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Apostila Matemática e Raciocínio Lógico

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Text of Apostila Matemática e Raciocínio Lógico

  • 1. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA Prezado(a) Aluno(a), Lembre-se dos motivos que o levam aestudarparao concurso. Faa um cronograma de estudos e avalie constantemente como est seu desempenho conforme voc faz exerccios e questes de provas anteriores. Planeje o tempo de estudo e de descanso. Comorganizao, disciplina e fora de vontade possvel conciliar estudo eficiente com lazer e trabalho. Procure resolver todas as questes da apostila. Em caso de dvida, use o blog:(www.valclides.blogspot.com) ou e-mail: Contedo abordado nesta apostila:([email protected]).1. Mltiplos e Divisores (M.M.C e M.D.C.); Lembre-se de que necessrio2. Conjuntos numricos: nmeros Inteiros; nmerosacompanhar todas as aulas, pois Racionais; nmeros Irracionais e nmeros Reais; cada uma pode abordar contedos3. Equaes do 1 Grau. Sistema de Equao do 1 Grau, Problemas do 1 Grau; diferentes.4. Razo e Proporo, Grandezas diretamente e inversamente proporcionais, Regra de Trs Simples e Bem vindo ao Curso e sucesso em Composta;5. Porcentagem.sua caminhada!Valclides GuerraProfessorMatemticaProf.: Valclides Guerra1 [email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM

2. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRAMATEM TICAvoc pode resolv-lo de outra forma, talvez por um caminho mais curto!!! Perceba conexes entre os dados. Talvez seja conveniente considerar problemas auxiliares ou particulares, se uma conexo no for achada em tempo razovel.1. Mltiplos e Divisores (M.M.C e M.D.C.);2. Conjuntos numricos: nmeros Inteiros; nmeros E claro, o conhecimento dos contedos Racionais; nmeros Irracionais e nmeros Reais. matemticos (execute a estratgia).3. Equaes do 1 Grau. Sistema de Equao do 1 Grau, Frequentemente esta a etapa mais fcil do Problemas do 1 Grau; problema. Preste ateno s incgnitas e procure4. Razo e Proporo, Grandezas diretamente eperceber se ser necessrio fazer uso de alguma inversamente proporcionais, Regra de Trs Simples e Composta; frmula.5. Porcentagem.REVISE examine a soluo obtida e verifique o resultado e o argumento. RESUMINDO:Apresentao1) Ler atentamente o problema;M atemtica uma das cincias mais aplicada emnosso cotidiano. Se prestarmos atenonotaremos que em simples atitudes utilizamosos nossos conhecimentos bsicos de matemtica, como:olhar as horas, medir o comprimento de algum objeto,2)3)4) Estabelecer qual a incgnita; Montar uma equao traduzindo os dados do problema; Resolver a equao;5) Verificar se a raiz da equao resposta dofazer relao de distncias entre cidades etc. Por tudoproblema;isso, caros estudantes, a Matemtica exercita nossa 6) Dar a resposta do problema.mente, nos torna mais racionais. Comeamos ter umaviso: do espao, das pessoas, dos acontecimentos em Logo, percebemos que resolver problemas dependegeral, de forma mais ampliada. Portanto, carosde um grande esforo pessoalconcurseiros, o estudo da Matemtica no umaOBRIGAO, e sim uma NECESSIDADE.Simbologia Matemtica mais usualDICA para resolver problemas Na Matemtica, muitas informaes soapresentadas em forma simblica, o que faz necessrioPrezados concurseiros, em concursoconhecermos alguma simbologia bsica, vamos l?pblico, as questes de Matemticaso quase sempre constitudas por =(igual )problemas. O que faz uma boa parte (diferente de)dos candidatos ter dificuldades paraou { } (conjunto vazio)entender o que, de fato, est sendo(pertence )perguntado e o que temos para(no pertence )podermos garantir a resposta correta e em um curto (est contido)espao de tempo. E para resolvermos estes problemas(no est contido)devemos desenvolver: (contm)(no contm)Uma boa interpretao de texto procure (existe pelo menos um) lembrar se voc j resolveu uma questo correlata e(no existe) aplique o mesmo mtodo. Primeiro, voc tem de| (existe e nico) entender o problema: Qual a incgnita? Quais so | (tal que / tais que) os dados? Quais so as condies? possvel (ou) satisfazer as condies? Elas so suficientes para (e) determinar a incgnita? Ou so insuficientes? Ou A B (interseo dos conjuntos A e B) redundantes? Ou contraditrias? Faa uma figura. Outra se necessrio, introduza notao adequada. A B (unio dos conjuntos A e B)(para todo, qualquer que seja) Separe as condies em partes.(implica)(implica e a recproca equivalente)A linguagem Matemtica (construa uma (donde se conclui) estratgia para resoluo do problema): perceba se 2 [email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 3. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRAA CRIAO DOS NMEROS Para indicar quantidades a partir de 4000, osromanos usavam um trao horizontal sobre as letrasOs nmeros foram inventados pelos homens. Mas correspondentes quantidade de milhares:sua criao no aconteceu de repente surgiu da__necessidade de contar coisas (lembram daquelas aulas lIV = 4.000do primrio?). O homem primitivo, por exemplo,contava traando riscos na madeira ou no osso, ou ainda,_fazendo ns em uma corda. Como era difcil contar V = 5.000quantidades grandes e efetuar clculos com pedras, ns_____XXIII = 23.000ou riscos simples, a necessidade de efetuar clculos commaior rapidez levou o homem a criar smbolos, pararepresentar quantidade. Na antiguidade, nem todos osObservao: Os romanos no conheciam um smbolopara representar o nmero zero.povos usavam os mesmos smbolos. Vamos conhecercomo alguns povos dessa poca contavam.A NUMERAO DOS HINDUSA numerao dos romanosForam os hindus que inventaram os smbolos queusamos at hoje: Os romanos representavam quantidades usando asprprias letras de seu alfabeto: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. I- valia uma unidade V- valia cinco unidadesEsses smbolos, divulgados pelos rabes, so X- representava dez unidades conhecidos como algarismos indo-arbicos e com eles L- indicava cinqenta unidades escrevemos todos os nmeros. Mais adiante vamos falar C- valia cem unidadessobre o sistema de numerao que usamos. Voc sabe, D- representava quinhentas unidadespor exemplo, que 51 e 15 representam quantidades bem M- indicava mil unidades diferentes. As quantidades eram representadas colocando se ossmbolos uns ao lado dos outros, conforme a seguinteregra: NMEROS NATURAIS Os smbolos iguais juntos, at trs, significava soma de valores:Quando contamos uma quantidade de qualquercoisa (objetos animais, estrelas pessoas etc.) III = 1 + 1 + 1 = 3empregamos os nmeros: XXX = 10 + 10 + 10 = 30 CCC = 100 + 100 + 100 = 300 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,... Dois smbolos diferentes juntos, com o nmero Esses nmeros so chamados de nmeros naturais. menor aparecendo antes do maior, significava Existem infinitos nmeros naturais os nmeros que subtrao de valores:aparecem juntos, como na seqncia acima sochamados nmeros consecutivos. IV = 5 - 1 = 4 XL = 50 - 10 = 40Exemplo: 12 e 13 so consecutivos 13 o sucessor (vem XC = 100 - 10 = 90 depois) e 12 o antecessor (vem antes) de 13. Dois smbolos diferentes juntos, com o maiorLembrem-se concurseiros, conjunto dos nmeros aparecendo antes do menor, significa soma de naturais baseado na existncia do ZERO e na valores: propriedade que todo nmero tem sucessor e antecessor.Apenas o Zero no tem antecessor. LX = 50 + 10 = 60 CCXXX = 200 + 30 = 230 Observaes: DC = 500 + 100 = 600 MMMD = 3.000 + 500 = 3.500 1)Todo nmero natural tem um sucessor ( o que vemdepois).3 [email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 4. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA2) Todo nmero natural tem um antecessor ( o que De 1 a 100 qualquer algarismo aparece 10 vezes vem antes), com exceo do zero.como unidade e 10 vezes como dezena. Logo, de 1 a 100 cada algarismo aparece 20 vezes.3) Um nmero natural e o seu sucessor so chamados nmeros consecutivos. De 1 a 1000 qualquer algarismo aparece 100 vezes como unidade, 100 vezes como dezena e 100 vezes PAR OU IMPARcomo centena. Logo, de 1 a 1000 cada algarismo aparece 3000 vezes.Um nmero natural par quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 18. De 1 a 10n qualquer algarismo aparece 10nOs nmeros pares so: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16...vezes como unidade, 10n 1 vezes como dezena eUm nmero mpar quando termina em 1, 3, 5, 7, ou 9.10n 1 vezes como centena.Os nmeros mpares so: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15... Conjuntos Numricos 01) A diferena entre o menor nmero de trs algarismo e o maior nmero de dois algarismos : a) 5CONJUNT O DOS NMEROS NAT URAISb) 3 c) 1Como decorrncia da necessidade de contar objetosd) 2surgiram os nmeros naturais que simbolizado pelae) 4letra N e formado pelos nmeros 0, 1, 2, 3, , ou seja:N = {0; 1; 2; 3; }. Um subconjunto de N muito usado 02) Quantos nmeros da sucesso de nmeros inteiroso conjunto dos nmeros naturais menos o zero, ou seja, existem de 12 a 98N - {0} = conjuntos dos nmeros naturais positivos, quea) 87 representado por N*. b) 86 c) 88Observaes: d) 85 e) 1101) Em N so definidas apenas as operaes de adio e multiplicao, apenas estas so garantidas nasGABARITO: 01) C 02) A operaes dentro do conjunto N; CONJUNT O DOS NMEROS I NT EIROS2) Isto fato, pois se a e b so dois nmeros naturais ento a + b e a.b so tambm nmeros naturais. Esta propriedade conhecida como fechamento da operao;3) Valem as propriedades associativa, comutativa e elemento neutro (0 para a adio e 1 para a multiplicao) para as duas operaes e a distributiva para a multiplicao em N. Em N a Interseo do conjunto dos naturais e dos inteiros. subtrao no considerada uma operao, pois se a diferente de zero pertence a N o simtrico -a noChama-se o conjunto dos nmeros inteiros, existe em N.representado pela letra Z, o seguinte conjunto: DICCA para o aluno Z = {, -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; } Caso voc escreva do nmero a at o nmero b, No conjunto Z distinguimos alguns subconjuntos voc escrever ao todo (b a + 1) nmeros. notveis que possuem notao prpria para represent- los: Exemplo: de 23 a 58 = 58 23 + 1 = 36. a)Conjunto dos inteiros no negativos: Caso voc escreva os nmeros existentes entre a e b, voc escrever ao todo (b a 1) nmeros.Z+ = {0; 1; 2; 3; } Exemplo: Entre 23 e 58 = 58 23 1 = 34. [email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 5. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRAb) Conjunto dos inteiros no positivos:A ordem dos inteiros: Z- = {; -3; -2; -1; 0}H uma classe de inteiros, chamada classe dos inteiros positivos (ou classe dos nmeros naturais), quec) Conjunto dos inteiros no nulos:goza das seguintes propriedades:Z* = {, -3; -2; -1; 1; 2; 3; } A soma de dois inteiros positivos um inteiro positivo;d) Conjunto dos inteiros positivos: O produto de dois inteiros positivos um inteiro positivo;Z+* = {1; 2; 3; } Para cada inteiro A, uma e somente uma dase) Conjunto dos inteiros negativos:seguintes alternativas verdadeira, ou A = 0, ou A negativo, ou A positivo (lei da tricotomia). Z-* = {; -3; -2; -1} Definimos as relaes , , por:Note que Z+ = N e, por essa razo, N um subconjuntode Z.A > B (A maior do que B) se e s se A - B positivo A < B (A menor do que B) se e s se B > AObservaes: A B (A maior ou igual a B) se e s se A > B ou A = B1) No conjunto Z, alm das operaes e suasA B (A menor ou igual a B) se e s se A < B ou A = propriedades mencionadas para N, vale a B propriedade simtrico ou oposto para a adio. Isto claro que A positivo se e s se A > 0. : para todo a em Z, existe -a em Z, de tal forma que a + (-a) = 0; Multiplicao de Nmeros Inteiros2) Devido a este fato podemos definir a operao deO conjunto dos nmeros inteiros subtrao em Z: a - b = a + (-b) para todo a e bsurgiu da necessidade de o homem pertencente a Z;manipularvalores negativos,relacionados a assuntos comerciais3) Note que a noo de inverso no existe em Z. Eme financeiros. Nesse conjunto, cada outras palavras, dado q pertencente a Z, diferentenmero inteiro positivo possui sua representao de 1 e de -1, 1/q no existe em Z;negativa. Na multiplicao de nmeros inteiros, devemos seguir algumas condies de acordo com o sinal dos4) Por esta razo no podemos definir diviso no nmeros. Nessas operaes o jogo de sinal usado de conjunto dos nmeros inteiros;forma sistemtica, de acordo com o seguinte quadro de sinais:5) Outro conceito importante que podemos extrair do conjunto Z o de divisor. Isto , o inteiro a (+).(+)= + divisor do inteiro b - simbolizado por b | a - se(+).()= existe um inteiro c tal que b = ca;().(+)= ().()= +6) Os nmeros inteiros podem ser representados por pontos de uma reta orientada ou eixo, onde temosOs dois nmeros possuem o mesmo sinal. um ponto de origem, o zero, e sua esquerda associam-se ordenadamente os inteiros negativos e Nmero positivo multiplicado por nmero positivo sua direita os inteiros positivos, separados por intervalos de mesmo comprimento; (+ 3) . (+ 7) = + 21 (+ 5) . (+ 9) = +457) Cada ponto da reta orientada denominado de (+ 21) . (+ 10) = + 210 abscissa; (+ 4) . (+ 9) = +368) Em Z podemos introduzir o conceito de mdulo ou (+ 8) . (+ 10) = +80 valor absoluto: |x| = x se x 0 e |x| = -x se x < 0, (+ 22) . (+ 5 ) = +110 para todo x pertencente a Z. Como decorrncia da Nmero negativo multiplicado por nmero negativo definio temos que |x| 0 para qualquer nmero inteiro. ( 9) . ( 5) = + 45 [email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 6. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA(12) . ( 4) = + 48 DIVISIBILIDADE POR 2:( 3) . ( 7) = +21( 8) . ( 9) = +72( 10) . ( 7) = +70Um nmero divisvel por 2 se ele par, ou seja,(12) . (5) = +60termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. Os dois nmeros possuem sinais diferentes.DIVISIBILIDADE POR 3:Nmero positivo multiplicado por negativo e vice-versa: Um nmero divisvel por 3 se a soma de seusalgarismos divisvel por 3.(+ 7) . ( 9) = 63( 4) . (+ 7) = 28 DIVISIBILIDADE POR 4:( 6) . (+ 7) = 42(+ 8) . ( 6) = 48Um nmero divisvel por 4 se o nmero formado(+ 6) . ( 5) = 30pelos seus dois ltimos algarismos divisvel por 4(120) . (+ 3) = 360ou terminar em 00.Lembrem-se candidatos de que o elemento neutro damultiplicao o nmero 1 (um). Veja: DIVISIBILIDADE POR 5:Um nmero divisvel por 5 se o seu ltimo(+ 1 ) . ( + 96) = + 96 algarismo 0 (zero) ou 5.(1) . (98) = + 98( 14) . (+ 1) = 14 DIVISIBILIDADE POR 6:(1) . (+ 9) = 9(+ 2) . (+ 1) = +2(32) . (1) = +32Um nmero divisvel por 6 se par e a soma deseus algarismos divisvel por 3.Podemos verificar que na multiplicao de nmerosinteiros ao multiplicamos nmeros com sinais iguais, DIVISIBILIDADE POR 7:temos que o resultado um nmero positivo, e quandomultiplicamos nmeros com sinais diferentes, o resultadoUm nmero divisvel por 7 se o dobro do ltimo um nmero negativo. algarismo, subtrado do nmero sem o ltimoalgarismo, resultar um nmero divisvel por 7. Se oMDULO: nmero obtido ainda for grande, repete-se oprocesso at que se possa verificar a diviso por 7.Definimos o mdulo ou valor absoluto do inteiro A, A DIVISIBILIDADE POR 8:representado por , pondo:Um nmero divisvel por 8 se o nmero formadoA, se A 0 pelos seus trs ltimos algarismos divisvel por 8A A, se A 0ou terminar em 000.DIVISIBILIDADE:DIVISIBILIDADE POR 9: Um inteiro A divisvel por um inteiro B se e sUm nmero divisvel por 9 se a soma dos seusexiste um inteiro C, tal que A = B x C. Neste caso, algarismos um nmero divisvel por 9.dizemos que A mltiplo de B, ou que B divide A, eescrevemos: B | A Chamamos de pares os inteiros queDIVISIBILIDADE POR 10:so divisveis por 2 e de mpares os que no sodivisveis por 2. Um nmero divisvel por 10 se termina com oalgarismo 0 (zero).EX.:2n , com n inteiro (par)2n 1 , com n inteiro (mpar) DIVISIBILIDADE POR 11:CRIT RIOS DE DIVISIBILIDADEUm nmero divisvel por 11 se a soma dosalgarismos de ordem par Sp menos a soma [email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 7. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA algarismos de ordem mpar Si um nmero3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 no divisvel por 11 ou igual a zero.um nmero primo.DIVISIBILIDADE POR 12: Observaes: => 1 no um nmero primo, porque ele tem apenas Um nmero divisvel por 12 quando divisvelum divisor que ele mesmo. por trs e quatro ao mesmo tempo. => 2 o nico nmero primo que par.DIVISIBILIDADE POR 13: Reconhecimento de um nmero primo: Um nmero divisvel por 13 se o qudruplo (4 Para saber se um nmero primo, dividimos esse vezes) do ltimo algarismo, somado ao nmero sem nmero pelos nmeros primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. at o ltimo algarismo, resultar um nmero divisvel que tenhamos: por 13. Se o nmero obtido ainda for grande, repete-se o processo at que se possa verificar a => ou uma diviso com resto zero e neste caso o diviso por 13. Este critrio semelhante quelenmero no primo, dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que=> ou uma diviso com quociente menor que o divisor no presente caso utilizamos a soma ao invs de e o resto diferente de zero. Neste caso o nmero subtrao. primo. Exemplos:DIVISIBILIDADE POR 15: 1) O nmero 161: Um nmero divisvel por 15 quando divisvelNo par, portanto no divisvel por 2; por trs e cinco ao mesmo tempo.1+6+1 = 8, portanto no divisvel por 3;No termina em 00, nem os dois ltimosDIVISIBILIDADE POR 16:algarismos pode ser dividido por 4, logo no divisvel por 4; Um nmero divisvel por 16 se o nmero formado pelos seus quatro ltimos algarismos divisvel por No termina em 0 nem em 5, portanto no 16 ou terminar em 0000.divisvel por 5;Por 7: 161/7 = 23, com resto zero, logo 161 NMEROS PRIMOS E COMPOSTOS: divisvel por 7, e portanto no um nmero primo.Nmero Primo: um nmero inteiro p > 1 primo se s 2) O nmero 113:divisvel por 1 e por ele prprio. A diviso por um No par, portanto no divisvel por 2;nmero no resulta em um nmero natural (ou inteiro). 1+1+3 = 5, portanto no divisvel por 3;Para saber se um nmero grande primo, basta dividi-lo No termina em 00, nem os dois ltimossucessivamente pelos nmeros primos at que oquociente seja menor ou igual ao seu divisor. algarismos pode ser dividido por 4, logo no divisvel por 4;Os primeiros nmeros primos so:No termina em 0 nem em 5, portanto no divisvel por 5;Por 7: 113/7 = 16, com resto 1. O quociente (16)ainda maior que o divisor (7).Por 11: 113/11 = 10, com resto 3. O quociente (10) menor que o divisor (11), e alm disso o resto diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 umnmero primo.Exemplos:Decomposio em fatores primos1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 umTodo nmero natural, maior que 1, pode ser nmero primo. decomposto num produto de dois ou mais fatores.2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 um nmero primo. Decomposio do nmero 24 num produto: [email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 8. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA24 = 4 x 6 Logo:630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.24 = 2 x 2 x 6630 = 2 x 32 x 5 x 7.24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3 Vejamos a decomposio dos nmeros 28 e 200:Nmero Composto: todo nmero que possui mais dedois divisores.Todo o nmero natural (diferente de 1)28 2200 2escreve-se de forma nica como um produto de nmeros 14 2100 2primos. Este Teorema conhecido por Teorema7 7 50 2Fundamental da Aritmtica.1 28 = 22 x 7 25 5 5 5Exemplo: 15 tem mais de dois divisores. Logo, 15 um5 1200 = 23 x 52nmero composto. A DIVISO DE INT EIRO S: Dois nmeros naturais a e b so primos entre si, se mdc(a, b)=1. O resultado da diviso de dois nmeros inteiros, dividendo e divisor, nem sempre um nmero inteiro. Quaisquer dois nmeros primos so primos entre si,Ao maior nmero inteiro menor do que a diviso chama- mas o recproco no verdadeiro. se quociente a diferena entre o dividendo e o produto do divisor pelo quociente chama-se resto. Se D for oNMEROS PRIMOS ENT RE SI:dividendo, d o divisor, q o quociente e r o resto tem-se que: Dizemos que A e B so primos entre si se e s se D = q d + r, com 0 r < dMDC[A, B] = 1. Por exemplo, se dividirmos 31 por 7 obtemos o resultadoTEOREM A FUNDAM ENTAL DA ARITM TICA:4,428... , e por isso o quociente desta diviso 4. O resto igual a 31 7 4 = 3.fcil obter MDC e MMC de nmeros dados, seconhecermos suas decomposies em fatores primos. fcil perceber que os fatores do MDC soos fatores dos nmeros tomados sempre com o menor Dizemos ento que na diviso de D por d o quociente q e o resto r, D chamado de dividendo e d de divisor.dos expoentes e os do MMC com o maior dos expoentes. DIVISORES DE UM NM ERO NATURALTodo nmero A maior que um, ou primo ou podeser representado como um produto de fatores primos.FAT ORAO a decomposio de um nmero em um produto defatores primos. Existe um dispositivo prtico para fatorar umnmero. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar MXIMO DIVISOR COMUM (MDC)esse dispositivo:1) dividimos o nmero pelo seu menor divisor primo;Um inteiro positivo d o MDC dos inteiros A e B2) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor(usaremos a notao d = MDC[A, B]) se e s se possuidivisor primo desse quociente e assimas seguintes propriedades:sucessivamente at obter o quociente 1. a) d|a e d|b (d um divisor comum de A e B)A figura a baixo mostra a fatorao do nmero 630. b) Se C|A e C|B, ento C|d (isto todo divisor comumde A e B tambm divide d) Teorema: Se A e B so inteiros no nulos simultaneamente, ento MDC[A, B] existe e nico. OBS.: Convencionou-se que o MDC(0, 0) = 0. Propriedades do MDC: [email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 9. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA MDC(a, b) = MDC(b, a). multiplicado ainda pelos expoentes dos fatores MDC(a, b) = MDC(a, b).pares sem acrescentar a unidade. MDC(a, b) = MDC(|a|, |b|). MDC(a, 0) = |a|. Fatora-se o nmero MDC(a, ka) = |a| para todo kZ. Somamos uma unidade a cada expoente de fator mparO ALGORITMO DE EUCLI DES: Multiplicamos o resultado obtido, tambm pelosO processo que usamos para determinar o MDC de expoentes de fator pardois inteiros, no nulos simultaneamente o algoritmo deEuclides.a)Dados A e B, dividimos A por Bb)Depois dividimos B pelo resto desta diviso R1 01) O nmero de divisores de 120 :c)Depois dividimos R1 pelo resto desta ltima divisoa)12R2 e assim sucessivamente. b)14d)Quando chegarmos a um resto igual a zero o MDC c)16procurado ser o ltimo divisor, isto : d)20 e)25 qq2 q3 ... qn qn+1 02) Determinar o nmero N, sabendo-se que ele admite 8 A BR1 R2 ... r n-1rn= MDC[A,B]divisores e que da forma: N = 2.3x. a) 10 R1R2 R3 R4 ... 0b) 15 c) 32 d) 54 DICA para o aluno e) 24 03) Calcular o valor de m na expresso 2m + 1.3.5, Clculo do nmero de divisores: sabendo-se que este produto indicado resulta da decomposio de um nmero que possui 16 o produto de todos os expoentes acrescido de divisores.uma unidade. a) 2 b) 4 Fatora-se o nmero c) 6 d) 8 Somamos uma unidade a cada expoentee) 10 Multiplicamos o resultado obtido.04) Determinar o valor de N na igualdade N = 2x.34, para que o nmero N tenha 20 divisores. a) 648 Clculo do nmero de divisores mpares: b) 448 c) 243 d) 824 o produto dos expoentes de fatores mpares e) 100acrescido de uma unidade. Fatora-se o nmero Somamos uma unidade a cada expoente de fator mpar Multiplicamos o resultado obtido GABARITO: 01) C02) D03) A 04) A Clculo do nmero de divisores pares: o produto dos expoentes de fatores mparesacrescidos de uma unidade cada um, [email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 10. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRAMNIMO MLTIPLO COM UM (MMC)MMC (48, 72) = 36 . 4 = 144Definio: O mnimo mltiplo comum de dois ou maisDividindo-se os nmeros por 3, o MMC ficarnmeros o menor de seus mltiplos comuns, diferente dividido por 3.de zero.Importante: M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ....}MDC(a, b) x MMC(a, b) = A x B M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24....} M(3) M(4) = {0, 12, 24, 36, ... } CONJUNTO DOS NM EROS RACIONAIS MMC (3, 4) = 12PROCESSOS PARA O CL UCULO DO MMC1 Processo: Decomposio de fatores primos em separadoa) Decompem-se os nmeros em fatores primos;b) Toma-se o produto dos fatores primos comuns e no comuns elevados ao maior de seus expoentes; Interseo dos conjuntos: Naturais, Inteiros e2 Processo: Decomposio de fatores primos emRacionais. conjunto.a) Decompem-se em fatores primos, dividindo osO conjunto dos nmeros racionais, simbolizado nmeros pelos fatores comuns e no comuns.pela letra Q, o conjunto dos nmeros que podem serb) Toma-se o produto desses fatores primos comuns eescritos na forma de uma frao p/q, com p e q inteiros no comuns. quaisquer e q diferente de zero:CONSEQUNCIAS DO MMC1) O MMC entre dois nmeros primos entre si igualao produto entre eles. MMC (12, 25) = 12 . 25 = 300 MMC (4, 9) = 4 . 9 = 362) O MMC entre dois ou mais nmeros, em que omaior mltiplo dos menores, o maior nmero. MMC (40, 120) = 120 MMC (50, 150, 300) = 3003) Os mltiplos comuns de dois ou mais nmeros soos mltiplos do MMC entre esses nmeros. Como todo nmero inteiro pode ser escrito na M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ....} forma p/1, ento Z um subconjunto de Q. Valem M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ....}tambm para os conjuntos dos nmeros racionais as MMC (3, 4) = 12 notaes Q* (conjunto dos nmeros racionais no nulos), M(3) M(4) = M(12) Q + (conjunto dos nmeros racionais no negativos) e Q - (conjunto dos nmeros racionais no positivos).4) Multiplicando-se ou dividindo-se dois ou maisnmeros por um mesmo nmero, o MMC entre elesObservaes:ficar multiplicado ou dividido, respectivamente,por esse mesmo nmero. a) So vlidas todas as propriedades vistas para oconjunto dos nmeros inteiros; MMC (12, 18) = 36 b) Alm disso, vlida a propriedade simtrico ou Multiplicando-se os nmeros por 4, o MMC ficarinverso para a multiplicao. Isto , para todo a/b multiplicado por 4.pertencente a Q, a/b diferente de zero, existe b/a emQ tal que (a/b).(b/a) = 1;[email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 11. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRAc) Decorre da propriedade acima que possvel definir Exemplos: a operao de diviso em Q* da seguinte forma (a/b):(c/d) = (a/b).(d/c), para quaisquer a, b, c e d pertencente a Q;ADIO E SUBTRAO DE FRAES COMDENOM INADORES IGUAIS Conserva-se o denominador, adicionando ousubtraindo os numeradores. Como vemos nos exemplos acima, para transformar um nmero misto na frao imprpria correspondente3 5 73 5 71multiplica-se o nmero da frente pelo denominador e o202020 20 20 resultado soma-se ao numerador, formando o numerador da frao. Para transformar uma frao imprpria em um nmero misto, faa a diviso inteira do numerador peloADIO E SUBTRAO DE FRAES COM denominador. O quociente ser o primeiro nmero, oDENOM INADORES DIFERENTES resto ser o novo numerador e denominador permanece. Por exemplo: 5/2. 5 dividido por 3 d 1 e sobra 2. Assim Substituem-se as fraes dadas por outras,temos que 5/3 =1 e 5/3 Os nmeros mistos so prticosequivalentes, cujo denominador ser o MMC dosquando se deseja marcar a frao na reta numerada. Paradenominadores dados: faz-lo, localiza-se primeiro a parte inteira e depois acrescenta-se a parte fracionria, assim, para localizar na 1 3 1 2 9 65reta a frao atravs do seu nmero misto 1 , vai-se at mmc(6,4,2) 12 6 4 2 1212o 1 e acrescenta-se o .M ULTIPLICAO DE FRAES Para multiplicar duas ou mais fraes, deve-se:1) Multiplicar os numeradores, encontrando o novonumerador.2) Multiplicar os denominadores, encontrando o novodenominador.231 2 3 1 6 simplificando por 61 Dzimas peridicas546 5 4 612020Todo nmero racional p/q pode ser escrito como umDIVISO ENVOLVENDO F RAESnmero decimal exato (ex: 1/2 = 0,5) ou como uma dzima peridica (1/3 = 0,333). Veremos comoPara efetuar uma diviso onde pelo menos um dostransformar dzima em frao!!!nmeros envolvidos uma frao devemos multiplicar oprimeiro nmero (dividendo) pelo inverso do segundoComo dito, h fraes que no possuem representaes(divisor). decimal exata. Por exemplo:2 4 27 14 7simplificando por 23 7 34 12 6NMEROS MISTOSNmero misto um nmero racional escrito naforma da soma de sua parte inteira com a sua parte Aos numerais decimais em que h repetio peridica efracionria (esta sempre uma frao prpria). Os infinita de um ou mais algarismos, d-se o nome denmeros mistos tambm se podem escrever como fraes numerais decimais peridicos ou dzimas peridicas.imprprias. [email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 12. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRANuma dzima peridica, o algarismo ou algarismos queExemplos:se repetem infinitamente, constituem o perodo dessadzima.As dzimas classificam-se em dzimas peridicas simplese dzimas peridicas compostas. Exemplos: Dzima Composta:A geratriz de uma dzima composta uma frao daforma , ondeSo dzimas peridicas simples, uma vez que o perodoapresenta-se logo aps a vrgula. n a parte no peridica seguida do perodo, menosa parte no peridica.d tantos noves quantos forem os algarismos doperodo seguidos de tantos zeros quantos forem osalgarismos da parte no peridica.Exemplos:So dzimas peridicas compostas, uma vez que entre operodo e a vrgula existe uma parte no peridica.Observaes:Consideramos parte no peridica de uma dzima otermo situado entre vrgulas e o perodo. Exclumos DICA para o alunoportanto da parte no peridica o inteiro. No faa contas com dzimas peridicas. SubstituaPodemos representar uma dzima peridica das seguintestodas elas por fraes geratrizes antes de fazermaneiras: qualquer clculo.NM EROS IRRACIO NAISGeratriz de uma dzima peridica possvel determinar a frao (nmero racional)que deu origem a uma dzima peridica. Denominamos um numero irracional. = 3,141592 ...esta frao de geratriz da dzima peridica.Procedimentos para determinao da geratriz de uma O nmero irracional aquele que no admite adzima: representao em forma de frao (contrrio dosnmeros racionais) e tambm quando escrito na forma dedecimal ele um nmero infinito e no peridico. Dzima simplesExemplo: A geratriz de uma dzima simples uma frao quetem para numerador o perodo e para denominador tantos 0,232355525447... infinito e no dzimanoves quantos forem os algarismos do perodo. peridica (pois os algarismos depois da vrgula norepetem periodicamente), ento irracional.12 [email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 13. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA2,102030569...no admite representaoexistem vrios nmeros reais tais como: 1,01; 1,001; fracionria, pois no dzima peridica. 1,0001; 1,1; 1,2; 1,5; 1,99; 1,999; 1,9999 ... . Escrever todos os nmeros entre, por exemplo, 1 e 2, representaSe calcularmos em uma calculadora veremos que um intervalo de tais nmeros onde, se inclui os extremos, 2, 3, so valores que representam nmeros considera-se fechado e se no inclui, considera-se aberto. irracionais.Os intervalos podem ser classificados em abertos, fechados e semi abertos (fechados ou abertos esquerdaA representao do conjunto dos irracionais feita pela ou direita).letra I maiscula. Notao em smbolos de um intervaloCONJUNTO DOS NM EROS REAIS Habitualmente se utilizam os colchetes [" e "] O conjunto dos nmeros reais, representado por IR,para indicar que um dos extremos do intervalo parte a unio entre os conjuntos dos nmeros racionais, Q, e deste intervalo e os parnteses ( e ) ou, tambm,dos irracionais. Portanto, os nmeros naturais, inteiros,os colchetes invertidos ] e [" para indicar oracionais e irracionais so todos, nmeros reais.contrrio. Assim, por exemplo, dados a e b nmeros reais, com a b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa oR* conjunto dos nmeros reais no nulos. conjunto dos x R, tal que a < x b. Note que a no fazR+ conjunto dos nmeros reaispositivos e o zero. parte do intervalo.R*+ conjunto dos nmeros reaispositivos.R - conjunto dos nmeros reaisnegativos e o zero.R*- conjunto dos nmeros reais negativos menos oRepresentao de um intervalo na reta realzero.Um intervalo representado na reta real utilizando- se de uma pequena bolinha vazia para indicar que um dos pontos extremos no pertence ao intervalo e de uma bolinha cheia para indicar que o ponto extremo pertence.Tipos de Intervalos Dados a e b nmeros reais, com a b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificar os intervalos como: a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = b a: [a,b] = {x R | a x b} b) Intervalo fechado esquerda e aberto direita decomprimento finito c = b a: [a,b[ = [a,b) = {x R | a x < b} c) Intervalo aberto esquerda e fechado direita decomprimento finito c = b - a: (a,b] = ]a,b] = {x R | a < x b}INTERVALO REAL d) Intervalo aberto de comprimento finito c = b a:Ainda, caros estudantes, para complementar oassunto sobre Conjuntos Numricos veremos a parte de ]a,b[ = (a,b) = {x R | a < x < b}intervalo na reta real R. Ou seja, dos subconjuntos de R.Perceba que entre dois nmeros inteiros existem infinitose) Intervalo aberto direita de comprimento infinito:nmeros reais. Por exemplo, entre os nmeros 1 e [email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 14. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA]-,b[ = (-,b) = {x R | x < b}Sejam A = [-1,6] = {x R | -1 x 6} e B = (1,+) = {x R | x > 1} dois intervalos e vamos determinar A Uf) Intervalo fechado direita de comprimento infinito:B e A B.]-,b] = (-,b] = {x R | x b}Primeiramente, caros alunos, marcamos todos os pontos que so extremos ou origens dos intervalos emg) Intervalo fechado esquerda de comprimento uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, infinito: traamos os intervalos que representam graficamente os conjuntos A e B. E, por fim, s utilizar a definio de [a,+) = [a,+[ = {xR | a x}unio e interseco para determinar os trechos que esto em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aosh) Intervalo aberto esquerda de comprimentodois intervalos, respectivamente. Veja a soluo de A infinito: B na figura a seguir e de onde tambm facilmente observado o resultado de A U B: ]a,+[ = (a,+) = {xR | x > a} A B = {x R | 1 < x 6} e A U B = {xR | -1 x}i) Intervalo aberto de comprimento infinito:]-,+[ = (-,+) = Rj) Intervalo fechado de comprimento nulo: Como o comprimento nulo e o intervalo fechado,ento a = b e esse intervalo corresponde ao conjuntounitrio {a}, isto , a um ponto da reta real.Vejamos mais exemplos: EX PR ESS ES NUM R IC ASAs expresses numricas podem ser definidas atravs de um conjunto de operaes fundamentais. As operaes que podemos encontrar so: radiciao, potenciao, multiplicao, diviso, adio e subtrao. Como uma expresso numrica formada por mais de uma operao, devemos saber que resolvemos primeiramente as potncias e as razes (na ordem que aparecerem), depois a multiplicao ou diviso (na ordem) e por ltimo, adio e subtrao (na ordem). comum o aparecimento de sinais nas expresses numricas, eles possuem o objetivo de organizar as expresses, como: ( ) parnteses, [ ] colchetes e {} chaves, e so utilizados para dar preferncia para algumas operaes. Quando aparecerem em uma expresso numrica devemos elimin-los, essa eliminao ir acontecer na seguinte ordem: parnteses, colchetes e, por ltimo, as chaves. Exemplo 1:Unio e Interseco de Intervalos 62 : ( 5 + 3) [ 2 * ( 1 + 3 1) 16 : ( 1 + 3)]Como intervalos so conjuntos natural que as =operaes mencionadas possam ser realizadas. E, trata-seelimine parnteses.de um procedimento muito comum na resoluo de 62 : ( 2) [ 2 * (2 1) 16 : 2] =alguns problemas. E a maneira mais fcil e intuitiva decontinue eliminando os parnteses.realizar essas operaes atravs da representao 62 : ( 2) [ 2 * 1 16 : 2] =grfica dos intervalos envolvidos. Vamos um exemploresolva as potncias dentro do colchetes.prtico de como efetuar tais operaes. 62 : ( 2) [ 2 * 1 16 : 4] = [email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 15. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRAresolva as operaes de multiplicao e diviso noscolchetes. QUEST ES 62 : ( 2) [ 2 4] = 62 : ( 2) [ 6] = elimine o colchete. 01) (UPENET 2007 AGENTE DE SEGURANA 62 : ( 2) + 6 = efetue a diviso.MUNICIPAL) Um tanque tem duas torneiras. A 31 + 6 = 37 efetue a adio. primeira enche o tanque em 15 horas, e a segunda,O valor numrico da expresso 37. em 18 horas. Estando o tanque vazio e, abrindo-seas duas torneiras durante 5 horas, enche-se umaLembrem-se, em expresses numricas com sinaisparte do tanque. Podemos afirmar que a segundaassociativos de:torneira encher o restante do tanque em A) 14 horas.1) Parnteses ( ) B) 10 horas.2) Colchetes [ ]C) 7 horas.3) Chaves { } D) 8,5 horas. E) 8 horas.efetuam-se, primeiro as operaes dentro deles, na ordemmostrada: ( ), [ ] e { }, respeitando-se ainda, a prioridade 02) (UPENET) O Quntuplo de um nmero, divididodas operaes. por este nmero aumentado de duas unidades, d quociente 3 e deixa resto 2. Qual este nmero?Exemplo 2: A) 4 B) 636 + 2.{25 + [ 18 (5 2).3]} =C) 8= 36 + 2.{ 25 + [18 3.3]} =D) 10= 36 + 2.{25 + [18 9]} = E) 12= 36 + 2.{25 + 9} == 36 +2.34 = 03) (UPENET 2011 EXPRESSO CIDADO) A= 36 + 68 = 104caixa dgua de um edifcio foi revitalizada, e o engenheiro solicitou ao sndico que trocasse asExemplo 3: bombas, pois as atuais esto obsoletas. As bombas compradas pelo sndico enchem o reservatrio[(5 - 6.2).3 + (13 7) : 3] : 5 =muito mais rpido e com baixo consumo de= [(25 6.4).3 + 6 : 3] : 5 =energia. Sabe-se que uma delas enche a caixa de=[(25 24).3 + 36 : 3 ] : 5 = gua sozinha em 4 horas e a outra, sozinha em 8= [1.3 + 12] : 5 = horas. Um porteiro por displicncia liga as duas= [3 + 12 ] : 5 =simultaneamente para encher essa caixa de gua.= 15 : 5 = 3 Estando a caixa dgua vazia, assinale o tempo, em minutos, gasto para que as duas encham oExemplo 4: reservatrio. A) 167 minutos. B) 163 minutos. C) 150 minutos. D) 156 minutos. E) 160 minutos. 04) (UPENET) Num salo de cabeleireiro, 2/4 das mulheres eram loiras, 1/3, ruivas, e as 5 restantes, morenas. Se 1/3 das loiras pintam os cabelos de preto, quantas loiras restam? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 05) (UPENET) O valor de 1/3 de 1/4 de 1/5 de 360 igual a A) 60 B) 50 C) [email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 16. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRAD)5 certeza de que o projeto em pauta na reunio serE)4 votado, necessrio que a informao do nmerode pessoas presentes seja, no mnimo, de:06) (UPENET 2011 EXPRESSO CIDADO) A) 15 pessoas.Rebeca faz um desafio a Letcia: Qual a tera B) 3 pessoas.parte de 312 + 310?. Assinale a alternativa que C) 20 pessoas.corresponde resposta CORRETA de Letcia. D) 35 pessoas.A) 11 x 311E) 36 pessoas.B) 12 x 312C) 10 x 39 12) (UPENET 2005) Eduarda, certo dia, fez comprasD) 6 x 35em 5 lojas do Shopping Center. Em cada umaE) 8 x 37gastou a metade do que possua e pagou, na sada, R$ 2,00 (dois reais) de estacionamento. Aps as despesas, restaram a Eduarda R$ 20,00 (vinte07) A expresso igual a: reais). Quanto Eduarda possua antes de fazer asA)0compras?B)9A) R$ 820,00C)3 B) R$ 1 102,00D)3C) R$ 502,00 D) R$ 704,0008) Calculando-se os dos 2/5 dos 7/3 de 120, obtm-E) R$ 602,00se:A) 9513) (UPENET 2009 PREFEITURA DE RECIFE)B) 87Numa escola, os alunos da 8 srie vo realizar umaC) 84observao num poo com o caminhar de lesmas.D) 21Observou-se que, em mdia, uma lesma sobe doisE) 16,8metros por dia, pra um pouquinho e cai um metro. Supondo que o poo tenha sete metros de09) Qual o valor de a + b, se a/b a frao irredutvel profundidade e que uma lesma esteja no fundo deste poo, para chegar no topo deste poo, essa lesma levarequivalente a ?A) 4 dias.A)42/9 B) 5 dias.B)21/9 C) 6 dias.C)21 D) 7 dias.D)42 E) 8 dias.10) (UPENET 2009 PMPE) Carlos e Pedro so14) (UPENET 2009PREFEITURADE alunos muito aplicados em matemtica. Certo dia,SURUBIM) A calculadora de Juliana bem Carlos perguntou a Pedro se ele sabia resolver adiferente. Ela tem uma tecla D que duplica o seguinte questo: Determine o algarismo das nmero escrito no visor e a tecla T, que apaga o unidades do nmero (8325474)642. Pedro resolveu o algarismo das unidades do nmero escrito no visor. problema, chegando ao resultado correto. Qual foi o Assim, por exemplo, se estiver escrito 123 no visor resultado a que Pedro chegou? e apertarmos D, teremos 246; depois, apertando T,A) 4 teremos 24. Suponha que esteja escrito 1999. SeB) 2 apertamos D, depois T, em seguida D, depois T,C) 5 teremos o nmeroD) 6 A) 96E) 1 B) 98 C) 12311) (UPE 2008) O Conselho Superior de umaD) 79Universidade composto por 43 membros com E) 99direito a voto, sendo 20 diretores de Unidades, 15diretores de Centros, 8 representantes dos 15) (UPENET 2009 PMPE) Uma livraria pretendeprofessores. Para que haja votao de um projeto nafazer seu balano anual. Pedro e Joo so osreunio, necessrio que esteja presente, pelocontabilistas da Empresa. Se os dois trabalhassemmenos, um membro de cada uma das trsjuntos no servio, eles fariam o balano em 6 dias,representaes. Se a nica informao que o Reitor porm, se Joo trabalhar sozinho, realizar oda Universidade tem, durante cada reunio do servio em 18 dias. Em quantos dias, Pedro,Conselho, o nmero de pessoas presentes, para tertrabalhando sozinho, concluir o balano? [email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 17. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRAA) 15E) mltiplo de 3.B) 13C) 9 Texto para as questes 20 e 21D) 8E) 20 O Programa Nacional do Livro Didtico e o Programa Nacional do Livro Didtico para o Ensino16) (UPENET 2009 PMPE) Um nmero compostoMdio so realizados pela ECT em parceria com o Fundopor dois algarismos. Sabendo-se que a soma doNacional de Desenvolvimento da Educao.algarismo das dezenas com o algarismo dasunidades 8 e que, subtraindo-se o nmero do A operao consiste na entrega, todos os anos, denmero formado, permutando-se o algarismo das100 milhes de livros didticos a escolas pblicas deunidades com o das dezenas, o resto dessaensino fundamental e mdio de todo o Brasil, volumesubtrao um nmero terminado em 6. equivalente metade de toda a produo grfica doCORRETO afirmar que o produto dos algarismos Brasil. Para a distribuio desses livros so realizadasdas dezenas com o das unidades do nmero viagens de carretas das editoras para os centros deA) 40tratamento da empresa instalados em pontos estratgicosB) 30do pas. Nessas unidades, as encomendas so tratadas e,C) 45depois, entregues nas escolas.D) 21 Internet: (com adaptaes).E) 12QUESTO 22 20) (CESPE 2011 - CORREIOS) Considerando que e17) (UPENET 2009 PMPE) Carlos disse a Renato 13% dos livros didticos sejam 7/40 distribudos,que era capaz de acertar um nmero que ele respectivamente, para as regies Nordeste e Norte,pensasse, fazendo, apenas, 4 perguntas. Renato ento a quantidade, em milhes, de livros didticosachou graa e disse: pensei em um nmero. Ento, destinada a essas duas regies pelos programasCarlos disse: some ao nmero pensado o nmero 5, mencionados no texto multiplique a soma por 3 e subtraia 10 do produto. A) superior a 15 e inferior a 25.Informe o resultado das operaes, e RenatoB) superior a 25 e inferior a 35.afirmou 80. Carlos, ento, informou corretamente o C) superior a 35 e inferior a 45.nmero que Renato havia pensado. O produto dos D) superior a 45.algarismos do nmero que Renato pensou igual a E) inferior a 15.A) 12B) 1521) (CESPE 2011 - CORREIOS) Considere que 3C) 10carretas faam, repetidamente, viagem de ida eD) 48volta entre determinada editora e um centro deE) 50tratamento da ECT em 4 dias, 5 dias e 6 dias, respectivamente, e, ao completar um percurso de18) (UPENET 2011 EXPRESSO CIDADO) Uma ida e volta, elas retomem imediatamente essePadaria promove as seguintes ofertas relativas a percurso. Se, em certo dia, as 3 carretas partiremmanteigas da mesma marca:simultaneamente da editora, ento elas voltaro a partir juntas novamente dessa editora aps A) 45 dias. B) 60 dias. C) 10 dias. D) 15 dias. E) 30 dias. Assinale a alternativa CORRETA.A) A oferta I a melhor.22) (FCC - 2010 - TRT - 12 Regio (SC) - TcnicoB) A oferta II a melhor. Judicirio-reaAdministrativa)C) A oferta III a melhor.Sistematicamente, dois funcionrios de umaD) As ofertas I e III so iguais.empresa cumprem horas-extras: um, a cada 15 dias,E) As ofertas II e III so iguais. e o outro, a cada 12 dias, inclusive aos sbados, domingos ou feriados. Se em 15 de outubro de 201019) (UPENET 2011 EXPRESSO CIDADO) A ambos cumpriram horas-extras, uma outra provvel soma de trs nmeros naturais consecutivos coincidncia de horrios das suas horas-extras sempre um nmeroocorrer emA) par.a) 9 de dezembro de 2010.B) mpar.b) 15 de dezembro de 2010.C) primo.c) 14 de janeiro de 2011.D) quadrado perfeito.d) 12 de fevereiro de [email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 18. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRAe) 12 de maro 2011. b) 14 horas do dia 12/10/2000. c) 18 horas do dia 12/10/2000.23) (FCC - 2010 - DPE-SP - Oficial de Defensoria d) 2 horas do dia 13/10/2000.Pblica) Duas polias conectadas por uma correiae) 6 horas do dia 13/10/2000.tm comprimentos de 12 cm e 22 cm. 27) Num reservatrio h duas torneiras, a primeira enche-o em 3 horas, a segunda em 6 horas; porm h um sifo que o esvazia em 12 horas. Funcionando as torneiras e o sifo simultaneamente em quanto tempo o reservatrio se encher? a) 3h b) 2h24min c) 5h d) 1h30min O menor nmero de voltas completas que a poliae) 2h30min menor deve dar para que a polia maior d um nmero inteiro de voltas 28) (TRT 24 REGIO 2011 - FCC) Todos os 72a) 7 funcionrios de uma Unidade do Tribunal Regionalb) 8 do Trabalho de Mato Grosso do Sul devero serc) 9 divididos em grupos, a fim de se submeterem ad) 10exames mdicos de rotina. Sabe-se que:e) 11 o nmero de funcionrios do sexo feminino igual a 80% do nmero dos do sexo masculino;24) (FCC - 2008 - MPE-RS - Agente Administrativo) cada grupo dever ser composto por pessoas de umUm agente administrativo foi incumbido de tirarmesmo sexo;cpias das 255 pginas de um texto. Para tal ele s todos os grupos devero ter o mesmo nmero dedispe de uma impressora que apresenta o seguintefuncionrios;defeito: apenas nas pginas de nmeros 8, 16, 24, o total de grupos deve ser o menor possvel;32, ... (mltiplos de 8) o cartucho de tinta vermelha a equipe mdica responsvel pelos exames atenderfalha. Considerando que em todas as pginas do a um nico grupo por dia.texto aparecem destaques na cor vermelha, ento,ao tirar uma nica cpia do texto, o nmero deNessas condies, correto afirmar que:pginas que sero impressas sem essa falha a) 226 A) no total, sero formados 10 grupos.b) 225 B) cada grupo formado ser composto de 6c) 224funcionrios.d) 223 C) sero necessrios 9 dias para atender a todos ose) 222grupos. D) para atender aos grupos de funcionrios do sexo25) (FCC - 2004 - TRT - 22 Regio (PI) - Tcnico feminino sero usados 5 dias.Judicirio) Sistematicamente, Fbio e Cntia vo a E) para atender aos grupos de funcionrios do sexoum mesmo restaurante: Fbio a cada 15 dias emasculino sero usados 6 dias.Cntia a cada 18 dias. Se em 10 de outubro de 2004ambos estiveram em tal restaurante, outro provvel 29) (UPENET) No piso de uma sala de largura 168cmencontro dos dois nesse restaurante ocorrer eme comprimento 200cm, um construtor pretendea) 9 de dezembro de 2004.colocar peas de mrmore quadradas do mesmob) 10 de dezembro de 2004. tamanho. A menor quantidade dessas peas que elec) 8 de janeiro de 2005. pode usar para cobrir totalmente o piso, sem cortard) 9 de janeiro de 2005. nenhuma pea :e) 10 de janeiro de 2005.A) 420 B) 50026) (FCC - 2002 - TRE-PI - Tcnico Judicirio -C) 525rea Administrativa) Um mdico receitou dois D) 575remdios a um paciente: um para ser tomado a cadaE) 60012 horas e outro a cada 15 horas. Se s 14 horas dodia 10/10/2000 o paciente tomou ambos os 30) Sejam os nmeros A = 23 . 32 . 5 e B = 2 . 33 . 52. Oremdios, ele voltou a tom-los juntos novamente MDC e o MMC entre A e B valem,s respectivamente:a) 17 horas do dia 11/10/2000. A) 2 . 32 . 5 e 23 . 33 . 52 B) 2 . 52 . 52 e 22 . 32 . [email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 19. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRAC)2 . 3 . 5 e 23 . 33 . 52 Adicionando um mesmo nmero a ambos osD)22 . 32 . 5 e 2 . 32 . 5 membros de uma equao, ou subtraindo um mesmoE)23 . 32 . 52 e 2 . 33 . 52 nmero de ambos os membros, a igualdade se mantm.31) Dados n = 22. 3a. 52. 73 e m = 23. 35. 52. 7b. 11, os Dividindo ou multiplicando ambos os membros devalores de a e b, tais que o mdc(m,n) = 18.900, so: uma equao por um mesmo nmero no-nulo, aA) a = 2 e b = 3.igualdade se mantm.B) a = 3 e b = 1.C) a = 0 e b = 2.Exemplo:D) a = 3 e b = 2.E) a = 2 e b = 2.32) Se p e q so nmeros naturais distintos e primos,ento o MDC(p, q) + MMC(p, q) igual a:A) p + qB) pqC) pq + 1D) 2E) nda Vejamos alguns exemplos:33) O mximo divisor comum dos nmeros 36, 48, 72, Seja a equao::A) 36B) 48C) 72D) 144E) 12 Seja a equao:34) Considerando os nmeros 68 e 36, responda V paraverdadeiro e F para falso:A) que 4 o mximo divisor comum de 36 e 68.B) que 17 o mximo divisor comum de 36 e 68.C) que 4 o mnimo divisor comum de 36 e 68.D) que 612 o mximo mltiplo comum de 36 e E.E) que 2 o mnimo mltiplo comum de 36 e 68. Seja a equao:F) que 0 um mltiplo comum de 36 e 68. GABARITO:1-C 2-A 3-E4-E5-C6-C 7-A8-C 9-D 10-D 11-E 12-D 13-C14-D15-C16-E17-C 18-C 19-E 20-B21-B22- D 23-E24-C 25-C 26-D 27-B28-C Membros de uma equao29-C30-A31-B 32-C 33-E 34-VFFFFV Numa equao a expresso situada esquerda da igualdade chamada de 1 membro da equao, e a expresso situada direita da igualdade, de 2 membro da equao.EQ UA E S DO 1 G R AU Exemplo:- 3x + 12=2x - 9 As equaes do primeiro grau so aquelas que1 membro 2 membropodem ser representadas sob a forma ax + b = 0, em quea e b so constantes reais, com a diferente de 0, e x aCada uma das parcelas que compem um membro devarivel. A resoluo desse tipo de equao uma equao chamada termo da equao.fundamentada nas propriedades da igualdade descritas aseguir. 4x 9 = 1 2x Termos:[email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 20. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRAVarivel (ou incgnita) de uma equao: Os elementosmembro est multiplicando o x ento ele passardesconhecidos de uma equao so chamados dedividindo no segundo membro.variveis ou incgnitas.SIST EMAS DE EQUAES DO 1 GRAUExemplos: COM DUAS VARI VEISA equao x + 5 = 18 tem uma incgnita: x Um sistema de equaes com duas variveis, x e y,A equao x 3 = y + 2 tem duas incgnitas: x e y um conjunto de equaes do tipoA equao a 3b + c = 0 tem trs incgnitas: a, b e cCada um dos valores que, colocados no lugar daax + by = c (a, b, c R)incgnita, transforma a equao em uma sentenaverdadeira chamado de raiz da equao. Paraou de equaes redutveis a esta forma.verificarmos se um dado nmero ou no raiz de umaequao, basta substituirmos a incgnita por esse nmeroExemplo:e observarmos se a sentena obtida ou no verdadeira.1 exemplo: verificar se trs raiz de 5x 3 = 2x + 6Resolver um sistema significa encontrar todos ospares ordenados (x; y) onde os valores de x e de ysatisfazem a todas as equaes do sistema ao mesmotempo.Exemplo: No sistema indicado no exemplo anterior, o nico2 exemplo: verificar se -2 raiz de x 3x = x 6 par ordenado capaz de satisfazer s duas equaessimultaneamente : (x; y) = (2; 1) ou seja, x = 2 e y = 1Resoluo algbrica Dentre os vrios mtodos de resoluo algbricaO princpio aditivo e o princpio multiplicativo servem aplicveis aos sistemas do 1 grau, destacamos dois:para facilitar o entendimento da soluo de uma equao,mas para resolv-la existe um mtodo simples e prtico mtodo da adioque o seguinte: mtodo da substituioResolver a equao 5x 8 = 12 + x Para exemplific-los, resolveremos o sistemaseguinte pelos dois mtodos:Colocamos no primeiro membro os termos queapresentam varivel, e no segundo membro os termosque no apresentam varivel. Os termos que mudam demembro tm os sinais trocados.5x 8 = 12 + x A) Mtodo da Adio5x x = 12 + 81 passo: Multiplicamos as equaes por nmerosCalculamos a somas algbricas de cada termo: 4.x = 20 escolhidos de forma a obtermos coeficientes opostos emuma das variveis. No caso, poderemos multiplicar aQuando se passa de um membro para o outro se usa aequao (I) por -2:operao inversa, ou seja, o que est multiplicando passadividindo e o que est dividindo passa multiplicando. Oque est adicionando passa subtraindo e o que estsubtraindo passa adicionando. O nmero 4 no primeiro20 [email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 21. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA Observe que a varivel y tem, agora, coeficientes4 passo: Escrevemos o conjunto-soluo:opostos.S = {(2; 3)}2 passo: Somamos membro a membro as equaesencontradas:QUEST ES01) (UPENET) Um pequeno criador tem em sua A varivel y foi cancelada restando apenas a criao 150 porcos e galinhas. Sabendo-se que ovarivel x na ltima equao. nmero de ps dos animais igual a 400, CORRETO afirmar que o criador tem3 passo: Resolvemos a equao resultante que tem A) 25 porcos.somente uma varivel: B) 50 porcos. -1x = -2 C) 35 porcos.x=2 D) 42 porcos.E) 55 porcos.4 passo: O valor da varivel encontrada substitudonuma das equaes iniciais que contenha tambm a outra02) (UPENET) Um copo cheio de gua pesa 325g. Sevarivel e, ento, resolvemos a equao resultante: jogarmos metade da gua fora, seu peso cai para180g. O peso do copo vazio de 2x + y = 7 A) 20g 2(2) + y = 7 B) 25g 4+y=7C) 35g y = 7 -4 D) 40g y=3E) 45g5 passo: Escrevemos o conjunto-soluo:03) (UPENET 2007 AGENTE DE SEGURANAMUNICIPAL) Em um concurso pblico, numaS = {(2; 3)}prova de 50 quesitos, um candidato obtm 110pontos. Sabendo-se que em cada questo correta oB) Mtodo da Substituio candidato ganha 3 pontos, e a cada questoincorreta, perde 2 pontos, podemos afirmar que onmero de questes que o candidato acertou 1 passo: Isolamos uma das variveis em uma dasA) mpar.equaes dadas:B) divisvel por 5.C) mltiplo de 4.D) divisvel por 9.E) mltiplo de 7.2 passo: a varivel isolada substituda na outra 04) (UPENET 2009 GUARDA MUNICIPALequao e, ento, resolvemos a equao resultante que OLINDA) Luis foi farmcia e anotou os preostem somente uma varivel: dos remdios que pretendia levar. Chegando emcasa, deu o seguinte problema ao seu irmo:3x +2y = 12 - o preo do remdio A somado ao preo do remdio 3x + 2(7 - 2x) = 12B totalizou R$ 98,00; 3x +14 - 4x = 12 - o preo do remdio B somado ao preo do remdio 3x 4x = 12- 14 C totalizou R$ 130,00;-1x= -2 - o preo do remdio C somado ao preo do remdiox= 2A totalizou R$ 100,00.3 passo: Levamos o valor encontrado para a equaoque tem a varivel isolada e calculamos o valor desta: Partindo desses dados, quanto qual a diferena de preos entre os remdios C e A? y = 7 -2xA) 14y = 7 -2 (2)B) 23y = 7 -4C) 32 y=3D) 45E) 56 21 [email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 22. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA05) (UPENET 2011 EXPRESSO CIDADO) B) 17Numa corrida de aventura, as equipes so formadasC) 18por trs atletas. completado 1/2 da trajetria D) 19estabelecida para o ciclismo, passa o seu basto E) 20para o segundo atleta que completar mais 1/4 dototal do percurso, quando foi advertido pelo seu 09) (CESPE 2011 - CORREIOS) Em uma empresa, ostcnico para que se poupasse, uma vez que oempregados tm direito a descanso remunerado deterceiro atleta no poder finalizar os 1.500m deum dia a cada 15 dias trabalhados. Em determinadonatao, pois est contundido atleta) ter que ano, os dias trabalhados e os dias de descansofinalizar o restante desta prova. Nesse contexto,somaram 224 dias. Com base nessa situao, concluicorreto afirmar que, nesse ano, a quantidade de diasA) 6.000m. de descanso desses empregados foiB) 5.000m. A) superior a 16 e inferior a 20.C) 4.500m. B) superior a 20 e inferior a 24.D) 6.500m. C) superior a 24.E) 5.500m. D) inferior a 12. E) superior a 12 e inferior a 16.06) (UPENET 2009 PMPE) A Polcia Militar dePernambuco possui uma frota de 1500 carros, sendo10) (CESPE 2011 - CORREIOS) Considerando-seque uma parte utiliza como combustvel gasolina, e que 3 caixas de encomenda do tipo 2B e 3 caixas deo restante, bicombustvel, que funciona com lcool encomenda do tipo flex correios custem, ao todo,e gasolina. O novo comandante determinou que,R$ 12,00 e que 5 caixas do tipo 2B e 10 do tipo flexneste total de 1500 carros, 80% dos carros a correios custem, ao todo, R$ 28,00, corretogasolina e 60% dos bicombustveis sofressem umaafirmar que uma caixa do tipo 2B custaconverso para tambm funcionar a gs. Sabendo-A) R$ 2,40.se que, aps a converso, 840 do total de carros B) R$ 3,15.passaram a utilizar dois e somente dois tipos de C) R$ 3,20.combustvel, CORRETO afirmar que o nmero de D) R$ 1,20.carros que permaneceram consumindo somente E) R$ 2,00.gasolina igual aA) 600 Em um escritrio, a despesa mensal com os salriosB) 200 dos 10 empregados de R$ 7.600,00. NesseC) 120 escritrio,alguns empregados recebem,D) 400 individualmente, R$ 600,00 de salrio mensal e osE) 500 outros, R$ 1.000,00. QUESTO 3207) (UPENET 2009 PMPE) Resolvendo o sistema11) (CESPE 2011 - CORREIOS) Se, para atender aabaixo, CORRETO afirmar que 2xy igual acrescente demanda de servios, o escritrio triplicar a quantidade de empregados com salrio de R$ 600,00 e duplicar a quantidade de empregados com salrio de R$ 1.000,00, ento a despesa desse escritrio com os salrios de seus empregados passar a ser de A) R$ 18.800,00. B) R$ 18.000,00. C) R$ 18.200,00.A) 12D) R$ 18.400,00.B) 24E) R$ 18.600,00.C) 16D) 2012) (TRT 24 Regio 2011 MS FCC) Do total deE) 18pessoas que visitaram uma Unidade do Tribunal Regional do Trabalho de segunda a sexta-feira de08) (UPENET 2009 GUARDA MUNICIPALcerta semana, sabe-se que:OLINDA) Mateus quer fazer uma viagem a p de1/5 o fizeram na tera-feira e 1/6 na sexta-feira.630 km. Caso ele caminhe 10 km a mais por dia, Considerando que o nmero de visitantes daandar 4 dias a menos para realizar a viagem.segunda-feira correspondia a 3/4 do de tera-feira eSendo d o nmero de dias gastos para fazer a que a quarta-feira e a quinta-feira receberam, cadaviagem e k o nmero de km que caminhou por uma, 58 pessoas, ento o total de visitantesdia, possvel dizer que k - d igual arecebidos nessa Unidade ao longo de tal semana A) 16um [email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 23. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRAA)divisvel por 48.acB)maior que 250. bxC)menor que 150.D)mltiplo de 7.Exemplo: Determinar a quarta proporcional dosE)quadrado perfeito.nmeros 3,5 e 15 nesta ordem. GABARITO:Soluo: 3 15751-C2-C 3-E4-C5-A6-C 7-D 3 x 5 15 3x 75 xx 25. 5 x 38-B9-E 10-A 11-A 12-AProporo contnua aquela que tem meios iguais.Exemplo: 5 15RAZES E PROPORESA proporo 15 45 contnua, ela tem seus meios Chama-se razo de dois nmeros, dados numa iguais a 15.certa ordem e sendo o segundo diferente de zero, aoquociente do primeiro pelo segundo. Assim, a razoNuma proporo contnua temos: O valor comum dosentre os nmeros a e b pode ser dita razo de a para bmeios chamado mdia proporcional (ou mdiae representada como:geomtrica) dos extremos. 48Ex.: 8 a mdia proporcional entre 4 e 16, pois 8 16aou a : bb O ltimo termo chamado terceira proporcional.Onde a chamado antecedente enquanto b chamado Ex.: 7 a terceira proporcional dos nmeros 28 e 14, poisconseqente da razo dada. Ao representar uma razofreqentemente simplificamos os seus termos28 14procurando, sempre que possvel, torn-los inteiros. 14 7 .Exemplos: A razo entre 3 e 0,75 : Proporo mltipla a igualdade simultnea de trs oumais razes. 3 3 4 34 4 para 1Exemplo: 0,753 3 4 a c e 1 e 2 b d fA razo entre 6 5 :Razes inversas so duas razes cujo produto igual a 1. 1 6 1 55 Exemplo:5 para 12 2 6 2 12 7 221 511 14 ,Proporo: a expresso que indica uma igualdade ento dizemos que 7 est para 11 na razo inversa dea c 22 para 14.entre duas ou mais razes. A proporo b d pode serlida como a est para b assim como c est para d eQuando duas razes so inversas, qualquer uma delasrepresentada como a : b : : c : d. Nesta proporo, osforma uma proporo com o inverso da outra.nmeros a e d so os extremos e os nmeros b e c so osmeios.Exemplo:OBS: Em toda proporo o produto dos extremos igual 7 22eao produto dos meios. 11 14 so razes inversas.Quarta proporcional de trs nmeros dados, a, b e c714 22nesta ordem, o nmero x que completa com os outrosEnto, 11 faz proporo com 22 (que o inverso de 14 )trs uma proporo tal que:23 [email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 24. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA Propriedades das proporesConsidere as propores:so todas iguais, sendo igual a o fator deproporcionalidade da primeira para a segunda.1 propriedade: Numa proporo, a soma dos doisprimeiros termos est para o 2 (ou 1) termo, assimComo se pode observar, as sucesses de nmeroscomo a soma dos dois ltimos est para o 4 (ou 3).diretamente proporcionais formamproporesmltiplas (j vistas no captulo de razes e propores).Assim sendo, podemos aproveitar todas as tcnicasestudadas no captulo sobre propores para resolver eproblemas que envolvam grandezas diretamenteproporcionais.2 propriedade: Numa proporo, a diferena dos doisprimeiros termos est para o 2 (ou 1) termo, assimcomo a diferena dos dois ltimos est para o 4 (ou 3).Grandezas inversamente proporcionaisDada a sucesso de valores (a1, a2, a3, a4, ... ), todosdiferentes de zero, dizemos que estes valores so einversamente proporcionais aos correspondentes valoresda sucesso (b1, b2, b3, b4, ...), todos tambm diferentes3 propriedade: Numa proporo, a soma dosde zero, quando forem iguais os produtos entre cadaantecedentes est para a soma dos conseqentes, assim valor de uma das sucesses e o valor correspondente dacomo cada antecedente est para o seu conseqente.outra.Exemplo:Os valores 2, 3, 5 e 12 so inversamente proporcionaisaos valores 30, 20, 12 e 5, nesta ordem, pois os produtos2 x 30, 3 x 20, 5 x 12 e 12 x 5 so todos iguais.4 propriedade: Numa proporo, a diferena dosantecedentes est para a diferena dos conseqentes,assim como cada antecedente est para o seu Relao entre proporo inversa econseqente.proporo direta Sejam duas sucesses de nmeros, todos diferentesde zero. Se os nmeros de uma so inversamente 5 propriedade: Numa proporo, o produto dosproporcionais aos nmeros da outra, ento os nmerosantecedentes est para o produto dos conseqentes,de uma delas sero diretamente proporcionais aosassim como o quadrado de cada antecedente est para inversos dos nmeros da outra. Esta relao nos permitequadrado do seu conseqente.trabalhar com sucesses de nmeros inversamenteproporcionais comosefossemdiretamenteproporcionais.Diviso em partes proporcionaisDIVISO PROPORCIONAL1 caso: Diviso em partes diretamenteproporcionais Grandezas diretamente proporcionaisDividir um nmero N em partes diretamenteproporcionais aos nmeros a, b, c, ..., significa encontrarDada a sucesso de valores (a1, a2, a3, a4, ... ),os nmeros A, B, C, ..., tais que:dizemos que estes valores so diretamenteproporcionais aos correspondentes valores da sucesso(b1, b2, b3, b4, ...) quando forem iguais as razes entrecada valor de uma das sucesses e o valorcorrespondente da outra.A + B + C + ... = N 24 [email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 25. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRAEXERCCIO RESOLVIDO Assim, conclumos que:A = 4pA = 4 x 9 = 361.Dividir o nmero 72 em trs partes diretamenteB = 3pB = 3 x 9 = 27 eproporcionais aos nmeros 3, 4 e 5. Indicando porC = 1pC=1x9=9A, B, e C as partes procuradas, temos que:Portanto, as partes procuradas so 36, 27 e 9. A = 3p, B = 4p, C = 5p e A + B + C = 72Portanto: 3 caso: Diviso composta direta3p + 4p + 5p = 72 12p = 72 p = 6Chamamos de diviso composta direta diviso deum nmero em partes que devem ser diretamentevalor de A 3p = 3 x 6 = 18 proporcionais a duas ou mais sucesses de nmerosdados, cada uma. Para efetuarmos a diviso compostavalor de B 4p = 4 x 6 = 24direta, devemos:valor de C 5p = 5 x 6 = 301) encontrar uma nova sucesso onde cada valor ser oproduto dos valores correspondentes das sucessesPortanto, as trs partes procuradas so 18, 24 e 30.dadas;2 caso: Diviso em partes inversamente 2) efetuar a diviso do nmero em partes diretamenteproporcionais proporcionais aos valores da nova sucessoencontrada. Dividir um nmero N em partes inversamenteproporcionais a nmeros dados a, b, c,..., significa3. Dividir o nmero 270 em trs partes que devem serencontrar os nmeros A, B, C, ... tais que:diretamente proporcionais aos nmeros 2, 3 e 5 e tambm diretamente proporcionais aos nmeros 4, 3 e 2, respectivamente. Indicando por A, B e C as a x A = b x B = c x C =... e trs partes procuradas, devemos ter: A + B + C + ... = NA ser ser proporcional a 2 e 4 2 x 4 = 8 A = 8p2.Dividir 72 em partes inversamente proporcionaisB ser ser proporcional a 3 e 3 3 x 3 = 9 B = 9paos nmeros 3, 4 e 12. Usando a relao entreC ser ser proporcional a 5 e 2 5 x 2 = 10 C= 10pproporo inversa e proporo direta, podemosafirmar que as partes procuradas sero diretamenteA + B + C = 270 8p + 9p + 10p = 270proporcionais a27p = 270 p = 10A = 8p = 8 x 10 = 80B = 9p = 9 x 10 = 90Reduzindo as fraes ao mesmo denominador,C= 10p = 10 x 10 = 100teremos:Portanto, as trs partes procuradas so: 80, 90 e 100. Desprezar os denominadores (iguais) manter aspropores e ainda simplificar nossos clculos. Ento, QUEST ESpoderemos dividir 72 em partes diretamenteproporcionais a 4, 3 e 1 (numeradores). Indicando por A,01) Assinale a opo cujos nmeros sejam diretamenteB e C as trs partes procuradas, teremos: proporcionais a 2, 3 e 7.a) 3, 4 e 8.A = 4p, B = 3p, C = 1pb) 4, 9 e 49.c) 6, 9 e 21.A + B + C = 72d) 22, 23 e 27.e) 22, 32 e 72.Logo, 4p + 3p + 1p = 72Da, 8p = 7202) Assinale a opo cujos nmeros sejam p = 72/8 inversamente proporcionais a 2, 3 e 7. p=9 25 [email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 26. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRAa) 7, 3 e 2.SoldadoIdadeTempo serviob) 1/7, 1/3 e 1/2.c) 0,2 , 0,3 e 0,7 Abel203d) 6, 14 e 21. Daniel244e) 21, 14 e 6.Manoel 30503) A diviso do nmero de vereadores de determinadacidade proporcional ao nmero de votos que cada07) Se o nmero de fichas for 518 e a diviso for feitapartido recebe. Na ltima eleio nesta cidade,em partes diretamente proporcionais s suasconcorreram apenas 3 partidos, A, B e C, que respectivas idades, o nmero de fichas que caber areceberam a seguinte votao: A teve 10.000 votos, Abel :B teve 20.000 e C, 40.000. Se o nmero dea) 140vereadores dessa cidade 21, quantos deles so do b) 148partido B? c) 154a) 6 d) 182b) 7 e) 210c) 8d) 9 08) Se o nmero de fichas for 504 e a diviso for feitae) 10em partes diretamente proporcionais s suas respectivas idades, mas inversamente proporcionais04) Os nmeros X e Y encontram-se na razo de 5 para aos seus respectivos tempos de servio na7. Ento, se o valor de X 60 o valor de Y : corporao, o nmero de fichas que caber a:a) 84a) Daniel 180.b) 80b) Manoel 176c) 70c) Daniel 170d) 65d) Manoel 160e) 35e) Daniel 162.05) Se Y diferente de zero, e se X/Y = 4 , ento a 09) s 10 horas do dia 18 de maio de 2007, um tanquerazo de 2X Y para X, em termos percentuais, continha 9.050 litros de gua. Entretanto, um furoigual a: em sua base fez com que a gua escoasse em vazo1) 75%.constante e, ento s 18 horas do mesmo dia2) 25%.restavam apenas 8.850 litros de gua em seu3) 57%.interior. Considerando que o furo no foi4) 175%. concertado e no foi colocada gua dentro do5) 200%. tanque, pode-se dizer que ele ficou completamente vazio s:06) (FCC - 2004 - TRE-PE - Tcnico Judicirio -A) 12 horas de 02/06/2007.rea Administrativa) Um total de 141 B) 10 horas de 02/06/2007.documentos devem ser catalogados por trsC) 12 horas de 29/05/2007.tcnicos judicirios. Para cumprir a tarefa, D) 10 horas de 29/05/2007.dividiram os documentos entre si, em partesinversamente proporcionais s suas respectivasGABARITO:idades: 24, 36 e 42 anos. Nessas condies, onmero de documentos que coube ao mais jovem 1-C 2-E3-A4-A5-D6-B 7-Afoi8-E 9-Aa) 78b) 63 REGRA DE T RS SIMPLESc) 57d) 42e) 36 Regra de trs simples um processo prtico para resolver problemas que envolvam quatro valores dosO enunciado abaixo refere-se s questes 07 e 08.quais conhecemos trs deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos trs j conhecidos. Na tabela abaixo tm-se as idades e os tempos de servio de trs soldados na corporao, que devem Passos utilizados numa regra de trs simples: dividir entre si um certo nmero de fichas cadastrais para verificao.1) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espcie em colunas e mantendo na mesma [email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 27. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRAlinha as grandezas de espcies diferentes em em 75%, o consumo mensal, em kg, considerando ocorrespondncia. ms de 30 dias, ser de:2) Identificar se as grandezas so diretamente ouA) 350inversamente proporcionais. B) 4003) Montar a proporo e resolver a equao.C) 450D) 500Exemplo:E) 5501) Com uma rea de absoro de raios solares de 02) (CESGRANRIO) Alm da destruio causada pela 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia lava incandescente, uma erupo vulcnica solar consegue produzir 400 watts por hora deprovoca, tambm, um grande acmulo de cinzas na energia. Aumentando-se essa rea para 1,5m2, qualregio atingida. O peso de uma camada de 2,5cm de ser a energia produzida?cinzas, cobrindo uma rea de 100m2, 8 toneladas.Uma camada de cinzas de 12,8 toneladas que ocupe Soluo: montando a tabela:uma rea de 200m2 ter uma espessura de quantoscentmetros?Energia A) 1,6 rea (m2) (Wh) B) 2,0 1,2400 C) 3,2 1,5 xD) 3,6E) 4,0Identificao do tipo de relao:03) (CESGRANRIO) As motonetas (scooters e motosde baixa cilindrada) caram no gosto dos brasileirose ganharam as ruas. Isto porque, alm de seremmais baratas do que um carro popular, so muitoeconmicas. Enquanto um carro popular percorre, Inicialmente colocamos uma seta para baixo naem mdia, 15 km com um litro de gasolina, a mdiacoluna que contm o x (2 coluna).de uma motoneta de 40 km por litro. Observe que: Aumentando a rea de absoro, aConsiderando-se as mdias apresentadas, queenergia solar aumenta.distncia, em km, um carro popular conseguiriaComo as palavras correspondem (aumentando - percorrer com a mesma quantidade de gasolinaaumenta), podemos afirmar que as grandezas sonecessria para que uma motoneta percorresse 600diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos km?uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1A) 120coluna. Montando a proporo e resolvendo a equao B) 150temos:C) 225D) 300E) 37504) (CESGRANRIO) Para reduzir o consumo deenergia eltrica, uma empresa instalou dois painissolares que, juntos, ocupam 560 m2. Se as reas dosdois painis so diretamente proporcionais a 3 e a 1,qual a diferena, em m2, entre essas reas?A) 140B) 210C) 280D) 300E) 320Logo, a energia produzida ser de 500 watts por hora.05) (CESGRANRIO) Para assistir televiso comconforto, o telespectador deve estar a certa distnciada TV. A distncia ideal entre o telespectador e aTV diretamente proporcional medida da tela. Se,para uma TV de 20 polegadas, a distncia ideal deQUEST ES 1,5 m, pode-se concluir que a distncia ideal, emmetros, entre o telespectador e uma TV de 3201) Quatro ces consomem semanalmente 60 kg depolegadas de:rao. Assim, ao aumentarmos o nmero de ces A) 1,8 27 [email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 28. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRAB) 2,2 10) (CESGRANRIO) O real perdeu muito seu poderC) 2,4 de compra de 1994 at hoje. Para se ter uma idiaD) 2,8 dessa perda, um estudo da consultoria global investE) 3,0 mostrou que, com o dinheiro necessrio para comprar 8 pizzas ou 20 entradas de cinema em06) (CESGRANRIO) E se todos os carros do mundo1994, hoje o consumidor consegue comprarfossem movidos a lcool? (...) A implantao de um somente 3 pizzas ou 5 entradas deprograma de lcool to ambicioso precisaria sercinema.Considerando as propores apresentadasimpecvel. (...) Um especialista em agronegcio feznesse estudo, quantas pizzas poderiam seras contas: para abastecer a atual frota, estimada em compradas em 1994 com a mesma quantia800 milhes de automveis, seriam necessrios 2,5necessria para comprar hoje, 20 entradas detrilhes de litros anuais de lcool produzidos emcinema.400 milhes de hectares de canaviais. Isto equivaleA) 36a cerca de um tero de toda a rea cultivada doB) 32planeta.C) 24 Revista Superinteressante, maio de 2006. (adaptado) D) 16 E) 12 Se a frota mundial aumentasse em 640 milhes de automveis, a quantidade anual de lcool necessria Texto para as questes 11 e 12 para abastecer toda a frota, em trilhes de litros, passaria a ser: Uma equipe de conferentes analisou os registros deA) 3,1 determinados documentos. Todos os membrosB) 4,0 dessa equipe trabalham com a mesma eficincia, eC) 4,5 3 deles analisaram 60% de todo o material.D) 5,2 QUESTO 34E) 8,0 11) (CESPE 2011 - CORREIOS) Na situao apresentada, a quantidade de material analisado por07) (CESGRANRIO) Nas eliminatrias dos jogos Pan-2 dos conferentes corresponde aAmericanos, um atleta brasileiro percorreu 100 A) 48% de todo material.metros em 2 minutos e 30 segundos. No mesmoB) 44% de todo material.ritmo, quantos minutos ele levaria para percorrerC) 40% de todo material.200 metros?D) 56% de todo material.A) 3 minutos e 10 segundos.E) 52% de todo material.B) 3 minutos e 40 segundos.QUESTO 35C) 4 minutos e 30 segundos.12) (CESPE 2011 - CORREIOS) A partir dasD) 5 minutos.informaes do texto, infere-se que a quantidade deE) 6 minutos.conferentes da equipe igual a A) 6.08) (CESGRANRIO) Para pesquisar se uma rea B) 7.vivel para minerao, necessrio obter um alvarC) 8.e pagar uma taxa anual de R$ 1,55 por hectare. D) 9.Uma empresa que solicitar autorizao para E) 5.pesquisa em uma rea de 652,2 hectares pagar, emreais, uma taxa anual de:GABARITO:A) 807,70B) 987,811-C 2-B3-C 4-C5-C 6-C 7-DC) 1.010,918-C 9-C10-B11-C 12-ED) 1.102,79E) 1.325,53 REGRA DE T RS COMPOST A09) (FCC - 2004 - TRE-PE - Tcnico Judicirio -rea Administrativa) Um relgio est atrasando A regra de trs composta utilizada em problemas40 segundos por hora. Se ele for acertado s 12com mais de duas grandezas, direta ou inversamentehoras, ento, s 08 horas do dia seguinte, estarproporcionais.marcandoa) 7 h 42 min 20 s Exemplo:b) 7 h 44 min 30 sc) 7 h 46 min 40 s 1)Em 8 horas, 20 caminhes descarregam 160m3 ded) 7 h 48 min 20 s areia. Em 5 horas, quantos caminhes seroe) 7 h 50 min 30 s necessrios para descarregar 125 [email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 29. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRASoluo: montando a tabela, colocando em cada coluna conforme esquema mostrado no item (c) abaixo.as grandezas de mesma espcie e, em cada linha, asgrandezas de espcies diferentes que se correspondem:b)Identificar aquelas que variam num mesmo sentido (grandezas diretamente proporcionais) e aquelasHoras CaminhesVolumeque variam em sentidos opostos (grandezas820 160inversamente proporcionais), marcando-as com5 x 125setas no mesmo sentido ou sentidos opostos, conforme o caso.Identificao dos tipos de relao: c)A incgnita x ser obtida da forma sugerida no Inicialmente colocamos uma seta para baixo na esquema abaixo, dada como exemplo de cartercoluna que contm o x (2 coluna). geral.Sejam as grandezas A, B, C e D, que assumem os valores indicados abaixo, e supondo-se, por exemplo, que a grandeza A seja diretamente proporcional grandeza B, inversamente proporcional grandeza C eA seguir, devemos comparar cada grandeza com inversamente proporcional grandeza D, podemosaquela onde est o x.montar o esquema a seguir:Observe que:Aumentando o nmero de horas de trabalho, podemosdiminuir o nmero de caminhes. Portanto a relao inversamente proporcional (seta para cima na 1Neste caso, o valor da incgnita x ser dado por:coluna).Aumentando o volume de areia, devemos aumentar onmero de caminhes. Portanto a relao diretamenteproporcional (seta para baixo na 3 coluna). Devemosigualar a razo que contm o termo x com o produto das Observem que para as grandezas que variam no mesmooutras razes de acordo com o sentido das setas. sentido, multiplicamos x pelos valores invertidos e para as grandezas que variam em sentidos opostos,Montando a proporo e resolvendo a equao temos: multiplicamos pelos valores como aparecem no esquema. QUEST ES 01) Um carpinteiro fabrica 3 bancos em 2 horas. Seus aprendizes fabricam, cada um, 2 bancos em 3 horas. Quantos aprendizes, no mnimo, devem trabalhar com o carpinteiro para que essa equipe possa fabricar 7 bancos em 2 horas? (A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4Logo, sero necessrios 25 caminhes. (E) 3FORM A PRTICA DE RESOLVER PROBLEM AS02)Em uma fbrica, vinte e cinco mquinas produzemDE REGRA DE TRS COM POSTA 15.000 peas de automvel em doze dias, trabalhando 10 horas por dia. Quantas horas por diaa) Escrever em coluna as variveis do mesmo tipo, ou devero trabalhar 30 mquinas, para produzirem seja, aquelas expressas na mesma unidade de 18.000 peas em 15 dias? medida, tendo o cuidado de escrever o valor a)11 h desconhecido (x) sempre na segunda linha, b)12 h [email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 30. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRAc)15 h Num lote de 50 lmpadas, 13 apresentam defeito; a razod)8h entre o nmero de lmpadas defeituosas e o total de lmpadas dada por:03) Certo trabalho executado por 15 mquinas iguais,em 12 dias de 10 horas. Havendo defeito em trsdas mquinas, quantos dias de 8 horas deverotrabalhar as demais, para realizar o dobro dotrabalho anterior?a) 37,5 diasb) 40 diasc) 30 dias O que significa que, se o lote contivesse 100 lmpadas,d) 25 dias deveramos encontrar 26 com defeitos.04) Vinte e cinco teares trabalhando oito horas por dia, Exemplo 3:durante 10 dias, fizeram 1200 metros de certotecido. Vinte teares trabalhando nove horas por diaOutro modo de representar a taxa de 4% = 4/100 durante dezoito dias produziro quantos metros doobtido, simplesmente, efetuando a diviso de 4 por 100:mesmo tecido?a) 1944 m 4 : 100 = 0,04b) 2000 mc) 1500 mDessa forma:d) 1100 m37% = 0,3780% = 0,80 = 0,805) Sabe-se que 4 mquinas, operando 4 horas por dia, 14,5% = 0,145 100% = 1durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo 250% = 2,50 = 2,5 0,7% = 0,007produto. Quantas toneladas do mesmo produtoseriam produzidas por 6 mquinas daquele tipo, Exemplo 4:operando 6 horas por dia, durante 6 dias?a) 8 Uma bolsa vendida por R$ 32,00. Se seu preob) 15aumentar em 20%, quanto passaria a custar?c) 10,5d) 13,5Temos: GABARITO: 1) o aumento seria 20% de 32 = 0,2 x 32 = 6,401-E2-D 3-A4-A 5-D2) o novo preo seria 32 + 6,40 = R$ 38,40. Poderamos fazer simplesmente:PORCENT AGEM Para compreendermos o que uma porcentagemtemos que saber claramente o que uma razo, as razescom denominador 100 (razes centesimais) podem serexpressas em forma de porcentagem: Observe que o preo inicial fica multiplicado por 1,2. Portanto, se tivssemos: Um aumento de 30% multiplicaria o preo por 1,3; Um aumento de 16% multiplicaria o preo por 1,16; Um aumento de 5% multiplicaria o preo por 1,05;Se por outro lado a bolsa fosse anunciada com umExemplo 1: desconto de 20% sobre o preo original, a bolsa passaria a custar:De um grupo de 100 jogadores, 30 praticam basquete.Isso significa que 30% (trinta por cento) dos jovenspraticam basquete.Exemplo 2:[email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 31. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRAObserve que o preo fica multiplicado por 0,8. D) 20.Assim, se tivssemos:E) 5. Desconto de 30% multiplicaramos o preo original05) (CESPE 2011 - CORREIOS) Um clientepor 0,7; comprou, em uma agncia dos Correios, selos Desconto de 16% multiplicaramos o preo originalcomemorativos dos 150 anos do nascimento dopor 0,84;padre Landell de Moura e dos 150 anos de Desconto de 5% multiplicaramos o preo original fundao da Caixa Econmica Federal (CAIXA).por 0,95 Para o pagamento desses produtos, o cliente entregou certa quantia em reais e notou que 3/4 dessa quantia correspondiam ao custo dos selosQUEST EScomemorativos dos 150 anos do padre Landell de Moura e 1/5, ao custo dos selos comemorativos dos01) (UPENET 2007 AGENTE DE SEGURANA 150 anos da CAIXA. Nessa situao, com relao MUNICIPAL) Se o comprimento do raio de umquantia entregue para pagamento, o troco a que fazcrculo aumentado em 30% de seu valor, ento a jus o cliente corresponde asua rea aumenta emA) 20%.A) 60% B) 5%.B) 69% C) 8%.C) 80% D) 10%.D) 35% E) 12%.E) 43% 06) (UPENET) Um empregado recebe trs aumentos02) (UPENET 2007 AGENTE DE SEGURANA salariais de aumento. O primeiro de 30%, oMUNICIPAL) Na sala de aula de Maria Eduarda, segundo de 20%, e o terceiro de 10%. 60% dos alunos so meninos. Passado o 1 ms deCORRETO afirmar que o aumento total recebidoaula, 10 alunos mudaram de sala. Depois da sada pelo funcionrio foi dedos 10 meninos, a sala ficou com um nmero deA) 60%.meninos igual ao nmero de meninas. Qual era o B) 63%.total de estudantes (meninos e meninas) da salaC) 80%.deMaria Eduarda no incio das aulas? D) 71,6%.A) 50E) 82,70%.B) 40C) 5507) (UPENET) Nas ltimas eleies para prefeito deD) 45uma determinada cidade, onde 12% dos eleitoresD) 48votaram em branco e 8% no votaram, o vencedor obteve 51% dos votos vlidos. No so03) (UPENET 2007 AGENTE DE SEGURANA considerados vlidos os votos em branco e nulos. MUNICIPAL) Um artigo vendido em uma loja CORRETO afirmar que o vencedor, de fato, obtevepor R$ 125,00. Sobre esse preo, so dados doisde todos os eleitores um percentual de votos daabatimentos sucessivos: um de 16%, e outro de p%.ordem deSe o preo de tal artigo reduziu-se a R$ 81,90,A) 58%ento p igual a: B) 31,8%A) 18C) 44,7%B) 22D) 40,8%C) 20E) 50,1%D) 24E) 2608) (UPENET PCPE 2007) Uma agncia de automveis vendeu dois veculos por preos iguais,04) (CESPE 2011 - CORREIOS) Considere que, emsendo o primeiro com um lucro de 30% sobre ouma empresa, 50% dos empregados possuam nvelpreo de custo, e o segundo, com um prejuzo demdio de escolaridade e 5%, nvel superior.30% sobre o preo de custo. Ento, relativamenteGuardadas essas propores, se 80 empregados ao custo total dos veculos, a agnciadessa empresa possuem nvel mdio de A) obteve um lucro de 7%.escolaridade, ento a quantidade de empregados B) obteve um prejuzo de 7%.com nvel superior igual a C) obteve um lucro de 9%.A) 8.D) obteve um prejuzo de 9%.B) 10. E) no obteve lucro nem prejuzo.C) [email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 32. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA09) (UPENET PCPE 2007) Uma empresa dispensou20% de seus empregados e aumentou o salrio dosrestantes, fazendo com que o valor de sua folha depagamentos diminusse 10%. O salrio mdio daempresa - valor da folha de pagamentos divididopelo nmero de empregados - teve um aumentopercentual deA) 15%B) 12,5%C) 17,5%D) 10%E) 10,25%GABARITO:1-B 2-A 3-B4-A 5-B6-D 7-D8-D 9-BANOTAES32 [email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 33. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA Prezado Aluno, Aqui so revisados alguns dos conceitos bsicos de lgica, trataremos de mtodos e princpios usados para distinguir entre o raciocnio correto e o incorreto, uso de Contedo abordado nesta apostila: linguagens, formaiseinformais, diagramas de Venn, tabelas verdade, notao simblica, deduo de provas etc.A) Lgica Proposicional: proposies simples e Esseestudointroduznoes compostas, negao das proposies simples efundamentais e tcnicas da lgica formal compostas; princpios fundamentais, conectivosque podem ser utilizadas em diferentes lgicos, os smbolos da linguagem do clculoconcursos pblicos. Em particular, proposicional ou sentencial;fornecem uma base de raciocnioB) Estruturas lgicas: classificao da lgica necessrio para outras disciplinas que so (dedutiva e indutiva), argumentos (premissas, cobradasnosconcursos.Desde inferncia e concluso), argumentos dedutivos Aristteles e principalmente durante o vlidos e invlidos; tautologia, contradio esculo XX, a lgica experimentou um desenvolvimento monumental em direo contingncia; a assuntos altamente especializados, queC) Tabela verdade (nmero de linhas e colunas, hoje considerada praticamente um ramo valorao e juzos);da matemtica. Foi principalmente porD) Lgica sentencial ou de primeira ordem; causa dos estudos em lgica que hoje diagramas lgicos (quantificadores universais e podemos nos sentar diante de um existenciais, variaes e negao), diagramas decomputador pessoal e nos conectar com o venn; restante do planeta para trocarE) Verdades e mentiras;problemas deinformaes, desenvolver pesquisas ou correlacionamentos; simplesmente nos divertir.F) Raciocnio Lgico quantitativo. Bem vindo ao Curso e sucesso em sua caminhada!Valclides Guerra ProfessorRaciocnio Lgico Prof.: Valclides [email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 33 34. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA RACIOCNIO LGICOPrincpio da No Contradio: Uma proposio nopode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.MATEMTICOPrincpio da Identidade: Todo objeto idntico a simesmo.O desenvolvimento do pensamento lgico, essencial para a elaborao, a expresso e a Princpio do Terceiro Excludo: Uma proposio s compreenso das ideias e indispensvel pode ser verdadeira ou falsa, no havendo outra compreenso dos fatos e dos fenmenos sociais, alternativa.culturais e histricos e identificao dos nexos lgicos, factuais e eventuais - entre eles, indispensvel CONCEITO DE PROPOSIOao processo de desenvolvimento do raciocnio quepermite a construo de conhecimentos novos a partir de PROPOSIO: so sentenas declarativas afirmativasconhecimentos anteriores e o aperfeioamento e aque exprimem um pensamento de sentido completo queampliao desses, isto , aprendizagem. podem ser verdadeiras ou falsas. O conhecimento construdo, assimilado eLembre-se de que a lgica formal ou proposicional temaperfeioado no cotidiano, a partir das experinciascomo objetivo utilizar frases declarativas e que nosociais - principalmente nas relaes interpessoais - e possuam ambiguidade.atravs dos meios de comunicao social e, tambm,atravs de experincias formais de aprendizagem,principalmente aquela que se d nas instituiesescolares. No primeiro caso, o processo ditoespontneo e est associado lgica natural e nosegundo, dito cientfico e se coloca no mbito da Alguns exemplos de Sentenas abertas e fechadaslgica formal.1. Frases que no so proposies (so chamadas O Dicionrio Conciso Oxford de Ingls definesentenas abertas)lgica como "a cincia do raciocnio, prova, pensamentoou inferncia". A lgica ir deixar voc analisar um o Pare!argumento ou um pedao de raciocnio, e deduzir onde o Quer uma xcara de caf?provvel de ele ser correto ou no. Voc no precisa o Ele foi o melhor jogador de 2007.saber lgica para argumentar, claro; mas se voc sabeo O dia estava nublado.pelo menos um pouco, voc vai achar mais fcil paraapontar argumentos invlidos.Uma pergunta, uma interjeio, uma ordem, frasessem verbo, citaes, poesias, valores desconhecidos INTRODUO (incgnitas), pronomes etc. no representam proposies.2. Frases que so proposies (so chamadas A Lgica Matemtica, em sntese, sentenas fechadas) pode ser considerada como a cincia do raciocnio e da demonstrao. Este o A lua o nico satlite do planeta terra. (V) importante ramo da Matemtica o A cidade de Patos a capital do estado do desenvolveu-se no sculo XIX, Amazonas. (F) sobretudo atravs das ideias de o O nmero 712 par. (V) George Boole, matemtico ingls o O Brasil um pas da Amrica do Norte. (F) (1815 - 1864), criador da lgebra Booleana, que utiliza smbolos eoperaes algbricas para representar proposies e suasPortanto, caros concursandos, as proposiesinter-relaes.assumem alguns valores lgicos!As ideias de Boole tornaram-se a base da LgicaSimblica, cuja aplicao estende-se por alguns ramos da A frase deve conter sujeito e predicado, devemeletricidade, da computao e da eletrnica. A lgicaestar especificados o sujeito e o predicado, devendomatemtica (ou lgica simblica) trata do estudo das ter sentido completo (podendo ser verdadeira ousentenas declarativas tambm conhecidas comofalsa).proposies, as quais devem satisfazer a alguns Chama-se valor lgico de uma proposio aprincpios fundamentais. verdade se a proposio verdadeira e a falsidade se a proposio falsa. Os valores lgicos verdadePRINCPIOS FUNDAMENTAISe falsidade de uma proposio designam-se34 [email protected] / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 35. M ATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRAabreviadamente pelas letras V e F, respectivamente. III) Quantos so os conselheiros do TCE/AC?Assim, o que os princpios da no contradio e do ( ) Certo ( ) Erradoterceiro excludo afirmam que: Toda proposiotem um, e um s, dos valores V, F. Assim, por 05 (SEGER) Na lista de afirmaes abaixo, hexemplo: exatamente 3 proposies.I) Mariana mora em Pima.a)O mercrio mais pesado que a gua.II)Em Vila Velha, visite o Convento da Penha.III) A expresso algbrica x + y positiva.b)O Sol gira em torno da Terra. IV)Se Joana economista, ento ela no entende de polticas pblicas.O valor lgico da proposio (a) a verdade (V) e oV) A SEGER oferece 220 vagas em concurso pblico.valor lgico da proposio (b) a falsidade (F).( ) Certo( ) ErradoEXERCCIOS06 (TRT 17 Regio 2009) Na sequncia de frases abaixo h trs proposies.01Marque com x as sentenas que representam I) Quantos tribunais regionais do trabalho h naproposies: regio Sudeste do Brasil?d)Boa prova! ( )II) O TRT/ES lanou edital para preenchimento de 200e)Ele baixo. ( ) vagas.f)2 + 5 > 8. ( )III) Se o candidato estudar muito, ento ele serg)A frase dentro destas aspas uma mentira.( )aprovado no concurso do TRT/ES.h)O filme j terminou? ( )IV) Indivduo com 50 anos de idade ou mais no poderi)Que horas so? ( ) se inscrever no concurso do TRT/ES.g)Ricardo juiz. ( )( ) Certo( ) Erradoh)A Lua um satlite? ( )i)O Brasil um pas da frica do Sul. ( )07 (CESPE Banco do Brasil 2008) A frase Quantoj)X um Estado da Federao Brasileira. ( ) subiu o percentual de mulheres assalariadas nosk)A terra uma estrela. ( ) ltimos 10 anos? no pode ser considerada uma proposio. ( ) ( ) Certo( ) Errado02 Das cinco frases abaixo, quatro delas tm uma mesma caracterstica lgica em comum, enquanto 08 (FCC) Sabe-se que sentenas so oraes com uma delas no tem essa caracterstica.sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) eI. Que belo dia! predicado (o que se declara sobre o sujeito). NaII. Um excelente livro de raciocnio lgico. relao seguinte h expresses e sentenas:III. O jogo terminou empatado? 1. A tera parte de um nmero.IV. Na palavra Embrapa temos 7 letras. 2. Jaso elegante.V. Escreva uma poesia. 3. Mente s em corpo so. 4. Dois mais dois so 5.A frase que no possui essa caracterstica comum 5. Evite o fumo.a:a)I. 6. Trinta e dois centsimos.b)II. correto afirmar que, na relao dada, soc)IIIsentenas APENAS os itens de nmerosd)IV. A) 1, 4 e 6.e)V.B) 2, 4 e 5.C) 2, 3 e 5.03 (BB-CESPE) H duas proposies no seguinte D) 3 e 5. conjunto de sentenas: E) 2 e 4.I) O BB foi criado em 1980.II) Faa