APOSTILA DE RACIOCÍNIO LÓGICO PARA POLÍCIA CIVIL - MAIO DE 2015 prof Joselias.pdf

RACIOCÍNIO LÓGICO PARA A POLÍCIA CIVIL

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MAIO DE 2015

APOSTILAS PARA POLÍCIA CIVIL www.cursoprofessorjoselias.com.br

Raciocínio Lógico – Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br 1

RACIOCÍNIO LÓGICO 1. Estruturas lógicas. Lógica de argumenta-ção: analogias, inferências, deduções e conclusões. Lógica sentencial (ou proposi-cional). Proposições simples e compostas. Tabelasverdade. Equivalências. Leis de De Morgan. Diagramas lógicos.

LÓGICA Veremos nas próximas linhas a definição do que vem a ser uma proposição, bem como o seu cálculo proposicional antes de chegarmos ao nosso objetivo maior que é estudar as estruturas dos argumentos, que serão conjuntos de proposi-ções denominadas premissas ou conclusões.

LÓGICA PROPOSICIONAL

PROPOSIÇÃO Chamaremos de proposição ou sentença todo con-junto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. Sendo assim, vejamos os exemplos. Exemplo: a) O Lula é o presidente do Brasil. b) O Rio de Janeiro fica na Europa. c) Elvis não morreu.

As proposições devem assumir os valores falsos ou verdadeiros, pois elas expressam a descrição de uma reali-dade, e uma proposição representa uma informação enunciada por uma oração, portanto pode ser expressa por distintas ora-ções, tais como: “O João é mais novo que o Pedro”, ou pode-mos expressar também por “O Pedro é mais velho que o João”. Concluímos que as proposições estão associadas aos valores lógicos: verdadeiro (V) ou falso (F). Exemplo: Se a proposição p = “O Lula é o presidente do Brasil” é verda-deira então representaremos o valor lógico da proposição p por VAL(p) = V. Se a proposição p = “O Lula não é o presidente do Brasil” é falsa então representaremos o valor lógico da proposição p por VAL(p) = F. Sendo assim a frase “Parabéns!” não é uma proposição,

pois não admite o atributo verdadeiro ou falso. Portanto tam-bém não serão proposições as seguintes expressões: Exclamações: “Oh!”, “Que susto!”.

Interrogações: “Tudo bem?”, “Que dia é hoje?”, “Você é pro-fessor?”. Imperativos: “Seja um bom marido.”, “Estude para concursos.” Paradoxos: “Esta sentença é falsa”.

Teremos dois princípios no caso das proposições:

PRINCÍPIO DO TERCEIRO-EXCLUÍDO Uma proposição só pode ter dois valores lógicos, isto é, é verdadeira (V) ou falsa (F), não podendo ter outro valor.

PRINCÍPIO DA NÃO-CONTRADIÇÃO

Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa si-multaneamente. Logo, voltando ao exemplo anterior temos: a) “O Lula é o presidente do Brasil.” é uma proposição verda-

deira. b) “O Rio de Janeiro fica na Europa.” é uma proposição falsa. c) “Elvis não morreu”, é uma proposição falsa.

As proposições serão representadas por letras do al-fabeto: A, B, C, .... As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são modificadas, através de operadores (conecti-vos), gerando novas sentenças chamadas de moléculas(ou compostas).

CONECTIVOS

Os conectivos serão representados da seguinte forma:

corresponde a “não” (Alguns autores usam o símbolo “

~ ”, para representar a negação).

corresponde a “e” (conjunção)

corresponde a “ou” (disjunção)

corresponde a “se ... então ...” (condicional)

corresponde a “...se e somente se...” (bi-condicional)

⊻ corresponde a “... ou ..., ou ..., mas não ambos (disjunção exclusiva)

Assim podemos ter:

• Negações: ~ 𝒑 (lê-se: não p) Exemplo:

Seja a proposição p = “Lógica é difícil”. A proposição “Lógica não é difícil” poderá ser representada por ~ 𝒑.

• Conjunções: p q (lê-se: p e q)

Exemplo:

Sejam p e q proposições tal que: p = “Trabalho” q = “Estudo”, então temos que:

p q = “Trabalho e estudo”

• Disjunções: p q (lê-se: p ou q)

Exemplo:


p q = “Trabalho ou estudo”

• Condicionais: p q (lê-se: Se p então q) Exemplo:


p q = “Se trabalho então estudo”



• Bi-condicionais: p q (lê-se: p se e somente se q) Exemplo:


p q = “Trabalho se e somente se estudo”

• Disjunção exclusiva: p ⊻ q ((lê-se: ou p, ou q, mas não ambos) Exemplo:

Sejam p e q proposições tal que: p = “Trabalho” q = “Estudo”, então temos que: p ⊻ q = “Ou trabalho, ou estudo, mas não ambos”

PRIORIDADES DOS CONECTIVOS

Podemos usar parênteses para evitar ambiguidades, considerando a seguinte prioridade em ordem decrescente:

(A prioridade mais alta)

(A prioridade mais baixa)

TABELA VERDADE

O valor lógico de cada proposição composta depende dos conectivos contidos nela. Cada conectivo possui uma regra para formar o valor lógico da proposição composta, conforme a descrição abaixo.

a) Tabela verdade da negação (p) (não p)

Se a proposição é verdadeira, sua negação será falsa. Se a proposição é falsa, sua negação será verdadeira. Assim teremos a seguinte tabela:

b) Tabela verdade da disjunção (pq) (p ou q) (ou p, ou q)

A disjunção será falsa quando todas as proposições simples forem falsas, caso contrário será verdadeira. Assim te-remos a seguinte tabela:

c) Tabela verdade da conjunção (pq) (p e q)

A conjunção será verdadeira quando todas as propo-sições simples forem verdadeiras, caso contrário será falsa. Assim teremos a seguinte tabela:

d) Tabela verdade da condicional (p q) (Se p, então q)

A condicional somente será falsa quando p for verda-deira e q for falsa, caso contrário será verdadeira.

e) Tabela verdade da bi-condicional (p q) (p se e somente se q)

A bi-condicional será verdadeira quando as proposi-ções simples, p e q, tiverem o mesmo valor lógico, caso con-trário será falsa.

f) Tabela verdade da disjunção exclusiva (p ⊻ q)

A disjunção exclusiva será verdadeira quando as pro-posições simples, p e q, tiverem os valores lógicos diferentes, caso contrário será falsa. Assim teremos abaixo a tabela verdade para as proposições compostas pelas proposições simples p e q:

p p

V F

F V

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

p q pq

V V V

V F F

F V F

F F F

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

p q p ⊻ q

V V F

V F V

F V V

F F F



TABELA VERDADE

Exemplo:

Sejam as proposições p e q, tal que: p = ”Corre” q = ”O bicho pega” Descrever as seguintes proposições abaixo:

a) p

b) p q

c) p q

d) p q

e) p q f) p ⊻ q

Solução:

a) p = “Não corre”

b) p q = “Corre ou o bicho pega”

c) p q = “Corre e o bicho pega”

d) p q = “Se corre, então o bicho pega”

e) p q = “Corre se e somente se o bicho pega”

f) p ⊻ q = “Ou corre, ou o bicho pega, mas não ambos”

Exemplo:

Sejam p e q proposições. Complete a tabela verdade abaixo

Solução:

p q p q pq p q p q p q

V V F F V V F F

V F F V V F F V

F V V F V F F V

F F V V F F V V

Exemplo

Determinar o valor verdade da proposição R (P Q), sa-bendo-se que VAL (P) = F, VAL (Q) = F e VAL (R) = F.

Solução

Logo o VAL(R (P Q)) = V Exemplo: (STF-2008) Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. A resposta branda acalma o coração irado. O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem. Se o filho é honesto então o pai é exemplo de in-tegridade. Tendo como referência as quatro frases acima, julgue o itens seguintes como certo(C) ou errado(E).

a) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção. b) A segunda frase é uma proposição lógica simples. c) A terceira frase é uma proposição lógica composta. d) A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos.

Solução

a) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção. Errado. A sentença não é proposição.

b) A segunda frase é uma proposição lógica simples. Certo. A sentença “A resposta branda acalma o coração irado” é uma proposição simples.

c) A terceira frase é uma proposição lógica composta. Errado. Trata-se de uma oração com o sujeito composto, for-

mando uma proposição simples. d) A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos. Errado. A sentença “Se o filho é honesto então o pai é exemplo

de integridade” apresenta apenas o conetivo condicional. Exemplo: Sabendo que a proposição “se A, então B” é falsa, podemos

concluir que: a) a proposição A é verdadeira e B é verdadeira. b) a proposição A é verdadeira e B é falsa. c) a proposição A é falsa e B é verdadeira. d) a proposição A é falsa e B é falsa. e) A proposição A é sempre falsa.

Solução

Teremos “se verdade, então falso”. Logo A é verdadeira e B é falsa. Resposta: B

p q p pq pq p q p q p ⊻ q

V V F V V V V F

V F F V F F F V

F V V V F V F V

F F V F F V V F

P Q R P Q R (P Q)

V V V V V

V V F V F

V F V F F

F V V F F

V F F F V

F V F F V

F F V F F

F F F F V

p q p q pq pq p q p q

V V

V F

F V

F F



TAUTOLOGIA

São as proposições compostas sempre verdadeiras, independentemente dos valores lógicos das proposições sim-ples que as compõem. Para verificar se uma proposição é uma tautologia basta fazer a tabela verdade da proposição com-posta. Exemplos:

a) A proposição (p p) é uma tautologia, pois é sempre ver-

dadeira para qualquer valor lógico da proposição p.

b) A proposição (p p) é uma tautologia, pois é verdadeira

para qualquer valor lógico da proposição p.

p p p

V V

F V

c) A proposição (p) p é uma tautologia, pois é sempre

verdadeira para qualquer valor lógico da proposição p.

d) A proposição (p q) (p q) é uma tautologia, pois é

sempre verdadeira para todos os valores lógicos das proposi-ções p e q.

e) A proposição (p q) (q p) é uma tautologia, pois

é sempre verdadeira para todos os valores lógicos das propo-sições p e q. Vamos deixar para o leitor a verificação pela ta-bela-verdade.

A tautologia (p q) (q p) é conhecida como contra-

positiva.

f) A proposição (p q) (p q) é uma tautologia, pois é

sempre verdadeira para todos os valores lógicos das proposi-ções p e q. Vamos deixar para o leitor a verificação pela tabela-verdade.

A tautologia (p q) (p q) é conhecida como tautologia

de Morgan.

g) A proposição (p q) (p q) é uma tautologia, pois

é sempre verdadeira para todos os valores lógicos das propo-sições p e q. Vamos deixar para o leitor a verificação pela tabela-verdade.

A tautologia (p q) (p q) também é conhecida como

tautologia de Morgan.

h) A proposição (pq) (p q) é uma tautologia, pois é

sempre verdadeira para todos os valores lógicos das proposi-ções p e q. Vamos deixar para o leitor a verificação pela tabela-verdade.

LISTA DE TAUTOLOGIAS MAIS COMUNS

a) (p p)

b) (p p)

c) (p p) (Identidade)

d) (p q) (p q)

e) (p q) (q p) (Contra-positiva)

f) (p q) (p q) (Morgan)

g) (p q) (p q) (Morgan)

h) (p) p (Negação dupla)

i) (p q) (p q)

CONTRADIÇÕES

São as proposições compostas sempre falsas, independente-mente dos valores lógicos das proposições simples que as compõem. Para verificar se uma proposição é uma contradição basta fazer a tabela verdade da proposição composta. Exemplo:

A proposição (p p) é uma contradição, pois é sempre falsa

para qualquer valor lógico da proposição p.

CONTINGÊNCIA

São as proposições compostas em que os valores ló-gicos dependem dos valores das proposições simples. Para ve-rificar se uma proposição é uma contingência basta fazer a ta-bela-verdade da proposição. Se na tabela-verdade alguns va-lores lógicos forem verdadeiros e outros falsos teremos uma contingência.

p p p p

V F V

F V V

p (p) (p) (p) p

V F V V

F V F V

p q pq p pq (pq) (pq)

V V V F V V

V F F F F V

F V V V V V

F F V V V V

p p p p

V F F

F V F



Exemplo:

A proposição (p q) é uma contingência, pois a proposição pode ser verdadeira ou falsa dependendo dos valores lógicos de p e q. Exemplos:

a) (p p) (p p) é uma tautologia, pois a proposição composta é sempre verdadeira.

b) (p p) (p p) é uma contradição, pois a proposição composta é sempre falsa. Exemplo:

Uma tautologia é uma proposição composta que é sempre verdadeira. Das alternativas abaixo, a única que é tautologia é: a) se filosofamos, então filosofamos. b) se não filosofamos, então filosofamos. c) Lógica é fácil, mas é difícil. d) ele é feio, mas para mim é bonito. e) eu sempre falo mentira.

Solução A única proposição sempre verdadeira é “se filosofamos, en-

tão filosofamos”, pois é a tautologia (p p). Resposta: A

NÚMERO DE LINHAS DA TABELA VERDADE

O número de linhas da tabela verdade de uma propo-

sição composta com n proposições simples é 2n.

Exemplo:

Observe que a tabela verdade de uma proposição composta com uma proposições simples possui 21 = 2 linhas. 20 Exemplo:

Observe que a tabela verdade de uma proposição composta com duas proposições simples possui 22 = 4 linhas. 21 Exemplo:

Observe que a tabela verdade de uma proposição composta com três proposições simples possui 23 = 8 linhas.

Exercícios propostos

1) (2013-ESAF-Analista Técnico-Administrativo – MF) Con-forme a teoria da lógica proposicional, a proposição ~ P Λ P é:

a) uma tautologia. b) equivalente à proposição ~ P V P . c) uma contradição. d) uma contingência. e) uma disjunção. 2) (2014 – IBFC - Qualquer Nível Médio – SEPLAG/SEDS-MG) De acordo com os conectivos lógicos podemos afir-mar que:

a) Se o valor lógico de uma proposição p for verdade e o valor lógico de uma proposição q for falso, então p conjunção q é

verdade. b) Se o valor lógico de uma proposição p for verdade e o valor lógico de uma proposição q for falso, então p disjunção q é

verdade. c) Se o valor lógico de uma proposição p for verdade e o valor lógico de uma proposição q for falso, então p condicional q é

verdade. d) Se o valor lógico de uma proposição p for verdade e o valor lógico de uma proposição q for falso, então p bicondicional q é

verdade. 3) (ESAF – 2009 – EPPGG - MPOG) Entre as opções abaixo,

a única com valor lógico verdadeiro é: a) Se Roma é a capital da Itália, Londres é a capital da França. b) Se Londres é a capital da Inglaterra, Paris não é a capital da França. c) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da França. d) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da Inglaterra. e) Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da Ingla-terra. 4) (2014 – IBFC - Analista e Pesquisador de Saúde e Tec-nologia I - Administração – FUNED-MG) Com relação aos

conectivos lógicos, a única alternativa incorreta é:

a) o valor lógico da conjunção (e) entre duas proposições é falso se pelo menos um dos valores lógicos de uma das proposições for falso. b) o valor lógico da disjunção (ou) entre duas proposições é verdade se pelo menos um dos valores lógicos de uma das proposições for verdade. c) o valor lógico do condicional (se, então) entre duas proposi-ções é verdade se ambos os valores lógicos das proposições forem falsos. d) o valor lógico do bicondicional (se, e somente se) entre duas proposições é falso se ambos os valores lógicos das proposi-ções forem falsos.

p q q (p q)

V V F F

V F V V

F V F F

F F V F

p

V

F

p q

V V

V F

F V

F F

p q r

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F



5) (2009 – CESGRANRIO - Engenheiro Civil – CAPES)

Chama-se tautologia à proposição composta que possui valor lógico verdadeiro, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições que a compõem. Sejam p e q proposições simples e ~p e ~q as suas respectivas negações. Em cada uma das alternativas abaixo, há uma proposição composta, formada por p e q. Qual corresponde a uma tautologia? (A) p ˅ q (B) p ˄ ~q (C) (p ˅ q) → (~p ˄ q) (D) (p ˅ q) → (p ˄ q) (E) (p ˄ q) → (p ˅ q) 6) (ESAF – 2009 – APOF - SEFAZ-SP) Assinale a opção ver-

dadeira. a) 3 = 4 e 3 + 4 = 9 b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9 c) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9 d) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9 e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9 7) (2014 – IBFC - Agente Administrativo - Pref. Alagoa

Grande-PB) Sejam as proposições p: 15% de 30% = 45% e q:

a quarta parte de uma dúzia é igual a 3, e considerando os valores lógicos dessas proposições, podemos afirmar que o va-lor lógico da proposição composta (p→q)↔~p é: a) falso b) verdadeiro ou falso c) verdade d) inconclusivo

8) (FGV) A proposição (p q) (p q) representa um:

a) Contradição b) Contingência c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A

9) (FGV) A proposição (p q) (p q) representa um:

a) Contradição b) Contingência c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A 10) (2014 – IBFC - Agente Administrativo - Pref. Alagoa

Grande-PB) Dentre as afirmações, a única incorreta é:

a) se os valores lógicos de duas proposições são falsos então o valor lógico do condicional entre elas é falso. b) se o valor lógico de uma proposição é falso e o valor lógico de outra proposição é verdade, então o valor lógico da conjun-ção entre elas é falso. c) se os valores lógicos de duas proposições são falsos então o valor lógico da disjunção entre elas é falso d) se o valor lógico de uma proposição é falso e o valor lógico de outra proposição é verdade, então o valor lógico do bicondi-cional entre elas é falso.

11) A proposição (p q) (p q) representa um:

a) Contradição

b) Contingência c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A 12) (CESGRANRIO – Analista de Planejamento – Adm. Es-colar - IBGE – 2013) Sejam 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, 𝑝4, 𝑝5 e c proposições

verdadeiras. Assim, é FALSA

(A) 𝑝1 ˄ 𝑝2 ˄ 𝑝3 ˄ 𝑝4 ˄ 𝑝5 → c (B) ¬c → ¬𝑝1 ˅ ¬𝑝2 ˅ ¬𝑝3 ˅ ¬𝑝4 ˅ ¬𝑝5

(C) ¬𝑝1 ˅ ¬𝑝2 ˅ ¬𝑝3 ˅ ¬𝑝4 ˅ ¬𝑝5 ˄ c

(D) ¬𝑝1 ˅ ¬𝑝2 ˅ ¬𝑝3 ˅ ¬𝑝4 ˅ ¬𝑝5 ˅ c (E) 𝑝1 ˅ 𝑝2 ˅ 𝑝3 ˅ 𝑝4 ˅ 𝑝5 ˅ ¬c

13) A proposição (p q)(q p) representa um:

a) Contradição b) Contingência c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A 14) (2013 – IBFC - Oficial Administrativo – SUCEN) O racio-

cínio lógico trabalha com proposições, que é um conceito fun-damental no estudo da lógica. Dadas as proposições abaixo: p: 16,5% de 200 = 32; q: a quarta parte de 300 é igual a 80

É correto afirmar que: a) a disjunção de p e q ( p v q ) é verdadeira. b) a disjunção de p e q ( p v q ) é falsa. c) Não existe a disjunção das proposições dadas. d) O valor lógico de p é diferente do valor lógico de q.

15) A proposição (p p) representa um:

a) Contradição b) Contingência c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A

16) A proposição (p p) representa um:

a) Contradição b) Contingência c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A 17) (2013 – IBFC - Oficial Administrativo – SUCEN) Dentre as afirmações: I. Se duas proposições compostas forem falsas então o condi-cional entre elas é verdade. II. Se duas proposições compostas forem falsas então o bicon-dicional entre elas é falso. III. Para que uma disjunção entre duas proposições seja ver-

dadeira é necessário que ambas proposições sejam verdadei-ras. IV. Para que uma conjunção entre duas proposições seja falsa

é necessário que ambas proposições sejam falsas. Pode-se dizer que são verdadeiras:



a) Todas b) Somente duas delas c) Somente uma delas d) Nenhuma

18) A proposição (p)p representa um: a) Contradição b) Contingência c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A

19) A proposição ( (p)) p representa um:

a) Contradição b) Contingência c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A 20) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.

p q ?

V V F

V F F

F V V

F F F

A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é

a) (p q)

b) (~p ~q)

c) (p ~q)

d) (~p q)

e) (p q)

21) (2009 – CESGRANRIO - Agente Administrativo – FU-

NASA) Denomina-se contradição a proposição composta que é SEMPRE FALSA, independendo do valor lógico de cada uma

das proposições simples que compõem a tal proposição com-posta. Sejam p e q duas proposições simples e ~p e ~q, res-pectivamente, suas negações. Assinale a alternativa que apre-senta uma contradição. (A) p ˄ q (B) q ˅ ~q (C) p ˅ ~q (D) ~p ˄ q (E) ~p ˄ p 22) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.

A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é

a) (p q)

b) (~p ~q)

c) (p ~q)

d) (~p q)

e) (p q)

Gabarito

1 – C 2 – B 3 – C 4 – D 5 – E 6 – C 7 – C 8 – C 9 – C 10 – A 11 – C 12 – C 13 – C 14 – B 15 – C 16 – A 17 – D 18 – C 19 – C 20 – D 21 – E 22 – B

EQUIVALÊNCIA LÓGICA

Dizemos que duas proposições são equivalentes se elas possuem a mesma tabela-verdade. Para verificar se duas proposições são equivalentes devemos comparar as suas va-lorações. Exemplos:

a) A proposição (pq) é equivalente a (qp).

b) A proposição (pq) é equivalente a (qp).

c) A proposição (p q) é equivalente a (q p).

p q ?

V V F

V F F

F V F

F F V

p q (pq) (qp)

V V V V

V F V V

F V V V

F F F F

p q (p q) (q p)

V V V V

V F F F

F V F F

F F F F

p q (p q) (q p).

V V V V

V F F F

F V F F

F F V V



d) A proposição (p q) é equivalente a (p q).

e) A proposição (p q) é equivalente a (q p).

A equivalência entre (p q) e (q p) é chamada de contra-positiva.

f) A proposição (p q) é equivalente a (p q).

A equivalência entre (p q) e (p q) é chamada de equi-valência de Morgan.

g) A proposição (p q) é equivalente a (p q).

A equivalência entre (p q) e (p q) é chamada de equi-

valência de Morgan.

LISTA DE ALGUMAS EQUIVALÊNCIAS COMUNS

a) (p q) é equivalente a (q p)

b) (p q) é equivalente a (q p)

c) (p q) é equivalente a (q p)

d) (p q) é equivalente a (p q)

e) (p q) é equivalente a (q p)

f) (p q) é equivalente a (p q)

g) (p q) é equivalente a (p q)

h) (p) é equivalente a p

i) (p q) é equivalente a (p q)

Exemplo:

Uma sentença lógica equivalente a “Se Pedro é economista, então Luisa é solteira.” é: a) Pedro é economista ou Luisa é solteira. b) Pedro é economista ou Luisa não é solteira. c) Se Luisa é solteira, Pedro é economista. d) Se Pedro não é economista, então Luisa não é solteira. e) Se Luisa não é solteira, então Pedro não é economista.

Solução

(Se Pedro é economista, então Luisa é solteira)

p q

é equivalente(contra-positiva) a

q p

(Se Luisa não é solteira, então Pedro não é economista) Resposta: E Exemplo:

Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente

a ( p q) é

a) (p q)

b) (p q)

c) (p q)

d) (p q)

e) (~p q) Solução

(p q) é equivalente a (p q) é a equivalência de Mor-gan. Resposta: A

Exemplo

Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro

Solução

(André é artista ou Bernardo não é engenheiro) A expressão acima é equivalente a:

(Bernardo não é engenheiro ou André é artista)

p q

é equivalente a

p q

(Se Bernardo é engenheiroentão André é artista) Resposta: D

Exemplo:

Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista

p q (pq) p (pq)

V V V F V

V F F F F

F V V V V

F F V V V

p q (p q) q p (q p)

V V V F F V

V F F V F F

F V V F V V

F F V V V V

p q (p q) (p q) p q (p q)

V V V F F F F

V F F V F V V

F V F V V F V

F F F V V V V

p q (p q) (p q) p q (p q)

V V V F F F F

V F V F F V F

F V V F V F F

F F F V V V V



d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista

Solução

(Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista)

p q

é equivalente a

p q

(Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista) Resposta: A

DEDUÇÕES

ARGUMENTO; DIAGRAMAS LÓGICOS; RA-CIOCÍNIO LÓGICO ANALÍTICO.

Argumentos e Raciocínio Analitico

Argumento é um conjunto de proposições em que algumas de-las implicam outra proposição. Chamaremos as proposições p1, p2, p3, . . . , pn de premissas do argumento, e a proposição q de conclusão do argumento. Representaremos os argumen-

tos da seguinte maneira: p1 p2 p3 . . .

pn

q

Exemplo:

Se chover então fico em casa. Choveu.

Fico em casa. Exemplo:

Todas as mulheres são bonitas. Maria é mulher.

Maria é bonita. Exemplo:

João ganha dinheiro ou João trabalha João ganha dinheiro.

João não trabalha

ARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOS

Os argumentos são divididos em dois grupos: Dedutivos e in-dutivos. A noção de argumento dedutivo gera a idéias de trans-portar o geral ao particular, isto quer dizer que a conclusão ape-nas ratifica o conteúdo das premissas. Exemplo:

O argumento abaixo é dedutivo, pois o conteúdo da conclusão é conseqüência apenas das premissas. Todas as mulheres são princesas. Todas as princesas são bonitas.

Todas as mulheres são bonitas.

A noção de argumento indutivo gera a idéia de transportar o particular para o geral, portanto a conclusão não é derivada apenas das premissas. Exemplo:

O argumento abaixo é indutivo, pois o conteúdo da conclusão não é conseqüência apenas das premissas. Segunda-feira choveu. Terça-feira choveu. Quarta-feira choveu. Quinta-feira choveu.

Amanhã vai chover.

Para os argumentos dedutivos haverá uma classificação como válidos ou não válidos. Os argumentos dedutivos válidos são raciocínio corretos, e os não válidos são raciocínio incorretos. A classificação da validade não se aplica aos argumentos in-dutivos.

𝑨𝒓𝒈𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 {𝑫𝒆𝒅𝒖𝒕𝒊𝒗𝒐𝒔 {

𝑽á𝒍𝒊𝒅𝒐𝒔𝑵ã𝒐 𝒗á𝒍𝒊𝒅𝒐𝒔

𝑰𝒏𝒅𝒖𝒕𝒊𝒗𝒐𝒔

Pelo princípio do terceiro-excluído temos que uma proposição é verdadeira ou falsa. No caso de um argumento diremos que ele é válido ou não válido. A validade é uma propriedade dos argumentos de-dutivos que depende da forma (estrutura) lógica das suas pro-posições (premissas e conclusões) e não do conteúdo delas. Sendo assim podemos ter as seguintes combinações para os argumentos válidos dedutivos: a) Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira. b) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão ver-dadeira. c) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão falsa. Podemos dizer que um argumento é válido se quando todas as suas premissas são verdadeiras implica que sua conclusão também é verdadeira. Portanto um argumento será não válido se existir a possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua conclusão falsa. Exemplo:

No exemplo anterior observamos não precisamos de nenhum conhecimento aprofundado sobre o assunto para concluir que o argumento acima é válido. Vamos substituir mulheres, prin-cesas e bonitas por A, B e C respectivamente e teremos:

Todos A é B. Todo B é C.

Todo A é C

ARGUMENTOS DEDUTIVOS VÁLIDOS

Sabemos que a classificação de argumentos válidos ou não válidos aplica-se apenas aos argumentos dedutivos, e também que a validade depende apenas da forma do argumento e não dos respectivos valores lógicos das proposições do argumento. Sabemos também que não podemos ter um argumento válido com premissas verdadeiras e conclusão falsa. Veremos agora alguns argumentos dedutivos válidos importantes.



a) Afirmação do antecedente(modus ponens)

O argumento válido chamado de afirmação do antecedente possui a seguinte estrutura:

Se p, então q. p

q

Ou

𝑝 → 𝑞

𝑝

∴ 𝑞

Nesse argumento a afirmação da condição suficiente garante a conclusão da condição necessária. Exemplo:

Se ama, então cuida. Ama.

Cuida.

Exemplo:

Se é divisível por dois, então é par. É divisível por dois.

É par.

b) Negação do consequente(modus tollens)

O argumento válido chamado de negação do consequente pos-sui a seguinte estrutura:

𝑝 → 𝑞

q

∴ p

Nesse argumento a negação da condição necessária garante a negação da condição suficiente. Exemplo:

Se ama, então cuida. Não cuida.

Não ama.

Exemplo:

Se é divisível por dois, então é par. Não é par.

Não é divisível por dois.

c) Dilema

Outro argumento válido é o dilema. Geralmente este argumento ocorre quando a escolha de algumas opções levam

a algumas consequências, e nesse caso a conclusão será pelo menos uma das consequências.

p ou q. Se p então r. Se q então s.

r ou s

Exemplo:

João estuda ou trabalha. Se João estudar será feliz. Se João trabalhar será rico.

João será feliz ou rico.

ARGUMENTOS DEDUTIVOS NÃO-VÁLIDOS

Chamaremos de falácias aos argumentos com estruturas não válidas. Os argumentos dedutivos não válidos podem combinar verdade ou falsidade das premissas de qualquer maneira com a verdade ou falsidade da conclusão. Assim podemos ter, por exemplo, argumentos não-válidos com premissas e conclusões verdadeiras, porém as premissas não sustentam a conclusão.

a) Falácia da negação do antecedente

Negando o antecedente em uma condicional não podemos ob-ter conclusão, sendo assim o argumento não válido conhecido como falácia da negação do antecedente possui a seguinte es-trutura:

𝑝 → 𝑞

𝑝

∴ 𝑞

Exemplo:

Se ama, então cuida. Não ama.

Não cuida.

Observe que o raciocínio é incorreto, pois fato de não amar não garante que não cuida. Exemplo

Se chover, ficarei em casa. Não está chovendo

Não ficarei em casa.

Observe que o raciocínio é incorreto, pois fato de está cho-vendo não garante se ficarei ou não em casa. Exemplo

Se eu for eleito, acabará a miséria. Não fui eleito.

A miséria não acabará

Observe que o raciocínio é incorreto, pois fato de não ser eleito não implica que a miséria não acabará.



b) Falácia da afirmação do consequente

Afirmando o consequente em uma condicional não podemos obter conclusão sobre a afirmação do antecedente, sendo as-sim o argumento não válido conhecido como falácia da afirma-ção do consequente possui a seguinte estrutura:

𝑝 → 𝑞

q

∴ p

Exemplo:

Se ele ama, então cuida. Ele cuida.

Ele ama.

Observe que o raciocínio é incorreto, pois fato de ele cuidar não garante que ele ama. Exemplo:

Se chover, ficarei em casa. Fiquei em casa

Choveu.

Observe que o raciocínio é incorreto, pois fato ficar em casa não garante que choveu. Exemplo

Se eu for eleito, acabará a miséria. Acabou a miséria.

Fui eleito

Observe que o raciocínio é incorreto, pois fato de acabar a mi-séria não implica que fui eleito.

PORPOSIÇÕES CATEGÓRICAS

PROPOSIÇÕES UNIVERSAIS E PARTICULARES

Podemos classificar algumas sentenças como propo-sições universais ou particulares. Nas proposições universais o predicado refere-se a totali-

dade do conjunto. Exemplo: “Todas as mulheres são vaidosas” é universal e simbolizamos por “todo S é P”. Exemplo: “A mulher é sábia” é universal e simbolizamos por “todo S é P”.

Nas proposições particulares o predicado refere-se apenas a uma parte do conjunto. Exemplo:

“Algumas mulheres são vaidosas” é particular e simbolizamos por “algum S é P”.

Proposições afirmativas e negativas

As proposições podem ser classificas como afirmativas ou ne-gativas.

Exemplo:

“Nenhuma mulher é vaidosa” é universal negativa e simboliza-mos por “nenhum S é P”. Exemplo:

“Algumas mulheres não são vaidosas” é particular negativa e simbolizamos por “algum S não é P”. Chamaremos então de proposição categórica na forma típica as proposições dos tipos: “Todo S é P”, “algum S é P”, “algum S não é P” e “nenhum S é P”.

SILOGISMO

Silogismo categórico de forma típica

O silogismo categórico de forma típica (ou silogismo) será

argumento formado por duas premissas e uma conclusão, tal que todas as premissas envolvidas são categóricas de forma típica ( A, E, I, O ). O silogismo categórico de forma típica apresenta os seguintes termos: • Termo menor – sujeito da conclusão. • Termo maior – predicado da conclusão. • Termo médio – é o termo que aparece uma vez em cada

premissa e não aparece na conclusão. Chamaremos de premissa maior a que contém o termo maior, e premissa menor a que contém o termo menor. Exemplo

Todos os brasileiros são alegres. Todos os alegres são felizes.

Todos os brasileiros são felizes.

Termo menor: os brasileiros Termo maior: felizes Termo médio: os alegres Premissa menor: Todos os brasileiros são alegres. Premissa maior: Todos os alegres são felizes.

DIAGRAMAS LÓGICOS

a) Universal afirmativa (A)

“Todo S é P”

Observação:

- A negação de “Todo S é P” é “Algum S não é P”.



b) Universal negativa (E) “Nenhum S é P”

Observação:

- “Nenhum S é P” é equivalente a ” Nenhum P é S”. - A negação de “Nenhum S é P” é “Algum S é P”. c) Particular Afirmativa (I)

“Algum S é P”

Observação:

- “Algum S é P” é equivalente a ” Algum P é S”. - “Algum S é P” é equivalente a ” Pelo menos um S é P”. - A negação de “Algum S é P” é “Nenhum S é P”. d) Particular negativa (O)

“Algum S não é P”

Observação:

- A negação de “Algum S não é P” é “ Todo S é P”. Exemplo:

A negação da sentença “Todas as crianças são levadas” é: a) nenhuma criança é levada. b) existe pelo menos uma criança que não é levada. c) não existem crianças levadas. d) algumas crianças são levadas. c) existe pelo menos uma criança levada.

Solução

A negação da sentença “Todas as crianças são levadas” é “Algumas crianças não são levadas”, que é equivalente a “existe pelo menos uma criança que não é levada”. Resposta B.

Exemplo: A negação da proposição “Todo A é B” é, no ponto de vista

lógico, equivalente a: a) algum A é B. b) nenhum A é B. c) algum B é A. d) nenhum B é A. e) algum A não é B.

Solução

A negação da proposição “Todo A é B” é “Algum A não é B”. Resposta A.

Exemplo: A negação da proposição “Nenhum A é B” é, no ponto de vista

lógico, equivalente a: a) algum A é B. b) algum A não é B. c) algum B não é A. d) nenhum B é A. e) todo A é B.

Solução A negação da proposição “Nenhum A é B” é “Algum A é B”. Resposta A.

Exemplo: A negação da proposição “Todas as mulheres são bonitas”

é: a) Nenhuma mulher é bonita. b) Todos os homens são bonitos. c) Algumas mulheres são bonitas. d) Algumas mulheres não são bonitas. e) Todas as mulheres não são bonitas

Solução

A negação da proposição “Todas as mulheres são bonitas” é “Algumas mulheres não são bonitas”. Resposta D.

Exemplo:

Para que a afirmativa “Todo matemático é louco” seja falsa, basta que: a) todo matemático seja louco. b) todo louco seja matemático. c) Algum louco não seja matemático. d) Algum matemático seja louco. e) Algum matemático não seja louco.

Solução

A negação de todos pode ser Algum..., Existe um ..., Pelo me-nos um... etc. Sendo assim para que a afirmação “Todo mate-mático é louco” seja falsa basta que “Algum matemático não seja louco”. Resposta: E

Exemplo:

Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, tam-bém, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que a) todo C é B b) todo C é A c) algum A é C d) nada que não seja C é A e) algum A não é C

Solução

Pelas premissas podemos ter, por exemplo, o diagrama abaixo:

Assim concluímos que algum A é C. Resposta: C

Exemplo:

Sejam as declarações: Se ele me ama então ele casa comigo. Se ele casa comigo então não vou trabalhar. Ora, se vou ter que trabalhar podemos concluir que: a. Ele é pobre mas me ama. b. Ele é rico mas é pão duro. c. Ele não me ama e eu gosto de trabalhar. d. Ele não casa comigo e não vou trabalhar. e. Ele não me ama e não casa comigo.

Solução

Suponhamos que todas as premissas são verdadeiras. Então temos:

Ele me ama ele casa comigo (V)

Ele casa comigo não vou trabalhar (V)

Vou trabalhar (V)

Como a terceira premissa é verdadeira temos:



F

V



Vou trabalhar (V)

Temos que a segunda premissa é verdadeira e o seu conse-quente(não vou trabalhar) é falso, sendo assim temos que o antecedente(Ele casa comigo) tem que ser falso. Logo temos:

FF

V



Vou trabalhar (V)

Conseqüentemente obtemos:

F

FF

V

Ele me ama Ele casa comigo (V)


Vou trabalhar (V)

Temos que a primeira premissa é verdadeira e o seu conse-qüente(Ele casa comigo) é falso, sendo assim temos que o an-tecedente(Ele me ama) tem que ser falso. Logo temos:

F F

FF

V

Ele me ama Ele casa comigo (V)


Vou trabalhar (V)

Podemos então encontrar as proposições verdadeiras do argu-mento válido, que serão as conclusões: Vou trabalhar.(V) Ele não casa comigo.(V) Ele não me ama.(V) Resposta: E

Exercícios propostos

1) (2013 – IBFC - Oficial Administrativo – SUCEN) Anali-

sando as afirmações abaixo, a alternativa correta é: I. Todo aluno desta escola é inteligente. Marcos é um aluno

desta escola. Logo, Marcos é inteligente. II. Todo x é y. Logo, todo y é x.

a) I e II são argumentos válidos. b) Apenas II é um argumento válido. c) Apenas I é um argumento válido. d) Nenhum dos dois argumentos é válido. 2) (2014 – Vunesp – Perito Criminal – PCSP) Das alternativas

apresentadas, assinale a única que contém uma proposição ló-gica. (A) Ser um perito criminal ou não ser? Que dúvida! (B) Uma atribuição do perito criminal é analisar documentos em locais de crime. (C) O perito criminal também atende ocorrências com vítimas de terrorismo! (D) É verdade que o perito criminal realiza análises no âmbito da criminalística? (E) Instruções especiais para perito criminal. 3) (2014 – IBFC - Agente Administrativo - Pref. Alagoa Grande-PB) A frase “O candidato foi aprovado ou escolheu o

curso errado” equivale logicamente a:

a) O candidato não foi aprovado ou não escolheu o curso er-rado b) Se o candidato foi aprovado então escolheu o curso errado c) Se o candidato não foi aprovado, então escolheu o curso errado d) O candidato não foi aprovado e escolheu o curso errado 4) (2014 – IBFC - Qualquer Nível Médio – SEPLAG/SEDS-MG) A frase “Osvaldo anda de bicicleta ou Ana não comprou

uma TV” equivale logicamente a: a) Se Ana comprou uma TV, então Osvaldo não anda de bici-cleta. b) Se Osvaldo não anda de bicicleta, então Ana comprou uma TV. c) Ana comprou uma TV e Osvaldo não anda de bicicleta. d) Se Ana comprou uma TV, então Osvaldo anda de bicicleta. 5) (2014 – Vunesp – Perito Criminal – PCSP) Considere as

seguintes proposições, em que o valor lógico da proposição I é verdade e o valor lógico da proposição II é falsidade: I. Um perito criminal atende ocorrências com vítimas de desa-bamento e examina elementos em locais de crime. II. Um cidadão comum manuseia e analisa drogas psicoativas. III. Se um cidadão comum manuseia e analisa drogas psicoati-vas, então um perito criminal examina elementos em locais de crime. IV. Um perito criminal atende ocorrências com vítimas de de-sabamento se, e somente se, um cidadão comum manuseia e analisa drogas psicoativas. V. Um perito criminal atende ocorrências com vítimas de desa-bamento ou examina elementos em locais de crime. Os valores lógicos das proposições III, IV e V são, respectiva-mente, (A) verdade, falsidade, falsidade. (B) falsidade, falsidade, falsidade. (C) verdade, verdade, verdade. (D) falsidade, verdade, verdade. (E) verdade, falsidade, verdade.

6) (2014 – ESAF – ATA – Ministério da Fazenda) A negação

da proposição “se Paulo trabalha oito horas por dia, então ele é servidor público” é logicamente equivalente à proposição: a) Paulo trabalha oito horas por dia ou é servidor público. b) Paulo trabalha oito horas por dia e não é servidor público. c) Paulo trabalha oito horas por dia e é servidor público. d) Se Paulo não trabalha oito horas por dia, então não é servi-dor público. e) Se Paulo é servidor público, então ele não trabalha oito ho-ras por dia. 7) (2014 – IBFC - Analista e Pesquisador de Saúde e Tec-nologia I - Administração – FUNED-MG) Dizer que “Joaquim

é músico ou Sheila é médica” é logicamente equivalente a dizer que: a) Se Joaquim é musico, então Sheila é médica. b) Se Sheila não é médica, então Joaquim é músico. c) Joaquim é músico se e somente se Sheila é médica. d) Sheila não é médica e Joaquim não é músico. 8) (2014 – Vunesp – Perito Criminal – PCSP) Considere a

afirmação seguinte: O local do crime não foi violado e o exame pericial foi rea-lizado. Uma negação lógica para essa afirmação está contida na alter-nativa: (A) O local do crime não foi violado ou o exame pericial foi rea-lizado. (B) O local do crime foi violado e o exame pericial não foi reali-zado. (C) O local do crime foi violado, mas o exame pericial foi reali-zado.



(D) O local do crime foi violado ou o exame pericial não foi re-alizado. (E) O local do crime não foi violado, mas o exame pericial não foi realizado. 9) (2014 – IBFC - Analista e Pesquisador de Saúde e Tec-nologia I - Administração – FUNED-MG) De acordo com o diagrama abaixo não é correto afirmar que:

a) não existe Aster que é Brok. b) há Brok que não é Aster. c) há Aster que não é Brok. d) pode haver Aster que é Brok. 10) (2014 – Vunesp – Perito Criminal – PCSP) Considere ver-

dadeiras as seguintes afirmações: • Se Clóvis é perito criminal, então ele porta arma e dirige via-tura. • Clóvis porta arma. • Clóvis não dirige viatura. Conclui-se corretamente, das afirmações apresentadas, que Clóvis (A) não é perito criminal. (B) não é policial civil. (C) é perito criminal. (D) dirige carro que não seja viatura. (E) é policial civil. 11)) (2014 – IBFC - Agente Administrativo - Pref. Alagoa Grande-PB) O argumento válido “Se Paulo é motorista então

trabalha muito, mas Paulo não trabalha muito” implica em: a) Paulo não é motorista. b) Paulo é motorista. c) Paulo pode ser ou não motorista. d) não é verdade que Paulo não é motorista. 12) (2014 – Vunesp – Perito Criminal – PCSP) Sabe-se que,

em determinada região, • os policiais civis são funcionários públicos; • todo perito criminal é policial civil. Logo, é correto concluir que, nessa região, (A) os peritos criminais são funcionários públicos. (B) os funcionários públicos são peritos criminais. (C) os policiais civis são peritos criminais. (D) os funcionários públicos são policiais civis. (E) algum perito criminal não é funcionário público. 13) (2012 – IBFC - Administrativo – FUNED) A negação da

frase “Celso é médico e Paula é enfermeira” é: a) Celso não é médico ou Paula não é enfermeira. b) Celso não é médico e Paula não é enfermeira. c) Se Celso não é médico então Paula não é enfermeira. d) Celso não é médico mas Paula não é enfermeira. 14) (2012 – IBFC - Administrativo – FUNED) A proposição

composta que é equivalente à proposição “ Se Marcos está fe-liz, então Mara foi à escola” é: a) Marcos está feliz ou Mara não foi à escola. b) Marcos não está feliz ou Mara foi à escola. c) Marcos não está feliz ou Mara não foi à escola. d) Marcos não está feliz se, e somente se, Mara foi à escola. 15) (2014 – Vunesp – Perito Criminal – PCSP) Considere a

afirmativa: Se André tirou uma ótima nota na prova preambular, então ele fará a prova de aptidão psicológica.

Contém uma equivalente da afirmativa apresentada a alterna-tiva: (A) Se André fará a prova de aptidão psicológica, então ele tirou uma ótima nota na prova preambular. (B) André tirou uma ótima nota na prova preambular e fará a prova de aptidão psicológica. (C) Se André não tirou uma ótima nota na prova preambular, então ele não fará a prova de aptidão psicológica. (D) André fará a prova de aptidão psicológica se, e somente se, ele não tirou uma ótima nota na prova preambular. (E) Se André não fará a prova de aptidão psicológica, então ele não tirou uma ótima nota na prova preambular. 16) (FCC-2014-Tec. Jud. Área Adm. Segurança-TRT 2ª)

Cinco irmãs, discutindo sobre a festa que aconteceria na ci-dade no final do mês, fizeram as afirmações abaixo. − Se a Paula for à festa, então a Bruna também irá. − Se a Renata não for à festa, então a Laura irá. − Se a Flávia não for à festa, então a Bruna também não irá. − Se a Laura for à festa, então a Paula também irá. Sabendo que as quatro afirmações são verdadeiras e que Paula não foi à festa, pode-se concluir que, necessariamente, (A) Bruna não foi à festa. (B) Flávia não foi à festa. (C) Flávia foi à festa. (D) Renata não foi à festa. (E) Renata foi à festa. 17) (FCC-2014-Tec. Jud. Área Adm. Segurança-TRT 2ª)

Cinco irmãs, discutindo sobre a festa que aconteceria na ci-dade no final do mês, fizeram as afirmações abaixo. − Se a Paula for à festa, então a Bruna também irá. − Se a Renata não for à festa, então a Laura irá. − Se a Flávia não for à festa, então a Bruna também não irá. − Se a Laura for à festa, então a Paula também irá. Sabendo que as quatro afirmações são verdadeiras e que Paula não foi à festa, pode-se concluir que, necessariamente, (A) Bruna não foi à festa. (B) Flávia não foi à festa. (C) Flávia foi à festa. (D) Renata não foi à festa. (E) Renata foi à festa. 18) (2010 – CESGRANRIO - Agente Censitário Municipal – IBGE) Z é mais velho que Y, mas tem a mesma idade de X. X

é mais novo que W. Desse modo, (A) W é mais novo que Y. (B) W é mais velho que Y. (C) Z é mais velho que W. (D) X é mais novo que Y. (E) Y e W têm a mesma idade. 19) (2014 – CESGRANRIO – Técnico Científico – TI – Aná-lise de Sistemas – Banco da Amazônia) Considere a se-

guinte afirmação: Jorge se mudará ou Maria não será aprovada no concurso. Tal afirmação é logicamente equivalente à afirmação: (A) Se Maria não for aprovada no concurso, então Jorge se mudará. (B) Se Maria for aprovada no concurso, então Jorge não se mudará. (C) Se Maria for aprovada no concurso, então Jorge se mudará. (D) Jorge não se mudará ou Maria será aprovada no concurso. (E) Jorge se mudará se, e somente se, Maria não for aprovada no concurso. 20) (2009-ESAF-Assistente Técnico Administrativo(ATA) – MF) X e Y são números tais que: Se X ≤ 4, então Y>7. Sendo

assim: a) Se Y ≤ 7, então X > 4. b) Se Y > 7, então X ≥ 4. c) Se X ≥ 4, então Y < 7.



d) Se Y < 7, então X ≥ 4. e) Se X < 4, então Y ≥ 7.

Gabarito:

1 – C 2 – B 3 – C 4 – D 5 – E 6 – B 7 – B 8 – D 9 – A 10 – A 11 – A 12 – A 13 – A 14 – B 15 – E 16 – E 17 – E 18 – B 19 – C 20 – A

2 - Raciocínio lógico envolvendo problemas aritméticos, geométricos e matriciais.

Nesse tópico vamos resolver exercícios que envolvem raciocí-nios quantitativos, tais como aritméticos, geométricos, matrici-ais, sequenciais etc. O leitor deve tentar resolver as próximas questões e procurar entender as soluções apresentadas aqui nos próximos exemplos. 1) Em uma turma há 18 homens e 15 mulheres. Vinte e oito

alunos dessa turma inscreveram-se para participar de um con-curso. Quantas mulheres, no mínimo, estão inscritas para par-ticipar desse concurso? (A) 14 (B) 13 (C) 12 (D) 11 (E) 10

Solução

Para ter a menor quantidade de mulheres precisamos que to-dos os 18 homens se inscrevam. Logo o número mínimo de mulheres inscritas será 28 – 18 = 10 mulheres. Resposta: E

2) Uma prova com 240 questões diferentes foi distribuída a três estudantes, A, B e C, de modo que cada estudante recebeu um bloco com 80 questões distintas. A apresentou 80% de acertos nas suas respostas; B respondeu corretamente a 90% do seu bloco e C errou 70% de suas questões. Desta forma, o

número total de questões erradas, pelos três estudantes, na prova é de: a) 24 b) 48 c) 56 d) 80 e) 192

Solução

Temos que: A 16 erradas B 8 erradas C 56 erradas Total: 80 erradas Resposta: D

3) 12 homens estavam perdidos no deserto. Eles possuíam

água para 30 dias, porém na noite do sexto dia encontraram um outro grupo de homens perdidos, que se juntaram a eles. Sabendo-se que a água durou apenas mais doze dias, a quan-tidade de homens no grupo encontrado foi a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16

Solução

Na noite do sexto dia possuíam água para mais 24 dias. Como a água só durou 12 dias (metade do que deveria), concluímos que o número de homens dobrou. Logo, no grupo encontrado havia 12 homens. Resposta: C

4) Na reunião de um condomínio compareceram homens e mu-

lheres. Após iniciada a sessão, um homem se retirou, e o nú-mero de mulheres presentes ficou sendo o dobro do número de homens. Posteriormente, o homem que havia saído retomou. Em seguida, saíram seis mulheres, e o número de homens e mulheres presentes ficou igual. O número de pessoas presen-tes quando a reunião foi iniciada era (A) 14. (B) 16. (C) 18. (D) 20. (E) 22.

Solução

Início Etapa 1

Etapa 2

Etapa 3

Homens x x - 1 x x

Mulhe-res

y y y y - 6

2( 1)

6

y x

x y

2( 1)

6

y x

y x

Logo: 2(x-1) = x + 6 2x – 2 = x + 6 x = 8 y = 14 Logo o número de presentes na reunião foi 22 pessoas (8 ho-mens e 14 mulheres). Resposta: E

5) Estou matriculado no curso de Administração de Empresas.

Para trancar a matrícula em qualquer disciplina, tenho um prazo máximo de 90 dias a contar de hoje, que é terça-feira, vencendo o l.ª dia, portanto, amanhã, 4a feira. Então, esse prazo vencerá em uma (A) segunda-feira. (B) terça-feira. (C) quarta-feira. (D) quinta-feira. (E) sexta-feira.

Solução

90 dividido por 7 tem como quociente 12 e resto 6. Portanto os 90 dias vencem em uma segunda-feira. Resposta: A

6) Uma lanchonete oferece aos seus clientes as seguintes op-

ções para montar um sanduíche: 2 tipos de patês, 3 tipos de queijos, 4 tipos de frios e 3 tipos de folhas de saladas. Se uma pessoa quiser montar um sanduíche com apenas um ingredi-ente de cada tipo, o número de maneiras diferentes que ela poderá montar esse sanduíche será (A) 80. (B) 72. (C) 63. (D) 50. (E) 44.

Solução

Temos: 2 tipos de patês 3 tipos de queijos 4 tipos de frios 3 tipos de folhas de salada Logo pelo princípio fundamental da contagem temos 2 3 4

3 = 72 maneiras diferentes de montar o sanduíche. Resposta: B



7) Para presentear amigos, uma pessoa irá montar caixas com

bombons sortidos e, para isso, comprou 500 g de bombons com licor, a R$ 36,00 o kg; 1,2 kg de bombons ao leite, a R$ 25,00 o kg, e 1,3 kg de bombons com recheio de frutas, a R$ 30,00 o kg. O preço médio de um kg de bombom comprado por essa pessoa saiu por (A) R$ 26,00. (B) R$ 27,00. (C) R$ 28,00. (D) R$ 29,00. (E) R$ 30,00.

Solução

Temos as seguinte quantidades: 0,5kg de bombons com licor R$ 18,00 1,2kg de bombons ao leite R$ 30,00 1,3kg de bombons com recheio de frutas R$ 39,00 Logo: 1 caixa com 3 kg custa R$ 87,00.

Portanto o kg da caixa será: $87,00

$29,003

RR

Resposta: D

8) (Vunesp-AgEscVigPen-V1-2012) De mesada, Julia recebe

mensalmente do seu pai o dobro que recebe de sua mãe. Se em 5 meses ela recebeu R$ 375,00, então, de sua mãe ela recebe, por mês, (A) R$ 15,00. (B) R$ 20,00. (C) R$ 25,00. (D) R$ 30,00. (E) R$ 35,00.

Solução

Pai Mãe 10x + 5x = 375 15 x = 375

x = 375

15 ∴ x = 25

Logo de sua mãe recebeu R$ 25,00 por mês. Resposta: C

9) (Vunesp-AgEscVigPen-V1-2012) Valdomiro cronometrou

as voltas que correu em uma pista de 400 m e anotou os tem-pos na tabela a seguir.

Pode-se afirmar que o tempo médio dessas quatro voltas foi, em segundos, de (A) 80. (B) 82. (C) 84. (D) 86. (E) 88.

Solução 15 + 18 + 23 + 24

4= 20

1 min 20 seg = 80 segundos Resposta: A

10) (Concurso Petrobras - 2011) João tem 100 moedas, umas

de 10 centavos, e outras de 25 centavos, perfazendo um total de R$ 20,20. O número de moedas de 25 centavos que João possui é (A) 32 (B) 56 (C) 64 (D) 68 (E) 72

Solução

Seja x o número de moedas de 25 centavos, e (100 - x) o nú-mero de moedas de 10 centavos. Temos que

25𝑥 + 10(100 − 𝑥) = 2020

25𝑥 + 1000 − 10𝑥 = 2020

15𝑥 = 1020

𝑥 =1020

15

𝒙 = 𝟔𝟖 𝒎𝒐𝒆𝒅𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝟐𝟓 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒂𝒗𝒐𝒔. Resposta: D

11) (Concurso Petrobras - 2011) Conversando com os 45

alunos da primeira série de um colégio, o professor de educa-ção física verificou que 36 alunos jogam futebol, e 14 jogam vôlei, sendo que 4 alunos não jogam nem futebol nem vôlei. O número de alunos que jogam tanto futebol quanto vôlei é (A) 5 (B) 7 (C) 9 (D) 11 (E) 13

Solução

Seja x o número de alunos que jogam tanto futebol quanto vô-lei.

36 − 𝑥 + 𝑥 + 14 − 𝑥 + 4 = 45

54 − 𝑥 = 45

𝑥 = 9 Resposta: C

12) Considere que, independentemente do tipo de demanda, o tempo gasto com o atendimento a cada cliente por um aten-dente, em minutos, seja sempre o mesmo, q que, em 4 horas de trabalho, ele atenda 64 clientes. Nessa situação, o tempo utilizado por esse atendente, no atendimento a cada cliente, é a) inferior a 3 minutos. b) superior a 3 minutos e inferior a 4 minutos. c) superior a 4 minutos e inferior a 5 minutos. d) superior a 5 minutos e inferior a 6 minutos. e) superior a 6 minutos.

Solução

240 min 64 48 min 3 min e 45 seg × 60

2880 seg 320 00 Resposta: B

13) Em uma empresa, os empregados têm direito a descanso

remunerado de um dia a cada 15 dias trabalhados. Em deter-minado ano, os dias trabalhados e os dias de descanso soma-ram 224 dias.

Com base nessa situação, é correto afirmar que, nesse ano, a quantidade de dias de descanso desses empre-gados foi a) superior a 12 e inferior a 16. b) superior a 16 e inferior a 20. c) superior a 20 e inferior a 24. d) superior a 24. e) inferior a 12.

Solução

224 16 64 14



00 Resposta: A

14) (TRT 15ª REGIÃO – FCC 2010) Certo dia, Eurídice falou a

Josué: - Hoje é uma data curiosa, pois é dia de nosso aniversário, sua idade se escreve ao contrário da minha e, além disso, a dife-rença entre as nossas idades é igual ao nosso tempo de ser-viço no Tribunal Regional do Trabalho: 18 anos.

Considerando que Josué tem mais de 20 anos, Eurídice tem menos de 70 anos e é mais velha do que Josué, então, com certeza, a soma de suas idades, em anos, é um número (A) divisível por 9. (B) menor que 100. (C) maior que 100. (D) quadrado perfeito. (E) múltiplo de 11.

Solução

Sejam ab e ba as idades. Logo temos: ab = 10a + b ba = 10b + a A soma das idades será: ab + ba = 11a + 11b = 11(a + b). (Múltiplo de 11) Resposta: E 15) (BANCO DO BRASIL – FCC – 2010) Em um banco, qual-

quer funcionário da carreira de Auditor é formado em pelo me-nos um dos cursos: Administração, Ciências Contábeis e Eco-nomia. Um levantamento forneceu as informações de que I. 50% dos Auditores são formados em Administração, 60% são formados em Ciências Contábeis e 48% são formados em Eco-nomia. II. 20% dos Auditores são formados em Administração e Ciên-cias Contábeis. III. 10% dos Auditores são formados em Administração e Eco-nomia. IV. 30% dos Auditores são formados em Ciências Contábeis e Economia. Escolhendo aleatoriamente um Auditor deste banco, a proba-bilidade de ele ser formado em pelo menos dois daqueles cur-sos citados é (A) 58% (B) 56% (C) 54% (D) 52% (E) 48%

Solução

20% + x + 20% - x + x + 10% - x + 10% + x + 30% - x + 8% + x = 100%

98% + x = 100% x = 2%

Substituindo-se os valores temos:

A probabilidade será: 18% + 2% + 8% + 28% = 56% Resposta: B

16) (TRT 15ª REGIÃO – FCC 2010) Certo dia, no início do ex-

pediente de uma unidade do TRT, foram formadas duas filas diante de um balcão, onde dois Técnicos Judiciários - Casimiro e Domitila - prestariam atendimento ao público externo. Para que, naquele momento, as duas filas ficassem com o mesmo número de pessoas, foram adotados os seguintes procedimen-tos: – primeiramente, da fila de Casimiro para a de Domitila, foram deslocadas tantas pessoas quantas havia na fila de Domitila; – em seguida, da fila de Domitila para a de Casimiro, foram deslocadas tantas pessoas quanto a quantidade das que ha-viam restado na fila de Casimiro. Se, após esses dois procedimentos, ambas as filas ficaram com 16 pessoas, então, inicialmente, o número de pessoas na fila de (A) Domitila era 15. (B) Casimiro era 24. (C) Casimiro era 18. (D) Domitila era 14. (E) Casimiro era 20.

Solução

Observe que no total são 32 pessoas, temos que: Casimiro Domitila Inicialmente 1ª Etapa 2ª Etapa 16 16 Observe que na 2ª etapa, da fila de Domitila para a de Casi-miro, foram deslocadas tantas pessoas quanto a quantidade das que haviam restado na fila de Casimiro. Logo na etapa anterior a fila de Casimiro possuía a metade de pessoas (8 pessoas)

Casimiro Domitila Inicialmente 1ª Etapa 8 24

2ª Etapa 16 16 Observe que na 1ª etapa, da fila de Casimiro para a de Domi-tila, foram deslocadas tantas pessoas quantas havia na fila de Domitila, logo a fila de Domitila possuía na etapa anterior a me-tade de pessoas (12 pessoas). Daí temos:

Casimiro Domitila Inicialmente 20 12

1ª Etapa 8 24 2ª Etapa 16 16 Portanto inicialmente, o número de pessoas na fila de Ca-simiro era 20. Resposta: E

17) (TRT 15ª REGIÃO – FCC 2010) Um Técnico Judiciário ini-

ciou a digitação de um texto quando eram decorridos 4

9 de

certo dia e terminou essa tarefa quando eram decorridos 61

96

do mesmo dia. Se ao longo desse intervalo de tempo ele inter-rompeu seu trabalho apenas por 55 minutos, quando, então, foi almoçar, o tempo que ele gastou na digitação de tal texto foi de (A) 2 horas e 30 minutos. (B) 2 horas e 45 minutos. (C) 3 horas e 20 minutos. (D) 3 horas e 40 minutos. (E) 3 horas e 45 minutos.

Solução

Início: 4

9 𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑎 =

4

9 𝑑𝑒 24 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 =

96

9 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 =

10 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑒 40 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠. Término:

61

96 𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑎 =

61

96 𝑑𝑒 24 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 =

61

4 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

= 15 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑒 15 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠.



O tempo que ele gastou na digitação de tal texto foi de:

𝟏𝟓 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 𝒆 𝟏𝟓 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔 − 𝟏𝟎 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 𝒆 𝟒𝟎 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔− 𝟓𝟓 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐 =

= 𝟑 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 𝒆 𝟒𝟎 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔. Resposta: D

18) (TRF 2ª REGIÃO – FCC – 2007) Pelo controle de entrada

e saída de pessoas em uma Unidade do Tribunal Regional Fe-deral, verificou-se em certa semana que o número de visitantes

na segunda-feira correspondeu a 3

4do da terça-feira e este

correspondeu a 2

3do da quarta-feira. Na quinta-feira e na

sexta-feira houve igual número de visitantes, cada um deles igual ao dobro do da segunda-feira. Se nessa semana, de se-gunda à sexta-feira, o total de visitantes foi 750, o número de visitantes na (A) segunda-feira foi 120. (B) terça-feira foi 150. (C) quarta-feira foi igual ao da quinta-feira. (D) quinta-feira foi igual ao da terça-feira. (E) sexta-feira foi menor do que o da quarta-feira.

Solução

Suponhamos que a quantidade de visitantes na quarta-feira foi x. Temos então que o número de visitantes na terça-feira cor-

responde a 2

3x. Sendo assim o número de visitantes na se-

gunda-feira corresponde a 3

4 do número de visitantes da

terça feira, isto é: 3 2

4 3 2

xx .

Como o número de visitantes na quinta–feira foi igual ao nú-mero de visitantes na sexta-feira, e igual ao dobro da segunda-feira, temos que na quinta-feira foi x. Logo temos:

Segunda-feira 2

x visitantes

Terça-feira 2

3x visitantes

Quarta-feira x visitantes Quinta-feira x visitantes Sexta-feira x visitantes Logo o número de visitantes na quarta-feira foi igual ao da quinta-feira. Resposta: C 19) (TRT 15ª REGIÃO – FCC 2010) Num dado momento, ob-

servou-se que o volume de água no interior da caixa d’água de

um edifício ocupava 1

3 de sua capacidade e que, se lá fossem

colocados mais 0,24m3 de água, o volume de água na caixa

passaria a ocupar os 2

5 de sua capacidade. Considerando que

não foi colocada água no interior da caixa, então, no momento da observação, o número de litros de água que seriam neces-sários para enchê-la era (A) 1 800 (B) 2 400 (C) 2 500 (D) 3 200 (E) 3 600

Solução

Seja x a capacidade total. Então temos:

2

5𝑥 −

1

3𝑥 = 0,24

𝑥

15= 0,24

𝒙 = 𝟑, 𝟔 𝒎𝟑 = 𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔

Logo o número de litros de água que seriam necessários para enchê-la era:

𝟐

𝟑𝒅𝒆 𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔 = 𝟐𝟒𝟎𝟎 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔.

Resposta: B

20) (TRF 2ª REGIÃO – FCC – 2007) Dos 343 funcionários de

uma Unidade do Tribunal Regional Federal, sabe-se que o nú-mero de homens está para o de mulheres assim como 5 está para 2. Assim sendo, nessa Unidade, a diferença entre o nú-mero de homens e o de mulheres é (A) 245 (B) 147 (C) 125 (D) 109 (E) 98

Solução

Temos 343 funcionários. Seja x o número de homens e (343 – x) o número de mulheres. Logo:

5

343 2

2 5 343

2 1715 5

7 1715

1715

7

x

x

x x

x x

x

x

x 245 homens. Temos 245 homens e 98 mulheres.

A diferença entre homens e mulheres é 245 – 98 = 147. Resposta: B 21) Uma pessoa faz um depósito de R$ 950,00 para abrir uma

conta em um banco. Após alguns dias, retira R$ 500,00. Uma semana depois, surge um imprevisto e ela necessita retirar R$ 475,00. Sabendo que ao final dessas transações serão retira-dos da conta R$ 3,70 de CPMF (imposto obrigatório em movi-mentações financeiras), o saldo final dessa pessoa será de (A) R$ 28,70. (B) R$ 25,00. (C) – R$ 25,00. (D) – R$ 26,30. (E) – R$ 28,70.

Solução

Depósito inicial R$ 950,00 Retirada (R$ 500,00) Retirada (R$ 475,00) CPMF (R$ 3,70) Saldo Final (R$ 28,70) ...NEGATIVO Resposta: E

22) Um funcionário recebeu, no mês de maio, R$ 1.170,00 de

salário líquido (já com os descontos). Desse valor, 1/3 foi gasto para pagar o aluguel. Do restante, ¼ foi gasto em alimentação e, do que sobrou, 1/5 foi utilizado em despesas extras. Assim, do salário líquido inicial, restaram apenas (A) R$ 702,00. (B) R$ 468,00. (C) R$ 375,00. (D) R$ 326,00. (E) R$ 289,00.

Solução

Salário inicial R$ 1170,00 Aluguel(1/3 do salário) (R$ 390,00) Saldo R$ 780,00



Alimentação(1/4 do saldo) (R$ 195,00) Saldo R$ 585,00 Despesas extras(1/5 do saldo) (R$ 117,00) Saldo Final R$ 468,00 Resposta: B

23) Para revestir o piso de um pátio, são utilizadas lajotas bran-

cas e cinza. A razão entre a quantidade de lajotas cinza e lajo-tas brancas está indicada na tabela:

Se forem colocadas 432 lajotas brancas, o total de lajotas utili-zadas será de (A) 216. (B) 288. (C) 332. (D) 496. (E) 576.

Solução

Seja c a quantidade de lajotas cinza. Seja b a quantidade de lajotas brancas. Observe que b = 3c. Como b = 432, temos:

O total de lajotas utilizadas será 432+144 = 576 lajotas. Resposta: E

24) Certa empresa, investindo na melhoria das condições de

trabalho, adota o seguinte critério: para cada 1 hora de traba-lho, o funcionário descansa 10 minutos. Porém, na hora ante-rior ao almoço e na última hora de trabalho do dia, não há 10 minutos para descanso. Se um funcionário começa a trabalhar às 7 h e 20 min e trabalha 8 horas por dia com 1 hora de al-moço, seu horário de saída será às (A) 17 h e 20 min. (B) 17 h e 30 min. (C) 17 h e 40 min. (D) 17 h e 50 min. (E) 18 horas.

Solução

6 horas de trabalho + 60 minutos de descanso : 7 horas. 2 horas de trabalho (antes do almoço e última hora): 2 horas. 1 hora de almoço: 1 hora. Total de horas na empresa: 10 horas. Logo seu horário de saída será às 7h20min +10h = 17h e 20 min. Resposta: A

25) Numa prova de vinte questões, valendo cinco pontos cada

uma, três questões erradas anulam uma certa. Podemos con-cluir que a nota de um aluno que errou nove questões em toda essa prova é: a) quarenta pontos. b) quarenta e cinco pontos. c) cinqüenta pontos. d) cinqüenta e cinco pontos. e) sessenta pontos.

Solução

Valor total da prova: 100 pontos. Errou 9 questões perdeu 12 5 = 60 pontos. Nota final 40 pontos. Resposta: A

26) Um concurso foi desenvolvido em três etapas sucessivas e

eliminatórias. Do total de candidatos que participaram da 1ª etapa, 3/4 foram eliminados. Dos candidatos que participaram da 2ª etapa, 2/5 foram eliminados. Dos candidatos que foram para a 3ª etapa, 2/3 foram eliminados, e os 30 candidatos res-tantes foram aprovados. Sabendo-se que todos os candidatos aprovados em uma etapa participaram da etapa seguinte, pode-se afirmar que o número total de candidatos que partici-param da 1ª etapa foi a) 600 b) 550 c) 450 d) 400 e) 300

Solução

Seja x o total de candidatos que participaram da primeira etapa.

1ª Etapa foram eliminados 3

4

x restaram

4

x

2ª Etapa foram eliminados 2

5 4

x restaram

3 3.

5 4 20

x x

3ª Etapa foram eliminados 2 3

.3 20

x restaram

1 330

3 20 20

x x

x = 20.30 x = 600 candidatos.

Resposta: A

27) Somando-se 4% de 0,6 com 9% de 0,04, obtém-se:

a) 0,0216 b) 0,0256 c) 0,0276 d) 0,0286 e) 0,1296

Solução

4% de 0,6 + 9% de 0,04 =

4% 0,6 + 9% 0,04 =

0,04 0,6 + 0,09 0,04 = 0,024 + 0,0036 = 0,0276

Resposta: C

28) Calcule o valor da expressão: (√𝟎, 𝟒𝟒𝟒 …𝟒 )𝟐

a) 0,222... b) 0,333... c) 0,444... d) 0,666... e) 0,1212...

Solução

(√0,444 …4

)2

= √0,444 … . = √4

9=

2

3= 0,666 …

Resposta: D

29) Sabendo-se que o algarismo 2 aparece 181 vezes na nu-

meração de páginas iniciais e sucessivas de um livro, podemos afirmar que esse livro possui: a) 181 páginas. b) 200 páginas. c) 280 páginas. d) 392 páginas. e) 402 páginas.

Solução

De 1 até 99 ----- 20 vezes De 100 até 199 20 vezes De 200 até 299 120 vezes De 300 até 399 20 vezes



No 402 ----------- 1 vez

TOTAL ----------- 181 vezes Resposta: E

30) Um julgamento envolveu três réus. Cada um dos três acu-

sou um dos outros dois. Apenas um deles é culpado. O primeiro réu foi o único que disse a verdade. Se cada um deles (modifi-cando sua acusação) tivesse acusado alguém diferente, mas não a si mesmo, o segundo réu teria sido o único a dizer a ver-dade. Conclui-se que: a) O primeiro réu é inocente e o segundo é culpado b) O primeiro réu é inocente e o terceiro é culpado c) O segundo réu é inocente e o primeiro é culpado d) O terceiro réu é inocente e o primeiro é culpado e) O terceiro réu é inocente e o segundo é culpado

Solução:

No primeiro caso, como cada um acusou um dos outros dois, e o primeiro foi o único que disse a verdade, concluímos que o primeiro é inocente. No segundo caso, concluímos geralmente que o segundo réu é inocente. Logo, o culpado é o terceiro réu. Resposta: B

31) Suponha que eu e você temos a mesma quantidade de di-

nheiro. Quanto tenho que te dar para que tenha R$ 10,00 a mais do que eu? A) R$ 5,00 B) R$ 10,00 C) R$ 15,00 D) R$ 20,00 E) R$ 25,00

Solução:

Questão fácil pois temos a mesma quantidade de dinheiro. Para que tenhas R$ 10,00 a mais do que eu basta dar-te R$ 5,00. Resposta: A 32) Em uma classe, há 20 alunos que praticam futebol mas

não praticam vôlei e há 8 alunos que praticam vôlei mas não praticam futebol. O total dos que praticam vôlei é 15. Ao todo, existem 17 alunos que não praticam futebol. O número de alu-nos da classe é (A) 30. (B) 35. (C) 37. (D) 42. (E) 44.

Solução:

n = 20 + 7 + 8 + 9

n = 44 Resposta: E

33) Continuando a sequência 4, 10, 28, 82, . . . , temos

(A) 236. (B) 244. (C) 246. (D) 254. (E) 256.

Solução:

Observe que: 3 x 4 – 2 = 10

3 x 10 – 2 = 28 3 x 28 – 2 = 82 3 x 82 – 2 = 244 Resposta: B

34) Se, para numerar as páginas de um livro, um tipógrafo usou

747 algarismos, então o número de páginas desse livro é (A) 350 (B) 315 (C) 306 (D) 298 (E) 285

Solução:

Basta contar os algarismos: - da página 1 até a 9 temos 9 algarismos. - da página 10 até a 99 temos 90 x 2 = 180 algarismos. - da página 100 até a 199 temos 100 x 3 = 300 algarismos. Logo, até a página 199 contamos 489 algarismos. Para o tipó-grafo escrever 747 faltam 258 algarismos, que representam

25886

3 números. Portanto o número de páginas é 199 +

86 = 285. Conforme opção E. Resposta: E

35) Considerando-se que 10 vacas consomem 10 arrobas de

ração em 10 dias, em quantos dias 1000 vacas irão consumir 1000 arrobas de ração? A) 01 dia B) 10 dias C) 100 dias D) 1000 dias E) 10000 dias

Solução:

Se 10 vacas consomem 10 arrobas de ração em 10 dias, então 1 vaca consumirá 1 arroba de ração em 10 dias. Portanto te-mos que 1000 vacas consumirão 1000 arrobas de ração du-rante os mesmos 10 dias. Resposta: B

36) No almoxarifado de certa empresa há 68 pacotes de papel

sulfite, disposto em 4. Se as quantidades de pacotes em cada prateleira correspondem a 4 números pares sucessivos, então dos números seguintes, o que representa uma dessas quanti-dades é o A) 8 B) 12 C) 18 D) 22 E) 24

Solução:

1ª Prateleira ==> 2x 2ª Prateleira ==> 2x + 2 3ª Prateleira ==> 2x + 4 4ª Prateleira ==> 2x+6 Total ======> 8x + 12 = 68 8x = 68 - 12 8x = 56, dividindo a expressão por 4 temos: 2x = 14. Então temos: 1ª Prateleira ==> 14 2ª Prateleira ==> 16 3ª Prateleira ==> 18

4ª Prateleira ==> 20 Resposta: C



37) (TRE/AC-FCC-2010) Relativamente ao total de registros

de candidaturas protocolados certo mês por três Técnicos Ju-

diciários, sabe-se que: 8

15 foi protocolado por Alciléia,

5

12 por Be-

renice e os demais por Otacílio. Assim sendo, a quantidade protocolada por Otacílio corresponde a que parte do total de registros protocolados nesse mês? (A) 5%. (B) 12,5%. (C) 15%. (D) 17,5%. (E) 20%.

Solução

Alcileia 8

15 dos registros

Berenice 5

12 dos registros

Otacílio 1 - 8

15 −

5

12=

30−32−25

60=

3

60=

1

20 = 0,05 = 5%

Resposta: A

38) (TRE/AC-FCC-2010) Diariamente, no refeitório de uma em-

presa são preparados 40 litros de refresco e, para tal, são usa-dos suco de frutas concentrado e água em quantidades que estão entre si assim como 3 está para 5, respectivamente. Se, mantida a quantidade habitual de suco concentrado, a propor-ção passasse a ser de 2 partes de suco para 3 partes de água, então poderiam ser preparados (A) 1,5 litros a mais de refresco. (B) 1,5 litros a menos de refresco. (C) 2,5 litros a mais de refresco. (D) 2,5 litros a menos de refresco. (E) 2,75 litros a mais de refresco.

Solução 𝐶

𝐴=

3

5 e C + A = 40

𝐶

𝐶 + 𝐴=

3

5 ∴

𝐶

40=

3

8 ∴ 𝑪 = 𝟏𝟓 𝑨 = 𝟐𝟓

Por outro lado, se 𝐶

𝐴=

2

3 ⟹

15

𝐴=

2

3 ⟹ A = 22,5 L

Então teríamos 2,5L a menos de refresco Resposta: D

39) (TRE/AC-FCC-2010) Na última eleição, ao elaborar o rela-

tório sobre o comparecimento dos eleitores inscritos numa Se-ção Eleitoral, o presidente da mesa de trabalhos observou que 40% do total de inscritos haviam votado pela manhã e 75% do número restante no período da tarde. Considerando que foi constatada a ausência de 27 eleitores, o total de inscritos nessa Seção era (A) 108. (B) 125. (C) 150. (D) 172. (E) 180.

Solução

X = total de leitores Manhã 40% x Tarde 75% (x – 40%x) = 75% . 60% = 45% x Votaram 40 x + 45% x = 85% x Não votaram 15% x = 27

X = 𝟐𝟕

𝟎,𝟏𝟓 x = 180 eleitores

Resposta: E

40) (TRE/AC-FCC-2010) Considere que em 1990 uma Seção

Eleitoral de certa cidade tinha apenas 52 eleitores inscritos − 18 do sexo feminino e 34 do sexo masculino − e que, a partir de então, a cada ano subsequente o número de mulheres ins-critas nessa Seção aumentou de 3 unidades, enquanto que o

de homens inscritos aumentou de 2 unidades. Assim sendo, o número de eleitores do sexo feminino se tornou igual ao nú-mero dos eleitores do sexo masculino em (A) 2004. (B) 2005. (C) 2006. (D) 2007. (E) 2008.

Solução

52 𝑒𝑙𝑒𝑖𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 {𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠 → 18ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 → 34

Após n anos temos: 18 + 3n = 34 + 2n

3n – 2n = 34 – 18 n = 16 anos

Logo 1990 + 16 = 2006 Resposta: C

Exercícios propostos 1) Um aluno estava fazendo esta prova, quando viu que seu

relógio parou. Então acertou o relógio em 16h e 30min e foi até o banheiro. Chegando lá verificou que eram 16h e 20min, lavou o rosto e saiu de lá às 16h e 30min. Quando chegou na sala verificou que seu relógio marcava 16h e 45 min. Então resolveu acertar o seu relógio as: a) 16h e 32 min e 30 seg. b) 16h e 35 min e 60 seg. c) 16h e 40 min e 30 seg. d) 16h e 45 min e 60 seg. e) 17h e 45 min 2) “Se você estudar, então será aprovado”. Assim sendo,

a) o estudo é condição suficiente para ser aprovado. b) o estudo é condição necessária para ser aprovado. c) se você não estudar, então não será aprovado. d) você será aprovado só se estudar. e) mesmo que estude, você não será aprovado. 3) (VUNESP-2013-PCSP-AgentePolicial) Observe a sequên-

cia numérica: 𝟏

𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎,

𝟏

𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎,

𝟏

𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎,

𝟏

𝟏 𝟎𝟎𝟎

Sabendo-se que o 1º elemento dessa sequência é 𝟏

𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎, o

2.o elemento é 𝟏

𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎, e assim sucessivamente, o primeiro nú-

mero natural dessa sequência corresponderá ao (A) 8º elemento. (B) 7º elemento. C) 11º elemento. (D) 91º elemento. (E) 10º elemento. 4) Quarta-feira, dezoito de setembro de mil novecentos e no-

venta e seis, oito horas e doze minutos, parado em um semá-foro, faltavam apenas setecentos metros para o expresso “Bar-rinha”, vindo de Barra do Piraí com noventa trabalhadores a bordo, chegar à Estação de Japeri. Ao mesmo tempo, a quatro quilômetros de distância, um cargueiro desgovernado a cem quilômetros por hora vinha no sentido contrário, descendo a Serra das Araras. O resultado foi a morte de dezesseis pessoas e mais de sessenta feridos às oito horas e dezesseis minutos. De acordo com o texto: a) Às oito horas e doze minutos, um cargueiro desgovernado a cem quilômetros por hora estava se dirigindo à Serra das Ara-ras e iria colidir com o “Barrinha”.



b) No momento do acidente, o “Barrinha” estava a quatro qui-lômetros de distância da Estação de Japeri, seu destino, com noventa trabalhadores a bordo. c) O cargueiro, com noventa trabalhadores a bordo, colidiu com o “Barrinha” às oito horas e dezesseis minutos do dia dezoito de setembro, causando dezesseis mortes e mais de sessenta feridos. d) O cargueiro, indo para Barra do Piraí, desgovernado, acabou colidindo com o “Barrinha”, quando este estava parado em um semáforo, a setecentos metros da Estação de Japeri, matando dezesseis pessoas e ferindo mais de noventa. e) Em quatro quilômetros e em quatro minutos se desenvolveu a cena do acidente narrado do dia dezoito de setembro de mil novecentos e noventa e seis. 5) Recebi um cartão onde estavam impressas 4 afirmações:

- Nesse cartão exatamente uma sentença é falsa. - Nesse cartão exatamente duas sentenças são falsas. - Nesse cartão exatamente três sentenças são falsas. - Nesse cartão exatamente quatro sentenças são falsas. Quantas dessas afirmações são falsas? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) impossível 6) Escrevendo-se a seqüência de letras, formada pela palavra RACIOCINIO, temos:

RACIOCINIORACIOCINIORACIOCINIO.....

A letra que representa o termo de ordem 2008ª é: a) A b) C c) I d) O e) N 7) (VUNESP-2013-PCSP-AgentePolicial) Considere verda-

deiras todas as afirmações a seguir sobre os grupos A, B e C de profissionais de um estabelecimento bancário: I. O Grupo A tem 12 elementos. II. O Grupo B tem 11 elementos. III. O grupo C tem 10 elementos. IV. Apenas Ana Lúcia faz parte dos três Grupos, e todos os demais profissionais fazem parte exatamente de um Grupo. Decorre dessas afirmações que o número total de elementos da união desses três Grupos é (A) 33. (B) 32. (C) 34. (D) 30. (E) 31. 8) Uma torneira enche completamente um tanque em 4 horas.

Há um registro de saída no fundo do tanque e, quando aberto, esvazia esse tanque em 8 horas. Se a torneira for totalmente aberta com o tanque vazio, e o registro estiver totalmente aberto, o tanque estará completamente cheio em (A) 12 horas. (B) 10 horas. (C) 8 horas. (D) 6 horas. (E) 5 horas.

Gabarito

1) A 2) A 3) B 4) E 5) D 6) E 7) E 8) C

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