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RACIOCÍNIO LÓGICO - Apostila - Curso CIENCIAS DA COMPUTAÇÃO - Universidade Regional Integrada - Erechim - RS

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  • URI Universidade Regional IntegradaCampus de Erechim

    Curso de Cincia da Computao

    Apostila de Lgica para a Computao

    Prof. Neilor Tonin

    Erechim, 4 de Agosto de 2008

  • Apostila de Lgica para a computao 2

    Plano de ensino da disciplina: 35-324 Lgica para a ComputaoDepartamento: 03 Engenharias e Cincia da ComputaoCarga horria: 60 horas Crditos: 04

    EMENTA:

    lgebra booleana. Proposies. Operaes Lgicas sobre Proposies. Construo de Tabelas-Verdade. Tautologia, Contradies e Contingncias. Implicao Lgica. lgebra das Proposies. Mtodo Dedutivo. Argumentos , Regras de Inferncia. Validade mediante Regras de Inferncia. Clculo de Predicados.

    OBJETIVOS:

    Formalizao de idias complexas de forma mais simples. Propicia um novo ou melhor entendimento das questes relacionadas com toda a Cincia da Computao. Auxilia no desenvolvimento de aplicaes e soluo de problemas reais que envolvem aplicao da computao.

    RELAO DOS CONTEDOS:

    1. Proposies Conectivos: Valores lgicos; Proposies Simples e Proposies Compostas; Conectivos; Tabela-Verdade.

    2. Operaes Lgicas sobre Proposies: Negao; Conjuno; Disjuno; Disjuno Exclusiva; Condicional; Bicondicional;

    3. Construo de Tabelas-Verdade: Tabela-Verdade de uma proposio composta; Nmero de Linhas; Construo de uma T.V.; Valor lgico

    4. Tautologia, Contradies e Contingncias: Tautologia; Princpio de substituio; Contradio; Contingncia.

    5. Implicao Lgica: Definio; Propriedades; Tautologia e equivalncia Lgica; Proposies associadas a uma condicional; Negao conjunta de duas proposies; Negao disjunta de duas proposies;

    6. lgebra das Proposies7. Mtodo Dedutivo: Formas normais; Princpio da dualidade;

    8. Argumentos , Regras de Inferncia: Definio; Validade; Critrio; Condicional Associada; Argumentos Vlidos; Regras de Inferncia; Validade mediante as Regras de Inferncia

    9. Clculo de Predicados: Quantificadores e Variveis; Predicados e nomes prprios; Regras de formao; Regras de inferncia para o quantificador universal; Regras de inferncia para o quantificador existencial; Teoremas e regras de equivalncia do quantificador; Identidade.

    BIBLIOGRAFIA BSICA (LIVROS TEXTOS):Srates, Jonofon. Raciocnio Lgico. 8 ed Braslia:Editora Jonofon LTDA, 1998. Nolt, J; Rohatyn, D. Lgica. Coleo Schaum, McGraw-Hill, Inc., 1991.

    BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR (LIVROS REFERENCIADOS):James L. Hein. Discrete Structures, Logic and Computability; Jones & Bartlett 1995.H. B. Enderton. A mathematical introduction to logic, Academic Press, 2ed. 2001. D. M. Gabbay. Elementary Logics: a procedural perspective, Prentice Hall, 1998. Alencar Filho, Edgar de. Iniciao Lgica Matemtica. 8 ed. So Paulo: Ed. Nobel, 1976. Mendelson, B. Introduction to Mathematical Logic. Princeton, NJ, Van Nostrand, 1964.

    Clculo da mdia semestral: (P1*4 + P2*4 + T*2 ) / 10onde: P1 = Primeira prova P2 = Segunda prova T = Trabalho

  • Apostila de Lgica para a computao 3

    Clculo Proposicional

    1. Proposio:

    Chama-se sentena ou proposio todo o conjunto de palavras ou smbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. Sentena ou proposio se distinguem do nome, o qual designa um objeto.Exemplos de nomes: Pedro. O co do menino. 4 3

    Exemplos de proposies:1. A lua um satlite da terra.2. O filho do Presidente do Brasil, em 1970, era mdico.3. 3 x 5 = 5 x 34. Onde voc mora?5. Que belo jardim o desta praa!6. Escreva um verso.7. Pedro estuda e trabalha.8. Duas retas de um plano so paralelas ou incidentes.9. Se Pedro estuda, ento tem xito na escola.10. Vou ao cinema se e somente se conseguir dinheiro.

    Na lgica, restringimo-nos a uma classe de proposies, que so as declarativas e que s aceitam dois valores: Verdadeiro (V) ou r falso (F), um excluindo o outro. Assim, exclumos de nossas consideraes:- Proposies exclamativas, como a de n 5.- Proposies interrogativas, como a do n 4.- Proposies imperativas, como a do n 6.So declarativas as de nmeros 1 at 3 e as de 7 at 10.

    A lgica matemtica adota como regras fundamentais os dois seguintes princpios ou axiomas:( I ) PRINCPIO DA NO CONTRADIO: Uma proposio no pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.( II ) PRINCPIO DO TERCEIRO EXCLUDO: Qualquer proposio verdadeira ou falsa, no podendo ser nada mais do que isso.

    Por exemplo, as proposies 1 e 3 so ambas verdadeiras, mas as 3 proposies seguintes so falsas: Vasco da Gama descobriu o Brasil. Dante escreveu os Lusadas. Obs: Cames escreveu Os Lusadas. um nmero inteiro.As proposies so geralmente designadas pelas letras latinas minsculas p, q, r, s... (sem ndices ou acentos).

    Exerccio:1) Quais so os nomes e quais so as proposies?a) O nmero 3 maior que o nmero 5.b) A terra um planetac) 9-12d) 9e) 8*7 = 56f) O gato da meninag) Um bom livro de matemticah) 3 + 5 5 + 3i) Se chover hoje, ento a rua ficar molhada.j) O sol brilha e queima as plantas.k) Jorge gacho ou Catarinense.l) Um tringulo retngulo se e somente se tem um ngulo reto.m) Tringulo equiltero.n) Se um tringulo retngulo, ento, dois de seus lados so perpendiculares

    1.1. Valores Lgicos das Proposies:

    Diz-se que o valor lgico de uma proposio p verdade quando p verdadeiro e falsidade quando p falso. Os valores lgicos verdade e falsidade de uma proposio designam-se abreviadamente pelas letras V e F ou pelos smbolos 1 e 0, respectivamente.

  • Apostila de Lgica para a computao 4

    Assim, o que os princpios da no-contradio e do terceiro excludo afirmam que:Toda proposio pode assumir um, e somente um, dos dois valores: F ou V ( 0 ou 1 respectivamente).

    Exerccio:

    2) Dar os valores lgicos das proposies abaixo, isto , atribua V ou F para cada uma delas.a) 3+5=8b) A lua um satlite da terra.c) Colombo descobriu o Brasil.d) Pedro lvares Cabral descobriu a Colmbia.e) o nmero 11 primo.f) (8-3)2 = 82 - 32g) Um nmero divisvel por 2 parh) 1 e -1 so razes da equao x2-1=0

    1.2 Proposies simples e Proposies compostas

    As proposies podem se classificadas como simples ou compostas. A proposio simples aquela que no contm nenhuma outra proposio como parte integrante de si mesma. A proposio composta formada pela combinao de duas ou mais proposies simples atravs de um elemento de ligao denominada conectivo. Ex.:

    Proposio simples

    P : Zenbio careca.Q: Pedro estudanteR: O nmero 25 um quadrado perfeito

    Proposies compostas

    P: Zenbio careca e Pedro estudanteQ: Zenbio careca ou Pedro estudanteR: Se Zenbio careca, ento feliz

    As proposies compostas so tambm chamadas de frmulas proposicionais. Constri-se uma proposio composta a partir de duas ou mais proposies simples e do uso de conectivos.

    1.3 Conectivos

    Definio: Chamam-se conectivos as palavras usadas para formar proposies compostas a partir de proposies simples. Temos 1 conectivo unrio e 4 conectivos binrios. Ex.:

    P: O nmero 6 par e o nmero 8 o cubo do nmero 2Q: O tringulo ABC retngulo ou o tringulo ABC isscelesR: No est chovendoS: Se Jorge engenheiro, ento sabe matemticaT: O tringulo ABC equiltero se e somente se equingulo (subentende .. o tringulo ABC...)

    Podemos considerar como conectivos usuais da lgica as palavras grifadas, isto :E, Ou, No, Se ... Ento..., ... Se e somente se... (sse)

    Exerccio:3) Dentre as proposies do exerccio 1, quais so:a) Simples: b) Compostas:

    1.4 Tabela-Verdade

    Construo das tabelas - verdades:

    Segundo o princpio do terceiro excludo, toda proposio simples p verdadeira ou falsa, isto , tem o valor lgico V (verdade) ou o valor lgico F (falsidade).

    PVF

    V P

    F

  • Apostila de Lgica para a computao 5

    O valor lgico de uma expresso composta depende unicamente dos valores lgicos das expresses simples que compem a mesma. Admitindo isso, recorre-se a um dispositivo denominado tabela verdade para aplicar este conceito na prtica.

    Na tabela verdade figuram todos os possveis valores lgicos da proposio correspondentes a todas as possveis atribuies de valores lgicos s proposies simples componentes. Assim, por exemplo, uma proposio composta cujas proposies simples componentes so p e q pode ter as possveis atribuies:

    p q 1 V V 2 V F 3 F V 4 F F

    Neste caso, as combinaes entre os elementos so: VV, VF, FV e FF. As tabelas - verdade so construdas como arranjos dos elementos componentes, e como um elemento pode receber somente os valores V ou F, o tamanho de uma tabela dado pela quantidade de elementos combinados:

    No caso de uma proposio composta com 3 elementos, teramos 8 combinaes possveis:VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF.

    p q r 1 V V V 2 V V F 3 V F V 4 V F F 5 F V V 6 F V F 7 F F V 8 F F F

    Observao 1: a ordem das letras pode ser diferente e a combinao entre as letras tambm pode ser dirente da apresentada acima. Deve-se somente tomar o cuidado de no repetir duas combinaes (2 linhas c/ VVF, por exemplo).

    Observao 2: Para construirmos as tabelas verdade podemos usar as seguintes regras. O nmero de linhas sempre depende do nmero de elementos combinados, e como uma proposio pode assumir os valores V ou F, o nmero de linhas de uma tabela verdade dado por 2n.

    1 elemento : 2 l linhas = 2 linhas2 elementos: 22 linhas = 4 linhas3 elementos: 2 3linhas = 8 linhas4 elementos: 2 4linhas = 16 linhas

    Para construir a tabela inicia-se sempre atribuindo V, F,V, F,... para o elemento mais direita da tabela, V, V, F, F,... para o segundo elemento da direita para a esquerda, V, V, V, V, F, F, F, F, ... para o terceiro elemento partir da esquerda e assim, sucessivamente.Exerccio: construa uma tabela verdade para 4 elementos: p, q, r, s.

    1.5. Notao

    O valor lgico para uma proposio simples p indica-se por V(p). Assim, exprime-se que p verdadeiro escrevendo: V(p) = V.

    Analogamente, pode-se exprimir que a proposio p tem o valor falso utilizando-se V(p) = F.Considerando, por exemplo, as seguintes proposies simples:p: O Sol verdeq: um hexgono tem 6 ladosr: 2 um nmero mpars: um tringulo tem 4 lados

    Temos:V(p)=F V(q)=V V(r) =F V(s) =F

  • Apostila de Lgica para a computao 6

    2. Operaes lgicas sobre as Proposies

    Quando pensamos, efetuamos muitas vezes certas operaes sobre proposies, chamadas operaes lgicas. Estas obedecem a regras de um clculo, denominado Clculo Proposicional, semelhante ao da aritmtica sobre nmeros. Sero apresentadas, a seguir, as operaes lgicas fundamentais do clculo proposicional.

    2.1 Negao (~)

    Definio: chama-se negao de uma proposio p a proposio representada por no p, cujo valor lgico verdade (V) quando p for Falso e falsidade (F) quando valor de p verdadeiro. Assim, no p tem o valor oposto do valor de p. A negao de p indica-se com a notao ~p, e lido como no p.

    O valor lgico da negao de uma proposio definido por uma tabela verdade muito simples:

    p ~p 1 V F 2 F V

    Ou seja: ~V = F, ~F = V e V (~P) = ~ V(P)

    Exemplo:

    (1) r: Roma a capital da Frana (F) V (~r) = ~V(r) = ~F = V

    Na linguagem comum a negao efetua-se, nos casos mais simples, antepondo o advrbio no ao verbo da proposio dada. Assim, por exemplo, considerando a proposio: p : O Sol uma estrela

    sua negao : ~p : O Sol no uma estrela

    Outra maneira de efetuar a negao consiste em antepor proposio dada expresses tais como no verdade que, falso que. Assim, por exemplo, considerando a proposio: q : Carlos mecnico

    sua negao : ~q : No verdade que Carlos mecnico

    Deve-se tomar um pouco de cuidado com a negao, porque, por exemplo a negao de Todos os homens so elegantes Nem todos os homens so elegantes e a de Nenhum homem elegante Algum homem elegante.

    2.2. Conjuno ( . , ^ )

    Definio: chama-se conjuno de duas proposies p e q a proposio representada por p e q, cujo valor lgico a verdade (V) quando as proposies p e q so ambas verdadeiras a falsidade (F) nos demais casos.

    Simbolicamente, a conjuno de duas proposies p e q indica-se com a notao: p . q, que se l: p e q.O valor lgico da conjuno de duas proposies , portanto, definido pela seguinte tabela verdade:

    p q p . qV V VV F FF V FF F F

    ou seja, pelas igualdades:

    V . V = V, V . F = F, F . V, F . F = F e(p ^ q) = V (p) ^ V (q)

    Exemplos:

  • Apostila de Lgica para a computao 7

    (1) {p: A neve branca V q: 25V } p . q: A neve branca e 2 < 5 (V) V (p . q) = V(p) . V(q) = V . V = V

    (2) {p:O enxofre verdeF q:7 umnmero primoV } p ^ q : O enxofre verde e 7 um nmero primo (F) V (p ^ q) = V(p) ^ V (q) = F ^ V = F

    2.3. Disjuno ( v , + )

    Definio: chama-se disjuno de duas proposies p e q a proposio representada por p ou q, cujo valor lgico a verdade( V ) quando ao menos uma das proposies p e q verdadeira e a falsidade (F) quando as proposies p e q so ambas falsas.

    Simbolicamente, a disjuno de duas proposies p e q indica-se com a notao: p + q, que se l: p ou q.O valor lgico da disjuno de duas proposies , portanto definido pela seguinte tabela verdade:

    p q p + qV V VV F VF V VF F F

    V (p + q) = V (p) + V (q)

    Exemplos:

    (1) {p: Paris a capital da FranaV q:94=5 V } p + q: Paris a capital da Frana ou 9 4 = 5 (V) V (p + q) = V(p) + V(q) = V + V = V

    (2) {p:Camesescreveuos LusadasV 22=3F }p + q : CAMES escreveu os Lusadas ou 2 + 2 = 3 (V)

    V (p + q) = V(p) + V(q) = V + F = V

    2.4. Disjuno Exclusiva ( , + )

    Na linguagem comum a palavra ou tem dois sentidos. Assim, p. ex., consideremos as duas seguintes proposies compostas:P : Carlos mdico ou professorQ: Mrio alagoano ou gacho

    Na proposio P se est a indicar que uma pelo menos das proposies Carlos mdico, Carlos professor verdadeira, podendo ser ambas verdadeiras: Carlos mdico e professor. Mas, na proposio Q, bvio que uma e somente uma das proposies Mrio alagoano, Mrio gacho verdadeira, pois, no possvel ocorrer Mrio alagoano e gacho.

    Na proposio P diz-se que ou inclusivo, enquanto que, na proposio Q, diz-se que ou exclusivo.

  • Apostila de Lgica para a computao 8

    Em Lgica Matemtica usa-se habitualmente o smbolo + para ou inclusivo e os smbolos +, para ou exclusivo. Assim sendo, a proposio P a disjuno inclusiva ou apenas disjuno das proposies simples Carlos mdico, Carlos professor, isto :

    P: Carlos mdico + Carlos professor

    A proposio Q a disjuno exclusiva das proposies simples Mrio alagoano, Mrio gacho, isto :

    Q: Mrio alagoano Mrio gacho

    De um modo geral, chama-se disjuno exclusiva de duas proposies p e q a proposio representada simbolicamente por p q, que se l: ou p ou q ou p ou q, mas no ambos, cujo valor lgico verdade (V) somente quando p verdadeira ou q verdadeira, mas no quando p e q so ambas verdadeiras, e falsidade(F) quando p e q so ambas verdadeiras ou ambas falsas.

    O valor lgico da disjuno exclusiva de duas proposies definido pela seguinte tabela verdade:

    p Q p q V V F V F V F V V F F F

    2.5 Condicional ():

    Definio: chama-se condicional uma proposio representada por se p ento q cujo valor lgico falsidade (F) quando p verdadeira e q falsa e verdade (V) nos outros casos.

    Simbolicamente, a condicional de duas proposies p e q indica-se com a notao pq e pode ser lida das seguintes formas:I. p implica q II. se p ento qIII. p condio suficiente para qIV. q condio necessria para p

    Na condicional pq , diz-se que p o antecedente e o q o conseqente. O smbolo chamado de implicao. Considere o seguinte exemplo:

    Joo trabalha em uma estao meteorolgica e faz a seguinte afirmao no dia 03 de maro:Se a umidade subir acima de 90 %, ento chover em menos de 24 horasp: A umidade sobe acima de 90 % q: Chover em menos de 24 horas.

    At o dia 05, embora a umidade estivesse a 95 % durante as ltimas 48 horas, no choveu. Isso significa que a afirmao feita anteriormente era falsa, ou seja:V(p q) : F | V(v f): F

    Isso significa que sempre que o antecedente for verdadeiro, o conseqente deve ser verdadeiro para que o resultado de toda a proposio seja verdadeira. O condicional no afirma a veracidade do antecedente e do conseqente, mas a relao existente entre eles.

    Ex2.: Se Joo Engenheiro, ento sabe matemtica.

    A tabela verdade da condicional de duas proposies , portanto:

    P q pq 1 V V V 2 V F F 3 F V V 4 F F V

  • Apostila de Lgica para a computao 9

    2.6 Bicondicional ( ):

    Definio: chama-se bicondicional uma proposio representada por p se e somente se q cujo valor lgico verdade (V) quando p e q so ambas, verdadeira ou falsas.

    Simbolicamente, a bicondicional de duas proposies p e q indica-se com a notao p q e pode ser lida das seguintes formas:i. p condio necessria e suficiente para qii. q condio necessria e suficiente para piii. p se e somente se q (ser mais utilizado) podendo ter a abreviao p sse q.

    A tabela verdade da bicondicional de duas proposies , portanto:

    P q P q 1 V V V 2 V F F 3 F V F 4 F F V

    Quando se tem uma bicondicional p q, na verdade implicamos p q, e q p ao mesmo tempo, ou seja, s verdade quando as duas condicionais so verdadeiras.

    Considerando que p q s verdade quando as duas condicionais pq e qp so verdades, temos falsidade nos casos:pq sendo v(p)= V e V(q) = F e,qp sendo v(q)= V e V(p) = F e,correspondentes s linhas 2 e 3 da tabela verdade.

    Ex: Joo careca, sse Joo no tem cabelo. Isso na verdade implica:i) Se joo careca, ento Joo no tem cabelo eii) Se Joo no tem cabelo, ento Joo careca.

    Obrigatoriamente, as duas proposies simples que compem cada uma das proposies condicionais i e ii devem ser: ambas verdadeiras ou falsas, para a bicondicional ser verdadeira.

    Exerccios:4) Classifique cada uma das proposies compostas do exerccio 1:a) conjuno:b) disjuno:c) condicional:d) bicondicional:

    5) Seja p a proposio Est frio e q a proposio Est chovendo. Traduzir, para a linguagem corrente, as seguintes proposies:a) ~pb) p.qc) p+qd) q pe) p -> ~qf) q v ~pg) ~p ^ ~qh) ~~q

    6) Seja p a proposio Jorge rico e q a proposio Carlos feliz. Traduzir, para a linguagem corrente, as seguintes proposies:a) p+qb) q->pc) pv~qd) q~pe) ~p->qf) (~p.q)->p

  • Apostila de Lgica para a computao 10

    7) Traduza para a linguagem comum, sabendo que p: os preos so altos e q: os estoques so grandes.a) (p.q) ->pb) (p.~q) ->~pc) ~p . ~qd) p+~qe) ~(p.q)f) ~(p+q)g) ~(~p+~q)

    8) Seja p a proposio Jorge alto e q a proposio Jorge elegante. Traduzir, para a linguagem simblica, as seguintes proposies:a) Jorge alto e elegante.b) Jorge alto mas no elegante.c) No verdade que Jorge baixo ou elegante.d) Jorge no baixo e nem elegante.e) Jorge alto, ou baixo e elegante.f) No verdade que Jorge baixo ou que no elegante.

    9) Determinar o valor lgico (V + F) de cada uma das seguintes proposies compostas:a) Se 1 + 2 = 5, ento 3 + 3 = 6b) No verdade que 2 + 2 = 7 se e somente se 4 + 4 = 9c) DANTE escreveu os Lusadas ou 5 + 7 < 2d) No verdade que 1 + 1 = 3 ou 20 = 1e) falso que , se Lisboa a capital da Frana, ento Braslia a capital da Argentina. 10) Escrever simbolicamente para p: Joo esperto, q: Jos tolo.a) Joo esperto e Jos tolo.b) Joo esperto ou Jos tolo.c) Joo esperto e Jos no tolo

    11) Seja p: Vanda aluna e q: Slvia professora.Escreva simbolicamente: Vanda aluna ou no verdade que Slvia seja professora e Vanda seja aluna.

    12) Smbolo para: Vanda tem 5 anos ou se Vanda bonita, ento, tagarela.

    13) Dar os valores das proposies abaixo:a) (8 > 2) . (4 3/2)c) (6 < 2) + ((4-3) >=1)d) (5 > 8) (4>3)e) (4 < 2) + (2 (2 10) -> (6-2 = 4)h) (8>10) -> (6 < 5)i) (4 < 2 ) (8-2 = 15)

    14) Dar o valor da proposio p nos casos adiantes:a) V(pq) = V e V(q) = Vb) V(qp) = V e V(q) = Fc) V(q+p) = F e V(q) = Fd) V(q+p) = V e V(q) = V

    15) Considerando V(p) = F , V(x) = F e V(y) = Va) V(((p + q) . (x + y) ) p ) = b) V(x . y p ) = c) V(p . y . p . x ) =

    16) Verificar se a informao dada suficiente para determinar o valor da expresso:a) (p s) r, onde r tem o valor Vb) (p+r)+(s q), onde q tem valor Fc) ((p+q ) (q.p)) ((r.p)+q), onde o valor de q V.d) ((p q) p, onde o valor de q V.e) ((p q p) p+q, onde o valor de q V.f) (p+q r.p+q), onde o valor de q F.

  • Apostila de Lgica para a computao 11

    3. Tabelas-verdades de proposies compostas:

    Dadas vrias proposies simples p,q,r,..., podemos combin-las mediante o uso dos conectivos:~, ., +, ,

    e construir proposies compostas, tais como: (p.(~qp)). ~((p~q)(q+p))

    Com o emprego das tabelas-verdades das operaes lgicas fundamentais possvel construir a tabela-verdade correspondente a qualquer proposio composta dada. Logicamente, o valor-verdade final depende dos valores lgicos das proposies componentes.

    Exerccio:

    17) Construir as tabelas-verdades:a) (q.r) + m b) (q+r) ((q+s) (p+s))c) (p r ) pd) (p r ) pe) (p (q r)) ((p q) (p r ))f) ~ (p + q) (~~p + ~q)

    4. Tautologia, contradio e contingncia (indeterminada)

    As frmulas proposicionais podem apresentar os seguintes casos quanto s suas tabelas-verdades:

    a) ltima coluna da tabela-verdade apresenta somente V(s) Frmula tautolgica Tautologiab) ltima coluna da tab. - verdade apresenta somente F(s)Frmula contra-vlidaContradioc) ltima coluna da tabela-verdade apresenta V(s) e F(s) Frmula indeterminada

    Exerccios:

    18) Verificar quais frmulas so contradies, tautologias ou indeterminadas.a) p p+p b) (a b) ((b c) (a c))c) (a b ) . (b a)d) a be) a. ( + b)f) ~(~p . q ) ~p + ~q

    5. Implicao Lgica e Equivalncia Lgica

    5.1. Relao de implicao: uma proposio p implica uma proposio q se e somente se p q for uma tautologia.Obs.: o smbolo de operao lgica e o smbolo de relao.Ex.: p . q p q uma vez que a operao condicional gera uma tautologia.Tabela-Verdade:

  • Apostila de Lgica para a computao 12

    Exerccios:

    19) Verificar as implicaes.a) p p + qb) p . q pc) (p + q) . ~p qd) (p q) . p qe) (p (q r)) q (p r)

    5.2. Relao de Equivalncia: uma proposio p equivalente a uma proposio q se e somente se p q for uma tautologia.Obs.: o smbolo de operao lgica e o smbolo de relao.

    Ex.: p q e ~p + q so proposies logicamente equivalentes pois possuem a mesma tabela-verdade. Ento dizemos:p q ~p+q

    Tabela-Verdade:

    Exerccio:

    20)Verificar as equivalncias.a) ~(p.~p) (p+~p)b) p.(~p+q) (p.q)c) (p (q r)) q (p r)

  • Apostila de Lgica para a computao 13

    Argumentos

    Chama-se de argumento toda a afirmao de que vrias proposies (p1, p2, ..., pn) tm por conseqncia uma outra proposio q. As proposies p1, p2, ..., pn so as premissas, e a proposio q a concluso do argumento. Um argumento escrito da seguinte forma: p, pq, qr r onde:

    p, pq, qr r

    Premissas concluso

    Validade de um argumento atravs da Tabela-verdade: Um argumento valido quando para todas as linhas da tabela verdade onde as premissas forem verdadeiras, a concluso tambm verdadeira.Exemplo: comprove a validade dos seguintes argumentos:a) p, pq qb) pq, q pc) p q, q p

    Regras de Inferncia

    A utilizao de tabelas-verdade permite validar qualquer argumento, mas o seu emprego torna-se cada vez mais trabalhoso na medida que aumenta o nmero de proposies simples componentes dos argumentos. Para um argumento com 6 proposies (o que bastante comum) por exemplo, necessrio construir uma Tabela Verdade com 26 linhas (64 linhas), perspectiva nada animadora. Um mtodo mais eficiente para demonstrar, verificar ou testar a validade de um dado argumento, consiste em deduzir a concluso Q a partir das premissas P1,P2, ...Pn, mediante o uso de certas Regras de Inferncia.

    Existem 10 regras de inferncia (eliminao e introduo) para cada um dos 5 operadores lgicos.Vejamos o seguinte exemplo: C,SA, CS A

    a) provar pelo uso da T.V.

    b) O argumento vlido porque pode ser derivvel pelas regras de inferncia. A derivao a seguinte:

    1) C P2) S A P3) C S P4) S 1,3 MP ( E)5) A 2,4 MP ( E)

    As trs primeiras suposies da resoluo tm um P ao lado, indicando que cada uma delas uma premissa. Ento, deduzimos a concluso A em duas etapas de raciocnio. A primeira etapa das linhas 1 e 3 para a linha 4. A Segunda etapa das linhas 2 e 4 para 5.

    Os nmeros direita denotam as linhas das quais 4 e 5 so derivadas. As duas etapas tem a mesma forma. Cada uma delas uma instncia da primeira das 10 regras de inferncia, denominada modus ponens que chamaremos MP.

    a) Modus Ponens: do condicional () e seu antecedente, podemos inferir seu consequente .Modus ponens a regra de eliminao para condicional.Ex.: Prove: ~P (Q R), ~P,Q R

    b) Eliminao da negao (~E): a partir de uma expresso ~~p, podemos inferir p.Ex: No verdade que Getlio Vargas no foi presidente.

    Ex.: Prove:Prove: ~P ~~Q, ~~~P Q

  • Apostila de Lgica para a computao 14

    As 10 regras de Inferncia

    1. Modus Ponens: do condicional () e seu antecedente, podemos inferir seu consequente. Modus ponens a regra de eliminao para condicional.

    2. Eliminao da negao (~E): a partir de uma expresso ~~, podemos inferir . Ex: No verdade que Getlio Vargas no foi presidente.

    3. Introduo da conjuno (.I): a partir de duas expresses quaisquer e , podemos inferir a conjuno das duas expresses: 1.p 2.q 3. p.q 1,2 .I

    4. Eliminao da conjuno (.E): De uma conjuno qualquer, podemos inferir qualquer um dos seus conjunctos: 1.p.q 2. q 1 .E

    5. Introduo da disjuno (+I): a partir de uma expresso qualquer , podemos inferir a disjuno de com outra frmula proposicional (expresso) qualquer ( pode ser o primeiro ou o segundo disjuncto desta disjuno). 1.p 2. p+q 1 +I

    Ex: Hoje sexta-feira. Se a afirmao for verdadeira, a afirmao: Hoje Sexta-feira ou Sbado tambm verdadeira.

    6. Eliminao da disjuno (+E): De expresses quaisquer, na seqncia +, e , podemos inferir a expresso . 1. p+q 2.pr 3.qr 4. r 1,2,3 +E

    Dessa forma, a partir das premissas: hoje Sbado ou hoje Domingo, se hoje Sbado ento um fim de semana (SF), se hoje Domingo ento um fim de semana, segue se hoje um fim de semana. Prove.

    7. Introduo do bicondicional (I): de duas expresses quaisquer, na forma e , podemos inferir a expresso . 1. pq 2. qp 3. pq 1,2 I.

    8. Eliminao do bicondicional (E): de uma expresso qualquer, na forma , podemos ento inferir ou . 1. pq 2. pq 1, E.

    As regras 9 e 10 diferem das 8 demais por empregarem raciocnio baseado em hipteses. As hipteses no so declaradas como verdadeiras, elas so artifcios lgicos, as quais acolhemos temporariamente como um tipo especial de estratgia de prova. Suponha que um corredor machucou o joelho, uma semana antes de um grande jogo, e temos que persuad-lo a parar de correr por alguns dias a fim de que o seu joelho sare. Afirmamos: Se voc continuar correndo, no poder jogar na prxima semana. Sua resposta: Me prove isso.

    Tem-se ento as seguintes premissas:a) Seu joelho est inchado. b) Se seu joelho est inchado e voc continuar correndo, ele no ir sarar em uma semana.c) Se seu joelho no sarar em uma semana, voc no estar apto a jogar o prximo jogo.

    9. Introduo da implicao ou Prova do condicional (I ou PC). Dada a derivao de q a partir de uma hiptese p, podemos descartar a hiptese e inferir pq.

    Ex. Prove o argumento anterior.Premissas: I: Joelho Inchado C: Continuar correndo S: Joelho ir sarar em uma semanaA: Estar apto a jogar na prxima semana.

    A partir dessas premissas, quer-se concluir que:Se o jogador continuar correndo, no estar apto a jogar na prxima semana

    10. Introduo da negao ou Reduo ao absurdo (~I ou RAA). Dada a derivao de uma contradio a q.~q partir de uma hiptese p, podemos descartar a hiptese e inferir ~p.

    Dessa forma, se assumirmos p como hiptese e ao final temos q . ~q, concluimos o contrrio da hiptese (~p) por RAA.

    Ex. Prove: p q, ~q ~p1. p q p2. ~q p3. p H4. q 1,3 MP5. q . ~q 2,4 .I6. ~p 3,5 RAA

  • Apostila de Lgica para a computao 15

    Exerccios para compreenso e fixao das regras de inferncia:

    MP ( E)a) ~pq, ~p qb) ~p(qr), ~p, q r

    ~Ec) t ~~p, p~q, t ~qd) ~p ~~q, ~~~p q

    . Ie) p q, rs, p, r q . s

    . Ef) p (q . r), p p . qg) p . q q . ph) (p . q) (r . s), ~~p, q si) p p . pj) ~p . q u, ~~~p, sq, xr.s, x uk) s ((p.q)~~r), p.q, t.s r.t

    + Il) p (p+q) . (p+r)m) p, ~~(pq) q+ ~qn) p, ~~(pq) (r.s)+qo) p p+p

    + Ep) Hoje Sbado ou Domingo.

    Se hoje Sbado, ento fim-de-semana. Se hoje Domingo, ento fim-de-semana. Conclui-se que hoje fim-de-semana.

    q) (p+q).(p+r), ps, qs, pt,rt s.tr) p+p, p(q.r) r

    Is) pq, (pq) (qp) p qt) p q q pu) s(rp), a.s, pr (pr) + qv) ~~(px), ~~(qx), x.pk, p+q, ku u

    Ew) Hoje fim-de-semana se e somente se hoje for Sbado ou Domingo. Hoje Sbado. Ento, hoje fim-de-semana.

    Regras hipotticas:

    PC ( I)a) i, (i.c)~s, ~s~a c ~ab) p q, qr prc) p (pq) qd) (p.q)r p (qr)e) p + q q + pf) (p.q) + (p.r) p. (q+r)

    RAA ( ~I)g) pq, ~q ~ph) p ~q ~(p.q)i) ~p p pj) s~~v ~v ~sk) (~s.v)~p, p, v sl) ~(~p.~q), ~p qm) ~p + ~q ~(p . q)n) pq ~p+qo) ~ ( p . q) ~p + ~q

    Exerccios complementaresa) (g+n) ~c ~~c ~(g+n)

    1. Formalize e prove os seguintes argumentos usando as 10 regras de introduo e eliminao:c A concluso deste argumento verdadeirap As premissas deste argumento so verdadeirass Este argumento correto v Este argumento vlido

    a) Este argumento no incorreto. Portanto, este argumento correto.b) Este argumento correto. Portanto, este argumento no incorreto.c) Se este argumento for correto, ento ele ser vlido. Ele no vlido.Portanto, ele no correto.d) Se este argumento for correto ento ele no ser invlido. Ele correto. Da, ele vlido.e) Se este argumento for correto ento ele no ser invlido. Assim, se ele for invlido, ento ele ser incorreto.f) Este argumento correto e vlido. Portanto, Ele correto ou ele invlido.g) Este argumento no , ambos, correto e invlido. Ele correto. Portanto, ele vlido.h) Este argumento correto sse todas suas premissas forem verdadeiras. Suas premissas no so verdadeiras. Portanto,

    ele incorreto.i) Se a concluso deste argumento for no-verdadeira, ento este argumento incorreto. Assim sendo, no o caso que

    este argumento correto e sua concluso no-verdadeira.j) Se este argumento for incorreto e vlido, nem todas as suas premissas so verdadeiras. Todas as suas premissas so

    verdadeiras. Ele vlido. Portanto, ele correto.k) Se este argumento for vlido e todas as suas premissas forem verdadeiras, ento ele ser correto. Se ele for correto,

    ento sua concluso verdadeira. Todas suas premissas so verdadeiras. Portanto, se este argumento for vlido ento sua concluso ser verdadeira.

    l) Ou este argumento incorreto ou, caso contrrio ele vlido e todas suas premissas so verdadeiras. Ento, ele incorreto ou vlido.

  • Apostila de Lgica para a computao 16

    Teoremas

    Teorema se diferencia de argumento pelo fato de no ter nenhuma premissa, somente concluso. Sua prova ento baseada somente em hipteses, que so descartadas por PC ou RAA.

    Exemplos: P (P+Q) P ((P Q) Q) P ~~P P + ~P

    Vimos em uma aula anterior equivalncia lgica. Quando a bicondicional entre duas expresses resultar em uma tautologia dizemos que essas expresses so equivalentes. Atravs das regras de inferncia podemos tambm provar a equivalncia lgica entre duas expresses.

    Exemplo: para provar a equivalncia entre as expresses: ~(P.Q) e ~P + ~Q representaramos como na letra a): ~(P.Q) ~P + ~Q ~(P+Q) ~P . ~Q

    Estratgias para provasNo h uma forma nica de se construir uma prova. Se um argumento pode ser provado, ele pode ser provado por diferentes trocas de regra. Ento, algumas estratgias ajudam, embora alguns problemas requeiram ainda, habilidade e engenhosidade.

    Estratgias para prova.

    Se a concluso for Ento faaFrmula atmica

    Frmula negada

    Conjuno

    Disjuno

    Condicional

    Bicondicional

    Se nenhuma ao parece ser imediata, coloca-se como hiptese a negao da concluso para RAA. Se isso for bem - sucedido, ento a concluso pode ser obtida depois de RAA por ~E.

    Coloca-se como hiptese a concluso, sem o smbolo da negao, para RAA. Se resultar uma contradio, a concluso pode ser obtida por RAA

    Prove cada um dos conjunctos, separadamente e ento faa a conjuno deles com .I.

    - Tenta-se provar os condicionais necessrios para +E caso tenha + nas premissas.- Se no der certo pode-se usar como hiptese a negao da concluso e tenta-se RAA.- Pode-se tambm provar um dos seus disjunctos e aplicar +I.

    Coloca-se como hiptese o seu antecedente e deriva-se o seu conseqente por PC.

    Use PC, duas vezes, para provar os dois condicionais necessrios para se obter concluso por I.

    As 10 regras de Inferncia (permitido utilizar em prova)

    1. Modus Ponens: ( E) (MP) do condicional ( ) e seu antecedente (), podemos inferir seu conseqente ().2. Eliminao da negao (~E): a partir de uma expresso ~~, podemos inferir .3. Introduo da conjuno (.I): a partir de duas expresses vlidas quaisquer e , inferimos conjuno das duas: ..4. Eliminao da conjuno (.E): De uma conjuno qualquer ., podemos inferir ou .5. Introduo da disjuno (+I): a partir de uma expresso , podemos inferir a disjuno de com qualquer expresso.6. Eliminao da disjuno (+E): De expresses quaisquer, na seqncia +, e , podemos inferir 7. Introduo do bicondicional (I): de duas expresses quaisquer, na forma e , podemos inferir .8. Eliminao do bicondicional (E): de uma expresso qualquer, na forma , podemos ento inferir ou .9. Introduo da implicao (I) (PC). Derivando a partir de uma hiptese , descartamos a hip. e inferimos .10. Introduo da negao (~I ou RAA). Derivando +~ a partir de uma hiptese , descartar a hip. e inferimos ~.

  • Apostila de Lgica para a computao 17

    Regras de Equivalncia ou lgebra das proposies

    1. Lei da dupla negao:

    2. Idempotncia: |

    3. Comutatividade: |

    4. Associatividade: .(.) (.). 5. Distributivas: .(+) (.) + (.) 6. De Morgan |

    7. Eliminao da Condicional: 8. Eliminao da Bicondicional: 9. Regras para Absoro:

    a) |

    b)

    c) F

    d) V

    e) V

    f) F F

    g) V V

    h) F

    Forma Normal Disjuntiva

    Literais: So letras sentenciais ou negaes de letras sentenciais: a, , p

    Conjuno fundamental: conjuno de 2 ou mais literais sem repetir a letra sentencial: a.b, .c, ~b.c

    Forma Normal Disjuntiva: Diz-se que uma expresso est na FND se:a) uma letra sentencial,b) uma conjuno fundamental ou c) a disjuno de 2 ou mais conjunes fundamentais, nenhuma das quais includa em outra.

    Assinale as expresses que esto na FND:( ) a.b.~c( ) a.b + c( ) a( ) .b + .b( ) a.~b.~c + a.b + a.~c( ) a.b + c( ) + .b( ) a.b + c.~b

  • Apostila de Lgica para a computao 18

    Exemplo de simplificao utilizando as regras de equivalncia

    Expresso: x.a . y.ba.x

    a) Resoluo forma convencional (recomendado):

    x.a . y.ba.xx.a . y.ba.x = .+ ~ = + ~ y.b a.xbya.x

    b) Resoluo segundo mtodo (no recomendado): Primeiro passo: transformar a expresso para a Forma Normal Disjuntiva Completa ( F.N.D.C)

    x.a . y.ba.xxa . yba.xa. ba. yx.bx. ya.xa.b . V a. b . xx a.b . x. yy x. yy a.b . x.yx. y x.yx. y = a. b. x.ya. b. x. ya. b. x. ya. b. x. ya. y . b.xb. xb. xb.x = a. b.x. ya.b. x. ya. b. x. ya. b. x. yx. b . a.ya.y a.ya. y = a. b. x. ya. b. x. ya. b. x. ya. b. x. yx. y .a.ba.b a.ba.b = a.b. x. ya. b. x. ya.b. x. ya. b. x. ya. x . b.yb.y b.yb. y = a.b.x.ya.b.x. ya. b. x.ya. b. x. y

    Segundo passo: Simplificar atravs de Mapa Karnaugh

    00 01 11 1000 . . . .01 . .11 . . .10 . . . .

    Resultado:

    Concluso: Assim como neste exerccio, existem vrias situaes em nossa vida que podemos optar por mais de um caminho para chegar resoluo de um problema. Se a resoluo est muito difcil, provvel que haja um caminho mais fcil para resolver. Deve-se atentar a isso principalmente na programao, onde um cdigo otimizado resulta em tamanho menor, maior performance na execuo e menos trabalho na elaborao.

    a b x y

    bya.x

  • Apostila de Lgica para a computao 19

    Exerccios

    Para cada uma das expresses abaixo:a) utilizando as regras de equivalncia, transforme a expresso para F.N.D. b) simplifique a expresso ao mximo

    1. a. bb

    2. a. bb

    3. b.aa

    4. b.aa

    5. a. bb

    6. a. bb

    7. b.aa

    8. b. aa

    9. b. aa

    10. a. bb

    11. x . yy

    12. a. xx

    13. a. yy

    14. x. yx

    15. y. xx

    16. y. xx

    17. y. xx

    18. a.bba

    19. a.ba . y . x

    20. x.a. y.bx.a

    21. y. xx.y

    22. y. xx. y. z

    23. y.x x.y y

    24. a.ba.c. b

    25. b.a c.bb.c

    26. y. xx.x

    27. y. xx.y. z

    28. x.y x.y y

    29. a.ba.a. b

    30. b.a. c.a b.a

    31. a.b.b.a c.a

    32. b.a. b.a b.a b.a

    33. b.a. b.c b.c a.b

    34. y.xx.y y . x

    35. xx.y y . x yx y . x

    36. y.xx . x y.xx y . x

    37. y.x x.y y . x

    38. y.x x.y y . x y.xx.y y.x

    39. y.x x.y y . x y.xx.y y. x

    40. p r p

    41. p r p

    42. p r p.r

    43. p.rr p.r

    44. p r p

    45. p.r p.q. r p p.r

    46. p.rr p.r p p

    47. p.rr p.r p p

    48. p.q r p.r

    49. p r p

    50. p r p

    51. p r p.r

    52. p.rr p.r

    53. p r p

    54. p.rr p.r p p

    55. p.q r p.r

  • Apostila de Lgica para a computao 20

    Circuitos Lgicos

    Um circuito lgico nada mais do que a combinao de vrias portas lgicas com o objetivo de realizar uma determinada tarefa. O processador de um computador no deixa de ser um aglomerado de circuitos lgicos.

    Qualquer operao feita em um computador, por mais complexa que seja, derivada de combinao de tarefas lgicas e aritmticas simples tais como somar bits, mover bits, etc.

    Pode-se implementar um circuito lgico simples em um circuito Integrado. Abaixo apresentado o circuito MC54F/74F00 da Motorola, composto de vrias portas NAND.

    Uma ferramenta bastante simples que pode ser utilizada para projetar e testar circuitos lgicos a Digital Works. Abaixo so apresentadas as opes da ferramenta que aparecem na tela principal e os passos para projetar um pequeno circuito (1) (2) (3)

    21

    3

    VCC

    GND

  • Apostila de Lgica para a computao 21

    MinimizaoA minimizao consiste em determinar mtodos para se encontrar um circuito mais simples (i.e. mais barato) equivalente a uma expresso (circuito) dada.

    Suponhamos uma determinada expresso. Existem vrias formas de se minimizar essa expresso:1- Utilizar as regras de equivalncia para encontrar a FND mais simples que represente a expresso (funo de verdade) dada

    2- Utilizar o mtodo figurativo denominado mapas de Karnaugh (somente pode ser utilizado para simplificar expresses que esto na FNDC.

    Mapas de Karnaugh

    conveniente sua utilizao para problemas que envolvam no mximo 6 letras sentenciais.

    Mapas de Karnaugh para 2 letras sentenciais

    Neste caso o mapa baseado na figura 1. Cada quadrado do mapa representa uma conjuno fundamental entre as letras das linhas e colunas. Na fig.2 est sendo representado A.B + .B Na fig.3 est sendo representado A.B + .B + A.~B

    A \ B 0 1 A \ B 0 1 A \ B 0 10 0 01 1 1

    Figura 1 Figura 2 Figura 3

    O processo de simplificao consiste em juntar quadrados adjacentes de 2 em 2, tracando uma oval ao redor de cada par. O literal que difere de um quadrado para outro deixa de existir. Neste caso, dois quadrados adjacentes representam uma nica letra sentencial. Veja o ex. da fig. 2.

    No deve-se deixar nenhum ponto solto no mapa, devendo cuidar para fazer o menor nmero possvel de ligaes.

    Para todos os tipos de mapas, quando se tem todos os quadrados preenchidos, a simplificao resulta em V (Veja a representao de AB+B+A~b+~B na fig. 4)

    Mapas de Karnaugh para 3 letras sentenciais

    Neste caso, o mapa pode ser montado como na figura 5 ou como na figura 6.

    Ex: ~B~C+ B~C (figuras 5 e 6)

    deve-se cuidar apenas o seguinte detalhe. Nesses mapas foi utilizada a rotulao 00,01,11,10 de forma que quando se passa de um quadrado para o quadrado adjacente muda-se apenas um literal.

    Um ponto isolado no mapa representa a conjuno de 3 literais. Exemplo: ABC na figura 7.

    Dois quadrados adjacentes diferem em apenas um literal. Isso significa que o literal que difere de um quadrado para outro deixa de existir. Exemplo: Figura 8.

    AB \ C 0 1

    00

    01

    11

    10

    Figura 6

    A \ BC 00 01 11 10

    0

    1

    Figura 5

    A \ B 0 101

    Figura 4

  • Apostila de Lgica para a computao 22

    Quatro quadrados formando uma rede quadrada ou arranjados em linha representam um nico literal. Figuras 9 e10.

    Resolva:a) ~b~c+a~bc+abc+ab~cb) ~b~c+a~b~c+a~bc+abc+ab~c+b~cc) bac+a~bc+bc+ab~c+b~cd) ~b~c+a~b~c+a~bc+abc+b~c

    Mapas de Karnaugh para 4 letras sentenciais

    semelhante ao mapa de 3 letras sentenciais. Neste caso, uma linha inteira ou coluna inteira representa a conjuno de 2 letras sentenciais.a) ab.~c.~d+ab~cd+abc+abcd b) ab~c.~d+a~b~c.~d+b~c.~d+~a~b~c~dc) ~b~cd+a~bcd+abcd+ab~cd d) ~b~c.d+a~b~c.~d+a~bc.d+abc~d+ab~c~d+b~c~d

    A \ BC 00 01 11 10

    0

    1

    Figura 7

    A \ BC 00 01 11 10

    0

    1

    Figura 8

    A \ BC 00 01 11 10

    0

    1

    Figura 9

    A \ BC 00 01 11 10

    0

    1

    Figura 10

    A \ BC 00 01 11 10

    0

    1

    c)

    A \ BC 00 01 11 10

    0

    1

    d)

    A \ BC 00 01 11 10

    0

    1

    a)

    A \ BC 00 01 11 10

    0

    1

    b)

    A \ BC 00 01 11 10

    00

    01

    11

    10

    a)

    A \ BC 00 01 11 10

    00

    01

    11

    10

    b)

    A \ BC 00 01 11 10

    00

    01

    11

    10

    A \ BC 00 01 11 10

    00

    01

    11

    10

  • Apostila de Lgica para a computao 23

    Exerccios de Lgica 1a parte

    1) Determine a forma sentencial (primitiva) equivalente ao circuito lgico abaixo:

    2) Para uma tabela-verdade que utiliza as letras A, B e C cujo resultado VVFFFVVV, determine:a) a expresso na FND completab) a expresso simplificadac) monte o circuito lgico equivalente expresso simplificada.

    3) Determine a FNDC para:a) A+ . +ACD b) AB + ~C

    4) Utilizando os mapas de Karnaugh, simplifique:a) w.x.y.z + w.x.y.z+ w.x.y.z + w.x.y.z + w.x.y.z + w.x.y.zb) a.b.c + a.b.c + a.b.c + a.b.c

    a) 00 01 11 10 b) 00 01 11 1000 001 11110

    5) D a expresso simplificada para os seguintes mapas de karnaugh:

    a) 00 01 11 10 b) 00 01 11 1000 0 1 1 1 00 0 0 0 001 0 0 0 1 01 1 1 1 111 0 0 0 1 11 1 1 1 110 0 1 0 1 10 0 1 0 0

    c) 00 01 11 10 d) 00 01 11 1000 0 1 1 0 00 1 1 0 101 0 0 0 0 01 0 1 0 011 1 0 0 1 11 0 1 1 010 0 1 1 0 10 1 0 0 1

  • Apostila de Lgica para a computao 24

    e) 00 01 11 10 f) 00 01 11 1000 0 1 0 0 00 1 1 0 101 0 1 1 1 01 1 1 0 011 1 1 1 0 11 1 1 1 110 0 0 1 0 10 0 0 1 1

    Exerccios de Lgica 2a parte (prtica)

    Construa os seguintes circuitos lgicos (utilize a ferramenta digital Works para conferir)

    1) Um conselho municipal consiste de Presidente, secretrio, tesoureiro e um vereador. So aprovados os projetos que conseguirem a maioria simples dos votos ou o voto do presidente e mais 1. Construa um circuito lgico simplificado que indique a aprovao do projeto.

    2) Uma cmara municipal consiste de Prefeito, Presidente do Conselho da Cidade, Superintendente e trs presidentes de distrito. O voto de cada um tem peso 1. Um projeto que conseguir a maioria simples dos votos aprovado, contanto que no seja impugnado por nenhum dos presidentes dos distritos. Construa um circuito lgico simplificado que indique a aprovao do projeto.

    3) Seja um nmero inteiro no negativo menor do que 15 dado por sua representao binria a3a2a1a0. (por exemplo, se o inteiro for 3, a3=a2=0 e a1=a0=1; enquanto se o inteiro for 9, a3=a0=1 e a2=a1=0. Construa a expresso e o circuito lgico correspondente condio de que o inteiro dado seja primo. Ex: 3:

    0 0 1 1a3 a2 a1 a0

    5) Projete um circuito para um sistema de alarme de uma casa. Uma vez que o sistema ligado, ele soar um alarme quando a porta da frente, porta de trs ou a janela dos fundos estiverem abertas. (somente uma janela est ligada no alarme.) Considerando S como a expresso do circuito, S=?. Utilize as seguintes letras sentenciairs: A(alarme ligado ou desligado), D(porta da frente),B(porta de trs),J(janela aberta) e S(soa o alarme)S=

    6) Construa um circuito lgico que indique quando um nmero de 0 at 7 divisvel por 3. A entrada deve ser em nmero binrio.

    7) Construa um circuito lgico que indique os pares de 0 at 7.

    8) A tabela abaixo converte um nmero de 4 bits para o cdigo gray code. Construa os circuitos para fazer essa converso e utiliza os mapas de karnaugh para simplificar a soma-de-produtos resultante:

    abcd wxyz0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111

    0000100011000100011011101010001000111011111101110101110110010001

    9) possvel reprojetar o circuito do problema acima (anterior) utilizando somente portas NAND e inversores (portas NO)? Em caso afirmativo, projete o circuito e em caso negativo, explique o porqu.

    W=X=Y=Z=

  • Apostila de Lgica para a computao 25

    10)Considerando um esquema de transformao de um nmero de OCTAL (base 8) para binrio (base 2), onde h 7 LEDS representando os nmeros octais (de 0 at 7) sendo que por exemplo, para representar o nmero 4 deve-se deixar ligado somente o LED do dgito 4 (D4) na entrada, construa um circuito lgico onde as 3 saidas (LEDS) representem (em binrio) o nmero colocado na entrada.

    ENTRADAS SADAS

    D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 Decimal X Y Z0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 1 0 0 10 1 0 0 0 0 0 2 0 1 00 0 1 0 0 0 0 3 0 1 10 0 0 1 0 0 0 4 1 0 00 0 0 0 1 0 0 5 1 0 10 0 0 0 0 1 0 6 1 1 00 0 0 0 0 0 1 7 1 1 1

    13) Construa um circuito lgico para simular 2 sinaleiras de uma rua, uma em sentido contrrio outra, cada uma contendo as 3 luzes (verde, amarela e vermelha) de forma que quando uma abre, a outra feche seguindo a sequncia:

    Trabalho (em duplas e deve ser entregue at dia ______) --> Invente 3 exerccios semelhantes aos anteriores (parte prtica) e resolva-os.

    Endereos sugeridos para material extra:http://fiddle.visc.vt.edu/courses/ee2504/combinational/logic_01.htmlhttp://www.eece.unm.edu/faculty/devries/Net/Homework/boolean.html

  • Apostila de Lgica para a computao 26

    Exerccios de Lgica -Parte prtica Resoluo do 12 e 13

    12) Considerando um esquema de transformao de um nmero de OCTAL (base 8) para binrio (base 2), onde h 7 LEDS representando os nmeros octais (de 0 at 7) sendo que por exemplo, para representar o nmero 4 deve-se deixar ligado somente o LED do dgito 4 (D4) na entrada, construa um circuito lgico onde as 3 saidas (LEDS) representem (em binrio) o nmero colocado na entrada.

    ENTRADAS SADASD1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 Decimal X Y Z0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 1 0 0 10 1 0 0 0 0 0 2 0 1 00 0 1 0 0 0 0 3 0 1 10 0 0 1 0 0 0 4 1 0 00 0 0 0 1 0 0 5 1 0 10 0 0 0 0 1 0 6 1 1 00 0 0 0 0 0 1 7 1 1 1

    X = D4 + D5 + D6 + D7 : Na verdade o correto seria ~D1.~D2.~D3.D4.~D5.~D6.~D7 + ..., mas supe-se que o usurio s escolha 1 dgito (D4) no caso. Y = D2 + D3 + D6 + D7 Z = D1 + D3 + D5 + D7

    O exerccio est resolvido. Apenas como curiosidade, poderia-se fazer aparecer o nmero em um mostrador digital. Dessa forma, segundo o exemplo acima, um mostrador deveria mostrar o nmero 5. Para isso, inicialmente teramos que inserir um LED e desenhar todos os nmeros de 1 a 7:

    Em seguida devemos, para cada um dos nmeros de 0 at 7, indicar quais leds devero ser acesos:

    X Y Z L1 L2 L3 L4 L5 L6 L70 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 1 10 1 0 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1 1 11 0 0 1 1 1 11 0 1 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1

    L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10

    0 . . . 0 . . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . 0 . 0 . .

    1 . . . 1 . . 1 . . . . 1 . . 1 . 1 . . . 1 . . .

    L1= L2=L3= L4= L5= L6= L7=

    Podemos agora, definir o circuito independente de cada uma das partes do LED, pois como exemplo, a parte L1 ficar ligada quando tivermos um destes nmeros: 0,2,3,5,6,7. O circuito para a parte do LED L1 ento seria:

    Devemos depois, simplificar o circuito da parte L1 atravs de mapa de karnaugh bem como os circuitos das outras partes (L2-L7).

  • Apostila de Lgica para a computao 27

    O circuito final apresentado abaixo:

    13) Construa um circuito lgico para simular 2 sinaleiras de uma rua, uma em sentido contrrio outra, cada uma contendo as 3 luzes (verde, amarela e vermelha) de forma que quando uma abre, a outra feche seguindo a sequncia:

    X Y Z L1 L2 L3 L4 L5 L6

    0 0 0 1 10 0 1 1 10 1 0 1 10 1 1 1 11 0 0 1 11 0 1 1 11 1 01 1 1

    Como so seis lmpadas de sinaleira no total (considerando as 2 sinaleiras) devemos construir 6 circuitos independentes. Como so 6 combinaes de sinaleiras, precisamos de pelo menos 3 bits, que possibilita 8 combinaes (0-7).

    L1 L2 L3 L4 L5 L6 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10

    0 . . . 0 0 . 0 . . 0 . 0 .

    1 . 1 . 1 1 . . 1 1

    L1= L2=L3= L4= L5= L6=

    L1

    L2

    L3

    L4

    L5

    L7

    L6

    L1L2L3

    L4L5L6

    - No estgio 1 teremos as lmpadas 1 e 6 acesas (L1 e L6)- No estgio 2 teremos as lmpadas 1 e 5 acesas (L1 e L5)- No estgio 3 teremos as lmpadas 1 e 4 acesas (L1 e L4)- No estgio 4 teremos as lmpadas 3 e 4 acesas (L3 e L4)- No estgio 5 teremos as lmpadas 2 e 4 acesas (L2 e L4)- No estgio 6 teremos as lmpadas 1 e 4 acesas (L1 e L4)

    Devemos agora construir os 6 circuitos: L1, L2, L3, L4, L5 e L6

  • Apostila de Lgica para a computao 28

    a.b.c.a b.a b.a c.a b.ab.ab.ac.av

    a.b.b.a c.aa.ba.ba.ca.ba.c

    b.a. b.a b.a b.a a.ba.ba.ba.ba.b

    b.a. b.c b.c a.b a.bb.cb.c a.b

    v

    y.xx.y y . x x.y y . xx.y

    xx.y y . x yx y . x x y . x x y . xx y . xx.xx.yxx.y x

    y.xx . x y.xx y . xx . xv . xxxx

    y.x x.y y . xy.x x.y . y . xy.x f.xx.y

    y.x x.y y . x y.xx.y y.xx.y y.x . x.y y.xx.y y.xv

    y.x x.y y . x y.xx.y y. xy.x y.x . x.y y.xy.x y.x y. xV y. xv

    p r p pr p pr pp . r p p p r p pr p

    pr pp . rprp

    p r p.r pr pr pr prp . rprpr

    p.rr p.r p.r r pr p.r rprp.r.rprFprpr

    p r p pr p pr pp . rpp

    p.r p.q. r p p.r p.r pq . r p p.r p.r p. rq. r p p.r p.r rq. r p p.rprr p p.rV p.rF p.rpr

    p.rr p.r p p p.rr p.r p p prr p.r p pV p pF p pp p v

    p.r r p.r p p p.rr p.r p pr p.r p pr p pr . p pr p

    p.q r p.r p.qr pr p.qr prp.qrrpp.qVp v

    p r p pr . ppr . pp. pr.pp .r . pr.pFr.p

    p r p pr . ppr . pp. pr. pp .r . ppr. p p.rp p.rpr

    p.r r p.r p.r r prprr prV prV. pr F. pr pr

    p r p.r pr . p.rpr . p.r pr . pr p.r . p.r p. pp .r .r . pr.r Fp p. rr. pFpr. p p

    p r p pr . ppr . pp. pr. pp .r . pFr. pFr. p

    p.rr p.r p p p.rr p.r p pr p pr p pr p . pr p . pr. p p.pr . p . pr. p pr. ppr. ppr

    p.q r p.r p.qr p.r p.q .r p.r p.q .r p.r p.q .r . p.r p.q .r . p.r pq .r . pr p.qr . p.r p.rq . r . pr p.q.p.r p.r.r p. r. p p.r .rq .r . pq.r .r ...p.r p. rq . r . pq.r p.rp.rq .r p.rp.rq .r p.r

    30)

    31)

    32)

    33)

    41)

    42)

    43)

    44)

    34)

    35)

    45)

    36)

    46)37)

    38)

    39)

    47)

    40)48)

    55)

    50)

    51)

    52)

    53)

    54)

    49)

    Proposio simplesRegras de Inferncia1) CP2) S AP3) C SP4) S5) AAs trs primeiras suposies da resoluo tm um P ao lado, indicando que cada uma delas uma premissa. Ento, deduzimos a concluso A em duas etapas de raciocnio. A primeira etapa das linhas 1 e 3 para a linha 4. A Segunda etapa das linhas 2 e 4 para 5. Os nmeros direita denotam as linhas das quais 4 e 5 so derivadas. As duas etapas tem a mesma forma. Cada uma delas uma instncia da primeira das 10 regras de inferncia, denominada modus ponens que chamaremos MP.MP ( E)RAA ( ~I)Exerccios complementaresAs 10 regras de Inferncia (permitido utilizar em prova)