1

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTETSARAJEVO

INŽENJERSKA FIZIKA I

6. TITRANJE (OSCILACIJE)

6.0. Općenito o titranju

Titranje (osciliranje) predstavlja vrstu gibanja ili promjenu fizičkog procesa koji se odlikujeodređenim stupnjem ponavljanja.U zavisnosti od prirode fizičkog procesa koji se ponavlja, titranja dijelimo na: mehanička (klatno,treperenje žice kod muzičkog instrumenta itd.), elektromagnetska (naizmjenična struja,elektromagnetski valovi i dr.) i elektromehanička (osciliranje atoma čvrstog tijela oko ravnotežnogpoložaja u kristalnoj rešetki i dr.). U zavisnosti od karaktera djelovanja, koje se vrši na oscilatorni sistem, razlikujemo: slobodnotitranje, prigušeno titranje i prisilno titranje.

Slobodno titranje nastaje u sistemu koji je, nakon početnog vanjskog djelovanja, prepušten samomsebi (npr. elastična opruga ili klatno izvedeno iz ravnotežnog položaja). Pri ovome svaki oscilator imasvoju vlastitu frekvenciju. Titranja kod kojih se veličina koja oscilira mijenja po zakonu sinusa ili kosinusa u funkcijivremena nazivaju se harmonična titranja (oscilacije). Titranja u prirodi su veoma bliska harmoničnim titranjima, ili mogu biti predstavljena superpozicijomharmoničnih titranja.

6.1. Harmonično titranje ( harmonijske oscilacije )

Promatrajmo sistem koji se sastoji od kuglice mase m koja je obješena na elastičnu oprugu. U stanjuravnoteže sila, silu težine mg uravnotežuje elastična sila k∆l0 (Hookeov zakon):

0lkmg ∆= (6.1)

gdje je k pozitivna konstanta, a 0l∆ izduženje.

2

Pomjerimo kuglicu iz položaja ravnoteže na rastojanje x, tada će produženje opruge biti jednako ∆l0 +x, pa rezultirajuća sila projicirana na osu x ima vrijednost:

)( 0 xlkmgF +∆−= (6.2)

Uzimajući u obzir uvjet ravnoteže (6.1) dobit ćemo da je:

kxF −= (6.3)

Predznak (-) u formuli (6.3) izražava činjenicu da pomjeranje i sila imaju suprotne smjerove. Sila F ima osobine:

• proporcionalna je pomjeranju kuglice iz položaja ravnoteže i• uvijek je usmjerena prema položaju ravnoteže.

U ovom slučaju sila je po prirodi elastična, međutim za sile koje se ponašaju po istoj zakonitostikažemo da su kvazielastične. Da bismo pomjerili kuglicu za vrijednost x moramo izvršiti rad protivkvazielastične sile:

2)(

2

00

kxkxdxdxFWxx

==−= ∫∫

Ovaj rad se manifestira u vidu potencijalne energije sistema. Prema tome, sistem u kojem djelujekvazielastična sila, pri pomjeranju iz ravnotežnog položaja na rastojanje x dobiva potencijalnuenergiju:

2

2kxE p = (6.4)

Izvršimo pomjeranje kuglice za x = A i pustimo sistem da oscilira. Pod djelovanjem sile F = -kx,kuglica će se kretati prema položaju ravnoteže brzinom:

dtdxv = (6.5)

3

Pri ovome će se smanjivati potencijalna energija sistema a javljat će se kinetička energija (masuopruge zanemarujemo).

Došavši u položaj ravnoteže kuglica nastavlja kretanje po inerciji. Ovo kretanje će biti usporeno iprestat će onda kad se kinetička energija u potpunosti pretvori u potencijalnu, tj. kad pomjeranje budejednako –A. Ako u sistemu nema trenja, energija sistema mora biti očuvana, i kuglica će se kretatineograničeno dugo u granicama od A do –A.

Jednadžba gibanja za kuglicu, prema II Newtonovom aksiomu ima oblik:

kxdt

xdm −=22

(6.6)

Napišimo ovu jednadžbu u drugom obliku:

022

=+ xmk

dtxd

(6.7)

Koeficijent uz x je pozitivan broj pa ga možemo napisati u obliku:

mk=2ω (6.8)

gdje je ω realan broj čije ćemo fizikalno značenje vidjeti kasnije. Jednadžba (6.7) može se napisati uobliku:

0222

=+ xdt

xd ω (6.9)

Znači, gibanje kuglice pod djelovanjem sile oblika –kx izražava se linearnom homogenom-diferencijalnom jednadžbom drugog reda. Može se vidjeti da rješenje jednadžbe (6.9) ima oblik:

( )ϕω += tAx cos (6.10)ili

( )2

;sin πϕϕϕω +=+= tAx

gdje su A i ϕ proizvoljne konstante.

Vidimo da gibanje sistema, koji se nalazi pod djelovanjem sile oblika F = - kx, predstavljaharmonično gibanje.

Veličina najvećeg otklona od ravnotežnog položaja naziva se amplituda titranja, crtež 6.2

Veličina (ωt+ϕ) naziva se faza titranja (osciliranja). Konstanta ϕ predstavlja vrijednost faze utrenutku t = 0 i zove se početna faza oscilovanja

4

Crt.6.2.

Pošto je kosinus periodična funkcija s periodom 2π, različita stanja sistema koji vrši harmoničnotitranje, ponavljaju se za interval vremena T, za koji faza dobije prirast jednak 2π. Ovaj intervalnaziva se period titranja i može se odrediti iz uvjeta:

( )[ ] [ ] πϕωϕω 2++=++ tTt

odakle je,

ωπ2=T (6.11)

Broj titranja u jedinici vremena naziva se frekvencija titranja f. Veza između frekvencije iperioda titranja je:

Tf 1= (6.12)

Osnovna jedinica za frekvenciju je 1 Hz, tj. jedan titraj u sekundi. Iz (6.11) slijedi da je:

Tπω 2=

Prema tome ω predstavlja broj oscilacija za 2π sekundi, i naziva se kružna frekvencija. Vezaizmeđu frekvencije i kružne frekvencije je:

fπω 2= (6.13)

Diferencirajmo po vremenu jednadžbu (6.10) dobit ćemo izraz za brzinu:

( )

++=+−==

2cossin πϕωωϕωω tAtA

dtdxv (6.14)

Vidimo da se i brzina mijenja po harmoničnom zakonu, pri čemu je amplituda brzine jednaka ωA .Izraz za ubrzanje dobit ćemo ako još jedanput izvršimo deriviranje po vremenu:

5

( )ϕωω +−== tAdt

xda cos222

(6.15)

Znači da se ubrzanje i pomjeranje nalaze u protiv fazi. Svako oscilatorno kretanje može sekarakterizirati određenim vrijednostima amplitude A i početne faze ϕ. Ove vrijednosti mogu seodrediti iz početnih uvjeta. U momentu t = 0 jednadžbe (6.10) i (6.14) glase:

ϕωϕsin

;cos

0

0

AvAx−=

=

Iz ovih relacija možemo izračunati amplitudu A i početnu fazu ϕ:

0

0

2

202

0

xv

tg

vxA

ωϕ

ω

−=

+=(6.16)

6.2. Energija harmonijskog oscilovanja

Kvazielastična sila je konzervativna1, pa je ukupna energija harmoničnog titranja konstantna. Uprocesu titranja dolazi do pretvorbe kinetičke energije u potencijalnu i obratno. Maksimalnapotencijalna energija se dobije kada se sistem nalazi na najvećem otklonu od ravnotežnog položaja:

( )2

2

max

kAEE p == (6.17)

U momentu prolaska kroz ravnotežni položaj sistem ima maksimalnu brzinu, tj. maksimalnu kinetičkuenergiju,

( )22

222max

maxωmAmvEE k === (6.18)

Može se pokazati da su izrazi (6.17) i (6.18) jednaki jedan drugom, prema (6.8) km =2ω .Promatrajmo kako se mijenjaju kinetička i potencijalna energija s vremenom:

( )

( )ϕω

ϕωω

+==

+==

tkAkxE

tmAmv

E

p

k

222

2222

cos22

sin22 (6.19)

Zbrajanjem ova dva izraza, dobivamo da je ukupna energija harmoničnog titranja konstantna: 1 Ako rad sile, pri pomjeranju materijalne tačke, ne ovisi od veličine i oblika puta nego samo od početnog ikrajnjeg položaja, takve sile nazivamo konzervativnim. Ako su sile koje djeluju na tijelo konzervativne, tada jeukupna mehanička energija konstantna.

6

22

222 ωmAkAEEE kp ==+= (6.20)

Koristeći poznate trigonometrijske formule možemo izraze za Ek i Ep napisati na slijedeći način:

( ) ( )

[ ] ( )

+−=+=

++=+=

ϕωϕω

ϕωϕω

tEtEE

tEtEE

k

p

2cos21

21sin

2cos21

21cos

2

2

(6.21)

Vidimo da se Ek i Ep mijenjaju s frekvencijom 2ω. Srednja vrijednost kvadrata sinusa i kosinusajednaka je jednoj polovici. Prema tome, srednja vrijednost Ek podudara se sa srednjom vrijednošću Ep i

jednaka je 21

E.

Crt.6.3.

7

6.3. Harmonični oscilator

Sistem opisan jednadžbom:

0222

=+ xdt

xdω (6.22)

gdje je ω2 konstantna pozitivna veličina, naziva se harmonični oscilator. Kao što je poznato, rješenjejednadžbe (6.22) ima oblik:

( )ϕω += tAx cos (6.23)

Prema tome, harmonični oscilator predstavlja sistem koji vrši harmonična titranja oko položajaravnoteže. Obično u teorijskoj fizici količinu kretanja nazivamo impuls i označit ćemo ga sa p. Izračunajmoimpuls harmoničnog oscilatora:

( )ϕωω +−=⋅= tAvmp sin (6.24)

U svakom slučaju oscilator pored otklona x, ima još jednu karakterističnu vrijednost, p. Napišimogornje jednadžbe (6.23) i (6.24) na drugi način:

( )

( )ϕωω

ϕω

+−=

+=

tmA

p

tAx

sin

cos(6.25)

Kvadriranjem i zbrajanjem dobivamo:

12222

2

2

=+ωAm

pAx

(6.26)

Grafički predstavljen impuls harmoničnog oscilatora u funkciji otklona x, daje elipsu. Koordinatna ravan (p,x) naziva se fazna ravan a odgovarajuća kriva fazna putanja, crtež 6.4.

8

Crt.6.4Površina elipse2 jednaka je:

22 22ωωπωπ mAAmAS ==

odnosno,

Ef

S 1= (6.27)

Znači, ukupna energija harmoničnog oscilatora je proporcionalna površini elipse, pri čemu jekoeficijent proporcionalnosti vlastita frekvencija oscilatora:

SfE ⋅= (6.28)

Površina elipse može biti izračunata i kao integral pdx∫ pa se formula (6.28) može napisati i uobliku:

pdxfE ∫= (6.29)

Ova posljednja relacija, odigrala je veliku ulogu u izgradnji osnova kvantne mehanike.

6.4. Slaganje harmoničnih titranja

Pri istovremenom djelovanju više različitih elastičnih sila na oscilator on će vršiti složeno gibanje,koje će biti jednako geometrijskom zbiru pojedinih oscilacija. Rješavanje ovih problema, posebnoslaganje oscilacija istog smjera, znatno se olakšava ako se oscilacije predstave pomoću, tzv. vektoraamplitude.

Uzmimo jednu osu koju ćemo označiti sa x, crtež 6.5. Iz tačke O, koja je uzeta na osi, povucimovektor dužine A, koji sa osom obrazuje kut ϕ. Ako taj vektor rotiramo sa kutnom brzinom ωprojekcija vektora će se pomjerati po osi x u granicama od –A do +A, pri čemu će se koordinata teprojekcije mijenjati s vremenom po zakonu:

( )ϕω += tAx cos (6.30)

2 abS π= , gdje su a i b poluose elipse.

9

Crt.6.5.

Prema tome, projekcija kraja vektora na osu x vršit će harmonično titranje s amplitudom koja jejednaka dužini vektora, kružnom frekvencijom koja je jednaka kutnoj brzini rotiranja vektora ipočetnom fazom koja je jednaka kutu koji obrazuje vektor s osom u početnom momentu vremena.Promatrajmo slaganje dva harmonična titranja istog smjera i iste frekvencije.

( ) ( )222111 coscos ϕωϕω +=+= tAxitAx (6.31)

Rezultirajuće pomjeranje tijela vršit će se po istoj pravoj tako da je jednako algebarskom zbiru obapomjeranja:

( ) ( )221121 coscos ϕωϕω +++=+= tAtAxxx (6.32)

Predstavimo oba osciliranja pomoću vektora amplitude 1Ar

i 2Ar

, crtež 6.6.

Može se uočiti da je projekcija rezultirajućeg vektora Ar

, na osu x jednaka sumi projekcija vektorakoji se slažu:

21 xxx += (6.33)

Prema tome, vektor Ar

predstavlja rezultirajuće titranje. Taj vektor rotira s istom kutnom brzinomω kao i vektori 1A

r i 2Ar

, tako da će rezultirajuće gibanje biti harmonično titranje sa frekvencijom ω,

amplitudom A i početnom fazom ϕ.

( )ϕω += tAx cos (6.34)

Na crtežu 6.8. vidimo, za trenutak t = 0, na osnovu kosinusne teoreme imamo:

( )[ ]122122212 cos2 ϕϕπ −−−+= AAAAA (6.35)ili

( )122122212 cos2 ϕϕ −++= AAAAA

odnosno,

2211

2211

coscossinsin

ϕϕϕϕϕ

AAAA

OCBCtg

++== (6.36)

10

Crt.6.6.

Jednadžbe (6.35) i (6.36) mogu se dobiti i zbrajanjem jednadžbi (6.31) koristeći odgovarajućetrigonometrijske transformacije.

Analizirajmo izraz za amplitudu (6.35). Ako je razlika faza između dva titranja konstantna, tj.:

.22 const=− ϕϕ (6.37)

takva titranja nazivaju se koherentna. Ako je pak razlika u fazi jednaka nuli ili cijelo parnom brojuπ, imamo da je:

,...3,2,1,0,212 ==− njegdjenπϕϕ

tada je,( ) 1cos 12 =− ϕϕ

i21 AAA += (6.38)

Ako je razlika faza oba titranja jednaka neparnom broju π , imamo da je:

,...3,2,1,0,)12(12 =+=− njegdjen πϕϕ

tada je,( ) 1cos 12 =− ϕϕ

i

21 AAA −= (6.39)

6.5. Matematičko klatno (njihalo)

Matematičko klatno sastoji se od točkaste mase m obješene na nerastegljivu vrlo laganu nit duljine l,crt 6.7. Kada klatno miruje u položaju ravnoteže, napetost niti N

r uravnotežuje sila G

r (sila teže).

Izvan položaja ravnoteže, tangencijalna sila (komponenta sile teže) vraća tijelo u položaj ravnoteže,dok je radijalna komponenta sile teže uravnotežena napetošću niti N

r.

11

Crt.6.7

Zbroj svih sila na materijalnu točku jednak je tangencijalnoj komponenti sile teže Ft = -mg sinθ, gdjepredznak minus kaže da sila djeluje u smjeru porasta pomaka θ. Sila nije proporcionalna kutnompomaku θ, nego sinθ, prema tome gibanje nije harmonično. Međutim, za male amplitude sinθ ≈ θ, tesila F = -mgθ harmonična. Matematičko klatno osciluje harmonijski samo za male amplitude, dok je, za veće amplitude,period klatnafunkcija amplitude. Jednadžba gibanja matematičkog klatna glasi:

θsinmgmaF t −==

odnosno prema (3.40)

2

2

dtdllat

θα ==

dobivamo,

θθ sin22

mgdtdml −= (6.40)

U slučaju malih pomjeranja sinθ ≈ θ, te jednadžba gibanja matematičkog klatna poprima oblik:

022

=+ θθlg

dtd

(6.50)

Ovo je jednadžba harmoničnog titranja pa analogno prema (6.7) ima rješenje:

12

( )

+=+= ϕθϕωθθ t

lgt sinsin 00 (6.51)

odavde period ωπ2=T , odnosno period matematičkog klatna za male amplitude3 je:

glT π2= (6.52)

Period klatna ne ovisi ni o masi ni o amplitudi već samo od duljine l i gravitacionog ubrzanja g.

6.6. Prigušeno titranje

Do sada smo promatrali idealiziran slučaj titranja materijala točke u kojemu je mehanička energijaočuvana. Iz iskustva znamo da su uvijek gubici energije prisutni i da će elastična opruga poslijeodređenog vremena prestati titrati. Za takva titranja kažemo da su prigušena.Prigušeno titranje možemo lako vidjeti ako elastičnu oprugu uronimo u viskoznu tekućinu. Sila trenjakoja se protivi gibanju elastične opruge proporcionalna je brzini gibanja:

dtxdbvbFtrr

rr −=−= (6.53)

gdje je b konstanta prigušenja, a predznak minus pokazuje da su sila trenja i brzina, suprotnog smjeraizabranog osi x.

Jednadžbu gibanja za prigušeno titranje, na osnovu drugog Newtonovog aksioma i (6.3) možemopisati:

trel FFamrrr += (6.54)

ili

022

=++ xmk

dtdx

mb

dtxd

(6.55)

Zamjenom, 20ω=mk

i δ2=mb

, jednadžba (6.56) poprima oblik:

02 2022

=++ xdtdx

dtxd ωδ (6.56)

gdje je mk=0ω vlastita frekvencija neprigušenog oscilatora, a δ faktor prigušenja.

Rješenje ove homogene linearne diferencijalne jednadžbe je:

3 Kada su amplitude veće, tj. kada je θθ ≠sin period njihala ovisi o amplitudi 0θ , tada je periodmatematičkog njihala

+++= ...

2sin

649

2sin

41112 0402 θθπ

gT

13

( )ϕωδ += − tAetx t sin)( (6.57)

uz uvjet,22

0 δωω −=(6.58)

Ovo možemo dokazati uvrštavanjem, prvog i drugog izvoda. Prvi izvod od x(t) je u stvari brzinaprigušenih oscilacija:

( ) ( )ϕωωϕωδ δδ +++−= −− teAteAdtdx tt cossin

Drugi izvod je ubrzanje:

( ) ( ) ( )ϕωωϕωδωϕωδ δδδ +−+−+= −−− teAteAteAdt

xd ttt sincos2sin 2222

Uvrštavanjem u jednadžbu (6.56), dobivamo:

( ) 0sin)2( 20222 =++−− − ϕωωδωδ δ teAAAA t

Jednadžba (6.59) mora biti ispunjena za svaki t, što daje uvjet (6.58):

220

2 δωω −=

Prigušenje smanjuje frekvenciju titranja to više što je trenje veće. Amplituda tAe δ− opadaeksponencijalno s vremenom; što je faktor prigušenja δ veći, to i amplituda brže trne.. Ako jetrenje veliko, uopće nema titranja; uvjet za takvo aperiodično gibanje dobivamo iz (6.58):

20

2 ωδ > (6.60)

Tada je naime ω u izrazu (6.58) imaginarna i rješenje jednadžbe gibanja je elongacija kojaeksponencijalno opada. Osciliranje nekih mehaničkih sistema često je nepoželjno i nastoji se,uvođenjem određenog prigušenja, smanjiti ili ukloniti (npr., kazaljke mjernih instrumenata, amortizerina vozilima i dr.).

6.7. Prisilno titranje. Rezonancija

Kada vanjska periodična sila djeluje na sistem koji može titrati, nastaje prisilno titranje. Na crtežu 6.8 prikazan je jedan takav prisilni oscilator. Pomoću vanjskog oscilatora, kojem sefrekvencija može mijenjati, pobuđujemo sustav “opruga + masa”, na titranje. Kad je frekvencija ωvanjskog oscilatora manja od vlastite frekvencije sistema mk=0ω , sistem oscilira, ali s malimamplitudama. Kako ω raste, amplitude postaju sve veće i veće. Kada se ω približi vlastitoj frekvenciji sistema ω0, dolazi do rezonancije, tj. titranja s vrlovelikim amplitudama. Daljnjim povećanjem frekvencije titranje ponovo postaje sve slabije.

14

Napišimo jednadžbu gibanja za ovakav prisilni harmonični oscilator. Neka je vanjska silasinusoidalnog oblika:

tFFv ωsin0= (6.61)

Crt.6.8.

gdje je ω kružna frekvencija vanjskog oscilatora. Drugi Newtonov aksiom, primijenjen na ovakvogibanje, daje:

tFdtdxbkx

dtxdm ωsin02

2

+−−=

ili

tAtmF

xxx ωωωδ sinsin2 0020 ==++ &&& (6.62)

gdje je δ faktor prigušenja, koji smo definirali u prethodnom odjeljku, a A0 amplituda vanjskogoscilatora. Rješenje ove jednadžbe je titranje s prisilnom frekvencijom ω:

( )ϕωω −= tAtx sin)()( (6.63)

gdje je ϕ kašnjenje u fazi titranja vanjskog oscilatora. Uvrstimo li (6.63) u (6.62) dobivamo:

15

( ) ( ) ( ) ( ) tAAtt ωω

ϕωδωϕωωω sincos2sin 0220 =−+−− (6.64)

Ako jednadžbu (6.64) predstavimo pomoću vektora, proizilazi:

( ) ( ) 2202222

00 2;4

ωωδωϕωδωω

ω=+−= tg

AA

Amplituda prisilnog osciliranja je:

( )( ) 222220

0

4 ωδωωω

+−= AA (6.64)

Amplituda osciliranja (6.64) ovisna je o omjeru 0ω

ω i o prigušenju δ i maksimalna je pri rezonantnoj

frekvenciji:

220 2δωω −=r

(6.65)

što se dobije izračunavanjem maksimuma funkcije (6.64).

Rezonantna frekvencija ωr, u slučaju prigušenog oscilatora nešto je manja od vlastitefrekvencije; rezonantna frekvencija neprigušenog oscilatora jednaka je vlastitoj frekvenciji ωr =ω0. U idealnom slučaju, kad ne bi bilo gubitaka, amplituda pri rezonanciji (ω = ω0) bila bibeskonačno velika. Kad su prisutni gubici, rezonantna amplituda je konačna a rezonantna frekvencijaje nešto manja od ω0, tim više što je prigušenje veće.

Rezonancija može biti ponekad opasna i dovesti do rušenja (mostova, zgrada i sl.). Tako je srušenmost u Takomi (1940.); vjetar u rezonanciji s vlastitom frekvencijom mosta uzrokovao je snažneoscilacije i rušenje mosta. Rezonancija se susreće mnogim mehaničkim, električnim i drugimuređajima.