transparencias variables aleatorias

Tema 3. Variables aleatorias

Desde siempre, los seres humanos han intentado reducir todo lo que ocurre a su alrededor a magnitudes

comparables; es decir, a números reales.

La idea de variable aleatoria es representar los resultados de un experimento aleatorio como valores numéricos.

• Experimento aleatorio: Lanzar un dado.

• Variable aleatoria: puntuación obtenida al lanzar el dado.

• Experimento aleatorio: Lanzar una moneda tres veces.

• Variable aleatoria: número de caras que se obtienen al lanzar una moneda tres veces.

• Experimento aleatorio: medir el tiempo de acceso a una página web.

• Variable aleatoria: tiempo de acceso en segundos.

Tema 3. Concepto de variable aleatoria

Las variables aleatorias asignan números a los resultados que se pueden obtener al realizar un experimento

aleatorio.

Las variables aleatorias son importantes porque:

a) Nos permiten manejar con mayor facilidad los experimentos aleatorios, ya que convierten en valores

numéricos los resultados.

b) Nos permiten estudiar simultáneamente experimentos aparentemente distintos pero que comparten

características comunes.

Definición de variable aleatoria

Una variable aleatoria es una función 𝑿:Ω → , que asocia un número real, X(ω), a cada resultado ω del

espacio muestral, Ω, de un experimento aleatorio.

El número X(ω) se llama imagen del resultado ω.

El conjunto X(Ω ) se llama imagen del espacio muestral Ω.

Se llama aleatoria porque al no conocer el resultado del experimento antes de realizarlo, tampoco conocemos el

valor que va a tomar la variable.


Ejemplo 1

Consideremos el lanzamiento de dos monedas equilibradas, y definimos la v.a. (variable aleatoria) X: “número

de caras obtenidas al lanzar las dos monedas”

𝑿 : Ω →

CC→2

CF→1

FC→1

FF→0

Sea Ω un espacio muestral sobre cuyos subconjuntos tenemos definida una probabilidad P y sea X una variable

aleatoria definida sobre dicho espacio. La variable X induce en el conjunto de los números reales una

probabilidad 𝑃𝑋 que a cada conjunto A de números reales le asigna un valor 𝑃𝑋(𝐴), definido de la forma:

𝑷𝑿 𝑨 = 𝑷 𝑿−𝟏 𝑨 = 𝑷 𝝎 ∈ Ω:𝑿 𝝎 ∈ 𝑨 = 𝑷 𝑿 ∈ 𝑨

La probabilidad inducida por la variable aleatoria del ejemplo 1 es:

𝑃𝑋 0 = 𝑃 𝑋 = 0 = 𝑃 𝐹𝐹) = 1/4𝑃𝑋 1 = 𝑃 𝑋 = 1 = 𝑃 𝐶𝐹 ∪ 𝐹𝐶) = 2/4𝑃𝑋 2 = 𝑃 𝑋 = 2 = 𝑃 𝐶𝐶) = 1/4


Tema 3. Concepto de variable aleatoria. Clasificación

Rango de una variable aleatoria (DX)

Conjunto de valores que puede tomar dicha variable aleatoria en .

Según el rango clasificaremos las variables aleatorias en dos tipos:

Variables Aleatorias

Discretas (valores aislados)

Ej: número de piezas defectuosas

Continuas (Cualquier valor en un intervalo)

Ej: duración de un componente de una máquina

Finitas

Infinitas numerables

Acotadas

No acotadas

Tema 3. Variable aleatoria Discretas.

Una variable aleatoria es discreta si toma un número finito o infinito numerable de valores reales,

𝐷𝑋 = 𝑥1, 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑘 , ⋯ , y la suma de las probabilidades que asigna a esos valores es la unidad:

𝑥𝑖∈𝐷𝑋

𝑃𝑋 𝑥𝑖 =

𝑥𝑖∈𝐷𝑋

𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 = 1

Asociada a una variable aleatoria discreta se puede definir una función

p: →[0,1]

definida como

𝑝 𝑥 = 𝑃𝑋 𝑥 = 𝑃(𝑋 = 𝑥) 𝑥 ∈ 𝐷𝑋

0 𝑥 ∉ 𝐷𝑋

Esta función se llama función de masa de probabilidad.

A los puntos que reciben probabilidad positiva se denominan puntos de masa de probabilidad.


Para cualquier subconjunto B ⊂ , se tiene que

𝑃𝑋 𝐵 =

𝑥𝑖∈𝐷𝑋∩𝐵

𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖

Como caso particular, la probabilidad del subconjunto 𝐵 = (−∞, 𝑥], es la suma de las probabilidades de todos

los puntos de masa inferiores o iguales a x

𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝑥𝑖≤𝑥

𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖)

Asociada a una variable aleatoria discreta se puede definir una función

F: →[0,1]

definida como

𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝑥𝑖≤𝑥

𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖)

Esta función se llama función de distribución de la v.a. X.


Esta función verifica que:

1) Es no decreciente: Si 𝑥, 𝑦 ∈ tales que 𝑥 < 𝑦 → 𝐹(𝑥) ≤ 𝐹(𝑦)2) Es continua por la derecha: Para todo 𝑎 ∈ , lim

𝑥→𝑎+𝐹 𝑥 = 𝐹(𝑎)

3) lim𝑥→−∞

𝐹 𝑥 = 0 y lim𝑥→∞

𝐹 𝑥 = 1

A partir de la función de masa es fácil obtener la función de distribución.

Ejemplo 2

Sea X la variable aleatoria: “número de motores averiados en cierta máquina compuesta por tres motores”

El rango de la variable DX = 0, 1, 2, 3 con probabilidades

𝑃 𝑋 = 0 = 0.512; 𝑃 𝑋 = 1 = 0.384; 𝑃 𝑋 = 2 = 0.096; 𝑃 𝑋 = 3 = 0.008;Función de masa:

𝑝 𝑥 =

0.512 𝑆𝑖 𝑥 = 00.384 𝑆𝑖 𝑥 = 10.096 𝑆𝑖 𝑥 = 20.008 𝑆𝑖 𝑥 = 30 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜


Ejemplo 2 (continuación)

Vamos a calcular la función de distribución:

Si x < 0, F(x) = 0

Si 0 ≤ x < 1, F(x) = p(0) = 0.512

Si 1 ≤ x < 2, F(x) = p(0) + p(1) = 0.896

Si 2 ≤ x < 3, F(x) = p(0) + p(1) + p(2) = 0.992

Si x ≥ 3, F(x) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3) = 1

Por tanto,

𝐹 𝑥 =

0 𝑆𝑖 𝑥 < 00.512 𝑆𝑖 0 ≤ 𝑥 < 10. 896 𝑆𝑖 0 ≤ 𝑥 < 10.992 𝑆𝑖 0 ≤ 𝑥 < 1

1 𝑆𝑖 𝑥 ≥ 3

La función de distribución de una v.a. discreta es discontinua a tramos constantes, es decir, escalonada.


Hemos visto cómo a partir de la función de masa obtenemos la función de distribución.

Recíprocamente, a partir de la función de distribución podemos obtener la función de masa teniendo en cuenta

que:

𝒑 𝒙𝒊 = 𝑷 𝑿 ≤ 𝒙𝒊 − 𝑷 𝑿 < 𝒙𝒊 = 𝑭 𝒙𝒊 − 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒙𝒊

−𝑭(𝒙)

Al límite 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝒙𝒊

−𝑭(𝒙) Lo notaremos por 𝑭(𝒙𝒊

−), por lo que 𝐩 𝒙𝒊 = 𝐅(𝒙𝒊) − 𝑭(𝒙𝒊−).

De la anterior igualdad se deduce que:

• p(xi) = 0 si y sólo si xi es un punto de continuidad de F.

• p(xi) > 0 si y sólo si xi es un punto de discontinuidad de F y, además p(xi) es el valor del salto de F en xi.

Por tanto, los puntos de masa de probabilidad o puntos con probabilidad positiva coinciden con los puntos de

discontinuidad de la función de distribución.

Como una variable aleatoria discreta sólo toma un conjunto finito o infinito numerable de valores, su función de

distribución tiene a lo sumo un conjunto infinito numerable de discontinuidades, de salto finito, y la suma de los

valores de todos los saltos es la unidad.


Ejemplo 3

Calcular la función de masa de la variable aleatoria X cuya función de distribución viene dada por

𝐹 𝑥 =

01/62/31

𝑆𝑖 𝑥 < −1𝑆𝑖 − 1 ≤ 𝑥 < 1𝑆𝑖 1 ≤ 𝑥 < 3𝑆𝑖 𝑥 ≥ 3

Los puntos con probabilidad positiva son los puntos de discontinuidad de F, x = −1, 1, 3, y sus probabilidades son

𝑝 −1 = 𝑃 𝑋 = −1 = 𝐹 −1 − 𝐹 −1− = 1/6𝑝 −1 = 𝑃 𝑋 = −1 = 𝐹 −1 − 𝐹 −1− = 1/6𝑝 −1 = 𝑃 𝑋 = −1 = 𝐹 −1 − 𝐹 −1− = 1/6

Por tanto, la función de masa de X es 𝑝 𝑥 =

1/61/21/30

𝑆𝑖 𝑥 = −1𝑆𝑖 𝑥 = 1𝑆𝑖 𝑥 = 3𝑂𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜


Una v.a. discreta queda totalmente determinada si conocemos su rango 𝐷𝑋 y su función de masa o su función de

distribución.

Se llama distribución de probabilidad de una variable aleatoria X al conjunto de valores que toma la v.a. y a

su función masa, o bien, al conjunto de valores que toma la v.a. y a su función de distribución.

¿Cómo calcular probabilidades de intervalos a través de la función de distribución F de una v.a. X?

𝑃(𝑋 = 𝑎) = 𝐹(𝑎) − 𝐹(𝑎−) 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐹(𝑎−) = lim𝑥→𝑎−

𝐹(𝑥)

𝑃(𝑋 ≤ 𝑎) = 𝐹(𝑎) 𝑃(𝑋 < 𝑎) = 𝐹(𝑎−)𝑃(𝑋 > 𝑎) = 1 − 𝐹(𝑎) 𝑃(𝑋 ≥ 𝑎) = 1 − 𝐹(𝑎−)𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝐹(𝑏−) − 𝐹(𝑎−)𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝐹 𝑏− − 𝐹 𝑎 𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎−

para todo 𝑎, 𝑏 ∈ tales que 𝑎 < 𝑏.


Ejemplo 4

En el ejemplo 2:

𝑃(𝑋 = 1) = 𝐹(1) − 𝐹(1−) = 0.896 − 0.512 = 0.384

𝑃(𝑋 = 0.5) = 𝐹(0.5) − 𝐹(0.5−) = 0.512 − 0.512 = 0

𝑃 1 < 𝑋 ≤ 3 = 𝐹 3 − 𝐹 1 = 1 − 0.896 = 0.104= 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) = 0.096 + 0.008 = 0.104

P(1 ≤ X ≤ 3) = F(3) − F(1−) = 1 − 0.512 = 0.488

= P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0.384 + 0.096 + 0.008 = 0.488

P(1 < X < 3) = F(3−) − F(1) = 0.992 − 0.896 = 0.096

= P(X = 2) = 0.096

P(1 ≤ X < 3) = F(3−) − F(1−) = 0.992 − 0.512 = 0.48

= P(X = 1) + P(X = 2) = 0.384 + 0.096 = 0.48

Tema 3. Variables aleatorias. Resumen.

o Discretas:

Toman un conjunto finito o infinito numerable de valores.

Se define para ellas la función de masa, que es no negativa y sus valores deben sumar 1.

La función de distribución es discontinua y escalonada (a tramos constantes).

Los puntos de discontinuidad de la función de distribución coinciden con los valores que toma la variable,

por lo que la suma de todos los saltos de la función de distribución es 1.

Tema 3. Variables aleatorias. Medidas.

𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛Medidas centrales

Esperanza matemática o media

Mediana

Moda

Percentiles y Cuartiles

𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛 Varianza

Desviación típica

Tema 3. Medidas de posición. Esperanza matemática.

La esperanza matemática, 𝐸(𝑋), o media, µ𝑋

La esperanza matemática, 𝐸(𝑋), o media, µ𝑋, de una variable aleatoria 𝑋 se define, en caso de

existir, de la siguiente forma

𝐸 𝑋 = µ𝑋 =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖 ∙ 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 𝑆𝑖 𝑋 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎

𝑖=1

∞

𝑥𝑖 ∙ 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 𝑆𝑖 𝑋 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎 𝑦 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

La esperanza matemática o media de una v.a. puede no existir (salvo en el caso de v.a. discretas

finitas para las que siempre existe). En caso de existir, es única.

Tema 3. Medidas de posición. Esperanza matemática.

Ejemplo 5

Consideremos la variable aleatoria: “número de motores averiados en cierta máquina compuesta por tres

motores” vista en el ejemplo 2. El rango de la variable 𝐷𝑋 = 0, 1, 2, 3 con probabilidades:

𝑃 𝑋 = 0 = 0.512; 𝑃 𝑋 = 1 = 0.384; 𝑃 𝑋 = 2 = 0.096; 𝑃 𝑋 = 3 = 0.008;

La esperanza matemática es: 𝐸(𝑋) = 0 · 0.512 + 1 · 0.384 + 2 · 0.096 + 3 · 0.008 = 0.6.

Tema 3. Medidas de posición. Propiedades de la esperanza matemática

1. Si una variable aleatoria sólo toma valores positivos, su esperanza matemática es positiva.

2. Si 𝑋 toma un único valor c, su esperanza matemática es 𝑐; es decir, si 𝑃(𝑋 = 𝑐) = 1, entonces 𝐸(𝑋) = 𝑐.

3. Si 𝑋 es una variable que está acotada entre dos valores, es decir, 𝑎 < 𝑋 < 𝑏, entonces su esperanza existe y

está acotada por los mismos valores, es decir, 𝑎 < 𝐸(𝑋) < 𝑏.4. Si X es una v.a. cuya esperanza existe y g: IR → IR es una función continua, entonces

𝐸(𝑔 𝑋 ) =

𝑖=1

𝑛

𝑔(𝑥𝑖) ∙ 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 𝑆𝑖 𝑋 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎

𝑖=1

∞

𝑔(𝑥𝑖) ∙ 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 𝑆𝑖 𝑋 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎

5. Linealidad de la esperanza: Si 𝑋 es una v.a. para la que su esperanza existe, y le aplicamos una

transformación lineal, es decir, consideramos 𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋 con 𝑎, 𝑏 ∈ IR, entonces

𝐸(𝑌 ) = 𝐸(𝑎 + 𝑏𝑋) = 𝑎 + 𝑏𝐸(𝑋).

Tema 3. Medidas de posición. Mediana.

Mediana

La mediana de una variable aleatoria X es un valor real, que notaremos 𝑀𝑒, que

verifica las siguientes dos condiciones

𝑃(𝑋 ≤ 𝑀𝑒) ≥ 0.5 y 𝑃(𝑋 ≥ 𝑀𝑒) ≥ 0.5

La mediana siempre existe, pero puede no ser única. En caso de no ser única,

hay infinitas medianas.

En términos de la función de distribución, podemos definir la mediana como un valor real 𝑀𝑒, tal que

𝐹(𝑀𝑒−) ≤ 0.5 ≤ 𝐹(𝑀𝑒)

Cálculo de la mediana a través de la función de distribución:

Para variables aleatorias discretas:

• Si la función de distribución no vale 0.5 en ningún punto, la mediana es el valor de la variable tal que la

función de distribución en él supera por primera vez el valor 0.5.

• Si la función de distribución vale 0.5 en algún intervalo, todo ese intervalo (cerrado) es de medianas, por lo

que hay infinitas medianas. En este último caso, a efectos prácticos, se suele tomar como mediana el punto

medio de este intervalo.



Ejemplo 6

Sea 𝑋 una v.a. con función de distribución dada por:

𝐹 𝑥 =

0, 𝑠𝑖 𝑥 < −10.2 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 < 10.6 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 < 31 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3

En este caso la mediana es Me = 1.

Ejemplo 7

Sea 𝑋 una v.a. con función de distribución dada por::

𝐹 𝑥 =

0, 𝑠𝑖 𝑥 < −10.2 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 < 10.5 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 < 31 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3

En este caso la mediana es cualquier valor del intervalo [1, 3]. A efectos prácticos, si necesitamos utilizar un

valor de le mediana, se suele tomar el punto medio del anterior intervalo, que es el valor 2.

Tema 3. Medidas de posición. Moda.

Moda

En el caso de variables aleatorias discretas, la moda ,Mo, es un valor de máxima probabilidad.

En el caso de variables aleatorias continuas, la moda ,Mo, es un valor donde la función de densidad

alcanza un máximo.

La moda puede no existir, ser única, o puede haber varias modas.

Tema 3. Medidas de posición. Moda.

Ejemplo 8

Sea X la v.a. cuya distribución de probabilidad viene dada por

𝑃 𝑋 = 0 = 0.512, ; 𝑃 𝑋 = 1 = 0.384, ; 𝑃 𝑋 = 2 = 0.096; 𝑃(𝑋 = 3) = 0.008

La moda de esta variable es 𝑀𝑜 = 0.

Ejemplo 9

Sea X la v.a. cuya distribución de probabilidad es

𝑃 𝑋 = 0 =1

3; 𝑃 𝑋 = 1 =

1

3; 𝑃 𝑋 = 2 =

1

6; 𝑃 𝑋 = 3 =

1

6;

Las modas de esta variable son 𝑀𝑜 = 0 y 1. Decimos que 𝑋 es bimodal.

Tema 3. Medidas de posición. Percentiles y Cuartiles.

Percentiles

Sea X una v.a. y sea 𝛼 ∈ (0, 1), definimos el percentil de orden 100 ∙ 𝛼 % de 𝑋, y lo notamos por

𝑃100∙α, como un valor real que verifica las siguientes dos condiciones

𝑃 𝑋 ≤ 𝑃100∙α ≥ 𝛼 𝒚 𝑃(𝑋 ≥ 𝑃100∙α) ≥ 1 − 𝛼

La mediana es un caso particular de percentil, el de orden 50%; es decir, 𝑀𝑒 = 𝑃50 En términos de

la función de distribución F de la v.a. 𝑋, podemos definir el percentil de orden 100 ∙ 𝛼% como un

valor 𝑃100∙α tal que

𝐹(𝑃100∙α− ) ≤ 𝛼 ≤ 𝐹(𝑃100∙α)

Los percentiles se calculan de la misma forma que se ha explicado anteriormente

para la mediana, pero cambiando el valor 0.5 por el valor α.

Cuartiles

Los cuartiles son casos particulares de percentiles. Hay tres cuartiles.

El primer cuartil es 𝑄1 = 𝑃25

El segundo cuartil coincide con la mediana: 𝑀𝑒 = 𝑄2 = 𝑃50

El tercer cuartil es 𝑄3 = 𝑃75

Tema 3. Medidas de posición. Percentiles y Cuartiles.

Ejemplo 10

Sea 𝑋 una v.a. con función de distribución dada por:

𝐹 𝑥 =

0, 𝑠𝑖 𝑥 < −10.2 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 < 10.6 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 < 31 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3

En este caso 𝑄1 = 1; 𝑄3 = 3; 𝑃15 = −1 y 𝑃20 es cualquier valor del intervalo [−1, 1].

Ejemplo 11

Sea 𝑋 una v.a. con función de distribución dada por::

𝐹 𝑥 =

0, 𝑠𝑖 𝑥 < 0

𝑥 2 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 1

0.5 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 < 20.5 ∙ (𝑥 − 1) 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 < 31 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3

𝑄1 es el valor del intervalo (0, 1) tal que 𝑄12 = 0.25, por lo que 𝑄1 = 0.5

𝑄3 es el valor del intervalo (2, 3) tal que 0.5 ∙ 𝑄3 − 1 = 0.75, por lo que 𝑄3 = 2.5

Tema 3. Medidas de dispersión. Varianza.

Varianza

La varianza de la v.a. 𝑋, que notamos por 𝑉(𝑋), 𝑣𝑎𝑟(𝑋) o 𝜎𝑋2, es la media de los cuadrados de las

desviaciones de la variable respecto de su media, es decir,

𝑉 (𝑋) = 𝑣𝑎𝑟(𝑋) = 𝜎𝑋2 = 𝐸 𝑋 − 𝐸(𝑋) 2

La varianza nos mide la dispersión de la distribución, cuanto más pequeña sea la varianza, más

concentrada estará la distribución alrededor de su media. La varianza puede no existir, puesto que

es la esperanza de la v.a. 𝑋 − 𝐸(𝑋) 2 y ya hemos estudiado que la esperanza matemática no

siempre existe. Se calcula, dependiendo del tipo de variable, de la siguiente forma:

σ𝑋2 =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋) 2 ∙ 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 𝑆𝑖 𝑋 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎

𝑖=1

∞

𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋) 2 ∙ 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 𝑆𝑖 𝑋 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎 𝑦 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

Tema 3. Medidas de dispersión. Propiedades de la varianza

1. V (X) ≥ 0. ¡¡ LA VARIANZA NUNCA PUEDE SER NEGATIVA !!

2. Las únicas variable aleatorias con varianza nula son las constantes, es decir, las que sólo toman un valor con

probabilidad 1, 𝑉 (𝑋) = 0 ⇔ 𝑃(𝑋 = 𝑐) = 13. La varianza, en caso de existir, se puede calcular mediante la expresión 𝑉 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸(𝑋) 2, que

según el tipo de variable considerada, es de la forma:

𝑉(𝑋) =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖2 ∙ 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 − 𝐸 𝑋

2𝑆𝑖 𝑋 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎

𝑖=1

∞

𝑥𝑖2 ∙ 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 − 𝐸 𝑋

2𝑆𝑖 𝑋 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎

5. Si 𝑋 es una v.a. para la que su varianza existe, y le aplicamos una transformación lineal, es decir,

consideramos 𝑌 = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑋 con 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼𝑅, entonces

𝑉 (𝑌 ) = 𝑉 (𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑋) = 𝑏2 ∙ 𝑉 (𝑋)

Tema 3. Medidas de dispersión. Desviación típica.

Desviación típica

La desviación típica, 𝜎𝑋, de la v.a. 𝑋 es la raíz cuadrada positiva de la varianza.

Tiene la ventaja de que se expresa en las mismas unidades que la variable.

Tema 3. Medidas de dispersión.

Ejemplo 12

Consideremos la variable aleatoria: “número de motores averiados en cierta máquina compuesta por tres

motores” vista en el ejemplo 1.

𝑃 𝑋 = 0 = 0.512; 𝑃 𝑋 = 1 = 0.384; 𝑃 𝑋 = 2 = 0.096; 𝑃(𝑋 = 3) = 0.008

Esperanza Matemática:

𝐸(𝑋) = 0 · 0.512 + 1 · 0.384 + 2 · 0.096 + 3 · 0.008 = 0.6Varianza:

𝑉 (𝑋) = (0 − 0.6)2∙ 0.512 + (1 − 0.6)2∙ 0.384 + (2 − 0.6)2∙ 0.096 + (3 − 0.6)2∙ 0.008 = 0.48

Otra forma de calcular la varianza es:

𝑉 (𝑋) = 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))2 = 0.84 − 0.62 = 0.48;

ya que

𝐸(𝑋2) = 02 · 0.512 + 12 · 0.384 + 22 · 0.096 + 32 · 0.008 = 0.84

Desviación típica:

𝜎𝑋 = + 𝑉 (𝑋) = 0.69282

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