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Variables Aleatorias Discretas Devore Paginas 87-99 Estudiado el tema Quiz Equipo ITESM-CSN 1

Variables aleatorias discretas

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  • 1. Variables AleatoriasDiscretas Devore Paginas 87-99 Estudiado el tema Quiz Equipo ITESM-CSN

2.

  • Obtener la probabilidad de un evento con la funcin de probabilidad de una variable aleatoria discreta.
  • Establecer las propiedades de la funcin de distribucin de probabilidad acumulada
  • Obtener y graficar la funcin de probabilidad acumulada de una variable aleatoria discreta

Objetivos 3. 4.

  • Unavariable aleatoria:X , asocia un valor numrico con cada uno de los resultados de un experimento.

Variable aleatoria*

  • Para un espacio muestral dado S de algn experimento, una variable aleatoria (va) es cualquier regla que asocia un nmero con cada resultado en S.
  • En lenguaje matemtico, una va es una funcin cuyo dominio es el espacio muestral y cuyo rango son los nmeros reales.
  • *Aleatorio: antes del experimento no conocemos el resultado

5. Variable aleatoria

  • Variable aleatoria: letras maysculas X, Y Z
  • Se utilizarn las letras minsculas para representar algn valor de la variable aleatoria correspondiente
  • X(s)=x significa quexes el valor asociado con el resultadospor la vaX

6. ActividadEl Nmero de soles como una Variable Aleatoria

  • Sea X:el nmero de soles obtenidos en 3 (tres) lanzamientos de una moneda . (Sol:H, Aguila:T)
  • Liste los valores numricos de X y los correspondientes resultados elementales.
  • Tiempo: 5 minutos

Resultado Valor de X H, H, H 3 H, H, T 2 7. ActividadEl Nmero de soles como una Variable Aleatoria

  • Solucin:Primero X es una variable dado que el nmero de soles en tres lanzamientos de una moneda puede ser 0, 1, 2 3. Segundo, esta variable es aleatoria en el sentido de que el valor que ocurrir no se puede predecir con seguridad. Con lo anterior podemos hacer una lista de los resultados elementales y sus valores asociados

Resultado Valor de X HHH 3 HHT 2 HTH 2 HTT 1 THH 2 THT 1 TTH 1 TTT 0 8. ActividadEl Nmero de soles como una Variable Aleatoria

  • Solucin:
    • Note que para cada resultado elemental hay un solo valorde X
    • Sin embargo, varios resultados elementales producen el mismo valor
    • Revisando en nuestra lista, identificamos los eventos (i.e. las colecciones de los resultados elementales) que corresponden a los valores distintos de X.

Valor numrico de X como un evento Composicin del evento [X=0]= {TTT} [X=1]= {HTT,THT,TTH} [X=2]= {HHT,HTH,THH} [X=3]= {HHH} 9. ActividadEl Nmero de soles como una Variable Aleatoria

  • Qu se aprendi de la Actividad?
  • Los eventos correspondientes a los valores distintos de X son incompatibles
  • La unin de estos eventos es el espacio muestral completo

Tpicamente, los valores posibles de una variable aleatoriaX , se pueden determinar sin listar el espacio muestral 10.

  • Ejemplo 2. Un conteo como variable aleatoria
  • 50 autos entraron a una carrera de 100 millas. Sea X el nmero de carros que terminaron la carrera. Aqu X puede tomar los valores: 0, 1, 2, , 50
  • Ejemplo 3. Variable aleatoria sin lmite superior
  • Una vez a la semana una estudiante compra un billete de lotera.Sea X el nmero de boletos que ella comprar antes de que ella gane al menos $10000 pesos. Los valores posibles de X pueden ser 1, 2, 3, y la lista puede qu nunca termine

11. Tipos de Variable aleatoria

  • Discreta :Sus valores posibles constituyen un conjunto finito o son una lista infinita con cierta secuencia ( contable infinita)
    • Primer elemento, Segundo elemento, etc.
  • Continua:La variable aleatoria puede tomar cualquier valor de un intervalo.(posiblemente de extensin infinita)

12. LA DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA 13. Distribucin de Probabilidad

  • LaDistribucin de Probabilidado, simplemente ladistribucin , de una variable aleatoria discreta Xes la lista de los distintos valores numricos de X con sus probabilidades asociadas
  • Regularmente, se usa una frmula en lugar de una lista detallada.

14. Ejemplo 4: La funcin de distribucin de lanzar una moneda

  • Si X representa el nmero de soles que se obtienen en tres volados, encuentre la funcin de distribucin de X.
  • SOLUCION:Se han listado los ocho resultados elementales y los valores asociados de X. Los distintos valores de X son 0, 1, 2, y 3. Ahora vamos a calcular sus probabilidades.

15. Ejemplo 4: La funcin de distribucin de lanzar una moneda

  • SOLUCION:
  • La distribucin de probabilidad de X: el nmero de soles en tres volados

Valor de X Probabilidad TOTAL 16. Ejemplo 4: La funcin de distribucin de lanzar una moneda

  • SOLUCION:
  • El modelo de una moneda legalajusta a que los ocho posibles resultados son igualmente probables, as que la probabilidad asignada es 1/8.
  • El evento [X=0] tiene un solo resultado TTT, asi que su probabilidad es 1/8. Las probabilidades de [X=1], [X=2] y [X=3] son 3/8, 3/8 y 1/8 respectivamente.
  • Reuniendo estos resultados, obtenemos la distribucin de probabilidad de X.

17. Ejemplo 4: La funcin de distribucin de lanzar una moneda

  • SOLUCION:
  • La distribucin de probabilidad de X: el nmero de soles en tres volados

Valor de X Probabilidad 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 1/8 TOTAL 1 18. Distribucin de Probabilidad

  • En general la funcin de distribucin de probabilidad ( X: variable aleatoria , x: valores )

Valor de X Probabilidad f(x) x 1 f(x 1 ) x 2 f(x 2 ) x k f(x k ) TOTAL 1 19. Distribucin de Probabilidad

  • distribucin de probabilidad (o funcin de masa de probabilidad)de una variable aleatoria X se describe como la funcin
  • Que proporciona la probabilidad para cada valor y satisface:

20. Ejemplo 5

  • Si la siguiente persona que comprar una computadora en el Office Depot necesita una porttil o de escritorio? Sea
  • Si 20% de todas las compras de una semana fueron de una porttil,la funcin de probabilidad de Xes:
  • f(0)=P(X=0)= 0.80
  • f(1)=P(X=1)= 0.20
  • f(x)=P(X=x)= 0 para cualquier valor diferente de 0 1

21. Ejemplo 5

  • De manera equivalente se representa:
  • Grfica de la funcin de probabilidad

22. Ejemplo 3.10 23. Ejemplo 3.10

  • Comenzando en un tiempo fijo, se observa el gnero de cada recin nacido enelhospital del ISSTE hasta que nace un nio (H), sea p=P(H).
  • Sea (1-p)=p(M) la probabilidad de que sea nia.
  • Suponga que los nacimientos sucesivos son independientes y defina la variable aleatoria X mediante X=nmero de nacimientos observados.
  • Entonces
    • p(1)=P(X=1)=P(H)=p
    • p(2)=P(X=2)=P(M.H)=P(M)*P(H)=(1-p)*p
    • p(3)=P(X=3)=P(M.M.H)=P(M)* P(M)* P(H)=(1-p) 2 *p

24. Ejemplo 3.10

    • p(1)=P(X=1)=P(H)=p
    • p(2)=P(X=2)=P(M.H)=P(M)*P(H)=(1-p)*p
    • p(3)=P(X=3)=P(M.M.H)=P(M)* P(M)* P(H)=(1-p) 2 *p
  • Al continuar de esta manera, se obtiene la frmula general
  • La cantidad p en la frmula general representa un nmero entre 0 y 1 y es un parmetro de la distribucin de probabilidad.
  • Segn INEGI p=0.51 es apropiado

25. Parmetro de unaDistribucin de Probabilidad

  • Suponga que p(x) depende de una cantidad a la que se le puede asignar cualquiera de varios valores posibles, donde cada valor diferente determina una distribucin de probabilidad distinta.
  • A esta cantidad se le llama parmetro de la distribucin
  • La coleccin de las distribuciones de probabilidad para diferentes valores del parmetro se llama familia de distribuciones de probabilidad.

26. Ejemplo 6.Sea el experimento lanzar dos dados. Definamosel espacio muestral E como: E = {(1,1),(1,2),...(1,6),...,(5,6),(6,6)} Definamos la variable aleatoria discretaX:la suma de los puntos que aparecen en los dados, entonces S = {2,3,...,12} Una posible funcin de probabilidad es: 27. Funcin de probabilidad de la variable aleatoria X P 23456789101112X 1/36 2/36 6/36 4/36 5/36 3/36 2/36 1/36 5/36 4/36 3/36 28. Funcin de distribucin acumulativa Dada una variable aleatoria discretaXse llamafuncin de distribucin acumulativaa la funcinF(x)definidacomo: Para cualquier nmerox ,F(x)es la probabilidad de que el valor observado deXser cuando muchox . En el ejemplo de los dos dados:F(5) = P(X 5) = P(x = 2 o x = 3 o x = 4 o x = 5) F(5) = 1/36 + 2/36 +3/36 + 4/36 = 10/36 29. x 1,0 0,5 0,028 23456789101112 F Funcin de distribucin de la variable aleatoriaXdel ejemplo de los dados 30. Ejemplo:Dibuja l a funcin de probabilidad f(x) y la funcin de distribucin F(x) de una variable discreta definida como: X = Nmero en la cara de un dado. Xtiene como posibles valores x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 cada un ocon probabilidad 1/6 0 1 x f(x) 1 0.5 1 0 F(x) x 6 6 F uncin de probabilidad f(x) F uncin de distribucin F(x) 31. Clculos con la fda

  • De manera general, la probabilidad de que X caiga en un intervalo especificado se obtiene de la funcin de distribucin acumulativa (fda)
  • Ejemplo

32. Copyright (c) 2004 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Proposicin For any two numbersaandbwith a represents the largest possibleXvalue that is strictly less thana .Note:For integers 33. Copyright (c) 2004 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Probability Distribution for the Random VariableX A probability distribution for a random variableX : Find 0.65 0.67 x 8 3 1 0 1 4 6 P ( X=x ) 0.13 0.15 0.17 0.20 0.15 0.11 0.09 34. Ejemplo En el ejemplode los dos dados , calcula la probabilidad de que los dos dados sumen al menos 4 pero no ms de 8: P (4 X 8) =F (8) -F (3) = 26/36 - 3/36 = 23/36 35. Tarea

  • Buscar en revistas, videos, etc. 2 ejemplos relacionados con probabilidades de variables aleatorias discretas.
  • Devore, Probabilidad y estadstica. Seccin 3.1 y 3.2. Ejercicios: 1, 7, 10, 11, 13, 23

36. Actividad Guiada

  • El profesor te entregar un cuadernillo con una actividad guiada
  • Formar equipos de 2 alumnos
  • Rol 1:hacer los clculos. Rol 2. escribir en el cuadernillo
  • Producto esperado: El cuadernillo llenado
  • Tiempo de elaboracin 30 minutos