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1 troducción a las Señales Aleatoria ISAL Capítulo 2: VARIABLE ALEATORIA Material de partida: Principios de probabilidad, variables aleatorias y señales aleatorias Peyton, Z. & Peebles, Jr. (Capítulo 2) Bartolo Luque Departamento Matemática Aplicada Y Estadística E.T.S.I. Aeronáuticos, UPM. Plaza Cardenal Cisneros, 3 Madrid 28040, Spain. Tf.: 91 336 63 26 [email protected] es http:/matap.dmae.upm.es/bartolo.html

1 Introducción a las Señales Aleatorias ISAL Capítulo 2: VARIABLE ALEATORIA Material de partida: Principios de probabilidad, variables aleatorias y señales

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  • Introduccin a las Seales AleatoriasISALCaptulo 2:VARIABLE ALEATORIA

    Material de partida:Principios de probabilidad, variables aleatorias y seales aleatoriasPeyton, Z. & Peebles, Jr.(Captulo 2)

    Bartolo Luque Departamento Matemtica Aplicada Y EstadsticaE.T.S.I. Aeronuticos, UPM. Plaza Cardenal Cisneros, 3Madrid 28040, Spain. Tf.: 91 336 63 [email protected]:/matap.dmae.upm.es/bartolo.html

  • Variable aleatoria -I : Experimento aleatorio: Espacio muestral (todos los resultados posibles)A cada elemento del espacio muestral w le asignamos un nmero real X(w) Una variable aleatoria X es una funcin que asocia a cada suceso del espacio muestral de un experimento aleatorio un valor numrico real:Llamar variable a una funcin resulta algo confuso, por ello hay que insistir en que es una funcin.

    La variable aleatoria puede ser discreta, continua o mixta.

  • Ejemplo de variable aleatoria discreta: Nmero de caras al lanzar 3 monedas.Elementos del espacio muestral+++ ++C +C+ C++ CC+ C+C +CC CCC N reales(# de caras) 0 1 2 3 carasLey de correspondenciaEstablecer una variable aleatoria para un experimento aleatorio no es ms que una manera de asignar de "manera natural" nmeros a los eventos.

  • Variable aleatoria -IIUna variable aleatoria X es una funcin que aplica cada suceso del espacio muestral en algn punto de la recta real.

    Ms de un suceso puede aplicarse al mismo valor de X pero no puede ser multivaluada (todo punto de debe corresponder con un solo valor de X)X(cero caras)=0 X(una cara)=1 X(dos caras)=2 X(tres caras)=3

    Dominio : W ={cero caras,una cara,dos caras,tres caras}Rango : {0,1,2,3}WDominioWxRango

  • Variable aleatoria -IIINotacin: variable aleatoria W,X,Y mayscula, valores concretos, minscula, w,x,yCondiciones para que una funcin sea una v.a.:Adems de no ser multivaluada {X =< x} ser un suceso para cualquier nmero real x (y podremos calcular su probabilidad-ver arriba-) Que las probabilidades de los sucesos {X=} y {X=- } sean igual a cero.

  • Variable aleatoria -IVFormalizacin:

    < W ,F , P> espacio probabilstico ligado a X: W ------------ R w W --------- X(w) R

    X es una variable aleatoria (v.a.) si y slo si

    Nota:Una v.a. Compleja Z es de la forma Z=X + jY, con X, Y v.as reales definidas sobre el mismo W

  • Funcin de Distribucin

  • Funcin de Distribucin-I

  • Funcin de Distribucin-IIPropiedades, algunas especficas derivadas del hecho de que FX(x) es una probabilidad

  • Funcin de Distribucin-IIIPropiedades 1,2 y 3 fciles de demostrar, la 4 -> FX(x) no decreciente, y la 5....

  • Funcin de Distribucin-IVPropiedades 5

  • Funcin de Distribucin-VVariable aleatoria discreta:aquella cuya funcin de distribucin es escalonada Ejemplo: Lanzamiento de dos dados, con v.a. X la suma de los dados rango Wx = {2,3,...,12} x1,0

    0,5

    0,028

    2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12FX(x)

  • Funcin de Distribucin-VIVariable aleatoria discreta:Es suficiente conocer las xi y las pi para caracterizar probabilsticamente una v.a discretaLa v.a. Slo toma valores discretos: X discreta Wx discretoPropiedades:

  • Ej. v.a discreta sobre un espacio muestral infinito numerable, (N infinito) tambin podemos definir una funcin de densidad

    Ejemplo: Sea X = Nmero de lanzamientos de una moneda antes de que aparezca una cara. Entonces:

    P(X = 1) = P(C) = 1/2 P(X = 2) = P(+C) = 1/2 . 1/2 = 1/4 P(X = 3) = P(++C) = 1/2 . 1/2 . 1/2 = 1/8 ...y en general P(X = n) = (1/2)n, n = 1,2,.

    Demuestra que est normalizada.

  • Funcin de Distribucin-VIIVariable aleatoria continua:aquella cuya funcin de distribucin es continuaPropiedades:Rango continuo

  • Funcin de Distribucin-VIIIVariable aleatoria mixta:aquella cuya funcin de distribucin es discontinua pero noescalonada(parte escalonada, parte continua)x1,0

    0,5

    0

    0 1 2 3 x0 5 6 7 8 FX(x)P(X=x0)NOTA: Para todos los casos discreto, continuo, mixtoMEDIANA xm es la mediana de X, si y slo si xm Wx y F(xm)=1/2

  • Funcin de Densidad

  • Funcin de Densidad (de probabilidad)-IPueden existir puntos donde la derivada no est definida: puntos de cambio abrupto de pendiente (f(x) usa la funcin escaln u(x))x1,0

    0,5

    1/8

    0

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 fX(x)Interpretacin... Cmo se distribuye (densidad) la masa de probabilidad de X (en este ejemplo, uniformenente)...acumulacin de probabilidad...Funcin de distribucin de probabilidad acumulativa

  • Funcin de Densidad (de probabilidad)-II

    para v.as discretas, la derivada de los escalones -> funciones impulso unitario (n) (delta densidad infinita concentrada en un punto)fx(x) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1/362/366/364/365/363/362/361/365/364/363/36

  • Funcin de densidad de probabilidadSe puede pensar como la generalizacin de un histograma de frecuencias relativas para variable continua.ab

    Grfico1

    0.00251725190

    0.01152636380.0066666667

    0.03397244080.0266666667

    0.07241493960.0866666667

    0.11891295340.1366666667

    0.15646441240.1533333333

    0.1694050780.2

    0.15380197870.15

    0.11872433450.0866666667

    0.07873297970.0866666667

    0.04520553860.04

    0.02260276930.02

    0.00988299220.0033333333

    0.00378971880

    0.00127653690.0033333333

    Binomial

    6

    11BINOMIAL(n,p)

    6XDennf1_sf3_s

    600.00026600.0000000.1

    1010.00251710.0033330.8Ensayos (n)1

    820.01152640.0133333.53015

    930.033972110.03666710.2

    640.072415270.09000021.7Pr. xito (p)24

    350.118913280.09333335.70.24

    960.156464470.15666746.9A1:A300

    1170.169405480.16000050.8Muestra

    780.153802530.17666746.1300

    690.118724300.10000035.6

    7100.078733230.07666723.6

    10110.045206170.05666713.6Estadsticos

    6120.02260380.0266676.8TericosMuestra

    4130.00988330.0100003.0Mnimo11

    7140.00379000.0000001.1Media7.207.18

    6150.00127700.0000000.4Moda8

    8160.00037800.0000000.1Mximo1513

    8170.00009800.0000000.0Varianza5.55.6

    7180.00002200.0000000.0

    7190.00000400.0000000.0Bondad del generador

    5200.00000100.0000000.0c27.8502

    9210.00000000.0000000.0GL15

    8220.00000000.0000000.0p.valor0.8970

    3230.00000000.0000000.0

    5240.00000000.0000000.0Algoritmo de generacin

    4250.00000000.0000000.0BINOM.CRIT(n;p;ALEATORIO())

    9260.00000000.0000000.0

    6270.00000000.0000000.0

    9280.00000000.0000000.0

    10290.00000000.0000000.0

    9300.00000000.0000000.0

    7

    2

    8

    12

    11

    8

    7

    10

    4

    8

    8

    10

    5

    5

    4

    7

    10

    9

    9

    8

    8

    9

    5

    12

    10

    6

    4

    8

    6

    9

    9

    8

    5

    8

    13

    11

    7

    6

    7

    7

    8

    9

    6

    9

    7

    5

    11

    5

    3

    4

    4

    7

    3

    8

    4

    10

    7

    7

    7

    5

    10

    5

    10

    8

    11

    5

    12

    4

    5

    7

    8

    7

    8

    8

    8

    6

    9

    8

    8

    9

    12

    7

    6

    7

    7

    6

    4

    6

    8

    2

    6

    8

    7

    8

    7

    10

    4

    7

    10

    10

    12

    12

    6

    8

    11

    8

    7

    10

    6

    8

    4

    6

    6

    2

    10

    8

    9

    9

    5

    12

    8

    6

    7

    7

    6

    4

    6

    7

    4

    8

    4

    10

    8

    7

    7

    6

    6

    4

    11

    7

    6

    6

    4

    6

    7

    4

    6

    7

    4

    6

    3

    9

    5

    4

    9

    9

    8

    9

    4

    9

    7

    12

    6

    8

    8

    6

    10

    6

    4

    8

    8

    10

    7

    11

    6

    5

    10

    3

    3

    11

    6

    3

    11

    1

    8

    8

    2

    11

    5

    3

    7

    8

    5

    4

    3

    6

    6

    13

    5

    8

    3

    8

    9

    4

    8

    7

    5

    7

    13

    8

    8

    7

    11

    4

    6

    4

    6

    5

    6

    7

    6

    7

    5

    7

    6

    9

    8

    9

    6

    7

    8

    6

    8

    8

    10

    7

    11

    7

    5

    9

    5

    5

    8

    8

    5

    4

    6

    5

    5

    11

    7

    9

    7

    8

    8

    10

    11

    9

    7

    6

    11

    10

    9

    9

    10

    5

    6

    4

    6

    9

    8

    8

    8

    5

    4

    8

    3

    6

    3

    10

    6

    12

    7

    10

    7

    4

    5

    5

    7

    7

    Binomial

    0.00251725190.0033333333

    0.01152636380.0266666667

    0.03397244080.04

    0.07241493960.0633333333

    0.11891295340.1233333333

    0.15646441240.1666666667

    0.1694050780.19

    0.15380197870.1333333333

    0.11872433450.1066666667

    0.07873297970.0633333333

    0.04520553860.0333333333

    0.02260276930.0366666667

    0.00988299220.01

    0.00378971880

    0.00127653690

    Parametros

    0.10613141516171819202122232425262728293031323334

    0.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.000

    0.0250.7200.7020.6840.6670.6500.6340.6180.6030.5880.5730.5590.5450.5310.5180.5050.4920.4800.4680.4560.4450.4340.423

    0.0500.5130.4880.4630.4400.4180.3970.3770.3580.3410.3240.3070.2920.2770.2640.2500.2380.2260.2150.2040.1940.1840.175

    0.0750.3630.3360.3110.2870.2660.2460.2270.2100.1950.1800.1660.1540.1420.1320.1220.1130.1040.0960.0890.0940.1000.106

    0.1000.2540.2290.2060.1850.1670.1500.1350.1220.1090.0980.0890.0970.1050.1120.1190.1240.1300.1340.1390.1420.1460.149

    0.1250.1760.1540.1350.1180.1030.0900.0980.1070.1160.1240.1300.1360.1410.1460.1490.1530.1560.1580.1610.1630.1640.166

    0.1500.1210.1030.0890.1020.1140.1230.1310.1380.1440.1490.1530.1560.1590.1620.1640.1660.1680.1690.1700.1710.1720.173

    0.1750.0950.1090.1210.1310.1390.1450.1510.1550.1590.1620.1650.1670.1690.1700.1710.1720.1730.1740.1740.1750.1750.175

    0.2000.1220.1330.1410.1490.1540.1590.1620.1650.1670.1690.1710.1720.1730.1740.1740.1750.1750.1750.1760.1760.1760.176

    0.2250.1400.1480.1550.1600.1640.1660.1690.1710.1720.1730.1740.1740.1750.1750.1760.1760.1760.1760.1760.1760.1760.176

    0.2500.1530.1590.1630.1670.1690.1710.1720.1730.1740.1750.1750.1760.1760.1760.1760.1760.1760.1760.1770.1770.1770.177

    0.2750.1610.1660.1690.1710.1720.1740.1740.1750.1750.1760.1760.1760.1760.1760.1760.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

    0.3000.1670.1700.1720.1730.1740.1750.1760.1760.1760.1760.1760.1760.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

    0.3250.1710.1730.1740.1750.1750.1760.1760.1760.1760.1760.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

    0.3500.1730.1740.1750.1760.1760.1760.1760.1760.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

    0.3750.1740.1750.1760.1760.1760.1760.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

    0.4000.1750.1760.1760.1760.1760.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

    0.4250.1760.1760.1760.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

    0.4500.1760.1760.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

    0.4750.1760.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

    0.5000.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

    0.5250.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

    0.5500.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

    0.5750.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

    0.6000.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

    0.6250.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

    0.6500.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

    0.6750.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

    0.7000.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

    0.7250.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

    0.7500.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

    0.7750.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

    0.8000.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

    0.8250.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

    0.8500.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

    0.8750.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

    0.9000.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

    0.9250.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

    0.9500.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

    0.9750.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

    1.0000.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.1770.177

  • Funcin de Densidad -IIIPropiedades de f(x)Las propiedades 1 y 2 pueden utilizarse como pruebas para ver si una funcin g X(x) puede ser una f.d.p.Ejercicio 2.3.-1

  • ...veremos la media....

    mediana xm es la mediana de X, si y slo si xm Wx y FX(xm)=1/2

    moda xmod: es el valor para el cul la distribucin toma su mximo absoluto.

    Siguen un orden alfabtico

  • Ejemplos Distribuciones ContinuasVariable Aleatoria .................................................

  • Ejemplos Distribuciones ContinuasDistribucin uniforme (X v.a. uniforme) Misma prob. intervalos de igual anchura (rea igual) Cuantificacin de seales.....

  • Area= 0.5Ejemplo:

  • Ejemplo: Dibuja la funcin de probabilidad f(x) y la funcin de distribucin F(x) de una variable discreta definida como:X = Nmero en la cara de un dado.X tiene como posibles valores x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 cada uno con probabilidad 1/6

  • Sin duda la distribucin continua de probabilidad ms importante, por la frecuencia con que se encuentra y por sus aplicaciones tericas, es la distribucin normal, gaussiana o de Laplace- Gauss. Fue descubierta y publicada por primera vez en 1733 por De Moivre. A la misma llegaron, de forma independiente, Laplace (1812) y Gauss (1809), en relacin con la teora de los errores de observacin astronmica y fsica .

    Pierre Simon de Laplace(1749-1827)Karl F. Gauss(1777-1855)Distribucin Gaussiana (Normal)

  • Caracteres fisiolgicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un frmaco.Caracteres morfolgicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie (tallas, pesos, dimetros, permetros,...). Caracteres sociolgicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen, ...Errores cometidos al medir ciertas magnitudes. Valores estadsticos muestrales, por ejemplo : la media. Y en general cualquier caracterstica que se obtenga como suma de muchos factores.Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson se aproximan a la normal. Distribuciones binomiales con n grande (n>30) y p ni pequeo (np > 5) ni grande (n(1-p) > 5).

  • Distribucin normal o gaussiana Est caracterizada por dos parmetros: la media, y la desviacin tpica, .

    Su funcin de densidad es:La curva normal adopta un nmero infinito de formas, determinadas por sus parmetros y .

  • + Caractersticas de la distribucin Normal, Mo, Mn - + Tiene forma de campana, es asinttica al eje de las abscisas (para x = ) Los puntos de inflexin tienen como abscisas los valores Simtrica con respecto a la media () donde coinciden la mediana (Mn) y la moda (Mo )Puntos deInflexin(decrece 0,607 veces su mximo)

  • Distribucin normal conm=0 para varios valoress00.40.81.21.6-2.50-1.50-0.500.501.502.50xs=0.25s=0.5s=1p(x)

  • 2030405060708090100110120Curvas normales con distintas medias y desviaciones estndar.

  • N(, ): Interpretacin geomtricaPodemos interpretar la media como un factor de traslacin.

    Y la desviacin tpica como un factor de escala, grado de dispersin,

  • N(, ): Interpretacin probabilistaEntre la media y una desviacin tpica tenemos siempre la misma probabilidad: aproximadamente el 68%.Si tomamos intervalos centrados en , y cuyos extremos estna distancia , tenemos probabilidad 68%a distancia 2 , tenemos probabilidad 95%a distancia 25 tenemos probabilidad 99% Entre la media y dos desviaciones tpicas aprox. 95%

  • Podemos obtener la funcin de distribucin F(x) integrando la funcin de densidad de probabilidad:De modo que la probabilidad de una variable aleatoria normal X en un intervalo a x b es:No podemos calcular analticamente el valor de la integral!Tabularemos sus valores numricos...En particular:

  • Cmo calcular probabilidades asociadas a una curva normal especfica?Dado que tanto como pueden asumir infinitos valores lo que hace impracticable tabular las probabilidades para todas las posibles distribuciones normales, se utiliza la distribucin normal reducida o tipificada.

    Se define una variable z = x - Es una traslacin , y un cambio de escala de la variable original.

  • La nueva variable z se distribuye como una NORMAL con media = 0 y desviacin tpica = 1-3 -2 -1 0 1 2 3z68%95%99%Recordemos de nuevo que en cualquier distribucin normal las probabilidades delimitadas entre : 68 % 2 95 % 3 99 %68%99%95%

  • TipificacinDada una variable de media y desviacin tpica , se denomina valor tipificado z, de una observacin x, a la distancia (con signo) con respecto a la media, medido en desviaciones tpicas, es decir: En el caso de variable X normal, la interpretacin es clara: asigna a todo valor de N(, ), un valor de N(0,1) que deja exctamente la misma probabilidad por debajo. Nos permite as comparar entre dos valores de dos distribuciones normales diferentes.

  • Se quiere dar una beca a uno de dos estudiantes de sistemas educativos diferentes y se asignar al que tenga mejor expediente acadmico:El estudiante A tiene una calificacin de 8 en un sistema donde la calificacin de los alumnos se comporta como N(6,1).El estudiante B tiene una calificacin de 80 en un sistema donde la calificacin de los alumnos se comporta como N(70,10).No podemos comparar directamente 8 puntos de A frente a los 80 de B, pero como ambas poblaciones se comportan de modo normal, podemos tipificar y observar las puntuaciones sobre una distribucin de referencia N(0,1). Como zA > zB, podemos decir que el porcentaje de compaeros del mismo sistema de estudios que ha superado en calificacin al estudiante A es mayor que el que ha superado B. En principio A es mejor candidato para la beca.

  • Las probabilidades de la variable tipificada (z) estn tabuladas para los diferentes valores de la variable.Para calcular probabilidades, una vez transformada, la variable a valores de z, se busca en una tabla el rea correspondiente.Apliquemos el cambio de variable tipificada a la funcin de distribucin F(x):

  • Caracterstica de la distribucin normal tipificada (reducida o estndar):

    No depende de ningn parmetro.

    Su media es 0, su varianza es 1 y su desviacin tpica es 1.

    La curva f(x) es simtrica respecto al eje de ordenadas y tiene un mximo en este eje.

    Tiene dos puntos de inflexin en x =1 y x = -1. G(x1)1-G(x1)x1xf(x)

  • Hay varios tipos de tablas de la distribucin normalLa que se explica aqu representa las reas G(x) paraX mayores o iguales que cero (G(0)=0.5)0+Los valores negativos de x NO estn tabulados, ya que la distribucin es simtrica y G(-x)=1-G(x)G(-1.8)1-G(1.8)

  • ?Ejemplo 1Cul es la probabilidad de que un valor de v.a. z N(0,1) est entre 0 y -2.03?zCmo la curva es simtrica P (-2.03 < z < 0) = P (0 < z < 2.03)-3 -2 -1 0 1 2 3

  • 47. 88%Ejemplo 1Cul es la probabilidad de que un valor de z est entre 0 y -2.03?-3 -2 -1 0 1 2 3zSe busca en la tabla G(2.03) G(0) = 0.9788 0.5 = 0.4788

  • ? 47.88%

    47.88%Ejemplo 2Cul es la probabilidad de que un valor de z est entre -2.03 y 2.03 ? -3 -2 -1 0 1 2 3zEn el ejemplo 1, vimos que la probabilidad de que z estuviera entre 0 y 2.03= 0.47882La misma rea hay entre 0 y -2.03 , por lo tantoP ( -2.03< z< 2.03) = 0.95764 95.76%

  • Ejemplo 3Cul es la probabilidad de que un valor de z sea mayor a 1.25 ?z -3 -2 -1 0 1 2 3?1.0 G(1.25) = 1.0 0.8944 = 0.105639.44%10.56%50%

  • Hallar P( -0.34 < z < )z13.31%50%63.31%Por simetra G(0.34)=0.6331 -3 -2 -1 0 1 2 3Ejemplo 4

  • Ejemplo 5Hallar P( 0.34 < z < 2.30)z -3 -2 -1 0 1 2 3G(2.30) G(0.34) = 0.9893 0.6331= 0.356235.62%

  • EJEMPLOSea una variable distribuida normalmente con media = 4 y desviacin tpica = 1.5.Cul es la probabilidad de encontrar un valor x 6 (P(x 6 ))?

  • x = 4 = 1.5 ?61.- transformar x en un valor de z0.408240.0918z = (6 - 4)/1.5 = 1.332.- P(x 6)=1-P(x
  • Hasta ahora vimos como dado un valor x de la variable, hallar probabilidades transformando (estandarizacin) la variable en valores dex - Cmo hallar un valor de x, dada la probabilidad?x = ?38.20%Ejemplo: Sea una variable distribuida normalmente con =4 y =2 . Hallar el valor de x que deja por encima de l un 38.20% (0.3820)Se debe desestandarizar : x = z + 1-G(z) = 0.3820 ; G(z)= 0.6180 Se busca en la tabla el valor ms aproximado :0.6179 corresponde a z =+ 0.30 4.60Se busca en la tabla de acuerdo al rea. Con su signo

    Sustituyendo en la frmula 0.30x2+4 =4.60z =

  • Ejemplo Distribuciones Continuas.... relacionadas con la v.a. gaussiana...............

  • Ejemplo Distribuciones Continuas .... relacionadas con la v.a. gaussiana...

  • Ejemplo Distribuciones Continuas .... relacionadas con la v.a. gaussiana...

  • Distribucin log-normal Log-N(,)Se trata de la densidad de probabilidad de una variable log x distribuida segn una funcin normal:

  • Ms ejemplos Distribuciones Continuas

  • Distribucin exponencial Exp ()Vida media

  • Distribucin exponencial Exp ()

  • Distribucin exponencial Exp ()Ejemplos de este tipo de distribuciones son: el tiempo que tarda una partcula radiactiva en desintegrarse (datacin de fsiles o cualquier materia orgnica mediante la tcnica del carbono 14) o el tiempo que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la llegada de un paciente.

  • Distribucin exponencial Exp ()

  • Distribucin exponencial Exp ()... ms adelante veremos... Distribucin condicionada

  • Ejemplo Distribuciones Discretas

  • Distribucin de Bernoulli-IExperimento de Bernoulli: solo son posibles dos resultados: xito o fracaso. Podemos definir una variable aleatoria discreta X tal que: xito 1fracaso 0Si la probabilidad de xito es p y la de fracaso 1 - p, podemos construir una funcin de probabilidad:< W ,F , P> espacio probabilstico ligado a (ensayo de Bernoulli)A F P(A)=pX: W ------------ R w W --------- X(w) = 1 si w A 0 si w A

    P(X=1)=P(A)=pP(X=0)=P(noA)=1-p=q

  • Distribucin de Bernoulli-IIExperimento de Bernoulli:Si la probabilidad de xito es p y la de fracaso 1 - p, < W ,F , P> espacio probabilstico ligado a (ensayo de Bernoulli)A F P(A)=pX: W ------------ R w W --------- X(w) = 1 si w A 0 si w A

    P(X=1)=P(A)=pP(X=0)=P(noA)=1-p=q0 1 x

  • Distribucin binomial-ILa distribucin binomial aparece cuando estamos interesados en el nmero de veces que un suceso A ocurre (xitos) en n intentos independientes de un ensayo de Bernouilli (la probabilidad de ocurrencia de A es cte.)

    P. ej.: # de caras en n lanzamientos de una moneda.

  • Distribucin binomial-II< Wi ,Fi , Pi > espacio probabilstico ligado a i (ensayos de Bernoulli) i=1,2,.......n Cada ensayo es independiente de los dems Ai A en el ensayo i -simo Ai FiXi v.a. De Bernouillo del ensayo i -simo Pi (Xi)=Pi (Ai)=p = 1 x 2 x 3 ....... n -> < W ,F , P> X: W ----------------- R (w1 , w2 ....... wn )--------- X(w1 , w2 ....... wn ) = X(w1)+X(w2 ) .....X(wn) = n de ocurrencias de A

  • Distribucin binomial-III

  • Experimento aleatorio: n = 3 lanzamientos de una moneda.Probabilidad de xito en cada lanzamiento (cara) = p.Probabilidad de fracaso en cada lanzamiento (cruz) = 1- p = q.

  • La funcin de probabilidad P(X = x) serla distribucin binomial:

  • Ejercicio: Cul es la probabilidad de que en una familia de 4 hijos exactamente 2 sean nias?

  • Ejercicio: Si una dcima parte de personas tiene cierto grupo sanguneo, cul es la probabilidad de que entre 100 personas escogidas al azar exactamente 8 de ellas pertenezcan a este grupo sanguneo?

  • Y si la pregunta es 8 personas como mximo?

  • Calcula la probabilidad de obtener al menos dos seises al lanzar un dado cuatro veces.p = 1/6, q = 5/6, n = 4Al menos dos seises, implica que nos valen k = 2, 3, 4. P(2) + P(3) + P (4)

  • Ejercicio: Supongamos que la probabilidad de encontrar una estrella de masa m* >10 M en un cmulo estelar joven es del 4%. Cul es la probabilidad de que en una muestra escogida al azar, entre 10 miembros del cmulo encontremos 3 estrellas con m* >10 M?

  • Chuck-a-luck: Elige un nmero entre 1 y 6. Lanzas 3 dados. Si el nmero que has elegido sale en los 3 dados cobras 3 euros. Si sale en 2 cobras 2 euros. Si sale en un dado cobras 1 euro. Y si no sale en ninguno, pagas 1 euro. Es un juego justo?

  • Un acontecimiento ocurre, en la poblacin, en el 10% de los casos. Qu tamao de muestra debo tomar para tener una probabilidad del 95% de obtener al menos un xito ?

  • Distribucin geomtrica-IConsideremos el siguiente experimento: Partimos de un experimento de Bernoulli donde la probabilidad de que ocurra un suceso es p (xito) y la probabilidad de que no ocurra q = 1- p (fracaso). Repetimos nuestro experimento hasta conseguir el primer xito. Definimos la variable aleatoria X con distribucin geomtrica, como el nmero de fracasos hasta que se obtiene el primer xito. Entonces:

  • Distribucin geomtrica-IIDefinimos la variable aleatoria X con distribucin geomtrica, como el nmero de fracasos hasta que se obtiene el primer xito.

    Aplicaciones como N de productos inspeccionados hasta uno defectuoso

    Distribucin geomtrica contrapartida discreta de la distribucin exponencial

    Como la distribucin exponencial (en continua) es la nica discreta sin memoria P{X=n+m|X>n} = P{X=m}

  • Distribucin de Poisson-ICuando en una distribucin binomial el nmero de intentos (n) es grande y la probabilidad de xito (p) es pequea, la distribucin binomial converge a la distribucin de Poisson:

    Observa que si p es pequea, el xito es un suceso raro.

    La distribucin de Poisson, junto con la uniforme y la binomial, son las distribuciones ms utilizadas.donde np =

  • Distribucin de Poisson-II Lmite de la distribucin binomial

  • Proceso de Poisson y Distribucin exponencial Exp ()En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a intervalos de tiempo iguales, el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos "sucesos raros" consecutivos sigue un modelo probabilstico exponencial. Por ejemplo, el tiempo que transcurre entre que sufrimos dos veces una herida importante (o una coz de burro, recuerda...)

  • Ejemplos: la llegada de fotones a un detector. la probabilidad de fallo de un equipoHiptesis: probabilidad de llegada o de fallo en un intervalo de tiempo h es siempre igual (no envejecimiento -> distribucin exponencial geomtrica en v.a. discreta) la llegada (fallo) de un fotn (equipo) no afecta a los dems.i observacin de fallo del componente i-simo en un intervalo detiempo t0i ={fallo en t0 , no fallo en t0} X i(fallo)=1 X i(no fallo)=0pi =p=P(fallo en t0)=(modelada con una v.a T con distribucin exponencial)=P(T t0)=F(t0)=1-e- t0 = 1 x 2 x 3 ....... n Nmero (k) de n componentes que fallan en t0

    Distribuciones de Binomiales, Poisson y Exponencial-I

  • i observacin de fallo del componente i-simo en un intervalo detiempo t0i ={fallo en t0 , no fallo en t0} X i(fallo)=1 X i(no fallo)=0pi =p=P(fallo en t0)=(modelada con una v.a T con distribucin exponencial)=P(T t0)=F(t0)=1-e- t0

    = 1 x 2 x 3 ....... n Nmero (k) de n componentes que fallan en t0Distribuciones de Binomiales, Poisson y Exponencial-II

  • Distribuciones de Binomiales, Poisson y Exponencial-III El dato de la probabilidad de fallo en 1 ao nos permite obtener el parmetro (llamado c en este caso) de una v.a T con distribucin exponencial Sobre esa distribucin ya podemos calcular p=Ft(2 aos)

  • Distribuciones de Binomiales, Poisson y Exponencial-IV Teniendo p, podemos usar la Binomial para la v.a k (k=0) fallos en 1000 componentesComo np < 5 (n grande, p pequeo) podemos utilizar la aproximacin de Poisson a la Binomial

  • Bombas sobre Londres en la II Guerra Mundial (Feller)10 x 10400 bombasSupn que vivas en uno de los 100 bloques que aparecen en la grfica inferior. La probabilidad de que una bomba cayera en tu bloque era 1/100. Como cayeron 400 bombas, podemos entender el nmero de impactos en tu bloque como el nmero de xitos en un experimento de Bernoulli con n = 400 y p = 1/100. Podemos usar una Poisson con =400 1/100=4: ObservadoPredicho

  • Distribucin de Poisson para varios valores de . La distribucin de Poisson se obtiene como aproximacin de una distribucin binomial con la misma media, para n grande (n > 30) y p pequeo (p < 0,1). Queda caracterizada por un nico parmetro (que es a su vez su media y varianza).

    = = n p =

  • Si la probabilidad de fabricar un televisor defectuoso es p = 0.01, cul es la probabilidad de que en un lote de 100 televisores contenga ms de 2 televisores defectuosos?El suceso complementario Ac tambin puede aproximarse con una distribucin de Poisson con = np = 1, sumando p(0) + p(1) + p(2).La distribucin binomial nos dara el resultado exacto para la probabilidad del suceso complementario Ac: No ms de 2 televisores :

  • La seal promedio recibida en un telescopio de una fuente celeste es de 10 fotones por segundo. Calcular la probabilidad de recibir 7 fotones en un segundo dado.P(7) = 107 e10 / 7! = 0.09, es decir 9%Parece muy baja. Comparemos con el valor de mxima probabilidad que ocurrir para x = 10: = 10 P(10) = 1010 x e10 / 10! = 0.125, es decir 12.5%Las probabilidades poissonianas para un nmero de eventos dado, son siempre pequeas, incluso en el mximo de la distribucin de probabilidad. Una distribucin de Poisson con = 10.

  • Si en promedio, entran 2 coches por minuto en un garaje, cul es la probabilidad de que durante un minuto entren 4 o ms coches?Si asumimos que un minuto puede dividirse en muchos intervalos cortos de tiempo independientes y que la probabilidad de que un coche entre en uno de esos intervalos es p que para un intervalo pequeo ser tambin pequeo podemos aproximar la distribucin a una Poisson con = np = 2.y la respuesta es 1 0.857 = 0.143El suceso complementario entran 3 coches o menos tiene probabilidad:

  • Ejemplo de p 29 !!!!y la respuesta es 1 0.857 = 0.143El suceso complementario entran 3 coches o menos tiene probabilidad:

  • Funciones de Distribucin y Densidad CONDICIONALES< W ,F , P> Espacio probabilsticoA,B F P(B) 0Probabilidad de un suceso A sabiendo que se ha producido un suceso B:Extender el concepto de Probabilidad Condicional entre sucesos (Captulo 1) para incluir Variables Aleatorias

  • Funciones de Distribucin y Densidad CONDICIONALES< W ,F , P> Espacio probabilsticoX : W --------> R (X v.a.)B F P(B) 0Funcin de distribucin condicional:

  • Funciones de Distribucin y Densidad CONDICIONALESLa Funcin de distribucin condicional:es una autntica Funcin de Distribucin (F.D.)

  • Funciones de Distribucin y Densidad CONDICIONALES< W ,F , P> Espacio probabilsticoX: W --------> R v.a.B F P(B) 0Funcin de densidad condicional:

  • Funciones de Distribucin y Densidad CONDICIONALESLa Funcin de densidad condicional:es una autntica Funcin de Densidad (f.d.p)

  • Funciones de Distribucin y Densidad CONDICIONALESSi {A1, A2 , ................ An } es una particin de Teorema de la Probabilidad Total

  • Calcula FX(x) y fX(x) (aplicando el Teorema de la Probabilidad Total)

  • Calcula FX(x) y fX(x) (aplicando el Teorema de la Probabilidad Total)

  • El suceso condicionante B puede tambin estar definido en funcin de una v.a (la misma u otra), por ej.: B={Xb} Ejemplo: analizar la condicin de sin memoria de la distribucin exponencial

  • El suceso condicionante B puede tambin estar definido en funcin de una v.a (la misma u otra), por ej.: B={Xb} Ejemplo: analizar la condicin de sin memoria de la distribucin exponencial (la nica continua)

  • V.a. X con distribucin geomtrica, como el nmero de fracasos hasta que se obtiene el primer xito.

    ...tambin para FD y fdp discretas condicionales........ Y la ditribucin geomtrica es sin memoria (la nica discreta)

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