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Variables Aleatorias Bidimensionales

ESTADÍSTICA2º Curso Grado Ingeniería Informática (EXECUTIVE)

Realizado por:David Sánchez RuizFecha: 20-06-2012

Índice

� 1. Introducción a las Variables Aleatorias Bidimensionales.

� 2. Ejercicio completo de vectores aleatorios discretos.

� 3. Ejercicio completo de vectores aleatorios continuos.

� 4. Bibliografía.

1Introducción a las

Variables Aleatorias Bidimensionales

Introducción a V.A.B.� Se trata de variables que surgen cuando se estudian dos características asociadas a

un experimento aleatorio.

� En determinadas ocasiones hay que trabajar en espacios de más de una dimensión,

estableciendo aplicaciones que transforman los sucesos elementales del

experimento aleatorio en puntos del espacio bidimensional.

� También nos puede llegar a interesar estudiar conjuntamente dos características del

fenómeno aleatorio, es decir, estudiar el comportamiento conjunto de dos V.A. para

intentar explicar la posible relación entre ellas. Para ello es necesario conocer la

distribución de probabilidad conjunta.

Ejemplo de gráfica de V.A.B

��, �� = �� Ω |�� ≤ �, �� ≤ �}�

Árbol de V.A.B.

Concepto de V.A.B.� Una variable aleatoria bidimensional es un vector de dos dimensiones cuyos

componentes son variables aleatorias: (X,Y)

� Se clasifican dependiendo de como sean las

variables aleatorias en:

� Discretas: Son aquellas variables que toman

valores finitos en la que existe una función de

probabilidad (masa) conjunta.

� Continuas: Son aquellas variables para las cuales

existe una función de densidad conjunta que

expresa su probabilidad asociada.

V.A.B.D. (Caso discreto)� En las VABD, la masa de probabilidad se encuentra distribuida en un conjunto de

puntos finito o numerable. El par (X,Y):

� La función de distribución se puede calcular sumando las probabilidades de los

puntos incluidos en un intervalo.

� Para cada valor posible (Xi, Yj) podemos asociar un número

con Función de Probabilidad Conjunta, que satisface:

Ejemplo de tabla de frecuencias relativas

�� , �� = 1, … , �; � = 1, … , �

�� = �� = �� , � = ��

V.A.B.C. (Caso continuo)� Las variables continuas, se caracterizan por tener su masa de probabilidad

distribuida y se define la Función de Densidad Conjunta, f(x,y), satisfaciendo las

siguientes propiedades:

� Para laV.A.B.D. (X,Y) se define su Función de Distribución en:

donde f es la Función de Densidad, si la Función de Distribución tiene segundas

derivadas se cumplirá que:

Ejemplo de representación gráfica

��, �� = �� ≤ �, � ≤ �� = ��−∞ � �!, "�#!#"�

−∞

V.A.B. (Resumen Casos)

Distribuciones Marginales� Una distribución marginal se obtiene al considerar la distribución

de una de las dos variables de unaV.B, ignorando la otra.

� Las Distribuciones Marginales de X e Y , están dadas por:

◦ Caso Discreto:

◦ Caso Continuo:

Distribuciones Condicionadas

� La distribución condicional

de la variable aleatoria Y ,

cuando X = x, viene dada por:

� La distribución condicional

de la variable aleatoria X ,

cuando Y = y, viene dada por:

Analizaremos el comportamiento de una de las variables cuando la otra toma un determinado valor:

Independencia entre V.A.B.� Siendo X e Y dos variables aleatorias, discretas o continuas, con

Distribución de Probabilidades f(x, y) y Distribuciones marginales

g(x), h(y), diremos que X eY son estadísticamente independientes

si y sólo si,

� Para todo (x, y) en su dominio

de definición. En caso contrario

serán dependientes.

� Este concepto se puede

generalizar para el caso de

n variables aleatorias.

Esperanza

Varianza

Covarianza� Es la medida de asociación lineal más simple entre dos variables.

$%�& = ' �� · �� = ��)�=1

Caso discreto Caso continuo

$%�& = ' �� · �� = �� )� =1

*� = $%�& = � � · +� �� · #�+∞−∞

*� = $%�& = � � · +� �� · #�+∞−∞

$%�2& = ' ��2 · �� = �� )�=1

$%�2& = ' ��2 · �� = �� )� =1

./0%�& = $%�2& − �$%�&�2 ./0%�& = $%�2& − �$%�&�2

12"%�, ��& = $%��& − $%�& · $%�&

$%��& = � � ��+∞−∞ · �� #�#�+∞

−∞

Caso discreto Caso continuo

$%�2& = � �2+∞−∞ · �� #�

$%�2& = � �2+∞−∞ · �� #�

$%��& = ' �� · �� , ��,��

Cambio de Variables (Z)

Solo para caso continuo

� Tiene como objetivo obtener la caracterización de Z a partir de la

X e Y definiendo la Función de Distribución:

siendo

� El procedimiento a seguir será calcular fz(z) y Fz(z):

� 1. Calcular la probabilidad con:

� 2. Utilizar la Función H(y) si lo que te están pidiendo es por

ejemplo: y sustituir en la Fz(z).

� Hallar la función de densidad fz(z) = F´z(z)

�3�3� = ��4 ≤ 3� = ��53� = 6 �, �53 ��, ��#�#�

53 = ��, �� 72 +. 9. :��, �� ≤ 3}

�3�3� = ��4 ≤ 3�

4 = 5 − �2

2Ejemplo de ejercicio de

V.A.BDiscretas

Ejercicio de V.A.B.D

Sea X la variable aleatoria el número de consultores de Informática de una empresa

e Y el número de consultores que pertenecen al departamento de Continuidad, en

la que se detalla la siguiente tabla de consultores sabiendo que dicha empresa tiene

9 sedes en total:

a) Calcular la función de masa conjunta.

b) Calcular las distribuciones marginales de X eY.

c) ¿Son dependientes o independientes?

d) Calcular las distribuciones condicionadas.

e) Hallar para X eY: la Esperanza, Varianza y Covarianza.

X\Y 0 1 21 2 1 02 1 2 03 0 1 2

Ejercicio de V.A.B.Da) Calcular la función de masa conjunta.

Nos apoyamos en los datos del enunciado y completamos la tabla para X e Y añadiendo las 9 sedes:

X\Y 0 1 21 2/9 1/9 02 1/9 2/9 03 0 1/9 2/9

X\Y 0 1 2 P(X=x)1 2/9 1/9 0 3/92 1/9 2/9 0 3/93 0 1/9 2/9 3/9

P(Y=y) 3/9 4/9 2/9 1

b) Calcular las distribuciones marginales de X e Y.

Completamos la tabla con las funciones de masa marginales, sumando cada fila de X y cada columna de Y. El resultado de la suma de ambas variables tiene que dar 1, sino estarían mal las operaciones:

Ejercicio de V.A.B.DPara X tenemos la siguiente tabla: (función de masa)

X 1 2 3Px 3/9 3/9 3/9

La función de distribución sería la siguiente: (se van sumando los valores de X)

�� = < 0 >� � < 1 3/9 >� 1 ≤ � < 2 6/9 >� 2 ≤ � < 31 >� � > 3 E

Esta sería su gráfica:

Ejercicio de V.A.B.DPara Y tenemos la siguiente tabla: (función de masa)

Y 0 1 2Py 3/9 4/9 2/9

La función de distribución sería la siguiente: (se van sumando los valores de Y)

�� = < 0 >� � < 0 3/9 >� 0 ≤ � < 1 7/9 >� 1 ≤ � < 21 >� � > 2 E

Esta sería su gráfica:

Ejercicio de V.A.B.Dc) ¿Son dependientes o independientes?.

Para saber si son dependientes o independientes se tiene que cumplir esta condición de independencia:

Elegimos un valor cualquiera de la tabla de distribuciones marginales por ejemplo x=1 , y=2 y hallamos lo que vale según la fórmula anterior:

Pxy(1,2) = 0Px(1) � Py(2) = 3/9 � 2/9 = 6/9

Puesto que 0 ≠ 6/9 podemos decir que no cumple la condición, por tanto son dependientes.

�� , �� = �� · ��

d) Calcular las distribuciones condicionadas.

La probabilidad Py/x (� /x=a) solo está definida si Px(a) ≠ 0, o sea no se incluyen los ceros que tenemos en la tabla.

Py/x (y/x=a) para a= 1, 2, 3

Px/y (x/y=b) para b= 0, 1, 2

Ejercicio de V.A.B.DLa probabilidad Py/x (� /x=a) :solo está definida si Px(a) ≠ 0, o sea no se incluyen los ceros que tenemos en la tabla.

Py/x (y/x=a) para a = 1, 2, 3

Px/y (x/y=b) para b = 0, 1, 2

GHHHIHHHJ� K1 � = 0L M = 2 9L3 9L = 2 3L

� K2 � = 0L M = 1 9L3 9L = 1 3L � K3 � = 0L M = 03 9L = 0

E

Estos serían los resultados de las condicionadas:

GHHHHIHHHHJ� K1 � = 1L M = 1 9L4 9L = 1 4L

� K2 � = 1L M = 2 9L4 9L = 1 2L � K3 � = 1L M = 1 9L4 9L = 1 4L

GHHHIHHHJ� K1 � = 2L M = 02 9L = 0

� K2 � = 2L M = 02 9L = 0 � K3 � = 2L M = 2 9L2 9L = 1

E


� K1 � = 1L M = 1 9L3 9L = 1 3L � K2 � = 1L M = 03 9L = 0

E


� K1 � = 2L M = 2 9L3 9L = 2 3L � K2 � = 2L M = 03 9L = 0

GHHHIHHHJ � K0 � = 3L M = 03 9L = 0

� K1 � = 3L M = 1 9L3 9L = 1 3L � K2 � = 3L M = 2 9L3 9L = 2 3L

Ejercicio de V.A.B.De) Hallar para X e Y: La Esperanza, Varianza y Covarianza.

Estos serían los resultados para la X:

$%�& = ' �� · �� = ��)�=1 = 1 · 1 3L + 2 · 1 3L + 3 · 1 3L = 6 · 1 3L = O

$%�2& = ' ��2 · �� = �� =)�=1 12 · 1 3L + 22 · 1 3L + 32 · 1 3L = 1 3L + 4 3L + 9 3L = 14 3L

./0%�& = $%�2& − �$%�&�2 = 14 3L − �2�2 = O PL

ESPERANZA E[X]:

VARIANZA Var[X]:

Estos serían los resultados para la Y:

./0%�& = $%�2& − �$%�&�2 = 4 3L − 8 9L = R SL

ESPERANZA E[Y]:

VARIANZA Var[Y]:

$%�& = ' �� · �� = �� = 0 · 3 9L + 1 · 4 9L + 2 · 2 9L = 4 9L + 4 9L = T SL)� =1

$%�2& = ' ��2 · �� = �� = 02 · 3 9L + 12 · 4 9L + 22 · 2 9L = 0 + 4 9L + 8 9L = 4 3L)� =1

Ejercicio de V.A.B.DCOVARIANZA:

12"%�, ��& = $%��& − $%�& · $%�&

$%��& = ' �� · �� , ��,�� = 1 · 1 · 1 9L + 2 · 1 · 2 9L + 3 · 1 · 1 9L + 3 · 2 · 2 9L = 20 9L

En estos cálculos no están incluidas las combinaciones cuando x=0 , y=0 o cuando aparezca algún cero en la tabla, ya que el resultado sería 0.

Por tanto,

12"%�, ��& = 20 9L − �2 · 8 9L � = R SL

3Ejemplo de ejercicio de

V.A.BContinuas

Ejercicio de V.A.B.CUn empresario desea montar una empresa de Informática. El negocio tendrá dos áreas

bien diferenciadas, una es el desarrollo de software y otra es la venta y mantenimiento de

ordenadores. Para ello ha realizado un estudio sobre la demanda de mercado en una zona

concreta de Madrid orientado a su negocio y como resultado se deduce que la demanda

conjunta semanal tiene la siguiente densidad:

a) Hallar k para que f(x,y) sea función de densidad.

b) Calcular las densidades marginales de X eY.

c) ¿Son dependientes o independientes?

d) Calcular las densidades condicionadas.

e) Calcular las funciones de distribución de F(xy), G(x) y H(y).

f) Hallar para X eY: la Esperanza, Varianza y Covarianza.

g) Consideremos Z= X+4 Calcular Fz(z).

�,� ��, �� = U)� >� 0 < � < � < 20 VW V� 0V>+2 E

Ejercicio de V.A.B.Ca) Hallar k para que f(x,y) sea función de densidad.

Tenemos que tener en cuenta lo siguiente:

Gráfica de la función:

� � ��, ��+∞−∞ #�#� = 1+∞

−∞

� � )��0 #�#� = � ) %��&0�2

0 #� = ) � �220 #� = )2

0 %�33 &02 = ) · 83 = 1 ; X = PT

Ejercicio de V.A.B.Cb) Calcular las densidades marginales de X e Y.



:�� = � ��, ��#� =∞−∞ � 38 · � #� = 38 · � %�&0� = PT · YO�

0

ℎ�� = � ��, ��#� =∞−∞ � 38 · � #� = 38 · %�22 &�2 = 38 · [4 − �22 \ = P]^ · �R − _O�2

�

:�� = <38 �2 >� 0 < � < 20 VW V� 0V>+2

E

ℎ�� = < 316 �4 − �2� >� 0 < � < 20 VW V� 0V>+2

E

Para saber si son dependientes o independientes se tiene que cumplir esta condición de independencia:

Considerando que x ≠ 0, podemos coger los valores x=1.5 e y=1 (1.5 , 1):

Ejercicio de V.A.B.C

38 · � ≠ 38 · �2 · 316 · �4 − �2�

c) ¿Son dependientes o independientes?.

��, �� = :�� · ℎ��

38 · 1.5 ≠ 38 · 1.52 · 316 · �4 − 12� = 916 ≠ 243512

Puesto que no son iguales, podemos decir que no cumple la condición, por tanto son dependientes.

d) Calcular las densidades condicionadas.

ℎ��|�� = ��, ��:�� = K3�8 M ∶ [3�28 \ = 24�24�2 = 1� Condicionada de Y por X cuando g(x) > 0:

g��|�� = ��,��ℎ�� = b3�8 c ∶ b3·�4−� 216 c = �2 �4−� 2� Condicionada de X por Y cuando h(y) > 0:

Para X:

Ejercicio de V.A.B.Ce) Calcular las funciones de distribución de F(xy), G(x) y H(y).

d�� = � �+�#+ =�−∞ � 38 · +2 #+ = 38 · %+33 &0� = 38 · [�33 \ = YPT�

0 d�� =GHIHJ 0 >� � ≤ 0

�38 >� 0 < � < 21 >� � ≥ 2

E

Para Y:

f�� = � �+�#+ =�−∞ � 316 · �4 − +2� #+ = 316 · %4+ − +33 &0� = P]^ · [R_ − _PP \�

0 f�� =GHIHJ 0 >� � ≤ 0

P]^ · KR_ − _PP M >� 0 < � < 2

1 >� � ≥ 2E

Para (X,Y):

�,� ��, �� = U)� >� 0 < � < � < 20 VW V� 0V>+2 E

��, �� =

GHHHHIHHHHJ 0 >� � ≤ 0 ó � ≤ 0

� � 38 · + #! #+ >� � ≥ �+0

�0

� � 38 · + #! #+ + � � 38 · + #! #+ �0

�� >� � > �+

0�

01 >� � ≥ 2

E

Ejercicio de V.A.B.Cf) Hallar para X e Y: La Esperanza, Varianza y Covarianza.


./0%�& = $%�2& − �$%�&�2 = 12 5L − �3 2L �2 = P OhL

ESPERANZA E[X]:

VARIANZA Var[X]:


ESPERANZA E[Y]:

VARIANZA Var[Y]:

$%�& = � �+∞−∞ · �� #� = � �2

0 · 316 �4 − �2�#� = 316 �20 �4� − �3�#� =

= 316 %4�22 − �44 &02 = 316 %2�2 − �44 &0

2 = 316 [2. 22 − 244 \ = 316 · �8 − 4� = PR

$%�& = � �+∞−∞ · �� #� = � �2

0 · 38 �2#� = �20

38 �3#� = 38 %�44 &02 = 38 · 164 = 4832 = PO

$%�2& = � �2+∞−∞ · �� #� = � �22

0 · 38 �2#� = 38 %�55 &02 = 38 · 325 = ]Oi

$%�2& = � �2+∞−∞ · �� #� = � �22

0 · 316 �4 − �2�#� = 316 �20 �4�2 − �4�#� =

= 316 %4 �33 − �55 &02 = 316 K4 · 83 − 325 M = 316 · 6415 = Ri

./0%�& = $%�2& − �$%�&�2 = 4 5L − �3 4L �2 = ]S ThL

Ejercicio de V.A.B.CCOVARIANZA:

12"%�, ��& = $%��& − $%�& · $%�&

Por tanto,

12"%�, ��& = 6 5L − [3 2L · 3 4L \ = 6 5L − 9 8L = P RhL

$%��& � � �� · 38�0 · � #�#� = 38 �2

0 � �2�0 · � #�#� = 38 � �2 j�22 k0

� #� =202

0

38 � �2 · �22 #� =20

38 � �4 · 12 #� =20 = 316 · j�55 k0

2 = 316 · K325 M = i

Ejercicio de V.A.B.Cg) Consideremos Z= X+4 Calcular Fz(z).

�3�4� = ��4 ≤ 3� = �� + 4 ≤ 3� = �� ≤ 3 − 4� = �� 3 − 4�

Por tanto,

�3 �4� = �� 3 − 4�

Sustituimos x por z-4 en F(x):

�3�4� =GHIHJ 0 >� 3 − 4 ≤ 0

�3 − 4�38 >� 0 < 3 − 4 < 21 >� 3 − 4 ≥ 2

E

3 − 4 ≤ 0 ; 3 ≤ 4

3 − 4 ≥ 2 ; 3 ≥ 60 ≤ 3 − 4 ≤ 2 ; l0 ≤ 3 − 4 ; 4 ≤ 33 − 4 ≤ 2 ; 3 ≤ 6E | 4 ≤ 3 ≤ 6E

4Bibliografía

Bibliografía� Apuntes de clase de Estadística.

� Clases Online impartidas por el profesor con otros ejemplos prácticos.

� Investigación:

◦ Página Web de donde he extraído algunos diagramas:

� http://www.ugr.es/~metcuant/asignaturas/docencia/Tc-i/mapasconceptuales/tema10/vab0.htm

◦ Teoría:

� http://es.scribd.com/doc/53190552/127/Variables-Aleatorias-Bidimensionales

� http://ocw.unican.es/ensenanzas-tecnicas/teoria-de-la-comunicacion/material-de-clase-

2/TC_Tema_4.pdf

� http://www.ayudamemondon.cl/archivos/3_Variables_Aleatorias_Bidimensionales_y_de_Mayor_Dime

nsion.pdf

◦ Ejemplos de ejercicios:

� http://www.emp.uva.es/inf_acad/hermer/estad2/material/e2ex_resu_varios.pdf