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CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

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Page 1: CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

CAPITULO 6Variables Aleatorias

MULTIVARIADAS

Estadística Computacional

Page 2: CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

Distribuciones MultivariantesDistribuciones Multivariantes

Sea X = (X1, X2,..., Xk) vector aleatorio PX : Bk R caracterizada por FX , fX (discreta, continua, mixta).

Consideremos k=2 :

: función de Distribución conjunta X=(X1,X2)

: función de densidad (cuantía)

FXi(xi): función de Distribución marginal de Xi, i=1,2

fXi(xi): función de densidad marginal i=1,2

),( 21Xf xx

),( 21XF xx

Page 3: CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

022

21221 2

2

)()(

),()/( xfsi

xf

xxfxXXf X

X

X

)()(),( 212121 21xfxfxxfXX XXX

),( 21 XEXEXE

)()( XEXXEXE TX

Distribuciones MultivariantesDistribuciones Multivariantes

Page 4: CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

))((),cov( 221121 XEXXEXEXX

)(

),cov(),(

21

2121

XVXV

XXXX

02121 ),cov( XXXX

212121 0 XEXEXXEXX ),(

Distribuciones MultivariantesDistribuciones Multivariantes

Page 5: CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

Sea X = ( X1, X2) vector aleatorio discreto, con Xi variable aleatoria que representa el número de fallas del turno i. La siguiente tabla nos proporciona la función de cuantía conjunta:

0 1 2

0 0,1 0,2 0,2

1 0,04 0,08 0,08

2 0,06 0,12 0,12

2

1

X

X

Ejemplos de Vectores Aleatorios DiscretosEjemplos de Vectores Aleatorios Discretos

Page 6: CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

1. Determinar las cuantías marginales

2. Determine las cuantías condicionales

)/( 212 XXf)/( 121 XXf

21 XX ff

Ejemplos de Vectores Aleatorios DiscretosEjemplos de Vectores Aleatorios Discretos

Page 7: CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

SolucióSoluciónnSolucióSoluciónn

1. Cuantías marginales1. Cuantías marginales

240

140

020

1

1

1

11

x

x

x

xf X

;,

;,

;,

)(

230

120

050

2

2

2

22

x

x

x

xf X

;,

;,

;,

)(

Page 8: CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

2. Cuantías condicionales

240040

140040

020040

11

1

1

2

211

2

21

x

x

x

xfxxf

fX

XX

;,/,

;,/,

;,/,

)(),(

/

240120

140080

04020

22

2

2

1

212

1

12

x

x

x

xfxxf

fX

XX

;,/,

;,/,

;,/,

)(),(

/

SolucióSoluciónnSolucióSoluciónn

Page 9: CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

Obtenga además:Obtenga además:

1. 1.

2.2.

3.3.

1XE

),( 21 XX

212 XXV /

NotaNotaNotaNota

Page 10: CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

Ejemplo de vectores aleatorios continuosEjemplo de vectores aleatorios continuos

Sea X = (X1, X2) vector aleatorio continuo, con densidad:

Calcular:

),()(3

2),( 211,0x2121

1 xxIexxxxfR

x

X

),( 21 XX

Page 11: CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

0

1

0

21212

11 35

32

1 dxdxexxxXE x)(

0

1

0

2122

13

12

1 314

32

1 dxdxexxxXE x)(

0

1

0

212

2212 95

32

1 dxdxexxxXE x)(

0

1

0

213

22

212

2 187

32

1 dxdxexxxXE x)(

SolucióSoluciónnSolucióSoluciónn

Page 12: CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

0

1

0

212

2122

121 98

32

1 dxdxexxxxXXE x)(

16213

2 XV 9

171 XV

0951,0),cov(

),(21

2121

XVXV

XXXX

SolucióSoluciónnSolucióSoluciónn

Page 13: CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

Sea X vector aleatorio continuo con densidad conjunta , y sea con g: D R2 R2 función vectorial. Si se cumple:

D conjunto abierto:g es una transformación invertible con derivadas parciales continuas

Existe

En tal caso

Xf )(xgy

1)(DP X

021

21 J

xxgg

J /),(),(

),(),(),( )( 21

1

2121 yyIJxxfyyf DgXy

Transformaciones de Vectores Transformaciones de Vectores AleatoriosAleatoriosTransformaciones de Vectores Transformaciones de Vectores AleatoriosAleatorios

Page 14: CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

Sea X = ( X1 , X2 )vector aleatorio y sea función de densidad marginal de X2.

Además, sea M = { x2 : } y sea g : D R R.

Consideremos : M R / (X2) = E[g(X1)/X2]. se llama función de regresión de g(X1) en X2.

)( 22xf X

022)(xf X

Función de RegresiónFunción de Regresión

Page 15: CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

Propiedades:

1.

2.

3.

Entonces:

2121 XXYY ACAC

212121 XEXXEEXEXXEE //

12122 XXEVXXVEXV //

RDCBADCXYBAXY ,,,2211

Función de RegresiónFunción de Regresión

Page 16: CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

Sean X1 , X2 v.a.c. y

sean también

Encontrar:

1.

2.

3.

4. ¿ Es y1 y2 ?

212211 XXYXXY ,/

),( 21 yyfY

)( 22yfY

21 YYf /

),(),(, 21102121 24 xxIxxxxf X

Ejemplo de TransformacionesEjemplo de Transformaciones

Page 17: CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

X1 , X2 ]0,1[ X12=Y1Y2 X2

2=Y2/Y1

Con Y1>0 ; Y2>0 ; Y1Y2<1 ; Y2/Y1<1

Sean Y1= g1(x1 , x2) Y2= g2(x1 , x2)X1= h1(x1 , x2) X2= h2(x1 , x2)

12212

2111

21

21

1

21

21

21yyhyh

yhyh

yyhh

xxgg

),(),(

),(),(

SolucióSoluciónnSolucióSoluciónn

Page 18: CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

1.

2.

3.

),(),(),(, 2110

1

2121 2 yyIJxxfyyfgXy

),()( 211

22 yyIyy

Sg

2

2

2

2

2

1

1

12

1

1212 2y

y

y

yYY y

dyydyyyfyf

//

),()(

104 21

22 yyy ln

)(),(

/2

21

2

21 yfyyf

fY

YY

SolucióSoluciónnSolucióSoluciónn

Page 19: CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

4.

no son independientes

1 1

1

0

1

0

21

22

1

21 22

y y

Y dyyy

dyyy

yf )(

)()( ,, 1131

1101

1yI

yyIy

212121 YYyfyfyyf ,)()(),(

SolucióSoluciónnSolucióSoluciónn

Page 20: CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

Sean X , Y v.a. y , C R

XE

XEXEX

YEXEYXE

YEXEXYE

Esperanza y Esperanza y VarianzaVarianza

Esperanza y Esperanza y VarianzaVarianza

Page 21: CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

Sean X , Y v.a. y , C R 0V

XVXV 2

XVCXV

YXsiYVXVYXV

),cov( YXYVXVYXV 2

Esperanza y Esperanza y VarianzaVarianza

Esperanza y Esperanza y VarianzaVarianza

Page 22: CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

Sean X1, X2,..., Xn v.a.independientes:

En general para X1, X2,..., Xn v.a.cualesquiera:

n

ii

n

ii XEXE

11

n

ii

n

ii XVXV

11

n

ii

n

ii XEXE

11

jijiji

n

iii

n

iii XXXEXV ),cov( 2

1

2

1

Esperanza y Esperanza y VarianzaVarianza

Esperanza y Esperanza y VarianzaVarianza

Page 23: CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

Distribución (Binomial):

n , p=p1 , q=1-p=p2

),(!!

!),( 2121

2121

21 xxIppxx

nxxf xx

X nxxx ii 0:

Ejemplos de Distribuciones ContinuasEjemplos de Distribuciones ContinuasEjemplos de Distribuciones ContinuasEjemplos de Distribuciones Continuas

Ejemplos de Distribuciones Ejemplos de Distribuciones MultivariadasMultivariadas

Ejemplos de Distribuciones Ejemplos de Distribuciones MultivariadasMultivariadas

Page 24: CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

Distribución (Polinomial): n , p1, p2,..., pk

),..,(...!

!),...,,( k

xk

xx

k

ii

kX xxIpppx

nxxxf k

121

1

2121

nxxx ii 0:

),...,,( knpnpnpXE 21

)(

)(

kkk

k

X

pnppnp

pnppnppnp

1

1

1

12111

Ejemplos de Distribuciones Ejemplos de Distribuciones MultivariadasMultivariadas

Ejemplos de Distribuciones Ejemplos de Distribuciones MultivariadasMultivariadas

Page 25: CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

Distribución Normal (Bivariada): X N(,)

o bien

Además

)()(),(

xx

X

T

exxf1

2

1

21212

1

2

22

1

112

2

222

1

112

212

1

221 12

1

xxxx

e)(

)( 21XE XVX

2221

212

1

Ejemplos de Distribuciones Ejemplos de Distribuciones MultivariadasMultivariadas

Ejemplos de Distribuciones Ejemplos de Distribuciones MultivariadasMultivariadas

Page 26: CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

Las probabilidades de que cierta lámpara de un modelo de proyector dure menos de 40 horas, entre 40 y 80 horas, y más de 80 horas de uso interrumpido son 0.3 ; 0.5 y 0.2 respectivamente. Calcular la probabilidad de que entre 8 de tales lámparas, 2 duren menos de 40 horas; cinco duren entre 40 y 80 horas, y una dure más de 80 horas.

Ejemplo de Distribuciones MultinomialEjemplo de Distribuciones MultinomialEjemplo de Distribuciones MultinomialEjemplo de Distribuciones Multinomial

Page 27: CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

Solución:n=8 ; p1=0,3 ; p2=0,5 ; p3=0,2

x1=2 ; x2=5 ; x3=1

321

3213

1

332211xxx

ii

pppx

nxXxXxXP

!

!);;(

09450205030152

8 152 ,),(),(),(!!!

!

Ejemplo de Distribuciones MultinomialEjemplo de Distribuciones MultinomialEjemplo de Distribuciones MultinomialEjemplo de Distribuciones Multinomial

Page 28: CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

),( 21 XX

),()( 21111

Nxf X

),()( 22222

Nxf X

))();(()/( 22122

2

1121 1

xNXXf

21 XXE / 21 XXV /

Propiedades Normal Propiedades Normal BivariadaBivariada

Propiedades Normal Propiedades Normal BivariadaBivariada

Page 29: CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

Análogamente se tiene que:

))();(()/( 22211

1

2212 1

xNXXf

12 XXE / 12 XXV /

Propiedades Normal Propiedades Normal BivariadaBivariada

Propiedades Normal Propiedades Normal BivariadaBivariada

Page 30: CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

Dos elementos (X,Y) se distribuyen como N ( , ), siendo :

Al analizar un elemento se observa que contiene 6 gramos de X.

- ¿Cuál es el valor más probable de Y?

6

4

2

801 .

Aplicación Normal BivariadaAplicación Normal BivariadaAplicación Normal BivariadaAplicación Normal Bivariada

Page 31: CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

La respuesta consiste en encontrar:

gramos

6xyE /

676 11

22 ,)(/

xxyE

72216 222 ,)(/ xyV

SolucióSoluciónnSolucióSoluciónn

Page 32: CAPITULO 6 Variables Aleatorias MULTIVARIADAS Estadística Computacional

Una línea eléctrica se avería cuando la tensión sobrepasa la capacidad de la línea. Si la tensión se distribuye como N ( 100 ; 20 ) y la capacidad como N ( 140 ; 10 ), calcular la probabilidad de avería, suponiendo independencia.

Problema de TareaProblema de TareaProblema de TareaProblema de Tarea