Apostila Raciocínio Lógico da FMB

Raciocínio Lógico

Apostila de Raciocínio Lógico

(O Cotidiano Matemático no Nosso dia a dia)

Faculdade Montes Belos

São Luis de Montes Belos – Goiás

Brasil

2013

2 Raciocínio Lógico Faculdade Montes Belos

Faculdade Montes Belos

Professor Coordenador: Msc. Antônio Florentino de Lima Júnior

Gerente Acadêmica: Me. Celany Queiroz Andrade


Justificativa

Este material foi desenvolvido com o objetivo de elevar o conhecimento dos acadêmicos da IES,

nivelando assim os discentes de todos os cursos oferecidos pela mesma. Também tem por finalidade

unificar o conteúdo ministrado pelos professores em sala de aula.

A apostila foi criada a partir da junção de conteúdos referentes ao Raciocínio Lógico, principalmente

com o enfoque da atualidade, “Concursos Públicos e Enade” como conteúdos básicos de (Teoria dos

Conjuntos, Probabilidade, Lógica de Argumentação, Lógica Quantitativa, Proporção e Análise

Combinatória. O conteúdo disponível pode ser encontrado em sites específicos e livros. Todo tópico

apresentado ha exercícios de fixação, sendo estes já aplicados em concursos e ainda alguns inéditos.


Objetivo

Geral Introduzir noções básicas de Raciocínio Lógico e Probabilidade, tendo em vista a

necessidade do emprego do mesmo em áreas diversas, bem como familiarizar o

discente com a terminologia e as principais técnicas da lógica booleana.

Especifico - Apresentar ao aluno o ambiente que envolve o raciocino lógico e a sua importância

para sua área;

- Desenvolver a capacidade crítica e analítica do estudante através da discussão de

exercícios e problemas;

- Capacitar o aluno a desenvolver os principais modelos lógicos, identificando o mais

apropriado para cada situações problemas;

- Fazer com que o aluno seja capaz de criticar cada modelo apresentado a partir de

sua experiência profissional e do material bibliográfico disponibilizado.


Sumário

pág

1-SEQUÊNCIAS LÓGICAS

Exercícios Propostos 1 07

2- TEORIA GERAL DOS CONJUNTOS 14


3- LOGICA ARGUMENTATIVA 27


4- PROPORÇÃO E RAZAO 44


5- PROBABILIDADE 53


6- ANÁLISE COMBINATÓRIA 66



1- SEQUÊNCIAS LÓGICAS

A FMB, é uma instituição de ensino superior solida, locada no município de São

Luis de Montes Belos, e como ferramenta de estudo do conteúdo curricular dos Cursos

vinculados à IES iremos apresentar agora o primeiro conteúdo de Raciocínio Lógico

sobre seqüências lógicas.

Os estudos matemáticos ligados aos fundamentos lógicos contribuem no

desenvolvimento cognitivo dos alunos, induzindo a organização do pensamento e das

ideias, na formação de conceitos básicos, assimilação de regras matemáticas, construção

de fórmulas e expressões aritméticas e algébricas. É de extrema importância que o

licenciado em Matemática utilize atividades extras envolvendo lógica, no intuito de

despertar o raciocínio, fazendo com que o aluno utilize seu potencial na busca por

soluções dos problemas matemáticos desenvolvidos em sala e baseados nos conceitos

lógicos.

A lógica está presente em diversos ramos da Matemática, como a probabilidade,

os problemas de contagem, as progressões aritméticas e geométricas, as sequências

numéricas, equações, funções, análise de gráficos entre outros. Os fundamentos lógicos

contribuirão na resolução ordenada de equações, na percepção do valor da razão de uma

sequência, na elucidação de problemas aritméticos e algébricos e na fixação de

conteúdos complexos.

A utilização das atividades lógicas contribui na formação de indivíduos capazes

de criar ferramentas e mecanismos responsáveis pela obtenção de resultados na

disciplina de Matemática. O sucesso na Matemática está diretamente conectado à

curiosidade, pesquisa, deduções, experimentos, visão detalhada, senso crítico e

organizacional e todas essas características estão ligadas ao desenvolvimento lógico.


Exercícios Propostos 1

1-Assinale a opção que contém a seqüência correta das quatros bolas , de acordo com as

afirmativas abaixo é:

A bola amarela está depois da branca.

A bola azul está antes da verde.

A bola que está imediatamente após a azul é maior do que está antes desta.

A bola verde é a menor de todas as bolas.

(A) Branca,amarela,azul e verde

(B) Branca, azul, amarela e verde

(C) Branca , azul , verde e amarela.

(D) Azul , branca , amarela e verde

(E) Azul, branca , verde e amarela

2- Em uma urna contendo 2 bolas brancas , 1 bola preta , 3 bolas cinzas , acrescenta-se

1 bola, que pode ser branca ,preta, ou cinza.Em seguida , retira-se dessa urna, sem

reposição, um total de 5 bolas.Sabe-se que apenas 2 das bolas retiradas eram brancas e

que não restaram bolas pretas na urna após a retirada. Em relação ás bolas que restaram

na urna , é correto afirmar que:

(A) ao menos uma é branca.

(B) necessariamente uma é branca

(C) Ao menos uma é cinza

(D) exatamente uma é cinza

(E) todas são cinzas

3-Comparando-se uma sigla de 3 letras com as siglas MÊS, SIM, BOI, BOL e ASO,

sabe-se que:

- MÊS não tem letras em comum com ela;


- SIM tem uma letra em comum com ela, mas que não está na mesma posição:

- BOI tem uma única letra em comum com ela, que esta na mesma posição;

- BOL tem uma letra em comum com ela, que não está na mesma posição;

- ASO tem uma única letra em comum com ela, que está na mesma posição.

A sigla a que se refere o enunciado dessa questão é

(A)BIL (B) ALI (C) LAS (D) OLI (E) ABI

4-Em um mês, Laura despachou dois processos a mais que o triplo dos processos

despachados por Paulo. Nesse mesmo mês, Paulo despachou um processo a mais que

Rita. Em relação ao total de processos despachados nesse mês pelos três juntos é correto

dizer que é um número da seqüência:

(A)1, 6, 11, 16, ... (B)2, 7, 12, 17, ... (C)3, 8, 13, 18, ...

(D)4, 9, 14, 19, ... (E)5, 10, 15, 20, ...

5-Observando o calendário de um certo ano, Gabriel percebeu que havia dois meses

consecutivos que totalizavam 60 dias. Se esse ano começa em uma segunda-feira, então

termina em uma

(A) segunda-feira.

(B) terça-feira.

(C) quarta-feira.

(D) quinta-feira.

(E) sexta-feira.

6-No dia 29 de dezembro de 2006 quatro técnicos judiciários de uma mesma Secretaria

da Justiça Federal - Eugênio, Nair, Raul e Virgínio - entregaram seu relatório mensal de

atividades, não necessariamente nessa ordem. Considere as informações seguintes:

- as funções que esses técnicos desempenham na Secretaria são: manutenção de

computadores, motorista, operador de computadores e segurança;


- a última pessoa a entregar o relatório não nasceu em Maringá;

- após Virgínio, que é motorista, entregar seu relatório, o operador de computadores

entregou o dele;

- Eugênio, que nasceu em Londrina, entregou seu relatório depois de Raul, que faz a

manutenção de computadores;

- o segurança não foi o primeiro a entregar o relatório;

- o técnico que nasceu em Cascavel entregou seu relatório logo depois de Nair, que

nasceu em Bagé.

Com base nessas informações, é correto afirmar que

(A) Eugênio foi o primeiro a entregar o relatório.

(B) Nair é operadora de computadores.

(C) Raul nasceu em Maringá.

(D) Virgínio foi o último a entregar o relatório.

(E) a pessoa que nasceu em Londrina foi a segunda a entregar o relatório.

7-Considere que a sucessão de figuras abaixo obedece a uma lei de formação.

O número de circunferências que compõem a 100º figura dessa sucessão é

(A) 5 151

(B) 5 050

(C) 4 950

(D) 3 725

(E) 100

8-Considere que os termos da sucessão (0, 1, 3, 4, 12, 13, ...) obedecem a uma lei de

formação. Somando o oitavo e o décimo termos dessa sucessão obtém-se um número

compreendido entre

(A) 150 e 170

(B) 130 e 150


(C) 110 e 130

(D) 90 e 110

(E) 70 e 90

9-Note que, em cada um dos dois primeiros pares de palavras dadas, a palavra da direita

foi formada a partir da palavra da esquerda segundo um determinado critério.

acatei - teia assumir – iras moradia - ?

-Se o mesmo critério for usado para completar a terceira linha, a palavra que substituirá

corretamente o ponto de interrogação é

(A) adia.

(B) ramo.

(C) rima.

(D) mora.

(E) amor.

10-Considere que a seqüência (C, E, G, F, H, J, I, L, N, M, O, Q, ...) foi formada a partir

de certo critério. Se o alfabeto usado é o oficial, que tem 23 letras, então, de acordo com

esse critério, a próxima letra dessa seqüência deve ser

(A) P (B) R (C) S (D) T (E) U

11-Se o dia 08 de março de um certo ano foi uma terça-feira, então o dia 30 de julho

desse mesmo ano foi

(A) uma quarta-feira.

(B) uma quinta-feira.

(C) uma sexta-feira.

(D) um sábado.

(E) um domingo.


11. Assinale a alternativa que substitui a letra x.

(A) 29

(B) 7

(C) 6

(D) 5

(E) 3

12. Durante todo o mês de março de 2007, o relógio de um técnico estava adiantando 5

segundos por hora. Se ele só foi acertado às 7h do dia 2 de março, então às 7h do dia 5

de março ele marcava

(A) 7h 5min

(B) 7h 6min

(C) 7h 15min

(D) 7h 30min

(E) 8h

13- Em relação à disposição numérica seguinte, assinale a alternativa que preenche a

vaga assinalada pela interrogação:

2 8 5 6 8 ? 11


(A) 1

(B) 4

(C) 3

(D) 29

(E) 42

14- Qual dos cinco desenhos é menos similar aos outros quatro?

15- Você terá de fazer comparações entre desenhos. Exemplo: Qual dos cinco faz a

melhor comparação?

GABARITO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

B C B A B B B A E A C B B E C

Bibliografia

VILLAR, B. Núcleo Preparatório Para Concursos. Disponivel em:

www.cursojuridico.com/euvoupassar/upload/2313.doc Acessado em: 22 de outubro de

2012.

http://www.cursojuridico.com/euvoupassar/upload/2313.doc


Disponível em: http://educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/sequencia

logica.htm. Acessado em: 22 de outubro de 2012.

Gomes, F. Q. Disponível em: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAPpwAD/

raciocinio-logico Acessado em: 12 de outubro de 2012.

http://educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/sequencia%20logica.htm

http://educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/sequencia%20logica.htm

http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAPpwAD/%20raciocinio-logico




2- TEORIA GERAL DOS CONJUNTOS

Como em qualquer assunto a ser estudado, a Matemática também exige uma

linguagem adequada para o seu desenvolvimento.

A teoria dos Conjuntos representa instrumento de grande utilidade nos diversos

desenvolvimentos da Matemática, bem como em outros ramos das ciências físicas e

humanas. Devemos aceitar, inicialmente, a existência de alguns conceitos primitivos

(noções que adotamos sem definição) e que estabelecem a linguagem do estudo da

teoria dos Conjuntos.

Adotaremos a existência de três conceitos primitivos: elemento, conjunto e

pertinência. Assim é preciso entender que, cada um de nós é um elemento do conjunto

de moradores desta cidade, ou melhor, cada um de nós é um elemento que pertence ao

conjunto de habitantes da cidade, mesmo que não tenhamos definido o que é conjunto,

o que é elemento e o que é pertinência.

Notação e Representação

A notação dos conjuntos é feita mediante a utilização de uma letra maiúscula do

nosso alfabeto e a representação de um conjunto pode ser feita de diversas maneiras,

como veremos a seguir.

A. Listagem dos Elementos

Apresentamos um conjunto por meio da listagem de seus elementos quando

relacionamos todos os elementos que pertencem ao conjunto considerado e envolvemos

essa lista por um par de chaves. Os elementos de um conjunto, quando apresentados na

forma de listagem, devem ser separados por vírgula ou por ponto-e-vírgula, caso

tenhamos a presença de números decimais.

Exemplos


1º) Seja A o conjunto das cores da bandeira brasileira, então:

A = {verde, amarelo, azul, branco}

2º) Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então:

B = {a, e, i, o, u}

3º) Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então:

C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

B. Uma Propriedade de seus elementos

A apresentação de um conjunto por meio da listagem de seus elementos traz o

inconveniente de não ser uma notação prática para os casos em que o conjunto

apresenta uma infinidade de elementos. Para estas situações, podemos fazer a

apresentação do conjunto por meio de uma propriedade que sirva a todos os elementos

do conjunto e somente a estes elementos.

A = {x / x possui uma determinada propriedade P}

Exemplos

1º) Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então:

B = {x / x é vogal do nosso alfabeto}

2º) Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então:

C = {x/x é algarismo do sistema decimal de numeração}

Diagrama de Euler-Ven


A apresentação de um conjunto por meio do diagrama de Euler-Venn é gráfica

e, portanto, muito prática. Os elementos são representados por pontos interiores a uma

linha fechada não entrelaçada. Dessa forma, os pontos exteriores à linha representam

elementos que não pertencem ao conjunto considerado.

Exemplo

Relação de Pertinência

Quando queremos indicar que um determinado elemento x faz parte de um conjunto A,

dizemos que o elemento x pertence ao conjunto A e indicamos:

em que o símbolo é uma versão da letra grega epsílon e está consagrado em toda

matemática como símbolo indicativo de pertinência. Para indicarmos que um elemento

x não pertence ao conjunto A, indicamos:

Exemplo

Consideremos o conjunto: A = {0, 2, 4, 6, 8}

O algarismo 2 pertence ao conjunto A:

O algarismo 7 não pertence ao conjunto A:


Relação de Inclusão Subconjuntos

Dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B se todo elemento que

pertencer a A, pertencer também a B. Indicamos que o conjunto A está contido em B

por meio da seguinte símbologia:

Obs. – Podemos encontrar em algumas publicações uma outra notação para a relação de

inclusão:

O conjunto A não está contido em B quando existe pelo menos um elemento de A que

não pertence a B. Indicamos que o conjunto A não está contido em B desta maneira:

Se o conjunto A está contido no conjunto B, dizemos que A é um subconjunto de B.

Como todo elemento do conjunto A pertence ao conjunto A, dizemos que A é

subconjunto de A e, por extensão, todo conjunto é subconjunto dele mesmo.

Importante – A relação de pertinência relaciona um elemento a um conjunto e a relação

de inclusão refere-se, sempre, a dois conjuntos.


Podemos notar que existe uma diferença entre 2 e {2}. O primeiro é o elemento 2, e o

segundo é o conjunto formado pelo elemento 2. Um par de sapatos e uma caixa com

um par de sapatos são coisas diferentes e como tal devem ser tratadas.

Podemos notar, também, que, dentro de um conjunto, um outro conjunto pode ser

tratado como um de seus elementos. Vejamos o exemplo a seguir:

{1, 2} é um conjunto, porém no conjunto

A = {1, 3, {1, 2}, 4} ele será considerado um elemento, ou seja, {1, 2} A.

Uma cidade é um conjunto de pessoas que representam os moradores da cidade, porém

uma cidade é um elemento do conjunto de cidades que formam um Estado.

Conjuntos Especiais

Embora conjunto nos ofereça a idéia de “reunião” de elementos, podemos considerar

como conjunto agrupamentos formados por um só elemento ou agrupamentos sem

elemento algum.

Chamamos de conjunto unitário aquele formado por um só elemento.

Exemplos

1º) Conjunto dos números primos, pares e positivos: {2}

2º) Conjunto dos satélites naturais da Terra: {Lua}

3º) Conjunto das raízes da equação x + 5 = 11: {6}


Chamamos de conjunto vazio aquele formado por nenhum elemento. Obtemos um

conjunto vazio considerando um conjunto formado por elementos que admitem uma

propriedade impossível.

Exemplos

1º) Conjunto das raízes reais da equação:

x2 + 1 = 0

2º) Conjunto:

O conjunto vazio pode ser apresentado de duas formas: ou { } ( é uma letra de

origem norueguesa). Não podemos confundir as duas notações representando o

conjunto vazio por { }, pois estaríamos apresentando um conjunto unitário cujo

elemento é o .

O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto e, por isso, é considerado

subconjunto de qualquer conjunto, inclusive dele mesmo.

Demonstração

Vamos admitir que o conjunto vazio não esteja contido num dado conjunto A. Neste

caso, existe um elemento x que pertence ao conjunto vazio e que não pertence ao

conjunto A, o que é um absurdo, pois o conjunto vazio não tem elemento algum.

Conclusão: o conjunto vazio está contido no conjunto A, qualquer que seja A.

Conjunto Universo

Quando desenvolvemos um determinado assunto dentro da matemática, precisamos

admitir um conjunto ao qual pertencem os elementos que desejamos utilizar. Este

conjunto é chamado de conjunto universo e é representado pela letra maiúscula U.


Uma determinada equação pode ter diversos conjuntos solução de acordo com o

conjunto universo que for estabelecido.

Exemplos

1º) A equação 2x3 – 5x

2 – 4x + 3 = 0 apresenta:

Conjunto de Partes

Dado um conjunto A, dizemos que o seu conjunto de partes, representado por P (A), é o

conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A.

A. Determinação do Conjunto de partes

Vamos observar, com o exemplo a seguir, o procedimento que se deve adotar para a

determinação do conjunto de partes de um dado conjunto A. Seja o conjunto A = {2,

3, 5}. Para obtermos o conjunto de partes do conjunto A, basta escrevermos todos os

seus subconjuntos:

1º) Subconjunto vazio: , pois o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

2º) Subconjuntos com um elemento: {2}, {3}, {5}.

3º) Subconjuntos com dois elementos: {2, 3}, {2, 5} e {3, 5}.

4º) Subconjuntos com três elementos:A = {2, 3, 5}, pois todo conjunto é subconjunto

dele mesmo.

Assim, o conjunto das partes do conjunto A pode ser apresentado da seguinte forma:

P(A) = { , {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}}


B. Número de Elmentos do conjunto de partes

Podemos determinar o número de elementos do conjunto de partes de um conjunto A

dado, ou seja, o número de subconjuntos do referido conjunto, sem que haja

necessidade de escrevermos todos os elementos do conjunto P (A). Para isso, basta

partirmos da idéia de que cada elemento do conjunto A tem duas opções na formação

dos subconjuntos: ou o elemento pertence ao subconjunto ou ele não pertence ao

subconjunto e, pelo uso do princípio multiplicativo das regras de contagem, se cada

elemento apresenta duas opções, teremos:

Observemos o exemplo anterior: o conjunto A = {2, 3, 5} apresenta três elementos e,

portanto, é de se supor, pelo uso da relação apresentada, que n [P (A)] = 23 = 8, o que

de fato ocorreu.

Igualdade de Conjuntos

Dois conjuntos são iguais se, e somente se, eles possuírem os mesmos elementos, em

qualquer ordem e independentemente do número de vezes que cada elemento se

apresenta. Vejamos os exemplos:

{1, 3, 7} = {1, 1, 1, 3, 7, 7, 7, 7} = {7, 3, 1}


1. (Enem 2008) O jogo-da-velha é um jogo popular, originado na Inglaterra. O nome

"velha" surgiu do fato de esse jogo ser praticado, à época em que foi criado, por

senhoras idosas que tinham dificuldades de visão e não conseguiam mais bordar. Esse

jogo consiste na disputa de dois adversários que, em um tabuleiro 3 × 3 devem

conseguir alinhar verticalmente, horizontalmente ou na diagonal, 3 peças de formato

idêntico. Cada jogador, após escolher o formato da peça com a qual irá jogar, coloca


uma peça por vez, em qualquer casa do tabuleiro e passa a vez para o adversário. Vence

o primeiro que alinhar 3 peças.

No tabuleiro representado na figura estão registradas as jogadas de dois adversários em

um dado momento. Observe que uma das peças tem formato de círculo e a outra tem a

forma de um xis. Considere as regras do jogo-da-velha e o fato de que, neste momento,

é a vez do jogador que utiliza os círculos. Para garantir a vitória na sua próxima jogada,

esse jogador pode posicionar a peça no tabuleiro de

a) uma só maneira.

b) duas maneiras distintas.

c) três maneiras distintas.

d) quatro maneiras distintas.

e) cinco maneiras distintas.

2. (Fgv 2005) Em relação a um código de 5 letras, sabe-se que o código

- CLAVE não possui letras em comum;

- LUVRA possui uma letra em comum, que está na posição correta;

- TUVCA possui duas letras em comum, uma na posição correta e a outra não;

- LUTRE possui duas letras em comum, ambas na posição correta.

Numerando, da esquerda para a direita, as letras do código com 1, 2, 3, 4 e 5, as

informações dadas são suficientes para determinar, no máximo, as letras em

a) 1 e 2.

b) 2 e 3.

c) 1, 2 e 3.

d) 1, 3 e 4.

e) 2, 3 e 4.


3. (Ibmec rj 2009) Durante uma conversa de bar, seis professores discordaram sobre

quais times foram campeões cariocas em três anos remotos (A, B, C). Seus palpites

estão na tabela a seguir:

Verificou-se, depois, que cada um havia acertado ao menos um palpite. Pode-se garantir

que os campões, nos anos A e C, foram, respectivamente:

a) Botafogo e Botafogo.

b) Fluminense e Fluminense.

c) Botafogo e Fluminense.

d) Botafogo e Flamengo.

e) Flamengo e Botafogo.

4. (Pucpr 2005) Um quadrado mágico é um arranjo quadrado de números tais que a

soma dos números em cada fila (linha ou coluna) e nas duas diagonais é o mesmo. Os

nove números n, n + 3, n + 6, ..., n + 24, em que n é um número inteiro positivo, podem

ser usados para construir um quadrado mágico de três por três.

A soma dos números de uma fila deste quadrado vale:

a) 3n + 6

b) 3n + 36

c) 3n


d) 3n + 24

e) 3n + 12

5. (Ufjf 2003)

A figura mostra um pacote em forma de um prisma retangular reto de dimensões 10 cm,

20 cm e 40 cm, amarrado com barbante. Sendo reservados 20 cm para o laço, a

quantidade mínima de metros de barbante necessária para amarrar este pacote é de:

a) 1,10 m.

b) 1,30 m.

c) 2,00 m.

d) 2,20 m.

e) 2,40 m.

6. (Ufmg 2003) Num campeonato de futebol, 16 times jogam entre si apenas uma vez.

A pontuação do campeonato é feita da seguinte maneira: 3 pontos por vitória, 1 ponto

por empate e nenhum ponto por derrota.

Considere que um desses times obteve 19 pontos ao final do campeonato.


Assim sendo, é INCORRETO afirmar que, para esse time,

a) o número de derrotas é, no máximo, igual a sete.

b) o número de vitórias é, pelo menos, igual a dois.

c) o número de derrotas é um número par.

d) o número de empates não é múltiplo de três.

7. (Ufrrj 2003) Ronaldo brincava distraído com dois dados que planificados ficavam da

seguinte forma:

Marcelo seu primo, observava e imaginava quais seriam as possíveis somas dos

resultados dos dois dados, se esses, quando lançados sobre a mesa, ficassem apoiados

sobre as suas faces sem numeração.

O resultado da observação de Marcelo corresponde a

a) 3, 4, 6 e 8.

b) 3, 4, 8 e 10.

c) 4, 5 e 10.

d) 4, 6 e 8.

e) 3, 6, 7 e 9.

8. (Ufsm 2002) Uma colmeia nova tem 8000 abelhas. Destas, a cada dia que passa,

morrem 200. Do 21º. dia em diante, nascem diariamente 2000 abelhas que vivem, em


média, 40 dias. Após um certo tempo, o número de abelhas dessa colmeia se estabilizará

em, aproximadamente,

a) 38000

b) 40000

c) 60000

d) 80000

e) 100000

9. (Unifesp 2005) Certo dia um professor de matemática desafiou seus alunos a

descobrirem as idades x, y, z, em anos, de seus três filhos, dizendo ser o produto delas

igual a 40.

De pronto, os alunos protestaram: a informação "x . y . z = 40" era insuficiente para uma

resposta correta, em vista de terem encontrado 6 ternas de fatores do número 40 cujo

produto é 40. O professor concordou e disse, apontando para um dos alunos, que a soma

x + y + z das idades (em anos) era igual ao número que se podia ver estampado na

camisa que ele estava usando. Minutos depois os alunos disseram continuar impossível

responder com segurança, mesmo sabendo que a soma era um número conhecido, o que

levou o professor a perceber que eles raciocinavam corretamente (chegando a um

impasse, provocado por duas ternas).

Satisfeito, o professor acrescentou então duas informações definitivas: seus três filhos

haviam nascido no mesmo mês e, naquele exato dia, o caçula estava fazendo

aniversário. Neste caso a resposta correta é:

a) 1, 5, 8

b) 1, 2, 20

c) 1, 4, 10

d) 1, 1, 40

e) 2, 4, 5


GABARITO

1 2 3 4 5 6 7 8 9

B B A B E A D D A

Bibliografia

Disponível em: http://www.vestibulandoweb.com.br/matematica/teoria/conjunto

s.asp Acessado em: 12 de novembro de 2012.

Gomes, F. Q. Disponível em: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAPpwAD/

raciocinio-logico Acessado em: 12 de outubro de 2012.

http://www.vestibulandoweb.com.br/matematica/teoria/conjunto%20s.asp







3- LOGICA ARGUMENTATIVA

Tabela Verdade

A linguagem usada pelo silogismo é a linguagem natural que acarreta muitos

problemas para sua análise, como seu caráter coloquial, metafórico, emotivo que se lhes

possam atribuir. Além disso, há argumentos que não podem ser analisados com os

diagramas de Venn e carroll, não podemos saber sobre sua validade ou invalidade.

Dessa forma, a lógica simbólica foi criada para superar as dificuldades da língua

natural. A lógica moderna é puro simbolismo do tipo matemático, preocupando-se cada

vez menos com o conteúdo material das proposições e com as operações intelectuais ou

estruturas do pensamento. A lógica tornou-se plenamente formal. O seu precursor foi

Frege no final do século XIX e desenvolvido posteriormente no século XX por

Whitehead, Bertrand Russel e Wittgenstein. Neste capítulo nós usaremos o método

criado por Wittgenstein, que é o mais moderno e mais aceito pelos lógicos.A linguagem

simbólica criada por Wittgenstein usa um sistema fechado de signos ou símbolos, onde

cada símbolo é símbolo de um único objeto ou coisa a ser representada e corresponde a

uma única significação. Todo símbolo deve indicar um objeto ou algo que pode ser

verificado. Por exemplo, H²O, CO². são símbolos denotativos, pois indicam um só

objeto ou um só sentido.

Para caracterizar a ciência em oposição à filosofia, Wittgentein mostrou que as

proposições da filosofia não são significativas, são pseudo-proposições. Enunciados só

são significativos se, e somente se, eles podem ser reduzidos a proposições elementares

ou atômicas. Um enunciado significativo deve descrever fatos atômicos, ou seja, fatos

que podem ser “observados” e “verificados” na experiência. Uma proposição elementar

ou atômica é a figuração de um fato elementar ou atômico na realidade, isto é, de

estados de coisas atômicos. As proposições elementares ou atômicas são descrições ou

“afigurações da realidade”. São um quadro, um retrato da realidade. Por exemplo, as

sentenças:

Platão é um bípede sem pena

João é gordo e careca

Oxigênio produz combusta.


Essas proposições são juízos de percepção que descrevem a realidade. Com efeito,

são proposições que podem ser reduzidas a proposições elementares da lógica formal. A

lógica torna-se a linguagem ideal para todas as ciências. Podemos substituir as

proposições acima por símbolos, tais como p٨q – lemos p e q - Platão é um bípede sem

penas; Oxigênio produz combustão (p→q), lemos p implica q. A linguagem cientifica

deve ser substituída por uma linguagem simbólica, eliminando assim os erros da

linguagem comum. Ela é um instrumento de análise que busca determinar as

proposições significativas, como as inferências legítimas de toda as ciências. Para

Wittgentein, somente a proposição é dotada de sentido e significado, nomes isolados

apenas denotam o objeto, não possuem sentido. A proposição é uma figuração de fatos e

não de coisas isoladas. O mundo não é a totalidade das coisas, mas a totalidade dos

fatos.

O mundo é totalidade dos fatos, não das coisas.

O mundo decompõe-se em fatos

Para Wittgentein, “a proposição é uma imagem da realidade. A proposição é um

modelo da realidade tal como nós a pensamos”. Quando digo: a porta está aberta, faço

um recorte da realidade, faço uma figuração de um fato. Assim, este enunciado só pode

ter dois valores de verdade: é verdadeiro ou é falso. Se corresponder à realidade ele é

verdadeiro, se não corresponder é falso. Cada elemento que compõe a realidade deve ter

uma correspondência no domínio da proposição. Os nomes que representam o objeto se

combinam para formar a proposição, com efeito, representam os “estados de coisas”. A

proposição é uma imagem da realidade: se eu compreendo a proposição, então conheço

a situação por ela representada. E compreendo a proposição sem que o seu sentido me

tenha sido explicado. O que há de comum entre a proposição e a realidade é a forma

dos objetos, isto é, a forma lógica. Devemos entender essa forma como uma

determinada possibilidade de combinação dos objetos entre si. É a forma lógica que

estabelece a conexão necessária entre as proposições e os fatos. O que cada figuração,

de forma qualquer, deve sempre ter em comum com a realidade para poder figurá-lo em

geral – correta ou falsamente – é a forma lógica, isto é, a forma da realidade.

Wittgentein sempre acreditou na existência de uma ordem a priori no mundo, assim

como no pensamento. Devemos lembrar que a linguagem é a expressão do pensamento.

Só podemos pensar e falar sobre o mundo, porque há algo em comum entre linguagem e


mundo. Ambas possuem uma estrutura lógica. A lógica possibilita a linguagem

representar o mundo. O mundo é lógico.

Há uma aureola à volta do pensamento. – A sua essência, a lógica, representa

uma ordem, de fato a ordem a priori do mundo, isto é, a ordem das possibilidades que

têm que ser comuns ao mundo e ao pensamento. Mas parece que esta ordem tem que ser

supremamente simples. É a ordem que precede toda experiência, que corre ao longo de

toda experiência, à qual não se deve pegar nada do que é turvo e incerto na experiência.

– Tem que ser do mais puro cristal. Mas este cristal não parece ser uma abstração, mas

algo de concreto, como a coisa mais dura que há, (…) (Investigações, 97)

Para ficar mais claro esta idéia, daremos um exemplo ilustrativo. Imaginem que

estivéssemos em Limeira, mas não sabemos como chegar em São Carlos. A primeira

atitude a tomar é olhar um mapa. No mapa, percebemos que para chegar em São Carlos

teremos que pegar a rodovia Washington Luiz, passar por Rio Claro, até, finalmente,

chegarmos em São Carlos.

· São Carlos

·Rio Claro

· Limeira

Este diagrama é uma representação que nos mostra as posições relativas das cidades

na Rodovia Washington Luiz. Nota-se que a cidade de Rio Claro fica entre Limeira e

São Carlos. Temos aqui uma representação que pode ser verdadeira ou falsa. O

diagrama me diz que entre as cidades nomeadas existe a mesma articulação espacial que

existe entre os nomes. A rodovia Washignton Luiz, que é representado por uma linha,

liga os nomes das cidades numa relação espacial. A mesma relação espacial que existe

entre as cidades é figurada no mapa. O mapa poderia ser falso. Essa relação poderia não

existir, mas o mapa não deixaria de ser significativo. É isso que Wittgentein chama a

forma da afiguração, ou seja, é o que há de comum entre a representação e o

representado. O que há de comum, portanto, entre o mapa e a realidade, é a forma

lógica. A concatenação dos elementos da representação é a mesma concatenação que

existe na realidade. Decorre disso, que o mundo possui um espaço lógico que se reflete

na linguagem. A linguagem torna-se, portanto, o espelho do mundo.

Tudo o que ocorre no mundo pode ser expresso pela linguagem. A linguagem é o

retrato de tudo o que ocorre e de tudo que não ocorre. Através da estrutura lógica da

linguagem, podemos compreender a estrutura lógica do mundo. Compreender o sentido


de uma proposição é saber como devemos chegar a uma decisão sobre sua verdade ou

falsidade. Devemos mostrar se ela é suscetível de ser verificada por uma evidência do

tipo observacional. Uma proposição é significativa se ela “espelha os fatos”, isto é, se

ela pode ser verificada na experiência ou se ela é uma conseqüência lógica de

proposições de observação.

A verificabilidade completa, aqui exigida, de forma alguma é a verificação

completa, mas a possibilidade lógica de um conjunto de dados verificadores

concludentes, formulados em proposições de observação. Isto significa que proposições

referentes a regiões inacessíveis do espaço e do tempo, por exemplo, podem muito bem

ser completamente verificáveis.

Para Wittgestein uma teoria somente é significativa se ela mantêm uma relação

intrínseca com a realidade, ou seja, se as proposições da teoria possuem uma

significação empírica. Contudo, a realidade não é apenas aquilo que vemos, sentimos ou

podemos ter a experiência. A realidade se constitui pela soma dos estados de coisas

subsistentes, isto é, dos fatos e dos estados de coisas possíveis, ou seja, daqueles que

não subsistem, mas podem vir a existir.

A subsistência e a não subsistência dos estados de coisas é a realidade (Chamamos de

fato positivo a subsistência de estados de coisas e de negativo a não subsistência deles),

A totalidade dos fatos determina, pois, o que ocorre e também tudo o que não ocorre.

Os compromissos que governam a ciência normal especificam não apenas as espécies

de entidades que o universo contém, mas também, implicitamente, aquelas que não

contém. (Kuhn, 1991, p. 26).

Uma vez que aprendemos algumas noções propedêuticas da lógica de Wittgenstein,

vamos agora ao simbolismo.

→ “implica” ou “se…então”

٧ “ou”

٨ “e”

↔ “equivalente” ou “se e somente se”

.˚. “portanto” ou “logo”

a,b, p, q, r, s “proposições atômicas”

p ٨ q; p ٧ q; p → q; p ↔ q . “proposições moleculares”

Os símbolos nos permitem transformar um argumento da linguagem coloquial em

um argumento lógico matemático. Por exemplo:


Só há combustão se houver oxigênio

Na lua não há oxigênio.

Logo, na lua não pode haver combustão.

O argumento teria a seguinte forma: p=combustão q=oxigênio

p → q Só há combustão se houver oxigênio

>q não há oxigênio

.º. >p não há combustão

Vamos dar mais um exemplo: p=José tem uma blusa branca; q=José tem uma blusa

preta

José tem uma blusa branca ou José tem uma blusa preta

José não tem uma blusa branca

Portanto, José tem uma blusa preta

p v q

>p

.º. q

Nós apresentamos aqui um argumento de implicação e outro de disjunção. Mas

para sabermos se esses argumentos são válidos ou inválidos devemos recorrer as tabelas

de verdade. Como já foi mostrado, se admitimos como verdadeiras as premissas de um

argumento, também, por uma necessidade lógica, devemos admitir a conclusão como

verdadeira. Esse argumento torna mais clara essa idéia: 10>9, 9>7, portanto, 10>7. Se

admitirmos que as premissas são verdadeiras, a conclusão também deve ser verdadeira,

ela decorre necessariamente das premissas. O objetivo das tabelas de verdade é mostrar

todas as ocorrências dos valores de verdade em um argumento, com isso, nos permitir

averiguar se existe pelo menos uma atribuição de valores de verdade que torna as

premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Se houver tal atribuição, o argumento é

inválido; se não houver, o argumento é válido. Parece confuso, mas os exemplos devem

tornar mais claros a finalidade das tabelas de verdade. Dado quaisquer enunciados p e q,

só existem quatro conjuntos de valores de verdade que lhes possamos atribuir.

Se p é verdadeiro e q é verdadeiro

Se p é verdadeiro e q é falso,

Se p é falso e q é verdadeiro,

Se p é falso e q é falso,


p q

V V

V F

F V

F F

Nós apresentamos os possíveis valores de verdade para p e q, nós também podemos

negá-los usando o sinal de “>” (chamamos negação). Quando p e q são verdadeiro, >p e

>q são falsos, da mesma forma quando p e q são falsos >p e >q são verdadeiros.

p q >p >q

V V F F

V F F V

F V V F

F F V V

Agora vamos aprender os valores de verdade dos quatro conectivos lógicos.

Se p é verdadeiro e q é verdadeiro, p ^ q é verdadeiro

Se p é verdadeiro e q é falso, p ^ q é falso

Se p é falso e q é verdadeiro, p ^q, é falso

Se p é falso e q é falso, p ^q é falso

p q p ^ q

V V V

V F F

F V F

F F F

Nós temos até agora o conjunto de valores de verdade da conjunção. A partir daqui

nós já podemos desenvolver um pequeno argumento e saber se ele é inválido ou não.

O Brasil foi campeão em 2002

Portanto, a Itália será campeã em 2006

Será que há uma relação causal entre essas duas proposições? O fato do Brasil ser

campeão em 2002 torna possível a Itália ser campeã em 2006. Nós mostraremos através

de uma tabela de verdade que este argumento é inválido.

p q

V V


V F *

F V

F F

Este argumento é inválido, pois ele vai contra a nossa definição de argumento

válido. Um argumento é válido se, e somente se, é impossível que suas premissas sejam

verdadeiras e a conclusão falsa. Nota-se que na segunda linha a premissa é verdadeira e

a conclusão falsa, esse argumento é, portanto, inválido. Vamos fazer mais um

argumento para tornar mais clara a finalidade das tabelas de verdade.

João é careca e usa peruca p ^ q

João é careca p

Portanto, João não usa peruca .°. > q

Parece obvio que este argumento é inválido, uma vez que, se João é careca e usa

peruca, então, decorre necessariamente disso que, se ele não é careca, ele também não

usa peruca. Mas a nossa conclusão diz exatamente o contrário, ou seja, que João não usa

peruca, apesar de ser careca. Vamos analisar pelas tabelas de verdade. A primeira coisa

a fazer é estabelecer os quatro valores de verdade de p e q, depois os valores do

conectivo de conjunção (p^q), que será nossa primeira premissa do argumento, logo

após devemos apenar copiar os valores de verdade da proposição atômica p, que será a

segunda premissa e, por último, devemos negar os valores de verdade da proposição

atômica q, que será nossa conclusão.

Valores premissa premissa conclusão

p q p ^ q p >q

V V V V F *

V F F V V

F V F F F

F F F F V

Nós finalmente montamos a matriz do argumento. Ele é inválido, pois na primeira

linha ele torna as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Todo argumento só é

inválido se é possível que suas premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Essa

definição deve ficar bem clara na mente do leitor. Ela que deve nos guiar para sabemos

se um argumento é válido ou inválido através do uso de tabelas de verdade. Por


exemplo, se eu admitir como verdadeira as premissas, eu também tenho que admitir a

conclusão como verdadeira. Se eu admitir que todo homem é mortal e que Sócrates é

homem, eu também tenho que admitir, baseando-se nas premissas, que Sócrates é

mortal. A conclusão decorre necessariamente das premissas. Por isso que as tabelas nos

servem para identificar os argumentos inválidos.

Vamos agora construir um novo argumento, mas usando um novo conectivo. Nós

usaremos o conectivo de implicação (→), que já falamos um pouco no começo da

explicação sobre tabelas de verdades. Mas antes, vamos construir os possíveis valores

de verdade da implicação.

Se p é verdadeiro e q é verdadeiro, p→q é verdadeiro

Se p é verdadeiro e q é falso, p→q é falso

Se p é falso e q é verdadeiro, p→q é verdadeiro

Se p é falso e q é falso, p→q é verdadeiro

Agora que sabemos os valores de verdade da implicação, vamos a análise do

argumento. Primeiramente vamos transformar o argumento em símbolos. Logo após

construiremos os quatro valores de verdade de p e q. Essa construção é necessária em

todo argumento. Vamos então a primeira premissa (p → q), construiremos os possíveis

valores da implicação, que já mostramos acima. Depois construiremos os valores de

verdade da proposição atômica q, ou seja, de sua negação; basta apenas inverter os

valores de q, negando-os.A proposição >p constitui nossa segunda premissa. Por último,

construiremos os valores de verdade da proposição atômica p, basta apenas copiá-lo da

primeira coluna.

Só há combustão se houver oxigênio p → q

Na lua não há oxigênio >q

Portanto, na lua não há combustão .º. >p

Valores Premissa Premissa Conclusão

p q p → q >q >p

V V V F F

V F F V F

F V V F V

F F V V V *

Esse argumento, como podemos notar, é válido. Não há nenhuma linha da tabela

que torne as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Ao contrário percebemos na


última linha que a conclusão decorre necessariamente das premissas, tanto a premissa

como a conclusão são verdadeiras.

Até o momento nós construímos os valores de verdade da conjunção e da

implicação. Faltam apenas a tabela da disjunção e da equivalência. Vamos construir a

tabela de verdades da disjunção para construirmos um argumento.

Se p é verdadeiro e q é verdadeiro, p v q é verdadeiro

Se p é verdadeiro e q é falso, p v q é verdadeiro

Se p é falso e q é verdadeiro, p v q é verdadeiro

Se p é falso e q é falso, p v q é falso

Agora que construímos os valores de verdade da disjunção, temos que analisar um

argumento. A primeira coisa é transformar o argumento em símbolos. Logo após

construiremos os quatro valores de verdade de p e q. Uma vez feito isso, começaremos

analisar o argumento. Ao lado dos valores de verdade de p e q colocamos a tabela da

disjunção, que mostramos acima. Ela constitui nossa primeira premissa. A segunda

premissa é a negação da proposição atômica q, basta apenas pegarmos os valores de

verdade de q e negarmos. A conclusão, por sua vez, é p, basta apenas copiarmos os

valores de verdade de p. Assim temos a tabela de verdade do argumento.

João é careca ou João tem cabelos p v q

João não tem cabelos >q

Portanto, João é careca .º. p

Valores Premissa Premissa Conclusão

p q p v q >q p

V V V F V

V F V V V *

F V V F F

F F F V F

O argumento que analisamos é válido, uma vez que não há nenhuma linha da tabela

de verdades que torne as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Ao contrário, na

segunda linha temos todas as premissas verdadeiras, assim como sua conclusão

verdadeira. O argumento é, portanto, válido.


Vamos construir nossa última tabela de verdades, que é o de equivalência. Assim

teremos uma tabela completa com todos os valores de verdade dos quatro conectivos:

conjunção, implicação, disjunção e equivalência. A construção dessa única tabela com

todos os valores de verdade dos conectivos é importante, pois é com ela que

analisaremos qualquer argumento que use proposições atômicas e moleculares.

Se p é verdadeiro e q é verdadeiro, p ↔ q é verdadeiro

Se p é verdadeiro e q é falso, p ↔ q é falso

Se p é falso e q é verdadeiro, p ↔ q é falso

Se p é falso e q é falso, p ↔ q é verdadeiro

Agora vamos construir um argumento que use equivalência. Primeiramente

devemos transformar o argumento em símbolos.

João casa-se com Maria se, e somente se, Maria casa-se com João

João quer casar com Maria

Maria não se casa com João

p ↔ q

p

.º. >q

Uma vez que transformamos o argumento em símbolos, vamos começar montando

a tabela de verdades. A primeira coisa a fazer é construir os valores de verdade de p e q.

Logo após devemos construir a tabela de equivalência, que já mostramos acima, basta

apenas copiar seus valores. Ela constitui nossa primeira premissa. A segunda premissa é

a proposição atômica p, basta apenas copiar seus valores da primeira fileira das tabelas

de verdade. A conclusão, por sua vez, é a negação da proposição atômica q, basta

apenar negar q na segunda fileira das tabelas de verdade. Com isso a tabela construída

ficaria assim:

Valores premissa premissa conclusão

p q p↔ q p >q

V V V V F *

V F F V V

F V F F F

F F V F V

É fácil perceber que este argumento é inválido. Como já dissemos um argumento é

inválido quando é possível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa.


Nota-se que a primeira linha da tabela de verdades torna as premissas verdadeiras e a

conclusão falsa. O argumento é, portanto, inválido.

Além do que dissemos até aqui pode haver a relação de equivalência entre

proposições. Uma proposição é equivalente a outra se elas sempre têm o mesmo valor

de verdade: quando uma é verdadeira, a outra também é verdadeira; quando uma é falsa,

a outra também é falsa. Por exemplo, as proposições (p q) é equivalente a (q p), nós

representamos [(p q) (q p)]. Vamos montar uma tabela de verdades para mostrar que

(pàq) é equivalente a >(p ^ >q). Ou seja, vamos mostrar que ambas as proposições

possuem os mesmos valores de verdade. Nós representamos: [(pàq) >(p ^ >q)].

Primeiro vamos fazer a tabela de verdade de p à q

p q p-> q

V V V

V F F

F V V

F F V

Observe os valores de verdade de p-> q, são eles: V, F, V, V. Mostraremos que eles

são equivalentes a >(p ^ >q).

p q p >q (p ^ >q) > (p ^ q)

V V V F F V

V F V V V F

F V F F F V

F F F V F V

Primeiro estabelecemos os valores de p e q, depois copiamos os valores de p

novamente e negamos q. Através de p e >q nós fizemos a tabela de valores de p ^ >q.

Finalmente nós a negamos. Com isso encontramos os valores de > (p ^ >q) que são: V,

F, V, F

Agora que construímos nossa última tabela de verdade de equivalência, temos a

tabela de verdades completa. Ela torna-se importante para o estudante, pois é com ela

que podemos analisar qualquer argumento que use proposições atômicas e moleculares.

Vamos montá-la abaixo.

p q p ^ q p -> q p v q p↔ q


V V V V V V

V F F F V F

F V F V V F

F F F V F V


1- Dê o valor lógico das proposições abaixo: (1,0 ponto).

I- considere v = V e f = F.

II- considere v = V e f =V.

III- considere v = F e f = V.

IV- considere v = F e f = F.

Considere as colunas I, II, III e IV.

I II III IV

a)v ˄ f

g)v ˄ f

m)v ˄ f

s)v ˄ f

b)v ˅ f

h)v ˅ f

n)v ˅ f

t)v ˅ f

c)v → f

i)v → f

o)v → f

u)v → f

d)v ↔ f

j)v ↔ f

p)v ↔ f

v)v ↔ f

e) ̴ v

k) ̴ v

q) ̴ v

w) ̴ v

f) ̴ f

l) ̴f

r) ̴ f

x) ̴ f

Marque a opção correta:


a) a = F, b = V, c = V, d = F, r = V.

b) b = V, i = V, p = F, q = V, s = V.

c) c = V, i = F, q = F, t = v, u = F.

d) e = F, g = V, n = V, r = F, x = F.

e) f = V, g = V, o = V, u= V, w = V.

2- Dê o valor lógico das seguintes proposições: (1,0 ponto).

I- Se 2 é par, então 3 é impar.

II- Se 3 é impar, então 4 é par.

III- Ou 3 é par ou 3 é impar.

IV- 4 é par ou 2 é impar.

Marque a opção correta:

a) I está correta e II está incorreta.

b) I está correta e III está incorreta.

c) I está correta e IV está incorreta.

d) Ou I está correta ou II está correta.

e) I está correta ou II está correta.

3- Sabendo que GYN é a capital de Goiás e que BH é a capital de Minas Gerais então,

marque a alternativa incorreta: (1,0 ponto).

a) GYN é a capital de Goiás e BH é a capital de Minas Gerais.

b) GYN é a capital de Goiás ou BH é a capital de Minas Gerais.

c)Se GYN é a capital de Goiás, então BH é a capital de Minas Gerais.

d) GYN é a capital de Goiás, se e somente se BH é a capital de Minas Gerais.

e) Ou GYN é a capital de Goiás ou BH é a capital de Minas Gerais.

4- Sabendo que o valor lógico Verdade = r, e que Falso = t. Avalie as sentenças: (1,0

ponto).

a) P ↔ Q, se P = r e Q = r.


b) P ˄ Q, se P = r e Q = t.

c) Q ˅ P, se P = t e Q = r.

d) Q → P, se P = t e Q = t.

Marque a alternativa certa:

a) V, V, V e V.

b) V, F, V e V.

c) V, F, F e V.

d) V, F, F e F.

e) F, F, F e F.

5- Julgue os itens a seguir a seguir: (1,0 ponto).

I- A FMB está em São Luis de Montes Belos.

II- O curso de Direito da FMB possui conceito 04 pelo MEC, numa escala de notas que

vai de 01 à 05.

III- O curso de Direito da FMB possui como coordenadora a prof. MS Isa Finot.

Marque a alternativa incorreta:

a) I esta correta e II esta correta.

b) I está correta e III esta correta.

c) Se I esta correta, então II está correta.

d) Se II está correta, então III está correta.

e) Ou II está correta, ou III está correta.

6- Considere as sentenças abaixo:

I. 3 + 1 = 4 e 2 + 3 = 5

II. 6 > 2 e 7 < 3

III. 2 = 3 e 5 < 0


a) todas são falsas;

b) I e II são falsas;

c) somente III é falsa;

d) somente I é verdadeira;

e) I e II são verdadeiras.

7- Considere as sentenças abaixo:

I. 5 + 1 = 6 ou 4 – 4 = 0

II. 2 + 2 = 5 ou 7 > 2

III. 3 = 5 ou 8 < 6

a) somente I é verdadeira;

b) somente III é falsa;

c) todas são verdadeiras;

d) todas são falsas;

e) I e III são falsas.

8- Considere as proposições abaixo:

I. 3 + 4 = 7 ou 2 + 2 = 4

II. 8 < 4 e 6 > 3

III. 6 < 0 ou 3 = 4

Assinale a única alternativa correta:

a) todas as proposições são falsas;

b) somente III é falsa;

c) somente II é falsa;

d) I e II são falsas;

e) I é falsa ou II é falsa.


9- Assinale a única sentença falsa.

a) Se 2 é par, então 3 é ímpar.

b) Se 5 é inteiro, então 3 é menor que 5.

c) Se 8 é ímpar, então 7 é maior que 3.

d) Se 13 é par, então 2 é ímpar.

e) Se 10 é par, então 6 é maior que 20.

10- A negação de "todos os homens são bons motoristas” é:

a) todas as mulheres são boas motoristas;

b) algumas mulheres são boas motoristas;

c) nenhum homem é bom motorista;

d) todos os homens são maus motoristas;

e) ao menos um homem é mau motorista.

GABARITO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

E E E B E D B E E E

Bibliografia

KUNH, T. As estruturas das revoluções científicas, 1991

Disponível em: http://logicanet.wordpress.com/2007/11/25/18/ Acessado em: 15 de

janeiro de 2013.

http://logicanet.wordpress.com/2007/11/25/18/


4- PROPORÇÃO E RAZAO

Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b ¹ 0, ao quociente

entre eles. Indica-se a razão de a para b por a/b ou a : b.

Exemplo:

Na sala da 6ª B de um colégio há 20 rapazes e 25 moças. Encontre a razão entre o

número de rapazes e o número de moças. (lembrando que razão é divisão)

Voltando ao exercício anterior, vamos encontrar a razão entre o número de moças e

rapazes.

Lendo Razões

Termos de uma Razão


Grandezas Especiais

Escala, é a razão entre a medida no desenho e o correspondente na medida real.

Exemplo:

Em um mapa, a distância entre Montes Claros e Viçosa é representada por um segmento

de 7,2 cm. A distância real entre essas cidades é de 4320km. Vamos calcular a escala

deste mapa.

As medidas devem estar na mesma unidade, logo 4320km = 432 000 000 cm

Velocidade média, é a razão entre a distância a ser percorrida e o tempo gasto. (observe

que neste caso as unidades são diferentes)

Exemplo:

Um carro percorre 320km em 4h. determine a velocidade média deste carro.

Velocidade= 320/4 = 80

Densidade demográfica, é a razão entre o número de habitantes e a área.


Exemplo:

O estado do Ceará tem uma área de 148.016 km2 e uma população de 6.471.800

habitantes. Dê a densidade demográfica do estado do Ceará.

Razões Inversas

Vamos observar as seguintes razões.

Observe que o antecessor(5) da primeira é o conseqüente(5) da segunda.

Observe que o conseqüente(8) da primeira é o antecessor(8) da segunda.

O Produto das duas razões é igual a 1, isto é 5/8 x 8/5 =1

Dizemos que as razões são inversas.

Exemplos:


O estudo da proporção é divido em duas propriedades: Propriedade fundamental das

proporções e propriedade da soma dos termos em uma proporção.

Propriedade fundamental da proporção

Quando fazemos a proporção de duas razões iremos ter os termos dos meios e dos

extremos.

5 = 10 ou 5 : 8 = 10 : 16

8 16

Os números 5, 8, 10 e 16 são os termos dessa proporção sendo que 5 e 16 são os termos

dos extremos e 8 e 10 são os termos dos meios.

Essa propriedade diz:

O produto dos meios é igual ao produto dos extremos

Portanto, se pegarmos a proporção acima e aplicarmos essa propriedade iremos obter o

seguinte resultado:

Produto dos termos dos meios: 8 x 10 = 80

Produto dos termos dos extremos: 5 x 16 = 80

Assim, verificamos que a propriedade é verdadeira.

Propriedades da soma dos termos em uma proporção

Uma proporção é composta por duas razões, ou seja, por quatro termos, pois cada razão

possui 2 termos, veja:

Essa propriedade diz:


Se somar os dois termos da primeira razão e dividir pelo primeiro ou pelo segundo

termo irá obter uma razão igual à soma dos dois termos da segunda razão dividida

pelo terceiro ou quarto termo.

Veja o exemplo abaixo:

Dada a seguinte proporção:

Formando duas outras proporções iguais entre si.


1- Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes medidas

realizadas em um carro sejam obtidas em metros:

a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro;

b) altura b entre o solo e o encosto do piloto.

Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se, respectivamente,

A) 0,23 e 0,16.

B) 2,3 e 1,6.

C) 23 e 16.


D) 230 e 160.

E) 2 300 e 1 600.

2-Algumas pesquisas estão sendo desenvolvidas para se obter arroz e feijão com

maiores teores de ferro e zinco e tolerantes à seca. Em média, para cada 100 g de arroz

cozido, o teor de ferro é de 1,5 mg e o de zinco é de 2,0 mg. Para 100 g de feijão, é de 7

mg o teor de ferro e de 3 mg o de zinco. Sabe-se que as necessidades diárias dos dois

micronutrientes para uma pessoa adulta é de aproximadamente 12,25 mg de ferro e 10

mg de zinco.

Disponivel em http://www.embrapa.br. Acesso em: 29 abr. 2010 (adaptado).

Considere que uma pessoa adulta deseja satisfazer suas necessidades diárias de ferro e

zinco ingerindo apenas arroz e feijão. Suponha que seu organismo absorva

completamente todos os micronutrientes oriundos desses alimentos.

Na situação descrita, que quantidade a pessoa deveria comer diariamente de arroz e

feijão, respectivamente

a) 58 g e 456 g

b) 200 g e 200 g

c) 350 g e 100 g

d) 375 g e 500 g

e) 400 g e 89 g

3- Existe uma cartilagem entre os ossos que vai crescendo e se calcificando desde a

infância até a idade adulta. No fim da puberdade, os hormônios sexuais (testosterona e

estrógeno) fazem com que essas extremidades ósseas (epífises) se fechem e o

crescimento seja interrompido. Assim, quanto maior a área calcificada entre os

ossos, mais a criança poderá crescer ainda. A expectativa é que durante os quatro ou

cinco anos da puberdade, um garoto ganhe de 27 a 30 centímetros.

Revista Cláudia. Abr. 2010 (adaptado).

De acordo com essas informações, um garoto que inicia a puberdade com 1,45 m de

altura poderá chegar ao final dessa fase com uma altura

A) mínima de 1,458 m.

B) mínima de 1,477 m.

C) máxima de 1,480 m.

D) máxima de 1,720 m.

E) máxima de 1,750 m.


4- Uma cooperativa de colheita propôs a um fazendeiro um contrato de trabalho nos

seguintes termos: a cooperativa forneceria 12 trabalhadores e 4 máquinas, em um

regime de trabalho de 6 horas diárias, capazes de colher 20 hectares de milho por dia, ao

custo de R$ 10,00 por trabalhador por dia de trabalho, e R$ 1.000,00 pelo aluguel diário

de cada máquina. O fazendeiro argumentou que fecharia contrato se a cooperativa

colhesse 180 hectares de milho em 6 dias, com gasto inferior a R$ 25.000,00.

Para atender às exigências do fazendeiro e supondo que o ritmo dos trabalhadores e das

máquinas seja constante, a cooperativa deveria

A) manter sua proposta.

B) oferecer 4 máquinas a mais.

C) oferecer 6 trabalhadores a mais.

D) aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias.

E) reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel diário de uma máquina.

5- Num supermercado, são vendidas duas marcas de sabão em pó, Limpinho, a mais

barata, e Cheiroso, 30% mais cara do que a primeira. Dona Nina tem em sua carteira

uma quantia que é suficiente para comprar 10 caixas de 1kg do sabão Limpinho, mas

não pode comprar as mesmas 10 caixas de 1kg do sabão Cheiroso. Seja M o maior

número de caixas de 1kg do sabão Cheiroso que dona Nina pode comprar com a quantia

que tem em sua carteira. Nessas condições, M vale, no mínimo,

a) 9.

c) 7.

b) 8.

d) 6.

e) 5.

6- Quando estava viajando pelo Chile, Jorge, por não ter uma calculadora disponível,

tinha dificuldade em fazer a conversão dos preços, dados em pesos chilenos, para o

valor correspondente em reais. À época, a cotação era de 196,50 pesos para cada real.

Assinale, entre as seguintes alternativas, aquela que apresenta a regra que Jorge deveria

utilizar para efetuar essa conversão com o MENOR erro.

A) Dividir o preço em pesos por 2 e, no valor obtido, mover a vírgula duas casas

decimais para a esquerda.

B) Dividir o preço em pesos por 5 e, no valor obtido, mover a vírgula duas casas


C) Multiplicar o preço em pesos por 2 e, no valor obtido, mover a vírgula duas casas


D) Multiplicar o preço em pesos por 5 e, no valor obtido, mover a vírgula duas casas



E)N.D.A.

7- Uma herança será dividida entre dois herdeiros em partes inversamente proporcionais

às fortunas acumuladas por cada um deles até o momento da partilha. Inicialmente, as

fortunas são de 10 milhões e 15 milhões e crescem a uma taxa de 10% (cumulativos) ao

ano. Se a partilha será consumada em 10 anos, que fração da herança caberá ao herdeiro

que possuía inicialmente 15 milhões?

A) 3/10

B) 2/5

C) 1/2

D) 3/5

E) 7/10

8- Uma obra será executada por 13 operários (de mesma capacidade de trabalho)

trabalhando durante 11 dias com jornada de trabalho de 6 horas por dia. Decorridos 8

dias do início da obra 3 operários adoeceram e a obra deverá ser concluída pelos

operários restantes no prazo estabelecido anteriormente. Qual deverá ser a jornada diária

de trabalho dos operários restantes nos dias que faltam para a conclusão da obra no

prazo previsto?

A) 7h42

B) 7h44

C) 7h46

D) 7h48

E) 7h50

7-Qual a proporção das pessoas com idade superior a 50 anos com o restante da

população:

a) P= 0,67

b) P= 1,5

c) P=2/3

d) P=10/15

e) P=10000/15000

8-Pede-se a razão das pessoas de idade inferior a 20 anos com as de idade superior a 50

anos:

a) R=0,675

b) R=1,48


c) R=2,156

d) R=27/40

e) R=6750/10000

GABARITO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

B C E D C A B D C A

Bibliografia

Disponível em: http://www.profcardy.com/exercicios/assunto.php?assunto=Raz%

E3o+e+Propor%E7%E3o Acessado em: 13 de janeiro de 2013.

Disponível em: http://www.ebah.com.br/content/ABAAABvTkAB/portas-logicas

Acessado em 12 de janeiro de 2013.

http://www.profcardy.com/exercicios/assunto.php?assunto=Raz%25%20E3o+e+Propor%E7%E3o



http://www.ebah.com.br/content/ABAAABvTkAB/portas-logicas


5- PROBABILIDADE

A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de

roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da

probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência

de um número em um experimento aleatório.

Experimento Aleatório

É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer

resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de

tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de

experimento aleatório.

Espaço Amostral

É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra

que representa o espaço amostral, é S.

Exemplo:

Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral,

constituído pelos 12 elementos:

S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}

1. Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par

aparece}, B={um número primo aparece}, C={coroas e um número ímpar

aparecem}.

2. Idem, o evento em que:

a) A ou B ocorrem;


b) B e C ocorrem;

c) Somente B ocorre.

3. Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos

Resolução:

1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número

par: A={K2, K4, K6};

Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos:

B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}

Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número

ímpar: C={R1,R3,R5}.

2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}

(b) B e C = B C = {R3,R5}

(c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C;

B Ac C

c = {K3,K5,R2}

3. A e C são mutuamente exclusivos, porque A C =

Conceito de probabilidade

Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a

probabilidade de ocorrer um evento A é:


Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3

maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%

Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos

elementares têm probabilidades iguais de ocorrência.

Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um

evento A é sempre:

Propriedades Importantes:

1. Se A e A’ são eventos complementares, então:

P( A ) + P( A' ) = 1

2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre (probabilidade de

evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo).

Probabilidade Condicional

Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma

informação sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espaço amostral se

modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada.

Fórmula de Probabilidade Condicional

P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) é igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2

e ...En-1).


Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato de já ter

ocorrido E1;

P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de já terem

ocorrido E1 e E2;

P(Pn/E1 e E2 e ...En-1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato de já ter

ocorrido E1 e E2...En-1.

Exemplo:

Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2

bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser

vermelha e a segunda ser azul?

Resolução:

Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos:

A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30

B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29

Assim:

P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87

Eventos independentes

Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade

de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido.

Fórmula da probabilidade dos eventos independentes:


P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)

Exemplo:

Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de

cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser

vermelha e a segunda ser azul?

Resolução:

Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira

retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada

condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na

primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a

regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9.

Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve

reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira

retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta na urna.

Probabilidade de ocorrer a união de eventos

Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos:

P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 e E2)

De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estarão computados

no cálculo de P(E1) e P(E2). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos

P(E1 e E2).

Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos:


P(E1 ou E2 ou E3 ou ... ou En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En)

Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair

5 no azul e 3 no branco?

Considerando os eventos:

A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6

B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6

Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos:

n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36

Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a

probabilidade de ser um 8 ou um Rei?

Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas.

Considere os eventos:

A: sair 8 e P(A) = 4/52

B: sair um rei e P(B) = 4/52

Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma

carta não pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os

eventos A e B são mutuamente exclusivos.



1- Um aluno prestou vestibular em apenas duas Universidades. Suponha que, em uma

delas, a probabilidade de que ele seja aprovado é de 30%, enquanto na outra, pelo fato

de a prova ter sido mais fácil, a probabilidade de sua aprovação sobe para 40%. Nessas

condições, a probabilidade deque esse aluno seja aprovado em pelo menosuma dessas

Universidades é de:

A) 70%

B) 68%

C) 60%

D) 58%

E) 52%

2- Quatro moedas são lançadas simultaneamente. Qual é a probabilidade de ocorrer

coroa em uma só moeda?

A) 1/8

B) 2/9

C) 1/4

D) 1/3

E) 3/8


3- Jogamos dois dados comuns. Qual a probabilidade de que o total de pontos seja igual

a 10?

A) 1/12

B) 1/11

C) 1/10

D) 2/23

E) 1/6

4- No jogo de Lipa sorteia-se um número entre 1 e 600 (cada número possui a mesma

probabilidade). A regra do jogo é: se o número sorteado for múltiplo de 6 então o

jogador ganha uma bola branca e se o número sorteado for múltiplo de 10 então o

jogador ganha uma bola preta. Qual a probabilidade de o jogador não ganhar nenhuma

bola?

A) 13/17

B) 11/15

C) 23/30

D) 2/3

E) 1/2


5- A probabilidade de um casal com quatro filhos ter dois do sexo masculino e dois do

sexo feminino é:

A) 60%

B) 50%

C) 45%

D) 37,5%

E) 25%

6- A probabilidade de um dos cem números 1, 2, 3, 4, …, 100 ser múltiplo de 6 e de 10

ao mesmo tempo é:

A) 3%.

B) 6%

C) 2%.

D) 10%.

E) 60%.


7- Dois jovens partiram, do acampamento em que estavam, em direção à Cachoeira

Grande e à Cachoeira Pequena, localizadas na região, seguindo a trilha indicada neste

esquema:

Em cada bifurcação encontrada na trilha, eles escolhiam, com igual probabilidade,

qualquer um dos caminhos e seguiam adiante. Então, é CORRETO afirmar que a

probabilidade de eles chegarem à Cachoeira Pequena é:

A) 1/2

B) 2/3

C) 3/4

D) 5/6

E) N. d. a.

8- Considere uma prova de Matemática constituída de quatro questões de múltipla

escolha, com quatro alternativas cada uma, das quais apenas uma é correta. Um

candidato decide fazer essa prova escolhendo, aleatoriamente, uma alternativa em cada

questão. Então, é CORRETO afirmar que a probabilidade de esse candidato acertar,

nessa prova, exatamente uma questão é:

A) 27/64

B) 27/256


C) 9/64

D) 9/256

E)N.d.a.

9- Dois dados cúbicos, não viciados, com faces numeradas de 1 a 6, serão lançados

simultaneamente. A probabilidade de que sejam sorteados dois números consecutivos,

cuja soma seja um número primo, é de:

A) 2/9

B) 1/3

C) 4/9

D) 5/9

E) 2/3

10- O quadro funcional de uma empresa é composto de 35 pessoas efetivas e 15 pessoas

prestadoras de serviços. Do pessoal efetivo 20 são homens e do pessoal prestador de

serviço 5 são mulheres. Escolhendo aleatoriamente uma pessoa dessa empresa, a

probabilidade dessa pessoa ser homem ou prestar serviço é:

A) 1/5

B) 7/10

C) 9/10


D) 3/5

E) 4/5

11- Em uma população de aves, a probabilidade de um animal estar doente é 1/25.

Quando uma ave está doente, a probabilidade de ser devorada por predadores é 1/4, e,

quando não está doente, a probabilidade de ser devorada por predadores é 1/40.

Portanto, a probabilidade de uma ave dessa população, escolhida aleatoriamente, ser

devorada por predadores é de:

A) 1,0%

B) 2,4%

C) 4,0%

D) 3,4%

E) 2,5%

12-A linha de produção de uma fábrica produz milhares de peças por dia e apresenta,

em média, quatro peças defeituosas a cada cem peças produzidas. Um inspetor de

qualidade sorteia cinco peças de modo aleatório e verifica a quantidade de peças

defeituosas. De acordo com as informações acima, considere as seguintes afirmativas:

1. A probabilidade de o inspetor encontrar no máximo uma peça defeituosa é

(0,040 × 0,96

5 ) + (5 × 0,04

1 × 0,96

4).

2. A probabilidade de o inspetor encontrar pelo menos uma peça defeituosa é 1−

(0,040 × 0,96

5).

3. É impossível o inspetor encontrar 5 peças defeituosas.

Assinale a alternativa correta.


A) Somente a afirmativa 1 é verdadeira.

B) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.

C) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.

D) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.

E) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.

GABARITO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

D C A C D A C A A B D B

Bibliografia

IEZZI, G. & MURAKAMI, C. Fundamentos de matemática elementar. São Paulo:

Atual, 2004.

FONSECA, J. S. da; MARTINS, J. S. da F.; TOLEDO, G. de A. Estatística aplicada.

2. ed. São Paulo: Atlas, 1995. 267 p.

MORETTIN, P. A. ; BUSSAB, W. de O. Estatística básica. São Paulo: Saraiva, 2006.

Disponível em: http://www.somatematica.com.br/emedio/probabilidade.php. Acessado

em 20 de dezembro de 2012.

Disponivel em: http://www.infoescola.com/matematica/probabilidade/exercicios/

Acessado em 21 de dezembro de 2012.

http://www.somatematica.com.br/emedio/probabilidade.php

http://www.infoescola.com/matematica/probabilidade/exercicios/


6- ANÁLISE COMBINATÓRIA

Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos

chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte

da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no

século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como

Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal

(1623-1662). A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar -

de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses

elementos agrupados sob certas condições.

Fatorial

Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo

símbolo n! ) como sendo:

n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 para n ³ 2.

Para n = 0 , teremos : 0! = 1.

Para n = 1 , teremos : 1! = 1

Exemplos:

a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

b) 4! = 4.3.2.1 = 24

c) observe que 6! = 6.5.4!

d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1

e) 10! = 10.9.8.7.6.5!

f ) 10! = 10.9.8!

Princípio fundamental da contagem - PFC

Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode

ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim

sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado

por:

T = k1. k2 . k3 . ... . kn

Exemplo:

O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3

letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser

licenciado?

Solução:


Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ.

Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a

9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver

repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos,

concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos

então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a:

26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem

175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado,

já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos. Perceberam?

Permutações simples

Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos

os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.

Exemplo: com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB,

BAC, BCA, CAB e CBA.

O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é

Pn = n! onde n! = n(n-1)(n-2)... .1 .

Exemplos:

a) P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

b) Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco

retangular de cinco lugares. P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que

podem ter ou não significado na linguagem comum.

Exemplo:

Os possíveis anagramas da palavra REI são: REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER.

Permutações com elementos repetidos

Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos

repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente , o número total de

permutações que podemos formar é dado por:


Exemplo:

Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o

acento)

Solução:

Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a

letra A três , a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2.

Sendo k o número procurado, podemos escrever: k= 10! / (2!.3!.2!) = 151200

Resposta: 151200 anagramas.

Arranjos simples

Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa k , a todo

agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos

diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. Assim, no conjunto E =

{a,b,c}, teremos:

a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.

b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por

An,k , teremos a seguinte fórmula:

Obs : é fácil perceber que An,n = n! = Pn . (Verifique)

Exemplo:

Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é

marcado por uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre,

quantas tentativas deverá fazer(no máximo) para conseguir abri-lo?

Solução:

As sequências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a

segunda, 9 e para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo

princípio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado:

10.9.8 = 720.

Observe que 720 = A10,3

Combinações simples


Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados k a k (taxa k) aos

subconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados.

Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não

importando a ordem em que os elementos são colocados.

Exemplo:

No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar:

a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd.

b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd.

c) combinações de taxa 4: abcd.

Representando por Cn,k o número total de combinações de n elementos tomados k a k

(taxa k) , temos a seguinte fórmula:

Nota: o número acima é também conhecido como Número binomial e indicado por:

Exemplo:

Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas

formas ele poderá escolher as 10 questões?

Solução:

Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-

se de um problema de combinação de 15 elementos com taxa 10.

Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a:

C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! =

3003


Agora que você viu o resumo da teoria, tente resolver os 3 problemas seguintes:

01 - Um coquetel é preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7 bebidas

distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados?

Resp: 120

02 - Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos distintos. Quantos triângulos

podem ser construídos com vértices nos 9 pontos marcados?

Resp: 84

03 - Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo que

somente 2 pessoas sabem dirigir, de quantos modos poderão se acomodar para uma

viagem?

Resp: 48

Exercício resolvido:

Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto?

Solução:

Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou fechada

Para a segunda porta temos também, duas opções, e assim sucessivamente.

Para as seis portas, teremos então, pelo Princípio Fundamental da Contagem - PFC:

N = 2.2.2.2.2.2 = 64

Lembrando que uma dessas opções corresponde a todas as duas portas fechadas,

teremos então que o número procurado é igual a 64 - 1 = 63.

Resposta: o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis.


1- Dona Mariana e Senhor Pedro, possui 4 filhos com idades de 8, 10, 12 e 14 anos. Os

quais se chamam Claudia, Marina, Mariana e Wilson. Responda ao que se pede: A

família decide tirar uma foto juntos, quais são as possíveis combinações de fotos da

família:

a) 24 combinações.

b) 120 combinações.


c) 160 combinações.

d) 720 combinações.

e) 5040 combinações.

2- Três empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um

condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma única empresa e todas elas devem ser

contratadas. De quantas maneiras distintas podem ser distribuídos os trabalhos?

a) 12

b) 18

c) 36

d) 72

e) 108

3- A UEG realiza seu Processo Seletivo em dois dias. As oito disciplinas, Língua

Portuguesa- Literatura Brasileira, Língua Estrangeira Moderna, Biologia, Matemática,

História, Geografia, Química e Física, são distribuídas em duas provas objetivas, com

quatro disciplinas por dia. No Processo Seletivo 2005/2, a distribuição é a seguinte:

- primeiro dia: Língua Portuguesa-Literatura Brasileira, Língua Estrangeira Moderna,

Biologia e Matemática; - segundo dia: História, Geografia, Química e Física.

A UEG poderia distribuir as disciplinas para as duas provas objetivas, com quatro por

dia, de

a) 1.680 modos diferentes.

b) 256 modos diferentes.

c) 140 modos diferentes.

d) 128 modos diferentes.

e) 70 modos diferentes.


4- Na formação de uma Comissão Parlamentar de Inquérito (CPI), cada partido indica

um certo número de membros, de acordo com o tamanho de sua representação no

Congresso Nacional. Faltam apenas dois partidos para indicar seus membros. O partido

A tem 40 deputados e deve indicar 3 membros, enquanto o partido B tem 15 deputados

e deve indicar 1 membro. Assinale a alternativa que apresenta o número de

possibilidades diferentes para a composição dos membros desses dois partidos nessa

CPI.

a) 55

b) (40 - 3) . (15-1)

c) [40!/(37! . 3!)]. 15

d) 40 . 39 . 38 . 15

e) 40! . 37! . 15!

5- A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão constituída de

quatro integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe-se, não se

relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois,

juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada.

Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode formar essa comissão?

a) 70

b) 35

c) 45

d) 55

6- Um farmacêutico dispõe de 4 tipos de vitaminas e 3 tipos de sais minerais e deseja

combinar 3 desses nutrientes para obter um composto químico. O número de compostos

que poderão ser preparados usando-se, no máximo, 2 tipos de sais minerais é:


a) 32

b) 28

c) 34

d) 26

e) 30

7- Um brinquedo comum em parques de diversões é o "bicho-da-seda", que consiste

em um carro com cinco bancos para duas pessoas cada e que descreve sobre trilhos, em

alta velocidade, uma trajetória circular. Suponha que haja cinco adultos, cada um deles

acompanhado de uma criança, e que, em cada banco do carro, devam acomodar-se uma

criança e o seu responsável. De quantos modos podem as dez pessoas ocupar os cinco

bancos?

a) 14 400

b) 3 840

c) 1 680

d) 240

e) 120

8- Um bufê produz 6 tipos de salgadinhos e 3 tipos de doces para oferecer em festas de

aniversário. Se em certa festa devem ser servidos 3 tipos desses salgados e 2 tipos

desses doces, o bufê tem x maneiras diferentes de organizar esse serviço. O valor de x é:

a) 180

b) 360

c) 440

d) 720


9- Sejam os conjuntos A = {1,2,3} e B = {0,1,2,3,4}. O total de funções injetoras de A

para B é:

a) 10

b) 15

c) 60

d) 120

e) 125

10- O conselho administrativo de um sindicato é constituído por doze pessoas, das

quais uma é o presidente deste conselho. A diretoria do sindicato tem quatro cargos a

serem preenchidos por membros do conselho, sendo que o presidente da diretoria e do

conselho não devem ser a mesma pessoa. De quantas maneiras diferentes esta diretoria

poderá ser formada?

a) 40.

b) 7920.

c) 10890.

d) 11!.

e) 12!.

11- Um fundo de investimento disponibiliza números inteiros de cotas aos interessados

nessa aplicação financeira. No primeiro dia de negociação desse fundo, verifica-se que 5

investidores compraram cotas, e que foi vendido um total de 9 cotas. Em tais condições,

o número de maneiras diferentes de alocação das 9 cotas entre os 5 investidores é igual

a


a) 56.

b) 70.

c) 86.

d) 120.

e) 126.

GABARITO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

D C E C D C B D C C B

Bibliografia

MARQUES, P. Disponível em: http://www.algosobre.com.br/matematica/analise-

combinatoria.html. Acessado em: 12 de janeiro de 213.

Disponível em: http://www.mundovestibular.com.br/articles/5400/1/Analise-

Combinatoria-Exercicios-de-Matematica/Paacutegina1.html. Acessado em: 17 de

janeiro de 2013.

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Apostila Raciocínio Lógico da FMB