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Apostila de Raciocínio Lógico Matemático - Completa

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Apostila de RLM

Text of Apostila de Raciocínio Lógico Matemático - Completa

  • 1

    PROFESSOR: ALBERTO THOMAZ

    MATRIA: ARITIMTICA

  • 2

    Aula.01 - Teoria Dos Conjuntos

    ALGEBRA

    Conceito : Em matemtica, lgebra o ramo que estuda as generalizaes dos conceitos e operaes de aritmtica. Hoje em dia o termo bastante abrangente e pode se referir a vrias reas da matemtica.

    No nosso estudo, vamos focar na parte da Algebra essencial no trabalho de qualquer pessoa que se utilize de conceitos matemticos.

    Introduo aos Conjuntos

    Ao estudarmos Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definio.

    Alguns Conceitos Primitivos

    Conjunto: representa uma coleo de objetos.

    a. O conjunto de todos os argentinos.

    b. O conjunto de todos os nmeros naturais.

    Em geral, um conjunto denotado por uma letra maiscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.

    Elemento: um dos componentes de um conjunto.

    a. Alberto um elemento do conjunto dos professores do Ibenac.

    b. 1 um elemento do conjunto dos nmeros naturais.

    Em geral, um elemento de um conjunto, denotado por uma letra minscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.

    Pertinncia: a caracterstica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.

    a. Alberto pertence ao conjunto dos professores do Ibenac.

    b. 1 pertence ao conjunto dos nmeros naturais.

    Smbolo de pertinncia: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o smbolo que se l: "pertence".

    Para afirmar que 1 um nmero natural ou que 1 pertence ao conjunto dos nmeros naturais, escrevemos:

    1 N

    0 N

    Um smbolo matemtico muito usado para a negao a barra / traada sobre o smbolo normal.

  • 3

    Algumas notaes para conjuntos

    Muitas vezes, um conjunto representado com os seus elementos dentro de duas chaves { e } atravs de duas formas bsicas e de uma terceira forma geomtrica:

    Apresentao: Os elementos do conjunto esto dentro de duas chaves { e }.

    a. A={a,e,i,o,u}

    b. N={1,2,3,4,...}

    Descrio: O conjunto descrito por uma ou mais propriedades.

    a. A={x: x uma vogal}

    b. N={x: x um nmero natural}

    Diagrama de Venn-Euler: (l-se: "Ven-iler") Os conjuntos so mostrados graficamente.

    Subconjuntos

    Dados os conjuntos A e B, diz-se que A est contido em B, denotado por A B, se todos os elementos de A tambm esto em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A est propriamente contido em B, quando o conjunto B, alm de conter os elementos de A, contm tambm outros elementos. O conjunto A denominado subconjunto de B e o conjunto B o superconjunto que contm A.

    Alguns conjuntos especiais

    Conjunto vazio: um conjunto que no possui elementos. representado por { } ou por . O conjunto vazio est contido em todos os conjuntos.

    Conjunto universo: um conjunto que contm todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando logo contm todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo representado por uma letra U.

    Reunio de conjuntos

    A reunio dos conjuntos A e B o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.

    A B = { x: x A ou x B }

    Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2} ento A B={a,e,i,o,u,1,2}.

  • 4

    Interseo de conjuntos

    A interseo dos conjuntos A e B o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.

    A B = { x: x A e x B }

    Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} ento A B=.

    Quando a interseo de dois conjuntos A e B o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos so disjuntos.

  • 5

    Aula 02 Propriedade dos conjuntos

    1. Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunio de A e B, denotada por A B e a interseo de A e B, denotada por A B, ainda so conjuntos no universo.

    2. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:

    A A = A e A A = A

    3. Incluso: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

    A A B, B A B, A B A, A B B

    4. Incluso relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

    A B equivale a A B = B A B equivale a A B = A

    5. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:

    A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C

    6. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

    A B = B A A B = B A

    7. Elemento neutro para a reunio: O conjunto vazio o elemento neutro para a reunio de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

    A = A

    8. Elemento "nulo" para a interseo: A interseo do conjunto vazio com qualquer outro conjunto A, fornece o prprio conjunto vazio.

    A =

    9. Elemento neutro para a interseo: O conjunto universo U o elemento neutro para a interseo de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

    A U = A

    10. Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:

    A (B C ) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)

  • 6

    Os grficos abaixo mostram a distributividade.

    Diferena de conjuntos

    A diferena entre os conjuntos A e B o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e no pertencem ao conjunto B.

    A-B = {x: x A e x B}

    Do ponto de vista grfico, a diferena pode ser vista como:

    Complemento de um conjunto

    O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, a diferena entre os conjuntos A e B, ou seja, o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e no pertencem ao conjunto B.

    CAB = A-B = {x: x A e x B}

    Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, dado por:

  • 7

    Quando no h dvida sobre o universo U em que estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c posta como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Muitas vezes usamos a palavra complementar no lugar de complemento.

    Exemplos: c=U e Uc=.

    Leis de Augustus De Morgan

    1. O complementar da reunio de dois conjuntos A e B a interseo dos complementares desses conjuntos.

    (A B)c = Ac Bc

    2. O complementar da reunio de uma coleo finita de conjuntos a interseo dos complementares desses conjuntos.

    (A1 A2 ... An)c = A1c A2c ... Anc

    3. O complementar da interseo de dois conjuntos A e B a reunio dos complementares desses conjuntos.

    (A B)c = Ac Bc

    4. O complementar da interseo de uma coleo finita de conjuntos a reunio dos complementares desses conjuntos.

    (A1 A2 ... An)c = A1c A2c ... Anc

  • 8

    Aula .03 Diferena simtrica

    A diferena simtrica entre os conjuntos A e B o conjunto de todos os elementos que pertencem reunio dos conjuntos A e B e no pertencem interseo dos conjuntos A e B.

    A B = { x: x A B e x A B }

    O diagrama de Venn-Euler para a diferena simtrica :

    Exerccio: Dados os conjuntos A, B e C, pode-se mostrar que:

    1. A= se, e somente se, B=A B. 2. O conjunto vazio o elemento neutro para a operao de diferena simtrica. Usar o tem

    anterior.

    3. A diferena simtrica comutativa.

    4. A diferena simtrica associativa.

    5. A A= (conjunto vazio).

    6. A interseo entre A e B C distributiva, isto :

    A (B C) = (A B) (A C)

    7. A B est contida na reunio de A C e de B C, mas esta incluso prpria, isto :

    A B (A C) (B C)

  • 9

    Conjuntos Numricos

    1. Conjunto dos Nmeros Naturais So todos os nmeros inteiros positivos, incluindo o zero. representado pela letra maiscula N. Caso queira representar o conjunto dos nmeros naturais no-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N:

    N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, }

    N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, }

    2. Conjunto dos Nmeros Inteiros So todos os nmeros que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos).

    So representados pela letra Z:

    Z = { -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, }

    O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles so:

    - Inteiros no negativos

    So todos os nmeros inteiros que no so negativos. Logo percebemos que este conjunto igual ao conjunto dos nmeros naturais.

    representado por Z+:

    Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, }

    - Inteiros no positivos

    So todos os nmeros inteiros que no so positivos. representado por Z-:

    Z- = {, -5, -4, -3, -2, -1, 0}

    - Inteiros no negativos e no-nulos

    o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+:

    Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, }

    Z*+ = N*

    - Inteiros no positivos e no nulos

    So todos os nmeros do conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-.

    Z*- = { -4, -3, -2, -1}

  • 10

    3. Conjunto dos Nmeros Racionais Os nmeros racionais um conjunto que engloba os nmeros inteiros (Z), nmeros decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os nmeros decimais infinitos peridicos (que repete uma sequncia de algarismos da parte decimal infinitamente), como 12,050505, so tambm conhecidas como dzimas peridicas.

    Os racionais so representados pela letra Q.

    4. Conjunto dos Nmeros Irracionais formado pelos nmeros decimais infinitos no-peridicos. Um bom exemplo de nmero irracional o nmero PI (resultado da diviso do permetro de uma circunferncia pelo seu dimetro), que vale 3,14159265 . Atualmente, supercomputadores j conseguiram calcular bilhes de casas decimais para o PI.

    Tambm so irracionais todas as razes no exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 )

    5. Conjunto dos Nmeros Reais formado por todos os conjuntos citados anteriormente (unio do conjunto dos racionais com os irracionais).

    Representado pela letra R.

  • 11

    Aula.04

    Exerccios

    1 (UEFS) Sendo M(0) o conjunto dos mltiplos de zero e D(0) o conjunto dos divisores de zero, M(0) e D(0) so , respectivamente conjuntos:

    a)unitrio e infinito b) unitrio e vazio c) vazio e unitrio

    d) vazio e infinito e) infinito e vazio

    2 - (INFO) - Aps um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas no comeram nenhuma das sobremesas?

    a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0

    3 - (INFO) - Numa universidade so lidos apenas dois jornais, X e Y. 80% dos alunos da mesma l em o jornal X e 60%, o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno leitor de pelo menos um dos jornais, assinale a alternativa que corresponde ao percentual de alunos que l em ambos:

    a)80% b)14% c)40% d)60% e)48%

    4 - Em uma prova de matemtica com apenas duas questes, 300 alunos acertaram somente uma das questes e 260 acertaram a segunda. Sendo que 100 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a primeira questo. Quantos alunos fizeram a prova?

    Resposta : 450

    05. (FEI) Se n o nmero de subconjuntos no-vazios do conjunto formado pelos mltiplos estritamente positivos de 5, menores do que 40, ento o valor de n :

    a) 127 b) 125 c) 124 d) 120 e) 110

  • 12

    Aula.05

    06. No ltimo clssico Corinthians x Flamengo, realizado em So Paulo, verificou-se que s foram ao estdio paulistas e cariocas e que todos eles eram s corintianos ou s flamenguistas. Verificou-se tambm que, dos 100.000 torcedores, 85.000 eram corintianos, 84.000 eram paulistas e que apenas 4.000 paulistas torciam para o Flamengo. Pergunta-se:

    a) Quantos paulistas corintianos foram ao estdio?

    b) Quantos cariocas foram ao estdio?

    c) Quantos no-flamenguistas foram ao estdio?

    d) Quantos flamenguistas foram ao estdio?

    e) Dos paulistas que foram ao estdio, quantos no eram flamenguistas?

    f) Dos cariocas que foram ao estdio, quantos eram corintianos?

    g) Quantos eram flamenguistas ou cariocas?

    h) Quantos eram corintianos ou paulistas?

    i) Quantos torcedores eram no-paulistas ou no-flamenguistas?

    07. (ESAL) Foi consultado um certo nmero de pessoas sobre as emissoras de TV que habitualmente assistem. Obteve-se o resultado seguinte: 300 pessoas assistem ao canal A, 270 pessoas assistem o canal B, das quais 150 assistem ambos os canais A e B e 80 assistem outros canais distintos de A e B. O nmero de pessoas consultadas foi:

    a) 800 b) 720 c) 570 d) 500 e) 600

    08. (UF - Uberlndia) Num grupo de estudantes, 80% estudam Ingls, 40% estudam Francs e 10% no estudam nenhuma dessas duas lnguas. Nesse grupo, a porcentagem de alunos que estudam ambas as lnguas :

    a) 25% b) 50% c) 15% d) 33% e) 30%

    09. (VUNESP) Uma populao utiliza 3 marcas diferentes de detergente: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado colheram-se os resultados tabelados abaixo:

    Marcas A B C A e B A e C B e C A, B e C Nenhuma delas

    Nmero de Consumidores 109 203 162 25 28 41 5 115

    Pode-se concluir que o nmero de pessoas que consomem ao menos duas marcas :

    a) 99 b) 94 c) 90 d) 84 e) 79

  • 13

    12. (PUC CAMP) Considere os Conjuntos :

    IN, dos nmeros naturais

    Q, dos nmeros racionais,

    Q+, dos nmeros racionais no negativos,

    IR, dos nmeros reais.

    O nmero que expressa :

    A) a quantidade de habitantes de uma cidade um elemento de Q+, mas no de IN.

    B) a medida da altura de uma pessoa um elemento de IN.

    C) a velocidade mdia de um veculo um elemento de Q, mas no de Q+,

    D) o valor pago, em reais, por um sorvete um elemento de Q+,

    E) a medida do lado de um tringulo um elemento de Q,

  • 14

    Aula.06 - Lgica Matemtica

    CONCEITO

    No nosso estudo de lgica, o principal objetivo ser a investigao da validade de ARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos quais um a CONCLUSO e os demais PREMISSAS ou PROPOSIES

    Os argumentos esto tradicionalmente divididos em DEDUTIVOS e INDUTIVOS.

    ARGUMENTO DEDUTIVO: vlido quando suas premissas, se verdadeiras, a concluso tambm verdadeira.

    Premissa : "Todo homem mortal.

    Premissa : "Joo homem.

    Concluso : "Joo mortal.

    Esses argumentos sero objeto de estudo neste roteiro.

    ARGUMENTO INDUTIVO: a verdade das premissas no basta para assegurar a verdade da concluso

    Premissa : " comum aps a chuva ficar nublado.

    Premissa : "Est chovendo.

    Concluso: "Ficar nublado.

    No trataremos do estudo desses argumentos neste roteiro.

    As premissas e a concluso de um argumento, formuladas em uma linguagem estruturada, permitem que o argumento possa ter uma anlise lgica apropriada para a verificao de sua validade.

    Tais tcnicas de anlise sero tratadas no decorrer de nosso estudo.

    CONCEITOS BSICOS:

    PROPOSIO: sentenas declarativas afirmativas (expresso de uma linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa.

    Ex:

    A lua quadrada.

    A neve branca.

    Matemtica uma cincia.

    No sero objeto de estudo as sentenas interrogativas ou exclamativas.

    Uma proposio e uma declarao afirmativa qual se pode associar um valor verdadeiro ou falso, mas no ambos. Por exemplo: O Brasil fica na America uma proposio verdadeira, enquanto A lua e de queijo" e uma proposio falsa.

  • 15

    A proposio o elemento bsico a partir do qual os argumentos so construdos, sendo tambm o principal objeto de estudo na lgica proposicional.

    CLCULO PROPOSICIONAL

    Como primeira e indispensvel parte da Lgica Matemtica temos o CLCULO PROPOSICIONAL ou CLCULO SENTENCIAL ou ainda CLCULO DAS SENTENAS.

    OS SMBOLOS DA LINGUAGEM DO CLCULO PROPOSICIONAL

    VARIVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minsculas p,q,r,s,.... para indicar as proposies (frmulas atmicas) .

    Exemplos: A lua quadrada : p A neve branca : q

    CONECTIVOS LGICOS: As frmulas atmicas podem ser combinadas entre si e, para representar tais combinaes usaremos os conectivos lgicos :

    : e

    : ou

    : se...ento

    : se e somente se

    ~ : no

    Exemplos:

    A lua quadrada e a neve branca. : p q (p e q so chamados conjunctos) .

    A lua quadrada ou a neve branca. : p q ( p e q so chamados disjunctos)

    Se a lua quadrada ento a neve branca. : p q ( p o antecedente e q o conseqente)

    A lua quadrada se e somente se a neve branca. : p q

    A lua no quadrada. : ~p

  • 16

    Aula.07

    SMBOLOS AUXILIARES :

    ( ) : parnteses que servem para denotar o "alcance" dos conectivos;

    Exemplos:

    Se a lua quadrada e a neve branca ento a lua no quadrada. : ((p q) ~ p)

    A lua no quadrada se e somente se a neve branca. : ((~ p) q))

    DEFINIO DE FRMULA :

    1. Toda frmula atmica uma frmula.

    2. Se A e B so frmulas ento (A B) , (A B) , (A B) , (A B) e (~ A) tambm so frmulas.

    3. So frmulas apenas as obtidas por 1. e 2.

    Os parnteses sero usados segundo a seguinte ordem dos conectivos: ~, , , , .

    Com o mesmo conectivo adotaremos a conveno pela direita.

    Exemplo: a frmula p q ~ r p ~ q deve ser entendida como

    (((p q) (~ r)) ( p (~ q)))

    PRINCIPIOS BSICOS

    A lgica clssica governada por trs princpios (entre outros) que podem ser formulados como segue:

    1- Princpio da Identidade:

    Todo objeto idntico a si mesmo.

    2- Princpio da Contradio:

    Dadas duas proposies contraditrias (uma negao da outra), uma delas falsa.

    Ou ainda: Uma proposio no pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

    3- Princpio do Terceiro Excludo:

    Dadas duas proposies contraditrias, uma delas verdadeira.

    Ou ainda : Qualquer proposio verdadeira ou e falsa, no podendo ser nada mais do que isso.

    Com base nesses princpios as proposies simples so ou verdadeiras ou falsas sendo mutuamente exclusivos os dois casos; da dizer que a lgica clssica bivalente.

  • 17

    TABELAS VERDADE

    Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposies compostas (moleculares), conhecidos os valores das proposies simples (atmicas) que as compem usaremos tabelas-verdade :

    Na tabela verdade figuram todos os possveis valores lgicos da proposio correspondentes a todas as possveis atribuies de valores lgicos s proposies simples componentes.

    1.Tabela verdade da "negao" : ~p verdadeira (falsa) se e somente se p falsa (verdadeira).

    Um triangulo tem 3 lados ; Um triangulo no tem 3 lados.

    Um triangulo tem 4 lados; Um triangulo no tem 4 lados.

    2. Tabela verdade da "conjuno" : a conjuno verdadeira se e somente os conjuntos so verdadeiros.

    1 < 2; o gato mia. 1 < 2 e o gato mia.

    1 < 2; o gato late. 1 < 2 e o gato late.

    1 > 2; o gato mia. 1 > 2 e o gato mia.

    1 > 2; o gato late. 1 > 2 e o gato late

  • 18

    Aula.08

    TABELAS VERDADE

    3. Tabela verdade da "disjuno" : a disjuno falsa se, e somente, os disjunctos so falsos.

    1 < 2; o gato mia. 1 < 2 ou o gato mia.

    1 2; o gato mia. 1 >2 ou o gato mia.

    1 > 2; o gato late. 1 > 2 ou o gato late.

    4. Tabela verdade da "implicao": a implicao falsa se, e somente se, o antecedente verdadeiro e o consequente falso. A implicao no afirma a veracidade do antecedente e do consequente, mas a relao existente entre eles

    1 < 2; o gato mia. Se 1 < 2 ento o gato mia.

    1 2; o gato mia. Se 1 >2 ento o gato mia.

    1 > 2; o gato late. Se 1 > 2 ento o gato late.

  • 19

    TABELAS VERDADE

    5. Tabela verdade da "bi-implicao": a bi-implicao verdadeira se, e somente se seus componentes so ou ambos verdadeiros ou ambos falsos.

    1 < 2; o gato mia. 1 < 2 se e somente se o gato mia.

    1 < 2; o gato late. 1 < 2 se e somente se o gato late.

    1 > 2; o gato mia. 1 > 2 se e somente se o gato mia.

    1 > 2; o gato late. 1 > 2 se e somente se o gato late.

    Notas : Observemos o seguinte:

    No caso da implicao, por exemplo : Se x um nmero inteiro, ento x real, ou seja p q, x ser um nmero inteiro (p) condio suficiente para x ser real(q), enquanto que x ser real (q) condio necessria para x ser um nmero inteiro(p).

    J no caso da bi-implicao, por exemplo : Fogo campeo, se e somente se somou mais pontos, ou seja p q, teremos que Fogo campeo (p) condio necessria e suficiente para Fogo somou mais pontos(q), assim como Fogo somou mais pontos(q) condio necessria e suficiente para Fogo campeo (p).

    TABELAS VERDADE

    6. Tabela verdade das implicaes compostas.

    Dadas varias implicaes simples p,q,r,..., podemos combina-las mediante o uso dos conectivos: , , , , ~ e construir proposies compostas, tais como: (p (~q p)); ~((p ~q) (q p))

    Com o emprego das tabelas-verdades das operaes lgicas fundamentais e possvel construir a tabela-verdade correspondente a qualquer proposio composta dada. Logicamente, o valor-verdade final depende dos valores lgicos das proposies componentes.

    NMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE:

    Cada proposio simples (atmica) tem dois valores V ou F, que se excluem. Para n atmicas distintas, h tantas possibilidades quantos so os arranjos com repetio de 2 (V e F) elementos n a n. Segue-se que o nmero de linhas da tabela verdade 2n. Assim, para duas proposies so 22 = 4 linhas; para 3 proposies so 23 = 8; etc.

  • 20

    Aula.09

    REGRAS DE OPERAO

    1- Regras de Negao

    1.1 Regras de Morgan

    ~ (p q) = ~p ~q

    Ex : A Negao de Flavia bonita(p) e Alberto preguioso(q) Flavia no bonita(~p) ou Alberto no preguioso(~q).

    ~ (p q) = ~p ~q

    Ex : A Negao de Flavia bonita(p) ou Alberto preguioso(q) Flavia no bonita(~p) e Alberto no preguioso(~q).

    1.2 Negao da Implicao

    ~ ( p q) = p ~q

    Ex : A Negao de Se Flavia bonita(p), ento Alberto preguioso(q) Flavia bonita(p) e Alberto no preguioso(~q).

    1.3 Negao da bi- Implicao

    ~ ( p q) = (p ~q) ou (~ p q)

    Ex : A Negao de Flavia bonita(p), se e somente se Alberto preguioso(q) Flavia bonita(p) e Alberto no preguioso(~q) ou Flavia no bonita(~p) e Alberto preguioso(q) .

    REGRAS DE OPERAO

    1.4 Negao de Sentenas com Quantificadores

    ~ ( x)(p) = (x)(~p)

    Ex : A Negao de Todos os alunos do Ibenac so aprovados em concursos Existe algum aluno do Ibenac que no aprovado em concursos.

    ~ (x)(p) = ( x)(~ p)

    Ex : A Negao deExiste algum aluno do Ibenac que aprovado em concursos.Todos os alunos do Ibenac no so aprovados em concursos.

    2- Leis de equivalncia Lgica

    Leis associativas:

    1. (p q) r p (q r)

    2. (p q) 4 p (q r)

  • 21

    Leis distributivas:

    3. p (q r) (p q) (p r)

    4. p (q r) (p q) (p r)

    Lei da dupla negao:

    5. ~(~p) p

    Equivalncias da Condicional

    6. p q p q

    7. p q q ~p

    REGRAS DE OPERAO

    3- Equivalncia Lgica

    Uma proposio composta P logicamente equivalente a uma proposio composta Q, se as tabelas-verdade destas duas (P e Q) forem idnticas. Uma conseqncia prtica da equivalncia lgica que ao trocar uma dada proposio por qualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a maneira de diz-la.

    Ex : Se faz Sol, vou a praia, equivalente a No faz sol ou vou a praia.

  • 22

    Aula.10

    REGRAS DE OPERAO

    4- Proposio Contrapositiva

    Se, ~ p ~q for uma proposio verdadeira, ento p q tambm ser verdadeira. Caso seja falsa, ento p q tambm ser falsa.

    Ex : Se no faz sol , o guarda-vida no vai a praia ento se essa afirmao verdadeira, Se faz o sol, o guarda-vida vai a praia tambm verdadeira.

    ~ (p q) = ~p ~q

    Ex : A Negao de Flavia bonita(p) ou Alberto preguioso(q) Flavia no bonita(~p) e Alberto no preguioso(~q).

    DIAGRAMAS LGICOS

    O Clculo Proposicional e a lgebra dos Conjuntos possuem estruturas semelhantes.

    Toda frmula do Clculo Proposicional determina uma operao correspondente entre conjuntos :

    1 - Negao (~ ) : Se uma proposio p puder ser representada por um conjunto P por exemplo, sua negao ~p ser representada pela complementao de P em relao ao universo, ou seja (Pc = {x: x P})

    2 - Conjuno ( ) : Se as proposies p e q forem representadas como conjuntos, P e Q, atravs de um diagrama, a conjuno p q corresponder interseo do conjunto P com o conjunto Q: P Q.

    lembrete : Uma conjuno verdadeira somente quando as duas proposies que a compem forem verdadeiras, Ou seja, a conjuno p q verdadeira somente quando p verdadeira e q verdadeira tambm. Por isso dizemos que a conjuno exige a simultaneidade de condies.

    3- Disjuno ( ) : Se as proposies p e q forem representadas como conjuntos, P e Q, atravs de um diagrama, a conjuno p q corresponder unio conjunto P com o conjunto Q : P Q.

    lembrete : Uma disjuno falsa somente quando as duas proposies que a compem forem falsas. Ou seja, a disjuno p q falsa somente quando p falsa e q falsa tambm. Mas se p for verdadeira ou se q for verdadeira ou mesmo se ambas, p e q, forem verdadeiras, ento a disjuno ser verdadeira. Por isso dizemos que, ao contrrio da conjuno, a disjuno no necessita da simultaneidade de condies para ser verdadeira, bastando que pelo menos uma de suas proposies componentes seja verdadeira.

  • 23

    4 - Implicao () : Se as proposies p e q forem representadas como conjuntos, P e Q, atravs de um diagrama, a conjuno p q corresponder relao em que P esta contido em Q : P Q.

    lembrete : Uma implicao Se p ento q falsa somente quando a condio p verdadeira e a concluso q falsa, sendo verdadeira em todos os outros casos. Isto significa que numa proposio condicional, a nica situao que no pode ocorrer uma condio verdadeira implicar uma concluso falsa.

    5 bi-Implicao () : Se as proposies p e q forem representadas como conjuntos, P e Q, atravs de um diagrama, a conjuno p q corresponder relao em que P igual a Q, ou seja todo P Q e todo Q P : P = Q.

    lembrete : A proposio bicondicional p se e somente se q verdadeira somente quando p e q tm o mesmo valor lgico (ambas so verdadeiras ou ambas so falsas), sendo falsa quando p e q tm valores lgicos contrrios.

    DEFINIES FINAIS

    1- Tautologia : Uma proposio composta formada pelas proposies p,q,r, ... uma tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lgicos das proposies p,q,r, ... que a compem.

    Exemplo: A proposio Se (p e q) ento (p ou q) uma tautologia, pois sempre verdadeira,independentemente dos valores lgicos de p e de q, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:

    A B A e B A ou B (A e B) (A ou B)

    V V V V V

    V F F V V

    F V F V V

    F F F F V

    2- Contradio :Uma proposio composta formada pelas proposies A, B, C, ... uma contradio se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lgicos das proposies A, B, C, ... que a compem.

    Exemplo:

    A proposio A se e somente se no A uma contradio, pois sempre falsa, independentemente dos valores lgicos de A e de no A, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:

    A ~A A ~A

    V F F

    F V F

  • 24

    O exemplo acima mostra que uma proposio qualquer e sua negao nunca podero ser simultaneamente verdadeiros ou simultaneamente falsos.

    Como uma tautologia sempre verdadeira e uma contradio sempre falsa, tem-se que:

    a negao de uma tautologia sempre uma contradio enquanto a negao de uma contradio sempre uma tautologia.

  • 25

    Aula.11

    Exerccios de Fixao

    01. Sendo p a proposio Paulo paulista e q a proposio Ronaldo carioca, traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposies:

    a) ~q

    b) p ^ q

    c) p v q

    d) p q

    e) p (~q)

    02. Sendo p a proposio Roberto fala ingls e q a proposio Ricardo fala italiano traduzir para a linguagem simblica as seguintes proposies:

    a) Roberto fala ingls e Ricardo fala italiano.

    b) Ou Roberto no fala ingls ou Ricardo fala italiano.

    c) Se Ricardo fala italiano ento Roberto fala ingls.

    d) Roberto no fala ingls e Ricardo no fala italiano.

    03. (UFB) Se p uma proposio verdadeira, ento:

    a) p ^ q verdadeira, qualquer que seja q;

    b) p v q verdadeira, qualquer que seja q;

    c) p ^ q verdadeira s se q for falsa;

    d) p q falsa, qualquer que seja q

    e) n.d.a.

    04. (ABC) Assinale a proposio composta logicamente verdadeira:

    a) (2 = 3) (2 . 3 = 5)

    b) (2 = 2) (2 . 3 = 5)

    c) (2 = 3) e (2 . 3 = 5)

    d) (2 = 3) ou (2 . 3 = 5)

    e) (2 = 3) e (~ ( 2= 2))

  • 26

    05. (UGF) A negao de x > -2 :

    a) x > 2

    b) x #-2

    c) x < -2

    d) x < 2

    e) x #2

    06. (ABC) A negao de todos os gatos so pardos :

    a) nenhum gato pardo;

    b) existe gato pardo;

    c) existe gato no pardo;

    d) existe um e um s gato pardo;

    e) nenhum gato no pardo.

    07. (ABC) Se A negao de o gato mia e o rato chia :

    a) o gato no mia e o rato no chia;

    b) o gato mia ou o rato chia;

    c) o gato no mia ou o rato no chia;

    d) o gato e o rato no chiam nem mia;

    e) o gato chia e o rato mia.

  • 27

    Aula.12

    08- Se num campeonato de futebol verdade que quem no faz, leva, ou seja, time que no marca gol numa partida sofre ao menos um gol nessa mesma partida, ento:

    a) em todos os jogos os dois times marcam gols

    b) nenhum jogo termina empatado

    c) o vencedor sempre faz um gol a mais que o vencido

    d) nenhum jogo termina 0 x 0, ou seja, sem gols

    e) resultados como 1 x 0, 2 x 0 ou 3 x 0 no so possveis

    09- Se cada macaco fica no seu galho, ento:

    a) tem mais macaco do que galho b) pode haver galho sem macaco

    c) dois macacos dividem um galho d) cada macaco fica em dois galhos

    e) dois galhos dividem um macaco

    10 (FGV 2010) Certo dia, trs amigos fizeram, cada um deles, uma afirmao:

    Alusio: Hoje no tera-feira.

    Benedito: Ontem foi domingo.

    Camilo: Amanh ser quarta-feira.

    Sabe-se que um deles mentiu e que os outros dois falaram a verdade. Assinale a alternativa que indique corretamente o dia em que eles fizeram essas afirmaes.

    (A) sbado. (B) domingo. (C) segunda-feira.

    (D) tera-feira. (E) quarta-feira.

    11(FGV-2010)Considere a sentena: Se tenho sade ento sou feliz".

    Uma sentena logicamente equivalente sentena dada :

    (A) Se no tenho sade ento no sou feliz. (B) Se sou feliz ento tenho sade.

    (C) Tenho sade e no sou feliz. (D) Tenho sade e sou feliz.

    (E) No tenho sade ou sou feliz.

  • 28

    12 (FGV-2010) A negao lgica da sentena Se no h higiene ento no h sade :

    (A) Se h higiene ento h sade.

    (B) No h higiene e h sade.

    (C) H higiene e no h sade.

    (D) No h higiene ou no h sade.

    (E) Se h sade ento h higiene.

    13(FGV 2010) Considere como verdadeiras as seguintes afirmativas:

    I. todo A tambm B.

    II. pelo menos um A tambm C.

    III. algum C no B.

    Pode-se deduzir que:

    (A) todo A tambm C.

    (B) algum B tambm C.

    (C) todo C tambm B.

    (D) todo B tambm C.

    (E) nenhum C tambm B.

  • 29

    Aula.13

    14(FGV 2010) Se A no AZUL ento B no AMARELO. Se B no AMARELO, ento C VERDE. SE A AZUL , ento C no VERDE. Logo tem-se obrigatoriamente que :

    (A) A AZUL.

    (B) B AMARELO.

    (C) C VERDE.

    (D) A no AZUL.

    (E) B no AMARELO.

    15 (FGV 2011) Se Huxley briga com Samuel, ento Samuel briga com Darwin. Se Samuel briga com Darwin, ento Darwin vai ao bar. Se Darwin vai ao bar, ento Wallace briga com Darwin. Ora, Wallace no briga com Darwin. Logo,

    (A) Darwin no vai ao bar e Samuel briga com Darwin.

    (B) Darwin vai ao bar e Samuel briga com Darwin.

    (C) Samuel no briga com Darwin e Huxley no briga com Samuel.

    (D) Samuel briga com Darwin e Huxley briga com Samuel.

    (E) Samuel no briga com Darwin e Huxley briga com Samuel.

    16(ESAF 2011) Dizer que no verdade a seguinte sentena Carlos rico e Pedro inteligente equivalente a dizer que

    (A) Carlos no rico e Pedro no inteligente.

    (B) Carlos no rico ou Pedro no inteligente.

    (C) Carlos rico ou Pedro no inteligente.

    (D) se Carlos no rico, ento Pedro inteligente.

    (E) se Carlos no rico, ento Pedro no inteligente.

    17(ESAF 2011) Sendo p a proposio: Joo mdico e q a proposio: Jos engenheiro ento a proposio pvq corresponde a

    (A) Joo mdico ou Jos engenheiro.

    (B) Joo mdico e Jos engenheiro.

    (C) Joo no mdico e Jos engenheiro.

    (D) Joo mdico ou Jos no engenheiro.

    (E) Joo no mdico ou Joo no engenheiro.

  • 30

    18 (ESAF 2011) A negao de o cachorro late e o gato mia

    (A) o cachorro no late e o gato no mia.

    (B) o cachorro late ou o gato mia.

    (C) o cachorro no late ou o gato no mia.

    (D) o cachorro e o gato no latem e nem miam.

    (E) o cachorro mia e o gato late.

    19 (ESAF-2005) O reino est sendo atormentado por um terrvel drago. O mago diz ao rei: O drago desaparecer amanh se e somente se Aladim beijou a princesa ontem. O rei, tentando compreender melhor as palavras do mago, faz as seguintes perguntas ao lgico da corte:

    1. Se a afirmao do mago falsa e se o drago desaparecer amanh, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem?

    2. Se a afirmao do mago verdadeira e se o drago desaparecer amanh, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem?

    3. Se a afirmao do mago falsa e se Aladim no beijou a princesa ontem, posso concluir corretamente que o drago desaparecer amanh?

    O lgico da corte, ento, diz acertadamente que as respostas logicamente corretas para as trs perguntas so, respectivamente:

    a) No, sim, no

    b) No, no, sim

    c) Sim, sim, sim

    d) No, sim, sim

    e) Sim, no, sim

    20 (ESAF 2005) Se Andr culpado, ento Bruno inocente. Se Andr inocente, ento Bruno culpado. Se Andr culpado, Leo inocente. Se Andr inocente, ento Leo culpado. Se Bruno inocente, ento Leo culpado. Logo, Andr, Bruno e Leo so, respectivamente:

    a) Culpado, culpado, culpado.

    b) Inocente, culpado, culpado.

    c) Inocente, culpado, inocente.

    d) Inocente, inocente, culpado.

    e) Culpado, culpado, inocente.

  • 31

    Resoluo:

    01.

    a) Paulo no paulista.

    b) Paulo paulista e Ronaldo carioca.

    c) Paulo paulista ou Ronaldo carioca.

    d) Se Paulo paulista ento Ronaldo carioca.

    e) Se Paulo paulista ento Ronaldo no carioca.

    02.

    a) p ^ q

    b) (~p) v p

    c) q p

    d) (~p) ^ (~q)

    03. B 04. A 05. C 06. C 07. C

    08.D (Se verdade que quem no faz, leva, tem-se que o time que no marca qualquer gol leva pelo menos algum gol, logo, nenhuma partida termina sem gols, ou seja, 0 x 0

    09 B ( Quando dizemos que cada macaco fica em seu galho, estamos afirmando que todo macaco fica em algum galho, No podemos dizer necessariamente que todo galho ter algum macaco pendurado. Logo, pode haver algum galho que fique sem macaco)

    10 C 11 E 12 B 13 B 14 B 15 C 16 B 17 A 18 C 19 D 20 - B

  • 32

    Aula.14

    VERDADES E MENTIRAS

    IDENTIFICAO DO PROBLEMA: Algumas vezes, na soluo de problemas de Lgica, ou mais especificamente : de Raciocnio Lgico, vamos encontrar problemas onde no se encontram somente sentenas declarativas afirmativas ou ainda sobre as quais no se pode afirmar se so sentenas verdadeiras ou falsas, de modo que no ser possvel usar as tcnicas do clculo proposicional nem mesmo da teoria de conjuntos para resolver esse tipo de problema.

    Uma classe especfica desse tipo de problema, conhecida como problema de verdades e mentiras, cuja soluo baseia-se mais numa organizao das informaes do que qualquer tcnica especfica da lgica matemtica.

    Veremos que nesse tipo de soluo devemos organizar as informaes de modo a poder concluir algo que j nos d uma informao relevante sobre o conjuntos de verdades e mentiras proposto.

    Exemplo 1 : (ESAF) Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu:

    Armando: "Sou inocente"

    Celso: "Edu o culpado"

    Edu: "Tarso o culpado"

    Juarez: "Armando disse a verdade"

    Tarso: "Celso mentiu"

    Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado :

    a) Armando b) Celso c) Edu d) Juarez e) Tarso

    Armando: "Sou inocente Celso: "Edu o culpado Edu: "Tarso o culpado"

    Juarez: "Armando disse a verdade Tarso: "Celso mentiu

    Do enunciado temos tambm : S 1 mente e S 1 culpado

    1 Hiptese : Armando mentiu.

    2 Hiptese : Celso mentiu.

  • 33

    Exemplo 2 : (ESAF) Cinco colegas foram a um parque de diverses e um deles entrou sem pagar. Apanhados por um funcionrio do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram:

    No fui eu, nem o Manuel, disse Marcos.

    Foi o Manuel ou a Maria, disse Mrio.

    Foi a Mara, disse Manuel.

    O Mrio est mentindo, disse Mara.

    Foi a Mara ou o Marcos, disse Maria.

    Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi:

    a) Mrio b) Marcos c) Mara d) Manuel e) Maria

    -No fui eu, nem o Manuel, disse Marcos Foi o Manuel ou a Maria, disse Mrio. Foi a Mara, disse Manuel. O Mrio est mentindo, disse Mara. Foi a Mara ou o Marcos, disse Maria.

    Do enunciado temos tambm : S 1 mente e S 1 entrou sem pagar

    1 Hiptese : Marcos mentiu.

    1 Hiptese : Mario mentiu.

  • 34

    Aula.15

    Exemplo 3 (ESAF) Trs amigos Lus, Marcos e Nestor so casados com Teresa, Regina e Sandra (no necessariamente nesta ordem). Perguntados sobre os nomes das respectivas esposas, os trs fizeram as seguintes declaraes:

    Nestor: "Marcos casado com Teresa"

    Lus: "Nestor est mentindo, pois a esposa de Marcos Regina"

    Marcos: "Nestor e Lus mentiram, pois a minha esposa Sandra"

    Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Teresa disse a verdade, segue-se que as esposas de Lus, Marcos e Nestor so, respectivamente:

    a) Sandra, Teresa, Regina

    b) Sandra, Regina, Teresa

    c) Regina, Sandra, Teresa

    d) Teresa, Regina, Sandra

    e) Teresa, Sandra, Regina

    Nestor: "Marcos casado com Teresa -Lus: "Nestor est mentindo, pois a esposa de Marcos Regina - Marcos: "Nestor e Lus mentiram, pois a minha esposa Sandra

    Do enunciado temos tambm : 1- marido de Sandra mentiu; 2- o marido de Teresa disse a verdade

    1 Hiptese : Nestor est falando a verdade.

    1 Hiptese : Nestor mentiu.

  • 35

    Exemplo 4 - Trs amigas encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas azul, o de outra preto, e o da outra branco. Elas calam pares de sapatos destas mesmas trs cores, mas somente Ana est com vestido e sapatos da mesma cor. Nem o vestido, nem os sapatos de Jlia so brancos. Marisa est com sapatos azuis. Desse modo:

    a) o vestido de Jlia azul e o de Ana preto

    b) o vestido de Jlia branco e os seus sapatos so pretos

    c) os sapatos de Jlia so pretos e os de Ana so brancos

    d) os sapatos de Ana so pretos e o vestido de Marisa branco

    e) o vestido de Ana preto e os sapatos de Marisa so azuis

    - somente Ana est com vestido e sapatos da mesma cor. - Nem o vestido, nem os sapatos de Jlia so brancos. -Marisa est com sapatos azuis.

    Do enunciado temos tambm : 1- cada vestido e cada sapato de uma cor(preto, branco e azul)

  • 36

    Exemplo 5 - Os cursos de Mrcia, Berenice e Priscila so, no necessariamente nessa ordem , Medicina, Biologia e Psicologia. Uma delas realizou o seu curso em Belo Horizonte, a outra em Florianpolis e a terceira em So Paulo. Mrcia realizou o seu curso em Belo Horizonte. Priscila cursou psicologia. Berenice no realizou seu curso em So Paulo nem fez Medicina. Assim os cursos e respectivos locais de estudo de Mrcia, Berenice e Priscila so pela ordem :

    a) Medicina em Belo Horizonte, Psicologia em Florianpolis e Biologia em So Paulo

    b) Psicologia em Belo Horizonte, Biologia em Florianpolis e Medicina em So Paulo

    c) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em Florianpolis e Psicologia em So Paulo

    d) Biologia em Belo Horizonte, Medicina em So Paulo e Psicologia em Florianpolis

    e) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em So Paulo e Psicologia em Florianpolis

    - Mrcia realizou o seu curso em Belo Horizonte. - Priscila cursou psicologia. - Berenice no realizou seu curso em So Paulo nem fez Medicina.

    Do enunciado temos tambm : 1- cada uma estudou num lugar e um curso diferente.

  • 37

    Aula.16 - Frao, Razo e Proporo

    Frao um nmero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade ou um inteiro .

    Alguns conceitos primitivos

    Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro partes iguais, cada parte representar uma frao da pizza.

    Uma pizza inteira Quatro pedaos de pizza

    1 4 x 1/4

    Qual o significado de uma frao?

    Uma frao significa dividir algo em partes iguais. Assim:

    indica a : b , sendo a e b nmeros naturais e b diferente de 0.

    a representa o numerador e b, o denominador.

    Podemos tambm encontrar a denominao de Antecedente e Consequente, para os numeradores e denominadores respectivamente.

  • 38

    Leitura de fraes:

    Metade

    Um tero

    Dois quartos

    Trs quintos

    Um sexto

    Quatro stimos

    Sete oitavos

    Dois nonos

    Um dcimo

    Dois onze avos

    Cinco doze avos

    ... ...

    Um centsimo

    Um milsimo

  • 39

    Fraes Equivalentes

    Fraes equivalentes: so fraes que representam a mesma parte de um todo, como o prprio nome j diz, so equivalentes.

    Simplificao de Fraes

    Simplificao de fraes: Para simplificarmos uma frao, devemos dividir o numerador e o denominador por um mesmo nmero inteiro. Observem comparando com os quadradinhos acima.

    a)

    b)

    Outros exemplos:

    a)

    b) No possvel a simplificao, por isso, uma frao irredutvel.

    Tipos de Frao

    - Frao prpria: aquela que o numerador menor que o denominador.

    Ex: ( 7

  • 40

    Numa frao imprpria temos o seguinte:

    Ao dividirmos 12 por 7, temos 1 inteiro, e sobram 5 stimos. Vejam que 7x1+5=12

    Outros exemplos:

    a)

    b)

    Mnimo Mltiplo Comum MMC

    Dados dois ou mais nmeros naturais no nulos, denomina-se mnimo mltiplo comum (MMC) o menor dos seus mltiplos que comum a todos eles, com exceo do nmero zero, pois este menor dos nmeros naturais e mltiplo de todos eles.

    Os mltiplos de um nmero natural so todos aqueles que divididos por este nmero tm zero como o resto da diviso. Por exemplo, 0, 6 e 12 so todos mltiplos de 6, pois qualquer um deles pode ser dividido por 6 em uma diviso exata. Neste caso o quociente da diviso seria respectivamente 0, 1 e 2. Percebe-se portanto, que os mltiplos de um nmero natural so o resultado do produto deste nmero por um outro nmero natural.

    J que o conjunto dos nmeros naturais um conjunto infinito, os mltiplos de um nmero tambm so infinitos.

    Mltiplos de um Nmero Natural e o seu MMC

    Tomemos por exemplo os nmeros naturais 6, 8 e 12. Seus mltiplos so respectivamente:

    { 0, 6, 12, 18, 24, 30, ... }

    { 0, 8, 16, 24, 32, 40, ... }

    { 0, 12, 24, 36, 48, 60, ... }

    Podemos notar que com exceo do nmero 0, o nmero 24 o menor dos mltiplos comum a todos eles.

    Temos ento que:

    MMC(6, 8, 12) = 24

  • 41

    Como descobrir o MMC de um conjunto de nmeros?

    Um prtico mtodo para se determinar o MMC de um conjunto de nmeros naturais a decomposio em fatores primos.

    Para que possamos fazer uma comparao, vamos tomar novamente os nmeros 6, 8 e 12 como exemplo.

    Da fatorao destes trs nmeros temos:

    6 = 2 . 3

    8 = 23

    12 = 22 . 3

    O MMC(6, 8, 12) o produto dos fatores comuns e no comuns, com os maiores expoentes.

    O fator 2 comum a todos eles, mas tomemos o 23, pois o que possui o maior expoente.

    O fator 3 no comum ao nmero 8, mas independente disto tambm deve ser considerado e como nos dois casos onde ele mltiplo, o expoente 1, iremos considerar somente o 3 mesmo.

    Note que cada fator considerado apenas uma vez. O fator 3, por exemplo, ocorre tanto para o nmero 6, quanto para o nmeros 12, mas o consideramos apenas uma vez.

    Logo:

    MMC(6, 8, 12) = 23 . 3 = 24

  • 42

    Aula.17

    MXIMO DIVISOR COMUM

    Dados dois ou mais nmeros naturais no nulos, denomina-se mximo divisor comum (MDC) o maior nmero que divisor de todos eles.

    Entenda por divisor, um nmero natural no nulo, que ao dividir um outro nmero natural, produz uma diviso com resto igual a zero, isto , produz uma diviso exata.

    Com este sentido, o conjunto dos nmeros formados pelos divisores de um nmero natural qualquer um conjunto finito.

    Caso o nmero 1 seja o nico divisor comum a um conjunto de nmeros naturais, dizemos que os nmeros deste conjunto so primos entre si.

    Divisores de um Nmero Natural e o seu MDC

    Analisemos os nmeros naturais 108, 135 e 63. Seus divisores so respectivamente:

    { 1, 3, 4, 9, 12, 27, 36, 108 }

    { 1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 135 }

    { 1, 3, 7, 9, 21, 63 }

    De todos os divisores que cada um dos nmeros possui, o nmero 9 o maior deles que comum a todos os trs.

    Temos ento que:

    MDC(108, 135, 63) = 9

    Como descobrir o MDC de um conjunto de nmeros?

    Um mtodo prtico para se determinar o MDC de um grupo de nmeros naturais a fatorao.

    Para podermos comparar o resultado obtido pelo mtodo acima e o obtido pela fatorao, vamos utilizar de novo os nmeros 108, 135 e 63 como exemplo.

    Da fatorao deles ns temos que:

    108 = 33 . 4

    135 = 33 . 5

    63 = 32 . 7

    O MDC(108, 135, 63) o produto dos fatores comuns com os menores expoentes.

    No caso apenas o fator 3 comum a todos eles, mas tomemos o 32, pois o que possui o menor expoente.

    Logo:

    MDC(108, 135, 63) = 32 = 9

  • 43

    Calculando o MDC entre dois nmeros pelo mtodo das divises sucessivas

    Este mtodo consiste em se dividir o maior nmero pelo menor.Se a diviso for exata, ento o nmero menor ser o MDC entre os dois nmeros. Se no for, ento o nmero que estava sendo utilizado como divisor, passar a ser utilizado como dividendo e o resto da diviso passar a ser o novo divisor.

    Se desta vez a diviso for exata, ento o divisor atual ser o MDC, se no for, repete-se o processo, o nmero que estava sendo utilizado como divisor, passar a ser utilizado como dividendo e o resto da diviso passa a ser o novo divisor e assim vai at que a diviso seja exata, neste momento o divisor atual ser o mximo divisor comum entre os dois nmeros.

    Para a exemplificar vamos utilizar os nmeros naturais 80 e 288:

    Dividindo 288, que o maior deles, por 88, teremos 48 como resto da diviso, ento devemos continuar o processo.

    Agora dividiremos 80 pelo resto 48 e como novo resto iremos obter 32, como a diviso ainda no foi exata, continuamos o processo.

    Dividiremos ento 48 por 32, cujo resto 16, o que nos obriga a continuar o processo.

    Desta vez dividiremos 32 por 16. Agora a diviso exata, ento o MDC(80, 288) = 16.

    Note que por este mtodo s possvel o clculo do MDC entre dois nmeros. Se voc precisar calcular o mximo divisor comum dentre trs ou mais nmeros, o ideal apurar o MDC entre os dois menores e depois ir calculando o mximo divisor entre o MDC atual e o prximo nmero na ordem ascendente at terminar, ou at que encontre um MDC igual a 1. Por exemplo, o MDC(24, 80, 242) deve ser calculado assim:

    Primeiro calcule MDC(24, 80) que igual a 8, finalmente calcule MDC(8, 242) que igual a 2.

    Para melhor fixao destes conceitos, faa os clculos por este mtodo e confira o resultado.

    Exemplos de MDC

    Qual o MDC(15, 75, 105)?

    Fatorando os trs nmeros temos:

    15 = 3 . 5

    75 = 3 . 52

    105 = 3 .5 . 7

    Note que cada fator considerado apenas uma vez. O fator 3, por exemplo, ocorre tanto para o nmero 15, quanto para o nmero 75 e para o 105, mas o consideramos uma nica vez. De forma anloga agimos em relao ao fator 5.

    MDC(15, 75, 105) = 3 . 5 = 15

    Portanto:

    O MDC(15, 75, 105) igual 15

  • 44

    Qual o MDC(100, 150, 200, 250)?

    Da Fatorao dos quatro nmeros temos:

    100 = 22 . 52

    150 = 2 .3 . 52

    200 = 23 . 52

    250 = 2 . 53

    Os fatores 2 e 5 so comuns aos quatros nmeros. O menor expoente do 2 1 e do 5 2. Assim:

    MDC(100, 150, 200, 250) = 2 . 52 = 50

    Logo:

    O MDC(100, 150, 200, 250) igual a 50

    Qual o MDC(25, 16)?

    A decomposio dos dois nmeros em fatores primos nos d:

    25 = 52

    16 = 24

    No h fatores comuns, j que 25 e 16 so primos entre si, ento:

    MDC(25, 16) = 1

    Portanto:

    O MDC(25, 16) o nmero 1.

    Propriedade do MMC e do MDC

    Sejam a e b dois ou mais nmeros naturais no nulos temos que MMC(a, b) . MDC(a, b) = a . b.

    Observe que esta propriedade e vlida apenas para o MMC/MDC entre exatamente dois nmeros, para trs nmeros ou mais esta propriedade no se verifica.

    Exemplos de MMC

    Qual o MMC(15, 25, 40)?

    Fatorando os trs nmeros temos:

    15 = 3 . 5

    25 = 52

    40 = 23 . 5

    Para uma melhor identificao, os fatores comuns e no comuns com os maiores expoentes foram marcados em vermelho.

  • 45

    MMC(15, 25, 40) = 23 . 3 . 52 = 600

    Portanto:

    O MMC(15, 25, 40) igual 600

    Qual o MMC(250, 225, 294, 245)?

    Da Fatorao dos quatro nmeros temos:

    250 = 2 .53

    225 = 32 . 52

    294 = 2 .3 .72

    245 = 5 . 72

    MMC(250, 225, 294, 245) = 2 . 32 .53 . 72 = 110250

    Logo:

    O MMC(250, 225, 294, 245) igual a 110250

    Qual o MMC(27, 81)?

    A decomposio dos dois nmeros em fatores primos nos d:

    27 = 33

    81 = 34

    MMC(27, 81) = 34 = 81

    Portanto:

    O MMC(27, 81) o prprio nmero 81.

    Se o MDC(27, 72) = 9, qual o MMC(27, 72)?

    Segundo a propriedade do MMC e do MDC temos que :

    Logo:

    O MMC(27, 72) igual a 216.

  • 46

    Aula.18

    OPERAES COM FRAO

    Neste mdulo iremos abordar a realizao das quatro operaes aritmticas fundamentais com nmeros fracionrios.

    Iremos analisar cada uma das operaes aritmticas separadamente para que possamos observar as caractersticas individuais de cada uma delas.

    Adio

    A soma ou adio de fraes requer que todas as fraes envolvidas possuam o mesmo denominador. Se inicialmente todas as fraes j possurem um denominador comum, basta que realizemos a soma de todos os numeradores e mantenhamos este denominador comum.

    Vejamos o seguinte exemplo:

    Podemos observar que toas elas possuem o denominador 7. Neste caso a frao final ter como numerador a soma dos nmeros 1, 2 e 3, assim como ter o mesmo denominador 7

    Vejamos agora este outro exemplo:

    Neste caso no podemos simplesmente realizar a soma dos numeradores.

    Primeiramente devemos converter todas as fraes ao mesmo denominador.

    O denominador escolhido ser o mnimo mltiplo comum dos denominadores.

    Ser o MMC(3, 5, 13):

    Como sabemos, o MMC(3, 5, 13) = 195. Logo todas as fraes tero o denominador comum 195.

  • 47

    O novo numerador de cada uma delas ser apurado, simplesmente dividindo-se 195 pelo seu denominador atual e em seguida multiplicando-se o produto encontrado pelo numerador original:

    Para 1/3 temos que: 195 : 3 . 1 = 65, logo: 1/3 = 65/195

    Para 2/5 temos que: 195 : 5 . 2 = 78, logo: 2/5 = 78/195

    Para 3/13 temos que: 195 : 13 . 3 = 45, logo: 3/13 = 45/195

    Obtemos assim, trs fraes equivalentes s fraes originais sendo que todas contendo o denominador 195. Agora resta-nos proceder como no primeiro exemplo:

    Subtrao

    A diferena ou subtrao de fraes, assim como a adio, tambm requer que todas as fraes contenham um denominador comum. Quando as fraes possurem um mesmo denominador, temos apenas que subtrair um numerador do outro, mantendo-se este denominador comum.

    Vejamos o exemplo:

    Observamos que todas as fraes possuem o denominador 9. Neste caso a frao final ter como numerador a diferena dos numeradores, assim como ir manter o denominador 9:

    Observemos este outro exemplo:

    Como as fraes no possuem todas o mesmo denominador, primeiramente devemos a apurar o MMC(9, 3, 7) para utiliz-lo como denominador comum.

    Sabemos que o MMC(9, 3, 7) = 63. Logo utilizaremos 63 como o denominador comum.

  • 48

    Como j visto, para encontrarmos as fraes equivalentes s do exemplo, que possuam o denominador igual a 63, para cada uma delas iremos dividir 63 pelo seu denominador e em seguida multiplicaremos o resultado pelo seu numerador:

    Para 8/9 temos que: 63 : 9 . 8 = 56, logo: 8/9 = 56/63

    Para 1/3 temos que: 63 : 3 . 1 = 21, logo: 1/3 = 21/63

    Para 2/7 temos que: 63 : 7 . 2 = 18, logo: 2/7 = 18/63

    Finalmente podemos realizar a subtrao:

    Multiplicao

    Ao menos conceitualmente, a multiplicao ou produto de fraes, talvez seja a mais simples das operaes aritmticas que as envolvem. Diferentemente da adio e da subtrao, a multiplicao no requer que tenhamos um denominador comum. Para realizarmos o produto de fraes, basta que multipliquemos os seus numerados entre si, fazendo-se o mesmo em relao aos seus denominadores.

    Vejamos o exemplo abaixo:

    Independentemente de os denominadores serem todos iguais ou no, iremos realizar a multiplicao conforme mostrado abaixo:

    A multiplicao de fraes mistas deve ser precedida da converso das mesmas em fraes imprprias:

  • 49

    Diviso

    A diviso de fraes resume-se a inverso das fraes divisoras, trocando-se o seu numerador pelo seu denominador e realizando-se ento a multiplicao das novas fraes.

    Vejamos como realizar a diviso abaixo:

    Realizando-se a inverso das divisoras e mudando-se de diviso para multiplicao teremos:

    Realizando-se a multiplicao teremos:

    A diviso de fraes mistas segue o mesmo principio, no entanto devemos primeiramente convert-las em fraes imprprias:

    Mltiplas Operaes

    Assim como nas operaes aritmticas com nmeros naturais, nas operaes aritmticas com fraes, a multiplicao e a diviso tm precedncia sobre a adio e a subtrao, por isto em expresses compostas que envolvam mltiplas operaes, devemos primeiro realizar as operaes de multiplicao e de diviso e por ltimo as operaes de soma e subtrao.

    Vejamos a expresso a seguir:

    A sequncia para a sua resoluo a seguinte:

    Primeiramente executamos a multiplicao

    Em seguida executamos a diviso, invertendo a frao e transformando a diviso em uma multiplicao

    E por fim a soma e a subtrao

    Finalmente obtemos o resultado da expresso

  • 50

    Aula.19

    Dzimas Peridicas

    H fraes que no possuem representaes decimal exata. Por exemplo:

    Aos numerais decimais em que h repetio peridica e infinita de um ou mais algarismos, d-se o nome de numerais decimais peridicos ou dzimas peridicas. Numa dzima peridica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o perodo dessa dzima. As dzimas classificam-se em dzimas peridicas simples e dzimas peridicas compostas. Exemplos:

    (perodo: 5) (perodo: 3) (perodo: 12)

    So dzimas peridicas simples, uma vez que o perodo apresenta-se logo aps a vrgula.

    Perodo: 2 Parte no peridica: 0

    Perodo: 4 Perodo no peridica: 15

    Perodo: 23 Parte no peridica: 1

    So dzimas peridicas compostas, uma vez que entre o perodo e a vrgula existe uma parte no peridica.

    Observaes:

    Consideramos parte no peridica de uma dzima o termo situado entre vrgulas e o perodo. Exclumos portanto da parte no peridica o inteiro.

    Podemos representar uma dzima peridica das seguintes maneiras:

  • 51

    Geratriz de uma dzima peridica

    possvel determinar a frao (nmero racional) que deu origem a uma dzima peridica. Denominamos esta frao de geratriz da dzima peridica.

    Procedimentos para determinao da geratriz de uma dzima:

    Dzima simples

    A geratriz de uma dzima simples uma frao que tem para numerador o perodo e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do perodo.

    Exemplos:

    Dzima Composta :

    A geratriz de uma dzima composta uma frao da forma , onde

    n a parte no peridica seguida do perodo, menos a parte no peridica.

    d tantos noves quantos forem os algarismos do perodo seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte no peridica.

    Exemplos:

  • 52

    Aula.20

    Exerccios

    Simplificando a Expresso :

    obtm-se :

    a) 1,8. b) 1,75. c) 1,5. d) 1,25. e) 1,2.

    (CESPE-Correios)Considere que, das correspondncias que um carteiro deveria entregar em determinado dia, 5/8 foram entregues pela manh, 1/5 tarde e 14 ficaram para ser entregues no dia seguinte. Nessa situao, a quantidade de correspondncias entregue pelo carteiro naquele dia foi igual a

    a) 98.

    b) 112.

    c) 26.

    d) 66.

    e) 82.

    (CESPE Correios)Em determinado dia, todas as correspondncias recebidas na agncia dos Correios da cidade Alfa destinavam-se apenas a moradores dos bairros X, Y e Z. Ao bairro X foi destinada metade das correspondncias recebidas na agncia menos 30 correspondncias; ao bairro Y foi destinada a tera parte das correspondncias restantes, isto , depois de retiradas as do bairro X, e mais 70 correspondncias; o bairro Z recebeu 180 correspondncias.O total de correspondncias recebidas, nesse dia, na agncia dos Correios da cidade Alfa foi

    a) superior a 680 e inferior a 700.

    b) superior a 700 e inferior a 720.

    c) superior a 720.

    d) inferior a 660.

    e) superior a 660 e inferior a 680.

  • 53

    Aula.21

    (VUNESP-TJ) Considere dois nveis salariais apontados em uma pesquisa de mercado para um mesmo cargo, o mnimo (piso) e o mximo (teto).Sabe-se que o dobro do menor somado a 1/5 do maior igual a R$ 3.700,00. Se a diferena entre o nvel mximo e o nvel mnimo igual a R$ 3.100,00, ento o teto salarial para esse cargo de

    a) R$ 4.800,00.

    b) R$ 4.500,00.

    c) R$ 3.800,00.

    d) R$ 3.600,00.

    e) R$ 3.400,00.

    (FCC-TRT) Dispe-se de dois lotes de boletins informativos distintos: um, com 336 unidades, e outro, com 432 unidades. Um tcnico judicirio foi incumbido de empacotar todos os boletins dos lotes, obedecendo as seguintes instrues:

    1. todos os pacotes devem conter a mesma quantidade de boletins;

    2. cada pacote deve ter um nico tipo de boletim.

    Nessas condies, o menor nmero de pacotes que ele poder obter

    a) 12

    b) 16

    c) 18

    d) 24

    e) 32

    (FCC TRT) Sistematicamente, Fbio e Cntia vo a um mesmo restaurante: Fbio a cada 15 dias e Cntia a cada 18 dias. Se em 10 de outubro de 2004 ambos estiveram em tal restaurante, outro provvel encontro dos dois nesse restaurante ocorrer em

    a) 9 de dezembro de 2004.

    b) 10 de dezembro de 2004.

    c) 8 de janeiro de 2005.

    d) 9 de janeiro de 2005.

    e) 10 de janeiro de 2005.

  • 54

    Aula.22

    Propores

    Proporo a igualdade entre duas razes. A proporo entre A/B e C/D a igualdade:

    A

    B =

    C

    D Notas histricas: A palavra proporo vem do latim proportione e significa uma relao entre as partes de uma grandeza, ou seja, uma igualdade entre duas razes. No sculo XV, o matemtico rabe Al-Kassadi empregou o smbolo "..." para indicar as propores e em 1.537, o italiano Niccola Fontana, conhecido por Tartaglia, escreveu uma proporo na forma

    6:3::8:4.

    Regiomontanus foi um dos matemticos italianos que mais divulgou o emprego das propores durante o perodo do Renascimento.

    Propriedade fundamental das propores

    Numa proporo:

    A

    B =

    C

    D os nmeros A e D so denominados extremos enquanto os nmeros B e C so os meios e vale a propriedade: o produto dos meios igual ao produto dos extremos, isto :

    A D = B C

    Exemplo: A frao 3/4 est em proporo com 6/8, pois:

    3

    4 =

    6

    8 Exerccio: Determinar o valor de X para que a razo X/3 esteja em proporo com 4/6.

    Soluo: Deve-se montar a proporo da seguinte forma:

    x

    3 =

    4

    6 Para obter X=2.

  • 55

    Razes e Propores de Segmentos

    Consideremos dois segmentos AB e CD, cujas medidas so dadas, respectivamente, por 2cm e 4cm.

    A________B, C ______________ D

    Comparando os segmentos AB e CD, estabelecemos uma razo entre as suas medidas.

    m(AB)

    m(CD) =

    2

    4 Podemos tambm afirmar que AB est para CD na razo de 1 para 2 ou que CD est para AB na razo de 2 para 1.

    Polgonos Semelhantes

    Dois polgonos so semelhantes se tm ngulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais.

    Exemplo: Sejam os tringulos ABC e RST.

    Observamos que os ngulos correspondentes possuem as mesmas medidas, denotadas aqui por, A~R, B~S, C~T e os lados correspondentes so proporcionais.

    AB/RS=5/(2,5)=2 BC/ST=4/2=2 AC/RT=3/(1,5)=2

    Afirmamos que os polgonos (tringulos) ABC e RST so semelhantes e indicamos isto por :

    ABC ~ DEF

  • 56

    Figuras Semelhantes

    Duas figuras so semelhantes quando elas tm a mesma forma com medidas correspondentes congruentes, ou seja, quando uma uma ampliao ou reduo da outra. Isto significa que existe uma proporo constante entre elas sem ocorrncia de deformao. A figura final e a figura original so chamadas figuras semelhantes.

    As figuras geomtricas so semelhantes quando existe uma igualdade entre as razes dos segmentos que ocupam as correspondentes posies relativas nas figuras.

    Exemplo: Nos tringulos

    observamos que os ngulos correspondentes possuem a mesma medida, ou seja, A=R, B=S e C=T e os lados correspondentes so proporcionais.

    AB/RS = BC/ST = CA/TR = 2

    Assim, os tringulos ABC e DEF so semelhantes e indicamos por:

    ABC ~ DEF

    Exemplo: O mapa do Brasil est em duas escalas diferentes.

    Os dois mapas possuem a mesma forma mas tm tamanhos diferentes. O mapa verde uma ampliao do mapa amarelo ou o mapa amarelo uma reduo do mapa verde.

  • 57

    Aplicaes prticas das razes

    Existem algumas razes especiais muito utilizadas em nosso cotidiano, entre as quais: velocidade mdia, escala, densidade demogrfica e densidade de um corpo.

    1. Velocidade Mdia: A "velocidade mdia", em geral, uma grandeza obtida pela razo entre uma distncia percorrida (expressa em quilmetros ou metros) e um tempo por ele gasto (expresso em horas, minutos ou segundos).

    vmdia = distncia percorrida / tempo gasto

    Exemplo: Suponhamos que um carro de Frmula MAT percorreu 328Km em 2h. Qual foi a velocidade mdia do veculo nesse percurso?

    A partir dos dados do problema, teremos:

    vmdia = 328 Km / 2h = 164 Km/h

    o que significa que a velocidade mdia do veculo durante a corrida foi de 164 Km/h, ou seja, para cada hora percorrida o carro se deslocou 164 Km.

    2. Escala: Uma das aplicaes da razo entre duas grandezas se encontra na escala de reduo ou escala de ampliao, conhecidas simplesmente como escala. Chamamos de escala de um desenho razo entre o comprimento considerado no desenho e o comprimento real correspondente, ambos medidos na mesma unidade.

    escala = comprimento no desenho / comprimento real

    Usamos escala quando queremos representar um esboo grfico de objetos como mveis, plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prdios, mapas, maquetes, etc.

    Exemplo: Observemos as figuras dos barcos:

    Base menor barco azul/Base menor barco vermelho = 2/4 Base maior barco azul/Base maior barco vermelho = 4/8

    Altura do barco azul/Altura do barco vermelho = 3/6 O barco vermelho uma ampliao do barco azul, pois as dimenses do barco vermelho so 2 vezes maiores do que as dimenses do barco azul, ou seja, os lados correspondentes foram reduzidos metade na mesma proporo.

  • 58

    3 Densidade Demogrfica: O clculo da densidade demogrfica, tambm chamada de populao relativa de uma regio considerada uma aplicao de razo entre duas grandezas. Ela expressa a razo entre o numero de habitantes e a rea ocupada em uma certa regio.

    Exemplo: Em um jogo de vlei h 6 jogadores para cada time, o que significa 6 jogadores em cada lado da quadra. Se, por algum motivo, ocorre a expulso de 1 jogador de um time, sendo que no pode haver substituio, observa-se que sobra mais espao vazio para ser ocupado pelo time que tem um jogador expulso. Neste caso, afirmamos que a densidade demogrfica menor na quadra que tem um jogador expulso e maior na outra quadra.

    Exemplo: Um estado brasileiro ocupa a rea de 200.000 Km. De acordo com o censo realizado, o estado tem uma populao aproximada de 12.000.000 habitantes. Assim:

    dens.demogrfica=12.000.000 habitantes/200.000 Km

    densidade demogrfica = 60 habitantes/ Km2

    Isto significa que para cada 1 Km2existem aproximadamente 60 habitantes.

    4 Densidade de um Corpo: Densidade de um corpo mais uma aplicao de razo entre duas grandezas. Assim, a densidade (volumtrica) de um corpo a razo entre a massa desse corpo, medida em Kg ou gramas e o seu volume, medido em m, dm ou qualquer outra unidade de volume.

    Exemplo: Se uma esttua de bronze possui uma densidade volumtrica de 8,75 kg/dm ento para cada dm h uma massa de 8,75 kg.

    Curiosidade:Devido existncia de densidades diferentes, observamos que ao colocarmos corpos diferentes em um recipiente com gua, alguns afundam e outros flutuam.

    Uma bolinha de isopor flutuar na gua enquanto que uma de chumbo, de mesmo volume afundar. Isso ocorre porque a densidade do chumbo maior que a densidade do isopor. Algumas substncias e suas densidades esto na tabela abaixo:

    Substncia Densidade [g/cm]

    madeira 0,5

    gasolina 0,7

    lcool 0,8

    alumnio 2,7

    ferro 7,8

    mercrio 13,6

  • 59

    5 Pi: Uma razo muito famosa: Os egpcios trabalhavam muito com certas razes e descobriram a razo entre o comprimento de uma circunferncia e seu dimetro. Este um fato fundamental pois esta razo a mesma para toda circunferncia. O nome desta razo Pi e seu valor aproximadamente:

    Pi = 3,1415926535

    Exemplo: Se C o comprimento da circunferncia e D a medida do dimetro da circunferncia, temos uma razo notvel:

    C / D = Pi = 3,14159265358979323846264338327950...

    significando que

    C = Pi . D

    Exemplo: Se a medida do raio de uma circunferncia tem 1,5cm ento o permetro da circunferncia igual a 9,43cm.

    Para finalizar, vale estabelecer as seguintes definies:

    Frao uma diviso entre dois nmeros

    Razo uma comparao entre duas grandezas

    Proporo a igualdade entre duas razes

  • 60

    Aula.23 - Diviso de um Nmero em Partes Proporcionais

    Grandezas Proporcionais

    O que estudaremos so grandezas que sejam diretamente ou inversamente proporcionais, embora existam casos em que essas relaes no se observem, e que portanto, no faro parte de nosso estudo.

    1. Grandezas Diretamente Proporcionais

    Duas grandezas so ditas diretamente proporcionais, quando o aumento de uma implica no aumento da outra, quando a reduo de uma implica na reduo da outra, ou seja, o que voc fizer com uma acontecer com a outra.

    Observao necessrio que satisfaa a propriedade destacada.

    Exemplo: Se numa receita de pudim de micro-ondas uso duas latas de leite condensado, 6 ovos e duas latas de leite, para um pudim. Terei que dobrar a quantidade de cada ingrediente se quiser fazer dois pudins, ou reduzir a metade cada quantidade de ingredientes se quiser, apenas meia receita.

    Observe a tabela abaixo que relaciona o preo que tenho que pagar em relao quantidade de pes que pea:

    Preo R$ 0,20 0,40 1,00 2,00 4,00 10,00

    N de pes 1 2 5 10 20 50

    Preo e quantidade de pes so grandezas diretamente proporcionais. Portanto se peo mais pes, pago mais, se peo menos pes, pago menos. Observe que quando dividimos o preo pela quantidade de pes obtemos sempre o mesmo valor.

    Propriedade: Em grandezas diretamente proporcionais, a razo constante.

    2. Grandezas Inversamente Proporcionais

    Duas grandezas so ditas inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica na reduo da outra, quando a reduo de uma implica no aumento da outra, ou seja, o que voc fizer com uma acontecer o inverso com a outra.

    Observao: necessrio que satisfaa a propriedade destacada.

  • 61

    Exemplo: Numa viagem, quanto maior a velocidade mdia no percurso, menor ser o tempo de viagem. Quanto menor for a velocidade mdia, maior ser o tempo de viagem.

    Observe a tabela abaixo que relaciona a velocidade mdia e o tempo de viagem, para uma distncia de 600km.

    Velocidade media(km/h) 60 100 120 150 200 300

    Tempo de viagem(h) 10 6 5 4 3 2

    Velocidade mdia e Tempo de viagem so grandezas inversamente proporcionais, assim se viajo mais depressa levo um tempo menor, se viajo com menor velocidade mdia levo um tempo maior. Observe que quando multiplicamos a velocidade mdia pelo tempo de viagem obtemos sempre o mesmo valor.

    Propriedade: Em grandezas inversamente proporcionais, o produto constante.

    Diviso Proporcional

    Uma GRANDEZA todo valor que pode ser relacionado a um outro certo valor de tal forma que, quando um varia, como consequncia direta o outro valor tambm varia.

    Desta forma, podemos definir uma DIVISO PROPORCIONAL, como uma forma de diviso no qual determinam-se valores que, divididos por quocientes previamente determinados, mantm-se uma razo que no tem variao.

    Diviso Proporcional

    A diviso proporcional pode ser:

    Direta Inversa Direta e Inversa ao mesmo tempo.

  • 62

    Diviso Inversamente Proporcional

    Para decompor um determinado nmero N em duas partes, sejam X e Y, que sejam inversamente proporcionais a X e Y, deve-se decompor este nmero N em duas partes X e Y diretamente proporcionais a 1/x e 1/y, que formam, desta forma, os nmeros inversos.

    Em princpio, a diviso proporcional inversa no existe, pois neste caso, basta inverter os termos da razo para transform-la em uma diviso direta. Assim, por exemplo, para dividir em partes inversamente proporcionais a 1/4 e 2/3 equivale a dividir em partes diretamente proporcionais a 4 e 3/2.

    Exemplos para fixao de definio

    a) Dividir o nmero 50 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3.

    Soluo:

    b) Dividir o nmero 441 em partes inversamente proporcionais a 3,5 e 6.

  • 63

    Aula.24

    Regra da Sociedade.

    Quando temos um nmero sendo divido em partes diretamente proporcionais a dois conjuntos de nmeros, o resultado ser o mesmo que dividir esse nmero em partes proporcionais ao produto desses nmeros.

    Lembrando que se a diviso for diretamente proporcional a um conjunto de nmeros e inversamente ao outro conjunto, o resultado ser o mesmo que dividir esse nmero em partes diretamente proporcionais ao produto do primeiro conjunto pelo inverso do segundo.

    Exemplo : Dividir o nmero 180 em partes diretamente proporcionais aos nmeros 8 e 6 e inversamente proporcionais aos nmeros 2 e 3.

    Exerccios

    1)Qual a razo que igual a 2/7 e cujo antecedente seja igual a 8.

    2)Almejando desenhar uma representao de um objeto plano de 5m de comprimento, usando uma escala de 1:20, qual ser o comprimento no desenho:

  • 64

    3) Em uma sala de aula, a razo de moas para o nmero de rapazes de 5/4. Se o nmero total de alunos desta turma de 45 pessoas, caso exista uma festa quantas moas ficariam sem par ?

    4) (FEDF-95 / Professor Nvel 1) Um copo de suco corresponde a 250 ml.Uma professora fez suco para 48 copos, o que corresponde em litros, a:

    a) 12,0

    b) 15,2

    c) 16,0

    d) 20,4

    e) 24,0

    5) (FUB-94 / Auxiliar Administrativo) Um disco gira a 45 rotaes por minuto. Em 4 segundos, o disco d :

    a) 3 voltas

    b) 5 voltas

    c) 6 voltas

    d) 9 voltas

    e) 12 voltas

  • 65

    6). Repartir uma herana de R$ 495.000,00 entre trs pessoas na razo direta do nmero de filhos e na razo inversa das idades de cada uma delas. Sabe-se que a 1 pessoa tem 30 anos e 2 filhos, a 2 pessoa tem 36 anos e 3 filhos e a 3 pessoa 48 anos e 6 filhos.

    *7). Dois nmeros esto na razo de 2 para 3. Acrescentando-se 2 a cada um, as somas esto na razo de 3 para 5. Ento, o produto dos dois nmeros : a)90 b)96 c)180 d)72 e)-124

    *Est com erro nas respostas

  • 66

    Aula.25

    8). (PUC) Se (2; 3; x; ...) e (8; y; 4; ...) forem duas sucesses de nmeros diretamente proporcionais, ento:

    a) x = 1 e y = 6

    b) x = 2 e y = 12

    c) x = 1 e y = 12

    d) x = 4 e y = 2

    e) x = 8 e y = 12

    9). (FUVEST) So dados trs nmeros reais, a < b < c. Sabe-se que o maior deles a soma dos outros dois e o menor um quarto do maior. Ento a, b e c so, respectivamente, proporcionais a:

    a)1,2 e 3

    b)1,2 e 5

    c)1,3 e 4

    d)1,3 e 6

    e)1,5 e12

    10. (MACK) Dividindo-se 100 em partes diretamente proporcionais a 2 e 4 e inversamente proporcionais a e 2/3 a menor parte :

    a) 35

    b) 40

    c) 60

    d) 50

    e) 28

  • 67

    11. (UFLA) Trs pessoas montam uma sociedade, na qual cada uma delas aplica, respectivamente, R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00. O balano anual da firma acusou um lucro de R$ 40.000,00. Supondo-se que o lucro seja dividido em partes diretamente proporcionais ao capital aplicado, cada scio receber, respectivamente:

    a) R$ 5.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 25.000,00

    b) R$ 7.000,00; R$ 11.000,00 e R$ 22.000,00

    c) R$ 8.000,00; R$ 12.000,00 e R$ 20.000,00

    d) R$ 10.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 20.000,00

    e) R$ 12.000,00; R$ 13.000,00 e R$ 15.000,00

    12(ESAF-2005)- Um indivduo fazendo clculos chegou dzima 5,48383....

    Obtenha o nmero racional p/q que representa esta dzima.

    a) Tal nmero no existe porque esta dzima corresponde a um nmero irracional.

    b) p=5483, q=990.

    c) p=5483-54=5429, q=999.

    d) p=5483-54=5429, q=900.

    e) p=5483-54=5429, q=990.

    13(ESAF- 2003) Um municpio colheu uma produo de 9.000 toneladas de milho em gro em uma rea plantada de 2.500 hectares. Obtenha a produtividade mdia do municpio em termos de sacas de 60 kg colhidas por hectare.

    a) 50

    b) 60

    c) 72

    d) 90

    e) 100

  • 68

    Aula.26 - Regra de Trs

    Regra de Trs

    Consta na histria da matemtica que os gregos e os romanos conhecessem as propores, porem no chegaram a aplica-las na resoluo de problemas.

    Na idade mdia, os rabes revelaram ao mundo a regra de trs. Nos sculo XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princpios dessa regra em seu livro Lber Abaci, com o nome de Regra de Trs Nmeros Conhecidos.

    Regra de trs simples

    Regra de trs simples um processo prtico para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos trs deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos trs j conhecidos.

    Passos utilizados numa regra de trs simples

    Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espcie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espcies diferentes em correspondncia.

    Identificar se as grandezas so diretamente ou inversamente proporcionais.

    Montar a proporo e resolver a equao.

    Exemplos:

    a) Se 8m de tecido custam 156 reais, qual o preo de 12m do mesmo tecido?

    Observe que as grandezas so diretamente proporcionais, aumentando o metro do tecido aumenta na mesma proporo o preo a ser pago

    Observe que o exerccio foi montado respeitando o sentido das setas.

    Macete : X ser igual a razo onde no denominador estar o oposto ao X e no numerador o produto dos outros valores.

    Assim teramos :

    X =( 12 x 156 )/8 = 234,00

    A quantia a ser paga de R$234,00.

  • 69

    b) Um carro, velocidade de 60km/h, faz certo percurso em 4 horas.

    Se a velocidade do carro fosse de 80km/h, em quantas horas seria feito o mesmo percurso?

    Observe que as grandezas so inversamente proporcionais, aumentando a velocidade o tempo diminui na razo inversa.

    Resoluo:

    Observe que o exerccio foi montado respeitando os sentidos das setas.

    Macete : X ser igual a razo onde no denominador estar o valor da mesma linha de X e no numerador o produto dos outros valores.

    Assim teramos :

    X =(60 x 40 )/80 = 3

    O tempo a ser gasto 3 horas.

    Regra de Trs Composta

    A regra de trs composta utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

    Exemplo:

    a)Em 8 horas, 20 caminhes descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhes sero necessrios para descarregar 125m3?

    Aumentando o nmero de horas de trabalho, podemos diminuir o nmero de caminhes. Portanto a relao inversamente proporcional

    (seta para cima na 1 coluna).

    Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o nmero de caminhes.

    Portanto a relao diretamente proporcional (seta para baixo na 3 coluna).

  • 70

    Devemos igualar a razo que contm o termo x com o produto das outras razes de acordo com o sentido das setas.

    Resoluo:

    Macete : Identificar as grandezas que so diretamente ou inversamente proporcionais ao valor procurado X , e X ser obtido aplicando as mesmas regras anteriores. Ou seja no denominador o produto dos termos opostos a X para o caso das grandezas diretamente proporcionais e os termos da mesma linha de X para as grandezas inversamente proporcionais e no numerador o produto dos outros valores.

    Assim teramos :

    X =(20 x 125 x 8)/(160 x 5 ) = 25 caminhes.

  • 71

    Aula.27

    Exerccios sobre Regra de Trs

    01 Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo so necessrios para fabricar 28 kg de farinha?

    02 Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de fub. Quantas sacas de 60 kg de fub podemos obter com 1 200 kg de milho ?

    03 Sete litros de leite do 1,5 quilos de manteiga. Quantos litros de leite sero necessrios para se obterem 9 quilos de manteiga ?

    04 Em um banco, contatou-se que um caixa leva, em mdia, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes ?

    05 Paguei R$ 6,00 por 1.250 kg de uma substncia. Quanto pagaria por 0,750 kg dessa mesma substncia?

    06 Seis mquinas escavam um tnel em 2 dias. Quantas mquinas idnticas sero necessrias para escavar esse tnel em um dia e meio?

    07 Uma fonte fornece 39 litros de gua em 5 minutos. Quantos litros fornecer em uma hora e meia ?

    08 Abrimos 32 caixas e encontramos 160 bombons. Quantas caixas iguais necessitamos para obter 385 bombons ?

    09 Um automvel percorre 380 km em 5 horas. Quantos quilmetros percorrer em 7 horas, mantendo a mesma velocidade mdia ?

    10 Um automvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos litros de gasolina gastar para percorrer 120 km ?

    11 Uma torneira despeja 30 litros de gua a cada 15 minutos. Quanto tempo levar para encher um reservatrio de 4m3 de volume?

  • 72

    12 Um relgio adianta 40 segundos em 6 dias. Quantos minutos adiantar em 54 dias ?

    13 Um relgio atrasa 3 minutos a cada 24 horas.

    a) Quantos minutos atrasar em 72 horas ?

    b) Quantos minutos atrasar em 18 dias ?

    c) Quantos dias levar para o relgio ficar atrasado 45 minutos ?

    14 Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova foto tenha 10,5 m de largura. Qual ser o comprimento da foto ampliada?

    15 Uma foto mede 2,5 cm por 3,5 cm e se quer ampli-la de tal maneira que o lado maior mea 14 cm. Quanto deve medir o lado menor da foto ampliada ?

    16 Duas piscinas tm o mesmo comprimento, a mesma largura e profundidades diferentes. A piscina A tem 1,75 m de profundidade e um volume de gua de 35 m3. Qual o volume de gua da piscina B, que tem 2 m de profundidade?

    17 Uma roda de automvel d 2750 voltas em 165 segundos. Se a velocidade permanecer constante, quantas voltas essa roda dar em 315 segundos?

    18 A combusto de 48 g de carbono fornece 176 gs carbnico. A combusto de 30 g de carbono fornece quantos gramas de gs carbnico?

    19 Num mapa, a distncia Rio-Bahia, que de 1.600 km, est representada por 24 cm. A quantos centmetros corresponde, nesse mapa, a distncia Braslia-Salvador, que de 1200 km?

    20 Sabendo-se que, para cada 5 fitas de msica brasileira, tenho 2 fitas de msica estrangeira, quantas fitas de msica brasileira eu tenho se possuo 22 fitas estrangeiras ?

    21 Duas piscinas tm a mesma largura e a mesma profundidade e comprimentos diferentes. Na piscina que tem 8 m de comprimento, a quantidade de gua que cabe na piscina de 45.000 litros. Quantos litros de gua cabem na piscina que tem 10 m de comprimento ?

    22 Em uma prova de valor 6, Cristina obteve a nota 4,8. Se o valor da prova fosse 10, qual seria a nota obtida por Cristina?

  • 73

    23 Uma vara de 3 m em posio vertical projeta uma sombra de 0,80 m. Nesse mesmo instante, um prdio projeta uma sombra de 2,40 m. Qual a altura do prdio ?

    24 Uma tbua de 2 m, quando colocada verticalmente, produz uma sombra de 80 cm. Qual a altura de um edifcio que, no mesmo instante, projeta uma sombra de 12 m ?

    25 Uma tbua com 1,5 m de comprimento foi colocada verticalmente em relao ao cho e projetou urna sombra de 53 cm. Qual seria a sombra projetada no mesmo instante por um poste que tem 10,5 m de altura?

    26 Se 3/7 da capacidade de um reservatrio correspondem a 8.400 litros, a quantos litros correspondem 2/5 da capacidade do mesmo tanque?

    27 Uma circunferncia, com 8 cm de dimetro, tem 25,1 cm de comprimento. Qual o comprimento de outra circunferncia que tem 14 cm de dimetro ?

    28 Uma folha de alumnio tem 400 cm2 de rea e tem uma massa de 900 g. Qual ser, em g, a massa de uma pea quadrada, da mesma folha de alumnio, que tem 40 cm de lado? ( Determine a rea da pea quadrada ).

    29 Para azulejar uma parede retangular, que tem 6,5 m de comprimento por 3 m de altura, foram usados 390 azulejos. Quantos azulejos iguais a esses seriam usados para azulejar uma parede que tem 15 m2 de rea?

    30 Sabe-se que 100 graus aferidos na escala Celsius (100C) correspondem a 212 graus aferidos na escala Fahrenheit (212F). Em Miami, nos Estados Unidos, uma temperatura, lida no termmetro Fahrenheit, registrou 84,8 graus. Qual a temperatura correspondente se lida no termmetro Celsius?

    31 Com 4 latas de tinta pintei 280 m2 de parede. Quantos metros quadrados poderiam ser pintados com 11 latas dessa tinta?

    32 Um corredor de Frmula 1 manteve, em um treino, a velocidade mdia de 153 km/h. Sabendo-se que 1 h = 3 600 s, qual foi a velocidade desse corredor em m/s ?

    33 A velocidade de um mvel de 30m/s, Qual ser sua velocidade em km/h ?

  • 74

    34 Para fazer um recenseamento, chegou-se seguinte concluso: para visitar 102 residncias, necessrio contratar 9 recenseadores. Numa regio em que existem 3 060 residncias, quantos recenseadores precisam ser contratados ?

    35 O ponteiro de um relgio de medio funciona acoplado a uma engrenagem, de modo que 4 voltas completas da engrenagem acarretam uma volta completa no mostrador do relgio. Quantas voltas completas, no mostrador do relgio, o ponteiro d quando a engrenagem d 4.136 voltas ?

    36 O ponteiro menor de um relgio percorre um ngulo de 30 graus em 60 minutos. Nessas condies, responda :

    a) Quanto tempo ele levar para percorrer um ngulo de 42 graus ?

    b) Se O relgio foi acertado s 12 horas ( meio-dia ), que horas ele estar marcando?

    37 Uma rua tem 600 m de comprimento e est sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltados 180 m da rua Supondo-se que o ritmo de trabalho continue o mesmo, em quantos dias o trabalho estar terminado?

    38 Um muro dever ter 49 m de comprimento. Em quatro dias, foram construdos 14 m do muro. Supondo-se que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, em quantos dias ser construdo o restante do muro?

    39 Um automvel percorreu uma distncia em 2 horas, velocidade mdia de 90 km por hora. Se a velocidade mdia fosse de 45 km por hora, em quanto tempo o automvel faria a mesma distncia?

    40 Com a velocidade de 75 km/h, um nibus faz percurso em 40 minutos. Devido a um pequeno congestionamento, esse nibus fez o percurso de volta em 50 minutos. Qual a velocidade mdia desse nibus no percurso de volta?

    41 Para transportar material bruto para uma construo, foram usados 16 caminhes com capacidade de 5 cm3 cada um. Se a capacidade de cada caminho fosse de 4 cm3, quantos caminhes seriam necessrios para fazer o mesmo servio ?

    42 Com o auxlio de uma corda, que julgava ter 2 m de comprimento, medi o comprimento de um fio eltrico e encontrei 40 m. Descobri, mais tarde, que a corda media na realidade, 2,05 m. Qual o comprimento verdadeiro do fio?

  • 75

    43 Com uma certa quantidade de arame pode.se fazer uma tela de 50 m de comprimento por 1,20 m de largura. Aumentando-se a largura em 1,80 m, qual ser o comprimento de uma outra tela feita com a mesma quantidade de arame da tela anterior ?

    44 Para construir a cobertura de uma quadra de basquete, 25 operrios levaram 48 dias. Se fosse construda uma cobertura idntica em outra quadra e fossem contratados 30 operrios de mesma capacidade que os primeiros, em quantos dias a cobertura estaria pronta ?

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