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Estadística, Profesora: María Durbán 1 Tema 4: Variables Aleatorias 4.1 Concepto de variable aleatoria 4.2 Variables aleatorias discretas y continuas Función de probabilidad Función de distribución Función de densidad 4.3 Medidas características de una variable aleatoria Esperanza, varianza, percentiles Medidas de forma 4.4 Transformaciones de variables aleatorias Estadística, Profesora: María Durbán 2 Objetivos del tema : Al final del tema el alumno será capaz de: Comprender el concepto de variable aleatorias Calcular probabilidades a partir de la función de densidad, función de probabilidad o función de distribución Calcular esperanzas y varianzas de variables aleatorias Obtener la función de densidad o probabilidad y las medidas características de una variable aleatoria transformada Tema 4: Variables Aleatorias Estadística, Profesora: María Durbán 3 Tema 4: Variables Aleatorias 4.2 Variables aleatorias discretas y continuas Función de probabilidad Función de distribución Función de densidad 4.3 Medidas características de una variable aleatoria Esperanza, varianza, percentiles Medidas de forma 4.4 Transformaciones de variables aleatorias 4.1 Concepto de variable aleatoria Estadística, Profesora: María Durbán 4 4.1 Concepto de variable aleatoria En ocasiones, describir todos los posibles resultados de un experimento aleatorio no es suficiente Lanzar una moneda 3 veces: {(CCC), (CCX), …} Lanzar un dado dos veces: {(1,1), (1,2), (1,3), …} A veces es útil asociar un número a cada resultado del experimento Definir una variable No conocemos el resultado del experimento antes de realizarlo No conocemos el valor que va a tomar la variable antes del experimento

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  • Estadística, Profesora: María Durbán1

    Tema 4: Variables Aleatorias

    4.1 Concepto de variable aleatoria

    4.2 Variables aleatorias discretas y continuas

    Función de probabilidad Función de distribuciónFunción de densidad

    4.3 Medidas características de una variable aleatoria

    Esperanza, varianza, percentilesMedidas de forma

    4.4 Transformaciones de variables aleatorias

    Estadística, Profesora: María Durbán2

    Objetivos del tema:Al final del tema el alumno será capaz de:

    Comprender el concepto de variable aleatorias

    Calcular probabilidades a partir de la función de densidad, función deprobabilidad o función de distribución

    Calcular esperanzas y varianzas de variables aleatorias

    Obtener la función de densidad o probabilidad y las medidascaracterísticas de una variable aleatoria transformada

    Tema 4: Variables Aleatorias

    Estadística, Profesora: María Durbán3

    Tema 4: Variables Aleatorias

    4.1 Concepto de variable aleatoria

    4.2 Variables aleatorias discretas y continuas

    Función de probabilidad Función de distribuciónFunción de densidad

    4.3 Medidas características de una variable aleatoria

    Esperanza, varianza, percentilesMedidas de forma

    4.4 Transformaciones de variables aleatorias

    4.1 Concepto de variable aleatoria

    Estadística, Profesora: María Durbán4

    4.1 Concepto de variable aleatoria

    En ocasiones, describir todos los posibles resultados de un experimentoaleatorio no es suficiente

    Lanzar una moneda 3 veces: {(CCC), (CCX), …}Lanzar un dado dos veces: {(1,1), (1,2), (1,3), …}

    A veces es útil asociar un número a cada resultado del experimento

    Definir una variable

    No conocemos el resultado del experimento antes de realizarloNo conocemos el valor que va a tomar la variable antes del experimento

  • Estadística, Profesora: María Durbán5

    4.1 Concepto de variable aleatoria

    En ocasiones, describir todos los posibles resultados de un experimentoaleatorio no es suficiente

    Lanzar una moneda 3 veces: {(CCC), (XCX), …}Lanzar un dado dos veces: {(1,1), (1,2), (1,3), …}

    A veces es útil asociar un número a cada resultado del experimento.

    No conocemos el resultado del experimento antes de realizarlo

    No conocemos el valor que va a tomar la variable antes del experimento

    X = Número de caras en el primer lanzamiento X[(CCC)]=1, X[(XCX)]=0, …

    Y = Suma de las puntuaciones Y[(1,1)]=2, Y[(1,2)]=3, …

    Estadística, Profesora: María Durbán6

    4.1 Concepto de variable aleatoria

    Una variable aleatoria es una función que asocia unnúmero real a cada elemento del espacio muestral

    Las variables aleatorias se representan por letras mayúsculas, normalmente empezando por el final del alfabeto: X,Y, Z, etc.

    Los posibles valores que puede tomar la variable se representanpor letras minúsculas,

    x=1 es un posible valor de Xy=3.2 es un posible valor de Yz=-7.3 es posible valor de Z

    Estadística, Profesora: María Durbán7

    4.1 Concepto de variable aleatoria

    Ejemplos

    Número de unidades defectuosas en una muestra aleatoria de 5unidades

    Número de defectos superficiales en un cm2 de cierto material

    Tiempo de duración de una bombilla

    Resistencia a la compresión de un material de construcción

    Estadística, Profesora: María Durbán8

    a b

    RX

    E X(si) = b; si ∈ E

    X(sk) = a

    si

    sk

    • El espacio RX es el conjunto de TODOS los posible valores de X(s).

    • A cada posible suceso de E le corresponde un valor en RX• En cierto sentido podemos considerar Rx como otro espacio muestral

    4.1 Concepto de variable aleatoria

  • Estadística, Profesora: María Durbán9

    a b

    RX

    E X(si) = b; si ∈ E

    X(sk) = a

    si

    sk

    Si sobre los elementos de E existe una distribución de probabilidad, esta se transmite a los valores que toma la variable X. Es decir, toda v.a. conservala estructura probabilística del experimento aleatorio que describe:

    Pr( ) Pr( : ( ) )X x s E X s x= = ∈ =

    4.1 Concepto de variable aleatoria

    Estadística, Profesora: María Durbán10

    Tema 4: Variables Aleatorias

    4.1 Concepto de variable aleatoria

    4.2 Variables aleatorias discretas y continuas

    Función de probabilidad Función de distribuciónFunción de densidad

    4.3 Medidas características de una variable aleatoria

    Esperanza, varianza, percentilesMedidas de forma

    4.4 Transformaciones de variables aleatorias

    4.2 Variables aleatorias discretas y continuas

    Estadística, Profesora: María Durbán11

    4.2Variables aleatorias discretas y continuas

    El rango de una variable aleatoria es el conjunto de valores que puede tomar la variable.

    Atendiendo al rango las variables se pueden clasificar como:

    Variables aleatorias discretas: Aquellas en las que el rango es finito o infinito numerable

    Variables aleatorias continuas: Aquellas en las que el rango es un intervalode números reales

    Variables aleatorias discretas: Aquellas en las que el rango es finito o infinito numerable

    Variables aleatorias continuas: Aquellas en las que el rango es un intervalode números reales

    Estadística, Profesora: María Durbán12

    Ejemplos de variables aleatorias discretas

    Número de defectos en la superficie de un cristal

    Proporción de piezas defectuosas en una muestra de 1000

    Número de bits transmitidos que se reciben correctamente

    Ejemplos de variables aleatorias continuas

    Corriente eléctrica

    Longitud

    Temperatura

    Peso

    Ejemplos de variables aleatorias discretas

    Número de defectos en la superficie de un cristal

    Proporción de piezas defectuosas en una muestra de 1000

    Número de bits transmitidos que se reciben correctamente

    Ejemplos de variables aleatorias continuas

    Corriente eléctrica

    Longitud

    Temperatura

    Peso

    Frecuentementecuentan elnúmero de vecesque ocurre algo

    Frecuentemente miden unamagnitud

    4.2Variables aleatorias discretas y continuas

  • Estadística, Profesora: María Durbán13

    4.2Variables aleatorias discretas

    Los valores de una variable aleatoria cambian de un experimento a otro al cambiar los resultados del experimento

    Una v.a. está definida por

    Los valores que toma.La probabilidad de tomar cada uno de esos valores .

    Es una función que indica las probabilidad de cada posible valor

    ( ) ( )i ip x P X x= =

    Estadística, Profesora: María Durbán14

    x

    x1 x 2 x3 x4 x5 x6 xn

    p(xi)

    Las propiedades de la función de probabilidad se deducen de forma

    Inmediata de los axiomas de la probabilidad:

    { } { }1

    0 ( ) 1

    ( ) 1

    Pr( ) Pr( ) Pr( )

    in

    ii

    p x

    p x

    a b c A a X b B b X ca X c a X b b X c

    =

    ≤ ≤

    =

    < < → = ≤ ≤ = < ≤

    ≤ ≤ = ≤ ≤ + < ≤

    4.2Variables aleatorias discretas

    1. 0≤P(A) ≤1 2. P(E)=1 3. P(AUB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø

    Estadística, Profesora: María Durbán15

    Experimento: Lanzar 2 Monedas. X=Número de cruces.

    4.2Variables aleatorias discretas

    CC XCCX XX

    RX

    X

    0 1 2

    0 1/4 1/2 1

    Pr

    E

    Estadística, Profesora: María Durbán16

    X P(X=x)

    0 1/4

    1 1/2

    2 1/4

    Experimento: Lanzar 2 Monedas. X=Número de cruces.

    X

    X

    X X

    4.2Variables aleatorias discretas

    C C

    C

    C

  • Estadística, Profesora: María Durbán17

    X P(X=x)

    0 1/4

    1 1/2

    2 1/4

    Experimento: Lanzar 2 Monedas. X=Número de caras.

    4.2Variables aleatorias discretas

    x=0 x=1 x=2 X

    p(x)

    Estadística, Profesora: María Durbán18

    4.2Variables aleatorias discretas

    En ocasiones nos puede interesar la probabilidad de que una variable tome un valor menor o igual que una cantidad

    0 0

    1 2 n

    1 1 1

    2 2 1 2

    1

    ( ) ( )( ) 0 ( ) 1

    si X toma valores x x : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) 1nn n ii

    F x P X xF F

    xF x P X x p xF x P X x p x p x

    F x P X x p x=

    = ≤−∞ = +∞ =

    ≤ ≤ ≤= ≤ == ≤ = +

    = ≤ = =∑

    Estadística, Profesora: María Durbán19

    X P(X=x)

    0 1/4

    1 1/2

    2 1/4

    Experimento: Lanzar 2 Monedas. X=Número de caras.

    4.2Variables aleatorias discretas

    x=0 x=1 x=2 X

    p(x)

    Estadística, Profesora: María Durbán20

    X F(x)

    0 1/4

    1 3/4

    2 1

    Experimento: Lanzar 2 Monedas. X=Número de caras.

    4.2Variables aleatorias discretas

    x=0 x=1 x=2 X

    F(x)

    0.25

    0.5

    0.75

    1

  • Estadística, Profesora: María Durbán21

    4.2Variables aleatorias continuas

    Cuando una variable es continua, no tiene sentido hacer la suma:

    1( ) 1i

    ip x

    =

    =∑

    ya que el conjunto de valores que toma la variable es no numerable

    Lo natural es generalizar

    Introducimos un nuevo concepto que sustituye en variables continuas alde función de probabilidad en variables discretas

    →∑ ∫

    Estadística, Profesora: María Durbán22

    4.2Variables aleatorias continuas

    La función de densidad describe la distribución de probabilidad deuna variable continua. Es una función continua que verifica:

    ( ) 0

    ( ) 1

    ( ) ( ) b

    a

    f x

    f x dx

    P a X b f x dx

    +∞

    −∞

    =

    ≤ ≤ =

    ∫∫

    Estadística, Profesora: María Durbán23

    4.2Variables aleatorias continuas

    La función de densidad describe la distribución de probabilidad deuna variable continua. Es una función que verifica:

    ( ) 0

    ( ) 1

    ( ) ( ) b

    a

    f x

    f x dx

    P a X b f x dx

    +∞

    −∞

    =

    ≤ ≤ =

    ∫∫ a b

    Área por debajo de ese trozo de curva

    Estadística, Profesora: María Durbán24

    4.2Variables aleatorias continuas

    ( ) ( ) 0

    ( ) ( ) ( ) ( )

    a

    aP X a f x dx

    P a X b P a X bP a X bP a X b

    = = =

    ≤ ≤ = < ≤= ≤ <= < <

    a

  • Estadística, Profesora: María Durbán25

    y

    x2

    0 5 10 15 20 25 30

    0.0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    La función de densidad no tiene por qué ser simétrica, ni estar definida para toda la recta real

    La forma de la curva dependeráde uno o más parámetros

    4.2Variables aleatorias continuas

    ( | )Xf x β

    Estadística, Profesora: María Durbán26

    4.2Variables aleatorias continuas

    Si medimos una variable continua y la representamos e un histograma:

    Si hacemos las clases cada vez más pequeñas:

    Estadística, Profesora: María Durbán27

    4.2Variables aleatorias continuas

    Estadística, Profesora: María Durbán28

    4.2Variables aleatorias continuas

    El polígono de frecuencias tenderá a un curva:

    ( )f x

  • Estadística, Profesora: María Durbán29

    La función de densidad para el tiempo de uso de un tipo de máquinas durante un año (en horas x100):

    ⎪⎪⎪

    ⎪⎪⎪

  • Estadística, Profesora: María Durbán33

    4.2Variables aleatorias continuas

    La función de distribución verifica las siguientes propiedades:

    ( ) ( )( ) 0 ( ) 1

    a b F a F bF F< ⇒ ≤−∞ = +∞ =

    Definimos los sucesos disjuntos:

    { } { } { } { } { } X a a X b X a a X b X b≤ < ≤ → ≤ ∪ < ≤ = ≤

    Pr( ) Pr( ) Pr( ) ( )X b X a a X b F b≤ = ≤ + < ≤ ≤

    Es no decrecienteEs continua

    Tercer axioma de la probabilidad

    0≥

    Primer axioma de la probabilidad

    Estadística, Profesora: María Durbán34

    4.2Variables aleatorias continuas

    La función de distribución verifica las siguientes propiedades:

    ( ) ( )( ) 0 ( ) 1

    a b F a F bF F< ⇒ ≤−∞ = +∞ =

    Es no decrecienteEs continua

    ( ) Pr( ) ( ) 0

    ( ) Pr( ) ( ) 1

    F X f x dx

    F X f x dx

    −∞

    −∞

    +∞

    −∞

    −∞ = ≤ −∞ = =

    +∞ = ≤ +∞ = =

    ∫∫

    Estadística, Profesora: María Durbán35

    La función de densidad para el tiempo de uso de un tipo de máquinas durante un año (en horas x100):

    ⎪⎪⎪

    ⎪⎪⎪

  • Estadística, Profesora: María Durbán37

    4.2Variables aleatorias continuas

    EjemploEjemplo

    x=3.2

    P(x

  • Estadística, Profesora: María Durbán41

    4.3 Medidas características de una v.a.

    Medidas de Centralización

    Intuitivamente: Mediana = valor que divide a la probabilidad total en dospartes iguales

    0.50.5

    ( ) 0.5

    ( ) 0.5

    P X m

    F m

    ≤ =

    Estadística, Profesora: María Durbán42

    ¿Cuál es el tiempo de medio de funcionamiento de las máquinas?

    4.2Variables aleatorias continuas

    Ejemplo

    [ ]2.5 2.52 2

    0 0

    0.4 0.4( ) d 0.8 d2.5 2.5

    2.5

    E X xf x dx x x x x x+∞

    −∞= = + −

    =

    ∫ ∫ ∫

    0.4 x, 0 x 2.52.5

    0.4( ) 0.8 x, 2.5 x 52.5

    0, en otro caso

    f x

    ⎧ <

  • Estadística, Profesora: María Durbán45

    4.3 Medidas características de una v.a.

    Ejemplo

    Una empresa está interesada en fabricar un nuevo tipo de destornilladoreléctrico. Se sabe que la distribución de probabilidad del número devueltas para ajustar tornillos de 10cm es la siguiente:

    0.0320

    0.1419

    0.2118

    0.1217

    0.0916

    0.2615

    0.0614

    0.0313

    0.0312

    0.0311

    p(x)x

    Estadística, Profesora: María Durbán46

    4.3 Medidas características de una v.a.

    Ejemplo

    Una empresa está interesada en fabricar un nuevo tipo de destornilladoreléctrico. Se sabe que la distribución de probabilidad del número devueltas para ajustar tornillos de 10cm es la siguiente:

    0.03

    0.14

    0.21

    0.12

    0.09

    0.26

    0.06

    0.03

    0.03

    0.03

    p(x)

    1

    0.97

    0.83

    0.62

    0.5

    0.41

    0.15

    0.09

    0.06

    0.03

    F(x)

    20

    19

    18

    17

    16

    15

    14

    13

    12

    11

    x

    ( ) 0.7 y ( ) 0.7p pp X x p X x< ≤ ≤ ≥

    Estadística, Profesora: María Durbán47

    4.3 Medidas características de una v.a.

    Medidas de dispersión

    En el caso de una muestra de datos la varianza muestral es una medida de la dispersión de los datos:

    La Varianza de una v.a. utiliza la probabilidad como peso:

    2 2 2 21 2

    1 1 1( ) ( ) ( )ns x x x x x xn n n= − + − + + −…

    [ ]

    [ ]

    22

    2 2

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    i ii

    Var X x p x

    Var X x f x dx

    σ µ

    σ µ+∞

    −∞

    = = −

    = = −

    v.a. discreta

    v.a. continua

    [ ] [ ]( )2Var X E X E X⎡ ⎤= −⎣ ⎦

    Estadística, Profesora: María Durbán48

    4.3 Medidas características de una v.a.

    Medidas de dispersión

    [ ] [ ]( )2Var X E X E X⎡ ⎤= −⎣ ⎦

    [ ] [ ]( )22Var X E X E X⎡ ⎤= −⎣ ⎦

    [ ]( ) [ ]( ) [ ]

    [ ]( ) [ ] [ ][ ]( )

    2 22

    22

    22

    2

    2

    E X E X E X E X XE X

    E X E X E X E X

    E X E X

    ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

    ⎡ ⎤= + −⎣ ⎦

    ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ Es un operador lineal

    [ ] es una constante, no depende de E X

    X

  • Estadística, Profesora: María Durbán49

    4.3 Medidas características de una v.a.

    Desigualdad de Tchebychev

    Si X es una variable aleatoria con:

    Se puede demostrar que gran parte de la distribución está situada en un intervalo centrado en y que tiene amplitud varias veces . En concreto:

    Es decir, la probabilidad de realizar una observación de una variable y queesté en ese intervalo es mayor o igual que 1-1/k2

    [ ] [ ] 2 E X Var Xµ σ= =

    µ σ

    ( ) 210 Pr 1k k X kk

    µ σ µ σ∀ > − ≤ ≤ + ≥ −

    Estadística, Profesora: María Durbán50

    5-28

    µ-3σ µ+3σµ

    al menos 89%

    µ-2σ µ+2σ

    al menos 75%

    4.3 Medidas características de una v.a.

    Desigualdad de Tchebychev

    Estadística, Profesora: María Durbán51

    4.3 Medidas características de una v.a.

    Medidas de forma

    Momento de orden k reapecto al origen

    ( ) Momento de orden k reapecto a la media

    kk

    kk

    m E X

    E Xµ µ

    ⎡ ⎤= →⎣ ⎦⎡ ⎤= − →⎣ ⎦

    33CA

    µσ

    =

    [ ]12 2

    1 2 2 10

    m E X

    m mµ µ σ

    =

    = = = −

    Estadística, Profesora: María Durbán52

    4.3 Medidas características de una v.a.

    Medidas de forma

    Momento de orden k reapecto al origen

    ( ) Momento de orden k reapecto a la media

    kk

    kk

    m E X

    E Xµ µ

    ⎡ ⎤= →⎣ ⎦⎡ ⎤= − →⎣ ⎦

    33CA

    µσ

    =4 44 4 o 3pCA

    µ µσ σ

    = −

  • Estadística, Profesora: María Durbán53

    Tema 4: Variables Aleatorias

    4.1 Concepto de variable aleatoria

    4.2 Variables aleatorias discretas y continuas

    Función de probabilidad Función de distribuciónFunción de densidad

    4.3 Medidas características de una variable aleatoria

    Esperanza, varianza, percentilesMedidas de forma

    4.4 Transformaciones de variables aleatorias4.4 Transformaciones de variables aleatorias

    Estadística, Profesora: María Durbán54

    4.4 Transformaciones de variables aleatorias

    En algunas situaciones necesitamos conocer la distribución de probabilidad de una función de una variable aleatoria

    Ejemplos

    Cambiar las unidadesUtilizar la escala logarítmica

    )(XgY =

    baX +2X

    || X

    XXe

    XlogX

    1nis X sin X

    1X

    Estadística, Profesora: María Durbán55

    4.4 Transformaciones de variables aleatorias

    Sea X una v.a. cualquiera. Si realizamos el cambio de variable Y=h(X), tenemos una nueva v.a. :

    ( ) Pr( ) Pr( ( ) ) Pr( )YF y Y y h X y x A= ≤ = ≤ = ∈

    ( )Y h X=

    { }, ( )A x h x y= ≤

    Función de distribución

    Estadística, Profesora: María Durbán56

    Ejemplo

    Una empresa está interesada en fabricar un nuevo tipo de destornilladoreléctrico. Se sabe que la distribución de probabilidad del número devueltas para ajustar tornillos de 10cm es la siguiente:

    0.03

    0.14

    0.21

    0.12

    0.09

    0.26

    0.06

    0.03

    0.03

    0.03

    p(x)

    1

    0.97

    0.83

    0.62

    0.5

    0.41

    0.15

    0.09

    0.06

    0.03

    F(x)

    20

    19

    18

    17

    16

    15

    14

    13

    12

    11

    x2¿Pr( 144)?X ≤

    { }( )

    2 2Pr( 144) Pr( ) , 144

    Pr 12 0.06

    X x A A x x

    X

    ≤ = ∈ = ≤

    ≤ =

    4.4 Transformaciones de variables aleatorias

    { }, 144A x x= ≤

  • Estadística, Profesora: María Durbán57

    4.4 Transformaciones de variables aleatorias

    1 1( ) Pr( ( ) ) Pr( ( )) ( ( ))Y XF y h X y X h y F h y− −= ≤ = ≤ =

    ( )Y h X=En general:

    Si es continua y monótona creciente:h

    Si es continua y monótona decreciente:h1 1( ) Pr( ( ) ) Pr( ( )) 1 ( ( ))Y XF y h X y X h y F h y− −= ≤ = ≥ = −

    Estadística, Profesora: María Durbán58

    4.4 Transformaciones de variables aleatorias

    Si X es una v.a. continua e Y=h(X),

    ( ) ( )Y Xdxf y f xdy

    =

    Función de densidad

    1

    ( )( ( ))( )( )

    1 ( )

    X

    xYY

    X

    F x dxdx dyF h yF yf yF x dxy ydx dy

    ∂⎧⎪∂∂ ⎪= = = ⎨ − ∂∂ ∂ ⎪⎪⎩

    creciente

    decreciente

    x

    Estadística, Profesora: María Durbán59

    4.4 Transformaciones de variables aleatorias

    Si X es una v.a. continua e Y=h(X), donde h es una función derivablee inyectiva,

    Para v.a. discretas:

    ( )( ) Pr( ) Pr( )

    i

    Y ih x y

    p y Y y X x=

    = = = =∑

    ( ) ( )Y Xdxf y f xdy

    =

    Estadística, Profesora: María Durbán60

    4.4 Transformaciones de variables aleatorias

    Ejemplo

    La velocidad de una partícula de gas es una v.a. V con función de densidad

    2 2( / 2) 0( )

    0 en el resto

    bv

    Vb v e v

    f v− >

    =

    La energía cinética de la partícula es . ¿Cuál es lafunción de densidad de W?

    2 / 2W mV=

  • Estadística, Profesora: María Durbán61

    4.4 Transformaciones de variables aleatorias

    Ejemplo

    La velocidad de una partícula de gas es una v.a. V con función de densidad

    2 2( / 2) 0( )

    0 en el resto

    bv

    Vb v e v

    f v− >

    =

    2 / 2 2 / 2 /W mV v w m v w m= → = = −

    12

    dvdw mw

    = ( )21 2 2 /( ( )) ( / 2) 2 / b w mVf h w b w m e− −=

    Estadística, Profesora: María Durbán62

    4.4 Transformaciones de variables aleatorias

    Ejemplo

    La velocidad de una partícula de gas es una v.a. V con función de densidad

    2 2( / 2) 0( )

    0 en el resto

    bv

    Vb v e v

    f v− >

    =

    2 2 /( / 2 ) 2 / 0( ) 0 en el resto

    b w m

    Wb m w m e wf w

    − >=

    Estadística, Profesora: María Durbán63

    4.4 Transformaciones de variables aleatorias

    Esperanza

    [ ], ( )

    ( ) ( )( )

    ( ) ( )i i

    X

    i ix h x y

    h x f x dxE h X

    h x p X x

    +∞

    −∞

    =

    ==

    ∫∑

    [ ] ( ) ( ) ( )y XdxE y yf y dy h x f x dydy

    +∞ +∞

    −∞ −∞= =∫ ∫

    ( )Y h X=creciente

    Estadística, Profesora: María Durbán64

    4.4 Transformaciones de variables aleatorias

    Esperanza

    [ ], ( )

    ( ) ( )( )

    ( ) ( )i i

    X

    i ix h x y

    h x f x dxE h X

    h x p X x

    +∞

    −∞

    =

    ==

    ∫∑

    Transformaciones lineales

    Y a bX= +

    [ ] [ ][ ] [ ]2

    E Y a bE X

    Var Y b Var X

    = +

    =