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María del Consuelo Valle Espinosa Instituto Tecnológico Superior de Zacapoaxtla Departamento de Desarrollo Académico

3.2 Variables Aleatorias Discretas

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Page 1: 3.2 Variables Aleatorias Discretas

María del Consuelo Valle Espinosa

Instituto Tecnológico Superior de

Zacapoaxtla

Departamento de Desarrollo

Académico

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Variable aleatoria

Magnitud de interés que vienen determinadas por el resultado

de un experimento

Variable aleatoria discreta

Cuando sus posibles valores forman una sucesión de puntos

separados de la recta real

Sea X una variable aleatoria discreta que puede tomar los n

posibles valores posibles: x1, x2, … , xn, P[X=xi] representará la

probabilidad de que X se igual a xi. El conjunto de estas

probabilidades se denomina distribución de probabilidades de

X, por el axioma 2 se sabe:

n

i

ixXP

1

1][

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Ejercicio:

Supongamos que X es una variable aleatoria que puede tomar uno

de los valores 1, 2 o 3. Si P[X=1] = 0.4 y P[x=2]= 0.1 ¿cuál es el valor

de P[X=3]?

Sea X una variable aleatoria discreta que puede tomar los n

posibles valores posibles: x1, x2, … , xn, el valor esperado de

X, denotado por E[X], se define como:

Otros nombres utilizados para identificar E[X] son esperanza de X

y media de X

][][ii

xXPxXE

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El concepto de valor esperado es análogo al concepto físico del

centro de gravedad de una distribución de masas.

Considere una variable aleatoria cuyas probabilidades son

p(xi), i≥1.

Si se imagina una barra en la que se cuelgan pesos p(xi) en los

puntos xi, el punto en el que la barra se encontraría en

equilibrio se conoce como centro de gravedad.

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Aunque el valor esperado representa la media ponderada de todos

lo valores posibles de la variable aleatoria, no proporciona

información alguna de la variación, o dispersión de dichos valores.

Dado que uno espera que la variable aleatoria tome valores

alrededor de su media E[X], una forma razonable de medir la

variación de X es considerar en qué medida X tiende a separarse de

su media. La medida más conveniente de la dispersión es la:

Varianza

Si X es una variable aleatoria con un valor esperado E[X] = µ, la

varianza de X, denotada por Var(X), se define como:

Desviación estándar

])[()(2

XEXVar

)()( XVarXSD

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Ensayo de Bernoulli.

Familia Binomial.

Familia Poisson.

Familia Binomial Negativa

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Algunas gráficas de miembros de esta familia

Número de ensayos

n = 10

con probabilidades de éxito,

p = .2 p = .5 p = .8

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Si X es Binomial con parámetros n y p, se tiene que:

E[X] = np

Var (X) = np(1-p)

La pruebas independientes con iguales probabilidades de

éxito fuero inicialmente estudiadas por el matemático suizo

Jacques Bernoulli (1654 – 1705). En su libro Ars Conjectandi

(El arte de la conjetura), publicado en 1713 por su sobrino

Nicholas, ocho años después de su muerte, Bernoulli

demostró que, si el número de pruebas era suficientemente

grande, la proporción de éxitos es próxima a p con una

probabilidad próxima a 1.

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0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 5 10 15 20

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 5 10 15 20

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 10 20 30

2

515

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Gráfica de Binomial Negativa donde xi es el número de fracasos

antes de lograra r = 5 éxitos, para probabilidades p = .2, p =

.5, p = .8

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0 2 4 6

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0 1 2 3 4 5 6

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 2 4 6

La distribución binomial negativa también se puede

definir como el número de pruebas hasta la aparición

de r éxitos

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Algunas consideraciones que permiten la elección de los

modelos de probabilidad aquí presentados.

Page 16: 3.2 Variables Aleatorias Discretas

Referencia:

INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA

ROSS, SHELDON M. Editorial REVERTE

ISBN: 978-84-291-5039-1