3 variables aleatorias

Francisco A. Sandoval

Análisis Estadístico y

Probabilístico

2014 fralbe.com

AGENDA

CAP. 3: Variables aleatorias (v.a.)

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Agenda

CAP. 3: Variables aleatorias (v.a.)

• v.a. real.

• Función distribución de probabilidad (FDP) de una v.a. real.

• Clasificación de las v.a.

• Función densidad de probabilidad (fdp) de una v.a. real

• Vectores aleatorios

• FDP y fdp de un vector aleatorio

• FDP y fdp condicionales

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Objetivos

• Formalizar la representación numérica de los resultados de una experiencia a través de la definición de variable aleatoria (v.a.)

• Definir la función distribución de probabilidad (FDP) y función densidad de probabilidad (fdp) asociadas a una v.a.

• Generalizar las anteriores nociones para vectores aleatorios.

• Introducir las funciones distribución y densidad de probabilidad condicionales. fra

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VARIABLE ALEATORIA REAL

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Variable Aleatoria Real

Definición 1: Variable Aleatoria (v.a.) Una variable aleatoria 𝑥 es una función que asocia a cada punto de muestra 𝜔 ∈ Ω un número real.

𝑥: Ω ↦ ℝ𝜔 ↦ 𝑥(𝜔)

𝜔

Ω

ℝ 𝑥

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Ejemplo 1: v.a. real

CENTRAL A CENTRAL B 200 terminales telefónicos

𝑛 circuitos

𝑛 = 20

Contar el número 𝑛𝑝 de llamadas simultáneamente en progreso entre A y B

en un dado instante, definiendo como resultado de la experiencia el propio valor de 𝑛𝑝.

Ω = 0, 1, 2,… , 20

𝑥 𝜔 = 𝜔 = 𝑛𝑝 El espacio de muestras ya es un conjunto de # reales.

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Si el libro es escrito en español y no se hace distinción entre mayúsculas y minúsculas, el espacio de muestras resultante sería: Ω = 𝑎, 𝑏, … , 𝑧

Como Ω no es un subconjunto de ℝ no existe ninguna representación numérica obvia que pueda ser adoptada para definir la v.a. 𝑥(𝜔).

Considere una experiencia consistente en abrir cualquier libro con mas de 50 páginas y observar la primera letra impresa en la página número 50. Se admite que esta letra sea por definición el resultado de la experiencia.

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Ejemplo 2: v.a. real (Sol) 1. Una opción posible sería atribuir a cada punto de muestra (letra del

alfabeto) el número correspondiente al orden de la letra . 2. Otra alternativa sería asociar el número 0 a los resultados que son vocales y

el número 1 a los resultados que son consonantes.

𝑥 𝜔 = 0 ; se ω es vocal 𝑥 𝜔 = 1 ; se ω es consonant𝑒

ℝ

Ω = 𝑎, 𝑏, 𝑐, … , 𝑒, … , 𝑖, 𝑗, … , 𝑜,… , 𝑢, 𝑦, 𝑧

0 1 fralbe.com

Variable Aleatoria Real

Definición 2: Variable Aleatoria Real Una variable aleatoria 𝑥 es una función real, definida en Ω, tomando valores en el conjunto ℝ de los números reales, y satisfaciendo las siguientes condiciones i. para cualquier número real 𝑋 ∈ ℝ, el conjunto

𝐴𝑋 = 𝜔 ∈ Ω: 𝑥(𝜔) ≤ 𝑋 es un evento; ii. 𝑃 𝜔 ∈ Ω: 𝑥 𝜔 = −∞ = 𝑃 𝜔 ∈ Ω: 𝑥 𝜔 = ∞ = 0

*𝜔: 𝑥(𝜔)∈ 𝐼+

ℝ

Ω

𝜔

𝑥(𝜔)

𝐼

A través de una v.a. real 𝑥 se asocia probabilidades a todos los intervalos de ℝ

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Considere la experiencia que consiste en el lanzamiento de un dado y cuyo resultado es el número de puntos de la cara observada.

Designando el punto de muestra asociado a la observación de la cara 𝑖 = 1,… , 6 por 𝜔𝑖, se tiene el siguiente espacio de muestra Ω = 𝜔1, 𝜔2, 𝜔3, 𝜔4, 𝜔5, 𝜔6

Considere el mapa de Ω en los ℝ definido por

𝑥 𝜔𝑖 = (𝑖 − 3)2

Ω 𝜔1 𝜔2 𝜔3 𝜔5 𝜔4 𝜔6

ℝ 0 1 4 9 fralbe.com


Para este mapa particular, el subconjunto 𝐴𝑋, definido por

𝐴𝑋 = 𝜔 ∈ Ω: x(ω) ≤ 𝑋 es dado por

𝐴𝑋 =

∅ ; −∞ < 𝑋 < 0𝜔3 ; 0 ≤ 𝑋 < 1

𝜔2, 𝜔3, 𝜔4𝜔1, 𝜔2, 𝜔3, 𝜔4, 𝜔5

Ω

; 1 ≤ 𝑋 < 4; 4 ≤ 𝑋 < 9; 9 ≤ 𝑋 < ∞

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FUNCIÓN DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA REAL

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FDP de una v.a. real

• La FDP de una v.a. 𝑥 asocia a cada valor real 𝑋 una probabilidad de la v.a. 𝑥 asumir un valor menor o igual a 𝑋.

• Es usual utilizar la notación

𝐹𝑥(𝑋) = 𝑃(𝑥 ≤ 𝑋)

Definición 3: Función distribución de probabilidad de una variable aleatoria Real Una función distribución de probabilidad (FDP) de una v.a. 𝑥 es una función 𝐹𝑥 definida por

𝐹𝑥: ℝ ↦ ℝ

𝑋 ↦ 𝐹𝑥 𝑋 = 𝑃 𝐴𝑋

donde 𝐴𝑋 es el evento definido anteriormente en conexión con la definición 2 (v.a. real), dado por

𝐴𝑋 = 𝜔 ∈ Ω: 𝑥(𝜔) ≤ 𝑋

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Ejemplo 4: FDP

Considere la v.a. definida en el ejemplo 3. En este caso el evento 𝐴𝑋 fue dado anteriormente.

Entonces, para esta v.a.

𝐹𝑋(𝑋) = 𝑃(𝐴𝑋) =

𝑃 ∅ ; −∞ < 𝑋 < 0𝑃 𝜔3 ; 0 ≤ 𝑋 < 1

𝑃(*𝜔2, 𝜔3, 𝜔4+) ; 1 ≤ 𝑋 < 4𝑃(*𝜔1, 𝜔2, 𝜔3, 𝜔4, 𝜔5+) ; 4 ≤ 𝑋 < 9

𝑃(Ω) ; 9 ≤ 𝑋 < ∞

Además, considerando que los puntos de muestra 𝜔𝑖 , 𝑖 =1, 2, … , 6 son equiprobables:

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Ejemplo 4: FDP

𝐹𝑥 𝑋

𝑋

𝐹𝑥(𝑋) =

0 ; −∞ < 𝑋 < 01

6; 0 ≤ 𝑋 < 1

1

2; 1 ≤ 𝑋 < 4

5

6; 4 ≤ 𝑋 < 9

1 ; 9 ≤ 𝑋 < ∞

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Ejemplo 5: FDP v.a.

Considere una fuente de información que produce dos tipos de mensajes: el mensaje 𝑀1 con probabilidad de ocurrencia 𝑝 y un mensaje 𝑀2 con probabilidad de ocurrencia 1 − 𝑝 .

El espacio de muestras y la medida de probabilidad son entonces: Ω = 𝑀1, 𝑀2

y 𝑃 𝑀1 = 𝑝 ; 𝑃 𝑀2 = 1 − 𝑝

Considere ahora la siguiente v.a.

𝑥(𝜔) = 0 ; 𝜔 = 𝑀1

1 ; 𝜔 = 𝑀2

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Ejemplo 5: FDP v.a.

En este caso se tiene que

𝐴𝑋 = ∅ ; −∞ < 𝑋 < 0

𝑀1 ; 0 ≤ 𝑋 < 1Ω ; 1 ≤ 𝑋 < ∞

La FDP de esta v.a. se escribe

𝐹𝑥 (𝑋) = 𝑃(𝐴𝑋) =

𝑃 ∅ ; −∞ < 𝑋 < 0

𝑃 𝑀1 ; 0 ≤ 𝑋 < 1

𝑃 Ω ; 1 ≤ 𝑋 < ∞

o sea:

𝐹𝑥 𝑋 = 0 ; −∞ < 𝑋 < 0𝑝 ; 0 ≤ 𝑋 < 11 ; 1 ≤ 𝑋 < ∞

𝐹𝑥 𝑋

𝑋 fralbe.com

FDP de una v.a. real

La probabilidad de que una v.a. asuma valores en cualquier subconjunto de ℝ puede ser fácilmente determinada a partir de la FDP de la v.a.

Se verifica que 𝑃 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏 = 𝐹𝑥 𝑏 − 𝐹𝑥(𝑎)

𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) = 𝐹𝑥 (𝑏) − lim

𝜖→0𝐹𝑥(𝑎 − 𝜖)

𝑃 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 = lim

𝜖→0𝐹𝑥 𝑏 − 𝜖 − 𝐹𝑥(𝑎)

𝑃 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏 = lim

𝜖→0𝐹𝑥 𝑏 − 𝜖 − lim


𝑃 𝑥 = 𝑎 = 𝐹𝑥 𝑎 − lim


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Propiedades de la FDP de una v.a. real

Propiedad 1: i. 𝐹𝑥 −∞ = 0 ii. 𝐹𝑥 +∞ = 1 iii. 𝐹𝑥 es monótona no decreciente iv. 𝐹𝑥 es continua por la derecha Demostrar

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Considerando la definición y las propiedades de

la FDP de una v.a. verifique si la función dada a

continuación representa una FDP de una v.a?

𝑓 𝑥 = 0 ; 𝑥 < 0

𝑥2 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 11 ; 𝑥 > 1

ConcepTest 2

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ConcepTest 2

𝑓 𝑥 = 0 ; 𝑥 < 0

𝑥2 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 11 ; 𝑥 > 1

𝑓(𝑥) si representa una DFP fralbe.com

Considerando la definición y las propiedades de la FDP de una v.a. verifique si la función dada a continuación representa una FDP de una v.a.

𝑓 𝑥 = 0 ; 𝑥 < 0

𝑥2 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 11 ; 𝑥 > 1

Si se cambia el símbolo como se muestra, la función representa una FDP de una v.a.?

ConcepTest 2

<

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ConcepTest 2

𝑓 𝑥 = 0 ; 𝑥 < 0

𝑥2 ; 0 ≤ 𝑥 < 11 ; 𝑥 > 1

𝑓(𝑥) no es continua por la derecha fralbe.com

ConcepTest 3

3

4

𝐹𝑥(𝑋)

𝑋

Calcular:

a. 𝑃 𝑥 =1

2

b. 𝑃(𝑥 = 1)

c. 𝑃1

2< 𝑥 ≤

5

2

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ConcepTest 3

a. 𝑃 𝑥 =1

2= 𝐹𝑥

1

2− lim

𝜖→0𝐹𝑥

1

2− 𝜖 =

2

9

1

2+ 0,5

2−

2

9= 0

b. 𝑃 𝑥 = 1 = 𝐹𝑥 1 − lim𝜖→0

𝐹𝑥 1 − 𝜖 =3

4−

1

2=

1

4

c. 𝑃1

2< 𝑥 ≤

5

2= 𝐹𝑥

5

2− 𝐹𝑥

1

2= 0,65 fra

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CLASIFICACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS

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Clasificación de v.a.

• Usualmente se clasifican en tres tipos: – v.a. discretas

– v.a. continuas

– v.a. mixtas

• Se definen en razón del a FDP.

Discreta Continua

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v.a. discreta

• A cada valor posible de la v.a. 𝑥 corresponde un evento en el espacio Ω.

• Se puede asociar a cada uno de estos valores una probabilidad, escribiendo

𝑃 𝑥 = 𝑋𝑖 = 𝑃 𝜔 ∈ Ω: 𝑥 𝜔 = 𝑋𝑖 = 𝑝𝑖 ; 𝑖 = 1,2, …

Obviamente la condición 𝑝𝑖 = 1𝑖 , debe cumplirse.

Para una v.a. discreta su contradominio Ω𝑥 es un conjunto de puntos isolados (finito o infinito, pero numerable). Esto significa que

Ωx = *X1, X2, … +

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Ejemplo 6: v.a. discreta

• Se retoma la situación del ejemplo 3, y considere la v.a. 𝑥, cuya definición era

𝑥 𝜔𝑖 = (𝑖 − 3)2

para esta v.a. se tiene el contradominio Ω𝑥 = *0, 1, 4, 9+

que es un conjunto finito, y se puede afirmar que 𝑥 es una variable aleatoria discreta. • Considerar que los puntos de muestra 𝜔𝑖 , 𝑖 = 1,2,… , 6 son

equiprobables, o sea,

𝑃 𝜔𝑖 =1

6 ; 𝑖 = 1,2,… , 6

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Las probabilidades asociadas a los diversos valores de la v.a. 𝑥 son

𝑃 𝑥 = 0 = 𝑃 𝜔3 =1

6

𝑃 𝑥 = 1 = 𝑃 𝜔2, 𝜔4 =1

6+1

6=1

3

𝑃 𝑥 = 4 = 𝑃 𝜔1, 𝜔5 =1

6+

1

6=

1

3

𝑃 𝑥 = 9 = 𝑃 𝜔6 =1

6

Gráfica de función de masa de probabilidad

𝑓(𝑥)

𝑥

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𝐹𝑥 = 𝑋 =1

6,𝑢 𝑋 + 𝑢 𝑋 − 9 - +

1

3,𝑢 𝑋 − 1 + 𝑢(𝑋 − 4)-

𝐹𝑥 𝑋

𝑋

Gráfica de función distribución de probabilidad fralbe.com

v.a. discreta

La probabilidad asociada a un evento 𝐼 ⊂ ℝ cualquiera puede ser escrita

𝑃(𝐼) = 𝑃 𝑥 = 𝑋𝑖𝑖

(𝑋𝑖∈ 𝐼)

Definición 4: v.a. discreta Una variable aleatoria es dicha discreta cuando su FDP se escribe

𝐹𝑥 𝑋 = 𝑃 𝑥 = 𝑋𝑖 𝑢(𝑋 − 𝑋𝑖)𝑖

(𝑋𝑖∈ Ω𝑥)

con 𝑢( ) representando la función escalón unitario, dada por

𝑢(𝑋) = 0 ; 𝑋 < 01 ; 𝑋 ≥ 0

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v.a. continua

Definición 5: v.a. continua Una v.a. 𝑥 es dicha continua cuando su función distribución de probabilidad es continua y diferenciable en casi todos los puntos (𝐹𝑥 y no diferenciable en apenas un número contable de puntos).

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v.a. continua

• El contradominio Ω𝑥 de una variable aleatoria

continua 𝑥 es un conjunto no numerable.

• Para una v.a. continua:

𝑃 𝑥 = 𝑋 = 0 ; ∀𝑋 ∈ ℝ

Un evento con probabilidad cero no es necesariamente un evento vacío, de hecho, para una v.a. continua el evento *𝑥 = 𝑋+ tiene probabilidad cero pero no es vacío pues contiene un punto 𝑋 ∈ Ω𝑥 (𝑋 es un posible resultado). fralbe.com

Ejemplo 7: v.a. continua

Considere una v.a. 𝑥 que caracteriza una medida de tensión de ruido tomada en determinado punto de un circuito. Se sabe que la tensión de ruido medida toma valores en el intervalo de ,−𝑉, 𝑉-, o sea, el contradominio Ω𝑥 de esta v.a. es dada por Ω𝑥 = ,−𝑉, 𝑉-

𝐹𝑥 = 𝑋

0 ; 𝑋 < −𝑉1

2𝑉𝑋 +

1

2 ; −𝑉 ≤ 𝑋 ≤ 𝑉

1 ; 𝑋 > 𝑉

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v.a. mixta

Definición 6: v.a. mixta Una v.a. 𝑥 es dicha mixta cuando su FDP se escribe como una suma de una función 𝐶𝑥 𝑋 continua y diferenciable en casi todos los puntos es una función 𝐷𝑥(𝑋) que se expresa como una suma ponderada de funciones escalón unitario, o sea

𝐹𝑥 𝑋 = 𝐶𝑥 𝑋 + 𝐷𝑥 𝑋

= 𝐶𝑥 𝑋 + 𝑎𝑖𝑢 𝑋 − 𝑏𝑖𝑖

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FDP

Propiedad 2: Forma general de la FDP Toda función distribución de probabilidad 𝐹𝑥 puede ser escrita como

𝐹𝑥 𝑋 = 𝐶𝑥 𝑋 + 𝑃 𝑥 = 𝑋𝑖 𝑢(𝑋 − 𝑋𝑖)𝑖 donde 𝐶𝑥 es una función continua, monótona no decreciente y diferenciable en cualquiera de los puntos, y 𝑢( ) es la función escalón unitario.

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FUNCIÓN DENSIDAD DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA REAL

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fdp de una v.a. real

Definición 7: fdp de una v.a. real La función densidad de probabilidad de una v.a. 𝑥 definida como la derivada de su función distribución de probabilidad, o sea

𝑝𝑥 𝑋 =𝑑

𝑑𝑥𝐹𝑥(𝑋)

Definición 8: Función Impulso Una función 𝛿 dicha Función Impulso si satisface la siguiente condición

𝑓 𝑥∞

−∞

𝛿 𝑥 − 𝑎 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑎)

𝛿 𝑥 = 0 ; 𝑥 ≠ 0

𝐴

𝑡 0 𝜏

𝛿(𝑡)

𝛿(𝑡 − 𝜏)

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fdp para ejemplos 7 y 8

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Propiedad 3: Forma general de la fdp Toda función densidad de probabilidad 𝑝𝑥 puede ser escrita como

𝑝𝑥 𝑋 =𝑑

𝑑𝑋𝐶𝑥 𝑋 + 𝑃 𝑥 = 𝑋𝑖 𝛿(𝑋 − 𝑋𝑖)𝑖

donde 𝐶𝑥 es una función continua, monótona no decreciente y diferenciable en cualquiera de los puntos, y 𝛿( ) es la función impulso.

Propiedad 4: Propiedades de la fdp de una v.a. real

i. 𝑝𝑥 𝑢 𝑑𝑢𝑋

−∞= 𝐹𝑥(𝑋)

ii. 𝑝𝑥(𝑋) ≥ 0

iii. 𝑝𝑥 𝑋 𝑑𝑋 = 1∞

−∞

iv. 𝑝𝑥 𝑋 𝑑𝑋 = 𝑃(𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏-) 𝑏

𝑎

v. 𝑝𝑥 𝑋 𝑑𝑋 = 𝑃(𝑥 ∈ 𝐼)𝐼

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FDP, fdp (Importancia)

¿Por qué son importantes las características de las distribuciones de probabilidad y de dónde provienen?

• Las FDP ya sean discretas o continuas, se presentan mediante frases como «se sabe que», «suponga que» o incluso, en ciertos casos, «la evidencia histórica sugiere que». – Se trata de situaciones en las que la naturaleza de la distribución, e

incluso una estimación óptima de la estructura de la probabilidad, se pueden determinar utilizando datos históricos, datos tomados de estudios a largo plazo o incluso de grandes cantidades de datos planeados.

• No todas las funciones de probabilidad y fdp se derivan de cantidades grandes de datos históricos. Hay un gran número de situaciones en las que la naturaleza del escenario científico sugiere un tipo de distribución. fra

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Test B

Suponga que el error en la temperatura de reacción, en °C, para un experimento de laboratorio controlado, es una variable aleatoria continua 𝑥, que tiene la función de densidad de probabilidad

𝑝𝑥 𝑋 = 𝑋2

3, −1 < 𝑋 < 2,

0, en cualquier caso.

a) Encuentre la función distribución de probabilidad 𝐹𝑥 𝑋 y utilícela para evaluar 𝑃(0 < 𝑥 ≤ 1). fra

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FUNCIONES DENSIDAD DE PROBABILIDAD USUALES

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Lectura sugerida

• WALPOLE, MYERS, MYERS, YE,

(2012) Probabilidad y estadística

para ingenería y ciencias , novena

edición. (Pág: 143-210)

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Variables Aleatorias Discretas

v.a. de Bernoulli v.a. Binomial v.a.

hipergeométrica

v.a. geométrica v.a. binomial

negativa v.a. de Poisson

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Variables aleatorias continuas

v.a. Uniforme

v.a. Exponencial

v.a. normal o Gaussiana

v.a. Gamma v.a. de

Rayleigh v.a. de Cauchy

v.a. Laplaciana fralbe.com

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

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Distribución binomial

• A menudo un experimento consiste en pruebas repetitivas, cada una con dos resultados posibles, los cuales se pueden marcar como éxito o fracaso. – Aplicación: prueba de artículos a medida que salen de una

línea de ensamblaje, donde cada experimento puede indicar si un artículo está defectuoso o no. Elegir cualquiera de los resultados como éxito.

El proceso se denomina proceso de Bernoulli.

Cada ensayo se llama experimento de Bernoulli. fra

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Distribución binomial: Proceso de Bernoulli

• El proceso de Bernoulli debe tener las siguientes propiedades: 1. El experimento consiste en 𝑛 ensayos que se repiten.

2. Cada ensayo produce un resultado que se puede clasificar como éxito o fracaso.

3. La probabilidad de un éxito, que se denota con 𝑝, permanece constante de un ensayo a otro.

4. Los ensayos que se repiten son independientes.

1 2 …

𝑛

𝑝

𝑞

éxito

fracaso

𝑝

𝑞

éxito

fracaso

«defectuoso»=éxito

«no defectuoso»=fracaso

Ensayos independientes fralbe.com

Distribución binomial: Proceso de Bernoulli

De un proceso de ensamble se seleccionan tres artículos al azar, se inspeccionan y se clasifican como defectuosos o no defectuosos. Un artículo defectuoso se designa como un éxito. El número de éxitos es una variable aleatoria 𝑥 que toma valores integrales de 0 a 3.

• Los 8 resultados posibles y los valores correspondiente de 𝑋 se muestran en la tabla.

• Como los artículos se seleccionan de forma independiente de un proceso que supondremos produce 25% de artículos defectuosos,

𝑃 𝑁𝐷𝑁 = 𝑃 𝑁 𝑃 𝐷 𝑃 𝑁 =3

4

1

4

3

4=

9

64.

• Cálculos similares dan las probabilidades para los demás resultados posibles.

• La distribución de probabilidad de 𝑥 es,

Resultado 𝑿

NNN 0

NDN 1

NND 1

DNN 1

NDD 2

DND 2

DDN 2

DDD 3 𝑿 0 1 2 3

𝐹𝑥 𝑋 27

64

27

64

9

64

1

64

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• El número 𝑥 de éxitos en 𝑛 experimentos de

Bernoulli se denomina variable aleatoria

binomial.

• La distribución de probabilidad de esta

variable aleatoria discreta se llama

distribución binomial.

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• Considere la probabilidad de 𝑋 éxitos y 𝑛 − 𝑋 fracasos en un orden específico (ensayos independientes, multiplicar probabilidad).

• Cada éxito ocurre con probabilidad 𝑝 y cada fracaso con probabilidad 𝑞 = 1 − 𝑝.

• La probabilidad de 𝑋 éxitos en 𝑛 ensayos para un experimento binomial es 𝑝𝑋𝑞𝑛−𝑋.

• Ahora, determinar el número total de puntos muestrales en el experimento que tienen 𝑋 éxitos y 𝑛 − 𝑋 fracasos. – Es igual al número de particiones de 𝑛 resultados en dos

grupos, con 𝑋 en un grupo y 𝑛 − 𝑋 en el otro.

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Definición 12: fdp binomial Una v.a. 𝑥 tiene distribución binomial cuando su fdp es de la forma

𝑝𝑥 𝑋 = 𝐶𝑛𝑖𝑝𝑖𝑞𝑛−𝑖𝛿 −𝑖 ;

𝑛

𝑖=0

0 ≤ 𝑝 ≤ 1 , 𝑞 = 1 − 𝑝

donde 𝐶𝑛

𝑖 son los coeficientes binomiales dados por la expresión

𝐶𝑛𝑖 =

𝑛!

𝑛 − 𝑖 ! 𝑖!

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• Aplicaciones

– Ingeniero industrial: ampliamente interesado en la «proporción de artículos defectuosos» en cierto proceso industrial.

• Las mediciones de control de calidad y los esquemas de muestreo para procesos se basan en la distribución binomial.

– Aplicaciones médicas y militares: • «cura» o «no cura», importante en trabajo farmacéutico.

• «dar en el blanco» o «fallar», resultado de lanzar un proyectil guiado.

– Telecomunicaciones, redes ad-hoc fralbe.com

Distribución de Poisson

• Experimento de Poisson: Experimentos que producen valores numéricos de una variable aleatoria 𝑥, el número de resultados que ocurren durante un intervalo de tiempo determinado o en una región específica.

– El intervalo puede ser de cualquier duración, como un minuto, un día, una semana, un mes o incluso un año. • Generar observaciones para la variable aleatoria 𝑥 que

representa el número de llamadas telefónicas por hora que recibe una oficina,

• el número de días que una escuela permanece cerrada debido a la nieve durante el invierno. fra

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– La región específica podría ser un segmento

de recta, un área, un volumen o quizá una

pieza de material.

• Número de bacterias en un cultivo dado,

• números de errores mecanográficos por área.

• Un experimento de Poisson se deriva del

proceso de Poisson.

• La distribución de Poisson puede

compararse a una distribución binomial en

la que 𝑛 es muy grande y 𝑝 muy pequeña. fralbe.com


Propiedades del proceso de Poisson

1. El número de resultados que ocurren en un intervalo o región específica es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo de tiempo o región del espacio disjunto. El proceso de Poisson no tiene memoria.

2. La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo de tiempo muy corto o en una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo o al tamaño de la región, y no depende del número de resultados que ocurren fuera de este intervalo o región.

3. La probabilidad de que ocurra más de un resultado en tal intervalo de tiempo corto o que caiga en tal región pequeña es insignificante. fra

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• El número 𝑥 de resultados que ocurren

durante un experimento de Poisson se llama

variable aleatoria de Poisson y su

distribución de probabilidad se llama

distribución de Poisson.

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Definición 11: fdp Poisson Una v.a. 𝑥 es dicha de Poisson cuando su fdp es dada por 𝑝𝑥 𝑋

= 𝑎𝑖𝑒−𝑎

𝑖!𝛿 −𝑖 ; 𝑎 > 0

∞

𝑖=0

Se ve fácilmente que 𝑥 asume valores enteros con probabilidad

𝑃 𝑥 = 𝑖 =𝑎𝑖𝑒−𝑎

𝑖! ; 𝑖 = 1,2,… fralbe.com


• Supongamos, – que estamos interesados en saber el número de llamadas

telefónicas que se pueden producir con determinado destino en un periodo dado.

– que la ocurrencia de estas posibles llamadas telefónicas se puede considerar aleatoria (sean independientes).

• Si tomamos muestras durante numerosos e iguales periodos de tiempo, el resultado deberá ser distribución del número de llamadas por periodo de 5 minutos entre, pongamos, las 10 y las 11 de la mañana de varios días.

• La distribución resultante de las llamadas producidas por periodos de 5 minutos debe esperarse que sea de Poisson. fra

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• Supongamos que hubiésemos registrado una media de 6 llamadas cada 5 minutos (𝑎 = 6). La probabilidad de que se produzcan 5 o menos llamadas cada 5 minutos será

𝐹𝑥 𝑋 = 6𝑖𝑒−6

𝑖!

5

𝑖=0

F_x(5;6)=0,442. fralbe.com


• Como la dist. binomial, la de Poisson se utiliza

para control de calidad, aseguramiento de

calidad y muestreo de aceptación.

• Además ciertas distribuciones continuas

importantes que se usan en la teoría de

confiabilidad y en la teoría de colas dependen

del proceso de Poisson.

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• Al igual que muchas distribuciones discretas y continuas, la forma de la distribución de Poisson se vuelve cada vez más simétrica, incluso con forma de campana, a medida que la media se hace más grande.

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VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

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Distribución uniforme

• Una de las distribuciones continuas más simples de la estadística.

• Se caracteriza por una fdp que es «plana», por lo cual la probabilidad es uniforme en un intervalo cerrado, digamos ,𝑎, 𝑏-.

• La aplicación de esta distribución se basa en el supuesto de que la probabilidad de caer en un intervalo de longitud fija dentro de ,𝑎, 𝑏- es constante. fra

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Definición 9: fdp uniforme Una v.a. 𝑥 es uniformemente distribuida en el intervalo ,𝑎, 𝑏- cuando su fdp es dada por

𝑝𝑥 (𝑋) = 1

𝑏 − 𝑎 ; 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏

0 ; en otro 𝑐𝑎𝑠𝑜

fdp FDP

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Suponga que el tiempo máximo que se puede reservar una sala de conferencias grande de cierta empresa son cuatro horas. Con mucha frecuencia tienen conferencias extensas y breves. De hecho, se puede suponer que la duración 𝑥 de una conferencia tiene una distribución uniforme en el intervalo ,0, 4-. a. ¿Cuál es la función de densidad de probabilidad? b. ¿Cuál es la probabilidad de que cualquier conferencia determinada dure al menos 3

horas? Solución: a. La función de densidad apropiada para la v.a. 𝑥 distribuida uniformemente en esta

situación es

𝑝𝑥 (𝑋) = 1

4 ; 0 ≤ 𝑋 ≤ 4,

0 ; en otro 𝑐𝑎𝑠𝑜

b. 𝑃 𝑥 ≥ 3 = 1

4 𝑑𝑥 =

1

4.

4

3

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Distribución normal o Gaussiana

• Es la distribución de probabilidad continua más importante en todo el campo de la estadística.

• La gráfica de la d. normal o curva normal, tiene forma de campana.

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• Describe de manera aproximada muchos

fenómenos que ocurren en la naturaleza, la

industria y la investigación.

– Las mediciones físicas en áreas como los

experimentos meteorológicos, estudios de

precipitación pluvial y mediciones de partes fabricadas

a menudo se explican más que adecuadamente con

una d. normal.

– Los errores en las mediciones científicas se aproximan

muy bien mediante una distribución normal. fralbe.com


• La d. normal tiene muchas aplicaciones como distribución limitante.

• En ciertas ocasiones, la d. normal ofrece una buena aproximación continua a las distribuciones binomial e hipergeométrica.

• La distribución limitante de promedios muestrales es normal, lo que brinda una base amplia para la inferencia estadística, que es muy valiosa para el analista de datos interesado en la estimación y prueba de hipótesis.

• Las teorías de áreas importantes como el análisis de varianza y el control de calidad se basan en suposiciones que utilizan la d. normal. fra

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Normal O Gaussiana

fdp

FDP

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• Una vez que se especifican 𝑚 y 𝜍, la curva normal queda determinada por completo.

• Dos curvas normales que tienen misma 𝜍 pero diferentes 𝑚: – Curvas idénticas en forma,

– centradas en diferentes posiciones a lo largo del eje horizontal.

• Dos curvas normales con la misma 𝑚 pero con 𝜍 diferentes: – Las dos curvas están centradas exactamente en la misma

posición sobre el eje horizontal;

– La curva con la mayor 𝜍 es más baja y más extendida. (Recordar que el área bajo la curva de probabilidad debe ser igual a 1)

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Propiedades de la curva normal:

1. La moda, que es el punto sobre el eje horizontal donde la curva tiene su punto máximo, ocurre en X = 𝑚.

2. La curva es simétrica alrededor de un eje vertical a través de la media 𝑚.

3. La curva tiene sus puntos de inflexión en X = 𝑚 ± 𝜍, es cóncava hacia abajo si 𝑚 − 𝜍 < 𝑥 < 𝑚 + 𝜍, y es cóncava hacia arriba en otro caso.

4. La curva normal se aproxima al eje horizontal de manera asintótica, conforme nos alejamos de la media en cualquier dirección.

5. El área total bajo la curva y sobre el eje horizontal es igual a uno. fra

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Definición 8: fdp normal o gaussiana Una v.a. 𝑥 es normalmente distribuida (gaussiana) cuando su fdp tiene la forma

𝑝𝑥 𝑋 =1

2𝜋𝜍𝑒−𝑋−𝑚 2

2𝜎2 ; 𝑚 ∈ ℝ ; 𝜍 > 0

La FDP correspondiente es

𝐹𝑥 𝑋 = 𝑝𝑥 𝑋 𝑑𝑋 = 1 − 𝑄𝑋 −𝑚

𝜍

𝑋

−∞

donde

𝑄 𝛼 =1

2𝜋 𝑒−

𝑢2

2 𝑑𝑢∞

𝛼

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Área bajo la curva normal

• La curva de cualquier distribución continua de probabilidad o función de densidad se construye de manera que el área bajo la curva limitada por las dos ordenadas X = 𝑋1 y 𝑋 = 𝑋2 sea igual a la probabilidad de que la variable aleatoria 𝑥 tome el valor entre X = 𝑋1 y 𝑋 = 𝑋2.

𝑃 𝑋1 < 𝑥 < 𝑋2 =1

2𝜋𝜍 𝑒

− 𝑋−𝑚 2

2𝜎2𝑋2

𝑋1

𝑑𝑋

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• El área bajo la curva entre cualesquiera dos

ordenadas también depende de los valores 𝑚

y 𝜍.

Las dos regiones sombreadas tienen tamaños diferentes; por lo tanto, la probabilidad asociada con cada distribución será diferente para los dos valores dados de 𝑥

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Función Q

𝐹𝑥 𝑋 = 𝑝𝑥 𝑋 𝑑𝑋 = 1 − 𝑄𝑋 −𝑚

𝜍

𝑋

−∞

donde

𝑄 𝛼 =1

2𝜋 𝑒−

𝑢2

2 𝑑𝑢∞

𝛼

Propiedad: La función 𝑄 es simétrica:

𝑄 𝑋 = 1 − 𝑄(−𝑋)

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Función Q

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Dada una distribución normal estándar, calcule el área bajo la curva que se localiza a. a la derecha de 𝑍 = 1.84, y b. entre 𝑍 = −1.97 y 𝑍 = 0.86

Solución: a. 𝑄 1.84 = 0.0329

b. 1 − 𝑄 0.86 − 1 − 𝑄 −1.97 = 1 − 𝑄 0.86 − 𝑄 1.97 = 1 − 0.1949 −

0.0244 = 0.7807

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Modelo de Señales para Sistema DS-CDMA

Fuente: Francisco A. Sandoval, Orientador: PhD. Raimundo Sampaio Neto. Novos Receptores com Posto Reduzido e suas Aplicações em Sistemas Baseados em DS-CDMA. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro – PUC-RIO. 2013

Ruido gaussiano

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Ruido AWGN en Sinusoide

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Exponencial

Definición 10: fdp exponencial Una v.a. 𝑥 es exponencialmente distribuida cuando su fdp tiene la forma

𝑝𝑥 𝑋 = 𝑎𝑒−𝑎𝑋𝑢 𝑋 ; 𝑎 > 0

fdp FDP

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Lognormal

Las potencias de las señales interferencias en la recepción pueden ser simuladas a través de variables aleatorias de tipo log-normal desviación estándar asociada de, por ejemplo 6dB. (DS-CDMA)

Fuente: Francisco A. Sandoval, Orientador: PhD. Raimundo Sampaio Neto. Novos Receptores com Posto Reduzido e suas Aplicações em Sistemas Baseados em DS-CDMA. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro – PUC-RIO. 2013

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Ejemplo 8: Distribuciones comunes

El tiempo de vida de una lámpara, en horas, puede ser modelado por una variable aleatoria 𝑡 con fdp exponencial, o sea:

𝑝𝑡 𝑇 = 𝑎𝑒−𝑎𝑇𝑢 𝑇 ; 𝑎 > 0 Si se examina un gran número de lámparas, se observa que apenas 50% de las lámparas duran más de 100 horas. Esta observación sugiere que 𝑃 𝑡 ≤ 100 = 0.5. Calcule a) el valor de la constante 𝑎, b) la función distribución de probabilidad de la variable 𝑡 y c) la probabilidad de una lámpara durar mas de 200 horas.

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Ejemplo 8: Distribuciones comunes

Cálculo del valor de la constante 𝑎:

𝑃 𝑡 ≤ 100 = 𝑎𝑒−𝑎𝑇𝑑𝑇 = 0,5100

0

por cuanto:

𝑎 =ln 2

100= 0.0069

La función distribución de probabilidad es determinada directamente de su definición:

𝐹𝑡 𝑇 = 𝑃 𝑡 ≤ 𝑇 = 𝑝𝑡 𝑢 𝑑𝑢𝑇

−∞

𝐹𝑡 𝑇 = 1 − 𝑒−𝑎𝑇 𝑢(𝑇)

Finalmente:

𝑃 𝑡 > 200 = 1 − 𝑃 𝑡 ≤ 𝑇 = 1 − 𝐹𝑡 𝑇 = 𝑒−200𝑎 = 0,25

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VECTORES ALEATORIOS

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Vectores aleatorios

• El concepto de variable aleatoria puede ser extendido, considerando, que a cada punto de muestra Ω, es asociado un punto del espacio 𝑛 dimensional ℝ𝑛.

• Un vector aleatorio es una función 𝒙 cuyo dominio es Ω y con contradominio en ℝ𝑛

𝑥: Ω ⟼ ℝ𝑛

𝜔 ⟼ 𝒙 𝜔 fra

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Vectores Aleatorios

Definición 11: Vector Aleatorio Un vector aleatorio 𝒙 es una función vectorial de dimensión 𝑛 cuyo dominio es Ω, y tal que i. para cualquier 𝑿 ∈ ℝ𝑛, el conjunto 𝐴𝑿 = *𝜔 ∈ Ω ∶ 𝒙 ≤ 𝑿+ es

un evento. La notación (𝒙 ≤ 𝑿) es una forma compacta de escribir

(𝑥1 𝜔 ≤ 𝑋1, 𝑥2 𝜔 ≤ 𝑋2, … , 𝑥𝑛 𝜔 ≤ 𝑋𝑛) ii. 𝑃 𝑥1 𝜔 ≤ 𝑋1, 𝑥2 𝜔 ≤ 𝑋2, … , 𝑥𝑖 𝜔 = +∞,… , 𝑥𝑛 𝜔 ≤ 𝑋𝑛 = 0 ; ∀𝑖 iii. 𝑃 𝑥1 𝜔 ≤ 𝑋1, 𝑥2 𝜔 ≤ 𝑋2, … , 𝑥𝑖 𝜔 = −∞,… , 𝑥𝑛 𝜔 ≤ 𝑋𝑛 = 0 ; ∀𝑖

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Ejemplo 9: Vector Aleatorio

Considere el lanzamiento de una moneda. El espacio de muestras asociado a esta experiencia es el conjunto

Ω = *cara, sello+

Se define el vector aleatorio 𝒙 = 𝑥1 𝑥2𝑇 de la siguiente manera

𝒙 = cara =−1 0

𝒙 = sello =1 1

El evento 𝐴𝑋 es dado por

𝐴𝑋 =

∅ ; 𝑿 ∈ ℛ1

cara ; 𝑿 ∈ ℛ2

Ω ; 𝑿 ∈ ℛ3

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Un terminal transmite datos para un computador utilizando dígitos binarios (bits). En el trayecto, debido a imperfecciones del canal de transmisión, estos bits pueden ser alterados produciendo en la recepción datos errados por el computador.

1 1

0 0

𝑥1

𝑥2

𝑝

1 − 𝑝

1 − 𝑝

𝑝

Canal Binario • 𝑥1 = dígitos Tx • 𝑥2 = dígitos Rx • 𝑥1 y 𝑥2 asumen valores entre

0 y 1. • considere un vector 𝒙

bidimensional, cuyas componentes son las v.a. 𝑥1 y 𝑥2

𝒙 =𝑥1𝑥2

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Ω𝐱 =10

,11

,01

,00

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FUNCIÓN DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UN VECTOR ALEATORIO

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FDP de un Vector Aleatorio

La función 𝐹𝑥 es también llamada función distribución conjunta de las variables aleatorias *𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛+. Se utiliza la notación:

𝐹𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛)

Definición 14: Función Distribución de Probabilidad de un Vector Aleatorio. La función distribución de probabilidad asociada a un vector aleatorio 𝒙 es una función

𝐹𝑥: ℝ𝑛 ⟼ ℝ

𝑿 ⟼ 𝐹𝑥 𝑋

donde 𝐹𝑥 𝑿 = 𝑃 𝐴𝑿 = 𝑃 𝒙 ≤ 𝑿 = 𝑃(𝑥1 ≤ 𝑋1, 𝑥2 ≤ 𝑋2, … , 𝑥𝑛 ≤ 𝑋𝑛)

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FDP de un Vector Aleatorio

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Ejemplo 11: FDP vector aleatorio

Considere la situación del ej. 9, respecto al lanzamiento de una moneda. Asuma que la probabilidad de ocurrir «cara» es igual a 𝑝, o sea, 𝑃 cara = 𝑝. Consecuentemente, 𝑃 sello = 1 − 𝑝. Obtener la FDP del vector aleatorio 𝒙.

𝐹𝑥 = 𝑿 = 𝑃 𝐴𝑿 =

0 ; 𝑿 ∈ ℛ1

𝑝 ; 𝑿 ∈ ℛ2

1 ; 𝑿 ∈ ℛ3

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Ejemplo 12: FDP vector aleatorio

Considere nuevamente la situación del ej. 10, donde un terminal transmite datos para un computador utilizando dígitos binarios (bits) a través de un canal de transmisión ruidoso. Asuma que las probabilidades de transmitir cada uno de los

dígitos son iguales, o sea, 𝑃 𝑥1 = 0 = 𝑃 𝑥1 = 1 =1

2. Obtenga

la FDP del vector aleatorio 𝒙 considerando el evento 𝐴𝑿.

𝐹𝑥 (𝑿) = 𝑃(𝐴𝑿 ) =

0 ; 𝑿 ∈ ℛ1𝑝

2 ; 𝑿 ∈ ℛ2

1

2 ; 𝑿 ∈ ℛ3

1

2 ; 𝑿 ∈ ℛ4

1; 𝑿 ∈ ℛ5

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Propiedades de la FDP de un Vector aleatorio

Propiedad 5: Propiedades de la FDP de un vector aleatorio i. 𝐹𝒙 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑖−1, −∞, 𝑋𝑖+1, … , 𝑋𝑛 = 0 ; ∀

ii. 𝐹𝒙 +∞,+∞,… ,+∞ = 1 ; ∀𝑖

iii. 𝐹𝒙 es monótona no decreciente en cada argumento.

iv. 𝐹𝒙 es continua por la derecha en cada argumento.

v. lim

𝑋𝑖→∞

𝑖=1,…,𝑛𝑖≠𝑗

𝐹𝒙 𝑿 = 𝐹𝑥𝑗(𝑋𝑗) fralbe.com


Para demostrar la propiedad v, se observa que a partir de

𝐹𝑥 𝑿 = 𝑃 𝐴𝑿 = 𝑃 𝒙 ≤ 𝑿 = 𝑃(𝑥1 ≤ 𝑋1, 𝑥2 ≤ 𝑋2, … , 𝑥𝑛 ≤ 𝑋𝑛) Se tiene:

lim𝑋𝑖→∞

𝑖=1,…,𝑛𝑖≠𝑗

𝐹𝒙 𝑿 = 𝑃 𝑥1 ≤ ∞, 𝑥2 ≤ ∞,… , 𝑥𝑗 ≤ 𝑋𝑗 , … , 𝑥𝑛 ≤ ∞

= 𝑃 𝑥𝑗 ≤ 𝑋𝑗 = 𝐹𝑥𝑗 𝑋𝑗

Esta propiedad indica la manera por la cual es posible obtener, a partir de una función distribución de probabilidad conjunta de varias variables, las funciones distribución de probabilidad de cada una de ellas.

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Para el caso particular de dos variables aleatorias, la propiedad v, se reduce a:

𝐹𝑥 𝑋 = lim𝑌→∞

𝐹𝑥𝑦(𝑋, 𝑌)

𝐹𝑦 𝑌 = lim

𝑋→∞𝐹𝑥𝑦(𝑋, 𝑌)

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Ejemplo 13: Propiedades FDP de un vector aleatorio

Ej. de Propiedad v. Considere la FDP del ejemplo 12. Determinar las funciones distribución de probabilidad de las componentes 𝑥1 y 𝑥2 del vector 𝒙.

Fx1 X1 = limX2→∞

F𝐱 𝐗 =

0 ; −∞ < 𝑋1 < 01

2 ; 0 ≤ 𝑋1 < 1

1 ; 1 ≤ 𝑋1 < ∞

Fx2 X2 = limX1→∞

F𝐱 𝐗 =

0 ; −∞ < 𝑋2 < 01

2 ; 0 ≤ 𝑋2 < 1

1 ; 1 ≤ 𝑋2 < ∞

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FUNCIÓN DENSIDAD DE PROBABILIDAD DE UN VECTOR ALEATORIO

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Función densidad de probabilidad de un vector aleatorio

Definición 15: fdp de un vector aleatorio Para un vector aleatorio 𝒙 con función distribución de probabilidad 𝐹𝑥 diferenciable, la fdp se define por la relación

𝑝𝒙 𝑿 = 𝑝𝑥1 𝑥2 …𝑥𝑛 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛

=𝛿𝑛

𝛿𝑋1 𝛿𝑋2 … 𝛿𝑋𝑛𝐹𝑥1 𝑥2 …𝑥𝑛(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛)

la función 𝑝𝑥 también suele llamarse función densidad de probabilidad conjunta de las variables aleatorias *𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛+ fra

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Propiedades de la fdp de un vector aleatorio

Propiedad 6: Propiedades de la fdp de un vector aleatorio

i. … 𝑝𝑥1 𝑥2 …𝑥𝑛 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 𝑑𝑢1 𝑑𝑢2 … 𝑑𝑢𝑛

𝑋𝑛−∞

𝑋2−∞

𝑋1−∞

= 𝐹𝑥1 𝑥2 …𝑥𝑛 𝑋1, 𝑋2 …𝑋𝑛

ii. … 𝑝𝑥1 𝑥2 …𝑥𝑛 𝑋1 𝑋2 …𝑋𝑛 𝑑𝑋1 𝑑𝑋2…𝑑𝑋𝑛∞

−∞= 1

∞

−∞

∞

−∞

iii. 𝑝𝑥1 𝑥2 …𝑥𝑛 𝑋1 𝑋2 …𝑋𝑛 ≥ 0

iv. … 𝑝𝑥1 𝑥2 …𝑥𝑛 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 𝑑𝑢1 𝑑𝑢2 … 𝑑𝑢𝑛

∞

−∞

𝑋𝑗−∞

∞

−∞

= 𝑝𝑥𝑗 𝑢𝑗 𝑑𝑢𝑗∞

−∞= 𝐹𝑥𝑗 𝑋𝑗

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Propiedad 6: Propiedades de la fdp de un vector aleatorio v. …

∞

−∞

∞

−∞

𝑛−1

𝑝𝑥1…𝑥𝑛 𝑢1, … , 𝑢𝑗−1, 𝑋𝑗 , 𝑢𝑗+1, … , 𝑢𝑛 𝑑𝑢1 …𝑑𝑢𝑗−1𝑑𝑢𝑗+1 …𝑑𝑢𝑛 = 𝑝𝑥𝑗 𝑋𝑗

vi. 𝑃 𝒙 ∈ 𝒮 = … 𝑝𝑥1 𝑥2…𝑥𝑛 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 𝑑𝑋1 𝑑𝑋2 … 𝑑𝑋𝑛𝒮

La propiedad v indica la manera por la cual es posible obtener, a partir de una función densidad de probabilidad conjunta de varias variables, las funciones densidad de probabilidad de cada una de ellas.

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Para el caso particular de dos variables aleatorias, la propiedad v, se reduce a:

𝑝𝑥 𝑋 = 𝑝𝑥𝑦 𝑋, 𝑣 𝑑𝑣∞

−∞

𝑝𝑦 𝑌 = 𝑝𝑥𝑦 𝑢, 𝑌 𝑑𝑢∞

−∞

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Ejemplo 14: Propiedades de la fdp de un vector aleatorio

Un tren llega a una estación y para por cinco minutos antes de proseguir. El instante de llegada del tren, contando a partir de las 9:00, en minutos, puede ser modelado por una v.a. 𝑡 con función densidad de probabilidad

𝑝𝑡 𝑇 = 0.15𝑒−0.15𝑇 𝑢(𝑇) 1. Calcule la probabilidad de que el tren llegue antes de las 9:20. 2. Asuma que un estudiante quiere llegar a tomar el tren

a) Determine el máximo atraso que el estudiante puede tener para que la probabilidad de que el tome el tren sea mayor que 0.5.

b) Considere que el instante de llegada del estudiante a la estación (contado a partir de las 9:00, en minutos) sea una v.a. 𝑥, y que la fdp conjunta de las variables 𝑡 y 𝑥 sea dada por

𝑝𝑡𝑥 𝑇, 𝑋 = 0.06 𝑒−0.15𝑇+0.4𝑋 𝑢 𝑇 𝑢(𝑋) Calcule la probabilidad de que el estudiante tome el tren.

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Ejemplo 14: Propiedades de la fdp de un vector aleatorio

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Ejemplo 15: fdp de un vector aleatorio

La señal recibida en una llamada radioeléctrica puede ser representada por 𝑟 𝑡 = 𝑎 cos 2𝜋𝑓0𝑡 + 𝜃 ; 𝑎 > 0

donde la amplitud 𝑎 y la fase 𝜃 son v.a. Alternativamente es posible escribir 𝑟(𝑡) como

𝑟 𝑡 = 𝑥 cos 2𝜋𝑓0𝑡 + 𝑦 sin(2𝜋𝑓0𝑡) donde

𝑥 = 𝑎 cos(𝜃) y

𝑦 = −𝑎 sin (𝜃) Se sabe que 𝑥 y 𝑦 son v.a. con densidad de probabilidad conjunta

𝑝𝑥𝑦 𝑋, 𝑌 =1

2𝜋𝜍2𝑒−𝑋2+𝑌2

2𝜎2

1. Determine la probabilidad de que la amplitud 𝑎 de la señal recibida exceda un determinado valor 𝐴, o sea, determine 𝑃(𝑎 > 𝐴).

2. Encuentre la función densidad de probabilidad 𝑝𝑥(𝑋) de la v.a. 𝑥.

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FUNCIÓN DISTRIBUCIÓN Y DENSIDAD DE PROBABILIDAD CONDICIONALES

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FDP y fdp condicionales

Demostrar

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Definición 16: Independencia Estadística entre Dos Variables Aleatorias. Dos variables aleatorias 𝑥 y 𝑦 son estadísticamente independientes cuando

𝐹𝑥𝑦 𝑋, 𝑌 = 𝐹𝑥 𝑋 𝐹𝑦(𝑌)

Si las funciones en la definición 16, son diferenciables resulta como condición equivalente

𝑃𝑥𝑦 𝑋, 𝑌 = 𝑝𝑥 𝑋 𝑝𝑦(𝑌)

lo que lleva a las siguientes condiciones como definición de independencia estadística

𝑝𝑥|𝑦=𝑌 𝑋 = 𝑝𝑥(𝑋)

o 𝑝𝑦|𝑥=𝑋 𝑌 = 𝑝𝑦(𝑌) fralbe.com


Definición 17: Independencia Estadística entre Variables Aleatorias. Las variables aleatorias *𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛+ son estadísticamente independientes cuando

𝐹𝑥1𝑥2…𝑥𝑛 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 = 𝐹𝑥𝑖(𝑋𝑖)

𝑛

𝑖=1

Si las funciones son diferenciables, se tiene como condiciones equivalente de independencia

𝑝𝑥1 𝑥2 …𝑥𝑛 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 = 𝑝𝑥𝑖(𝑋𝑖)

𝑛

𝑖=1

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Ejemplo 16 La figura muestra la medida de tensión de ruido de un circuito en determinado punto. Los valores de esta tensión en dos instantes 𝑡1 y 𝑡2 pueden ser caracterizados por dos v.a. 𝑥 y 𝑦, conjuntamente gaussianas. Esto significa que la función densidad de probabilidad conjunta de estas dos variables tienen la forma

𝑝𝑥𝑦 𝑋, 𝑌 =1

2𝜋𝜍2 1 − 𝜌2𝑒−

12 𝑋2−2𝜌𝑋𝑌+𝑌2

𝜎2 1−𝜌2

Determine 1. La función densidad de probabilidad marginal 𝑝𝑦(𝑌) de la v.a. 𝑦.

2. La función densidad de probabilidad condicional 𝑝𝑦|𝑥=𝑋(𝑌) y concluya

sobre la independencia o no de las variables 𝑥 y 𝑦. 3. Para 𝜍 = 1 y 𝜌 = 0.9, la probabilidad de que 𝑦 exceda el valor 3, o sea,

𝑃(𝑦 > 3). 4. Para los valores numéricos del ítem 3, la probabilidad de que 𝑦 exceda el

valor 3, si se sabe que 𝑥 = 3, o sea 𝑃(𝑦 > 3|𝑥 = 3).

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Ejemplo 16

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Ejemplo 16

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REFERENCIAS

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Referencias

• ALBUQUERQUE, J. P. A.; FORTES, J. M.; FINAMORE, W. A. (1993) Modelos Probabilísticos em Engenharia Elétrica; Rio de Janeiro: Publicação CETUC.

• Marco Grivet, Procesos Estocásticos I, Centro de Estudios em Telecomunicaciones – CETUC, 2006. [Slide]

• Universidad de Cantabria, Teoría de la Probabilidad, Teoría de la Comunicación, Curso 2007-2008. [Slide]

• WALPOLE, MYERS, MYERS, YE, (2012) Probabilidad y estadística para ingenería y ciencias, novena edición. (Temas en los que puede apoyar: Teoría de probabilidad, variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado, etc.).

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