Click here to load reader

Apostila de Raciocínio Lógico - Resumida

  • View
    227

  • Download
    4

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Apostila de Raciocínio Lógico para Concursos Públicos - RESUMIDA . Autor: Professor Joselias Direitos: Curso Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

Text of Apostila de Raciocínio Lógico - Resumida

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    1

    APOSTILA DE

    RACIOCNIO

    LGICO PARA

    CONCURSOS

    PBLICOS (RESUMIDA)

    CURSO PROFESSOR JOSELIAS www.cursoprofessorjoselias.com.br

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    2

    Professor Joselias S. da Silva.

    Joselias Bacharel em Estatstica, formado pela

    Escola Nacional de Cincias Estatsticas(ENCE).

    Foi Diretor de Oramentos do Tribunal Regional

    Federal(TRF-3Regio), concursado aprovado em

    primeiro lugar, e atualmente professor em

    universidades paulistas e cursinhos preparatrios

    para concursos pblicos.

    Atividades atuais:

    - Professor de matemtica, lgica e estatstica no Curso FMB.

    - Administrador dos sites:

    http://www.cursoprofessorjoselias.com.br http://cursoprofessorjoselias.blogspot.com http://professorjoselias.blogspot.com

    http://blogdoestatisticoconcurseiro.blogspot.com.br

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    3

    LGICA

    Veremos nas prximas linhas a definio do que vem a ser uma proposio, bem como o seu clculo proposicional antes de chegarmos ao nosso objetivo maior que estudar as estruturas dos argumentos, que sero conjuntos de proposies denominadas premissas ou concluses.

    1 LGICA PROPOSICIONAL 1.1 - PROPOSIO Chamaremos de proposio ou sentena todo conjunto de palavras ou smbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. Sendo assim, vejamos os exemplos. 1 Exemplo a) O Lula o presidente do Brasil. b) O Rio de Janeiro fica na Europa. c) Elvis no morreu. As proposies devem assumir os valores falsos ou verdadeiros, pois elas expressam a descrio de uma realidade, e uma proposio representa uma informao enunciada por uma orao, portanto pode ser expressa por distintas oraes, tais como: O Joo mais novo que o Pedro, ou podemos expressar tambm por O Pedro mais velho que o Joo. Conclumos que as proposies esto associadas aos valores lgicos: verdadeiro (V) ou falso (F). 2 Exemplo: Se a proposio p = O Lula o presidente do Brasil verdadeira ento representaremos o valor lgico da proposio p por VAL(p) = V. Se a proposio p = O Lula no o presidente do Brasil falsa ento representaremos o valor lgico da proposio p por VAL(p) = F. Sendo assim a frase Parabns! no uma proposio, pois no admite o atributo verdadeiro ou falso. Portanto tambm no sero proposies as seguintes expresses: Exclamaes: Oh!, Que susto!. Interrogaes: Tudo bem?, Que dia hoje?, Voc professor?. Imperativos: Seja um bom marido., Estude para concursos. Paradoxos: Esta sentena falsa. Teremos dois princpios no caso das proposies:

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    4

    1.2 PRINCPIO DO TERCEIRO-EXCLUDO

    Uma proposio s pode ter dois valores lgicos, isto , verdadeira (V) ou falsa (F), no podendo ter outro valor.

    1.3 PRINCPIO DA NO-CONTRADIO Uma proposio no pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. Logo, voltando ao exemplo anterior temos: a) O Lula o presidente do Brasil. uma proposio verdadeira. b) O Rio de Janeiro fica na Europa. uma proposio falsa. c) Elvis no morreu, uma proposio falsa. As proposies sero representadas por letras do alfabeto: A, B, C, .... As proposies simples (tomos) combinam-se com outras, ou so modificadas, atravs de operadores (conectivos), gerando novas sentenas chamadas de molculas(ou compostas).

    1.4 - CONECTIVOS Os conectivos sero representados da seguinte forma:

    corresponde a no (Alguns autores usam o smbolo , para representar a negao).

    corresponde a e (conjuno)

    corresponde a ou (disjuno)

    corresponde a se ... ento ... (condicional)

    corresponde a ...se e somente se... (bi-condicional)

    corresponde a ... ou ..., ou ..., mas no ambos (disjuno exclusiva)

    Assim podemos ter:

    Negaes: (l-se: no p) 3 Exemplo: Seja a proposio p = Lgica difcil. A proposio Lgica no difcil poder ser representada por .

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    5

    Conjunes: p q (l-se: p e q) 4 Exemplo: Sejam p e q proposies tal que: p = Trabalho q = Estudo, ento temos que: p q = Trabalho e estudo

    Disjunes: p q (l-se: p ou q) 5 Exemplo: Sejam p e q proposies tal que: p = Trabalho q = Estudo, ento temos que:

    p q = Trabalho ou estudo

    Condicionais: p q (l-se: Se p ento q) 6 Exemplo: Sejam p e q proposies tal que: p = Trabalho q = Estudo, ento temos que:

    p q = Se trabalho ento estudo

    Bi-condicionais: p q (l-se: p se e somente se q) 7 Exemplo: Sejam p e q proposies tal que: p = Trabalho q = Estudo, ento temos que:

    p q = Trabalho se e somente se estudo

    Disjuno exclusiva: p q ((l-se: ou p, ou q, mas no ambos) 8 Exemplo: Sejam p e q proposies tal que: p = Trabalho q = Estudo, ento temos que:

    p q = Ou trabalho, ou estudo, mas no ambos

    Podemos usar parnteses para evitar ambigidades, considerando a seguinte prioridade em ordem decrescente:

    (A prioridade mais alta)

    (A prioridade mais baixa)

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    6

    2 - TABELA VERDADE

    O valor lgico de cada proposio composta depende dos conectivos contidos nela. Cada conectivo possui uma regra para formar o valor lgico da proposio composta, conforme a descrio abaixo.

    a) Tabela verdade da negao (p) (no p)

    Se a proposio verdadeira, sua negao ser falsa. Se a proposio falsa, sua negao ser verdadeira. Assim teremos a seguinte tabela:

    b) Tabela verdade da disjuno (pq) (p ou q) (ou p, ou q)

    A disjuno ser falsa quando todas as proposies simples forem falsas, caso contrrio ser verdadeira. Assim teremos a seguinte tabela:

    c) Tabela verdade da conjuno (pq) (p e q)

    A conjuno ser verdadeira quando todas as proposies simples forem verdadeiras, caso contrrio ser falsa. Assim teremos a seguinte tabela:

    p q pq

    V V V

    V F F

    F V F

    F F F

    p p

    V F

    F V

    p q pq

    V V V

    V F V

    F V V

    F F F

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    7

    d) Tabela verdade da condicional (p q) (Se p, ento q)

    A condicional somente ser falsa quando p for verdadeira e q for falsa, caso contrrio ser verdadeira.

    e) Tabela verdade da bi-condicional (p q) (p se e somente se q)

    A bi-condicional ser verdadeira quando as proposies simples, p e q, tiverem o mesmo valor lgico, caso contrrio ser falsa.

    f) Tabela verdade da disjuno exclusiva (p q) A disjuno exclusiva ser verdadeira quando as proposies simples, p e q, tiverem os valores lgicos diferentes, caso contrrio ser falsa.

    p q p q

    V V F

    V F V

    F V V

    F F F

    p q p q

    V V V

    V F F

    F V V

    F F V

    p q p q

    V V V

    V F F

    F V F

    F F V

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    8

    Assim teremos abaixo a tabela verdade para as proposies compostas pelas proposies simples p e q:

    TABELA VERDADE

    p q p pq pq p q p q p q

    V V F V V V V F

    V F F V F F F V

    F V V V F V F V

    F F V F F V V F

    9 Exemplo Sejam as proposies p e q, tal que: p = Corre q = O bicho pega Descrever as seguintes proposies abaixo:

    a) p

    b) p q

    c) p q

    d) p q

    e) p q

    f) p q Soluo:

    a) p = No corre

    b) p q = Corre ou o bicho pega

    c) p q = Corre e o bicho pega

    d) p q = Se corre, ento o bicho pega

    e) p q = Corre se e somente se o bicho pega

    f) p q = Ou corre, ou o bicho pega, mas no ambos

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    9

    10 Exemplo Sejam p e q proposies. Complete a tabela verdade abaixo

    p q p q pq pq pq pq p q p q

    V V

    V F

    F V

    F F

    Soluo:

    p q p q pq pq pq pq p q p q

    V V F F V F F F V F

    V F F V V F F V F V

    F V V F V F F V F V

    F F V V F V V V V F

    11 Exemplo

    Determinar o valor verdade da proposio R (P Q), sabendo-se que VAL (P) = F, VAL (Q) = F e VAL (R) = F.

    Soluo

    P Q R P Q R (P Q)

    V V V V V

    V V F V F

    V F V F F

    F V V F F

    V F F F V

    F V F F V

    F F V F F

    F F F F V

    Logo o VAL(R (P Q)) = V 12 Exemplo

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    10

    (STF-2008) Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. A resposta branda acalma o corao irado. O orgulho e a vaidade so as portas de entrada da runa do homem. Se o filho honesto ento o pai exemplo de integridade. Tendo como referncia as quatro frases acima, julgue o itens seguintes como certo(C) ou errado(E). a) A primeira frase composta por duas proposies lgicas simples unidas pelo conectivo de conjuno. b) A segunda frase uma proposio lgica simples. c) A terceira frase uma proposio lgica composta. d) A quarta frase uma proposio lgica em que aparecem dois conectivos lgicos.

    Soluo

    a) A primeira frase composta por duas proposies lgicas simples unidas pelo conectivo de conjuno. Errado. A sentena no proposio. b) A segunda frase uma proposio lgica simples. Certo. A sentena A resposta branda acalma o corao irado uma proposio simples. c) A terceira frase uma proposio lgica composta. Errado. Trata-se de uma orao com o sujeito composto, formando uma proposio simples. d) A quarta frase uma proposio lgica em que aparecem dois conectivos lgicos. Errado. A sentena Se o filho honesto ento o pai exemplo de integridade apresenta apenas o conetivo condicional. 13 Exemplo Sabendo que a proposio se A, ento B falsa, podemos concluir que: a) a proposio A verdadeira e B verdadeira. b) a proposio A verdadeira e B falsa. c) a proposio A falsa e B verdadeira. d) a proposio A falsa e B falsa. e) A proposio A sempre falsa.

    Soluo Teremos se verdade, ento falso. Logo A verdadeira e B falsa. Resposta: B

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    11

    3 - TAUTOLOGIA

    So as proposies compostas sempre verdadeiras, independentemente dos valores lgicos das proposies simples que as compem. Para verificar se uma proposio uma tautologia basta fazer a tabela verdade da proposio composta. 14 Exemplo

    a) A proposio (p p) uma tautologia, pois sempre verdadeira para qualquer valor lgico da proposio p.

    p p p p

    V F V

    F V V

    b) A proposio (p p) uma tautologia, pois verdadeira para qualquer valor lgico da proposio p.

    p p p

    V V

    F V

    c) A proposio (p p) uma tautologia, pois sempre verdadeira para qualquer valor lgico da proposio p.

    p (p) (p) (p) p

    V F V V

    F V F V

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    12

    d) A proposio (p q) (p q) uma tautologia, pois sempre verdadeira para todos os valores lgicos das proposies p e q.

    p q (pq) p (pq) (pq) (pq)

    V V V F V V

    V F F F F V

    F V V V V V

    F F V V V V

    e) A proposio (p q) (q p) uma tautologia, pois sempre verdadeira para todos os valores lgicos das proposies p e q.

    p q (pq) q p (qp) (pq) (qp)

    V V V F F V V

    V F F V F F V

    F V V F V V V

    F F V V V V V

    A tautologia (p q) (q p) conhecida como contra-positiva.

    f) A proposio (p q) (p q) uma tautologia, pois sempre verdadeira para todos os valores lgicos das proposies p e q.

    p q (p q) (p q) p q (p q) (p q) (p q)

    V V V F F F F V

    V F F V F V V V

    F V F V V F V V

    F F F V V V V V

    A tautologia (p q) (p q) conhecida como tautologia de Morgan.

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    13

    g) A proposio (p q) (p q) uma tautologia, pois sempre verdadeira para todos os valores lgicos das proposies p e q.

    p q (p q) (p q) p q (p q) (p q) (p q)

    V V V F F F F V

    V F V F F V F V

    F V V F V F F V

    F F F V V V V V

    A tautologia (p q) (p q) tambm conhecida como tautologia de Morgan.

    h) A proposio (pq) (p q) uma tautologia, pois sempre verdadeira para todos os valores lgicos das proposies p e q.

    p q (pq)

    (pq)

    q (p q) (pq) (p q)

    V V V F F F V

    V F F V V V V

    F V V F F F V

    F F V F V F V

    3.1 LISTA DE TAUTOLOGIAS MAIS COMUNS

    a) (p p)

    b) (p p)

    c) (p p) (Identidade)

    d) (p q) (p q)

    e) (p q) (q p) (Contra-positiva)

    f) (p q) (p q) (Morgan)

    g) (p q) (p q) (Morgan)

    h) (p) p (Negao dupla)

    i) (p q) (p q)

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    14

    4 - CONTRADIES So as proposies compostas sempre falsas, independentemente dos valores lgicos das proposies simples que as compem. Para verificar se uma proposio uma contradio basta fazer a tabela verdade da proposio composta. 15 Exemplo

    A proposio (p p) uma contradio, pois sempre falsa para qualquer valor lgico da proposio p.

    p p p p

    V F F

    F V F

    5 - CONTINGNCIA

    So as proposies compostas em que os valores lgicos dependem dos valores das proposies simples. Para verificar se uma proposio uma contingncia basta fazer a tabela-verdade da proposio. Se na tabela-verdade alguns valores lgicos forem verdadeiros e outros falsos teremos uma contingncia. 16 Exemplo

    A proposio (p q) uma contingncia, pois a proposio pode ser verdadeira ou falsa dependendo dos valores lgicos de p e q. 17 Exemplo

    a) (p p) (p p) uma tautologia, pois a proposio composta sempre verdadeira.

    b) (p p) (p p) uma contradio, pois a proposio composta sempre falsa.

    p q q (p q)

    V V F F

    V F V V

    F V F F

    F F V F

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    15

    18 Exemplo Uma tautologia uma proposio composta que sempre verdadeira. Das alternativas abaixo, a nica que tautologia : a) se filosofamos, ento filosofamos. b) se no filosofamos, ento filosofamos. c) Lgica fcil, mas difcil. d) ele feio, mas para mim bonito. e) eu sempre falo mentira.

    Soluo A nica proposio sempre verdadeira se filosofamos, ento filosofamos,

    pois a tautologia (p p). Resposta: A

    6 - EQUIVALNCIA

    Dizemos que duas proposies so equivalentes se elas possuem a mesma tabela-verdade. Para verificar se duas proposies so equivalentes devemos comparar as suas valoraes. 19 Exemplo

    a) A proposio (pq) equivalente a (qp).

    b) A proposio (pq) equivalente a (qp).

    p q (pq) (qp)

    V V V V

    V F V V

    F V V V

    F F F F

    p q (p q) (q p)

    V V V V

    V F F F

    F V F F

    F F F F

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected]com.br www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    16

    c) A proposio (p q) equivalente a (q p).

    d) A proposio (p q) equivalente a (p q).

    p q (pq) p (pq)

    V V V F V

    V F F F F

    F V V V V

    F F V V V

    e) A proposio (p q) equivalente a (q p).

    A equivalncia entre (p q) e (q p) chamada de contra-positiva.

    p q (p q) q p (q p)

    V V V F F V

    V F F V F F

    F V V F V V

    F F V V V V

    p q (p q) (q p).

    V V V V

    V F F F

    F V F F

    F F V V

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    17

    f) A proposio (p q) equivalente a (p q).

    A equivalncia entre (p q) e (p q) chamada de equivalncia de Morgan.

    p q (p q) (p q) p q (p q)

    V V V F F F F

    V F F V F V V

    F V F V V F V

    F F F V V V V

    g) A proposio (p q) equivalente a (p q).

    A equivalncia entre (p q) e (p q) chamada de equivalncia de Morgan.

    p q (p q) (p q) p q (p q)

    V V V F F F F

    V F V F F V F

    F V V F V F F

    F F F V V V V

    LISTA DE ALGUMAS EQUIVALENCIAS COMUNS

    a) (p q) equivalente a (q p)

    b) (p q) equivalente a (q p)

    c) (p q) equivalente a (q p)

    d) (p q) equivalente a (p q)

    e) (p q) equivalente a (q p)

    f) (p q) equivalente a (p q)

    g) (p q) equivalente a (p q)

    h) (p) equivalente a p

    i) (p q) equivalente a (p q)

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    18

    20 Exemplo Uma sentena lgica equivalente a Se Pedro economista, ento Luisa solteira. : a) Pedro economista ou Luisa solteira. b) Pedro economista ou Luisa no solteira. c) Se Luisa solteira, Pedro economista. d) Se Pedro no economista, ento Luisa no solteira. e) Se Luisa no solteira, ento Pedro no economista.

    Soluo (Se Pedro economista, ento Luisa solteira)

    p q equivalente(contra-positiva) a

    q p (Se Luisa no solteira, ento Pedro no economista)

    Resposta: E 21 Exemplo

    Das proposies abaixo, a nica que logicamente equivalente a ( p q)

    a) (p q)

    b) (p q)

    c) (p q)

    d) (p q)

    e) (~p q) Soluo

    (p q) equivalente a (p q) a equivalncia de Morgan. Resposta: A 22 Exemplo Dizer que Andr artista ou Bernardo no engenheiro logicamente equivalente a dizer que: a) Andr artista se e somente se Bernardo no engenheiro. b) Se Andr artista, ento Bernardo no engenheiro. c) Se Andr no artista, ento Bernardo engenheiro d) Se Bernardo engenheiro, ento Andr artista. e) Andr no artista e Bernardo engenheiro

    Soluo (Andr artista ou Bernardo no engenheiro) A expresso acima equivalente a:

    (Bernardo no engenheiro ou Andr artista)

    p q equivalente a

    p q

    (Se Bernardo engenheiro, ento ento Andr artista) Resposta: D

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    19

    23 Exemplo Dizer que Pedro no pedreiro ou Paulo paulista , do ponto de vista lgico, o mesmo que dizer que: a) se Pedro pedreiro, ento Paulo paulista b) se Paulo paulista, ento Pedro pedreiro c) se Pedro no pedreiro, ento Paulo paulista d) se Pedro pedreiro, ento Paulo no paulista e) se Pedro no pedreiro, ento Paulo no paulista

    Soluo (Pedro no pedreiro ou Paulo paulista)

    p q equivalente a

    p q (Se Pedro pedreiro, ento Paulo paulista)

    Resposta: A 24 Exemplo (CESGRANRIO) A negao de no sabe matemtica ou sabe portugus : (A) no sabe matemtica e sabe portugus. (B) no sabe matemtica e no sabe portugus. (C) sabe matemtica ou sabe portugus. (D) sabe matemtica e no sabe portugus. (E) sabe matemtica ou no sabe portugus.

    Soluo

    (no sabe matemtica ou sabe portugus) equivalente a (Morgan)

    (sabe matemtica e no sabe portugus) Resposta: D 25 Exemplo A afirmao No verdade que, se Pedro est em Roma, ento Paulo est em Paris logicamente equivalente afirmao: (A) verdade que Pedro est em Roma e Paulo est em Paris. (B) No verdade que Pedro est em Roma ou Paulo no est em Paris. (C) No verdade que Pedro no est em Roma ou Paulo no est em Paris. (D) No verdade que Pedro no est em Roma ou Paulo est em Paris. (E) verdade que Pedro est em Roma ou Paulo est em Paris.

    Soluo No verdade que, se Pedro est em Roma, ento Paulo est em Paris

    No verdade que (Pedro est em Roma Paulo est em Paris)

    No verdade que (Pedro est em Roma Paulo est em Paris)

    No verdade que p q equivalente a

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    20

    No verdade que p q equivalente a

    No verdade que Pedro no est em Roma ou Paulo est em Paris Resposta: D 26 Exemplo Dizer que Joo no honesto ou Jos alto , do ponto de vista lgico, o mesmo que dizer que: a) se Joo honesto, ento Jos no alto. b) se Joo no honesto, ento Jos alto. c) se Jos honesto, ento Joo alto d) se Joo no alto, ento Jos no honesto e) se Joo honesto, ento Jos alto.

    Soluo Joo no honesto ou Jos alto equivalente a Se Joo honesto ento Jos alto Resposta: E 27 Exemplo A negao de se correr, o bicho pega : (A) corre ou o bicho pega. (B) corre e o bicho pega. (C) se no corre, bicho no pega (D) corre e o bicho no pega. (E) se o bicho pegar ento corre.

    Soluo A negao de se correr, o bicho pega corre e o bicho no pega Resposta: D

    7 NMERO DE LINHAS DA TABELA VERDADE O nmero de linhas da tabela verdade de uma proposio composta

    com n proposies simples 2n

    . 28 Exemplo Observe que a tabela verdade de uma proposio composta com uma proposies simples possui 21 = 2 linhas.

    p

    V

    F

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    21

    29 Exemplo Observe que a tabela verdade de uma proposio composta com duas proposies simples possui 22 = 4 linhas. 30 Exemplo Observe que a tabela verdade de uma proposio composta com trs proposies simples possui 23 = 8 linhas.

    p q r

    V V V

    V V F

    V F V

    V F F

    F V V

    F V F

    F F V

    F F F

    7.1 NMERO DE PROPOSIES NO-EQUIVALENTES

    O nmero de proposies no equivalentes, tabelas-verdade distintas, com n

    proposies simples

    22n

    . 31 Exemplo O nmero de valoraes, tabelas distintas, com uma proposio simples

    .

    p q

    V V

    V F

    F V

    F F

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    22

    Observe que:

    P1 equivalente a (p p). P2 equivalente a p.

    P3 equivalente a p.

    P4 equivalente a (p p). 32 Exemplo O nmero de valoraes, tabelas distintas, com duas proposies simples

    .

    p q P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 P13 P14 P15 P16

    V V V V V V V V V V F F F F F F F F

    V F V V V V F F F F V V V V F F F F

    F V V V F F V V F F V V F F V V F F

    F F V F V F V F V F V F V F V F V F

    8 - PROPOSIO CONDICIONAL

    (p q)

    8.1 CONDIES NECESSRIAS E SUFICIENTES

    Na condicional, a proposio antecedente p chamada de condio suficiente para a proposio conseqente q, e a proposio consequente q chamada de condio necessria para p. 33 Exemplo Sejam as proposies:

    p P1 P2 P3 P4

    V V V F F

    F V F V F

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    23

    p = Joo paulista. q = Joo brasileiro.

    Temos que a proposio (p q) representa a seguinte sentena: Se Joo paulista, ento Joo brasileiro.

    Podemos dizer que a sentena Joo paulista condio suficiente para a sentena Joo brasileiro. Por outro lado a sentena Joo brasileiro condio necessria para a sentena Joo carioca.

    A proposio (p q) pode ser lida de vrias maneiras distintas, como segue: a) Se p, ento q. b) Se p, q. c) q, se p d) p implica q. e) p acarreta q. f) p suficiente para q. g) q necessrio para p. h) p somente se q. i) p apenas se q.

    34 Exemplo A sentena Se Joo paulista, ento Joo brasileiro pode ser lida como: a) Se Joo paulista, ento Joo brasileiro. b) Se Joo paulista, brasileiro. c) Joo brasileiro, se paulista. d) Joo ser paulista implica Joo ser brasileiro. e) Joo ser paulista acarreta Joo ser brasileiro. f) Joo ser paulista suficiente para Joo ser brasileiro. g) Joo ser brasileiro necessrio para Joo ser paulista. h) Joo paulista somente se brasileiro. i) Joo paulista apenas se brasileiro.

    8.2 RECPROCA, CONTRRIA E CONTRA-POSITIVA

    Se p e q so proposies ento:

    Recproca

    Chamamos de recproca de (p q) a proposio (q p).

    Contrria

    Chamamos de contrria de (p q) a proposio (p q).

    Contra-positiva

    Chamamos de contra-positiva de (p q) a proposio (q p).

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    24

    35 Exemplo Considere a sentena condicional Se Joo paulista, ento Joo brasileiro. Podemos dizer que: A recproca Se Joo brasileiro ento Joo paulista. A contrria Se Joo no paulista ento Joo no brasileiro. A contra-positiva Se Joo no brasileiro ento Joo no paulista.

    8.3 - EQUIVALNCIA DE (p q)

    Algumas equivalncias da condicional surgem com muita freqncia, conforme listamos abaixo:

    8.3.1 - (p q) equivalente a (p q) (Se p ento q) equivalente a (no p ou q).

    36 Exemplo A sentena Se Joo paulista, ento Joo brasileiro equivalente a Joo no paulista ou Joo brasileiro.

    8.3.2 - (p q) equivalente a (q p) (Se p ento q) equivalente a (Se no-q ento no-p).

    (Contra-positiva) 37 Exemplo A sentena Se Joo paulista, ento Joo brasileiro equivalente a Se Joo no brasileiro, ento Joo no paulista.

    8.3.3 - (p q) equivalente a (p q) A negao de (Se p, ento q) (p e no-q)

    38 Exemplo A negao da sentena Se Joo paulista, ento Joo brasileiro equivalente a Joo paulista e Joo no brasileiro.

    9 BI-CONDICIONAL (IMPLICAO DUPLA)

    (p q)

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    25

    Na bi-condicional, a proposio antecedente p chamada de condio necessria e suficiente para a proposio conseqente q, e a proposio conseqente q chamada de condio necessria e suficiente para p. 39 Exemplo Sejam as proposies: p = Estuda. q = Trabalha.

    Temos que a proposio (p q) representa a seguinte sentena: Estuda se e somente se trabalha. Podemos dizer que a sentena Estuda condio necessria e suficiente para a sentena Trabalha. Por outro lado a sentena Trabalha condio necessria e suficiente para a sentena Estuda.

    A proposio (p q) pode ser lida de vrias maneiras distintas, como segue: a) p se e somente se q. b) p se e s se q. c) p condio necessria e suficiente para q e p equivalente a q 40 Exemplo A proposio Estuda se e somente se trabalhapode ser enunciada tambm das seguintes maneiras: a) Estuda se e somente se trabalha b) Estuda se e s se trabalha. c) Estudar condio necessria e suficiente para trabalhar. d) Estudar equivalente a trabalhar.

    9.1 EQUIVALNCIA DE (p q)

    Algumas equivalncias da proposio (p q) so muito freqentes.

    9.1.1 - (p q) equivalente a (p q) (q p) Portanto (p se e somente se q ) equivalente a (Se p ento q) e (Se q ento p).

    9.1.2 - (p q) equivalente a (q p) (contra-positiva)

    Portanto (p se somente se q) equivalente a (no q se e somente se no p).

    9.1.3 - (p q) equivalente a (q p) (recproca)

    Portanto (p se somente se q) equivalente a (q se somente se p).

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    26

    9.1.4 - (p q) equivalente a (p q) (contrria)

    Portanto (p se somente se q) equivalente a (no p se e somente se no q).

    9.1.5 - (p q) equivalente a (p q) Portanto a negao de (p se e somente se q) equivalente a (p se somente se no q).

    10 DISJUNO EXCLUSIVA (OU EXCLUSIVO)

    p q

    A proposio p q representa a disjuno exclusiva (ou exclusivo), e significa ou p, ou q, mas no ambos. A tabela verdade desta proposio composta ser F quando ambos p e q forem verdadeiros ou ambos falsos, caso contrrio ser verdadeira. Assim teremos a seguinte tabela verdade:

    p q p q

    V V F

    V F V

    F V V

    F F F

    41 Exemplo Sejam as proposies: p = Trabalho q = Estudo

    A proposio p q significa Ou trabalho, ou estudo, mas no ambos.

    10.1 EQUIVALNCIA DE p q

    Entre as equivalncias da proposio p q destacamos algumas das mais freqentes:

    10.1.1 - p q EQUIVALENTE A (p q) (p q)

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    27

    Portanto (ou p ou q, mas no ambos) equivalente a (p e no-q) ou (no-p e q).

    10.1.2 (p q) EQUIVALENTE A p q Portanto a negao de (p se e somente se q) equivalente a (ou p ou q, mas no ambos).

    11 - NEGAO

    (, ~)

    A proposio p representa a negao da proposio p. Se a

    proposio p verdadeira ento a proposio p falsa. Se a proposio p

    falsa ento a proposio p verdadeira.

    Sendo assim a negao da sentena p= Eu estudo p = Eu no estudo. Negamos as proposies compostas conforme o quadro abaixo:

    PROPOSIO NEGAO

    p p

    (p) p

    (p q) (p q)

    (p q) (p q)

    (p q) (p q )

    (p q) (p q)

    (p q) p q

    42 Exemplo A negao da sentena Eu trabalho Eu no trabalho 43 Exemplo A negao da sentena Eu trabalho ou estudo Eu no trabalho e no estudo 44 Exemplo A negao da sentena Eu trabalho e estudo Eu no trabalho ou no estudo. 45 Exemplo

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    28

    A negao da sentena Se eu trabalho ento estudo Eu trabalho e no estudo. 46 Exemplo A negao da sentena Eu trabalho se e somente se estudo Eu trabalho se somente se no estudo. 47 Exemplo A negao da sentena Eu trabalho se e somente se estudo Ou trabalho, ou estudo, mas no ambos.

    12 - SENTENAS ABERTAS E SENTENAS GERAIS

    As proposies so declaraes que podem ser verdadeiras ou falsas, mas no podem receber ambos valores. Portanto as sentenas abaixo so proposies: a) Joo um mdico. b) 10 um nmero natural. c) 10+ 10 > 20 Considere agora as seguintes sentenas abertas, que no podem receber o atributo verdadeiro ou falso: 1) X um mdico. 2) n um nmero natural. 3) x + y >20 Conclumos que se atribuirmos um valor para as variveis X, n, x e y, nas sentenas abertas acima, teremos as proposies dos casos anteriores a, b e c respectivamente. H outra maneira de transformarmos as sentenas abertas em proposies, que consiste no uso do quantificador universal e do quantificador existencial.

    Quantificador universal

    - Significa Para todo ..., Qualquer que seja ....

    Quantificador Existencial

    - Significa Existe ..., H um .... Utilizando-se os quantificadores podemos transformar as sentenas abertas em proposies falsas ou verdadeiras, por exemplo: 48 Exemplo

    A sentena , n um nmero natural uma proposio verdadeira. 49 Exemplo

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    29

    A sentena uma proposio falsa. As proposies que utilizam quantificadores so chamadas de sentenas gerais.

    12.1 NEGAES DE SENTENAS GERAIS Sejam Px, Qx, Rx,... sentenas abertas de varivel x. A negaes de algumas sentenas gerais podem ser da forma abaixo:

    x Px equivalente a x Px

    x Px equivalente a x Px

    x Px Qx equivalente a x Px Qx

    x Px Qx equivalente a x Px Qx

    x Px Qx equivalente a x Px Qx

    50 Exemplo Podemos afirmar que o nmero de linhas da tabela-verdade para proposies compostas quatro tomos : a) 3 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16

    Soluo O nmero de linhas da tabela verdade de uma proposio composta de n

    proposies simples 2n

    . Logo o nmero de linha ser 24=16 linhas. Resposta: E 51 Exemplo Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o nmero de proposies no equivalentes de trs tomos : a) 16 b) 32 c) 64 d) 128 e) 256

    Soluo

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    30

    O nmero de proposies no equivalentes a uma proposio composta de n

    proposies simples 22n

    . Logo o nmero de proposies no equivalentes

    de trs tomo 32 82 2 256 .

    Resposta: E

    52 Exemplo Sabe-se que se 4x ento 2y . Podemos da concluir que:

    a) Se 4x ento 2y .

    b) Se 4x ento 2y .

    c) Se 2y ento 4x .

    d) Se 2y ento 4x .

    e) Se 2y ento 4x .

    Soluo 4x ento 2y

    p q equivalente(contra-positiva) a

    q p equivalente

    Se 2y ento 4x

    Resposta: D 53 Exemplo

    A negao da proposio " 3 2"x y : a) " 3 2"x y

    b) " 3 2"x y

    c) " 3 2"x y

    d) " 2 3"x y

    e) " 3 2"x y Soluo

    ( 3 2)x y equivalente a (Morgan)

    ( 3 2)x y Resposta: C

    Texto para os itens de 54 a 57. (TRT - CESPE): Considere que as letras P, Q, R e S representam proposies e que os

    smbolos , e so operadores lgicos que constroem novas proposies e significam no, e e ou respectivamente. Na lgica proposicional, cada proposio assume um nico valor (valor verdade) que pode ser verdadeiro (V)

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    31

    ou falso (F), mas nunca ambos. Considerando que P, Q, R e S so proposies verdadeiras, julgue os itens seguintes.

    54 Exemplo

    P Q verdadeira. Soluo

    P Q

    V V

    F V

    V

    Resposta: Certo. 55 Exemplo

    [(P Q) (R S)] verdadeira. Soluo

    [(V V) (V V)]

    [(F V) (F V)]

    [V V]

    V

    F

    Resposta: Errado.

    56 Exemplo

    [P (QS) ] ([(R Q) (P S)] ) verdadeira.

    Soluo

    [P (QS) ] ([(R Q) (P S)] )

    [V (VV) ] ([(V V) (V V)] )

    [V V ] ([V V] )

    V (V )

    V F

    F

    Resposta: Errado.

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    32

    57 Exemplo

    (P (S)) (Q (R)) verdadeira.

    Soluo

    (P (S)) (Q (R))

    (V (V)) (V (V))

    (V F) (V F)

    V V

    V

    Resposta: Certo. 58 Exemplo (CESGRANRIO) Considere verdadeira a proposio: Marcela joga vlei ou Rodrigo joga basquete. Para que essa proposio passe a ser falsa: (A) suficiente que Marcela deixe de jogar vlei. (B) suficiente que Rodrigo deixe de jogar basquete. (C) necessrio que Marcela passe a jogar basquete. (D) necessrio, mas no suficiente, que Rodrigo deixe de jogar basquete. (E) necessrio que Marcela passe a jogar basquete e Rodrigo passe a jogar vlei.

    Soluo Pela relao de Morgan temos que a negao do ou transforma-se em e. Logo necessrio, mas no suficiente, que Rodrigo deixe de jogar basquete. Resposta: D 59 Exemplo

    A negao da proposio ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y : a) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y

    b) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y

    c) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y

    d) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y

    e) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y Soluo

    ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y ( ) ( )( 2 ( 0 0))x y x y x y

    ( )( ) ( 2 ( 0 0))x y x y x y

    ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y

    ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y Resposta: C

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    33

    13 - ARGUMENTO

    um conjunto de proposies em que algumas delas implicam outra proposio. Chamaremos as proposies p1, p2, p3, . . . , pn de premissas do argumento, e a proposio q de concluso do argumento. Representaremos os argumentos da seguinte maneira:

    p1 p2 p3 . . .

    pn

    q 60 Exemplo Se chover ento fico em casa. Choveu. Fico em casa. 61 Exemplo Todas as mulheres so bonitas. Maria mulher. Maria bonita. 62 Exemplo Joo ganha dinheiro ou Joo trabalha Joo ganha dinheiro. Joo no trabalha

    13.1 ARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOS

    Os argumentos so divididos em dois grupos: Dedutivos e indutivos. A noo de argumento dedutivo gera a idias de transportar o geral ao particular, isto quer dizer que a concluso apenas ratifica o contedo das premissas. 63 Exemplo O argumento abaixo dedutivo, pois o contedo da concluso conseqncia apenas das premissas. Todas as mulheres so princesas. Todas as princesas so bonitas. Todas as mulheres so bonitas.

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    34

    A noo de argumento indutivo gera a idia de transportar o particular para o geral, portanto a concluso no derivada apenas das premissas. 64 Exemplo O argumento abaixo indutivo, pois o contedo da concluso no conseqncia apenas das premissas. Segunda-feira choveu. Tera-feira choveu. Quarta-feira choveu. Quinta-feira choveu. Amanh vai chover. Para os argumentos dedutivos haver uma classificao como vlidos ou no vlidos. Os argumentos dedutivos vlidos so raciocnio corretos, e os no vlidos so raciocnio incorretos. A classificao da validade no se aplica aos argumentos indutivos.

    Pelo princpio do terceiro-excludo temos que uma proposio verdadeira ou falsa. No caso de um argumento diremos que ele vlido ou no vlido. A validade uma propriedade dos argumentos dedutivos que depende da forma (estrutura) lgica das suas proposies (premissas e concluses) e no do contedo delas. Sendo assim podemos ter as seguintes combinaes para os argumentos vlidos dedutivos: a) Premissas verdadeiras e concluso verdadeira. b) Algumas ou todas as premissas falsas e uma concluso verdadeira. c) Algumas ou todas as premissas falsas e uma concluso falsa. Podemos dizer que um argumento vlido se quando todas as suas premissas so verdadeiras implica que sua concluso tambm verdadeira. Portanto um argumento ser no vlido se existir a possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua concluso falsa. 65 Exemplo No exemplo 63 observamos no precisamos de nenhum conhecimento aprofundado sobre o assunto para concluir que o argumento acima vlido.

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    35

    Vamos substituir mulheres, princesas e bonitas por A, B e C respectivamente e teremos:

    Todos A B. Todo B C.

    Todo A C

    13.2 ARGUMENTOS DEDUTIVOS VLIDOS

    Sabemos que a classificao de argumentos vlidos ou no vlidos aplica-se apenas aos argumentos dedutivos, e tambm que a validade depende apenas da forma do argumento e no dos respectivos valores lgicos das proposies do argumento. Sabemos tambm que no podemos ter um argumento vlido com premissas verdadeiras e concluso falsa. Veremos agora alguns argumentos dedutivos vlidos importantes.

    13.2.1 - Afirmao do antecedente(modus ponens)

    O argumento vlido chamado de afirmao do antecedente possui a seguinte estrutura:

    Se p, ento q. p

    q Ou

    Nesse argumento a afirmao da condio suficiente garante a concluso da condio necessria. 66 Exemplo

    Se ama, ento cuida. Ama.

    Cuida.

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    36

    67 Exemplo Se divisvel por dois, ento par.

    divisvel por dois.

    par.

    13.2.2 - Negao do consequente(modus tollens)

    O argumento vlido chamado de negao do consequente possui a seguinte estrutura:

    q

    Nesse argumento a negao da condio necessria garante a negao da condio suficiente. 68 Exemplo

    Se ama, ento cuida. No cuida.

    No ama.

    69 Exemplo

    Se divisvel por dois, ento par. No par.

    No divisvel por dois.

    13.2.3 - Dilema Outro argumento vlido o dilema. Geralmente este argumento ocorre quando a escolha de algumas opes levam a algumas consequncias, e nesse caso a concluso ser pelo menos uma das consequncias.

    p ou q.

    Se p ento r. Se q ento s. r ou s

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    37

    70 Exemplo Joo estuda ou trabalha.

    Se Joo estudar ser feliz. Se Joo trabalhar ser rico.

    Joo ser feliz ou rico.

    13.3 ARGUMENTOS DEDUTIVOS NO-VLIDOS Chamaremos de falcias aos argumentos com estruturas no vlidas. Os argumentos dedutivos no vlidos podem combinar verdade ou falsidade das premissas de qualquer maneira com a verdade ou falsidade da concluso. Assim podemos ter, por exemplo, argumentos no-vlidos com premissas e concluses verdadeiras, porm as premissas no sustentam a concluso.

    13.3.1 - Falcia da negao do antecedente Negando o antecedente em uma condicional no podemos obter concluso, sendo assim o argumento no vlido conhecido como falcia da negao do antecedente possui a seguinte estrutura:

    71 Exemplo Se ama, ento cuida.

    No ama.

    No cuida.

    Observe que o raciocnio incorreto, pois fato de no amar no garante que no cuida. 72 Exemplo

    Se chover, ficarei em casa. No est chovendo

    No ficarei em casa.

    Observe que o raciocnio incorreto, pois fato de est chovendo no garante se ficarei ou no em casa.

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    38

    73 Exemplo

    Se eu for eleito, acabar a misria. No fui eleito.

    A misria no acabar

    Observe que o raciocnio incorreto, pois fato de no ser eleito no implica que a misria no acabar.

    13.3.2 - Falcia da afirmao do consequente Afirmando o consequente em uma condicional no podemos obter concluso sobre a afirmao do antecedente, sendo assim o argumento no vlido conhecido como falcia da afirmao do consequente possui a seguinte estrutura:

    74 Exemplo Se ele ama, ento cuida.

    Ele cuida.

    Ele ama.

    Observe que o raciocnio incorreto, pois fato de ele cuidar no garante que ele ama. 75 Exemplo

    Se chover, ficarei em casa. Fiquei em casa

    Choveu.

    Observe que o raciocnio incorreto, pois fato ficar em casa no garante que choveu. 76 Exemplo

    Se eu for eleito, acabar a misria. Acabou a misria.

    Fui eleito

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    39

    Observe que o raciocnio incorreto, pois fato de acabar a misria no implica que fui eleito.

    14 - PROPOSIES UNIVERSAIS E PARTICULARES

    Podemos classificar algumas sentenas como proposies universais ou particulares. Nas proposies universais o predicado refere-se a totalidade do conjunto. 77 Exemplo Todas as mulheres so vaidosas universal e simbolizamos por todo S P.

    78 Exemplo A mulher s bia universal e simbolizamos por todo S P.

    Nas proposies particulares o predicado refere-se apenas a uma parte do conjunto. 79 Exemplo Algumas mulheres so vaidosas particular e simbolizamos por algum S P.

    14.1 - Proposies afirmativas e negativas As proposies podem ser classificas como afirmativas ou negativas. 80 Exemplo Nenhuma mulher vaidosa universal negativa e simbolizamos por nenhum S P. 81 Exemplo Algumas mulheres no so vaidosas particular negativa e simbolizamos por algum S no P. Chamaremos ento de proposio categrica na forma tpica as proposies dos tipos: Todo S P, algum S P, algum S no P e nenhum S P.

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    40

    Silogismo categrico de forma tpica

    O silogismo categrico de forma tpica (ou silogismo) ser argumento formado por duas premissas e uma concluso, tal que todas as premissas envolvidas so categricas de forma tpica ( A, E, I, O ). O silogismo categrico de forma tpica apresenta os seguintes termos: Termo menor sujeito da concluso. Termo maior predicado da concluso. Termo mdio o termo que aparece uma vez em cada premissa e no aparece na concluso. Chamaremos de premissa maior a que contm o termo maior, e premissa menor a que contm o termo menor. 82 Exemplo Todos os brasileiros so alegres. Todos os alegres so felizes. Todos os brasileiros so felizes. Termo menor: os brasileiros Termo maior: felizes Termo mdio: os alegres Premissa menor: Todos os brasileiros so alegres. Premissa maior: Todos os alegres so felizes.

    15 DIAGRAMAS LGICOS a) Universal afirmativa (A)

    Todo S P

    Observao: - A negao de Todo S P Algum S no P.

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    41

    b) Universal negativa (E) Nenhum S P

    Observao: - Nenhum S P equivalente a Nenhum P S. - A negao de Nenhum S P Algum S P. c) Particular Afirmativa (I)

    Algum S P

    Observao: - Algum S P equivalente a Algum P S. - Algum S P equivalente a Pelo menos um S P. - A negao de Algum S P Nenhum S P. d) Particular negativa (O)

    Algum S no P

    Observao: - A negao de Algum S no P Todo S P. 83 Exemplo A negao da sentena Todas as crianas so levadas : a) nenhuma criana levada. b) existe pelo menos uma criana que no levada. c) no existem crianas levadas. d) algumas crianas so levadas. c) existe pelo menos uma criana levada.

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    42

    Soluo A negao da sentena Todas as crianas so levadas Algumas crianas no so levadas, que equivalente a existe pelo menos uma criana que no levada. Resposta B. 84 Exemplo A negao da proposio Todo A B , no ponto de vista lgico, equivalente a: a) algum A B. b) nenhum A B. c) algum B A. d) nenhum B A. e) algum A no B.

    Soluo A negao da proposio Todo A B Algum A no B. Resposta A. 85 Exemplo A negao da proposio Nenhum A B , no ponto de vista lgico, equivalente a: a) algum A B. b) algum A no B. c) algum B no A. d) nenhum B A. e) todo A B.

    Soluo A negao da proposio Nenhum A B Algum A B. Resposta A. 86 Exemplo A negao da proposio Todas as mulheres so bonitas : a) Nenhuma mulher bonita. b) Todos os homens so bonitos. c) Algumas mulheres so bonitas. d) Algumas mulheres no so bonitas.

    e) Todas as mulheres no so bonitas Soluo

    A negao da proposio Todas as mulheres so bonitas Algumas mulheres no so bonitas. Resposta D. 87 Exemplo Para que a afirmativa Todo matemtico louco seja falsa, basta que: a) todo matemtico seja louco. b) todo louco seja matemtico. c) Algum louco no seja matemtico. d) Algum matemtico seja louco. e) Algum matemtico no seja louco.

    Soluo

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    43

    A negao de todos pode ser Algum..., Existe um ..., Pelo menos um... etc. Sendo assim para que a afirmao Todo matemtico louco seja falsa basta que Algum matemtico no seja louco. Resposta: E 88 Exemplo Sabe-se que existe pelo menos um A que B. Sabe-se, tambm, que todo B C. Segue-se, portanto, necessariamente que a) todo C B b) todo C A c) algum A C d) nada que no seja C A e) algum A no C

    Soluo Pelas premissas podemos ter, por exemplo, o diagrama abaixo:

    Assim conclumos que algum A C. Resposta: C 89 Exemplo Sejam as declaraes: Se ele me ama ento ele casa comigo. Se ele casa comigo ento no vou trabalhar. Ora, se vou ter que trabalhar podemos concluir que: a. Ele pobre mas me ama. b. Ele rico mas po duro. c. Ele no me ama e eu gosto de trabalhar. d. Ele no casa comigo e no vou trabalhar. e. Ele no me ama e no casa comigo.

    Soluo Suponhamos que todas as premissas so verdadeiras. Ento temos:

    Ele me ama ele casa comigo (V)

    Ele casa comigo no vou trabalhar (V)

    Vou trabalhar (V)

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    44

    Como a terceira premissa verdadeira temos:

    F

    V

    Ele me ama ele casa comigo (V)

    Ele casa comigo no vou trabalhar (V)

    Vou trabalhar (V)

    Temos que a segunda premissa verdadeira e o seu conseqente(no vou trabalhar) falso, sendo assim temos que o antecedente(Ele casa comigo) tem que ser falso. Logo temos:

    FF

    V

    Ele me ama ele casa comigo (V)

    Ele casa comigo no vou trabalhar (V)

    Vou trabalhar (V)

    Conseqentemente obtemos:

    F

    FF

    V

    Ele me ama Ele casa comigo (V)

    Ele casa comigo no vou trabalhar (V)

    Vou trabalhar (V)

    Temos que a primeira premissa verdadeira e o seu conseqente(Ele casa comigo) falso, sendo assim temos que o antecedente(Ele me ama) tem que ser falso. Logo temos:

    F F

    FF

    V

    Ele me ama Ele casa comigo (V)

    Ele casa comigo no vou trabalhar (V)

    Vou trabalhar (V)

    Podemos ento encontrar as proposies verdadeiras do argumento vlido, que sero as concluses: Vou trabalhar.(V) Ele no casa comigo.(V) Ele no me ama.(V) Resposta: E

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    45

    90 Exemplo (ESAF) Homero no honesto, ou Jlio justo. Homero honesto, ou Jlio justo, ou Beto bondoso. Beto bondoso, ou Jlio no justo. Beto no bondoso, ou Homero honesto. Logo, a) Beto bondoso, Homero honesto, Jlio no justo. b) Beto no bondoso, Homero honesto, Jlio no justo. c) Beto bondoso, Homero honesto, Jlio justo. d) Beto no bondoso, Homero no honesto, Jlio no justo. e) Beto no bondoso, Homero honesto, Jlio justo.

    Soluo Suponhamos que todas as premissas so verdadeiras.

    Homero no honesto Jlio justo (V)

    Homero honesto Jlio justo Beto bondoso (V)

    Beto bondoso Jlio no justo (V)

    Beto no bondoso Homero honesto (V)

    Observamos que todas as premissas so disjunes e nesse caso no temos uma proposio com o valor verdade definido, sendo assim vamos fazer uma hiptese sobre alguma delas. Se a hiptese for correta encontraremos a resposta final, se no for correta chegaremos a um absurdo e nesse caso trocamos a hiptese e teremos a resposta. Suponhamos que a proposio Homero no honesto verdadeira. Ento pela hiptese teremos:

    V

    F

    Homero no honesto Jlio justo (V)

    Homero honesto Jlio justo Beto bondoso (V)

    Beto bondoso Jlio no justo (V)

    Beto no bondoso Homero honesto

    F

    (V)

    Como a ltima premissa verdadeira temos que a proposio Beto no bondoso tem que ser verdadeira. Ento teremos:

    V

    F F

    F

    V

    Homero no honesto Jlio justo (V)

    Homero honesto Jlio justo Beto bondoso (V)

    Beto bondoso Jlio no justo (V)

    Beto no bondoso

    F

    Homero honesto (V)

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    46

    Como a terceira premissa verdadeira temos que a proposio Jlio no justo tem que ser verdadeira. Ento teremos:

    V F

    F FF

    F V

    Homero no honesto Jlio justo (V)

    Homero honesto Jlio justo Beto bondoso (V)

    Beto bondoso Jlio no justo (V)

    B

    V F

    eto no bondoso Homero honesto (V)

    Temos um absurdo na segunda premissa, pois todas as proposies so falsas e a premissa verdadeira. Sendo assim nossa hiptese esta errada, isto a proposio Homero no honesto deve ser falsa. Mudando a nossa hiptese inicial teremos que a proposio Homero no honesto falsa. Sendo assim vamos refazer o exerccio com a nova hiptese correta:

    F

    V

    Homero no honesto Jlio justo (V)

    Homero honesto Jlio justo Beto bondoso (V)

    Beto bondoso Jlio no justo (V)

    Beto no bondoso Homero honesto

    V

    (V)

    Temos pela primeira premissa que Jlio justo tem que ser verdadeira.

    F V

    V V

    F

    Homero no honesto Jlio justo (V)

    Homero honesto Jlio justo Beto bondoso (V)

    Beto bondoso Jlio no justo (V)

    Beto no bondos

    V

    o Homero honesto (V)

    Temos pela primeira premissa que Beto bondoso tem que ser verdadeira.

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    47

    F V

    V VV

    V F

    Homero no honesto Jlio justo (V)

    Homero honesto Jlio justo Beto bondoso (V)

    Beto bondoso Jlio no justo (V)

    B

    F V

    eto no bondoso Homero honesto (V)

    Assim teremos as seguintes concluses: Jlio justo. Homero honesto. Beto bondoso. Resposta: C

    (CESPE) Uma proposio uma afirmao que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas no como ambas. As proposies so usualmente simbolizadas por letras maisculas do alfabeto, como, por exemplo, P, Q, R etc. Se a conexo de duas proposies feita pela preposio e, simbolizada usualmente por , ento obtm-se a forma P Q , lida como P e Q e avaliada como V se P e Q forem V, caso

    contrrio, F. Se a conexo for feita pela preposio ou, simbolizada usualmente por , ento obtm-se a forma P Q , lida como P ou Q e

    avaliada como F se P e Q forem F, caso contrrio, V. A negao de uma proposio simbolizada por P, e avaliada como V, se P for F, e como F, se P for V. Um argumento uma seqncia de proposies P1, P2, ..., Pn, chamadas premissas, e uma proposio Q, chamada concluso. Um argumento vlido, se Q V sempre que P1, P2, ..., Pn forem V, caso contrrio, no argumento vlido. A partir desses conceitos, julgue item abaixo.

    91 Exemplo Considere as seguintes proposies: P: Mara trabalha e Q: Mara ganha dinheiro Nessa situao, vlido o argumento em que as premissas so Mara no trabalha ou Mara ganha dinheiro e Mara no trabalha, e a concluso Mara no ganha dinheiro.

    Soluo Argumento: P Q (V) P (V) Q Suponhamos que as premissas so verdadeiras, temos ento: P Q (V) P (V) Q Temos que a proposio Q pode ser verdadeira ou falsa, portanto o argumento NO VLIDO Resposta: Errado

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    48

    (CESPE) As afirmaes que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas no ambas, so chamadas proposies. As proposies so usualmente simbolizadas por letras maisculas: A, B, C etc. A expresso A B, lida, entre outras formas, como se A ento B, uma proposio que tem valorao F quando A V e B F, e tem valorao V nos demais casos. Uma expresso da forma A, lida como no A, uma proposio que tem valorao V quando A F, e tem valorao F quando A V. A expresso da forma AB, lida como A e B, uma proposio que tem valorao V apenas quando A e B so V, nos demais casos tem valorao F. Uma expresso da forma A B, lida como A ou B, uma proposio que tem valorao F apenas quando A e B so F; nos demais casos, V. Com base nessas definies, julgue os itens que se seguem.

    92 Exemplo Uma expresso da forma (AB) uma proposio que tem exatamente as mesmas valoraes V ou F da proposio AB.

    Soluo Basta saber que (A B) equivalente a (A B) Resposta: Correto.

    93 Exemplo Considere que as afirmativas Se Mara acertou na loteria ento ela ficou rica e Mara no acertou na loteria sejam ambas proposies verdadeiras. Simbolizando adequadamente essas proposies pode-se garantir que a proposio Ela no ficou rica tambm verdadeira.

    Soluo Trata-se da falcia conhecida como negao do antecedente. Resposta: Errado.

    94 Exemplo A proposio simbolizada por (AB) (BA) possui uma nica valorao F.

    Soluo Vamos fazer a tabela verdade de (AB) (BA)

    A B (AB) (BA) (AB)(BA)

    V V V V V

    V F F V V

    F V V F F

    F F V V V

    Resposta: Correto.

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    49

    95 Exemplo Considere que a proposio Slvia ama Joaquim ou Slvia ama Tadeu seja verdadeira. Ento pode-se garantir que a proposio Slvia ama Tadeu verdadeira.

    Soluo Podemos ter a proposio verdadeira de modo que:

    FV

    V

    Silvia ama Joaquim Silvia ama Tadeu

    Resposta: Errada.

    16 - ANLISE COMBINATRIA

    16.1 - PROBLEMA DA CONTAGEM

    A anlise combinatria surge como uma ferramenta eficiente para problemas de contagem, conforme os exemplos abaixo: - (TRE-2009) Em um restaurante que oferea um cardpio no qual uma refeio consiste em uma salada entre salada verde, salpico e mista , um prato principal cujas opes so bife com fritas, peixe com pur, frango com arroz ou massa italiana e uma sobremesa doce de leite ou pudim. Qual a quantidade de refeies possveis de serem escolhidas por um cliente? - As chapas dos automveis so constitudas por trs letras e quatro algarismos. Quantos carros podem ser licenciados nessas condies? Os exemplos acima mostram que para se obter o nmero de possibilidades poderamos comear descrevendo todos e contando, porm, este processo seria trabalhoso. Da surge a anlise combinatria, que permite criar regras para agrupamentos de objetos facilitando assim a contagem.

    16.2 PRINCPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

    Este princpio conhecido como princpio da multiplicao e tem o seguinte enunciado: Sejam dois acontecimentos A e B. Se A pode ocorrer de m maneiras distintas e, para cada uma das m maneiras distintas, outro acontecimento B pode ocorrer de n maneiras distintas, ento o nmero de possibilidades de ocorrer A seguido da ocorrncia de B m x n. 96 Exemplo (TRE-2009) Em um restaurante que oferea um cardpio no qual uma refeio consiste em uma salada entre salada verde, salpico e mista , um

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    50

    prato principal cujas opes so bife com fritas, peixe com pur, frango com arroz ou massa italiana e uma sobremesa doce de leite ou pudim. Qual a quantidade de refeies possveis de serem escolhidas por um cliente?

    Soluo Vamos dividir a formao da refeio em trs acontecimentos: Primeiro acontecimento: Escolher a salada 3 maneiras distintas. Segundo acontecimento: Escolher o prato principal 4 maneiras distintas. Terceiro acontecimento: Escolher a sobremesa 2 maneiras distintas. Aplicando o princpio fundamental da contagem teremos: 3 x 4 x 2 = 24 maneiras distintas de refeies completas. 97 Exemplo As chapas dos automveis so formadas por trs letras e quatro algarismos. Quantos carros podem ser licenciados nessas condies?

    Soluo Como as placas so formadas por trs letras e quatro algarismos, vamos seguir a configurao abaixo, onde L representa uma letra escolhida no alfabeto de vinte e seis letras e N representa uma algarismo do sistema decimal.

    L L L N N N N Primeiro acontecimento: Escolher a primeira letra 26 maneiras distintas. Segundo acontecimento: Escolher a segunda letra 26 maneiras distintas. Terceiro acontecimento: Escolher a terceira letra 26 maneiras distintas. Quarto acontecimento: Escolher o primeiro algarismo - 10 maneiras distintas. Quinto acontecimento: Escolher o segundo algarismo 10 maneiras distintas. Sexto acontecimento: Escolher o terceiro algarismo 10 maneiras distintas. Stimo acontecimento: Escolher o quarto algarismo 10 maneiras distintas. Aplicando o princpio fundamental da contagem temos: 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 175.760.000 placas.

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    51

    98 Exemplo (PUC) O nmero total de inteiros positivos que podem ser formados com algarismos 1, 2, 3 e 4, se nenhum algarismo repetido em nenhum inteiro, : a. 54 b. 56 c. 58 d. 60 e. 64

    Soluo Com um algarismo temos 4 nmeros. Com dois algarismos temos 4x3 = 12 nmeros. Com trs algarismos temos 4x3x2 = 24 nmeros. Com 4 algarismos temos 4x6x2x1 = 24 nmeros. Logo o total de nmeros com os algarismos distintos 64. Resposta: E 99 Exemplo Quantos nmeros pares de trs algarismos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 6, 7, 9 ?

    Soluo Seja o esquema:

    Observamos que os nmeros m ser deve ser pares, isto dificulta a contagem, da precisamos primeiramente satisfazer a restrio de os nmeros serem pares. Regra: Se existe uma restrio causando dificuldade ento devemos satisfaz-la em primeiro lugar Sendo assim, temos: Posio C - 2 possibilidades (algarismos 2, 6) Posio A - 6 possibilidades (algarismos 1, 2, 3, 6, 7, 9) Posio B - 6 possibilidades (algarismos 1, 2, 3, 6, 7, 9) Pelo princpio da multiplicao temos 2 x 6 x 6 = 72 nmeros.

    16.3 - FATORIAL

    Seja n um nmero natural maior que um. Chamamos de n fatorial a:

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    52

    100 Exemplo a) 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 b) 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 c) 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x1 = 5040. 101 Exemplo

    Simplificar:

    10!

    7!

    Soluo

    10! 10 9 8 7!10 9 8 720

    7! 7!

    16.4 - ARRANJOS SIMPLES

    Seja A um conjunto com n elementos e p um nmero natural, com p n. Chamamos de arranjo simples p a p, dos n elementos de A, a cada subconjunto ordenado de p elementos de A. Como o subconjunto ordenado, temos que os arranjos so distintos quanto a ordem.

    Chamaremos de p

    nA ao nmero de arranjo de n objetos, p a p.

    A frmula ( 1)( 2)...( 1)p

    nA n n n n p tambm pode ser escrita

    como !

    ( )!

    p

    n

    nA

    n p

    .

    102 Exemplo Quais so os arranjos dos objetos a, b e c tomados 2 a 2?

    Soluo ab, ba, ac, ca, bc e cb. So seis arranjos tomados 2 a 2. 103 Exemplo

    a) 3

    5 5 4 3 60A

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    53

    b) 4

    7 7 6 5 4 840A

    c) 2

    6 6 5 30A

    104 Exemplo Quantos nmeros de trs algarismos distintos podemos formar com os algarismos significativos?

    Soluo Entendemos como algarismos significativos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Ento teramos: Para a primeira posio - 9 possibilidades Para a segunda posio, aps preencher a primeira - 8 possibilidades Para a terceira posio, aps preencher duas primeiras posies - 7 possibilidades. Da pelo princpio da multiplicao

    3

    9 9 8 7 504A

    16.5 - PERMUTAO SIMPLES

    Chamamos de permutaes simples de n objetos distintos a qualquer arranjo desses n elementos tomados em qualquer ordem.

    O nmero de permutao de n objetos distintos, denotamos por Pn a:

    Logo

    ( 1)( 2)( 3)....1

    !

    n

    n

    P n n n n

    P n

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    54

    105 Exemplo Quais so as permutaes simples dos objetos a, b e c?

    Soluo abc, acb, bac, bca, cab e cba. So seis permutaes simples. 106 Exemplo Quantos anagramas podemos fazer com as letras da palavra ESTUDO?

    Soluo

    P6 = 6x5x4x3x2x1 = 6! = 720 anagramas. 107 Exemplo Calcular quantos nmeros de cinco algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?.

    Soluo P5= 5! = 120 anagramas.

    17 - PERMUTAO COM REPETIO

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    55

    108 Exemplo Quantos anagramas possui a palavra BANANA?

    Soluo

    anagramas.

    109 Exemplo Quantas anagramas possui a palavra ARROZ?

    Soluo

    anagramas.

    110 Exemplo Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ANATEL?

    Soluo

    anagramas.

    111 Exemplo Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ANATEL comeando com consoante?

    Soluo Primeira posio: 3 maneiras distintas de uma consoante. Nas outras cinco posies teremos:

    maneiras distintas.

    Aplicando o princpio fundamental da contagem temos 3 x 60 = 180 anagramas comeando com consoante. 112 Exemplo Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ANATEL comeando com vogal?

    Soluo Pelos dois exemplos anteriores temos 360 180 = 180 anagramas comeando com vogal. 113 Exemplo (Sta. CASA) Existem 4 estradas de rodagem e 3 estradas de ferro entre as cidades A e B. Quantos so os diferentes percursos para fazer a viagem de ida e volta entre A e B, utilizando rodovia e trem, obrigatoriamente, em qualquer ordem? a) 4! 3! b 2! 4! 3! c. 24 d. 12 e. 7

    Soluo

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    56

    Podemos ir de rodovia e voltar de trem e vice versa. Logo temos 4 x 3 + 3 x 4 = 24 modos. Resposta: C

    18 - COMBINAES SIMPLES Seja um conjunto A, com n elementos distintos. Chamamos de combinao simples dos n elementos, tomados k a k, a qualquer subconjunto de k elementos do conjunto A. Indicamos o nmero de combinaes dos n elementos tomados k a k por:

    !

    !( )!

    k

    n

    nC

    k n k

    ou !

    !( )!

    n n

    k k n k

    Exemplo Quais so as combinaes dos objetos a,b e c, tomados 2 a 2?

    Soluo ab, ac e bc. So trs combinaes tomadas 2 a 2. 114 Exemplo

    a) 2

    3

    3! 3! 3 2! 33

    2! 3 2 ! 2!1! 2!1! 1!C

    b) 3

    7

    7! 7! 7 6 5 4! 7 6 57 5 35

    3!(7 3)! 3!4! 3!4! 3!C

    c) 5

    8

    8! 8! 8 7 6 5! 8 7 68 7 56

    5!(8 5)! 5!3! 5!3! 3!C

    115 Exemplo Com seis alunos, quantas comisses com dois alunos podemos formar?

    Soluo

    2

    6

    6! 6! 6 5 4! 6 515

    2!(6 2)! 2!4! 2!4! 2!C

    comisses.

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    57

    116 Exemplo Quantas diagonais possui o pentgono regular?

    Soluo

    Observe que para fazer uma diagonal, preciso unir dois

    vrtices; como possuo 5 vrtices teremos 2

    5C modos de unir dois vrtices, isto , 10 modos. Por outro lado, quando unimos AB, BC, CD, DE e EA, estamos contando os lados do pentgono, logo, o nmero de diagonais 10 5 = 5 diagonais.

    117 Exemplo (OSEC) Do cardpio de uma festa constavam 10 diferentes tipos de salgadinhos dos quais s 4 seriam servidos quentes. O garom encarregado de arrumar a travessa e servi-la foi instrudo para que a mesma contivesse sempre s dois tipos de salgadinhos frios e s 2 diferentes dos quentes. De quantos modos diferentes, teve o garom a liberdade de selecionar os salgadinhos para compor a travessa, respeitando as instrues?

    Soluo

    4 quentesTipos de salgadinhos

    6 frios

    Travessa 2 2

    4 6 6 15 90C C modos. 118 Exemplo (CESGRANRIO) Considere cinco pontos, trs a trs no colineares. Usando esses pontos como vrtices de um tringulo, o nmero de todos os tringulos distintos que se podem formar : a) 5 b) 6 c) 9 d) 10 e) 15

    Soluo

    O numero de tringulos que podemos formar 35 10C tringulos.

    Resposta: D 119 Exemplo (PUC) Uma mensagem em cdigo deve ser feita de tal forma que, cada letra do alfabeto seja representada por uma seqncia de n elementos, onde cada elemento zero (0) ou um (1). O menor valor de n de modo que as 26 letras do alfabeto possam ser representadas : a) 5

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    58

    b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

    Soluo Com um elemento podemos representar 21 = 2 letras. Com dois elementos podemos representar 22 = 4 letras. Com trs elementos podemos representar 23 = 8 letras. Com quatro elementos podemos representar 24 = 16 letras. Com cinco elementos podemos representar 25 = 32 letras. Resposta: A 120 Exemplo (GV) Na figura, quantos caminhos diferentes podem ser feitos de A at B, deslocando-se uma unidade de cada vez, para cima ou para a direita?

    a) 126 b) 858 c) 326 d) 954 e) 386

    Soluo Cada caminho ter quatro movimentos para cima (C) e cinco movimentos para a direita (D). Logo o nmero de caminhos ser o nmero de permutaes de nove elementos, sendo 4 iguais a C e 5 iguais a D.

    4,5

    9

    9! 9 8 7 6 5! 9 8 7 6126

    4!5! 4!5! 4!P

    caminhos.

    Resposta: A

    19 - SEQUNCIAS RECCORRENTES OU RECURSIVAS Chamamos de sequncia recursiva (ou recorrente) quando um determinado termo pode ser calculado em funo de termos antecessores. 121 Exemplo

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    59

    A sequncia dos nmeros naturais pares 0, 2, 4, 6, 8, 10, ... pode ser definida pela seguinte equao de recorrncia: , para , com . 122 Exemplo

    A progresso aritmtica de razo igual a 5 e primeiro termo igual a 1 (1, 6, 11, 16,...) pode ser definido pela seguinte equao de recorrncia:

    , para , com . 123 Exemplo

    A sequncia de nmeros triangulares, cujos termos so 1, 3, 6, 10, 15, ... pode ser definida pela seguinte equao de recorrncia: : , para , com . 124 Exemplo A sequncia {an} de Fibonacci, cujos termos so 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

    pode ser definida pela seguinte equao de recorrncia: , para , com e . A ordem da recorrncia o maior deslocamento na equao de recorrncia. Assim temos que as equaes dos exemplos 121, 122 e 123 so de primeira ordem, e a equao do exemplo 124 de segunda ordem. A equao de recorrncia ser dita linear se um determinado termo funo do primeiro grau nos termos anteriores. 125 Exemplo

    a) linear.

    b) linear.

    c) linear.

    d)

    linear.

    e) no linear.

    f)

    no linear.

    A equao de recorrncia homognea aquela em que o termo independente zero. 126 Exemplo

    a)

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    60

    b)

    20 - VERDADES E MENTIRAS ASSOCIAES 127 Exemplo Um julgamento envolveu trs rus. Cada um dos trs acusou um dos outros dois. Apenas um deles culpado. O primeiro ru foi o nico que disse a verdade. Se cada um deles (modificando sua acusao) tivesse acusado algum diferente, mas no a si mesmo, o segundo ru teria sido o nico a dizer a verdade. Conclui-se que: a) O primeiro ru inocente e o segundo culpado b) O primeiro ru inocente e o terceiro culpado c) O segundo ru inocente e o primeiro culpado d) O terceiro ru inocente e o primeiro culpado e) O terceiro ru inocente e o segundo culpado

    Soluo: No primeiro caso, como cada um acusou um dos outros dois, e o primeiro foi o nico que disse a verdade, conclumos que o primeiro inocente. No segundo caso, conclumos analogamente que o segundo ru inocente. Logo, o culpado o terceiro ru. Opo correta: B 128 Exemplo (FGV) Os habitantes de certo pas podem ser classificados em polticos e no-polticos. Todos os polticos sempre mentem e todos os no-polticos sempre falam a verdade. Um estrangeiro, em visita ao referido pas, encontra-se com 3 nativos, I, II e III. Perguntando ao nativo I se ele poltico, o estrangeiro recebe uma resposta que no consegue ouvir direito. O nativo II informa, ento, que I negou ser um poltico. Mas o nativo III afirma que I realmente um poltico. Quantos dos 3 nativos, so polticos? a) Zero b) Um c) Dois d) Trs e) Quatro

    Soluo Primeiramente observe que um poltico nunca fala que ele poltico, e que um no poltico sempre responde que no poltico. Logo, a resposta do primeiro nativo s pode ter sido no poltico. Como o segundo nativo informou que o primeiro nativo negou ser um poltico, ento o segundo nativo disse a verdade, portanto, o segundo nativo no poltico. Quanto ao terceiro nativo, temos: Se o nativo III poltico ento o nativo I no poltico Se o nativo III no poltico ento o nativo I poltico

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    61

    Logo, teremos sempre um poltico. Resposta: B 129 Exemplo Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu: Armando: Sou inocente Celso: Edu o culpado Edu: Tarso o culpado Juarez: Armando disse a verdade Tarso: Celso mentiu Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado : a) Armando b) Celso c) Edu d) Juarez e) Tarso

    Soluo Observe que temos uma contradio entre as declaraes de Celso e Tarso, portanto um deles diz a verdade e outro diz mentira. Como h apenas uma declarao falsa, temos que a declarao do Celso ou Tarso. Logo as outras declaraes so verdadeiras. Conseqentemente a declarao do Edu(Tarso o culpado) verdadeira. Conclumos que o Tarso o culpado. Resposta: E 130 Exemplo Sabe-se que um dos quatro indivduos Marcelo, Z Bolacha, Adalberto ou Filomena cometeu o crime da novela A prxima Vtima. 0 delegado Olavo interrogou os quatro obtendo as seguintes respostas: - Marcelo declara: Z Bolacha o criminoso. - Z Bolacha declara: O criminoso Filomena. - Adalberto declara: No sou o criminoso. - Filomena protesta: Z Bolacha est mentindo. Sabendo que apenas uma das declaraes verdica, as outras trs so falsas, quem o criminoso?

    "Inspirado na novela da Rede Globo - A PRXIMA VTIMA"

    a) Z Bolacha b) Filomena c) Adalberto d) Marcelo e) Joselias

    Soluo Observe que temos uma contradio entre as declaraes de Z Bolacha e Filomena, portanto um deles diz a verdade e outro diz mentira. Como h apenas uma declarao verdadeira, temos que a declarao do Z Bolacha ou da Filomena. Logo as outras declaraes so falsas. Conseqentemente a

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    62

    declarao do Adalberto( No sou o criminoso) falsa. Conclumos que o criminoso o Adalberto. Resposta C 131 Exemplo Certo dia, trs tcnicos distrados, Andr, Bruno e Carlos, saram do trabalho e cada um foi a um local antes de voltar para casa. Mais tarde, ao regressarem para casa, cada um percebeu que havia esquecido um objeto no local em que havia estado. Sabe-se que:

    um deles esqueceu o guarda-chuva no bar e outro, a agenda na pizzaria; Andr esqueceu um objeto na casa da namorada;

    Bruno no esqueceu a agenda e nem a chave de casa. verdade que (A) Carlos foi a um bar. (B) Bruno foi a uma pizzaria. (C) Carlos esqueceu a chave de casa. (D) Bruno esqueceu o guarda-chuva. (E) Andr esqueceu a agenda.

    Soluo Como Andr foi casa da namorada, ento Bruno e o Carlos foram para o bar ou pizzaria. Como o Bruno no esqueceu a agenda, ento s pode ter esquecido o guarda-chuva. Resposta D Bibliografia 1. Veloso, E. e Viana, J.P. Desafios - Vol. 1, Vol. 2, Vol. 3, Vol. 4, Vol. 5, Vol. 6 Edies Afrontamento Lisboa Portugal 2. Eysenck, H.J. Faa seu Teste Editora Mestre-Jou So Paulo - Brasil. 3. Silva, J.S. da Raciocnio Lgico Matemtico Curso Pr-Fiscal R.A. Editora So Paulo Brasil. 4. Morgado, A.C. e Cesar B. Raciocnio Lgico Editora Campus Brasil. 5. Provas de Vestibulares FUVEST, CESGRANRIO, VUNESP, FGV e outros. 6. Lociks, J. Raciocnio Lgico e Matemtico Editora Vestcon. 7. Provas da ANPAD Associao Nacional de Programas de Ps-Graduao em Administrao. 8. James, B.R. Probabilidade em um nvel intermedirio IMPA CNPQ. 9. Morgado, A. C. Progresses e Matemtica Financeira SBN. 10. RPM - Revista dos Professores de Matemtica - SBM. 11. Morgado, A. C. Anlise Combinatria e Probabilidade SBM. 12. Lopes, L. Manual de Progresses Editora Intercincia. 13. Arithmetic Geometric Mean The American Mathematical Monthly. 14. Eves, H. Great Moments in Mathematics MAA 15. Melo e Souza O Homem que Calculava - 16. Copi, I. Introduo a Lgica Matemtica Mestre Jou 17. Provas da ESAF. 18. CARRAHER, D. W. Senso Crtico Ed. Pioneira, 1983. 19. FLEW, A. Pensar Direito Cultrix-Edusp, 1979. 20. SALMON, C. W. Lgica, 3 Edio, Prentice/ Hall do BrasilBibliografia

  • Apostila de Lgica Resumida Professor Joselias [email protected] www.cursoprofessorjoselias.com.br skype: joselias.santos

    Professor Joselias www.cursoprofessorjoselias.com.br

    63

    1. Veloso, E. e Viana, J.P. Desafios - Vol. 1, Vol. 2, Vol. 3, Vol. 4, Vol. 5, Vol. 6 Edies Afrontamento Lisboa Portugal 2. Eysenck, H.J. Faa seu Teste Editora Mestre-Jou So Paulo - Brasil. 3. Silva, J.S. da Raciocnio Lgico Matemtico Curso Pr-Fiscal R.A. Editora So Paulo Brasil. 4. Silva, J.S. da 480 Questes de Raciocnio Lgico Matemtico e Portugus Curso Pr-Fiscal R.A. Editora So Paulo Brasil. 5. Provas de Vestibulares FUVEST, CESGRANRIO, VUNESP, FGV e outros. 6. Lociks, J. Raciocnio Lgico e Matemtico Editora Vestcon. 7. Provas da ANPAD Associao Nacional de Programas de Ps-Graduao em Administrao. 8. James, B.R. Probabilidade em um nvel intermedirio IMPA CNPQ. 9. Morgado, A. C. Progresses e Matemtica Financeira SBN. 10. RPM - Revista dos Professores de Matemtica - SBM. 11. Morgado, A. C. Anlise Combinatria e Probabilidade SBM. 12. Lopes, L. Manual de Progresses Editora Intercincia. 13. Arithmetic Geometric Mean The American Mathematical Monthly. 14. Eves, H. Great Moments in Mathematics MAA 15. Melo e Souza O Homem que Calculava - 16. Copi, I. Introduo a Lgica Matemtica Mestre Jou 17. Provas da ESAF. 18. CARRAHER, D. W. Senso Crtico Ed. Pioneira, 1983. 19. FLEW, A. Pensar Direito Cultrix-Edusp, 1979. 20. SALMON, C. W. Lgica, 3 Edio, Prentice/ Hall do Brasil. 21. SMULLYAN, RAYMOND O Enigma de Sherazade Jorge Zahar Editor. 22. SMULLYAN, RAYMOND Alice no Pas dos Enigmas Jorge Zahar Editor. 23. ROCHA, ENRIQUE Raciocnio Lgico Editora Campos.

    SE VOC GOSTOU VISITE O CURSO PROFESSOR JOSELIAS

    www.cursoprofessorjoselias.com.br

    BOA SORTE