CAPITULO 6Variables AleatoriasMULTIVARIADAS

Estadstica Computacional

Distribuciones Multivariantes Sea X = (X1, X2,..., Xk) vector aleatorio PX : Bk R caracterizada por FX , fX (discreta, continua, mixta).

Consideremos k=2 :

: funcin de Distribucin conjunta X=(X1,X2)

: funcin de densidad (cuanta)

FXi(xi): funcin de Distribucin marginal de Xi, i=1,2

fXi(xi): funcin de densidad marginal i=1,2

Distribuciones Multivariantes

Distribuciones Multivariantes

Sea X = ( X1, X2) vector aleatorio discreto, con Xi variable aleatoria que representa el nmero de fallas del turno i. La siguiente tabla nos proporciona la funcin de cuanta conjunta: 0 1 2

00,10,20,2

10,040,080,08

20,060,120,12Ejemplos de Vectores Aleatorios Discretos

1. Determinar las cuantas marginales

2. Determine las cuantas condicionales

Ejemplos de Vectores Aleatorios Discretos

Solucin1. Cuantas marginales

2. Cuantas condicionales

Solucin

Obtenga adems:

1.

2.

3.

Nota

Ejemplo de vectores aleatorios continuosSea X = (X1, X2) vector aleatorio continuo, con densidad:

Calcular:

Solucin

Solucin

Sea X vector aleatorio continuo con densidad conjunta , y sea con g: D R2 R2 funcin vectorial. Si se cumple:

D conjunto abierto:g es una transformacin invertible con derivadas parciales continuas

Existe

En tal caso

Transformaciones de Vectores Aleatorios

Sea X = ( X1 , X2 )vector aleatorio y sea funcin de densidad marginal de X2.

Adems, sea M = { x2 : } y sea g : D R R.

Consideremos : M R / (X2) = E[g(X1)/X2]. se llama funcin de regresin de g(X1) en X2.Funcin de Regresin

Propiedades:

1.

2.

3.

Entonces:

Funcin de Regresin

Sean X1 , X2 v.a.c. y

sean tambin

Encontrar:

1.

2.

3.

4. Es y1 y2 ?

Ejemplo de Transformaciones

X1 , X2 ]0,1[ X12=Y1Y2 X22=Y2/Y1

Con Y1>0 ; Y2>0 ; Y1Y2

1.

2.

3.

Solucin

4.

no son independientes

Solucin

Sean X , Y v.a. y , C R

Esperanza y Varianza

Sean X , Y v.a. y , C REsperanza y Varianza

Sean X1, X2,..., Xn v.a.independientes:

En general para X1, X2,..., Xn v.a.cualesquiera:Esperanza y Varianza

Distribucin (Binomial):

n , p=p1 , q=1-p=p2Ejemplos de Distribuciones ContinuasEjemplos de Distribuciones Multivariadas

Distribucin (Polinomial): n , p1, p2,..., pkEjemplos de Distribuciones Multivariadas

Distribucin Normal (Bivariada):X N(,)

o bien

AdemsEjemplos de Distribuciones Multivariadas

Las probabilidades de que cierta lmpara de un modelo de proyector dure menos de 40 horas, entre 40 y 80 horas, y ms de 80 horas de uso interrumpido son 0.3 ; 0.5 y 0.2 respectivamente. Calcular la probabilidad de que entre 8 de tales lmparas, 2 duren menos de 40 horas; cinco duren entre 40 y 80 horas, y una dure ms de 80 horas.Ejemplo de Distribuciones Multinomial

Solucin:n=8 ; p1=0,3 ; p2=0,5 ; p3=0,2x1=2 ; x2=5 ; x3=1Ejemplo de Distribuciones Multinomial

Propiedades Normal Bivariada

Anlogamente se tiene que:

Propiedades Normal Bivariada

Dos elementos (X,Y) se distribuyen como N ( , ), siendo :

Al analizar un elemento se observa que contiene 6 gramos de X.

- Cul es el valor ms probable de Y?Aplicacin Normal Bivariada

La respuesta consiste en encontrar:

gramos

Solucin

Una lnea elctrica se avera cuando la tensin sobrepasa la capacidad de la lnea. Si la tensin se distribuye como N ( 100 ; 20 ) y la capacidad como N ( 140 ; 10 ), calcular la probabilidad de avera, suponiendo independencia.Problema de Tarea