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1.2 Variables aleatorias.

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1.Probabilidad de un suceso. 2. Probabilidad condicionada. 3. Variables aleatorias (discretas y continuas). 4. Distribuciones continuas ms importantes.

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1. Probabilidad de un suceso. Experimentos aleatorios/determinsticos En un experimento aleatorio: -Suceso elemental: cada uno de los resultados posibles. -Espacio muestral (E): conjunto formado por los sucesos elementales. - Suceso: cada subconjunto del espacio muestral.

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Ejemplo: Sea el experimento Lanzar un dado; entonces, E = {1,2,3,4,5,6} 1 2 3 4 6 5 E A=Obtener un n menor o igual que 2; B=Obtener n par

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Ejemplo: Sea el experimento Lanzar un dado; entonces, E = {1,2,3,4,5,6} 1 2 3 4 6 5 E A=Obtener un n menor o igual que 2; B=Obtener n par A B

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A B = A interseccin B = se dan A y B a la vez= {2} A U B = A unin B =se da A B ambos a la vez = {1,2,4,6} = no A = contrario de A = no se da A = {3,4,5,6} Suceso seguro (hay certeza de que se da): E Suceso imposible (hay certeza de que no se da): Se dice que A y B son incompatibles si A B = (es decir, no pueden darse a la vez); en otro caso, son compatibles.

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Probabilidad de un suceso: Una probabilidad es una funcin que asigna a cada suceso A, un n (su probabilidad, P(A)), de manera que: 1.- 0 P(A) 1 2.- P(E)=1 3.- Si A y B son incompatibles, entonces P(A U B) = P(A) + P(B) Ejemplo de probabilidad: Ley de Laplace En el ejemplo anterior, P(A)? P(B)? P(A B)?

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Ley de los Grandes Nmeros: El porcentaje de ocasiones en que se obtiene determinado resultado en un experimento aleatorio tiende a coincidir con su probabilidad terica a medida que el experimento se repite ms y ms Veces. Algunas frmulas: - P(A U B)=P(A) + P(B) P(AB) - Probab. de la unin de varios sucesos incompatibles: P(A U B U U C) = P(A) + P(B) + + P(C) - Probab. del suceso contrario:

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2. Probabilidad condicionada. Ejemplo: Se sospecha que existe relacin entre la aparicin de una cierta enfermedad de la sangre en una comunidad, y la exposicin a determinados desechos qumicos en un vertedero prximo al lugar de estudio. Para estudiar la existencia o no de relacin entre ambos fenmenos, se elige una muestra aleatoria de 620 personas de la comunidad, de las cules 300 haban estado expuestas a los desechos, y 320 no lo haban estado. En ambos grupos, se determin el nmero de personas que tenan la citada enfermedad. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:

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SINO SI52248300 NO48272320 Totales: 100520620 Tiene la enfermedad Ha estado expuesto

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a)Cul es la probabilidad de que, tomado un individuo al azar, haya estado expuesto al peligro? Y de que tenga la enfermedad? b) Cul es la probabilidad de que tomado un individuo al azar tenga la enfermedad y haya estado expuesto al peligro? c) Sabiendo que un individuo, tomado al azar, ha estado expuesto, cul es la probabilidad de que tenga la enfermedad? d) A partir del resultado anterior, parece razonable concluir que no hay relacin entre ambos fenmenos?

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Probabilidad condicionada: (Probab. de A condicionado B) (Probab. de B condicionado A) Decimos que A y B son independientes, si P(A/B) = P(A); P(B/A) = P(B) Se cumple: A y B independientes P(A B)=P(A) P(B)

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3. Variables aleatorias. Una variable X se dice aleatoria cuando toma valores con determinadas probabilidades. Si la variable X toma valores discretos (de modo que en- tre dos valores consecutivos no se alcanzan todos los intermedios) se dice que es discreta; si toma todos los valores dentro de un intervalo, se dice que es continua.

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Funcin de densidad o de probabilidad de una variable discreta X: es la funcin que asigna a cada valor que puede tomar la variable, la proba- bilidad con la que eso sucede. Se puede expresar mediante una frmula f(x), mediante una tabla. La funcin de densidad cumple: 1.- f(x)0 para todo valor que pueda tomar la variable. 2.- La funcin de distribucin de una variable discreta X es la funcin que asigna a cada valor que puede tomar la variable, la probabilidad de que tome ese valor, o cualquier valor inferior.

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Ejemplo:Variable aleatoria de Poisson Dado un suceso que aparece de espordicamente, en un intervalo de tiempo o un espacio dado, cul es la probabilidad de que se haya dado x veces? : nmero medio o esperado de ocurrencias

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DEFINICION (Funcin de densidad): Dada una variable aleatoria continua X decimos que f(x) es una funcin de densidad, si la probabilidad de que X tome valores en el intervalo (a,b) es igual al rea encerrada por la grfica de f(x), el eje x y las rectas x=a, x=b. Se cumple: 1.- f(x)0 para todo valor de x 2.-

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En estas condiciones, P(a X b) (es decir, la probabilidad de que la variable X est entre los valores a y b), se calcula como: ab f(x)

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IMPORTANTE: En consecuencia, la probabilidad de que la variable X tome un valor determinado, es CERO: Por lo tanto,

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De dnde procede esta idea? Tiene algn sentido intuitivo?

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Ejemplo: Estudiamos el peso de los ejemplares de una cierta especie de pjaro; para ello, tomamos una muestra, agrupamos los datos en intervalos, y calculamos los porcentajes. 150-155 3 155-160 8 160-165 20 165-170 40 170-175 23 175-180 5 180-185 2 100 Peso % 150 155160165170175180185 20 40

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150-155 3 155-160 8 160-165 20 165-170 40 170-175 23 175-180 5 180-185 2 100 % 150 155160165170175180185 20 40 Probabilidad de que un ejemplar de la MUESTRA, tomado al azar, tenga un peso superior a 170? Prob.=%=Area 1 Peso

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150-155 3 155-160 8 160-165 20 165-170 40 170-175 23 175-180 5 180-185 2 100 Peso % 150 155160165170175180185 20 40 Prob.=%=Area Probabilidad de que un ejemplar de la MUESTRA, tomado al azar, tenga un peso superior a 170?

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Peso % 150 155160165170175180185 20 40 Prob.=%=Area 150-155 3 155-160 8 160-165 20 165-170 40 170-175 23 175-180 5 180-185 2 100 Probabilidad de que un ejemplar de la MUESTRA, tomado al azar, tenga un peso superior a 170?

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Peso % 150 155160165170175180185 20 40 Prob. (muestra) Muestra POBLACION Conocida (DATOS) Desconocida!!! Qu hacemos, entonces? Probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar, tenga un peso superior a 170?

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Probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar, tenga un peso superior a 170? 170 % Peso Funcin de densidad y = f(x) 170 Esa rea es la probabilidad pedida; tambin puede interpretarse como el porcentaje total de pjaros (no slo de mi muestra) con un peso superior a 170.

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Probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar, tenga un peso superior a 170? 170 % Peso Funcin de densidad y = f(x) 170 Si conocemos la expresin f(x), entonces el rea se calcula como

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DEFINICION (Funcin de distribucin): Dada una variable aleatoria continua X, con funcin de densidad f(x), la funcin de distribucin F(x) es la funcin que para cada valor de la variable nos da la probabilidad de que X tome ese valor, o cualquier otro inferior.

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La funcin de distribucin cumple: 1.La derivada de la funcin de distribucin, es la funcin de densidad. 2. Se verifica:

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MEDIA: Variable discreta: Variable continua: Media, varianza, desv. tpica de una v.a.

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VARIANZA: Variable discreta: Variable continua:

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DESVIACION TIPICA:

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A. Distribucin normal: N(,) 4. Principales distribuciones continuas. Previamente: curva normal N(,) o campana de Gauss

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- : media poblacional - : desviacin tpica poblacional. - Simtrica respecto a x = - Mximo en x = - Normal tipificada: si X=N(,), entonces Z=(X- )/ es una normal N(0,1).

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B. Distribucin exponencial: Exp() =1/ =1/ - Se utiliza con frecuencia para modelizar la duracin (vida de personas, animales o componentes fsicos; duracin de huelgas, recesiones eco- nmicas, llamadas telefnicas, etc.) o el tamao (yacimientos, etc.)

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C. Distribucin chi-cuadrado de Pearson de n grados de libertad: dondeson variables aleatorias independientes ypara i = 1, 2,, n. La grfica de su funcin de densidad es:

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C. Distribucin chi-cuadrado de Pearson de n grados de libertad: Media: n Varianza: 2n Es importante en inferencia estadstica

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D. Distribucin t de Student de n grados de libertad: Normal Chi-cuadrado de n grados de libertad

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D. Distribucin t de Student de n grados de libertad: Es SIMETRICA respecto al eje Y Media: 0 Varianza: n/(n-2) (para n>2) Es importante en inferencia estadstica

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E. Distribucin F de Snedecor con n 1, n 2 grados de libertad : Chi-cuadrado con n 1 grados de libertad Chi-cuadrado con n 2 grados de libertad