku povdinu za ist .. vrijeme.
3. Kvadran perioda obilaska planeta oko Sunca proporcionalni su tteeem stepenu srednjeg rastoJanja planeta od Sunca.
4.1. ZAKON GRAVITACIJE
Kepler je u svojim zakonima precizno odredio kako se planete kreCu oko Sunen ne pokusavajuCi aa objasni i zaSto se one tako kreeu. Tek Ce pedeset godina kasnijc, Njutn formulisati zakon univerzalne gravitacije koji obja§njava inte.rakciju dva tijda} planeta Hi maHh cestica-, sveiedno, a zbog koga se ydi kretanje opisano u Keplerovim zakonima.
Njutnov zakon wliverzalne gra'vilaci)c mozemo da formulisemo na slijedeCi nacin:
GravicaC£ona interakcr:/a ~·zmedu dva rijela moze da S6 izra:;;i privlabunn cenm-petalnom silom koja je proporC£onaina masama tijela, a obrnmo proporciotluina k'fJatiratu rastojanja £zmedu n;jih.
Njutn je do ovog zakona dosao koristeei Keplerove zakone za planetamo kretanje~ a zatim to uopstio i primijenio na sve rnase. Ucinio je: to nu slijedeC~ naan ~
Prvi Keplerov zakon tvrdi dasu orbite planet. oko Sunca clipse, Specijalan slucaj elipse ;e krutnica gdje se iiZe podudaraju sa centrom kruga. Koriste6i ,izraz'
104
centripetalnu sHu u kruznom kretanju i posmatrajuci kremnje .mase ,m u. sis:enlu :ferencije vezanom za masu m' (81. 4.2), mozemo da izrazimo sdu kOla d}eluJe na m relacijom
mv' F=--.
r
2'1< b" Posto je v = ---) tce T
47t'mr F=---·
T'
Prema trecem Keplerovom zakonu u spe~ij~n~m sluca;u kruzne orbite, kada je ~:ednje r~st?JanJe ~~medu masa m i m'· jednako radlJusu kruzruce r, blce
TZ :::-= k r3
po je 41t":<m 1
F:----=-- ~-, kr2 r2
Slika 4.2.
.. '1 m ra da bude centralna i obrnuto proporcionalna sto znaci d.a gravnaClona 51 a 0 . k ' kvadratu rastoianja medu masama da hi bili ispunjcni Keplero:tl .~a om ..
Sam Njutn je provjerio t~Cn?st svoje p.retpostavke upor~duJuc! centnpetalno ubrzanjc Mjcseca sa gravitJC1.omm ubrzan)em g '--= 9,80 m/s.
Centripetalno ubrzanje l\-ljescca jc
4""'r
gdje je r ~" 3,84 X 10' m; T ~ 2,36 x 10' s, p. je
a = 2,72 X 10-- 3 ms-2•
Otuda ie:
.II.. = 3 602 ~ 602 •
a
Posto je radijus Zemlje R = 6,37 . 10/1 ffi, bite
( .. '-)" = ( 38~)' . 60'. R 6,3.
Prcma totne je E-, = (_!~)2 i U okviru tatnosti naseg grubog proracuna, d.V3 a \R
k d t " tacaka od centra Zemije. ubrzanja su obrnuto proporcionalna va ratu ras o)an}a " Do Njutnovog zakona gravitacije moze se doCi i na slijedeci nactn.: . Prije svega drugi Keplerov zakon pokazuje da je sila ve~na uz .gr~\'1taClO~U
interakciju cent~aina, tj, sUa djeluje duz linije koja spaja dva tlJela kOla mtera~u)~ (sl 4 3) U ovo~ sluCaJ·u ta tije1a su planeta i Sunce. Drugo, ako p~etJ?osta~lm
. . . . ..' . "'1 F kOJa Je pndru-da je gravitaciona mterakcIJa uruverzaino svoJstvo matenle, 51 a ,
105
zena interakciji, mora biti proporcionalna "kolicini materije" svakog od tijela, tj. njihovirn odgoV'arajuCim masama ttl i m'. Tako mozemo da napisemo
F = mm'f(T),
m ~--~i---.t-e m
Slika 4.3.
Malo je teii problem da se odredi zavisnost sUe F od rastojanja r koja je izrazena sa f (r), Ovu zavisnost smo mogli da odredimo eksperimenralno mjereci silu izmedu masa 111 i ",' na raznim. rastojanji-rna. avo je i ucinjeno, ali trazi veoma
osjedjivu eksperimentalnu aparaturu posto je gravitaciona interakcija veoma slaba i gravitaciona sila veoma malena sve dok mase nisu veoma velike (kao dvije planete) iIi dok rastojanje r nije veoma maleno, Medutirn, kod malih rastojanja do laze do izraiaja neke druge interakcije koje Sll jace od gravitacione te maskiraju gravitacioni efekat. Rezultati ovakvih mjerenja dozvoljavaju da se 7..akljuci cia je gravitadona interakcija privlacna i da je obromo proporcionalna kvadratu rastojanja izmeau dva tijela, tj.
I fer) -'--,
1'2
Stoga mozemo da, pisemo gravitacic fiU sHu jednaCinom
(4,1)
gdje konstanta proporcionalnosti y zavisi od izbora jedinica za ostalc veliCine. Numericka vrijednost od y je odredcna mjerenjem sHe kojom se privlace :dva tijela paz .. nate mase na poznatom rastojanju. Prvi je .Henri Kevendis uspjeSno izmjerio ovu kon:stantu 1798. godine. Koristio je veoma osjetljiv metod s torzionom' vagom (s1. 4.4), Kada je masa m' postavljena blizu mase m,
Slikg. 4.4.
njihovo gravitaciono privlacenje proizvodi momenat na horizontalnoi sipki koji u.aziva torziju zice OC. Ravnoteza se uspostavi kada je gravitacioni momenat ;ednak torzionom. Torzioni momenat je proporcionalan uglu 6, koji se mjeri otklonom zraka svjetlosti reflektovanog od ogledala na zid. Tacna vrijednost ody je
'( ~ 6,67 ' 10-11 Nm'/kg'
i predsravlja sHu kojom se priv1ace dvije mase od po 1 kg na rastojan;u od 1 m,
4,3, INERCI]ALNA I GRAVITACIONA MASA
Rani;e smo, U okviru Njutnovih zakona, uveli pojam inercijalne mase i jednostavno je nazvali masa. Takode smo preq)ostavili da su zakoni kretanja \.U~ .. el.i: .. ..Jai) ti. cia su isti za sve V'rste materije. U ovom poglavlju diskutujemo 0 posebnoj interakciji zvanoj gravitacija. Da bism.o okaraktedsali njenu ;aCinu, trebalo je da svakom
106
djelicu materije u obliku
pridruzimo gravitacionu masu mil pa bismo jednacinu 4.1 pisali
, mgmg
F=y--, r'
et i ako ret ostavimo da je gravitaci;a univerzalna. osobitl9: sv~.vrs~ mat~:' U~:iemo ;ma~ati d.a je gravitaciona masa proporclOnalna mercIJalnoJ
masi, pa stoga odnos og::ra::v"i::ta::c"i::on=a_ma_s_a.c,_m,
k=-inercijalna masa, m
ora bid isti za sva tijela. Pogodnim izborom jedin~ca za mil, m~iem,,: ,?vaj ?dnos m , ' . dn ki 'dim· ci pa tako koristiti isti bro) za graVltaCIOnU t merclJalnu napraVltl JC a m Je, . . ~ D b oznata
Ovo . e im licimo i ucinjeno nasun lzborom kons~nte /. 0 ro l. '. ma~u" d) I?, I blizu Zemlj'e pada)'u s istim ubrZan)enl le dokaz ClU)etnCe .' njemca a sva tiJe a I. ' • Cl .., • c."j.lna masa isre posto )"e pod tom pretposrf.lvr:om, U0l7"aJIJe da su graVltaClOna 1 mer , . , gravitacije
'1M g = "-""
R' (Vidi zadatak 4,1)
a g je nezavisno. od. mase tijeia. vkoje pada. Ako hi mp- bil0 razlicho oct m~ tf'eba!o le umjesto gorn)eg lzraza da plsemo
. g ~ c:r~ , /.. . . z 'va tiJ'ela ubrzan)'c g hi. biJo raz.UCit.o ~>;:a, s,:ako tijet0 1
1 ako odnos m m mJc ISH as, ; . "", " "" . "" '1 ' " >
• It < • I'ustvom Stoga c"'mo l).vtjek KonsOH tt..uru,-; ),TI1."...'},1 7-3 sto jC u suprotnostl sa lSr-- ' . ' .• ~ . '." ..
gravitacionu iii inercijalnu maSH posto su one j~~d.nake.
4.4, GRAVITAClONA POTENCIJALNA ENERGTJA
Posto je grav'itaciona imerakcija centralna i zavisi sarno od .r~'itoja?ja, pred. . e konzervativnom silom datom relacijom 4.1. ~toga .~Q-l :rwze~o ..
~:~il~ra g:avitacionu potencijalnu energiju. < Ako uzmemo lshodlste Koordmatno2, sistema u masi m', a razmatramo. s~.m~, still. koia djeluje na masu m (s1. 4,5), pnml)etlCemo da' je ta sib F, posto je privlacna, suprotnog sm;era od vektora r.
Dak.le) -+
r = OA = Ru, -+
gdie je ur jedinicni ve~tor u J?ravcu OA, p~ stoga, umjesto skalarne jednacme ~ 4.1) x:nozemo preciznije cia pi§emo vektorsku Jednacmu
- m ",' - ('\ k' d' I ' na m) F = - y-- U,. SI a 'ola Je Ule ' T'
(4,2)
•
Slika 4.5. 107
0'1 . .. ,. va ~l a govo~ 0 post~JanJu g:avitacione pot.enci;J.lne energije vezane liZ masC
m 1 m. Slla (4.2) Jednaka Je negatlvnom gradijentu potencijalne energije, tj.
F ~ - grad E. iii
l.!. nase?1. sIueaju, po§to je sila centralna djeluje duz radijusa, potenci;alna energlJa zaVJSl sarno od r i stoga je
Iz jednatine (4.2) je F =
F ~ dE. dr
mm' -Y--,-' pa je
r
dE m m' --1' = y __ dr 1'2
Int~~rirajuCi _ gornJ~ lzraz i pnplsuJuCl porencij.alnoi euergij~ vrijcdrlOs~ 0 m1 vrlo veltklffi udal)enostlma (r = oo)~ dobijemo '
E ' f'dr p= ymm ~ "";;0 ymm'
00 r'
p~ za gravitacionu potencijalnu enetgiju sistema sa,",,,,iie,,,," od lFttJ.:;£\ N
bl/erno
Ep = - y ~!':: r
Ukupna energija sistema od dvije mase podvrgnute njilvY\~o; interakciji je tada
E = E" + Ep = -~ mv2 + ~-- m"i.:2 ~ .• , :!.~!.~~ 2 2 ; 1 .
Za sistem od vis'c 'estl' 'a ( ) k . , l,. l: masa, 'oJe su POQ\T£Dute niihoyilH interakcijama, ukupna energija je ~
E 22 sve Cestice
4.5. ENERGlJA KOD ORBITALNOG KRETANJl\
Posmatrajmo dvije mase m i m' od kojih je masa.,,( rnnogo yec...a PV m '-, tako d. se "" prakt'c d do -' . 2 " . . 1 no po u ra sa centrom mase sistem;L Fre:11,,;osr.ayiml) da mlruJ~ U .1shodlStu koordinatnog sistema (v' = 0). Tacia mozemo da' , energlJU SIstema relacijom lZt'JlZUU,O
E=
108
1 2 mm' -mv -1----2 r
(4.5)
Ako -se UUlSa m kreee po kru1.noj orbiti oko-mase m', sila koja djeluje na tu m,asu ie .
i zamjenjujuti PH s gravitacion.om. sHorn (4.1) imatno
Stoga je
jJli sc jednacina svodi na
mv!l' 1 mm' .-~ = --- y ---
2 2 r
(4.6)
E, Uil. jt; ulnJPtlli energija :!1egativna~ t"tzultat irs nmogo opstiji nego ho to na prvi pogled izgleda; sve elipticne
U:kupnu energiju (E < 0), kada definiSemo potencijalnu <12 jednaku nuli u beskonacnosti. Ovo znaci da kineticka energija
1,-;:od 0vih o:c'bh,ft u bilo knjoj tacki or-bite nije dovoljna da cesticu odvede u beskon<;\.(;n031. (hiD je oNto S obzirom da u beskonacnosti drugi clan relacije (4.5) postaje n:nhi, i cia jre:
':''h, J-C :z::udovol;i::i ako je E negativno. AU, ako je z'::ae.rgija pozItivna (E > O)~ cestica moze da dokuci beskonacnost
fn::t-'u-stane l1dtG kineticke energije. Iz reiacije (4,5), ako stavimo r = ,co , u heskm:mcnosti oznaCimo sa V oo , energija u beskonacnosti postaje
,~" 1 ... 1::. = 2 tt1V'" odakie je
(4.7)
s.c rezuhat moze interpretirati na slijedeCi nacm: Pretpostavimo da fe frl:.\s8 fl'S U Ha vrlo velikom rastojanju od m' i da je batena prema m' brzij101."fl 1;",," K"iJ.zvanm:Yi. btzina prilaza, taka da je ukupna energija odredena jednacinom
rJuk se rnl).:;;a m pribliiava masi m' ) n;ena potencijalna energija opada (postaje l1cimtivna)o .a kineticka energija taste dok ne dostigne maksimalnu vrijednost
u najbHieg prilaza koja zavisi od momenta kolicine kretanja djela. Tada b,,':stka pocinjc d.a se privlaci; gubi kineticku energiju i konacno na velikim rastojanjirn,a postize:: brzinu 'V"". Pumnja je otvorena krivulja - hiperbola.
Posebno je interesantaX1 slucaj kada je ukupna energija nula (E = 0) jer cestiC2.~ ptema relaciji (4.7) u heskonacnosti miruje (voo = 0). Orbita joj je otvorena', ali to je sada parabola. Fizikalno to odgovara siruaciji u kojoj je masa m oslobodena daieko od tn' s poeernom brzinom koja cini njenu kineticku energiju jednaku njenoj potendjalnoj energiji.
109
I A );
Si~~a 4.6. prik~~ic tri. moguCa slueaja sa naznacenom ukupnom energijom, tpoten~lJ:llno:11. ex:erglJoffi, kmetickom energijom i tipom orbite za sve sluc3jeve~
0VI sl.uca.lev'1 Sil veon:a .zna~j~i kod ispaijivanja vjestackog satelita u orbitu. Prctpt)t:taVlTIlO cia se sateht lspa1JuJe sa Zemlje. Nakon sto dostigne maksimalnu
m'
HIPERROLA
SIika 4.6.
/?~f ' ~
~~ ,~,p~ S[ika 4.7.
PARABOLA
visinu h, satelit dobije pocetnu brzinu v() u tacki A (s1. 4.7). Ukupna energija satelita u tacki A je tada
! 10
E' = ! .. mv~ _ _ y_m_M_ 2 R+h
(4.8)
Orbita ce biti elipsa, parabola iIi hiperbola, zavisno od toga da Ii je E negativno, nula iii pozitivno. U svim slucajevima centar Zemlje je u jednom fokusu putanje. Ako je energija premalena, eliptitka orbha ce presjeCi Zemlju i sateHt ce pasti nazad. Ako nije tako, nastavice da se krece po zatvorenoj orbiti iii ce "pobjeci" od Zemlje i njenog gravitacionog uticaja sto zavisi od vrijednosti Vo i h.
4.6. GRAVITACIONO POLJE
Pretpostavimo da imamo masu m i da postavimo na razna mjesta oko 111 Jrugu masu m' (sf. 4.8). Usljed njene gravitacione intcrakcije sa m, masa 11/' osjeb u svakom polozaju situ datu izrazom (4.2)
r' Ur •
Takode, u svakom polozaju mase m', masa m osjcca ism ali supromo uSffiJcrenu situ. Iv1edutim, sada nas imeresuje sarno sta se deSava sa m'. Mozema tada zakljuciti da masa m u prosroru oko sebe proizvodi fizikalni fenomen ko;i Cerno nazvati graviraciono pol ie, a koje se ispoljava preko site kojom m djeluje na drugu masu~ takvu kao m' ~ koja sc unese u taj region. Da Ii nd:to postoji u slobodnom prostonl oko m cak i ako ne koristimo probnu masu m'-) da hismo isprobaii polje, 0 tome mozemo sarno da nagadamo i u izvjesnoj mjeri je cak i nevazno S obzirom cia uoeavarno gravitaciono polje tek kada u rijega unesemo drugu masu_
Slika 4.8.
Gravitaciono polje jaCine G koje pro-izvodi masa m u tacki P se definise kao sila koja djduje na jedinicnu masu postavljenu u P (sl. 4.9):
G-,~_~~_ym. tn' r2
ur - (4.9)
Otuda gravitaciono polje G ima smjer suprotan smjeru jedinicnog vektora fl, koji ide od mase 5to proizvodi polje do
Slika 4.9.
tacke gdje se racuna polje. Drugim rijecima~ gravitaciono polje je uvijel::- usmjereno prema masi koja ga proizvodi. lzraz (4.9) daje gravitaciono poije na r;lS
tojanju f od mase m koja je smje§tena u o. Tada mfJzento svakoj tacki prostom oko mase m pridruziri vektor (j dat relacijom (4.9)) tako da se gravitadona sila
III
na bii~ ~?ju m_ asu postavlJ' cnu u t " d b" , '. om reglonu 0 Ije mnozenjem te mase sa od-govaraJUClffi G~ tj.
f = masa' G, Iz d fi '" 'di '
dimenz~o~~C~Je Vkl .mol da se Jacina ~ravitacionog polja mjeri uN, kg-1"m m . 5-2: JC e Viva entna ubrzanJu.
4,7, RACUNSKI PRIMJERI
Zadatak 4.t
!z:~c~nari masu Zernlje ako su ozna.·· ". . . na Po\ t:>lm Zemlje g = 980 rn,,-t . P fa}1 fl:)en rliikdilUS R -c= 6,31 . lOG In, gravltaclOno ubrzanje
." . ,! g 'dtaclOna onstanta '( -c= 6.67' 10--11 m'kg-1s-2. RJesIHlJ$ :
. ~ Posmatrajrno neku masu III na pows'" z r N" _. Je Zem!jmom po\uprccniku R A" Zlill .ern je. _ Jeno rastoj<l.rije od centr~ Zcmi;e jednako d' 1 '. - . Ko rnasu emlJe ozna""unQ S u· (4 I JC ule na (ljdo mase m daje . <..- a •. " Iz:t'a:t. . I za silu kojom Zemlja
OVa sila je, u stvari, teiina tii"la ma' dono ubrzanje. " se 11'1, pa stoga th:3ra biti kdnak .. IIIg, gdje ie 3;' gravita\~
Dakle,
mg =0 Y1't111~ odakle ie g o=~ :.:~ R' '
Ova) rezultat daje gravitaciono ubrz:m' k . <. da sC,.masa tijeJa ne Pojavljuje u ovom iztazuJ~ pre 0 mase I radtJUlia Zernlje, ~heba primijetiti s .... a tlJeJa treba da p.d.,·u s i,t;m b . ,,-1 da. prema tOille (aka se l.B.nernan orpor Vazduha)
I" d' . • U rzan)em :;(0 ,"e u sklad ' k ~'" ' pos Je nJeg lzraza dobijemo u sa IS USt\'om.. 1!:..4 masu Ze~;e .. M iz:
gil' M = ---- = 5,98 ' IOu kg.
y
. U oVom prirnjem kurisliii sma rastoian'e ~ da }e sita na rn.asu til ista kao lad je s . ' Znw.SI~ ttl od centlll Zemlk .. tj. pn:-rpost$~'ili :u!to
,a ma.'>a em Je koncentrisana u njef!c<m centru.
Zadstak 4.2
r ~ J Izr~cu~ati masu !-ernJje aka je poZllato da ie raslojanic izmdu ,84 [0 tn, a penod Mjeseceyog ophooll. oko Zemhe T =--: :::'.36. !~ So Zeml1e i. ~ijesoca
RjeIenie:
ll2
Privtaenl! sila ilmedu Zemlje Mjeseca je
.,.wI F~ __
T' Ova sila mora biti jednaka centripeuunoJ' aHi 1.._,", d"
l'.U Jduje na Mjt'Se(:, pi! je
F _ mv"',J m 41etrt 4n:!i mY' 'P - --~ ---=1---
r f Tft ']'I'
Izjednatavanjem F i F~p dobijemo za masu Zemlje M izraz
~n'r' M = y'P -=: 5,98 • IOU kg.
Isti ovaj izraz moie da SI!' koristi za r1leunanje mase SUnea' uz koristenjl!' podataka za razli, tite planete.
Zallat.k 4.3
Izral:unati minimalnu brzinu kojri treba da ima nelco ti;elo na Zemijinoj povrsini da- bi se \1 beskonatnosti oslobodilo priv1al:nog gravitacionog djelovanja Zeml;e.
Rje..le"je: Da bi tijdo dostiglo beskonacncst. njegavaukupna energija mora da bude nula iIi poziti\'na,
pa je ooto'da ce minimalna brzina odgovarati ukupnoj energiji jednakoj nula. Staga iz jednacine (4.5) za E = 0 dobijemo
gd;e je v~ - trdena brzina, M Prema tome je
1 ymM _mv 2 - --- = 0 2' R
masa Zerolje, a R .- njen radijus.
'iJe = J¥,--", 1,13·1O$ms-~. Treba primijetiti da je ova brzina (koja se jos 'love druga kosmicka brzina) nezavisna od
mase tijela. Projektil koji je :zbaeen brzinam tJe S po\'d.ine Zcmlje itnace brzinu nula kad dostigne beskonat.nost. Alto je brzina. veca od 'V~, prcjektil ce stici u beskonacnost (u beskonacnost znaci van dom'i~ais. Zemljinog gravitacionog djelovanja) sa nckom preostalorn brzinom.
Zadatak 4-.4
lzratunati brzjnu koiu ima tijelo puheno ua rastojanju; ad centra Zemlie pri udaru a-zem- • ljinu povr!inu.
Rjelet:je:
Potetna brzina tijela je nula pa je njegova ukupna encrgija pre.na relaciji (4.5),
ymM E~---
r
gdie jc III maSa tijela. a IH masa Zemlje. Kada dostigne povrsinu Ze-mlje, njegon brzina je v, a njegovo ra<;tojanje od centra Zerolje je zemljin radijus R. Njegova ukupna cnergija se tada moie napisati relacijom
1 Y1llM _rnv2 _ --
2 R
JzjednaeavajuCi obje nijednosti ad E, posto ukupna energija mora da ostanc konstan:na (zanemariii smo trenie vazduha), dobijemo
odakle je
iii, , yM
POSto Ie g:=R'
i ym,M -tIlV! - --~
ymM
2 R r
(zadatak 4.1), dobijemC'
v' = 2R.g(~ - ~), R r.
l!3
OvPj izraz rno!e~ takode) da se koristi za' "Cu . '. bad vertikalno brzinom v sa Zemljine nnvrJf ,LZrAx:ava~~elorastoJ~Ja r koii dosd@"*'ijiliokadase
. 1 ~.~ . me. se tIle pustl sa vdo velike udal;enQSti taka da JC ,-t zanemarJjivo u poredenju sa ~, dobijerno
'lJDo = Y2Rg = J2Y~ =" 1,13·104.lOs-l
st~ je: u saglasnosti sa rezultatom datiIT~ relaci"om (4 8) . da,e, na primjer, procjenu brzine ko,· om m;r ,,' d ~ drugu k~m.Jtku ~rzinu. Goenji rezultat
rent u an 0 povrlhnu Zcmlje. Zadata).: 4.S
Odavdc ir'
l!4
n ~. (h + H + 2R,l" r, < ,
, T
5. OSCILATORNO KRETANJE
5.!. UVOD
Oscilatorno kreci.n;e se periodiC-no, nakon vremenskog intervala T (period), ponavlja po istoj putanji. U prirodi nailazimo na mnoge primjere oscilatornih kretanja: atomi u cvrstim tijelima osciluju oko svog ravnoteznog polozaja, cestice vazduha osciiujuci prenosc_ zvuk; tijelo objf'seno na elasticnu oprugu pomjereno iz ravnoteznog polozaja nastavlja da osciluje oko njegaj elcktricni naboji oscilu;u u ~lektriCnim kolima podvrgawjuci Se istim zakonitostima kao i mehanicki oscilatori.
Sve ove oscilaci;e se medusobno razlikuju po fizikalnoj prirodi procesa koji se ponavlja, a zajednicka osobina im je kretanje oko ravnoteznog poloiaja pri cemu se naizmjenitno potencijalna energija pretvara u kinetiCku i obrnuto. Oscilatorno kre-tanje se moze javiti pod razlicitim okolnostima, ali mu je najcesd uzrok elasticnost tijeia. Nairne, kada se elasticno ti;elo deformise, javlja se eif&sticna sila koja tei! da vrati tijelo u prvobitni, nedeformisani polozaj. Pod uticajem takve sile i zbog osobina inertnosti 'javlja se oscilatorno kretanje.
5.2. ELASTICNA SVOJSTVA TIJELA. HUKOV ZAKON
Cvrsta ti;ela su elasticna do odtedene granice. Kada sila, koja ih je deformisaia, prestane cia djeluje, ona' se vraeaju u prvobitni oblik 4'0d uslovom da nije prekoracena granica elasticnosti. Ako se prekoraci ova granica kod deformacije~ tijelo trajno mijenja svoj oblik i ostaje deformlsano.
Ako, na primjer, na zieu presjeka S i duzine I} djelujemo silorn F, njena ce se prvobitna dufina uveeaii za al.
Sila koja je izvdila ovo izduZenje uzeta na jedinicll povrsine zove se napon i obiljeZava se sa cr.
Zato je F
cr = -. S
(5. I)
115
". Ako s; ukupno. (apsolutno) izduzenje !:ll podijeli sa ~uZl~O~ zIce,. dobtce se izduzenje po jedinici duzine lzdtlz~'tIJe (relat1v~a deformacija) koja se oznacava sa o.
I'-rema tome )e
, ;to
% Uvr~t.vanjem jednaCine (5.6) u jedn.tinu (5.7) dobijemo
F ~ - kx. (5.8) prvobitnom ukupnom ~ zice iIi tzv. rclmivno ~
',; \\ Pod uticajem ove site, masa m ce se vraeati prema ravnoteznom polofaju 2
lSI a ~ -_ ... I
,:f sve dok x ne bude jednako 0 kada i sila F postaje nula. Medutim, vrativsi se u ravno-
(5.2) i\ tetni poloZaj 2, masa m je stekla neku , br:zinu, te zbog inercije produzuje da se
krece prema gore. U tom kretanju sabija se opruga i ponovo 'pojavljuje rezulmjuCa sila F = - kx, koje se protivi sabijanju, sve dok ga ne sprijeci, vrativsi tijelo u ravnoteini polotaj. Tijelo se, medutim, ne zaddava u tom polozaju jer je steklo neku brzinu pa zbog inercije, nastojeCi da zaddi stanje svoga kretanja, produzuje da se krece dalje prema dolje, pri cernu se opruga ponovo isteze. Tako se 0\:0 kre" tanje ponavlja svaki put na isti naein i po istoj pravoj- liniji.
~n:pir~j.ski, tzv, H~kov (Hooke) zakon kaze da je relativna elastlcmh tlJela proporclOnalna naponu, tj.
deformacija kod :~ '?
d ,-.., CJ,
--_ .... Slika 5.1.
(5.3)
Konst.~n·ta Ey, koja je karakteristicna za svaki m~vtenJ~l, zove se Jungov (Young)" modul ela~ $tlcnost! (s1. 5.1).
Ix Hukovog zakona sHiedi da je rebna za vrsenje deformacil'c 6.1 ,>;.'
d la " dee
ata re' CIJom ES F ~ ~-- 111. I
sila potili ~tapa ,1
(5.4)
Elasticno ti;elo se opire OVOI' def! ... istom t fk il ormaclJl
pa je o 1 om s om .F~l u suprotfiom sm;eru ..
ES -F=---1S1~-kI11 (551 I . .,
Ova sila je, dakle~ proporcionalna deforrnaci'i i . ., ., je deformacija najveea tl' k~da JOe til'elo n ·clal· d' Ima naJvecu vTlJednost kada ~ I. k .," aJ Je 0 ravnoteznog poioz . . d k JC nu 1 ada se tlJelo nalazi u ravnoteznom p I ~ , .. ~Ja, a}e na a o ozaJu pa Je 1 deformaClJa nu1a,
5.3. MODEL MEHANICKOG OSCILATORA
. Mehanicke oscilacije mozemo najiakse lzuCiti na modelu 'ed 'v
oscllatonL 1vlozemo ga preustaviti kao, t1' 1 .. J nog mehamckog oprugu ciju masu u poredcnl'u S masomlemO ma~e m kOle Je o~ceno na elasticnu
I' d" mozemo zanemann ,<....a a na opruzl nema mase m) duzina opruge 'c I Nak '. .
oDluga se ,·stegne "N. Al T ~. ., 4). on v)esan,a mase m ~ .<..a. L.}, 0' ''''Zl11U rnase m mg U v • )
sila koja se javlja U opru;i isregnuto,' 'za ~l ravno~ezuJe U OVOID slueaju elasticna ~ uu,paJe
•.. ... mg - klSl. ~ 0 tj~ mg ~ kl1lo• (5.6) 0"a1 slstem, ffiITUJC Jer je rezultirajuCa sila ,'ednaka I·
Ako m dut". nu 1. .' ,e 1m, masu m lZVucemo iz ravnoteznog pol fa: ' . aoIle, poremeticemo ovu ravnotezu jer ce rezult'ra' -, 0'1 ,ab~~mJe~~Jem. prema (81. 5.2)) pa je t Juea S1 a ttl razhclta od nule
F ~ mg - (1110 + x) k
F=mg-kx-M.lo. (5.7)
li6
Stika 5.2.
Oscilacije koje nastaju pod uticajem sHe F = ~.~ kx, zovu se harmonijske (Jsci= lactje i predstavlj,aju naHednoS1:3Vniji oblik oscilovanja tijela. One su znacajne zato stO su mnoge oscilacije u prirodi i tehnici veoma bliske harmonijskim i. zato sto se perioditni procesi razlicitih vrsta mogu predstaviti k3.o superpozicija nekoliko
harmonijskih oscilacija.
5.4. HARMON[JSKE OSCILACIJE
Hannonijske oscilacije nastaju pod uticajem elasticne siie F = - kx, gdie
je X e1ongacija, tj. rastojanje od ravnoteznog polozaja a k konstanta (direkciona sila) koja zavisi od elasticnih svojstava sredine u kojo; ove osdlacije nastajU.
Prema tome, jednaCina kretanja, tj. II Njutnov zakon za harmonijske oscilacije, se moze napisati kao jednacina (5.8)
iIi
d'x m--=--kx d,'
d2x k _.+ -~X =0. dt2 m
(5.8.)
(5.9)
JednaCina (5.9) je linearna diferencijalna jednacina drugog reda sa konstantnim koeficijentima, Iz nje mozerno izracunati e10ngaciju x (c) kao i brzinu v (x) materi;alne tacke koja harmonijski osciluje kao i njeno ubrzanje a (r).
Teorija diferencijalnih jednacina kafe da postoje dva linearna nezavisna rie~ senja jednacine (5.9); na primjer, sin wl)t i cos wot i d.a je op~tt~ rj-esenje Hneanla kombinacija ova dva nezavisna rjesenja
x (t) = a sin (Uot + b cos wet,
gdje su a b neke konstante.
(5.10)
117
jfu-
l fi-
• Ako uvedemo :oz,:,,~e a:=, -:- A sin <1>., i b = A cos <1>., onda rjeSenje (5.1O)! mozemo transformlsatt 1 naplSatl kao '-f
x (t) = A cos (w.t + <1>.).
Ii x
(5.11)1 !
Diferenciranjem izraza (5.11) po vremenu,dobieemo brzinu harmonijskogl oscilatora s
Stika 5.3.
~ dx . - = - Aw. sm ("'.I + <1>.). dt
!
(5.12)\
Diferenciranjem izraza (5.12) 1 po vremenu dobi;emo ubrzanje I harmonijskog oscilatora }
d'x - = - Aw' cos ('" I + <I> ) dt! 0 0 o·
(5.13) \
Elongacija X (.), brzina " (t) = i dx , d2x! = ._, ubrzanJe a (I) = -. su; dt Ii" --
predstavljeni grafi~ki na slid 5.3. Uvrsmvanjem izraza (5.11) i
(5.13) u jednaCinu (5.9) dobieemo vri;ednosti konstante 'Yo:
• k 0 0 = -, (5.14)
m
Jednacina (5.9) ima, rje.enie
x(t) = A cos (J~, + <1>.). (5.15)
~jesenje x (t) je periodicna funkcija 5 periodom T, koji predsravlja nijeme u kOJem se argument kosinusa pove6a za, 2n
If (t + T) = J! t + 21<, odakle je
(5.16)
.. Period. ne: zavisi od amplitUde oscilovanja sto ;e karakteristika svakog harmolllJskog osctlatornog kretanja.
Velicina
ZOve se kruZna frekvenclj"a,
118
211: (Uo = --- = 4ttU
T (5.17)
U izrazu (5.15) velicina A je amplituda (maksimalna elongacija), tj. pomak u Casu kada se cestica zaustavi i promijeni smjer osci1ovanja. Velicina (wot + $0) zove se /aza oscillYVanja~ a sarno <1>0 je poletna faia, tj. faza oscilovanja u trenutku t = O.
rednaCina (5.9) cije je rjesenie e\ongacij. x (t) data jedoacinom (5.15), diferencijalna je jednacina II reda, pa fe njeno rjesenje tacno odredeno ako znamo dva potetna uslova: elongaciju i brzinu u vremenu t = 0,
U n.sem slueaju je
x (0) = x. = A cos $0 (5.18)
v (0) = V. = - Aw. sin <1>0-
Amplitud'u A i poeetnu f •• u <!lo mo:!erno l.racunati iz jednacina (5.18) no sliiedeCi nacin: amplituda A se dobije kada se jednacine (5.18) prvo kvadriraju~ pa saberu,
Dobije se V'
A2 = x~ -+- :\:1 •
a pocetm;; f:,n:a %1\, kada se druga jednacina (:L is) podijeli sa prvom. Dobile se
5.S. ENERGlJA HARMONHSKOG OSCILATORA
(5.19)
(5.20)
Ukupna energxja harmonijskog oscilatora sastoji se iz kineticke i potencijalne energije,) pa jc
(5.21)
Pri osdlovanju kineticka e:nergija materijalne tackc) koja osciluje, neprestano prelazi u porencijalnu i obrnuto. Kada materijalna tacka proiazi kroz poioiaj ravnote:ze, potencijalna energija je nub, a kineticka maksim.alna; kada je elongadja maksimalna, brzina materijalne tacke je nula, a potencijalna energija m.aksimalna.
Kineticka energija harmonijs.kog oscilatora je: data izrazom
E, =~. m,,' (t) = ~ m (dx)' = I m [w,A sin (wo' + <1>0)]' = 2 . . 2 dt 2
(5022)
Potendjalna energija harmonijskog oscilatora jednaka je potencijalnoj energiji elasticne opruge, tj.
J 1 E. = ._- kx' (t) = - kA' cos' (000' + $.).
2 2 (5.23)
119
Kineticka i potencijalna energija su graficki predstavljene na slid 5.4. Osdlator je lzolovan sistem, p8 !e ukupna energija
E o~ E, + Ep ~ .~. kA' [cos' (wo' + <1>0) + sin' (wo' + <1>0)1 ~~ kA', 2 2
(5.24)
konstantna, sIika 5.5.
1~ r
• Stika 5.4. Slika 5.5.
5.6. MATEMATICKO KLATNO
~\1atcmaticko klatno je tijelo malih dimenzija objeseno 0 lak i neistegijiv konae, koji moze da osci\uje pod dejstvom gravitacione sileo
Krctanjc matcmarickog klatna se vrSi po krugu poluprecnika koji je jednak duzini klatna 1. 0\"0 krctanje, dakle, nije pravoliniisko pa, stoga, nije prosto harmonij-sko. 1\1edurim, ako je ugao otklona $ malen, onda se luk s moze aproksimirati tctivom x, te se krctanje klatna moze smatrati proStim harmonijskim.
Nairne, ako izvedemo klatno iz ravnoteznog polozaja za neki ugao $, koji konac Cini sa vertikalnom os om (s1. 5.6), pojavice se moment M, Cija \'clicina je mgt sinCD, koji tcii da vrati klatno u ravnotezni polozaj.
Dakle, M = _.- mgt sin<I>. (5.25)
Znak minus dolazi zbog ::ega sto moment M okrece ti;elo suprotno od smjera mjerenja ugla $. Ako napisemo jednaCinu za dinamiku rotacije klatna uzimajuci
d'<l> U obzir da je ugaono ubrzanje klatna --, a moment inercije klatna oko ose
d,'
120
u 0 kao tackaste mase I = m12, dobicemo
d'<l> g. _ + -- sm<l> = O. d,' I
Kada bi u ;ednacini (5.26) sin<l> zamije- W.:::.:z::::;:f.:::::::::::::::::::=·:::: lIiIi samim uglom <I> Ca to je moguce .ko je <l> mali ugao), onda bi jednacina (5.26) imala ob Iik duerencijalne jednaCine harmonijskog oscilatora. Prema tome, za male oscilacije dife rencijalna jednacina matematickog klatna glasi
d'<I> - + w;<l> = 0 (5.27) " del!: '-....
gdje smo uveli oznaku
w~= L I
(5.28)
Rjesenje jednacine (5.27) ce onda imati oblik
<I> ~ A cos (wo' + ,,). (5.29) SJika 5,6.
Iz reiaci;e (S.28) dobi;e se izraz za period T matematiCKog klatna.
Dobijamo
1'=2,,= 27tJT. Wo g
(5.26)
(5.30)
Iz ovog izraza se vidi da period matematickog klatna ne za\'lsi od njegove rnase, vee sarno od nje-gove duzine i gravitacionog ubrzan;a.
5.7. FIZICKO KLATNO
Fizicko klatno je kruto tijelo rna kakvog oblika koje zbog ~Yitaci?nih .~ila moze oscilovati oko nepokretne horizonr.alne ose. Alozem.o smatraO da teZina tlJe1a mjj djelu;e u centru mase (tezistu) ti;ela C. Ako retinu razlozimo na dvije komponente, onda samo komponenta F obrazuje moment koji ,·raea tijelo u ranl0tezm polotaj, pa je
F = mg sin <1>. (5.3!)
Vri;ednost momenta je M = - mgs sin <1>, (5.3})
gdje- ;e m masa klatna, a s rastojanje izmedu objesista 0 -i teZi.sta kl:nna. C~ sl~ 5.7. Znak minus je zbog toga .to moment Ai ima suproran smler od Sffilera mlerenj. ugla <I!.
Za mali ugao <I> je sin <I> ~ <1>, pa je
M = - mgs <1>. (5.33)
121
S druge strane je
d'<I> M = Iott. = 10 - ..
dc'
pa diferenci;alna jednacina za fizicko klatno glasi
d'<I> 10-- + mgs <I> = 0
dc'
d2~ mgs --.-.- -I- -- <J) ~, 0 dr2 . 10 .
(~.34)
(5.35)
(5.36)
Kocficijem uz iJ) u iZflJ.ZU (536) predstavlja kndnu 1,l,sesranost (J}g, j1<'\ se jednaCina fiziclwg klatna pi,~e U obliku
(5.37)
idc-m:icrJ>k je sa dIfen:;pcijalnoni j.ed,I).aCinorn nar.'. mon.ij"kog ,}scHatofa_ To znaci cia za male oscHacije;: n7:icko klatno izvodi harmonilske oscila.cije opi<;an.>? funkcijorn_
Period fi:r;ic}{og kbtrw. )~:> rn.:-n13 tGme)
Uporedenjem rebena (5.30) Ciia je duzina:
I,
T = 2~ J;!i:
ms
ima isti period oscilovanja kao i dnto fizicko klatno. VeJicina lr iz ;ednaCinc (5AO) zove se reduk()'vana
duz£na fizickog klatna. Tacka 0'> koja se dobijc kada se' duzina lr nanesc
na fizicko kiatno oct ose obrtanja preko tezista, zove: se Cenwr oscilapJ"(! 1.1 odnos,u na t.(tcku ohrtanja (sL 5.8). 1\-1.02e se iaka pnkazati da kad se tatka vjcSanja prem.jeRti tZ 0 u 0', period 0sciIov"3,nja klatna. ostaieistj) rj< z<} 0' kU0 tllcku vjesunja 0 if: centar os-dladi~<
Neka jf': U odno.5-u, nn c;/ , (7'--
T' = 21t, / -.....2- • h/ mgd - (5.40
tj. ovdje je redukovana duzina
l~ =!~ m.d
(5.42) 122
(5]8)
(5. J9)
(' 4(l)
Izrazimo moment inercije oko 0' preko'momenta inerdje okQ ta&e C (paraleine ose - ;ednacina 3.41).
Dobijamo, l~ = l~ + rnd'!.
uvrstimo to u jednaCinu (5.42), pa cerno dobiti
I , ~ I~ + md2
0-
md
I, md
I, +d=------+lv- s =
m(lo-s)
1 = to + --- [It _._, ml()§ + msl!] =
In (10 - s)
I ~Io+ -----.
m (/0 -- s) '-···C--"
Redukovanc duzine za tacke 0 i 0' su iSle, H} t?J-:ock, oko datih t3caka, sto smo i ieljeli dokrav,tl,
Rjesenje niza problems, naroCitn nd;~oEk(,' pravC3, je znatno olaksQj]o i jasnije .ako m,(;,,,,tvimo vektora u ravni, tj. ako nactnimo' njihov vchronhi di,·cC/ira:-n.
(5.43)
(544)
osdlO-vanja
Uzmimo jednu 0&1.1 i ozna6mn Ie '::<1 ){. 1z tabkr,; (;em.o vdq:or A koji sa osorn zakiapa ugao $() (s1. 5. 9). Akn ;;;;:noliram(\ vektor ugaonorn brzi-nom WO' tada ce se projc-kcija kraja vekron1 k:rcf;-ni lin:'. ~g n~!: u ,~)d ~ A do A.
Koordinata ave pfojekcije ce Sf::
njati s vremenom po zakonu
(5.45)
Prema tome, projekcija vrha vcktora na osu vrsite harmonijske osciladje s. B.m~ plitudom koja je jedua.1z.a duzini vektof() u-, gaonom frekvencijom jf-::dm~kom brziDi vek!Ora i pocetnom btzinom jechmkorn uglu koji cine vektor i esa u poce:tno-m mn" mentu.
A
x
SHiM 5.9,
Posman-ajm.o sabinmje dvije harrn,onijsk,("; £swg prm.!ca i i~te frek·, vendje. Pomjeranje x oscilirajuceg rijeia {-x; biti suma pomjeranja Xi i X2,1 cemu je
Xl =" At cos (<G)IJ{ + q\) (5.46)
123
Ako obje oscilaci;e predstavimo pomoCu vektora At i A2 , onda Cerno rezultujuCi vektor konstruisati prem.a pravilu paralelograma. Lako je uociti da je pro
jekcija ovog vektora na osi X, u stvari, suma projekcije vektora koji se sabira;u (sl. 5.10), 'j.
A
---___ --- / I --- , --- / ' // I I
/ I / I J..f: .... ,l / / ,.---r
/ I I I I
tpl I X
- x, .1.-x-1 X~~
Slika 5.10.
(5.47)
Prema tome, vektor A je rezultu· juca oscilaci;a. On rotira istom ugaonom brzinom kao vektori if 1 i A2 tako da je rezulrujuce kretanje harmonijsko sa frekvencijom CUo, amplitudom A i pocetnom fa7.om ~o. Mote se uocid iz konstrukcije da je
A' = Ai + Ai - 2A,A, cos [n -
- (<I>, - <1>,)] = Ai + Ai + + 2A,A, cos (<I>, - <1>,), (5.48)
tg <I> = A, sin <1>, + A, sin<j).,. (5.49) o At cos <1>1 + A2 COS ¢'2
Tako se predstavljenim harmonijskim oscilacijama preko vektora omogucuje svodenje sabiranja nekoliko oscilacija na operaciju sabiran;a vektora.
Relacije (5.48) i (5.49) se mogu, isto tako, dobiti ·.abiranjem jednaCina (5.46) i odgovarajuCim transformaci;ama. Ali nacin koji smo mi koristiH je mnogo jednostavniji i jasniji. Analizira;mo jednaCinu (5.48) za amplitudu.
Ako je fazna razlika izmedu oscilacija <1> 2: - ~1 = 0, amplituda rezultujuce oscilacije je jednaka sumi Al i A2< Ako je pak ta fazna razlika + 1t Hi - 1t'~ tj. ohje osdlacije su u kontrafazi, rada je amplituda rezultujuce oscilaciie ; A2 - Al I.
Ako su frekvencije osilaci;e xli x 2: ra:lliclte, vektori At i A2 ce rotirati razlicitim brzinama. Rezultu;uci vektor .if U o\om sIuea;u se mijenja po veHcini i rotira s promjenljivom brzinom. Stoga je rezultujuce kretanje u ovom slueaju sloten osdlira;uCi proces a ne harmonijsko oscilovanje.
Od posebnog interesa je slucaj kada d\ije harmonijske oscilacije istog pravc3" ko;e Se sabiraju, imaju malo razlicite frekvencije. Pokazacemo da se U ovom slucaju rezultujuce kretanje moze smatrati harmonijskim oscilovan;em sa promjenIjivom amplitudom. Takve oscilacije se zovu udar£.
Neka je (il frekvencija jedne oscilacije~ a (il + flw druge. Prema naSoj pretpostavci je flw <::: w.
Pretpostavicemo, takode) da su amplitude obje oscHacije iste i jednake A. I cia pojednostavimo proracun, uzecemo da su pocctnc faze obje oscilaci;e nula.
Dakle, x, ~ A cos wI; x, = A cos (w + li.w) t. (5.50)
Sumiranjem ovih izraza i koristenjem trigonometrijskih formula za sumu kosinusa dobijemo
J24
x = Xl + Xz = (2A cos ~w t) cos we,
(u drugom faktoru smo zanemarili clan ~~ u poredenju sa (o,)). 2
(5.51)
Faktor u zagradi jednacine (5.51) mij~ja se mno.~o ~~o:rije nego drugi fak~or. Zbog uslova ~w « (0) faktori u zagradi se. bltno. ne.?·uJenJaJu svyreme~lOm u kOJem faktor (cos <ut) naCini nekoliko kompletmh osctlacIJ~. To zn~cl da blS~O.U ovoI? slucaju oscilacije opisane jednaCinom (5.51) mogh smatratl harmontJsklm OSC1-
laci;arna frekvencije w cija se ~mplituda mi!enja pre~a zako.nu p:::iodicno~)'.~reta?;a. Analiticki izraz za amphtudu, S obzlrom da Je ona pOZltlVna vehcma, Ima
oblik 6.(1) amplituda = 2A cos - - t
2
graficki je prikazan na slid 5.11.
T"'Zr./w __ .,.i f----. .. ,
(5.52)
Funkcija (5.52) je periodicna funkcija sa .frekvencijom)ednakom dvostrukoj frekvenciji funkcije unutar znaka "apsolutno"} tJ: sa frekv~ncl,om ~w. Pr7~~. tome:t frek"encija puisiranja amplitude, tzv. frekvenclJa udara, Jednaka ,e razhct ).zmedu frekvendja oscilacija koje se slazu.
b) Slag.:lnje medusobno okom!tih h1rm'Jnijskih oscilacija
U nekim slucajevima tackasta ma')a ~oze ~a ~~ciluje du;f X i duz ,Y os~ ~oje su medusobno okomite. Ako uvedemo ob)c oscl1aclJ~) mas.a .ce se kretatl. po .1zvJesno), U opstem slucaju, zakrivljenoj traJektoriji ciji obhk zaVlSl od faze razhke lzmedu
dvije osciiacije. Primiere ovakvog kreranja imamo kod tzv. dvosuukctg klatna. (51. 5.12.a) Hi
u slucaju kada je masa m pricvrScena za dviie medusobno okoffine opruge (s1.
S.12.b). lzaberimo pocetno vrijem~ tako da je pocetna faza prve oscilacije nula. Jed
naCine: oscilacija se tad'! mogu napinti U o::,liku
x = A cos wI; y = B COS (M + 8) (5.S3)
gdje je 8 fazna razlika izmeju ove civije osciiacije. . Jednacine (5.53) su parametarske jednaci.~e trajektori;e .. d~z koj~ se k~ece
materijalna tacka koja ucestvuje U obje osciiacIJe. Da se doblJe }ednacma traJek-
125
tonjc lj, konvenciofw.1nom obUku .• Jz pl~ve od ovih jednaCina je
treba eHnunisati parametar iz jednacina (5.53).
COS (Ot = A
(5.54)
--r
I it.
h.
Slib 5~i2,
pa it:
(5.55)
rZa.qn'riJ'lu)c, Ii k('sinu~ u. od jedna6n,i.\ pfcrn.3 pravilu 0 rastavljanju kn:;inusa zhira i iskofisr.irn,o i?razc 7,~1. s1n (Jt i CflS (M lz ;edm:cina (5.54) i (5.55), d(',hib:.~m(l
X 'i:' eo, = A' cns I) -- sin ;; (5.56)
NaK:on jcdnostavnih u:ansformaci.ia, ova se jednaCina mOl,e napisati U obliku
.AR (5.57)
Ov() je: dinatne Dse Xi}",
nac-tn, uhlir:,
proi:,v"ijn" ori.ientisane u. odrwsu na koor(ilI:nenzl!c nje:nih po!uosa zavise~ na dosta
razlike f).
odakk (101)!1"''''( jOlln".cir", pravca
B Y "= ---'-:x;, . A
Os.dliraju(~a f..,.'1Cka se k.rect~ Guf .pt1ive koordinatnog pocetKa koje je jednako r ::...--:: ,,(x·j,"" + yf! m Cine (5.53) 2'2. x i Y i za (} = 0, ovo rastol:mje je
r = <v/./fiTBil COg (u,L
126
slueajevima.
(5.58)
(5.59)
linije sa ranojanjem od uz vrijednosti iz jedna-
(5.60)
Ix jedfiacine (5.60) slijedi da je rezulmjuce kretanje h~:moni~~.ko osciJovanje duz. prave linije (5.59) sa frekvenci;om w i ampHtudorn .j A'l + B'i (s1. 5. i3.fi),
b) Aka je fazna razlika 0: jednaka ±.1t jetinaCina (5,57) se moze naDisati u obliku
odakle, fk }.-''itt nacin kau u slucaju nijsko 'GY>CHovllDje dnz pravc Iinijc
7[ .+, .""~ .. J
2
Y=
y
)
Tl.a.lazi.mo da je
B --··x A
(5.63 )
rj. jednaCina eiipse ti,e ~H~ ose podudaraju sa. kOOl:dinatnin:i. os?m~, <'l jcdr~akc su odgovaraiucim ampHtudama oscilacija< lZada su amplitude AlB Jednake, chpsa se svodi fia kmzniCl.L
-, + ,,;
2: 'I't S{~' ra.iJikuju L1 Hn.je-rll krCtllfli" 2
8m ·~t~ InL'Ze Drovi"'·'t; ake se nadc: hrzina. ti1cke li tatld x ~c:.::: -1-sa Y' osom. 1) ovoj t3.cki je cm< tiJt .= 1:1 :i~ y KC"11pC,m:ni:a
je
Posto je ova brzina fH.:gadvna) ratka proiazi kroz ra(~ku x = A, krectlci se prcrn.a dolje~ tj. u smjeru kazallke na satu CsL 5J4).
7.a (;' ,= ~-. ~-r:_ , ova brzina bi bila pozittvna" pa je to kret~mje po elipsi (5063} 2
u s:tnjeru obrrmtorrt od smjera kretanja kazilljke na s.arn, Za neku drugu. vrijednost
127
fazne razlike 0, trajektorija je, takode, e1ipsa .ali njene ose rotiraju U odnosu' na koordinatne ose (s1. 5.14).
Slika 5.14.
Ak~) le, ?,1edutim~ frekvencija dva okomita harmonijska kretanja razliCira r-ako su jeanacme oscilovanja ' J ..
x' =. A cos wat, y ~ Beos(w,t + 8), (5.64)
rezultl:ju~ p.utanj,a c~ zavisiti ~d odnosa (llt ; w1 i od fazne razlike 3 i ima6e oblik komphkO\~nth knvul,a poznatth kac LisaZuove (Lissajous) figure.
Na pnm,er, na slid 5.15. je jedna od jednostavnih trajektorija kola so dnbije
za W1 ; (,)2 = 1 .: 2 i 7.a 0 = .~ .
Jednacine oscilaeije imaju ovdje oblik
!It: = A cos 6>t, y = B cos (2(0)' + ~)
y
-----f-~-=:-T I • I X
SIiIM 5.15 •. SIiIM 5.16.
(sl. Ako ie pak. Ol, : '"" = I : 2,.~ /I = 0,' trajektorija postaje 'otvorena kriwlja
5.16) dut kOle se krete matenJalna ta&a DB : .... -u i DB drugu' _.. • Ii . odn' . "'~. Su_U. to Ie os w,:... bliti jedinici, to su LisaZuove figure komplikoVllDije;
128
5.9. PRIGUSENE OSCILACIJE
.M:i smo do sada razmatrali harmonijsko krer.anje smarrajuCi da sve oscilacije imaju istu amplitudu. Medutim~ iz iskustva znamo da kod vibracije opruga ili kiama, na primjer, amplituda postepeno opada. To znaCi da je osci1a:torno kretanje pr£-guseno.
Da bi dinamicki objasnili priguSivanje pretpostavi<':emo cia uz elasticnu silu F = _ kx postoji druga sila proporcionalna brzini. To je sila zbog viskoznostl sredine u kojoj se odvija oscilovanje. Ow silu mozerno izraziti relaci;om
F ~ - "'V gdje je A konstanta a v brzina.
Treba primijetiti da su moguCi i drugi tipovi prigusujuCih sila koje Sll proporcionaine visem stepenu od f} iii nekim drugim fizikalnim relacijama.
Jednacina kretanja U ovom slucaju (s1. 5.17) onda ima oblik
ma=-kx----AV (5.61)
Hi d?x dx ~ + 2y ~ .. - "1 w~x =: 0 dt2 dt
gdje smo uveli oznaku
(5.69)
VeliCina y zove se Jaktor pyigusenja. Frekvenciia
Wo = J-; je prirodna jrekvenc'ija) tj. ona kOJu bi imao
oscilator kad ne hi bilo prigusujuce sileo Slih,c 5-17.
(5.66)
Rjesenje homogene diferencijalne jednaCine drugog reda sa konstantnim koeficijentima (5.68) u slueaju malog prigusenja hn-a oblik
x = Aoryt cos ((0.)( +. q»). (5.70)
Ovdje su Ao i <1> proizvolJne konstall(C, a w se moil;. naCi ako sc difcrenciru.-' njem vrijednosti x iz izraza (5.70) po vremenu~ najprije nadu njeni i drugi wod x' i x", pa se zatim uvrste u jednacinu (5.68). Ove operacije Z2 {0 dati
vrijednost
Prema tome~ krufna frekvencija (0} pcigus.ene oscirncije l ie nWl)U od kruine frekvencije Wo odgovarajuce oscilacije bez prigusenja. Period priguscni.'h. Qsciladja
je oncla
T 27. (5.72)
129
Siika 5.18. prikazuje grafikon funkcija (5.70). Crtkana linija prikazu;e granie,kGj!; okruzulu pomjeranjc: .'X osdHrajuce cestice. Prema izrazu (5.70), kretan;e sistema, predstavijeno ovom funkcijoffi) moze Sf! smatrati kao harmonijsko oscilovan;e
frekvencije w sa amplitudom koja se mijen;. po zakonu A (I) = Ao exp Cy,). Gem;a isprekidatla krivulia na 81. 5.18. oznaeava funkciju A (t) gd;e je Ao vrijednost amplitude u trenutku t = o. Za razliku od A o' potetno pomjeranje Xo cesrice takode zavisi od potetne.: faze,. po. je
(5.73)
Posto amplituda prigusene oscUacije opada s vremenom~ energija ccstica takode opada. Energerski guhiwk (~tice priguse:nog osciiatora apsorbuje medi,um.
sce' ~!~,~:~::U;:' (jsc:ihcije ccst(; se izrazava koHcnikom_ vrije:dnost: x u dva U,";:'1,";f.{}fH1.11 tj u. Kojima kosinusni clan maksimaian (+- 1). Vn::;·· rn~:~nsld ta.:;.::r.n,(ili· izrn-edu ovih rreDut.'!.ka jt; period T
(5.14}
logarirarn o\n:)g izraza
S = In
knji i;:(\\ 7.ove dekn~m~~nt<
Kodsna veIitina za opisivanje~ brzine prigusenja jeste rclativno sma"' eneT~tijc: r"O j{;.:inoj o~diaciji, tj.
E Et
ntaksirt1ahw~ o-nd.a Je E' =
,$ ~,
u red.~ dobije se
e-"'" = I - 2'(7" + (2y1)' , , .
(5,
tj.
(5."!7)
(5.78)
(5.19}
HWJO pyt:.'n1a j ~ mozerno zanemruiti sve aanore vi§eg red.& i dobiti
j - 2'(7" = r'Y', tj. 1 _. r"" = 2:y1'. (5.S0}
pa je za maio prigu1.ie:nje
2yT ~ -~- T ~"23. (5.81) m
Uobicajeno je cia sc koristi reciptocna vrijednost gornjeg izraza, tj.
VeiiCina Q se ;r;ovc- faktoy dobrote oscilatora.
5.10. PRINUDNE OSCILAClJE
!\/inogo vcci znacaj imaju prinudne
(5.82)
one oscilaci.le koje peri.odicna n:i<:::raju kana se na podvrgnuto- clasticnoj
k 1 .. .-, vilillSku 113 rezonator sib. (hm je y nn. situacija -'<l,( a pnstavullo aKU$t1cnU cl"F"TOntlloncmi i IHtnudimo talasc- 1], (i zrak d3 iii
. k . v " !?: n-n.lh"·8-rarar;l: iii tabs}) kale apsorhuje ;';ni.cna;. dicluju l1n cle'tnCnfJ Base,S
TV prijemnika da prinudne dcktrii:ne o_"c:iladjc. - f' k •. " (),<:;cl
_ 'Trch" irn,ati no ,-.m}\] .:18 sval0.· .()~~:iJ. a,fo;' irna y~:oi.)s_n.'.~.r,.~.1 ••... f~;,'~~':,112.~~\~, ',C' " 1 . J d ' ". '"'''r , ,,\ " "1) 111' i()"\I\' ()sdbCl1C UJC w a $C prcpuSH Sa1"'[IOrnC se,-.t i ana un '\. s .. ,-" I'---'\~" ~ "",,
Jvkd:mlru, sUa o::;cilator da
dOTed vrs! oscilacije :-:<} f~;~;;:~i'~:"~~~:.j~ siie} sto znati da (lscili:not tada v1"si 5102(':no-
Na slici 5.19. je ledan takav prlm'c1I", osdl;nm:. PorrwcD v:mjskog o$cilaxora (t?tka ./1), kojem s('; mo?:c mljenjati frekve-ncija pobuc1uje sc. mehanicki osdlator B (sisH~rn opruga + mas3:) DB oscilovanlc. Zbog jednostavDosri .am::1iticl-wp: trct~ mana -prctpostavimo da se spoljasnja periodi\~na) tzv< prtnudna sila, !nijenja po z-akonu
(5.83)
gdje je ampW:ud.a n,·d.c"iictle sileJ a f:t} knlina ir"k',,,,,,cij2 sa kojom se mijenja p,,,i.odi(;lla sila
kretanja nvak-vog osci1arora je Ol'lCh,l
Kada se ona maiG uredi, dobi.ie se
x" + koja opisuje- nastale osdl.acijeo
U jednaCini (5J~5) uvedene au oznake"
A y=-
2m
(5.84)
131
F. f. = --m
prirodna frekvencija osci1atora,
-- sila po jedinici mase.
JednaCina (5.85) 10 nehornogena Iinearna difereucijalna jednacina drugog recta sa konsWiUlim koefidknrima. Opste rjesenje nehomogene diferencijalne jednafuIe je jednako sumi opsteg rje.§enja odgovarajuce homogene jednaCine i parcijalnog rjclenja nehomogene jednacine.
Vee zoamo opste r;esenje hornogene jednaCine(5.68) iz odjeljka 5.9. To rjesenje je
(5.86)
gdjt; je (0' = '\/~'~5 _~-y3; a Ao i <t. su proizvol;ne konstante. ~()Vdj,- smo uveli (,)' za krui:nu frekvenciju priguscnih oscilacija jer smo oznaku (o} vee upotrijebili Za fr-e.kvendjl,t primHine 511(.;). Preostajc nam da nademo parcijalno rjesenje jednacine (5.85) (to je 000 koje ne sadrii proizvoljne konstante). Posluzicemo se u tom smislu pre'.lenraciio:rH oscHacija prcko rotirajucih vektorn (vidi odjeljak 5.8).
Najpl'ije cemo pretpostaviti cia parcijalno rjesenje jednaCine (5.85) ima oblik
x ~ A cos (w, - <1». (5.87)
Njegovim diferenciranjem se dobi;e
x' -,.- luA sin (we .- q) .~.":-: wA cos (t!)[ ~ (j) + ; '1 (5.88)
xC' ~ - ,.,'A cos (M - <1» ~ ,,}'A cos (Ull ~ <!J + ,,). (5.1>9)
Uvdmvanjem izraza (5.87), (5.88) i (5.89) u jednaCinu (5.85) dobije se
w 2A cos ((;)l -- (i} -+. n) + 2y(.uA cos (wt - <l> + -i) + 6}~A cos (t»l - $) =
- /0 cos "'t. . (5.90)
Iz jcd1la6ne- (5.90) sIijedi d.a kons.~_-'1te J"i i <i> koje treba odrediti, treba d.a im,aju takve vrijcdnosti da hannoni;ska funkcija 10 cos wl bude ;ednaka sumi tri h.armonijskc funkcije n.a lijevoj stram jednacine.
Ako prcch;ta.vimo funkciju w~A cos (wt - <1» vektorom duiine (o)~ kao
il<.\. slid 5.20, tad.a b! funkci;a 2y(uA cos (wt - <1> + ·i) biti predstavljena vekto-
rom du::>.ine :.t.afotiranim u smjeru suprotnom od kazaljke na satu za ugao -.::. 2
U odnose. na velctor w~) a fuukcija w 2A cos (cut - $ + n) ce biti predstavljena vektorom duzine (02 A zarotiranim za ugao n U odnosu na vektor w~A. Da hi bila zadovoljen.a rdacija (5.90), suma pomenura tri vektora mora biti jednaka vektom kojim je predstavljena funkcijafu cos wt, tj. vektoru ciji je intenzitetfol a zaroman je za ugao ¢ U odnosu na vektor wEA.
Pomenuto sabiranje vektora izv'rSeno je na slid (5.20.a. i b.) u slu~;evima kada je WI> > 0) i Wo < (0, respektivno.
.L12
Sa .like (5.20.a.) se vidi da ;e
(6); - (t}!)tA2 + 4 y 26)2A2 = f~ (5.91 )
F. m
A = (5.92) .J("'to- "'')' + 4y'w'.
Sa slike (5.20) je, takode, rnognce odreditivrijednost za ~ kola pokazuje zaostajanje u fazi prinudne oscilaci;e (5,87) iza prinudne sUe kOla Je prOlzvodi.
b.
(,)~A t..:?'A _--l'-1--:---i>-
,-;-~,~ (")ii w-)I\.
Slika 5.20.
Dobijamo,
Prema tome, pardjalno rjeSenje jednaCine (5.85) ima oblik
F.
m x = -- "-----;--1 (
2yw ) cos wl - arctg -,---,
No - (.)
[(w~ _ (,)2)2 + 4y2(0)212
gdje nema proizvoljnih konstanti. Zbir funkci;a (5.86) i (5.94)
dale op§te rjesenje jednacine (5.85) koja opi.uje ponaSan;e sistema podvrgnutog prinudnim oscilacijama.
, ,
-~' USPOST A VUANJE. OSCllACUA:' I
(5.93)
(5.94)
Sabirak (5.66), rnedutim, igra bitniju ulogu U ovom rje§enju samo u pocetnom stepenu procesa, U toku t:zV. uspostavljanja oscilacija .(s1. S.21) .. Kako vrijeme raste, ova; sabirak, zahvaljujuci faktoru e-yt
, ima sve manje uticaja te se nakon iz~ v;esnog vremena moze zanemariti, pa u rjesenju ostaje sarno dio (5.94). Premo tome, funkci;a (5.94) opisu-je ustaljeno (stacionarno) stanje prinudnih oscilacija. hartnonijske oscilacije koje imaju frekvenciju jednaku
Kao sto se vidi, to su. frekvenciji prinudne sileo
133
Amplituda (5.92) prinuc,lne oscilacije je proporcionalna amplitudi F. prinudne sHe i zavisi od frekvencije (}) prinudne sileo Pri izvjesnoj vrijednosti ove frek·> venci;e amplituda prinudnih osciiadja dostize maksimum. Ova pojava se zove rezonanctja, a odgovarajuCa frekvendja - 1'ezonantna frefroenctja.
Za (t) = <Utt/: je ~ :::...-:. O. Medutiffi} naCi maksimum funkcije A (I))) je isto dOl
sto .i naci minimum potkorjenog izraza u nazivniku ove funkcije. Dakle,
(5.95)
Odavde je
~"'r"'5 co,,_ (1£06 ~ 2y 2)'2". (5.96 )
Odgovarajuca amplituda pd rc"oxm,,,,ij je- ouda:
m (5.97)
sHjed; cia i:e u :,'ib'J]~;enja (\ -~, 0) am
biti beskonac·sEjcdi d<-~ :':if:
za ''( =. 0:1 rezopndudar2 sa pri~
'fo(1.nom fr<,l,'icI1Cijorn ~~stern9, (c.,),_."" "'''''
SHka 7:aV.\Sfmst
vendje prinudnc sile, 1;:<\0 I;to se odgovara;u razlicidm vrijcdnostiu14 mjeren udeslJ.o :;>;a man)\";: vrije:dnosti y.
arnp]imde ;'::~~:~~;ir~, 0scilacije 00 nck~ mi.l.ks~murn k na OyoJ slici (knic
prigusenja "()
Izraz za re;r.onantnu frekvenci}u p()S!<tje imaginaran kod vdikog prignsenja (kada je 2r% > (J)()7), sto znaci da U Hslovirna nema rezonandje i amplituda prinudnih oscilacija monotone; opada. $& porastom frekvenciie~
Za (u = O~ sve krivulje nEt :,,!id ),22 imaju ism granicnu \Tijed.nosi jednaku
Ova vrijccirlOst p.redstavlja iz ravnoreznog PQloZ:.'tia pod uticajcrn ko.o.-stantne sHe intenziteta Po. u) te1i u bf:';skonacnost~ §ye krh'ulje asunptotski teze nuli, Jer pri visokim irekvendjama sila ml}enja $Vo, pravac takvom hranom ria sistem ne stigne da se pnmjeri iz svog rnvnotemog stanja.
U uslovima malog prigu.~enja~ (J}E(!~ ::::; N<» amplituda prinudne osciladJc ten u beskonacnost. Zato se fenomen rezouandje nikada ne smije 'zanemariti kod. konstrukcije razliCitih ma~ina gdje treha iz:bjegavati tin (Q i ('}c iInaju pribIizue vrijednosti. Pored okolnosti gdje je rexanandja stema p'ojava~ postoje oblasti gdje je ona veom,a korisna, kao sto su akustika, telekomunikacijc~ i s.!ieno.
134
5.11. RACUNSKI PRIM]ERI
Z.dat-k.5.1
Kugla radijusa 5 em ob;eiena je 0 konac duiine iO em. Odrediti. gre§ku (u procentimn) koju Cinimo ako njen period r8eunamo kao· ked m.atematickog klatna du2ine ] 5 em.
Zadatak 5.2
, _ [I, + m (I + ')'J-'
T R - 211: mg (I + 1')
2 I Q = ~ mr't
5
1+,
Pocetna amplituda oscilovanja nekog kllun,& je 3 em. Poslije 1~ s. 002 jf' jcdna..h, slije koHko vremena ce amplituda o8cilovllnj~ bit! jr;;dnaka Q.3 em!
Rjdenje "
{A,\ in ._-J
\.1,
· K<?li~a je uk~~n~ duZina puteva koie predc naprijed i naud tafta ):oj_ OIcilujc do potpun zaustavlJanJR ako JOJ Je pOCetna amplituda 1 nun) 8 logaritamski deitl'e:ment joe O~OO2? og
Rjefenje:
:.r:Jauo ;;,;;
8 C~ in (~) ~ in (~) ~ ..• ~ In (x._.) ~ '" Xl X, Xn
Xl = xoe-a
x ~ = x le-l' = xoe-ta
Xa = x ae-ll = Xe£-4l1
Xn = x,.~le-II = XoC-1'i6
s = 2x<) + 4x.,e-& (1 + r" + e- tlS + . :. + e~··11 + ... ) s = :ho + 4x~.r8 . S,
m;:H' .llVf'- E,ase rHi """I'u',Q"'"" .iedtutk.Hl ~Sfl.. kojc. su POSlRvijenc na krutom h~pu 2ane
m 1 J m od ObJe51stn (). Knliko iznosi period malih oscilacija DYiV:V')g kh,tll~\;;
d'S M = la, tj. 1_ "'"-= F·d
d,'
d m~=m~=m; d~ =-;
2 dog = d
(mo."? '---I, 4 )
d'S d md' - = .- mgsin (} (d + ~~) att 2
3 "2' mgdsin I}
sin e ~ 6
6 o"+.!.e=o
5<1
J5d T=21t -=1,83s.
6g
Zadatak 5.S
Koliki je logaritamski dekrement 08cilacija klatna dufine 0,8 m' ako njegova pocetns. amplituda od 5" nakon 5 minuta izoosi s.arno.O,5"?
Rjdenje:
I
In (~) y~-
t
0.8 \ Y In iO (---J ~ 0,014.
9,81
Kiatno se sl:I.slOji od tcpl b')' Ie obJe~f'n 'J kO!}I!,f: .iu"'we I - 50{1 In Kohk1 Je pt'Hod n)~gQvQg oscilovanja aka se one' w'd:aL U ,f, \OUSRO] kabmJ, ako se 2.) fl\ tOl' kretf' ~l1vnonj)ern(" h~ tl'lU;;
m Jrrece horizontalno S:l uurz3.-l1jn:n a = 2,5 - ?
$'
Rjdmje,'
b) F= Dsin $
P-d= -
dfO mdt -~ + md(,.z% ~
d,' 22. mnlo 6, sin ~\ ,._ Q. "v II>
1AI7 s.
Tanka k.vadratna plocica nlOze da osciluje oko h.orizontalnc use koja lell u njeuQ} ra>'mi" a llormalna je n& jednu oct nienih stranl! tijl!. je dU:lim;, b, a) Koliki. je period osdlovnnja ako se osa pokla.pa sa gotnjom 8tronom ploCice?
b) Pri ko;em ce: rastojanju 08e ad gOITlje strane plocke period oscilovr,wja plotice OM te Ole biti najmanji? KoUki. je taj period?
13T
jeT je m = phi
b)
c
~" .. ,
..
Ie = IrSdm
l/il = I r$lpru = b I r!pdr
r~ b4 mb' It:=pb-=p-=--
3 12 12
'I
mh' 1,,=-" -
12
V 'lL=.1 ~LLj J.
" I
mbt , '2 i -;:;- + mX'}
'1' = 2rr - '-'-"--=C"C"""mgX
T 1· .. dT za = olin moru blt1 - ~ 0 dX
h .
liT ( mb' dJ( = () ~ 2,n 2mX:>; ~ - mx~) = Q
b r- b Odavde je X = 2' v3 pa je Y = 2' - X = 0,211 b.
"I V
. Amplitude amonizovanih o!lciiru::J.,{; se mumjt U toku jedne periode tri put ... J:\) Z~ koliko }e pr>oct"~~tl:t perio~ Ol!cilovanj,a v~i ~ petiod~ kad:o. .ne bi uilo uzrok.a koji iZaQ;IVlljU a!Uortixaciju? h) Za kop ce f2zm ugOO pOnl.!el:arlJt: bltl maksnnalno? c) Za koji te fazni ugao bni»!.'! biti rfl.abi~ malna?
Rjefenje:
.)
us
. ,21t" 21t J ~-~----
w ,
«(0,1./ - r~)2
2" T F" -- ---, •
4,,' )1' (T' - y'
T
w 2r.:y 2n tg {.ojt ='~ = ---
r yIn.) in
ctv - =0, za dt "
'V = V ma,\:
2-211:ln3
Disk polupre~nika R = 24 em osdluje oko O&it 01> 0 8 i Of koje 'Su normalne na ravan crteh,« lS;i 8U polQzaji nazpabmi na slid. a) Koliki au perlow 08cilovania QVog diska u odnosu OM ove ose? b) Koiiki 3e <iva puw povee8 _) maaa disb~ iO poiupre¢nilt disb?
( I)
(2)
su ovi . perlodi ako
Rjeknje:
a)
I
I T r-z.(-) mg'
I
, ( in)i ([' + m!I.~~,)T 101 = 271' ---m = 21t --3-m-.-R--
mg- ------, \ 4 4
I
'17R "2 \4g") = 21:-0,325 ~--' 13
I
~ (I.,)" lilt =-211: -- = 2;:
'mgR,
( 1 )' mg~F 27l:
I
(m:~ +. mI~) 2
mgR
(
l m~?~_
\
I
(mR' 9mR')" ~+--
2 16 2n: ~.~.-__ _ 3mgR
4
1,33 s.
] lR "i
b) t) Ako se maSR 'diska poyc~a dv<.\ put<l, pcriucii Se n~ p.lijenjaju,
H) Ako se_!.){)!.uprecnik diska poyc:ca on!; puta, period 1.1 ,;ydr,oru od :;1-Ub\jn'D. pod a) ee sc povecati -./2 putlk, tj. 1,41 puts..
test jell- mase 4 kg se krcce duz )( o"e pod <..'jl,:jst-, Jttl 311 ':
Kada :ie t = 2 s, tijelo prolazi kroz ranmteini poloz11j, :a YJlQr_ je ! = 4 s njegova brzma je 4 m/s. Nati jednacinu ovih osdladja.
RjeSen-je;
.F
TI;~
~ ----s·-~ n Hl.d
16, 4
Z.\i, t = 2. '" x = 0
zm t = 4 s, XC = 4 m/s (I)
Ako pretpo8tayimo da ie x = A sin eM + $:-, onds je
x' = A~" cos (w! + $),
140
1z uslova (1) je tada
O=Asln(i·2+1ll) paje 4
" (no _31t) 4=A-cos -4+-& ,8 4 '
pa je
Jednacina ovih oscilacija jc ouda
3Z'.jZ, (" x = _____ 5111 _ t + " 8
Zadatak l'LH
Drveni li.tap m,ase: m "", 1 {)i)O g i dubne l = 40 em m(l-[c; se obnati oko ose koja Pluia"ti ktoz njegovu sredinu, normalno na ~tar. U krilj ?ti.!.pa udara zeno mase m~ = 10 g. k()jc h::ti 001"'
malno na osn s.tfi.pa brzluom v =- ZOO mfs. a) Odcediti ug:aon.u brzinu kOju ce dobiti ~tap, ako se zmo zaustavi u njerruL b) KoEhl IG promjena njillOvt: ukupne kineticke encrgije pri. Ud:..nl zr,,;.; u ~tap?
R.fdmje;
m1 2 mJIt .. _- + 12 4
b) Kinellcita energiju ko,iu j<o' p[)sjedovalo ztno l\\;polltedno prije udarn stapa hila ie
Neposredno rinkOl:\' nudul!;" polito $C Zf-no zacirzaio u stapu i (lui zajedw,) zllwUran.! ugaoXlom bninom «l = 29,13 i·a.d/s, Ejih0vu kiheticku cut:-rgija bice
U kabini lifta, koji se dizc i spusta konstantnim ubizanjern a:. objeieno je matemati~ko klatno. Koliko je QVQ ubt'zunje ako periodi osciiovanj:l klatnll pri spwtanju i pri penjanju Hfta stoje U odnosu T1 : T~ "'" 1".0321 : 1 '?
141
Rje!enje:
Period oscilovlmja itlntna pri spustan;u lifti!. je , I ,
T, ~ 2,(-) g -, /Z,
a p.i penjanju lifta
Odnos OVID pcrioda je
T, T,
!
( I \ ;r
T~ = 211: -~-) • g -r a
odakle je
Lopt .. koja visi nrr niti tlllgt)j 2 m, otklonjcml. jc nr; ugll;(> ad 4", Pr~tposlnvlj'1ju,;j dt\ su joy oscilacije- neprigus.cne i hfumonijske, nati njenu bninu. pri prnll.lzu U02. polobj ravnotd'c Pro,vjed rezultat nalazeCi ovu brzinu koristeci 7.3kon oddanjf; el.lergije.
RJdcnjc:
Period oscilovanja lopte je
T= 2T. JT = 2,$8.
Sa malim oi:klonom od polozaja ravnotdc ampijtuda osdladje se moic natl ovnko;
Jcdnacina kr{ounja iopte jl:: tadll:
1.)'1: x=Asin(y:
$ko se vrijemc rac:una ad polo2a;n ravnotefe. Kadn iopta pmlazi ho~ poInzM) uvnotd,c, njena hrzina je maksimalna,
(I,M· 2n' 21('i rn '0 = ~--- cos -- -, onda je
2,S 2,11 s Poho je
O,14·Z'it" m 100, V mll1': = ----- - =~ 0.31 - •
2,8 t, ~
Ova brzina moie, takode, da ae izrafun8 iz Teianjc
142
wwl\ • _ mgn = -- gdje je II visinn na koju je lopta podignuu. Odatle je v = -j2gh, 11 h = 1 (l - cos.- a)'
2 , gdje je ! dmlna niti. Otuda je
v ~ .JZgl (I m
cos a) ,0,31
FiziCko klatno koje fie sastoji od homogenog §tapa duiine I ima period oscilovan;a T kadw nsciluje ORO osc kOjll je normalna na §tap i nalazi se ns jednom njegovom kraju. Gdje treba postaviti osu da hi period oscilovanja ostao isti aka ':Ie klatno nalazi u liftu koji se podiz,e ubrzanjcm'
g a:=~.
2
( 1 \?' .. ,,<
period fixlcKog klatna je T ,"",~ 2" \-----")' , gd)c Jf' ,; llaa1)Cnast \ mgs
1,\ 1 moment inerdje oka age totacijc. U sjucaju knda jc st&P u liftu, oHao isti, OSU mommo pomaknuti za x" pa j~ period sada
, ... I' -r2
I-m-c-:-'ii I T = 271:
~ + g) \ - - x) J L ,2,
lVl.omcm inercije stap .. II odnosu na tei.iStc je
! IT = ---- mt~
12
1
~+ x)' -- mP + '2 2 --_."'--,--,------.-
m(c+ .l:\ (~ xl 2 I !
1 -mP 3 ----.
mg • 2
Rje~enje ove jecinaCine je :x "'" sto znaCI cia osu rotacije tteba pomaknuti za premru
143:
Pri ravnoteti sistema prikazanog na slid opruga ;e izdutena za I = 7 em u odnosu on nede'formisano stanje. Odrediti period oscilovan;a ovog sistema koji poCinje da osciluje ako se teg mase m 1 povu&.: nanize i pustL Vrijednosti masa oznacenih na. slid su m l = 300 g, m~ - 100 g i ma = 100 g,
RJesenJe:
U uslovima ravlloteze je
m'2% + kM =- mlg
Idl = (m:!. -- ,.,Ft$)g (1)
POi;lije izvodcnjf.1 iz ravnoteic. kada se opruga istegne dodatno za x, kremnje sistema je opisano jeonscinama
F'w - m~g - k (&l + x) =, mila
msR\:l: (F t -- 1-/2) R = 1(" =~ ;]i"- " tj.
su,lJerirrw (2) + (5) -j (4):
(2)
(3)
(4)
}'n~n'la relaciji (0 U';' ptV1\. SC clau,a gomjcg izl'aza podru sa tredm pa ostaic
k x" + ~-~--------- -;p;
Wia
m\ + m~ + -2'-
211:
T"~~
'"
D .. di L' .~ 'I k N , ," • ~ .... " N._ •. d" 2 VIJe O}lruge teKClOUUi ,S1 a ~ = I ~ ~ 'oJ • Zane!llilXiJI,Ve HI.a!;>:: i u..-..ln.e 0 clh~ m m
'Kuda nitlu optc~-,eCcn~> prikQOelle su ZIO. :mprotne stnme tijeilt nlJlSe ITt ~.", 0,1 kg; koje se nalazi na ravnuj, glatkoj pov-l'Sini. Suprotnim krajevima oprugc su prikacene :ton dv,,- kliua P l i p~, koji fill
udaljeni 10 em od potetnih polo1aja opruga. Ii) NaCi dutinu svake opruge kada se tijelo nalazi u svom novom rRv-noteznom polotaju poolijc kotenja opruge za klinove. b) Nati per-iod oscilovanja. tijela ako se ono m'.llo izvede iz svog novog ravnotdnog rm!o~aja i pusti. c) Aka dato tiielo osciluje SIl arnplirudom 5 em i u ttenutku ucla p-rolazi box svoj ravnotetnl pol.o!aj fiR njega uspravno
144
pada kugla plastelina mase 0,1 kg i na njemu se zadd;ava, kolilti su novi period i amplituda osci~ lovan;a? d) Da Ii hi odgovor bio isti aka hi plastelin plIO na tijelo u trenutku kada se ono nalazi na jednom kraju svoje putanje?
RjeIenje:
a) Fl = - k!6.x 1
F t = _. k a6.x2,
!:u:1 + Ax! = 20 em
AXl = 20 - L'lxz,
F 1 = F t (ravnoteZa), 100m
/:;'X 1 =" 15 cm~
Duzine orruge direkcione: site kl je 35 ern" l!. dmge 25 eHl, nakon uspostavljanja .ravnotct.c. b) Nakon izvodenja tije\:i, iZ ravnnteiuog; poio;i,&ja Xli, ,:i.!;C, U opruzi ! javi ae e1asticna sUa F~ = .- kl,Ax, a u opn.lz~ 2 di;l,::;tibui- silo. F't k~&);c
Uk-upnu 5Ha u optuguma je F ,= F 1 + F ~ "'-'.- h i'1x, tj,
Slikdi cia. je k = Period oscilovanja
+ k" ondu
rO)J',,:;, - k t [!,,}; ,eo. kfl o';,
N 4~
TIl.
c) Nova masa koja of;~iluje je saJ.a mr.w:<\ oscilator-lt --1 (ui'illi\. pla:>tdinQ. tt.
Raniji period.; T = 11f
Period sa pla<:telinom:
Prema tome, llOVli. amplitud~
d) Da) odgovor bi bio 1sti;
T'= T ,,"-- 1,4 Ii (nov) period osciiovanja).
NekB.l:estica je podvrgnum simultano pod an omnill hl1rrnonijska kretanja iste frekvencije:: pravca. Njihove jedna.Clne tilt; -
X,t = 1,.0 sin:U x~ = 68ttt (:u + NaCi rezultujuCe krettt.llje.
RjeI~it: ,r.
Fazna razilka je 8 = ii radijana. lz nougbt GAtA je ptema kosinusnoj teorem.i:
A~ = Ai + Ai -- 2.A t A t cos(rr - 8)
A~ = Ai + A~ + 2A1A2C06 8 ill btojno
1
( 5r.)2
A = _ 102 + 6~ + 2· 10·6 cos Ii. = 12,92.
J ednaCina, koja izratD.v~ rczultujuce kretanje. je
x = 12,92 sin (It + a)
gdjc je (/ fazna raziika izmedu x i Xl"
Du hisUlo nasH u, vjdimo da je za ~ = 0, Xt_1l """ 12,92 sin Q I. takode:
5r. 12,92 sin q (x)(~!)- = (Xl +-- 'iC~)t_\! = 0 + 6 sin ~ = 5,790.
Otuda ie
Zadatak 5.lS
5,796 sin {l = ~-- = 0,4486, iIi
12,92
x = 12,92 sin (2t + lA7u).
Klatn() se sastoji od a\uminijske kugiice koja visi na koncu duzine 1 m. Zn. vri~eme od 17 min njegova amplituda se smsllji od 6,00" na 5,40°. Odrerli faktor prigllilenja y i vidi cia ii viskomost vazduha utice na period ovog klatna.
RjeSenje:
J e<1w1i:ina krctanja kod prigusenih' oscilacija je:
x = A c,t sin ((.)t + 4\»
~-d.ie jjU A i «> proi7..vtlljne konstante Koje se odreduju iz poEetnih uslova~ Ii "( i (,) su date re),tdjru:Oiil :
146
~. faktor prigu.~enja;
• 2 I
;;u = (~-- )'lI) = ((,),: _ ),1)-2 _ krn7..na u~t8nost pdgu.~ene 08ciiacije.
lunpIituda prigu§enih oscilacija ;el dole
A'=Aryt
! A inA' = InA - yt-t-"( = tin A~'
Za date nurneticke podatke je
tT slucaju klatna
U ovom pTimjen.1 je:
y~ =- 4-. Hy-? $-'~ I
f ~ 9.8,-' J
t = 21 min = 1)62-108 8
A = 6,00" i A' = 5,40", pn je
y = 6,56· 10-' s-'I.
x
",
T= LTl ( \S
pa je period
/IX
\i
Za1:1juCujelllo, da viskoZf)Ost vaz.duha n~ t,ti?;c un pe;::.iod klatnn n 0vom primjeru, mad" utice 11[( njegovu amplitudu"
Zed.tal< ll.1D Period priguSeniu oscilacija je 4 s, logaritamski deknment -yT je 1,(1 $. pocetna f323 jc nuia.<
Pomjeranje taCke je 4,5 em za t = ~. Napisati jeuA1ftclnu kretanja ovih osdladja.
147
RjeIenje:
Jednacinn prigullenih oodiacijs je
gdje i. t koeficijent prigmenjlO.
2>c n r1' ' 6 U .aasem slucaju je ~ =-- 2" w = 0, r -~~= {M.
l' T 4
T Amplituda A se rn-oh: Il1iti 11: l.Hi0Va x = 4,5 em Xii t = "A'.
Dobij3m~,
U pocemom. iYJ,,)Il'tentu ~om"'''''''l' ie 4 kg, Ii njen" ukupua Itii 0,48.
Rjdcnje.<
J eduatin8 oscilacijl>. iUUi o\.;lik_
Ukupoa energij& Je
U po6:tnorn tremltlii:v kl4cif( ,Ie l = jJ j€O
1~
Po§to je sill '1; :> {1; ('<-0£ 4'-1 > (1" sliit:di: dR j\'. P{y::~tt~1i iW,J;Q I;l) u itltervuiu O~
frekvendj;i, je
Brojno je i,tf _= arc Giu
4) """ 30~6""
[" (::~\ 'lJ', ,,+ \~!
(I)
3,2 tad ,.d (r.) = 1,6976 - 101- "'" 1,26-,
4,3 s s
3..2 1>. 1 A = (O}043' + C.26') )"lcm = 4,99 cm~O.05 m.
I = 0,05 cos (1.261 + 0>53) m,
T = 0,049 s; t ~= gT.
Za vrijeme t = T ukupni predeni put ;ednak je 4A, Q za t = 81', taj put Ce biti 32..4 = 1,6 roo
Frekvencija oscilovanja male zcljezne kuglc polupre~nika r =- 1,5 em {p = 7~3 gfcm3) koj8. je pr.icvticene. za krai elastiene oproge iznosi u vazduhu 00 = 1 Hz. Kada kuglicu urooimo u tetoost, amplituda oocilacija lOe smanjuje ;r.a polovku l;voje vriiedno~ti za. vrijeme t = 3 s. 11.) Koliki je koeficijent viskoznosti te [e~no~ti? Zanemru:iti po tome viskozuost vazdwla, b) DIl Ii 1;(" promijenio period o$dlov311ja kuglice u tecnosti? Napomena: Koristiti SlnkSQvu fonnulu xu u-enje
izmedu feCnosti i kuglice koja vdjcdi :La male brziue: F~r =, ,,~ 6rn!~o
F,jeict!je .'
Nu kretanje tijda uti?:", silo, tr(:uju ~ 6TC'W"J i sHu 12 elast,icne QPruge F =
JednaCinl.l. ktetanjft it' In: = 0, gdjt jf'
k a=
m
Rjeknjc ove difef'enci.jaine jt:Cntl.Cine imll. 0btik
Otuda je:
x (1:)
ln2 = yl; In2
y = plll jt";
4- 1n2 -- pr~·~· 9 ,
4 kg 0,693 "l = ~ . 7 3. . HP - . 225 . 10-4 m~ , ---
9.1 m.' 38
149
Posto je In2
y = = 0,23,
Jedmlcina nepTiglliknih ,y" ftC oscilacije sire hn:inorn ocl :;;H) od izvora oScilacija, 3) j".hpisJl1: pocetka osdiovanjn.
Rjdcnjc ."
N 1 Fa """ 1 ---;
m'
, (1,;)' ~ 0,00135,
"", j (' :,in 0,:; '[;-t em. :\) Nat) jednaCinu talasa ako ,if'Q;)c,ti)yu ('sd,!aciia za tacku na rastojanju 600 m
nqcilivfj" ~';Q I:).i:i.cc tahtsa 1.J ffiUffientU t = 4 s nakon
Kadu 3('; nepr'igt:L~e[l(; Oc,ii'Kii" \inc bD~in_,m 1; <luJ, Hf'"kol': pr:Wc3" -koji Sl;' Z0ve niz, rom.jc~ Tanje biin koje rucke lw)-,l leZl nH \; l.alj(~nc oel iT'Jon; 0$cibciju za rastojanje x, je opigano jed--n3CluoU1
A -- umplitudr; OS,j\il":<jUi'f V«'k;;; A .~, tal;;\sna (hri;jn:L
Ovdje je A, T= ¥J.
1) Koc1 nl,;)S ie- T ,0"" 4:1 pa j~ A -,'=' 30e 4 ',"" 1 200 n1;, te j(~d1)atina i;.\1& oblik
kad je t = const i ~ = f~ (x), t,L torH momenhl yremena.
, lfJ o,lD j G5n:f -
"
I n:X' 10 sin p.n ~ -;~--. I em. U oymn slncaju.
\ 0- 0 to"'! ;'H.z;J.jtitc H\~k", k(lje kit: WI, »i,zu irnnju razlicita pomjeranj<l II .;1a;,
Tijelo tijl! je masll m -= 10 g izvc-di prigtlsem, os.cilacij'!: sa maksimalnom amplitudom od 7 c~, rocetn.om f~om jednakom utili i koeficijemom. priguSenja 1.65"1. Na tijelo djeluje vanjska penodien2 ada kOJii. proi;z:vodi IH-il1udne 08cilacije ~ija ;e jednacina x = 5 sin (lOt - O.75n) em.
150
NaCi 1) ;ednaCnu (s& nUlllCriWm koeticijentima) prirodnih 08cilacija, 2) jednaCinu (!ht numenc_ kim. koeficijentima) vanjlke periodicne sileo
Rjelenjc:
Aka osim elastiene sHe F = - kx, na materl;alnu ta&u mase m djeluje sUa trenjlJl FIr = - rt'. gdje Ie l' koeficijent trenja a w brzina oscilirajuee ta¢ke, tada te oscilacije ta&e biti {irlgu§ene. J ednaCina prigusenog oscilatornog kretanja ~ oblik
x = A ri~$in(flJt'+ <t»
r -gdje je y koefic.ijeni priguienia. OVdje je "( = -, a 6)' = (fIJi, - yZ) 2gdje je fIJ. ugaona frekw
2m . venci;a prirodnih oscilacija. Velitina yT ;e poznata no /cgaritamski priguIu,Juti. dekremmt. Aka je materijalna la&a JIUltI;e m Cije su oscil.acije oblika
Xl = Ae-Ttsin t.)J
podVTgnute djelovanju vanjske periodi~e sile F = Fosin wt, os("-ilacijc' talke cc biti prinudne~ a jednaCina njihovog kretania poprimice oblik
x~ = A sin (r..>t + 8), gdje je
A P,
In (w~ - (Ill? + 4y2w2f2
J cdnaCina prirodnih oscilacija ima oblik
x = A~'(t sin «let.
Nadimo .:,;~. Prema usio,"'U, fazni pomak izm.edu prirorinih i plli.udnih oociiadjlll je - Q .• 75n~ pa imamo
tg 8
Otuda je CUll = «,.)t + 2yw)2. U nasem sluCliju je (oJ. = l(m, It y = 1,6 S-l pa u\'titavanjem u (2) dobijemo
= 1O,S'It pa jednaCina prirodnih ocilacija Una oblik
x = 7e-1.·ft. sin lO,Sltl.
Z) Jedn3cina vanjske periodifue sile je
F = F~sin {ilt.
Nadimo maksimalnu vanjsku periodienu silu Fo. Imamo,
!'''' = Am [(t»~ - (,lIl)1I '+ 4y2 f1J f j2" 1;!,to, nakon uvritavanja numeritkih podataka. <laje
Fa!:::.' 7,2· 10-' N,
pa jednaCina vanjske periodi,¢ne sile postaje
(1:) ~= 33=
N Neka je nwa tijeia. ria slici. 0,25 kg. a konstanta e1a$tialf: aile It = 2S in' a) Koi.ib Jel
k:ru2~ u~stan08t (,.,) ako ie faktor prigu§enja "t = 1 ,-I i .to sc tijelo ,tavi u oscilat.orno k:retanje)
151
take da mu se da pozitivno pomjeranje xl) =- 15 em i tijelo pusti; kako glad jednaCina kretanja? .KoUki je logaritamski dekrement?
Rje1enje:
a)
x = Ac~-t sin (Ill! -+ W).
Pocetni uslovi Stl t = 0; Xo =, 15 em; '<-'(I"-'=' 0
x\>=Asino:!J=15
0)
dx 'V =--
'sin ID Odavde jt:::
cos (1:)
dt
w tg 'J' = ~."'" 9,95
y
11 arc tg 9};l5 - 84,26" =~ 1,47 rad
15 em,
'uu',~ 11.~,r~1°ls;~~\.'1~Ek-~' (J~::' l~:::tu_ .. ;.,.,,_~~,_ji:'t:.;_._·~<. __ ),~:_·:·'_·.' __ ,l,.:.,dnu-g 2,adntlol d)eluie lzosiilUstla prinudna !lila ampli-- ~ v j,;"1. _'J ''-' ._"', _ " _. }jlioudne ~ik 10 radi~, nad: ampHtudu A stacionarne oi;cilacije: i.\) kada j(~ faktur r.)(i!p-_I~(:d>l 10 s -;-; h) kadu je -y -= 1,,-1,
Rje?ienje ,-
25 2 1" ____ 1 +25-101 J
'( 25\2 12 10 l 0,25·10 - Ui) + 0,251
152
Na dastlenu oprugu objesi Be tmjmic za utege mue M = 100 g i ona se stoga izdufi za hl = & em. Sa visine h = 20 em pusti se ti;elo mase 20 g da padne na tanjuric. a) Za koliku ce se, du!inu opruga istegnuti? b) Kakvo ce kretanje izvoditi tanjuric 8 utegom.?
Rjelenje:
8) Konstantu elastiCnosti opruge i.zratunavamo iz, uslova rBvnoteze (prije pada nt1l!.se m) iz l'elBcije
tj. Mg
k~h,
Btzinu, koju tijelo dohije padajuti sa visine It, riobijerno iz zakona () odrian;u energije:
Pri sudaru roase m i tanjurica saruvana )e koticml1 kfetm1j1h
InV = (m + M) V,
Poslije sudara opmge tt" <;.e hduiitJ 22, '-' koii UtlI.C1,l.oflV,WH' pren.,It Zak()fAU 0 odd,anjn energije:
l! opruga ce SI! i:negrmti Z~,
b) Tanjuric s tijeimH i':e o3dlixati OIL(' WJvug. poln:1,il.iAA r&YD.Ne:'te i!:;.(lH ~'t un L<i em. nili; {lci smrog s periooom.,
T = lit
s maksimalnom mnpiitudmll_ d = 1,9 em.,
gdje fazll if! moze!tw dobi.tl i:1'_ I.wkva :;.: (0)
Zadatak Ii-27
Koliki je logarit:amski dekrement prigulenili U!dlacljll. ,m':I':~mN!tilkQ(t ~ tije jr: dutin&. 25 em. &ko onn izgubi 99% avoje enel'gije m 23 (If
Rjdenje:
Amplituda amortizovanih oscilacija opada sa vremenom po jednatini:
gdje ;e
if· Stoga je
Zamjenom ovog izraza u ;ednacinu (.!) i r;esavanjem te ;ednaCine po a: dobije s(:
r ( ')' I ] lln§ g
OdnDS kvadrata amplitud(' srnzmjernn j~ Qdnosu energija o .. ~cilovanja, 1;e le
A A,
TakQ je, konacno
iii
2"
(1)
Napomena: Ako se tacun izvo:ii tako da se ne uzima U obzir utica; prigujenja na period, dobi1C se da je
sto znaCi da se i na ov~j, priIl-li:bm" nacin dobije zadovoljavaiubt. brojll£ vrijecinoot (s oh:.cirum OM. tatnost podataka).
Neka opruga je jednim. svojim kra;em vez;anll za ekser 0 koji je uk.ucao u stulu. tI nll dru~ gum njenom kraju je uCvdceno tijelo B. Tijelo, koje klizi po stolu hex ttenjfl. VIii kt'utno kretanje linearnom btzinom v okolo eksera. Nati, radijus kruga po kojem se tijeHo kreCe na ova) n.an. Dufina nedeformisane optuge je I;;. Takode je poznato da se duZina uproge udvO$tI'uti. kada os nju okacimo tijelo B. Masu opruge zanemariti i smatrati da je njeDa dutina proporcionalna opte~ recenju.
154
Rje!enje:
Kadll se tijelo B kreee po stolu kruino linearnom brzinom v, ond.a se medwH,bno izjedntl,ce centtifugalna sila mv~/R i elastii!:na sila U opruzi. kx:
(I) o
pri cemu je
mv' --=kx
R
_jOMQ~[~~,"" R = 10 + x iii x = R - 10
~to. uvriteno u relaciju (1), daje
.... ' -_.- = kR -- ki". R
(2)
h; Cinjenicc da. se opruga l!.dvostru~i kada se u grAAvit1.'.donOJu pOljn opH'I'et{ tljd,!)m .l:f, chbi}t": se da je
mg = kIf),' tj. I,
Sto uvd:teno u reIadiu (2) daje kvadratnu jecinaci.r:w po )?:
Cij2. su rjdenja,
+ 4 If
00 kojih s.atD,o prikaza.no ,jdieaje sa znakom + do!::ui n o1.nl~'
KugJa vezana za elasticnu oprugu of>cijnje h8xiKwnHski ll.a ~'n iU'"'>C,)
AXllpiimda oscilovanja je 0,1 ill, a kruznfl frekvencija j(~ 120 $--~. s" oscilovanja brzinom 8 mjs, zabija se u centar kug-k kada !)vB. proiszi h,-:,;' ·'1v-,n-;d.r,; euCi Sl!: u istom sm;eru kao zrno. Kolika je nl"Na amplinl.d;: 0,,"ci10'l:,)-1II;) jf' "Ql,;C,<;" veea od mase kl.lgk"( Mass. opl."uge je z2m;nu:\l:'Ijiv~L
Rjdenje: Nepmlrecino PQ\'\li.je suo.axa oscil.at{:w ra:<p::)lTh:te ,,;)J"]'1'D kil')er),;J'((Irn ',,:w'rg-ij,m"
, (m -1- J\1) u~ E" = ~-'--i--
gaje je (m + 1'\1) masa novog oscilatol."a kugle:i 7.'1'u;, dok jr: njihov;, hUi~:'~~:'~~~l~::~~;:::,~:~\:\~ apsolutnv nedagti6n.og sudara. Po:;rc:, u tok.u oscilo,-'anja. nema energila "ftovog" Olleijatora II arnplirudi A je(Infl.ka je kinctV':koj
2 odakk jt~ A = u
2 k (0
Bnina fJ o!l;cilatOl:;;. mole se m.6 iz n.k:onn <) odri»n.llJ kolifin.r: kn:t I'~il'!. prin':j~nj'~'10P: n:" ova) nedMtiCan auda-r, tj. i:r
ga,e je V brzina kug:le ("srarog" (lsrilarora) U nvn01e:Znc;:,n
Ym.! +- l'WAftlJ;;~ U = --.~ .. ---,~,.
m+M (2)
155
po§to je k = Mw:. zamjenom QVog iUIlZR i izraza (2) u jednacini (1) dob,\je tle~ po,<;liie sredivanja
'""
156
Zada"tak 5.-30
A,+---M@,
A = J'=---:::'::::::::; = 0,15 m .. t+ M
. .Kuglica mase m vri) harmoni;sko oscilovanje s arophtuuom A, a nalazi se nil, opruzi koeficijcmll eiasticnosti
A k, Ako nn rastojtllju -::;:- od poloh.ja Hlvnotde postlJ-vimo
rnasiyuu \~dicllu ploc: ad koju :';t~ S~, kuglicn ocitijati lHwr-5eno elastibw, k01iki ce biti njeD. period oocilovanja u tom s!ueaiu.)
RjeImjO' "
V I.'iJeIYIC f _?-R
tde O,,} polovim: ,mptlmd" '''''al,neo
T l' = 1: +- --i-
A
(Vrijcme aajanja suciara kuglk:' i ph2e 1:e :z,;mernnrujl;',
0, TALASNO KRETANJE
SREDINI
P:I(~,~~~~ .. >;;,."f,-,as,~,",r~r:-::, ,tl',~ .<,'~:~.'._j,~[i'j£.~; ri,;~!~;:~i~)C~:'~i~:'~~'!iidaSriCklJl sredini zove se talasno kJ:ilc-,U-u." ,'" ,~ru ~-... . p u sre-dini koji se pDjavljuju ll: pray ~
Stt:d.itl.e li kojoj se talas rasprosnre; one p,"lol,"ia ravH0t·:ZC< Pri sirenju. ta.lasa, cestice
oko polo1aja ravnoteze, dolt se kroz ,)dn.o:'mv energije izvora talusB-,
koje- st:.' sid prostorom. i tako prenosi ene~gij.I.l. ti 2\''''jeul1c Ce-3ti.Ce.: 511 rnedusobno pmrezane elastlcrum
sih_nlH te pornak jcdne- oe!, Ct:'j!..lc,,; polozaja ravnoteze uzrokuje pomak njoj susjed-nih cesl;:'i.L Zbog lnercijt; st. ruvnoteinog utanja ne prenosi trenutno, vee m~kom konacnorn. hczhlOlT~~ uri tome fie putuju kroz sredinu, vet samo poremccaj~ trcba X'azlik.iJv'-0:t1 brzll.ui (lsdlovanja testica oko poiotaja ravnotete~ od. brzi-ne sirenja taiasa,
jf: ~ ex, l) slnusna. harmonijska funkcija, r) opisuj;:::: n pozitivnom srnjeru ose X. Svaka cesri~
eL}"cicne sredinc It:::toz klJju tfrlas Dsdluje po sinusnoj vremenskoj funkelJ!
'k" 1. C <' <'d ,'X< Ite VenCl)Om \) "''''' --- 1 S ,-UZ:}Ul JJ;{}Jll Z1V131 0 polot:.a!il i,;.':!~ttce, T
Za odredeni. tre.rmtak talas jf! npisan sinusnom fl.:mkcijom koja kaZe koliki je potnak ~ c~~stict u zavisnosti cd njenog poloiaja x. Dok cestica u jzV'oru tai~sa napravt jtdIl.U PUHU taias prede odrederu put 1,coji 7.ovemo talasna du.zm~ i ozna(';,-~vJ, ~J. !-" 'I'&lasllfi je najbliiih tacaka koje osdluju U lst{)J tu_zL Tdasi _:::~'~ nrc (jure~bl!J,);i.' n~hwrn '{I k:toZ s:cedintL Ta bl'zina je kolicnik putt<. koji odl"edena filLi t<lla:Ja, na tr:i1asa i Z:i to pntrebnog vrem~. Ova ~ bnduD If;:;']" ::,;t; f<i.Zl talasa. Preilu tome !e
(6.l)
Ako cesdca 11 i:z;"Oi'l.l tala.'.>a,i ls k_ojeff:l, ~abcl'emo ishodiste koordinatnog sistema cije flU cse t i X, dakie, ce-sdca sa vrijedn()SCll koordinate x ~ Ot osciluj~ harmonijski po zakonu
,) A < A . 2", ;;t SID, wi = stn -- t
T (6.2)
1ST
t,1(1& Ce i osta1e cenice sredine osciiovati harmonijski istom frekvencijom ali S odredenim kasnjenje-m, Stu je cestica dalje od imora, to_ Ce talas do nje kasnije doCi j Taz1ika u fazi iunedu fl.ienog oscilovanja i oscilovanja cestice u izvoru bite veea (s1. 6.1). Da bi t01.ias presao put od Xo = 0 do neke proizvoljne vrijednosti x brzinom
,(J, porrebno !-(; v.ijemc t' "'~-= -::. .• Osdlovanje cestice na mjestu x zaostajace za vrijeme 'J
t' 'U odnoslJ na osc:ilovanje cestice u izvoru talasa sa koordinatom x = Xu = o. Zato ce e1ong:adja (pQroak) cestice na mjestu x biti opisana formulom
~ e) = A sin ii> (t -- t') = A sin (i) ( t - -~) , v
(6.3)
gdjC' je A 3Hmllnlih oscHovanja a ('I (' t -_. ~ \ faza talasa. , v J
f X) Ii neku fazu (0 \ t .... " ~-. = const.p3. ovaj izraz napi-
*em.o U ol:;·Hb.1 'X =., '/)[. +- coast, onda vidirno da se odredena vrijednost faze jed·· nnllko k,ece: s t)r~"':inorn. sin~l1ia pOI'c;;rn.d:.aja v. l"rema tome~ brzina Jiirenja tfuasa t1 (6,1) je brzina sirenjri faze,
se prekn relacija
A I'D =~-
'"f~ '['2(' ~ ,-:!t~ 0 = /J. SHl n- -~ . \ T
T (6.4)
(6.5)
Izraz 2n so 7;ove udasni broj i daje broj talasnih. duZina ria intervalu 2rc. OznaA
Cava se zn.akom k i treba ga razHkovati od konstante kvazielasticne sHe (F = - kx).
158
Uvoc1en;em talasp.og broja k jednoc;no (6.3), odnosno (6.5); se maZe napisati U obliku:
~ (x, t) ~ A sin ('M - kx). (6:6)
JednaCine (6.3), (6.5) i (6.6) opisuju sinusni talas koji s.siri u pozitivnomsm!eru X ose. Aka talas puruje s desna na lijevo, tj. u. negativnoril sm;eru X ose, tada ,00-nacina talasa ima oblik
~ (x, ,) = A sin ('M + kx). (6.7)
Nije tesko provjcriti cia funkcija (6.6), koja opisuje talasno kretanje k?!e se sid brzinom v cluz pozitivnog smjera X osp., zadovoljava parcijalnu diferenCl}alnu jednacinu
o'~ ,';'~ --='0._-. (6.8) at'}. ox?;
Jednacina (6.8) se zove talasna jedna(:'ina. Njcno opste rjesenje je
i;(x, t) = j, ('M - kx) + j,. (0' + kx), (6.9)
tj, mote se napisati 'kao superpozicija dva talasa koji se: sire u suprotnim smjerovima, Da hi se boljc razumjeli osnovni pdndpi talasnog kreranja, prodiskutova
cemo neke vrste talasa koji Stl nam poznati iz svakodnevnog zivotu.
6.2. BRZINA PROSTlRANJA LONGITUI)lNALNOG TALASA U tVRSTO! SIl'KI
Kod longim'tlinalnog talasa oscilovanje cestica srcdine ima isti pravac kao i pravac prostiranja talasa. . '
Pomllatrajmo sipku poprecnog prcsjeka S podvrgnutu naprezan;u kOle prolZvodi sila F duz njcne ose. Na svakotn presjeku postoje dvije site ;ednakog mtcn·· ziteta a suprotnt)g smjera' jedna je vucenje (trzaj) 113 lijevi dio sipke od de..'mog) a druga abrnmo.
Nnrmalni napon cr se definise kao sila po jcdinid povrsine Roja djeluje normalno na ptesjek, sUka 62, i dat je jednacinom
(f= F r Nl s I;'J
, \ F'
& I jji
s'l
)Ii ax Stika. 6.3.
Slilu~ 6.2.
Pod uticajem ovih sila svaki ill? sipke trpi pomjeranje paralc:Ho O~i. .Ako je pomjeranje isto U SVl.I? tac~ kama sipke, nema deforrna('"11e. v,ce je doslo do pomjeranja cijeie slp~e duz njene ose. Medutim~ nas zalllrna sluCaj kad ima deformacije, taka d.a r: varira duf sipke, tj. 1; je fu~kdja od x. Posmatrajmo dva pres~eka SiS' na rostojanju dx u nedis-
159
turbovannj situucijL DJclovanjcm sile presj~k S je pomjeren za ~l a presjek S' za ~'~ slika 6.3.
Rastojanje izmt...od.u SiS u deformisanom stanju je dx + d~s gdje je
d~ ~ ~'- !',.
Deformacija stapa u tom dijelu je) dakle} dl.;. Deformacija S j.e defnrmadja po jedinici dufine duz ose i data je relacijom
gaje je E' :awdul. 12.
F
M.usa dijt.~Ia S' S' je:
Izjcrullici.rnn v;ra;{;e; (6011) i :DobiiruIW~
je
ES
UP dx
.~~~~_ = £~. dl,~" dxt E dtZ
(tdl)
(6.12)
(6.13)
(6.14;
(6.15)
(6.16)
8m konacno na OSXlOVU re.bd.je (6.8) aaje. dR je brJ:ina prostiranja longitudinaIne deformacije
(6.17)
1.60
6.3. BRZINAPROSTIRANJA TRANSVERZALNOG TALASA U ZATEGNUTOJ ZIcr
Pretpostavimo da je iiea zategnuta izmedu svoja dva kraja tako da je F sila zatezanja u zici, a [.L poduzna masa) tj. masa jedinice duzine. Pretpostavlja se, takode, da je tiea potpuno elasticna i zanernaruju se sile trenja i gravitacione sileo Neka, zica u svom ravnoteznom polozaju leti dUl; X use. Stika 6.4. prikazuje element ike u trenutku kada se pmnjera zbog prolaza jednog transverzalnog irnpulsa. Mi cemo pretpos1:aviti da su transverzalna pomjeranj~ dovoljno malena tako da se zatezanje F ne rnijenja znatno i da je ugao koji fica zaklapa sa X osom uvijek mali. Tran.sverzalna pomjcranja na kraje:vim.a elementa ike Sil E; i ~ + Ll..~, a uglovi sa X osom na krajevima elementa su {} i e + L'l6, slika 6.5.
Stika 6.1.
Zatezanje svakog kraja elem,enta rn0ze sc nxr.:loiiti na longimdinalnu i transverzalnu komponentu, Za lijevi ktuj
PI'. = FsinO \
F, ~ F cos 0 j' (6. [8)
Za e maleno je sin e = tg e -:;:=0
d~ pa je
dx'
(6019)
a Pr ~ F je~ je cos 0 ~ ],
Na desnom kraju je, takode, F% + !iF", vrlo blisko F pa jt,~ rezui·,· tantna longitudinalna sila priblifno !ednaka nulL
Rezultantna transverzalna sHa ie (F{ + promjena 6.F~ se moze napisati rei.aGijom
rut
-- Fe = &F~. Aka je Ax maleno,
(6.20)
161
Dife:renciraju5 jednaCinu (6.19) po x dobijemo
(6.21)
a smjenom U jed1'l3tini (6,20) dobi;e se
d'~ O~ F --- t:.x.
dx' (6.22)
M.as<l l\m e!ementrt jc proizvod mase po jedinici duzine tJ. duzine .6.xJ rj.
Vi'Cnld. Y"l
hijarno
/J.1'n 0= t1-~x. element.1 5m je
F dlli;
dtll !" dx~
(6.23)
(6.24)
(6.2'1) (6.22) do-
(6.25)
(6:26)
Odavde, poreden,icrn sa relacijom \ 6.8)~ siijcdi da je brzina prostiranja transw;rzalnog tahsil 11 zatcgnutoj tici
{I vl'; =.~." _:...... • (6.27)
p.
6.4. TALASNA
Pok.;~;:':;d;t~ri\(' kako sc' na h,:da-n Jeanostavan naCin, uz dO-lita aproksimacije,. 1.'n02e dllci. (j{-, i;~rx~a 7.;). talasnu .iednatinu.
Uzrnj.i.~"iJl s,'~' h02; ci<:tsli(Xh) ,ric,- f,iri jedan trans.verzaian taias (s1. 6.6). Na rmdom lliC"l:a dl knle se tnoze aproksim.irati sa. dx dJeluju sHe zatezanja u ~~ckanlH . i.1]. J?n prmnjene :>iI(' ;,>;~teza,nja dolazi sarno u vertikalnom ~ pravcu . .A.a prorn]cna na w.tervalu dx lznma
(6.28)
,Ako prerpostllvimo da .ie IX mali ugao (lito se dclava za m,ale· amplitude), onda se SInUS malog ugla mo:b.'; aproksimirati samim uglom
sin (0:: - doc) ~ a. - doc
162
(6.29)
(6.30).
pa <IF, postaje dF, ~ Fd~.
Osirn toga je tg«
pa ako diferenciramo prethodni izraz po x, dobijamo
da o'~ cos'2 oX dx ~ iJx2
Za oc maleno cos IX Rj 1 pa je
dx. ax'};
UVrStavanjem vrijednosti (6.34) u izraz (631)~ dohijerno
Prema n Njutnovom 2.akonu j e
= dmai.,
(6.31)
(6.32)
(6.33)
(6.34)
(6.35)
(6.36)
Izjednaeavanjem vrijednosti za prjra.~taj tran8vcrzah},:; sUe iz izraza (6,35) i (6.36) dobijemo
(6.37)
a odavde (6.38)
Posto je brzipa. prostiranja transverzalnog taiasa 0
jednaCina (6.38) postaje
1 =0. (6.39)
ox2 'lit at'l.
Talasna jednatlua. za talas koji se prostire u proizvoljnom prav(''1J U prostoru gb~d
iY'''. ailE 1 (1J,it;', __ ~ +- -----.:: ~. :00".., ~.- --_.
ox~ oyt I OZ2 v~ OtZ (6AO)
a skraceno zapisana., pomotu operatora »i:J,. '\ (Laplas) je
1 o"~ (~4') AI; = ___ ---~ . 0.' r;'t iJt%
Talas koji se prostire u prolzvoijnom pravcu koji sa osama X, Y i Z zakiapa uglove IX, ~ i Y opisan je funkcijom
~ (r, t) = At) sin. 'Ii (iJt -: r) (6.42)
163
gdje je Ii talasui _ve:ktor
a njegovc komponente irrwju (!blike
2n -_.- cos oc;
A
6,5. r:NERGljA TALASA
k, :In
cos l' A,
K_HdB. sc tab:; si~j k!\Ji". OH prenosi U J:ftduil sv(:'g Prema V,lH1C, sa sl.iakifn taiasom pove~an }tc tuk
(6,43)
(6.44)
prirna (J{J SU_,lC:; ta-'
Ukup';J (netgii;, kcsti c, koja il'''''Wjm,sle HUin. kr.-Ctll'nj ti, -i.e
/-;:sric[;;
(ciAS)
PretJiosuvimo da u trenm:ku l tufas naide na p-ovfsrnu S okumiru Us. c;tnjet iErenja tarusa, Nakon vremena l'1.! tulas prectc_ udaljeHost 'U~~-! ' wm,c pobudi ;)0 ~~;dlo\':mje :sve cestice: II po.':rH'8JranOm voiumenu L\ V ',,-,C
Uimlma energija o-scilovanja u ckme:ntu zaprem,illc jednak,-~ stEIl!. enek'~ :-;vih iz te :::aprerninc koje su pobudene na osdlDvllnjc,
1 flE "''' -~- mw2A2n6tV
1
'n kon;,;erl.'traci.ja osdJil'i.iJLlS_h cesrl;-;a., tj. njihuv 'broj pc; ,iedin.kI je. ff'Ut ,,-,c, pc, slikdi da j{;;
!lB 1 f.;=--~-
1'1V 2 (6.48)
SIn znaci cia je 2a h,armonijski talas gustoca energije proporcionsIru'l kvadratu i kvadratu arn.plitude,
Izmz (6.47) pre&~tavljaJ u stvar!) sredniu vrijcdnost gustocc, e<l'Ofi:ij(; u .§vakoj U1cki :::recline. Ill-ace j(;> u svakGIn trenutku, gustoca encrgije. razlicita raznim tacy"axna prostor.ao
164
,More se pokazari cia se za harmonijski talas, dar reiacijom 4 eX,-!) = = A sin ((I)r. --kx)) gustoCa energije mijenja prema zakonu
• ~ pA' (2",")' cos' (w' - kx), (6.49) Prema tome, gustoca energije je razlicita u raznim tackama prostora i mijenja
se s vremenom prcma zakonu kvadrata kosinusa. Posto je srednja vrijednost kvadrata kosinusa ;ednaka jednoj polovini) to je srednja 1.1rtj"ednost gusto&: energije po vremenu
kx) (6,50)
Izraz (6.50) pokazuje da se energija siri kroz sredinu kao i faza talasa sto se vicii po tipicHom argumentu (<'ul ~ kx). _ Energi.ia~ prt~l1esena talasnim kreranjima kroz povrsinu S i predata tesUc\h'"rut
sredine u demcntu zapremine fi V u jedinici vn~mena, predstavlja snagu mlasa, Orw se) preuw tome, racuna prema obrascu
, !1E e.6. V Sv,:-,Ll.t , J~ ;0::; .,~--- = ,~.-~-, ,= ._--",-,- ""~ 5'lJe
A, A, {j"
mv~'gC!n~,~' [uk kroz .1JovrSinu S koja }C okornit:.l na smjer sirenja talas:OL tafas u icdinid vremena kroz ;edinicu poVYsine oI(JJ.l.mto
rabsa> Zi)ve se gustoce energetskog wfox}' iii £men::itei wlasa i iknosl
6,6 ..
1 liE P
--=---= vc Stll S
I ~ '~P (211:v)'A'v. 2
TALASA, INTERFERENCIJA
(6.52)
(6,53)
Doell!, E elva iii vise talasu istovremeno u istu taf..ku prostora" rezultujuce osd-U 1'01 t;:\cki je vektorski zbir pojedinih osciiovanj::L To je princ£p mperpoz£L"tj"('
koj,i vrijedi za sva mbsna kretanja i direktna je posljedica cinjenke chi jc talas!l<1 jednaCina (6.39) lin('...arna i hom.ogena. Ako SU~ naime~ t,,1 (x~ t) i J;~ (x, t) rjde-nie talasuc jeana::ine, :;::ada je i bilo koja linearna kombinadja C 1';1 (x, c) --+ cz~,\ (x, t) Hieno rjeSen.i~1,
--"--,~-. ~"-~-'::-:':7;;::~ , £\wrn,l.l.tralmo dva taiasa koji 5!.--iz i.z;-'\ronl, i S]« Neka ta
istu ampiitu_du. i fazu u Dol< dQ<iu u tacku P (s1.
su pY'ewl1Hi razlicite putev:,: f'i i te :;('; oscilovanja li toj
Stika 6.7.
(6.54)
165
Razlika u fazi ova dva oscilovanja je
'" Li.$ ~ ~ Cr, - t,) ~ k (r, -T,l (6.56) v
d· . k (.0) 2... . . g )e)e ~ ~ = ~ talasm hro). v A
Posto je, prema pretpostavci Ai = Az = A, rezultu;uCe oscilovan;e je
~ ~ ~,+ ~,~ A [Sin (0) (t.-~~) + sin '" (t - .':v~)] ~
2 k = A cos --,._.,---_._"'-
2 (6.57)
;y Pretposta.vl1aj~_Ci .cia if.'; laCRa 1-). daieko od izvora~ 8to maci cia je 1'1 i r l A:> d, mozemo ap:roKSlmlratt
dsin 6~r2 ~r)= Af'. (658)
hddn 6 2A em: (6.59)
sto ;:maCi da Dna zavlsi oel mjc~J:~ gdje '>C inl!ClCi!C"-,[l(;ija posmatra i od medusobne udaljenosti izvora, d. •
l\1aksirrmlno oscihvanjc fl
se na rnjestima gaje k- cos ---~.---~ ""'-
s rrmksimainom amptimdom) desice - d- . kdsinG !I:J. g ye Je ~~2~~:= tm. U tom slu~
caju razl.ika u fazi Aq}. je: vF;dG~~tnlk ad :ht;
Z"q") = k (7'<,: .. _ .. (6.60)
te su na tim miestima 00", ,wiilr,n,nb ferenciju dohivamo U Sil1ier",!i.""
u fazL Pozitivnu} tzv. konsuuktivnu intergdJe }e putna razlika
(6.61 )
0) k M.a "-- estru -tivna interfcre:;)cijn nastaje tamo gdje je cos ----- = O~ 2
tj. gdje
kd sin () je· -,,----~-,-- = f2n
2 "
To ce se dC<;l'd Zfl nglove 0" za kok je putna razlika
'" (. I \ Lly = d sin (i. = ~'=:::-'---:"~:~ = n + -~2---) A, k
n = 0, 1, 2, .. " (6.62)
. Na tim mjestima, liZ us-lov da su amplitude oscilacija koje se superponiraju joonake, ne6e uopste biti oscihwanja.
166
6.7. REFLEKSIJA TALASA
Kada talas upada u granicu izmedu dvije sred~ne:> jedan dio energije talasa se reflektuje, a osmtak prelazi u drugu sredinu; od upadnog taIasa n&Sutje reflektovani i propuSteni talas. Pri refleksiji na guSoo; sredini, r~ektovani talas je pomaknut u fazi za 1t prema upadnom talasu, dok pri refleksiji na rjedoj sredini, nema pomaka u fazi. Poseban slucaj je refleksi;a na cvr~'tcj zapreci. 0vdje nema propuStenog talasa, a reflektovani ima istu amplitudu kao i upadni i pomaknut je u fazi za 7t'
U odnosu na upadni talas. PokaZimo to i kvantitativno.
Sliko. 6.8.
Posmatrajmo refieksiju talasa na uz-etu na mje1;OUl gdje se brustob mijenja ~ na primjer na spoju dva uzeta razliCite debljinc, Je-dna[jne npadnog, ref1(':\ztovanog i propustenog talasa su:
(6.63)
~. (x, t) = A. sin", (, --- :,)
gdje su At.!' At i Ap amplitude upadnog, reflektovanog ] propustenog t;l,.l?sa". a 'i;)~ i 'V 2 brzine prostiranja talasa kroz dvije sredine.
Elongacija t; (Xl t) mora. biti u svakoj tacki neprekidna, dva InJ!il clt.':fivabil'1.i1 funkcija udaljenosti x da hi zadovoljavala talasnu jedn_aCinu.
Mo na mjestu spoja izabrana <iva uzeta r-azliCite dehljine, 11, :mt rnjt':sm gdjc se gustoCa sredine mijenja, sravimo ishodiste koordinatnog sisterna (~, x), ond-a i u t.acki x = 0 moraju da budu ispunjeni slijedeCi granieni uslovi:
1;" (0) + ~,(O) = ~p (0)
~ (1;" + E,) 'I = a~, \ dx . Z~C oX x_I}
(6.64)
161
P.:-vi ?d ovih usl?va kazc da se na mjestu x = 0 talas di;eli na reflektovani i propus~e~ll. d?k drugt usio\' zahtijeva da u graruc'TIoj tacki nagib oba dijda uZeta mora bltl Isn.
Primjena gornjih granicnih uslova daje;
A .. +AT=Ap
~~-(!~=~!! V 1 V 1 V 2
(6.65)
?davde se amplitude reflekt:wanog i propustenog talasa mogu izraziti preko amphtude upadnog mtasa rdacijom
Kada tah",· VI > V 2)) onda rotan predznak od. skok u fazi zu r;; kaua Hi.da'?;i cia se krece bez u
(6.66)
u guscu, rj> kacia je 11-1 < !-L2 (a to znaci n:;flektovanog talasa imati sup
[;-,rasa S1:O 2na.c:i da reflektovani !alas trpi ·cdinlL ,PrQPuheni dio, medutim, nastavlia
1 :('l)J.:]l..\1"T'J. <,hl~aju., kada je kraj .:lice utvrscen za masivni ziJ) n'1 I)' "1 ,. . J) \:.'j; ';COo, h rel. c.t\t(}vam talas je iste amplitude k..'lO i upadni, ali je u feu;; Z;;l 7(:, dd: propdtcnog talasa nema. Pri ref1ek~ siji talasa na rjcdoj sredini, 1 ! ". r ~ , " ~:.L~:) n~ :ruJ,,"~nja lazU \!-l2 < !-Ll ~ V z > v 1).
U specijulnmH shtC:aju, kvh: ':>c. n:[.k'Y>,:'-J~\ yes<lva na slobodnom kraju (!-l2 = 0" V,2 :::"-'" OC-), upadni i refkl:,1.o\';m) 1:;lI:1S H1U)U lst.e amplitude i faze.
6.8. STOJECI TALi',.~~;r
Stoj~ci tahsi n'lstaj~J. inI:~rferencijon1. dva talasa jednake amplitude, jednake frekvcnCljC (pa, prt:~ll.~. Llmc, i l,ala;;ne d.u:f.ine) koji DR is torn pravcu putuju jedan :p~ema ct:'~Wll;·:.~ ~W~;~t ta!~s,.~(:' 0.1.01e ~obiti tab~ cia ~e _ up~dni talas rcflektuje na Jcdnom haju ~KC ~(]J: je tlCV) S!;ew.L., vrail. se nazad t superpomra sa upadnim talasom.
Posmatr~Jmo jeGan takav tabs na lki koja h.~ uc:vrscena u tacki x = O. S desna (prema ncgatl"vnom smjef;.1 use ;it:: kre{:c upadni talus
(6.67)
On ce se us. uCvr~i~c"t!onl. kraj lJ. iiea fazu za 7t i vrmiti nazad u :;mj(:[U oSe:
0:-.00 0) reflekt:ovati mijcnjujuCi pri tome kao rcflek1:ovani talas .
kx + n:) = -_. A sin (Wi ~ kx). (6.68) Rezultantnu ehmgaciju ilce dcoljcmo 1·· < talasa; SfhHnm)em upaanog reflektovanog
~ ~" -1-- t;, =c A {sin (cut .- kx)·- sin ((!Jl - kx)} (6.69)
!; =" 2A sin kx cos wi:.
168
Ovo vise nije progresivni ta1as, tj. kod n;ega nema putovanja faze prostorom: vrijeme t i polozaj x pojavljuju se u dva razlicita faktora. Na mjes~ma Xn za koje je
. k 0 me SIn XII = ::::? x ... = k A =n-,
2 n = 0, 1, 2, .. (6.70)
nema oscilovanja - ove tacke na zici trajno miruju i zovu se cvorovi stojeeeg talasa. A
Oni BU od ucvrscenog kraja zice smjesteni na udaljenosti
i njihov medusobni razroak je!:.-) slika 6.9.
n- (n=O, 1] 2, ... ) 2
2
Sl£ka 609.
Mjesta stojeceg talasa, gdje je oscilovanje maksimalno, zovu sc !t'busi i nastaju na m;estima x .. za koja je
sinkx,. = ± 1; A
x .. = (2n + 1) 4."' ) n = 0, 1, 2, .. 0 (6.71 )
Za razliku od progresivnog talasa, stojeci. talas se ne krece i ne pn~nosi nikakvu energiju. U nekim trenucima, za koje je cos wt = 0, sve tacke na iid imaju elongaciju jednaku nuli. Ima trenutaka u kojima je: brzina svih tacaka na ±ici Hula ~ tj. sve tal::ke zice miruju. To se desava za -~- cos (,j t = -- w sin {fJ[ = 0,
de U prvom slul::aju} sva energija s.toje6eg talasa je U obliku kineticke energije,
dok je, u drugom slucaju, sva energija u. obliku potcncijaine deformacije.
169
6.9. GRUPNA I FAZNA BRZINA
U izrazu ; ex, t) = A sin c.u (E - -:;) , koji predstavlja zakon prema kojem se
mijenja stanje oscilovan;a neke tacke u sredini kroz koju se siri neki talas, izraz
(,) (t - :) predstavlja"jazu talasa. Pogledajrno kako se odredena konstantna faza
w (t - :) = const krece u prostoru.
Napisemo Ii raj izraz U obliku x = vt -+ const, vidimo da se odredena vrijc:dnost faze jedriako krece s brzinom sircnja poremecaja v.
Prema tome, brzina sirenja tala'>u ;e brzina sirenja faze i zato se zove jrn;-na brzioo.
Brzina talasa zavisi od osobina (e1asti,cnosti i gustine) sredinc hoz koju sc talas siri.
Kada talas pre1azi iz jednc sredine u drugu ill se prostire kroz nehomngenu sredinu, brzina i talasna duzina mu se mijenjaju dok frekvendja nstaje ista. B;'?:ina ko;om se prenosi energija kroz sredinu moze biti razlicita ad faz:ne brz-ine, ~to se desava uvijek kada fazna brzina zavisi od frekvencije, Za fl171iku od f3ZIl_C brzine. brzinu sirenja energije zovemo grupna brzina. J
Postoje sredine u kojima br7.ina prostiranja talasa u njirna zavi~; riC SJ.HlO oel osobina sredine (e1asticnost i gustina), vee i od talasne eluiinc $ignab
Kada se racuna brzina prostiranja talasa u kanaiu, vidi se da ona zav;'~i n.c sanw od osobina sredine vee i od talasne duzine. U takvOln slucaju kazc se ctn. jc :::redin:J disperzivna. Na primjer, prizma razlaze paralelni snop bijde s"ljCtkx;ti u sp-;:;kt<.!J', pri cemu zraci razliCitc talasne duzine izlaze u razliCitim Dravdma ro~to .Ie ~)t!,d:lc; disperzivna sredina za svjetlosne talase. '.
Francuski matematicar Furije (rourier) ie prvi pokazw::-. da se gotovo svaka periodicna funkcija moze prcdstaviti sa zeijenim stcp"enorn pribliznosti romocu beskonacnog reda koji se sastoji od funkcija sinusa j kosirmsa, Dalde j t[lla:~ s-vukog oblika se moze smatrati superpozicijom izvjesnog broja sinusnih (iii kosinusnih) talasa razliCitih amplituda i talasnih duzina. Ako se svi ovi tokovi krecu istmn brzi,~ nom v, talasni oblik vremenom ne mijenja oblik i svaka tacka na njemu se: krece brzinom v. Ovo je siuca; ako sredina nije disperzivna kafY na primjer kocl trans·
verzalnih talasa u jednoj idealnoj zategnutoj :lici, gdje je v 2 ="; F ." tj. '0 ne zavisi
od I"~ jednacina (6.27). Medutim, ako je sredina disperzivna, svi sinusni ta1a51 se ne KreCH istom brzi
nom i prostiranjem talasa, mijenja se i talasni obJik.
Talasi se slafu i formiraju niz grupa koje se, takode, krecu u istom pravcu kao i talasi. Sa kretanjem talasa mijenja se i struktura grupe. Obvojnica grllpe, mcdutim, zadrzava svoj oblik i bilo koja tacka obvo;nice se krece brzinom vI! koja se zove grupna brzina. Brzina v pojedinih sinusnih talasa zove se njihovornjaznom brzt'nom,
Uzmimo kao prim;er sJucaj gd;e se talasno kretanje moze razloziti na 2 sinusna talasa frekvencija w i w r koje su veom,a bliske tako da je dw ,= C))r - (ll:
veoma maleno. Takode cemo pretpostaviti da su amplitude ovih talao:;a iste,
170
Sumarni talas se tada moze napisati relacijom
I; = A sin (M - !<x) + A sin (w', - k'x) =
= 2A cos (~ [(00' - w), - (k' - k) Xl) sin ( ~ [(w' + w), - (k' + k)X1)
(6.72)
Posto su cu' i cu, a takode i k' i k, vrlo pribli:ine vrijednosti, mozemo J.. (cu' + 2
+ w) aproksimirati sa w, a -'- (k' + k) sa k, pa izraz (6.72) postaje 2
~ = 2A cos (~ [(0)' - w)t- (h' -k)x1) sin("" - kx). (6.73)
Izraz (6.73) predstavlja sinusni talas Cija se amplituda modulira prerna zakonu
2 A cos ~!.[(w' - w) t - (k' - k) xl. 2
(6.74)
Ova modulirana amplituda, takode, odgovara talasnom kretanju koje se sid brzinom
w' - w dw v =----.--~-.
, k' _ok dk (6.75)
Brzina (6.75) predstavl;a grupnu brzinu. To je, dakle, brzina kojom se kreee amplitudni talas (obvo;nica). Prema tome, u disperzivnoj srewni brzina signala je grupna brzina.
Posto je w = kv, izraz (6.75) postaje
d", d dv Y!, ~ -dk = dk (vk) = v + k dk . (6.76)
Ako je fazna brzina v nezavisna od )., (t;. od k), tj. ako je sredina nedi.">perzivna,
dv ~ 0, pa iz izraza (6.76) slijedi da je v, ~". dk
Dakle, u nedisperzivnoj sredini nema razlike izmedu grupne i fazne brzine.
6.10. DOPLEROV EFEKAT
Doplerov (Doppler) efekat ie pojava promjene frekvencije talasa ako postoji l"elativno kretanje izmedu izvora talasa i prijemnika talasa. Dopierov efekat se javlja kod svakog talasnog kretanja. MoZe veoma dobro cia se uoci kod zvubUh talasa.
171
Pretpostavimo da se izvor i prijemnik talasa krecu dui prave- linije koja ih povezuje. Pretpostavict.mo, takode, da je brzina izvora 'Vf pozitivna ako se krece prema- prijemniku, a negf tivna ako se udaljava od prijemnika. Ism pretpostavku naCinicemo· i 7a bn;inu prijemnika vp-
Ako izvor talasa miruje i os:iluje frekvencijom uo • .onda ce u mOmentu kad izvor 7.avrsi svo;u uo-tu oscilaciju, brijeg talasa prve osciiacije preCi put 'V U sredini (v je brzina prostiranja ta1asa U odnosu na sredinu).
Prema tome, Uo "bregova" i "dolina" talasa koje proizvodi izvor u jedno; sekundi ce pokriti duzinu v.
Ako se izvor krece U odnosu na sredinu brzinom VI) tada, u momentu kad izvor zavrsi svoju uo-tu oscilaciju, brijeg prve oscilacije Ce biti na rastojanju v - V f od izvora (s1. 6.IO.a). Prema tome ce duzina -v -- VI sadrfavati Uo bregova i dolina talasa pa ce im tarasna duzina biti
(6.77)
Pored prijernnika; koji miruje, bregovi i doline smjeSteni na duzini v ce proci za jednu sekundu. Ako se prijemnik krece brzinom vI' tada ce na kraju vremenskog intervala od ;edne sekunde on pokupiti dolinu kOJa je na pocetku vremenskog intervala bila na rastojanju v od njegovog sadasnjeg polozaja. Stoga u jednoj sekundi prijcmnik ce naiCi nn bregove i d'Oline na duzinu. jednakoj v + v",. (sL 6.1O,b) Cija je frekvencija
v+v \J =.:: ----"
f,
ZamjenjujuCi A iz jednaCine (6.77) u jednacinu (6.78)~ dobijemo
v +. 'Up "0--v-v,
(6.78 )
(6.79)
Iz izraza (6.79) slijedi da ako se izvor i prijemnik krecu tako da se njihovo rastojanje smanjuje, frekvencija u, koju registruje prijernnik, ce biti veea.
aJ bJ Sliko, 6.JIJ.
172
6.11. RACUNSKI PRIMJERI
Zadatak 8.1
J edan kraj gumene cHevi je utvr$ten. Dru~i ~r~j pte1azi preko kotut~ l.la tasto;:m;u 8 ~ od u!!vdcenog kraja i nosi teret mue 2 kg. Masa C1JeVl lzmedu utvdeenog kraJIi 1 kotura 'c .600 "': a) Kolika je brzina transverzalnog talasa male amplitude vu ~~ev~? b) ~retpo8tavimo da sc 81?USI;U talas amplitude 10 em i tah1sne duiine 3 m kreee duz C1JeVi s hJeva n" desno. KoUka ,e maksirnalna transverzalna brzina jedne tatke cijevi?
Rjdenje:
SUa zatezanja je jednaka tezini tereta lTIaJ!e 2 kg, tj.
F = mg = 2,9,81 N = 19,62 N.
Produzna masa djevi je
m 0,6 kg [.I, = - = --_. = Q,075 kg{m.
L 8m
a) Brzina prostitanj ... tramvcrzalnog talasa je
b) t; """ ~osin{kx -- wt),
T.ansverzaina hrzin<l. je
1'.ad&tak 8.2
/?~ = /=~!~ N-·- = 16 m./s. .IV I·t ty 0,075 kg!ttl
-- wi;-o cos (kx - (tl')
!6 -- ·_o,1 mls 3
I'd izvodenju brzine longitudinalnih tals&.a u sipki zanemarili sm.a l~tetalni napon- ~oj~ postoj! uz longitudinalni n~po.n, Ka~a se: me-?-utim, i ova; efekat ~zme u <:~JZl.I: ~oze s~.po~~~~ da je fazna brzina harmOUl)sklb longltudmal.mh talasa talasne dufme )., ko}!: se §tre u cdindnc j
~ipki radijusa R data relad;orn
jE. _I! _
'" p \
gdje je -:i tzv. Poasono\' koeficijetl.L NaCi gmpnu brzinu taltlS.D. dut sipk~ i izr~iti je preko izr~ za faznu brzinu. Naci, takode, granicnu vrijednost grupne brzlll(" u sluealu kada Je R mnogo man)
R ad A. Prodisicutovati promjenu ~Jff i vJ kao funkciju od A
Rjefenje:
2n , J. = ;;' > pa JC Vf =
_ ktO;Rli") ,
Grupna br:zina talusa je:
173
gdje je
JE ( k"'R') JE h.'R' ug = - 1- --- -k --_ p 4 p 2
JE JE tlg = VI - 2 P + 2vI = 3vf - 2 -;
Vg = J~ (1 _ 3~::~R) . Za R ~ J., drugi clan u zagradi se mofe zanemariti pa ;e
Zadatak 6.3
.. D~ij~ akuslicne viiju§ke cije su vlastite frekvencije 340 Hz krecu se u odnosu na posmatroca kO}l mlfule. J~dna vilju§ka se "ll:?-aljava od posmatraca dok mu se druga primite iSlom bninom .. Pos~atrac Cule udare frekvenclJe 3 Hz. NaCi brzinu akusticnih "iljuSki pretpostavljajuci da je brzma zvuka u vazduhu 340 m/s. .
Rjefenje:
", v u~ = 1-=--;' gdje je x = ;-' odnos brzine izvora i hrzine zvuka..
Ftekvencija udara je jednaka razlici frekvencija U1 IJz:
Dobijemo kvadratnu jednal:inu
UXS + ZuoX - 1.1 = 0) Cija su rjeScnja:
340 3 f} = '""2' 340 m./s = 1,5 m/s.
174
Jedna Cestica (8) clastitne sredine udaijena je od izvora talasnog kretanja za r = I m. Ta i!estiQl bivn pogodena talasom poslije vremena t = 0,001 s od momenta njegovog polaska iz izvora i pri tome ':Ie uda1ji od ravnotefnog poio:laje. za 4 rom. Odrediti amplitudu tog talasa ako je poznata njegovil talasna dutina (30cm) i freJevendja (lOOOOHz).
RjcIenjc:
Za tacku A mozemo postaviti jednacinu oscilovanja
2r. 1; = ~~sin wt =, ~nsin - t.
T
Za e)ongacih. li tlickt B vaii re1acija
1;, ,-~ C;~ sin ~ (t - 7) = ~Q ~n 2n (ut .. - i) jet je u =~ y·s cT = it, pa jc
- 4,6mm.
"\ \
\ . +. I I
/
/
'0' f.\Onl.oge:Do; Hedini pwstire se I"avanski hantwnijski talas talasne duiine A = 1 m~ cija e jcctnJ>Cin&
gd.ic jt; 1:\, mnpl.hlJd .. talasll" r ..... O~5 rn- l koeficijent priguscnja talasa •. ~ kruzna ftekvenc:ija i k l.l.I.Jurmi hrol. KoHb, je fazna rlizlika talaS3 u tackama u kojima. se amplitude oscilo\'ania cestic:a F-ied'ine razlikuju z" R = 1 %?
RJciim/e; Na rllstojanju x, od iXV(lra taIasa jednacina kretanja cestics·sredine (pod dejstvom izvoora
talasa) i:r>'l.l! ohlik
(1)
cdie jt'. t, ",co .:., vl"ijeme za koje se oscilacije prene .. u od jzvora taiasa do Cestk.a sredine koje su
" us ra2toji"wju Xl" Anlalogno j{, na rasiojanju x~ talasna. jcdnatina
1";, = aflt>!~-"r:l'~ cos (0) (t - .t~). (2)
ito'! -- a~ = 1% = t. an
~<fl - ~: = 1 _ e-Y!.h:
n"
1 bx ~ ,.- - In (I _. 8),
Y
2n· 2-:-:- 21t8 .6.<l' = k· A.x = -" fj.x = - -In(l"""""' g)~--- = O~13I"ad.
A ;. yJ.
175
7 ELEMENTI RELATIVISTICKE MEHANIKE
7.1. BRZINA SVJETLOSTI I ZAKON SABIRANJA BRZINA
Oko tte:dine. 19~ stoljcc4j bile sa vee razvijene dosta tacne metode za mjerenje hrzine svjetlostL Nadeno je da je c = 3 . IOf! m!s u vakuumu iii tacnije c = "",", 2s9979250 ± 0;0000010 . 106 m/so
I naraVfWjo tada se posta-vito pitank na koji sistem referencije se odnosi ta bizina svjetlosti~ jer uopste je besmisleno govoriti 0 brzini, a cia se ne specificira sistem. referencijco
SlijedcCi klasicni zakon sabiranja brzina~ koji slijedi -iz Galilejevih transformacija, dolazimo do zaltljucka da brzina svjetlosti treba da je razlicita u raznim sistemima referencije, Prcma tOme} data vrijednost brzine svjedosti vaZi sarno u jednom sistemu refcreilcije~ na pritnjer) onom koji sadrli izvor sv;etlosti.
Zar.o.islimo slijedcCi ogled: Neka neki instrillneiit~ koji sluzi za dovoljno tacno mjerenje brzine sv;etlosti,
rniruje U odnosu na izvor sv;etIosti koji je smjesten u ishodistu koordinatnog -sistema XYZ.
Instrument ce registrovati brzinu svjetlosti jednaku c, stika 7.1. Zatim" ako stavimo ovaj instrurn,ent u drugi sistem referencije ko;i se krece u odnosu na sistem
x, Yj Z brzinom 'lJ duZ X ose, udaijavajuti se od njega kao 5tO je prikazano na 81. 7.2, iii pribliiavajuCi mu se leao na s1. 7.3 iii krecuci se okomito 'na pravac prostiranja svjetlosti kao na s1. 7.4} onda bi, prema klasilinom zakonu 0 sabiranju brzina, instrument trebao da registruje da je brzina svjetlosti:
u slueaju na 81. 7.2: c' = C - 'Vi
176
u slucaju na 81. 1.3: ,/' = c + v;
u slueaju na 81. 1.4: em = ..jet + 'D,.~ &vi eksperiment za mjerenje brzine svjet10sti U. si5tem~ re;t:eren<:ij:: koj~ .se.
kreee izveo je Majkelson 1881. godine. Slitne ekspcnmente lzveH sU 1 lZVodili !
y Slika 7.2.
SW~a 73.
.+.1:
:~A-A:_L -/"/'c"'/
y~// .
Sliko, 7.4.
drugi naucnici godinama, ali je rezultat uvijek biD z:lct.Lciujuci:. cia je brzina svietlosti u svim inercijalnim sistem.ima rdere:ncilc cine i pravca njihove relativne brzine) ista, tJ.
uviick je ispadakl , od. vell-
Ovaj rezultat Je pokazao da klasicni zakon sab~:~m!a bl'zi.na irna ogranieet;u oblast primjene. On, dak1e, ne vrijcdi ako ~e priru,ljcm na fe:nomcn.e V!.':Z2..r:e za prostiranjc svjetlosti. A kako je taj z::J.kon baziran na. Galilejevim, uansform,uq;ama, zoaCi da i onc: imaju ogranicenu. oblast prirnjene.
Po§to }e invarijantnoS! brzine svletlo5t.1 u svim inetcijal~~_ s,ist~.roim.a referencije eksperimentalna Cinjcnica koja nije u sagla8n~sti. sa Gah.~eJevun ~fo~macijama, pojavila se potreba za kriticl10m revizijmn,ldcJu n& kC:J~ 00 ~ntval.u ove transformacije. Ovo je ucin;:1 Ajmtajn 1905. godme. Ta revlZ1Ja zahuJevam 1(;potpuno prci:;pitivanje klasicnog poimanja prostom i vremena.
"177
A;nsta;n ;e pokazao da su pri uvodenju GaIilejevih ttansformaclja uVedene dvije propozicije koje su izgledale tako ocigledne da niko niie mislio da ih ie po_trebno obrazlagati. One se sastoje u slijedecem:
a) pretpostavljalo se cia je istovremenost dva dogadaja apsolutan pojam, tj. da je tok vremena isti u svim inercijalnim referentnim 'sistemima;
b) pretpostavljalo se. takode, "da je duzina neke ike;; na primjer, ista u svim sistemima referencije.
U stvari, pokazalo se da ove propozicije nisu univerzalne, vee _ su prya aproksimacija koja vri;edi sarno _za tzv. klasi~nu Njuttiovu inehaniku u kojoj su brzine znatno manje od brzine svjetlosti.
7.2. OSNOVNI POSTULATI SPECIJALNE TEORlJE RELA TIVNOSTI
Specija)na teorija re1ativnosti je osnov re1ativisticke mehanike. Zasnovana je na dva prindpa koji su postulirani. Ovi postulati su zaista potvrdeni eksperimentom.
1, PrinC£p r,elat£vnosti: svi inercijallli sistema referendje su jednako valjani -, ne sarno mehanicki vee ~ svi drugi fenomeni u prirod j teku mi Isti nacm u svim incrcijalnim sisternima referencije.
2. Princt'p invarijantnasti. brzine svjetlosti; Brzina svjetlosd u vakuumu je ism i jednaka c u svim inercijalnim sistemima referendje..
Uz Dve pJetpostavke Galilejeve transformacije, tj. klasicni zakon 0 sabiranju brzina. ovdjc ne vaiL
Naroeito nije taena CetvTta od jednacina (l A8)) t =- t' < Posto je brzina iednaka kolicniku rastojanja i vremena, onda treba npodesitin i vrijeme tako da brzina svjetlasti ostane uvijek ista za posmatrace u relativnom kretanju.
Drugim rijeCima, vremenski interval izmedu dva dogadaja ne: mora biti isti za posmatrace u relativnom kretanju.
Ukratko) moramo, kada govorimo 0 fenomenima vezanim za svjetiost, zamijeniti Galilejeve transformacije nekim drugim jednacinama> koje L"e ostaviti brzmu svjetlosti nepromijenjenom<
7.3. RELATIVISTICKI ZAKON SABlRA."UA BRZINA
Posmatra;mo opet dva koordinama sistema refe.rencije X, y~ Z (na prim.jer,. sistem vezan za zemlju) i X') Y", Z' (sistem vezan za 7.eljezniCki vagon). Ponov(}
,- iz.aberim9 ove sistem~ tako da Un se jedna osa (X i X') podudaraju, a- druge dvije: ( Y i Y' i Z i Z') se pomjerajuparaleloo jed!U! U odnosu na drugu, kao Ito 8U bile i \l pocetku kretanja (s1. 7.5).
Slobodni prostor je homogen i izotropan. To znaCi da. su transfonnaciie koordinata linearne funkcije (s!. 1.6 a. i b.).
Sa -sIike 7.6.a. je vidljivo da u tom sluQju duZina neKe linije ill rastojanje: De
zav:ise od toga u kojem regionu prostora su smjeiteni,."tj.' ako je it = IS) tacia je r 1 = [, 2'
178
AIm je, medutim, transformacija nelineat!U! (51. 7.6.b.), tada so vidi da je [, = l-s, a I; -::F l~) tj. dufina, na primjer, neke :lice bi zavisila od toga u kojem. dijelu prostora je locirana. Ovo nije u saglasnosti sa hornogenoscll prostora.
z Az' / )
, . l§.:::el
y Y'jft
Slika 7.5,
x
h.
Naravno) ism to vrijedi i za vrijeme. Zato t~emo potraziti nove:; relativisticke transformacije U obiiku linearnih funkdja.
x' ~Ax +Bt t' = lHx + Nt, (7.3)
gdje su A .. B, MiN konstante cije vrijednosti treba da odredimo. Kretanje aui ose apscise u vagonu moze se izraziti jednacinom
fu;'I~' x; - x; ~ A (x, - x,) + B Ct, - =c A!l.x + BAt. (7.4)
Slicno za vremenski, interval izrne,:]u dVi1 dc'sacllrja
I.1t' =~ lkfltx + Nat.
tr),ozemo cia piSemo
(7.5 )
Dijeljcnjc.m jednaCinc: (7.4) S<l (7<5) i u7;irnajuCi U ohzir da je hr;~iml ccstice U odnosu na pokretni sistem (icljeznicki vagon)
i::d u' ~.- (7.6)
$ !::"t' a brzina iste eestice U odnosu na nepokI'etni slstem vc;r..an za zemlju
11" iff$! = e:;' (1-,7)
dobijemo iztaz za zakon sabiranja brzina (duz X osa)
A B u~ = -::-:c"'c-,--_.,-:"
MU",+N (108)
Odredkemo sada konstante. iz ;ednacina (7.8). Kol'isncemo pri tome slijede6e spedjalne sluCajc:ve"
a) Pretpostavitemo cia meterijalna 'ta(:.ka miruje: U odnosu na. "lagon. Tada je u; = 0) a U:.; = t>. Ako ovn .r.arnijenimo u relaciji (7 .8)~ dobijemo
odalle je
Ai'J+B lJ = -_._--Alv '1- 1v
(7.9)
b) Pferpostavl!l:w da Jlll"')")""l'" t&tku 1:Tdruk \-"1 odnmm na zeiln1.iu. Tada je u~ = ~ '!tin a u~ ='" O. tG tl ,iedxla6nu (I,8) i kurt.!w::ti jedlillcinu (1.9)~ dobijernn
Za.iujenom u jcdnacinu (7.8) i korislcnjem, l'c:;mltata (7.9) i, (70
Ac A'll C = .--~.
Afe + A odakle se dobiia
(7.10)
(7.11)
Kada 3(: V'rijednosti~ dobil~ne za konstante B~ MiN uvtste u jerinacinu (/.8)J dobije se rdativisticki zakon s.abiranja br2:ina (duz X ose);
ill
c'
7.4. LOREN COVE
TratlSform..'lCije koordi:cll!.tll" koj{,; su u rmgl1!i.s1l1Jsti sa dv2. OSllovna posrulat.a teorije reiativnosti, prvi je imeo Lorenc.
Da hismo ih izveti. zamijenicemo vrijecinosti konsrami B, iW i N u jedn.acinu (7.3) i dobiti
:r.:' .= A (x .-- Vi:)
( <IX) t'=A t-~ } (7.14)
180
Prema_ principu relativnosti dva referentna sistema su jednako vazna; moZemo pretpostIiviti da sistem ve:zan uz vagon miruje~ tada Ce se sistem vezan uz zemlju krerati U odnosu na vagon brzinom v' = - v (reciprocnost Lorencovih transformacija).
tj.
Transformacije koordinata ce tada imati oblik
x = A ex' + 'lit') A (
,'Ox,!, t= ~ t -+di) }
ZamjenjujuCi jodnacine (7.15) u jodo.Cine (7.14), dobijemo
Sad se Lon~nc0ve transfonnad;e rungo. nJPhlati. U konacnom obliku
y' =y;
y =y';
, , 'Yx' t' T'di'
z =,z'
I I 1 t
(7.15)
(7.!6)
(7.11)
(7.18)
(7.! 9)
U kllisirooj m,e;hanid pwsto!' i vrijeme se posmatraju kao pojmovi nezavism jed"" od d,.ugog.
Lorencove u·.ansfonnad;e pOKazuju blisku vezu izmer.iu koot'dinata prostora i vrem,en.a,
Ne saUlO da su koordinat.e prostora zavisne od vremena (sto je bila karakteristika i Galilejevih transforrnacija), vee vrijerne zavisi od kordinata prostora i~ takode) od relativne brzine referentnih sistema,
181
7.5. POSLJEDICE LORENCOVIH TRANSFORMACIjA
a) KontrakezJa duzim
Duzina nckog objekta mo7..e se definisati kao rastQjanje izm.edu dvije krajnje tacke tog objekta.
. Medutim, ako je ob;ekat :u kretanju U odnosu na posmatraea, koji hoee da' izm;eri njegovu duzinu, poloza; krajnjih taCaka mora ,biti m;eren istovremeno.
Posmatrajmo stap koji miruje U odnosu na sistem 0' (voz), a postavljen je parale1no 0' X' osi. Ako oznacimo njegove krajnje' taeke indeksima 1 i 2, onda je njegova duzina koju mjeri 0' : LI ;)C~ -- x~ = Lo (i Zove 'se vlastita duzina). Istovremenost mjerenja koord.inata i x~ ovd;e nije bitna jer posmatrac 0' m;eri duzinu stapa koji miruJC: za njega.
Medutim, posmatrac 0 koji vidi stap u kretanju~ mora da mjeri njegove koordinate Xi i X 2 11 isrom l.nmutku t· da bi dobio L 0:;::::; x 2 - Xi'
Prema Lorcncovim tran~fGrmadja'ma je
x' , (7.20)
Pisali 81110 isto t n. oha 1.7.1'2:.2:\;. ;;~;1 J<:; i x.;' cIa bis.p'o obe.zhijediJi istovremenost mjcrenja. Tada je::
(7.21 )
(1.22)
c'
(7.23)
,,;to Posto je 17.1'aZ 1~.. od 1, slijedi da ce duzlna nekog objekta mjerena.
c2
iz sistema. rekrencije 1.1. Ddw).::?u TIn koji se. taj objekat krece nckom brzinom 'V biti
proizvod faktorB I~ !~.~ i duzine k01U on ima U odnosu na koordin."ltni sisrerr\ IV c}] > '
u kojem miruje dl1.iina Ln1.
b) DilataCl:/a ~rrennna
Vremenski interval mote se de6nisati kao vrijern,e koje protekne izmedu dva dogadaja knje mjeT'i posmatmc, Dogadaj je spedfkan tin koii se deS3va na odredenoj tacki prostora U odredenom moment"U..
Pretpostavimo da se u tacki A slsteina. 0, gdjc je locirano, tijelo koje posmatramo, dogodi nesto u trenutku [1) a drugi Q.ogadaj se desi u momentu t2 (na prirnjer.,
182
klamo koje smo ispustili iz ruke u mornentu t l' dosegne najnifu ta6ku' u momentu t2J. Tada je vremenski interval izmedu ova dva dogadaja
T. ~ t, - '1' (7.24)
Ova; vremenski interval je rn.jeren U sistemu referenci;e vezanom za ti;elo koje ispitujem.o. Zato se OVO vrijeme T 0 ~ove v/astito vrijeme.
Nadimo vremenski interval izmedu ista dva dogadaja u sistemu referencije 0' koji se kreee brzinom '0 (duZ X ose) U odnosu na sistem O.
KoristeCi Lorencove transformacije (7.18) i uslov da se dogadaji deSa vaju u istQj taeki A~ tj. da je X 2 = Xv dobijemo .
g ' v' J- --
c' odnosno,
1'= (7.25)
lz l'e1acije (7.25) slijedi da vremenski interval izmedu dva dogadaja ima najmanju vrijednost (je najkrati) u sistemu referencije u kojem tacka A, gdje se deSavaju dogadaji, miruje. • Drugim rijecima, neld procesi traju duze vrijeme aKO se dogadaju U tije1u
koje se relativno krece U odnosu na posmatraca nego u tijelu koje miruje U odnosu na posmatraea.
. Ideje kontrakcije duzine i dilatacije vremena (skradvan;e duzine i usporavanje vremena) su tako razlicite od naSeg intuitivnog poimanja duiine i vremena,! da je neophodno eksperimentalno potvrditi ove re1ativisticke efekte.
lJsporavanje vremena u pokremom referentnom sistemu omogueuje nam da objasnimo jedan interesantan fenomen.
Pod uticajem. kosmickih zraka na granici atmosfere proizvode se ces!ice poznate no mioni. Te ce.. .. tice se tada detektuju ns povdini Zem1je. Atmosfera je debela oko 300 km. Cak ako se mioni kreeu brzinom bliskoj brzini ivjetlosti) vri,eme koje im treba da bi pro~m kroz atmosferu je oko 10-3 s. Ali eksperimenti pokazuju da su IDiom nestabilne cestice i d.a se raspadaju spontano. Nadeno je da je prosjceni Zivot wona sarno lO.....e s, tj. jedna hiljadnina vremena koje im;e potrebno da produ kroz' atmosferu i dodu do Zem1jine povrSine, gdje bivaju registrovani.
Kako je to onda moguce da stignu do Zemlje ako se mnogo ranije raspadnu? Ovaj fenomen, koji je u poeetku izgledao kontradiktoran, obiasniava se na
slijedeci mcin; U si .. temu reierencije, vezanom za mion, njegov zivot traje 10-6 s, kao stO
se i ·ocekuje. Ali sistem referencije vezan za Zemlju krece se U odnosu na mion brzinom blisko; brz1.ni svjetlosti. Vrijeme so! stoga usporava U ovom sistemu i ~on Zivi oka 10-a s, 8tO je oka hiljadu puta duZe vrijeme nego u sistemu vezanom za nuon.
18J
7.(;. ELEMENT! RELATIVISTICKE DINAMIKE
Klasieni izraz za koliGinu kreumja )e
dp=mfJ=m-'C.
d, (7.26)
Njutnovi Z'akoni su invarijantni u odnosu na Galilejeve rransfonnacije, ali nisu invarijamni U odnosu na Lorenc()ve trausformacije.
Prema tome, ni zakon (} odr:r..avanju koliCine kretanja nije invarijanUtn U odnosu na ~rencove tn:msformadje. Da bi on to hio, neophodno je u klasienom izrazu (7.26) zamijeniti vriieme r sa vlastitim vremenom l:estice. Otuda je relativisucki izraz za koliCinu kretanja
(7.27)
rri tDIXtC je Or u ;_Lr~t,;~~il jt:: ko1iC:inl1 krGlHfI.J<:_ P
7)p"m,leranje (."t':Stice u sistemu referencije u kojem
Hi
' .•.. ',',.1.'''' jt int~~rv!Jl vremena d-r odreden na saID koji
r-~-;)f .. . i r -"' shJedt
'\I
d,P
dr
da ie
(7.28)
(7.29)
.MasH m 'll gnrnjiJ:Tl lfT;!,}.i:rllH k Ht:zavislla od brzine --- oua je, kako smo to i ranije vldje-ll.) 1<U L;lmlH<\ "eIi.{:1Xl!L
Jed",,{:hw i'·'.29 i rn ):1>; s::-_ Hll.;:J!lmn u forrrmino istom obliku MO i kIasicni lZrnZ
Tada je
FreIn,a _krcumju pfoilm," i njegove;
da vcliCllm m
omaClmO
(7.30)
mehanid~ rnofemo reCi da je koli~ina :g tim sto sada masa tijela nije kon-
stantna) vee 7.Jlvlsi od b 'Z1JH:; po ZIJko.nu
Ovu zovcmo
184
(7.31)
masu zovemo reiatit,r:sricka masa 7.a razHku od invarijantne mase m koju. masa m£rovanja «::esm se oznacava i sa mo).
Prema drug.om Njutnovom zakonu sila on eesticu je
(7.32)·
sto vrijedi i u teonji relativnosti s tim stO za koHCinu kretanja p moramo uzeti reletivisticki izraz (7 .30),pa ie
d _ d mli
F = -;I; (m, v) = at (J-;~ ~) (7.33 )
Da bismo izracunali i kineticku energiju ccstice koristeCi ovu definiciju koliCine krernnja, sIijedicemo isru proceduru bo i kod' klasicllog postuplq1;
E -p. f d ( ,.. rV " --. k =: I ~T dS = - tn/I)' us = VU l,mr'u), '" de'! ~
(7.34)
VrSt ci pvrcijalnu integraciju i kOrlsteCi reiarivistlcki izraz (731) za masH,. dobijemo
E~ = mr'l/t -- J m r 1)
o
Redukujud prva dva Clana
f .,
(7.36 )
sto predstavlja kirH~ti<:ku en~'~rgijLl cestice koja st;'. krece brzinom v U odnosu na posmatraea.
Ako je v maleno u poteden.ju $~.t c, ffio_zeU10 razviti nazlvnik iuaza (736) u
Dobijamo"
sto zamjenom u (736) daje
EN. ~"'.- ~~, , vl.'a? +, "
3 g
(1.37)
(7.38)
Prv-i clan gornjeg izraza je .n,axna poznata kineti(':ka energij.a iz klasicne mehanike; drugi i ostali l:ianovi su zancmarljivi akc je 'V « c.
Na ova; nacin smo ponovo potvrdili da je Njutnova (klasiena) m.ehanika same aproksimacija relativistiCke mehanike Jmja vri;edi za male brzine ill energije i k(}risti za masu, masu mirovanja.
185
VeliCina me'
-J~~"=' = m,.' 1-,2
(7.39)
-se ~~e cotalna energij~. cestice, a ve1iCina mc2 se zove energija mirofJanja posto e 'to vr!!e~nos~ za E kad~. Je.'V = O'.!'0U:na energij~ Ces!ice~ kako je ovdje definisana, sadrzt ~tn.et1Cku enerfP-!u 1 ener!pJu mrrovanja, ali. ne i potenci;alnu energiju. Izraz {7.39) Je mteresantan Jer sugeriSe da svakoj maSl mr moZeino pridru:liti energiju
E = mrc2 i obrnuto, svakoj energiji E odgovara masa mr = !!. . c'
Koristeci jednacinu (7.31), mo'emo jednaCinu (7.36) pisati U obliku
Ex = (mr - m) c2• (7.40)
~e1acija (7.40). ka~e da s~ prir~staj kineticke .energije moze tretirati kao pri'rasta, mase nastao uslJed zaVlsnOStl mase od brzme prema jednaCini (7.31).
. O~:a interl?retacija, ~~ze se prosiriti tako da se hilo kojo; promjeni mase 6.m pridruzl promJcna energlje /::iE prema izrazu:
AE = I1mc2• (7.41 )
Ova reladja je znacajna i mi cerna ,e susretati testo u atorn.skoj i nuklearnoj fizici.
Kombinu;uCi jednaCine (7.29) i (7.36), dobijerno izraz za hrzinu izrazenu preko kolicine kretanja i energije U obliku
Slika 7,7.
c' p V=-
E
Jecinacina (7.35) je ekvivalentna izrazu
E ~ e oj",'"' + ti',
(7.42)
(7.43 )
~l~ka 7.7. p~ika.zuje graficki relacij1,l izrnedu energije, koheme kretal1ja I rnase. Kod vrlo velikih brzina: mOZemo zamijeniti 'V sa c'u jednacini (7.42) Hi zanem.ariti me u poredenju sa p u jednaeini (7.43), tako da je:
E~cp (7.44)
Ovaj izraz vrijedi samo pri vrlo veiikim energijama. l\1edutim, karla cestica m:a ~su miro~an;a jednaku nuH em ~= 0), jednacina (7.43) s(' svodi na E = cp prt SVlm energtJatna.
U tom, slui5a.ju iz jednaCine (7.42) slijedi cia je z:a cesticu sa nultom masom ~ovan;a v = c, tj. da se ovakva cestica moze kretati sarno brzinom svjetlosti i nw,da ne. m.oze m.irovati u inercija.!n0m sistemu. Ovo je sIuCaj sa fotonom koji je .restlC8 pndrufena elektromagnetnom zracenju, a Cini se. da ovo vaZi i za neutrino.
186
7.7. VEZA IZMEDU RELATIVISTICKE I KLASICNE MEHANIKE
Klasicna, Njutnova mehanika, a narocito Galilejeve transformacije, su bazirane na pretpostavci da je tok vremena identiem u svhn sistemima referencije.
Pokazali smo da je: ova pretpostavka u biti netaena. Naravno, p(')stavija se pitanje: kako je mogla ova teoTija da se uspjesno primjenjuje u praksi nekoliko stoljeca i davala "korektne" odgovore. Cak, sta vise, nastavili smo da izraeumvamo kretanje nebeskih tijela, svemirskih brodova, automobila, brodova, itd, , na bazi Njutnove mehanike koristeCi Galilejeve transformacije i dobivali smo izvanredne rezultat(', Zar nema neke kontradikcije ovdjc? Ipak, kontradikcije nem'.).. Stvar je u tome da se gore pomenuta ti;ela krecu brzinam'l koje su mnogo m3.nje od brzine svjetlosti u vakuumu, U tom slucaju se relativisticke jednacine automatski svode na Njutnove sa taenOsell koja je dovoljna za sve prakticne svrne. Ovd;e se namece jedan vrlo znaeajan zakljucak: teorija relativnosti ukljuc:uje Njutnovu mehaniku kao granicni slucaj mehanike za fenomene Cija je brzina znatno manja od brzine svjetlosti u vakuumu.
Razvoj teorije relativnosti u odnosu na kiasicnu mehaniku predstavlja tipican primjer kako se nauka inace razvija.
Bilo koja naucna teorija opisuje izvjestan domen fenomena sa odredenim stevenom tacnosti koji zavisi od nivoa razvoja nauke i mjernih tehnika. U daljnjem napretku nauke ukljucujemo sve vise i vise ra~tegljiY domen fenomena. U isto vrijeme stalno raste tacnost nasih mjerenja,
Na izyjesnom nivou nauke rnozemo utvrditi da stara teorija ne moze vise da ob· jasni novomkrivene fenomene. .Zakljucci stare teorije se sUkobljavaju sa novim 6-· njcnicama. Tada se razvija nova teorija, .cesto fla bazi potpuno novih principa. Ali, nova teorija ne odbacuje staru kao potpuno pogreSnu. Ona ukljucuje rezultate stare teo· rije kao granicni siuca; za domen fenomena koje je prethodno dobro opisivala,
Brzina svjetlosti c je vrlo velika u porcdenju sa velikom veeinom brzina koje uzimamo U obzir na Zemlji; Zato je kolic-
v ~. v nik ~ veoma mali broj, a kolicnici -- 1 ~,
C c2 c2
takode.
5
3
2
1
e-~--I )
---t I V
I ,I, o 0,4 0,6 1,0
SHka 7.8.
To znaCi da je koeficijent A I
--- praktl'cno I'ednak )'edinici za veliku
J~~~ veCinu brzina (s1. 7.8), a to opet znaCi da se za veliku vecinu problema s kojima se susrecemoJ Lorencove transformaci;e svode na Galilejeve.
187
7.8. RACUNSKI PRIM)'ERI
Zadatak 7.
Odrediti relati,vnu brzinu itapa aja -je izmjerena dulina jednaka 1 2
njegove dutine- I da
miruje;
Rjelenje:
_ ~)2 "
L ~ du!ina stapa u kretanju.
L' - dtdina stapa u mirovanju,
v - brzina kojom se stap kteee.
c '_., brzina svjetlosti.
Zadatait 1.2
v'
" 3
4
11 = O,866c~2.598 ·l06~. ,
. :sre~je vrijeme fivota neutrona kao slobodne &atice u miru je 15 nUn. On se &pontano deztntegnra u elektron~ proton j neutrino. Kolika je prosjetna minimalna brzina kojom ne no mora da napu!)ti Sunee da hi stigao do Zetnlie prije ne-go se raspadne? u n
RjeIenj~:
188
r'
R
v = .------,- ,
("'C' I)" lRa +
f) = 0,4856 c.
- vrijeme : ivota neutrona pri kretanju hrzinom !!~
t' - yrijeme !ivota nelltrona~ koJi mirujl::
c =:3 -lOSmjs.
Zadatak 7.
Koiiko je rastojanje koje prede pion (pi~mezon) prije S\'og raspada ako mu je brzina v= O,99c, a vlastito vrijeme iiivota -r = 2,6' 10-'s. Koliki hi bio taj put ako nema relativistii""'<: dilatacije vremena? Rastojanje se mjeri u laboratorijskom sistemu referenciie.
Rje!enje: 0,99 - 3,0' lOs. 2,6' iO-~
l "' .. v-:: =- m
( V') , 1 -~-. "
10 '= 'V'fo = 0,99·3' 1(,8. 2,6' IO-ij = 7,7 m.
Zadatak 7.4
Nab sopstveno vtijcme zivota ccstice aka je njena brzina u vakuumu ispod brzine svjetlosti 0,2%, a rastojanjc koje putujc prije raspada je oka 300 km.
Rje1enje:
3> lOr.. 0,998 . 3 -'-TOu· . (1
"fn = 6,3· 1O-~ s.
Zadatak '1.5
Astronaut treba da ide do zvijczdc na udaljenosti 5 svjetiosnih godina. a) Izracunati brzinu njegove- rakete U odnosu na Zemlju taka da je vrijeme koje mu je za to potrebno, a mjereno nje. gOYim sopstvenim casovnikom, jednako iedna godina. b) Koliko bi bila potrebno vrijeme za ovu misiju karla se mjeri casovnikorn na Zemlji?
Rjdcnje:
yo T~""~---"
(1 _ ~;)2
V
T
1"v
.,'
5 v =- ----.---~-
v
5 v = -··~·~·c = 0,98058 c
";26
T~" v
5, ~----god
0.98058 c
T = 5,099 god = 5,1 god
189
Zadatak 1.6
" v'= ----~ + T" .• .
'it' = .-----.- •
(
SI Y ;. + Til)
U dvije ia&e nekog inercijalnog ,referentnog sistema koje su udaijene za rastojanje 1 = = XI! - Xl dui ose X, de§avaju Ie dva dogadaja simultlJ.Do. Naci yremenski interval izmedu dogadaja u proizvoljrio.m inercijainom sistemu referencije.
Rjelenje:
t~ - t1 = O. jet u datom sistemu refercnci;e oba dogada;a se· deiava;u simuitano. U proizvoljnom inercijalnom sistemu referencije je
, x,f) XlV
t: + - '1 -7 Iv -; = t; - t; = --I -,'-- =.----71"
(l_;)Z C~(1-_'~)Z
gdje je v brzina novog sistema referericije. Znak vremenskog intervala zaviai od znaka brzine tj. pravca kretanja s.istema referencije. -"
8. HlDROMEHANlKA
8,1. UVOD
Crotovn da nema grane tehnike gdje se ne koriste rezultati dobiveni proueavanjem kretanja tccnosfi iii gasova. U masinstvu postoji Citav niz' masina kojekoriste snagu vode, pare i1i gasova. HidrauIicne pumpe i rurbine, gasne: i parneturbine, kompresori> motod s unutrasnjim sagorijevanjem - sarno su primjer takvih ma~ina, Proracun vodovodnih i kanalizacijskih postrojenja zasniva se na proucavanju kretanja vode u cijcvima. U gradevinskoj tchnici razni objckti, kao sto SD piovni kanali, vode za navodnjavanje, prelivi, brane, nasipi, akumulacijska jezcra, l"ucka postrojenja ~ sve to ne hi moglo hiti izgradeno bez poznavanja fizickih svo;stava vode i zakona njenog kretanja.
Glavna osobina tecnosti i gasova, ko;a ih razlikuje od cvrstih tijela, ;e. .. te velika pokretljivost njihovih d;eliea. Zato se oni zajcdnicki prouCavaju pod imenomfluidi, tj. tce-nosri u sirem smislu rijeCi. Medutim, tcenosti i gasovi se medusobno razlikuju; dok su gasovi lako stisijivi (gustoCa im se lako mijcn;a), tecnosti su gotovo nestisljivc (gustoca im sc, pri poveeanju pritiska, vrlo malo mijcnja: kod vode, na primjer, porastu pritiska za 105 Pa odgovara smanjenje zapremine za 0,05%). Prema tome, teenosti i gasove mozcmo zajednicki tretirati kao fluide sve dok je promjena gustoce zanemarljiva.
Pokrel1jivost djeliCa tecnosti pri njenom kretanju, izaziva, zbog dodira susjednih siojeva sa razliCitim brzinama, unutrasnje trenje. Cesto kazemo da je trenje ona; otpor koji tckuCina pruza promjeni oblika u vidu tangencijalnih sila na nekoj plohi. Ova osobina fluida naziva se viskoznosL Svi reaini fluidi pokazuju u vetoj iii manjoj mjeri viskoznost i ona :?:avisi od prirode fluida i veliCine njegove deformaci;e. Fluidi, koji S1.1 takvi iii koji se nalaze pod takvim okolnostima -da im se viskoznost moze zanemariti, nazivnju se idealn£ fluidi, dok se rcalni fluidi nazivaju viskoznim fluidima. Idealnoj tecnosti dajemo jos i svojstvo potpune nestisljivosti.
Hidromehanika, nauka 0 fluidima, dijeli se na hidrosratiku, koja prouCava fluide u miru, i h£drodinamiku~ koja se havi fluidima u kretan;u. Specijalna grana hidrodinamike, koja posebno prollCava proticanje gasova i vazduha, naziva se aerodinamika.
Klasicna hidromehanika, koja za objekat istrazivanja ima iskljuCivo idealnu teenost) proS-Irena je, silom potreba prakse, hidraulikom, koja se u svom istrafivanju oslanja, uglavnom, na eksp(>riment, tj. izucava reaIne teenosti.
190 191
8.2. HlDROSTATIKA
8~2.:L Specificni pritisak
Razmotrimo tccnost koja se nalazi u ravnotezi~ a to-maci da se po;edini njeni dijelovi ne pomjeraju, kako uzajamno, tako i U odnosu na tijela koja s njima granite.
Ako u mislirna i:Zdvojimo neki kvantum teenosti) onda ;e jasno da dijelovi tecnosti) ko;i ga dodiruju po granicnoj povrSini, uzajamno djeiuju silama jednakim po veli(-ini~ a suprotnim. po smjeru (s1. iLl). Te sile moraju biti okomite na !:..S jer bi, u protivnom. tangencijalna komponema dove1a cestice tecnosti u kretanje i ravnoteza bi bila naruscna (s1. 8.2). Sila AF~ uZeta l1a jedinicu povrsine~ naziva se pritisak u teenosti pa je
(8. j)
Ako je siia, s kojom tecnost djduje fl.:." povrsinu !'is':, r-aspore-dena po njo} nemvnomjerno;> izraz (8.1) odreduje stedr;ii prifisak.
Pritisak u jeanoj tacki, koji n<lzlvamo 'p"d,fi{,ni pyitisak, nobije-rna nakon granicnog prelaza kad D..S~' O.
Spccificni pritisak nije sila u fizikalnorn smisiu (sUa u jednoj tacki povrSine S jednaka je nuli), nego matcmati':::ki pojam U slnisiu gornje definicije. Specificni pritisak., iIi, napr()sto~ pritisak, mijenja se od ta,;ke do tacke i stoji okomiro na demeum povrSine u datleno} tacki.
Pod pritiskom p -u nekoj tacki M tluida podrazumijeva. se skalarna vdiCina Cija vrijednost odgovara povrsinskoj sill normalnoj u !OJ tatki na povdini. Zam je elementama sila pritisku. dF} koja dje1uje na element dS povrsine S~ vektor jednak pritisku p pomnozenim s usmjererum elementom dS povrsine S i sa (- 1) jet su smjer sHe pritiska i usmjerenog elemt!ma piwrSine suprotni.
dF ~ - pdS. (8.3)
Pritisak postoji u fiuidu bUo da fluid nuruje bilo da se krecc. Zato treba praviti razliku izmedu ova dva slucaja. Prit1sak pri mixovanju fhilda zove: se staucki prilisak.
Sila izazvana statickim pritiskom ima dva vaZna svoistva: a) uvijek je normalna n.a svakoj sr-.ramoj iii -zamisljenoj povrnuu u fluidu;
192
b) vrijednost ,joj je ista u jednom mjestu bez obzira kako je povrsina orijentisana.
Prvo svojstvO je oCigledno, jer kada bi sila statickog pritiska stajala pod nekim uglom prem.a normaE na povrSinu, uvijek bi se mogla rast~~viti na ko~?ntu u ..pravcu normale i nu komponentu u tangentnoj ravni, kako je to prikazano nasTici 8.2. Ova druga komponenta bi izazvala klizanje fluidnih djelica i ravnoteia bi se poremetila .... Zato, kako smo vee ranije istakliJ maze postojati sarno normalna komponenta koja pritiskuje fluid ne kvared ravnoteiu.
Drugo svojstvo pritiska treba tek dokazati. '-
Poznato jeo cia kroz jednu tacku moze prolaziti bezbroj raznih povriiina i pod razliCiti!n uglovima. Dokaz Cerna izvesti ako dokazemo da staticld pritisak ostaje isti u pravcu normale svake oti. tih povriiina. Ako se huz rntku M (s1. 8.3) povuku koordimnne OSe
X. y~ Z i lUi ulima sc uoce: neizmlerno mali odsjei.~~i dx) dy~ ,dz pa se njihovi ksajevi spojc izJvojicc se u nui· du neizmjerno lnaIi ter..raeuar M..<4BG. On mimjc:, pu. se odmah mog:n H:1pi~8,ti 115-lovi 7.a njegoYu ravnoteiu pod. dejsrvmn normalnih sila P!i~ P;:: i P", (norlnaino na povrsinu ,A,Be).
Zapreminske sile (le:hna) ne ulazc u racufl jet' Sli zanemarijiv(; prcma siluma pritiska u tacki. U srvari) pov:rSinske sile su srazmjcrne ocigovarajucim, povdinama, dakle, U -ovom sluCaju povrSinama d.x • dy,. dy . dz, dz . ax, Svc su to D1.:J.ie veli·e
Cine dl'ugog retia. Zapreminske sile) medutim; srazHl,jerne su zaprcmini fl,uida 1;. proizvodu dx . dy . dz. One su, dakle, male vc1iCinc- tree-eg reda i Z3tO se vclicinama drugog reda mogu z.mcmariti, 1z uslova da zbir projekcija na svakoj koordinatnoj osi bude jednak nuli, dobiju se jednacine
P;r = Pu. cos (u, x). p = - . cos (u. y),
(8.4)
Ako St~) na pl'irnjer, prva jednaCina podijeli povrSinom S", strane BMC tetraedra, bite
P", P" - ' , ----.:.-= - (;OS. l,U, Xl. Sx S;r ,
(8.5)
S,,> 5(1 i S'j> jesu projekcije stram:: Sid na odgovaraju(;e koordinatnc ravni, pa je
te je zato
Sx ~.:::: Su cos (u~ x) '\ s, ~ Su cos (u, y) .1
S, ~ Su cos (u, z) .
(8.6)
(8.7)
193
Ako se potraZe granicne vrijednosti smanjivanjem na nulu strana tetraedra,. izlazi da je P;l; -::=- Pu' SHeno tome izlazi da je Py = Pu i PI; = Pu~ odnosno uopste je
(8.8)
To dokazuje da ;e statiCki pritisak u nckoj tacki jednak u svim pravcima koji kroz tacku prolaze.
Jedinaca- za pritisak je N - ~ Pa (Paska!). "..."
f·L2.2~ Prltisai: u mirnoj tecnosti
Ako u recnosti (iIi gasu) ne hi bilo zapr-eminskih sila, tada hi uslov ravnotezc bila konstantnost pritiska u citavoj zapreminl sto je sadrZina Paskalovog zakona.
Zaista;> aka u tecnosti izdV'ojimo malu cilindricnu zapreminn visine l\l i osnove AS (51. 8A) i pretposmvirno da se u taCkama na odstojanju 1:::'/, pritisak razlilmje 'Z<l At, tada bi. duz ose- cilindra djelovala sila tlpAS koja hi pokTcnula tct:nost i ravnote7.a hi bila narusena.
SIika 8.4. Stika 8.5.
Prema tome, pri odsustvu zapreminskih sila) u stanju ravnoteze~ u svakoj tacki teenosti je p = const.
Kakav je FdSpored pritiska pri postojanju zapreminskih sila? U teenosti ponovo izdvojimo zapreminu oblika horizontalno postavljenog valj
ka presjeka AS" Posto je zaprenllIlska ·sila usmjerena po vertika1i, duZ ose valjka c_e . djelovati samo dvije sile, p 1!l.S i p",Il.S. Iz uslova ravnoteze proizlaziPl=P2 8to nas navodi na zakljuCak da u svim tackam,a teenosti koJ.e Ide na istom nivou (tj. u isto; horizontalnoj ravni) pritisak ima istu velieinu.
Izdvojimo sada cilindricnu zapreminu tecnosti tak0 d.a njcna -osa bude vertr..: kalna (sL 8.6). U ovom slueaju ce d1.i'z nse valjka, ostm sila pritiska fla osnove,. dje10vati zapreminska sila pghA.S jednaka tezini valjka jer je
Q ~ mg ~ pVg = p!;Shg. (8.9;
Sada se uslov ·ravnoteze izrazava reladjom
p,!;S ~ p,!;S + pghiJ.S, tj, (8.10)
P2 = PI + pgh.
Sile pritiska po bocnim plohflID3 se medusobno uravnotezu;u zbog Cinjenice da je pritis.ak: u tackama na istom nivou jednak, 0 cemu je bilo rijeci na pocetku ovog pogiavlja.
194
Iz relacije (8.10) zakljucujemo da se pritisci (P. i P2), na dWi r8zna nivna~ razlikuju za veHCinu. koja je brojno jednaka tefjni vcqikalnog s:tnha tecnosd,. ko;i se nalazi izmedu tih nivoa s povrsinom presjeka jednakoj jedinicL
r I ,"
A
I .-
r Slik({ ftJL
la.S ta(';ku B n~ vrhu gdje tisb izmedu live civije
)13, tC(x\(y:-r u
"))iO;Wl,i,,,,,n nivou i nc:ka jc '><'i,i,.,'· jednak e"'11'sf,crsKom
wda
P - jJ" = pgh
H
h\" na fd {L7. ;';)f:ki
Primijdimo jos cia noEk .<;ud<) lie Uiice n" pritisak i cia pritisak ;';i)', is), isldju :_\\T' od visine stnba tecnosiL
Ako sc izvjestun broj 51JdoV3 ra7;liCitih o'blika fi1Cdusobno kac na slid fL8; teen-ost koja se sir a u njih imacc isti nivo u s\'ukorn sudH.. Prij0 nego Sin su zakoni hidrostatike bill potpuno shvaceni, ova pojava je izglcdala cudno i l1aZY,ma je "hidrostatrcki paraaolzs"
Na prvi pogled izglcda da na fino snelu C neba cia djejsr,rujc "\n(;i.I-)rit.i~>J.k n~:g() na dno suda B i da hi tee-nost iz C trebala da preIa4';i u B. Ivl(';chmm, Jednacma (8.10) tvrdi cia pritisak zavisi sumo od dubine ispod. ~ovrSine. ~ecnosd;;- ~ nc. od. O?~. lika suda. Posto je dnbina tecnostj u svakom sudu Ista, pntlsak na ano Ie t:5'O. 1 sistem je~ prema tomes u ravnotezi.
195
8~2~3. Hid:rostatiNd potisak (Arhimedov zakon)
Vidjeli smo da hidrostaticki pritisak zavisi iskljutivo od qubine na kojoj ga mjerimo) tj. da je taj pritisaK razlieit na raznim nivoima. Upravo zbog toga, na stranice tijela uronjenog u teenost djelovace razlicite site pritiska po!;to su stran~ce na razlit.-itim dubinama. Rezultantu tih sila nazivamo, potisak i ona Ce nastojati da pomak.:le uronjeno tijdo u pravcu svog djelovanja.
U tijelu, koje smo uronili u reenost) zamisiimo I1:a;prije neki elementami, hOrlzontalni cilindar koji presijeca tijeio (s1.. 8.9). Na vanjskim piohama, koje su isjeeene izvodnicama cilindra:. vladace sile pritiska u smjeru ose cilindra date jednacinom
Stika 8.9.
gdje: je dS", projekcija spom.enutih ploha u ravninu okomitu na ,os cilindra. Sile dE ix i dr'?;; su jednakog intenziteta a suprotnog smiera te je njihova rezultanta jednaka null. Prema tome~ u horizontalnom smjel'u nece die10vati na tijelo nik:akva sila.
Kod vcrtikalno postavljenog elementa.rnog cilindta bice, medutim)
(8.!3 ) dFllJl ,= PCh'ldS",
fl' unacemo razliku sila pritiska i rezultamna sila dP ce djelovati prema gore jer su sile pritiska rut donju plohu vc..u od onib. na gornju plohu; tj.
dP ~ dF" - dF" = pg (h, - h,) dS,> oduosno
dP = pgdV,
(8.14)
(8.15)
gdje j.e d V zapremina clementarnog ciHndra ogranicena gornjom i donjom. plohom tijela. Prema tome) rezultujuCa sila - hidrostaticki pritisak ;e
p= pgJdV= pgV (8.16)
196
gdje je V zaprernina tijelaJ
odnosno zapremina istisnute tecoos~i. Vidi::no j "_~ak:e, da je potisak jednak tezini teenosti koju je tijelo ~stisnulo svoJom zaprcn,mo~n. SHa P mora prolaziti kroz tefiste istisnute zapremme.
Ovo je upravo saddina Arhimedovog zakona koji kate da tijelo potopljeno u teenos: olaks~ prividno za tezinu niime istisnute teenost!. To Je razumljivo, jer sila 'potiska djeluje nasuprot tezini tiiela G ~~ mg (s1. 8.10). . Ako je G ~ P tijeio, ce prepusteno sarnO seb,i,
. tonmi, lebdjetJ. iii isplivati na povrsinu. Pri H!me cc djelo, dok jc uronjeno i prepusteno samo sebi) :-::uzeti stabilnu poziciju) prema vertikali tako da< tCZiS~C tijela T.r bude ispod tezista isusnute zapremme te~·: nosti (istisnine) T i • Tako, na primjer, U brodogr~d.nll nije neophodno sarno cia brad plovi, vee <ia ~:liO\:i us: pravno u stabilnoj ravnotcii i bez preirnaflj3." _ Zbog toga Enija djelovanja sile potiska trcba cia pf(~~aZ1 k:'oz ~d:ina i sib teziste broda i d.a uspostavljeni. spreg, koji nDC .~li~:i:~ch'-a nagnutog brodu; sila potlsk:J ymca brml t!. SL1blllH
,)'/lka 8.11.
To ce st. de-sili samo onda ako te-l,lste tijda, ostane ako pravac uejsrva sile P presijeca pravac .YY 11 tacki kuja nas lHcka A).
~t2.4. OjicI'(P.'e jednacine ZHI Ini:rni fluid
lc:!,~::;r'
vis;) tt'::hh,\
Neka je V zapremina prolzvoljne fluidue rnase, a ,~ g",wiiCn," nu"d:,n te ;~¢.premine (s1. 8.12).
Neb je jos P rezultanta zaprerninskih sila po pritisak po jedinici povrsine.
Ua bi fluid mirovao, potrebno je da zbir svih o;ib, ko~irnu Ie i2l ,"-,w
jednak nuli.
N~ ?jevlit ~premine d V djeluje zapreminska sila pFdV a na fluid u dje.loj zn.pre<min! ,Slut
Jp FdV. v (8.17)
!'ovriinske sile u unutra.sojosti, fiuida uzaJamno se ponistavaju jer na svaki element dS d~e pO~rSine dviju e1ementarrtih susjed~ nih ~prenuna) djelu;u sile pritiska r,dS ipd~ lste po pravcu i veIicni~ ali suprotnog sm)era. !-~to preostaju jedino sile pritisl.r;<l koje dje" IUJ"3 na. demente dS granic-ne pnvrsine oko fIUJdne mase. Svaka od e1cmentarnih sila pdtiska iznosi ._-pd5'J a svc
- SpdS l8)
UsIo\' za ravnoteZll Hoc'cue fbidik rna." se zahtijcva cia bude
JpFdV- JpdS~,O. v
Ova ce 'Ie jednaCina znatno uprostiti akC! sc povl"sinsJd zapn':minski. Na osnovu Gausnve tcureme bi ce
Ip dS ~ f gradp dV v '
p.a usIaV' z:ot ravnoteiu :~ada posta;e
JCpF - gradp) dV C~ 0, v (8.21 )
Kak.o !C ~ap~e:rl.i~la V proizvoljna, tada izraz u zagradi mora biti jcdnak nUl! Ie na taj rtacm lZiaZl da Je
- 1 F ~" grad 1'.
p
-;. (?:J~nj~ j~dna7ifk'1. prcd~~avlja Ojler~vu )ednacinu za i1uid datu i.:l VC:ktGfskom o.lhh,. r fOJektoVitHlem sua na koordmatne OSe dobiju se tIi skalamc jedl1aCine:
1 op =--;
p ox :F, ~ .:, o}' p Of?:
(8.23 )
. Ojlerova )e~nac~na dopuSta ~a se i?Wede vrlo vatan zakljucak 0 pdrodi siia ~oje ~ogu ~zatl !1.u1d u, ~avnote.t!. Ako )e fluid barotropan i" prema tome, glL'l-tina s~mo I~nkcl}.~. prItlska (lh konstantna)~ moze se uvesti nova funkdja ¢ (b) defi-nlsana ,ednaCl.i1-()lU • -
198
dp <!>(P)=f~~
p (8.24)
eiji ie izvod
<1>' (p) =~. p
Gradijent od <I> (p) je 1
grad <!> (p) = <1>' (I') grad p = - gradp p
(8.25)
(8.26)
a time se jednacina (8.22) preinaCuje u F=grad <I> (P). Od~tle sHjedi da zapreminske sUe moraju biti konzervatiwe. One tada imaju potencijal i mogu se napisati u obliku F = grad U. Funkciia U bice, prema tome, data jednaci'nom
dp U = <!> (p) == f- .
p ,8.27)
Dakle, karla je gustina konstantna ili je funkcija sarno pritiska. jedlno sile koje imaju potendjal mogu odrZavati ravnotezu fluidnih masu. Vazi i obratan stay: ako zapremin.'>ke sHe imaju -potencijal, onda je ravnoteia fiuida moguCa pod uslovom da je gustina konstantn.a iii funkcija sarno pritiska.
83, HIDRODINAMlKA
Zbog lake medusobne pokretljivosti pojedinih elemenata tecnosti, brzina svih ima, uopste, na razlicitim mjestima tekueeg medija, razliCiru velicinu i smjer. Mi c-emo, medutim .. u pocetku razmatrati tz\1. idealnu teenost (fluid), tj. onu teellost Imja je nestiSljiva i kod koje nema unutraSnjeg trenja iii viskoznosti, tim prije 8to He kod mnogJh tecnosti takve tangencijalne sile mogu zanemariti u poredenju sa gxnv!tacionim silama koje pOllen od razlike. pritisaka.
Ih bismo opisali kretanje tecnosti, bilo hi potrebno zadati putanju i brzmu kao funl(ciju vre.mena za svaku eesticu teenosti. Takav naein opisivanja razradio je Lagranz (Lagrange). No, kretanje tecnosti mozemo opisati i na drugi naCin ne prateCi Cestier: tccnosti, vet po;edine racke prostora. Za SV'dKU tacku prostora ow·ediU bismn vektor hrzine kao funkciju vremena. Ovo je Ojlerov metod. Svcukupnost vektom v -z<''ldanih za sve taCke: prostora, ob-ra%uje tz,v, polje vektora brzine, koja se moze prika:r.ati na slijedeCi !lacin: u tecnosti, koja se krece, konstfuisimo takve linije da se njihova tangenta u svakoi mcki podudara po pravcu sa vektonull v (s1. 8.13). Te krivulje se zovu strujne [i''Jijt.
Slika 8.13.
Gesthm strujnih linija karakterizuje odnos hl'oja liuija llN i povrsine IlS kroz koju stru;ne Hnije okom.ito prolaze. Dogovorimo se cia strujne limje konstruiramo tako da njihova gustina bude proporcionaina velicini brzine. Tada mozemo, na osnovu slike, rn:zmatrati ne: samo smjer, vee i veiiCinu vektora u raznim tackama prosrora:
199
t<lmo Je b;:zina \T(;(':a strujne liniJ(, ce biti gusce i, obrnuto~ gdje je brzina mania stfujne- linije ce bid rjede. _
Poste se veliCina i smjer vektora V u svakoj tacki opcenito mijenjaju s vremenOffi, to se i sli.ka slfujnih linija neprestano mijenja. Medutim, ako vektor brzine u svakoj tacki ,pI"OS1:Or3. ostajc konstaman, onda je strujanje stac-ionarno i svaka cestica tecHosti prulazeCi kroz G,at'Ll tacku prostora ima ttl istu brzinu v. Slika strujnih linija sc pr-i staclonarnom pnnicanju ne mijenja, pa se srrujne linije u tom, slucaju podti-:.LarLlju s pvr::lnjarna (:estica, Dio tecnosti, koji je ogranicen stru;nim linijama naziva
Vekwr brzine ii rang~ndjalan je na srrujne linije pa, prema tome, sIfujne cijcvi, sto znaCi d.a teenost pri svom kretanju ne moze
ziduvc slfujnc ciievi.
.5:,' stnijnc cijcyi, koji je okomit na smjer brzine (s1. 8.14). bLi:i.1W, krer.anja ccstica tecnosti jednaka U Syill, 'tackarna tog
'''WiU'_' ,::J LruL pre,,-;jck S ce proci sve c-estice Cije je rastojanje od ;-u~mj{; od 'l!":"\l, l'j. syt- cest.ice iz zaprt~mine Sv!1.L Za ::;aulO
S·viv ~. (e h'(iZ u\'<tj presjek ZilfJ1Unina ------"'-- = S'u tecnOStL Po
Llt h~\) <),,: ;~hi..i :\:;~;;,;j \; 1.cC;Il()Sl 1-:..U)" iI' nesdsijiva, rj, guswb.t joj se ne rn.ijenju,
1( ':il.,y:;U.,. ude kroz presjek Sv biti jeJ.naka koliCini, :';T 52 (s1. 8.1.5).
S
S't'V;latp =
sa pAt,
SHfw 8.J5.
(8.28)
(8.29)
Ll'l.at{ rn,mj/;ki izraz tC01'cma () kominuitetu stfujanja primjen ..
'-L~ :'_~nc"::;' J;;, if.: Y.0J. k isk
p;JX S2) pa Be moze napisati
SV) == const. (8,30)
< luLlnt:, t) nestisljive te(;nosti velicina S1.! u svakom pres;t'.ku ueprf)mjenijiva.
slijedi da pri smanjenju presjeka cijevi, brzina pro-obnruro.
Teorema 0 kontinuitetu stru;anja moze se primijemu na °realne teeno:;ti pa Cat i na gasove U onom sIucaju kada se njihova stisljivost moze zanemaritL OdgovarajuCi proracun pokazuje da se, ,pri kretanju tecnosti i gasova brzinama Roje su manjc od brzine zvuka, s dovoljnim stepenom tacnosti oni mogu smatrati n~ stiSliivim.
8.3.3. Bernulijeva jednacina
" Kvantitativni odnos izmedu hidrostatickog pririska i brzine stacionarnog stru"" janja tecnosti utvrdio je svicarski fiziear Daniel Bernuli (Bernoulli).
Izdvojirno ~u idealnoj nestisljivoj tecnosti, koja teee stadonarno, stfujnu cije" malog presjeka (s1. 8,16). Razmorrimo zapreminu tcenosti koja je ogranicena zido .. virna strujne cijevi i presjecima Sl i .::;2, okomitim na strujne linije. Za vrijenk !it ta zapremina ce se pomjeriti duz strujne cijevi pri cemu se presjek S 1 pomjl!ra u po}oiaj S:) prosavsi put fl.l!> a presjek S2 se premjdta u polo7.aj 5:; pf'.:savsi.
Zbog kominuiranosti strujania, mora zapremina tecnostl ::1 Vv leo;!} kroz S 1 28. vrijeme ill, bitt jed:o..aka zapremini Ll V' 2> kola zu to vrijeJ:ng
kroz 3" 'l-!J.V1 = l1Vz :c;;: L\V,
Energij-3 s'.take cestlce tecnosti slol..ena je- iz cjelv::_ kinc;.id~(\ i !l,m,',c, ,let",', energije u polju SilK td.C:, ZbDg stacionarnosti strujauja se nakon vrcrnena t nalazib u bib kojoj od tacalm strihirane zapn~miH'.;, ifnu ,;,:;;D-j
brzinu (pa, prema wme~ i kineticf.u cnergiju) koJu je. ixnala cestica bJja ~;e nabziL1 u toj rucki u po(etllom mcn'nentu VIemcna. Zbog toga se prirast energije /},,E c1tuve razmatrane z?lpremine moze izracunati kao razlika energije strihiranih malih :wpn> .mim~ 6.V" i /J"V1• .
Pretposravimo da su prcsjek struinc djevi i odresci 6-.! toliko cia svim tackama svake od srdh.i.ra.ui.h. zanremina :mozemo dati ism vriiccl"xlOSt v, pritiska p i v"is1ne h. K_illeticka eI1i:rgija koju lxna dememarmi' :mprem_t:"-1 l:d> nOSh 6" Vi je
2
AVv~ ~ p ... ----,
2
if' element-arne zapremine je
En ",,"-0. 11:m1gh 1 = pAV UJh~, "'-'" pi:'!.Vgh1.'
za drugu elementarnu zaprerniml 11 V 2~ IdrH~tick'i1, ""e'gii'
i potencija.Ina en~;!'giJa
OnU3 j~!, pd.-rast energije citave fUy.xnatrane 7.apremine
2 + pAVgh,) ,
_. (r T pLlVgh,j, !
(8.36)
201
TJ idealnoj tecnosti !lema, sila trenja pa prira.. .. t energije mora birl jcdnak radu ko;i su izvrSil..e sHe pritts-ka, nad izdvojenom zapreminom. Sile prltiska n.a boCnu povrsinu okomite su U 5vakoj tacki fia smjer pomjeranja restica na koje djeluje, zbog
cega one ne vrSc rad. RazliCit od nule je sarno tad. sUa kojc djeluju na presjeke S. i 81») te S; i S~ (s1. 8.17). Po§'o se teenost nalazi pod pritiskom u svim tal:kama, na objc-' strane elementa djejstvuju sUe ka unutrasnjosti (oZltacene streliCll!1lll).
Pd '~;S'o~t;H)-i'n dcm,{;:r,rt.?\ i';'. hxhlC< t<Jck(:'; u dru&u, sHa kOj2 na Wevu SUaf'J.T,,, vr~i 1'<1c1, n B-ila knja djejst'tt.ljr;; rm, Djegov1~
n.iegovu stmnU J
kako vdH "r' c:td ill f8.z1ikg iZrr\ectu ovih d'vi}u vdicina" jednak srrw m. kix\c!)_ck~ i element.rL
rajn P03f:1'
,k:' e17 c;kpY'~t ~1,~' ;-;'·'),1-';;, d:u,y ~;trln}t\ c;k;):? c:;;,-,.t",
.4 J I~
202
J 4
f b
&
.r ;(,,,'df + j
f t
f 1'8<11 J
"
+f
f p8di , J
f pSdl.
d
J ,
(8.38)
(8.39)
Za rastojan;e od a do b i 0<1 c do d arno rekU d.a su. d,m,liru\ povrsine du7. niih mogu. smatrati konstantnim,
Tacta je , f pSdl ~ p,S/JJ,
" rj. ukupan. md je
d
f pSdl .~. P,;',"I, ,
A. ~-:: A~ -- All = P1S1 "
No} zhog reladje (8,31), koja izra7JiVa teufenlG <) kC1UtlII(J,i";:;" mo~~e napissti Z'R na1 siu,caj U obHku
KEela ]Z.lcJxtacirn,("; L:,r,n;;(~ J(lbi<.:ellW
f<.lZJ11,utrati kan da se (,dnu;e d.'lklc, U ldf;aln.nf tecn,u'Ti,
is.punjen jf; tlBhw
v'
= S,!il, = LI V
p ~.~~ + PEn + p ~ •. cnnst~ 2
drugi clan
Ako rdaciju
7)'"
+ + cons'C p 2
203
t:lan predstavljil. eJ:),ergiju teenosti koja nastaje zbog razlike hidrostati~kih p
pritisaka na presjecima 51 i 8 2 -
Clan gh predstavlja potencijalnu en.e'rgiju (po jedinici mase) tecnosti zbog visinske razlilte U odnosu na referentni nivo.
?'-> '!J2 • '.,.Jan ~ Je kineticka, energija tecnosti zbog brzme koju posjeduje. 2
Prcrna tom,c;, Benmiijeva ,ednaCina data U obliku (8Ao) kate da je ukupna vrij'.,::dnost t'nergije idealne teenost!' po icdinid mase' (specificna energija), pri sta-· (:iunar:nom kretanju na svim r.njestito..a 1.1 teenosti konstalltna..
U specijalnom slucaju" ako je brzina tecnosti svuda .lcdiwka .nuH~ rj. ako {ecnost ITlJXUle, onda .Bernulijeva jednatina pr-elz.zi u poznatu jednaCinu hid,rostatike
PH (8047)
(IUO), $1.1, liIlije t-(lka horizontahH~:. (l'l.:pada 'vistnsld ll- Bernulijevoj i Dna, za (iVU) speciialni slucaj" p-ostaje
pv~ T" 111 =
2 2. (SAg)
a) VenturiJC'l,.)a cijcv
U pr,ethodnom paragrafu smo vidjcli da kod horizonmine dievi sa r&diCiti.rn. prc-sj{~cinta brzina proticanja tecnosti je veta kod manjeg presjcka stot'uostalom~ ::;lijedi iz iednaCine kontinuiteta.
Horizontalna djev sa suzenjem (s1. iLlS) Z011e se Vellwrijeva. djev. Za presjeke 81, i 5'}, vati slijedeca Berllulijeva jednaGina~ shodno jednacini
(g.4g)~ tjo
Pi+
204
pvi P'V~ -~=p,;;+-, 2 2
~-"~-----.,~------, _._ ....... _---., ... _--,_._--
2 (8A9)
Navedena. jednaCina vrijedi strogo sarno 2:3 je.dnu strujnu cijev (elementarni !ok)~ ali ako uzrnemu da jt: brzina konstantn.a u svakom presjeku cijevi, rnoiemo Jednacinu upotrijebiti i Za tok konacnih dimenziia,
Iz jednaCiut':- kominuiteta je koiiCiria tecnosti ko;a pr()tekne u jednuj sckundi
odakle s!liedi
Kada (8,51) UVY'st.11no o.
P f 2 L
zimka para. ubacujc se u n'ii.H:or. ,,,- un ll(JSX ;w.-' tiska proizvedenog 'iJ Mpirator;:;v,,;a se tjeni uviaCi u mosferu.
b)
Prii::njenit)Jo liemulik:vu jcdrm,i>i.nu :lti
nja tecl:wsti i7. matzIti. otvonl U otvoi,nJ0i (sL nO).
Bernulheva od. n,eke Ulcke, ticanja"
P, -I. c -.-.,,~ '." " 2
u
Ako je sud veliki.h di",,;rt;'vij;(, njegov kvadrat muie z?l.nenU)xhi~
(8,50)
is
Kada ove dvije aproksim.acije primijenimo na Bernulij{.vu jednacinu., dobia~mo
P. + pgh, + pgh" (8SI)
Prem. slid (8.20) je
S{iJ;;a 8.20,
hi + hA - h'i, = H
pa je brzina isticanja
" =J2gfl
(8.58)
(8.59)
Formula (8.59) se zove ToriceHjevB croricdH) formula i prema njoj brzina isticanja tccnosti iz malog otvora. koji se nalazi ntl. d1.Jbini H il:, ... pod otvorene povrsine suda., iedmlka it kmf" njoJ brzini koju bi imalo ne-ko tijdo a.ko sIn· hodno pa.da sa visine H. T:rcha filJpon:wrn1.t'i da jednaCina (8.59) vrijedi za s.tacionarni 81u", caL tj. ako gornji nivo u sudn odr;::;nv:rrtlO na konstalltlloj visini, odnosno ale!) on:)HkD tecnosti ko1iko iSiioCc nll otve,ru<
Ak:o je presjek mlaza S", tad.rI )(~ koja istiCe u sekundi
Q = S,v = S, .j2gh.
Presjek mlaza Sf- zbog njegove. kontrakcije manji je od prcsjeka ot'lora S, Odnos
w =§~ . S
zovemo kocficijent kontrakcije, pa jl~, smjenom u (8.60)
(fL6!)
(8.62)
Kod realnih tecnosti mo:ramo uzetl u: obzir trenje u tecuosti r pa Je hrzina D.dte rwmja~ te je korigujemo koeficijentom trenja W, pa je
<l) ~ 0,97,
Q ~ <I'o/S .j2gH.
$0/ = p.
zovernQ koeficijent isticaflja) te dobiiamo da je kod realm: tecnosti
Q = ",S.J2gH.
(8.64)
(8.65)
(8.66)
K'oeficijent !l se odreduje eksperimentalno i zavisi od vrste tecnosti;o oblika otvora" od poiozaja otvora na zidu posude) itd.
206
c) Isr£canje kroz velike otvore
Kod velikih otvora treba uzeti U obzir da ce pojedine stru;nice mla;z,a Imati bitno razliciru udal;enost (po vertikali) od gornjeg nivoa, pa ce i hrzina u pojedinim tackama pres;eka mlaza biti bitno razlicita sto smo kod malog otvora zanemarivali (sl. 8.21)
Ako naplsemo Bernuli ievu jednaCinu za ,-;0. A do 2' J od B do 2" uz aproksimaciju da je V,j ::::! 'l)Jj :::::::' 0 1 da u 2 lTllaz3; koll ;dohodno i::;t1ce, vlada atmosferski pritisak PM tada kao u prethodnom odjdjku dob.i.jruUi)
v' = .j2gh' 1 = > 'ii' > v' ier ie hie > h'. (fL67)
, KoliCinu tecnosti mozcmo izracunati imeemc;iic,m 1'0 presje-ku 2l aU posto
nam granicnc kote presjeb mlaza nisu pozna!':.:;, iIltegrirarno po samom MVOru korigujuCi ovu pogreSku kocficijentom p,:
dQ = p.v 0 dh . .. /2gh-
h,
Q~ fdQ h,
gdje je b sirina pravougaonog otvora} pa JC konac:l}(>;-
d) Isticanje pod vadorn
2 f.<b
3
Aleo prema slid 8.22. kod isticanja pod vodom uzmemo z;a re.fe-..re:1Y1JJi nivo nizeg suda, BernuliJeva jednacina 7..a stru;nicu od j do "2 ce giasiti
V' Pi + P -i + pght = p,., + v~
p.-' + pgn,. 2
(1\.68)
(8.69)
(2.
(::L71 )
207
Buduci da element tecnosti- na izlazu kroz otvor struji pravoliniiski (a ne parabolieno kao kod isticanja u slobodnu atmosferu) jer je njegova tetina. uravnotezena siiorn potiska, vrijedice 7.3. P't zakon hidrostatickog pritiska~ tj. bite
p, ~ Po + pgh" (8.72) Ako je jos
Vj ~O
PI ~Po + pgtl (8.73)
uvrstavajuCi to u formulu 8.7l~ imamo pv~
Po. + pg', + pgh, ~ P. + pgh, + ~ ~ pglt,. 2
Siika 8.22.
Posto je (8.75)
biee
'V:l! = (8,76)
za svaku. strujnku_
ZnaCi" isdc.anie pod vnd(jlr~ vf~i S{;
brzinom koja je jednaka br'( tni kojom bi neko tije-io sa visine koja je jednakll vlsinilkoj faZ"'
lid izmedu ni.voa. u ova dv.a soda,
e) Razne moguCnosti slrujanja tl ot'iJorenom kanalu
U 'produzenju karlaIU iz pretbodnog slueaja idealna teenost ce~ prema pfin~ cipu inercije, nastaviti da 5e krece jednolikom brzinom 1'J (= Vi<) U kanalu sa horizontalnim dnom. Sadrlaj energije bilo kojeg elem.enta teenosti imosice
pv2 pv' E ~ p, + ~ + hpg = Po + P'1K -I- ~ + h,pg
2 2
gdje smo kal.) referentni nivo uzeli duo kafiala (s1. 8.23).
E = Po + p"" + pgt je konstantno po cijelom presjeku. Kod prnvokutnog 2
presjeka kanala, sirine b, koliCina fluida koja protiee u sektindi iznOSl
Q = f}S = "'b. (8.78)
208
U prirodi se dcsava d-a vodotok nagio promijeni reiirn, te tete dalje sa poviscnim (t x1 ) iii snizenim (t"'2) nivoom, BuduCi cia koa povisenog nivoa"isti kvantum tecnosti mora teCi manjom brzinom) i ohmuto, sadriaj energije zlista moze i kod prom;enljivog nivoa ostati isti jer se t i t$ mijenjaju U obrnutom. srnis1u. Naci Cerno novi t,o koji je s energetskog stanoviSta m:>guc.
Sadriaj energije u starom i novorn reiimu mora ostati isti, tj. mora biti
pV2 pv2 ~ + pgt = --" + pgt •. 2 2
Iz jednaCine kontinuiteta
s1ij~di
pa je, dakle,
t V'" = v-
t.
P ----- + pgt = P - -- + pgt~ v' V2(t)' 2 2 \ tx
v' ) v' pgt~ - (.p - + gl t; + p -;- t 2 = O. 2 _
Trivijalno rjesenje ovc jednacine je l,'(1) =, t, pa ciijeljenjem pg (tx -- l) imarno
odakle )C
(8. 79)
(8.80)
(8.81 )
(8.82)
(8,83)
jednaCine s
(8,84 )
(8,85)
(Negativni predznak pred korijenom, daje negativni t x , rjesenje koje ne dolazi u obzir).
Rijeslcemo jos pod kojim uslovima je [I vece, manje iii ;ednako l. PDdijdimo swga prethodnu jcdnacinu (8.85) sa t.
Dobijame
'. v' J(V')2-~ -,- = 4gt + 4g' + 2gt
Ako izvrsimo smjenu v ll = kgl, tada je
~ k + -/k'i + 8k ~~~4---
za k ~ 1 tj. v ~ --1i£; ~-~ l. t
(8,86)
(8,87)
(8,88)
Uz neixmijenjen tok (kao trivijaino rjesenje) moguce je, dakle, da se povisi nivo ako je v > ·iii ida se snizi ako je 'V < .Jgr; kod brzine toka v = -Jii, koju zovemo graniC-nom brzinom strujanja, nisu moguce promjene nivoa (s1. 8.24).
Prvi naCin stfujanja (v > ·,lii) naziva se u hidrotehnici "sibanjem", te u prirodi odgovara "brzacima". Strujanje sa v < .Jgt, kod kojeg je, dakle, moguce spustanje nivoa, naziva se mirnim strulan;em te u prirodi odgovara uglavnom)
209
..-/"""---------
o.
•• i I =:{f ~4~w. .. ,>;v..".~w ....... "·~r'-·--~~-·-', ._-, , rl w</ii ,._--....,----,-, ~$:i,~$!*§?:::liU>,¥.,.. ,J
Slika 8.24.
toku djd~e. Bn:ina in --0- sc, kako ccmo vidjeti, s brzinom napredovanja valova 11n p(YvT~ini pa sc 1) ·vczl s tim, mogu ohje vrste strujanja prepoznati jeT jc kod W',thL 2',' '-T''-J.j;:1!-;ja jHw)',c:ina zTc~\iast(l glatka (ukoeeua) zbog nerno-gucnosti valnva dn Sf' kn:f:i} llz'/odnn. .
Do prmnjene rczirrw c;rrnjanja dnla:r.i D primdi zbog promjena okolnosti koje utibl n:1 Sl:'"rnjanjc kw, n;; pmmjcna nagiba kanala, promjena profila (pre-c;jcka) k:uuh, r;).'?;r1C \c8':"", ).,3 pftr?1jer, i:zboCine dna (pragovi) i slicno.
tdcilina jC' 1'(';(:nos1:, 'fj, OTJ,f) te(':no;;;t tJ kojoj ne postoji trenje, apstrakcija, jer svaki lmD osobinu viskoz'nosti iii unutrasnjeg trenja. Viskoz-
no:.;! sc stn Kretanjc finiaa postepeno ne.~ta,je kada se odStrani
D<I b1s..-n,0 (v,'lrc-d,ili vdj;:-b'lu [;iIe koju izaziva viskoznost, razmotrirno sljedeCi s\U(;aj, D"cjjc r;.h(';e su p:)topijene u tecnost. Rastojanje izmedu ploea I ic znatrH~ od dh ploCa. Donja ploea je pricYrScena dok se gomja
n 0cin(l;:~u "1),\ i ima brzinu VIP :::1. 8.25. Da bi se gom)a ploea hujon-JT) m,ot8. Sf': '13. njE Jjelovati sHom P Ciji je intenzitet konstantan.
Ek..-;pcrin1cntCllnCJ m\'rd:nl~" d3 Teeno:';t kohl dodiruje povrsinukoja se krece ima ism br7:.i_nL~ kan i P0VfS'!n;\. l)(;krcrne place, a da tecl10st uz neI)okretnu povrsinu r\DCC miru]c Firzinc o-staJ.\h mokk111a tecnosti ravnomjemo ra~tu ako se molekuH nalaze bU}:e p:::mliCnoj pinci, kao 5m ie to dat-o na s1. 8.25. Ovakav naCin kretanja fluida ml.7iv:l .sc iall.11namim (lamina oznacava tanki sioD, tj. siojevi teenosti klize jcdni preko drugih. Po!;to pokrctna plota nema ubrzania, to znaCi da je deistvo sile kPja uzrokuje krctanie uravnoteieno silom koja ima intenzitet iste vrijednosti, djelujc u istom pravcu, ali u suprotnom smjeru i oznacena jt! na s1. 8.25. sa PtrDalde, pod dcjstvom sile F dio tecnosti koji je u nekom trenutku imao oblik abc d u sijedeccm trenutku poprima oblik abc' d' i postaje deformisan. Da hi se ovakvo krctanje odrzaio, potrebno je cia na gornju plocu stalno djeluje sila nadesno. Ta sila nastoji da povuce za sobom nadesno kako teenost tako i donju ploeu. Zato se
210
na donju pIoc1.'- mora dje10vati istom sHorn nalijevo da bi ona ostala u stanju rnirovanja. OCigledno je, iz pojave ovih spregova sila, da plote medusobno djeluju jedna na drugu tako da se djelovanje prenosi od jedn,og ua drugi .s10; kroz tecnost. Ako na bilo kojem rastojanju izmedu ploes. uocimo ravan parale1nu sa obje ploce (iscrtkana linija na 51. 8.25), tada; na osnovu izlozenog, ~juCujemo da dio teCnost~
l
Slika 8.25.
-;.
'0
iZTI9d te ravnj djduje na 'dio teenosti ispod te ravni sHorn F'n> a cia dio teenosti ispod ravni cijeluje ua dio teenosti- iznad ravni sHorn Pt~' To ujedno znaCi da odredivanjc sile visko:.mosti ne znaci samo odredivanje sUe trenja koja djeluje na place v.ei:: takcde i odredivanje sila koje djeluju izmedu dije10va tecnosti koje su u ne-posft:dnom kontaktu< Po analogiji sa elasticnom deformacijom Cvl'stog tilels. (glava 5.2)) kod fluida bi tangencijalna dcformacija neograniceno rasla sve dok napon
..z:.t; (S je povrsina ploce) djeluje. Zato se kod fluida uzima d~ je napon properS
cion alan brzini promjene tangencijalne deformacije, a ne samoj tangencijalnoj deformacijL ,!\ko posmatramo nasu sHku, vidimo da brzina deformacije iznosi dd'
kada zHipremina fluida ima oblik abc' d'. Posto je ad = I konstantno, to je od brzina prnmjene tangencijalne deformacije proporcienaina sa dd', a to nije ilista dru,go do brzina pokretne ploce vI)'
Ko;;;ficijerlt viskoznosti fluida iii, jednostavnije~ viskoznost definisana je kao
kohtnik gw,gendjainog napona !!.~,f i brzine promjene tangenci;aine defonnadje) S
ij,
(8.89)
Za tcenosd koje iako teku (kao 5to je voda) tangencijalni napon jc relat.ivno mali' za datu brzinu promj!ne tangenCijalne deformacije, pa je mala i vrijednost viskoznostL Za uija je potreban znatno veti tangencijaini napon za istu brzinu promjene tangendjalne deformaciie pa ie i viskoznost veca. Uopsteno govoreCi, viskoznost gasova je znatno manja od viskoznosti teenosti, a viskoznosti Tluida (bez obzira da Ii su ga50vi iii teenosti u pitanju) zavise od temperature pri cemu
2l!
viskoznost taste za gasove sa pono{anjem temperature; a istovremeno ,opada 'za tecnosti. To odrazava ra:zlike u rnehu.nizrnu uIJ,utraSnjeg: trenia u funkdji temperature kod gas-ova i tecn.osti.
Jednal:ina (8.89) bila je izvedena za specijaln.i slucaj kada se brzina ravnomjemopovceavala sa povetunjem rasmjanja oct donje pioce, tj.·
Moiekuii tecnosti koji s:t! u dircktnom komaktu sa plocruna ima.jn iste brzine kao i plo(~c A,ko bismo pr,ceb,oci.lYll jerl.nrlcinll diferenciraH po z~ tada bismci dobili da ie
d:v
d:(;' (8,90)
i uzim8.I} bisnv) san}(; r:o~~i,-\vnu "djt:d.nost £i!!, jer j.e dz
:aule.
i dobiti
izveucn 1.:1 SjUfIJ.l jednu di""
m,en,~r;'je;lir~;!:~ ::;Q \/i ,k, <'(1"( :r.a 00tflit:' dimeuzijl'::, ,m li odomacene
dese:: I)U1.:.t .Hlunja .lt~;dln;'::;' [\ 1. 1\,\ ~;, rniHon putlt
r3.1i u su \}Lyn11~{w_ d\'~, k,Hnnj11 fiui.da. l'i_kn bbmo to posmat~ sL ),L fl. l)" :.;,,(1;; bi,s.tYl;:) u:,,:;:HlOl.FHi d:~ za reiativlw niie
dat o~:~j~1:~,'t~eclnSt 'k <' onu 10 koit: l,t moleKule, fd:uosii 1'1f:-
Pti vc(;im, br:'r.i:n0.f:ru-i ,,,"1\1m";" poswji viSe krenmie veoma siozene slucajJ..l na bile l,ojem 111jes.nJ 'ii
nost se
strujz.a to je
a.~ iJk bn~i tolr-.t vee sarno ZL\'Jjuc.k " tome da
,miiesrulje 5tXUjruCl1, *'to ma{i da ne mii'e"mju i'ormimjuti n,epravilne i
Bl~.dna IHolekuia se U ovom staloo i hnolitno i obojena !ee
ce pO-!.toja.l'i iarninamo krctanje; g
turbulem,no brzine zav'isi
:tuiji.n!. 'llSi<Yvh'l~~' ce mrbull"il""" kretanJe, Zna se da na,<;t2.je pri ba.inama, ali graniCna vrijednost rnlmz~, kanah~j onr{l-,de povrSwe tog k::mallI i niza dru-
212
gih usl~va: ~ama analiza turbulentnog kretanja je u teotet"k . sloZena 1 zbog toga se pribjegava empirijskim zakonitost; ...... a l~ ?m P,ogledu veoma
• ' 'fl 'd "'~" loceno Ie d rasnJe trenJc , Ul a znatno povecava pri prelafoku iz 1 . a, se Uotlt-
k 'ai' l' d . anunarnogU, hI retanJe, . 1 ~an: pre az, os~m _ 0 brzrr~e, zavi~i i od viskoznosti . ':. ,~r u :~~n(,
mlaza I, kao 1 nJegove gustme e. Ostali faktori koji uticu na tecno~tl 'l'j, Sltu.e su nepravilnosti u kanalU, obrad3. zidova, oblik mlaza koj" t t~rbulen<..'liu, kao 8to tijela, se sarno na osnov'll iskustva mogu priblizno odre~ti.ece, primjese stranih
a)
-~~~S-·-"lika ~ .26.a -, ::-:--'-·-""'-,-,---,-",.:lz;:t2;c;;;;L::_~iL:C:
ida Rcjnol(l<;,(Osborm: r~cynolds) 1842 1912) lOt' D 1 '~\'\ ,,,,,,,(J (L pr '[DUd ztwisi od vrijednost.l. jednog be'ldlXllCllZlOIWl!log LtL\Ol<t
v/
dinamika fluida u okviru pos(~bno(7, 'Jredmct:)., k""I,'S',"I' Ie 1 '--~ H'- odnos)} =~
kinematicka vl,skozno~t. taka au. Re:jnoldsov brol>' e popnma slit'd['[~i -bl'l" , ~~.- 0 J~'_.
vi =-,
Mnostvo ekspedmcnai3 ie pokazalo da ukoliko k vrii,'d ")' " d 2 00·0 1- . "I 'ct·· . i-HOSt hl'IH)ll" , manJa 0" , _,renm)t;:: l l.1t ,a Je lammarno 3 'lku I'". '-, . - d ' \ {;:.ovog brom
• •• ' -, "- ,,1 vfJ.je( !lOSt 3 (lOll'· ' toga tucia Je kretanJe fluida turbulentno. Ako je vrijedn .t R . - ,1 \'tse od do 3 000) tecenle je nestabilrw i moie prelazili $ Icdn' os ~ -'u mtervalu od 2 000
R ' ,.,. ,. . ' og na urllg' " e)IloiClSO\' bn.lJ precisUlv)'Ja u stvan osnovu na k . : - t :lp. .' a1 'h "' 010) se mcw'u ISp" " sanJa re' m Slstema taKO sto se koriste Pl'Opol'c:ioxl'll <" to. !HVatt pona-, ' d ' , 1" " - < no UtIldnjem Hi') 'l'r" 1" , za to Je vaz usnt tune u, ROJCm se my::re aerodinarnick' "I- - '- ((; L nm)cr , '1." . 0< ,~C 51_ e na mod I osnovu toga zak jUt..:u,e 0 stvarnun vmednostimu Za ".,. e u, pa se no.
, -. u\U SlStema kate di 'v,_" 1";<' . ~1_ " l' "f)'vI modasu
namlCl'"l S lent, ,u<JJ je ,,<,eJlloldsov Drol" ~-- ist: ·z" eb' ' " , "'-' ~J U SlSn.~Irn, V _""
• " 1]' '-, ,Cllcma I moze bltl U osnovi bile koja dimenzija sistema, npr. luk krila avo , Z .' fl 'd ' " k . lona.. nae! d' . yl a, gu~nne" e ~ V1S. vo~nostvl '/ .u modelu Cijc: su ditnenzije U ola ' . a Ie tecen,ie
SIstema dinrumcki slicno tecenlu fluida u stvarnost,' oko ,P mllnJe oct r<.!atneg b
. .. - , . stvarno b' ~ rzma protlcanJu u modelu dva puta veta. g 0 lekta ako je
213
Ispitivanja na modelima aerodin:imickih Hnija aviona, brodova iii automobila ima- za cilj da se smanje~ sHe trenja, tj. otpor sredine kojim,se fluid suprotstavlja kretanju. nekog tijela kroz njega. I potpuno je ista situacija ako se fluid krece, -a tijelo miruje sa simacijom kad fluid miruje, a djdo se krece. SHa otpora sredine nije rezultat sarno Cinjenice da postoji trenje izmed1,1 povrsine tijela i okolnog fluida, jer pri kretanju tije10 povlaCi za soborn slojeve fluida pa sila trenja predstavlja rezultat kako kretanja tijela tako i kretanja slojeva fluida oko njega.
i845. godine je Stoks (Sir George Stokes, 1819-1903) ustan.ovio vezu izmedu sile trenja, viskoznosti fluida r;, brzine kretanja tijela kroz fiuid 1) i karakteristicne dimenzije tijela r (radijus metalne kuglice) za lagano kretanje kuglice kroz fluid takQ da se U okolni.rh slojevima ne javija turbulenfno kretan,ie. Ta re1acija
(8.94)
je poznata pod imenom Stoksovog zakona, Sila R koja djeluje na tijelo pri kretatiju. hoz tecnost iii gas mote se razloziti
na dyije komponente. Jedna od njih Q:sL 827, usmjerena je u :O;"Ll~pn_>tnom
Slika 8.27,
od kretanja tijela, a druga P je nonnalna na taj n::zuhantnc sile R se zato i zovu ceoni otpor (Q) i poti~,.n<l sila Za tHdn su ninietr.!c;na u odnosu na pravac kretanja Huida potisna sila l.sc;ezava pa 0<;taje ~mm,n sila ceoDog otpora. U idealnom fluidu (viskoznost jednalw. nuH) u kome ne postojl ;'rcnjc kre<, tanj,,· tijela se vrsi bez cconog otpora, Proracuni pokuzuju 18: jdcaIarl fluid opstrujava povrsinu tijela, s1. 8.28, a,~ tako da su struine linjje simctrib_1c, kahn u udnosu na pravu koja prolazi kroz Tacke A i C ~ako i U odnosu 118 pravu kojH kr-oz Tacke BiD. Pritisak; u blizini tacaka A~i C j~ isti (ndto "\leti ncgo- u ne-smetana] struii fluida, jer je brzina neste mania), Pritisak u ol.~oiini tacaka BiD je takode isti i nesto veti od pritiska u neSmCtal10j st:mji fiuida, jer je brziun ncstn vcca. To ujedno znaCi da je rezultanta sila pritiska na povrsinu tijda jednal;:a rmli, ~to ima za posljedicu izostajanje si1e ceonog otpora,
Za realne fluide situacija je nesto drugucija, TfUlki sId Ouida se ;.>;Q p0vr ~jnu tijela i krece se zajedno sa tjidom. Krecud sc rijdn i sloj oko njega povlaCi sljedeCi sIo;. Ovaj povla_Ci naredni sloj i uci,lljuvanjc:m eel ttjela bt'zhn 510-jeva postaje sve manja i, kOl1acno, n,a nekom ra~1:ojanju oc!. ti,jt~la fluid prestaje hiti poremecen ~bog ukrstanja tijela iii fluida ako'tijeifl, (Zarnislite trag carnca ua mir"' nom moru.)
Posto postoji gradijcnt brzim:: pdHkom kretanja sIojeva fluida, javljuju se sile trenja kaje djeiuju na tijelo i dovode do nastajanja ceonog O1.pon.'L pos!ojanje skja fluida uz samu povrsinu tijela koje se krece kroz fluid onemogucava potpuno QP_ strujavan;e fluida, pa se iza tijela javljaju vrtlozi, sl. 8,28. h<_, koji sc otkidaju od tijela
214
i postepeno nestaju zbog trenja, Sio; fluida koji je nepomican pnstoji sarno na ceono; strani tijela, sIika 8.28.b., tj. dio BAG. U dijelu fluida BDG- fluid ima srednju brzinu nuia. To je takozvani "slobodni" fluid u kojem postoje vrtlozi. Ako na ova;
..
-----1-" --
~:::::::=--= -_._.:----=--- --~ --------------------a)
c)
Siika fC!8.
slubj primijcnimo Be,[nulijcvu jcdnaC~jnll, a TO mo:I:C1TIO jer gradijem hrzinc, rj, vi~k'_)zn()st zancrn.ariv<I, pritisak u
U tOlll podruclu n1.2.1j A (12. bitl
gdje ic p pritisak u samom fluidu dakkn od tijda, Pritis3k u podruc.ju ;,sbbodncgP fluida, gdie jc brzin_3 jednak.'1 nuJi" jc
Vne!> ~=: Pc = p.
Od::nle slijedi da je pritisak p"." tj, pritis<:Ik isprcd ti.,ida vcCi ncgo pritisal;:: Pc~ tj. pritisnk iZa riid" za iZl1os.
P-ll~PC
Vidimo cia je ceoni otpor sasT<1_vljen O(l. otpora lrenja i otpora pritiska. LJtvr-' dena je da otpor pritiska zavisi od ohlik3 tiie-la (otpor forme») pa se biraju. tijela aerodinamicke imije (ohlik kisne kapJjicc, sl. 8.2l:Lc) da bi se smanjio otpor pritiska. I za odredivanje odnosa izmedu Olpora trc-nja i otpora pritiska moze nam poslu-ziti Rejnoldso\; broj, Za male vrijednosti R" dominant-an je otpor trcnja, dok sa povecanjem R~ povecava sc i velicina otpora pritiska taka da za vdike vrijednosti R" preovladavaju sile otpora pritiska.
215
8.4. RACUNSKI PRIMJERI
Zadatak 8.1
U :venikalnoj .. U" cijevi ,povr~ina u~utrasnieg poprecnog presjeka jednog kraka je S l' a drugog 3S1 < U cijev je nasuta tiva i njen nivo Sc nalazi na I === 30':::m nize od vrha dievi. Za koliko te se povisiti nivo zive u sirem dijeiu cijevi ako se u uii dio nalije voda do vrha;>
RjeJenje.:
Zbog sipanja vode u uzi krak "U" cijevl nivo five te se u !litem kraku penjatj sve dade 'dok se ne uspostavi ravnoteia' hidrostatickih pritisaka stubova vode i iive. Nivo ii,yc je prvobitno bio I em ispod vrha .,U" cije .... i. Sipanjem vode nivo tive se u jednom kraku spustio za hl em, a u drugom popeo za h2 ~ln.
Pod OYlm uslovima raz1ika nivoa zive u aba kraka cijevi bice hl --l- h2 em. Zbog ncstis·" Ijivos-ti tee-noHi ista ollolika zapreminu zive, kolika se potisnc iz uieg kraka cl)evi, mora preCi u drugi, ~iri krak ciievi, tj< mor~ bili ispunjen usiov
Posto su za siucaj ravnotefe hidrostatil:ki priti&ci U oba ktakR Gijev;' isti, to je
Pllg (l + hi) = PucK (h l + h~)
Odavde je Po (l + 3h 2) = PlIg (h~ + 3hjl)'
Zadatak 8.2
Drven.i blok. specificne tefine y = 9.687 N/m2 pliva na vodi u nekoj posudL Zatun se i7./lad vode nalije ulje sve do vrha bloka> tako da se gornja strana bloka nalazi u visini nivoa uija. Aka je specific-na tezina ulja 1'1 = 0,588 N/m%, naCi ocinos zapremine drveta koja je u uljll. i zaprem.ine ko;a je u vodi.
Rje.fcnje:
Neka :e u vodi nalazi dio bloka zapremine V.l> 11.
U ulju dio blob zapremine V 11" Na blok djeluje sita njegove tefine G = r' V = r (VI + V~), gdje je V zapremin~, cjeiog- blob. kao i dvije sile potiska: od vode F t = Y!l,vl i od ulja F2 = YAV2' U rnvnotefnom slueaju je G = F 1 + F,. tj.
'r(V~ + V,) = 'YOVI + y~Vt. Karla. se obje strnn.C ove jednatine podijele sa V t, dobil:emo
Odavcle je
( V,) V, y t + ~ = Yo + Yt _ .•
V l V l
·216
Zadatak 8.3
Homogenim drvenim §r.aporn duZine I = '5 m, tefine G = 39,24 N izmjeri se dubina jezera. H = 4,75 ffi. Koliki se fad pri ovome izvdio ako se srap potapao venikalno? Specifitna tdina drveta je y = 0,736 N/m~.
Rjdenje:
Stap ce se spontano potopiti do dubine It pri cemu se izjednaci sila potiska Fp = r~11S sa tdinOffi_lhapa G = ylS, gdje je Yo = 0,981 N/ms specificna [eiina vode, a S je presjek ~tapa.
Dahle,
Odavde je 11 = 1 ~ •
y, (lY
Peewit tome, 7.2. pOlapanje stapa do dubine [1 nije potrebno ulofid nikakav rad, vee to tid gravitacioua. sila,
U trenutku kad." st. stapom dJxiirne dno jezera, potrebno je sUorn PI savladati poiisak
(2)
KakG ova si111 U toku potapfil1!,,- stapu lincarno taste sa duhinom, to je izvrsen.i rad, pri ovom d3ljeUl, pomp-auju SU1-f)!k,
Spedhcna teziua drvel.a je G
Sl
Zbog loga je
A
y~S (H - I Y(I\ 2 -:;1"
t
pI>. je G s =--11
5,2 J.
(3)
(4)
•
U hazen se uliva pawl!:. tiji je protok Q = 0,250 m?/s. Na dnu ba;e.ena Sf: nalazi krufni otvo~ krOL koji voda is-ticc. Koliki treba da je precnik otvora da hi dubina vode u bazenu bila stalnn 1
i;e.nosila h = 3)Sm? Koefici;ent kontrakcije je k = 0,66.
217
Rjd,~nj;;:
Da hi dubina vode u bazenu ostala sta1n~, mora kolitina istekle vode iz bazena U JediOlCl vreroena biti jcdnaka onoj koliCini vode koja u jedinici vremena utice u hazen jz potoka.
Preron Toricelijevom ,zakonu, aka je n:i-...·o u bazenu na visini h, onda je brzina. isticanja iz bazena
v ~ k .Jigh.
KoHc:ina_ vode koja istekne iz bazena za vrijeme jedne sekunde je onda
gdje )'1: ;:, povr~llla otvora Zit isticanjc, a
ga,e je D tntz.cni prccnik.
h Q ~--,o Q' slijedi:
17; otvorenog} vi.kg' re.zervoara pretate se krivom nategom t(Ccn03t speciiicne teiine y = LOll, Njm 2 u nifl, on'-oren re7...ervo;u-, Najvisa taCka nategc je h = 1,8 m i:.mad nivan tecnosti
gomjeg rezervoara, dok je donji kraj naregc_, kro:? koF istice te:Cl)O~t, 11 =-"-, 3 m ispod istng nivoa. Ir.racllnati: u) pritisak u najniioj tacki -natege; b) prorok tccnosti, ako je povrsina unutrasnjeg popt~cn()g presjeka cijevl natege S ~= 1 cm2• Atmosferski pritinak iznosi pq. c= 98100Njmt . Smam.ti da ie teCl)OSL idea\na, rj. takva koja nc_ pokazuje unutrasnje trenje.
Ridcnie:
U nategi djejstvuju dVfi suproma pritiska razliCitih vrijednosti~ Kod C od()zdo navjsc, dejstvuje pritisak koji jc jl:dnak utmosferSkom prltisku nmfHljeIlom za hidrostaticki pritisak stuba tetnoEd \'isine H + n. Prema tome. pririsak u Mjuiioj tach nate:ge je
p = p,,, .. - PI = p" - y (H +, h) ~~
= 46303 Njm't.
0) Ko-i D, opel:, odozdo navise dc:jiltVtlje kroz neuo:;t pdtisak jednak atrnosfenkom pritlsku nDumjenom sarno' za hidrostatiCki pritisak: tecno~ti visine h = EA. Ovaj pdtisak kod D je veti nego an.aj pn i kod C La hjdrostatiBci pritisak tccnog stuba visine AC i zbog toga tecnost protitc lao?: nategu u pt'avcu DC pokret81{ sHom loja je jednaka ldini smba tec:nosti visine H = AC~ Protok lecnosti je Q = S'lJ, gdje je 'V brzina isticanja tel:nosti kroz otvor- C.
218
Prema Toricelijevoj teoremi brzina isticanja tecnosti je f) = ..Jiih pa {;:e protok hili
ro' 0,77· 10---3 -.
"
