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CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

Variables Aleatorias Multivariadas

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Variables Aleatorias

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  • CAPITULO 6Variables AleatoriasMULTIVARIADAS

    Estadstica Computacional

  • Distribuciones Multivariantes Sea X = (X1, X2,..., Xk) vector aleatorio PX : Bk R caracterizada por FX , fX (discreta, continua, mixta).

    Consideremos k=2 :

    : funcin de Distribucin conjunta X=(X1,X2)

    : funcin de densidad (cuanta)

    FXi(xi): funcin de Distribucin marginal de Xi, i=1,2

    fXi(xi): funcin de densidad marginal i=1,2

  • Distribuciones Multivariantes

  • Distribuciones Multivariantes

  • Sea X = ( X1, X2) vector aleatorio discreto, con Xi variable aleatoria que representa el nmero de fallas del turno i. La siguiente tabla nos proporciona la funcin de cuanta conjunta: 0 1 2

    00,10,20,2

    10,040,080,08

    20,060,120,12Ejemplos de Vectores Aleatorios Discretos

  • 1. Determinar las cuantas marginales

    2. Determine las cuantas condicionales

    Ejemplos de Vectores Aleatorios Discretos

  • Solucin1. Cuantas marginales

  • 2. Cuantas condicionales

    Solucin

  • Obtenga adems:

    1.

    2.

    3.

    Nota

  • Ejemplo de vectores aleatorios continuosSea X = (X1, X2) vector aleatorio continuo, con densidad:

    Calcular:

  • Solucin

  • Solucin

  • Sea X vector aleatorio continuo con densidad conjunta , y sea con g: D R2 R2 funcin vectorial. Si se cumple:

    D conjunto abierto:g es una transformacin invertible con derivadas parciales continuas

    Existe

    En tal caso

    Transformaciones de Vectores Aleatorios

  • Sea X = ( X1 , X2 )vector aleatorio y sea funcin de densidad marginal de X2.

    Adems, sea M = { x2 : } y sea g : D R R.

    Consideremos : M R / (X2) = E[g(X1)/X2]. se llama funcin de regresin de g(X1) en X2.Funcin de Regresin

  • Propiedades:

    1.

    2.

    3.

    Entonces:

    Funcin de Regresin

  • Sean X1 , X2 v.a.c. y

    sean tambin

    Encontrar:

    1.

    2.

    3.

    4. Es y1 y2 ?

    Ejemplo de Transformaciones

  • X1 , X2 ]0,1[ X12=Y1Y2 X22=Y2/Y1

    Con Y1>0 ; Y2>0 ; Y1Y2

  • 1.

    2.

    3.

    Solucin

  • 4.

    no son independientes

    Solucin

  • Sean X , Y v.a. y , C R

    Esperanza y Varianza

  • Sean X , Y v.a. y , C REsperanza y Varianza

  • Sean X1, X2,..., Xn v.a.independientes:

    En general para X1, X2,..., Xn v.a.cualesquiera:Esperanza y Varianza

  • Distribucin (Binomial):

    n , p=p1 , q=1-p=p2Ejemplos de Distribuciones ContinuasEjemplos de Distribuciones Multivariadas

  • Distribucin (Polinomial): n , p1, p2,..., pkEjemplos de Distribuciones Multivariadas

  • Distribucin Normal (Bivariada):X N(,)

    o bien

    AdemsEjemplos de Distribuciones Multivariadas

  • Las probabilidades de que cierta lmpara de un modelo de proyector dure menos de 40 horas, entre 40 y 80 horas, y ms de 80 horas de uso interrumpido son 0.3 ; 0.5 y 0.2 respectivamente. Calcular la probabilidad de que entre 8 de tales lmparas, 2 duren menos de 40 horas; cinco duren entre 40 y 80 horas, y una dure ms de 80 horas.Ejemplo de Distribuciones Multinomial

  • Solucin:n=8 ; p1=0,3 ; p2=0,5 ; p3=0,2x1=2 ; x2=5 ; x3=1Ejemplo de Distribuciones Multinomial

  • Propiedades Normal Bivariada

  • Anlogamente se tiene que:

    Propiedades Normal Bivariada

  • Dos elementos (X,Y) se distribuyen como N ( , ), siendo :

    Al analizar un elemento se observa que contiene 6 gramos de X.

    - Cul es el valor ms probable de Y?Aplicacin Normal Bivariada

  • La respuesta consiste en encontrar:

    gramos

    Solucin

  • Una lnea elctrica se avera cuando la tensin sobrepasa la capacidad de la lnea. Si la tensin se distribuye como N ( 100 ; 20 ) y la capacidad como N ( 140 ; 10 ), calcular la probabilidad de avera, suponiendo independencia.Problema de Tarea