of 34 /34
Variables Aleatorias Bidimensionales ESTADÍSTICA 2º Curso Grado Ingeniería Informática (EXECUTIVE) Realizado por: David Sánchez Ruiz Fecha: 20-06-2012

Variables Aleatorias Bidimensionales.pdf

Embed Size (px)

Text of Variables Aleatorias Bidimensionales.pdf

Variables Aleatorias Bidimensionales

ESTADSTICA2 Curso Grado Ingeniera Informtica (EXECUTIVE)Realizado por: David Snchez Ruiz Fecha: 20-06-2012

ndice1. Introduccin a las Variables Aleatorias Bidimensionales. 2. Ejercicio completo de vectores aleatorios discretos. 3. Ejercicio completo de vectores aleatorios continuos. 4. Bibliografa.

1 Introduccin a las Variables Aleatorias Bidimensionales

Introduccin a V.A.B.Se trata de variables que surgen cuando se estudian dos caractersticas asociadas a un experimento aleatorio. En determinadas ocasiones hay que trabajar en espacios de ms de una dimensin, estableciendo aplicaciones que transforman los sucesos elementales del

experimento aleatorio en puntos del espacio bidimensional. Tambin nos puede llegar a interesar estudiar conjuntamente dos caractersticas del fenmeno aleatorio, es decir, estudiar el comportamiento conjunto de dos V.A. para intentar explicar la posible relacin entre ellas. Para ello es necesario conocer la distribucin de probabilidad conjunta.

,

=

|

,

}

Ejemplo de grfica de V.A.B

rbol de V.A.B.

Concepto de V.A.B.Una variable aleatoria bidimensional es un vector de dos dimensiones cuyos componentes son variables aleatorias: (X,Y) Se clasifican dependiendo de como sean las variables aleatorias en:Discretas: Son aquellas variables que toman valores finitos en la que existe una funcin de probabilidad (masa) conjunta. Continuas: Son aquellas variables para las cuales existe una funcin de densidad conjunta que expresa su probabilidad asociada.

V.A.B.D. (Caso discreto)En las VABD, la masa de probabilidad se encuentra distribuida en un conjunto de puntos finito o numerable. El par (X,Y): La funcin de distribucin se puede calcular sumando las probabilidades de los puntos incluidos en un intervalo. Para cada valor posible (Xi, Yj) podemos asociar un nmero con Funcin de Probabilidad Conjunta, que satisface:= = , =

,

= 1, , ;

= 1, ,

Ejemplo de tabla de frecuencias relativas

V.A.B.C. (Caso continuo)Las variables continuas, se caracterizan por tener su masa de probabilidad distribuida y se define la Funcin de Densidad Conjunta, f(x,y), satisfaciendo las siguientes propiedades:

Para la V.A.B.D. (X,Y) se define su Funcin de Distribucin en:, = , =

donde f es la Funcin de Densidad, si la Funcin de Distribucin tiene segundas derivadas se cumplir que:

,

Ejemplo de representacin grfica

V.A.B. (Resumen Casos)

Distribuciones MarginalesUna distribucin marginal se obtiene al considerar la distribucin de una de las dos variables de una V.B, ignorando la otra. Las Distribuciones Marginales de X e Y , estn dadas por: Caso Discreto:

Caso Continuo:

Distribuciones CondicionadasAnalizaremos el comportamiento de una de las variables cuando la otra toma un determinado valor: La distribucin condicional de la variable aleatoria Y , cuando X = x, viene dada por:

La distribucin condicional de la variable aleatoria X , cuando Y = y, viene dada por:

Independencia entre V.A.B.Siendo X e Y dos variables aleatorias, discretas o continuas, con Distribucin de Probabilidades f(x, y) y Distribuciones marginales g(x), h(y), diremos que X e Y son estadsticamente independientes si y slo si,

Para todo (x, y) en su dominio de definicin. En caso contrario sern dependientes. Este concepto se puede generalizar para el caso de n variables aleatorias.

EsperanzaCaso discreto==1=1

=

=

=

==

Caso continuo=

+

=

+

VarianzaCaso discreto22

=

2

2+

Caso continuo2

=

2

2

=

=

=1=1

22

=

=

Covarianza=,

,

=

2

=

=

+

2

2

+

Es la medida de asociacin lineal ms simple entre dos variables. ,

=

+

Cambio de Variables (Z)Solo para caso continuo Tiene como objetivo obtener la caracterizacin de Z a partir de la X e Y definiendo la Funcin de Distribucin:= = = , ,

siendo

El procedimiento a seguir ser calcular fz(z) y Fz(z): 1. Calcular la probabilidad con:=

=

,

2

. .

,

}

2. Utilizar la Funcin H(y) si lo que te estn pidiendo es por 5 ejemplo: = 2 y sustituir en la Fz(z). Hallar la funcin de densidad fz(z) = Fz(z)

2 Ejemplo de ejercicio de V.A.B Discretas

Ejercicio de V.A.B.DSea X la variable aleatoria el nmero de consultores de Informtica de una empresa e Y el nmero de consultores que pertenecen al departamento de Continuidad, en la que se detalla la siguiente tabla de consultores sabiendo que dicha empresa tiene 9 sedes en total:X\Y 1 2 3 0 2 1 0 1 1 2 1 2 0 0 2

a) Calcular la funcin de masa conjunta. b) Calcular las distribuciones marginales de X e Y. c) Son dependientes o independientes? d) Calcular las distribuciones condicionadas. e) Hallar para X e Y: la Esperanza, Varianza y Covarianza.

Ejercicio de V.A.B.Da) Calcular la funcin de masa conjunta.Nos apoyamos en los datos del enunciado y completamos la tabla para X e Y aadiendo las 9 sedes: X\Y 1 2 3 0 2/9 1/9 0 1 1/9 2/9 1/9 2 0 0 2/9

b) Calcular las distribuciones marginales de X e Y.Completamos la tabla con las funciones de masa marginales, sumando cada fila de X y cada columna de Y. El resultado de la suma de ambas variables tiene que dar 1, sino estaran mal las operaciones:

X\Y 1 2 3 P(Y=y)

0 2/9 1/9 0 3/9

1 1/9 2/9 1/9 4/9

2 0 0 2/9 2/9

P(X=x) 3/9 3/9 3/9

1

Ejercicio de V.A.B.DPara X tenemos la siguiente tabla: (funcin de masa) X Px 1 3/9 2 3/9 3 3/9 (se van sumando los valores de X)

La funcin de distribucin sera la siguiente:

=Esta sera su grfica:

0 3/9 6/9 1