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Apostila Raciocínio Lógico Lógica II

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Text of Apostila Raciocínio Lógico Lógica II

Uma reedio revista pelo autor dos captulos iniciais das Lies de Anlise Real

Elementos de Lgica Matemtica e Teoria dos Conjuntos Jaime Campos Ferreira

Departamento de Matemtica Instituto Superior Tcnico Outubro de 2001

U

Introduo ca

Alguns amigos e colegas, regentes das primeiras disciplinas de Anlise Maa temtica no IST, aconselharam uma reediao dos dois primeiros cap a c tulos do texto Lioes de Anlise Real (que redigi h mais de trinta anos), por c a a entenderem que, nas condioes actuais do nosso ensino, poderiam ser de alc guma utilidade como introduao aos principais assuntos versados nas suas c aulas. Foi esta a causa da presente publicaao. O texto foi agora submetido c a uma reviso ligeira; no entanto, para os estudantes que utilizem tambm o a e livro Introduao a Anlise Matemtica, convm mencionar uma pequena dic ` a a e ferena: o conjunto dos n meros naturais (em ambos os trabalhos designado c u pela letra N) denido nesse livro por forma a incluir o n mero zero, ene u quanto no texto que agora se publica o no inclui. Trata-se evidentemente de a uma discrepncia em matria de natureza convencional, da qual, depois de a e devidamente acentuada, no resultar decerto qualquer inconveniente para a a os eventuais utilizadores dos dois trabalhos. Lisboa, Outubro de 2000, Jaime Campos Ferreira

Uma ediao do Departamento de Matemtica do Instituto Superior Tcnico. Setembro de 2001. c a e

Indice

1 Elementos de lgica matemtica o a 1.1 Termos e proposioes. Algebra proposicional. . . . . . . . . . c 1.2 Expresses com variveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o a 1.3 Quanticadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Elementos de teoria dos conjuntos. 2.1 Conjuntos. Operaoes fundamentais. . . . . . . . c 2.2 Pares ordenados. Sequncias. Produto cartesiano. e 2.3 Funoes. Aplicaoes. Inverso. Composiao. . . . c c a c 2.4 Relaoes de equivalncia. Relaoes de ordem. . . c e c Indice remissivo . . . . . . Relaoes. c . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 8 10 17 17 21 28 34 48

3

4

Cap tulo 1

Elementos de lgica matemtica o a

Para compreender bem as denioes e teoremas que constituem as teorias c matemticas cujo estudo vamos iniciar, indispensvel habituarmo-nos a a e a usar uma linguagem mais precisa e rigorosa do que a que se utiliza, em geral, na vida corrente. A aquisiao desse hbito pode ser muito facilitada c a pelo recurso a algumas nooes e s c mbolos da Lgica Matemtica, dos quais o a indicaremos neste primeiro cap tulo, de forma muito resumida e largamente baseada na intuiao, aqueles que tm maior interesse para a sequncia do c e e nosso curso. Convm, no entanto, observar que a Lgica Matemtica tem hoje aplicae o a coes concretas extremamente importantes, em diversos dom nios; uma das mais notveis , sem d vida, a sua utilizaao no planeamento dos modernos a e u c computadores electrnicos. o

1.1

Termos e proposioes. Algebra proposicional. c

A linguagem usada na Matemtica, como qualquer outra linguagem, coma preende designaoes (tambm chamadas nomes ou termos) e proposioes c e c (ou frases). As designaoes servem para indicar determinados objectos mac temticos: n meros, pontos, conjuntos, funoes, operaoes, guras geomtria u c c e cas, etc.; as proposioes exprimem armaoes que podem ser verdadeiras c c ou falsas a respeito dos mesmos objectos. Como exemplos de designaoes registamos as seguintes 1 : c 7, 3 + 4, 2 7

,

2 + 3i,

N,

R.

Observe-se que as duas primeiras designaoes se referem ao mesmo obc jecto: so designaoes equivalentes ou sinnimas; para indicar que duas a c o designaoes, a e b, so equivalentes, escreve-se usualmente a = b. Como c a exemplos de proposioes (as duas primeiras verdadeiras, as outras falsas) cDesignamos por N e R, respectivamente, o conjunto dos nmeros naturais e o conjunto u dos nmeros reais. u1

5

CAP ITULO 1. ELEMENTOS DE LOGICA MATEMATICA podemos indicar: 7 = 3 + 4, 4 4, 2 + 3i = 3 + 2i, 2 + 1 < 1 + 2.

Uma proposiao necessariamente verdadeira ou falsa (mas nunca uma coisa c e e outra); na primeira hiptese, diz-se tambm por vezes que a proposiao o e c tem o valor lgico 1, na segunda que tem o valor lgico 0. Os s o o mbolos 1 e 0 servem assim, de forma convencional, para designar respectivamente verdade e falsidade. Duas proposioes dizem-se equivalentes quando tm o mesmo valor lgico; c e o por exemplo, so equivalentes as proposioes a c 70 e (2)5 = 25 .

Para indicar que duas proposioes designadas, por exemplo, pelos s c mbolos p e q so equivalentes, costuma-se escrever p q. a Dadas duas proposioes, p e q, chama-se conjunao ou produto lgico de c c o p e q, e designa-se por pq (ler p e q) a proposiao que consiste em armar c simultaneamente p e q. A proposiao p q ser, portanto, verdadeira se o c a forem as duas proposioes dadas e falsa quando uma destas for falsa (ou c quando o forem ambas). Por exemplo, a conjunao das proposioes 4 um n mero par e 4 c c e u e um divisor de 10 equivale a armaao de que 4 um n mero par e um ` c e u divisor de 10 e , evidentemente, uma proposiao falsa. e c Por outro lado, chama-se disjunao ou soma lgica de p e q, e designa-se c o por p q, (p ou q), a proposiao que consiste em armar que pelo menos c uma das proposioes dadas verdadeira. Nestas condioes, a proposiao pq c e c c s falsa quando o forem ambas as proposioes p e q. A disjunao das duas oe c c proposioes consideradas no exemplo anterior a proposiao (verdadeira): c e c 4 um n mero par ou um divisor de 10. e u e Nas tabelas seguintes, anlogas as vulgares tabuadas das operaoes elea ` c mentares estudadas na escola primria, indicam-se os valores lgicos das a o proposioes p q e p q, em correspondncia com os poss c e veis valores lgicos o de p e q: Observe-se que o valor lgico de p q o mnimo dos valores lgicos o e o das proposioes p e q, enquanto o valor lgico de p q o mximo dos c o e a valores lgicos das mesmas proposioes (evidentemente, no caso de estas o c terem valores lgicos iguais, entende-se por mximo e m o a nimo desses valores lgicos o seu valor comum). o Nota. Podem denir-se de forma inteiramente anloga a conjunao e a a c disjunao no caso de serem dadas mais de duas proposioes. Por exemplo, c c a conjunao das proposioes p, q, r,. . . consiste na armaao de que todas c c c essas proposioes so verdadeiras e portanto uma proposiao que s falsa c a e c oe se alguma das proposioes p, q, r,. . . , o fr. c o 6

1.1. TERMOS E PROPOSICOES. ALGEBRA PROPOSICIONAL. pq p 1 0 PSfrag replacements pq 0 0 0 1 p pq 0 0 1

PSfrag replacements pq

q 0

q 0

1

1

1

1

1

Sendo p uma proposiao, a negaao de p uma nova proposiao, que c c e c costuma designar-se por p ou no p. A proposiao p verdadeira sse 2 p a c e falsa. A soma dos valores lgicos de p e p , portanto, sempre igual a e o e ` unidade. E evidente que, para toda a proposiao p, se tem: c ( p) p. Vericam-se tambm sem diculdade as seguintes propriedades (conhecidas e por primeiras leis de De Morgan), que relacionam as trs operaoes lgicas e c o designadas pelos s mbolos , e : (p q) ( p) ( q) (p q) ( p) ( q).

Em linguagem corrente, a primeira destas propriedades poderia exprimir-se da forma seguinte: negar que as proposioes p e q sejam ambas verdadeiras c equivale a armar que pelo menos uma delas falsa. e Uma outra operaao lgica importante a implicaao: dadas duas proc o e c posioes p e q, designa-se correntemente pelo s c mbolo p = q (que pode ler-se p implica q ou se p, ento q) uma nova proposiao que consiste a c em armar que, se p verdadeira, q tambm o . A implicaao p = q s e e e c o portanto falsa no caso de p ser verdadeira e q ser falsa, isto , se o valor e e lgico de p fr maior do que o de q. Assim, por exemplo, das proposioes: o o c 2 2 = 3 > 2 + 1, 3 = 2 = 5 < 0, 3 = 2 = 5 0,

(1000!) > 220000 = 1000! > 2100002

2

Usamos sse como abreviatura da expresso se e s se. a o

7

CAP ITULO 1. ELEMENTOS DE LOGICA MATEMATICA s a primeira falsa. o e Evidentemente, quando se vericam conjuntamente as implicaoes p = c q e q = p, as proposioes p e q so equivalentes; simbolicamente: c a [(p = q) (q = p)] (p q).

1.2

Expresses com variveis. o a

Alm dos termos e proposioes que temos estado a considerar, a linguagem e c matemtica usa constantemente expresses em que intervm variveis, isto a o e a s e mbolos (em geral, letras) que podem ser substitu dos por designaoes de c 3 Por exemplo, as expresses: acordo com determinadas regras. o x, (x y)2 , x2 2xy + y 2

no so propriamente designaoes, mas converter-se-o em designaoes (de a a c a c n meros reais) se as letras que nelas guram forem substitu u das por n meros u reais arbitrios; assim, se substituirmos x por 1 e y por 0, as trs expresses a e o referidas converter-se-o em designaoes do n mero 1. a c u ` As expresses com variveis que, como as precedentes, se transformam o a em designaoes quando as variveis que nelas guram so substitu c a a das por designaoes convenientes, chamaremos expresses designatrias . So tamc o o a bm expresses designatrias as seguintes: e o o y x 1, cotg x, . x Convm no entanto observar que, para que estas ultimas expresses se e o convertam em designaoes de n meros reais, no basta substituir as variveis c u a a por n meros reais arbitrrios: por exemplo, da substituiao de x por 0 no u a c a resultaria em qualquer dos casos a designaao de um n mero real (fosse qual c u fosse o valor atribu a varivel y, no caso da terceira expresso). do ` a a Duas expresses designatrias numa mesma varivel x dizem-se equivao o a lentes se todo o valor de x que converta alguma delas numa designaao, c converter a outra numa designaao equivalente. So equivalentes no conc a 3 junto dos reais as expresses x e x3 , mas no o so as expresses |x| o a a o e x (substituindo x por 1, por exemplo, a primeira converte-se numa designaao do n mero 1 e a segunda num s c u mbolo sem signicado). Evidentemente, a deniao de equivalncia anloga no caso de exc e e a presses designatrias com mais de uma varivel; assim, por exemplo, so o o a a equivalentes as expresses designatrias: o o (x y)23

e

x2 2xy + y 2 ,

Nos casos habituais uma varivel pode ser substitu por qualquer termo de entre os a da que se referem aos objectos de um determinado conjunto, chamado dom nio da varivel a em causa. Atribuir a varivel, como valor, um certo objecto (pertencente ao dom ` a nio) consiste precisamente em substitu por qualquer designaao desse objecto, em todos os -la c lugares em que ela ocorra na expresso considerada. a

8

1.2. EXPRESSOES COM VARIAVEIS. (supondo que x e y tm por dom e nio o conjunto R). Consideremos agora as expresses: o x2 > 0, 2 x = x2 , x2 y 2 = 0, x y > y z.

Se em qualquer destas expresses substituirmos todas as variveis por deo a signaoes de n meros reais, obteremos desta vez, no designaoes, mas sim c u a c proposioes, verdadeiras ou falsas. c As expresses com variveis, que se transformam em proposioes quando o a c as variveis so substitu a a das por designaoes convenientes, chamam-se exc presses proposicionais ou condioes. o c As expresses proposicionais podem tambm combinar-se por meio de o e operaoes lgicas inteiramente anlogas as que considermos no caso das c o a ` a proposioes. c Sejam, por exemplo, p(x) e q(x) duas expresses proposicionais com uma o varivel. a A conjunao, p(x) q(x), uma nova condiao que se converte numa c e c proposiao verdadeira sse forem atribu c dos a x valores que tornem verdadeiras as duas condioes p(x) e q(x). A disjunao, p(x) q(x), uma condiao c c e c que s falsa para os valores da varivel que tornam p(x) e q(x) ambas o e a falsas. A negaao de p(x) a condiao p(x), apenas verdadeira para os c e c valores de x que convertem p(x) numa proposiao falsa. A implicaao, c c p(x) = q(x), uma condiao que se converte numa proposiao falsa sse e c c forem atribu dos a varivel x valores para os quais p(x) seja verdadeira e ` a q(x) falsa. Finalmente, a equivalncia, p(x) q(x), a conjunao das e e c implicaoes p(x) = q(x) e q(x) = p(x). c Vejamos alguns exemplos de equivalncias (verdadeiras, quaisquer que e sejam os valores reais atribu dos as variveis): ` a [(x < 3) (x 2)] 2 x < 3, (x < 1) x 1, x2 > 0 x = 0. x < 1 = x < 3, [(x < y) (y < z)] = x < z, e, supondo que x designa agora uma varivel cujo dom a nio o conjunto dos e n meros naturais, N: u x m ltiplo de 6 = x m ltiplo de 3, e u e u [(x m ltiplo de 2) (x m ltiplo de 3)] (x m ltiplo de 6). e u e u e u 9 (x par ) x e e mpar, [(x > 3) (x = 3)] x 3,

So tambm sempre verdadeiras as condioes: a e c

CAP ITULO 1. ELEMENTOS DE LOGICA MATEMATICA

1.3

Quanticadores.

Se, numa dada condiao p(x), atribuirmos a varivel x um dos valores do c ` a seu dom nio, obteremos, como vimos, uma proposiao. Outra forma, exc tremamente importante em Matemtica, de obter proposioes a partir de a c uma condiao p(x), antepor-lhe um dos s c e mbolos x ou x , que se chamam quanticadores (quanticador universal e quanticador existencial, respectivamente). A proposiao x p(x) l-se qualquer que seja x, p(x) ou para todo o x, c e tem-se p(x) e verdadeira sse, atribuindo a x qualquer valor do seu dom e nio, p(x) se converter sempre numa proposiao verdadeira. A proposiao x p(x), c c que se l existe um x tal que p(x) ou para algum x, tem-se p(x), falsa e e sse p(x) se transformar numa proposiao falsa sempre que a varivel x seja c ` a atribu um valor qualquer do seu dom do nio. Por exemplo, sendo x uma varivel real, so verdadeiras as proposioes: a a c x x2 + 1 > 0, x x4 0 e x x2 3 = 0.

A deniao e o uso dos quanticadores, no caso de proposioes com mais c c de uma varivel, so inteiramente anlogos. Assim, supondo x e y variveis a a a a reais, a proposiao x y y < x pode ler-se qualquer que seja x existe um y c tal que y < x e equivale portanto a armar que no existe um n mero real a u que seja menor do que todos os outros. E, evidentemente, uma proposiao c verdadeira (observe-se que seria falsa se o dom nio das variveis x e y fosse, a em vez do conjunto dos reais, o dos naturais). A proposiao y x y < x, que exprime a existncia de um n mero real c e u menor do que qualquer outro (e at menor do que ele prprio), obviamente e o e falsa. Convm notar bem que, como acabmos de ver, trocando a posiao dos e a c dois quanticadores que intervm na proposiao x y y < x, se obtem uma e c proposiao no equivalente. Este facto verica-se correntemente, quando os c a quanticadores trocados so de tipo diferente (um universal, outro existena cial). Em contrapartida, a permutaao de quanticadores do mesmo tipo conc duz sempre, como fcil vericar, a uma proposiao equivalente a inicial. e a c ` Por exemplo, so equivalentes as proposioes: a c x y [x3 = y 3 x = y] que podem escrever-se abreviadamente 4 : y x [x3 = y 3 x = y] x,y [x3 = y 3 x = y].4 Esta proposiao, verdadeira no caso de x e y serem variveis reais, seria falsa se se c a tratasse de variveis complexas (isto , de variveis tendo por dom a e a nio o conjunto dos nmeros complexos). Em qualquer hiptese, porem, era sempre leg u o tima a permutaao c dos dois quanticadores universais.

10

1.3. QUANTIFICADORES. Dadas duas condioes p(x, y) e q(x, y) por exemplo diz-se que a c primeira implica formalmente a segunda sse verdadeira a proposiao: e c x,y p(x, y) = q(x, y) Por exemplo, no conjunto dos reais, x = y 2 implica formalmente x2 = y 4 , mas j a implicaao a c x > y = x2 > y 2 no formal. a e Observe-se que vulgar na linguagem matemtica usar-se apenas a pae a lavra implica no sentido de implica formalmente e at escrever somente e p(x) = q(x), em lugar de x p(x) = q(x). Trata-se de abusos de linguagem que, geralmente, no tm inconveniente de maior, porque o prprio a e o contexto permite reconhecer com facilidade se se pretende ou no exprimir a uma implicaao formal. c De forma anloga, diz-se que as condioes p(x, y) e q(x, y) so formala c a mente equivalentes (ou apenas equivalentes) sse se tiver: x,y p(x, y) q(x, y), expresso esta em que, muitas vezes, se suprime tambm o quanticador. a e Convm salientar que a implicaao formal p(x, y) = q(x, y) pode tame c bm exprimir-se dizendo que p(x, y) condiao suciente para q(x, y) ou e e c que q(x, y) condiao necessria para p(x, y). No caso de equivalncia fore c a e mal costuma tambm dizer-se que p(x, y) condiao necessria e suciente e e c a para q(x, y). Tm importncia fundamental as seguintes leis designadas por see a gundas leis de De Morgan que indicam como se efectua a negaao de c proposioes com quanticadores: c x p(x) x p(x),

x p(x) x p(x).

Para enunciar esta ultima, poderia dizer-se que no existindo nenhum valor a de x que torne p(x) verdadeira, todos os valores de x tornam essa proposiao c falsa, e reciprocamente. Assim, por exemplo: x x2 > 0 x x2 0,

x,y z x = yz x,y z x = yz. 11

CAP ITULO 1. ELEMENTOS DE LOGICA MATEMATICA

Exerc cios1. Prove que, quaisquer que sejam as proposioes p, q e r, se tem: c p q q p (comutatividade da disjunao), c (comutatividade da conjunao), c

(p q) r p (q r) (associatividade da disjunao), c (p q) r p (q r) p q q p (associatividade da conjunao), c

p (q r) (p q) (p r)

(distributividade da conjunao a respeito da disjunao), c c (distributividade da disjunao a respeito da conjunao). c c

p (q r) (p q) (p r)

2. Prove que, quaisquer que sejam as proposioes p, q e r, so verdadeiras c a as proposioes: c (p = q) [( q) = ( p)] (regra do contra-rec proco),

[(p = q) (q = r)] = (p = r). 3. Indique quais das seguintes proposioes so verdadeiras e quais so c a a falsas (supondo que as variveis intervenientes tm por dom a e nio: a) o conjunto dos reais; b) o conjunto dos naturais): x x2 + 1 > 1, x (x > 2 = x > 1), x y y = x 2 ,

[p (p = q)] = q,

y x y = x 2 ,

x,y z x = yz,

x,y (x y)2 = x2 y 2 .

x,y (x y)2 = x2 y 2 ,

4. Verique que, no conjunto dos reais, as condioes x y = x2 e y 0 c so (formalmente) equivalentes. Observe bem que o quanticador x a converteu a condiao com duas variveis y = x 2 , numa expresso proc a a posicional equivalente a condiao y 0, que tem apenas uma varivel ` c a (a varivel y, que se diz varivel no quanticada ou varivel livre). a a a a Na mesma ordem de ideias verique as equivalncias (formais): e y x = 10y x > 0 x y < x y = y + 1 z x = y + z x > y x y x y = 1 (em R), (em N), (em N), (em N).

5. Mostre que as condioes p(x) = q(x) e q(x) = p(x) so c a equivalentes, mas que, em geral, qualquer delas no equivalente a a e 12

1.3. QUANTIFICADORES. q(x) = p(x) (de contrrio, como observa Godement no seu livro a citado na Bibliograa, do facto de todos os homens serem mortais poderia deduzir-se que todos os ces so imortais. . . ). a a 6. Escreva a negaao de cada uma das condioes seguintes: c c x > z = |f (x)| < ,2

x y = x ,

y z x x > z = f (x) > y,

x y z x = x y,

y y = x ,

2

|f (x)| < = x > z, x y z x = x y,

x y z x = x y,

y z x x < z = |f (x)| > y.

7. Como sabido, sendo un o termo geral de uma sucesso de termos e a reais e a um n mero real, a proposiao lim u n = a equivalente a u c e p n (n > p = |un a| < ) (onde p e n tm por dom o conjunto dos naturais e o conjunto dos e nio reais positivos). Tendo em conta este facto, mostre que a proposiao c (lim un = a) equivale a p n (n > p |un a| ) Sero estas ultimas proposioes equivalentes a lim u n = a? a c 8. Sabendo que a sucesso (de termo geral) u n limitada sse k n |un | < a e k, dena a noao de sucesso ilimitada (isto , no limitada). Mostre c a e a que as sucesses que vericam a condiao n k |un | < k no so, de o c a a forma alguma, apenas as sucesses limitadas. o 9. Verique que sendo z e z = 0. n meros reais, se ( > 0 |z| < ), ento u a

13

CAP ITULO 1. ELEMENTOS DE LOGICA MATEMATICA

14

BIBLIOGRAFIA

Bibliograa

[1] F. Dias Agudo. Introduao a Algebra Linear e Geometria Analtica. c ` 1964. [2] R. Godement. Cours dAlg`bre. e [3] M. Monroe. Introductory Real Analysis. [4] J. Santos Guerreiro. Curso de Matemticas Gerais. Livraria Escolar a Editora, 1973. [5] J. Sebastio e Silva. Compndio de Matemtica, volume 1, 1 o tomo. a e a Gabinete de Estudos e Planeamento, Ministrio da Educaao, 1970. e c [6] R. Stoll. Sets, Logic and Axiomatic Theories. [7] P. Suppes. Introduction to Logic.

15

BIBLIOGRAFIA

16

Cap tulo 2

Elementos de teoria dos conjuntos.

As ideias essenciais da teoria dos conjuntos foram introduzidas por G. Cantor, na parte nal do Sculo XIX. Desde ento a teoria dos conjuntos no e a a deixou de desenvolver-se intensamente, de tal forma que hoje pode dizer-se que todos os ramos da Matemtica foram profundamente inuenciados e a enriquecidos por essa teoria. Procuraremos neste Cap tulo introduzir algumas das ideias bsicas da teoria dos conjuntos, evitando no entanto (mesmo a com eventual preju de rigor) uma formulaao demasiada abstracta, que zo c julgamos imcompat com a formaao mdia dos alunos que frequentam o vel c e curso. Alis, o estudo desta teoria poder ser aprofundado pelos alunos que a a o desejarem, por meio de alguns dos trabalhos mencionados na Bibliograa.

2.1

Conjuntos. Operaoes fundamentais. c

A noao de conjunto uma das nooes primitivas da Matemtica Moderna, c e c a isto , um dos conceitos adoptados como ponto de partida e que servem de e base para a deniao dos outros conceitos introduzidos no desenvolvimento c da teoria. Intuitivamente, um conjunto encarado como uma colecao de e c objectos de natureza qualquer, os quais se dizem elementos do conjunto. Representa-se simbolicamente por x X a proposiao x um elemento c e 1 . A negaao desta do conjunto X que tambm se l x pertence a X e e c proposiao escreve-se x X. Assim, so verdadeiras as proposioes: c / a c 2 N, 2 N, / N. /

Para designar o conjunto que tem a, b e c por unicos elementos usa-se correntemente o s mbolo {a, b, c}. Da mesma forma, o conjunto dos n meros u naturais menores do que 5 pode ser designado por {1, 2, 3, 4}, etc. Frequentemente, um conjunto denido por uma certa condiao, p(x): os elementos e c do conjunto so ento precisamente os objectos que convertem p(x) numa a aEm estruturaoes rigorosas da teoria dos conjuntos, a noao expressa pelo sinal c c tambm adoptada como noao primitiva da teoria. e e c1

17

CAP ITULO 2. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS. proposiao verdadeira. Em tal hiptese, recorre-se, para designar o conc o junto, ao s mbolo {x : p(x)}, que pode ler-se conjunto dos x que vericam a condiao p(x) ou conjunto dos x tais que p(x). Assim, o conjunto dos c naturais menores do que 5 poderia tambm ser designado de qualquer das e formas seguintes: {x : x N x < 5}, {x : x = 1 x = 2 x = 3 x = 4}.

Sendo A e B dois conjuntos, diz-se que A est contido em B ou que A a e uma parte ou um subconjunto de B sse todos os elementos de A pertencem tambm a B, isto , sse e e x (x A = x B). Para armar que A est contido em B escreve-se A B e para o negar, a A B. Nestas condioes a proposiao A B equivalente a c c e x (x A x B). / Nota. Em vez de x (x A x B) pode tambm escrever-se xA x / e / B (existe um x pertencente a A que no pertence a B); analogamente, a a expresso x (x A = x B), pode abreviar-se para xA x B (todo o x a pertencente a A pertence a B). Esta simplicaao de notaoes, que usaremos c c na sequncia em casos anlogos , por vezes, de grande comodidade. e a e Com o mesmo signicado de A B tambm usual escrever-se B A, e e e dizer-se que B contm A ou um sobreconjunto de A. Convm notar que e e e o facto de se vericar a relaao A B no exclui a possibilidade de se ter c a tambm B A; quando estas duas relaoes so conjuntamente vericadas e c a os conjuntos A e B tm precisamente os mesmos elementos e diz-se ento e a que so iguais (ou que so o mesmo conjunto), podendo escrever-se a a A = B. Quando se tem A B, mas no A = B, diz-se que A uma parte estrita a e ou uma parte prpria de B. o Chama-se conjunto singular a qualquer conjunto com um s elemento; o o conjunto singular que tem a por unico elemento habitualmente repre e sentado por {a}. Convm notar que neste caso, seria incorrecto escrever e a = {a}: um objecto e o conjunto que o tem por unico elemento no so, a a de forma alguma, o mesmo objecto. Assim, por exemplo, enquanto a proposiao 1 {1} obviamente verdadeira, as proposioes c e c {1} 1, {1} {1}

so ambas falsas. Uma condiao imposs a c vel isto , que no seja verie a cada por nenhum objecto dene tambm um conjunto, que se chama e 18

2.1. CONJUNTOS. OPERACOES FUNDAMENTAIS. conjunto vazio e se designa usualmente por . Trata-se, evidentemente, de um conjunto sem elemento algum. Tem-se assim, por exemplo: = {x : x = x}. Dados dois conjuntos, A e B, a intersecao de A com B, designada por c AB, o conjunto formado pelos elementos comuns a A e a B; a reunio de e a A com B o conjunto AB, formado por todos os elementos que pertencem e a um, pelo menos, dos conjuntos A e B. Simbolicamente: A B = {x : x A x B},

A B = {x : x A x B}.

Se A B = , isto , se A e B no tm elementos comuns, diz-se que so e a e a conjuntos disjuntos. Chama-se diferena dos conjuntos A e B, ou complementar de B em A, c ao conjunto A \ B formado pelos elementos de A que no pertencem a B: a A \ B = {x : x A x B}. / E evidente que se tem A \ B = sse A B. No estudo de diversas questes sucede, por vezes, poder xar-se de in um conjunto U, tal que o cio todos os conjuntos que interessa considerar no desenvolvimento da teoria so subconjuntos de U. Quando est assim xado um conjunto universal, a a e usual chamar apenas complementar de um dado conjunto A (tal que A U evidentemente!) ao conjunto U \ A, que ento se designa de preferncia pelo a e s mbolo C(A). Pode tambm escrever-se, nessa hiptese (e s nessa): e o o C(A) = {x : x A}. /

Exerc cios1. Mostre que, quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, se tem A A e A B B C = A C. 2. Mostre que se tem {x : p(x)} {x : q(x)} e {x : p(x)} = {x : q(x)} sse p(x) equivalente a q(x). e sse p(x) implica (formalmente) q(x)

3. Recorrendo a equivalncia das proposioes A B e x (x A x B), ` e c / mostre que o conjunto vazio est contido em qualquer conjunto. a 19

CAP ITULO 2. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS. 4. Indique quais das proposioes seguintes so verdadeiras: c a 2 {1, 2}, , 1 {1}, 1 {2, 3}, {1} {1, 2, 3}, 2 {1, 2, 3}

{1} {1, {2, 3}},

= {x : x N x = x + 1}.

5. Quantos elementos tm os conjuntos seguintes: e , {}, {, {}}, {{}}?

Indique algumas proposioes verdadeiras que exprimam relaoes de c c incluso (isto , da forma X Y ) e relaoes de pertena (X Y ) a e c c entre dois dos conjuntos dados. 6. Indique dois conjuntos A e B para os quais seja verdadeira a proposiao c A B A B. 7. Sendo A um conjunto qualquer, chama-se conjunto das partes de A e designa-se por P(A) o conjunto cujos elementos so, precisamente, a todos os subconjuntos de A. Por exemplo, se A = {1, 2} e P(A) = {, {1}, {2}, A} a) Quantos elementos tm os conjuntos e P(), P(P())? b) Verique que as relaoes x X e {x} P(X) so equivalentes. c a c) Prove, por induao, que, sendo A um conjunto com n elementos, c o n mero de elementos de P(A) 2n . u e B = {x : x N x 2}, C = {x : x N x 6}

8. Sendo A = {1},

e designando em geral por Mn e Dn , respectivamente, o conjunto dos m ltiplos e o conjunto dos divisores do n mero natural n, determine u u os conjuntos A B, 9. M2 D12 , A B, N \ A, B C, (N \ D12 ) (N \ D17 ). B C, A M2 ,

a) Interprete geometricamente (como subconjuntos de R) os seguintes conjuntos: C = {x : |x a| < }, A = {x : |x| < 1}, B = {x : |x| < 0}, D = {x : |x| > 0},

E = {x : |x| > 1},

F = {x : (x a)(x b) < 0}.

20

2.2. PARES ORDENADOS. SEQUENCIAS. PRODUTO CARTESIANO. RELACOES. b) Determine A C, A D, A D, E F . 10. a) Interprete geometricamente, como subconjuntos do plano R 2 , os seguintes: A = {(x, y) : x2 + y 2 1}, C = {(x, y) : x < y}, F = {(x, y) : |x| + |y| 1}, 1 2 D = {(x, y) : xy 0}, B= (x, y) : x > ,

E = {(x, y) : x > 0 y > sen x},

G = {(x, y) : max(|x|, |y|) < 1}.

b) Recorrendo a interpretaao geomtrica, determine A D, C(B) ` c e E, B C D, A F , A G, C(A) F . 11. Verique que qualquer das condioes seguintes equivalente a A B: c e A B = A, AB =B

e, suposto xado um conjunto universal, U: C(B) C(A), A C(B) = , C(A) B = U.

12. Um conjunto X = {a, b, . . .} e duas operaoes designadas, por exemplo, c pelos s mbolos e , constituem uma algebra de Boole sse forem vericados os seguintes axiomas: 1) a, b X = a b X a b X;

3) a b = b a, a b = b a (comutatividade);

2) (a b) c = a (b c), a (b c) = (a b) c (associatividade); 4) a (b c) = (a b) (a c), a (b c) = (a b) (a c) (distributividade); 5) existem em X dois elementos, que designaremos por 0 e 1, tais que, para todo o a X, a 0 = a, a 1 = a; 6) para todo o a X existe a X tal que a a = 1, a a = 0. Prove que, sendo A um conjunto arbitrio, o conjunto P(A) e as a operaoes de reunio e intersecao de conjuntos, constituem uma algebra c a c de Boole. Quais so os elementos 0 e 1 dessa algebra? a

2.2

Pares ordenados. Sequncias. Produto cartesiano. Relaoes. e c

Observemos em primeiro lugar que, sendo a e b dois objectos quaisquer, se tem, evidentemente {a, b} = {b, a}. 21

ITULO 2. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS. CAP Na realidade, segundo a deniao atrs indicada, considera-se que dois conc a juntos so iguais sse tiverem os mesmos elementos, sem que haja que atena der a quaisquer outras circunstncias. Em contrapartida, na Geometria a Anal tica plana, se a e b so n meros reais, as notaoes (a, b) e (b, a) referema u c se a dois pontos distintos (a no ser que a = b). Por exemplo, os pares (2, 5) a e (5, 2) no correspondem, num dado referencial, ao mesmo ponto do plano. a Em casos como este costume dizer que se trata de pares ordenados. 2 De e uma forma geral, sendo a e b objectos quaisquer, designaremos por (a, b) o par ordenado que tem a por primeira coordenada (ou primeira projecao) c e b por segunda coordenada (ou segunda projecao). Assim, os s c mbolos {a, b} e (a, b) designam objectos matemticos distintos (pode dizer-se que a o primeiro um par , se fr a = b; o segundo, em qualquer hiptese, um e o o e par ordenado. Em particular, deve notar-se que dois pares ordenados s so o a considerados iguais se forem iguais tanto as suas primeiras como as suas segundas coordenadas, isto : e (a, b) = (c, d) a = c b = d. De uma forma anloga, sendo a, b e c trs objectos quaisquer, designaa e remos pelo s mbolo (a, b, c) o terno ordenado que tem a por primeira coordenada, b por segunda e c por terceira. A noao de terno ordenado pode c ser denida a partir da de par ordenado: basta dizer que o termo ordenado (a, b, c) precisamente o par ordenado ((a, b), c), que tem (a, b) por primeira e coordenada e c por segunda. Ter-se- assim, por deniao: a c (a, b, c) = ((a, b), c). Desta deniao resulta facilmente que a igualdade (a, b, c) = (a , b , c ) equic vale a conjunao das trs igualdades a = a , b = b , c = c . As nooes de par ` c e c ordenado e terno ordenado podem generalizar-se facilmente: sendo n um n mero natural maior do que 13 e a1 , a2 , . . . an objectos quaisquer, designau remos pelo s mbolo (a1 , a2 , . . . an ) a sequncia cuja primeira coordenada e e a1 , . . . e cuja na coordenada an . A noao de sequncia pode ser denida e c e por induao: para n = 2, a sequncia de primeira coordenada a 1 e segunda c e2 Pode dar-se uma deniao de par ordenado, usando apenas nooes j introduzidas. c c a Uma deniao poss (que indicamos apenas a t c vel tulo de curiosidade) a que se exprime e pela igualdade seguinte: (a, b) = {{a}, {a, b}}.

Contudo, esta deniao, embora permita efectuar as deduoes lgicas em que intervem a c c o noao em causa, parecer certamente demasiado abstracta - por excessivamente afastada c a da noao intuitiva de par ordenado - a quem inicia o estudo da teoria dos conjuntos. c Parece-nos por isso prefer no denir aqui a noao de par ordenado, a qual poder ser vel a c a encarada como noao primitiva. c 3 No caso n = 1, a sequncia (a1 ), de primeira (e unica) coordenada a1 geralmente e e identicada com o prprio objecto a1 . o

22

2.2. PARES ORDENADOS. SEQUENCIAS. PRODUTO CARTESIANO. RELACOES. coordenada a2 precisamente o par ordenado (a1 , a2 ); para n > 2 pe-se, e o por deniao: c (a1 , a2 , . . . , an ) = ((a1 , . . . , an1 ), an ). Reconhece-se sem diculdade que a igualdade de sequncias: e (a1 , a2 , . . . , an ) = (b1 , b2 , . . . , bn ) equivalente a conjunao das n igualdades e ` c a1 = b 1 , a 2 = b 2 , . . . , a n = b n . Sejam agora A e B dois conjuntos quaisquer. Chama-se produto cartesiano de A e B, e designa-se pelo s mbolo A B, o conjunto de todos os pares ordenados (a, b) tais que a A e b B. Simbolicamente: A B = {(x, y) : x A y B}. Se, em particular, A = B, o produto cartesiano A B (ou A A) e chama-se quadrado cartesiano de A e designa-se usualmente por A 2 .

Exemplos1. Sendo A = {1, 2, 3} e B = {1, 4}, tem-se A B = {(1, 1), (1, 4), (2, 1), (2, 4), (3, 1), (3, 4)}, B B = {(1, 1), (1, 4), (4, 1), (4, 4)}. B A = {(1, 1), (4, 1), (1, 2), (4, 2), (1, 3), (4, 3)},

2. Sendo R o conjunto dos reais, o conjunto R 2 formado por todos e os pares ordenados (x, y), tais que x, y R (isto , x R e y R). e Cada um de tais pares pode, como sabemos, ser identicado com um ponto de um plano no qual tenha sido institu um referencial; esse do e o ponto de vista adoptado na Geometria Anal tica plana. Numa outra ordem de ideias, o par (x, y) pode tambm identicar-se com um e n mero complexo, precisamente o complexo que, mais correntemente, u designado por x + yi. e Sendo A, B e C trs conjuntos quaisquer, chama-se produto cartesiano de e A, B e C e designa-se pelo s mbolo A B C o conjunto de todos os ternos ordenados (x, y, z) tais que x A, y B e z C. No caso particular de ser A = B = C o conjunto A B C chama-se cubo cartesiano de A e designase por A3 . Mais geralmente, sendo A1 , A2 , . . . , An conjuntos quaisquer, o produto cartesiano de A1 , A2 , . . . , An o conjunto A1 A2 . . .An , formado e 23

ITULO 2. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS. CAP por todas as sequncias (x1 , x2 , . . . , xn ) tais que x1 A1 , x2 A2 , . . . , xn e An : A1 A2 . . . An = {(x1 , x2 , . . . , xn ) : x1 A1 . . . xn An }. Se fr A1 = A2 = . . . = An = A, o conjunto A1 A2 . . . An a na o e potncia cartesiana de A, habitualmente designada por A n . e

Exemplos1. Sendo n um natural qualquer, a na potncia cartesiana do conjunto dos e n , o conjunto de todas as sequncias de n n meros reais; so reais, R e e u a 1 1 elementos de Rn , por exemplo, as sequncias (1, 2 , . . . , n ), (0, 0 . . . , 0) e (com n zeros). 2. Institu um referencial no espao ordinrio, cada ponto P deste do c a espao determina um terno ordenado de n meros reais (a abcissa x, a c u ordenada y e a cota z do ponto P , no referencial considerado); reciprocamente, a cada terno ordenado de n meros reais corresponde um u ponto do espao ordinrio. Nesta ordem de ideias, tal como o conjunto c a

z P = (x, y, z)

y PSfrag replacements x

R pode ser identicado com o conjunto dos pontos de uma recta e o conjunto R2 com o conjunto dos pontos de um plano, R 3 pode ser interpretado como o conjunto dos pontos do espao ordinrio (xado c a um referencial). Para n > 3, no h possibilidade de interpretaoes a a c geomtricas intuitivas deste tipo. e Em Geometria Anal tica Plana faz-se corresponder a condiao p(x, y) ` c onde x e y so variveis reais um subconjunto A de pontos do plano. a a 24

2.2. PARES ORDENADOS. SEQUENCIAS. PRODUTO CARTESIANO. RELACOES. Essa correspondncia estabelecida com base na seguinte convenao: para e e c que um ponto, (x0 , y0 ), pertena ao conjunto A necessrio e suciente c e a que p(x0 , y0 ) seja uma proposiao verdadeira; para exprimir esta ideia, pode c tambm escrever-se, como sabemos: e A = {(x, y) : p(x, y)}. Assim, por exemplo, as condioes y = 2x e y > x que exprimem ` c certas relaoes entre x e y : y o dobro de x, y maior do que x c e e correspondem respectivamente, uma determinada recta e um determinado semiplano (observe-se, porm, que a mesma recta e o mesmo semiplano e corresponderiam tambm, por exemplo, as condioes 10 y = 100x e y 3 > x3 , e ` c equivalentes a y = 2x e y > x, respectivamente). Em sentido inverso, se for xado um conjunto de pontos do plano, e tambm natural pensar que car assim denida uma relaao entre x e e a c y: por exemplo, a bissectriz dos quadrantes pares isto , ao conjunto ` e de todos os pontos (x, y) tais que x + y = 0 corresponderia a relaao de c simetria (y o simtrico de x); a circunferncia de centro na origem e e e ` e raio 1, caria associada uma relaao que poderia exprimir-se dizendo que a c soma dos quadrados de x e y igual a unidade, etc. e ` Note-se que, nas consideraoes precedentes, o termo relaao (que no c c a foi ainda denido) tem estado a ser utilizado na sua acepao intuitiva; temc se apenas em vista sugerir que a cada relaao das que foram consideradas, c pode associar-se um conjunto de pares ordenados de tal forma que, conhecido este conjunto, poder dizer-se, em certo sentido, que car determinada a a a relaao considerada. c Um outro exemplo: seja H o conjunto dos homens e M o conjunto das mulheres, residentes em determinada localidade. Uma relaao entre M e c H (ou entre elementos de M e elementos de H) a que se exprime pela e condiao y o marido de x (com x M e y H). c e Neste caso, para quem dispusesse de uma lista de todos os casais (x, y), seria fcil, escolhidos arbitrariamente dois elementos, um de M e outro de a H, vericar se eles constituiam ou no um casal, isto , se estavam ou no a e a na relaao considerada. Uma vez mais, o conhecimento de um conjunto de c pares ordenados equivaleria ao conhecimento da relaao em causa. c Consideremos agora a condiao X o ponto mdio do segmento de exc e e tremos Y e Z (onde pode supor-se que o dom nio de qualquer das variveis a X, Y e Z o espao ordinrio). Esta condiao exprime uma relaao que e c a c c pode ser ou no ser vericada por trs pontos X, Y e Z arbitrariamente a e escolhidos (e considerados por certa ordem); do ponto de vista que temos vindo a desenvolver, a essa relaao corresponde um conjunto, cujos elemenc tos so todos os ternos ordenados (U, V, W ) tais que U , V , W so pontos a a do espao ordinrio e U o ponto mdio do segmento que tem V e W por c a e e extremos. Trata-se, desta vez, de uma relaao que faz intervir trs objectos c e (relaao ternria). c a 25

ITULO 2. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS. CAP Analogamente, a condiao os pontos P , Q, R e S so complanares cor` c a responde um certo conjunto de quaternos ordenados (relaao quaternria), c a etc. Os exemplos anteriores contribuiro talvez para tornar menos articia ais as denioes seguintes, que enunciaremos nos termos abstractos caracc ter sticos da teoria dos conjuntos: Chama-se relaao binria a qualquer conjunto de pares ordenados. Mais c a explicitamente: diz-se que um conjunto A uma relaao binria sse cada e c a um dos elementos que o constituem um par ordenado, isto , sse: e e zA x,y z = (x, y). Se G uma relaao binria, em vez de dizer que o par (a, b) pertence a e c a G, diz-se tambm que o elemento a est na relaao G com o elemento b e e a c escreve-se, por vezes, a G b. Consideremos, por exemplo, a relaao binria entre n meros reais que c a u habitualmente se representa pelo sinal 1); no 2 o caso, a relaao constitu ` c c e da o, a por uma unica sequncia: a sequncia nula, formada por n zeros; no 3 e e relaao no contem sequncia alguma (relaao vazia). c a e c No que vai seguir-se, as relaoes que tero maior interesse para ns sero c a o a as relaoes binrias; alis, nesta parte do curso, quase nunca nos referiremos c a a a outras. Convencionamos por isso que o termo relaao dever de aqui c a em diante ser interpretado como abreviatura da expresso relaao binria a c a (salvo algum caso em que seja evidente que tal interpretaao inaceitvel). c e a Sendo A e B dois conjuntos, qualquer subconjunto do produto cartesiano A B , evidentemente, um conjunto de pares ordenados, e portanto uma e relaao: o que por vezes se chama uma relaao entre os conjuntos A e c e c 26

2.2. PARES ORDENADOS. SEQUENCIAS. PRODUTO CARTESIANO. RELACOES. B. Se, em particular, for A = B, poder dizer-se que se trata de uma a relaao no conjunto A. E nesta acepao que a usual relaao de maior c c c pode considerar-se como uma relaao no conjunto dos reais, a de divisor c como uma relaao no conjunto dos naturais, a de irmo, no conjunto das c a pessoas humanas, etc. Sendo G uma relaao, chama-se domnio de G ao conjunto de todos c os elementos x para os quais existe (pelo menos) um y tal que x G y e contradomnio de G ao conjunto dos y para os quais existe (pelo menos) um x tal que x G y; o dom nio e o contradom nio de G podem designar-se, respectivamente, por DG e CG : DG = {x : y x G y}, CG = {y : x x G y}.

Assim, o dom da relaao determinada pela condiao y o marido de x, nio c c e considerada num dos exemplos anteriores, o subconjunto de M formado e pelas mulheres casadas (cujo marido resida tambm na localidade considee rada); o contradom nio a parte de H formada pelos homens casados com e mulheres do conjunto M . A relaao determinada no conjunto dos reais pela c condiao x2 + y 2 = 1 tem por dom c nio e por contradom nio o conjunto dos reais compreendidos entre 1 e 1 (incluindo estes dois n meros). A relaao u c de pertena (entre um conjunto qualquer A e o conjunto P(A), dos seus c subconjuntos) formada por todos os pares (x, X) tais que x A, X A e x X, tem por dom nio o conjunto A e por contradom nio P(A) \ {}. Sendo G uma relaao, chama-se inversa ou recproca de G e representac se por G1 a relaao que se obtm trocando as coordenadas em cada par c e (x, y) G, isto : e G1 = {(y, x) : (x, y) G}. Tem-se, portanto, y G1 x x G y. Por exemplo, a inversa da relaao de maior (y > x) a relaao de menor c e c (y < x) e a inversa da relaao denida pela condiao x 2 +y 2 = 1 essa mesma c c e relaao. E evidente que, sendo G uma relaao arbitrria, c c a DG1 = CG , e ainda (G1 )1 = G. CG1 = DG

Exerc cios1. Prove que A (B C) = (A B) (A C), A B = A = B = . 27

A (B C) = (A B) (A C),

ITULO 2. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS. CAP 2. Prove, por induao, que se A tem m elementos e B tem n elementos, c (m, n N), A B tem mn elementos. 3. Sendo A = , B = {0, 1}, C = {1}, D = {0, 2, 4, 6}, forme os produtos cartesianos: B C D, B 3 , A B D, C 5 e D 2 . 4. a) Verique que a relaao c G = {(0, {0}), (0, {0, 1}), (1, {1}), (1, {0, 1})} precisamente a usual relaao de pertena entre elementos do e c c conjunto A = {0, 1} e subconjuntos deste mesmo conjunto.

b) Dena, de forma anloga, a relaao de igualdade, entre elementos a c de A e as relaoes de igualdade e de incluso, entre subconjuntos c a de A. 5. Determine os dom nios, os contradom nios e as relaoes inversas das c relaoes: c a) de igualdade b) de divisor c) de incluso a (em N), (em N), (em P(A), sendo A um conjunto arbitrrio). a

6. O mesmo para as relaoes em R, formadas por todos os pares (x, y) c cujas coordenadas vericam as condioes seguintes: c x y, x = 3y, x2 = y, x = sen y.

2.3

Funoes. Aplicaoes. Inverso. Composio. c c a ca

Introduziremos agora a seguinte deniao fundamental: c Uma relaao F diz-se uma funao sse no contm dois pares distintos c c a e com igual primeira coordenada; assim, dizer que F uma funao equivale a e c dizer que, quaisquer que sejam x, y e z (x, y) F (x, z) F = y = z. A relaao em R, determinada pela condiao x 2 + y 2 = 1 no uma c c a e funao: pertencem-lhe, por exemplo, os pares (0, 1) e (0, 1). No exemplo c dos casais, a relaao considerada uma funao (exclu a hiptese de c e c da o poliandria). A lista telefnica de uma localidade dene evidentemente uma o relaao, associando a cada assinante o seu - ou os seus - n meros de telec u fone. Tal relaao s ser uma funao se no houver na localidade assinantes c o a c a que a tenham mais de um n mero de telefone. Intuitivamente, uma funao u c pode ser imaginada como uma tabela, com duas colunas, gurando em cada ` linha um par (x, y). A coluna dos x corresponder o dom a nio da funao, c 28

2.3. FUNCOES. APLICACOES. INVERSAO. COMPOSICAO. a coluna dos y o contradom ` nio. Evidentemente, tratando-se de facto de uma funao, se gurarem, em duas linhas, os pares (x, y) e (x, z), ter-se- c a necessariamente y = z. Em vez de dizer que uma funao F tem por dom c nio o conjunto A, diz-se tambm que F uma funao denida em A. Seja F e e c uma funao e x um elemento qualquer do seu dom c nio; chama-se valor de F em x (ou valor de F no ponto x) o ( nico) objecto y tal que (x, y) F . O u valor de F no ponto x habitualmente designado por F (x), podendo ento e a escrever-se y = F (x) em lugar de (x, y) F . Quando se pretende denir uma funao geralmente prefer c e vel, em vez de indicar explicitamente os pares que a constituem, descrever o seu dom nio e, para cada valor de x nesse dom nio, indicar como pode obter-se o correspondente valor da funao. Por c exemplo, o conjunto de todos os pares (x, x 2 ), com x R evidentemente e uma funao, f . Para descrev-la, poder dizer-se: f a funao denida em c e a e c 2 (x R). R tal que f (x) = x Sendo A e B dois conjuntos quaisquer, designa-se por aplicaao de A em c B qualquer funao cujo dom c nio seja A e cujo contradom nio seja uma parte de B 4 . Para indicar que f uma aplicaao de A em B pode escrever-se e c f : A B. Evidentemente, sempre que f seja uma aplicaao de A em B, c ter-se-, por deniao, a c Df = A, Cf B.

No caso particular de ser Cf = B, diz-se que a aplicaao f sobrejectiva c e (ou que f uma sobrejecao) de A em B; dizer que f : A B uma e c e sobrejecao equivale portanto a armar que verdadeira a proposiao c e c yB xA y = f (x) Por outro lado, uma aplicaao f : A B diz-se injectiva (ou uma c injecao) sse, para cada y B, existe quando muito um x A tal que c y = f (x); doutra forma, dizer que f injectiva equivale a dizer que: e x ,x ou, o que o mesmo: e x ,xA A

x = x = f (x ) = f (x ),

f (x ) = f (x ) = x = x .

Diz-se ainda que f : A B bijectiva (ou que uma bijecao) sse e e c ` f injectiva e sobrejectiva. As aplicaoes bijectivas de A em B chama-se e c tambm correspondncias biunvocas entre A e B 5 . e e Em vez de aplicaao de A em B diz-se tambm por vezes funao denida em A e com c e c valores em B. 5 Usam-se tambm as expresses: aplicaao de A sobre B, aplicaao biun e o c c voca de A em B, a aplicaao biun c voca de A sobre B para signicar respectivamente, aplicaao c sobrejectiva, injectiva e bijectiva de A em B.4

29

ITULO 2. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS. CAP

Exemplos1. A aplicaao f : R R, tal que f (x) = x 2 (x R) no injectiva (por c a e exemplo, f (3) = f (3)), nem sobrejectiva (no existe x R tal que a f (x) = 1). 2. A aplicaao g : N N, denida por g(x) = x 2 , injectiva mas no c e a sobrejectiva (no existe x N que g(x) = 2). a 3. A aplicaao D : D {0, 1} denida por c D(x) = 0 1 se x racional, e se x irracional, e

(aplicaao por vezes chamada funao de Dirichlet) sobrejectiva mas c c e no injectiva. a 4. A aplicaao : R R, (x) = x3 uma bijecao. c e c Seja f uma aplicaao de A em B. Como qualquer relaao, f admite uma c c relaao inversa, f 1 . Em geral, porm, f 1 no uma funao. Quais sero c e a e c a 1 uma funao? A resposta fcil: ento as aplicaoes f para as quais f a c e c e a para que f 1 seja uma funao deve ter-se: c x ,xA

f (x ) = f (x ) = x = x

o que, como vimos, signica que f injectiva. Assim, a relaao inversa f 1 e c de uma aplicaao f : A B uma funao, sse f injectiva. Em tal caso, c e c e chama-se a f 1 a funao inversa ou a aplicaao inversa de f . c c Sejam A, B e C trs conjuntos, f uma aplicaao de A em B e g uma e c aplicaao de B em C. A cada x A corresponde, por meio de f , um unico c elemento y = f (x) B; por sua vez g, aplicaao de B em C, associa a esse c y um e um s z = g(y) C. Assim, aplicando, sucessivamente f e g, faz-se o corresponder a cada x A um unico elemento z = g(f (x)) C, denindo-se portanto uma aplicaao de A em C, que se chama aplicaao composta de c c f e g. Em resumo: chama-se aplicaao composta de f e g e designa-se por c g f a aplicaao de A em C denida por c (g f )(x) = g(f (x)) (x A).

Consideramos, por exemplo, as aplicaoes: c : R R, (x) = sen x, (x) = x2 . 30

: R R,

2.3. FUNCOES. APLICACOES. INVERSAO. COMPOSICAO. Tem-se: ( )(x) = ((x)) = (sen x)2 = sen2 x, ( )(x) = sen(x2 ) e tambm: e ( )(x) = sen(sen x), ( )(x) = x4 . Por outro lado, se fr o : N R, ter-se- ainda: a ( )(x) = sen x (x N) (x) = x,

( )(x) = x

(x N),

mas as composioes , no podero formar-se (notar que a comc a a posiao de duas aplicaoes f e g s foi denida na hiptese de ser f : A B c c o o e g : B C; ver, no entanto, uma nota ulterior). O exemplo anterior revela, em particular, que a composiao de aplicaoes c c no uma operaao comutativa: existindo f g e g f pode ter-se f g = a e c g f (pode tambm acontecer que uma das composioes tenha sentido e a e c a outra no ou que qualquer delas o no tenha). E fcil, porm provar que a a e a composiao de aplicaoes associativa, isto , que, sendo f : A B, c c e e g : B C e h : C D, se tem sempre h (g f ) = (h g) f. Deixaremos a demonstraao como exerc c cio. Sendo A um conjunto qualquer, chama-se aplicaao idntica em A a c e ` aplicaao : IA : A A denida por c IA (x) = x (x A). E evidente que a aplicaao IA uma bijecao e que a inversa, A1 , a c e c e prpria aplicaao IA . o c J sabemos que se : A B uma aplicaao bijectiva, a inversa 1 a e c e tambm uma bijecao (de B em A). Tem-se ento, como logo se reconhece: e c a (1 )(x) = x ( 1

)(y) = y

y B,

x A,

isto , e 1 = IA , 31 1 = IB .

ITULO 2. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS. CAP Introduziremos ainda as seguintes denioes, que nos sero necessrias c a a na sequncia: Sejam A e B dois conjuntos, f uma aplicaao de A em B e C e c um subconjunto de A. Chama-se restriao de f ao conjunto C e designa-se c por f |C a aplicaao de C em B denida por: c f |C (x) = f (x), x C.

Em particular, ter-se- evidentemente, f | A = f . a Nas mesmas condioes acima referidas, chama-se imagem ou transforc mado do conjunto C pela funao f e designa-se pelo s c mbolo f (C), o contradom nio da aplicaao f |C , isto , o conjunto dos valores f (x), que corresc e pondem a todos os elementos x C. Tem-se assim, por deniao: c f (C) = Cf |C = {y : xC y = f (x)}, sendo tambm evidente que f (A) = Cf . e Supondo ainda que f uma aplicaao de A em B, seja agora D um e c subconjunto de B; chama-se ento imagem inversa ou imagem recproca de a D por f e designa-se por f 1 (D) o conjunto de todos os elementos x A tais que f (x) D: f 1 (D) = {x A : f (x) D}. Nas condioes referidas ter-se- portanto f 1 (B) = A. c a Nota. A noao de aplicaao composta pode ser denida com maior generac c lidade do que foi feito atrs: sendo f : A B e g : C D duas aplicaoes a c (onde agora A, B, C e D so conjuntos quaisquer) chamar-se- composta a a de f com g e designar-se- ainda por g f a funao que tem por domnio o a c conjunto E = {x A : f (x) C} e tal que, para cada x E, se tem g f (x) = g(f (x)). Evidentemente, pode acontecer que o conjunto E seja vazio, caso em que g f , funao com domnio vazio, ser a chamada funao vazia ( o que se c a c e passa, por exemplo, se fr f : R R, f (x) = x 2 e g : ]0, +[ R, g(x) = o e c 1/ x). Convm observar que a maior generalidade da deniao acabada de referir , em certo sentido, apenas aparente: na realidade fcil vericar que e e a a funao g f agora denida no mais do que a composta g f | E no sentido c a e previamente considerado da restriao de f ao conjunto E com a funao g. c c No tambm difcil reconhecer que, mesmo com a deniao considerada a e e c nesta Nota, a composiao de funoes ainda uma operaao associativa. c c e c

Exerc cios1. Das relaoes consideradas nos exerc c cios 4, 5 e 6 da secao 2.2, indique: c 32

2.3. FUNCOES. APLICACOES. INVERSAO. COMPOSICAO. a) as que so funoes; a c b) as que tm por inversa uma funao. e c 2. D exemplos de aplicaoes de R em R e de N em N que sejam: e c a) bijectivas, b) injectivas mas no sobrejectivas, a c) sobrejectivas mas no injectivas, a d) no injectivas nem sobrejectivas. a 3. Classique, numa das quatro classes consideradas nas al neas do exerc 2, as seguintes funoes: cio c f : R R, F : N N, g : N R, f (x) = x, g(x) = x1 , F (x) = x + 1, G(x) = 1 + |C(x)|,

G : R N,

onde C(x) designe o maior n mero inteiro inferior ou igual a x. u 4. Supondo A B, chama-se aplicaao cannica de A em B a aplicaao c o ` c I : A B denida por I(x) = x (x A). Prove que I uma e aplicaao injectiva. Em que caso bijectiva? c e 5. Prove que se f : A B injectiva, f 1 : Cf A uma bijecao e e c e que se g : A B uma bijecao, g 1 : B A tambm uma e c e e bijecao. c 6. Dadas as aplicaoes de R em si mesmo denidas por c f (x) = x3 , g(x) = x + 1, h(x) = |x|,

determine f g, g f , f h, h f , g h, h g, (f g) h, f (g h), f 1 g, f 1 g 1 , g 1 f 1 e (f g)1 . 7. Sendo f , g e h as aplicaoes do exerc 6 e c cio C = {1, 0, 1}, D = {x : x R 2 x < 3},

determine os conjuntos f (C), g(C), h(C), f (D), g(D), h(D), f (N), g(N), h(N), f (R), g(R) e h(R). 8. Sendo f : A B, verique que f IA = IB f = f . 9. Prove que a composiao de aplicaoes uma operaao associativa. c c e c 33

ITULO 2. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS. CAP 10. Recordando que uma funao foi denida como sendo um conjunto de c pares ordenados (com certa propriedade especial) e tendo em conta a deniao de igualdade de conjuntos, prove que duas funoes f e g so c c a iguais sse (Df = Dg ) (xDf f (x) = g(x)). 11. Prove que se f : A B e g : B C so injectivas (resp. sobrejectivas) a g f injectiva (resp. sobrejectiva). e 12. Prove que f : A B uma bijecao sse existe g : B A tal que e c f g = IB e g f = IA . 13. Sendo A e B dois conjuntos, diz-se que A equipotente a B e escrevee se A B sse existe uma bijecao f : A B. Prove que, quaisquer c que sejam A, B e C, se tem: a) A A.

b) A B B A.

c) A B B C = A C.

2.4

Relaoes de equivalncia. Relaoes de ordem. c e c

Seja A um conjunto no vazio. Uma relaao G no conjunto A, diz-se uma a c relaao de equivalncia sse forem vericadas as propriedades seguintes: c e xA x G x (reexividade), (simetria), (transitividade).

x,y,zA x G y y G z = x G z

x,yA x G y = y G x

So relaoes de equivalncia, por exemplo, a relaao de igualdade (num a c e c conjunto qualquer), a relaao de paralelismo (no conjunto das rectas do c espao, e admitindo que se considera a coincidncia como caso particular do c e paralelismo), a relaao de semelhana (entre tringulos, por exemplo), a c c a relaao de equipotncia, entre subconjuntos de um conjunto arbitrio (cf. c e a exerc cio 13), etc. No so relaoes de equivalncia: a relaao de perpena a c e c dicularidade, entre rectas (no reexiva, nem transitiva), as relaoes de a e c divisor entre n meros naturais e de contido entre conjuntos (no so u a a simtricas), a relaao de maior (no reexiva, nem simtrica). e c a e e Fixada uma relaao de equivalncia G num conjunto A, diz-se que dois c e elementos a, b de A so equivalentes (segundo G) sse a G b. Nas mesmas a condioes, sendo c um elemento qualquer de A, chama-se classe de equic valncia de c (segundo G) e designa-se usualmente por G[c], ou apenas [c], e o conjunto de todos os elementos de A que so equivalentes a c: a x [c] x G c. 34

2.4. RELACOES DE EQUIVALENCIA. RELACOES DE ORDEM. No caso da relaao de paralelismo, a classe de equivalncia de uma recta c e o conjunto de todas as rectas que tm a mesma direcao do que a recta e e c dada; para a relaao de igualdade num conjunto X, tem-se para qualquer c elemento c X, [c] = {c} (isto , a classe de equivalncia de c tem um unico e e elemento: o prprio c). Demonstraremos agora o seguinte: o Teorema. Seja G uma relaao de equivalncia no conjunto A, a e b elec e mentos quaisquer de A. Tem-se ento: a 1) a [a]. 2) a G b [a] = [b]. 3) (a G b) [a] [b] = . Demonstraao: c 1) Para provar que a pertence a sua prpria classe de equivalncia, basta ` o e atender a deniao desta classe e ao facto de que, por hiptese, a ` c o e equivalente a si prprio (visto que a relaao G reexiva). Observe-se o c e que de aqui resulta, em particular, que nenhuma classe de equivalncia e e vazia. 2) Para provar que, se a e b so equivalentes tm a mesma classe de equia e valncia, suponha-se, de facto, a G b e observe-se que, se c um elemento e e qualquer de [a] tem-se (por deniao de [a]) c G a e portanto tambm, c e pela transitividade de G, c G b, isto c [b]. Fica assim provado que e [a] [b] e, como poderia provar-se da mesma forma que [b] [a], pode concluir-se que [a] = [b]. Reciprocamente, se [a] = [b], tem-se, por (1), a [b] e portanto a G b. 3) Para reconhecer que as classes de equivalncia de dois elementos no e a equivalentes so disjuntas ou, o que o mesmo que, se [a] [b] = a e , se tem necessariamente, a G b basta notar que, sendo c [a] [b], ter-se- c G a (visto que c [a]) e c G b (visto que c [b]). Logo, a atendendo a simetria de G, ter-se- tambm a G c e c G b e nalmente, ` a e pela transitividade, a G b. Em sentido inverso observe-se que, por (2), a G b = [a] = [b] e portanto, como uma classe de equivalncia no pode e a ser vazia, [a] [b] = . Introduziremos ainda a seguinte deniao: c Sendo G uma relaao de equivalncia num conjunto A, chama-se conc e junto quociente de A (segundo G) e designa-se por A/G o conjunto formado pelas classes de equivalncia (segundo G) de todos os elementos de A. Por e exemplo, no caso de G ser a relaao de igualdade no conjunto A, A/G o c e conjunto de todas as partes de A que tm apenas um elemento. Se G for e 35

ITULO 2. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS. CAP a relaao de equivalncia, no conjunto das pessoas (no aptridas), denida c e a a por: x G y x tem a mesma nacionalidade que y, cada uma das classes de equivalncia segundo G ser formada por todas e a as pessoas que tm uma determinada nacionalidade e o conjunto quociente e corresponder, de certo modo, ao conjunto de todas as nacionalidades. a Nota. Como exemplo particularmente signicativo da utilizaao da noao c c de conjunto quociente em Matemtica, indicaremos nesta nota o processo a usualmente adoptado para denir o conjunto Z dos nmeros inteiros (0, u 1, 2,. . . ) a partir do conjunto dos naturais, N, que, por agora, suporemos previamente conhecido. A deniao pode indicar-se em poucas palavras (mas c s poder ser bem compreendida se se tiver em conta a motivaao que ser o a c a indicada posteriormente): Considere-se o conjunto N2 , de todos os pares ordenados de nmeros u naturais, N2 = {(a, b) : a, b N} e, neste conjunto, a relaao de equivalncia G denida da seguinte forma: c e (a, b) G (c, d) a + d = b + c. Nestas condioes, o conjunto Z dos nmeros inteiros , por deniao, o c u e c conjunto quociente N2 /G. Qual a ordem de ideias que pode conduzir naturalmente a esta deniao? c Para a apreender comecemos por lembrar que a consideraao do conjunto Z c e essencialmente motivada por uma insucincia do conjunto dos naturais: e o facto de nem sempre ser possvel em N a operaao de subtracao. Na c c realidade, supondo a, b N, a equaao em x: c a+x=b s tem soluao em N se fr a < b. o c o Como esta limitaao indesejvel, do ponto de vista algbrico, surge c e a e naturalmente a ideia de construir um sobreconjunto Z do conjunto N, no qual a equaao anterior j tenha soluao, quaisquer que sejam a e b. c a c Nesse sentido, observemos primeiramente que, quando a equaao consic derada tem soluao em N isto , quando a < b essa soluao unica c e c e (x = b a). Pode exprimir-se este facto dizendo que a cada par (a, b) de nmeros naturais, que verique a condiao a < b, corresponde um e um u c s natural x, que soluao da equaao considerada. Note-se, porm, que o e c c e a correspondncia assim estabelecida entre os nmeros naturais x e os pae u res ordenados (a, b) N2 , tais que a < b, no biunvoca; por exemplo, a e a qualquer dos pares (1, 5), (2, 6), (3, 7), . . . corresponde o mesmo natural, 4 (soluao comum das equaoes 1 + x = 5, 2 + x = 6, . . .). c c 36

2.4. RELACOES DE EQUIVALENCIA. RELACOES DE ORDEM. Que condiao devem ento vericar dois pares (a, b) e (c, d) com a < b c a e c < d para que lhes corresponda o mesmo natural x? Facilmente se v e que tal condiao pode ser expressa pela igualdade a + d = b + c. c Assim, se utilizarmos esta igualdade para denir uma relaao g no subc conjunto de N2 formado pelos pares com primeira coordenada inferior a ` segunda, isto , se pusermos, no referido conjunto: e (a, b) g (c, d) a + d = b + c, vericamos sem diculdade que g uma relaao de equivalncia e que as e c e classes de equivalncia determinadas por esta relaao podem pr-se em core c o respondncia biunvoca com os nmeros naturais. e u O que se passar, porm, se considerarmos a relaao de equivalncia G, a e c e denida da mesma forma, no no subconjunto de N 2 acima indicado, mas em a todo o conjunto N2 ? Alm das classes de equivalncia correspondentes aos e e nmeros naturais (todas formadas por pares em que a primeira coordenada u e menor do que a segunda) obteremos agora novas classes que, intuitivamente, poderemos supor corresponderem a nmeros de novo tipo, precisamente os u nmeros de que necessitvamos para resolver equaoes da forma a + x = b, u a c quando fr a b. o Agora, para dar uma deniao matematicamente correcta dos objectos c que constituem o novo conjunto numrico que alcanamos (por enquanto e c apenas intuitivamente) e que precisamente o conjunto dos inteiros, o mais e simples ser chamar nmero inteiro a qualquer das classes de equivalncia a u e 2 pela relaao G. Uma tal deniao parecer certamente, determinadas em N c c a a uma primeira vista, um tanto articial: claro que, na prtica, ningum a e pensar nunca, ao calcular com inteiros, que eles so certas classes de a a equivalncia de pares de nmeros naturais. e u Porm, no de clculo que agora se trata, mas sim de procurar obter e a e a uma deniao rigorosa do conjunto Z, a partir de N e utilizando exclusivac mente nooes fundamentais da teoria dos conjuntos (tais como a de produto c cartesiano e a de conjunto quociente) que, por sua vez, tenham j sido dea nidas com o indispensvel rigor. Ora para este efeito, a deniao indicada a c perfeitamente satisfatria. e o Designando por [a, b] a classe de equivalncia a que pertence o par (a, b) e com a e b naturais quaisquer diremos que esta classe corresponde a um nmero natural sse for a < b; nesta hiptese, o nmero natural corresu o u pondente ao inteiro [a, b] precisamente o nmero b a. e u Quando for a b, a classe [a, b] um inteiro que no corresponde j a e a a nenhum nmero natural. u Na prtica, cada nmero natural e o nmero inteiro correspondente a u u em princpio, objectos matemticos distintos so mesmo identicados, a a passando-se a design-los pelo mesmo smbolo. Feita essa identicaao, poa c der dizer-se que o conjunto N um subconjunto do conjunto Z. a e 37

ITULO 2. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS. CAP Vejamos como se denem as operaoes algbricas fundamentais no conc e junto Z, acabado de construir. A adiao de dois inteiros denida pela igualdade 6 : c e [a, b] + [c, d] = [a + c, b + d]. Facilmente se verica que todos os pares da forma (c, c), com c N), so equivalentes entre si e que se tem, para qualquer inteiro [a, b]: a [a, b] + [c, c] = [a, b] (atender a igualdade [a + c, b + c] = [a, b], consequncia da equivalncia dos ` e e pares (a + c, b + c) e (a, b)). Assim, [c, c] elemento neutro para a adiao: chama-se-lhe zero do cone c junto Z e usa-se, para design-lo, o smbolo 0. a Os inteiros [a, b] e [b, a], de soma igual a zero, so inteiros simtricos; a e fcil reconhecer que qualquer inteiro diferente de zero ou um nmero e a e u natural ou o simtrico de um nmero natural (o que, em particular, sugere e e u a forma usual de notaao dos inteiros: 0, 1, 2, . . . ). c No que respeita a multiplicaao de inteiros, limitar-nos-emos a indicar ` c que ela pode ser denida pela igualdade [a, b] [c, d] = [ad + bc, ac + bd], a partir da qual bastante simples (como o teria sido tambm no caso da e e adiao) deduzir as propriedades da multiplicaao de inteiros j conhecidas c c a do curso liceal. Finalmente, importante observar que pode construir-se o conjunto Q, e dos nmeros racionais, a partir do conjunto Z, por um processo inteiramente u anlogo ao que seguimos na passagem de N para Z. A ideia orientadora desta a nova ampliaao a de tornar resolvel qualquer equaao da forma c e u c ax =b com a = 0, isto , no fundo, a de tornar sempre possvel a diviso, com e a divisor diferente de zero. O conjunto Q pode ento ser denido pela forma seguinte: a Considere-se o conjunto de todos os pares (a, b) com a, b Z e a = 0, isto , o conjunto (Z \ {0}) Z que aqui representaremos abreviadamente e por W , e introduza-se em W a relaao de equivalncia S denida por c e (a, b) S (c, d) ad = bc.Observe-se que, se os pares (a, b) e (c, d) forem respectivamente equivalentes a (a , b ) e (c , d ), tambm os pares (a + c , b + d ) e (a + c, b + d) sero equivalentes, o que mostra e a que a igualdade em referncia permite realmente denir uma operaao no conjunto dos e c inteiros (isto , uma aplicaao de Z Z em Z). e c6

38

2.4. RELACOES DE EQUIVALENCIA. RELACOES DE ORDEM. O conjunto dos racionais Q , por deniao o quociente W/S. Quanto e c b as operaoes algbricas, designando por a a classe de equivalncia a que per` c e e tence o par (a, b) o que, alis, poder lanar alguma luz sobre a razo que a a c a levou a denir a relaao S pela forma indicada. . . pr-se-, por deniao: c o a c ad + bc b d + = , a c ac bd b d = . a c ac Cada nmero inteiro c ser identicado com um racional, precisau a c mente o racional 1 , passando ento a ter-se N Z Q. Tambm neste a e caso podem deduzir-se sem diculdade as propriedades operatrias j conheo a cidas, o que no faremos. a Seja A um conjunto qualquer e suponhamos xada uma relaao binria c a no conjunto A, relaao que designaremos pelo s c mbolo (que pode lerse precede). Diz-se que uma relaao de ordem parcial sse forem e c vericadas as propriedades seguintes: x,yA x x,y,zA x y = x = y y y y = (y (anti-reexividade), x) (anti-simetria), z (transitividade).

x,yA x

z = x

Se, alm destas propriedades, se tiver: e x,yA x y x=y y x (tricotomia)

a relaao c dir-se- uma relaao de ordem total, ou simplesmente uma a c relaao de ordem. Como exemplos de relaoes de ordem, registaremos: a c c relaao de < (ou a de >), no conjunto dos reais, R (ou em qualquer dos c conjuntos N, Z, Q) e a relaao determinada, no conjunto de todas as pac lavras da l ngua portuguesa, pela condiao x precede alfabeticamente y. c Como exemplos de relaoes de ordem parcial (alm dos anteriores, visto que c e qualquer relaao de ordem total tambm uma relaao de ordem parcial) c e e c indicaremos ainda a relaao de incluso estrita isto , a relaao dec a e c nida pela condiao X Y X = Y entre as partes de um conjunto c qualquer, a relaao de divisor estrito no conjunto dos inteiros 7 , a relaao c c de descendente no conjunto dos seres humanos, etc. Um conjunto A diz-se ordenado (ou totalmente ordenado), quando estiver xada uma relaao de ordem em A; da mesma forma, um conjunto c no qual se tenha xado uma relaao de ordem parcial um conjunto parcic e almente ordenado. Dada uma relaao de ordem c (total ou parcial), num7

x divisor estrito de y equivale a x divide y e x = y. e

39

ITULO 2. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS. CAP conjunto A, chama-se relaao de ordem lata associada a c denida pela forma seguinte: x y x y x = y. , a relaao c

Por exemplo, a relaao de , no conjunto dos reais a relaao de ordem c e c lata associada a relaao b a = b,

Nestas condioes, sendo a e b elementos de A tais que a b, chama-se c intervalo fechado de extremos a e b (no conjunto A) e designa-se por [a, b], o conjunto: [a, b] = {x : x A a x b} Dene-se analogamente o intervalo aberto de extremos a e b: ]a, b[ = {x : x A a < x < b} e os intervalos semifechados: [a, b[ = {x : x A a x < b}

]a, b] = {x : x A a < x b} 40

2.4. RELACOES DE EQUIVALENCIA. RELACOES DE ORDEM. Seja agora X um subconjunto qualquer de A. Diz-se que um elemento c de A um minorante de X sse e xX c x. Evidentemente, se c for um minorante de X, qualquer elemento c A tal que c c ser tambm um minorante de X. a e Diz-se que o conjunto X minorado (ou limitado inferiormente) sse X e tiver pelo menos um minorante; assim, dizer que X minorado equivale a e armar que cA xX c x. que Analogamente, chama-se majorante de X a qualquer elemento d A tal xX x d e diz-se que o conjunto X majorado (ou limitado superiormente) sse e dA xX x d. Um conjunto X A que seja minorado e majorado diz-se um conjunto limitado; portanto, X limitado sse e c,dA xX c x d. Exemplos: (considerando sempre como conjunto ordenado isto , no e lugar do conjunto A das denioes precedentes o conjunto R, com a c relaao de ordem < usual): N um conjunto minorado (qualquer n mero real c e u 1 um minorante) mas no majorado nem, portanto, limitado; o conjunto e a Q , dos racionais negativos majorado (so majorantes os reais 0) mas e a tambm no limitado; limitado o conjunto dos reais que vericam a e a e e condiao x2 < 4, que precismente o intervalo ] 2, 2[ e que tem por c e minorantes os reais 2 e por majorantes os reais 2. Dado um subconjunto X do conjunto ordenado A pode existir ou no a em X um elemento menor do que todos os outros, isto , um elemento a tal e que: 1) a X, 2) xX a x. a E fcil, porm, reconhecer que, se existir um elemento a nas condioes e c indicadas, esse elemento unico: basta observar que, se a e a vericam e as condioes (1) e (2), se tem necessariamente a a e a a , donde c resulta a = a . Um tal elemento a (quando existe) chamado o mnimo do e conjunto X e designado por min X. Dene-se de forma anloga o mximo a a de X (max X): b mximo de X sse e a 41

ITULO 2. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS. CAP 1) b X, 2) xX x b. Evidentemente, um conjunto X A pode ter ou no ter mximo. Por a a exemplo, no conjunto R, com a relaao de ordem habitual, no tm mximo c a e a nem m nimo o intervalo ]0, 1[ e os conjuntos Z, Q, R; tm m e nimo (= 1) mas no mximo, os conjuntos N, [1, 3[; tm mximo (= 5) e m a a e a nimo (= 2), os conjuntos {2, 3, 5} e [2, 5], etc. Seja de novo X um subconjunto do conjunto ordenado A, mas admitamos agora que X majorado, e designemos por V e o conjunto de todos os majorantes de X. Chama-se supremo de X (sup X) ao m nimo de V (se V no tiver m a nimo, diz-se tambm que X no tem e a supremo). Assim, o supremo de X (quando existe) o elemento s A e caracterizado pelas condioes seguintes: c 1) xX x s 2) vV s v (isto , s V, s um majorante de X), e e (no h majorantes de X menores do que s). a a

Convm observar que esta ultima condiao poderia tambm exprimir-se e c e da seguinte maneira: zA [z < s = xX z < x]. Isto , qualquer elemento de A menor do que s tambm menor de que e e e algum elemento de X (e portanto j no um majorante deste conjunto). a a e De forma anloga, suponhamos agora que X um subconjunto minorado de a e A e designemos por U o conjunto dos minorantes de X. Chama-se nmo de X (inf X) ao mximo de V , se tal mximo existir; nesta hiptese, o a a o nmo de X ser o elemento r A caracterizado por: a 1) xX r x 2) uU u r (isto , r U, r minorante de X), e e (no h minorantes de X maiores do que r), a a

podendo ainda esta ultima condiao traduzir-se por: c yA [r < y = xX x < y]. a E fcil reconhecer que um conjunto X que tenha mximo tem tambm a e supremo, tendo-se ento, precisamente, sup X = max X; a existncia do a e supremo no garante, porm, que exista mximo: o supremo de X efectia e a e vamente mximo sse pertencer ao conjunto X. Evidentemente, so vlidas a a a armaoes anlogas a respeito do m c a nimo e do nmo. Exemplos (uma vez mais em R, com a ordenaao habitual): os intervalos [1, 3], [1, 3[, ]1, 3] e ]1, 3[ c tm todos o mesmo e nmo, 1, e o mesmo supremo, 3; o nmo m e nimo apenas no caso dos dois primeiros intervalos, o supremo s mximo para oe a 42

2.4. RELACOES DE EQUIVALENCIA. RELACOES DE ORDEM. o 1o e o 3o . Finalmente, o conjunto X formado pelos inversos de todos os n meros naturais, u 1 X = x : nN x = , n tem por supremo 1 (que mximo) e por e a nmo 0 (que no m a e nimo).

Exerc cios1. Indique se gozam das propriedades: 1) reexiva, 2) simtrica, 3) trane sitiva, as relaoes formadas por todos os pares (x, y) R 2 tais que: c b) |x| = |y|, d) x < |y|, a) x y,

c) x2 + y 2 = 1, e) |x| |y|, f) x3 = y 3 ,

g) x2 + y 2 > 0, h) x4 + y 4 < 0. 2. Questo anloga a anterior, para as relaoes determinadas, no conjunto a a ` c dos seres humanos, pelas condioes: c x pai de y, x mais velho do que y, x e y tm a mesma residncia. e e e e 3. Dada uma aplicaao f : A B, seja a relaao no conjunto A c c denida pela forma seguinte: x y f (x) = f (y) Mostre que se trata de uma relaao de equivalncia. Quais so as c e a classes de equivalncia, se f fr injectiva? e o 4. Escolhido um ponto O no espao ordinrio, considere-se a relaao c a c denida por P Q existe uma recta que contem O, P e Q. onde P e Q designam pontos quaisquer do espao. Mostre que c no uma relaao de equivalncia, mas que o seria sem em vez de a e c e considerarmos todos os pontos do espao, considerssemos todos os c a pontos distintos do ponto O. Quais seriam as classes de equivalncia e correspondentes? 43

ITULO 2. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS. CAP 5. Sendo A um conjunto qualquer, chama-se partiao de A a qualquer c conjunto P de partes de A no vazias, disjuntas duas a duas e cuja a reunio seja A; a relaao , no conjunto A, denida por a ` c x y BP x B y B uma relaao de equivalncia. Qual o conjunto quociente, A/? e c e e Prove tambm que qualquer relaao de equivalncia em A determina, e c e por sua vez, uma partiao de A, formada pelas correspondentes classes c de equivalncia. e 6. Prove que, para que uma relaao binria num conjunto A seja uma c a relaao de ordem (total), necessrio e suciente que sejam satisfeitas c e a as duas propriedades seguintes: 1a transitividade, 2a sendo x e y elementos quaisquer de A, verica-se necessariamente uma e uma s das condioes: x y, x = y, y x. o c 7. No conjunto ordenado R com a ordenaao usual, verique se so majoc a rados, minorados e limitados os conjuntos considerados nos exerc cios 8 e 9 da secao 2.1 e, se poss c vel, determine mximos, m a nimos, supremos e nmos dos mesmos conjuntos. 8. Questes anlogas as do exerc o a ` cio 7, para os conjuntos de n meros u reais denidos pelas frmulas: o2 a) 1 + n , n 1 n 2

b)

,

d) (1)n n+1 , n1 e) (1 + n ) sen n , 2

1 c) 1 n ,

f)

1+(1)n . 2+(1)n+1

onde se supe que n assume todos os valores naturais. o 9. Considere como conjunto ordenado total o conjunto Q, dos racionais, com a usual relaao de