1 Introducción a las Señales Aleatorias ISAL Capítulo 2: VARIABLE ALEATORIA Material de partida: Principios de probabilidad, variables aleatorias y señales

1

Introducción a las Señales AleatoriasISAL

Capítulo 2:VARIABLE ALEATORIA

Material de partida:Principios de probabilidad, variables aleatorias y señales aleatorias

Peyton, Z. & Peebles, Jr.(Capítulo 2)

Bartolo Luque Departamento Matemática Aplicada Y Estadística

E.T.S.I. Aeronáuticos, UPM. Plaza Cardenal Cisneros, 3Madrid 28040, Spain. Tf.: 91 336 63 26

[email protected]:/matap.dmae.upm.es/bartolo.html

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

2

Variable aleatoria -I : Experimento aleatorio : Espacio muestral (todos los resultados posibles)cada elemento del espacio muestral le asignamos un

número real X() Una variable aleatoria X es una función que asocia a cada suceso del espacio muestral de un experimento aleatorio un valor numérico real:

)(

:

wXw

X

Llamar variable a una función resulta algo confuso, por ello hay que insistir en que es una función.

La variable aleatoria puede ser discreta, continua o mixta.

3

Ejemplo de variable aleatoria discreta:

Número de caras al lanzar 3 monedas.

Elementos del espacio muestral +++ ++C +C+ C++ CC+ C+C +CC CCC

Nº reales(# de caras) 0 1 2 3 caras

Ley de correspondencia

Establecer una variable aleatoria para un experimento aleatorio no es más que una manera de asignar de "manera natural" números a los eventos.

)(

:

wXw

X

4

Variable aleatoria -IIUna variable aleatoria X es una función que aplica cada suceso

del espacio muestral en algún punto de la recta real.

Más de un suceso puede aplicarse al mismo valor de X pero no puede ser multivaluada (todo punto de debe corresponder con un solo valor de X)

)(

:

wXw

X

X(“cero caras”)=0 X(“una cara”)=1 X(“dos caras”)=2 X(“tres caras”)=3

Dominio : ={“cero caras”,“una cara”,“dos caras”,“tres caras”}Rango : {0,1,2,3}

Dominio

x

Rango

5

Variable aleatoria -IIINotación: variable aleatoria W,X,Y mayúscula, valores

concretos, minúscula, w,x,y

RBBwXwBX

xwXwxX

xwXxwxXx

xwXwxX

con })(/{ " " }{

})(/{ " " }{

})(/{ " " }{

})(/{ paranotación }{

2121

Condiciones para que una función sea una v.a.:-Además de no ser multivaluada- {X =< x} será un suceso para cualquier número real x (y podremos calcular su probabilidad-ver arriba-)- Que las probabilidades de los sucesos {X=} y {X=- } sean igual a cero.

6

Variable aleatoria -IVFormalización:

< ,F , P> espacio probabilístico ligado a X: ------------ R w --------- X(w) R

X es una variable aleatoria (v.a.) si y sólo si

0)()( )

}{ )

XPXPii

RxxXi F

Nota:Una v.a. Compleja Z es de la forma Z=X + jY, con X, Y v.a’s reales definidas sobre el mismo

7

Función de Distribución

8

Función de Distribución-I

RxxXPxF

RxxX

X

}{)(

F.D.ón Distribuci deFunción llama Se

xde depende obviamente que

}{ suceso del adprobabilid La F

9

Función de Distribución-II

derecha lapor continua es )(

0y , siendo )()( )6

)()()( )5

si )()( )4

1)(0 3)

1)( )2

0)( 1)

1221

2121

xF

xxxFxF

xFxFxXxP

xxxFxF

xF

F

F

X

XX

XX

XX

X

X

X

Propiedades, algunas específicas derivadas del hecho de que FX(x) es una probabilidad

10

Función de Distribución-III

derecha lapor continua es )(

0y , siendo )()( )6

)()()( )5

si )()( )4

1)(0 3)

1)( )2

0)( 1)

1221

2121

xF

xxxFxF

xFxFxXxP

xxxFxF

xF

F

F

X

XX

XX

XX

X

X

X

Propiedades 1,2 y 3 fáciles de demostrar, la 4 -> FX(x) no decreciente, y la 5....

11

Función de Distribución-IV

)()()(

}{}{

}{}{}{

)()()( )5

2112

211

2112

1221

xXxPxXPxXP

xXxxX

xXxxXxX

xFxFxXxP XX

Propiedades 5

12

Función de Distribución-VVariable aleatoria discreta:

aquella cuya función de distribución es “escalonada” Ejemplo: Lanzamiento de dos dados, con v.a. X la suma de los dados rango x = {2,3,...,12}

...

363)2,2()13()31(4

362)12()21(3

361)11(2

/),,P()P(X

/),,P()P(X

/),P()P(X

x

1,0

0,5

0,028

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

FX(x)

13

Función de Distribución-VIVariable aleatoria discreta:

x

1,0

0,5

0,028

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

FX(x)

•Es suficiente conocer las xi y las pi para caracterizar probabilísticamente una v.a discreta•La v.a. Sólo toma valores discretos: X discreta <=> x discreto•Propiedades:

prob.) de (masa )()()(

0)()()( 11

iiXiXi

iXiXii

pxFxFxXP

xFxFxXxP

ser puede

1)(1

1)(

/)()(

N

N

iF

ip

N

i ixxuipxixi ixXPxXF

0 0

0 1)(

x

xxu

14

Ej. v.a discreta sobre un espacio muestral infinito numerable, (N infinito) también podemos definir una función de densidad

Ejemplo: Sea X = Número de lanzamientos de una moneda antes de que aparezca una cara.

Entonces:

P(X = 1) = P(C) = 1/2 P(X = 2) = P(+C) = 1/2 . 1/2 = 1/4 P(X = 3) = P(++C) = 1/2 . 1/2 . 1/2 = 1/8 ...

y en general P(X = n) = (1/2)n, n = 1,2,….

Demuestra que está normalizada.

15

Función de Distribución-VIIVariable aleatoria continua:

aquella cuya función de distribución es “continua”

x

1,0

0,5

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

FX(x)

•Propiedades:

0)(

)()()(

RxxXP

RxxFxFxF XXX

Rango continuo

16

Función de Distribución-VIIIVariable aleatoria mixta:

aquella cuya función de distribución es “discontinua” pero noescalonada(parte escalonada, parte continua)

x

1,0

0,5

0

0 1 2 3 x0 5 6 7 8

FX(x)

P(X=x0)

NOTA: Para todos los casos discreto, continuo, mixto

MEDIANA xm es la mediana de X, si y sólo si xm x y F(xm)=1/2

17

Función de Densidad

18

Función de Densidad (de probabilidad)-I

Pueden existir puntos donde la derivada no esté definida:• puntos de cambio abrupto de pendiente (f(x) usa la función escalón u(x))

x

1,0

0,5

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

FX(x)

x

1,0

0,5

1/8

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

fX(x)

Interpretación... Cómo se “distribuye” (densidad) la “masa” de probabilidad de X (en este ejemplo, uniformenente)

...acumulación de probabilidad...“Función de distribución de probabilidad acumulativa”

dx

xdFxf X

X

)()(

19

Función de Densidad (de probabilidad)-II

dx

xdFxf X

X

)()(

• para v.a’s discretas, la derivada de los “escalones” -> funciones impulso unitario (n) (delta –densidad infinita concentrada en un punto)

fx(x)

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X

1/36

2/36

6/36

4/36

5/36

3/36

2/36

1/36

5/36

4/36

3/36

x

1,0

0,5

0,028

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

FX(x)

x

N

iiiX

u(x)δ(ξ)dξdx

xdux

Nota

xxxPxf

)(

)(

:

)()()(1

20

Función de densidad de probabilidad

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

Se puede pensar como la generalización de un histograma de frecuencias relativas para variable continua.

a b

)()(

)(

aFbF

bxaP

XX

dxxfb

aX )(

21

Función de Densidad -IIIPropiedades de f(x)

2

1

)(}{ )4

)()( )3

1)()( .... 1)( 2)

edecrecient no es )( 0)( )1

21

-

-

x

x

X

x

XX

X

XX

dxxfxXxP

xFdf

FFdxxf

xFRxxf

Las propiedades 1 y 2 pueden utilizarse como pruebas para ver si una función g X(x) puede ser una f.d.p.Ejercicio 2.3.-1

x

xxXxPxf

xX

}{lim)(

0

22

...veremos la media....

mediana

xm es la mediana de X, si y sólo si xm x y FX(xm)=1/2

moda xmod: es el valor para el cuál la distribución toma su máximo absoluto.

dx

xdFxf

)()(

Siguen un orden alfabético

x

dttfxF )()(

23

Ejemplos Distribuciones Continuas

Variable Aleatoria .................................................

24

Ejemplos Distribuciones ContinuasDistribución uniforme (X v.a. uniforme)

• Misma prob. intervalos de igual “anchura” (área igual)• Cuantificación de señales.....

25

ab

xx)xxP(x

2121

2

1

4147

4245)4542(

xP

)(xf

x41 47

45 42

47 41

1

2

Area= 0.5

f x

para x

para

( )

1

47 4141 47

0 el resto de valores

Ejemplo:

1

47 41

1

6

45 42

Calcula la probabilidad

)4542( xP

26

Ejemplo: Dibuja la función de probabilidad f(x) y la función de distribución F(x) de una variable discreta definida como:

X = Número en la cara de un dado.

X tiene como posibles valores x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 cada uno con probabilidad 1/6

0

61

1 x

f(x)

1

0.5

10

F(x)

x6 6

Función de probabilidad f(x) Función de distribución F(x)

27

Sin duda la distribución continua de probabilidad más importante, por la frecuencia con que se encuentra y por sus aplicaciones teóricas, es la distribución normal, gaussiana o de Laplace- Gauss. Fue descubierta y publicada por primera vez en 1733 por De Moivre. A la misma llegaron, de forma independiente, Laplace (1812) y Gauss (1809), en relación con la teoría de los errores de observación astronómica y física .

Pierre Simon de Laplace(1749-1827)(1749-1827)

Karl F. Gauss(1777-1855)(1777-1855)

Distribución Gaussiana (Normal)

28

Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco.

Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie (tallas, pesos, diámetros, perímetros,...).

Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen, ...

Errores cometidos al medir ciertas magnitudes. Valores estadísticos muestrales, por ejemplo : la media. Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores.

Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson se aproximan a la normal. Distribuciones binomiales con n grande (n>30) y ‘p ni pequeño’ (np > 5) ‘ni grande’ (n(1-p) > 5).

29

Distribución normal o gaussiana

• Está caracterizada por dos parámetros: la media, μ y la desviación típica, σ.

• Su función de densidad es:

μ-σx-para

exfNx

X

y 0con

0) (σ π2σ

1)(σ)μ,(

2

2

σ2

μ)(

La curva normal adopta un número infinito de formas, determinadas por sus parámetros μ y σ.

30 +

Características de la distribución Normal

, Mo, Mn

- +

• Tiene forma de campana, es asintótica al eje de las abscisas

(para x = )

• Los puntos de inflexión tienen como abscisas los valores

• Simétrica con respecto a la media () donde coinciden la mediana (Mn) y la moda (Mo )

Puntos de

Inflexión(decrece 0,607 veces su máximo)

31

Distribución normal con =0 para varios valores

0

0.4

0.8

1.2

1.6

-2.50 -1.50 -0.50 0.50 1.50 2.50

x

p(x)

32

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

5 5

10

Curvas normales con distintas medias y desviaciones estándar.

0) (σ π2σ

1)(σ)μ,(

2

2

σ2

μ)(

x

exfN

33

N(μ, σ): Interpretación geométrica

• Podemos interpretar la media como un factor de traslación.

• Y la desviación típica como un factor de escala, grado de dispersión,…

34

N(μ, σ): Interpretación probabilista• Entre la media y una

desviación típica tenemos siempre la misma probabilidad: aproximadamente el 68%.

•Si tomamos intervalos centrados en μ, y cuyos extremos están…–a distancia σ, tenemos probabilidad 68%

–a distancia 2 σ, tenemos probabilidad 95%

–a distancia 2’5 σ tenemos probabilidad 99%

• Entre la media y dos desviaciones típicas aprox. 95%

35

Podemos obtener la función de distribución F(x) integrando la función de densidad de probabilidad:

π2σ

1)(

2

2

σ2

μ)(

dvexFx v

De modo que la probabilidad de una variable aleatoria normal X en un intervalo a x b es:

π2σ

1)()()(

2

2

σ2

μ)(

dveaFbFbXaPb

a

v

¡No podemos calcular analíticamente el valor de la integral!Tabularemos sus valores numéricos...

2

2

σ2

μ)(

π2σ

1)(σ)μ,(

x

exfN

1 π2σ

1 2

2

σ2

μ)(

dvev

En particular:

36

¿Cómo calcular probabilidades asociadas ¿Cómo calcular probabilidades asociadas a una curva normal específica?a una curva normal específica?

Dado que tanto como pueden asumir infinitos valores lo que hace impracticable tabular las probabilidades para todas las posibles distribuciones normales, se utiliza la distribución normal reducida o tipificada.

Se define una variable z = xx - -

Es una traslación , y un cambio de escala de la variable original.

37

La nueva variable z se distribuye como una

NORMAL con media = 0 y desviación típica = 1

-3 -2 -1 0 1 2 3-3 -2 -1 0 1 2 3

zz

68%95%99%

Recordemos de nuevo que en cualquier distribución normal las probabilidades delimitadas entre :

68 % 2 95 % 3 99 %

68%

99%

95%

38

Tipificación• Dada una variable de media μ y desviación típica

σ, se denomina valor tipificado z, de una observación x, a la distancia (con signo) con respecto a la media, medido en desviaciones típicas, es decir:

x

z

• En el caso de variable X normal, la interpretación es clara: asigna a todo valor de N(μ, σ), un valor de N(0,1) que deja exáctamente la misma probabilidad por debajo.

• Nos permite así comparar entre dos valores de dos distribuciones normales diferentes.

39

Se quiere dar una beca a uno de dos estudiantes de sistemas educativos diferentes y se asignará al que tenga mejor expediente académico:– El estudiante A tiene una calificación de 8 en un sistema donde la

calificación de los alumnos se comporta como N(6,1).– El estudiante B tiene una calificación de 80 en un sistema donde la

calificación de los alumnos se comporta como N(70,10).

110

7080

21

68

B

xz

xz

BBB

A

AAA

–No podemos comparar directamente 8 puntos de A frente a los 80 de B, pero como ambas poblaciones se comportan de modo normal, podemos tipificar y observar las puntuaciones sobre una distribución de referencia N(0,1).

–Como zA > zB, podemos decir que el porcentaje de compañeros del mismo sistema de estudios que ha superado en calificación al estudiante A es mayor que el que ha superado B. En principio A es mejor candidato para la beca.

40

Las probabilidades de la variable tipificada (z) están tabuladas para los diferentes valores de la variable.Para calcular probabilidades, una vez transformada, la variable a valores de z, se busca en una tabla el área correspondiente.

Apliquemos el cambio de variable tipificada a la función de distribución F(x):

)(π2

1)()(

;π2

1)(

z

2

u

2

z

2

2

zGduezZpzF

zezf

π2σ

1)(

2

2

σ2

μ)(

dvexFx v

dz σdv σ

- μ z

σ

x- μ G zG )(

41

duexXpxFxG

xexf

x

2

u

2

x

2

2

π2

1)()()(

;π2

1)(

Característica de la distribución normal tipificada (reducida o estándar):

No depende de ningún parámetro.

Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación típica es 1.

La curva f(x) es simétrica respecto al eje de ordenadas y tiene un máximo en este eje.

Tiene dos puntos de inflexión en x =1 y x = -1.

G(x1) 1-G(x1)

x1 x

f(x)

42

Hay varios tipos de tablas de la distribución normal

La que se explica aquí representa las áreas G(x) para

X mayores o iguales que cero (G(0)=0.5)

00 +

Los valores negativos de x Los valores negativos de x NONO están tabulados, ya están tabulados, ya que la distribución es que la distribución es simétrica y G(-x)=1-G(x)simétrica y G(-x)=1-G(x)

duexG

x

2

u2

π2

1)(

G(-1.8)

1-G(1.8)

43

44

45

46

?

Ejemplo 1

¿Cuál es la probabilidad de que un valor de v.a. z N(0,1) esté entre 0 y -¿Cuál es la probabilidad de que un valor de v.a. z N(0,1) esté entre 0 y -2.03?2.03?

zz

Cómo la curva es simétrica

P (-2.03 < z < 0) = P (0 < z < 2.03)

-3 -2 -1 0 1 2 3-3 -2 -1 0 1 2 3

47

47. 88%

Ejemplo 1

¿Cuál es la probabilidad de que un valor de z esté entre 0 y -2.03?¿Cuál es la probabilidad de que un valor de z esté entre 0 y -2.03?

-3 -2 -1 0 1 2 3-3 -2 -1 0 1 2 3

zz

Se busca en la tabla G(2.03) – G(0) = 0.9788 – 0.5 = 0.4788

48

?47.88% 47.88%

Ejemplo 2

¿Cuál es la probabilidad de que un valor de z esté entre -2.03 y 2.03 ?¿Cuál es la probabilidad de que un valor de z esté entre -2.03 y 2.03 ?

-3 -2 -1 0 1 2 3-3 -2 -1 0 1 2 3

zz

En el ejemplo 1, vimos que la probabilidad de que z estuviera entre 0 y 2.03= 0.47882

La misma área hay entre 0 y -2.03 , por lo tanto

P ( -2.03< z< 2.03) = 0.95764

95.76%

49

Ejemplo 3

¿Cuál es la probabilidad de que un valor de z sea mayor a 1.25 ?¿Cuál es la probabilidad de que un valor de z sea mayor a 1.25 ?

zz -3 -2 -1 0 1 2 3-3 -2 -1 0 1 2 3

??

1.0 – G(1.25) = 1.0 – 0.8944 = 0.1056

39.44%

10.56%

50%50%

50

Hallar P( -0.34 < z < Hallar P( -0.34 < z < ) )

zz

13.31% 50%

63.31%Por simetría G(0.34)=0.6331Por simetría G(0.34)=0.6331

-3 -2 -1 0 1 2 -3 -2 -1 0 1 2 33

Ejemplo 4

51

Ejemplo 5

Hallar P( 0.34 < z < 2.30)Hallar P( 0.34 < z < 2.30)

zz

-3 -2 -1 0 1 2 3-3 -2 -1 0 1 2 3

G(2.30) – G(0.34) = 0.9893 – 0.6331= 0.3562

35.62%

52

EJEMPLOEJEMPLO

Sea una variable distribuida normalmente con media = 4 y desviación típica = 1.5.

¿Cuál es la probabilidad de encontrar un valor x 6 (P(x 6 ))?

53

x

= 4 = 1.5

?6

1.- 1.- transformar x en un valor de z

0.40824

0.0918

z = (6 - 4)/1.5 = 1.33

2.- P(x 6)=1-P(x<6)=

1-P(z<1.33)=

1-G(1.33)=1-0.9082=0.0918

σμx

z

0.5

-0.5 1 2.5 4 5.5 7 8.5-0.5 1 2.5 4 5.5 7 8.5-3 -2 -1 0 1 1.33 2 3 z

54

Hasta ahora vimos como dado un valor x de la variable, hallar probabilidades transformando (estandarización) la variable en valores de x -

¿Cómo hallar un valor de x, dada la probabilidad?

x = ?

38.20%

Ejemplo: Sea una variable distribuida normalmente con =4 yy

=2 . Hallar el valor de x que deja por encima de él un 38.20% (0.3820)Se debe desestandarizar : :

xx = z = z + 1-G(z)1-G(z) = 0.3820 ; G(z)= 0.6180 Se busca en la tabla el valor más

aproximado :0.6179 corresponde a z =+ 0.30

4.60

Se busca en la tabla de acuerdo al área. Con su signo

Sustituyendo en la fórmula

0.30x2+4 =4.60

z =

55

Ejemplo Distribuciones Continuas

.... “relacionadas” con la v.a. gaussiana...............

56

Ejemplo Distribuciones Continuas .... “relacionadas” con la v.a. gaussiana...

57

Ejemplo Distribuciones Continuas .... “relacionadas” con la v.a. gaussiana...

58

Distribución log-normal Log-N(,)Se trata de la densidad de probabilidad de una variable log x distribuida según una función normal:

XeYNX ),(

yyf

yyFyGyg

yFyXPyePyYPyG X

1)(log

1)(log')(')(

)(log)log()()()(

0;2

)(logexp

1

2

1)( 2

2

yy

yyg

59

60

61

Más ejemplos Distribuciones Continuas

62

0 ,0 para )( xexf x

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1

)(

0

0

x

x

e

dxedxxf

Distribución exponencial Exp ()

1

0

dxex xVida media

63

xxtx t eedte 100


0,0

0,1)(

x

xexF

x

64


Ejemplos de este tipo de

distribuciones son: el tiempo que

tarda una partícula radiactiva

en desintegrarse (datación de

fósiles o cualquier materia

orgánica mediante la técnica del

carbono 14) o el tiempo que

puede transcurrir en un servicio

de urgencias, para la llegada de

un paciente.

65


66


... más adelante veremos... Distribución condicionada

67

Ejemplo Distribuciones Discretas

68

Distribución de Bernoulli-IExperimento de Bernoulli: solo son posibles dos resultados: éxito o fracaso. Podemos definir una variable aleatoria discreta X tal que: éxito 1fracaso 0

Si la probabilidad de éxito es p y la de fracaso 1 - p, podemos construir una función de probabilidad:

< ,F , P> espacio probabilístico ligado a (ensayo de Bernoulli)A F P(A)=pX: ------------ R w --------- X(w) = 1 si w A

0 si w A

P(X=1)=P(A)=pP(X=0)=P(noA)=1-p=q

http://jeff560.tripod.com/bernoulli.jpg

69

Distribución de Bernoulli-IIExperimento de Bernoulli:

Si la probabilidad de éxito es p y la de fracaso 1 - p, < ,F , P> espacio probabilístico ligado a (ensayo de Bernoulli)A F P(A)=pX: ------------ R w --------- X(w) = 1 si w A

0 si w A

P(X=1)=P(A)=pP(X=0)=P(noA)=1-p=q

1 1

10 0 0

)(

)1( )()(

x

xqx

xF

xpxqxf F(x)

q

1.0

0 1 x

f(x)

qp

0 1 x

70

Distribución binomial-ILa distribución binomial aparece cuando estamos interesados en el número de veces que un suceso A ocurre (éxitos) en n intentos independientes de un ensayo de Bernouilli (la probabilidad de ocurrencia de A es cte.)

P. ej.: # de caras en n lanzamientos de una moneda.

71

Distribución binomial-II< i ,Fi , Pi > espacio probabilístico ligado a i (ensayos de Bernoulli) i=1,2,.......n Cada ensayo es independiente de los demás

Ai A en el ensayo i -ésimo Ai Fi

Xi v.a. De Bernouillo del ensayo i -ésimo Pi (Xi)=Pi (Ai)=p

= 1 x 2 x 3 ....... n -> < ,F , P>

X: ----------------- R

(w1 , w2 ....... wn )--------- X(w1 , w2 ....... wn ) = X(w1)+X(w2 ) .....X(wn) = nº de ocurrencias

de A

knk

nkk

i

n

ii

qp

AAAA

XXX

0 ...... 0 1 ........... 1 1

x........xx........xA

kX que Para

Bernouilli v.a.con

121

1

72

Distribución binomial-III

nkqpk

nkXP

k

n kX

XXX

knk

i

n

ii

......2,1,0 )(

k)!-(nk!

n! posibles esordenacion de Número el Para

Bernouilli v.a.con 1

1 )(

)(

0

0

mxmqpk

mxF

kxδqpk

nxf

m

k

kmk

n

k

knk

1)(00

nn

k

knkn

k

qpqpk

nkXP

73

Experimento aleatorio: n = 3 lanzamientos de una moneda.Probabilidad de éxito en cada lanzamiento (cara) = p.Probabilidad de fracaso en cada lanzamiento (cruz) = 1- p = q.

2)1(3 pp

)1(3 2 pp

74

La función de probabilidad P(X = x) será

la distribución binomial:

xnxxnx ppxnx

npp

x

nxppnB

)1(

)!(!

!)1()(),(

Distribución binomial para n = 5 y distintos valores de p, B(5, p)

75

76

Ejercicio:

¿Cuál es la probabilidad de que en una familia de 4 hijos exactamente 2 sean niñas?

242 501502

42

2450

1

-

xnx

).-(). ()p(

x; n; .p

p)(px

np(x)

77

Ejercicio:

Si una décima parte de personas tiene cierto grupo sanguíneo, ¿cuál es la probabilidad de que entre 100 personas escogidas al azar exactamente 8 de ellas pertenezcan a este grupo sanguíneo?

928 101108

1008

810010

1

).-(). ()p(

x; n; .p

p)(px

np(x) xnx

78

¿Y si la pregunta es 8 personas como máximo?

8

0

100

8

0

9.0)1.0(100

18

x

xx

x

xnx

)(x

p)(px

n)p(x

79

Calcula la probabilidad de obtener al menos dos seises al lanzar un dado cuatro veces.

p = 1/6, q = 5/6, n = 4

4322

6

1

4

4

6

5

6

1

3

4

6

5

6

1

2

4

132.01296

171)154256(

6

14

Al menos dos seises, implica que nos valen k = 2, 3, 4. P(2) + P(3) + P (4)

),....1,0( )( nkqpk

nkP knk

80

Ejercicio:

Supongamos que la probabilidad de encontrar una estrella de masa m* >10 M en un cúmulo estelar joven es del 4%.

¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra escogida al azar, entre 10 miembros del cúmulo encontremos 3 estrellas con m* >10 M?

. . .).-(). ()p(

x; n; .p

p)(px

np(x)

-

xnx

00609670043004010403

103

310040

1

3103

81

Chuck-a-luck: Elige un número entre 1 y 6. Lanzas 3 dados. Si el número que has elegido sale en los 3 dados cobras 3 euros. Si sale en 2 cobras 2 euros. Si sale en un dado cobras 1 euro. Y si no sale en ninguno, pagas 1 euro. ¿Es un juego justo?

08.0)1(6

5

0

31

6

5

6

1

1

3

26

5

6

1

2

33

6

5

6

1

3

3

321

203

82

1

1.95.0

1

1

q

qp

nn

x

xpq

19.095.0)19.0(95.019.0

19.0.1.095.0

nnn

294.289.0ln

05.0ln9.0ln05.0ln9.005.0 nnn

Un acontecimiento ocurre, en la población, en el 10% de los casos. ¿Qué tamaño de muestra debo tomar para tener una probabilidad del 95% de obtener al menos un éxito ?

83

Distribución geométrica-IConsideremos el siguiente experimento: Partimos de un experimento de Bernoulli donde la probabilidad de que ocurra un suceso es p (éxito) y la probabilidad de que no ocurra q = 1- p (fracaso). Repetimos nuestro experimento hasta conseguir el primer éxito. Definimos la variable aleatoria X con distribución geométrica, como el número

de fracasos hasta que se obtiene el primer éxito. Entonces:

,....,,mppmXP m 321 1)( 1

84

Distribución geométrica-IIDefinimos la variable aleatoria X con distribución geométrica, como el

número de fracasos hasta que se obtiene el primer éxito.

• Aplicaciones como Nº de productos inspeccionados hasta uno defectuoso

• Distribución geométrica “contrapartida” discreta de la distribución exponencial

• Como la distribución exponencial (en continua) es la única discreta “sin memoria”

P{X=n+m|X>n} = P{X=m}

85

Distribución de Poisson-ICuando en una distribución binomial el número de intentos (n) es grande y la probabilidad de éxito (p) es pequeña, la distribución binomial converge a la distribución de Poisson:

0 0 0

0 ,!}{

k

kk

ekXP

k

Observa que si p es pequeña, el éxito es un “suceso raro”.

La distribución de Poisson, junto con la uniforme y la binomial, son las distribuciones más utilizadas.

donde np =

86

Distribución de Poisson-II Límite de la distribución binomial

ak

nkk

n

nkk

n

nkk

kn

knk

n

knk

ek

a

n

a

k

a

n

a

n

k

n

n

a

k

a

n

a

n

kn

n

n

n

n

n

a

k

a

n

a

n

knnn

n

a

n

a

k

knnnkXP

n

aq

n

ap

anppn

qpk

nkXP

!

1!

11

1.....1

11lim

1!

11

.....1

lim

1!

1)1).....(1(

lim

1!

)1).....(1(lim)(

1 ,

pero ,0 , si

)(

87

Proceso de Poisson y Distribución exponencial Exp ()

En un proceso de Poisson donde se

repite sucesivamente un

experimento a intervalos de tiempo

iguales, el tiempo que transcurre

entre la ocurrencia de dos "sucesos

raros" consecutivos sigue un modelo

probabilístico exponencial. Por

ejemplo, el tiempo que transcurre

entre que sufrimos dos veces una

herida importante (o una coz de

burro, recuerda...)

88

Ejemplos:

• la llegada de fotones a un detector.

• la probabilidad de fallo de un equipo

Hipótesis:

• probabilidad de llegada o de fallo en un intervalo de tiempo “h” es siempre igual (“no envejecimiento” -> distribución exponencial – geométrica en v.a. discreta)

• la llegada (fallo) de un fotón (equipo) no afecta a los demás.

i observación de fallo del componente i-ésimo en un intervalo de

tiempo t0

i ={“fallo en t0” , “no fallo en t0”} X i(“fallo”)=1 X i(“no fallo”)=0

pi =p=P(“fallo en t0”)=(modelada con una v.a T con distribución exponencial)=P(T

t0)=F(t0)=1-e- t0

= 1 x 2 x 3 ....... n Número (k) de “n” componentes que fallan

en t0

Distribuciones de Binomiales, Poisson y Exponencial-I

89

i observación de fallo del componente i-ésimo en un intervalo de

tiempo t0

i ={“fallo en t0” , “no fallo en t0”} X i(“fallo”)=1 X i(“no fallo”)=0

pi =p=P(“fallo en t0”)=(modelada con una v.a T con distribución exponencial)=P(T

t0)=F(t0)=1-e- t0

= 1 x 2 x 3 ....... n Número (k) de “n” componentes que fallan

en t0

Distribuciones de Binomiales, Poisson y Exponencial-II

0,0

0,1)(

x

xexF

x

nkeek

nqp

k

nkXP

XX

kntktknk

n

ii

0 1)(

Binomial

00

1

90

Distribuciones de Binomiales, Poisson y Exponencial-III

• El dato de la probabilidad de fallo en 1 año nos permite obtener el parámetro (llamado “c” en este caso) de una v.a T con distribución exponencial

• Sobre esa distribución ya podemos calcular p=Ft(2 años)

91

Distribuciones de Binomiales, Poisson y Exponencial-IV

• Teniendo p, podemos usar la Binomial para la v.a k (k=0) fallos en 1000 componentes

•Como np < 5 (n grande, p pequeño) podemos utilizar la aproximación de Poisson a la Binomial

92

Bombas sobre Londres en la II Guerra Mundial (Feller)

10 x 10

400 bombas

Supón que vivías en uno de los 100 bloques que aparecen en la gráfica inferior. La probabilidad de que una bomba cayera en tu bloque era 1/100. Como cayeron 400 bombas, podemos entender el número de impactos en tu bloque como el número de éxitos en un experimento de Bernoulli con n = 400 y p = 1/100. Podemos usar una Poisson con λ=400 1/100=4:

!

4)(

4

k

ekXP

k

Observado

Predicho

93Distribución de Poisson para varios valores de .

La distribución de Poisson se obtiene como aproximación de una distribución binomial con la misma media, para ‘n grande’ (n > 30) y ‘p pequeño’ (p < 0,1). Queda caracterizada por un único parámetro μ (que es a su vez su media y varianza).

n p =

94

Si la probabilidad de fabricar un televisor defectuoso es p = 0.01, ¿cuál es la probabilidad de que en un lote de 100 televisores contenga más de 2 televisores defectuosos?

El suceso complementario Ac también puede aproximarse con una distribución de Poisson con = np = 1, sumando p(0) + p(1) + p(2).

9197.0)11()( 211 eAP c ,....)1,0(

!

μ)( μ

k

kek

kXP

La distribución binomial nos daría el resultado exacto para la probabilidad del suceso complementario Ac: No más de 2 televisores :

9206.0

100

1

100

99

2

100

100

1

100

99

1

100

100

99

0

100)(

29899100

cAP

),....1,0( )( nkqpk

nkXP knk

95

La señal promedio recibida en un telescopio de una fuente celeste es de 10 fotones por segundo. Calcular la probabilidad de recibir 7 fotones en un segundo dado.

P(7) = 107 e−10 / 7! = 0.09, es decir 9%

Parece muy baja. Comparemos con el valor de máxima probabilidad que ocurrirá para x = 10:

μ = 10 P(10) = 1010 x e−10 / 10! = 0.125, es decir 12.5%

Las probabilidades poissonianas para un número de eventos dado, son siempre pequeñas, incluso en el máximo de la distribución de probabilidad.

,....)1,0( !

μ)( μ

k

kek

kXPUna distribución de Poisson con μ = 10.

96

Si en promedio, entran 2 coches por minuto en un garaje, ¿cuál es la probabilidad de que durante un minuto entren 4 o más coches?

Si asumimos que un minuto puede dividirse en muchos intervalos cortos de tiempo independientes y que la probabilidad de que un coche entre en uno de esos intervalos es p – que para un intervalo pequeño será también pequeño – podemos aproximar la distribución a una Poisson con = np = 2.

y la respuesta es 1 – 0.857 = 0.143

El suceso complementario “entran 3 coches o menos” tiene probabilidad:

857.0)()3()2()1()0()( !32

!22

!12

!022 3210 eppppAP c

,....)1,0( !

μ)( μ

k

kek

kXP

97

Ejemplo de p 29 !!!!

y la respuesta es 1 – 0.857 = 0.143

El suceso complementario “entran 3 coches o menos” tiene probabilidad:

,....)1,0( !

μ)( μ

k

kek

kXP

98

Funciones de Distribución y Densidad CONDICIONALES

Extender el concepto de Probabilidad Condicional entre sucesos (Capítulo 1) para incluir Variables Aleatorias

< ,F , P> Espacio probabilístico

A,B F P(B) 0

Probabilidad de un suceso A sabiendo que

se ha producido un suceso B:

)()(

)|(BP

BAPBAP

99



X : R (X v.a.)

B F P(B) 0

Función de distribución condicional:

BxxX(s)

s

BxX

BP

BxXPBxXPBxFX

y

:que tales"" resultados los Todos

B x}{X conjunto suceso

)(

}|{)|(

100


La Función de distribución condicional:

)(

}|{)|(BP

BxXPBxXPBxFX

es una auténtica Función de Distribución (F.D.)

101



X: R v.a.

B F P(B) 0

Función de densidad condicional:

contínua X

}|{)|()|(

0 x

BxxXxP

dx

BxdFBxf lím

x

XX

102


La Función de densidad condicional:

es una auténtica Función de Densidad (f.d.p)

dx

BxdFBxf X

X

)|()|(

103


Si {A1, A2 , ................ An } es una partición de

Teorema de la Probabilidad Total

)()/(...............)()/()(

)()/(...............)()/()(

11

11

nnXXX

nnXXX

APAxfAPAxfxf

APAxFAPAxFxF

104

105

106

Calcula FX(x) y fX(x) (aplicando el Teorema de la Probabilidad Total)

107

Calcula FX(x) y fX(x) (aplicando el Teorema de la Probabilidad Total)

108

El “suceso condicionante” B puede también estar definido en función de una v.a (la misma u otra), por ej.: B={Xb}

Ejemplo: analizar la condición de “sin memoria” de la distribución exponencial

109

El “suceso condicionante” B puede también estar definido en función de una v.a (la misma u otra), por ej.: B={Xb}

Ejemplo: analizar la condición de “sin memoria” de la distribución exponencial

(la única continua)

110

...también para FD y fdp discretas condicionales.....

... Y la ditribución geométrica es “sin memoria” (la única discreta)

V.a. X con distribución geométrica, como el número de fracasos hasta que se obtiene el primer éxito.

,....,,mppmXP m 321 1)( 1

)(

111

11

111

)(1)(

)()|(

)()|(

11

11

1

1

1

1

kXPpqq

pq

qq

pq

p

pq

qq

p

pq

pq

pq

mXP

pq

mXP

kmXPmXkmXP

kXPmXkmXP

km

km

m

km

m

km

m

i

i

km

km

Documents

1 Introducción a las Señales Aleatorias ISAL Capítulo 2: VARIABLE ALEATORIA Material de partida: Principios de probabilidad, variables aleatorias y señales