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Apostila Raciocínio Lógico da FMB

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  • Raciocnio Lgico

    Apostila de Raciocnio Lgico

    (O Cotidiano Matemtico no Nosso dia a dia)

    Faculdade Montes Belos

    So Luis de Montes Belos Gois

    Brasil

    2013

  • 2 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    Faculdade Montes Belos

    Professor Coordenador: Msc. Antnio Florentino de Lima Jnior

    Gerente Acadmica: Me. Celany Queiroz Andrade

  • 3 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    Justificativa

    Este material foi desenvolvido com o objetivo de elevar o conhecimento dos acadmicos da IES,

    nivelando assim os discentes de todos os cursos oferecidos pela mesma. Tambm tem por finalidade

    unificar o contedo ministrado pelos professores em sala de aula.

    A apostila foi criada a partir da juno de contedos referentes ao Raciocnio Lgico, principalmente

    com o enfoque da atualidade, Concursos Pblicos e Enade como contedos bsicos de (Teoria dos

    Conjuntos, Probabilidade, Lgica de Argumentao, Lgica Quantitativa, Proporo e Anlise

    Combinatria. O contedo disponvel pode ser encontrado em sites especficos e livros. Todo tpico

    apresentado ha exerccios de fixao, sendo estes j aplicados em concursos e ainda alguns inditos.

  • 4 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    Objetivo

    Geral Introduzir noes bsicas de Raciocnio Lgico e Probabilidade, tendo em vista a

    necessidade do emprego do mesmo em reas diversas, bem como familiarizar o

    discente com a terminologia e as principais tcnicas da lgica booleana.

    Especifico - Apresentar ao aluno o ambiente que envolve o raciocino lgico e a sua importncia

    para sua rea;

    - Desenvolver a capacidade crtica e analtica do estudante atravs da discusso de

    exerccios e problemas;

    - Capacitar o aluno a desenvolver os principais modelos lgicos, identificando o mais

    apropriado para cada situaes problemas;

    - Fazer com que o aluno seja capaz de criticar cada modelo apresentado a partir de

    sua experincia profissional e do material bibliogrfico disponibilizado.

  • 5 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    Sumrio

    pg

    1-SEQUNCIAS LGICAS

    Exerccios Propostos 1 07

    2- TEORIA GERAL DOS CONJUNTOS 14

    Exerccios Propostos 2 21

    3- LOGICA ARGUMENTATIVA 27

    Exerccios Propostos 3 39

    4- PROPORO E RAZAO 44

    Exerccios Propostos 4 48

    5- PROBABILIDADE 53

    Exerccios Propostos 5 59

    6- ANLISE COMBINATRIA 66

    Exerccios Propostos 6 70

  • 6 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    1- SEQUNCIAS LGICAS

    A FMB, uma instituio de ensino superior solida, locada no municpio de So

    Luis de Montes Belos, e como ferramenta de estudo do contedo curricular dos Cursos

    vinculados IES iremos apresentar agora o primeiro contedo de Raciocnio Lgico

    sobre seqncias lgicas.

    Os estudos matemticos ligados aos fundamentos lgicos contribuem no

    desenvolvimento cognitivo dos alunos, induzindo a organizao do pensamento e das

    ideias, na formao de conceitos bsicos, assimilao de regras matemticas, construo

    de frmulas e expresses aritmticas e algbricas. de extrema importncia que o

    licenciado em Matemtica utilize atividades extras envolvendo lgica, no intuito de

    despertar o raciocnio, fazendo com que o aluno utilize seu potencial na busca por

    solues dos problemas matemticos desenvolvidos em sala e baseados nos conceitos

    lgicos.

    A lgica est presente em diversos ramos da Matemtica, como a probabilidade,

    os problemas de contagem, as progresses aritmticas e geomtricas, as sequncias

    numricas, equaes, funes, anlise de grficos entre outros. Os fundamentos lgicos

    contribuiro na resoluo ordenada de equaes, na percepo do valor da razo de uma

    sequncia, na elucidao de problemas aritmticos e algbricos e na fixao de

    contedos complexos.

    A utilizao das atividades lgicas contribui na formao de indivduos capazes

    de criar ferramentas e mecanismos responsveis pela obteno de resultados na

    disciplina de Matemtica. O sucesso na Matemtica est diretamente conectado

    curiosidade, pesquisa, dedues, experimentos, viso detalhada, senso crtico e

    organizacional e todas essas caractersticas esto ligadas ao desenvolvimento lgico.

  • 7 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    Exerccios Propostos 1

    1-Assinale a opo que contm a seqncia correta das quatros bolas , de acordo com as

    afirmativas abaixo :

    A bola amarela est depois da branca.

    A bola azul est antes da verde.

    A bola que est imediatamente aps a azul maior do que est antes desta.

    A bola verde a menor de todas as bolas.

    (A) Branca,amarela,azul e verde

    (B) Branca, azul, amarela e verde

    (C) Branca , azul , verde e amarela.

    (D) Azul , branca , amarela e verde

    (E) Azul, branca , verde e amarela

    2- Em uma urna contendo 2 bolas brancas , 1 bola preta , 3 bolas cinzas , acrescenta-se

    1 bola, que pode ser branca ,preta, ou cinza.Em seguida , retira-se dessa urna, sem

    reposio, um total de 5 bolas.Sabe-se que apenas 2 das bolas retiradas eram brancas e

    que no restaram bolas pretas na urna aps a retirada. Em relao s bolas que restaram

    na urna , correto afirmar que:

    (A) ao menos uma branca.

    (B) necessariamente uma branca

    (C) Ao menos uma cinza

    (D) exatamente uma cinza

    (E) todas so cinzas

    3-Comparando-se uma sigla de 3 letras com as siglas MS, SIM, BOI, BOL e ASO,

    sabe-se que:

    - MS no tem letras em comum com ela;

  • 8 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    - SIM tem uma letra em comum com ela, mas que no est na mesma posio:

    - BOI tem uma nica letra em comum com ela, que esta na mesma posio;

    - BOL tem uma letra em comum com ela, que no est na mesma posio;

    - ASO tem uma nica letra em comum com ela, que est na mesma posio.

    A sigla a que se refere o enunciado dessa questo

    (A)BIL (B) ALI (C) LAS (D) OLI (E) ABI

    4-Em um ms, Laura despachou dois processos a mais que o triplo dos processos

    despachados por Paulo. Nesse mesmo ms, Paulo despachou um processo a mais que

    Rita. Em relao ao total de processos despachados nesse ms pelos trs juntos correto

    dizer que um nmero da seqncia:

    (A)1, 6, 11, 16, ... (B)2, 7, 12, 17, ... (C)3, 8, 13, 18, ...

    (D)4, 9, 14, 19, ... (E)5, 10, 15, 20, ...

    5-Observando o calendrio de um certo ano, Gabriel percebeu que havia dois meses

    consecutivos que totalizavam 60 dias. Se esse ano comea em uma segunda-feira, ento

    termina em uma

    (A) segunda-feira.

    (B) tera-feira.

    (C) quarta-feira.

    (D) quinta-feira.

    (E) sexta-feira.

    6-No dia 29 de dezembro de 2006 quatro tcnicos judicirios de uma mesma Secretaria

    da Justia Federal - Eugnio, Nair, Raul e Virgnio - entregaram seu relatrio mensal de

    atividades, no necessariamente nessa ordem. Considere as informaes seguintes:

    - as funes que esses tcnicos desempenham na Secretaria so: manuteno de

    computadores, motorista, operador de computadores e segurana;

  • 9 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    - a ltima pessoa a entregar o relatrio no nasceu em Maring;

    - aps Virgnio, que motorista, entregar seu relatrio, o operador de computadores

    entregou o dele;

    - Eugnio, que nasceu em Londrina, entregou seu relatrio depois de Raul, que faz a

    manuteno de computadores;

    - o segurana no foi o primeiro a entregar o relatrio;

    - o tcnico que nasceu em Cascavel entregou seu relatrio logo depois de Nair, que

    nasceu em Bag.

    Com base nessas informaes, correto afirmar que

    (A) Eugnio foi o primeiro a entregar o relatrio.

    (B) Nair operadora de computadores.

    (C) Raul nasceu em Maring.

    (D) Virgnio foi o ltimo a entregar o relatrio.

    (E) a pessoa que nasceu em Londrina foi a segunda a entregar o relatrio.

    7-Considere que a sucesso de figuras abaixo obedece a uma lei de formao.

    O nmero de circunferncias que compem a 100 figura dessa sucesso

    (A) 5 151

    (B) 5 050

    (C) 4 950

    (D) 3 725

    (E) 100

    8-Considere que os termos da sucesso (0, 1, 3, 4, 12, 13, ...) obedecem a uma lei de

    formao. Somando o oitavo e o dcimo termos dessa sucesso obtm-se um nmero

    compreendido entre

    (A) 150 e 170

    (B) 130 e 150

  • 10 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    (C) 110 e 130

    (D) 90 e 110

    (E) 70 e 90

    9-Note que, em cada um dos dois primeiros pares de palavras dadas, a palavra da direita

    foi formada a partir da palavra da esquerda segundo um determinado critrio.

    acatei - teia assumir iras moradia - ?

    -Se o mesmo critrio for usado para completar a terceira linha, a palavra que substituir

    corretamente o ponto de interrogao

    (A) adia.

    (B) ramo.

    (C) rima.

    (D) mora.

    (E) amor.

    10-Considere que a seqncia (C, E, G, F, H, J, I, L, N, M, O, Q, ...) foi formada a partir

    de certo critrio. Se o alfabeto usado o oficial, que tem 23 letras, ento, de acordo com

    esse critrio, a prxima letra dessa seqncia deve ser

    (A) P (B) R (C) S (D) T (E) U

    11-Se o dia 08 de maro de um certo ano foi uma tera-feira, ento o dia 30 de julho

    desse mesmo ano foi

    (A) uma quarta-feira.

    (B) uma quinta-feira.

    (C) uma sexta-feira.

    (D) um sbado.

    (E) um domingo.

  • 11 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    11. Assinale a alternativa que substitui a letra x.

    (A) 29

    (B) 7

    (C) 6

    (D) 5

    (E) 3

    12. Durante todo o ms de maro de 2007, o relgio de um tcnico estava adiantando 5

    segundos por hora. Se ele s foi acertado s 7h do dia 2 de maro, ento s 7h do dia 5

    de maro ele marcava

    (A) 7h 5min

    (B) 7h 6min

    (C) 7h 15min

    (D) 7h 30min

    (E) 8h

    13- Em relao disposio numrica seguinte, assinale a alternativa que preenche a

    vaga assinalada pela interrogao:

    2 8 5 6 8 ? 11

  • 12 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    (A) 1

    (B) 4

    (C) 3

    (D) 29

    (E) 42

    14- Qual dos cinco desenhos menos similar aos outros quatro?

    15- Voc ter de fazer comparaes entre desenhos. Exemplo: Qual dos cinco faz a

    melhor comparao?

    GABARITO

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

    B C B A B B B A E A C B B E C

    Bibliografia

    VILLAR, B. Ncleo Preparatrio Para Concursos. Disponivel em:

    www.cursojuridico.com/euvoupassar/upload/2313.doc Acessado em: 22 de outubro de

    2012.

  • 13 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    Disponvel em: http://educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/sequencia

    logica.htm. Acessado em: 22 de outubro de 2012.

    Gomes, F. Q. Disponvel em: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAPpwAD/

    raciocinio-logico Acessado em: 12 de outubro de 2012.

  • 14 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    2- TEORIA GERAL DOS CONJUNTOS

    Como em qualquer assunto a ser estudado, a Matemtica tambm exige uma

    linguagem adequada para o seu desenvolvimento.

    A teoria dos Conjuntos representa instrumento de grande utilidade nos diversos

    desenvolvimentos da Matemtica, bem como em outros ramos das cincias fsicas e

    humanas. Devemos aceitar, inicialmente, a existncia de alguns conceitos primitivos

    (noes que adotamos sem definio) e que estabelecem a linguagem do estudo da

    teoria dos Conjuntos.

    Adotaremos a existncia de trs conceitos primitivos: elemento, conjunto e

    pertinncia. Assim preciso entender que, cada um de ns um elemento do conjunto

    de moradores desta cidade, ou melhor, cada um de ns um elemento que pertence ao

    conjunto de habitantes da cidade, mesmo que no tenhamos definido o que conjunto,

    o que elemento e o que pertinncia.

    Notao e Representao

    A notao dos conjuntos feita mediante a utilizao de uma letra maiscula do

    nosso alfabeto e a representao de um conjunto pode ser feita de diversas maneiras,

    como veremos a seguir.

    A. Listagem dos Elementos

    Apresentamos um conjunto por meio da listagem de seus elementos quando

    relacionamos todos os elementos que pertencem ao conjunto considerado e envolvemos

    essa lista por um par de chaves. Os elementos de um conjunto, quando apresentados na

    forma de listagem, devem ser separados por vrgula ou por ponto-e-vrgula, caso

    tenhamos a presena de nmeros decimais.

    Exemplos

  • 15 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    1) Seja A o conjunto das cores da bandeira brasileira, ento:

    A = {verde, amarelo, azul, branco}

    2) Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, ento:

    B = {a, e, i, o, u}

    3) Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numerao, ento:

    C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

    B. Uma Propriedade de seus elementos

    A apresentao de um conjunto por meio da listagem de seus elementos traz o

    inconveniente de no ser uma notao prtica para os casos em que o conjunto

    apresenta uma infinidade de elementos. Para estas situaes, podemos fazer a

    apresentao do conjunto por meio de uma propriedade que sirva a todos os elementos

    do conjunto e somente a estes elementos.

    A = {x / x possui uma determinada propriedade P}

    Exemplos

    1) Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, ento:

    B = {x / x vogal do nosso alfabeto}

    2) Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numerao, ento:

    C = {x/x algarismo do sistema decimal de numerao}

    Diagrama de Euler-Ven

  • 16 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    A apresentao de um conjunto por meio do diagrama de Euler-Venn grfica

    e, portanto, muito prtica. Os elementos so representados por pontos interiores a uma

    linha fechada no entrelaada. Dessa forma, os pontos exteriores linha representam

    elementos que no pertencem ao conjunto considerado.

    Exemplo

    Relao de Pertinncia

    Quando queremos indicar que um determinado elemento x faz parte de um conjunto A,

    dizemos que o elemento x pertence ao conjunto A e indicamos:

    em que o smbolo uma verso da letra grega epslon e est consagrado em toda

    matemtica como smbolo indicativo de pertinncia. Para indicarmos que um elemento

    x no pertence ao conjunto A, indicamos:

    Exemplo

    Consideremos o conjunto: A = {0, 2, 4, 6, 8}

    O algarismo 2 pertence ao conjunto A:

    O algarismo 7 no pertence ao conjunto A:

  • 17 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    Relao de Incluso Subconjuntos

    Dizemos que o conjunto A est contido no conjunto B se todo elemento que

    pertencer a A, pertencer tambm a B. Indicamos que o conjunto A est contido em B

    por meio da seguinte smbologia:

    Obs. Podemos encontrar em algumas publicaes uma outra notao para a relao de

    incluso:

    O conjunto A no est contido em B quando existe pelo menos um elemento de A que

    no pertence a B. Indicamos que o conjunto A no est contido em B desta maneira:

    Se o conjunto A est contido no conjunto B, dizemos que A um subconjunto de B.

    Como todo elemento do conjunto A pertence ao conjunto A, dizemos que A

    subconjunto de A e, por extenso, todo conjunto subconjunto dele mesmo.

    Importante A relao de pertinncia relaciona um elemento a um conjunto e a relao

    de incluso refere-se, sempre, a dois conjuntos.

  • 18 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    Podemos notar que existe uma diferena entre 2 e {2}. O primeiro o elemento 2, e o

    segundo o conjunto formado pelo elemento 2. Um par de sapatos e uma caixa com

    um par de sapatos so coisas diferentes e como tal devem ser tratadas.

    Podemos notar, tambm, que, dentro de um conjunto, um outro conjunto pode ser

    tratado como um de seus elementos. Vejamos o exemplo a seguir:

    {1, 2} um conjunto, porm no conjunto

    A = {1, 3, {1, 2}, 4} ele ser considerado um elemento, ou seja, {1, 2} A.

    Uma cidade um conjunto de pessoas que representam os moradores da cidade, porm

    uma cidade um elemento do conjunto de cidades que formam um Estado.

    Conjuntos Especiais

    Embora conjunto nos oferea a idia de reunio de elementos, podemos considerar

    como conjunto agrupamentos formados por um s elemento ou agrupamentos sem

    elemento algum.

    Chamamos de conjunto unitrio aquele formado por um s elemento.

    Exemplos

    1) Conjunto dos nmeros primos, pares e positivos: {2}

    2) Conjunto dos satlites naturais da Terra: {Lua}

    3) Conjunto das razes da equao x + 5 = 11: {6}

  • 19 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    Chamamos de conjunto vazio aquele formado por nenhum elemento. Obtemos um

    conjunto vazio considerando um conjunto formado por elementos que admitem uma

    propriedade impossvel.

    Exemplos

    1) Conjunto das razes reais da equao:

    x2 + 1 = 0

    2) Conjunto:

    O conjunto vazio pode ser apresentado de duas formas: ou { } ( uma letra de

    origem norueguesa). No podemos confundir as duas notaes representando o

    conjunto vazio por { }, pois estaramos apresentando um conjunto unitrio cujo

    elemento o .

    O conjunto vazio est contido em qualquer conjunto e, por isso, considerado

    subconjunto de qualquer conjunto, inclusive dele mesmo.

    Demonstrao

    Vamos admitir que o conjunto vazio no esteja contido num dado conjunto A. Neste

    caso, existe um elemento x que pertence ao conjunto vazio e que no pertence ao

    conjunto A, o que um absurdo, pois o conjunto vazio no tem elemento algum.

    Concluso: o conjunto vazio est contido no conjunto A, qualquer que seja A.

    Conjunto Universo

    Quando desenvolvemos um determinado assunto dentro da matemtica, precisamos

    admitir um conjunto ao qual pertencem os elementos que desejamos utilizar. Este

    conjunto chamado de conjunto universo e representado pela letra maiscula U.

  • 20 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    Uma determinada equao pode ter diversos conjuntos soluo de acordo com o

    conjunto universo que for estabelecido.

    Exemplos

    1) A equao 2x3 5x2 4x + 3 = 0 apresenta:

    Conjunto de Partes

    Dado um conjunto A, dizemos que o seu conjunto de partes, representado por P (A), o

    conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A.

    A. Determinao do Conjunto de partes

    Vamos observar, com o exemplo a seguir, o procedimento que se deve adotar para a

    determinao do conjunto de partes de um dado conjunto A. Seja o conjunto A = {2,

    3, 5}. Para obtermos o conjunto de partes do conjunto A, basta escrevermos todos os

    seus subconjuntos:

    1) Subconjunto vazio: , pois o conjunto vazio subconjunto de qualquer conjunto.

    2) Subconjuntos com um elemento: {2}, {3}, {5}.

    3) Subconjuntos com dois elementos: {2, 3}, {2, 5} e {3, 5}.

    4) Subconjuntos com trs elementos:A = {2, 3, 5}, pois todo conjunto subconjunto

    dele mesmo.

    Assim, o conjunto das partes do conjunto A pode ser apresentado da seguinte forma:

    P(A) = { , {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}}

  • 21 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    B. Nmero de Elmentos do conjunto de partes

    Podemos determinar o nmero de elementos do conjunto de partes de um conjunto A

    dado, ou seja, o nmero de subconjuntos do referido conjunto, sem que haja

    necessidade de escrevermos todos os elementos do conjunto P (A). Para isso, basta

    partirmos da idia de que cada elemento do conjunto A tem duas opes na formao

    dos subconjuntos: ou o elemento pertence ao subconjunto ou ele no pertence ao

    subconjunto e, pelo uso do princpio multiplicativo das regras de contagem, se cada

    elemento apresenta duas opes, teremos:

    Observemos o exemplo anterior: o conjunto A = {2, 3, 5} apresenta trs elementos e,

    portanto, de se supor, pelo uso da relao apresentada, que n [P (A)] = 23 = 8, o que

    de fato ocorreu.

    Igualdade de Conjuntos

    Dois conjuntos so iguais se, e somente se, eles possurem os mesmos elementos, em

    qualquer ordem e independentemente do nmero de vezes que cada elemento se

    apresenta. Vejamos os exemplos:

    {1, 3, 7} = {1, 1, 1, 3, 7, 7, 7, 7} = {7, 3, 1}

    Exerccios Propostos 2

    1. (Enem 2008) O jogo-da-velha um jogo popular, originado na Inglaterra. O nome

    "velha" surgiu do fato de esse jogo ser praticado, poca em que foi criado, por

    senhoras idosas que tinham dificuldades de viso e no conseguiam mais bordar. Esse

    jogo consiste na disputa de dois adversrios que, em um tabuleiro 3 3 devem

    conseguir alinhar verticalmente, horizontalmente ou na diagonal, 3 peas de formato

    idntico. Cada jogador, aps escolher o formato da pea com a qual ir jogar, coloca

  • 22 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    uma pea por vez, em qualquer casa do tabuleiro e passa a vez para o adversrio. Vence

    o primeiro que alinhar 3 peas.

    No tabuleiro representado na figura esto registradas as jogadas de dois adversrios em

    um dado momento. Observe que uma das peas tem formato de crculo e a outra tem a

    forma de um xis. Considere as regras do jogo-da-velha e o fato de que, neste momento,

    a vez do jogador que utiliza os crculos. Para garantir a vitria na sua prxima jogada,

    esse jogador pode posicionar a pea no tabuleiro de

    a) uma s maneira.

    b) duas maneiras distintas.

    c) trs maneiras distintas.

    d) quatro maneiras distintas.

    e) cinco maneiras distintas.

    2. (Fgv 2005) Em relao a um cdigo de 5 letras, sabe-se que o cdigo

    - CLAVE no possui letras em comum;

    - LUVRA possui uma letra em comum, que est na posio correta;

    - TUVCA possui duas letras em comum, uma na posio correta e a outra no;

    - LUTRE possui duas letras em comum, ambas na posio correta.

    Numerando, da esquerda para a direita, as letras do cdigo com 1, 2, 3, 4 e 5, as

    informaes dadas so suficientes para determinar, no mximo, as letras em

    a) 1 e 2.

    b) 2 e 3.

    c) 1, 2 e 3.

    d) 1, 3 e 4.

    e) 2, 3 e 4.

  • 23 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    3. (Ibmec rj 2009) Durante uma conversa de bar, seis professores discordaram sobre

    quais times foram campees cariocas em trs anos remotos (A, B, C). Seus palpites

    esto na tabela a seguir:

    Verificou-se, depois, que cada um havia acertado ao menos um palpite. Pode-se garantir

    que os campes, nos anos A e C, foram, respectivamente:

    a) Botafogo e Botafogo.

    b) Fluminense e Fluminense.

    c) Botafogo e Fluminense.

    d) Botafogo e Flamengo.

    e) Flamengo e Botafogo.

    4. (Pucpr 2005) Um quadrado mgico um arranjo quadrado de nmeros tais que a

    soma dos nmeros em cada fila (linha ou coluna) e nas duas diagonais o mesmo. Os

    nove nmeros n, n + 3, n + 6, ..., n + 24, em que n um nmero inteiro positivo, podem

    ser usados para construir um quadrado mgico de trs por trs.

    A soma dos nmeros de uma fila deste quadrado vale:

    a) 3n + 6

    b) 3n + 36

    c) 3n

  • 24 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    d) 3n + 24

    e) 3n + 12

    5. (Ufjf 2003)

    A figura mostra um pacote em forma de um prisma retangular reto de dimenses 10 cm,

    20 cm e 40 cm, amarrado com barbante. Sendo reservados 20 cm para o lao, a

    quantidade mnima de metros de barbante necessria para amarrar este pacote de:

    a) 1,10 m.

    b) 1,30 m.

    c) 2,00 m.

    d) 2,20 m.

    e) 2,40 m.

    6. (Ufmg 2003) Num campeonato de futebol, 16 times jogam entre si apenas uma vez.

    A pontuao do campeonato feita da seguinte maneira: 3 pontos por vitria, 1 ponto

    por empate e nenhum ponto por derrota.

    Considere que um desses times obteve 19 pontos ao final do campeonato.

  • 25 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    Assim sendo, INCORRETO afirmar que, para esse time,

    a) o nmero de derrotas , no mximo, igual a sete.

    b) o nmero de vitrias , pelo menos, igual a dois.

    c) o nmero de derrotas um nmero par.

    d) o nmero de empates no mltiplo de trs.

    7. (Ufrrj 2003) Ronaldo brincava distrado com dois dados que planificados ficavam da

    seguinte forma:

    Marcelo seu primo, observava e imaginava quais seriam as possveis somas dos

    resultados dos dois dados, se esses, quando lanados sobre a mesa, ficassem apoiados

    sobre as suas faces sem numerao.

    O resultado da observao de Marcelo corresponde a

    a) 3, 4, 6 e 8.

    b) 3, 4, 8 e 10.

    c) 4, 5 e 10.

    d) 4, 6 e 8.

    e) 3, 6, 7 e 9.

    8. (Ufsm 2002) Uma colmeia nova tem 8000 abelhas. Destas, a cada dia que passa,

    morrem 200. Do 21. dia em diante, nascem diariamente 2000 abelhas que vivem, em

  • 26 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    mdia, 40 dias. Aps um certo tempo, o nmero de abelhas dessa colmeia se estabilizar

    em, aproximadamente,

    a) 38000

    b) 40000

    c) 60000

    d) 80000

    e) 100000

    9. (Unifesp 2005) Certo dia um professor de matemtica desafiou seus alunos a

    descobrirem as idades x, y, z, em anos, de seus trs filhos, dizendo ser o produto delas

    igual a 40.

    De pronto, os alunos protestaram: a informao "x . y . z = 40" era insuficiente para uma

    resposta correta, em vista de terem encontrado 6 ternas de fatores do nmero 40 cujo

    produto 40. O professor concordou e disse, apontando para um dos alunos, que a soma

    x + y + z das idades (em anos) era igual ao nmero que se podia ver estampado na

    camisa que ele estava usando. Minutos depois os alunos disseram continuar impossvel

    responder com segurana, mesmo sabendo que a soma era um nmero conhecido, o que

    levou o professor a perceber que eles raciocinavam corretamente (chegando a um

    impasse, provocado por duas ternas).

    Satisfeito, o professor acrescentou ento duas informaes definitivas: seus trs filhos

    haviam nascido no mesmo ms e, naquele exato dia, o caula estava fazendo

    aniversrio. Neste caso a resposta correta :

    a) 1, 5, 8

    b) 1, 2, 20

    c) 1, 4, 10

    d) 1, 1, 40

    e) 2, 4, 5

  • 27 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    GABARITO

    1 2 3 4 5 6 7 8 9

    B B A B E A D D A

    Bibliografia

    Disponvel em: http://www.vestibulandoweb.com.br/matematica/teoria/conjunto

    s.asp Acessado em: 12 de novembro de 2012.

    Gomes, F. Q. Disponvel em: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAPpwAD/

    raciocinio-logico Acessado em: 12 de outubro de 2012.

  • 28 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    3- LOGICA ARGUMENTATIVA

    Tabela Verdade

    A linguagem usada pelo silogismo a linguagem natural que acarreta muitos

    problemas para sua anlise, como seu carter coloquial, metafrico, emotivo que se lhes

    possam atribuir. Alm disso, h argumentos que no podem ser analisados com os

    diagramas de Venn e carroll, no podemos saber sobre sua validade ou invalidade.

    Dessa forma, a lgica simblica foi criada para superar as dificuldades da lngua

    natural. A lgica moderna puro simbolismo do tipo matemtico, preocupando-se cada

    vez menos com o contedo material das proposies e com as operaes intelectuais ou

    estruturas do pensamento. A lgica tornou-se plenamente formal. O seu precursor foi

    Frege no final do sculo XIX e desenvolvido posteriormente no sculo XX por

    Whitehead, Bertrand Russel e Wittgenstein. Neste captulo ns usaremos o mtodo

    criado por Wittgenstein, que o mais moderno e mais aceito pelos lgicos.A linguagem

    simblica criada por Wittgenstein usa um sistema fechado de signos ou smbolos, onde

    cada smbolo smbolo de um nico objeto ou coisa a ser representada e corresponde a

    uma nica significao. Todo smbolo deve indicar um objeto ou algo que pode ser

    verificado. Por exemplo, HO, CO. so smbolos denotativos, pois indicam um s

    objeto ou um s sentido.

    Para caracterizar a cincia em oposio filosofia, Wittgentein mostrou que as

    proposies da filosofia no so significativas, so pseudo-proposies. Enunciados s

    so significativos se, e somente se, eles podem ser reduzidos a proposies elementares

    ou atmicas. Um enunciado significativo deve descrever fatos atmicos, ou seja, fatos

    que podem ser observados e verificados na experincia. Uma proposio elementar

    ou atmica a figurao de um fato elementar ou atmico na realidade, isto , de

    estados de coisas atmicos. As proposies elementares ou atmicas so descries ou

    afiguraes da realidade. So um quadro, um retrato da realidade. Por exemplo, as

    sentenas:

    Plato um bpede sem pena

    Joo gordo e careca

    Oxignio produz combusta.

  • 29 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    Essas proposies so juzos de percepo que descrevem a realidade. Com efeito,

    so proposies que podem ser reduzidas a proposies elementares da lgica formal. A

    lgica torna-se a linguagem ideal para todas as cincias. Podemos substituir as

    proposies acima por smbolos, tais como pq lemos p e q - Plato um bpede sem

    penas; Oxignio produz combusto (pq), lemos p implica q. A linguagem cientifica

    deve ser substituda por uma linguagem simblica, eliminando assim os erros da

    linguagem comum. Ela um instrumento de anlise que busca determinar as

    proposies significativas, como as inferncias legtimas de toda as cincias. Para

    Wittgentein, somente a proposio dotada de sentido e significado, nomes isolados

    apenas denotam o objeto, no possuem sentido. A proposio uma figurao de fatos e

    no de coisas isoladas. O mundo no a totalidade das coisas, mas a totalidade dos

    fatos.

    O mundo totalidade dos fatos, no das coisas.

    O mundo decompe-se em fatos

    Para Wittgentein, a proposio uma imagem da realidade. A proposio um

    modelo da realidade tal como ns a pensamos. Quando digo: a porta est aberta, fao

    um recorte da realidade, fao uma figurao de um fato. Assim, este enunciado s pode

    ter dois valores de verdade: verdadeiro ou falso. Se corresponder realidade ele

    verdadeiro, se no corresponder falso. Cada elemento que compe a realidade deve ter

    uma correspondncia no domnio da proposio. Os nomes que representam o objeto se

    combinam para formar a proposio, com efeito, representam os estados de coisas. A

    proposio uma imagem da realidade: se eu compreendo a proposio, ento conheo

    a situao por ela representada. E compreendo a proposio sem que o seu sentido me

    tenha sido explicado. O que h de comum entre a proposio e a realidade a forma

    dos objetos, isto , a forma lgica. Devemos entender essa forma como uma

    determinada possibilidade de combinao dos objetos entre si. a forma lgica que

    estabelece a conexo necessria entre as proposies e os fatos. O que cada figurao,

    de forma qualquer, deve sempre ter em comum com a realidade para poder figur-lo em

    geral correta ou falsamente a forma lgica, isto , a forma da realidade.

    Wittgentein sempre acreditou na existncia de uma ordem a priori no mundo, assim

    como no pensamento. Devemos lembrar que a linguagem a expresso do pensamento.

    S podemos pensar e falar sobre o mundo, porque h algo em comum entre linguagem e

  • 30 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    mundo. Ambas possuem uma estrutura lgica. A lgica possibilita a linguagem

    representar o mundo. O mundo lgico.

    H uma aureola volta do pensamento. A sua essncia, a lgica, representa

    uma ordem, de fato a ordem a priori do mundo, isto , a ordem das possibilidades que

    tm que ser comuns ao mundo e ao pensamento. Mas parece que esta ordem tem que ser

    supremamente simples. a ordem que precede toda experincia, que corre ao longo de

    toda experincia, qual no se deve pegar nada do que turvo e incerto na experincia.

    Tem que ser do mais puro cristal. Mas este cristal no parece ser uma abstrao, mas

    algo de concreto, como a coisa mais dura que h, () (Investigaes, 97)

    Para ficar mais claro esta idia, daremos um exemplo ilustrativo. Imaginem que

    estivssemos em Limeira, mas no sabemos como chegar em So Carlos. A primeira

    atitude a tomar olhar um mapa. No mapa, percebemos que para chegar em So Carlos

    teremos que pegar a rodovia Washington Luiz, passar por Rio Claro, at, finalmente,

    chegarmos em So Carlos.

    So Carlos

    Rio Claro

    Limeira

    Este diagrama uma representao que nos mostra as posies relativas das cidades

    na Rodovia Washington Luiz. Nota-se que a cidade de Rio Claro fica entre Limeira e

    So Carlos. Temos aqui uma representao que pode ser verdadeira ou falsa. O

    diagrama me diz que entre as cidades nomeadas existe a mesma articulao espacial que

    existe entre os nomes. A rodovia Washignton Luiz, que representado por uma linha,

    liga os nomes das cidades numa relao espacial. A mesma relao espacial que existe

    entre as cidades figurada no mapa. O mapa poderia ser falso. Essa relao poderia no

    existir, mas o mapa no deixaria de ser significativo. isso que Wittgentein chama a

    forma da afigurao, ou seja, o que h de comum entre a representao e o

    representado. O que h de comum, portanto, entre o mapa e a realidade, a forma

    lgica. A concatenao dos elementos da representao a mesma concatenao que

    existe na realidade. Decorre disso, que o mundo possui um espao lgico que se reflete

    na linguagem. A linguagem torna-se, portanto, o espelho do mundo.

    Tudo o que ocorre no mundo pode ser expresso pela linguagem. A linguagem o

    retrato de tudo o que ocorre e de tudo que no ocorre. Atravs da estrutura lgica da

    linguagem, podemos compreender a estrutura lgica do mundo. Compreender o sentido

  • 31 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    de uma proposio saber como devemos chegar a uma deciso sobre sua verdade ou

    falsidade. Devemos mostrar se ela suscetvel de ser verificada por uma evidncia do

    tipo observacional. Uma proposio significativa se ela espelha os fatos, isto , se

    ela pode ser verificada na experincia ou se ela uma conseqncia lgica de

    proposies de observao.

    A verificabilidade completa, aqui exigida, de forma alguma a verificao

    completa, mas a possibilidade lgica de um conjunto de dados verificadores

    concludentes, formulados em proposies de observao. Isto significa que proposies

    referentes a regies inacessveis do espao e do tempo, por exemplo, podem muito bem

    ser completamente verificveis.

    Para Wittgestein uma teoria somente significativa se ela mantm uma relao

    intrnseca com a realidade, ou seja, se as proposies da teoria possuem uma

    significao emprica. Contudo, a realidade no apenas aquilo que vemos, sentimos ou

    podemos ter a experincia. A realidade se constitui pela soma dos estados de coisas

    subsistentes, isto , dos fatos e dos estados de coisas possveis, ou seja, daqueles que

    no subsistem, mas podem vir a existir.

    A subsistncia e a no subsistncia dos estados de coisas a realidade (Chamamos de

    fato positivo a subsistncia de estados de coisas e de negativo a no subsistncia deles),

    A totalidade dos fatos determina, pois, o que ocorre e tambm tudo o que no ocorre.

    Os compromissos que governam a cincia normal especificam no apenas as espcies

    de entidades que o universo contm, mas tambm, implicitamente, aquelas que no

    contm. (Kuhn, 1991, p. 26).

    Uma vez que aprendemos algumas noes propeduticas da lgica de Wittgenstein,

    vamos agora ao simbolismo.

    implica ou seento

    ou

    e

    equivalente ou se e somente se

    .. portanto ou logo

    a,b, p, q, r, s proposies atmicas

    p q; p q; p q; p q . proposies moleculares

    Os smbolos nos permitem transformar um argumento da linguagem coloquial em

    um argumento lgico matemtico. Por exemplo:

  • 32 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    S h combusto se houver oxignio

    Na lua no h oxignio.

    Logo, na lua no pode haver combusto.

    O argumento teria a seguinte forma: p=combusto q=oxignio

    p q S h combusto se houver oxignio

    >q no h oxignio

    .. >p no h combusto

    Vamos dar mais um exemplo: p=Jos tem uma blusa branca; q=Jos tem uma blusa

    preta

    Jos tem uma blusa branca ou Jos tem uma blusa preta

    Jos no tem uma blusa branca

    Portanto, Jos tem uma blusa preta

    p v q

    >p

    .. q

    Ns apresentamos aqui um argumento de implicao e outro de disjuno. Mas

    para sabermos se esses argumentos so vlidos ou invlidos devemos recorrer as tabelas

    de verdade. Como j foi mostrado, se admitimos como verdadeiras as premissas de um

    argumento, tambm, por uma necessidade lgica, devemos admitir a concluso como

    verdadeira. Esse argumento torna mais clara essa idia: 10>9, 9>7, portanto, 10>7. Se

    admitirmos que as premissas so verdadeiras, a concluso tambm deve ser verdadeira,

    ela decorre necessariamente das premissas. O objetivo das tabelas de verdade mostrar

    todas as ocorrncias dos valores de verdade em um argumento, com isso, nos permitir

    averiguar se existe pelo menos uma atribuio de valores de verdade que torna as

    premissas verdadeiras e a concluso falsa. Se houver tal atribuio, o argumento

    invlido; se no houver, o argumento vlido. Parece confuso, mas os exemplos devem

    tornar mais claros a finalidade das tabelas de verdade. Dado quaisquer enunciados p e q,

    s existem quatro conjuntos de valores de verdade que lhes possamos atribuir.

    Se p verdadeiro e q verdadeiro

    Se p verdadeiro e q falso,

    Se p falso e q verdadeiro,

    Se p falso e q falso,

  • 33 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    p q

    V V

    V F

    F V

    F F

    Ns apresentamos os possveis valores de verdade para p e q, ns tambm podemos

    neg-los usando o sinal de > (chamamos negao). Quando p e q so verdadeiro, >p e

    >q so falsos, da mesma forma quando p e q so falsos >p e >q so verdadeiros.

    p q >p >q

    V V F F

    V F F V

    F V V F

    F F V V

    Agora vamos aprender os valores de verdade dos quatro conectivos lgicos.

    Se p verdadeiro e q verdadeiro, p ^ q verdadeiro

    Se p verdadeiro e q falso, p ^ q falso

    Se p falso e q verdadeiro, p ^q, falso

    Se p falso e q falso, p ^q falso

    p q p ^ q

    V V V

    V F F

    F V F

    F F F

    Ns temos at agora o conjunto de valores de verdade da conjuno. A partir daqui

    ns j podemos desenvolver um pequeno argumento e saber se ele invlido ou no.

    O Brasil foi campeo em 2002

    Portanto, a Itlia ser campe em 2006

    Ser que h uma relao causal entre essas duas proposies? O fato do Brasil ser

    campeo em 2002 torna possvel a Itlia ser campe em 2006. Ns mostraremos atravs

    de uma tabela de verdade que este argumento invlido.

    p q

    V V

  • 34 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    V F *

    F V

    F F

    Este argumento invlido, pois ele vai contra a nossa definio de argumento

    vlido. Um argumento vlido se, e somente se, impossvel que suas premissas sejam

    verdadeiras e a concluso falsa. Nota-se que na segunda linha a premissa verdadeira e

    a concluso falsa, esse argumento , portanto, invlido. Vamos fazer mais um

    argumento para tornar mais clara a finalidade das tabelas de verdade.

    Joo careca e usa peruca p ^ q

    Joo careca p

    Portanto, Joo no usa peruca .. > q

    Parece obvio que este argumento invlido, uma vez que, se Joo careca e usa

    peruca, ento, decorre necessariamente disso que, se ele no careca, ele tambm no

    usa peruca. Mas a nossa concluso diz exatamente o contrrio, ou seja, que Joo no usa

    peruca, apesar de ser careca. Vamos analisar pelas tabelas de verdade. A primeira coisa

    a fazer estabelecer os quatro valores de verdade de p e q, depois os valores do

    conectivo de conjuno (p^q), que ser nossa primeira premissa do argumento, logo

    aps devemos apenar copiar os valores de verdade da proposio atmica p, que ser a

    segunda premissa e, por ltimo, devemos negar os valores de verdade da proposio

    atmica q, que ser nossa concluso.

    Valores premissa premissa concluso

    p q p ^ q p >q

    V V V V F *

    V F F V V

    F V F F F

    F F F F V

    Ns finalmente montamos a matriz do argumento. Ele invlido, pois na primeira

    linha ele torna as premissas verdadeiras e a concluso falsa. Todo argumento s

    invlido se possvel que suas premissas sejam verdadeiras e a concluso falsa. Essa

    definio deve ficar bem clara na mente do leitor. Ela que deve nos guiar para sabemos

    se um argumento vlido ou invlido atravs do uso de tabelas de verdade. Por

  • 35 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    exemplo, se eu admitir como verdadeira as premissas, eu tambm tenho que admitir a

    concluso como verdadeira. Se eu admitir que todo homem mortal e que Scrates

    homem, eu tambm tenho que admitir, baseando-se nas premissas, que Scrates

    mortal. A concluso decorre necessariamente das premissas. Por isso que as tabelas nos

    servem para identificar os argumentos invlidos.

    Vamos agora construir um novo argumento, mas usando um novo conectivo. Ns

    usaremos o conectivo de implicao (), que j falamos um pouco no comeo da

    explicao sobre tabelas de verdades. Mas antes, vamos construir os possveis valores

    de verdade da implicao.

    Se p verdadeiro e q verdadeiro, pq verdadeiro

    Se p verdadeiro e q falso, pq falso

    Se p falso e q verdadeiro, pq verdadeiro

    Se p falso e q falso, pq verdadeiro

    Agora que sabemos os valores de verdade da implicao, vamos a anlise do

    argumento. Primeiramente vamos transformar o argumento em smbolos. Logo aps

    construiremos os quatro valores de verdade de p e q. Essa construo necessria em

    todo argumento. Vamos ento a primeira premissa (p q), construiremos os possveis

    valores da implicao, que j mostramos acima. Depois construiremos os valores de

    verdade da proposio atmica q, ou seja, de sua negao; basta apenas inverter os

    valores de q, negando-os.A proposio >p constitui nossa segunda premissa. Por ltimo,

    construiremos os valores de verdade da proposio atmica p, basta apenas copi-lo da

    primeira coluna.

    S h combusto se houver oxignio p q

    Na lua no h oxignio >q

    Portanto, na lua no h combusto .. >p

    Valores Premissa Premissa Concluso

    p q p q >q >p

    V V V F F

    V F F V F

    F V V F V

    F F V V V *

    Esse argumento, como podemos notar, vlido. No h nenhuma linha da tabela

    que torne as premissas verdadeiras e a concluso falsa. Ao contrrio percebemos na

  • 36 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    ltima linha que a concluso decorre necessariamente das premissas, tanto a premissa

    como a concluso so verdadeiras.

    At o momento ns construmos os valores de verdade da conjuno e da

    implicao. Faltam apenas a tabela da disjuno e da equivalncia. Vamos construir a

    tabela de verdades da disjuno para construirmos um argumento.

    Se p verdadeiro e q verdadeiro, p v q verdadeiro

    Se p verdadeiro e q falso, p v q verdadeiro

    Se p falso e q verdadeiro, p v q verdadeiro

    Se p falso e q falso, p v q falso

    Agora que construmos os valores de verdade da disjuno, temos que analisar um

    argumento. A primeira coisa transformar o argumento em smbolos. Logo aps

    construiremos os quatro valores de verdade de p e q. Uma vez feito isso, comearemos

    analisar o argumento. Ao lado dos valores de verdade de p e q colocamos a tabela da

    disjuno, que mostramos acima. Ela constitui nossa primeira premissa. A segunda

    premissa a negao da proposio atmica q, basta apenas pegarmos os valores de

    verdade de q e negarmos. A concluso, por sua vez, p, basta apenas copiarmos os

    valores de verdade de p. Assim temos a tabela de verdade do argumento.

    Joo careca ou Joo tem cabelos p v q

    Joo no tem cabelos >q

    Portanto, Joo careca .. p

    Valores Premissa Premissa Concluso

    p q p v q >q p

    V V V F V

    V F V V V *

    F V V F F

    F F F V F

    O argumento que analisamos vlido, uma vez que no h nenhuma linha da tabela

    de verdades que torne as premissas verdadeiras e a concluso falsa. Ao contrrio, na

    segunda linha temos todas as premissas verdadeiras, assim como sua concluso

    verdadeira. O argumento , portanto, vlido.

  • 37 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    Vamos construir nossa ltima tabela de verdades, que o de equivalncia. Assim

    teremos uma tabela completa com todos os valores de verdade dos quatro conectivos:

    conjuno, implicao, disjuno e equivalncia. A construo dessa nica tabela com

    todos os valores de verdade dos conectivos importante, pois com ela que

    analisaremos qualquer argumento que use proposies atmicas e moleculares.

    Se p verdadeiro e q verdadeiro, p q verdadeiro

    Se p verdadeiro e q falso, p q falso

    Se p falso e q verdadeiro, p q falso

    Se p falso e q falso, p q verdadeiro

    Agora vamos construir um argumento que use equivalncia. Primeiramente

    devemos transformar o argumento em smbolos.

    Joo casa-se com Maria se, e somente se, Maria casa-se com Joo

    Joo quer casar com Maria

    Maria no se casa com Joo

    p q

    p

    .. >q

    Uma vez que transformamos o argumento em smbolos, vamos comear montando

    a tabela de verdades. A primeira coisa a fazer construir os valores de verdade de p e q.

    Logo aps devemos construir a tabela de equivalncia, que j mostramos acima, basta

    apenas copiar seus valores. Ela constitui nossa primeira premissa. A segunda premissa

    a proposio atmica p, basta apenas copiar seus valores da primeira fileira das tabelas

    de verdade. A concluso, por sua vez, a negao da proposio atmica q, basta

    apenar negar q na segunda fileira das tabelas de verdade. Com isso a tabela construda

    ficaria assim:

    Valores premissa premissa concluso

    p q p q p >q

    V V V V F *

    V F F V V

    F V F F F

    F F V F V

    fcil perceber que este argumento invlido. Como j dissemos um argumento

    invlido quando possvel que as premissas sejam verdadeiras e a concluso falsa.

  • 38 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    Nota-se que a primeira linha da tabela de verdades torna as premissas verdadeiras e a

    concluso falsa. O argumento , portanto, invlido.

    Alm do que dissemos at aqui pode haver a relao de equivalncia entre

    proposies. Uma proposio equivalente a outra se elas sempre tm o mesmo valor

    de verdade: quando uma verdadeira, a outra tambm verdadeira; quando uma falsa,

    a outra tambm falsa. Por exemplo, as proposies (p q) equivalente a (q p), ns

    representamos [(p q) (q p)]. Vamos montar uma tabela de verdades para mostrar que

    (pq) equivalente a >(p ^ >q). Ou seja, vamos mostrar que ambas as proposies

    possuem os mesmos valores de verdade. Ns representamos: [(pq) >(p ^ >q)].

    Primeiro vamos fazer a tabela de verdade de p q

    p q p-> q

    V V V

    V F F

    F V V

    F F V

    Observe os valores de verdade de p-> q, so eles: V, F, V, V. Mostraremos que eles

    so equivalentes a >(p ^ >q).

    p q p >q (p ^ >q) > (p ^ q)

    V V V F F V

    V F V V V F

    F V F F F V

    F F F V F V

    Primeiro estabelecemos os valores de p e q, depois copiamos os valores de p

    novamente e negamos q. Atravs de p e >q ns fizemos a tabela de valores de p ^ >q.

    Finalmente ns a negamos. Com isso encontramos os valores de > (p ^ >q) que so: V,

    F, V, F

    Agora que construmos nossa ltima tabela de verdade de equivalncia, temos a

    tabela de verdades completa. Ela torna-se importante para o estudante, pois com ela

    que podemos analisar qualquer argumento que use proposies atmicas e moleculares.

    Vamos mont-la abaixo.

    p q p ^ q p -> q p v q p q

  • 39 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    V V V V V V

    V F F F V F

    F V F V V F

    F F F V F V

    Exerccios Propostos 3

    1- D o valor lgico das proposies abaixo: (1,0 ponto).

    I- considere v = V e f = F.

    II- considere v = V e f =V.

    III- considere v = F e f = V.

    IV- considere v = F e f = F.

    Considere as colunas I, II, III e IV.

    I II III IV

    a)v f

    g)v f

    m)v f

    s)v f

    b)v f

    h)v f

    n)v f

    t)v f

    c)v f

    i)v f

    o)v f

    u)v f

    d)v f

    j)v f

    p)v f

    v)v f

    e) v

    k) v

    q) v

    w) v

    f) f

    l) f

    r) f

    x) f

    Marque a opo correta:

  • 40 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    a) a = F, b = V, c = V, d = F, r = V.

    b) b = V, i = V, p = F, q = V, s = V.

    c) c = V, i = F, q = F, t = v, u = F.

    d) e = F, g = V, n = V, r = F, x = F.

    e) f = V, g = V, o = V, u= V, w = V.

    2- D o valor lgico das seguintes proposies: (1,0 ponto).

    I- Se 2 par, ento 3 impar.

    II- Se 3 impar, ento 4 par.

    III- Ou 3 par ou 3 impar.

    IV- 4 par ou 2 impar.

    Marque a opo correta:

    a) I est correta e II est incorreta.

    b) I est correta e III est incorreta.

    c) I est correta e IV est incorreta.

    d) Ou I est correta ou II est correta.

    e) I est correta ou II est correta.

    3- Sabendo que GYN a capital de Gois e que BH a capital de Minas Gerais ento,

    marque a alternativa incorreta: (1,0 ponto).

    a) GYN a capital de Gois e BH a capital de Minas Gerais.

    b) GYN a capital de Gois ou BH a capital de Minas Gerais.

    c)Se GYN a capital de Gois, ento BH a capital de Minas Gerais.

    d) GYN a capital de Gois, se e somente se BH a capital de Minas Gerais.

    e) Ou GYN a capital de Gois ou BH a capital de Minas Gerais.

    4- Sabendo que o valor lgico Verdade = r, e que Falso = t. Avalie as sentenas: (1,0

    ponto).

    a) P Q, se P = r e Q = r.

  • 41 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    b) P Q, se P = r e Q = t.

    c) Q P, se P = t e Q = r.

    d) Q P, se P = t e Q = t.

    Marque a alternativa certa:

    a) V, V, V e V.

    b) V, F, V e V.

    c) V, F, F e V.

    d) V, F, F e F.

    e) F, F, F e F.

    5- Julgue os itens a seguir a seguir: (1,0 ponto).

    I- A FMB est em So Luis de Montes Belos.

    II- O curso de Direito da FMB possui conceito 04 pelo MEC, numa escala de notas que

    vai de 01 05.

    III- O curso de Direito da FMB possui como coordenadora a prof. MS Isa Finot.

    Marque a alternativa incorreta:

    a) I esta correta e II esta correta.

    b) I est correta e III esta correta.

    c) Se I esta correta, ento II est correta.

    d) Se II est correta, ento III est correta.

    e) Ou II est correta, ou III est correta.

    6- Considere as sentenas abaixo:

    I. 3 + 1 = 4 e 2 + 3 = 5

    II. 6 > 2 e 7 < 3

    III. 2 = 3 e 5 < 0

  • 42 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    a) todas so falsas;

    b) I e II so falsas;

    c) somente III falsa;

    d) somente I verdadeira;

    e) I e II so verdadeiras.

    7- Considere as sentenas abaixo:

    I. 5 + 1 = 6 ou 4 4 = 0

    II. 2 + 2 = 5 ou 7 > 2

    III. 3 = 5 ou 8 < 6

    a) somente I verdadeira;

    b) somente III falsa;

    c) todas so verdadeiras;

    d) todas so falsas;

    e) I e III so falsas.

    8- Considere as proposies abaixo:

    I. 3 + 4 = 7 ou 2 + 2 = 4

    II. 8 < 4 e 6 > 3

    III. 6 < 0 ou 3 = 4

    Assinale a nica alternativa correta:

    a) todas as proposies so falsas;

    b) somente III falsa;

    c) somente II falsa;

    d) I e II so falsas;

    e) I falsa ou II falsa.

  • 43 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    9- Assinale a nica sentena falsa.

    a) Se 2 par, ento 3 mpar.

    b) Se 5 inteiro, ento 3 menor que 5.

    c) Se 8 mpar, ento 7 maior que 3.

    d) Se 13 par, ento 2 mpar.

    e) Se 10 par, ento 6 maior que 20.

    10- A negao de "todos os homens so bons motoristas :

    a) todas as mulheres so boas motoristas;

    b) algumas mulheres so boas motoristas;

    c) nenhum homem bom motorista;

    d) todos os homens so maus motoristas;

    e) ao menos um homem mau motorista.

    GABARITO

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    E E E B E D B E E E

    Bibliografia

    KUNH, T. As estruturas das revolues cientficas, 1991

    Disponvel em: http://logicanet.wordpress.com/2007/11/25/18/ Acessado em: 15 de

    janeiro de 2013.

  • 44 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    4- PROPORO E RAZAO

    Chama-se de razo entre dois nmeros racionais a e b, com b 0, ao quociente

    entre eles. Indica-se a razo de a para b por a/b ou a : b.

    Exemplo:

    Na sala da 6 B de um colgio h 20 rapazes e 25 moas. Encontre a razo entre o

    nmero de rapazes e o nmero de moas. (lembrando que razo diviso)

    Voltando ao exerccio anterior, vamos encontrar a razo entre o nmero de moas e

    rapazes.

    Lendo Razes

    Termos de uma Razo

  • 45 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    Grandezas Especiais

    Escala, a razo entre a medida no desenho e o correspondente na medida real.

    Exemplo:

    Em um mapa, a distncia entre Montes Claros e Viosa representada por um segmento

    de 7,2 cm. A distncia real entre essas cidades de 4320km. Vamos calcular a escala

    deste mapa.

    As medidas devem estar na mesma unidade, logo 4320km = 432 000 000 cm

    Velocidade mdia, a razo entre a distncia a ser percorrida e o tempo gasto. (observe

    que neste caso as unidades so diferentes)

    Exemplo:

    Um carro percorre 320km em 4h. determine a velocidade mdia deste carro.

    Velocidade= 320/4 = 80

    Densidade demogrfica, a razo entre o nmero de habitantes e a rea.

  • 46 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    Exemplo:

    O estado do Cear tem uma rea de 148.016 km2 e uma populao de 6.471.800

    habitantes. D a densidade demogrfica do estado do Cear.

    Razes Inversas

    Vamos observar as seguintes razes.

    Observe que o antecessor(5) da primeira o conseqente(5) da segunda.

    Observe que o conseqente(8) da primeira o antecessor(8) da segunda.

    O Produto das duas razes igual a 1, isto 5/8 x 8/5 =1

    Dizemos que as razes so inversas.

    Exemplos:

  • 47 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    O estudo da proporo divido em duas propriedades: Propriedade fundamental das

    propores e propriedade da soma dos termos em uma proporo.

    Propriedade fundamental da proporo

    Quando fazemos a proporo de duas razes iremos ter os termos dos meios e dos

    extremos.

    5 = 10 ou 5 : 8 = 10 : 16

    8 16

    Os nmeros 5, 8, 10 e 16 so os termos dessa proporo sendo que 5 e 16 so os termos

    dos extremos e 8 e 10 so os termos dos meios.

    Essa propriedade diz:

    O produto dos meios igual ao produto dos extremos

    Portanto, se pegarmos a proporo acima e aplicarmos essa propriedade iremos obter o

    seguinte resultado:

    Produto dos termos dos meios: 8 x 10 = 80

    Produto dos termos dos extremos: 5 x 16 = 80

    Assim, verificamos que a propriedade verdadeira.

    Propriedades da soma dos termos em uma proporo

    Uma proporo composta por duas razes, ou seja, por quatro termos, pois cada razo

    possui 2 termos, veja:

    Essa propriedade diz:

  • 48 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    Se somar os dois termos da primeira razo e dividir pelo primeiro ou pelo segundo

    termo ir obter uma razo igual soma dos dois termos da segunda razo dividida

    pelo terceiro ou quarto termo.

    Veja o exemplo abaixo:

    Dada a seguinte proporo:

    Formando duas outras propores iguais entre si.

    Exerccios Propostos 4

    1- Um mecnico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes medidas

    realizadas em um carro sejam obtidas em metros:

    a) distncia a entre os eixos dianteiro e traseiro;

    b) altura b entre o solo e o encosto do piloto.

    Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtm-se, respectivamente,

    A) 0,23 e 0,16.

    B) 2,3 e 1,6.

    C) 23 e 16.

  • 49 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    D) 230 e 160.

    E) 2 300 e 1 600.

    2-Algumas pesquisas esto sendo desenvolvidas para se obter arroz e feijo com

    maiores teores de ferro e zinco e tolerantes seca. Em mdia, para cada 100 g de arroz

    cozido, o teor de ferro de 1,5 mg e o de zinco de 2,0 mg. Para 100 g de feijo, de 7

    mg o teor de ferro e de 3 mg o de zinco. Sabe-se que as necessidades dirias dos dois

    micronutrientes para uma pessoa adulta de aproximadamente 12,25 mg de ferro e 10

    mg de zinco.

    Disponivel em http://www.embrapa.br. Acesso em: 29 abr. 2010 (adaptado).

    Considere que uma pessoa adulta deseja satisfazer suas necessidades dirias de ferro e

    zinco ingerindo apenas arroz e feijo. Suponha que seu organismo absorva

    completamente todos os micronutrientes oriundos desses alimentos.

    Na situao descrita, que quantidade a pessoa deveria comer diariamente de arroz e

    feijo, respectivamente

    a) 58 g e 456 g

    b) 200 g e 200 g

    c) 350 g e 100 g

    d) 375 g e 500 g

    e) 400 g e 89 g

    3- Existe uma cartilagem entre os ossos que vai crescendo e se calcificando desde a

    infncia at a idade adulta. No fim da puberdade, os hormnios sexuais (testosterona e

    estrgeno) fazem com que essas extremidades sseas (epfises) se fechem e o

    crescimento seja interrompido. Assim, quanto maior a rea calcificada entre os

    ossos, mais a criana poder crescer ainda. A expectativa que durante os quatro ou

    cinco anos da puberdade, um garoto ganhe de 27 a 30 centmetros.

    Revista Cludia. Abr. 2010 (adaptado).

    De acordo com essas informaes, um garoto que inicia a puberdade com 1,45 m de

    altura poder chegar ao final dessa fase com uma altura

    A) mnima de 1,458 m.

    B) mnima de 1,477 m.

    C) mxima de 1,480 m.

    D) mxima de 1,720 m.

    E) mxima de 1,750 m.

  • 50 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    4- Uma cooperativa de colheita props a um fazendeiro um contrato de trabalho nos

    seguintes termos: a cooperativa forneceria 12 trabalhadores e 4 mquinas, em um

    regime de trabalho de 6 horas dirias, capazes de colher 20 hectares de milho por dia, ao

    custo de R$ 10,00 por trabalhador por dia de trabalho, e R$ 1.000,00 pelo aluguel dirio

    de cada mquina. O fazendeiro argumentou que fecharia contrato se a cooperativa

    colhesse 180 hectares de milho em 6 dias, com gasto inferior a R$ 25.000,00.

    Para atender s exigncias do fazendeiro e supondo que o ritmo dos trabalhadores e das

    mquinas seja constante, a cooperativa deveria

    A) manter sua proposta.

    B) oferecer 4 mquinas a mais.

    C) oferecer 6 trabalhadores a mais.

    D) aumentar a jornada de trabalho para 9 horas dirias.

    E) reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel dirio de uma mquina.

    5- Num supermercado, so vendidas duas marcas de sabo em p, Limpinho, a mais

    barata, e Cheiroso, 30% mais cara do que a primeira. Dona Nina tem em sua carteira

    uma quantia que suficiente para comprar 10 caixas de 1kg do sabo Limpinho, mas

    no pode comprar as mesmas 10 caixas de 1kg do sabo Cheiroso. Seja M o maior

    nmero de caixas de 1kg do sabo Cheiroso que dona Nina pode comprar com a quantia

    que tem em sua carteira. Nessas condies, M vale, no mnimo,

    a) 9.

    c) 7.

    b) 8.

    d) 6.

    e) 5.

    6- Quando estava viajando pelo Chile, Jorge, por no ter uma calculadora disponvel,

    tinha dificuldade em fazer a converso dos preos, dados em pesos chilenos, para o

    valor correspondente em reais. poca, a cotao era de 196,50 pesos para cada real.

    Assinale, entre as seguintes alternativas, aquela que apresenta a regra que Jorge deveria

    utilizar para efetuar essa converso com o MENOR erro.

    A) Dividir o preo em pesos por 2 e, no valor obtido, mover a vrgula duas casas

    decimais para a esquerda.

    B) Dividir o preo em pesos por 5 e, no valor obtido, mover a vrgula duas casas

    decimais para a esquerda.

    C) Multiplicar o preo em pesos por 2 e, no valor obtido, mover a vrgula duas casas

    decimais para a esquerda.

    D) Multiplicar o preo em pesos por 5 e, no valor obtido, mover a vrgula duas casas

    decimais para a esquerda.

  • 51 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    E)N.D.A.

    7- Uma herana ser dividida entre dois herdeiros em partes inversamente proporcionais

    s fortunas acumuladas por cada um deles at o momento da partilha. Inicialmente, as

    fortunas so de 10 milhes e 15 milhes e crescem a uma taxa de 10% (cumulativos) ao

    ano. Se a partilha ser consumada em 10 anos, que frao da herana caber ao herdeiro

    que possua inicialmente 15 milhes?

    A) 3/10

    B) 2/5

    C) 1/2

    D) 3/5

    E) 7/10

    8- Uma obra ser executada por 13 operrios (de mesma capacidade de trabalho)

    trabalhando durante 11 dias com jornada de trabalho de 6 horas por dia. Decorridos 8

    dias do incio da obra 3 operrios adoeceram e a obra dever ser concluda pelos

    operrios restantes no prazo estabelecido anteriormente. Qual dever ser a jornada diria

    de trabalho dos operrios restantes nos dias que faltam para a concluso da obra no

    prazo previsto?

    A) 7h42

    B) 7h44

    C) 7h46

    D) 7h48

    E) 7h50

    7-Qual a proporo das pessoas com idade superior a 50 anos com o restante da

    populao:

    a) P= 0,67

    b) P= 1,5

    c) P=2/3

    d) P=10/15

    e) P=10000/15000

    8-Pede-se a razo das pessoas de idade inferior a 20 anos com as de idade superior a 50

    anos:

    a) R=0,675

    b) R=1,48

  • 52 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    c) R=2,156

    d) R=27/40

    e) R=6750/10000

    GABARITO

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    B C E D C A B D C A

    Bibliografia

    Disponvel em: http://www.profcardy.com/exercicios/assunto.php?assunto=Raz%

    E3o+e+Propor%E7%E3o Acessado em: 13 de janeiro de 2013.

    Disponvel em: http://www.ebah.com.br/content/ABAAABvTkAB/portas-logicas

    Acessado em 12 de janeiro de 2013.

  • 53 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    5- PROBABILIDADE

    A histria da teoria das probabilidades, teve incio com os jogos de cartas, dados e de

    roleta. Esse o motivo da grande existncia de exemplos de jogos de azar no estudo da

    probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrncia

    de um nmero em um experimento aleatrio.

    Experimento Aleatrio

    aquele experimento que quando repetido em iguais condies, podem fornecer

    resultados diferentes, ou seja, so resultados explicados ao acaso. Quando se fala de

    tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve clculo de

    experimento aleatrio.

    Espao Amostral

    o conjunto de todos os resultados possveis de um experimento aleatrio. A letra

    que representa o espao amostral, S.

    Exemplo:

    Lanando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espao amostral,

    constitudo pelos 12 elementos:

    S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}

    1. Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m nmero par

    aparece}, B={um nmero primo aparece}, C={coroas e um nmero mpar

    aparecem}.

    2. Idem, o evento em que:

    a) A ou B ocorrem;

  • 54 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    b) B e C ocorrem;

    c) Somente B ocorre.

    3. Quais dos eventos A,B e C so mutuamente exclusivos

    Resoluo:

    1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constitudos de um K e um nmero

    par: A={K2, K4, K6};

    Para obter B, escolhemos os pontos de S constitudos de nmeros primos:

    B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}

    Para obter C, escolhemos os pontos de S constitudos de um R e um nmero

    mpar: C={R1,R3,R5}.

    2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}

    (b) B e C = B C = {R3,R5}

    (c) Escolhemos os elementos de B que no esto em A ou C;

    B Ac Cc = {K3,K5,R2}

    3. A e C so mutuamente exclusivos, porque A C =

    Conceito de probabilidade

    Se em um fenmeno aleatrio as possibilidades so igualmente provveis, ento a

    probabilidade de ocorrer um evento A :

  • 55 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    Por, exemplo, no lanamento de um dado, um nmero par pode ocorrer de 3

    maneiras diferentes dentre 6 igualmente provveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%

    Dizemos que um espao amostral S (finito) equiprovvel quando seus eventos

    elementares tm probabilidades iguais de ocorrncia.

    Num espao amostral equiprovvel S (finito), a probabilidade de ocorrncia de um

    evento A sempre:

    Propriedades Importantes:

    1. Se A e A so eventos complementares, ento:

    P( A ) + P( A' ) = 1

    2. A probabilidade de um evento sempre um nmero entre (probabilidade de

    evento impossvel) e 1 (probabilidade do evento certo).

    Probabilidade Condicional

    Antes da realizao de um experimento, necessrio que j tenha alguma

    informao sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espao amostral se

    modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrncia alterada.

    Frmula de Probabilidade Condicional

    P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2

    e ...En-1).

  • 56 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    Onde P(E2/E1) a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato de j ter

    ocorrido E1;

    P(E3/E1 e E2) a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de j terem

    ocorrido E1 e E2;

    P(Pn/E1 e E2 e ...En-1) a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato de j ter

    ocorrido E1 e E2...En-1.

    Exemplo:

    Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2

    bolas, uma de cada vez e sem reposio, qual ser a probabilidade de a primeira ser

    vermelha e a segunda ser azul?

    Resoluo:

    Seja o espao amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos:

    A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30

    B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29

    Assim:

    P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87

    Eventos independentes

    Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En so eventos independentes quando a probabilidade

    de ocorrer um deles no depende do fato de os outros terem ou no terem ocorrido.

    Frmula da probabilidade dos eventos independentes:

  • 57 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)

    Exemplo:

    Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de

    cada vez e repondo a sorteada na urna, qual ser a probabilidade de a primeira ser

    vermelha e a segunda ser azul?

    Resoluo:

    Como os eventos so independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira

    retirada e azul na segunda retirada igual ao produto das probabilidades de cada

    condio, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na

    primeira retirada 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Da, usando a

    regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9.

    Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve

    reposio. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira

    retirada no influenciou a segunda retirada, j que ela foi reposta na urna.

    Probabilidade de ocorrer a unio de eventos

    Frmula da probabilidade de ocorrer a unio de eventos:

    P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 e E2)

    De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estaro computados

    no clculo de P(E1) e P(E2). Para que sejam considerados uma vez s, subtramos

    P(E1 e E2).

    Frmula de probabilidade de ocorrer a unio de eventos mutuamente exclusivos:

  • 58 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    P(E1 ou E2 ou E3 ou ... ou En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En)

    Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem lanados, qual a probabilidade de sair

    5 no azul e 3 no branco?

    Considerando os eventos:

    A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6

    B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6

    Sendo S o espao amostral de todos os possveis resultados, temos:

    n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Da, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 1/36 = 11/36

    Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a

    probabilidade de ser um 8 ou um Rei?

    Sendo S o espao amostral de todos os resultados possveis, temos: n(S) = 52 cartas.

    Considere os eventos:

    A: sair 8 e P(A) = 4/52

    B: sair um rei e P(B) = 4/52

    Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma

    carta no pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os

    eventos A e B so mutuamente exclusivos.

  • 59 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    Exerccios Propostos 5

    1- Um aluno prestou vestibular em apenas duas Universidades. Suponha que, em uma

    delas, a probabilidade de que ele seja aprovado de 30%, enquanto na outra, pelo fato

    de a prova ter sido mais fcil, a probabilidade de sua aprovao sobe para 40%. Nessas

    condies, a probabilidade deque esse aluno seja aprovado em pelo menosuma dessas

    Universidades de:

    A) 70%

    B) 68%

    C) 60%

    D) 58%

    E) 52%

    2- Quatro moedas so lanadas simultaneamente. Qual a probabilidade de ocorrer

    coroa em uma s moeda?

    A) 1/8

    B) 2/9

    C) 1/4

    D) 1/3

    E) 3/8

  • 60 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    3- Jogamos dois dados comuns. Qual a probabilidade de que o total de pontos seja igual

    a 10?

    A) 1/12

    B) 1/11

    C) 1/10

    D) 2/23

    E) 1/6

    4- No jogo de Lipa sorteia-se um nmero entre 1 e 600 (cada nmero possui a mesma

    probabilidade). A regra do jogo : se o nmero sorteado for mltiplo de 6 ento o

    jogador ganha uma bola branca e se o nmero sorteado for mltiplo de 10 ento o

    jogador ganha uma bola preta. Qual a probabilidade de o jogador no ganhar nenhuma

    bola?

    A) 13/17

    B) 11/15

    C) 23/30

    D) 2/3

    E) 1/2

  • 61 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    5- A probabilidade de um casal com quatro filhos ter dois do sexo masculino e dois do

    sexo feminino :

    A) 60%

    B) 50%

    C) 45%

    D) 37,5%

    E) 25%

    6- A probabilidade de um dos cem nmeros 1, 2, 3, 4, , 100 ser mltiplo de 6 e de 10

    ao mesmo tempo :

    A) 3%.

    B) 6%

    C) 2%.

    D) 10%.

    E) 60%.

  • 62 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    7- Dois jovens partiram, do acampamento em que estavam, em direo Cachoeira

    Grande e Cachoeira Pequena, localizadas na regio, seguindo a trilha indicada neste

    esquema:

    Em cada bifurcao encontrada na trilha, eles escolhiam, com igual probabilidade,

    qualquer um dos caminhos e seguiam adiante. Ento, CORRETO afirmar que a

    probabilidade de eles chegarem Cachoeira Pequena :

    A) 1/2

    B) 2/3

    C) 3/4

    D) 5/6

    E) N. d. a.

    8- Considere uma prova de Matemtica constituda de quatro questes de mltipla

    escolha, com quatro alternativas cada uma, das quais apenas uma correta. Um

    candidato decide fazer essa prova escolhendo, aleatoriamente, uma alternativa em cada

    questo. Ento, CORRETO afirmar que a probabilidade de esse candidato acertar,

    nessa prova, exatamente uma questo :

    A) 27/64

    B) 27/256

  • 63 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    C) 9/64

    D) 9/256

    E)N.d.a.

    9- Dois dados cbicos, no viciados, com faces numeradas de 1 a 6, sero lanados

    simultaneamente. A probabilidade de que sejam sorteados dois nmeros consecutivos,

    cuja soma seja um nmero primo, de:

    A) 2/9

    B) 1/3

    C) 4/9

    D) 5/9

    E) 2/3

    10- O quadro funcional de uma empresa composto de 35 pessoas efetivas e 15 pessoas

    prestadoras de servios. Do pessoal efetivo 20 so homens e do pessoal prestador de

    servio 5 so mulheres. Escolhendo aleatoriamente uma pessoa dessa empresa, a

    probabilidade dessa pessoa ser homem ou prestar servio :

    A) 1/5

    B) 7/10

    C) 9/10

  • 64 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    D) 3/5

    E) 4/5

    11- Em uma populao de aves, a probabilidade de um animal estar doente 1/25.

    Quando uma ave est doente, a probabilidade de ser devorada por predadores 1/4, e,

    quando no est doente, a probabilidade de ser devorada por predadores 1/40.

    Portanto, a probabilidade de uma ave dessa populao, escolhida aleatoriamente, ser

    devorada por predadores de:

    A) 1,0%

    B) 2,4%

    C) 4,0%

    D) 3,4%

    E) 2,5%

    12-A linha de produo de uma fbrica produz milhares de peas por dia e apresenta,

    em mdia, quatro peas defeituosas a cada cem peas produzidas. Um inspetor de

    qualidade sorteia cinco peas de modo aleatrio e verifica a quantidade de peas

    defeituosas. De acordo com as informaes acima, considere as seguintes afirmativas:

    1. A probabilidade de o inspetor encontrar no mximo uma pea defeituosa

    (0,040 0,96

    5 ) + (5 0,04

    1 0,96

    4).

    2. A probabilidade de o inspetor encontrar pelo menos uma pea defeituosa 1

    (0,040 0,96

    5).

    3. impossvel o inspetor encontrar 5 peas defeituosas.

    Assinale a alternativa correta.

  • 65 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    A) Somente a afirmativa 1 verdadeira.

    B) Somente as afirmativas 1 e 2 so verdadeiras.

    C) Somente as afirmativas 2 e 3 so verdadeiras.

    D) Somente as afirmativas 1 e 3 so verdadeiras.

    E) As afirmativas 1, 2 e 3 so verdadeiras.

    GABARITO

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

    D C A C D A C A A B D B

    Bibliografia

    IEZZI, G. & MURAKAMI, C. Fundamentos de matemtica elementar. So Paulo:

    Atual, 2004.

    FONSECA, J. S. da; MARTINS, J. S. da F.; TOLEDO, G. de A. Estatstica aplicada.

    2. ed. So Paulo: Atlas, 1995. 267 p.

    MORETTIN, P. A. ; BUSSAB, W. de O. Estatstica bsica. So Paulo: Saraiva, 2006.

    Disponvel em: http://www.somatematica.com.br/emedio/probabilidade.php. Acessado

    em 20 de dezembro de 2012.

    Disponivel em: http://www.infoescola.com/matematica/probabilidade/exercicios/

    Acessado em 21 de dezembro de 2012.

  • 66 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    6- ANLISE COMBINATRIA

    Foi a necessidade de calcular o nmero de possibilidades existentes nos

    chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Anlise Combinatria, parte

    da Matemtica que estuda os mtodos de contagem. Esses estudos foram iniciados j no

    sculo XVI, pelo matemtico italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como

    Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal

    (1623-1662). A Anlise Combinatria visa desenvolver mtodos que permitam contar -

    de uma forma indireta - o nmero de elementos de um conjunto, estando esses

    elementos agrupados sob certas condies.

    Fatorial

    Seja n um nmero inteiro no negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo

    smbolo n! ) como sendo:

    n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 para n 2.

    Para n = 0 , teremos : 0! = 1.

    Para n = 1 , teremos : 1! = 1

    Exemplos:

    a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

    b) 4! = 4.3.2.1 = 24

    c) observe que 6! = 6.5.4!

    d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1

    e) 10! = 10.9.8.7.6.5!

    f ) 10! = 10.9.8!

    Princpio fundamental da contagem - PFC

    Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode

    ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim

    sucessivamente, ento o nmero total T de maneiras de ocorrer o acontecimento dado

    por:

    T = k1. k2 . k3 . ... . kn

    Exemplo:

    O DETRAN decidiu que as placas dos veculos do Brasil sero codificadas usando-se 3

    letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o nmero mximo de veculos que poder ser

    licenciado?

    Soluo:

  • 67 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    Usando o raciocnio anterior, imaginemos uma placa genrica do tipo PWR-USTZ.

    Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numrico possui 10 algarismos (de 0 a

    9), podemos concluir que: para a 1 posio, temos 26 alternativas, e como pode haver

    repetio, para a 2, e 3 tambm teremos 26 alternativas. Com relao aos algarismos,

    conclumos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos

    ento afirmar que o nmero total de veculos que podem ser licenciados ser igual a:

    26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no pas existissem

    175.760.001 veculos, o sistema de cdigos de emplacamento teria que ser modificado,

    j que no existiriam nmeros suficientes para codificar todos os veculos. Perceberam?

    Permutaes simples

    Permutaes simples de n elementos distintos so os agrupamentos formados com todos

    os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.

    Exemplo: com os elementos A,B,C so possveis as seguintes permutaes: ABC, ACB,

    BAC, BCA, CAB e CBA.

    O nmero total de permutaes simples de n elementos distintos dado por n!, isto

    Pn = n! onde n! = n(n-1)(n-2)... .1 .

    Exemplos:

    a) P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

    b) Calcule o nmero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco

    retangular de cinco lugares. P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

    Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que

    podem ter ou no significado na linguagem comum.

    Exemplo:

    Os possveis anagramas da palavra REI so: REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER.

    Permutaes com elementos repetidos

    Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos

    repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente , o nmero total de

    permutaes que podemos formar dado por:

  • 68 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    Exemplo:

    Determine o nmero de anagramas da palavra MATEMTICA.(no considere o

    acento)

    Soluo:

    Temos 10 elementos, com repetio. Observe que a letra M est repetida duas vezes, a

    letra A trs , a letra T, duas vezes. Na frmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2.

    Sendo k o nmero procurado, podemos escrever: k= 10! / (2!.3!.2!) = 151200

    Resposta: 151200 anagramas.

    Arranjos simples

    Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa k , a todo

    agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos

    diferem entre si, pela ordem de colocao dos elementos. Assim, no conjunto E =

    {a,b,c}, teremos:

    a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.

    b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

    Representando o nmero total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por

    An,k , teremos a seguinte frmula:

    Obs : fcil perceber que An,n = n! = Pn . (Verifique)

    Exemplo:

    Um cofre possui um disco marcado com os dgitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre

    marcado por uma sequncia de 3 dgitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre,

    quantas tentativas dever fazer(no mximo) para conseguir abri-lo?

    Soluo:

    As sequncias sero do tipo xyz. Para a primeira posio teremos 10 alternativas, para a

    segunda, 9 e para a terceira, 8. Podemos aplicar a frmula de arranjos, mas pelo

    princpio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado:

    10.9.8 = 720.

    Observe que 720 = A10,3

    Combinaes simples

  • 69 Raciocnio Lgico Faculdade Montes Belos

    Denominamos combinaes simples de n elementos distintos tomados k a k (taxa k) aos

    subconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados.

    Observe que duas combinaes so diferentes quando possuem elementos distintos, no

    importando a ordem em que os elementos so colocados.

    Exemplo:

    No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar:

    a) combinaes de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd.

    b) combinaes de taxa 3: abc, abd,acd,bcd.

    c) combinaes de taxa 4: abcd.

    Representando por Cn,k o nmero total de combinaes de n elementos tomados k a k

    (taxa k) , temos a seguinte frmula:

    Nota: o nmero acima tambm conhecido como Nmero binomial e indicado por:

    Exemplo:

    Uma prova