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CAPÍTULO 4: VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES

DE PROBABILIDAD

Ing. Sergio Castro Viloria

Especialista en Estadística Aplicada

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INTRODUCCIÓN

Experimento estadístico: Observaciones al azar.

Variable Aleatoria: Asigna valores numéricos a cada punto del espacio muestral. Los valores son determinados por el resultado del experimento.

Variable: Toma dos o más valores distintos.

Aleatoria: No se conocen con certeza los posibles resultados del experimento.

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DEFINICIÓN VARIABLE ALEATORIA

Una variable aleatoria (v.a.) es una función que asocia un número real con cada elemento del espacio muestral de un experimento aleatorio.

Nombrar: Últimas letras en mayúscula del alfabeto: X,Y,Z,V,W.

Letras minúsculas correspondientes: valores en particular que tome la variable (eventos).

Evento: Subconjunto del S.

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EJEMPLO: Lanzamiento 3 monedas

S(lanzamiento una moneda 3 veces):

S = {(sss), (ssc), (scs), (css), (ccc), (ccs), (csc), (scc)} y #S = 8

X: S R

X: Número de caras, es una variable aleatoria asociada al experimento.

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VALORES Y RANGO DE V.A.

Las imágenes bajo X de los elementos de S son:

𝑋 𝑠, 𝑠, 𝑠 = 0

𝑋 𝑠, 𝑠, 𝑐 = 𝑋 𝑠, 𝑐, 𝑠 = 𝑋 𝑐, 𝑠, 𝑠 = 1

𝑋 𝑐, 𝑐, 𝑠 = 𝑋 𝑐, 𝑠, 𝑐 = 𝑋 𝑠, 𝑐, 𝑐 = 2

𝑋 𝑐, 𝑐, 𝑐 = 3

El conjunto de todos los valores posibles de X se llama ranX, esto es, ranX= {0, 1, 2, 3}. También se le llama espacio muestral de X.

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EJEMPLO 2 X: suma de los números en el lanzamiento de 2 dados.

El espacio muestral es: S = {(1,1), (1,2), (1,3),..., (1,6), (2,1), (2,2),…, (2,6),…, (6,6)}

X: S R es una variable aleatoria. La imagen para algunas parejas de S son:

𝑋 1,1 = 2

𝑋 1,2 = 𝑋 2,1 = 3

𝑋 2,2 = 𝑋 1,3 = 𝑋 3,1 = 4…

𝑋 5,6 = 𝑋 6,5 = 11

𝑋 6,6 = 12

𝑟𝑎𝑛𝑋 = 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

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OTRA V.A. EJEMPLO 2

Y: Valor absoluto de la diferencia de los números al lanzar dos dados.

Y: S R

(x,y) Y(x,y) = |x-y|. Entonces:

𝑌 1,1 = 𝑌 2,2 = ⋯ = 𝑌 6,6 = 0

𝑌 1,2 = 𝑌 2,1 = ⋯ = 𝑌 6,5 = 1

𝑌 1,6 = 𝑌 6,1 = 5

𝑟𝑎𝑛𝑌 = 0,1,2,3,4,5

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Ejemplo 3 por un 5,0 como nota del 40%: Z: Producto de los números obtenidos al lanzar los dados.

(Siga el mismo procedimiento explicado)

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NOTACIÓN EN VARIABLES ALEATORIAS

Notación: Escribir simplificadamente.

Si X: S R es una variable aleatoria, y a, b son reales con a<b, entonces el simbolismo:

𝑃 𝑋 = 𝑎 se lee y significa probabilidad que la variable aleatoria X tome el valor de a.

𝑃 𝑋 ≤ 𝑎 Probabilidad que la v. a. X tome un valor ≤ 𝑎

𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) Probabilidad que la v. a. X tome un valor ≤ 𝑏 pero menor que a, etc.

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NOTACIÓN EN VARIABLES ALEATORIAS

X=a : Evento formado por los resultados de S cuya imagen bajo X es a. Lo mismo se define para 𝑃 𝑋 ≤ 𝑎 …

También téngase en cuenta que los eventos 𝑋 ≤ 𝑎 y 𝑋 > 𝑎 son excluyentes (Función 1 a 1)

𝑋 ≤ 𝑎 ∪ 𝑋 > 𝑎 = 𝑆

Entonces 𝑃 𝑋 ≤ 𝑎 + 𝑃 𝑋 > 𝑎 = 𝑃 𝑆 =1(RAEE)

Por lo tanto, 𝑃 𝑋 > 𝑎 = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 𝑎) Regla del complemento para v. a.

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EJEMPLOS DE APLICACIÓN

𝑋: 𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑎𝑙 𝑙𝑎𝑛𝑧𝑎𝑟 𝑢𝑛 𝑝𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠

𝑟𝑎𝑛𝑋 = 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

Se pueden calcular probabilidades de que X tome valores del rango, como sigue:

𝑃 𝑋 = 5 = 𝑃 2,3 , 3,2 , 4,1 , 1,4 = 436

𝑃 𝑋 ≤ 4 = 𝑃 1,1 , 1,2 , 2,1 , 2,2 , 1,3 , (3,1) = 636

𝑃 3 < 𝑋 ≤ 5 = 𝑃 𝑋 = 4 + 𝑃 𝑋 = 5 =𝑃 1,3 , 3,1 , 2,2 , 2,3 , 3,2 , 4,1 , (1,4) = 7

36

𝑃 𝑋 > 4 = 1 − 𝑃 𝑋 ≤ 4 = 1 − 636 = 30

36 = 56

Más ejemplos… Por notas de 40%

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VARIABLES ALEATORIAS CATEGÓRICAS

Otras v. a. son categóricas por naturaleza y para ellas se utilizan variables indicadoras. Ejemplo: cuando la v. a. es binaria por naturaleza (0,1)

Ejemplo: Los componentes de una fábrica se catalogan como defectuosos o no defectuosos. La v.a. X se define como:

𝑋 =1, 𝑠𝑖 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜

0, 𝑠𝑖 𝑛𝑜 𝑙𝑜 𝑒𝑠𝑡á

Este tipo de variable, en que se escoge 0 ó 1 para la v.a se llama Variable Aleatoria de Bernoulli.

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TIPOS ESPECIALES DE V.A.

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Se tienen dos tipos básicos de variables aleatorias cuantitativas:

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Variables Aleatorias Discretas X es v. a. discreta si ranX (Conjunto de valores que X

puede tomar), es un conjunto finito o infinito numerable.

Se puede determinar un orden, y el conjunto de resultados posibles se puede contar.

Las v.a. de los ejemplos anteriores son discretas. Este tipo de variables toma cada uno de sus valores con cierta probabilidad.

Veamos un ejemplo de conjunto infinito numerable.

X: Número de lanzamientos de una moneda hasta que aparezca cara por primera vez.

S={c, sc, ssc, sssc, ssssc …}

X(c) =1, X (sc) = 2, X (ssc) =3,…,

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Funciones f y F Definición formal: El conjunto de pares ordenados

((x, f(x)) es una distribución de probabilidad, o función de probabilidades de la variable aleatoria discreta X, si para cada resultado posible x:

𝑓 𝑥 ≥ 0 para todo valor de x.

𝑓 𝑥 = 1𝑥

𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑓(𝑥)

Ejemplo: Sea X la variable aleatoria: Suma de los números en el lanzamiento de dos dados perfectos.

Determine f(x) y dibuje su gráfica.

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Solución: S = {(1,1), (1,2),…, (6,6)}

X: S R

(x,y) X(x,y) = x + y; y ranX={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

Además, se tiene que:

𝑓 2 = 𝑃 𝑋 = 2 = 136 , 𝑓 3 = 𝑃 𝑋 = 3 = 2

36 = ⋯ =𝑓 7 = 𝑃 𝑋 = 7 = 6

36 , 𝑒𝑡𝑐.

Organizando los valores de X y sus probabilidades por medio de una tabla, se obtiene:

Además, f(x) = 0, para cualquier otro valor de x.

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x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

f(x) 0,028 0,056 0,083 0,111 0,139 0,167 0,139 0,111 0,083 0,056 0,028

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La gráfica de la función de probabilidad f(x) es una gráfica de barras, donde la altura de la barra corresponde a la probabilidad del punto. Con esta gráfica, se pueden ver los puntos de máxima y mínima probabilidad, así como comparar las probabilidades de dos puntos cualesquiera.

Función F: 𝐹 𝑥 = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥)

Definición: La función de distribución acumulada F(x) de una variable aleatoria discreta X, con distribución de probabilidad f(x) es:

𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝑓(𝑡)𝑡≤𝑥 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 −∞ < 𝑥 < ∞

En general, F(x) de una v.a. discreta es una función no decreciente de los valores de X, de tal manera que:

0 ≤ 𝐹 𝑥 ≤ 1 para cualquier valor de x.

𝐹 𝑥𝑖 ≥ 𝐹 𝑥𝑗 𝑠𝑖 𝑥𝑖 ≥ 𝑥𝑗;

𝑃 𝑋 > 𝑥 = 1 − 𝐹(𝑥)

Además, para variables aleatorias de valor entero, se tiene:

𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝐹 𝑥 − 𝐹 𝑥 − 1

𝑃 𝑥𝑖 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥𝑗 = 𝐹 𝑥𝑗 − 𝐹 𝑥𝑖 − 1

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EJEMPLO V.A. SUMA DE LOS PUNTOS 𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥

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Cálculo de Probabilidades con F(x)

Poner otros ejemplos…

GRÁFICA DE F(x) PARA V.A. DISCRETA

La gráfica de la función de distribución acumulada es una función escalonada, no decreciente, continua por la derecha, que da un salto en cada punto donde hay probabilidad positiva, y permanece constante entre dos puntos subsiguientes de probabilidad positiva. La magnitud de cada salto es igual a la probabilidad en el punto.

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VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

RanX: Conjunto infinito no numerable. Referencian datos medidos, por ejemplo, distancias, pesos, alturas, temperaturas, entre otras. La probabilidad que la variable continua tome un valor puntual es de cero, si se tiene en cuenta la precisión del instrumento de medición.

Definición: La función real f(x) es una función de densidad de probabilidad (fdp) de la variable aleatoria continua X, definida en el conjunto de los números Reales tal que:

𝑓 𝑥 ≥ 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝑅

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1+∞

−∞

𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥, 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑎 < 𝑏𝑏

𝑎

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Áreas para representar probabilidades.

0≤P(A) ≤1; f(x) por encima del eje x.

P(X=x)=0, Visualizar probabilidades de intervalos.

1°er Teorema Fundamental del Cálculo, para el inciso 3 de la definición,

𝑓(𝑥) existe en los puntos de x donde f es continua, en cuyo caso 𝑓 𝑥 = 𝐹′(𝑥)

Donde 𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡, 𝑝𝑜𝑟 3.𝑥

−∞

Si conocemos F, derivándola obtendremos f, y si conocemos f, integrando obtendremos F.

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Propiedad de la suma de integrales respecto al intervalo de integración.

𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

+ 𝑓 𝑥𝑐

𝑏

𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑐

𝑎

𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

−∞

− 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎

−∞

= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)

En las v. a. continuas, las probabilidades puntuales son cero, es decir:

𝑃 𝑋 = 𝑎 = 𝑃 𝑋 = 𝑏 = 0

Por ejemplo: 𝑃 𝑋 = 𝑎 = lim𝑡→𝑎−

𝑃 𝑡 < 𝑥 < 𝑎

𝑃 𝑋 = 𝑎 = 𝐹 𝑎 − 𝐹 𝑡 = 𝐹 𝑎 − lim𝑡→𝑎−

𝐹 𝑡

𝑃 𝑋 = 𝑎 = 𝐹 𝑎 − 𝐹 𝑎 = 0,↔ 𝐹 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑎

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EJEMPLO 1 VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

La cantidad de lluvia que cae en cierta región, en determinada época del año es una variable aleatoria continua con fdp dada por:

𝑘(𝑥 − 1 2 𝑥2), 0 < 𝑥 < 2

0, 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

a) Determine el valor de k y dibuje la gráfica de f.

b) Encuentre 𝑃 𝑋 ≤ 12 y 𝑃(1 2 < 𝑋 <

32 )

Solución: En primera instancia, se debe identificar la variable aleatoria.

X = Cantidad de lluvia que cae en la región.

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a) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1+∞

−∞, pero la fdp sólo toma valores entre 0 y 2,

entonces se redefinen los límites de la integral:

𝑘 𝑥 −1

2𝑥2 𝑑𝑥 = 1

2

0; 𝑘

𝑥2

2−𝑥3

6 0

2

= 𝑘 2 − 43

𝑘 23 = 1,→ 𝑘 = 3

2 y la fdp queda:

3

2(𝑥 − 1

2 𝑥2), 0 < 𝑥 < 2

0, 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

b) 𝑃 𝑋 ≤ 12 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

12

−∞=3

2 𝑥 −

1

2𝑥2 𝑑𝑥

12

0

=3

2

𝑥2

2−𝑥3

6 0

12

=3

2

1

8−1

48− 0

=3

161 −

1

6=

3

16×5

6=

5

32= 0,1563

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b) 1 2 ≤ 𝑋 ≤32 =

3

2 𝑥 −

1

2𝑥2 𝑑𝑥

32

12

=3

2

𝑥2

2−𝑥3

6 12

32

=3

2

9

8−

9

16−3

2

1

8−1

48

=3

2

9

16−3

2

5

48=27

32−15

96=11

16= 0,6875

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FUNCION DE DISTRIBUCIÓN F(x)

Definición: La función de distribución acumulada F(x) de una variable aleatoria continua X con función de probabilidad f(x) es:

𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡, 𝑝𝑎𝑟𝑎 −∞ < 𝑥 < ∞𝑥

−∞

Dicha función es lisa y no decreciente de los valores de la variable aleatoria con las siguientes propiedades:

1. 𝐹 −∞ = 0; 2. 𝐹 ∞ = 1;

3. 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎

Ejemplo: La F(x) para el ejemplo anterior se obtiene integrando:

3

2 𝑡 −

1

2𝑡2 𝑑𝑡

𝑥

0=3

2

𝑡2

2−𝑡3

6 0

𝑥

=3

2

𝑥2

2−𝑥3

6

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Ejemplo: Sea X una variable aleatoria continua con Función de distribución

𝐹 𝑥 =1 − 𝑒−𝑥, 𝑥 > 00, 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

1. Calcule P (1<X<2,5) usando la función F.

2. Encuentre la correspondiente fdp y úsela para calcular P(1<X<2,5)

3. Dibuje las gráficas de f y F.

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SOLUCIÓN

1. 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 = 1 − 𝑒−2,5 − 1 − 𝑒−1

= 𝑒−2,5 + 𝑒−1 = −0,08208 + 0,36788 = 0,2858

2. 𝑓 𝑥 = 𝐹′ 𝑥 = −𝑒−𝑥 −1 = 𝑒−𝑥

𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑓 𝑥 =𝑒−𝑥 , 𝑥 > 00, 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

, ∀ 𝑅

No olvidar: Para que una función quede bien definida debe indicar: 1) nombre de la función; 2) Dominio de la función; 3) Relación de correspondencia.

𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =2,5

1 𝑒−𝑥𝑑𝑥 =2,5

1− 𝑒−𝑥 1

2,5

= −𝑒−2,5 − (−𝑒−1) = 𝑒−1 −𝑒−2,5

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GRÁFICAS DE f y F EJEMPLO 2.

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VALOR ESPERADO Y VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

Terna X, f, F: Distribución de probabilidad, no importa si X es discreta o continua.

Media, Esperanza o Valor esperado de X

El valor esperado es un valor representativo de la variable aleatoria, y se supone que en ese valor está centrada la distribución de probabilidad.

El valor esperado se define:

𝐸 𝑥 = 𝜇𝑋 =𝑖) 𝑥𝑓 𝑥 ,𝑥 ∈ 𝑟𝑎𝑛𝑋 𝑠𝑖 𝑋 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑎

𝑖𝑖) 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥, 𝑠𝑖 𝑋 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 ∞

−∞

Supuesto que la serie o la integral converge. Cuando se conoce con qué variable aleatoria se está trabajando, se escribe simplemente 𝜇 en vez de 𝜇𝑥.

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VARIANZA DE LA V.A. X

Es una medida de variabilidad de X. Se define como:

𝑉 𝑥 = 𝜎𝑋2 =

𝑖) (𝑥 − 𝜇𝑋)2𝑓 𝑥 ,𝑥∈ 𝑟𝑎𝑛𝑋 𝑠𝑖 𝑋 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑎

𝑖𝑖) (𝑥 − 𝜇𝑋)2𝑓 𝑥 𝑑𝑥, 𝑠𝑖 𝑋 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎

∞

−∞

Supuesto que la serie o la integral converge. Cuando se conoce con qué variable aleatoria se está trabajando, se escribe simplemente 𝜎2en

vez de 𝜎𝑋2.

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EJEMPLO DE APLICACIÓN V.A. DISCRETA

Sea X v.a. discreta que representa el Número de caras en el lanzamiento de tres monedas perfectas. Halle Media y Varianza de X.

Solución:

Defina la Variable Aleatoria.

(Qué tipo de v.a. es)

Calcule su rango y su f(x)

Aplique definiciones de 𝜇 y 𝜎2

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SOLUCIÓN EJEMPLO DE APLICACIÓN Se sabe que: ranX = {0, 1, 2, 3}

Y f(x) = 0, en otro caso.

𝜇 = 𝑥𝑗𝑓 𝑥𝑗𝑥𝑗∈ 𝑟𝑎𝑛𝑋= 0

1

8+ 1

3

8+ 2

3

8+ 3

1

8=3

2= 1,5

Se observa (gráfica de f(x)), que el valor de 𝜇 = 1,5 no es tomado por la variable aleatoria, pero, en promedio, se tendrá este valor.

Ahora,

𝜎2 = (𝑥𝑗−𝜇𝑋)2𝑓 𝑥𝑗𝑥𝑗∈ 𝑟𝑎𝑛𝑋

= 0 −3

2

2×1

8+ 1 −

3

2

2×3

8+ 2 −

3

2

2×3

8+ 3 −

3

2

2×1

8

=1

8

9

4+3

4+3

4+9

4=6

8=3

4= 0,75

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𝑥𝑗 0 1 2 3

𝑓(𝑥𝑗) 1/8 3/8 3/8 1/8

EJEMPLO 2: V.A. CONTINUA

Ejemplo: Sea X una v.a. continua con fdp:

𝑓 𝑥 =6𝑥 1 − 𝑥 , 0 < 𝑥 < 1

0, 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

Halle la media y la varianza de X.

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SOLUCIÓN

Solución:

𝜇 = 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞

−∞= 6 𝑥2 1 − 𝑥 𝑑𝑥

1

0= 6 𝑥2 − 𝑥3 𝑑𝑥

1

0

= 6𝑥3

3−𝑥4

4 0

1

= 61

3−1

4=

6

12=1

2= 0,5

𝜎2 = (𝑥 − 𝜇)2𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 6 𝑥 − 𝑥2 𝑥 − 𝜇 2𝑑𝑥1

0

∞

−∞

𝜎2 =

6 −𝑥4 + 1 + 2𝜇 𝑥3 − 2𝜇 + 𝜇2 𝑥2 + 𝜇2𝑥 𝑑𝑥, 𝜇 = 0,51

0

= 6−𝑥5

5+2𝑥4

4−5

4×𝑥3

3+1

4×𝑥2

2 0

1

= 6 −1

5+1

2−5

12+1

8=

1

20= 0,05

12/05/2014

MEDIA Y VARIABILIDAD

La varianza de una v.a. X es una medida de dispersión, o esparcimiento de los valores que toma X respecto a la media 𝜇. Por ejemplo, considere las v.a. 𝑋1 𝑦 𝑋2 con fdp

𝑓1 𝑥 =12 , 0 < 𝑥 < 20, 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

𝑦 𝑓2 𝑥 =14 , −1 < 𝑥 < 30, 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

Entonces, 𝜇1 = 𝜇2 = 1,

𝜎12 =

1

2 𝑥 − 1 2𝑑𝑥2

0=1

3 𝑦 𝜎2

2 =1

4 𝑥 − 1 2𝑑𝑥3

−1=16

3

Se puede ver que 𝜎22 > 𝜎1

2, lo que corresponde a un mayor

esparcimiento de los valores de X.

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FÓRMULA ALTERNA PARA EL CÁLCULO DE LA VARIANZA

Teorema: Si X es variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x) y media 𝜇, entonces:

𝜎2 = 𝐸 𝑋2 − 𝜇2

Prueba: Para el caso discreto se tiene:

𝜎2 = (𝑥 − 𝜇)2𝑓 𝑥 ,𝑥∈ 𝑟𝑎𝑛𝑋 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛

= 𝑥2 − 2𝜇𝑥 + 𝜇2 𝑓 𝑥 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑥∈ 𝑟𝑎𝑛𝑋

= 𝑥2𝑓 𝑥 − 2𝜇 𝑥𝑓 𝑥 + 𝑥 ∈ 𝑟𝑎𝑛𝑋 𝜇2 𝑓 𝑥 𝑥∈ 𝑟𝑎𝑛𝑋 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑥 ∈ 𝑟𝑎𝑛𝑋

Se tiene que

𝜇 = 𝑥𝑓 𝑥𝑥 ∈ 𝑟𝑎𝑛𝑋 𝑦 𝑓 𝑥𝑥 ∈ 𝑟𝑎𝑛𝑋 =1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞 𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑝𝑟𝑜𝑏 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑎.

Entonces:

𝜎2 = 𝐸 𝑋2 − 2𝜇 𝜇 + 𝜇2 = 𝐸 𝑋2 − 𝜇2

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EJEMPLOS DISCRETO Y CONTINUO

Discreto: Calcule la varianza con la fórmula alterna del teorema para la variable aleatoria discreta del número de caras en el lanzamiento de una moneda 3 veces.

Continuo: Calcule la varianza de la v.a. continua anterior con la fórmula alterna:

𝑓 𝑥 =6𝑥 1 − 𝑥 , 0 < 𝑥 < 1

0, 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

12/05/2014

SOLUCIONES Solución caso discreto:

𝐸 𝑋2 = 𝑥𝑗2𝑓 𝑥𝑗 , 𝑟𝑎𝑛𝑋 = 0, 1,2,3𝑥

= 02𝑓 0 + 12𝑓 1 + 22𝑓 2 + 32𝑓 3

= 0 +3

8+12

8+9

8=24

8= 3

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝜎2 = 3 −3

2

2= 3 −

9

4=3

4

Solución caso continuo:

𝐸 𝑋2 = 6 𝑥3 1 − 𝑥 𝑑𝑥 =1

06 𝑥3 − 𝑥4 𝑑𝑥

1

0

= 6𝑥4

4−𝑥5

5 0

1

= 61

4−1

5=

6

20=

3

10= 0,3

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝜎2 =3

10−

1

2

2=

3

10−1

4=

1

20= 0,05

12/05/2014

DESVIACIÓN ESTÁNDAR

A la raíz cuadrada positiva de la varianza se le llama desviación estándar.

d.e. = 𝜎2 = 𝜎𝑋, ó 𝜎, si ya ha sido definida la variable

aleatoria. Al igual que la varianza, es una medida de dispersión o esparcimiento de los valores que toma X, y tiene la ventaja que viene expresada en la misma unidad de medida que la propia variable aleatoria, por lo que en

varias aplicaciones se prefiere su cálculo.

12/05/2014

ESPERANZA Y VARIANZA DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA

Definición: Sea X una v.a. con distribución de probabilidad f(x) y sea g(x) una función definida para todos los valores que toma X. La esperanza o valor esperado de la función g(X) se define como:

𝐸[𝑔 𝑥 ] =𝑖) 𝑔(𝑥)𝑓 𝑥 ,𝑥 ∈ 𝑟𝑎𝑛𝑋 𝑠𝑖 𝑋 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑎

𝑖𝑖) 𝑔(𝑥)𝑓 𝑥 𝑑𝑥, 𝑠𝑖 𝑋 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 ∞

−∞

Supuesto que la serie o integral converge.

Obsérvese que si 𝑔 𝑥 = 𝑋, entonces 𝐸 𝑔 𝑥 = 𝐸 𝑋 =𝜇,

Y si 𝑔 𝑥 = 𝑋 − 𝜇 2, entonces 𝐸 𝑔 𝑥 = 𝐸 𝑋 − 𝜇 2 =𝜎2

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EJEMPLO: María y Pedro juegan el siguiente juego: María lanza una moneda repetidas veces hasta que salga cara. Si sale cara en el primer lanzamiento, María recibe de Pedro 1 dólar, si sale cara por primera vez en el segundo lanzamiento, María recibe de Pedro 40 centavos de dólar; si sale cara por primera vez en el tercer lanzamiento, recibe 20 centavos de dólar; y si no sale cara en los tres primeros lanzamientos, María no recibe nada. ¿Cuánto debe aportar María antes de cada lanzamiento para que el juego sea justo? (Es decir, en una larga serie de lanzamientos, ambos tengan la misma cantidad de dinero).

12/05/2014

SOLUCIÓN

María debe pagar a Pedro el promedio de lo que espera recibir de Pedro. Obviamente teniendo en cuenta las probabilidades de ocurrencia.

Sea X: Número del lanzamiento en que María obtiene cara por primera vez.

ranX={1,2,3}

Y la fdp correspondiente es:

Y f(x)= 0 en otro caso.

12/05/2014

𝑥𝑗 1 2 3

𝑓(𝑥𝑗) 1/2 ¼ 1/8

CONTINUACIÓN EJEMPLO

Sea g(X) la función ganancia de María.

Entonces, g(1) = 100 cts., g(2) = 40 cts., g(3) = 20 cts.

Y la ganancia esperada de María es:

𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑔 1 𝑓 1 + 𝑔 2 𝑓 2 + 𝑔 3 𝑓 3𝑥 ∈ 𝑟𝑎𝑛𝑋

= 1001

2+ 40

1

4+ 20

1

8=400+80+20

8=500

8= 62,5 𝑐𝑡𝑠.

De tal modo que si Pedro recibe, por ejemplo, 60 cts. De María antes de cada lanzamiento, María lleva las de ganar en una larga serie.

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TEOREMA (PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO)

Si X es variable aleatoria (discreta o continua) con distribución de probabilidad f(x), y g(X), h(X) son funciones definidas para todos los valores de X, y a, b son constantes, entonces:

𝑖) 𝐸 𝑎 = 𝑎, 𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝐸 0 = 0 𝑖𝑖) 𝐸 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎𝐸(𝑋) + 𝑏

𝑖𝑖𝑖)𝐸 𝑎𝑔 𝑋 + 𝑏ℎ 𝑋 = 𝑎𝐸 𝑔 𝑋 + 𝑏𝐸[ℎ 𝑋 ] 𝑖𝑣)𝑆𝑖 𝑔 𝑋 ≤ ℎ 𝑋 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐸 𝑔 𝑋

≤ 𝐸[ℎ 𝑋 ]

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Demostración de iv)

𝑖𝑣) ℎ 𝑋 − 𝑔 𝑋 ≥ 0; 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜

𝐸[ℎ 𝑋 − 𝑔 𝑋 ] = 𝐸 ℎ 𝑋 − 𝐸 𝑔 𝑋

ℎ 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞

−∞− 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

∞

−∞

[ℎ 𝑥 − 𝑔 𝑥 ]𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞

−∞≥ 0

(𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙,𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 ≥ 0)

Entonces, 𝐸 ℎ 𝑋 ≥ 𝐸 𝑔 𝑋

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VARIANZA DE UNA FUNCIÓN DE UNA V.A.

Definición: Sea X una v.a. con distribución de probabilidad f(x) y sea g(x) una función definida para todos los valores que toma X. La varianza de la función g(X) se define como:

𝜎𝑔(𝑋)2 = 𝐸 𝑔 𝑋 − 𝜇𝑔 𝑋

2=

𝑖) [𝑔(𝑥) − 𝜇𝑔 𝑋 ]

2𝑓 𝑥 ,𝑥 ∈ 𝑟𝑎𝑛𝑋 𝑠𝑖 𝑋 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑎

𝑖𝑖) [𝑔(𝑥) − 𝜇𝑔 𝑋 ]2𝑓 𝑥 𝑑𝑥, 𝑠𝑖 𝑋 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎

∞

−∞

Supuesto que la serie o integral converge.

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Ejemplo

Sea la v.a continua X con fdp:

𝑓 𝑥 =2 1 − 𝑥 , 0 < 𝑥 < 1

0, 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

i) Encuentre la media de X.

ii) Encuentre el valor esperado de la función g(X) = 3X-5

iii) Encuentre la varianza de la función g(X) = 3X-5

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Solución:

i) 𝜇 = 𝐸 𝑋 = 2 𝑥 1 − 𝑥 𝑑𝑥1

0= 2 𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥

1

0

= 2𝑥2

2−𝑥3

3 0

1

= 21

2−1

3=1

3

ii) 𝜇𝑔 𝑋 = 𝐸 𝑔 𝑋 = 𝐸 3𝑋 − 5 = 3𝐸 𝑋 − 5 = 31

3−

5 = −4

iii) 𝜎𝑔(𝑋)2 = 𝐸 𝑔 𝑋 − 𝜇𝑔 𝑋

2=

2 (3𝑥 − 5 + 4)2 1 − 𝑥 𝑑𝑥1

0

=

(3𝑥 − 1)2 1 − 𝑥 𝑑𝑥 = 21

0 −9𝑥3 + 15𝑥2 − 7𝑥 + 1 =1

2

1

0

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Teorema (Propiedades de la Varianza)

Si X es variable aleatoria (discreta o continua) y a, b son constantes, entonces:

𝑖) 𝑉 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎2𝑉 𝑋 . 𝐸𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑉 𝑎𝑋 =𝑎2𝑉 𝑋 𝑦 𝑉 𝑋 + 𝑏 = 𝑉(𝑋)

𝑖𝑖) 𝑉 𝑋 =0, 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑋 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟, 𝑓 𝑐 =1 𝑦 𝑓 𝑥 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≠ 𝑐

Es decir, la varianza para un solo punto es cero, ya que no hay dispersión.

𝑖𝑖𝑖) 𝑉 𝑋 ≤ 𝐸 𝑥 − 𝑐 2 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑐 ≠ 𝐸(𝑋)

Recuérdese que 𝑉 𝑋 = 𝐸 𝑥 − 𝜇 2

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MEDIANA EN V.A.

Definición Mediana: La mediana de una variable aleatoria (discreta o continua) se define como un número m que satisface:

𝑃 𝑋 ≤ 𝑚 ≥1

2𝑦 𝑃 𝑋 ≥ 𝑚 ≥

1

2

Es una medida de tendencia central importante, especialmente en caso donde la media no existe.

Ejemplo: Sea X v.a. discreta que toma los valores 1, 2, 3 y 4 con probabilidades:

𝑃 𝑋 = 1 = 𝑃 𝑋 = 4 = 0,2 𝑦 𝑃 𝑋 = 2 = 𝑃 𝑋 = 3 = 0,3.

Se observa que 𝑃 𝑋 ≤ 2 = 0,5 ≥1

2 𝑦 𝑃 𝑋 ≥ 3 = 0,5 ≥ 1,2,

Luego para X que satisface 2 ≤ 𝑥 ≤ 3 Se tiene

𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 ≥1

2𝑦 𝑃 𝑋 ≥ 𝑥 ≥

1

2

Por lo tanto todo número x dentro del intervalo 2 ≤ 𝑥 ≤ 3 es

mediana de X.

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MEDIANA

Para el caso continuo, la mediana es cualquier punto x que divide el conjunto de ordenadas de f en dos regiones de igual área, ya que en este caso la mediana satisface:

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞

𝑚

𝑚

−∞

En pocas palabras, la mediana es el valor 𝑥0,5 tal que 𝐹0,5 = 0,5

Teorema: Si X es v.a. con distribución de probabilidad f, simétrica, con respecto a un punto x=c, esto es, 𝑓 𝑐 − 𝑥 = 𝑓(𝑐 + 𝑥), para todo x, entonces, c es mediana de X.

Ejemplo: Sea X v.a. continua con fdp:

𝑓 𝑥 =1

𝑥2 𝑥 ≤ −1 𝑦 𝑥 ≥ 1

0, 𝑒𝑛 (−1,1)

Gráficamente se observa que 𝑚 = [−1,1]

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MODA Definición moda: La moda de una v.a. X se define como el

punto M donde la función f alcanza su valor máximo. La moda puede no existir, y si existe, no ser única.

En el ejemplo de la v.a. discreta, los puntos x=2 y x=3 son moda de X. Para el ejemplo de la v.a. continua, M= [-1,1]

Ejemplo: Sea X v.a. con fdp:

𝑓 𝑥 =

1

2 𝑥−1 2, 𝑥 < 0

1

2(1+𝑥)2, 𝑥 > 0

0, 𝑥 = 0

Si se grafica la función, se puede ver que la media de X no existe, por que la integral da indefinida, la mediana de x es m=0, y la moda no existe.

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OTRAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA V.A.

Igualmente, se pueden determinar otras medidas de tendencia central, tales como los cuartiles, deciles y percentiles. Los primeros dividen a la distribución de probabilidad en cuatro intervalos, cada uno con probabilidad de 0,25. Los segundos, la dividen en 10 intervalos de probabilidad 0,10, y los terceros en 100 partes, con probabilidad de 0,01.

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DISPERSIÓN, SIMETRÍA Y KURTOSIS

Otras medidas de dispersión a calcular pueden ser el recorrido intercuartil, que es la diferencia entre el tercer y el primer cuartil, y el recorrido interdecil, que es la diferencia entre el noveno y el primer decil. El primero refleja la variabilidad del 50% central de la distribución, mientras que el segundo la calcula para el 80%.

También, obviamente, se pueden calcular los momentos tercero y cuarto, que proporcionan información muy útil de la forma de la distribución. El tercero, está relacionado con la asimetría de la distribución de probabilidad de X. El cuarto, da una medida de qué tan puntiaguda es la distribución, y recibe el nombre de curtosis.

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DESIGUALDAD DE TCHEBYSHEV

La probabilidad de que una variable aleatoria X tome un valor que no diste de la media en más de k desviaciones estándar,

es al menos 1 −1

𝑘2. Simbólicamente,

𝑃 𝑋 − 𝜇 < 𝑘𝜎 ≥ 1 −1

𝑘2 ó 𝑃(𝜇 − 𝑘𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 𝑘𝜎) ≥ 1 −

1

𝑘2

En el caso del evento complementario, la desigualdad de Tchebyshev se expresa en forma equivalente como:

𝑃 𝑋 − 𝜇 > 𝑘𝜎 ≤1

𝑘2

Ejemplo: Se sabe que la variable aleatoria X tiene media 𝜇 = 3 y varianza 𝜎2 = 4 . Usando la desigualdad de Tchebyshev encuentre un límite para:

𝑎) 𝑃1

3< 𝑋 <

17

3 𝑦 𝑏)𝑃( 𝑋 − 𝜇 ) ≥ 4)

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SOLUCIÓN

Solución: 𝑎) 𝑃1

3< 𝑋 <

17

3= 𝑃(𝜇 − 𝑘𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 𝑘𝜎)

Entonces, 𝜇 − 𝑘𝜎 =1

3 y 𝜇 + 𝑘𝜎 =

17

3. Se tiene que 3 − 2𝑘 =

1

3

y 3 + 2𝑘 =17

3 porque 𝜎 = 2

Resolviendo para k, se encuentra que 𝑘 =4

3

Entonces, 𝑃1

3< 𝑋 <

17

3≥ 1 −

1

(4 3) 2 = 1 −

9

16=

7

16= 0,4375

𝑏)𝑃( 𝑋 − 𝜇 ) ≥ 4) = 𝑃( 𝑋 − 𝜇 ) ≥ 𝑘𝜎)

Ahora, de 𝑘𝜎 = 4, es decir, 2𝑘 = 4, se encuentra que 𝑘 = 2.

Entonces, 𝑃( 𝑋 − 𝜇 ) ≥ 4) ≤1

𝑘2

Y, 𝑃( 𝑋 − 𝜇 ) ≥ 4) ≤1

22 , 𝑃( 𝑋 − 𝜇 ) ≥ 4) ≤

1

4= 0,25

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SIENDO EXPLICATIVOS…

La desigualdad de Tchebyshev establece un límite inferior para la probabilidad que la variable aleatoria X tome un valor que no diste de la media en más de k desviaciones estándar, o, de manera equivalente, un límite superior para que la probabilidad de que X tome un valor más allá de k desviaciones estándar. No es necesario conocer la distribución de probabilidad previamente.

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A PARTIR DE AQUÍ, EMPIEZAN PROBLEMAS DIVERSOS CAPÍTULO 4… NO OLVIDEN EL TALLER EN GRUPOS DE 3 PERSONAS

PARA DESARROLLAR EN CLASES

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Referencias

1. G. C. Canavos. 1988. Probabilidad y Estadística - Aplicaciones y Métodos. Mc. Graw Hill, México.

2. R. Walpole. 2007. Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. Octava edición. Prentice – Hall.

3. D. Montgomery. 1997. Probabilidad y Estadística aplicadas a la Ingeniería . Mc. Graw Hill, México.

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