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Tema 3. Variables aleatorias

transparencias variables aleatorias

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resumen de la clase de variables aletorias

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  • Tema 3. Variables aleatorias

  • Desde siempre, los seres humanos han intentado reducir todo lo que ocurre a su alrededor a magnitudes

    comparables; es decir, a nmeros reales.

    La idea de variable aleatoria es representar los resultados de un experimento aleatorio como valores numricos.

    Experimento aleatorio: Lanzar un dado. Variable aleatoria: puntuacin obtenida al lanzar el dado.

    Experimento aleatorio: Lanzar una moneda tres veces. Variable aleatoria: nmero de caras que se obtienen al lanzar una moneda tres veces.

    Experimento aleatorio: medir el tiempo de acceso a una pgina web. Variable aleatoria: tiempo de acceso en segundos.

    Tema 3. Concepto de variable aleatoria

  • Las variables aleatorias asignan nmeros a los resultados que se pueden obtener al realizar un experimento

    aleatorio.

    Las variables aleatorias son importantes porque:

    a) Nos permiten manejar con mayor facilidad los experimentos aleatorios, ya que convierten en valores

    numricos los resultados.

    b) Nos permiten estudiar simultneamente experimentos aparentemente distintos pero que comparten

    caractersticas comunes.

    Definicin de variable aleatoria

    Una variable aleatoria es una funcin : , que asocia un nmero real, X(), a cada resultado del espacio muestral, , de un experimento aleatorio.

    El nmero X() se llama imagen del resultado .

    El conjunto X( ) se llama imagen del espacio muestral .

    Se llama aleatoria porque al no conocer el resultado del experimento antes de realizarlo, tampoco conocemos el

    valor que va a tomar la variable.

    Tema 3. Concepto de variable aleatoria

  • Ejemplo 1

    Consideremos el lanzamiento de dos monedas equilibradas, y definimos la v.a. (variable aleatoria) X: nmero

    de caras obtenidas al lanzar las dos monedas

    : {CC}2

    {CF}1

    {FC}1

    {FF}0

    Sea un espacio muestral sobre cuyos subconjuntos tenemos definida una probabilidad P y sea X una variable

    aleatoria definida sobre dicho espacio. La variable X induce en el conjunto de los nmeros reales una

    probabilidad que a cada conjunto A de nmeros reales le asigna un valor (), definido de la forma:

    = = : =

    La probabilidad inducida por la variable aleatoria del ejemplo 1 es:

    0 = = 0 = {}) = 1/4 1 = = 1 = {}) = 2/4 2 = = 2 = {}) = 1/4

    Tema 3. Concepto de variable aleatoria

  • Tema 3. Concepto de variable aleatoria. Clasificacin

    Rango de una variable aleatoria (DX)

    Conjunto de valores que puede tomar dicha variable aleatoria en .

    Segn el rango clasificaremos las variables aleatorias en dos tipos:

    Variables Aleatorias

    Discretas (valores aislados)

    Ej: nmero de piezas defectuosas

    Continuas (Cualquier valor en un intervalo)

    Ej: duracin de un componente de una mquina

    Finitas

    Infinitas numerables

    Acotadas

    No acotadas

  • Tema 3. Variable aleatoria Discretas.

    Una variable aleatoria es discreta si toma un nmero finito o infinito numerable de valores reales,

    = 1, 2 , , , , y la suma de las probabilidades que asigna a esos valores es la unidad:

    =

    = = 1

    Asociada a una variable aleatoria discreta se puede definir una funcin

    p: [0,1]

    definida como

    = = ( = )

    0

    Esta funcin se llama funcin de masa de probabilidad.

    A los puntos que reciben probabilidad positiva se denominan puntos de masa de probabilidad.

  • Tema 3. Variable aleatoria Discretas.

    Para cualquier subconjunto B , se tiene que

    =

    =

    Como caso particular, la probabilidad del subconjunto = (, ], es la suma de las probabilidades de todos los puntos de masa inferiores o iguales a x

    =

    ( = )

    Asociada a una variable aleatoria discreta se puede definir una funcin

    F: [0,1]

    definida como

    = =

    ( = )

    Esta funcin se llama funcin de distribucin de la v.a. X.

  • Tema 3. Variable aleatoria Discretas.

    Esta funcin verifica que:

    1) Es no decreciente: Si , tales que < () ()2) Es continua por la derecha: Para todo , lim

    + = ()

    3) lim

    = 0 y lim

    = 1

    A partir de la funcin de masa es fcil obtener la funcin de distribucin.

    Ejemplo 2

    Sea X la variable aleatoria: nmero de motores averiados en cierta mquina compuesta por tres motores

    El rango de la variable DX = {0, 1, 2, 3} con probabilidades

    = 0 = 0.512; = 1 = 0.384; = 2 = 0.096; = 3 = 0.008;Funcin de masa:

    =

    0.512 = 00.384 = 10.096 = 20.008 = 30

  • Tema 3. Variable aleatoria Discretas.

    Ejemplo 2 (continuacin)

    Vamos a calcular la funcin de distribucin:

    Si x < 0, F(x) = 0

    Si 0 x < 1, F(x) = p(0) = 0.512

    Si 1 x < 2, F(x) = p(0) + p(1) = 0.896

    Si 2 x < 3, F(x) = p(0) + p(1) + p(2) = 0.992

    Si x 3, F(x) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3) = 1

    Por tanto,

    =

    0 < 00.512 0 < 10. 896 0 < 10.992 0 < 1

    1 3

    La funcin de distribucin de una v.a. discreta es discontinua a tramos constantes, es decir, escalonada.

  • Tema 3. Variable aleatoria Discretas.

    Hemos visto cmo a partir de la funcin de masa obtenemos la funcin de distribucin.

    Recprocamente, a partir de la funcin de distribucin podemos obtener la funcin de masa teniendo en cuenta

    que:

    = < =

    ()

    Al lmite

    () Lo notaremos por (

    ), por lo que = () ().

    De la anterior igualdad se deduce que:

    p(xi) = 0 si y slo si xi es un punto de continuidad de F. p(xi) > 0 si y slo si xi es un punto de discontinuidad de F y, adems p(xi) es el valor del salto de F en xi.

    Por tanto, los puntos de masa de probabilidad o puntos con probabilidad positiva coinciden con los puntos de

    discontinuidad de la funcin de distribucin.

    Como una variable aleatoria discreta slo toma un conjunto finito o infinito numerable de valores, su funcin de

    distribucin tiene a lo sumo un conjunto infinito numerable de discontinuidades, de salto finito, y la suma de los

    valores de todos los saltos es la unidad.

  • Tema 3. Variable aleatoria Discretas.

    Ejemplo 3

    Calcular la funcin de masa de la variable aleatoria X cuya funcin de distribucin viene dada por

    =

    01/62/31

    < 1 1 < 1 1 < 3 3

    Los puntos con probabilidad positiva son los puntos de discontinuidad de F, x = 1, 1, 3, y sus probabilidades son

    1 = = 1 = 1 1 = 1/6 1 = = 1 = 1 1 = 1/6 1 = = 1 = 1 1 = 1/6

    Por tanto, la funcin de masa de X es =

    1/61/21/30

    = 1 = 1 = 3

  • Tema 3. Variable aleatoria Discretas.

    Una v.a. discreta queda totalmente determinada si conocemos su rango y su funcin de masa o su funcin de distribucin.

    Se llama distribucin de probabilidad de una variable aleatoria X al conjunto de valores que toma la v.a. y a

    su funcin masa, o bien, al conjunto de valores que toma la v.a. y a su funcin de distribucin.

    Cmo calcular probabilidades de intervalos a travs de la funcin de distribucin F de una v.a. X?

    ( = ) = () () () = lim

    ()

    ( ) = () ( < ) = ()( > ) = 1 () ( ) = 1 ()( < ) = () () ( < ) = () () < < = =

    para todo , tales que < .

  • Tema 3. Variable aleatoria Discretas.

    Ejemplo 4

    En el ejemplo 2:

    ( = 1) = (1) (1) = 0.896 0.512 = 0.384

    ( = 0.5) = (0.5) (0.5) = 0.512 0.512 = 0

    1 < 3 = 3 1 = 1 0.896 = 0.104= ( = 2) + ( = 3) = 0.096 + 0.008 = 0.104

    P(1 X 3) = F(3) F(1) = 1 0.512 = 0.488= P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0.384 + 0.096 + 0.008 = 0.488

    P(1 < X < 3) = F(3) F(1) = 0.992 0.896 = 0.096= P(X = 2) = 0.096

    P(1 X < 3) = F(3) F(1) = 0.992 0.512 = 0.48= P(X = 1) + P(X = 2) = 0.384 + 0.096 = 0.48

  • Tema 3. Variables aleatorias. Resumen.

    o Discretas:

    Toman un conjunto finito o infinito numerable de valores.

    Se define para ellas la funcin de masa, que es no negativa y sus valores deben sumar 1.

    La funcin de distribucin es discontinua y escalonada (a tramos constantes).

    Los puntos de discontinuidad de la funcin de distribucin coinciden con los valores que toma la variable, por lo que la suma de todos los saltos de la funcin de distribucin es 1.

  • Tema 3. Variables aleatorias. Medidas.

    Medidas centrales

    Esperanza matemtica o media

    MedianaModa

    Percentiles y Cuartiles

    Varianza

    Desviacin tpica

  • Tema 3. Medidas de posicin. Esperanza matemtica.

    La esperanza matemtica, (), o media,

    La esperanza matemtica, (), o media, , de una variable aleatoria se define, en caso deexistir, de la siguiente forma

    = =

    =1

    =

    =1

    =

    La esperanza matemtica o media de una v.a. puede no existir (salvo en el caso de v.a. discretas

    finitas para las que siempre existe). En caso de existir, es nica.

  • Tema 3. Medidas de posicin. Esperanza matemtica.

    Ejemplo 5

    Consideremos la variable aleatoria: nmero de motores averiados en cierta mquina compuesta por tres

    motores vista en el ejemplo 2. El rango de la variable = {0, 1, 2, 3} con probabilidades:

    = 0 = 0.512; = 1 = 0.384; = 2 = 0.096; = 3 = 0.008;

    La esperanza matemtica es: () = 0 0.512 + 1 0.384 + 2 0.096 + 3 0.008 = 0.6.

  • Tema 3. Medidas de posicin. Propiedades de la esperanza matemtica

    1. Si una variable aleatoria slo toma valores positivos, su esperanza matemtica es positiva.

    2. Si toma un nico valor c, su esperanza matemtica es ; es decir, si ( = ) = 1, entonces () = .3. Si es una variable que est acotada entre dos valores, es decir, < < , entonces su esperanza existe y

    est acotada por los mismos valores, es decir, < () < .4. Si X es una v.a. cuya esperanza existe y g: IR IR es una funcin continua, entonces

    ( ) =

    =1

    () =

    =1

    () =

    5. Linealidad de la esperanza: Si es una v.a. para la que su esperanza existe, y le aplicamos una transformacin lineal, es decir, consideramos = + con , IR, entonces

    ( ) = ( + ) = + ().

  • Tema 3. Medidas de posicin. Mediana.

    Mediana

    La mediana de una variable aleatoria X es un valor real, que notaremos , queverifica las siguientes dos condiciones

    ( ) 0.5 y ( ) 0.5

    La mediana siempre existe, pero puede no ser nica. En caso de no ser nica,

    hay infinitas medianas.

    En trminos de la funcin de distribucin, podemos definir la mediana como un valor real , tal que() 0.5 ()

  • Clculo de la mediana a travs de la funcin de distribucin:

    Para variables aleatorias discretas:

    Si la funcin de distribucin no vale 0.5 en ningn punto, la mediana es el valor de la variable tal que la funcin de distribucin en l supera por primera vez el valor 0.5.

    Si la funcin de distribucin vale 0.5 en algn intervalo, todo ese intervalo (cerrado) es de medianas, por lo que hay infinitas medianas. En este ltimo caso, a efectos prcticos, se suele tomar como mediana el punto

    medio de este intervalo.

    Tema 3. Medidas de posicin. Mediana.

  • Tema 3. Medidas de posicin. Mediana.

    Ejemplo 6

    Sea una v.a. con funcin de distribucin dada por:

    =

    0, < 10.2 1 < 10.6 1 < 31 3

    En este caso la mediana es Me = 1.

    Ejemplo 7

    Sea una v.a. con funcin de distribucin dada por::

    =

    0, < 10.2 1 < 10.5 1 < 31 3

    En este caso la mediana es cualquier valor del intervalo [1, 3]. A efectos prcticos, si necesitamos utilizar un

    valor de le mediana, se suele tomar el punto medio del anterior intervalo, que es el valor 2.

  • Tema 3. Medidas de posicin. Moda.

    Moda

    En el caso de variables aleatorias discretas, la moda ,Mo, es un valor de mxima probabilidad.

    En el caso de variables aleatorias continuas, la moda ,Mo, es un valor donde la funcin de densidad

    alcanza un mximo.

    La moda puede no existir, ser nica, o puede haber varias modas.

  • Tema 3. Medidas de posicin. Moda.

    Ejemplo 8

    Sea X la v.a. cuya distribucin de probabilidad viene dada por

    = 0 = 0.512, ; = 1 = 0.384, ; = 2 = 0.096; ( = 3) = 0.008

    La moda de esta variable es = 0.

    Ejemplo 9

    Sea X la v.a. cuya distribucin de probabilidad es

    = 0 =1

    3; = 1 =

    1

    3; = 2 =

    1

    6; = 3 =

    1

    6;

    Las modas de esta variable son = 0 y 1. Decimos que es bimodal.

  • Tema 3. Medidas de posicin. Percentiles y Cuartiles.

    Percentiles

    Sea X una v.a. y sea (0, 1), definimos el percentil de orden 100 % de , y lo notamos por100, como un valor real que verifica las siguientes dos condiciones

    100 ( 100) 1 La mediana es un caso particular de percentil, el de orden 50%; es decir, = 50 En trminos dela funcin de distribucin F de la v.a. , podemos definir el percentil de orden 100 % como unvalor 100 tal que

    (100 ) (100)

    Los percentiles se calculan de la misma forma que se ha explicado anteriormente

    para la mediana, pero cambiando el valor 0.5 por el valor .

    Cuartiles

    Los cuartiles son casos particulares de percentiles. Hay tres cuartiles.

    El primer cuartil es 1 = 25

    El segundo cuartil coincide con la mediana: = 2 = 50

    El tercer cuartil es 3 = 75

  • Tema 3. Medidas de posicin. Percentiles y Cuartiles.

    Ejemplo 10

    Sea una v.a. con funcin de distribucin dada por:

    =

    0, < 10.2 1 < 10.6 1 < 31 3

    En este caso 1 = 1; 3 = 3; 15 = 1 y 20 es cualquier valor del intervalo [1, 1].

    Ejemplo 11

    Sea una v.a. con funcin de distribucin dada por::

    =

    0, < 0

    2 0 < 1

    0.5 1 < 20.5 ( 1) 2 < 31 3

    1 es el valor del intervalo (0, 1) tal que 1

    2 = 0.25, por lo que 1 = 0.53 es el valor del intervalo (2, 3) tal que 0.5 3 1 = 0.75, por lo que 3 = 2.5

  • Tema 3. Medidas de dispersin. Varianza.

    Varianza

    La varianza de la v.a. , que notamos por (), () o 2, es la media de los cuadrados de las

    desviaciones de la variable respecto de su media, es decir,

    () = () = 2 = () 2

    La varianza nos mide la dispersin de la distribucin, cuanto ms pequea sea la varianza, ms

    concentrada estar la distribucin alrededor de su media. La varianza puede no existir, puesto que

    es la esperanza de la v.a. () 2 y ya hemos estudiado que la esperanza matemtica nosiempre existe. Se calcula, dependiendo del tipo de variable, de la siguiente forma:

    2 =

    =1

    ()2 =

    =1

    ()2 =

  • Tema 3. Medidas de dispersin. Propiedades de la varianza

    1. V (X) 0. LA VARIANZA NUNCA PUEDE SER NEGATIVA !!

    2. Las nicas variable aleatorias con varianza nula son las constantes, es decir, las que slo toman un valor con

    probabilidad 1, () = 0 ( = ) = 13. La varianza, en caso de existir, se puede calcular mediante la expresin = 2 () 2, que

    segn el tipo de variable considerada, es de la forma:

    () =

    =1

    2 =

    2

    =1

    2 =

    2

    5. Si es una v.a. para la que su varianza existe, y le aplicamos una transformacin lineal, es decir, consideramos = + con , , entonces

    ( ) = ( + ) = 2 ()

  • Tema 3. Medidas de dispersin. Desviacin tpica.

    Desviacin tpica

    La desviacin tpica, , de la v.a. es la raz cuadrada positiva de la varianza.

    Tiene la ventaja de que se expresa en las mismas unidades que la variable.

  • Tema 3. Medidas de dispersin.

    Ejemplo 12

    Consideremos la variable aleatoria: nmero de motores averiados en cierta mquina compuesta por tres

    motores vista en el ejemplo 1.

    = 0 = 0.512; = 1 = 0.384; = 2 = 0.096; ( = 3) = 0.008

    Esperanza Matemtica:

    () = 0 0.512 + 1 0.384 + 2 0.096 + 3 0.008 = 0.6Varianza:

    () = (0 0.6)2 0.512 + (1 0.6)2 0.384 + (2 0.6)2 0.096 + (3 0.6)2 0.008 = 0.48

    Otra forma de calcular la varianza es:

    () = (2) (())2 = 0.84 0.62 = 0.48;ya que

    (2) = 02 0.512 + 12 0.384 + 22 0.096 + 32 0.008 = 0.84

    Desviacin tpica:

    = + () = 0.69282