Apostila matemática e raciocínio lógico

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA

1

[email protected] / WWW.VALCLIDES.BLOGSPOT.COM

Prezado(a) Aluno(a),

Lembre-se dos motivos que o

levam a estudar para o

concurso. Faça um cronograma de

estudos e avalie constantemente

como está seu desempenho

conforme você faz exercícios e

questões de provas anteriores.

Planeje o tempo de estudo e de

descanso. Com organização,

disciplina e força de vontade é

possível conciliar estudo eficiente

com lazer e trabalho.

Procure resolver todas as questões

da apostila. Em caso de dúvida,

use o blog:

(www.valclides.blogspot.com)

ou e-mail:

([email protected]).

Lembre-se de que é necessário

acompanhar todas as aulas, pois

cada uma pode abordar conteúdos

diferentes.

Bem vindo ao Curso e sucesso em

sua caminhada!

Valclides Guerra

Professor

Matemática Prof.: Valclides Guerra

Conteúdo abordado nesta apostila:

1. Múltiplos e Divisores (M.M.C e M.D.C.);

2. Conjuntos numéricos: números Inteiros; números

Racionais; números Irracionais e números Reais;

3. Equações do 1º Grau. Sistema de Equação do 1º Grau,

Problemas do 1º Grau;

4. Razão e Proporção, Grandezas diretamente e

inversamente proporcionais, Regra de Três Simples e

Composta;

5. Porcentagem.

http://www.concursos-online.com/dicas-para-se-dar-bem-em-concurso-publicos-de-2009/

http://www.valclides.blogspot.com/

mailto:[email protected]


2


M A T E M Á T I C A

1. Múltiplos e Divisores (M.M.C e M.D.C.);

2. Conjuntos numéricos: números Inteiros; números

Racionais; números Irracionais e números Reais.

3. Equações do 1º Grau. Sistema de Equação do 1º Grau,

Problemas do 1º Grau;

4. Razão e Proporção, Grandezas diretamente e

inversamente proporcionais, Regra de Três Simples e

Composta;

5. Porcentagem.

Apresentação

atemática é uma das ciências mais aplicada em

nosso cotidiano. Se prestarmos atenção notaremos que em simples atitudes utilizamos

os nossos conhecimentos básicos de matemática, como:

olhar as horas, medir o comprimento de algum objeto,

fazer relação de distâncias entre cidades etc. Por tudo

isso, caros estudantes, a Matemática exercita nossa

mente, nos torna mais racionais. Começamos ter uma

visão: do espaço, das pessoas, dos acontecimentos em

geral, de forma mais ampliada. Portanto, caros

concurseiros, o estudo da Matemática não é uma

OBRIGAÇÃO, e sim uma NECESSIDADE.

DICA para resolver problemas

Prezados concurseiros, em concurso

público, as questões de Matemática são quase sempre constituídas por

problemas. O que faz uma boa parte

dos candidatos ter dificuldades para

entender o que, de fato, está sendo

perguntado e o que temos para

podermos garantir a resposta correta e em um curto

espaço de tempo. E para resolvermos estes problemas

devemos desenvolver:

Uma boa interpretação de texto – procure

lembrar se você já resolveu uma questão correlata e aplique o mesmo método. Primeiro, você tem de

entender o problema: Qual é a incógnita? Quais são

os dados? Quais são as condições? É possível

satisfazer as condições? Elas são suficientes para

determinar a incógnita? Ou são insuficientes? Ou

redundantes? Ou contraditórias? Faça uma figura.

Outra se necessário, introduza notação adequada.

Separe as condições em partes.

A linguagem Matemática – (construa uma

estratégia para resolução do problema): perceba se

você pode resolvê-lo de outra forma, talvez por um caminho mais curto!!! Perceba conexões entre os

dados. Talvez seja conveniente considerar

problemas auxiliares ou particulares, se uma

conexão não for achada em tempo razoável.

E claro, o conhecimento dos conteúdos

matemáticos – (execute a estratégia).

Frequentemente esta é a etapa mais fácil do

problema. Preste atenção às incógnitas e procure

perceber se será necessário fazer uso de alguma

fórmula.

REVISE – examine a solução obtida e verifique o

resultado e o argumento.

RESUMINDO:

1) Ler atentamente o problema;

2) Estabelecer qual a incógnita;

3) Montar uma equação traduzindo os dados do

problema;

4) Resolver a equação;

5) Verificar se a raiz da equação é resposta do

problema;

6) Dar a resposta do problema.

Logo, percebemos que resolver problemas depende de um grande esforço pessoal

Simbologia Matemática mais usual

Na Matemática, muitas informações são

apresentadas em forma simbólica, o que faz necessário

conhecermos alguma simbologia básica, vamos lá?

= (igual à)

(diferente de)

ou { } (conjunto vazio)

(pertence à)

(não pertence à)

(está contido)

(não está contido)

(contém)

(não contém)

(existe pelo menos um)

(não existe)

| (existe e é único)

| (tal que / tais que)

(ou)

(e)

BA (interseção dos conjuntos A e B)

BA (união dos conjuntos A e B)

(para todo, qualquer que seja)

(implica)

(implica e a recíproca é equivalente)

(donde se conclui)

M


3


A CRIAÇÃO DOS NÚMEROS

Os números foram inventados pelos homens. Mas

sua criação não aconteceu de repente surgiu da

necessidade de contar coisas (lembram daquelas aulas lá

do primário?). O homem primitivo, por exemplo,

contava traçando riscos na madeira ou no osso, ou ainda,

fazendo nós em uma corda. Como era difícil contar

quantidades grandes e efetuar cálculos com pedras, nós

ou riscos simples, a necessidade de efetuar cálculos com

maior rapidez levou o homem a criar símbolos, para

representar quantidade. Na antiguidade, nem todos os

povos usavam os mesmos símbolos. Vamos conhecer

como alguns povos dessa época contavam.

A numeração dos romanos Os romanos representavam quantidades usando as

próprias letras de seu alfabeto:

I - valia uma unidade

V - valia cinco unidades

X - representava dez unidades

L - indicava cinqüenta unidades

C - valia cem unidades

D - representava quinhentas unidades

M - indicava mil unidades

As quantidades eram representadas colocando se os

símbolos uns ao lado dos outros, conforme a seguinte

regra:

Os símbolos iguais juntos, até três, significava

soma de valores:

III = 1 + 1 + 1 = 3

XXX = 10 + 10 + 10 = 30

CCC = 100 + 100 + 100 = 300

Dois símbolos diferentes juntos, com o número menor aparecendo antes do maior, significava

subtração de valores:

IV = 5 - 1 = 4

XL = 50 - 10 = 40

XC = 100 - 10 = 90

Dois símbolos diferentes juntos, com o maior

aparecendo antes do menor, significa soma de

valores:

LX = 50 + 10 = 60

CCXXX = 200 + 30 = 230

DC = 500 + 100 = 600

MMMD = 3.000 + 500 = 3.500

Para indicar quantidades a partir de 4000, os romanos usavam um traço horizontal sobre as letras

correspondentes à quantidade de milhares:

__

IV = 4.000

_

V = 5.000

_____

XXIII = 23.000

Observação: Os romanos não conheciam um símbolo para representar o número zero.

A NUMERAÇÃO DOS HINDUS

Foram os hindus que inventaram os símbolos que

usamos até hoje:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

Esses símbolos, divulgados pelos árabes, são

conhecidos como algarismos indo-arábicos e com eles

escrevemos todos os números. Mais adiante vamos falar

sobre o sistema de numeração que usamos. Você sabe,

por exemplo, que 51 e 15 representam quantidades bem

diferentes.

NÚMEROS NATURAIS

Quando contamos uma quantidade de qualquer coisa (objetos animais, estrelas pessoas etc.)

empregamos os números:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,...

Esses números são chamados de números naturais. Existem infinitos números naturais os números que

aparecem juntos, como na seqüência acima são

chamados números consecutivos.

Exemplo: 12 e 13 são consecutivos 13 é o sucessor (vem

depois) e 12 é o antecessor (vem antes) de 13.

Lembrem-se concurseiros, conjunto dos números

naturais é baseado na existência do ZERO e na

propriedade que todo número tem sucessor e antecessor.

Apenas o Zero não tem antecessor.

Observações:

1) Todo número natural tem um sucessor (é o que vem

depois).


4


2) Todo número natural tem um antecessor (é o que vem antes), com exceção do zero.

3) Um número natural e o seu sucessor são chamados

números consecutivos.

PAR OU IMPAR

Um número natural é par quando termina em 0, 2, 4, 6 ou

8.

Os números pares são: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16...

Um número é ímpar quando termina em 1, 3, 5, 7, ou 9.

Os números ímpares são: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...

Conjuntos Numéricos

CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS

Como decorrência da necessidade de contar objetos

surgiram os números naturais que é simbolizado pela

letra N e é formado pelos números 0, 1, 2, 3, …, ou seja:

N = {0; 1; 2; 3; …}. Um subconjunto de N muito usado é

o conjunto dos números naturais menos o zero, ou seja, N - {0} = conjuntos dos números naturais positivos, que

é representado por N*.

Observações:

1) Em N são definidas apenas as operações de adição

e multiplicação, apenas estas são garantidas nas

operações dentro do conjunto N;

2) Isto é fato, pois se a e b são dois números naturais

então a + b e a.b são também números naturais. Esta propriedade é conhecida como fechamento da

operação;

3) Valem as propriedades associativa, comutativa e

elemento neutro (0 para a adição e 1 para a

multiplicação) para as duas operações e a

distributiva para a multiplicação em N. Em N a

subtração não é considerada uma operação, pois se

a diferente de zero pertence a N o simétrico -a não

existe em N.

DICCA para o aluno

Caso você escreva do número a até o número b,

você escreverá ao todo (b – a + 1) números.

Exemplo: de 23 a 58 = 58 – 23 + 1 = 36.

Caso você escreva os números existentes entre a e

b, você escreverá ao todo (b – a – 1) números.

Exemplo: Entre 23 e 58 = 58 – 23 – 1 = 34.

De 1 a 100 qualquer algarismo aparece 10 vezes

como unidade e 10 vezes como dezena. Logo, de 1

a 100 cada algarismo aparece 20 vezes.

De 1 a 1000 qualquer algarismo aparece 100 vezes

como unidade, 100 vezes como dezena e 100 vezes

como centena. Logo, de 1 a 1000 cada algarismo

aparece 3000 vezes.

De 1 a 10n qualquer algarismo aparece 10

n – 1

vezes como unidade, 10n – 1 vezes como dezena e

10n – 1 vezes como centena.

01) A diferença entre o menor número de três algarismo

e o maior número de dois algarismos é:

a) 5

b) 3 c) 1

d) 2

e) 4

02) Quantos números da sucessão de números inteiros

existem de 12 a 98

a) 87

b) 86

c) 88

d) 85

e) 110

GABARITO: 01) C 02) A

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

Interseção do conjunto dos naturais e dos inteiros.

Chama-se o conjunto dos números inteiros,

representado pela letra Z, o seguinte conjunto:

Z = {…, -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}

No conjunto Z distinguimos alguns subconjuntos notáveis que possuem notação própria para representá-

los:

a) Conjunto dos inteiros não negativos:

Z+ = {0; 1; 2; 3; …}


5


b) Conjunto dos inteiros não positivos:

Z- = {…; -3; -2; -1; 0}

c) Conjunto dos inteiros não nulos:

Z* = {…, -3; -2; -1; 1; 2; 3; …}

d) Conjunto dos inteiros positivos:

Z+* = {1; 2; 3; …}

e) Conjunto dos inteiros negativos:

Z-* = {…; -3; -2; -1}

Note que Z+ = N e, por essa razão, N é um subconjunto

de Z.

Observações:

1) No conjunto Z, além das operações e suas

propriedades mencionadas para N, vale a propriedade simétrico ou oposto para a adição. Isto

é: para todo a em Z, existe -a em Z, de tal forma

que a + (-a) = 0;

2) Devido a este fato podemos definir a operação de

subtração em Z: a - b = a + (-b) para todo a e b

pertencente a Z;

3) Note que a noção de inverso não existe em Z. Em

outras palavras, dado q pertencente a Z, diferente

de 1 e de -1, 1/q não existe em Z;

4) Por esta razão não podemos definir divisão no

conjunto dos números inteiros;

5) Outro conceito importante que podemos extrair do

conjunto Z é o de divisor. Isto é, o inteiro a é

divisor do inteiro b - simbolizado por b | a - se

existe um inteiro c tal que b = ca;

6) Os números inteiros podem ser representados por

pontos de uma reta orientada ou eixo, onde temos

um ponto de origem, o zero, e à sua esquerda

associam-se ordenadamente os inteiros negativos e

à sua direita os inteiros positivos, separados por

intervalos de mesmo comprimento;

7) Cada ponto da reta orientada é denominado de

abscissa;

8) Em Z podemos introduzir o conceito de módulo ou

valor absoluto: |x| = x se x ≥ 0 e |x| = -x se x < 0,

para todo x pertencente a Z. Como decorrência da

definição temos que |x| ≥ 0 para qualquer número

inteiro.

A ordem dos inteiros:

Há uma classe de inteiros, chamada classe dos

inteiros positivos (ou classe dos números naturais), que

goza das seguintes propriedades:

A soma de dois inteiros positivos é um inteiro

positivo;

O produto de dois inteiros positivos é um inteiro

positivo;

Para cada inteiro A, uma e somente uma das

seguintes alternativas é verdadeira, ou A = 0, ou A é

negativo, ou A é positivo (lei da tricotomia).

Definimos as relações ≥, ≤, <, > por:

A > B (A é maior do que B) se e só se A - B é positivo

A < B (A é menor do que B) se e só se B > A

A ≥ B (A é maior ou igual a B) se e só se A > B ou A = B

A ≤ B (A é menor ou igual a B) se e só se A < B ou A =

B

É claro que A é positivo se e só se A > 0.

Multiplicação de Números Inteiros

O conjunto dos números inteiros

surgiu da necessidade de o homem manipular valores negativos,

relacionados a assuntos comerciais

e financeiros. Nesse conjunto, cada

número inteiro positivo possui sua representação

negativa. Na multiplicação de números inteiros, devemos

seguir algumas condições de acordo com o sinal dos

números. Nessas operações o jogo de sinal é usado de

forma sistemática, de acordo com o seguinte quadro de

sinais:

( + ) . ( + ) = +

( + ) . ( – ) = –

( – ) . ( + ) = –

( – ) . ( – ) = +

Os dois números possuem o mesmo sinal.

Número positivo multiplicado por número positivo

(+ 3) . (+ 7) = + 21

(+ 5) . (+ 9) = +45

(+ 21) . (+ 10) = + 210

(+ 4) . (+ 9) = +36

(+ 8) . (+ 10) = +80

(+ 22) . (+ 5 ) = +110

Número negativo multiplicado por número negativo

(– 9) . (– 5) = + 45


6


(–12) . (– 4) = + 48 (– 3) . (– 7) = +21

(– 8) . (– 9) = +72

(– 10) . (– 7) = +70

(–12) . (–5) = +60

Os dois números possuem sinais diferentes.

Número positivo multiplicado por negativo e vice-versa:

(+ 7) . (– 9) = – 63

(– 4) . (+ 7) = – 28

(– 6) . (+ 7) = – 42

(+ 8) . (– 6) = – 48

(+ 6) . (– 5) = –30

(–120) . (+ 3) = – 360

Lembrem-se candidatos de que o elemento neutro da multiplicação é o número 1 (um). Veja:

(+ 1 ) . ( + 96) = + 96

(–1) . (–98) = + 98

(– 14) . (+ 1) = – 14

(–1) . (+ 9) = – 9

(+ 2) . (+ 1) = +2

(–32) . (–1) = +32

Podemos verificar que na multiplicação de números inteiros ao multiplicamos números com sinais iguais,

temos que o resultado é um número positivo, e quando

multiplicamos números com sinais diferentes, o resultado

é um número negativo.

MÓDULO:

Definimos o módulo ou valor absoluto do inteiro A,

representado por A

, pondo:

0,

0,

AseA

AseAA

DIVISIBILIDADE:

Um inteiro A é divisível por um inteiro B se e só

existe um inteiro C, tal que A = B x C. Neste caso,

dizemos que A é múltiplo de B, ou que B divide A, e

escrevemos: B | A Chamamos de pares os inteiros que

são divisíveis por 2 e de ímpares os que não são

divisíveis por 2.

EX.: n2 , com n inteiro (par)

12n , com n inteiro (ímpar)

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

DIVISIBILIDADE POR 2:

Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja,

termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.


Um número é divisível por 3 se a soma de seus

algarismos é divisível por 3.


Um número é divisível por 4 se o número formado

pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4

ou terminar em 00.

DIVISIBILIDADE POR 5 :

Um número é divisível por 5 se o seu último

algarismo é 0 (zero) ou 5.


Um número é divisível por 6 se é par e a soma de

seus algarismos é divisível por 3.


Um número é divisível por 7 se o dobro do último

algarismo, subtraído do número sem o último

algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o

número obtido ainda for grande, repete-se o

processo até que se possa verificar a divisão por 7.


Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8

ou terminar em 000.


Um número é divisível por 9 se a soma dos seus

algarismos é um número divisível por 9.


Um número é divisível por 10 se termina com o

algarismo 0 (zero).


Um número é divisível por 11 se a soma dos

algarismos de ordem par Sp menos a soma dos


7


algarismos de ordem ímpar Si é um número divisível por 11 ou igual a zero.


Um número é divisível por 12 quando é divisível

por três e quatro ao mesmo tempo.


Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4

vezes) do último algarismo, somado ao número sem

o último algarismo, resultar um número divisível

por 13. Se o número obtido ainda for grande,

repete-se o processo até que se possa verificar a

divisão por 13. Este critério é semelhante àquele

dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que

no presente caso utilizamos a soma ao invés de

subtração.


Um número é divisível por 15 quando é divisível

por três e cinco ao mesmo tempo.


Um número é divisível por 16 se o número formado

pelos seus quatro últimos algarismos é divisível por

16 ou terminar em 0000.

NÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOS:

Número Primo: um número inteiro p > 1 é primo se só é

divisível por 1 e por ele próprio. A divisão por um

número não resulta em um número natural (ou inteiro).

Para saber se um número grande é primo, basta dividi-lo sucessivamente pelos números primos até que o

quociente seja menor ou igual ao seu divisor.

Os primeiros números primos são:

Exemplos:

1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um

número primo.

2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um

número primo.

3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.

Observações:

=> 1 não é um número primo, porque ele tem apenas

um divisor que é ele mesmo.

=> 2 é o único número primo que é par.

Reconhecimento de um número primo:

Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até

que tenhamos:

=> ou uma divisão com resto zero e neste caso o

número não é primo,

=> ou uma divisão com quociente menor que o divisor

e o resto diferente de zero. Neste caso o número é

primo.

Exemplos:

1) O número 161:

Não é par, portanto não é divisível por 2;

1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;

Não termina em ―00‖, nem os dois últimos

algarismos pode ser dividido por 4, logo não é

divisível por 4;

Não termina em 0 nem em 5, portanto não é

divisível por 5;

Por 7: 161/7 = 23, com resto zero, logo 161 é

divisível por 7, e portanto não é um número primo.

2) O número 113:

Não é par, portanto não é divisível por 2;

1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;

Não termina em ―00‖, nem os dois últimos

algarismos pode ser dividido por 4, logo não é

divisível por 4;

Não termina em 0 nem em 5, portanto não é

divisível por 5;

Por 7: 113/7 = 16, com resto 1. O quociente (16)

ainda é maior que o divisor (7).

Por 11: 113/11 = 10, com resto 3. O quociente (10)

é menor que o divisor (11), e além disso o resto é

diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um

número primo.

Decomposição em fatores primos

Todo número natural, maior que 1, pode ser

decomposto num produto de dois ou mais fatores.

Decomposição do número 24 num produto:


8


24 = 4 x 6 24 = 2 x 2 x 6

24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3

Número Composto: é todo número que possui mais de

dois divisores.Todo o número natural (diferente de 1)

escreve-se de forma única como um produto de números

primos. Este Teorema é conhecido por Teorema

Fundamental da Aritmética.

Exemplo: 15 tem mais de dois divisores. Logo, 15 é um

número composto.

Dois números naturais a e b são primos entre si, se

mdc(a, b)=1.

Quaisquer dois números primos são primos entre si,

mas o recíproco não é verdadeiro.

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI:

Dizemos que A e B são primos entre si se e só se

MDC[A, B] = 1.

TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA:

fácil obter MDC e MMC de números dados, se

conhecermos suas decomposições em fatores

primos. É fácil perceber que os fatores do MDC são

os fatores dos números tomados sempre com o menor

dos expoentes e os do MMC com o maior dos expoentes.

Todo número A maior que um, ou é primo ou pode

ser representado como um produto de fatores primos.

FATORAÇÃO

É a decomposição de um número em um produto de

fatores primos.

Existe um dispositivo prático para fatorar um

número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar

esse dispositivo:

1º) dividimos o número pelo seu menor divisor primo;

2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor

divisor primo desse quociente e assim

sucessivamente até obter o quociente 1.

A figura a baixo mostra a fatoração do número 630.

Logo: 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7. 630 = 2 x 32 x 5 x 7.

Vejamos a decomposição dos números 28 e 200:

28 2 200 2

14 2 100 2

7 7 50 2

1 28 = 22 x 7 25 5

5 5

5 1 200 = 23 x 5

2

A DIVISÃO DE INTEIROS:

O resultado da divisão de dois números inteiros,

dividendo e divisor, nem sempre é um número inteiro.

Ao maior número inteiro menor do que a divisão chama-

se quociente é a diferença entre o dividendo e o produto

do divisor pelo quociente chama-se resto. Se D for o dividendo, d o divisor, q o quociente e r o resto tem-se

que:

D = q × d + r, com 0 ≤ r < d

Por exemplo, se dividirmos 31 por 7 obtemos o resultado

4,428... , e por isso o quociente desta divisão é 4. O resto

é igual a 31 − 7 × 4 = 3.

Dizemos então que na divisão de D por d o quociente é q

e o resto é r, D é chamado de dividendo e d de divisor.

DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL

MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)

Um inteiro positivo d é o MDC dos inteiros A e B

(usaremos a notação d = MDC[A, B]) se e só se possui

as seguintes propriedades:

a) d|a e d|b (d é um divisor comum de A e B)

b) Se C|A e C|B, então C|d (isto é todo divisor comum

de A e B também divide d)

Teorema: Se A e B são inteiros não nulos

simultaneamente, então MDC[A, B] existe e é único.

OBS.: Convencionou-se que o MDC(0, 0) = 0.

Propriedades do MDC:

É


9


• MDC(a, b) = MDC(b, a). • MDC(a, b) = MDC(−a, b).

• MDC(a, b) = MDC(|a|, |b|).

• MDC(a, 0) = |a|.

• MDC(a, ka) = |a| para todo k Z.

O ALGORITMO DE EUCLIDES:

O processo que usamos para determinar o MDC de

dois inteiros, não nulos simultaneamente é o algoritmo de Euclides.

a) Dados A e B, dividimos A por B

b) Depois dividimos B pelo resto desta divisão R1

c) Depois dividimos R1 pelo resto desta última divisão

R2 e assim sucessivamente.

d) Quando chegarmos a um resto igual a zero o MDC

procurado será o último divisor, isto é:

q q2 q3 ... qn qn+1

A B R1 R2 ... r n-1 rn= MDC[A,B]

R1 R2 R3 R4 ... 0

DICA para o aluno

Cálculo do número de divisores:

É o produto de todos os expoentes acrescido de

uma unidade.

Fatora-se o número

Somamos uma unidade a cada expoente

Multiplicamos o resultado obtido.

Cálculo do número de divisores ímpares:

É o produto dos expoentes de fatores ímpares

acrescido de uma unidade.

Fatora-se o número

Somamos uma unidade a cada expoente de fator ímpar

Multiplicamos o resultado obtido

Cálculo do número de divisores pares:

É o produto dos expoentes de fatores ímpares

acrescidos de uma unidade cada um,

multiplicado ainda pelos expoentes dos fatores

pares sem acrescentar a unidade.

Fatora-se o número

Somamos uma unidade a cada expoente de fator ímpar

Multiplicamos o resultado obtido, também pelos expoentes de fator par

01) O número de divisores de 120 é:

a) 12

b) 14

c) 16

d) 20

e) 25

02) Determinar o número N, sabendo-se que ele admite 8

divisores e que é da forma: N = 2.3x.

a) 10

b) 15

c) 32

d) 54

e) 24

03) Calcular o valor de m na expressão 2m + 1

.3.5,

sabendo-se que este produto indicado resulta da

decomposição de um número que possui 16 divisores.

a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

04) Determinar o valor de N na igualdade N = 2x.3

4, para

que o número N tenha 20 divisores.

a) 648

b) 448

c) 243 d) 824

e) 100

GABARITO: 01) C 02) D 03) A 04) A


10


MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)

Definição: O mínimo múltiplo comum de dois ou mais

números é o menor de seus múltiplos comuns, diferente

de zero.

M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ....}

M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24....}

M(3) ∩ M(4) = {0, 12, 24, 36, ... }

MMC (3, 4) = 12

PROCESSOS PARA O CÁLUCULO DO MMC

1º Processo: Decomposição de fatores primos em separado

a) Decompõem-se os números em fatores primos;

b) Toma-se o produto dos fatores primos comuns e

não comuns elevados ao maior de seus expoentes;

2º Processo: Decomposição de fatores primos em

conjunto.

a) Decompõem-se em fatores primos, dividindo os

números pelos fatores comuns e não comuns.

b) Toma-se o produto desses fatores primos comuns e

não comuns.

CONSEQUÊNCIAS DO MMC

1ª) O MMC entre dois números primos entre si é igual

ao produto entre eles.

MMC (12, 25) = 12 . 25 = 300

MMC (4, 9) = 4 . 9 = 36

2ª) O MMC entre dois ou mais números, em que o

maior é múltiplo dos menores, é o maior número.

MMC (40, 120) = 120

MMC (50, 150, 300) = 300

3ª) Os múltiplos comuns de dois ou mais números são

os múltiplos do MMC entre esses números.

M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ....}

M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ....}

MMC (3, 4) = 12

M(3) ∩ M(4) = M(12)

4ª) Multiplicando-se ou dividindo-se dois ou mais

números por um mesmo número, o MMC entre eles ficará multiplicado ou dividido, respectivamente,

por esse mesmo número.

MMC (12, 18) = 36

Multiplicando-se os números por 4, o MMC ficará

multiplicado por 4.

MMC (48, 72) = 36 . 4 = 144

Dividindo-se os números por 3, o MMC ficará

dividido por 3.

Importante:

MDC(a, b) x MMC(a, b) = A x B

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS

Interseção dos conjuntos: Naturais, Inteiros e

Racionais.

O conjunto dos números racionais, simbolizado

pela letra Q, é o conjunto dos números que podem ser

escritos na forma de uma fração p/q, com p e q inteiros

quaisquer e q diferente de zero:

Como todo número inteiro pode ser escrito na forma p/1, então Z é um subconjunto de Q. Valem

também para os conjuntos dos números racionais as

notações Q* (conjunto dos números racionais não nulos),

Q+ (conjunto dos números racionais não negativos) e Q-

(conjunto dos números racionais não positivos).

Observações:

a) São válidas todas as propriedades vistas para o

conjunto dos números inteiros;

b) Além disso, é válida a propriedade simétrico ou inverso para a multiplicação. Isto é, para todo a/b

pertencente a Q, a/b diferente de zero, existe b/a em

Q tal que (a/b).(b/a) = 1;


11


c) Decorre da propriedade acima que é possível definir a operação de divisão em Q* da seguinte forma

(a/b):(c/d) = (a/b).(d/c), para quaisquer a, b, c e d

pertencente a Q;

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES COM

DENOMINADORES IGUAIS

Conserva-se o denominador, adicionando ou

subtraindo os numeradores.

20

1

20

753

20

7

20

5

20

3

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES COM

DENOMINADORES DIFERENTES

Substituem-se as frações dadas por outras,

equivalentes, cujo denominador será o MMC dos

denominadores dados:

12

5

12

69212)2,4,6(

2

1

4

3

6

1mmc

MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES

Para multiplicar duas ou mais frações, deve-se:

1º) Multiplicar os numeradores, encontrando o novo

numerador.

2º) Multiplicar os denominadores, encontrando o novo

denominador.

20

16

120

6

645

132

6

1

4

3

5

2porndosimplifica

DIVISÃO ENVOLVENDO FRAÇÕES

Para efetuar uma divisão onde pelo menos um dos

números envolvidos é uma fração devemos multiplicar o

primeiro número (dividendo) pelo inverso do segundo

(divisor).

6

72

12

14

4

7

3

2

7

4

3

2porndosimplifica

NÚMEROS MISTOS

Número misto é um número racional escrito na

forma da soma de sua parte inteira com a sua parte fracionária (esta é sempre uma fração própria). Os

números mistos também se podem escrever como frações

impróprias.

Exemplos:

Como vemos nos exemplos acima, para transformar

um número misto na fração imprópria correspondente

multiplica-se o número da frente pelo denominador e o

resultado soma-se ao numerador, formando o numerador

da fração. Para transformar uma fração imprópria em um número misto, faça a divisão inteira do numerador pelo

denominador. O quociente será o primeiro número, o

resto será o novo numerador e denominador permanece.

Por exemplo: 5/2. 5 dividido por 3 dá 1 e sobra 2. Assim

temos que 5/3 =1 e 5/3 Os números mistos são práticos

quando se deseja marcar a fração na reta numerada. Para

fazê-lo, localiza-se primeiro a parte inteira e depois

acrescenta-se a parte fracionária, assim, para localizar na

reta a fração através do seu número misto 1 , vai-se até

o 1 e acrescenta-se o .

Dízimas periódicas

Todo número racional p/q pode ser escrito como um

número decimal exato (ex: 1/2 = 0,5) ou como uma

dízima periódica (1/3 = 0,333…). Veremos como

transformar dízima em fração!!!

Como dito, há frações que não possuem representações

decimal exata. Por exemplo:

Aos numerais decimais em que há repetição periódica e

infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de

numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional

http://pt.wikipedia.org/wiki/Soma

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_inteiro

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fra%C3%A7%C3%A3o

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fra%C3%A7%C3%A3o#Tipos_de_Fra.C3.A7.C3.B5es




12


Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o período dessa

dízima.

As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples

e dízimas periódicas compostas. Exemplos:

São dízimas periódicas simples, uma vez que o período

apresenta-se logo após a vírgula.

São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre o

período e a vírgula existe uma parte não periódica.

Observações:

Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre vírgulas e o período. Excluímos

portanto da parte não periódica o inteiro.

Podemos representar uma dízima periódica das seguintes

maneiras:

Geratriz de uma dízima periódica

É possível determinar a fração (número racional)

que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos

esta fração de geratriz da dízima periódica. Procedimentos para determinação da geratriz de uma

dízima:

Dízima simples

A geratriz de uma dízima simples é uma fração que

tem para numerador o período e para denominador tantos

noves quantos forem os algarismos do período.

Exemplos:

Dízima Composta:

A geratriz de uma dízima composta é uma fração da

forma , onde

n é a parte não periódica seguida do período, menos

a parte não periódica.

d tantos noves quantos forem os algarismos do

período seguidos de tantos zeros quantos forem os

algarismos da parte não periódica.

Exemplos:

DICA para o aluno

Não faça contas com dízimas periódicas. Substitua

todas elas por frações geratrizes antes de fazer

qualquer cálculo.

NÚMEROS IRRACIONAIS

É um numero irracional. π = 3,141592 ...

O número irracional é aquele que não admite a

representação em forma de fração (contrário dos

números racionais) e também quando escrito na forma de

decimal ele é um número infinito e não periódico.

Exemplo:

• 0,232355525447... é infinito e não é dízima

periódica (pois os algarismos depois da vírgula não repetem periodicamente), então é irracional.

http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-racionais.htm


13


• 2,102030569... não admite representação fracionária, pois não é dízima periódica.

• Se calcularmos em uma calculadora veremos que

√2, √3, π são valores que representam números

irracionais.

A representação do conjunto dos irracionais é feita pela

letra I maiúscula.

CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

O conjunto dos números reais, representado por IR,

é a união entre os conjuntos dos números racionais, Q, e

dos irracionais. Portanto, os números naturais, inteiros,

racionais e irracionais são todos, números reais.

R* conjunto dos números reais não nulos.

R+ conjunto dos números reais positivos e o zero.

R*+ conjunto dos números reais positivos.

R - conjunto dos números reais negativos e o zero.

R*- conjunto dos números reais negativos menos o

zero.

INTERVALO REAL

Ainda, caros estudantes, para complementar o

assunto sobre Conjuntos Numéricos veremos a parte de

intervalo na reta real R. Ou seja, dos subconjuntos de R.

Perceba que entre dois números inteiros existem infinitos

números reais. Por exemplo, entre os números 1 e 2

existem vários números reais tais como: 1,01; 1,001; 1,0001; 1,1; 1,2; 1,5; 1,99; 1,999; 1,9999 ... . Escrever

todos os números entre, por exemplo, 1 e 2, representa

um intervalo de tais números onde, se inclui os extremos,

considera-se fechado e se não inclui, considera-se aberto.

Os intervalos podem ser classificados em abertos,

fechados e semi abertos (fechados ou abertos à esquerda

ou à direita).

Notação em símbolos de um intervalo

Habitualmente se utilizam os colchetes – ―[" e "]‖ –

para indicar que um dos extremos do intervalo é parte

deste intervalo e os parênteses – ―(‖ e ―)‖ – ou, também,

os colchetes invertidos – ―]‖ e ―[" para indicar o

contrário. Assim, por exemplo, dados a e b números

reais, com a ≤ b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa o

conjunto dos x R, tal que a < x ≤ b. Note que a não faz parte do intervalo.

Representação de um intervalo na reta real

Um intervalo é representado na reta real utilizando-se de uma pequena ―bolinha vazia‖ para indicar que um

dos pontos extremos não pertence ao intervalo e de uma

―bolinha cheia‖ para indicar que o ponto extremo

pertence.

Tipos de Intervalos

Dados a e b números reais, com a ≤ b, x pertencente

ao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificar

os intervalos como:

a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = b – a:

[a,b] = {x R | a ≤ x ≤ b}

b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de

comprimento finito c = b – a:

[a,b[ = [a,b) = {x R | a ≤ x < b}

c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de

comprimento finito c = b - a:

(a,b] = ]a,b] = {x R | a < x ≤ b}

d) Intervalo aberto de comprimento finito c = b – a:

]a,b[ = (a,b) = {x R | a < x < b}

e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito:


14


]-∞,b[ = (-∞,b) = {x R | x < b}

f) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito:

]-∞,b] = (-∞,b] = {x R | x ≤ b}

g) Intervalo fechado à esquerda de comprimento infinito:

[a,+∞) = [a,+∞[ = {x R | a ≤ x}

h) Intervalo aberto à esquerda de comprimento

infinito:

]a,+∞[ = (a,+∞) = {x R | x > a}

i) Intervalo aberto de comprimento infinito:

]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = R

j) Intervalo fechado de comprimento nulo:

Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado,

então a = b e esse intervalo corresponde ao conjunto unitário {a}, isto é, a um ponto da reta real.

Vejamos mais exemplos:

União e Intersecção de Intervalos

Como intervalos são conjuntos é natural que as

operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se

de um procedimento muito comum na resolução de

alguns problemas. E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação

gráfica dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo

prático de como efetuar tais operações.

Sejam A = [-1,6] = {x R | -1 ≤ x ≤ 6} e B = (1,+∞) =

{x R | x > 1} dois intervalos e vamos determinar A U B e A ∩ B.

Primeiramente, caros alunos, marcamos todos os

pontos que são extremos ou origens dos intervalos em

uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta,

traçamos os intervalos que representam graficamente os

conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de

união e intersecção para determinar os trechos que estão

em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos

dois intervalos, respectivamente. Veja a solução de A ∩

B na figura a seguir e de onde é também facilmente

observado o resultado de A U B:

A ∩ B = {x R | 1 < x ≤ 6} e A U B = {x R | -1 ≤ x}

EXPRESSÕES NUMÉRICAS

As expressões numéricas podem ser definidas

através de um conjunto de operações fundamentais. As operações que podemos encontrar são: radiciação,

potenciação, multiplicação, divisão, adição e subtração.

Como uma expressão numérica é formada por mais de

uma operação, devemos saber que resolvemos

primeiramente as potências e as raízes (na ordem que

aparecerem), depois a multiplicação ou divisão (na

ordem) e por último, adição e subtração (na ordem).

É comum o aparecimento de sinais nas expressões

numéricas, eles possuem o objetivo de organizar as

expressões, como: ( ) parênteses, [ ] colchetes e {} chaves, e são utilizados para dar preferência para

algumas operações. Quando aparecerem em uma

expressão numérica devemos eliminá-los, essa

eliminação irá acontecer na seguinte ordem: parênteses,

colchetes e, por último, as chaves.

Exemplo 1:

– 62 : (– 5 + 3) – [– 2 * (– 1 + 3 – 1)² – 16 : (– 1 + 3)²]

=

elimine parênteses.

– 62 : (– 2) – [– 2 * (2 – 1)² – 16 : 2²] = continue eliminando os parênteses.

– 62 : (– 2) – [– 2 * 1 – 16 : 2²] =

resolva as potências dentro do colchetes.

– 62 : (– 2) – [– 2 * 1 – 16 : 4] =


15


resolva as operações de multiplicação e divisão nos colchetes.

– 62 : (– 2) – [– 2 – 4] =

– 62 : (– 2) – [– 6] = elimine o colchete.

– 62 : (– 2) + 6 = efetue a divisão.

31 + 6 = 37 efetue a adição.

O valor numérico da expressão é 37.

Lembrem-se, em expressões numéricas com sinais

associativos de:

1º) Parênteses ( ) 2º) Colchetes [ ]

3º) Chaves { }

efetuam-se, primeiro as operações dentro deles, na ordem

mostrada: ( ), [ ] e { }, respeitando-se ainda, a prioridade

das operações.

Exemplo 2:

36 + 2.{25 + [ 18 – (5 – 2).3]} =

= 36 + 2.{ 25 + [18 – 3.3]} = = 36 + 2.{25 + [18 – 9]} =

= 36 + 2.{25 + 9} =

= 36 +2.34 =

= 36 + 68 = 104

Exemplo 3:

[(5² - 6.2²).3 + (13 – 7)² : 3] : 5 =

= [(25 – 6.4).3 + 6² : 3] : 5 =

=[(25 – 24).3 + 36 : 3 ] : 5 =

= [1.3 + 12] : 5 =

= [3 + 12 ] : 5 = = 15 : 5 = 3

Exemplo 4:

QUESTÕES

01) (UPENET 2007 – AGENTE DE SEGURANÇA

MUNICIPAL) Um tanque tem duas torneiras. A

primeira enche o tanque em 15 horas, e a segunda,

em 18 horas. Estando o tanque vazio e, abrindo-se

as duas torneiras durante 5 horas, enche-se uma

parte do tanque. Podemos afirmar que a segunda

torneira encherá o restante do tanque em A) 14 horas.

B) 10 horas.

C) 7 horas.

D) 8,5 horas.

E) 8 horas.

02) (UPENET) O Quíntuplo de um número, dividido

por este número aumentado de duas unidades, dá

quociente 3 e deixa resto 2. Qual é este número?

A) 4

B) 6

C) 8

D) 10

E) 12

03) (UPENET 2011 – EXPRESSO CIDADÃO) A

caixa d’água de um edifício foi revitalizada, e o

engenheiro solicitou ao síndico que trocasse as

bombas, pois as atuais estão obsoletas. As bombas

compradas pelo síndico enchem o reservatório

muito mais rápido e com baixo consumo de

energia. Sabe-se que uma delas enche a caixa de

água sozinha em 4 horas e a outra, sozinha em 8

horas. Um porteiro por displicência liga as duas

simultaneamente para encher essa caixa de água. Estando a caixa d’água vazia, assinale o tempo, em

minutos, gasto para que as duas encham o

reservatório.

A) 167 minutos.

B) 163 minutos.

C) 150 minutos.

D) 156 minutos.

E) 160 minutos.

04) (UPENET) Num salão de cabeleireiro, 2/4 das

mulheres eram loiras, 1/3, ruivas, e as 5 restantes,

morenas. Se 1/3 das loiras pintam os cabelos de preto, quantas loiras restam?

A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) 10

05) (UPENET) O valor de 1/3 de 1/4 de 1/5 de 360 é

igual a

A) 60

B) 50 C) 6


16


D) 5 E) 4

06) (UPENET 2011 – EXPRESSO CIDADÃO)

Rebeca faz um desafio a Letícia: “Qual a terça

parte de 312

+ 310

?”. Assinale a alternativa que

corresponde à resposta CORRETA de Letícia.

A) 11 x 311

B) 12 x 312

C) 10 x 39

D) 6 x 35

E) 8 x 37

07) A expressão é igual a:

A) 0

B) 9

C) –3

D) 3

08) Calculando-se os ¾ dos 2/5 dos 7/3 de 120, obtém-se:

A) 95

B) 87

C) 84

D) 21

E) 16,8

09) Qual o valor de a + b, se a/b é a fração irredutível

equivalente a ?

A) 42/9

B) 21/9 C) 21

D) 42

10) (UPENET 2009 – PMPE) Carlos e Pedro são

alunos muito aplicados em matemática. Certo dia,

Carlos perguntou a Pedro se ele sabia resolver a

seguinte questão: Determine o algarismo das

unidades do número (8325474)642. Pedro resolveu o

problema, chegando ao resultado correto. Qual foi o

resultado a que Pedro chegou?

A) 4

B) 2 C) 5

D) 6

E) 1

11) (UPE 2008) O Conselho Superior de uma

Universidade é composto por 43 membros com

direito a voto, sendo 20 diretores de Unidades, 15

diretores de Centros, 8 representantes dos

professores. Para que haja votação de um projeto na

reunião, é necessário que esteja presente, pelo

menos, um membro de cada uma das três representações. Se a única informação que o Reitor

da Universidade tem, durante cada reunião do

Conselho, é o número de pessoas presentes, para ter

certeza de que o projeto em pauta na reunião será votado, é necessário que a informação do número

de pessoas presentes seja, no mínimo, de:

A) 15 pessoas.

B) 3 pessoas.

C) 20 pessoas.

D) 35 pessoas.

E) 36 pessoas.

12) (UPENET 2005) Eduarda, certo dia, fez compras

em 5 lojas do Shopping Center. Em cada uma

gastou a metade do que possuía e pagou, na saída, R$ 2,00 (dois reais) de estacionamento. Após as

despesas, restaram a Eduarda R$ 20,00 (vinte

reais). Quanto Eduarda possuía antes de fazer as

compras?

A) R$ 820,00

B) R$ 1 102,00

C) R$ 502,00

D) R$ 704,00

E) R$ 602,00

13) (UPENET 2009 – PREFEITURA DE RECIFE) Numa escola, os alunos da 8ª série vão realizar uma

observação num poço com o caminhar de lesmas.

Observou-se que, em média, uma lesma sobe dois

metros por dia, pára um pouquinho e cai um metro.

Supondo que o poço tenha sete metros de

profundidade e que uma lesma esteja no fundo

deste poço, para chegar no topo deste poço, essa

lesma levará

A) 4 dias.

B) 5 dias.

C) 6 dias.

D) 7 dias. E) 8 dias.

14) (UPENET 2009 – PREFEITURA DE

SURUBIM) A calculadora de Juliana é bem

diferente. Ela tem uma tecla D que duplica o

número escrito no visor e a tecla T, que apaga o

algarismo das unidades do número escrito no visor.

Assim, por exemplo, se estiver escrito 123 no visor

e apertarmos D, teremos 246; depois, apertando T,

teremos 24. Suponha que esteja escrito 1999. Se

apertamos D, depois T, em seguida D, depois T, teremos o número

A) 96

B) 98

C) 123

D) 79

E) 99

15) (UPENET 2009 – PMPE) Uma livraria pretende

fazer seu balanço anual. Pedro e João são os

contabilistas da Empresa. Se os dois trabalhassem

juntos no serviço, eles fariam o balanço em 6 dias,

porém, se João trabalhar sozinho, realizará o serviço em 18 dias. Em quantos dias, Pedro,

trabalhando sozinho, concluirá o balanço?


17


A) 15 B) 13

C) 9

D) 8

E) 20

16) (UPENET 2009 – PMPE) Um número é composto

por dois algarismos. Sabendo-se que a soma do

algarismo das dezenas com o algarismo das

unidades é 8 e que, subtraindo-se o número do

número formado, permutando-se o algarismo das

unidades com o das dezenas, o resto dessa subtração é um número terminado em 6. É

CORRETO afirmar que o produto dos algarismos

das dezenas com o das unidades do número é

A) 40

B) 30

C) 45

D) 21

E) 12

17) (UPENET 2009 – PMPE) Carlos disse a Renato

que era capaz de acertar um número que ele pensasse, fazendo, apenas, 4 perguntas. Renato

achou graça e disse: pensei em um número. Então,

Carlos disse: some ao número pensado o número 5,

multiplique a soma por 3 e subtraia 10 do produto.

Informe o resultado das operações, e Renato

afirmou 80. Carlos, então, informou corretamente o

número que Renato havia pensado. O produto dos

algarismos do número que Renato pensou é igual a

A) 12

B) 15

C) 10

D) 48 E) 50

18) (UPENET 2011 – EXPRESSO CIDADÃO) Uma

Padaria promove as seguintes ofertas relativas a

manteigas da mesma marca:

Assinale a alternativa CORRETA.

A) A oferta I é a melhor.

B) A oferta II é a melhor. C) A oferta III é a melhor.

D) As ofertas I e III são iguais.

E) As ofertas II e III são iguais.

19) (UPENET 2011 – EXPRESSO CIDADÃO) A

soma de três números naturais consecutivos é

sempre um número

A) par.

B) ímpar.

C) primo.

D) quadrado perfeito.

E) múltiplo de 3.

Texto para as questões 20 e 21

O Programa Nacional do Livro Didático e o

Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino

Médio são realizados pela ECT em parceria com o Fundo

Nacional de Desenvolvimento da Educação.

A operação consiste na entrega, todos os anos, de

100 milhões de livros didáticos a escolas públicas de

ensino fundamental e médio de todo o Brasil, volume equivalente à metade de toda a produção gráfica do

Brasil. Para a distribuição desses livros são realizadas

viagens de carretas das editoras para os centros de

tratamento da empresa instalados em pontos estratégicos

do país. Nessas unidades, as encomendas são tratadas e,

depois, entregues nas escolas. Internet: <www.correios.com.br> (com adaptações).

QUESTÃO 22

20) (CESPE 2011 - CORREIOS) Considerando que e

13% dos livros didáticos sejam 7/40 distribuídos,

respectivamente, para as regiões Nordeste e Norte,

então a quantidade, em milhões, de livros didáticos

destinada a essas duas regiões pelos programas

mencionados no texto é

A) superior a 15 e inferior a 25.

B) superior a 25 e inferior a 35. C) superior a 35 e inferior a 45.

D) superior a 45.

E) inferior a 15.

21) (CESPE 2011 - CORREIOS) Considere que 3

carretas façam, repetidamente, viagem de ida e

volta entre determinada editora e um centro de

tratamento da ECT em 4 dias, 5 dias e 6 dias,

respectivamente, e, ao completar um percurso de

ida e volta, elas retomem imediatamente esse

percurso. Se, em certo dia, as 3 carretas partirem

simultaneamente da editora, então elas voltarão a partir juntas novamente dessa editora após

A) 45 dias.

B) 60 dias.

C) 10 dias.

D) 15 dias.

E) 30 dias.

22) (FCC - 2010 - TRT - 12ª Região (SC) - Técnico

Judiciário - Área Administrativa) Sistematicamente, dois funcionários de uma

empresa cumprem horas-extras: um, a cada 15 dias, e o outro, a cada 12 dias, inclusive aos sábados,

domingos ou feriados. Se em 15 de outubro de 2010

ambos cumpriram horas-extras, uma outra provável

coincidência de horários das suas horas-extras

ocorrerá em

a) 9 de dezembro de 2010.

b) 15 de dezembro de 2010.

c) 14 de janeiro de 2011.

d) 12 de fevereiro de 2011.


18


e) 12 de março 2011.

23) (FCC - 2010 - DPE-SP - Oficial de Defensoria

Pública) Duas polias conectadas por uma correia

têm comprimentos de 12 cm e 22 cm.

O menor número de voltas completas que a polia

menor deve dar para que a polia maior dê um

número inteiro de voltas é a) 7

b) 8

c) 9

d) 10

e) 11

24) (FCC - 2008 - MPE-RS - Agente Administrativo) Um agente administrativo foi incumbido de tirar

cópias das 255 páginas de um texto. Para tal ele só

dispõe de uma impressora que apresenta o seguinte

defeito: apenas nas páginas de números 8, 16, 24,

32, ... (múltiplos de 8) o cartucho de tinta vermelha falha. Considerando que em todas as páginas do

texto aparecem destaques na cor vermelha, então,

ao tirar uma única cópia do texto, o número de

páginas que serão impressas sem essa falha é

a) 226

b) 225

c) 224

d) 223

e) 222

25) (FCC - 2004 - TRT - 22ª Região (PI) - Técnico Judiciário) Sistematicamente, Fábio e Cíntia vão a

um mesmo restaurante: Fábio a cada 15 dias e

Cíntia a cada 18 dias. Se em 10 de outubro de 2004

ambos estiveram em tal restaurante, outro provável

encontro dos dois nesse restaurante ocorrerá em

a) 9 de dezembro de 2004.

b) 10 de dezembro de 2004.

c) 8 de janeiro de 2005.

d) 9 de janeiro de 2005.

e) 10 de janeiro de 2005.

26) (FCC - 2002 - TRE-PI - Técnico Judiciário - Área Administrativa) Um médico receitou dois

remédios a um paciente: um para ser tomado a cada

12 horas e outro a cada 15 horas. Se às 14 horas do

dia 10/10/2000 o paciente tomou ambos os

remédios, ele voltou a tomá-los juntos novamente

às

a) 17 horas do dia 11/10/2000.

b) 14 horas do dia 12/10/2000. c) 18 horas do dia 12/10/2000.

d) 2 horas do dia 13/10/2000.

e) 6 horas do dia 13/10/2000.

27) Num reservatório há duas torneiras, a primeira

enche-o em 3 horas, a segunda em 6 horas; porém

há um sifão que o esvazia em 12 horas.

Funcionando as torneiras e o sifão simultaneamente

em quanto tempo o reservatório se encherá?

a) 3h

b) 2h24min c) 5h

d) 1h30min

e) 2h30min

28) (TRT 24ª REGIÃO 2011 - FCC) Todos os 72

funcionários de uma Unidade do Tribunal Regional

do Trabalho de Mato Grosso do Sul deverão ser

divididos em grupos, a fim de se submeterem a

exames médicos de rotina. Sabe-se que: − o número de funcionários do sexo feminino é igual

a 80% do número dos do sexo masculino; − cada grupo deverá ser composto por pessoas de um

mesmo sexo; − todos os grupos deverão ter o mesmo número de

funcionários; − o total de grupos deve ser o menor possível; − a equipe médica responsável pelos exames atenderá

a um único grupo por dia.

Nessas condições, é correto afirmar que:

A) no total, serão formados 10 grupos. B) cada grupo formado será composto de 6

funcionários. C) serão necessários 9 dias para atender a todos os

grupos. D) para atender aos grupos de funcionários do sexo

feminino serão usados 5 dias. E) para atender aos grupos de funcionários do sexo

masculino serão usados 6 dias.

29) (UPENET) No piso de uma sala de largura 168cm

e comprimento 200cm, um construtor pretende

colocar peças de mármore quadradas do mesmo tamanho. A menor quantidade dessas peças que ele

pode usar para cobrir totalmente o piso, sem cortar

nenhuma peça é:

A) 420

B) 500

C) 525

D) 575

E) 600

30) Sejam os números A = 23 . 3

2 . 5 e B = 2 . 3

3 . 5

2. O

MDC e o MMC entre A e B valem,

respectivamente: A) 2 . 32 . 5 e 23 . 33 . 52

B) 2 . 52 . 52 e 22 . 32 . 5


19


C) 2 . 3 . 5 e 23 . 33 . 52 D) 22 . 32 . 5 e 2 . 32 . 5

E) 23 . 32 . 52 e 2 . 33 . 52

31) Dados n = 22. 3

a. 5

2. 7

3 e m = 23. 3

5. 5

2. 7

b. 11, os

valores de a e b, tais que o mdc(m,n) = 18.900, são:

A) a = 2 e b = 3.

B) a = 3 e b = 1.

C) a = 0 e b = 2.

D) a = 3 e b = 2.

E) a = 2 e b = 2.

32) Se p e q são números naturais distintos e primos,

então o MDC(p, q) + MMC(p, q) é igual a:

A) p + q

B) pq

C) pq + 1

D) 2

E) nda

33) O máximo divisor comum dos números 36, 48, 72,

é:

A) 36 B) 48

C) 72

D) 144

E) 12

34) Considerando os números 68 e 36, responda V para

verdadeiro e F para falso:

A) que 4 é o máximo divisor comum de 36 e 68.

B) que 17 é o máximo divisor comum de 36 e 68.

C) que 4 é o mínimo divisor comum de 36 e 68.

D) que 612 é o máximo múltiplo comum de 36 e E.

E) que 2 é o mínimo múltiplo comum de 36 e 68. F) que 0 é um múltiplo comum de 36 e 68.

GABARITO:

1-C 2-A 3-E 4-E 5-C 6-C 7-A

8-C 9-D 10-D 11-E 12-D 13-C 14-D

15-C 16-E 17-C 18-C 19-E 20-B 21-B

22- D 23-E 24-C 25-C 26-D 27-B 28-C

29-C 30-A 31-B 32-C 33-E 34-VFFFFV

EQUAÇÕES DO 1º GRAU

As equações do primeiro grau são aquelas que

podem ser representadas sob a forma ax + b = 0, em que a e b são constantes reais, com a diferente de 0, e x é a

variável. A resolução desse tipo de equação é

fundamentada nas propriedades da igualdade descritas a

seguir.

Adicionando um mesmo número a ambos os membros de uma equação, ou subtraindo um mesmo

número de ambos os membros, a igualdade se mantém.

Dividindo ou multiplicando ambos os membros de

uma equação por um mesmo número não-nulo, a

igualdade se mantém.

Exemplo:

Vejamos alguns exemplos:

Seja a equação:

Seja a equação:

Seja a equação:

Membros de uma equação Numa equação a expressão situada à esquerda da

igualdade é chamada de 1º membro da equação, e a

expressão situada à direita da igualdade, de 2º membro

da equação.

Exemplo:

- 3x + 12 = 2x - 9 1º membro 2º membro

Cada uma das parcelas que compõem um membro de

uma equação é chamada termo da equação.

4x – 9 = 1 – 2x

Termos:


20


Variável (ou incógnita) de uma equação: Os elementos desconhecidos de uma equação são chamados de

variáveis ou incógnitas.

Exemplos:

A equação x + 5 = 18 tem uma incógnita: x

A equação x – 3 = y + 2 tem duas incógnitas: x e y

A equação a² – 3b + c = 0 tem três incógnitas: a, b e c

Cada um dos valores que, colocados no lugar da

incógnita, transforma a equação em uma sentença verdadeira é chamado de raiz da equação. Para

verificarmos se um dado número é ou não raiz de uma

equação, basta substituirmos a incógnita por esse número

e observarmos se a sentença obtida é ou não verdadeira.

1º exemplo: verificar se três é raiz de 5x – 3 = 2x + 6

2º exemplo: verificar se -2 é raiz de x² – 3x = x – 6

O princípio aditivo e o princípio multiplicativo servem

para facilitar o entendimento da solução de uma equação,

mas para resolvê-la existe um método simples e prático

que é o seguinte:

Resolver a equação 5x – 8 = 12 + x

Colocamos no primeiro membro os termos que apresentam variável, e no segundo membro os termos

que não apresentam variável. Os termos que mudam de

membro têm os sinais trocados.

5x – 8 = 12 + x

5x – x = 12 + 8

Calculamos a somas algébricas de cada termo: 4.x = 20

Quando se passa de um membro para o outro se usa a

operação inversa, ou seja, o que está multiplicando passa

dividindo e o que está dividindo passa multiplicando. O que está adicionando passa subtraindo e o que está

subtraindo passa adicionando. O número 4 no primeiro

membro está multiplicando o x então ele passará dividindo no segundo membro.

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU

COM DUAS VARIÁVEIS

Um sistema de equações com duas variáveis, x e y,

é um conjunto de equações do tipo

ax + by = c (a, b, c R)

ou de equações redutíveis a esta forma.

Exemplo:

Resolver um sistema significa encontrar todos os pares ordenados (x; y) onde os valores de x e de y

satisfazem a todas as equações do sistema ao mesmo

tempo.

Exemplo:

No sistema indicado no exemplo anterior, o único

par ordenado capaz de satisfazer às duas equações

simultaneamente é:

(x; y) = (2; 1) ou seja, x = 2 e y = 1

Resolução algébrica

Dentre os vários métodos de resolução algébrica

aplicáveis aos sistemas do 1° grau, destacamos dois:

• método da adição

• método da substituição

Para exemplificá-los, resolveremos o sistema

seguinte pelos dois métodos:

A) Método da Adição

1° passo: Multiplicamos as equações por números

escolhidos de forma a obtermos coeficientes opostos em

uma das variáveis. No caso, poderemos multiplicar a

equação (I) por -2:


21


Observe que a variável y tem, agora, coeficientes opostos.

2º passo: Somamos membro a membro as equações

encontradas:

A variável y foi cancelada restando apenas a

variável x na última equação.

3º passo: Resolvemos a equação resultante que tem somente uma variável:

-1x = -2

x = 2

4º passo: O valor da variável encontrada é substituído

numa das equações iniciais que contenha também a outra

variável e, então, resolvemos a equação resultante:

2x + y = 7

2(2) + y = 7

4 + y = 7

y = 7 -4 y = 3

5º passo: Escrevemos o conjunto-solução:

S = {(2; 3)}

B) Método da Substituição

1º passo: Isolamos uma das variáveis em uma das

equações dadas:

2º passo: a variável isolada é substituída na outra

equação e, então, resolvemos a equação resultante que

tem somente uma variável:

3x +2y = 12

3x + 2(7 - 2x) = 12 3x +14 - 4x = 12

3x – 4x = 12- 14

-1x = -2

x = 2

3º passo: Levamos o valor encontrado para a equação

que tem a variável isolada e calculamos o valor desta:

y = 7 -2x

y = 7 -2 (2)

y = 7 -4

y = 3

4° passo: Escrevemos o conjunto-solução:

S = {(2; 3)}

QUESTÕES

01) (UPENET) Um pequeno criador tem em sua

criação 150 porcos e galinhas. Sabendo-se que o

número de pés dos animais é igual a 400, é

CORRETO afirmar que o criador tem

A) 25 porcos.

B) 50 porcos.

C) 35 porcos.

D) 42 porcos.

E) 55 porcos.

02) (UPENET) Um copo cheio de água pesa 325g. Se jogarmos metade da água fora, seu peso cai para

180g. O peso do copo vazio é de

A) 20g

B) 25g

C) 35g

D) 40g

E) 45g


MUNICIPAL) Em um concurso público, numa

prova de 50 quesitos, um candidato obtém 110

pontos. Sabendo-se que em cada questão correta o candidato ganha 3 pontos, e a cada questão

incorreta, perde 2 pontos, podemos afirmar que o

número de questões que o candidato acertou é

A) ímpar.

B) divisível por 5.

C) múltiplo de 4.

D) divisível por 9.

E) múltiplo de 7.

04) (UPENET 2009 – GGUUAARRDDAA MMUUNNIICCIIPPAALL

OOLLIINNDDAA) Luis foi à farmácia e anotou os preços dos remédios que pretendia levar. Chegando em

casa, deu o seguinte problema ao seu irmão:

- o preço do remédio A somado ao preço do remédio

B totalizou R$ 98,00;

- o preço do remédio B somado ao preço do remédio

C totalizou R$ 130,00;

- o preço do remédio C somado ao preço do remédio

A totalizou R$ 100,00.

Partindo desses dados, quanto qual a diferença de

preços entre os remédios C e A?

A) 14 B) 23

C) 32

D) 45

E) 56


22


05) (UPENET 2011 – EXPRESSO CIDADÃO) Numa corrida de aventura, as equipes são formadas

por três atletas. completado 1/2 da trajetória

estabelecida para o ciclismo, passa o seu bastão

para o segundo atleta que completará mais 1/4 do

total do percurso, quando foi advertido pelo seu

técnico para que se poupasse, uma vez que o

terceiro atleta não poderá finalizar os 1.500m de

natação, pois está contundido atleta) terá que

finalizar o restante desta prova. Nesse contexto,

conclui

A) 6.000m. B) 5.000m.

C) 4.500m.

D) 6.500m.

E) 5.500m.

06) (UPENET 2009 – PMPE) A Polícia Militar de

Pernambuco possui uma frota de 1500 carros, sendo

que uma parte utiliza como combustível gasolina, e

o restante, bicombustível, que funciona com álcool

e gasolina. O novo comandante determinou que,

neste total de 1500 carros, 80% dos carros a gasolina e 60% dos bicombustíveis sofressem uma

conversão para também funcionar a gás. Sabendo-

se que, após a conversão, 840 do total de carros

passaram a utilizar dois e somente dois tipos de

combustível, é CORRETO afirmar que o número de

carros que permaneceram consumindo somente

gasolina é igual a

A) 600

B) 200

C) 120

D) 400

E) 500

07) (UPENET 2009 – PMPE) Resolvendo o sistema

abaixo, é CORRETO afirmar que 2xy é igual a

A) 12

B) 24

C) 16

D) 20

E) 18

08) (UPENET 2009 – GGUUAARRDDAA MMUUNNIICCIIPPAALL

OOLLIINNDDAA) Mateus quer fazer uma viagem a pé de

630 km. Caso ele caminhe 10 km a mais por dia,

andará 4 dias a menos para realizar a viagem.

Sendo ―d‖ o número de dias gastos para fazer a viagem e ―k‖ o número de km que caminhou por

dia, é possível dizer que k - d é igual a

A) 16

B) 17 C) 18

D) 19

E) 20

09) (CESPE 2011 - CORREIOS) Em uma empresa, os

empregados têm direito a descanso remunerado de

um dia a cada 15 dias trabalhados. Em determinado

ano, os dias trabalhados e os dias de descanso

somaram 224 dias. Com base nessa situação, é

correto afirmar que, nesse ano, a quantidade de dias

de descanso desses empregados foi A) superior a 16 e inferior a 20.

B) superior a 20 e inferior a 24.

C) superior a 24.

D) inferior a 12.

E) superior a 12 e inferior a 16.

10) (CESPE 2011 - CORREIOS) Considerando-se

que 3 caixas de encomenda do tipo 2B e 3 caixas de

encomenda do tipo flex correios custem, ao todo,

R$ 12,00 e que 5 caixas do tipo 2B e 10 do tipo flex

correios custem, ao todo, R$ 28,00, é correto afirmar que uma caixa do tipo 2B custa

A) R$ 2,40.

B) R$ 3,15.

C) R$ 3,20.

D) R$ 1,20.

E) R$ 2,00.

Em um escritório, a despesa mensal com os salários

dos 10 empregados é de R$ 7.600,00. Nesse

escritório, alguns empregados recebem,

individualmente, R$ 600,00 de salário mensal e os

outros, R$ 1.000,00. QUESTÃO 32

11) (CESPE 2011 - CORREIOS) Se, para atender a

crescente demanda de serviços, o escritório triplicar

a quantidade de empregados com salário de R$

600,00 e duplicar a quantidade de empregados com

salário de R$ 1.000,00, então a despesa desse

escritório com os salários de seus empregados

passará a ser de

A) R$ 18.800,00.

B) R$ 18.000,00.

C) R$ 18.200,00. D) R$ 18.400,00.

E) R$ 18.600,00.

12) (TRT 24º Região 2011 – MS – FCC) Do total de

pessoas que visitaram uma Unidade do Tribunal

Regional do Trabalho de segunda a sexta-feira de

certa semana, sabe-se que:

1/5 o fizeram na terça-feira e 1/6 na sexta-feira.

Considerando que o número de visitantes da

segunda-feira correspondia a 3/4 do de terça-feira e

que a quarta-feira e a quinta-feira receberam, cada

uma, 58 pessoas, então o total de visitantes recebidos nessa Unidade ao longo de tal semana é

um número


23


A) divisível por 48. B) maior que 250.

C) menor que 150.

D) múltiplo de 7.

E) quadrado perfeito.

GABARITO:

1-C 2-C 3-E 4-C 5-A 6-C 7-D

8-B 9-E 10-A 11-A 12-A

RAZÕES E PROPORÇÕES

Chama-se razão de dois números, dados numa

certa ordem e sendo o segundo diferente de zero, ao

quociente do primeiro pelo segundo. Assim, a razão

entre os números a e b pode ser dita ―razão de a para b” e representada como:

b

a ou a : b

Onde a é chamado antecedente enquanto b é chamado

conseqüente da razão dada. Ao representar uma razão

freqüentemente simplificamos os seus termos

procurando, sempre que possível, torná-los inteiros.

Exemplos: A razão entre 3 e 0,75 é:

1443

43

4

3

3

75,0

3para

A razão entre ée

5

2

6

1

:

12512

5

2

5

6

1

5

2

6

1

para

Proporção: é a expressão que indica uma igualdade

entre duas ou mais razões. A proporção d

c

b

a

pode ser

lida como ―a está para b assim como c está para d‖ e

representada como a : b : : c : d. Nesta proporção, os

números a e d são os extremos e os números b e c são os

meios.

OBS: Em toda proporção o produto dos extremos é igual

ao produto dos meios.

Quarta proporcional de três números dados, a, b e c

nesta ordem, é o número x que completa com os outros

três uma proporção tal que:

x

c

b

a

Exemplo: Determinar a quarta proporcional dos

números 3,5 e 15 nesta ordem.

Solução:

.253

757531553

15

5

3xxxx

x

Proporção contínua é aquela que tem meios iguais.

Exemplo:

A proporção 45

15

15

5

é contínua, ela tem seus meios iguais a 15.

Numa proporção contínua temos: O valor comum dos

meios é chamado média proporcional (ou média geométrica) dos extremos.

Ex.: 8 é a média proporcional entre 4 e 16, pois 16

8

8

4

O último termo é chamado terceira proporcional.

Ex.: 7 a terceira proporcional dos números 28 e 14, pois

7

14

14

28

.

Proporção múltipla é a igualdade simultânea de três ou

mais razões.

Exemplo:

f

e

d

c

b

a

Razões inversas são duas razões cujo produto é igual a 1.

Exemplo:

114

22

11

7

,

então dizemos que ― 7 está para 11 na razão inversa de

22 para 14’’.

Quando duas razões são inversas, qualquer uma delas forma uma proporção com o inverso da outra.

Exemplo:

14

22

11

7e

são razões inversas.

Então, 11

7

faz proporção com 22

14

(que é o inverso de 14

22

)


24


Propriedades das proporções

Considere as proporções:

1ª propriedade: Numa proporção, a soma dos dois

primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim

como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).

e

2ª propriedade: Numa proporção, a diferença dos dois

primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim

como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).

e

3ª propriedade: Numa proporção, a soma dos

antecedentes está para a soma dos conseqüentes, assim

como cada antecedente está para o seu conseqüente.

4ª propriedade: Numa proporção, a diferença dos

antecedentes está para a diferença dos conseqüentes,

assim como cada antecedente está para o seu

conseqüente.

5ª propriedade: Numa proporção, o produto dos

antecedentes está para o produto dos conseqüentes,

assim como o quadrado de cada antecedente está para

quadrado do seu conseqüente.

DIVISÃO PROPORCIONAL

Grandezas diretamente proporcionais

Dada a sucessão de valores (a1, a2, a3, a4, ... ),

dizemos que estes valores são diretamente

proporcionais aos correspondentes valores da sucessão

(b1, b2, b3, b4, ...) quando forem iguais as razões entre

cada valor de uma das sucessões e o valor

correspondente da outra.

são todas iguais, sendo igual a ½ o fator de

proporcionalidade da primeira para a segunda.

Como se pode observar, as sucessões de números

diretamente proporcionais formam proporções

múltiplas (já vistas no capítulo de razões e proporções).

Assim sendo, podemos aproveitar todas as técnicas

estudadas no capítulo sobre proporções para resolver

problemas que envolvam grandezas diretamente

proporcionais.

Grandezas inversamente proporcionais

Dada a sucessão de valores (a1, a2, a3, a4, ... ), todos

diferentes de zero, dizemos que estes valores são

inversamente proporcionais aos correspondentes valores

da sucessão (b1, b2, b3, b4, ...), todos também diferentes

de zero, quando forem iguais os produtos entre cada

valor de uma das sucessões e o valor correspondente da

outra.

Exemplo:

Os valores 2, 3, 5 e 12 são inversamente proporcionais

aos valores 30, 20, 12 e 5, nesta ordem, pois os produtos

2 x 30, 3 x 20, 5 x 12 e 12 x 5 são todos iguais.

Relação entre proporção inversa e

proporção direta

Sejam duas sucessões de números, todos diferentes

de zero. Se os números de uma são inversamente

proporcionais aos números da outra, então os números

de uma delas serão diretamente proporcionais aos

inversos dos números da outra. Esta relação nos permite

trabalhar com sucessões de números inversamente

proporcionais como se fossem diretamente

proporcionais.

Divisão em partes proporcionais

1° caso: Divisão em partes diretamente

proporcionais

Dividir um número N em partes diretamente

proporcionais aos números a, b, c, ..., significa encontrar

os números A, B, C, ..., tais que:

A + B + C + ... = N


25


EXERCÍCIO RESOLVIDO

1. Dividir o número 72 em três partes diretamente

proporcionais aos números 3, 4 e 5. Indicando por A, B, e C as partes procuradas, temos que:

A = 3p, B = 4p, C = 5p e A + B + C = 72

Portanto:

3p + 4p + 5p = 72 → 12p = 72 → p = 6

valor de A→ 3p = 3 x 6 = 18

valor de B → 4p = 4 x 6 = 24

valor de C → 5p = 5 x 6 = 30

Portanto, as três partes procuradas são 18, 24 e 30.

2º caso: Divisão em partes inversamente

proporcionais

Dividir um número N em partes inversamente proporcionais a números dados a, b, c,..., significa

encontrar os números A, B, C, ... tais que:

a x A = b x B = c x C =... e

A + B + C + ... = N

2. Dividir 72 em partes inversamente proporcionais

aos números 3, 4 e 12. Usando a relação entre

proporção inversa e proporção direta, podemos

afirmar que as partes procuradas serão diretamente

proporcionais a

Reduzindo as frações ao mesmo denominador,

teremos:

Desprezar os denominadores (iguais) manterá as

proporções e ainda simplificará nossos cálculos. Então,

poderemos dividir 72 em partes diretamente

proporcionais a 4, 3 e 1 (numeradores). Indicando por A,

B e C as três partes procuradas, teremos:

A = 4p, B = 3p, C = 1p

A + B + C = 72

Logo, 4p + 3p + 1p = 72

Daí, 8p = 72

p = 72/8

p = 9

Assim, concluímos que:

A = 4p A = 4 x 9 = 36

B = 3p B = 3 x 9 = 27 e

C = 1p C = 1 x 9 = 9

Portanto, as partes procuradas são 36, 27 e 9.

3º caso: Divisão composta direta

Chamamos de divisão composta direta à divisão de

um número em partes que devem ser diretamente

proporcionais a duas ou mais sucessões de números

dados, cada uma. Para efetuarmos a divisão composta

direta, devemos:

1º) encontrar uma nova sucessão onde cada valor será o

produto dos valores correspondentes das sucessões

dadas;

2°) efetuar a divisão do número em partes diretamente

proporcionais aos valores da nova sucessão

encontrada.

3. Dividir o número 270 em três partes que devem ser

diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5 e

também diretamente proporcionais aos números 4,

3 e 2, respectivamente. Indicando por A, B e C as três partes procuradas, devemos ter:

A será ser proporcional a 2 e 4 → 2 x 4 = 8 → A = 8p

B será ser proporcional a 3 e 3 → 3 x 3 = 9 → B = 9p

C será ser proporcional a 5 e 2 → 5 x 2 = 10 → C= 10p

A + B + C = 270 → 8p + 9p + 10p = 270

27p = 270 → p = 10

A = 8p = 8 x 10 = 80

B = 9p = 9 x 10 = 90 C= 10p = 10 x 10 = 100

Portanto, as três partes procuradas são: 80, 90 e 100.

QUESTÕES

01) Assinale a opção cujos números sejam diretamente

proporcionais a 2, 3 e 7.

a) 3, 4 e 8.

b) 4, 9 e 49.

c) 6, 9 e 21.

d) 22, 23 e 27.

e) 22, 32 e 72.

02) Assinale a opção cujos números sejam

inversamente proporcionais a 2, 3 e 7.


26


a) 7, 3 e 2. b) 1/7, 1/3 e 1/2.

c) 0,2 , 0,3 e 0,7

d) 6, 14 e 21.

e) 21, 14 e 6.

03) A divisão do número de vereadores de determinada

cidade é proporcional ao número de votos que cada

partido recebe. Na última eleição nesta cidade,

concorreram apenas 3 partidos, A, B e C, que

receberam a seguinte votação: A teve 10.000 votos,

B teve 20.000 e C, 40.000. Se o número de vereadores dessa cidade é 21, quantos deles são do

partido B?

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10

04) Os números X e Y encontram-se na razão de 5 para

7. Então, se o valor de X é 60 o valor de Y é:

a) 84 b) 80

c) 70

d) 65

e) 35

05) Se Y é diferente de zero, e se X/Y = 4 , então a

razão de 2X – Y para X, em termos percentuais, é

igual a:

1) 75%.

2) 25%.

3) 57%.

4) 175%. 5) 200%.

06) (FCC - 2004 - TRE-PE - Técnico Judiciário -

Área Administrativa) Um total de 141

documentos devem ser catalogados por três

técnicos judiciários. Para cumprir a tarefa,

dividiram os documentos entre si, em partes

inversamente proporcionais às suas respectivas

idades: 24, 36 e 42 anos. Nessas condições, o

número de documentos que coube ao mais jovem

foi a) 78

b) 63

c) 57

d) 42

e) 36

O enunciado abaixo refere-se às questões 07 e 08.

Na tabela abaixo têm-se as idades e os tempos de

serviço de três soldados na corporação, que devem

dividir entre si um certo número de fichas

cadastrais para verificação.

Soldado Idade Tempo serviço

Abel 20 3

Daniel 24 4

Manoel 30 5

07) Se o número de fichas for 518 e a divisão for feita em partes diretamente proporcionais às suas

respectivas idades, o número de fichas que caberá a

Abel é:

a) 140

b) 148

c) 154

d) 182

e) 210

08) Se o número de fichas for 504 e a divisão for feita

em partes diretamente proporcionais às suas

respectivas idades, mas inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço na

corporação, o número de fichas que caberá a:

a) Daniel é 180.

b) Manoel é 176

c) Daniel é 170

d) Manoel é 160

e) Daniel é 162.

09) Às 10 horas do dia 18 de maio de 2007, um tanque

continha 9.050 litros de água. Entretanto, um furo

em sua base fez com que a água escoasse em vazão constante e, então às 18 horas do mesmo dia

restavam apenas 8.850 litros de água em seu

interior. Considerando que o furo não foi

concertado e não foi colocada água dentro do

tanque, pode-se dizer que ele ficou completamente

vazio às:

A) 12 horas de 02/06/2007.

B) 10 horas de 02/06/2007.

C) 12 horas de 29/05/2007.

D) 10 horas de 29/05/2007.

GABARITO:

1-C 2-E 3-A 4-A 5-D 6-B 7-A

8-E 9-A

REGRA DE TRÊS SIMPLES

Regra de três simples é um processo prático para

resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto,

determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da

mesma espécie em colunas e mantendo na mesma

http://www.questoesdeconcursos.com.br/provas/fcc-2004-tre-pe-tecnico-judiciario-area-administrativa

http://www.questoesdeconcursos.com.br/provas/fcc-2004-tre-pe-tecnico-judiciario-area-administrativa


27


linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou

inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplo:

1) Com uma área de absorção de raios solares de

1,2m2, uma lancha com motor movido a energia

solar consegue produzir 400 watts por hora de

energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?

Solução: montando a tabela:

Área (m2)

Energia

(Wh)

1,2 400

1,5 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na

coluna que contém o x (2ª coluna).

Observe que: Aumentando a área de absorção, a

energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando -

aumenta), podemos afirmar que as grandezas são

diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos

uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª

coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação

temos:

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.

QUESTÕES

01) Quatro cães consomem semanalmente 60 kg de

ração. Assim, ao aumentarmos o número de cães

em 75%, o consumo mensal, em kg, considerando o mês de 30 dias, será de:

A) 350

B) 400

C) 450

D) 500

E) 550

02) (CESGRANRIO) Além da destruição causada pela

lava incandescente, uma erupção vulcânica

provoca, também, um grande acúmulo de cinzas na

região atingida. O peso de uma camada de 2,5cm de cinzas, cobrindo uma área de 100m2, é 8 toneladas.

Uma camada de cinzas de 12,8 toneladas que ocupe

uma área de 200m2 terá uma espessura de quantos

centímetros?

A) 1,6

B) 2,0

C) 3,2

D) 3,6

E) 4,0

03) (CESGRANRIO) As motonetas (scooters e motos de baixa cilindrada) caíram no gosto dos brasileiros

e ganharam as ruas. Isto porque, além de serem

mais baratas do que um carro popular, são muito

econômicas. Enquanto um carro popular percorre,

em média, 15 km com um litro de gasolina, a média

de uma motoneta é de 40 km por litro.

Considerando-se as médias apresentadas, que

distância, em km, um carro popular conseguiria

percorrer com a mesma quantidade de gasolina

necessária para que uma motoneta percorresse 600

km?

A) 120 B) 150

C) 225

D) 300

E) 375

04) (CESGRANRIO) Para reduzir o consumo de

energia elétrica, uma empresa instalou dois painéis

solares que, juntos, ocupam 560 m2. Se as áreas dos

dois painéis são diretamente proporcionais a 3 e a 1,

qual a diferença, em m2, entre essas áreas?

A) 140 B) 210

C) 280

D) 300

E) 320

05) (CESGRANRIO) Para assistir televisão com

conforto, o telespectador deve estar a certa distância

da TV. A distância ideal entre o telespectador e a

TV é diretamente proporcional à medida da tela. Se,

para uma TV de 20 polegadas, a distância ideal é de

1,5 m, pode-se concluir que a distância ideal, em

metros, entre o telespectador e uma TV de 32 polegadas é de:

A) 1,8


28


B) 2,2 C) 2,4

D) 2,8

E) 3,0

06) (CESGRANRIO) ―E se todos os carros do mundo

fossem movidos a álcool? (...) A implantação de um

programa de álcool tão ambicioso precisaria ser

impecável. (...) Um especialista em agronegócio fez

as contas: para abastecer a atual frota, estimada em

800 milhões de automóveis, seriam necessários 2,5

trilhões de litros anuais de álcool produzidos em 400 milhões de hectares de canaviais. Isto equivale

a cerca de um terço de toda a área cultivada do

planeta.‖ Revista Superinteressante, maio de 2006. (adaptado)

Se a frota mundial aumentasse em 640 milhões de

automóveis, a quantidade anual de álcool necessária

para abastecer toda a frota, em trilhões de litros,

passaria a ser:

A) 3,1

B) 4,0

C) 4,5

D) 5,2

E) 8,0

07) (CESGRANRIO) Nas eliminatórias dos jogos Pan-Americanos, um atleta brasileiro percorreu 100

metros em 2 minutos e 30 segundos. No mesmo

ritmo, quantos minutos ele levaria para percorrer

200 metros?

A) 3 minutos e 10 segundos.

B) 3 minutos e 40 segundos.

C) 4 minutos e 30 segundos.

D) 5 minutos.

E) 6 minutos.

08) (CESGRANRIO) Para pesquisar se uma área é

viável para mineração, é necessário obter um alvará e pagar uma taxa anual de R$ 1,55 por hectare.

Uma empresa que solicitar autorização para

pesquisa em uma área de 652,2 hectares pagará, em

reais, uma taxa anual de:

A) 807,70

B) 987,81

C) 1.010,91

D) 1.102,79

E) 1.325,53

09) (FCC - 2004 - TRE-PE - Técnico Judiciário - Área Administrativa) Um relógio está atrasando

40 segundos por hora. Se ele for acertado às 12

horas, então, às 08 horas do dia seguinte, estará

marcando

a) 7 h 42 min 20 s

b) 7 h 44 min 30 s

c) 7 h 46 min 40 s

d) 7 h 48 min 20 s

e) 7 h 50 min 30 s

10) (CESGRANRIO) O real perdeu muito seu poder de compra de 1994 até hoje. Para se ter uma idéia

dessa perda, um estudo da consultoria global invest

mostrou que, com o dinheiro necessário para

comprar 8 pizzas ou 20 entradas de cinema em

1994, hoje o consumidor consegue comprar

somente 3 pizzas ou 5 entradas de

cinema.Considerando as proporções apresentadas

nesse estudo, quantas pizzas poderiam ser

compradas em 1994 com a mesma quantia

necessária para comprar hoje, 20 entradas de

cinema. A) 36

B) 32

C) 24

D) 16

E) 12

Texto para as questões 11 e 12

Uma equipe de conferentes analisou os registros de

determinados documentos. Todos os membros

dessa equipe trabalham com a mesma eficiência, e 3 deles analisaram 60% de todo o material.

QUESTÃO 34

11) (CESPE 2011 - CORREIOS) Na situação

apresentada, a quantidade de material analisado por

2 dos conferentes corresponde a

A) 48% de todo material.

B) 44% de todo material.

C) 40% de todo material.

D) 56% de todo material.

E) 52% de todo material.

QUESTÃO 35

12) (CESPE 2011 - CORREIOS) A partir das informações do texto, infere-se que a quantidade de

conferentes da equipe é igual a

A) 6.

B) 7.

C) 8.

D) 9.

E) 5.

GABARITO:

1-C 2-B 3-C 4-C 5-C 6-C 7-D

8-C 9-C 10-B 11-C 12-E

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

A regra de três composta é utilizada em problemas

com mais de duas grandezas, direta ou inversamente

proporcionais.

Exemplo:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão

necessários para descarregar 125 m3?


29


Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as

grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

Horas Caminhões Volume

8 20 160

5 x 125

Identificação dos tipos de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na

coluna que contém o x (2ª coluna).

A seguir, devemos comparar cada grandeza com

aquela onde está o x.

Observe que:

Aumentando o número de horas de trabalho, podemos

diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é

inversamente proporcional (seta para cima na 1ª

coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o

número de caminhões. Portanto a relação é diretamente

proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos

igualar a razão que contém o termo x com o produto das

outras razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão necessários 25 caminhões.

FORMA PRÁTICA DE RESOLVER PROBLEMAS

DE REGRA DE TRÊS COMPOSTA

a) Escrever em coluna as variáveis do mesmo tipo, ou

seja, aquelas expressas na mesma unidade de

medida, tendo o cuidado de escrever o valor

desconhecido (x) sempre na segunda linha,

conforme esquema mostrado no item (c) abaixo.

b) Identificar aquelas que variam num mesmo sentido

(grandezas diretamente proporcionais) e aquelas

que variam em sentidos opostos (grandezas

inversamente proporcionais), marcando-as com

setas no mesmo sentido ou sentidos opostos,

conforme o caso.

c) A incógnita x será obtida da forma sugerida no

esquema abaixo, dada como exemplo de caráter

geral.

Sejam as grandezas A, B, C e D, que assumem os

valores indicados abaixo, e supondo-se, por exemplo,

que a grandeza A seja diretamente proporcional à

grandeza B, inversamente proporcional à grandeza C e

inversamente proporcional à grandeza D, podemos

montar o esquema a seguir:

Neste caso, o valor da incógnita x será dado por:

Observem que para as grandezas que variam no mesmo

sentido, multiplicamos x pelos valores invertidos e para

as grandezas que variam em sentidos opostos,

multiplicamos pelos valores como aparecem no

esquema.

QUESTÕES

01) Um carpinteiro fabrica 3 bancos em 2 horas. Seus

aprendizes fabricam, cada um, 2 bancos em 3 horas.

Quantos aprendizes, no mínimo, devem trabalhar

com o carpinteiro para que essa equipe possa

fabricar 7 bancos em 2 horas?

(A) 7

(B) 6 (C) 5

(D) 4

(E) 3

02) Em uma fábrica, vinte e cinco máquinas produzem

15.000 peças de automóvel em doze dias,

trabalhando 10 horas por dia. Quantas horas por dia

deverão trabalhar 30 máquinas, para produzirem

18.000 peças em 15 dias?

a) 11 h

b) 12 h

http://br.geocities.com/paulomarques_math/arq1-13.htm




30


c) 15 h d) 8 h

03) Certo trabalho é executado por 15 máquinas iguais,

em 12 dias de 10 horas. Havendo defeito em três

das máquinas, quantos dias de 8 horas deverão

trabalhar as demais, para realizar o dobro do

trabalho anterior?

a) 37,5 dias

b) 40 dias

c) 30 dias

d) 25 dias

04) Vinte e cinco teares trabalhando oito horas por dia,

durante 10 dias, fizeram 1200 metros de certo

tecido. Vinte teares trabalhando nove horas por dia

durante dezoito dias produzirão quantos metros do

mesmo tecido?

a) 1944 m

b) 2000 m

c) 1500 m

d) 1100 m

05) Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia,

durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo

produto. Quantas toneladas do mesmo produto

seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo,

operando 6 horas por dia, durante 6 dias?

a) 8

b) 15

c) 10,5

d) 13,5

GABARITO:

1-E 2-D 3-A 4-A 5-D

PORCENTAGEM

Para compreendermos o que é uma porcentagem

temos que saber claramente o que é uma razão, as razões

com denominador 100 (razões centesimais) podem ser

expressas em forma de porcentagem:

Exemplo 1:

De um grupo de 100 jogadores, 30 praticam basquete.

Isso significa que 30% (trinta por cento) dos jovens

praticam basquete.

Exemplo 2:

Num lote de 50 lâmpadas, 13 apresentam defeito; a razão entre o número de lâmpadas defeituosas e o total de

lâmpadas é dada por:

O que significa que, se o lote contivesse 100 lâmpadas,

deveríamos encontrar 26 com defeitos.

Exemplo 3:

Outro modo de representar a taxa de 4% = 4/100 é

obtido, simplesmente, efetuando a divisão de 4 por 100:

4 : 100 = 0,04

Dessa forma:

►37% = 0,37 ►80% = 0,80 = 0,8 ►14,5% = 0,145 ►100% = 1

►250% = 2,50 = 2,5 ►0,7% = 0,007

Exemplo 4:

Uma bolsa é vendida por R$ 32,00. Se seu preço

aumentar em 20%, quanto passaria a custar?

Temos:

1º) o aumento seria 20% de 32 = 0,2 x 32 = 6,40

2º) o novo preço seria 32 + 6,40 = R$ 38,40.

Poderíamos fazer simplesmente:

Observe que o preço inicial fica multiplicado por 1,2.

Portanto, se tivéssemos:

♦ Um aumento de 30% multiplicaria o preço por 1,3; ♦ Um aumento de 16% multiplicaria o preço por 1,16;

♦ Um aumento de 5% multiplicaria o preço por 1,05;

Se por outro lado a bolsa fosse anunciada com um

desconto de 20% sobre o preço original, a bolsa passaria

a custar:

http://www.brasilescola.com/matematica/razao.htm


31


Observe que o preço fica multiplicado por 0,8. Assim, se tivéssemos:

♦ Desconto de 30% multiplicaríamos o preço original

por 0,7;


por 0,84;


por 0,95

QUESTÕES


MUNICIPAL) Se o comprimento do raio de um

círculo é aumentado em 30% de seu valor, então a

sua área aumenta em

A) 60%

B) 69%

C) 80%

D) 35%

E) 43%


MUNICIPAL) Na sala de aula de Maria Eduarda,

60% dos alunos são meninos. Passado o 1º mês de

aula, 10 alunos mudaram de sala. Depois da saída

dos 10 meninos, a sala ficou com um número de

meninos igual ao número de meninas. Qual era o

total de estudantes (meninos e meninas) da sala

deMaria Eduarda no início das aulas?

A) 50

B) 40 C) 55

D) 45

D) 48


MUNICIPAL) Um artigo é vendido em uma loja

por R$ 125,00. Sobre esse preço, são dados dois

abatimentos sucessivos: um de 16%, e outro de p%.

Se o preço de tal artigo reduziu-se a R$ 81,90,

então p é igual a:

A) 18

B) 22 C) 20

D) 24

E) 26

04) (CESPE 2011 - CORREIOS) Considere que, em

uma empresa, 50% dos empregados possuam nível

médio de escolaridade e 5%, nível superior.

Guardadas essas proporções, se 80 empregados

dessa empresa possuem nível médio de

escolaridade, então a quantidade de empregados

com nível superior é igual a A) 8.

B) 10.

C) 15.

D) 20. E) 5.

05) (CESPE 2011 - CORREIOS) Um cliente

comprou, em uma agência dos Correios, selos

comemorativos dos 150 anos do nascimento do

padre Landell de Moura e dos 150 anos de

fundação da Caixa Econômica Federal (CAIXA).

Para o pagamento desses produtos, o cliente

entregou certa quantia em reais e notou que 3/4

dessa quantia correspondiam ao custo dos selos

comemorativos dos 150 anos do padre Landell de Moura e 1/5, ao custo dos selos comemorativos dos

150 anos da CAIXA. Nessa situação, com relação à

quantia entregue para pagamento, o troco a que faz

jus o cliente corresponde a

A) 20%.

B) 5%.

C) 8%.

D) 10%.

E) 12%.

06) (UPENET) Um empregado recebe três aumentos salariais de aumento. O primeiro de 30%, o

segundo de 20%, e o terceiro de 10%. É

CORRETO afirmar que o aumento total recebido

pelo funcionário foi de

A) 60%.

B) 63%.

C) 80%.

D) 71,6%.

E) 82,70%.

07) (UPENET) Nas últimas eleições para prefeito de

uma determinada cidade, onde 12% dos eleitores votaram em branco e 8% não votaram, o vencedor

obteve 51% dos votos válidos. Não são

considerados válidos os votos em branco e nulos. É

CORRETO afirmar que o vencedor, de fato, obteve

de todos os eleitores um percentual de votos da

ordem de

A) 58%

B) 31,8%

C) 44,7%

D) 40,8%

E) 50,1%

08) (UPENET PCPE 2007) Uma agência de

automóveis vendeu dois veículos por preços iguais,

sendo o primeiro com um lucro de 30% sobre o

preço de custo, e o segundo, com um prejuízo de

30% sobre o preço de custo. Então, relativamente

ao custo total dos veículos, a agência

A) obteve um lucro de 7%.

B) obteve um prejuízo de 7%.

C) obteve um lucro de 9%.

D) obteve um prejuízo de 9%.

E) não obteve lucro nem prejuízo.


32


09) (UPENET PCPE 2007) Uma empresa dispensou 20% de seus empregados e aumentou o salário dos

restantes, fazendo com que o valor de sua folha de

pagamentos diminuísse 10%. O salário médio da

empresa - valor da folha de pagamentos dividido

pelo número de empregados - teve um aumento

percentual de

A) 15%

B) 12,5%

C) 17,5%

D) 10%

E) 10,25%

GABARITO:

1-B 2-A 3-B 4-A 5-B 6-D 7-D

8-D 9-B

ANOTAÇÕES


33


Prezado Aluno,

Aqui são revisados alguns dos conceitos

básicos de lógica, trataremos de métodos

e princípios usados para distinguir entre o

raciocínio correto e o incorreto, uso de

linguagens, formais e informais,

diagramas de Venn, tabelas verdade,

notação simbólica, dedução de provas etc.

Esse estudo introduz noções

fundamentais e técnicas da lógica formal

que podem ser utilizadas em diferentes

concursos públicos. Em particular, fornecem uma base de raciocínio

necessário para outras disciplinas que são

cobradas nos concursos. Desde

Aristóteles e principalmente durante o

século XX, a lógica experimentou um

desenvolvimento monumental em direção

a assuntos altamente especializados, que

hoje é considerada praticamente um ramo

da matemática. Foi principalmente por

causa dos estudos em lógica que hoje

podemos nos sentar diante de um

computador pessoal e nos conectar com o restante do planeta para trocar

informações, desenvolver pesquisas ou

simplesmente nos divertir.

Bem vindo ao Curso e sucesso em sua

caminhada! Valclides Guerra

Professor

Raciocínio Lógico

Prof.: Valclides Guerra

Conteúdo abordado nesta apostila:

A) Lógica Proposicional: proposições simples e compostas, negação das proposições simples e

compostas; princípios fundamentais, conectivos

lógicos, os símbolos da linguagem do cálculo proposicional ou sentencial;

B) Estruturas lógicas: classificação da lógica

(dedutiva e indutiva), argumentos (premissas,

inferência e conclusão), argumentos dedutivos válidos e inválidos; tautologia, contradição e

contingência;

C) Tabela verdade (número de linhas e colunas, valoração e juízos);

D) Lógica sentencial ou de primeira ordem;

diagramas lógicos (quantificadores universais e

existenciais, variações e negação), diagramas de venn;

E) Verdades e mentiras; problemas de

correlacionamentos;

F) Raciocínio Lógico quantitativo.


34


RACIOCÍNIO LÓGICO

MATEMÁTICO

desenvolvimento do pensamento lógico,

essencial para a elaboração, a expressão e a

compreensão das ideias e indispensável à

compreensão dos fatos e dos fenômenos sociais,

culturais e históricos e à identificação dos nexos –

lógicos, factuais e eventuais - entre eles, é indispensável

ao processo de desenvolvimento do raciocínio que

permite a construção de conhecimentos novos a partir de

conhecimentos anteriores e o aperfeiçoamento e a

ampliação desses, isto é, à aprendizagem.

O conhecimento é construído, assimilado e aperfeiçoado no cotidiano, a partir das experiências

sociais - principalmente nas relações interpessoais - e

através dos meios de comunicação social e, também,

através de experiências formais de aprendizagem,

principalmente aquela que se dá nas instituições

escolares. No primeiro caso, o processo é dito

―espontâneo‖ e está associado à lógica natural e no segundo, é dito ―científico‖ e se coloca no âmbito da

lógica formal.

O Dicionário Conciso Oxford de Inglês define lógica como "a ciência do raciocínio, prova, pensamento

ou inferência". A lógica irá deixar você analisar um

argumento ou um pedaço de raciocínio, e deduzir onde é

provável de ele ser correto ou não. Você não precisa

saber lógica para argumentar, claro; mas se você sabe pelo menos um pouco, você vai achar mais fácil para

apontar argumentos inválidos.

INTRODUÇÃO

A Lógica Matemática, em síntese,

pode ser considerada como a ciência

do raciocínio e da demonstração. Este

importante ramo da Matemática

desenvolveu-se no século XIX,

sobretudo através das ideias de

George Boole, matemático inglês

(1815 - 1864), criador da Álgebra

Booleana, que utiliza símbolos e operações algébricas para representar proposições e suas

inter-relações.

As ideias de Boole tornaram-se a base da Lógica

Simbólica, cuja aplicação estende-se por alguns ramos da

eletricidade, da computação e da eletrônica. A lógica

matemática (ou lógica simbólica) trata do estudo das

sentenças declarativas também conhecidas como

proposições, as quais devem satisfazer a alguns

princípios fundamentais.

PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS

Princípio da Não Contradição: Uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.

Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si

mesmo.

Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição só

pode ser verdadeira ou falsa, não havendo outra

alternativa.

CONCEITO DE PROPOSIÇÃO

PROPOSIÇÃO: são sentenças declarativas afirmativas

que exprimem um pensamento de sentido completo que podem ser verdadeiras ou falsas.

Lembre-se de que a lógica formal ou proposicional tem

como objetivo utilizar frases declarativas e que não

possuam ambiguidade.

Alguns exemplos de Sentenças abertas e fechadas

1. Frases que não são proposições (são chamadas

sentenças abertas)

o Pare!

o Quer uma xícara de café?

o Ele foi o melhor jogador de 2007. o O dia estava nublado.

Uma pergunta, uma interjeição, uma ordem, frases

sem verbo, citações, poesias, valores desconhecidos

(incógnitas), pronomes etc. não representam proposições.

2. Frases que são proposições (são chamadas

sentenças fechadas)

o A lua é o único satélite do planeta terra. (V)

o A cidade de Patos é a capital do estado do Amazonas. (F)

o O número 712 é par. (V)

o O Brasil é um país da América do Norte. (F)

Portanto, caros concursandos, as proposições

assumem alguns valores lógicos!

A frase deve conter sujeito e predicado, devem

estar especificados o sujeito e o predicado, devendo ter sentido completo (podendo ser verdadeira ou

falsa).

Chama-se valor lógico de uma proposição a

verdade se a proposição é verdadeira e a falsidade

se a proposição é falsa. Os valores lógicos verdade

e falsidade de uma proposição designam-se

O


35


abreviadamente pelas letras V e F, respectivamente. Assim, o que os princípios da não contradição e do

terceiro excluído afirmam é que: Toda proposição

tem um, e um só, dos valores V, F. Assim, por

exemplo:

a) O mercúrio é mais pesado que a água.

b) O Sol gira em torno da Terra.

O valor lógico da proposição (a) é a verdade (V) e o

valor lógico da proposição (b) é a falsidade (F).

EXERCÍCIOS

01 Marque com x as sentenças que representam

proposições:

d) Boa prova! ( ) e) Ele é baixo. ( )

f) 2 + 5 > 8. ( )

g) ―A frase dentro destas aspas é uma mentira‖.( )

h) O filme já terminou? ( )

i) Que horas são? ( )

g) Ricardo é juiz. ( )

h) A Lua é um satélite? ( )

i) O Brasil é um país da África do Sul. ( )

j) X é um Estado da Federação Brasileira. ( )

k) A terra é uma estrela. ( )

02 Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma

mesma característica lógica em comum, enquanto

uma delas não tem essa característica.

I. Que belo dia!

II. Um excelente livro de raciocínio lógico.

III. O jogo terminou empatado?

IV. Na palavra Embrapa temos 7 letras.

V. Escreva uma poesia.

A frase que não possui essa característica comum é

a: a) I.

b) II.

c) III

d) IV.

e) V.

03 (BB-CESPE) Há duas proposições no seguinte

conjunto de sentenças:

I) O BB foi criado em 1980.

II) Faça seu trabalho corretamente.

III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.

( ) Certo ( ) Errado

04 (TCE/AC) Na lista de frases a seguir, há

exatamente 2 proposições.

I) Esta frase é falsa.

II) O TCE/AC tem como função fiscalizar o orçamento

do estado do Acre.

III) Quantos são os conselheiros do TCE/AC? ( ) Certo ( ) Errado

05 (SEGER) Na lista de afirmações abaixo, há

exatamente 3 proposições.

I) Mariana mora em Piúma.

II) Em Vila Velha, visite o Convento da Penha.

III) A expressão algébrica x + y é positiva.

IV) Se Joana é economista, então ela não entende de

políticas públicas.

V) A SEGER oferece 220 vagas em concurso público.


06 (TRT 17ª Região 2009) Na sequência de frases

abaixo há três proposições. I) Quantos tribunais regionais do trabalho há na

região Sudeste do Brasil?

II) O TRT/ES lançou edital para preenchimento de 200

vagas.

III) Se o candidato estudar muito, então ele será

aprovado no concurso do TRT/ES.

IV) Indivíduo com 50 anos de idade ou mais não poderá

se inscrever no concurso do TRT/ES.


07 (CESPE – Banco do Brasil 2008) A frase ―Quanto

subiu o percentual de mulheres assalariadas nos

últimos 10 anos?‖ não pode ser considerada uma proposição. ( )


08 (FCC) Sabe-se que sentenças são orações com

sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) e

predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na

relação seguinte há expressões e sentenças:

1. A terça parte de um número. 2. Jasão é elegante.

3. Mente sã em corpo são.

4. Dois mais dois são 5.

5. Evite o fumo.

6. Trinta e dois centésimos.

É correto afirmar que, na relação dada, são

sentenças APENAS os itens de números

A) 1, 4 e 6.

B) 2, 4 e 5.

C) 2, 3 e 5.

D) 3 e 5. E) 2 e 4.

GABARITO

01 c, g, i, k 06 C

02 D 07 C

03 C 08 E

04 E

05 C


36


CONECTIVOS LÓGICOS E AS PROPOSIÇÕES

COMPOSTAS

Os conectivos e os modificadores são elementos aplicados a uma ou mais proposições para formar outras

de maior complexidade. Uma proposição, que não

apresente conectivo nem modificador, é chamada de

“proposição simples” ou “atômica” e aquela que

apresenta conectivo ou modificador é dita “proposição

composta”. As proposições podem ser combinadas entre

si. Para representar tais combinações usaremos os

conectivos lógicos.

Proposição simples ou atômica: é uma frase declarativa

que expressa um pensamento completo acerca de um

objeto, isto é, possui um único objeto de estudo. Indicaremos tais proposições por letras minúsculas do

nosso alfabeto.

Exemplos:

p: O México fica na América do Sul.

q: O número 16 é quadrado perfeito.

r: João é menino de rua.

Proposição composta ou molecular: é formada por

duas ou mais proposições relacionadas pelos conectivos lógicos. Serão indicadas por letras maiúsculas do nosso

alfabeto.

Notação: P(p, q, r, ...) indica que a proposição composta

P é formada pelas proposições simples p, q, r, ...

CONECTIVOS LÓGICOS OU OPERADORES

LÓGICOS: são palavras ou expressões que usamos para

formar novas proposições, a partir de outras proposições.

: e

ou... ou...

: ou

: se...então

: se, e somente se

ou : não

Exemplos:

João é médico e Pedro é dentista:

p q (p e q são chamados conjuntos)

Maria vai ao cinema ou Paulo vai ao circo:

p q (p e q são chamados disjuntos – disjunção

inclusiva)

Ou Luís é baiano, ou é paulista:

p q (p ou q são chamados disjunção exclusiva)

Se chover amanhã de manhã, então não irei à praia:

p q (p é o antecedente e q o conseqüente)

Comprarei uma mansão se, e somente se, eu ganhar na loteria:

p q

A lua não é quadrada:

p

OBSERVAÇÕES SOBRE AS PROPOSIÇÕES:

1. Toda proposição composta é uma proposição.

2. Se A e B são proposições então (A B), (A B),

(A B), (A B) e ( A) também são proposições.

3. São proposições apenas as obtidas por 1 e 2.

O MODIFICADOR NEGAÇÃO

Dada a proposição p, indicaremos a sua negação

por ~p. (Lê-se "não p"). Ex.: p: Três pontos determinam

um único plano (V) ~p: Três pontos não determinam um único plano (F) Obs.: duas negações equivalem a uma

afirmação ou seja, em termos simbólicos: ~(~p) = p.

Exemplo:

p: A lua é quadrada.

p: A lua não é quadrada. ~(~p): A lua é quadrada.

~(~(~p)): A lua não é quadrada.

... e assim por diante!!!

Negação de Proposições Compostas

Exemplos:

Proposição composta: (p q):

João é médico e Pedro é dentista.

Negação: (~p ~q):

João não é médico ou Pedro não é dentista.


João é médico ou Pedro é dentista.


37


Negação: (~p ~q):

João não é médico e Pedro não é dentista.


Se João é médico, então Pedro é dentista.

Negação: (p ~q):

João é médico e Pedro não é dentista.


João é médico se, e somente se, Pedro é dentista.

Negação: [(p ~q) (q ~p)]

João é médico e Pedro não é dentista.

ou

Pedro é dentista e João não é médico.

Resumindo... Preste atenção na tabela abaixo!!!

Negação de (p q) é ~p ~q

Negação de (p q) é ~p ~q

Negação de (p q ) é p ~q

Negação de (p q) é [(p ~q) (q ~p)]

EXERCÍCIOS

01 (FUNCAB 2009) Marque a alternativa que contém

a negação da proposição

―João vai comprar um carro ou um barco‖.

A) ―João vai comprar um carro ou não vai comprar um

barco.‖

B) ―João não vai comprar um carro e não vai comprar um barco.‖

C) ―João não vai comprar um carro ou não vai comprar

um barco.‖

D) ―João vai comprar um carro e vai comprar um

barco.‖

E) ―João não vai comprar um carro e vai comprar um

barco.‖

NE

GA

ÇÃ

O

02 (FUNCAB 2009) Marque a alternativa que contém a

negação da proposição

―É mentira que, se a seleção brasileira de futebol

não ganha, então o seu técnico é demitido‖.

A) ―A seleção brasileira de futebol ganhou ou seu técnico foi demitido.‖

B) ―A seleção brasileira de futebol não ganhou ou o

seu técnico não foi demitido.‖

C) ―A seleção brasileira de futebol não ganhou e o seu

técnico foi demitido.‖

D) ―A seleção brasileira de futebol ganhou ou o seu

técnico não foi demitido.‖

E) ―A seleção brasileira de futebol não ganhou ou o

seu técnico foi demitido.‖

NE

GA

ÇÃ

O


a negação da proposição ―A seleção brasileira de

futebol é forte e preparada‖.

A) ―A seleção brasileira de futebol não é forte ou é

preparada.‖

B) ―A seleção brasileira de futebol não é forte e não é

preparada.‖ C) ―A seleção brasileira de futebol é forte ou não é

preparada.‖

D) ―A seleção brasileira de futebol não é forte ou não é

preparada.‖

E) ―A seleção brasileira de futebol é forte e não é

preparada.‖

NE

GA

ÇÃ

O

04 (CESPE/TRE-ES/09) A proposição ―Carlos é juiz

e é muito competente‖ tem como negação a

proposição ―Carlos não é juiz nem é muito

competente‖.

NE

GA

ÇÃ

O

05 (ESAF 2009) A negação de ― Ana ou Pedro vão ao

cinema e Maria fica em casa‖ é:

a) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria fica em

casa

b) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria não fica

em casa

c) Ana ou Pedro vão ao cinema ou Maria não fica em

casa

d) Ana ou Pedro não vão ao cinema e Maria não fica

em casa


38


e) Ana e Pedro não vão ao cinema e Maria fica em casa.

NE

GA

ÇÃ

O

06 (ANPAD) A negação da proposição: ―Pedro fala

inglês e francês‖ é:

a) ―Pedro fala inglês ou fala francês‖ b) ―Pedro não fala inglês e fala francês‖

c) ―Pedro não fala inglês ou fala francês‖

d) ―Pedro não fala inglês e não fala francês‖

e) ―Pedro não fala inglês ou não fala francês‖.

NE

GA

ÇÃ

O

07 A negação da sentença ―Se você estudou Lógica

então você acertará esta questão‖ é:

a) Se você não acertar esta questão, então você não

estudou Lógica.

b) Você não estudou Lógica e acertará esta questão.

c) Se você estudou Lógica, então não acertará esta

questão.

d) Você estudou Lógica e não acertará esta questão.

e) Você não estudou Lógica e não acertará esta

questão.

NE

GA

ÇÃ

O

08 (CESPE) Se a proposição ―O soldado Brito é

jovem e casado‖, então a proposição ―O soldado

Brito não é jovem mas é solteiro‖ é um enunciado

correto para a proposição ~A.

NE

GA

ÇÃ

O

09 (TRT 17ª Região) A proposição ―Carlos é juiz e é

muito competente‖ tem como negação a proposição

―Carlos não é juiz nem é muito competente‖.

NE

GA

ÇÃ

O

GABARITO

01 B 02 A 03 D 04 E 05 B

06 E 07 E 08 E 09 E

OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO

CÁLCULO PROPOSICIONAL OU SENTENCIAL

VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas

minúsculas p, q, r, s,... para indicar as proposições

simples e letra maiúsculas para indicar proposições

compostas.

Exemplos:

A lua é quadrada: p

A neve é branca: q

SÍMBOLOS AUXILIARES: ( ) e [ ]: os parênteses e

colchetes, por exemplo, são utilizados para denotar o

"alcance" dos conectivos.

Exemplos:

Se a lua é quadrada e a neve é branca então a lua

não é quadrada: ((p q) p).

A lua não é quadrada se e somente se a neve é

branca: (( p) q)).

Observação

O CESPE considerou como proposições simples, no

concurso do SEBRAE e STF em 2008, as seguintes

sentenças:

Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE.

O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da

ruína do homem.

Fiquem atentos, pois a maioria dos autores não concorda

com esta definição. Portanto, PARA O CESPE, quando a

sentença tem dois sujeitos e o mesmo predicado, é

considerada uma proposição simples.

TABELAS VERDADE

Trata-se de um algoritmo que possibilita a

sistematização do estabelecimento do valor lógico de um

juízo composto em todas as situações possíveis, a partir

da separação dos juízos simples que o compõem e sua

utilidade é mais significativa no caso de juízos de maior

complexidade. Ou seja, é uma maneira prática de

organizar os valores lógicos de uma proposição simples

ou composta.


39


O dispositivo da tabela verdade consiste em uma matriz com linhas e colunas, preenchida da seguinte

forma:

1. Na primeira linha registram-se os juízos que

compõe aquele em questão, em ordem crescente de

complexidade, desde os juízos simples, até o

próprio juízo objeto da tabela verdade;

2. Nas colunas referentes aos juízos simples, a partir

da segunda linha, são registradas todas as situações

possíveis relativamente aos valores lógicos;

3. Em cada linha, a partir da primeira coluna

correspondente a um juízo composto, são

registrados os valores lógicos dos juízos que se

encontram na primeira linha da respectiva coluna,

estabelecidos em função dos valores atribuídos aos

juízos simples na respectiva linha.

4. O número de linhas distintas de uma tabela-verdade

é dado por 2n, onde n é o número de proposições

simples componentes e 2 representa o número de valores lógicos possíveis: V ou F. Assim, para duas

proposições são 22 = 4 linhas; para 3 proposições

são 23 = 8; etc.

Observação

A fórmula 2n será usada para descobrir o total de linhas

ou seja, saber a quantidade de valorações de uma

proposição lógica.

Exemplos:

p: 21 = 2 linhas (duas valorações possíveis)

Para preenchimento dos valores V ou F em cada coluna, divida o total de linhas por 2 e repita o mesmo processo

com o resultado obtido da coluna anterior, até chegar à

última coluna. O resultado de cada coluna será a

repetição da valoração V ou F, começando pelo V e

iniciando pela primeira linha.

CONSTRUÇÃO DA TABELA-VERDADE

Exemplo: a tabela verdade da fórmula ((p q) r) terá 8 linhas como segue:

Veja como arrumar os dados na tabela:

Nesse caso, temos três proposições simples

distintas, aplicando a fórmula 2n, temos:

23 = 2.2.2 = 8 linhas.

Precisamos de uma tabela de 8 linhas. Mas se é

tabela, devemos ter linhas e colunas. Já sabemos que

nossa tabela será formada por 8 linhas (mais uma para colocarmos os dados no início da tabela), mas quantas

colunas???

O total de colunas é obtido desmontando-se o nosso

argumento em proposições simples e compostas.

IMPORTANTE...

Cada linha é uma possível valoração (possíveis

respostas diferentes) ao nosso argumento. Já as

colunas são chamadas de juízos.

Observando o argumento ((p q) r), percebemos que ele pode ter, no máximo, 8 possíveis resultados e é

formado por 5 juízos de valor.

Processo de arrumação dos dados na tabela:

1ª coluna: p

2ª coluna: q

3ª coluna: r

4ª coluna: (p q)

5ª coluna: ((p q) r)

...Perceba que os juízos do argumento AUMENTAM,

enquanto o nosso... rsrsr. Esqueça.

p q r (p q) ((p q) r)

Construção da primeira coluna: Como cada

proposição pode ser ou V ou F, começaremos a

preencher a primeira coluna pela metade. Ou seja, nossa tabela tem 8 linhas, 8:2 = 4, logo, teremos 4 valorações

verdadeiras (VVVV) e 4 valorações falsas (FFFF).

p q r (p q) ((p q) r)

V

V

V

V

F

F

F

F

Construção da segunda coluna: da primeira

coluna, temos 4 valorações V e 4 valorações F.

Dividindo 4 pela metade, ficaremos com 2 V e 2 F.


40


p q r (p q) ((p q) r)

V V

V V

V F

V F

F V

F V

F F

F F

Construção da terceira coluna: da segunda coluna,

dividimos 2 por 1, logo ficaremos com 1 V e 1 F.

p q r (p q) ((p q) r)

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Construção da quarta coluna: Temos a proposição

composta (p q). Vamos juntos formar a dupla de valoração. Primeiro, pegamos a valoração da

primeira coluna (p) e depois da segunda coluna (q).

Como o conectivo lógico utilizado aqui é conjunção,

o valor nesta coluna, somente será verdadeiro caso p

e q sejam verdadeiros ao mesmo tempo.

p q r (p q) ((p q) r)

V V V V

V V F F

V F V F

V F F F

F V V F

F V F F

F F V F

F F F F

Construção da quarta coluna: Está quase acabando... Agora devemos pegar o resultado da

quarta coluna com o resultado da terceira coluna.

Como o conectivo lógico utilizado é a disjunção

inclusiva (ou), o resultado para esta coluna somente

será F, caso os valores das colunas em questão

sejam, ao mesmo tempo falsos.

p q r (p q) ((p q) r)

V V V V V

V V F V V

V F V F V

V F F F F

F V V F V

F V F F F

F F V F V

F F F F F

Não deixe de praticar...

TABELA VERDADE DAS PROPOSIÇÕES

COMPOSTAS

1) Tabela verdade da "negação": ~p é verdadeira

(falsa) se e somente se p é falsa (verdadeira).

P ~p

V

F

2) Tabela verdade da "conjunção": a conjunção é

verdadeira se e somente os conjuntos são

verdadeiros.

p q p q

V V

V F

F V

F F

3) Tabela verdade da "disjunção": a disjunção é falsa

se, e somente, os disjuntos são falsos.

p q p q

V V

V F

F V

F F


41


4) Tabela verdade da "implicação": a implicação é falsa se, e somente se, o antecedente é verdadeiro e

o conseqüente é falso.

p q p q

V V

V F

F V

F F

5) Tabela verdade da "bi-implicação": a bi-

implicação é verdadeira se, e somente se seus

componentes são ou ambos verdadeiros ou ambos

falsos.

p q p q

V V

V F

F V

F F

EXERCÍCIOS

01 (CESPE – Analista Administrativo SEGER)

Existem exatamente 8 combinações de valorações

das proposições simples A, B e C para as quais a

proposição composta (A B) (¬C) pode ser avaliada, assumindo valoração V ou F.

02 (UnB/CESPE – SGA/AC) Uma proposição da

forma (¬A) (B ¬C) tem, no máximo, 6 possíveis valores lógicos V ou F.

03 (CESPE-TRT-BA) Se A, B, C e D forem

proposições simples e distintas, então o número de

linhas da tabela-verdade da proposição (A B)

(C D) será superior a 15.

04 (CESPE) A proposição simbólica (P Q) R

possui, no máximo, 4 avaliações V.

05 (CESPE – Banco do Brasil 2008) Atribuindo-se

todos os possíveis valores lógicos V ou F às

proposições A e B, a proposição [(¬A) B] A terá três valores lógicos F ( )

06 (CESPE – Banco do Brasil 2008) Toda proposição

simbolizada na forma A B tem os mesmos

valores lógicos que a proposição B A ( )

Texto para os itens de 07 a 09

Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter

valorações, ou serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas

(F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas

proposições, tais como: a proposição condicional,

denotada por P Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjunção de P e Q, denotada

por P Q, que será F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada

por P Q, que será V somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada

por ¬P, que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um

conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa

proposição. A partir das informações do texto acima,

julgue os itens subseqüentes.

07 As tabelas de valorações das proposições P Q e

Q ¬P são iguais.


42


08 As proposições (P Q) S e (P S) (Q

S) possuem tabelas de valorações iguais.

09 O número de tabelas de valorações distintas que

podem ser obtidas para proposições com exatamente duas variáveis proposicionais é igual a

24.

10 (CESPE) Caso as colunas em branco na tabela

abaixo sejam corretamente preenchidas, a última

coluna dessa tabela corresponderá à expressão [P

(¬Q)] [Q P].

11 (CESPE) A última coluna da tabela-verdade

abaixo corresponde à proposição (P R) Q.

GABARITO

01 C 02 E 03 C 04 E 05 E

06 E 07 E 08 E 09 E 10 C

11 E

Estruturas Lógicas

UMA CLASSIFICAÇÃO DA LÓGICA

Como vimos anteriormente a Lógica divide-se em

LÓGICA INDUTIVA: útil no estudo da teoria da

probabilidade, e LÓGICA DEDUTIVA. Estudaremos,

aqui, a LÓGICA PROPOSICIONAL OU

SENTENCIAL: Como primeira e indispensável parte da

Lógica Matemática temos o CÁLCULO

PROPOSICIONAL ou CÁLCULO SENTENCIAL ou

ainda CÁLCULO DAS SENTENÇAS.

Nosso principal objetivo será a investigação da

validade de ARGUMENTOS: conjunto de enunciados

dos quais um é a CONCLUSÃO e os demais

PREMISSAS. Os argumentos estão tradicionalmente

divididos em DEDUTIVOS e INDUTIVOS.

ARGUMENTO DEDUTIVO: é válido quando suas

premissas, se verdadeiras, a conclusão é também

verdadeira.

Premissa : "Todo homem é mortal."

Premissa : "João é homem."

Conclusão : "João é mortal."

Caros estudantes: esses argumentos serão

objeto de estudo neste roteiro.

ARGUMENTO INDUTIVO: a verdade das premissas

não basta para assegurar a verdade da conclusão.

Premissa : "É comum após a chuva ficar nublado." Premissa : "Está chovendo."

Conclusão: "Ficará nublado."

Não trataremos do estudo desses argumentos

neste roteiro.

ARGUMENTO

Como dito acima, nosso principal objetivo é a

investigação da validade de ARGUMENTOS: Conjunto

de enunciados dos quais um é a CONCLUSÃO e os

demais PREMISSAS.

Argumentos – Um argumento é, segundo Monty

Python, "uma série conectada de afirmações para

estabelecer uma proposição definida". Argumentos

dedutivos têm três estágios: premissas, inferência, e

conclusão.

http://www.infidels.org/news/atheism/sn-python.html

http://www.infidels.org/news/atheism/sn-python.html


43


Proposições – Uma proposição é uma afirmação que é ou verdadeira ou falsa. A proposição é o significado da

afirmação.

Por exemplo:

"Existe um número par primo maior que dois" é uma

proposição. (Uma falsa, nesse caso).

"Um número par primo maior que dois existe" é a

mesma proposição, refraseada.

Premissas – Um argumento dedutivo sempre requer um

numero de suposições centrais. São as suposições onde o

argumento é construído; ou para olhar de outra forma, as

razões para aceitar o argumento.

Inferência – É um processo passo a passo de se chegar a

um argumento. Na inferência, você começa com uma ou

mais proposições que foram aceitas, você então usa essas

proposições para chegar a uma nova proposição. Se a

inferência é válida, essa proposição deve ser aceita. Você

pode usar a nova proposição para inferências mais tarde. Muitas vezes são identificadas por frases como

"portanto..." ou "...implica que..."

Conclusão – A conclusão é o resultado do passo final da

inferência. É uma conclusão apenas no contexto de um

argumento particular, poderia ser uma premissa ou

suposição em outro argumento.

Implicação em detalhe – Claramente você pode

construir um argumento válido de premissas verdadeiras,

e chegar a uma conclusão verdadeira. Você também pode

construir um argumento válido de premissas falsas, e chegar a uma conclusão falsa. A parte complicada é que

você pode começar com falsas premissas, proceder via

inferências válidas, e alcançar uma conclusão verdadeira.

Exemplo:

Premissa: Todos os peixes vivem no oceano.

(falso)

Premissa: Lontras marinhas são peixes. (falso)

Conclusão: Portanto lontras marinhas vivem no

oceano. (verdadeiro)

Há uma coisa que você não pode fazer, no entanto:

começar de premissas verdadeiras, proceder via

inferência dedutiva válida, e alcançar uma conclusão

falsa.

O fato que um argumento é válido não

necessariamente significa que sua conclusão suposta

pode ter começado de premissas falsas. Se um argumento

é válido, e, além disso, começou de premissas

verdadeiras, então é chamado de um argumento sensato. Um argumento sensato deve chegar a uma conclusão

verdadeira.

Exemplo de Argumento:

Aqui há um exemplo de um argumento que é válido, e

que pode ou não ser sensato:

A) Premissa: Todos os eventos têm uma causa. B) Premissa: O universo teve um começo.

C) Premissa: Todos os começos envolvem um evento.

D) Inferência: Isso implica que o começo do universo

envolveu um evento.

E) Inferência: Portanto o começo do universo teve uma causa.

F) Conclusão: O universo teve uma causa.

A proposição na linha 4 é inferida das linhas 2 e 3.

A linha 1 é então usada, com a proposição derivada na

linha 4, para inferir uma nova proposição na linha 5. O

resultado da inferência na linha 5 é então reafirmado (em

forma ligeiramente simplificada) como a conclusão.

Diz-se então que uma proposição verdadeira possui valor lógico V (verdade) e uma proposição falsa possui

valor lógico F (falso). Os valores lógicos também

costumam ser representados por 0 (zero) para

proposições falsas (0 ou F) e 1 (um) para proposições

verdadeiras (1 ou V ).

Mais uma vez relembremos Argumento...

Na estrutura do raciocínio lógico se distingue como

elemento central o argumento, que consiste na

articulação do conjunto de premissas de modo a justificar

a conclusão.

As proposições somente podem ser designadas como

premissa ou como conclusão no contexto de um

argumento e as designações em um argumento podem

ser diferentes em outro. Assim, uma proposição pode ser conclusão num argumento e premissa em outro.

Resolveremos uma questão detalhando para melhor

compreensão de um argumento:

Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica. Por

outro lado, se Geografia não é difícil, então Lógica é

difícil. Daí segue-se que, se Artur gosta de Lógica,

então:

a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil.

b) Lógica é fácil e Geografia é difícil.

c) Lógica é fácil e Geografia é fácil. d) Lógica é difícil e Geografia é difícil.

e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil.

Perceba as proposições do argumento:

Ou lógica é fácil, ou Artur não gosta de lógica.

Se geografia não é difícil, então lógica é difícil.

Artur gosta de lógica.

http://www.pobox.com/~meta/otters/


44


Perceba que as duas primeiras frases são compostas por duas premissas, inseridas numa ―estrutura lógica‖. A

primeira estrutura lógica (a da primeira frase) é do tipo

ou PREMISSA A ou PREMISSA B. Já a segunda

estrutura lógica (a da segunda frase) é do tipo se

PREMISSA A, então PREMISSA B. Para cada um

desses tipos de estrutura, haverá diferentes maneiras de

se atribuir juízos de verdadeiro e falso, de acordo com o

que prescreve a lógica matemática. São aquelas

chamadas ―tabelas-verdade‖.

A terceira frase veio sozinha, desacompanhada,

isolada. É uma proposição simples. E o que sabemos sobre uma proposição simples? TODA ELA É

VERDADEIRA, caso o elaborador não diga o

contrário!!! Logo, ela será a nossa verdade, nosso ponta-

pé inicial. A partir dessa verdade faremos inferência nas

demais, descobrindo, assim, a valoração de cada

proposição.

Vamos lá concursando!


(F)



(V)

Perceba: Artur gosta de lógica. Agora, devemos

procurar, no argumento, onde se fala em Artur

novamente. E lá está. Na primeira proposição composta.

Mas perceba que ali diz que Artur NÃO gosta de lógica.

E como a verdade (que já temos) é que Artur gosta de

lógica, o valor da proposição de chegada será FALSO.

Já constatamos que a segunda premissa da primeira frase

é FALSA, uma vez que partimos da verdade que Artur

gosta de lógica. Agora, analisemos a primeira frase. Essa

premissa que acabamos de dizer que é FALSA está dentro da estrutura “ou premissa A, ou premissa B”, e

sabemos que nesse tipo de estrutura, se a ―premissa de

partida‖ é FALSA, então a ―premissa de chegada‖ tem

que ser VERDADEIRA. Daí, ficamos que (se uma é

falsa a outra deve ser verdadeira):


(V) (F)



(V)

Procuremos, agora, uma premissa que fale em

lógica ser fácil ou não ser fácil. Está na segunda

suposição (segunda premissa). Como já sabemos que lógica fácil é VERDADIRA, então lógica difícil será

FALSO.


(V) (F)


(F)


(V)

Analisando a segunda frase, vemos que essa

segunda premissa (lógica é difícil) está inserida na

estrutura “se premissa A, então premissa B”, para esse

tipo de estrutura só há uma situação em que não é

possível, ou seja, não pode ocorrer (V – F). Se a

―premissa B‖ é FALSA, então a ―premissa A‖ jamais poderá ser VERDADEIRA, para não cair justamente na

situação inadmissível (V - F). Daí, concluímos: essa

―premissa A‖ terá, necessariamente, de ser FALSA.


(V) (F)


(F) (F)


(V)

Agora todas as premissas já estão marcadas com V

ou F. Basta compararmos nossas conclusões com as

opções de resposta! Se a resposta vier com duas informações, e o

seguinte formato: “INFORMAÇÃO A” E

“INFORMAÇÃO B”, então você só poderá marcar essa

resposta se AMBAS estiverem corretas.

Se o formato da resposta for: “INFORMAÇÃO

A” OU “INFORMAÇÃO B”, então essa é a resposta da

questão se houver uma das informações que esteja

correta.

Se a resposta, finalmente, vier no formato:

Se“INFORMAÇÃO A”, então “INFORMAÇÃO B”,

então você não marcará essa opção como sendo a nossa

resposta caso ela apresente aquele resultado inadmissível, qual seja: (V - F).

Veremos a resposta da nossa questão:

a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil.

Ele está partindo da premissa A, considerando-a

como verdadeira ou falsa? De acordo com as conclusões

que extraímos do nosso raciocínio, concluímos que a

Geografia é difícil. Logo, essa opção de resposta está


45


partindo de uma informação VERDADEIRA. E está chegando a outra informação, que não deverá ser falsa.

Mas perceba que a segunda informação dessa resposta é

FALSA. Ora, então partimos de uma informação

VERDADEIRA e chegamos a uma informação FALSA.

Para esse tipo de resposta (se informação A, então

informação B), qual é a situação que nós não poderemos

admitir? VERDADEIRA e FALSA. Logo,

descartaremos esta opção.

b) Lógica é fácil e Geografia é difícil.

Aqui a resposta vem no formato ―informação A” e

“informação B”. Para marcarmos essa opção como

sendo a certa, será preciso que ambas as informações

estejam corretas, lembrados? Então vejamos: é

verdadeiro ou falso que lógica é fácil? É

VERDADEIRO. Agora só falta concluirmos sobre a

segunda informação. É verdadeiro ou falso que

Geografia é difícil? É VERDADEIRO! PRONTO, esta é

a resposta! Mesmo assim, analisemos as demais opções.

c) Lógica é fácil e Geografia é fácil.

Novamente teriam que ser ambas as informações

verdadeiras. A primeira o é, mas a segunda não! Logo,

opção descartada.

d) Lógica é difícil e Geografia é difícil.

Aqui a mesma coisa: ambas teriam que estar certas!

A primeira já está errada, logo, nem vá atrás de saber da

segunda... descarte logo essa opção!

e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil. Aqui bastaria que uma das duas opções estivesse

certa, para marcarmos essa opção como nossa resposta.

Só que ambas estão erradas. Logo, descartamos também

essa opção.

Exemplo

Consideremos o seguinte raciocínio lógico:

9) Todo número real é complexo

10) Todo número racional é real

11) Todo número racional é complexo

O argumento seria: “Sendo todo número real,

complexo e todo número racional, real, então, todo

número racional é real e, portanto, é complexo”.

Consideremos outro raciocínio lógico:

6) Todo número racional é complexo

7) Todo número inteiro é racional

8) Todo número inteiro é complexo

O argumento é: “Sendo todo número racional,

complexo e sendo todo número inteiro, racional, então,

todo número inteiro é racional e, portanto, é

complexo”.

Notemos que a proposição ―Todo número racional é

complexo‖ é conclusão no primeiro raciocínio e é

premissa no segundo.

O argumento consiste na estrutura central do

raciocínio lógico, por isso, comumente ele se confunde

com o próprio raciocínio, razão pela qual há quem os

trate como se fossem a mesma coisa. Notemos que o

raciocínio lógico apresenta em sua estrutura uma única

conclusão e, pelo menos uma premissa. Quando todas as premissas antecedem à conclusão, dizemos que o

raciocínio está estruturado na forma ―canônica‖ e,

quando a conclusão antecede às premissas ou está

intercalada entre elas, dizemos que o raciocínio está

estruturado numa forma singular. No caso em que uma

da premissas ou a conclusão está implícita, isto é, não é

materializada através de uma sentença, dizemos que o

argumento está estruturado na forma reduzida.

ARGUMENTOS DEDUTIVOS VÁLIDOS

A noção de argumentos válidos ou não válidos

aplica-se apenas aos argumentos dedutivos, e também

que a validade depende apenas da forma do argumento e

não dos respectivos valores verdades das premissas. Não

podemos ter um argumento válido com premissas

verdadeiras e conclusão falsa. A seguir exemplificaremos

alguns argumentos dedutivos válidos importantes.

O primeiro argumento dedutivo válido que

discutiremos chama-se ―afirmação do antecedente‖,

(também conhecido como modus ponens).

Então vejamos:

Se José for reprovado no concurso, então será demitido do serviço.

José foi reprovado no concurso.

Logo, José será demitido do serviço.

Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode

ser escrita da seguinte forma:

Ou


46


Outro argumento dedutivo válido é a “negação do

conseqüente” (também conhecido como modus tollens).

Observação:

Vimos nas páginas anteriores que (p q) é equivalente a

(~q p). Esta equivalência é chamada de contra -

positiva.

Exemplo:

―Se ele me ama, então casa comigo‖ é equivalente a ―Se

ele não casa comigo, então ele não me ama‖.

Então vejamos o exemplo do modus tollens.

Se aumentarmos os meios de pagamentos, então haverá inflação.

Não há inflação

Logo, não aumentamos os meios de pagamentos.

Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode

ser escrita da seguinte maneira:

Ou

Raciocínio por Inferência

Trata-se do processo de construção do conhecimento

a partir de um raciocínio fundamentado em suposições no qual se constrói um conhecimento novo mais amplo

do que o anterior ou se amplia a abrangência do

conhecimento anterior.

TAUTOLOGIA, CONTRA–TAUTOLOGIA OU

CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA

TAUTOLOGIA ou FÓRMULA LOGICAMENTE VÁLIDA: Fórmula que possui

apenas valor V em sua tabela verdade.

Exemplo : p p

p p p p

1 V

2 F

CONTRA-TAUTOLOGIA ou FÓRMULA LOGICAMENTE FALSA: Fórmula que possui

apenas valor F em sua tabela verdade.

Exemplo: p p

p p p p

1 V

2 F

CONTINGENTE ou FORMA INDETERMINADA: Fórmula que possui valores

V e F em sua tabela verdade.

Exemplo : p q

p q p q

1 V V

2 V F

3 F V

4 F F

EXERCÍCIOS

01 (FUNCAB – Fiscal Municipal de Tributos –

PMPV/2009) Assinale a afirmação que é

logicamente equivalente a

―Não é verdade que, se Maria está grávida, então

Beatriz está feliz‖.

A) É verdade que ―Maria está grávida e Beatriz está

feliz‖.


47


B) Não é verdade que ―Maria está grávida ou Beatriz não está feliz‖.

C) Não é verdade que ―Maria não está grávida ou

Beatriz não está feliz‖.

D) Não é verdade que ―Maria não está grávida ou

Beatriz está feliz‖.

E) É verdade que ―Maria está grávida ou Beatriz está

feliz‖.

EQ

UIV

AL

ÊN

CIA

02 (CESPE PF 2009) As proposições ―Se o delegado

não prender o chefe da quadrilha, então a operação

agarra não será bem-sucedida‖ e ―Se o delegado

prender o chefe da quadrilha, então a operação

agarra será bem-sucedida‖ são equivalentes.

EQ

UIV

AL

ÊN

CIA

03 (FUNCAB – Fiscal Municipal de Tributos –

PMPV/2009) Assinale a afirmação que é

logicamente equivalente a ―Fernanda é professora

ou Patrícia não é brasileira‖.

A) Fernanda é professora se e somente se Patrícia não

é brasileira. B) Se Fernanda é professora, então Patrícia não é

brasileira.

C) Se Fernanda não é professora, então Patrícia é

brasileira.

D) Se Patrícia é brasileira, então Fernanda é

professora.

E) Fernanda não é professora e Patrícia é brasileira.

EQ

UIV

AL

ÊN

CIA


uma proposição equivalente à ―Se Laura viajou

para a Inglaterra, então Laura viajou para o

exterior‖.

A) Se Laura não viajou para a Inglaterra, então Laura

não viajou para o exterior.

B) Se Laura não viajou para o exterior, então Laura

não viajou para a Inglaterra.

C) Se Laura viajou para o exterior, então Laura não viajou para a Inglaterra.

D) Se Laura viajou para a Inglaterra, então Laura não

viajou para o exterior.

E) Laura não viajou para Inglaterra mas viajou para o

exterior.

EQ

UIV

AL

ÊN

CIA

05 (ESAF 2009) Considere a seguinte proposição: "Se

chove ou neva, então o chão fica molhado". Sendo

assim, pode-se afirmar que: a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou.

b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou.

c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou.

d) Se o chão está seco, então não choveu ou não

nevou.

e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou.

EQ

UIV

AL

ÊN

CIA


uma proposição equivalente a:

“Se Paula é bonita, então Juliana não é magra”.

A) ―Se Juliana é magra, então Paula é bonita.‖

B) ―Se Paula não é bonita, então Juliana é magra.‖

C) ―Paula é bonita ou Juliana é magra.‖

D) ―Paula é bonita ou Juliana não é magra.‖

E) ―Se Juliana é magra, então Paula não é bonita.‖

EQ

UIV

AL

ÊN

CIA


uma proposição equivalente a ―Se o céu está azul,

então o almoço não está bom‖.

A) ―Se o almoço está bom, então o céu não está azul.‖

B) ―Se o almoço não está bom, então o céu está azul.‖

C) ―O almoço está bom ou o céu está azul.‖

D) ―O almoço está bom ou o céu não está azul.‖

E) ―Se o céu está azul, então o almoço está bom.‖


48


EQ

UIV

AL

ÊN

CIA

08 (CESPE) Se A e B são proposições, completando a

tabela abaixo, se necessário, conclui-se que a

proposição ¬(A B) ¬A ¬B é uma tautologia.

Considere a proposição: Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro.

Simbolizando por P o trecho meu cliente fosse

culpado e simbolizando por Q o trecho a arma

estaria no carro, obtém-se uma proposição

implicativa, ou simplesmente uma implicação, que

é lida: Se P então Q, e simbolizada por P Q. Uma

tautologia é uma proposição que é sempre V

(verdadeira). Uma proposição que tenha a forma

P Q é V sempre que P for F (falsa) e sempre que

P e Q forem V. Com base nessas informações e na

simbolização sugerida, julgue os itens

subsequentes.

09 (CESPE 2005–TRT – 16 REGIÃO - ANALISTA

JUDICIÁRIO) A proposição ―Se meu cliente fosse

culpado, então a arma do crime estaria no carro.

Portanto, ou meu cliente não é culpado ou a arma

do crime estaria no carro.‖ não é uma tautologia.

EQ

UIV

AL

ÊN

CIA

10 (CESPE 2005 – TRT – 16 REGIÃO -

ANALISTA JUDICIÁRIO) proposição ―Se meu

cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. Portanto, se a arma do crime não estava

no carro, então meu cliente não é culpado.‖ é uma

tautologia.

EQ

UIV

AL

ÊN

CIA

11 (ANEEL – Técnico Administrativo – ESAF –

2006) Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda.

Logo, a) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa não

estudar.

b) Elaine ensaiar é condição suficiente para Elisa

estudar.

c) Elaine não ensaiar é condição necessária para Elisa

não estudar.

d) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa

estudar.

e) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa

estudar.

EQ

UIV

AL

ÊN

CIA

Considere que as letras P, Q, R e T representem

proposições e que os símbolos ¬, ∧, ∨ e → sejam

operadores lógicos que constroem novas

proposições e significam não, e, ou e então,

respectivamente. Na lógica proposicional, cada

proposição assume um único valor (valor-verdade),

que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas

nunca ambos.

Com base nas informações apresentadas no texto

acima, julgue os itens a seguir.

12 Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras,

então a proposição (¬ P) ∨ (¬ Q) também

verdadeira.

TA

BE

LA

VE

RD

AD

E

13 Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é

falsa, então a proposição R → (¬ T) é falsa.

TA

BE

LA

VE

RD

AD

E


49


14 Se as proposições P e Q são verdadeiras (P∧R) →

(¬Q) é verdadeira.

TA

BE

LA

VE

RD

AD

E

Considere as sentenças abaixo.

i. Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus

fumam.

ii. Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à

saúde.

iii. Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.

iv. Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que

muitos europeus fumam, então fumar deve ser

proibido.

v. Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como

é falso que fumar deve ser proibido;

conseqüentemente, muitos europeus fumam.

Considere também que P, Q, R e T representem as

sentenças listadas na tabela a seguir.

P: Fumar deve ser proibido.

Q: Fumar deve ser encorajado.

R: Fumar não faz bem à saúde.

T: Muitos europeus fumam.

Com base nas informações acima e considerando a

notação introduzida no texto, julgue os itens

seguintes.

15 A sentença I pode ser corretamente representada

por P ∧ (¬T).

16 A sentença II pode ser corretamente representada

por (¬ P) ∧ (¬R).

17 A sentença III pode ser corretamente representada

por R → P.

18 A sentença IV pode ser corretamente representada

por (R ∧ (¬T)) → P.

19 A sentença V pode ser corretamente representada

por T → ((¬R) ∧ (¬P)).

Suponha que P representa a proposição Hoje

choveu, Q represente a proposição José foi à praia e

R represente a proposição Maria foi ao comércio.

Com base nessas informações e no texto, julgue os

itens a seguir:

20 A sentença Hoje não choveu então Maria não foi

ao comércio e José não foi à praia pode ser

corretamente representada por ¬P → (¬R ∧ ¬Q)

21 A sentença Hoje choveu e José não foi à praia

pode ser corretamente representada por P ∧ ¬Q

22 Se a proposição Hoje não choveu for valorada

como F e a proposição José foi à praia for valorada

como V, então a sentença representada por ¬P → Q

é falsa.

GABARITO

01 D 02 E 03 D 04 B 05 E

06 E 07 A 08 C 09 E 10 C

11 E 12 E 13 E 14 E 15 E

16 C 17 C 18 C 19 E 20 C

21 C 22 E

ANOTAÇÕES


50


RESUMO DA TABELA DOS SÍMBOLOS UTILIZADOS NA LÓGICA MATEMÁTICA

Sím

bolo Função lógica

linguagem

idiomática

Estrutura

lógica

generalizad

a

Exemplo de

proposição singular

Conjunção e a b (5 > 3) (7 < 9)

v Disjunção ou a v b Irei ao cinema ou à praia

Estabelecer condição suficiente para um evento

Se ... então a → b x = 2 → x + 3 = 5

~ Negar uma proposição não ~ p O número 2 não é ímpar

Quantificador existencial Existe p q x R x > 5

Estabelecer relação causal Tal que

! Quantificador existencial

restrito

Existe um

único ! p q ! x Z x + 1 = 2

Quantificador universal Para todo x, y p x R, y Z x > y

Estrutura lógica

generalizada É verdade quando É falso quando

a b a e b são, ambos, verdade a ou b, um dos dois, é falso

a v b a ou b, um dos dois é verdade a e b, ambos, são falsos

a b a é falso ou a e b são, ambos, verdadeiros a é verdade e b é falso

~ p P é falso P é verdade

p q Para algum p ocorre q Para todo p ocorre ~q

x, p Para qualquer ―x‖ ocorre p Para algum ―x‖ não ocorre p

! x p

Para um certo ―x‖ ocorre p e para qualquer

outro ―x‖ não ocorre p

Para qualquer ―x‖ ocorre ~p ou

ocorre p para mais de um ―x‖

NOTA: "OU EXCLUSIVO" É importante observar que "ou" pode ter dois sentidos na linguagem habitual:

inclusivo (disjunção) e exclusivo onde p q significa ((p q) (p q)).

p q (p q) (p q) (p q) ((p q) (p q))

V V

V F

F V

F F


51


EXERCÍCIOS

01 Diga se os argumentos abaixo são válidos ou

inválidos:

a) (CESPE) Ou Josélia é ótima estagiária ou Josélia

tem salário baixo.

Josélia é ótima estagiária.

Conclusão, Josélia tem salário baixo.

b) (CESPE) Ou Penha não é linda ou Penha vencerá o concurso.

Penha não vencerá o concurso.

Conclusão, Penha não é linda.

c) (CESPE) Se Antônio for bonito ou Maria for alta,

então José será aprovado no concurso.

Maria é alta.

Portanto José será aprovado no concurso.

d) Se eu ganhar na loteria, comprarei um carro.

Comprei um carro.

Logo, ganhei na loteria.

02 (AFC) Se Iara não fala italiano, então Ana fala

alemão. Se Iara fala italiano, então ou Ching fala

chinês ou Débora fala dinamarquês. Se Débora fala

dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas Elton fala

espanhol se e somente se não for verdade que

Francisco não fala francês. Ora, Francisco não fala

francês e Ching não fala chinês. Logo,

a) Iara não fala italiano e Débora não fala

dinamarquês;

b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês;

c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol;

d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano;

e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês.

Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão.

Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês.

Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol.

Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala

francês.

Francisco não fala francês e Ching não fala chinês.

03 Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o

jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora,

o passarinho canta. Logo:

a) o jardim é florido e o gato mia.

b) o jardim é florido e o gato não mia.

c) o jardim não é florido e o gato mia.

d) o jardim não é florido e o gato não mia.

e) se o passarinho canta, então o gato não mia.

Se o jardim não é florido, então o gato mia.

Se o jardim é florido, então o passarinho não canta.

O passarinho canta.

04 Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao

casamento. Se Carla não foi ao casamento,

Vanderléia viajou. Se Vanderléia viajou, o navio

afundou. Ora, o navio não afundou. Logo:

a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento.

b) Camile e Carla não foram ao casamento.

c) Carla não foi ao casamento e Vanderléia não

viajou.

d) Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou.

e) Vera e Vanderléia não viajaram.

Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento.

Se Carla não foi ao casamento, Vanderléia viajou.

Se Vanderléia viajou, o navio afundou.

O navio não afundou.

05 Se o anão foge do tigre, então o tigre é feroz. Se o

tigre é feroz, então o rei fica no castelo. Se o rei fica

no castelo, então a rainha briga com o rei. Ora, a

rainha não briga com o rei. Logo:

a) o rei não fica no castelo e o anão não foge do tigre.

b) o rei fica no castelo e o tigre é feroz.

c) o rei não fica no castelo e o tigre é feroz.

d) o tigre é feroz e o anão foge do tigre.

e) o tigre não é feroz e o anão foge do tigre.

Se o anão foge do tigre, então o tigre é feroz.

Se o tigre é feroz, então o rei fica no castelo.

Se o rei fica no castelo, então a rainha briga com o rei.

A rainha não briga com o rei.

06 Ricardo, Rogério e Renato são irmãos. Um deles é

médico, outro é professor, e o outro é músico. Sabe-

se que:

1) ou Ricardo é médico, ou Renato é médico;

2) ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico;

3) ou Renato é músico, ou Rogério é músico;

4) ou Rogério é professor, ou Renato é professor.


52


Portanto, as profissões de Ricardo, Rogério e Renato são, respectivamente:

a) professor, médico e músico

b) médico, professor e músico

c) professor, músico e médico

d) músico, médico e professor

e) médico, músico e professor.

ou Ricardo é médico, ou Renato é médico;

ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico;

ou Renato é músico, ou Rogério é músico;

ou Rogério é professor, ou Renato é professor.

07 Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão.

Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol. Se

Pedro não é português, então Frederico é francês.

Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana.

Logo:

a) Pedro é português e Frederico é francês.

b) Pedro é português e Alberto é alemão. c) Pedro não é português e Alberto é alemão.

d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês.

e) Se Alberto é alemão, Frederico é francês.

Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol. Se Pedro não é português, então Frederico é francês.

Nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana.

08 O seguinte enunciado é verdadeiro:

“Se uma mulher está grávida, então a substancia

gonadotrofina está presente em sua urina”.

Duas amigas, Fátima e Mariana, fizeram exames e

constatou-se que a substância está presente na urina

de Fátima e não está presente na urina de Mariana.

Utilizando a proposição anunciada, os resultados

dos exames e o raciocínio lógico dedutivo:

a) garantem que Fátima está grávida e não se pode

garantir que Mariana esteja grávida;

b) garantem que Mariana não está grávida e não se

pode garantir que Fátima esteja grávida;

c) garantem que Mariana está grávida e que Fátima

também está grávida;

d) garantem que Fátima não está grávida e não se pode

garantir que Mariana esteja grávida;

e) garantem que Mariana não está grávida e que

Fátima está grávida;

09 (CESPE/SECAD-TO 2008) Considere a seguinte

seqüência de proposições:

(1) Se o crime foi perfeito, então o criminoso não foi

preso.

(2) O criminoso não foi preso.

(3) Portanto, o crime foi perfeito.

Se (1) e (2) são premissas verdadeiras, então a

proposição (3), a conclusão, é verdadeira, e a

seqüência é uma dedução lógica correta.

10 (CESPE) É correto o raciocínio lógico dado pela

seqüência de proposições seguintes:

Se Célia tiver um bom currículo, então ela

conseguirá um emprego.

Ela conseguiu um emprego.

Portanto, Célia tem um bom currículo.

GABARITO

01 I, V, V, I 02 A 03 C 04 E 05 A

06 E 07 B 08 B 09 E 10 E

Diagramas Lógicos

QUANTIFICADORES: “PARA TODO”,

“EXISTE”, SUAS VARIAÇÕES E NEGAÇÕES

Quantificadores são termos que indicam a quantos

elementos de uma determinada classe se aplica uma

propriedade. Os Principais são: o universal – todos

(símbolo: ) – e o existencial – pelo menos um

(algum) (existe um) (símbolo: ).

Perceba este exemplo:

Todos os humanos são racionais.

Alguns animais são humanos.

Portanto, alguns animais são racionais.

A verificação da validade desses argumentos nos

leva não só ao significado dos conectivos mas também

ao significado de expressões como "todo", "algum",

"qualquer", “pelo menos”, “existe”, “cada”, “nem

todos”, etc.

NEGAÇÃO DE SENTENÇAS QUANTIFICADAS

UNIVERSALMENTE

Qual é a negação de ―todos são‖? a resposta é

―nem todos são‖ ou, o que é o mesmo, “pelo menos um

não é”.


53


Um erro muito comum, e que muitos alunos respondem em sala de aula – antes de estudar o assunto,

porque depois todos acertam – é achar que a negação de

―todos são‖ é ―todos não são‖. Para ver que isso é um

erro, basta pensar no conjunto {1, 2, 3, 4} e notar que as

sentenças ―todos os elementos são pares‖ e ―todos os

elementos não são pares‖ são ambas falsas. A negação de

uma sentença quantificada universalmente é uma

sentença quantificada existencialmente. Ou seja, o

quantificador universal transforma-se em existencial

e nega-se o complemento.

Por exemplo:

A negação de:

Todos gostam de futebol.

É a sentença:

Pelo menos um não gosta de futebol.

NEGAÇÃO DE SENTENÇAS QUANTIFICADAS

EXISTENCIALMENTE

Qual é a negação de ―pelo menos um é‖? A resposta é ―nenhum é‖ ou, o que é o mesmo, ―todos não

são‖. Um erro muito comum é achar que a negação de

―pelo menos um é‖ é ―pelo menos um não é‖. Para ver

que isso é um erro, basta pensar no conjunto {1, 2, 3, 4}

e notar que as sentenças ―pelo menos um é par‖ e ―pelo

menos um não é par‖ são ambas verdadeiras. A negação

de uma sentença quantificada existencialmente é uma

sentença quantificada universalmente: ou seja, o

quantificador existencial transforma-se em universal

e nega-se o complemento.

Por exemplo:

A negação de:

Pelo menos um gosta de futebol.

É a sentença:

Todos não gostam de futebol.

Resumindo... a negação de: 1) TODOS SÃO – nem todos são / pelo menos um

não é (a negação de uma sentença quantificada

universalmente é uma sentença quantificada

existencialmente);

2) PELO MENOS UM É – nenhum é / todos não são.

ENUNCIADOS CATEGÓRICOS

Certos enunciados se apresentam freqüentemente na Lógica Clássica e tradicionalmente são chamados de

Enunciados Categóricos.

Relacionaremos os quatro enunciados mais comuns

que são representados pelas letras A, E, I, O:

A - da forma "Todo P é Q" E - da forma "Nenhum P é Q" ou "Todo P não é Q"

I - da forma "Algum P é Q"

O - da forma "Algum P não é Q"

Se considerarmos P e Q dados acima como dois conjuntos quaisquer, os enunciados dados podem ser

interpretados como segue:

A: "Todo P é Q" (universal afirmativa) afirma que

todos os elementos de P são elementos de Q, ou

seja, que P é um subconjunto de Q, isto é, P Q;

E: "Nenhum P é Q" (universal negativa)

afirma que os conjuntos P e Q não têm elementos

em comum, isto é, que P Q = ou ainda que P Q’;

I : "Algum P é Q" V (particular afirmativa) afirma

que os conjuntos P e Q têm pelo menos um

elemento em comum, isto é, P Q O: "Algum P não é Q" (particular negativa) afirma

que P tem pelo menos um elemento que não está em

Q, ou ainda, que P Q’ . Através de Diagramas de Venn, temos:

Caros Concursandos, usaremos Diagramas Lógicos sempre que aparecerem quantificadores tais como: todo,

algum e nenhum.

São ditas proposições categóricas as seguintes:

Todo A é B

Nenhum A é B

Algum A é B e

Algum A não é B

Proposições do tipo Todo A é B afirmam que o

conjunto A é um subconjunto do conjunto B. Ou seja: A

está contido em B. Atenção: dizer que Todo A é B não

significa o mesmo que Todo B é A.

Enunciados da forma Nenhum A é B afirmam que

os conjuntos A e B são disjuntos, isto é, não tem

elementos em comum. Atenção: dizer que Nenhum A é

B é logicamente equivalente a dizer que Nenhum B é A.

Por convenção universal em Lógica, proposições da

forma Algum A é B estabelecem que o conjunto A tem

pelo menos um elemento em comum com o conjunto B.

Contudo, quando dizemos que Algum A é B,

pressupomos que nem todo A é B. Entretanto, no sentido

lógico de algum, está perfeitamente correto afirmar que

―alguns de meus colegas estão me elogiando‖, mesmo

que todos eles estejam.


54


Dizer que Algum A é B é logicamente equivalente a dizer que Algum B é A. Também, as seguintes

expressões são equivalentes: Algum A é B = Pelo

menos um A é B = Existe um A que é B.

Proposições da forma Algum A não é B

estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um

elemento que não pertence ao conjunto B. Temos as

seguintes equivalências: Algum A não é B = Algum A é

não B = Algum não B é A. Mas não é equivalente a

Algum B não é A.

Nas proposições categóricas, usam-se também as variações gramaticais dos verbos ser e estar, tais como é,

são, está, foi, eram, ..., como elo de ligação entre A e B.

Como nesta aula teremos várias questões

envolvendo as palavras todo, algum e nenhum, veja a

listagem de algumas regras que já foram vistas.

Todo A é B = Todo A não é não B Algum A é B = Algum A não é não B

Nenhum A é B = Nenhum A não é não B

Todo A é não B = Todo A não é B

Algum A é não B = Algum A não é B

Nenhum A é não B = Nenhum A não é B

Nenhum A é B = Todo A é não B Todo A é B = Nenhum A é não B

A negação de Todo A é B é Algum A não é B (e vice-

versa)

A negação de Algum A é B é Nenhum A é B (e vice-

versa)

Verdade ou Falsidade das Proposições Categóricas

Dada a verdade ou a falsidade de qualquer uma das proposições categóricas, isto é, de Todo A é B, Nenhum

A é B, Algum A é B e Algum A não é B. pode-se inferir

de imediato a verdade ou a falsidade de algumas ou de

todas as outras.

DIAGRAMAS DE VENN PARA ENUNCIADOS

CATEGÓRICOS

1. Se a proposição Todo A é B é verdadeira, então temos as duas representações possíveis:

Nenhum A é B é falsa.

Algum A é B é verdadeira.

Algum A não é B é falsa.

2. Se a proposição Nenhum A é B é verdadeira, então temos somente a representação:

Todo A é B é falsa.

Algum A é B é falsa. Algum A não é B é verdadeira.

3. Se a proposição Algum A é B é verdadeira, temos

as quatro representações possíveis:

Nenhum A é B é falsa.

Todo A é B é indeterminada – pode ser verdadeira (em 3 e 4) ou falsa (em 1 e 2).

Algum A não é B é indeterminada – pode ser

verdadeira (em 1 e 2) ou falsa (em 3 e 4).

4. Se a proposição Algum A não é B é verdadeira,

temos as três representações possíveis:


55


Todo A é B é falsa. Nenhum A é B é indeterminada – pode ser verdadeira

(em 3) ou falsa (em 1 e 2).

Algum A é B é indeterminada – pode ser verdadeira (em

1 e 2) ou falsa (em 3).

Exemplo: 01) (ESAF) Todos os alunos de matemática são,

também, alunos de inglês, mas nenhum aluno de

inglês é aluno de história. Todos os alunos de

português são também alunos de informática, e

alguns alunos de informática são também alunos de

história. Como nenhum aluno de informática é

aluno de inglês, e como nenhum aluno de português

é aluno de história, então:

a) pelo menos um aluno de português é aluno de

inglês.

b) pelo menos um aluno de matemática é aluno de

história. c)) nenhum aluno de português é aluno de matemática.

d) todos os alunos de informática são alunos de

matemática.

e) todos os alunos de informática são alunos de

português.

O enunciado traz as seguintes proposições

categóricas:

1. Todos os alunos de matemática são, também,

alunos de inglês 2. Nenhum aluno de inglês é aluno de história

3. Todos os alunos de português são também alunos

de informática

4. Alguns alunos de informática são também alunos

de história

5. Nenhum aluno de informática é aluno de inglês

6. Nenhum aluno de português é aluno de história.

Veja que há várias proposições categóricas, e

devemos fazer a representação gráfica de cada uma para

encontrar a resposta correta. Não há uma única forma de começar. Ou seja, inicie por qualquer proposição. Vá

montando seu desenho de forma que você possa entendê-

lo. Após finalizar seu desenho (diagramas lógicos)

procure tirar conclusões observando o que se afirma em

cada alternativa.

Veja o desenho:

Teste das Alternativas

1°) Teste da alternativa ―a‖ (pelo menos um aluno de português é aluno de inglês)

Pelo desenho, já descartamos essa alternativa.

2°) Teste da alternativa ―b‖ (pelo menos um aluno de

matemática é aluno de história)

Também pelo desenho, descartamos essa

alternativa.

3°) Teste da alternativa ―c‖ (nenhum aluno de

português é aluno de matemática)

Observando o desenho, vemos claramente que este item é verdadeiro.

4°) Teste da alternativa ―d‖ (todos os alunos de

informática são alunos de matemática)

Pelo desenho, temos que esta alternativa está

errada.

5°) Teste da alternativa ―e‖ (todos os alunos de

informática são alunos de português)

Pelo desenho, temos que esta alternativa também

está errada.

Resposta: alternativa C.

EXERCÍCIOS


a negação da proposição ―Toda pessoa que possui

carro possui moto‖.

A) ―Toda pessoa que não possui carro não possui

moto.‖ B) ―Toda pessoa que possui carro não possui moto.‖

C) ―Nem toda pessoa que possui carro possui moto.‖

D) ―A pessoa não possui carro e não possui moto.‖

E) ―Ou a pessoa possui carro ou possui moto.‖

NE

GA

ÇÃ

O


a negação da proposição ―Todo cachorro é amigo

do homem‖.

A) Pelo menos um cachorro não é amigo do homem.

B) Algum cachorro é amigo do homem.

C) Pelo menos um cachorro é amigo do homem.

D) Nenhum cachorro não é amigo do homem.

E) Todo homem não é amigo dos cachorros.

NE

GA

ÇÃ

O


56



a negação da proposição ―Os homens não são

sentimentais‖. A) ―É mentira que todos os homens são sentimentais.‖

B) ―Todos os homens são sentimentais.‖

C) ―Existe homem que não é sentimental.‖

D) ―Existe homem que é sentimental.‖

E) ―Nenhum homem é sentimental.‖

NE

GA

ÇÃ

O


a negação da proposição ―Algum professor é

rigoroso‖.

A) Todo professor é rigoroso.

B) Nenhum professor é rigoroso.

C) Pelo menos um professor é rigoroso. D) Pelo menos um professor não é rigoroso.

E) Algum professor não é rigoroso.

NE

GA

ÇÃ

O

05 (CESPE – Banco do Brasil 2008) A negação da

proposição ―As palavras mascaram-se‖ pode ser

corretamente expressa pela proposição ―Nenhuma

palavra se mascara‖ ( )

NE

GA

ÇÃ

O

06 (CESPE – Banco do Brasil 2008) A negação da

proposição ―Existe banco brasileiro que fica com

mais de 32 dólares de cada 100 dólares investidos‖

pode ser assim redigida: ―Nenhum banco brasileiro

fica com mais de 32 dólares de cada 100 dólares investidos.‖ ( )

NE

GA

ÇÃ

O

07 (CESPE – EMBASA 2009) A negação da

afirmação Todas as famílias da rua B são

preferenciais é Nenhuma família da rua B é

preferencial.

NE

GA

ÇÃ

O

08 (CESPE) A negação da proposição ―Ninguém aqui

é brasiliense‖ é a proposição ―Todos aqui são

brasilienses.

NE

GA

ÇÃ

O

09 (FUMARC 2010 – Técnico Administrativo)

Considere a seguinte proposição:

(i) Todos os alunos assistiram ao filme. A negação da proposição (i) é:

A) Nenhum aluno assistiu ao filme.

B) Algum aluno não assistiu ao filme.

C) Alguns alunos assistiram ao filme.

D) Todos os alunos não assistiram ao filme.

10 (CESPE) Considere as proposições a seguir.

A: Todo marciano é péssimo jogador de futebol.

B: Pelé é marciano

Nessa hipótese, a proposição Pelé é péssimo

jogador de futebol é uma conclusão correta.

11 Suponha-se que as seguintes proposições sejam

verdadeiras.

I Todo brasileiro é artista.

II Joaquim é um artista.

Nessa situação, se a conclusão for ―Joaquim é

brasileiro‖, então a argumentação é correta.

12 Considere que as proposições ―Todo advogado sabe

lógica‖ e ―Todo funcionário do fórum é advogado‖

são premissas de uma argumentação cuja conclusão


57


é ―Todo funcionário do fórum sabe lógica‖. Então essa argumentação é válida.

13 Todo amigo de Luiza é filho de Marcos. Todo primo

de Carlos, se não for irmão de Ernesto, ou é amigo

de Luiza ou é neto de Tânia. Ora, não há irmão de

Ernesto ou neto de Tânia que não seja filho de

Marcos. Portanto, tem-se, necessariamente, que:

a) todo filho de Marcos é irmão de Ernesto ou neto de

Tânia.

b) todo filho de Marcos é primo de Carlos.

c) todo primo de Carlos é filho de Marcos.

d) algum irmão de Ernesto é neto de Tânia. e) algum amigo de Luiza é irmão de Ernesto.

14 (CESPE) Considere uma argumentação em que

duas premissas são da forma:

1. Nenhum A é B.

2. Todo C é A.

e a conclusão é da forma ―Nenhum C é B‖. Essa argumentação não pode ser considerada válida.

15 Das premissas: Nenhum A é B. Alguns C são B,

segue, necessariamente, que:

a) nenhum A é C.

b) alguns A são C.

c) alguns C são A.

d) alguns C não são A.

e) nenhum C é A.

16 (Fiscal Recife/2003/ESAF) Pedro, após visitar uma

aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos

os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente para que a

afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja

verdadeira a seguinte proposição:

A) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a

sesta

B) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta

C) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a

sesta.

D) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta

E) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta

17 (TRT 9ª) Observe a construção de um argumento:

PREMISSAS:

Todos os cachorros têm asas.

Todos os animais de asas são aquáticos

Existem gatos que são cachorros

CONCLUSÃO:

Existem gatos que são aquáticos.

Sobre o argumento A, as premissas P e a

conclusão C, é correto dizer que:

a) A não é válido, P é falso e C é verdadeiro.

b) A não é válido, P e C são falsos.

c) A é válido, P e C são falsos.

d) A é válido, P ou C são verdadeiros.

e) A é válido se P é verdadeiro e C é falso.

18 Todas as amigas de Beto são, também, amigas de

Berenice, mas nenhuma amiga de Berenice é amiga

de Bruna. Todas as amigas de Bia são também

amigas de Bela, e algumas amigas de Bela são

também amigas de Bruna. Como nenhuma amiga

de Bela é amiga de Berenice, e como Bela, Bia e

Bruna não tem nenhuma amiga em comum, então:

a) Pelo menos uma amiga de Bia é amiga de Bruna.

b) Pelo menos uma amiga de Beto é amiga de Bruna.


58


c) Todas as amigas de Bela são amigas de Beto. d) Todas as amigas de Bela são amigas de Bia.

e) Nenhuma amiga de Bia é amiga de Beto.

19 Numa cidade litorânea é rigorosamente obedecida a

seguinte ordem do prefeito: ―Se não chover, então

todos os bares à beira-mar deverão ser abertos‖.

Pode-se concluir que:

a) se todos os bares à beira-mar estão abertos, então

choveu;

b) se todos os bares à beira-mar estão abertos, então

não choveu; c) se choveu, então todos os bares à beira-mar estão

abertos;

d) se choveu, então todos os bares à beira-mar não

estão abertos;

e) se um bar à beira-mar não está aberto, então

choveu.

20 Todos os diplomatas são gordos. Nenhum gordo

sabe nadar. Segue-se que: a) algum diplomata não é gordo;

b) algum diplomata sabe nadar;

c) nenhum diplomata sabe nadar;

d) nenhum diplomata é gordo;

e) algum gordo sabe nadar.

21 Se é verdade que ―nenhum artista é atleta‖, então

também será verdade que:

a) todos não-artistas são não-atletas.

b) Nenhum atleta é não-artista.

c) Nenhum artista é não-atleta.

d) Pelo menos um não-atleta é artista; e) Nenhum não-atleta é artista.

GABARITO

01 C 02 A 03 D 04 B 05 E

06 C 07 E 08 E 09 B 10 C

11 E 12 C 13 C 14 E 15 D

16 C 17 C 18 E 19 E 20 C

21 D

ANOTAÇÕES


59


VERDADES E MENTIRAS

No Raciocínio Lógico Matemático em questões de

Verdades e Mentiras encontraremos uma série de

declarações entrelaçadas entre si, e que, a princípio, não

sabemos se são declarações verdadeiras ou mentirosas.

Facilmente identificaremos que a questão é uma dessas,

de ―verdades & mentiras‖. Vejamos uma delas abaixo:

01 (ESAF) Um crime foi cometido por uma e apenas

uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos:

Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados

sobre quem era o culpado, cada um deles

respondeu:

Armando: "Sou inocente" Celso: "Edu é o culpado"

Edu: "Tarso é o culpado"

Juarez: "Armando disse a verdade"

Tarso: "Celso mentiu"

Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que

todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que

o culpado é:

a) Armando b) Celso c) Edu

d) Juarez e) Tarso

Em todas as questões desse tipo, siga os seguintes

passos:

1. Perceba as pessoas envolvidas na trama e que todos

fazem alguma declaração sobre algo que pode ser verdade ou mentira (Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso);

2. Relacione as declarações feitas com as pessoas que as pessoas da trama, dessa forma:

Armando: "Sou inocente"

Celso: "Edu é o culpado"

Edu: "Tarso é o culpado"

Juarez: "Armando disse a verdade"

Tarso: "Celso mentiu"

3. Perceba algumas informações adicionais, que neste

enunciado é: O crime foi cometido por uma e

apenas uma pessoa e Apenas um dos suspeitos

mentiu e todos os outros disseram a verdade. Logo, percebemos que só há um culpado e só há um que

mente.

4. Crie hipóteses (suposições) de verdades ou mentiras

5. Teste suas suposições e tire as conclusões

necessárias

Logo, temos o seguinte:

INFORMAÇÕES ADICIONAIS:

1º) Só há um culpado.

2º) Só há um mentiroso.

DECLARAÇÕES:

1º) Armando: "Sou inocente"

2º) Celso: "Edu é o culpado"

3º) Edu: "Tarso é o culpado"

4º) Juarez: "Armando disse a verdade"

5º) Tarso: "Celso mentiu"

Criaremos agora uma hipótese partindo das

informações adicionais obtidas. Como sabemos que só

há um mentiroso, supomos, então que um fala a verdade

e os demais mentem, e depois testamos nossa hipótese (suposição).

Crie a HIPÓTESE de que a pessoa que mente seja a

primeira da fila (a que está fazendo a primeira

declaração), no caso, o Armando. Se você está

SUPONDO que o Armando está mentindo, restará

perfeitamente claro que as demais pessoas estarão

dizendo a verdade (uma vez que sabemos que só há um

mentiroso).

HIPÓTESES

DECLARAÇÕES: I II III IV V

1º) Armando: "Sou inocente M V V V V

2º) Celso: "Edu é o culpado V M V V V

3º) Edu: "Tarso é o culpado" V V M V V

4º) Juarez: "Armando disse a verdade" V V V M V

5º) Tarso: "Celso mentiu" V V V V M

MATEMÁTICA/VALCLIDES GUERRA

60


CONCLUSÕES:

Da primeira declaração, extraímos que, se é

MENTIRA o que Armando está dizendo, então,

concluímos que: Armando é culpado.

Da segunda declaração, extraímos que, se é

VERDADE o que Celso está declarando, então,

concluímos que: Edu é culpado.

Logo, percebemos que encontramos 2 culpados, e o

enunciado diz que só há um culpado. Essa suposição não

serve, testemos as demais.

Para descobrirmos se a HIPÓTESE II servirá para a

nossa resolução, teremos que extrair dela as nossas

conclusões.

Teremos:

CONCLUSÕES:

Da primeira declaração, extraímos que, se é

VERDADE o que Armando está dizendo, então,

concluímos que: Armando é inocente.

Da segunda declaração, extraímos que, se é

MENTIRA o que Celso está declarando, então,

concluímos que: Edu é inocente.

Da terceira declaração, extraímos que, se é

VERDADE o que Edu está declarando, então, concluímos que: Tarso é culpado.

Da quarta declaração, extraímos que, se é

VERDADE o que Juarez está declarando, então,

concluímos que: Armando diz a verdade. Neste

momento, temos que nos reportar ao ARMANDO,

e confirmar se ele, nesta nossa hipótese, está

mesmo dizendo a verdade! E aí? Armando diz a

verdade ou não? Sim, ele diz. Então, esta nossa

quarta conclusão está COERENTE com as demais.

Da quinta e última declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Tarso está dizendo, então,

concluímos que: Celso mentiu. Também aqui nos

reportaremos ao CELSO, e conferiremos se ele de

fato mentiu! E aí, Celso mentiu ou não? Sim! Pela

nossa hipótese em análise, Celso de fato mentiu.

Deste modo, novamente, não achamos nenhuma

INCOMPATIBILIDADE entre essa conclusão e as

demais.

Daí, Concurseiros, concluímos que de fato, Tarso foi

o culpado e quem mentiu foi Celso.

QUESTÕES

02 (ESAF) Cinco colegas foram a um parque de

diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhados

por um funcionário do parque, que queria saber

qual deles entrou sem pagar, eles informaram:

– ―Não fui eu, nem o Manuel‖, disse Marcos.

– ―Foi o Manuel ou a Maria‖, disse Mário.

– ―Foi a Mara‖, disse Manuel.

– ―O Mário está mentindo‖, disse Mara.

– ―Foi a Mara ou o Marcos‖, disse Maria.

Sabendo-se que um e somente um dos cinco

colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem

entrou sem pagar foi: a) Mário b) Marcos

c) Mara.

d) Manuel

e) Maria

Marcos: Não fui eu E nem o Manuel

Mário: Foi o Manuel ou a Maria

Manuel: Foi a Mara

Mara: O Mário está mentindo

Maria: Foi a Mara ou o Marcos

03 Na porta de minha casa passam dois ônibus, um A e

outro B. Um deles passa pelo Ministério da

fazendo; outro não. Na casa ao lado da minha

moram dois irmãos. Um só diz a verdade, outro só

diz mentira. Ao indagar sobre qual ônibus tomar

para chegar ao Ministério da fazenda, um dos

irmãos me disse: ―Se meu irmão estivesse aqui,

mandaria você tomar o ônibus A‖. Que ônibus devo

tomar? a) A

b) B

c) A ou B

d) nenhum

04 Eu tenho 3 bolas: A, B e C. Pintei uma de vermelho,

uma de branco e outra de azul, não necessariamente

nessa ordem. Somente uma das afirmativas a seguir

é verdadeira.

I – A é vermelha.

II – B não é vermelha.

III – C não é azul.

Qual a cor da bola?

a) Vermelha, azul e branca b) Vermelha, branca e azul

c) Azul, vermelha e branca

d) Azul, branca e vermelha

e) Branca, azul e vermelha

05 Três amigos – Luís, Marcos e Nestor – são casados

com Teresa, Regina e Sandra (não necessariamente

nesta ordem). Perguntados sobre os nomes das

respectivas esposas, os três fizeram as seguintes

declarações:

Nestor: "Marcos é casado com Teresa"

Luís: "Nestor está mentindo, pois a esposa de

Marcos é Regina"

Marcos: "Nestor e Luís mentiram, pois a minha

esposa é Sandra"


61


Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que

o marido de Teresa disse a verdade, segue-se que

as esposas de Luís, Marcos e Nestor são,

respectivamente:

a) Sandra, Teresa, Regina

b) Sandra, Regina, Teresa

c) Regina, Sandra, Teresa

d) Teresa, Regina, Sandra

e) Teresa, Sandra, Regina

Nestor: "Marcos é casado com Teresa

Luís: "Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina

Marcos: "Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é Sandra

06 (CESPE) Um líder criminoso foi morto por um de

seus quatro asseclas: A, B, C e D. Durante o

interrogatório, esses indivíduos fizeram as seguintes

declarações.

• A afirmou que C matou o líder.

• B afirmou que D não matou o líder.

• C disse que D estava jogando dardos com A quando

o líder foi morto e, por isso, não tiveram

participação no crime.

• D disse que C não matou o líder.

Considerando a situação hipotética apresentada

acima e sabendo que três dos comparsas mentiram

em suas declarações, enquanto um deles falou a

verdade, julgue os itens seguintes.

( ) A declaração de C não pode ser verdadeira

( ) D matou o líder.

A: C matou o líder.

B: D não matou o líder.

C: D e A não tiveram participação no crime.

D: C não matou o líder.

GABARITO

01 E 04 C

02 C 05 D

03 B 06 V V

PROBLEMAS DE CORRELACIONAMENTOS

São problemas que apresentam diversos

elementos e você deve descobrir como eles estão

relacionados entre si. Este tópico é muito cobrado em

provas de Raciocínio Lógico, para compreendermos

resolveremos algumas questões. Vamos lá?

Raul, Sidnei, Célio, João e Adélio, agentes

administrativos do MS, nascidos em diferentes unidades

da Federação: São Paulo, Paraná, Bahia, Ceará e Acre,

participaram, no último final de semana, de uma reunião

em Brasília – DF, para discutir projetos do MS. Raul,

Célio e o paulista não conhecem nada de contabilidade; o

paranaense foi almoçar com Adélio; Raul, Célio e João

fizeram duras críticas às opiniões do baiano; o cearense,

Célio, João e Sidnei comeram um lauto churrasco no

jantar, e o paranaense preferiu fazer apenas um lanche. Com base na situação hipotética apresentada acima,

julgue os itens a seguir. Se necessário, utilize a tabela à

disposição no espaço para rascunho.

01 A proposição ―Se Célio nasceu no Acre, então

Adélio não nasceu no Ceará‖, que pode ser

simbolizada na forma A→(¬B), em que A é a

proposição ―Célio nasceu no Acre‖ e B, ―Adélio

nasceu no Ceará‖, é valorada como V.

02 Considere que P seja a proposição ―Raul nasceu no

Paraná‖, Q seja a proposição ―João nasceu em São

Paulo‖ e R seja a proposição ―Sidnei nasceu na

Bahia‖. Nesse caso, a proposição ―Se Raul não

nasceu no Paraná, então João não nasceu em São Paulo e Sidnei nasceu na Bahia‖ pode ser

simbolizada como (¬P) → [(¬Q) ^ R)] e é valorada

como V.

Para responder as questões apresentadas (01 e 02),

começaremos montando a tabela mostrada na questão.

Para cada afirmação colocada, tiraremos nossas

conclusões. Perceba que temos algumas afirmações:

Raul, Célio e o paulista não conhecem nada de

contabilidade; o paranaense foi almoçar com Adélio;

Raul, Célio e João fizeram duras críticas às

opiniões do baiano;

o cearense, Célio, João e Sidnei comeram um

lauto churrasco no jantar, e o paranaense

preferiu fazer apenas um lanche.

1) Raul, Célio e o paulista não conhecem nada de

contabilidade

Conclusão: nem Raul, nem Célio são paulistas.

2) O paranaense foi almoçar com Adélio.

Conclusão: Adélio não é paranaense.


62


3) Raul, Célio e João fizeram duras críticas às opiniões do baiano.

Conclusão: Nenhum dos 3 (Raul, Célio e João) é

baiano.

3)O cearense, Célio, João e Sidnei comeram um

lauto churrasco no jantar, e o paranaense preferiu

fazer apenas um lanche.

Conclusão: nenhum dos 3 (Célio, João e Sidnei) é

cearense, muito menos paranaense.

Descobrimos, na linha do Paraná, que só poderá ser

o Raul. Daí, completaremos a coluna do Raul com

N.

Agora, é a vez da linha do Ceará. Só poderá ser Adélio. Agora, completaremos a coluna do Adélio

com N.

Fechamos a linha da Bahia. Descobrimos que é o

Sidnei.

Fechamos a linha do Acre. Descobrimos que é o Célio. Por último, João nasceu em São Paulo.

Após completarmos nossa tabela, passaremos a

resolver as questões.

01 Temos uma proposição condicional. Olhando para a

tabela, descobrimos que:

A = ―Célio nasceu no Acre‖ = V

B = ―Adélio nasceu no Ceará‖ = V. Logo:

Item errado.

02 Trabalharemos igualzinho à questão anterior!

P = ―Raul nasceu no Paraná‖ = V

Q = ―João nasceu em São Paulo‖ = V R = ―Sidnei nasceu na Bahia‖ = V

Então,

Item correto.

QUESTÕES

01 (FCC) Amarildo, Bento e Clodoaldo são motoristas

do Tribunal de Contas e, certo mês, ao viajarem a

serviço pelo estado da Paraíba, observou-se que:

_ Um deles fez 5 viagens, enquanto que outro fez 8 e

outro 10;

_ Em suas viagens, cada um percorreu distâncias

diferentes: 90, 150 e 280 Km;

_ Clodoaldo percorreu 280 Km;

_ Aquele que percorreu 150 Km fez 10 viagens;

_ Amarildo fez 5 viagens.


63


Com base nas informações dadas, é correto afirmar

que:

a) Bento percorreu 150 Km.

b) Amarildo não percorreu 90 Km.

c) Bento fez 8 viagens.

d) Clodoaldo não fez 8 viagens.

e) Amarildo percorreu 150 Km.

VIAGENS KM

8 5 10 90 150 280

Amarildo

Bento

Clodoaldo

02 Três meninos estão andando de bicicleta. A

bicicleta de um deles é azul, a do outro é preta, a do

outro é branca. Eles vestem bermudas destas

mesmas três cores, mas somente Artur está com

bermuda de mesma cor que sua bicicleta. Nem a

bermuda nem a bicicleta de Júlio são brancas. Marcos está com bermuda azul. Desse modo:

a) A bicicleta de Júlio é azul e a de Artur é preta.

b) A bicicleta de Marcos é branca e sua bermuda é

preta.

c) A bermuda de Júlio é preta e a bicicleta de Artur é

branca.

d) A bermuda de Artur é preta e a bicicleta de Marcos

é branca.

e) A bicicleta de Artur é preta e a bermuda de Marcos

é azul.

BICICLETA BERMUDAS

azul preta branca azul preta branca

Artur

Júlio

Marcos

03 (AFTN ESAF) Os carros de Artur, Bernardo e

César são, não necessariamente nesta ordem, uma

Brasília, uma Parati e um Santana. Um dos carros é

cinza, um outro é verde, e o outro é azul. O carro de

Artur é cinza; o carro de César é o Santana; o carro

de Bernardo não é verde e não é a Brasília. As cores

da Brasília, da Parati e do Santana são,

respectivamente:

a) cinza, verde e azul

b) azul, cinza e verde

c) azul, verde e cinza

d) cinza, azul e verde

e) verde, azul e cinza

CARROS CORES

Brasília Parati Santana cinza verde azul

Artur

Bernardo

César

04 (AFC 2002 ESAF) Um agente de viagens atende

três amigas. Uma delas é loura, outra é morena e a

outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se

chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama

Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma

viagem a um país diferente da Europa: uma delas

irá à Alemanha, outra irá à França e a outra irá à

Espanha. Ao agente de viagens, que queria

identificar o nome e o destino de cada uma, elas

deram as seguintes informações:

A loura: ―Não vou à França nem à Espanha‖.

A morena: ―Meu nome não é Elza nem Sara‖.

A ruiva: ―Nem eu nem Elza vamos à França‖.

O agente de viagens concluiu, então,

acertadamente, que:

a) A loura é Sara e vai à Espanha.

b) A ruiva é Sara e vai à França.

c) A ruiva é Bete e vai à Espanha.

d) A morena é Bete e vai à Espanha.

e) A loura é Elza e vai à Alemanha.

NOMES PAÍSES

Bete Elza Sara França Espanha Alemanha

Loura

Morena

Ruiva

05 Para preencher a tabela a seguir, considere que os

filmes A e B sejam de categorias distintas —

documentário ou ficção —, e, em um festival de

cinema, receberam premiações diferentes — melhor

fotografia ou melhor diretor. Tendo como base as

células já preenchidas, preencha as outras células com V ou F, conforme o cruzamento da informação

da linha e da coluna correspondentes constitua uma

proposição verdadeira ou falsa, respectivamente.

A partir do preenchimento das células da tabela e

das definições apresentadas no texto, julgue os itens

subseqüentes.

( ) A proposição ―O filme A é um filme de ficção‖ é

V.

( ) A proposição ―O documentário recebeu o prêmio

de melhor fotografia ou o filme B não recebeu o

prêmio de melhor diretor‖ é V.

( ) A proposição ―Se o filme B é um documentário,

então o filme de ficção recebeu o prêmio de melhor

fotografia‖ é V.

Leia o texto seguinte:


64


06 Roberta, Rejane e Renata são servidoras de um

mesmo órgão público do Poder Executivo Federal.

Em um treinamento, ao lidar com certa situação,

observou-se que cada uma delas tomou uma das

seguintes atitudes:

A1: deixou de utilizar avanços técnicos e científicos que

estavam ao seu alcance;

A2: alterou texto de documento oficial que deveria

apenas ser encaminhado para providências;

A3: buscou evitar situações procrastinatórias.

Cada uma dessas atitudes, que pode ou não estar de

acordo com o Código de Ética Profissional do

Servidor Público Civil do Poder Executivo Federal

(CEP), foi tomada por exatamente uma das servidoras. Além disso, sabe-se que a servidora

Renata tomou a atitude A3 e que a servidora

Roberta não tomou a atitude A1. Essas informações

estão contempladas na tabela a seguir, em que cada

célula, correspondente ao cruzamento de uma linha

com uma coluna, foi preenchida com V

(verdadeiro) no caso de a servidora listada na linha

ter tomado a atitude representada na coluna, ou com

F (falso), caso contrário.

Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.

( ) A atitude adotada por Roberta ao lidar com documento oficial fere o CEP.

( ) A atitude adotada por Rejane está de acordo com o CEP e é especialmente adequada diante de filas ou

de qualquer outra espécie de atraso na prestação dos

serviços.

( ) Se P for a proposição ―Rejane alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser

encaminhado para providências‖ e Q for a

proposição ―Renata buscou evitar situações

procrastinatórias‖, então a proposição P→Q tem

valor lógico V.

GABARITO

01 A 04 E

02 C 05 ECC

03 D 06 CEC

RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO

PROVA TJ/PE 2007 FCC

01 (FCC 2007 – TJ/PE) Considere a seqüência de

figuras abaixo.

A figura que substitui corretamente a interrogação é:

02 (FCC 2007 – TJ/PE) Todas as estrelas são dotadas

de luz própria. Nenhum planeta brilha com luz

própria. Logo,

(A) todos os planetas são estrelas.

(B) nenhum planeta é estrela.

(C) todas as estrelas são planetas.

(D) todos os planetas são planetas.

(E) todas as estrelas são estrelas.

03 (FCC 2007 – TJ/PE) Aquele policial cometeu

homicídio. Mas centenas de outros policiais

cometeram homicídios, se aquele policial cometeu.

Logo,

(A) centenas de outros policiais não cometeram

homicídios. (B) aquele policial não cometeu homicídio.

(C) aquele policial cometeu homicídio.

(D) nenhum policial cometeu homicídio.

(E) centenas de outros policiais cometeram homicídios.

04 (FCC 2007 – TJ/PE) Assinale a alternativa que

substitui corretamente a interrogação na seguinte

seqüência numérica:

6 11 ? 27

(A) 15


65


(B) 13

(C) 18

(D) 57

(E) 17

05 (FCC 2007 – TJ/PE) Há cinco objetos alinhados

numa estante: um violino, um grampeador, um

vaso, um relógio e um tinteiro. Conhecemos as

seguintes informações quanto à ordem dos objetos:

− O grampeador está entre o tinteiro e o relógio.

− O violino não é o primeiro objeto e o relógio não é o último.

− O vaso está separado do relógio por dois outros

objetos.

Qual é a posição do violino?

(A) Segunda posição.

(B) Terceira posição.

(C) Quarta posição.

(D) Quinta posição.

(E) Sexta posição.


figuras abaixo.

A figura que substitue corretamente a interrogação

é:

07 (FCC 2007 – TJ/PE) Se Rasputin não tivesse

existido, Lenin também não existiria. Lenin existiu.

Logo,

(A) Lenin e Rasputin não existiram.

(B) Lenin não existiu.

(C) Rasputin existiu.

(D) Rasputin não existiu.

(E) Lenin existiu.


substitue corretamente a interrogação na seguinte

seqüência numérica:

8 12 24 60 ?

(A) 56

(B) 68

(C) 91

(D) 134

(E) 168


completa a série seguinte:

J J A S O N D ?

(A) J

(B) L

(C) M

(D) N

(E) O

10 (FCC 2007 – TJ/PE) Assinale a alternativa

correspondente ao número de cinco dígitos no qual

o quinto dígito é a metade do quarto e um quarto do

terceiro dígito. O terceiro dígito é a metade do primeiro e o dobro do quarto. O segundo dígito é

três vezes o quarto e tem cinco unidades a mais que

o quinto.

(A) 17942

(B) 25742

(C) 65384

(D) 86421

(E) 97463

11 (FCC 2007 – TJ/PE) Se Guilherme disse a

verdade, Gabriela e Lucas mentiram. Se Lucas

mentiu, Bruna falou a verdade. Se Bruna falou a

verdade, Maria está dormindo. Ora, Maria não está dormindo. Logo:

(A) Guilherme e Gabriela disseram a verdade.

(B) Lucas e Bruna mentiram.

(C) Lucas mentiu ou Bruna disse a verdade.

(D) Lucas e Gabriela mentiram.

(E) Guilherme e Bruna mentiram.


figuras abaixo.


66


A figura que substitue corretamente a interrogação

é:

13 (FCC 2007 – TJ/PE) A inserção dos números nos

espaços abaixo observa determinada lógica.

O número que substitui corretamente a interrogação

é:

(A) 64I

(B) 48J

(C) 42L (D) 15X

(E) 90R

14 (FCC 2007 – TJ/PE) Considere a seqüência das

figuras abaixo.

A figura que substitue corretamente as

interrogações é:

15 (FCC 2007 – TJ/PE) Em uma cidade, todo pai de

pai de família é cantor. Todo filósofo, se não for marceneiro, ou é pai de família ou é arquiteto. Ora,

não há marceneiro e não há arquiteto que não seja

cantor. Portanto, tem-se que, necessariamente:

(A) todo cantor é filósofo.

(B) todo filósofo é cantor.

(C) todo cantor é marceneiro ou arquiteto.

(D) algum marceneiro é arquiteto.

(E) algum pai de família é marceneiro.

16 (FCC 2007 – TJ/PE) Observe a lei de formação

usada para construir a seqüência de malhas

quadriculadas abaixo.

Segundo essa lei, a posição que o número 169

ocuparia em uma malha 15 ×15 é

(A) 9a linha e 14a coluna.

(B) 10a linha e 8a coluna.

(C) 11a linha e 6a coluna. (D) 12a linha e 4a coluna.

(E) 13a linha e 5a coluna.

17 (FCC 2007 – TJ/PE) Para todo número inteiro x,

define-se uma operação # como: .

Nessas condições, o valor da expressão é:

(A) –26

(B) –22

(C) –20

(D) 22

(E) 26


67


18 (FCC 2007 – TJ/PE) Considere a afirmação

abaixo.

Existem funcionários públicos que não são

eficientes.

Se essa afirmação é FALSA, então é verdade que:

(A) nenhum funcionário público é eficiente.

(B) nenhuma pessoa eficiente é funcionário público.

(C) todo funcionário público é eficiente.

(D) nem todos os funcionários públicos são eficientes.

(E) todas as pessoas eficientes são funcionários públicos.

19 (FCC 2007 – TJ/PE) A sucessão de figuras abaixo

foi construída da esquerda para a direita segundo

determinado padrão.

De acordo com esse padrão, a figura que completa a seqüência dada é:

20 (FCC 2007 – TJ/PE) Suponha que exista uma

pessoa que só fala mentiras às terças, quartas e

quintas-feiras, enquanto que, nos demais dias da semana, só fala a verdade. Nessas condições,

somente em quais dias da semana seria possível ela

fazer a afirmação ―Eu menti ontem e também

mentirei amanhã.‖?

(A) Terça e quinta-feira.

(B) Terça e sexta-feira.

(C) Quarta e quinta-feira.

(D) Quarta-feira e sábado.

(E) Quinta-feira e domingo.

GABARITO

01 A 06 B 11 E 16 D

02 B 07 C 12 A 17 B

03 E 08 E 13 B 18 C

04 C 09 A 14 C 19 E

05 D 10 D 15 B 20 A

RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO

Raciocínio Sequencial

Seqüências são conjuntos ordenados de elementos

(números, figuras geométricas, palavras etc.) gerados por

uma regra de formação. Os problemas apresentam alguns

elementos de uma sequência, pedindo que se ache o

elemento seguinte. O modo de se resolver esse tipo de

problemas consiste em descobrir, por intuição,

observação dos elementos dados, e às vezes, alguns

cálculos, qual a regra de formação e aplicá-la ao último

elemento da série, completando, assim, a sequência pedida.

Exemplo:

A famosa seqüência de Fibonacci na qual o valor do

próximo elemento numérico é dado pela soma dos dois

anteriores:

1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 – 21 – 34 – 55 – 89 …

Porém, caros concurseiros, os exercícios com

seqüências não se limitam a números. Podem existir

seqüencias de letras, figuras, combinações de ambas,

palavras com significados análogos e diversas outras.

Veremos nos exercícios vários modelos das mais

diversas formas de raciocínio seqüencial. O que você vai

ter que perceber ao ler cada enunciado, é qual tipo de raciocínio está sendo utilizado para que você – candidato

– não perca mais do que o tempo necessário para

resolver a questão.

A prática constante dos modelos trabalhados em

sala de aula e outros encontrados por você durante sua

jornada de estudo fará de você um candidato capaz de

enfrentar qualquer prova das mais variadas bancas de

concurso. E toda a aparente complexidade das questões

desaparece. Resta apenas o trabalho, sei que muitas

vezes ele é árduo - é verdade - mas de resultados

garantidos, se treinar e treinar fazendo muitos exercícios.

Sequência Numérica:

É a capacidade de compreender problemas que

utilizam operações que envolvam números, bem como o

domínio das operações aritméticas básicas. As questões

relativas a raciocínio numérico são apresentadas sob a

forma de sequência de números. Deve-se encontrar a lei

de formação da sequência para dar continuidade a

mesma.

Sequência de palavras:

01 Seja a sucessão de vocábulos formados todos com

cinco letras:

ARARA, PRETA, ATIVA, ADOTA, X

A palavra que substitui corretamente o X é:

a) PAVÃO


68


b) CISNE

c) GANSO

d) CORVO

e) URUBU

Solução: Observe, em cada palavra, que elas são

formadas por 5 letras e, além disso, perceba

que a letra central encontra-se em ordem

alfabética... viu???

ARARA, PRETA, ATIVA, ADOTA,...

...isso mesmo!!! Já sabe qual a palavra que dá sequência

a série acima??? Você acertou, é isso aí! urUbu.

Resposta: alternativa E.

Vamos a outra questão?

02 Uma propriedade comum reúne a seguinte sucessão

de palavras:

DEFEITO, ESTUDANTE, ABCISSA,

INOPITAR, X

A palavra que substitui corretamente o X é

a) ANZOL

b) EMPRESTADO

c) PRENDERA

d) TUVIRA

e) SEMPRE

Solução: Procure perceber que propriedade a sequência foi montada... não desanime...

siga em frente... percebeu???

DEFEITO, ESTUDANTE, ABCISSA, INOPITAR,...

Observe que cada palavra apresenta três letras

consecutivas do alfabeto. Nas opções de resposta, a única

que apresenta essa característica é a palavra TUVIRA.

Resposta: alternativa D.

02 Uma propriedade comum reúne a seguinte sucessão

de números:

2, 3, 5, 7, 11, X

O número que substitui corretamente o X é:

a) 13 b) 15

c) 20

d) 25

e) 30

Solução: Procure perceber com que propriedade a

sequência foi montada... Veja que a série

aumenta (é crescente – soma, produto etc).

Não conseguiu perceber nenhuma operação?

É verdade. Tente observar se você conhece

alguma característica dos números

trabalhados na série. Percebeu? Pois é. É

uma sequência de números primos (aqueles

que só têm dois divisores – um e ele

mesmo). Percebeu agora? O próximo

número é, portanto, 13 (letra A).

Algumas dicas para resolver sequências:

Se a sequência for numérica, a primeira dica é

observar se trata de uma série crescente (soma, produto, potência etc.), decrescente (subtração,

divisão, radiciação etc.) ou alternada. Descobrir

a operação empregada e aplicá-la no número

seguinte;

Caso seja uma série de letras, a primeira dica é

observar se segue a ordem do alfabeto (escreva,

de forma rápida o alfabeto e marque as letras

dadas na sequência) descobrindo a relação entre

elas. Caso não consiga visualizar nenhuma

relação pense em relação de nomes conhecidos como: meses do ano, dias da semana, nome dos

números naturais etc.

Em sequências de figuras, observe, sem perder

tempo, o comportamento das figuras. Muitas

vezes, as figuras são formadas por outras

menores. Não deixe de observar o

comportamento delas com relação ao tamanho,

direção, quantidade, posição, substituição,

organização etc.

Caso tenham sequências com misturas de

números, letras e/ou figuras, procure aplicar as

dicas anteriores, observando, ainda, se existe

relação entre esses dados.

Aplicaremos estas dicas em sala de aula na

resolução dos exercícios.

Questões

01 A sentença seguinte é seguida de um número entre

parênteses, que corresponde ao número de letras de

uma palavra que se aplica à definição dada.

“Tudo aquilo que não é cópia ou imitação.” (8)

a) A

b) O

c) P

d) Q

e) R

02 Uma propriedade lógica define a sucessão:

SEGURO, TERRA, QUALIDADE, QUILATE,

SEXTANTE, SABIO, .....

Escolha a alternativa que preenche corretamente a

lacuna:

a) JADE.

b) CHINÊS.


69


c) TRIVIAL.

d) DOMÍNIO.

e) ESCRITURA.

03 A sucessão seguinte de palavras obedece a uma

ordem lógica:

VIL, RUIM, FEIO, BOIOU, X.

Escolha a alternativa que substitui X corretamente:

a) MALVADO.

b) CAPIXABA.

c) SOTEROPOLITANO.

d) BONITO.

e) PIAUIENSE.

04 Observe a sucessão a seguir composta de letras do

alfabeto da língua portuguesa e escolha a

alternativa que determina X corretamente:

B, D, G, L, Q, X a) R.

b) U.

c) X.

d) A.

05 (BACEN 2006) Na figura abaixo, as letras foram

dispostas em forma de um triângulo segundo

determinado critério:

P

P Q

P R S

Q R S T

Q R _ _ ?

Considerando que as letras K, W e Y não fazem

parte do alfabeto oficial, então, de acordo com o

critério estabelecido, a letra que deve substituir o

ponto de interrogação é:

a) P.

b) Q. c) R.

d) S.

e) T.

06 (TRT 23ª 2004) Esta seqüência de palavras segue

uma lógica:

_ Pá

_ Xale

_ Japeri

Uma quarta palavra que daria continuidade lógica

à seqüência poderia ser: a) Casa.

b) Anseio.

c) Urubu.

d) Café

e) Sua.

07 (TRT 24ª 2006) Considere a seqüência (16,

18, 9, 12, 4, 8, 2, X). Se os termos dessa seqüência

obedecem a uma lei de formação, o termo X deve

ser igual a:

a) 12.

b) 10.

c) 9.

d) 7.

e) 5.

08 (TRF 4ª 2004) Considere os conjuntos de

números:

8 3 10 2 7 3

25 64 X

Mantendo para os mesmos números do terceiro

conjunto a seqüência das operações efetuadas nos

conjuntos anteriores para se obter o número abaixo

do traço, é correto afirmar que o número X é:

a) 9.

b) 16.

c) 20.

d) 36. e) 40.

09 (TRF 4ª 2004) Considere os seguintes pares de

números: (3, 10), (1, 8), (5, 12), (2, 9), (4, 10).

Observe que quatro desses pares têm uma

característica comum. O único paralelepípedo que

não apresenta tal característica é:

a) (3, 10).

b) (1, 8).

c) (5, 12).

d) (2, 9).

e) (4, 10).

10 Em relação á disposição numérica seguinte,

assinale a alternativa que preenche a vaga

assinalada pela interrogação:

2 8 5 6 8 ? 11

a) 1

b) 4

c) 3

d) 29

e) 42

11 Os números abaixo estão dispostos de maneira

lógica.

8 - 1 - 12 - 10 - 14 - 11 - ? - 3 - 7 - 5 – 16 - 9

A alternativa correspondente ao número que

substitui a interrogação é:

a) 14

b) 5

c) 6

d) 8 e) 12


70


12 (MPU) Ana guarda suas blusas em uma única

gaveta em seu quarto. Nela, encontram-se sete

blusas azuis, nove amarelas, uma preta, três verdes e

três vermelhas. Uma noite, no escuro, Ana abre a

gaveta e pega algumas blusas. O número mínimo de

blusas que Ana deve pegar para ter certeza de ter

pegado ao menos duas blusas da mesma cor é:

a) 6

b) 4

c) 2

d) 8

e) 10

13 Em uma avenida reta, a padaria fica entre o posto de

gasolina e a banca de jornal, e o posto de gasolina

fica entre a banca de jornal e a sapataria. Logo:

a) a sapataria fica entre a banca de jornal e a padaria;

b) a banca de jornal fica entre o posto de gasolina e a

padaria;

c) o posto de gasolina fica entre a padaria e a banca de

jornal;

d) a padaria fica entre a sapataria e o posto de gasolina;

e) o posto de gasolina fica entre a sapataria e a padaria.

14 (FCC) Assinale a alternativa, entre as cinco

relacionadas, que preenche a vaga assinalada pela

interrogação.

15 (FCC) Assinale a alternativa que substitui a letra x.

a) 29

b) 7

c) 6.

d) 5

e) 3

16 (FCC) Considerando as relações horizontais e

verticais entre as figuras, assinale a alternativa que

substitui a interrogação.

17 (FCC) Observe que a sucessão de figuras abaixo

obedece a um padrão de construção para a obtenção

das figuras subseqüentes.

A quarta figura, que completa a seqüência, é:


71


18 (FCC) Considere que a seqüência de figuras

seguinte foi construída obedecendo a uma lei de

formação.

Segundo essa lei, a figura que completa a sucessão,

substituindo o ponto de interrogação, é

19 Observe atentamente a disposição das cartas em

cada linha do esquema seguinte:

A carta que está oculta é:

20 (FCC 2008) Observe que, no diagrama abaixo,

foram usadas somente as letras K, R, C, S, A, F, X,

H, T e que cada linha tem uma letra a menos que a

anterior.

K R C S A F X H T

S T C K X F R H

F H K T R S X

H K R X S T

T R S K X

• • • •

Se as letras foram retiradas obedecendo a um certo

critério, então a próxima letra a ser retirada será

A) T

B) R

C) S

D) K

E) X

21 (AFC) Pedro saiu de casa e fez compras em quatro

lojas, cada uma num bairro diferente. Em cada uma

gastou a metade do que possuía e, ao sair de cada

uma das lojas, pagou R$ 2,00 de estacionamento. Se,

no final, ainda tinha R$ 8,00, que quantia tinha Pedro ao sair de casa?

a) R$ 220,00

b) R$ 204,00

c) R$ 196,00

d) R$ 188,00

e) R$ 180,00

22 Qual é a 1997ª letra da seqüência

ABCDEDCBABCDEDCBABCDEDCB...?

A) E

B) D

C) C D) B

E) A

23 (FUNRIO) Os conjuntos A, B, C e D são definidos

de acordo com uma ordem lógica. Sabendo que A =

{ 1, 2, 5, 10 }, B = { 1, 2, 4, 5, 10, 20 } e C = { 1, 2,

3, 5, 6, 10, 15, 30 }, o conjunto D é: a) { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 40 }

b) { 1, 2, 4, 5, 8, 10, 15, 20, 30, 40 }

c) { 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 30, 40 }

d) { 1, 2, 3, 4, 5, 10, 20, 40 }

e) { 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 }

GABARITO

01 B 06 B 11 C 16 E 21 D

02 D 07 D 12 A 17 A 22 A

03 E 08 B 13 E 18 E 23 E

04 C 09 E 14 D 19 A

05 E 10 B 15 C 20 D


72


ANOTAÇÕES

Education

Apostila matemática e raciocínio lógico