of 40 /40
1.2 Variables aleatorias.

1.2 Variables aleatorias

  • Author
    camdyn

  • View
    71

  • Download
    0

Embed Size (px)

DESCRIPTION

1.2 Variables aleatorias. Probabilidad de un suceso. 2. Probabilidad condicionada. 3. Variables aleatorias (discretas y continuas). 4. Distribuciones continuas más importantes. 1. Probabilidad de un suceso. Experimentos aleatorios/determinísticos. En un experimento aleatorio: - PowerPoint PPT Presentation

Text of 1.2 Variables aleatorias

  • 1.2 Variables aleatorias.

  • Probabilidad de un suceso. 2. Probabilidad condicionada.3. Variables aleatorias (discretas y continuas).4. Distribuciones continuas ms importantes.

  • 1. Probabilidad de un suceso.Experimentos aleatorios/determinsticosEn un experimento aleatorio: Suceso elemental: cada uno de los resultados posibles.Espacio muestral (E): conjunto formado por los sucesos elementales.- Suceso: cada subconjunto del espacio muestral.

  • Ejemplo: Sea el experimento Lanzar un dado; entonces,E = {1,2,3,4,5,6}123465EA=Obtener un n menor o igual que 2; B=Obtener n par

  • Ejemplo: Sea el experimento Lanzar un dado; entonces,E = {1,2,3,4,5,6}123465EA=Obtener un n menor o igual que 2; B=Obtener n parAB

  • A B = A interseccin B = se dan A y B a la vez= {2}

    A U B = A unin B =se da A B ambos a la vez = {1,2,4,6}

    = no A = contrario de A = no se da A = {3,4,5,6}Suceso seguro (hay certeza de que se da): E

    Suceso imposible (hay certeza de que no se da):

    Se dice que A y B son incompatibles si A B = (es decir, no pueden darse a la vez); en otro caso, son compatibles.

  • Probabilidad de un suceso: Una probabilidad es una funcin que asignaa cada suceso A, un n (su probabilidad, P(A)), de manera que:

    1.- 0 P(A) 12.- P(E)=1 3.- Si A y B son incompatibles, entonces P(A U B) = P(A) + P(B)Ejemplo de probabilidad: Ley de LaplaceEn el ejemplo anterior, P(A)? P(B)? P(A B)?

  • Ley de los Grandes Nmeros: El porcentaje de ocasiones en que se obtiene determinado resultado en un experimento aleatorio tiende a coincidircon su probabilidad terica a medida que el experimento se repite ms y msVeces. Algunas frmulas:

    P(A U B)=P(A) + P(B) P(AB) Probab. de la unin de varios sucesos incompatibles:P(A U B U U C) = P(A) + P(B) + + P(C)- Probab. del suceso contrario:

  • 2. Probabilidad condicionada.Ejemplo: Se sospecha que existe relacin entre la aparicin de una cierta enfermedad de la sangre en una comunidad, y la exposicin a determinados desechos qumicos en un vertedero prximo al lugar de estudio. Para estudiar la existencia o no de relacin entre ambos fenmenos, se elige una muestra aleatoria de 620 personas de la comunidad, de las cules 300 haban estado expuestas a los desechos, y 320 no lo haban estado. En ambos grupos, se determin el nmero de personas que tenan la citada enfermedad. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:

  • Tiene la enfermedadHa estadoexpuesto

    SINOSI52248300NO48272320Totales:100520620

  • Cul es la probabilidad de que, tomado un individuo al azar, haya estado expuesto al peligro? Y de que tenga la enfermedad?

    b) Cul es la probabilidad de que tomado un individuo al azar tenga la enfermedad y haya estado expuesto al peligro?

    c) Sabiendo que un individuo, tomado al azar, ha estado expuesto, cul es la probabilidad de que tenga la enfermedad?

    d) A partir del resultado anterior, parece razonable concluir que no hay relacin entre ambos fenmenos?

  • Probabilidad condicionada: (Probab. de A condicionado B)(Probab. de B condicionado A)Decimos que A y B son independientes, si P(A/B) = P(A); P(B/A) = P(B)Se cumple: A y B independientes P(A B)=P(A) P(B)

  • 3. Variables aleatorias.Una variable X se dice aleatoria cuando toma valores con determinadasprobabilidades. Si la variable X toma valores discretos (de modo que en-tre dos valores consecutivos no se alcanzan todos los intermedios) se dice que es discreta; si toma todos los valores dentro de un intervalo, se dice que es continua.

  • Funcin de densidad o de probabilidad de una variable discreta X: es la funcin que asigna a cada valor que puede tomar la variable, la proba-bilidad con la que eso sucede. Se puede expresar mediante una frmula f(x), mediante una tabla. La funcin de densidad cumple:

    1.- f(x)0 para todo valor que pueda tomar la variable.

    2.- La funcin de distribucin de una variable discreta X es la funcin que asigna a cada valor que puede tomar la variable, la probabilidad de que tome ese valor, o cualquier valor inferior.

  • Ejemplo: Variable aleatoria de PoissonDado un suceso que aparece de espordicamente, en unintervalo de tiempo o un espacio dado, cul es la probabilidad de que se haya dado x veces?: nmero medio o esperado de ocurrencias

  • DEFINICION (Funcin de densidad): Dada una variable aleatoria continua X decimos que f(x) es una funcin de densidad, si la probabilidad de que X tome valores en el intervalo (a,b) es igual al rea encerrada por la grfica de f(x), el eje x y las rectas x=a, x=b. Se cumple:

    1.- f(x)0 para todo valor de x2.-

  • En estas condiciones, P(a X b) (es decir, la probabilidad de quela variable X est entre los valores a y b), se calcula como:abf(x)

  • IMPORTANTE: En consecuencia, la probabilidad de que la variable X tome un valor determinado, es CERO: Por lo tanto,

  • De dnde procede esta idea? Tiene algn sentido intuitivo?

  • Ejemplo: Estudiamos el peso de los ejemplares de una cierta especie de pjaro; para ello, tomamos una muestra, agrupamos los datos en intervalos,y calculamos los porcentajes. Peso%1501551601651701751801852040

    150-1553155-1608160-16520165-17040170-17523175-1805180-1852100

  • %1501551601651701751801852040Probabilidad de que un ejemplar de la MUESTRA, tomado al azar, tenga un peso superior a 170?Prob.=%=Area1Peso

    150-1553155-1608160-16520165-17040170-17523175-1805180-1852100

  • Peso%1501551601651701751801852040Prob.=%=AreaProbabilidad de que un ejemplar de la MUESTRA, tomado al azar, tenga un peso superior a 170?

    150-1553155-1608160-16520165-17040170-17523175-1805180-1852100

  • Peso%1501551601651701751801852040Prob.=%=AreaProbabilidad de que un ejemplar de la MUESTRA, tomado al azar, tenga un peso superior a 170?

    150-1553155-1608160-16520165-17040170-17523175-1805180-1852100

  • Peso%1501551601651701751801852040Prob. (muestra)MuestraPOBLACIONConocida (DATOS)Desconocida!!! Qu hacemos, entonces? Probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar, tenga un peso superior a 170?

  • Probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar, tenga un peso superior a 170?170%PesoFuncin de densidady = f(x)170Esa rea es la probabilidad pedida; tambin puede interpretarse como el porcentaje total de pjaros (no slo de mi muestra) con un peso superior a 170.

  • Probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar, tenga un peso superior a 170?170%PesoFuncin de densidady = f(x)170Si conocemos la expresin f(x), entonces el rea se calcula como

  • DEFINICION (Funcin de distribucin): Dada una variable aleatoria continua X, con funcin de densidad f(x), la funcin de distribucin F(x) es la funcin que para cada valor de la variable nos da la probabilidad de que X tome ese valor, o cualquier otro inferior.

  • La funcin de distribucin cumple:La derivada de la funcin de distribucin, es la funcin de densidad.

    2. Se verifica:

  • MEDIA: Variable discreta: Variable continua: Media, varianza, desv. tpica de una v.a.

  • VARIANZA: Variable discreta: Variable continua:

  • DESVIACION TIPICA:

  • A. Distribucin normal: N(,)4. Principales distribuciones continuas.Previamente: curva normal N(,) o campana de Gauss

  • : media poblacional : desviacin tpica poblacional. Simtrica respecto a x = Mximo en x = Normal tipificada: si X=N(,), entonces Z=(X- )/ es una normal N(0,1).

  • B. Distribucin exponencial: Exp()=1/=1/ Se utiliza con frecuencia para modelizar la duracin (vida de personas, animales o componentes fsicos; duracin de huelgas, recesiones eco- nmicas, llamadas telefnicas, etc.) o el tamao (yacimientos, etc.)

  • C. Distribucin chi-cuadrado de Pearson de n grados de libertad:donde son variables aleatorias independientes ypara i = 1, 2,, n. La grfica de su funcin de densidad es:

  • C. Distribucin chi-cuadrado de Pearson de n grados de libertad:Media: nVarianza: 2nEs importante en inferenciaestadstica

  • D. Distribucin t de Student de n grados de libertad:NormalChi-cuadradode n grados delibertad

  • D. Distribucin t de Student de n grados de libertad:Es SIMETRICA respecto al eje YMedia: 0Varianza: n/(n-2) (para n>2)Es importante en inferenciaestadstica

  • E. Distribucin F de Snedecor con n1, n2 grados de libertad :Chi-cuadrado con n1grados de libertadChi-cuadrado con n2grados de libertad