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7/21/2019 Variaveis aleatorias discretas http://slidepdf.com/reader/full/variaveis-aleatorias-discretas-56d7de5cdc4cb 1/41 Estatística II UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ TITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICAD FACULDADE DE ECONOMIA Prof. Dr. Ricardo Bruno Nascimento dos Santos

Variaveis aleatorias discretas

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Estatstica II

Estatstica IIUNIVERSIDADE FEDERAL DO PARINSTITUTO DE CINCIAS SOCIAIS APLICADASFACULDADE DE ECONOMIAProf. Dr. Ricardo Bruno Nascimento dos SantosI Variveis Aleatrias e Distribuies de Probabilidade*) Definio: Seja E um experimento e S o espao associado ao experimento. Uma funo X, que associe a cada elemento s S um nmero real X(s) denominada varivel aleatria.

s SX(s) RXVarivel AleatriaUm empresrio pretende estabelecer uma firma para montagem de um produto composto de uma esfera e um cilindro. As partes so adquiridas em fbricas diferentes (A e B), e a montagem consistir em juntar as duas partes e pint-las. O produto acabado deve ser o comprimento (definido pelo cilindro) e a espessura (definida pela esfera) dentro de certos limites e isso s poder ser verificado aps a montagem. Para estudar a viabilidade de seu empreendimento, o empresrio quer ter uma ideia da distribuio do lucro por pea montada.Sabe-se que cada componente pode ser classificado como bom, longo ou curto, conforme sua medida esteja dentro da especificao, maior ou menor que a especificada, respectivamente. Alm disso, foram obtidos dos fabricantes o preo de cada componente (R$ 5,00) e as probabilidades de produo de cada componente com as caractersticas bom, longo e curto. Tais valores podem ser verificados na tabela a seguirI.1 Variveis Aleatrias DiscretasProdutoFbrica ACilindroFbrica BEsferaDentro das especificaes.............. Bom(B)0,800,70Maior que as especificaes.......... Longo(L)0,100,20Menor que as especificaes......... Curto (C)0,100,10Nosso primeiro objetivo e construir as probabilidades associadas a combinao do produto a ser criado, primeiramente temos que construir o espao amostral (S), como so construdos em fbricas diferentes, consideramos que a construo das peas se d de forma independente, portanto teramos o seguintes elementos em S:Se o produto final apresentar algum componente com defeito com a caracterstica curto (C), ele ser irrecupervel, e o conjunto ser vendido como sucata a R$ 5,00. Cada componente longo poder ser recuperado a um custo adicional de R$ 5,00. Se o preo de venda de cada unidade for R$ 25,00, como seria a distribuio de frequncias da varivel X: Lucro por conjunto montado?Tabela I1I.1 Variveis Aleatrias DiscretasR 4Ento como ficaria a tabelaCom os valores de custo?CilindroEsferaBB0,700,200,100,700,200,100,700,200,100,800,100,10LCBLCBLC0,560,160,080,070,020,010,070,020,01ProdutoProbabilidadeLucro por Montagem (X)BB0,5615BL0,1610BC0,08-5LB0,0710LL0,025LC0,01-5CB0,07-5CL0,02-5CC0,01-5Tabela I2LCI.1 Variveis Aleatrias DiscretasEnto, pode-se notar que existem quatro possibilidades associadas as ocorrncias de fabricao do produto e de lucro, as quais seriam:15, se ocorrer o evento A1 = {BB};10, se ocorrer o evento A2 = {BL, LB}; 5, se ocorrer o evento A3 = {LL}; -5, se ocorrer o evento A4 = {BC, CB, CL, LC, CC};Cada um desses eventos possui uma probabilidade associada, onde:P(A1)= 0,56; P(A2)= 0,23; P(A3)= 0,02; P(A4)=0,19

Isso nos permitir construir a funo [x, p(x)], que um modelo terico para a distribuio da varivel X, que o empresrio poder usar para julgar a viabilidade econmica do projeto que ele pretende realizar. Aqui o x o valor da V.A. X e p(x) a probabilidade de X tomar o valor x. I.1 Variveis Aleatrias Discretasxp(x)150,56100,2350,02-50,19Total1,00Assim, teramos a seguinte tabelaTabela I3I.1 Variveis Aleatrias DiscretasVamos introduzir o conceito de valor mdio por meio do exemplo anterior:A principal pergunta a ser feita pelo empresrio diante da sua distribuio de Lucro seria em procurar saber qual seria o seu lucro mdio por conjunto montado. A partir da tabela I3,, observamos que 56% das montagens devem produzir um lucro de R$ 15, 23% um lucro de R$10 e assim por diante. Logo, o lucro esperado por montagem ser dado por

Lucro mdio = (0,56)(15) + (0,23)(10) + (0,02)(5) + (0,19)(-5) = R$ 9,85** Definio: dada a v.a. X discreta, assumindo os valores chamamos valor mdio ou ESPERANA matemtica de X ao valor:

I.1 Variveis Aleatrias DiscretasI.1.1) Valor Mdio de uma VAA varincia da V.A. X pode ser obtida pela clssica expresso de varincia, onde corresponde ao valor observado menos a mdia elevado ao quadrado:

J o desvio padro a raiz da Var(X), vamos verificar em um exemplo prtico como calcular a varincia e o desvio padro no Excel:I.1 Variveis Aleatrias Discretas I.1.2) A varincia e desvio de uma varivel aleatria

Para melhor retratar as propriedades do valor mdio podemos partir da seguinte dvida do empresrio:Suponha que todos os preos determinados pelo empresrio estivessem errados. Na realidade, todos os valores deveriam ser duplicados, isto , custos e preos de venda. Isso corresponde transformao Z=2X. As probabilidades associadas V.A. Z sero as mesmas da V.A. X, pois cada valor de X ir corresponder a um nico valor de Z. Assim, o valor mdio da distribuio de Z ser dado por: I.1 Variveis Aleatrias Discretas I.1.3) Propriedades do valor mdio

Podemos visualizar em uma tabela esse comportamento:I.1 Variveis Aleatrias Discretas I.1.3) Propriedades do valor mdioxz=2xp(z)=p(x)z*p(z)15300,5616,8010200,234,605100,020,20-5-100,19-1,90Total-1,0019,70Tabela I4Assim, dada a V.A. discreta X e a respectiva funo de probabilidade p(x), a esperana matemtica da funo h(X) dada por

As seguintes propriedades podem ser facilmente demonstradas:a) Se h(X)=aX + b, onde a e b so constantes, ento

b) I.1 Variveis Aleatrias Discretas I.1.3) Propriedades do valor mdio

Vamos construir ento a Var(X), para tanto vamos mostrar isso em na tabela I5:

Assim: var(X)=154,25 (9,85)2 = 57,23Simbolicamente podemos representar mdia e varincia por:

I.1 Variveis Aleatrias Discretas I.1.3) Propriedades do valor mdiowp(w)w*p(w)152=2250,56126,00102=1000,2323,00(5 ou -5)2= 250,215,25Total1,00154,25Tabela I5: nesse caso supondo que w=X2

I.1 Variveis Aleatrias Discretas I.1.4) Funo de distribuio acumulada

Construindo um grfico podemos demonstrar que:

I.1 Variveis Aleatrias Discretas I.1.4) Funo de distribuio acumulada

I.1 Variveis Aleatrias Discretas I.1.5) Alguns modelos probabilsticos para V.A.D.E que a funo acumulada dada por

Graficamente teramos

I.1 Variveis Aleatrias Discretas I.1.5) Alguns modelos probabilsticos para V.A.D.(a) Funo de Probabilidade (b) Funo de distribuioI.1.5.2) Distribuio de Bernoulli: Muitos experimentos so tais que os resultados apresentam ou no uma determinada caracterstica. Por exemplo: (1) Uma moeda lanada: o resultado ou cara ou no (ocorrendo, ento, coroa);(2) Um dado lanado: ou ocorre face 5 ou no (ocorrendo, ento, uma das faces 1, 2, 3, 4 ou 6);(3) Uma pea escolhida ao acaso de um lote contendo 500 peas: essa pea defeituosa ou no;(4) Uma pessoa escolhida ao acaso dentre 1.000 ou no do sexo masculino;(5) Uma pessoa escolhida ao acaso entre os moradores de uma cidade e verifica-se se ela favorvel ou no a um projeto municipal.

I.1 Variveis Aleatrias Discretas I.1.5) Alguns modelos probabilsticos para V.A.D.Em todos os casos anteriormente citados, estamos interessados na ocorrncia de um sucesso ou fracasso. Essa terminologia (sucesso ou fracasso) ser usada frequentemente.Para cada experimento acima podemos definir uma v.a. X, que assume apenas dois valores: 1, se ocorrer sucesso e 0, se ocorrer fracasso. Indicaremos por p a probabilidade de sucesso, isto , P(sucesso) = P(S)=p, 0 < p