- 1. Variables AleatoriasDiscretas Devore Paginas 87-99 Estudiado
el tema Quiz Equipo ITESM-CSN
2.
- Obtener la probabilidad de un evento con la funcin de
probabilidad de una variable aleatoria discreta.
- Establecer las propiedades de la funcin de distribucin de
probabilidad acumulada
- Obtener y graficar la funcin de probabilidad acumulada de una
variable aleatoria discreta
Objetivos 3. 4.
- Unavariable aleatoria:X , asocia un valor numrico con cada uno
de los resultados de un experimento.
Variable aleatoria*
- Para un espacio muestral dado S de algn experimento, una
variable aleatoria (va) es cualquier regla que asocia un nmero con
cada resultado en S.
- En lenguaje matemtico, una va es una funcin cuyo dominio es el
espacio muestral y cuyo rango son los nmeros reales.
- *Aleatorio: antes del experimento no conocemos el
resultado
5. Variable aleatoria
- Variable aleatoria: letras maysculas X, Y Z
- Se utilizarn las letras minsculas para representar algn valor
de la variable aleatoria correspondiente
- X(s)=x significa quexes el valor asociado con el resultadospor
la vaX
6. ActividadEl Nmero de soles como una Variable Aleatoria
- Sea X:el nmero de soles obtenidos en 3 (tres) lanzamientos de
una moneda . (Sol:H, Aguila:T)
- Liste los valores numricos de X y los correspondientes
resultados elementales.
Resultado Valor de X H, H, H 3 H, H, T 2 7. ActividadEl Nmero de
soles como una Variable Aleatoria
- Solucin:Primero X es una variable dado que el nmero de soles en
tres lanzamientos de una moneda puede ser 0, 1, 2 3. Segundo, esta
variable es aleatoria en el sentido de que el valor que ocurrir no
se puede predecir con seguridad. Con lo anterior podemos hacer una
lista de los resultados elementales y sus valores asociados
Resultado Valor de X HHH 3 HHT 2 HTH 2 HTT 1 THH 2 THT 1 TTH 1
TTT 0 8. ActividadEl Nmero de soles como una Variable Aleatoria
-
- Note que para cada resultado elemental hay un solo valorde
X
-
- Sin embargo, varios resultados elementales producen el mismo
valor
-
- Revisando en nuestra lista, identificamos los eventos (i.e. las
colecciones de los resultados elementales) que corresponden a los
valores distintos de X.
Valor numrico de X como un evento Composicin del evento [X=0]=
{TTT} [X=1]= {HTT,THT,TTH} [X=2]= {HHT,HTH,THH} [X=3]= {HHH} 9.
ActividadEl Nmero de soles como una Variable Aleatoria
- Qu se aprendi de la Actividad?
- Los eventos correspondientes a los valores distintos de X son
incompatibles
- La unin de estos eventos es el espacio muestral completo
Tpicamente, los valores posibles de una variable aleatoriaX , se
pueden determinar sin listar el espacio muestral 10.
- Ejemplo 2. Un conteo como variable aleatoria
- 50 autos entraron a una carrera de 100 millas. Sea X el nmero
de carros que terminaron la carrera. Aqu X puede tomar los valores:
0, 1, 2, , 50
- Ejemplo 3. Variable aleatoria sin lmite superior
- Una vez a la semana una estudiante compra un billete de
lotera.Sea X el nmero de boletos que ella comprar antes de que ella
gane al menos $10000 pesos. Los valores posibles de X pueden ser 1,
2, 3, y la lista puede qu nunca termine
11. Tipos de Variable aleatoria
- Discreta :Sus valores posibles constituyen un conjunto finito o
son una lista infinita con cierta secuencia ( contable
infinita)
-
- Primer elemento, Segundo elemento, etc.
- Continua:La variable aleatoria puede tomar cualquier valor de
un intervalo.(posiblemente de extensin infinita)
12. LA DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA
DISCRETA 13. Distribucin de Probabilidad
- LaDistribucin de Probabilidado, simplemente ladistribucin , de
una variable aleatoria discreta Xes la lista de los distintos
valores numricos de X con sus probabilidades asociadas
- Regularmente, se usa una frmula en lugar de una lista
detallada.
14. Ejemplo 4: La funcin de distribucin de lanzar una moneda
- Si X representa el nmero de soles que se obtienen en tres
volados, encuentre la funcin de distribucin de X.
- SOLUCION:Se han listado los ocho resultados elementales y los
valores asociados de X. Los distintos valores de X son 0, 1, 2, y
3. Ahora vamos a calcular sus probabilidades.
15. Ejemplo 4: La funcin de distribucin de lanzar una moneda
- La distribucin de probabilidad de X: el nmero de soles en tres
volados
Valor de X Probabilidad TOTAL 16. Ejemplo 4: La funcin de
distribucin de lanzar una moneda
- El modelo de una moneda legalajusta a que los ocho posibles
resultados son igualmente probables, as que la probabilidad
asignada es 1/8.
- El evento [X=0] tiene un solo resultado TTT, asi que su
probabilidad es 1/8. Las probabilidades de [X=1], [X=2] y [X=3] son
3/8, 3/8 y 1/8 respectivamente.
- Reuniendo estos resultados, obtenemos la distribucin de
probabilidad de X.
17. Ejemplo 4: La funcin de distribucin de lanzar una moneda
- La distribucin de probabilidad de X: el nmero de soles en tres
volados
Valor de X Probabilidad 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 1/8 TOTAL 1 18.
Distribucin de Probabilidad
- En general la funcin de distribucin de probabilidad ( X:
variable aleatoria , x: valores )
Valor de X Probabilidad f(x) x 1 f(x 1 ) x 2 f(x 2 ) x k f(x k )
TOTAL 1 19. Distribucin de Probabilidad
- distribucin de probabilidad (o funcin de masa de
probabilidad)de una variable aleatoria X se describe como la
funcin
- Que proporciona la probabilidad para cada valor y
satisface:
20. Ejemplo 5
- Si la siguiente persona que comprar una computadora en el
Office Depot necesita una porttil o de escritorio? Sea
- Si 20% de todas las compras de una semana fueron de una
porttil,la funcin de probabilidad de Xes:
- f(x)=P(X=x)= 0 para cualquier valor diferente de 0 1
21. Ejemplo 5
- De manera equivalente se representa:
- Grfica de la funcin de probabilidad
22. Ejemplo 3.10 23. Ejemplo 3.10
- Comenzando en un tiempo fijo, se observa el gnero de cada recin
nacido enelhospital del ISSTE hasta que nace un nio (H), sea
p=P(H).
- Sea (1-p)=p(M) la probabilidad de que sea nia.
- Suponga que los nacimientos sucesivos son independientes y
defina la variable aleatoria X mediante X=nmero de nacimientos
observados.
-
- p(2)=P(X=2)=P(M.H)=P(M)*P(H)=(1-p)*p
-
- p(3)=P(X=3)=P(M.M.H)=P(M)* P(M)* P(H)=(1-p) 2 *p
24. Ejemplo 3.10
-
- p(2)=P(X=2)=P(M.H)=P(M)*P(H)=(1-p)*p
-
- p(3)=P(X=3)=P(M.M.H)=P(M)* P(M)* P(H)=(1-p) 2 *p
- Al continuar de esta manera, se obtiene la frmula general
- La cantidad p en la frmula general representa un nmero entre 0
y 1 y es un parmetro de la distribucin de probabilidad.
- Segn INEGI p=0.51 es apropiado
25. Parmetro de unaDistribucin de Probabilidad
- Suponga que p(x) depende de una cantidad a la que se le puede
asignar cualquiera de varios valores posibles, donde cada valor
diferente determina una distribucin de probabilidad distinta.
- A esta cantidad se le llama parmetro de la distribucin
- La coleccin de las distribuciones de probabilidad para
diferentes valores del parmetro se llama familia de distribuciones
de probabilidad.
26. Ejemplo 6.Sea el experimento lanzar dos dados. Definamosel
espacio muestral E como: E = {(1,1),(1,2),...(1,6),...,(5,6),(6,6)}
Definamos la variable aleatoria discretaX:la suma de los puntos que
aparecen en los dados, entonces S = {2,3,...,12} Una posible funcin
de probabilidad es: 27. Funcin de probabilidad de la variable
aleatoria X P 23456789101112X 1/36 2/36 6/36 4/36 5/36 3/36 2/36
1/36 5/36 4/36 3/36 28. Funcin de distribucin acumulativa Dada una
variable aleatoria discretaXse llamafuncin de distribucin
acumulativaa la funcinF(x)definidacomo: Para cualquier nmerox
,F(x)es la probabilidad de que el valor observado deXser cuando
muchox . En el ejemplo de los dos dados:F(5) = P(X 5) = P(x = 2 o x
= 3 o x = 4 o x = 5) F(5) = 1/36 + 2/36 +3/36 + 4/36 = 10/36 29. x
1,0 0,5 0,028 23456789101112 F Funcin de distribucin de la variable
aleatoriaXdel ejemplo de los dados 30. Ejemplo:Dibuja l a funcin de
probabilidad f(x) y la funcin de distribucin F(x) de una variable
discreta definida como: X = Nmero en la cara de un dado. Xtiene
como posibles valores x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 cada un ocon
probabilidad 1/6 0 1 x f(x) 1 0.5 1 0 F(x) x 6 6 F uncin de
probabilidad f(x) F uncin de distribucin F(x) 31. Clculos con la
fda
- De manera general, la probabilidad de que X caiga en un
intervalo especificado se obtiene de la funcin de distribucin
acumulativa (fda)
32. Copyright (c) 2004 Brooks/Cole, a division of Thomson
Learning, Inc. Proposicin For any two numbersaandbwith a represents
the largest possibleXvalue that is strictly less thana .Note:For
integers 33. Copyright (c) 2004 Brooks/Cole, a division of Thomson
Learning, Inc. Probability Distribution for the Random VariableX A
probability distribution for a random variableX : Find 0.65 0.67 x
8 3 1 0 1 4 6 P ( X=x ) 0.13 0.15 0.17 0.20 0.15 0.11 0.09 34.
Ejemplo En el ejemplode los dos dados , calcula la probabilidad de
que los dos dados sumen al menos 4 pero no ms de 8: P (4 X 8) =F
(8) -F (3) = 26/36 - 3/36 = 23/36 35. Tarea
- Buscar en revistas, videos, etc. 2 ejemplos relacionados con
probabilidades de variables aleatorias discretas.
- Devore, Probabilidad y estadstica. Seccin 3.1 y 3.2.
Ejercicios: 1, 7, 10, 11, 13, 23
36. Actividad Guiada
- El profesor te entregar un cuadernillo con una actividad
guiada
- Formar equipos de 2 alumnos
- Rol 1:hacer los clculos. Rol 2. escribir en el cuadernillo
- Producto esperado: El cuadernillo llenado
- Tiempo de elaboracin 30 minutos
