Upload
truongngoc
View
223
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
Wykład 1
Literatura: `
M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych.
M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1.
M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2.
W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2.
Pomocnicze symbole.
Spójniki logiczne:
i
lub
jeżeli to
wtedy i tylko wtedy gdy
Symbole kwantyfikatorów:
ogólny (dla każdego)
np. Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny.
02
xRx
szczególny ( istnieje )
np. Nierówność x2-9>0 ma rozwiązanie.
092
xRx
Funkcje jednej zmiennej.
Podstawowe definicje.
Def.1
Funkcją rzeczywistą określoną na zbiorze XR o wartościach ze zbioru YR
nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi xX dokładnie jednego
elementu yY.
Oznaczenie: f: XY, y=f(x),
Def.2.
Dziedziną funkcji f:XY nazywamy zbiór X i oznaczamy Df.
Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną.
Z kolei zbiór nazywamy zbiorem wartości funkcji f i oznaczamy
Wf.
Def.3.
Wykresem funkcji f, f: XY nazywamy zbiór
.
Wybrane własności funkcji
Def.4.
Funkcja f: XR jest okresowa jeżeli istnieje taka wartość T0, że
(x+T)X oraz f(x)=f(x+T).
Inaczej
)()(0
xfTxfXTxXxT
Def.5.
Funkcja f: XR jest parzysta jeżeli
)()( xfxfXxXx
.
Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi Oy.
Funkcja f: XR jest nieparzysta jeżeli
)()( xfxfXxXx
.
Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem punktu (0,0).
Def.6.
Funkcja f jest rosnąca na zbiorze ADf , jeżeli
)()( 2121, 21
xfxfxxAxx
.
Def.7
Funkcja f jest malejąca na zbiorze ADf , jeżeli
)()( 2121, 21
xfxfxxAxx
.
Def.8.
Niech X, Y, Z, W będą podzbiorami zbioru R przy czym YZ oraz niech f: XY, g:
ZW.
Złożeniem funkcji g i f nazywamy funkcję g f: XW określoną wzorem:
.
Def.9.
Funkcja f jest różnowartościowa na zbiorze ADf jeżeli
)()( 2121, 21
xfxfxxAxx
Lub
2121,
()(21
xxxfxfAxx
Uwaga:
Jeżeli funkcja jest rosnąca lub malejąca na zbiorze A to jest na nim
różnowartościowa.
Def.10.
Niech funkcja f: XY będzie różnowartościowa na swojej dziedzinie . Funkcję
odwrotną do f nazywamy funkcję f-1:YX określoną przez warunek:
Wykres funkcji odwrotnej x=f-1(y) otrzymujemy z wykresu funkcji y=f(x)
odwzorowując go symetrycznie względem prostej y=x.
Funkcja odwrotna do funkcji rosnącej także jest rosnąca.
Funkcja odwrotna do funkcji malejącej także jest malejąca.
Def.11.
Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje:
stałe, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i
cyklometryczne.
Funkcje, które można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych za
pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji złożenia funkcji
nazywamy funkcjami elementarnymi.
Przegląd funkcji elementarnych.
Funkcja stała
wykresem jest prosta równoległa do osi Ox
Funkcja liniowa
a-współczynnik kierunkowy
a>0 funkcja rosnąca
a<0 funkcja malejąca
Funkcja kwadratowa
Wyróżnik:
brak miejsc zerowych
Postać iloczynowa:
Postać kanoniczna:
,
Wykresem jest parabola, -to wierzchołek paraboli
Wielomian W(x)
n- stopień wielomianu,
miejsca zerowe W(x)=0
Równanie algebraiczne:
W(x)=0 tzn.
Tw.( Bézouta).
Liczba a jest pierwiastkiem równania jeżeli wielomian W(x) jest podzielny
przez dwumian (x-a).
Tw.
Jeżeli liczba wymierna
(ułamek nieskracalny) jest pierwiastkiem
równania algebraicznego o współczynnikach całkowitych (przy czym
ana00) to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a0, a q jest dzielnikiem
współczynnika an.
Wniosek:
Pierwiastków całkowitych równania algebraicznego o współczynnikach
całkowitych wystarczy szukać wśród dzielników wyrazu wolnego a0.
Schemat Hornera:
anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0= (x-x0)( bn-1 xn-1+bn-2xn-2+...+b1x+b0)
gdzie współczynniki bi wyznaczamy w tabeli:
an an-1 an-2 ... a1 a0
x0 bn-1=an bn-2=x0bn-1+an-1 bn-3=x0bn-2+an-2 b0=x0∙b1+a1 x0b0+a0=0
Uwaga:
Jeśli w ostatniej kolumnie wartość jest różna od 0
to x0 nie jest pierwiastkiem wielomianu
Funkcja wymierna
, to wielomiany o różnych miejscach zerowych
Ułamki proste:
I rodzaju
II rodzaju
, dla trójmianu w mianowniku