Estadıstica ITema 5: Modelos probabilısticos

Tema 5. Modelos probabilısticos

Contenidos

I Variables aleatorias: concepto.

I Variables aleatorias discretas:I Funcion de probabilidad y funcion de distribucion.I Media y varianza de una v.a. discretaI Relacion entre la media y la varianza: desigualdad de Chebyshev

I Variables aleatorias continuas:I Funcion de densidad y funcion de distribucion.I Media y varianza de una v.a. continua.

I Modelos probabilısticos:I Modelos de probabilidad discretos: Bernoulli, Binomial y Poisson.I Modelos de probabilidad continuos: Uniforme, exponencial y normal.I Teorema del Lımite Central.

Variables aleatorias: concepto

I Sea Ω el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio.

I Se denomina v.a. aleatoria (v.a.) a una funcion X : Ω −→ R, queasigna a cada elemento ω ∈ Ω un numero X (ω) ∈ R.

I Intuitivamente, una v.a. X es un modelo de un experimentoaleatorio, dado como una cantidad X (ω) que varıa segun elresultado ω obtenido.

I Una v.a. se denota con letras mayusculas (X ), mientras que lasletras minusculas (x) indican valores concretos que toma la v.a.cuando se evalua en un punto muestral (ω).

I OBS: Las variables estadısticas que hemos visto en los temas 1, 2 y3 se pueden modelizar como el resultado de evaluar v.a. en muestrasde indivi duos.

Variables aleatorias

V.a. discreta:Si X toma valores sobre un conjunto S ⊆ R finito o infinito numerable,decimos que X es una v.a. discreta.

V.a. continuaSi X toma valores sobre un conjunto S ⊆ R infinito no numerable (porejemplo, en un intervalo o en una union de intervalos de R), decimos queX es una v.a. continua.

Ejemplos

I X =“Resultado al tirar un dado” es una v.a. discreta conS = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

I Y =“Numero de coches que pasan por cierto peaje en una semana”es una v.a. discreta con S = 0, 1, 2, . . . = N ∪ 0.

I Z = “altura (en cms.) de un alumno elegido al azar” es una v.a.continua con S = [0,∞).

Variables aleatorias discretas

Funcion de probabilidadSea X una v.a. discreta con valores x ∈ S . Su funcion de probabilidad ofuncion de masa es la funcion que asigna a cada posible valor de X suprobabilidad: px = PX = x para x ∈ S .

EjemploX = resultado de lanzar un dado equilibrado. La funcion de probabilidades

x 1 2 3 4 5 6PX = x 1

616

16

16

16

16

En este caso, S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 y p1 = . . . = p6 = 16 .

Variables aleatorias discretas

Funcion de probabilidad. Propiedades

Sea X una v.a. discreta que toma valores en el conjunto S conprobabilidades px = PX = x para x ∈ S .

I 0 ≤ PX = x ≤ 1.

I∑x∈S

PX = x = 1.

I PX ≤ x =∑

y∈S : y≤x

PX = y.

I PX > x = 1− PX ≤ x.

EjemploI Un juego consiste en tratar de ensartar 3 aros sucesivamente en una

pica. Participar cuesta 3 euros. Los premios son 4 euros por unacierto, 6 euros por dos y 30 euros por tres. Suponemos que laprobabilidad de ensartar un aro es de 0.1 en cada intento, y que losresultados son independientes.

I Definimos la v.a. X como la ganancia neta en el juego. El espaciomuestral es

Ω = f , f , f , a, f , f , f , a, f , f , f , a,a, a, f , a, f , a, f , a, a, a, a, a

donde a denota acierto y f fallo. Por tanto, X solo admite cuatroposibles resultados, con las siguientes probabilidades:

PX = −3 = 0.93 = 0.729

PX = 1 = 3× 0.1× 0.92 = 0.243

PX = 3 = 3× 0.12 × 0.9 = 0.027

PX = 27 = 0.13 = 0.001

Ejemplo

I ¿Cual es la probabilidad de ganar al menos 3 euros, descontando los3 euros por participar?

PX ≥ 3 = PX = 3+ PX = 27 = 0.027 + 0.001 = 0.028

I ¿Cual es la probabilidad de no perder dinero?

PX ≥ 0 = PX = 1+ PX = 3+ PX = 27 =

= 0.243 + 0.027 + 0.001 = 0.271

o, lo que es lo mismo,

PX ≥ 0 = 1− PX < 0 = 1− PX = −3 = 1− 0.729 = 0.271

Variables aleatorias discretas

Funcion de distribucionLa funcion de distribucion o funcion de probabilidad acumulada de unavariable aleatoria X es la funcion F : R→ [0, 1] que asigna a cada valorx ∈ R la probabilidad:

F (x) = PX ≤ x =∑

y∈S : y≤x

PX = y

OBS: Esta definida para todo x ∈ R, no solo para x ∈ S .

• Propiedades:

I 0 ≤ F (x) ≤ 1 para todo x ∈ R.

I F (y) = 0 para todo y < mınS . Por tanto, F (−∞) = 0.

I F (y) = 1 para todo y > max S . Por tanto, F (∞) = 1.

I Si x < y , entonces F (x) ≤ F (y), es decir, F (x) es no decreciente.

I Para todo a, b ∈ R,Pa < X ≤ b = PX ≤ b − PX ≤ a = F (b)− F (a).

Ejemplo

I La funcion de probabilidad de la v.a. X en el ejemplo del juego es

PX = x =

0.729, si x = −30.243, si x = 10.027, si x = 30.001, si x = 27

I Su funcion de distribucion es

F (x) = PX ≤ x =

0, si x < −30.729, si −3 ≤ x < 10.729 + 0.243 = 0.972, si 1 ≤ x < 30.729 + 0.243 + 0.027 = 0.999, si 3 ≤ x < 270.729 + 0.243 + 0.027 + 0.001 = 1, si x ≥ 27

I Notese que F (x) es constante a trozos con discontinuidades de saltoen los puntos de S . El salto en x ∈ S es de magnitud PX = x

Esperanza de una v.a. discreta

Sea X una v.a. discreta que toma valores en S con probabilidadespx = PX = x. La esperanza de X es

E [X ] =∑x∈S

x PX = x =∑x∈S

x px

Esperanza de una v.a. discreta. Propiedades

I Para a, b ∈ R,E [a + bX ] = a + bE [X ]

I Para cualquier funcion g(x),

E [g(X )] =∑x∈S

g(x)PX = x

I Sean X1, . . . ,Xn v.a., y a1, . . . , an ∈ R. Entonces:

E [a1X1 + · · ·+ anXn] = a1E [X1] + · · ·+ anE [Xn]

Ejemplo

La esperanza de la v.a. X del ejemplo del juego es

E [X ] =∑x∈S

xPX = x =

= −3× PX = −3+ 1× PX = 1+ 3× PX = 3+ 27× PX = 27= −3× 0.729 + 1× 0.243 + 3× 0.027 + 27× 0.001 = −1.836

Por lo tanto, la ganancia neta esperada es de −1.836 euros.

Varianza de una v.a. discreta

I La varianza de la v.a. discreta X es

V [X ] = E [(X − E [X ])2]

=∑x∈S

(x − E [X ])2PX = x

=∑x∈S

(x − E [X ])2px

I La raız cuadrada de la varianza es la desviacion tıpica. Se denota porS [X ] =

√V [X ].

Varianza de una v.a. discreta. Propiedades

I La varianza se puede expresar tambien como

V [X ] = E[X 2]− E [X ]2

I V [X ] ≥ 0

I Var [X ] = 0 si y solo si X es constante

I Si a, b ∈ R, entonces

V [a + bX ] = b2V [X ]

I Si X1, . . . ,Xn son v.a. independientes, y a1, . . . , an ∈ R,

V [a1X1 + · · ·+ anXn] = a21V [X1] + · · ·+ a2nV [Xn]

Ejemplo

La varianza de la v.a. X del ejemplo del juego es

V [X ] = E [X 2]− E [X ]2 = 7.776− (−1.836)2 = 4.405

donde

E [X 2] = (−3)2 × 0.729 + 12 × 0.243 + 32 × 0.027 + 272 × 0.001 = 7.776

La desviacion tıpica es S [X ] =√

4.405 = 2.0988.

Ejemplo

Consideremos la v.a. X = numero de caras al tirar una monedaequilibrada dos veces. La funcion de probabilidad es

x 0 1 2PX = x 1

412

14

La esperanza es

E [X ] = 0× 1

4+ 1× 1

2+ 2× 1

4= 1

y la varianza es

V [X ] = E [X 2]− E [X ]2 =3

2− 12 =

1

2

donde

E [X 2] = 02 × 1

4+ 12 × 1

2+ 22 × 1

4=

3

2

Desigualdad de Chebyschev

Este resultado es util para estimar una probabilidad cuando se desconocela distribucion de probabilidad de una v.a. X .Si X es una v.a. con esperanza y varianza finitas, entonces, para todok ≥ 1:

P|X − E [X ]| ≥ k ≤ V [X ]

k2

o, de forma equivalente,

P|X − E [X ]| < k ≥ 1− V [X ]

k2

OBS: La cota que da la desigualdad de Chebyschev no suele ser ajustada,por lo que solo debe utilizarse cuando no se conozca la distribucion de X

Desigualdad de Chebyschev

Veamos como aplicar la desigualdad de Chebyschev con la v.a. aleatoriadel ejemplo del juego. Tenemos que E [X ] = −1.836 y queV [X ] = 4.405. Entonces:

P|X + 1.836| ≥ 3 ≤ 4.405

9= 0.4894

Por otro lado, tenemos que:

P|X + 1.836| ≥ 3 = PX + 1.836 ≥ 3+ PX + 1.836 ≤ −3 =

= PX ≥ 1.164+ PX ≤ −4.836 =

= PX = 3+ PX = 27 = 0.027 + 0.001 = 0.028

Vemos que la cota de Chebyschev no es ajustada en este caso

Ejemplo de repaso

I Sea X la v.a. que representa el numero de caras menos el numero decruces en 3 tiradas de una moneda trucada de manera que es dosveces mas probable que salga cara que cruz.

I Indicamos por “c”=cara y por “+”=cruz.

I El espacio muestral es

Ω =

e1 = (c , c , c), e2 = (+, c , c), e3 = (c ,+, c), e4 = (c , c ,+),

e5 = (+,+, c), e6 = (+, c ,+), e7 = (c ,+,+), e8 = (+,+,+)

Ejemplo de repaso

I El conjunto donde X toma valores es S = −3,−1, 1, 3 ya que

Xe1 = 3− 0 = 3

Xe2 = Xe3 = Xe4 = 2− 1 = 1

Xe5 = Xe6 = Xe7 = 1− 2 = −1

Xe8 = 0− 3 = −3

I La funcion de probabilidad es

PX = x =

PX = −3 = 13

3 = 127

PX = −1 = 3× 132 × 2

3 = 29

PX = 1 = 3× 13 ×

23

2 = 49

PX = 3 = 233 = 8

27

Ejemplo de repaso

I Participamos en un juego en el que hay que pagar 6 euros. Si allanzar 3 veces la moneda anterior aparece 1 cruz, ganamos 4 euros,si aparecen 2 cruces ganamos 6 euros y si aparecen 3 crucesganamos 30 euros. ¿Cual es la ganancia neta esperada?

I Sea Y la v.a. “ganancia neta en el juego”. Entonces

I Si no obtenemos ninguna cruz, X = 3, por lo que Y = −6 conprobabilidad PY = −6 = PX = 3 = 8

27.

I Si obtenemos una cruz, X = 1, por lo que Y = −2 con probabilidadPY = −2 = PX = 1 = 4

9.

I Si obtenemos dos cruces, X = −1, por lo que Y = 0 conprobabilidad PY = 0 = PX = −1 = 2

9.

I Si obtenemos tres cruces, X = −3, por lo que Y = 24 conprobabilidad PY = 24 = PX = −3 = 1

27.

I Por tanto, Y toma valores en el conjunto S = −6,−2, 0, 24. Laganancia neta esperada es

E [Y ] = −6× 8

27− 2× 4

9+ 0× 2

9+ 24× 1

27= −1.78 euros

Variables aleatorias continuas

Funcion de distribucionLa funcion de distribucion de una v.a. continua X es F (x) = PX ≤ x,para x ∈ R

Igual que en el caso discreto, la funcion F (x) da las probabilidadesacumuladas hasta el punto x ∈ R, pero ahora es una funcion continua yno de tipo escalon.

Variables aleatorias continuas

Propiedades

I 0 ≤ F (x) ≤ 1, para todo x ∈ RI F (−∞) = 0.

I F (∞) = 1.

I Si x < y entonces F (x) ≤ F (y), es decir, F (x) es no decreciente.

I Para a < b, P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) = F (b)− F (a).

I F (x) es continua.

La funcion de probabilidad no tiene sentido en variables aleatoriascontinuas, porque P(X = x) = 0. Para sustituir la funcion deprobabilidad, en variables aleatorias continuas usaremos la funcion dedensidad.

Variables aleatorias continuas

Funcion de densidadPara una v.a. continua X con funcion de distribucion F (x), la funcion dedensidad de X es:

f (x) =dF (x)

dx= F ′(x)

Propiedades

I f (x) ≥ 0 ∀x ∈ R

I P(a ≤ X ≤ b) =∫ b

af (x)dx ∀a, b ∈ R

I F (x) = P(X ≤ x) =∫ x

−∞ f (u) du

I∫∞−∞ f (x)dx = 1

Variables aleatorias continuas

EjemploUna v.a. X tiene funcion de densidad

f (x) =

12x2(1− x) para 0 < x < 1

0 en otro caso

Entonces:

PX ≤ 0.5 =

∫ 0.5

−∞f (u) du =

∫ 0.5

0

12u2(1− u) du = 0.3125

P0.2 ≤ X ≤ 0.5 =

∫ 0.5

0.2

f (u) du =

∫ 0.5

0.2

12u2(1− u) du = 0.2853

F (x) = PX ≤ x =

∫ x

−∞f (u) du =

0 si x ≤ 0

12 x3

3 −x4

4 si 0 < x ≤ 11 si x > 1

Esperanza de una v.a. continua

Sea X una v.a. continua que toma valores en S ⊆ R, con funcion dedensidad f (x). Entonces, la esperanza de X es

E [X ] =

∫S

x f (x) dx

Se cumplen las mismas propiedades que para la esperanza de una v.a.discreta. Solo cambia la forma de calcularla.

Ejemplo

La esperanza de la v.a. X del ejemplo anterior es

E [X ] =

∫Rx · f (x)dx =

∫ 1

0

x · 12x2(1− x)dx =

=

∫ 1

0

12(x3 − x4)dx = 121

4x4 − 1

5x5

∣∣10 = 121

4− 1

5 =

3

5

Varianza de una v.a. continua

I La varianza de la v.a. continua X es

V [X ] = E [(X − E [X ])2] =

∫S

(x − E [X ])2 f (x) dx =

=

∫S

x2 f (x) dx − E [X ]2 = E [X 2]− E [X ]2

I La raız cuadrada de la varianza se denomina desviacion tıpica, y sedenota por S [X ] =

√V [X ].

Se cumplen las mismas propiedades que la varianza de una v.a. discreta.Solo cambia la forma de calcularla.

Ejemplo

La varianza de la v.a. X del ejemplo anterior es la siguiente:

Var [X ] = E[X 2]− E [X ]2 =

2

5− 3

52 =

2

5− 9

25=

1

25

donde:

E[X 2]

=

∫Rx2f (x)dx =

∫ 1

0

12x4(1− x)dx =12

5x5|x=1

x=0 −12

6x6|x=1

x=0 =

=12

5− 2 =

2

5

La desviacion tıpica es por tanto S [X ] =√

125 = 1

5 .

Modelos probabilısticos

I Modelos de probabilidad discretos: Bernoulli, Binomial y Poisson.

I Modelos de probabilidad continuos: Uniforme, exponencial y normal.

I Teorema del Lımite Central

Modelo de Bernoulli

DescripcionPartimos de un experimento aleatorio con dos posibles resultados, quedenominamos exito y fracasoDefinimos la v.a.

X =

1 si el resultado es un exito0 si el resultado es un fracaso

Sea p la probabilidad de exito. Entonces, 1− p es la probabilidad defracaso.

El experimento se llama prueba de Bernoulli y diremos que la v.a. sigueuna distribucion de Bernoulli con parametro p

Se escribe X ∼ Ber(p).

Modelo de Bernoulli

Ejemplo:Tiramos una moneda equilibrada, y obtenemos

X =

1 si sale cara0 si sale cruz

X sigue una distribucion de Bernoulli con parametro p = 1/2

Ejemplo:Una lınea aerea estima que los pasajeros que compran un billete para unvuelo tienen una probabilidad de 0.05 de no presentarse al embarqueDefinimos

Y =

1 si el pasajero se presenta0 si no lo hace

Y sigue una distribucion de Bernoulli con parametro p = 0.95

Modelo de Bernoulli

Funcion de probabilidad:

PX = 0 = 1− p PX = 1 = p

Funcion de distribucion:

F (x) =

0 si x < 0

1− p si 0 ≤ x < 11 si x ≥ 1

Propiedades:

I E [X ] = p × 1 + (1− p)× 0 = p

I E [X 2] = p × 12 + (1− p)× 02 = p

I V [X ] = E [X 2]− E [X ]2 = p − p2 = p(1− p)

I S [X ] =√p(1− p)

Modelo Binomial

DescripcionUna prueba de Bernoulli con parametro p se repite n veces de maneraindependiente. La v.a. numero de exitos obtenidos sigue una distribucionBinomial con parametros n y p

Definicion:Una v.a. X sigue una distribucion binomial con parametros n y p si

PX = x =

(n

x

)px(1− p)n−x

para x = 0, 1, . . . , n donde (n

x

)=

n!

x!(n − x)!

Se escribe X ∼ B(n, p).

Modelo Binomial

EjemploLa lınea aerea del ejemplo anterior ha vendido 80 billetes para un vuelo.La probabilidad de que un pasajero no se presente al embarque es de0.05. Definimos X = numero de pasajeros que se presentan. Entonces(suponiendo independencia)

X ∼ B(80, 0.95)

I La probabilidad de que todos los pasajeros se presenten es

PX = 80 =

(80

80

)0.9580 × (1− 0.95)80−80 = 0.0165

I La probabilidad de que al menos un pasajero no se presente es

PX < 80 = 1− PX = 80 = 1− 0.0165 = 0.9835

Modelo Binomial

Propiedades

I E [X ] = np

I V [X ] = np(1− p)

I S [X ] =√

np(1− p)

Modelo de Poisson

Definicion:Una v.a. X sigue una distribucion de Poisson con parametro (tasa) λ(sucesos por unidad de tiempo) si

PX = x = e−λλx

x!, x = 0, 1, 2, . . . ,

donde e es la base de los logaritmos naturalesSe escribe X ∼ P(λ)

DescripcionSe emplea la distribucion de Poisson para modelizar el numero de sucesosaleatorios de cierto tipo que ocurren en un intervalo de tiempo dado,suponiendo que ocurren de forma homogenea en el tiempo, siendo λ elnumero medio de sucesos en el intervalo. Es conveniente especificar launidad de medida del intervalo (minutos, horas, dıas, semanas, etc.)

Modelo de Poisson

EjemploA lo largo de los anos se ha observado que en cierto tramo de carreteraocurren, en promedio, 25 accidentes al ano. Se supone que X , el numeroanual de accidentes en dicho tramo, sigue una distribucion de Poisson,

X ∼ P(25)

I La probabilidad de que un ano haya exactamente 25 accidentes es

PX = 25 = e−252525

25!≈ 0.0795

I La probabilidad de que no haya mas de 20 accidentes es

PX ≤ 20 =20∑x=0

e−2525x

x!≈ 0.1855

Modelo de Poisson

EjemploEn el ejemplo anterior, consideremos Y , el numero de accidentes endicho tramo durante dos anos consecutivos

I La distribucion de la v.a. Y es Y ∼ P(2× 25) = P(50)

I La probabilidad de que en un periodo de dos anos haya exactamente50 accidentes es

PY = 50 = e−505050

50!≈ 0.05633

I La probabilidad de que no haya mas de 40 accidentes es

PY ≤ 40 =40∑y=0

e−5050y

y !≈ 0.08607

Modelo de Poisson

Propiedades

I E [X ] = λ

I V [X ] = λ

I S [X ] =√λ

I Sean X1, . . . ,Xn v.a. independientes con distribucion P(λ), y seaY = X1 + · · ·+ Xn. Entonces, Y ∼ P(nλ)

Distribucion uniforme

DescripcionLa distribucion uniforme es aquella en la que todos los intervalos de iguallongitud en su rango son igualmente probables. Es decir, su funcion dedensidad es constante para todos los valores posibles de la variable

DefinicionSe dice que una v.a. X sigue una distribucion uniforme en el intervalo[a, b] (sus parametros son a y b) si su funcion de densidad es

f (x) =

1

b − asi a ≤ x ≤ b

0 en otro caso

Se escribe X ∼ U [a, b].

Distribucion uniforme: funcion de distribucion

Supongamos que X ∼ U [a, b]. Su funcion de distribucion es

F (x) =

∫ x

−∞f (u) du =

0 si x < a

x − a

b − asi a ≤ x ≤ b

1 si x > b

Distribucion uniforme

Propiedades

I Esperanza: E [X ] = a+b2

I Varianza: V [X ] = (b−a)212

I Desviacion tıpica:S [X ] = b−a√

12

Funcion de densidad

Ejemplo: Distribucion U [3, 5]

Una v.a. X ∼ U [3, 5] tiene funcion de densidad

f (x) =

12 si 3 ≤ x ≤ 50 en otro caso

Calculemos algunas probabilidades:

PX ≤ 0.5 =

∫ 0.5

−∞f (u) du = 0

PX ≤ 4 =

∫ 4

−∞f (u) du =

∫ 4

3

1

2du =

1

2u|43 =

1

2

P3.5 ≤ X ≤ 4.5 =

∫ 4.5

3.5

f (u) du =

∫ 4.5

3.5

1

2du =

1

2

Ejemplo: Distribucion U [3, 5]

Funcion de distribucion

F (x) = PX ≤ x =

∫ x

−∞f (u) du

I Si x ≤ 3 entonces F (x) = PX ≤ x = 0.

I Si 3 < x ≤ 5 entonces F (x) = PX ≤ x =∫ x

312 du = u

2 |x3 = x−3

2 .

I Si x > 5 entonces F (x) = PX ≤ x =∫ 5

312 du = u

4 |53 = 5−3

2 = 1.

Es decir,

F (x) =

0 si x ≤ 3x − 3

2si 3 < x ≤ 5

1 si x > 5

Ejemplo: Distribucion U [3, 5]

Esperanza

E [X ] =∫R x · f (x)dx =

∫ 5

3x · 12dx = x2

4

∣∣∣53

= 52−324 = 4

Varianza

Var [X ] =∫R x2 · f (x)dx − E [X ]2

=∫ 5

3x2

2 dx − 42 = x3

6

∣∣∣53− 16 = 0.33

Distribucion exponencial

DescripcionLa distribucion exponencial se emplea para modelizar el tiempo quetranscurre hasta que ocurre cierto suceso aleatorio. Es convenienteespecificar la unidad de medida del tiempo (e.g., segundos, minutos,horas, etc.)

DefinicionSe dice que una v.a. X sigue una distribucion exponencial con parametro(tasa) λ (sucesos por unidad de tiempo) si su funcion de densidad es

f (x) = λe−λx , x > 0

Se escribe X ∼ Exp(λ)

Distribucion exponencial: funcion de distribucion

Supongamos que X ∼ Exp(λ). Su funcion de distribucion es

F (x) =

∫ x

−∞f (u) du =

0 si x < 0

∫ x

0

λe−λu du = 1− e−λx si x ≥ 0

Distribucion exponencial: Propiedades

Propiedades:

I Esperanza: E [X ] =1

λ

I Varianza: V [X ] =1

λ2

I Desviacion tıpica: S [X ] =1

λ

Relacion entre las distribuciones exponencial y Poisson

• Supongamos que X1,X2,X3, . . . son v.a. independientes condistribucion Exp(λ)

• Sea

Y =

0, si X1 > 1

k , si X1 + · · ·+ Xk ≤ 1 < X1 + · · ·+ Xk+1, para k = 1, 2, . . .

Entonces, Y ∼ P(λ)

• Intuicion: X1 es el instante en que ocurre el primer suceso,X1 + · · ·+ Xk es el instante en que ocurre el k-esimo suceso. Por tanto,Y es el numero de sucesos que ocurren en el intervalo de tiempo [0, 1]

Ejemplo: Distribucion exponencial

• Una empresa modeliza el tiempo que emplea en completar el servicio deun cliente como una v.a. X ∼ Exp(λ) con tasa λ = 1/2 (servicios porhora)

• ¿Cuanto tiempo se emplea, en promedio, para completar un servicio?

E [X ] =1

λ= 2 h.

• ¿Probabilidad de que se tarde mas de 2.5 h. en completar un servicio?

PX > 2.5 = 1− F (2.5) = e−λ×2.5 ≈ 0.2865

• ¿Probabilidad de que se tarde entre 1.5 y 2.5 h. en completar unservicio?

P1.5 ≤ X ≤ 2.5 = F (2.5)− F (1.5) = e−λ×1.5 − e−λ×2.5 ≈ 0.1859

Distribucion normal

DescripcionLa distribucion normal es un modelo teorico que aproxima bien muchassituaciones reales. La inferencia estadıstica se fundamenta basicamenteen la distribucion normal y en distribuciones que se derivan de ella.

DefinicionSe dice que una v.a. X sigue una distribucion normal o Gausiana conparametros µ y σ, y se denota por X ∼ N (µ, σ), si

f (x) =1

σ√

2πe−

(x−µ)2

2σ2

PropiedadesE [X ] = µ, V [X ] = σ2

f (x) es simetrica respecto de µ

Distribucion normal

Funcion de densidad para 3 valores distintos de µ y σ

Distribucion normal

PropiedadSi X ∼ N (µ, σ),

I P(µ− σ < X < µ+ σ) ≈ 0.683

I P(µ− 2σ < X < µ+ 2σ) ≈ 0.955

I P(µ− 3σ < X < µ+ 3σ) ≈ 0.997

Distribucion normal

Transformacion linealSi X ∼ N (µ, σ), entonces:

Y = aX + b ∼ N (aµ+ b, |a|σ)

EstandarizacionSi X ∼ N (µ, σ),

Z =X − µσ

∼ N (0, 1)

se llama la distribucion normal estandar. Es una distribucion simetrica ycentrada en 0. Ademas, su funcion de distribucion esta tabulada

Tablas de la N (0, 1)N (0, 1)N (0, 1)

Distribucion normal: Ejemplo

Sea Z ∼ N(0, 1). Calculemos algunas probabilidades:

I Pr(Z < 1.5) = 0.9332. tabla

I Pr(Z > −1.5) = Pr(Z < 1.5) = 0.9332. ¿por que?

I Pr(Z < −1.5) = Pr(Z > 1.5) = 1− Pr(Z < 1.5) = 1− 0.9332 =0.0668. ¿por que no ≤?

I Pr(−1.5 < Z < 1.5) = Pr(Z < 1.5)− Pr(Z < −1.5) =0.9332− 0.0668 = 0.8664.

Distribucion normal: Ejemplo

Sea X ∼ N(µ = 2, σ = 3). Queremos calcular Pr(X < 4) yPr(−1 < X < 3.5):

I En primer lugar, tipificamos la v.a. original como sigue:

Pr(X < 4) = PX − 2

3<

4− 2

3 = PrZ < 0.666 ≈ 0.7454,

donde Z ∼ N(0, 1).

I A continuacion, buscamos :

Pr(−1 < X < 3.5) = Pr(−1− 2 < X − 2 < 3.5− 2)

= P−1− 2

3<

X − 2

3<

3.5− 2

3 = Pr(−1 < Z < 0.5) =

= Pr(Z < 0.5)− Pr(Z < −1) = 0.6915− 0.1587 = 0.5328.

donde Z ∼ N(0, 1).

Distribucion normal: otro ejemplo

Es difıcil etiquetar la carne empaquetada con su peso correcto debido alos efectos de perdida de lıquido (definido como porcentaje del pesooriginal de la carne). Supongamos que la perdida de lıquido en unpaquete de pechuga de pollo se distribuye como normal con media 4 % ydesviacion tıpica 1 %.

Sea X la perdida de lıquido de un paquete de pechuga de pollo elegido alazar.

I ¿Cual es la probabilidad de que 3 % < X < 5 %?

I ¿Cual es el valor de x para que un 90 % de paquetes tengan perdidasde lıquido menores que x?

I En una muestra de 4 paquetes, hallar la probabilidad de que todostengan perdidas de peso de entre 3 y 5 %.

Sexauer, B. (1980) Drained-Weight Labelling for Meat and Poultry: An

Economic Analysis of a Regulatory Proposal, Journal of Consumer Affairs, 14,

307-325.

Distribucion normal: otro ejemplo

Pr(3 < X < 5) = Pr3− 4

1<

X − 4

1<

5− 4

1 = Pr(−1 < Z < 1)

= Pr(Z < 1)− Pr(Z < −1) = 0.8413− 0.1587 = 0.6827

Queremos Pr(X < x) = 0.9. Entonces

PrX − 4

1<

x − 4

1 = Pr(Z < x − 4) = 0.9

Mirando las tablas, tenemos x − 4 ≈ 1.28 que implica que un 90 % de laspaquetes tienen perdidas de menores que x = 5.28 %.

Para un paquete p = Pr(3 < X < 5) = 0.6827. Sea Y el numero depaquetes en la muestra de 4 paquetes que tienen perdidas de entre 3 % y5 %. Luego Y ∼ B(4, 0.6827).

Pr(Y = 4) =

(4

4

)0.68274(1− 0.6827)0 = 0.2172.

Distribucion normal: otro ejemplo

Si la muestra fuera de 5 paquetes, ¿cual seria la probabilidad que por lomenos una tuviera perdidas de entre el 3 % y 5 %? Tenemos que n = 5 yp = 0.6827. Por lo tanto, Y ∼ B(5, 0.6827). Entonces,

Pr(Y ≥ 1) = 1− Pr(Y < 1) = 1− Pr(Y = 0) =

= 1−(

5

0

)0.68270(1− 0.6827)5−0 = 1− 1− 0.68275 = 0.9968.

Teorema del Lımite Central (TLC)El siguiente resultado se refiere a la distribucion lımite de la media de unamuestra de n v.a. independientes e identicamente distribuidas:

X =1

n

n∑i=1

Xi ,

y nos indica que, para n grande, la distribucion de X es aproximadamentenormal, sea cual sea la distribucion de las Xi .

TeoremaSean X1, . . . ,Xn v.a. independientes e identicamente distribuidas conmedia µ y desviacion tıpica σ finitas. Para n lo bastante grande (n ≥ 30),

X − µσ/√n∼ N (0, 1) (aproximadamente)

• Nota: el termino “central” se refiere al centrado X − µ en elnumerador, y el “lımite” se refiere a que

lımn→∞

P

X − µσ/√n≤ x

= PZ 6 x, donde Z ∼ N (0, 1)

Aproximacion de la distribucion Binomial mediante lanormal

BinomialSi X ∼ B(n, p) con n suficientemente grande (o bien n ≥ 30 y0.1 ≤ p ≤ 0.9 o bien np ≥ 5 y n(1− p) ≥ 5), entonces

X − np√np(1− p)

∼ N (0, 1) (aproximadamente)

TLC y aproximaciones: Ejemplo

I Sea X ∼ B(100, 1/3). Bucamos el valor de Pr(X < 40), si bien elcalculo exacto es muy largo ya que necesitamos un gran numero deoperaciones.

I Utilizando el TLC tenemos que X ∼ B(100, 1/3) ≈ N33.3, 4.714,ya que:

E [X ] = 100× 1

3= 33.3

V [X ] = 100× 1

3× 2

3= 22.2

S [X ] =√

22.2 = 4.714

I Por lo tanto,

Pr(X < 40) = PX − 33.3

4.714<

40− 33.3

4.714

≈ PZ < 1.414 donde Z ∼ N(0, 1)

≈ 0.921.