Tema 4: Variables Aleatorias - est.uc3m.es · 4.4 Transformaciones de variables aleatorias 4.2 Variables aleatorias discretas y continuas Estadística, Profesora: María Durbán 11

Estadística, Profesora: María Durbán1

Tema 4: Variables Aleatorias

4.1 Concepto de variable aleatoria

4.2 Variables aleatorias discretas y continuas

Función de probabilidad Función de distribuciónFunción de densidad

4.3 Medidas características de una variable aleatoria

Esperanza, varianza, percentilesMedidas de forma

4.4 Transformaciones de variables aleatorias


Objetivos del tema:Al final del tema el alumno será capaz de:

Comprender el concepto de variable aleatorias

Calcular probabilidades a partir de la función de densidad, función deprobabilidad o función de distribución

Calcular esperanzas y varianzas de variables aleatorias

Obtener la función de densidad o probabilidad y las medidascaracterísticas de una variable aleatoria transformada













En ocasiones, describir todos los posibles resultados de un experimentoaleatorio no es suficiente

Lanzar una moneda 3 veces: {(CCC), (CCX), …}Lanzar un dado dos veces: {(1,1), (1,2), (1,3), …}

A veces es útil asociar un número a cada resultado del experimento

Definir una variable

No conocemos el resultado del experimento antes de realizarloNo conocemos el valor que va a tomar la variable antes del experimento



En ocasiones, describir todos los posibles resultados de un experimentoaleatorio no es suficiente

Lanzar una moneda 3 veces: {(CCC), (XCX), …}Lanzar un dado dos veces: {(1,1), (1,2), (1,3), …}

A veces es útil asociar un número a cada resultado del experimento.

No conocemos el resultado del experimento antes de realizarlo

No conocemos el valor que va a tomar la variable antes del experimento

X = Número de caras en el primer lanzamiento X[(CCC)]=1, X[(XCX)]=0, …

Y = Suma de las puntuaciones Y[(1,1)]=2, Y[(1,2)]=3, …



Una variable aleatoria es una función que asocia unnúmero real a cada elemento del espacio muestral

Las variables aleatorias se representan por letras mayúsculas, normalmente empezando por el final del alfabeto: X,Y, Z, etc.

Los posibles valores que puede tomar la variable se representanpor letras minúsculas,

x=1 es un posible valor de Xy=3.2 es un posible valor de Yz=-7.3 es posible valor de Z



Ejemplos

Número de unidades defectuosas en una muestra aleatoria de 5unidades

Número de defectos superficiales en un cm2 de cierto material

Tiempo de duración de una bombilla

Resistencia a la compresión de un material de construcción


a b

RX

E X(si) = b; si ∈ E

X(sk) = a

si

sk

• El espacio RX es el conjunto de TODOS los posible valores de X(s).

• A cada posible suceso de E le corresponde un valor en RX

• En cierto sentido podemos considerar Rx como otro espacio muestral



a b

RX

E X(si) = b; si ∈ E

X(sk) = a

si

sk

Si sobre los elementos de E existe una distribución de probabilidad, esta se transmite a los valores que toma la variable X. Es decir, toda v.a. conservala estructura probabilística del experimento aleatorio que describe:

Pr( ) Pr( : ( ) )X x s E X s x= = ∈ =












4.2Variables aleatorias discretas y continuas

El rango de una variable aleatoria es el conjunto de valores que puede tomar la variable.

Atendiendo al rango las variables se pueden clasificar como:

Variables aleatorias discretas: Aquellas en las que el rango es finito o infinito numerable

Variables aleatorias continuas: Aquellas en las que el rango es un intervalode números reales

Variables aleatorias discretas: Aquellas en las que el rango es finito o infinito numerable

Variables aleatorias continuas: Aquellas en las que el rango es un intervalode números reales


Ejemplos de variables aleatorias discretas

Número de defectos en la superficie de un cristal

Proporción de piezas defectuosas en una muestra de 1000

Número de bits transmitidos que se reciben correctamente

Ejemplos de variables aleatorias continuas

Corriente eléctrica

Longitud

Temperatura

Peso

Ejemplos de variables aleatorias discretas

Número de defectos en la superficie de un cristal

Proporción de piezas defectuosas en una muestra de 1000

Número de bits transmitidos que se reciben correctamente

Ejemplos de variables aleatorias continuas

Corriente eléctrica

Longitud

Temperatura

Peso

Frecuentementecuentan elnúmero de vecesque ocurre algo

Frecuentemente miden unamagnitud

4.2Variables aleatorias discretas y continuas


4.2Variables aleatorias discretas

Los valores de una variable aleatoria cambian de un experimento a otro al cambiar los resultados del experimento

Una v.a. está definida por

Los valores que toma.La probabilidad de tomar cada uno de esos valores .

Es una función que indica las probabilidad de cada posible valor

( ) ( )i ip x P X x= =


x

x1 x 2 x3 x4 x5 x6 xn

p(xi)

Las propiedades de la función de probabilidad se deducen de forma

Inmediata de los axiomas de la probabilidad:

{ } { }1

0 ( ) 1

( ) 1

Pr( ) Pr( ) Pr( )

in

ii

p x

p x

a b c A a X b B b X ca X c a X b b X c

=

≤ ≤

=

< < → = ≤ ≤ = < ≤

≤ ≤ = ≤ ≤ + < ≤

∑


1. 0≤P(A) ≤1 2. P(E)=1 3. P(AUB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø


Experimento: Lanzar 2 Monedas. X=Número de cruces.


CC XCCX XX

RX

X

0 1 2

0 1/4 1/2 1

Pr

E


X P(X=x)

0 1/4

1 1/2

2 1/4

Experimento: Lanzar 2 Monedas. X=Número de cruces.

X

X

X X


C C

C

C


X P(X=x)

0 1/4

1 1/2

2 1/4

Experimento: Lanzar 2 Monedas. X=Número de caras.


x=0 x=1 x=2 X

p(x)



En ocasiones nos puede interesar la probabilidad de que una variable tome un valor menor o igual que una cantidad

0 0

1 2 n

1 1 1

2 2 1 2

1

( ) ( )( ) 0 ( ) 1

si X toma valores x x : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 1nn n ii

F x P X xF F

xF x P X x p xF x P X x p x p x

F x P X x p x=

= ≤−∞ = +∞ =

≤ ≤ ≤= ≤ == ≤ = +

= ≤ = =∑

…


X P(X=x)

0 1/4

1 1/2

2 1/4



x=0 x=1 x=2 X

p(x)


X F(x)

0 1/4

1 3/4

2 1



x=0 x=1 x=2 X

F(x)

0.25

0.5

0.75

1


4.2Variables aleatorias continuas

Cuando una variable es continua, no tiene sentido hacer la suma:

1( ) 1i

ip x

∞

=

=∑

ya que el conjunto de valores que toma la variable es no numerable

Lo natural es generalizar

Introducimos un nuevo concepto que sustituye en variables continuas alde función de probabilidad en variables discretas

→∑ ∫



La función de densidad describe la distribución de probabilidad deuna variable continua. Es una función continua que verifica:

( ) 0

( ) 1

( ) ( ) b

a

f x

f x dx

P a X b f x dx

+∞

−∞

≥

=

≤ ≤ =

∫∫



La función de densidad describe la distribución de probabilidad deuna variable continua. Es una función que verifica:

( ) 0

( ) 1

( ) ( ) b

a

f x

f x dx

P a X b f x dx

+∞

−∞

≥

=

≤ ≤ =

∫∫ a b

Área por debajo de ese trozo de curva



( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) ( )

a

aP X a f x dx

P a X b P a X bP a X bP a X b

= = =

≤ ≤ = < ≤= ≤ <= < <

∫

a


y

x2

0 5 10 15 20 25 30

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

La función de densidad no tiene por qué ser simétrica, ni estar definida para toda la recta real

La forma de la curva dependeráde uno o más parámetros


( | )Xf x β



Si medimos una variable continua y la representamos e un histograma:

Si hacemos las clases cada vez más pequeñas:





El polígono de frecuencias tenderá a un curva:

( )f x


La función de densidad para el tiempo de uso de un tipo de máquinas durante un año (en horas x100):

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<≤−

<<

=

else0,

5x2.5x,2.50.40.8

2.5x0x,2.50.4

)x(f

2.5 5

0.4

f(x)

x


Ejemplo

en otro caso


¿Cuál es la probabilidad de que una máquina elegida al azar haya funcionado durante menos de 320 horas?

2.5 5

0.4

f(x)

x

3.2

740

524080

5240

23

52

0

23

52

.

.

....

).(

. .

.

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

=<

∫ ∫ dxxdxx

XP


Ejemplo



Al igual que en el caso de variables discretas, podemos describir la distribución de una variable aleatoria continua mediante la Función de Distribución:

( ) ( ) ( ) x

F x P X x f u du x−∞

= ≤ = −∞ < < ∞∫

x

( )P X x≤



Al igual que en el caso de variables discretas, podemos describir la distribución de una variable aleatoria continua mediante la Función de Distribución:

( ) ( ) ( ) x

F x P X x f u du x−∞

= ≤ = −∞ < < ∞∫

( )( ) dF xf xdx

=

En el caso discreto la diferencia entre dos valores consecutivos de F(x)proporcionan la función de probabilidad. En el caso de variables continuas:



La función de distribución verifica las siguientes propiedades:

( ) ( )( ) 0 ( ) 1

a b F a F bF F< ⇒ ≤−∞ = +∞ =

Definimos los sucesos disjuntos:

{ } { } { } { } { } X a a X b X a a X b X b≤ < ≤ → ≤ ∪ < ≤ = ≤

Pr( ) Pr( ) Pr( ) ( )X b X a a X b F b≤ = ≤ + < ≤ ≤

Es no decrecienteEs continua

Tercer axioma de la probabilidad

0≥

Primer axioma de la probabilidad



La función de distribución verifica las siguientes propiedades:

( ) ( )( ) 0 ( ) 1

a b F a F bF F< ⇒ ≤−∞ = +∞ =

Es no decrecienteEs continua

( ) Pr( ) ( ) 0

( ) Pr( ) ( ) 1

F X f x dx

F X f x dx

−∞

−∞

+∞

−∞

−∞ = ≤ −∞ = =

+∞ = ≤ +∞ = =

∫∫


La función de densidad para el tiempo de uso de un tipo de máquinas durante un año (en horas x100):

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<≤−

<<

=

else0,

5x2.5x,2.50.40.8

2.5x0x,2.50.4

)x(f

2.5 5

0.4

f(x)

x


Ejemplo

en otro caso



Ejemplo

0

2.5

0 2.5

0.4 0 x 2.52.50.4 0.4( ) 0.8 u du, 2.5 x 52.5 2.5

1 x 5

x

x

u du

F x u du

⎧< <⎪

⎪⎪= + − ≤ <⎨⎪⎪⎪ ≥⎩

∫

∫ ∫

0.4 x, 0 x 2.52.5

0.4( ) 0.8 x, 2.5 x 52.5

0, en otro caso

f x

⎧ < <⎪⎪⎪= − ≤ <⎨⎪⎪⎪⎩

Pr(0 2.5)X< < Pr(2.5 )X x≤ <

Pr( 5)X ≤



EjemploEjemplo

x=3.2

P(x<3.2)

2

2

0.08 0 2.5( ) -1 0.8 - 0.08 2.5 5

1 5

x xF x x x x

x

⎧⎪ < <⎪⎪= + ≤ <⎨⎪⎪

≥⎪⎩Estadística, Profesora: María Durbán

38


Ejemplo

P(x<3.2)











4.3 Medidas características de una v.a.

Medidas de Centralización

En el caso de una muestra de datos la media muestral:

a cada valor se le asigna un peso 1/n

La media o Esperanza de una v.a. utiliza la probabilidad como peso:

1 21 1 1

nx x x xn n n

= + + +…

µ

[ ]

[ ]

( )

( )

i ii

E X x p x

E X x f x dx

µ

µ+∞

−∞

= =

= =

∑

∫

v.a. discreta

v.a. continua



Medidas de Centralización

Intuitivamente: Mediana = valor que divide a la probabilidad total en dospartes iguales

0.50.5

( ) 0.5

( ) 0.5

P X m

F m

≤ =

≥


¿Cuál es el tiempo de medio de funcionamiento de las máquinas?


Ejemplo

[ ]2.5 2.52 2

0 0

0.4 0.4( ) d 0.8 d2.5 2.5

2.5

E X xf x dx x x x x x+∞

−∞= = + −

=

∫ ∫ ∫

0.4 x, 0 x 2.52.5

0.4( ) 0.8 x, 2.5 x 52.5

0, en otro caso

f x

⎧ < <⎪⎪⎪= − ≤ <⎨⎪⎪⎪⎩


Si queremos saber el tiempo de funcionamiento tal que el 50% de las máquinas tiene una duración menor o igual a ese


Ejemplo

( ) 0.5F m =2

2

0.08 0 x 2.5( ) -1 0.8 - 0.08 2.5 x 5

1 x 5

xF x x x

⎧ < <⎪= + ≤ <⎨⎪ ≥⎩

2

2

0.08 0.5 2.5-1 0.8 - 0.08 0.5 2.5

x mx x m= → =

+ = → =



Medidas de posición

El percentil p de una variable aleatoria es el valor xp que verifica:

( ) y ( )( )

p p

p

p X x p p X x pF x p

< ≤ ≤ ≥

=v.a. discretas

v.a. continuas

Un caso particular son los cuartiles que dividen a la distribución en 4partes iguales

1 0.25

2 0.5

3 0.75

MedianaQ pQ pQ p

== ==



Ejemplo

Una empresa está interesada en fabricar un nuevo tipo de destornilladoreléctrico. Se sabe que la distribución de probabilidad del número devueltas para ajustar tornillos de 10cm es la siguiente:

0.0320

0.1419

0.2118

0.1217

0.0916

0.2615

0.0614

0.0313

0.0312

0.0311

p(x)x



Ejemplo


0.03

0.14

0.21

0.12

0.09

0.26

0.06

0.03

0.03

0.03

p(x)

1

0.97

0.83

0.62

0.5

0.41

0.15

0.09

0.06

0.03

F(x)

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

x

( ) 0.7 y ( ) 0.7p pp X x p X x< ≤ ≤ ≥



Medidas de dispersión

En el caso de una muestra de datos la varianza muestral es una medida de la dispersión de los datos:

La Varianza de una v.a. utiliza la probabilidad como peso:

2 2 2 21 2

1 1 1( ) ( ) ( )ns x x x x x xn n n

= − + − + + −…

[ ]

[ ]

22

2 2

( ) ( )

( ) ( )

i ii

Var X x p x

Var X x f x dx

σ µ

σ µ+∞

−∞

= = −

= = −

∑

∫

v.a. discreta

v.a. continua

[ ] [ ]( )2Var X E X E X⎡ ⎤= −

⎣ ⎦



Medidas de dispersión

[ ] [ ]( )2Var X E X E X⎡ ⎤= −

⎣ ⎦

[ ] [ ]( )22Var X E X E X⎡ ⎤= −⎣ ⎦

[ ]( ) [ ]( ) [ ]

[ ]( ) [ ] [ ]

[ ]( )

2 22

22

22

2

2

E X E X E X E X XE X

E X E X E X E X

E X E X

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= + −⎣ ⎦

⎡ ⎤= −⎣ ⎦ Es un operador lineal

[ ] es una constante, no depende de E X

X



Desigualdad de Tchebychev

Si X es una variable aleatoria con:

Se puede demostrar que gran parte de la distribución está situada en un intervalo centrado en y que tiene amplitud varias veces . En concreto:

Es decir, la probabilidad de realizar una observación de una variable y queesté en ese intervalo es mayor o igual que 1-1/k2

[ ] [ ] 2 E X Var Xµ σ= =

µ σ

( ) 2

10 Pr 1k k X kk

µ σ µ σ∀ > − ≤ ≤ + ≥ −


5-28

µ-3σ µ+3σµ

al menos 89%

µ-2σ µ+2σ

al menos 75%


Desigualdad de Tchebychev



Medidas de forma

Momento de orden k reapecto al origen

( ) Momento de orden k reapecto a la media

kk

kk

m E X

E Xµ µ

⎡ ⎤= →⎣ ⎦⎡ ⎤= − →⎣ ⎦

33CA µ

σ=

[ ]1

2 21 2 2 10

m E X

m mµ µ σ

=

= = = −



Medidas de forma

Momento de orden k reapecto al origen

( ) Momento de orden k reapecto a la media

kk

kk

m E X

E Xµ µ

⎡ ⎤= →⎣ ⎦⎡ ⎤= − →⎣ ⎦

33CA µ

σ=

4 44 4 o 3pCA µ µ

σ σ= −








4.4 Transformaciones de variables aleatorias4.4 Transformaciones de variables aleatorias



En algunas situaciones necesitamos conocer la distribución de probabilidad de una función de una variable aleatoria

Ejemplos

Cambiar las unidadesUtilizar la escala logarítmica

)(XgY =

baX +2X

|| X

XXe

XlogX

1nis X sin X

1X



Sea X una v.a. cualquiera. Si realizamos el cambio de variable Y=h(X), tenemos una nueva v.a. :

( ) Pr( ) Pr( ( ) ) Pr( )YF y Y y h X y x A= ≤ = ≤ = ∈

( )Y h X=

{ }, ( )A x h x y= ≤

Función de distribución


Ejemplo


0.03

0.14

0.21

0.12

0.09

0.26

0.06

0.03

0.03

0.03

p(x)

1

0.97

0.83

0.62

0.5

0.41

0.15

0.09

0.06

0.03

F(x)

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

x2¿Pr( 144)?X ≤

{ }( )

2 2Pr( 144) Pr( ) , 144

Pr 12 0.06

X x A A x x

X

≤ = ∈ = ≤

≤ =


{ }, 144A x x= ≤



1 1( ) Pr( ( ) ) Pr( ( )) ( ( ))Y XF y h X y X h y F h y− −= ≤ = ≤ =

( )Y h X=En general:

Si es continua y monótona creciente:h

Si es continua y monótona decreciente:h1 1( ) Pr( ( ) ) Pr( ( )) 1 ( ( ))Y XF y h X y X h y F h y− −= ≤ = ≥ = −



Si X es una v.a. continua e Y=h(X),

( ) ( )Y Xdxf y f xdy

=

Función de densidad

1

( )( ( ))( )( )

1 ( )

X

xYY

X

F x dxdx dyF h yF yf yF x dxy ydx dy

−

∂⎧⎪∂∂ ⎪= = = ⎨ − ∂∂ ∂ ⎪⎪⎩

creciente

decreciente

x



Si X es una v.a. continua e Y=h(X), donde h es una función derivablee inyectiva,

Para v.a. discretas:

( )( ) Pr( ) Pr( )

i

Y ih x y

p y Y y X x=

= = = =∑

( ) ( )Y Xdxf y f xdy

=



Ejemplo

La velocidad de una partícula de gas es una v.a. V con función de densidad

2 2( / 2) 0( )

0 en el resto

bv

Vb v e v

f v− >

=

La energía cinética de la partícula es . ¿Cuál es lafunción de densidad de W?

2 / 2W mV=



Ejemplo


2 2( / 2) 0( )

0 en el resto

bv

Vb v e v

f v− >

=

2 / 2 2 / 2 /W mV v w m v w m= → = = −

12

dvdw mw

= ( )21 2 2 /( ( )) ( / 2) 2 / b w m

Vf h w b w m e− −=



Ejemplo


2 2( / 2) 0( )

0 en el resto

bv

Vb v e v

f v− >

=

2 2 /( / 2 ) 2 / 0( ) 0 en el resto

b w m

Wb m w m e wf w

− >=



Esperanza

[ ], ( )

( ) ( )( )

( ) ( )i i

X

i ix h x y

h x f x dxE h X

h x p X x

+∞

−∞

=

==

∫∑

[ ] ( ) ( ) ( )y XdxE y yf y dy h x f x dydy

+∞ +∞

−∞ −∞= =∫ ∫

( )Y h X=creciente



Esperanza

[ ], ( )

( ) ( )( )

( ) ( )i i

X

i ix h x y

h x f x dxE h X

h x p X x

+∞

−∞

=

==

∫∑

Transformaciones lineales

Y a bX= +

[ ] [ ][ ] [ ]2

E Y a bE X

Var Y b Var X

= +

=

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