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III

~J'::~::Fu'ncionesde densidad de probabilidad"';2:;,.;;.-"" _

I Una variable aleatoria (va) discreta es una cuyos valores posibles 0 constituyen un conjun--to finito 0 bien pueden ser puestos en lista en una secuencia infinita (una lista en la cual exis-

te un primer elemento, un segundo elemento, etc.). Una variable alcatoria euyo conjunto devalores posibles es un intervalo completo de numeros no es diseretaj

Recuerdese de acuerdo con el capftulo 3 que una variable aleatoria X es continua siI) sus valores posibles comprenden un solo intervalo sobre la \fnea de numeracion (para al-guna A < B, cualquier numero x entre A y B es un valor posible) a una union de intervalosdisjuntos y 2) P(X = c) = 0 para cualquier numero c que sea un valor posible de X.

Ejemplo 4.1 En el estudio de la ecologfa de un lago, se mide la profundidad en lugares seleccionados,entonces X = la profundidad en ese lugar es una variable aleatoria continua. En este casu Aes la profundidad mfnima en la region muestreada y B es la profundidad maxima. •

Si se selecciona al azar un compuesto qufmico y se detcrmina su pH X, entonces X es unavariable aleatoria continua porque cualquier valor pH entre 0 y 14 es posible. Si se conocemas sobre el compuesto se.leccionado para su analisis, entonces el conjunto de posibles va-lores podrfa ser un subil1tervalo de [0, 14], tal como 5.5 $ x :5 6.5 pero X seguirfa siendocontinua. •

Sea X ]a cantidad de tiempo que un cliente seleccionado al azar pasa esperando que Ie cor-ten el pelo antes de que comience su corte de pelo. EI primer pensamiento podrfa ser que Xes una variable aleatoria continua, puesto que se requiere medirla para determinar su valor .Sin embargo, existen clientes suficientemente afortunados que no tienen que esperar antesde sentarse en el sillon del peluquero. Asf que el caso debe ser P(X = 0) > O.Condicionalen cuanto a los sillones vados, aun cuando, el tiempo de espera sera continuo puesto que Xpodrfa asumir entonces cualquier valor entre un tiempo minimo posible A y un tiempo ma-ximo posible B. Esta variable aleatoria no es ni puramente discreta ni puramente continuasino que es una mezcla de los dos tipos. •

Se podrfa argumentar que aunque en principio las variables tales como altura, peso ytemperatura son continuas, en la practica las limitaciones de los instrumentos de medicionnos restringen a un mundo discreto (aunque en ocasiones muy finamente subdividido). Sinembargo, los modelos continuos a menudo representan muy bien de forma aproximada si-tuaciones del mundo real y con frecuencia es mas facil trabajar con matematicas continuas(el calculo) que con matematicas de variables discretas y distribuciones.

Distribuciones de probabilidad de variables continuasSupongase que la variable X de interes es la profundidad de un lago en un punto sabre la su-perficie seleccionado al azar. Sea M = la profundidad maxima (en metros), asf que cual-quier numero en el intervalo [0, M] es un valor posible de X. Si se "discretiza" X midiendola profundidad al metro mas cercano, entonces los valores posibles son enteros no negativosmenores que 0 iguales a M. La distribucion discreta resultante de profundidad se ilustra canun histograma de probabilidad. Si se traza el histograma de modo que el area del rectangu-10 sobre cualquier entero posible k sea la proporcion del lago cuya profundidad es (al me-tro mas cercano) k, entonces el area total de todos los rectangulos es 1. En la tigura 4.1 a)aparece un posible histograma.

Si se mide la profundidad con mucho mas precision y se utiliza el mismo eje de me-dicion de la figura 4.1 a), cada rectangulo en el histograma de probabilidad resultante es mu-cho mas angosto, aun cuando el area total de todos los rectangulos sigue siendo I: En la

Variables aleatorias contlnuas y distribuCiones de probabilidad ,

fi~ura 4.Lb) se iLustra un posibL~ histogr~~a; tiene una aparien~i~ mucho mas regular que elhlstograma de Lafigura 4.1a). SI se contmua de esta manera mldlendo la profundldad mas y !mas finameme, Lasecuencia resultante de histogramas se aproxima a una curva mas regular itaLcomo la iLustrada en la figura 4.Lc). Como en cada histograma el area total de todos lo~ frectangulos es iguaL a I, eLarea total bajo la curva regular tambien es I. La probabi Iidad de ~que la profundidad en un punto seleccionado aLazar se encuentre entre a y h es simplcrnen_ ,te ~Iarea bajo la curva regular entre a y b. Es de manera exacta una curva regular del tipailustrado en Lafigura 4.lc) la que especifica un distribuci6n de probabilidad continua.

I /---~~L-~-"o M

c)

Figura 4.1 a) Histograma de probabilidad de profundidad medida al metro mas cercano; b) histogramade probabilidad de profundidad medida al centimetro mas cercano; c) un limite de una secuencia de histo·gramas discretos.

LSea X una variable aleatoria continua. Entonces, una distribucion de probabilidad 0

Cuncion de densidad de probabilidad (fdp)de X es una funci6nflx) taLque para dosnumeros cualesquiera a y b cona :5 h,

P(a :5 X :5 b) = r f(x) dxa

Es decir, LaprobabiLidad de que X asuma un valor en el intervalo [a, b] es eLarea so- JIbre este intervaLo y bajo Lagrafica de la funci6n de densidad, como se iLustra en !a f1-gura 4.2. La grafica de j(x) a menudo se canace como curva de densidad;j _

Vara quef(x) sea una funci6n de densidad de probabilidad legftima, debe satisfacer lasdos siguientes condiciones:

1. f(x) ~ 0 con todas las x

2. J: f(x) d..t = area bajo la curvaf(x) J= L

Ejemplo 4.4 La direcci6n de una imperfecci6n can respecto a una linea de referencia sabre un objeto circu-lar tal como un neumatico, un rotor de frena a un volante esta, en general, sujeta a incertidum-bre. Considerese la linea de referencia que conecta el vastago de la valvula de un neumatico consu punta central y sea X el angulo medido en el sentido de las manecillas del reloj can respectoa la ubicaci6n de una imperfecci6n. Una posible funci6n de densidad de probabilidad de Xes

( 1f(x) = J 360 0:5 x < 360

lOde 10 contrario

;urva mas :,~,ji~r,

total d,~ f<," '. iiJ,

a proba));!" ., ,kI b es simj .. ,""1.

a regular ,. ,poad cOl1ti~,I..

ana; bi his;,.", ' rdsecuencia c· i'<'i'

·obabilidi'I que par:, . ",

La funci6n de densidad de probabilidad aparece dibujada en la [lgura 4.3. Claramente j(x);.::::O. EI area bajo la curva de densidad es simplemente el area de un rectangulo (altura)(base) = C~J(360) = 1. La probabilidad de que el angulo este entre 90° y 180° es

(180 I X IFl80 IP(90 :s X::S 180) == - dx = = -4 = 0.25

J 90 360 360 1,,;90

La probabilidad de que el angulo de ocurrencia este dentro de 90° de la linea de referenciaes

---1--- .r

270 360

Como siempre que 0 :s a :s b :s 360 en el ejemplo 4.4, P(a ::s X :s b) depende solo del an-cho b - a del intervalo, se dice que X tiene una distribucion uniforme.

~que una variable aleatoria continua X tiene una distribuci6n uniforme en eli in-te~;;l~ [A, B] si la funcion de densidad de probabilidad de Xes

f(x; A, B) ~{B (~A

es el are;; DEFINICIONustra en i

Id.

un objeto -:',;.'l!-

ta a incclT' . "In-1 neUlllatlt¥".· . ,"!!1

loj con Ie" , '\0

)ilidad dot: .'\

A:Sx:sB

de 10 contrarioJ

La gnifica de cualquier funcion de densidad de probabilidad uniforme es como la de la fi-gura 4.3 excepto que el intervalo de densidad positiva es [A, B) en lugar de [0, 360).

En el casu discreto, una funcion masa de probabilidad indica como estan distribuidaspequefias "manchas" de masa de probabilidad de varias magnitudes a 10 largo del eje demedicion. En el casu cominuo, la densidad de probabilidad esta "dispersa" en fonna conti-nua a 10 largo del intervalo de posibles valores. Cuando la densidad esta dispersa uniforme-mente a 10 largo del intervalo, se obtiene una funci6n de densidad de probabilidad unifonnecomo en la figura 4.3. .

Cuando X es una variable aleatoria discreta, a cada valor posible se Ie asigna una pro-babilidad positiva. Esto no es cicrto en el caso de una variable aleatoria continua (es decir,se satisface la segunda condici6n de la definicion) porque el area bajo una curva de densi-dad situada sabre cualquier valor unico es cero:

«fc+e

P(X = c) = -c f(x)dx =!06 c-e f(x)dx = 0

EI hecho de que P(X = c) = 0 cuando X es continua tiene una importante consecuen-cia practica: La probabilidad de que X quede en algun intervalo entre a y b no depende desi el limite inferior a 0 ellimite superior b esta incluido en el calculo de probabilidad

Si Xes discreta y tanto a como b son valores posibles (p. ej., X es binomial (.')"a = 5, b = 10), entonces cuatro de estas probabilidades son diferentes.

La condici6n de probabilidad cero tiene un analogo fisico. Considercse:circular s6lida con area de secci6n transversal = I pulg2. Cologue la barra a leI i:.deje de medicion y sup6ngase que la densidad de la barra en cualquier puntl' .\ I;,' ,

el valor}(x) de: una funci6n de densidad. Entonces si la barra se rebana en 10\ Ill'"y este segmentu se retira, la cantidad de mas a eliminada es J~f(x) dx; si ]a bam;exactamenre en eJ punto c, no se elimina masa. Se asigna mas a a segmentos de ill:.

la barra pero no a puntos individuales.

Ejemplo 4.5 "Intervalo de tiernpo" en el flujo de transito es el tiempo transcurrido entre el ti0!R

un carro termina de pasar por un punto fijo y el instante en que el siguiente c;:u 1"1' ,

a pasar por ese punto. Sea X = el intervalo de tiempo de dos carros consecuti\:l);.nados al azar en una autopista durante un period a de tn'tfico intenso. La siguicllide densidad de probabilidad de X es en esencia el sugerido en "The Statistical Pro,Freeway Traffic" (Transp. Res. vol. II: 221-228):

f(x) = {0.15e-O.15(X-0.5) x 2: 0.5 .° de 10 contrano

La gn'itica de f(x) se da en la figura 4.4; no hay ninguna densidad asocia,L; ,.valos de tiempo de menos de 0.5 y Ia densidad del intervalo decrece con rapidcl >c

cial) a medida que.r se incrementa a partir de 0.5. Claramente,f(x) 2: 0; para dCfI'l)-'

I~"f(x) dx: = I. se utiliza el resultado obtenido con calculo integral I; e-kr dxEntonces

('0 f(x) dx = Icxo 0.15e-O.15(x-O.S) dx = 0.lSeO.07S f'" e,·OISr <1.\J~ m Jm

I= 0.ISe0075 • __ e-(O.15)(0.5) =O.IS

!(x)t0.151 i

I ,I

IIIII,.I

IIII1

IIIII.......--....- I

0 t 2

0.5

La probabilidad de que el intervalo de tiempo sea cuando mucho de 5 segundos C'

P(X::::: 5) = IS f(x) dx = I50.lSe-O.15(x-O.Sldx

-;< 0.5

- IS I IX~S= O.ISeO.O,S e-0.15x dx = 0.ISeo.07S • - __ e-O.15x0.5 0.15 r~n.5

= e0075(_e-0.75 + e-O.075) = 1.078(-0.472 + 0.928) = 0.4':l1

= P(menos de S seg) = P(X < 5)

A diferencia las distribuciones discretas tales como la binomial, la hipergcl';;'la binomial negativa, la distribuci6n de cualquier variable aleatoria continua d;IJ,i "ral no puede ser clerivada mediante simples argumentos probabilisticos. En camhi,'hacer una selecci6n juiciosa de la funci6n de clensidad de probabilidad basad;1 ('Ii

mientos previos y en los datos disponibles. Afortunadamente, existen alguna~; la::'

nerales de l'unciones de densidad de probabilidad que se ajustan bien a una ampii:t \de situaciones experimentales; varias de estas se discuten mas adelantc en cl capi;:,

iderese una h~II'[a

a a 10 larg" '.k unto x est;) d;,J, porlias pum\!'. " \ bia balTa scos de intely,j"de

: el tiempo ,,'ji qlle:e carro C0[iH"!Il.o

~cutivossiguientcjcal Propen ,nf

:ociad'1 con "'kr-apidez (CXP':1l'D·

Ira demostr,u' que:x dx = (!!t.\

1.5

1.491

ipergeometri,',\ yla dad a en g,:I1(:-

cambio. Sf dcbclsada en ':"1\,':.i-mas f'1m i IEI~ "c-amplia va!j,',Lidel capituh

,

~k

Ex'1ctamente como en el c'1so discreto, a menudo es util pensar en la poblaci6n de interescomo compuesta de valores X en lugar de individuos u objetos. La funci6n de densidad de pro-b'1bilidad es entonces un modelo de la distribuci6n de valores en esta poblaci6n numeric a y conbase en este modelo se pueden calcular varias caracterfsticas de la poblaci6n (tal como la media).

1. Sea X la cantidad de tiempo durante 1'1cual un libro puestoen reserva durante dos horas en 1'1biblioteca de una univer-sidad es solicitado en prestamo por un estudiante seleccio-nado y suponga que X tiene la funci6n de densidad

J(x) = r0.5x O:=; x :=; 2l() de 10 contrario

Calcule las siguientes probabilidades:a. P(X:=; I)b. p(0.5 :=;X:=; 1.5)

c. P(l.5 < X)

2. Suponga que la temperatura de reacci6n X (en 0c) en cier-to proceso qufmico tiene una distribuci6n uniforme conA=-5yB=5.a. Calcule P(X < 0).b. Calcule P(-2.5 < X < 2.5).c. Calcule P(-2 :=; X :=; 3).d. Para que k satisfaga - 5 < k < k + 4 < 5, calcule

P(k < X < k + 4).

3. EI error implicado al hacer una medici6n es una variablealeatoria continua X con funci6n de densidad de probabilidad

f(x') = fO.09375(4 - x2) -2:=; x:=; 2. 0 \ de 10 contr'1rio

a. Bosqueje la gnifica de f(x).b. Calcule P(X > 0).c. Calcule P(-I < X < I).d. Calcule P(X < -0.5 0 X > 0.5).

4. Sea X el esfuerzo vibratorio (Ib/pulg2) en el aspa de una tur-bina de viento a una velocidad del viento particular en untunel aerodim'imico. EI articulo "Blade Fatigue Life Assess-ment with Application to VAWTS" (1. Solar Energy Engr.1982: 107-111) propone la distribuci6n Rayleigh, con fun-ci6n de densidad de probabilidad

f(x: 8) =J ;2 • eo' _,'112.') x > 0

l de 10 contrario

como modelo de la distribuci6n X.a. Verifique que j(x; 8) es una funci6n de densidad de pro-

babilidad leg(tima.b. Suponga que 8 = 100 (un valor sugerido por una gnifica

en el articulo). i,Cwil es la probabilidad de que Xes cuan-do mucho de 200'1 i,Menos de 200'1 i,Por 10menos de 200'1

c: i,Cual es la probabilidad de que X este entre 100 y 200(de nuevo con 8 = 100)?

d. De una expresi6n para P(X s:; x).

S. Un profesor universitario nunca termina su disertaci6n an-tes del final de la hora y siempre tennina dentro de 2 minu-tos despues de la hora. Sea X = el tiempo que transcurre

lentre eI final de la hora yel final de la disertaci6n y supon-ga que la funci6n de densidad de probabilidad de X es

f(x) ={kx2 O:=; x:=; 2o de 10 contrario

a. Detemline el valor de k y trace la curva de densidad co-rrespondiente. [Sugerencia: EI area total bajo la gnificade fix) es I.]

b. i,Cual es la probabilidad de que la disertaci6n terminedentro de un minuto del final de la hora?

c. i,Cmil es la probabilidad de que la disertaci6n continuedespues de la hora durante entre 60 y 90 segundos.

d. i,Cuai es la probabilidad de que la disertaci6n continuedurante por 10 menos 90 segundos despues del final dela hora?

6. EI peso de lectura real de una pastilla de estereo ajustado a3 gramos en un tocadiscos particular puede ser consideradocomo una variable aleatoria continua X con funci6n de den-sidad de probabilidad

J(x) = {k[l - (x - 3)2] 2 s:; x:=; 4o de 10 contrario

a. Trace la grafica de fix).b. Determine el valor de k.c. i,Cual es la probabilidad de que el peso real de Iectura

sea mayor que el peso prescrito?d. i,Cual es la probabilidad de que el peso real de Iectura

este dentro de 0.25 gramos del peso prescrito?e. i,Cwil es la probabilidad de que el peso real difiera del

peso prescrito por mas de 0.5 gramos?

7. Se cree que el tiempo X (min) para que un ayudante de la-boratorio prepare el equipo para cierto experimento tieneuna distribuci6n uniforme con A = 25 y B = 35.a. Determine la funci6n de densidad de probabilidad de X

y trace Lacurva de densidad de correspondiente.b. i,Cual es la probabilidad de que el tiempo de preparacion

exceda de 33 min?c. i,Cual es la probabilidad de que el tiempo de preparacion

este dentro de dos min del tiempo medio? [Sugerenciu:ldentifique J.l. en la grafica defix).]

d. Con cualquier a de modo que 25 < a < a + 2 < 35,i,cual es la probabilidad de que el tiempo de preparacioneste entre {/ y a + 2 min?

8. Para ir al trabajo, primero tengo que tomar un cami6n cercade mi casa y luego tomar un segundo cami6n. Si el tiempo deespera (en minutos) en cada parada tiene una distribucionuniforme con A = 0 y B = 5, entonces se puede demostrarque el tiempo de espera total Y tiene la funci6n de densidadde probabilidad

{

' 215Y O~y<5

fey) = 3- _ ...l- y5 ~."~ 10

5 25o y<Oov_'> 10

a. Trace la grafica de la fUlIcilin tie Jensidad de probabili-dad de Y. .

b. Verifique que j:~ fey) dy = I.c. i,CUlii es la probabilidad de que e! tiempo de cspera to-

tal sea cuando mucho de tres minlllos'!d. i,CUlii es la probabilidad de que el tiempo de espera

total sea cuando mueho de oeho minlltos?e. i,Cual es la probabilidad de que el tiempo de espera to-

tal este entre tres y oeho minutos?f. i,Cual es la probabilidad de que cI tiempo de espera to-

tal sea de menos de 2 minutos 0 de mas de 6 minutos?

9. Considere de nuevo la funci6n de densidad de probabilidadde X = intervalo de tiempo dado en eJ ejemplo 4.5. i,Cuales la probabilidad de que el intervalo de tiempo sea

a. Cuando mucho de seis segundos?b. De mas de seis segundos? i,Por 10 menos de seis segundos1c. De entre cinco y seis segundos?

Una familia de funeionesde densidad de probabilidau queha sido utilizada para aproximar la distribueion def ingreso.el tamano de la poblaei6n de una eilldad y el taman" .Ie fir.mas es la familia Pareto, La familia tiene dos par~illll:lros, ~k Y8, ambos> 0 y la funei6n de densidad de probabliidau es r

t~r

Jk.(Jkf(x; k, 8) = lX~+I

,~.

~.a. Trace la grlitica def(x; k, 8). ,b. Veritique que el area total bajo la gratica es igll<iiJ I. ~

~.c. Si la variable aleatoria X tiene una funcion de den.,idad "

de probabilidadj\x; k, 8), can cualquier b > O. "bkngauna expresion para P(X ~ b).

d. Con 8 < a < b, obtenga una expresi6n para la prnbabi.lidad Pea ~ X ~ b).

1$·~,~:i;'F.unciones de distribuci6n acumulativa -----J.f~Ycvalor_e_s_e_sp_e_ra_d_o_s ._. ..._

Varios de los mas importantes conceptos introducidos en el estudio de distribuciones di~cre-tas tambien desempefian un importante papel en las distribuciones continuas. Definic:onesamilogas a las del capitulo 3 implican reemplazar la suma por integracion,

La fllnCl\~!nJe distribucion aClIlTIulativaF(x) de una variable alcatoria discreta X da, con l:u:i!qulernurnero especificado x, la'probabilidad P(X :$ x), Se obtiene sumando la funci6n masa de pro-babilidacl p(y) a 10largo de todos 10svalores posibles y que satisfacen y :$ x. La funci6n de dis-tribuci6n aClImulativa de una variable aleatoria continua da las mismas probabilidades P(X ~ x)

y se obtiene integrando la funcion de densidad de probabilidadj(y) entre los Hmites --% y x.

La funcion de distribucion acumulativa F(x) de una variable aleatoria continua ,Yseldefine para todo numero x como

F(x) = P(X :$ x) = r~f(Y) dy.o JCon cada x, F(x} es el area bajo la curva de dcnsidad a la izquicrda de x. Esto se iluslJa ,'11 .

~_fig~'~_4.5, donde F(x) se i~crementa conregularidad a medida que x se incrementa .

f(x) ! F(x)

rF(8i I

. ~F(8)- -----10.5

~/;

x I •. X. 5 10 t 10

8

L

e probabiii,(:,j qUe

:lUcioll de! ;'l::rcso, 'y c1lam~u'\", ,ii: tir_ ~lC dns P'U,l""",'os ~de problbi';dJd c'; i'

it

tica cs igu," :, I.Ilcion de ckn ,;,lad

ier b > n, ,,1;i':!J~a

buciones tL'cre-as. Defini',::OfleS

da, COil CU':!<;Ldcr,. _

i6n masa ,j", ;'ro-a funci6n d,' ~h-Iidades f'L\' :c: xlnites --7_ VI

Sea X el espesor de una cierta lamina de metal con distribuci6n uniforme en [A, B). La fun-ci6n de densidad se muestra en la Figura 4.6. Con x < A, F(x) = 0, como no hay area bajola grafica de la funci6n de densidad a la izquierda de la x. Con x 2: B, F(x) = I, puesto quetoda el area esta acumulada a la izquierda de la x. Finalmente con A ::;x ::; B,

Iv=x

x f I l'F(x) = f fey) dy = f -- dy = -- . Y

-00 .~B-A B-A y=A

x-AB-A

F(x) = {x ~ AB-AI

e F(x) para calcular probabilidadesLa importancia de la funci6n de distribuci6n acumulativa en este caso, 10 mismo que para va-

V riables aleatorias discretas, es que las probabilidades de varios intervalos pueden ser calculadascon una f6rmula 0 una tabla de F(x).

Sea X una variable aleatoria continua con funci6n de densidad de probabilidadf(x) Yfunci6n de distribuci6n acumulativa F(x). Entonces con cualquier numero a,

La figura 4.8 ilustra la segunda parte de esta proposici6n; fa probabil idatl d, 'sombreada bajo la curva de densidad entre a y byes igual a la difercnc'.areas sombreadas acumulativas. Esto es diferente de 10 que es apropiado [1;1;.'

aleatoria discreta de valor entero (p. ej., binomial 0 Poisson): P(a :S X::S b) = fi -

cuando a y b son enteros.

// -----

I II I, I

Ii

\

1

Suponga que la funci6n de densidad de probabilidad de la magnitud X de llll~;,

ca sobre un puente (en newtons) esta dada por

{1+ 1. x O::s x ::s 2

f(x) = 80

8de 10 contrario

fx fX(1 3)F(x) = f(y) dy = - + - Y-00 () 8 8

d x 3,Y=-+-·x'

8 16

{

0 x<Ox 3F(x) = - + - xl O::s x :S 28 16

1 2 < x

Las graficas deflx) y F(x) se muestran en la figura 4.9. La probabilidad Ik ,','entre 1 y 1.5 es

PO ::s X::S 1.5) = F( 1.5) - F(l)

= [1 (1.5) +2. (1.W] - [1 (l) +2. (1)2'18 16 8 16' J

= ..!2. = 0.29764

[I 3,'

P(X> 1) = 1 - P(X:S 1) = 1 - F(l) = I - - (1) + -, (1)2 i8 16 [,I

= II= 0.68816

F(x)

I

deseada C'. ei are'. ,nCIa entre !as do,I para una vHriable'= F(b) -- I"u ._\

l~."

Ejemplo 4.8(continuaci6ndel ejemplo4.6)

Una vez que se obtiene la funci6n de distribuci6n acumulativa, cualquier probabilidadque implique Xes facil de calcular sin cualquier integraci6n adicional.

Obtencion de f(x) a partir de F(x)Para X discreta, la funci6n masa de probabilidad se obtiene a partir de la funci6n de distri-buci6n acumuIativa considerando la diferencia entre dos valores F(x). EI ana logo continuode una diferencia es una derivada. EI siguiente resultado es una consecuencia del teoremafundamental del calcuIo.

Si X es una variable aleatoria continua con funci6n de densidad de probabilidad j(x)y funci6n de distribuci6n acumulativa F(x), entonces con cada x hace posible que laderivada F (x) exista, F' (x) = f(x).

Cuando X tiene una distribuci6n uniforme, F(x) es derivable excepto con x = A Yx = B, don-de Ia grafica de F(x) tiene esquinas afiladas. Como F(x) = 0 con x < A YF(x) = 1 con x >B. F(x) = 0 = j(x) con dicha x. Con A < x < B,

F'(x) =.~(x - A) == _1_ = f(x)dx B-A B-A

Cuando se dice que la caliticaci6n de un individuo en una prueba fue el 85° percentil de lapoblaci6n, significa que 85% de todas las calificaciones de la poblaci6n estuvieron pOI' de-bajo de dicha calificaci6n y que 15% estuvo arriba. Asimismo, el 40° percentil es la califi-caci6n que sobrepasa 40% de todas las calificaciones y que es superada par 60% de todaslas caliticaciones.

Sea pun numero entere 0 y I. EI (lOOp)O percentil de Ia distribuci6n de una variablealeatoria continua X, denotada pOI'T/(P), se define como

J1)(P)

P = F(T/(p)) = ~ fey) dy

De acuerdo con la expresi6n (4.2), T/(p) es ese valor sobre eI eje de medici6n de tal suerteque ellOOp% del area bajo la gnifica dej(x) queda a la izquierda de T/(P) y 100(1 - p)% que-da a la derecha. POl'10 tanto, 71(0.75), el 75° percentil, es tal que el area bajo la grafica de j(x)ala izquierda de 71(0.75) es 0.75. La figura 4.10 ilustra la definici6n.

F(x)Area sombreada = P 1

P = F(T/(p))~---

--------~~/1

/' :III

Ejemplo 4.9 La distribuci6n de la cantidad de grava (en toneladas) vendida por una compania de mate.riales para la construcci6n particular en una semana dada es una variable aleatoria COntin\liX con funci6n de densidad de probabilidad

{1. (1 - x2) 0 $ x $ I

f(x) = 2o de 10 contrario

La funci6n de distribuci6n acumulativa de las ventas para cualquier x entre 0 y I es

F(x) = IX 1. (l - yZ) dy = 1. (y _ y3) I y=x = 1. (x _ X3)02 2 3 2 3y=o

Las gnificas tanto def(x) como de F(x) aparecen en la figura 4.11. El (lOOp)O perccntil deesta distribuci6n satisface la ecuaci6n

P = F(1](p» = % [1](P) - (1]~W]

Para el 50° percentil, P = 0.5 y la ecuaci6n que se tiene que resolver es 1]3 - 3TI + I == 0:la soluci6n es 1] = 1](0.5) = 0.347. Si la distribuci6n no cambia de una semana a Olra,en·tonces ala larga 50% de todas las semanas se realizanin ventas de menos de 0.347 ton y50% de mas de 0.347 ton.

F(x)

t

La mediana de una distribuci6n continua, denotada por jl, es el 50° percentil, aSi~Lj'e :jl satisface 0.5 = F(jl). Es decir, la mitad del area bajo la curva de densidad se en- ,cuentra a la izquierda de jl y la mitad a la derecha de jl . .

Una distribuci6n continua cuya funci6n de densidad de probabilidad es simetrica. 10 cualsignifica que la gnifica a la izquierda de un punto en particular es una imagen a espej<) de lagrafica a la derecha de dicho punto, tiene una mediana jl igual al punto de simetrl:1. puestoque la mitad del area bajo la curva queda a uno u otro lado de este punta. La figura -'I 12 oavarios ejemplos. A menudo se supone que el error en la medici6n de una cantidad ffsica tie-ne una distribuci6n simetrica.

ompuilfa u, . 'J1e. '

aJeatoria I:"'·,· . !nu~.

;:mana a V; , "il'

lS dl~O.3-\" :j \

en <1. c::;pej"simelrf,l, i,a tigura ·1

Ejemplo 4.10(continuaci6ndel ejemplo4.9)

Valores esperadosPara una variable aleatoria discreta X, E(X) se obtuvo sumando x . p(x) a 10 largo de posiblesvalores de X. Aquf se reemplaza la suma con la integraci6n y la funci6n masa de probabilidadpor la funci6n de densidad de probabilidad para obtener un promedio ponderado continuo.

El valor esperado 0 valor medio de una variable aleatoria continua X con funci6n dedensidad de probabilidadfix) es

ILx = E(X) = roo x . f(x) dx

.' {1. (l - x2) 0:5 X :5 Ij(x) = 2

o de 10 contrario

Cuando la funci6n de densidad de probabilidadftx) especifica un modelo para la dis-tribuci6n de valores en una poblaci6n numeric a, entonces IL es la media de la poblaci6n, lacual es la medida mas frecuentemente utilizada de la ubicaci6n 0 centro de la poblaci6n.

Con frecuencia se desea calcular el valor esperado de alguna funci6n heX) de la varia-ble aleatoria X. Si se piensa en heX) como una nueva variable aleatoria Y, se utilizan tecni-cas de estadfstica matematica para derivar la funci6n de densidad de probabilidad de Y yE(Y) se calcula a partir de la definici6n. Afortunadamente, como en el caso discreto, existeuna forma mas facil de calcular E[h(X)].

Si X es una variable aleatoria continua con funci6n de densidad de probabilidadf(x)y heX) es cualquier funci6n de X, entonces

E[h(X)] = ILh(X) = f: hex) . f(x) dx

Ejemplo 4.11 Dos especies compiten en una regi6n par el control de una cantidad limitada de un cierto re-curso. Sea X = la proporci6n del recurso controlado par la especie 1 y suponga que la fun-ci6n de densidad de probabilidad de X es

f(x) = {~O:5x:5lde 10 contrario

la clial es una distribuci6n unifoffile en [0, I]. (En su Iibro Ecological Diversity, E. C. Pieloullama a esto el modelo del "palo roto" para la asignaci6n de recursos, puesto que es analogo

a la ruptura de un palo en un lugar seleeeionado al azaL) Entonees la especie tJU('

la mayor parte de este reeurso eontrola la eantidad. p-xheX) = max(X, I - X) = lx si O:s X < l

2

si l:s X::s I2

La cantidad esperada eontrolada por la espeeie que controla la mayor parte es ,,'·nl'

E[h(X)] = f" max(x, I - x) . f(x) dx = fl max(x, 1 - x) . I dx~ 0

= fll2 (I - x) . I dx + fl x· 1 dx = 1.I) 112 4

En el caso disereto, la varianza de X se defini6 como la desviaci6n al cuadrado esprespecto a J.L y se calcul6 por medio de sumac En este easo de nuevo la integraci6nza a la sumac

La varianza de una variable aleatoria continua X can funei6n de densidacl debilidadfix) y valor medio J.L es'"

ul = VeX) = roo (x - J.L)2 • f(x) dx = E[(X - J.L)2]

La desviacion estandar (DE) de X es Ux = VV(X).

La varianza y la desviaei6n estandar dan medidas euantitativas de euanta clispCien la clistribuei6n 0 poblaei6n de valores X. La forma mas faeil de ealcular (J' es i.d

f6rmula abreviada.

PROPOSICI6N L V_(X_)_=_E_(X_2

)_-_[E_(_X_)]_" .

Ejemplo 4,12(continuaci6n

. del ejemplo4.10)

E(X2) = fX x2• f(x) dx = fl x2 .1. (l - x2) dx--" I) 2

fl 3 0 1= I) 2(x~ - x4

) dx = 5VeX) = l - (1.)2 = ~ = 0.059 y (J x = 0.244-

5 8 320

Cuando heX) = aX + b, el valor esperado y la varianza de heX) satisfaeen las 1)1

piedades que en el easo disereto: E[h(X)] = aJ.L + by V[h(X)] = a2 ·u2.

Use esta para calcular 10 siguiente:a, P(X:$ 1)b. P(O.S :$ X:$ I)

c. P(X> 0.5)d. EI tiempo de prestamo media jl [resolver I!.

e. F(x) para obtener la funci6n de densidad/(t)

11. La fund6n .de distribuci6n acumulativa del tiempo de pres-tamo X como se describe en el ejercicio I es

{

X < 0x2

F(x) = '4 0:$ x < 2

I 2:$x

~I \'! \' i,...h. Sl Jl

d. i ;h

"j :.."~

C. Cqu.

l·t Ii : ~iT {

li~ln'-,I I (1;)

7 .~

h\\.Hl If

(l. i

h,

I'"C. ".

d:.!

d. i

,j

dl

15. Sed \

\..':,:(,1, ,j;;, 1""',1'

-ado esper.!.::: lon:graci6n 1\:'_'1!pb.

·a disper\i.)11 !Ia\(7'2 es utilin'·una

I----_ .._...--!

Iver 0.5 = i i-' iIad./(x)

f. E(X).g. V(X)ylTxh. Si aI prestatario se Ie cobra una cantiJad heX) = X2cuan-

do el tiempo de prestamo es X, calcule el cobro esperadoE[h(x)].

La funci6n de distribuci6n acumulativa de X (= error de12.

mOOi"6:(::I~J{':i:O : '(:x _ ~) ~: ~: 22 32 3

I 2 Sx

a. Calcule P(X < 0).b. Calcule P( - I < X < 1).c. Calcule P(0.5 < X).d. Verifique que .f(x) esta dada en el ejercicio 3 obteniendo

F'(x).e. Verifique que p.. = O.

13. EI ejemplo 4.5 introdujo el concepto de intervalode tiempoen el f1ujo de transito y propuso una distribuci6n particularpara X = el intervalo de tiempo entre dos carros consecuti-vos seleccionados al azar (s). Suponga que en un eotomo delransito diferente, la distribuci6n del intervalo de tie11)potiene la fonna

{

k- t> If(x) = x4 •

o xS)

a. Determine el valor de k con el cuaI.f(x) es una funci6n dedensidad de probabilidad legitima.

b. Obtenga la funci6n de distribuci6n acumulativa.c. Use la funci6n de distribuci6n acumulativa de (b) para

determinar la probabilidad de que el intervalo de tiempoexceda de 2 segundos y tambien la probabilidad de queel intervale este entre 2 y 3 segundos.

d. Obtenga un valor medio del intervalo de tiempo y sudesviaci6n estandar.

e. i,Cual es la probabilidad de que el intervalo de tiempoquede dentro de una desviaci6n estandar del valor medio?

14. EI artfculo "Modeling Sediment and Water Column Interac-tions for Hidrophobic Pollutants" (Water Research, 1984:1169-1174) sugiere la distribuci6n uniforme en el intervale7.5, 20) como modele de profundidad (em) de la capa debioturbaci6n en sedimento en una regi6n.a. i,Cuales son la media y la varianza de la profundidad?b..:i,Cual es la funci6n de distribuci6n acumulativa de la

profundidad?c. i,Cual es la probabilidad de que la profundidad observa-

da sea cuando mucho de IO? i,Entre 10 y IS?d. i,Cual es la probabilidad de que la profundidad observa-

da este dentro de una desviaci6n estandar del valor me-dio? i,Dentro de dos desviaciones estandar?

15. Sea X la cantidad de espacio ocupado por un articulo colo-cado en un contenedor de un pie] La funci6n de densidadde probabilidad de X es

f 90x\ I - x) 0 < x < If(x) = LOde 10 contrario

a. Dibuje la funci6n de densidad de probabilidad. Luegoobtenga la funci-6n de distribuci6n acumulativa de X yJ,..., diM;",

b. i,Cual es P(X s 0.5) res decir, F(05)]?c. Con la funci6n de distribuci6n acumulativa de (a), i,cual

es P(0.25 < X s 0.5)? i,Cual es P(0.25 s X s 0.5)?d. i,Cual es el 75° percentil de la distribuci6n?e. Calcule E(X) y (7'X.

f. i,Cual es la probabilidad de que X este a mas de una des-viaci6n estandar de su valor medio?

Responda los incisos a)-t) del ejercicio 15 con X = tiempode disertaci6n despues de la hora dado en el ejercicio 5.

Si la distribuci6n de X en el intervalo [A, Bj es uniforrne.a. Obtenga una expresi6n para el (IOOp)Opercentil.b. Calcule E(X), VeX) y ITx'c. Con II, un entero positivo, calcule E(X").

Sea X el voltaje a la salida de un micr6fono y suponga queX tiene una distribuci6n uniforrne en el intervalo de - I a I.EI voltaje es procesado por un "Iimitador duro" con val oresde corte de -0.5 y 0.5, de modo que la salida del limitadores una variable aleatoria Y relacionada con X por Y = X siIXIs 0.5, Y = 0.5 si X > 5 y Y = -0.5 si X < -0.5.a. i,Cual es P(Y = 0.5)?b. Obtenga la funci6n de distribuci6n acumulativa de Y y

dibujela.

Sea X una variable aleatoria continua con funci6n de distri-buci6n acumulativa

F(x) ={* [1:1In(~)] :::",x>4

[Este tipo de funci6n de distribuci6n aeumulativa es sugeri-do en el articulo "Variabilitiy in Measured Bedload-Trans-port Rates" (Water Resources Bull., 1985: 39-48) comomodelo de eierta variable hidroI6gica.] Determinar:a. P(X::; I)b. P(I s X s 3)c. La funci6n de densidad de probabilidad de X

Considere la funci6n de densidad de probabilidad del tiem-po de espera total Y de dos camiones

{

215Y

f(y) = l _-l.. y5 25 5 s Y s 10

ointroducida en el ejercicio 8.a. Calcule y trace la funci6n de distribuci6n acumulativa

de Y. [Sugerencia: Considere por separado 0 s y < 5 y5 S Y S 10 al calcular F(y). Una graficade la funci6nde densidad de probabilidad debe ser uti!.]

b. Obtenga una expresi6n para el (lOOp)O percentil. [Sugeren-cia: Considere par separado 0 < p < 0.5 y 0.5 <p < I.j

c. Calcule E(Y) y V(Y). i,C6mo se comparan estos valorescon el tiempo de espera probable y la varianza de unsolo cami6n euando el tiempo esta uniformemente dis-tribuido en [0, 5j?

21. Un ec610go desea marcar una regi6n de muestreo circularde 10 m de radio. Sin embargo, el radio de la regi6n resul-tante en realidad es una variable aleatoria R con funci6n dedensidad de probabilidad

L~(l - (10 - 1')2] 9;:;,.;:; IIfer) = ~4

lOde 10contrario

LCual es el area esperada de la region circular resultante?

22. La demanda semanal de gas propano (en miles de galones)de una instalacion particular es una variable aleatoria X confunci6n de densidad de probabilidad

j ( l·2 I - -:;-) I;:; X ;:; 2

f(x) = x-o de 10 contrario

a. Ca1cule la funci6n de distribuci6n acumulativa de X.b. Obtenga una expresi6n para el (IOOp)OpercentiL LCual

es el valor de jl?c. Calcule E(X) y VeX).d. Si 1500 galones estan en existencia al principio de la se-

mana y no se espera ningun nuevo suministro durantela semana, Lcuantos de los 1500 galones se espera quequeden al final de la semana? ISugerencia: Sea hex) =cantidad que queda cuando la demanda es x.)

23. Si la temperatura a la cual cierto compuesto se funde es unavariable aleatoria con valor medio de 120°C y desviacion es-t:indar de 2°C, Lcuales son la temperatura media y la desvia-cion est:indar medidas en OF?[Sugerencia: OF = 1.8°C + 32.]

24. La funcion de densidad de probabilidad de Pareto de X es

r~~f(x; k, 0) =lx~+ I

introducida en el ejercicio 10.a. Si k > I, calcule E(X).b. iQue se puede decir sobre E(X) si J.: = I?c. Si k > 2, demuestre que VeX) = kfj2(k - 1)-2(k - 2rl.

d. Si k = 2, Lque se puede decir sobre VeX)?e. LQUe condiciones en cuanto a k son necesarias para ga-

rantizar que E(X") es finito?

25. Sea X la temperatura en °C a la cual ocurre una reaccion qUI-mica y sea Y la temperatura en OF(as 1que Y = 1.8X + 32).

a. Si la mediana de la ~istribucion Xes jl: ,dcmucstre ~1.8jl + 32 es la medlana de la dlstnbuclOl1 Y.

b. LComo esta relacionado el 90° percentil Jc la diMrib.cion Y con el 90Q de la distribucion X? Veritiquc suc~jetura.

c. Mas general mente, si Y = £IX + h, Lcomo C';13 relacir,nado cualquier percentil de la distribuci6n Y C( III el Jler.

centil correspondiente de la distribucion Xi

26. Sea X los gastos medicos totales (en mi les de d(llares)~curridos por un individuo particular durante un ano da&!Aunque X es una variable aleatoria discreta. suponga qllsu distribucion es bastante bien aproximada pur una dis\!i.buci6n continua con funcion de densidad de probabili~fix) = k(l + xl2.5)-7 con x ~ O.a. iCual es el valor de k?b. Dibuje la funci6n de densidad de probabilidacl de X.c. LCmiles son el valor esperado y la desviaci0n estanda

de los gastos medicos totales?d. Un individuo esta cubierto por un plan de ascguramienm.

que Ie impone una provision deducible de S500 (aslqlllos primeros $500 de gastos son pagados por el individuo)Luego el plan pagani 80% de cualquier gasto adicionalqllexceda de $500 y el pago maximo por parte del individoo(incluida la cantidad deducible) es de $2500. Sea ria C3lf

tidad de gastos medicos de este individuo pagaclos porbcompania de seguros. LCual es el valor esperado de r.[Sugerencia: Primero indague que valor de X correspoo..de al gasto maximo que sale del bolsillo de $2500. Lue.,go escriba una expresi6n para Y como una funcicin deX.(la cual implique varios precios diferentes) y caiculed.valor esperado de la funci6n.) I

27. Cuando se lanza un dardo a un blanco circular. considerebiubicacion del punto de aterrizaje respecto al cenlro. SeaXel angulo en grados medido con respecto a la horizontal_y suponga que X esta uniformemente distribuida en 10. 360} ;1·

Defina Y como la variable transformada Y = iIIX) =(2'IT/360)X - 'IT,por 10 tanto, Yes el angulo medido en fa-diancs y Yesta entre -'IT y 'IT.Obtenga E(Y) y (rr obtcniendoprimero E(X) y ax y luego utilizando el hechodc que h(XIes una funci6n lineal de X.

,iI-----'

La disuibucion nomlal es la mas importante en toda la probabilidad y estadfstica. Muchas ~blaciones numericas tienen distribuciones que pueden ser representadas muy tiel mente peruna curva normal apropiada. Los ejemplos incluyen estaturas, pesos y otras caracterfsticas fi·sicas (el famoso articulo Biometrica 1903 "On the Laws of Inheritance in Man" discuti6 mu'chos ejemplos de esta clase), errores de medicion en experimentos cientfficos, medicionesantropometricas en fosiles, tiempos de reaccion en experimentos psicologicos, mediciones deinteligencia y aptitud, calificaciones en varios examenes y numerosas medidas e indicadoreseconomicos. Incluso cuando la distribucion subyacente es discreta, la curva normal a menu'do da una excelente aproximacion. Ademas, aun cuando Ias variables individuales no esten

! X es jl. <k-,i",,"tre .listribllc;ju } q~percenti I ,k 1,: '.ii\tribon X? Vail,.:,!,' 'u c ' .

'Z

. b, i,C6fli' . <C' rda(i<.stribuci6n j "il 01 .' ,:ibllci6n X' pc

:n mi les ,I<: .~.":cireSj il.I' durante "1. ,iH. da~ :

I discreta. "'1'" mga qil: .

)ximada pl" tin,t dislrl,nsidad de pi di,ahilid.1,.~

t~

: probabilid;;d d~ X. ~Ia desviac'i,":, t\tanli:i

~plan de a\C~:li ,:lI1ien!, ~

lcible de S~\!(: Ia" q~f.gados por c! IraliliJuv. ~uier gast<. adklOIlJ! qL,tpOl' parte l~l" '!Idividw ~

de $2500. S,e;, f I:i can.~dividuo paf'I.Kh,., porlJtalor esperacl,, ii,' f'! t: valor de X "il'!espon· fI. ,

10 slllo ue $~)!i(, Lue. [omo una rUI~c·!."n de.1~liferentes) } '_'cliculee:

) circular. c,>!,'.idere b·pecto al Cl:,','" Sea \;peeto a i:J '1;j11/<l!11~.

:Iistribllida C'li If). 360J i

rmada l' 1;1.'<1 ' ,

angulo n1~~'d~•..it I en fa. r

I E( Y) Y (1',. i!lllc'liiond, ~el hecho lk yllt' hl.l' ~

----_. ---!-l

d!stica. tv!l.i<:ha\ pO' imuy fielmcntc pol ~

lS caracterf\ti~'as fi· tMan" discmi,) rnu·itfticos, mcdicioncs !icos. medic!oucs de ~did~s e indic·;[JorcS Iva normal .1 Illenu, ,

livid""'e.' ""'L

normalmente distribuidas, las sumas y promedios de las variables en condiciones adecuadastendran de manera aproximada una distribuci6n normal; estc cs el contenido del Teorema delLimite Central discutido en el siguiente capitulo.

Se dice que una variable alcatoria continua X tiene una distribucion normal con pa-rametros J1. Y (T (0 J1. Yal"~ donde -et:; < J1. < 00 Y a > 0, si la fllnci6n de densidad deprobabilidad de X es

L___ f(X;.~~:_o-.- __ v_!2_1_7T_(T_e_ ..-i__X-_IJ._)_'I_I_2'_~ '_'J __ .....r_w__<_x_<_CC ( 4_._3_)--..J

De nuevo e denota la base del sistema de logaritmos naturales yes aproximadamente iguala 2.71828 Y 7T representa la conocida constante matemarica con un valor aproximado de3.14159. El enunciado de que X esta normalmente distribuida can los parametros J1. y (T2 amenudo se abrevia como X ~ N(J1., (T

2).Claramente fix; J-L, (T) ~ 0 aunqlle se tiene que utilizar un argumento de calculo un

tanto complicado para veriJicar que r:f(x; J-L, a) dx = I. Se puede demostrar que E(X) = J1.Y VeX) = a2, de modo que los parametros son la media y la desviaci6n estandar de X. La fi-gura 4.13 representa gniticas de fix; J-L, (T) de varios pares diferentes (J-L, o) Carla curva dedensidad es simetrica con respecto a J-L y acarnpanada, de modo que el centro de la campa-na (punto de simetrfa) es tanto la media de la distribucion como la mediana. EI valor de (T

es la distancia desde J-L hasta los puntas de inflexi6n de la curva (los puntos donde la curvacambia de viral' hacia abajo a virar hacia arriba). Los grandes valores de (J" producen grafi-cas que estan bastante extendidas en tomo a J-L, en tanto que los valores pequefios de if dangnificas con una alta cresta sobre J-L y la mayor parte del area bajo de la gnifica bastante cer-ca de J-L. As! pues, una (T grande implica que se puede observar muy bien un valor de X ale-jado de J-L, en tanto que dicho valor es bastante improbable cuando (T es pequefia.

f~j i \

/ 1 \~/ 1

'-/' -

Para calcular Pea :S X :S b) cllando X es una variable aleatoria nonnal con parametros J-L y (T,

se debe detenninar

Ninguna de las tecnicas estandar de integraci6n puede ser utilizada para evaluar la ex pre-si6n (4.4). En cambio, con J-L = 0 y (T = I, se calcul6 laexpresi6n (4.4) por medio de tec-nicas numericas y se tabul6 para ciertos valores de a y b. Esta tabla tambien puede serutilizada para calclliar probabilidades con cualesquiera atros valores de J1. y a considerados.

La distribucion normal con valores de panimetro J.L = 0 y a = I sc [hliHa dbk'cion normal esmndar. Una variable aleatoria que tiene una distribucion m,rn",'tandar se llama variable aleatoria normal eshindar y se denotara por Z. La f!:~de densidad de probabilidad de Z es

I ,fez' 0 I) = -- e-z'12." V21T'

La grafica deftz; 0, I) se llama curva normal estandar (0 z). La funci6n de cb::cion acumulativa de Z es P(Z :s z) = f~xf(Y; 0, I) dy, la cual sera denolnd,: po:

La distribucion normal estandar no sirve con frecuencia como moJelo d:? u,'cion que surge natural mente. En cambio, es una distribucion de refercneia de L,puede obtener informacion sobre otra distribucion normal. La tabla A.3 del apen "<I>(z) = P(Z ::::.::z), el area bajo la curva de densidad normal estandar ala iZCJuierdacz = - 3.49, - 3.48, ... , 3.48, 3.49. La figura 4.14 ilustra el tipo de area aCUllluli!;i'baoilidad) tabulada en la tabla A.3. Con esta tabla. varias probabilidadcs qUI~imr"pueden ser calculadas.

Ejemplo 4.13 Determinense las siguientes probabilidades normales estandar: (a) P(Z 5 I ~)1' "1.25), (c) P(Z:s -1.25) y (d) P( -0.38::::':: Z:S 1.25).

a. P(Z::::.:: 1.25) = <1>(1.25),una probabilidad tabulada en la tabla A.3 del :lpclld;(~I:,terseccion de la fila 1.2 y la columna 0.05. EI numero allf es 0.8944, as! que Pi.?= 0.8944. La figura 4.15(a) ilustra esta probabilidad.

I;"1:III1

~ 11j

-1

;;1

·11

I-l

b.~~ j

c.

o 1.25a)

cur\,'l ../----..",./ '--

/ \

/' l'-

./ I i,'-...._.~ - ',,->-.

o 1.25b)

P(Z> 1.25) = I - P(Z:s 1.25) = 1 - <1>(1.25). el area bajo la curva .::a 13 '.;'de 1.25 (un area de cola superior). En ese caso <1>(1.25) = 0.8944 implica ljll\"

1.25) = 0.1056. Como Z es una variable aleatoria continua, P(Z 2: 1.25) C-c f:

Vease la figura 4.15(b).P(Z:s -1.25) = <1>(-1.25), un area de cola inferior. Directamente de b labl<: r',

apendice <1>(-1.25) = 0.1056. Por simetria de la curva z, esta es la misma I"'",del inciso b).

1a distrih(:,nOnlla! C'"La fune:;

de distrih;;.ia par It>:

) de un;l p. ·:'la.a de la qu~ '":1 apendic,' dalierda de . ':,'nlmulatl\':i i ,"[0·

lue impliciil Z

;: a la dt'l\:\:halica que p( Z >25) = 0 l;j.:'6

d. P( -0.38 :::;Z:::; 1.25) es el area bajo la curva normal estandar sobre el intervalo euyopunta extrema izquierdo es -0.38 y cuyo punto extremo derecho es 1.25. Segun la sec-cion 4.2, si X es una variable aleatoria continua can funcion de distribueion acumulativaF(x), entonces Pea :::; X:::; b) = F(b) -- F(a). Por 10 tanto, P( -0.38 :::;Z:::; 1.25) =<P(1.25) - <P(-0.38) = 0.8944 - 0.3520 = 0.5424. (Yease la figura 4.16.)

Con cualquier p entre 0 y 1, se puede utilizar la tabla A.3 del apendice para obtener el(1OOp)O percentil de la distribucion normal estandar.

Ejemplo 4.14 El 99° percentil de la distribucion normal estandar es el valor sobre el eje horizontal tal queel area bajo la curva z a la izquierda de dicho valor es 0.9900. La tabla A.3 del apendiee dacon z fija el area bajo la curva normal estandar a la izquierda de z, mientras que aqu! se tieneel area y se desea el valor de z. Este es problema "inverso" a P(Z :::;z) = ? as! que la tablase utiliza a la inversa: Encuentre en la mitad de la tabla 0.9900; la fila y la columna en la que seencuentra identificado el 99° percentil z. En este caso 0.9901 queda en la interseecionde la fila 2.3 y la columna 0.03, as! que el 99° percentil es (aproximadamente) z = 2.33.(Vease la figura 4.17). Por simetrfa, el primer percentil esta tan debajo de 0 como el 99° estasabre 0, as! que es igual a -2.33 (l % queda debajo del primero y tambien sobre el 99°).(Yease la figura 4.18.)

. , / curva z

/ \ .\, Area sombreada = 0.01

--+1/ \~

I 0 I

En general, la fila y la columna de la tabla A.3 del apendice, donde el ingr~',localizado identifican el (lOOp)O percentil (p. ej., el 67° percentil se ohtienc In, .0.6700 en el cuerpo de la tabla;la cual da Z = 0.44). Si p no aparece, a menuclo ',e 'numero mas cercano a el, aunque la interpolaci6n lineal da una respuesta m;ls pr,:'. 'r

ejemplo, para encontrar el 95° percentil, se busca 0.9500 adentro de la tabla. Aunqdno aparece, tanto 0.9495 como 0.9505 sf, correspondientes a z = 1.64 Y 1.65, r,' ,mente. Como 0.9500 esta a la mitad entre las dos probabilidades que sf aparecen. "'.ni 1.645 como el 95° percentil y - 1.645 como el 5° percentil.

Notacion Za

En inferencia estadfstica, se necesitan valores sobre el eje horizontal 7.que C!pr.1i'· .

areas de cola pequefia bajo la curva normal estandar.

Za denotara el valor sabre el eje z para el cual 0' del area bajo la curva z quecb J ;.

recha de za' (Yease la figura 4.19.)

Par ejemplo, Zo.1O captura el area de cola superior 0.10 Y Zo.OI captura el area de L',)h! ' "

om.

Como 0' del area bajo la curva Z queda a la derecha de Za' I - 0' del iirea (j'l' .

izquierda. POl' 10 tanto, za es eL 1000 - 0')0 percentiL de La distribucion norma! /.Par simetrfa el area bajo la curva normal estandar a la izquierda de - za tambj.;n t': .

valores za en general se conocen como valores criticos z. La tabla 4.1 incluye lu~ i"..les Z y los valores za mas utiles.

Percentil 90 95 97.5 99 99.5 99.9 q~).t; .";

a (area de cola) 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 (J.ijliU·

za = 100(1 - a)" 1.28 1.645 1.96 2.33 2.58 3.08 :;..'~ '~.'

percentil

Ejemplo 4.15 Zo.os es el J OO(l - 0.05)0 = 9SOpercentil de la distribuci6n normal estanclar. purZoos = 1.645. El area bajo la curva normal estandar a la izquierda de - Z005 rambi":;j·

(Yease la figura 4.20.)

Ingreso! '_.""G:!

e local ~/:: 1(10

10 se utili?! e!.s prcClsa <)r

.unque (i'; ''I''15. respe .. : ';,J.

rea qucd"j ;.i!

vomal esui;uid(,. bien es It. Lm'e los perccnri-

99.950.0005

3.27

, curva z "'.. /_" 'Area sombreada = 0.05 I \,Area sombreada = 0.05

, \~/ I ~>,!1 0

Cuando X - N(J.L, <T2), las probabilidades que implican X se calculan "estandarizando". Lavariable estandarizada es eX - J.L) <T. Al res tar J.L la media cambia de J.L a cero y luego aldividir entre <T cambian las escalas de la variable de modo que la desviaci6n estandar es unoen lugar de <T.

z=X-J.L<T

pea :$ X :$ b) = p( a : J.L :$ Z:$ b : J.L)

= <1>( b : J.L) _ (p( a : J.L)

P(X:$ a) = <t>( a : J.L) P(X?: b) = I - <t>( h : J.L )

La idea clave de la proposici6n es que estandarizando cualquier probabilidad que impliqueX puede ser expresada como una probabilidad que implica una variable aleatoria nOffilal es-tandar Z, de modo que se pueda utilizar la tabla A.3 del apendice. Esto se ilustra en Ia figu-ra 4.21. La proposici6n se comprueba escribiendo la funci6n de distribuci6n acumulativa deZ = (X - J-L)/<T como

P(Z:$ z) = P(X:$ <TZ + J.L) = r~+I'f(x;J.L, a) dx

Utilizando un resultado del calculo, esta integral puede ser derivada con respecto a z paraque de la funci6n de densidad de probabilidad deseada fez; 0, 1).

Lr. por 10 '1!llD (x - fJ. )/0-

mbien e~:\ u5

EI tiempo que requiere un conductor para reaccionar alas luces de freno de un \-:d,: ..esti desacelerando es critico para evitar colisiones pOI'alcance. EI articulo "Fa~t··l-i;ke Lamp as a Collision-Prevention Device" (Ergonomics, 1993: 391-3<)5), SUgie-itiempo de reacci6n de respuesta en tnifico a una seoal de freno de luces de frcn\' .puede ser model ado con una distribuci6n normal que tiene un valor medio Je i ::::;viaci6n estandar de 0.46 s. i,Cual es la probabilidad de que el tiempo de reacci6n <".

1.00 s y 1.75 s? Si X denota el tiempo de reacci6n, entonces estandarizando sc 01,;

1.00 - 1.250.46

x - 1.25 1.75 - 1.25:5----:5 -----

0.46 0.46

P(I 00:5 X:5 I 75) = p( 1.00 - l.25 :5 Z:5 1.75 - 1.25). . OM OM= P( -0.54 :5 Z :5 1.09) = <1>(1.09) - (J)( -0.54!

.= 0.8621 - 0.2946 = 0.5675

Esto se ilustra en la figura 4.22. Asimismo, si se yen los 2 s como un tiempo de reae;.·j,

ticamente largo, la probabilidad de que el tiempo de reacci6n real exceda este va!o; ,

P(X> 2) = p(z > 2 - 1.25) = P(Z> 1.63) = 1 - <1>(1.63) = 0.05160.46

Estandarizar no lleva nada mas que a calcular una distancia al valor medio y lucg,) ,sarla como algun numero de desviaciones estandar. POI'10 tanto, si J.t = 100 Y (T ."

tonces x = 130 corresponde a z = (130 - 100)/15 = 30/15 = 2.00. Es decir, LiP i'

desviaciones estandar sabre (a la derecha de) el valor media. Asimismo, estandarlz:.l 1 ..;

se obtiene (85 - 100)115 = -1.00, pOI'10 tanto, 85 esta a una desviaci6n estandm l'

bajo de la media. La tabla z se aplica a cualquier distribuci6n normal siempre que Si

se en funci6n del numero de desviaciones estandar de alejamiento del valor medin.

Ejemplo 4.17 Se sabe que el voltaje de ruptura de un diodo seleccionado al azar de un tipo partin'; .'normalmente distribuido. i,Cual es la probabilidad de que el voltaje de ruptura I.k ~"este dentro de una desviaci6n estandar de su valor medio? Esta pregunta pueue ser i'C"!'

~n vohkul" q~ rFast-RIse Bra_~

), sugierc que elIe freno estandar ~de 1.25 s y des. ~

• , ~ j'lCCIOn est::" entre !o se obtie!k: i

f,r

de reaccion eri-ste valor es

( luego recxpre-o y u = ]5. eo-:ir, 130 esta a 2tandarizando 85:standar por de-)re que se pieo-. medio.

;) particular estaura de un diodode ser respondi- !

~

da sin conocer J-L 0 if, en tanto se sepa que la distribucion es normal; la respuesta es la mis-ma para cualquier distribucion normal:

P(X esta dentm de I desviacion estandar de su media) = P(J-L - u :s X :s J-L+ u)

(J-L-U-J-L IL+U-J-L)= P ~--~- :s z:s ~----

U U= P( -1.00 :s Z:S l.00)

= <1>(1.00)- <1>(-1.00) = 0.6826

La probabilidad de que X este dentm de dos desviaciones estandar es P(-2.00 :s Z:S 2.00) =0.9544 y dentm de tres desviaciones estandar es P(-3.00 :s Z:S 3.00) = 0.9974. •

Los resultados del ejemplo 4.17 a menudo se reportan en forma de porcentaje y se lescOlloce como regia empfrica (porque la evidencia empfrica ha demostrado que los histogra-mas de datos reales con frecuencia pueden ser aproximados por curvas normales).

Si la distribucion de la poblaci6n de una variable es (aproximadamente) normal,entonces

1. Aproximadamente 68% de los valores estan dentro de 1 DE de la media.2. Aproximadamente 95% de los valores estan dentro de 2 DE de la media.3. Aproximadamente 99.7% de los valores estan dentro de 3 DE de la media.

En realidad es inusual observar un valor de una poblacion normal que este mucho mas le-jos de 2 desviaciones estandar de J-L. Estos resultados seran importantes en el desarrollo deprocedimientos de prueba de hipotesis en capftulos posteriores.

El (lOOp)" percentil de una distribuci6n normal can media J-L y desviacion estandar cr es fa-cil de relacionar con el (lOOp)" percentil de la distribucion normal estandar.

(lOOp)Opercentil = + [ (100p)0 percentil ]. U

de (J-L, cr) normal J-L de normal estandar

Otra forma de decir es que si z es el percentil deseado de la distribucion normal estandar,entonces el percentil deseado de la distribucion (J-L, u) normal esta a z desviaciones estan-dar de J-L.

Ejemplo 4.18 La cantidad de agua destilada despachada por una cierta maquina esta normalmente distri-buida con valor medio de 64 oz y desviacion estandar de 0.780z. "Que tamano de contene-dor c asegurara que ocurra rebosamiento solo 0.5% del tiempo? Si X denota la cantidaddespachada, la condicion deseada es que P(X > c) = 0.005, 0, en forma equivalente, queP(X:S c) = 0.995. Por 10 tanto, c es el 99.5° percentil de la distribucion normal con J.L = 64y U = 0.78. EI 99.5° percentil de la distribucion normal estandar es de 2.58, por 10 tanto,

Distribuci6n normal y poblaciones discretasLa distribuci6n normal a menudo se utiliza como una aproximaci6n a la distr!buciv'lores en una poblaci6n discreta. En semejantes situaCiones, se debe tener un cuid~!d'cial para asegurarse de que las probabilidades se calculen can predsi6n.

Ejemplo 4.19 Se sabe que el coeftciente intelectual en una poblaci6n particular (medido con lin:: '

estandar) estti mas 0 menos nom1almente distribuido can J1- = 100 y a = 15. I,Ciprobabilidad de que un individuo.,seleccionado al azar tenga un CI de pOl' Ie m>::w,

Con X = el CI de una persona seleccionada al azar, se desea P(X?: 125). La tcn:"':1:este caso es estanclarizar X 2: 125 como en ejemplos previos. Sin embargo. la di',ll .Hi

de la poblaci6n de coeftcientes .intelectuales en realidad es discreta, puesto que h"

dentes intelectuales son valores enteros. As! que la curva Donnal es una apmXimJi;'histograma de probabilidad discreto como se ilustra en la ftgura 4.24.

Los rectangulos del histograma estan centrados en enteros, poria que los (",tes intelectuales de por 10 menos 125 con'esponden a rectangulos que comienzan Ci

la zona sombreada en la figura 4.24. POl' 10 tanto, en realidad se desea el area baj" .apt'oximadamente normal a la derecha de 124.5. Si se estandariza este valor se obk' I.

?: 1.63) = 0.0516, en tanto que si se estandariza 125 se obtiene P(Z 2: 1.67 = nt, .!

diferencia no es grande, pem la respuesta 0.0516 es m;is precisa. Asimisrnu. P(.\..",~ rfa aproximada par el area entre 124.5 y ]25.5, puesto que el area bajo la curV~-l ih

bre el valor unico de 125 es cem.

La correcci6n en cuanto a discrecionalidad de ]a distribuci6n subyacentc enp]o 4.19 a menudo se llama cOl"reccion por continuidad. Es util en la siguicnt(; ~'i

de la distribuci6n normal al calculo de probabilidades binomiales.

Aproximaci6n de la distribuci6n binomialRecuerdese que el valor medio y la desviaci6n estandar de una variable aleatori:~ bX son J1-x = np Ya.\ = \/npq, respectivamente. La figura 4.25 muestra una hiq,<,probabilidad binomial de la clistribuci6n binomial con n = 20, p = 0.6 con ei "20(0.6) = 12 y a = \/20(0.6)(0.4) = 2.19. Sobre el histograma de prohabilitLd .puso una curva normal con esas J.L y if. Aunque e1 histograma de probabilidad c

Curva nonnal,Ii = 12, (J" = 2.19

ribuci0rj" .,I cuid~l(h, ';,'_

Figura 4.25 Histograma de probabilidad binomial para n = 20, P = 0.6 con curva de aproximaci6nnormal sobrepuesta.

;on una p, l'ci

15. iCU\~' jj

10 melle, '~l

~a tent~H'(: ;-'1:

la dislri'l·,.,,·,"nI que los ,"'1,

::Jxjma(i,"",~l

asimetrico (debido a que p ¥- 0.5), la curva normal da una muy buena aproximacion, sabretodo en la parte media de la figura. EI area de cualquier rectangulo (probabilidad de cual-quier valor X particular), excepto la de los localizados en las colas extremas, puede seraproximada con precision mediante el area de la curva normal correspondiente. Por ejem-plo, P(X = 10) = B( I0; 20, 0.6) - B(9; 20, 0.6) = 0.117, mientras que el area bajo la curvanormal entre 9.5 y 10.5 es P(-1.l4::; Z::; -0.68) = 0.1212.

En terrninos generales, en tanto que el histograma de probabilidad binomial no sea de-masiado asimetrico, las probabilidades binomiales pueden ser aproximadas muy bien porareas de curva normal. Se acostumbra entonces decir que X tiene aproximadamente una dis-tribucion normal.e 105 coer oj-

~nzan en~abajo }+J " .j

se obtil:n, Y'!!.

7 = a.or , JI\,'I, ,- ;

lr\':1 nonr ;:.."

Sea X una variable aleatoria normal basada en II ensayos con probabilidad de exito p.Luego si el histograma de probabilidad binomial no es demasiado asimetrico, X tieneaproximadamente una distribucion normal con J.L = np y u = vnpq. En particular,con x = un valor po sible de X,

(area bajo la curva nOrmal)

P(X::; x) = B(x; n, p) = ala izquierda de x + 0.5

= <t>(X + ~np)Vnpq

En la practica, la aproximacion es adecuada siempre que tanto np 2: 10 como nq 2: 10,puesto que en ese caso existe bastante simetria en la distribuci6n binomial subya-cente.

:nle en diente apL.:' ,,'1

:atori~ bil>"'.dJ histogJ~; ,L:on el Cl, ,J

,j lillacl s, 'ldad es 'il;, .\,

Una comprobaci6n directa de este resultado es bastante dificil. En el siguiente capitulo se ve-ra que es una consecuencia de un resultado mas generaillamado Teorema del Limite Central.Con toda honestidad, esta aproximaci6n no es tan importante en el calculo de probabilidadcomo una vez 10 fue. Esto se debe a que los programas de computadora ahora son capacesde calcular probabilidades binomiales con exactitud con valores bastante grandes de n.

Ejemplo 4.20 Suponga que 25% de los conductores con licencia de manejo en un estado particular noestan asegurados. Sea X el mimero de conductores no asegurados en una muestra aleato-ria de taman050 (algo perversamente, un exito es un conductor no asegurado), de modo que

p = 0.25. Entonces p., = 12.5 Y if = 3.06. Como I1p = 50(0.25) = 12.5 2: 10 ,2: 10, la aproximaci6n puede ser aplicada con seguridad:

P(X < 10) = B( JO. 50 015' = nJ 10 + 0.5 - 12.5 \- , ,._) '¥\ 3.06 }

= <1>(-0.65)= 0.2578

Asimismo, la probabilidad de que entre 5 y 15 (inclusive) de los conductores ~"i.no esten asegurados es

P(5 :5 X:5 15) = B(l5: 50, 0.25) - B(4; 50, 0.25)

_ if,(·15.5 .- 12.5) _ ,•..(4.5 - 125',) _ " ;.........'-¥ ':V ~ \:.l .3.06 3.06

Las probabilidades exactas son 0.2622 Y0.8348, respectivamente, asi que las ~1I.";

nes son bastante buenas. En el ultimo calcu10, la probabi1idad P(5 :5 X:S 151 (,aproximada par el area bajo 1acurva normal entre 4.5 Y 15.5, se utiliza la corren i,tinuidad tanto para ellfmite superior como para el inferior.

Cuando el objetivo de la investigaci6n es hacer una inferencia sabre una:de poblaci6n p, el interes se enfocara en la proporci6n muestral de X/n exitos y no I',·

esta proporci6n es exactamente X multiplicada por la constante 1111, tambicll fe"ximadamente una distribuci6n normal (can media p., = p y desviacil":if = ypq;;,), siempre que tanto np 2: 10 como nq 2: 10. Esta aproximaci6n norm:l;de varios procedimientos inferenciales que se discutiran en capftulos posteriorc',

t:~~~J~ERfICIOS' Secci6n 4.3 (28-58)

28. Sea Z una variable aleatoria normal estandar y calcule lassiguientes probahilidades, trace las figuras siempre que seaapropiado.a. P(O ~ Z ~ 2.17)b. P(O ~ Z ~ I)c. P(-2.50 ~ Z ~ 0)d. P(-2.50 ~ Z ~ 2.50)e. P(Z ~·1.37)f. P(-l.75 ~ Z)

g. PH .50 ~ Z ~ 2.00)h. P(I.37 ~ Z ~ 2.50)i. P(1.50 ~-Z).j. PC I ZI ~ 2.50)

29. En cada caso, determine el valor de la constante e que haceque el enunciado de probabilidad sea correcto.a. <fl(e) = 0.9838b. pro ~ Z ~ e) = 0.291c. P(e~Z)=0.121d. P(-e ~ Z ~ e) = 0.668e. P(e~ IZI)=0.016

30. Encuentre los siguientes percentiles de la distribuci6n .normal estandar. Interpole en 10s casos en que sea apro-piado.a. 91" b. 9" C. 752

d. 25" e. ()2

31. Determine z" para 10 siguiente:a. a = 0.0055 b. a = 0.09c. a = 0.663

32. Si X es una variable aleatoria normal con I\lnliviaci6n estandar 10. calcule las siguientes p:' ,,' ,mediante estandarizaci6n:a. P(X ~ 100) b. P(X ~ 80)c. P(65:s X ~ 100) d. P(70 ~ X)e. P(85~X~95) f. P(IX-801 =-c; III

33. Suponga que la fucrza que actua en una colull'"da a soportar un edificio esta normal mente ell""media de 15.0 kips y desviaci6n estandar ,ki,Cual es la probabilidad de que 1a fuerzaa. sea de mas de 18 kips?b. este entre 10 Y 12 kips?c. Difiera de 15.0 kips en cuando mucho i .'i ."

estandar?34. EI articulo "Reliability of Domestic- Waste Bil'i: i

(1. of Em'ir. Engr., 1995: 785-790) sugiere qUt· , 'cion de sustrato (mg/cm3) del afluente que !leg:.•esta normalmente distribuida con f.L = 0.30 y ,ra. lCual es la probabilidad de que la concelll]';:,·

de 0.25?b. LCual es la probabilidad de que la COO,T"

cuando mucho de 0.1O?c. (.Como caracterizaria el 5% mas grandt· ti,> .

lores de concentraci6n?

, 35. Supcb..-:tc,l;I

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~euna prup(lrci6n; y no en X. Comobien tendrij apro.viaci6n e'l;indarnormal Cs I:! base

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'I :S 10)

I columna que <IIU.

:nte distribuida ~Oll

1dar dc 12:' kip,.a

~Biofilm RI.':ldur,"~eque la Cunl·entra·e lIega a un rea,lOr30 y u = ()()6.

flcentracil)Ii ex,ed,

5 Supoflga que el diametro a la altura del pecho (pulg) de ar-3· boles de un tipo esta normalmente distribuido con J.L = 8.8

Yu == 2.8 como se sugiere en el articulo "Simulating a Har-vester-Forwarder Softwood Thinning" (Forest Products 1.mayo de 1997; 36-41).a. i,Cwil es la probabilidad de que el di,1metro de un arbol

seleccionado al azar sea por 10 menos de 10 pulg?i,Mayor de 10 pulg'?

b. i,Cual es la probabilidad de que el diametro de un arbolseleccionado al azar sea de mas de 20 pulg?

c. i,Cual es la probabilidad de que el diametro de un arbolseleccionado al azar este entre 5 y 10 pulg?

d. i,Que valor c es tal que el intervalo (8.8 - c,8.8 + c) in-c1uya 98% de todos los valores de diametro?

e. Si se seleceionan euatro arboles al azar, i,cual esla pro-babilidad de que por 10 menos uno tenga un diametro demas de 10 pulg?

36. La deriva de las atomizaciones de pesticidas es una preocu-paci6n constante de los fumigadores y productores agricolas.La relaci6n inversa entre el tamano de gota y el potencial dederiva es bien conocida. £1 articulo "Effects of 2,4-D Formu-lation and Quinclorac on Spray Droplet Size and Deposition"(Weed Technology, 2005: 1030-1036) investig6 los efectos de .formulaciones de herbicidas en atomizaciones. Una Figura enel artfculo sugiri6 que la distribuci6n normal con media de1050 J.Lm y desviaci6n estandar de 150 J.Lmfue un modelo ra-zonable de tamano de gotas de agua (el "tratamiento de con-trol") pulverizada a traves de una boquilla de 760 mlJmin.a. i,CuaI es la probabilidad de que el tamano de una sola go-

ta sea de menos de 1500 J.Lm') i,Por 10menos de 1000 fLm?b. i,Cuales la probabilidad de que el tamano de una sola

gota este entre 1000 y 1500 J.Lm?c. i,C6mo caracterizarfa el 2% mas pequeno de todas las

gotas?d. Si se miden los tamanos de cinco gotas independiente-

mente seleccionadas. i,cual es la probabilidad de que por10 menos una exceda de 1500 fLm?

37. Suponga que la concentraci6n de cloruro en sangre (mmolfL)tiene una distribuci6n normal con media de 104 y desvia-ci6n estandar de 5 (informaci6n en el articulo "Matemathi-cal Model of Chloride Concentration in Human Blood",J, of Med. Engr. and Tech., 2006; 25-30, incluida una graficade probaoilidad normal como se describe en la secci6n 4.6,apoyal1do esta suposici6n).a. i,Cual es la probabilidad de que la coneentraci6n de clo-

ruro sea igllal a 105? i,Sea menor que IDS? i,Sea cuandomucho de 105?

b. i,Cual es la probabnidad de que la concentraci6n de clo-ruro difiera de la media por mas de una desviaci6n estan-dar? i,Depende esta probabilidad de los valores de J.L y u?

c. i,C6mo caracterizaria el 0.1 % mas extrema de los valoresde concentraci6n de c1oruro?

38. Hay dos maquinas disponibles para cortar corchos para usarseen'botellas de vino. La primera produce corchos con diame-tros que estan nomlalmente distribuidos con media de 3 cm ydesviaci6n estandar de 0.1 cm. La segllnda maquina producecorchos con diametros quetienen una distribuci6n normal conmedia de 3.04 em y desviacion estandar de 0.02 cm. Los cor-

chos aceptables tienen diametros entre 2.9 y 3.1 cm. i,Cualmaquina es mas probable que produzca un corcho aceptable')

39. a. Si una distribuci6n normal tiene fL == 30 y u = 5, i,cuales e191" percentil de la distribucion')

b. i,Cual es el 6" percemil de la distrihuci6n')c. EI ancho de una linea gr:lbada en un "chip" de circuito in-

tegrado nonnalmente esta distlibllicla con media de 3.000J.Lmy desviaciol1 estandar de O. J 40. i,Que valor de anchosepara 10% de Jas lint:as mas anchas del 90% restante')

40. £1 articulo "Monte Carlo Simulation-Tool for Better Un-derstanding of LRFD" (1. Srructural Engr., 1993: 1586-1599) sugiere que la resisteneia a ceder (Ib/pulg2) de unacero grado A36 esta nonnalmente distribuida con J.L = 43y u = 4.5.a. i,Cual es la probabilidad de que la resistencia a ceder sea

cuando mucho de 40') i,De mas de 60?b. i,Que valor de resistencia a ceder separa al 75% mas re-

sistente del resto')

41. EI dispositivo de apertura automatica de un paracaidas decarga militar se disen6 para que abriera el paracaidas a 200 msobre el suelo. Suponga qut: la altitud de abertura en realidadtiene una distribuci6n nom1a1 con valor medio de 200 m ydesviaci6n estandar de 30 m. La carga util se danara si elparacafdas se abre a menos de 100 m. i,Cual es la probabi-lidad de que se dane la carga util de cuando menos uno decinco paracafdas lanzados en forma independiente?

42. La Iectura de temperatura tomada con un termopar colocadoen un medio a temperatura constante normalmente esta dis-tribuida con media fL, la temperatura real del medio y la des-viaci6n estandar u. i,QlIe valor tendria u para asegurarse deque el 95% de todas las lecturas estan dentro de 0.1" de J.L?

43. Se sabe que la distribuci6n de rcsistencia de resistores de untipo es nonnal y la resistencia del 10% de ellos es mayor de10.256 ohms y la del5% es de una resistencia menor de 9.671ohms. i,Cuales son el valor medio y la desviaci6n estandar dela distribuci6n de resistencia?

44. Si la longitud roscada de un perno esta normalmente distri-buida, i,cual es la probabilidad de que la longitud roscada deun perno seleccionado al azar estea. dentro de 1.5 desviaciones estandar de su valor medio?b. a mas de 2.5 desviaciones estandar de su valor medio?c. entre una y dos desviaciol1es estandar de Sllvalor medio?

45. Una maquina que produce cojinetes de bolas iflicialmente seajust6 de modo que el diametro promedio verdadero de loscojinetes que produce sea de 0.500 pulg. Un cojinete esaceptable si su diametro esta dentro de 0.004 pulg de su va-lor objetivo. Suponga, sin embargo, que el ajuste cambia du-rante el curso de la producci6n, de modo que los cojinetestengan diametros normalmente distribuidos con valor mediode 0.499 pulg y desviaci6n estandar de 0.002 pulg. i,Queporcentaje de los eojinetes producidos no sera aceptable?

46. La dureza Rockwell de un metal se determina hincando unapunta endurecida en la superticie del metal y luego midien-do la profundidad de penetraci6n de la punta. Suponga quela dureza Rockwell de una aleaci6n particular esta normal-mente distribuida con media de 70 y desviaci6n estandar de3. (La dureza Rockwell se mide en una escala continua.)

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oerouestre que la relacion ent~-eun percentil normal g:ne.56. rat y el percenlIl : correspondlente es como se estlpulo en

esta secci6n.Demuestre que si X tiene una distribuci6n normal con

51.•• panimetros J.L y fT, entonces Y = aX + b (una funci6n li-neal de X) tambien tiene una distribuci6n normal. l.Cua-les son los parametros de la distribucion de Y res decir,E(Y) Y V(Y)]? [Sugerencia: Escriba la funci6n de distri-buci6n acumulativa de Y, P(Y :$ y), como una integralque implique la funci6n de densidad de probabilidad deX Yluego derive con respecto a)' para obtener la funci6nde densidad de probabilidad de Y.]

b. Si cuando se mide en °C, la temperatura esta normal·mente distribuida con media de 115 Y desviaci6n estan-dar de dos, i,que se puede decir sobre la distribuci6n detemperatura medida en OF?

58. No existe una f6rmula exacta para funci6n de distribuci6nacumulativa normal estandar <I>(z), aunque se han pllblicadovarias aproximaciones en artfculos. La siguiente se tom6 de"Approximations for Hand Calculators Using Small IntegerCoefficients" (Mathematics of Computation, 1977: 214·222). Con 0 < Z :$ 5.5,

P(Z;::: z) = t - <f)(z)

_ { [(83Z + 351): + 562]}- 0.5 exp - 703/: + 165

Et error relativo de esta aproximaci6n es de menos de 0.042%.Usela para calcular aproximaciones alas siguientes probabi-lidades y compare siempre que sea posible con las probabili-dades obtenidas con la tabla A.3 del apendice.a. P(Z;::: I) b. P(Z < -3)c. P(-4 < Z < 4) d. P(Z> 5)

~~~~i1'Distribucionesexppnencial y gama~ "" ," ',:'.. - "_'cr ;

La curva de densidad correspondiente a cualquier distribucion normal tiene forma de campa-na y por consiguiente es simetrica. Existen muchas sitllaciones pnicticas en las cuales la va-riable de interes para un investigador podrfa tener una distribucion asimetrica. Una familia dedistribuciones que tiene esta propiedad es la familia gama, Primero se considera un caso es-pecial, la distribucion exponencial y luego se Ie generaliza mas adelante en esta seccion.

Distribucion exponencialLa familia de distribuciones exponenciales proporciona modelos de probabilidad que sonmuy utilizados en disciplinas de ingenierfa y ciencias.

DEFINICiON Se dice que X tiene una distribucion exponencial con panimetro A (A > 0) si la fun-cion de densidad de probabilidad de X es

{Ae-AX x 2::: 0

I(x; A) = 0 deJo contrario (4,5)

Algunas fuentes escriben la funcion de densidad de probabilidad exponencial en la forma(1/f3)e-x1/3, de modo que f3 = I/A. EI valor esperado de una variable aleatoria exponencial-mente distribuida X es

Para obtener este valor esperado se requiere integrar pOI' partes. La varianza de X se calculautilizando el hecho de que VeX) = E(Xl) - [E(X)]2. La determinacion de E()(2) requiere inte-gral' por partes dos veces en sucesion. Los resultados de estas integraciones son los siguientes:

IjL 5 -

A

Tanto la media como la desviacion estandar de la distribucion exponencial son iguales aliA.En la figura 4,26 aparecen algunas graficas de varias funciones de densidad de probabilidadexponenciales.

I. IIIi

a. Una probeta es aceptable s610 si su dureza oscila entre67 y 75, i,cUlIIes la probabilidad de que una probeta se-leccionada al azar tenga una dureza aceptable?

b. Si el rango de dureza aceptable cs (70 - c, 70 + c). i,conque valor de c tendria 95% de todas las probetas una du-rcza aceptablc?

c, Si el rango de durcza aceptable cs como el del inciso a)y la dureza de cada una de diez probetas seleccionadasal azar se determina de forma independiente, i,cuaJ es elvalor esperado de probetas aceptables entre las diez?

d. i,Cual es la probabilidad de que cuando mueho oeho dediez probetas independientemente seleccionadas tenganuna dureza de menos de 73.847 [Sugerencia: Y = el ml-mero de entre las diez probetas con dureza de menos de73.84 es una variable binomial; L.cual es p?]

47. La distribuei6n de peso de paquetes enviados de cierta ma-nera es normal con valor medio de 12 Ib y desviaci6n estan-dar de 3.5 lb. EI servicio de paqueteria desea establecerun valor de peso c mas alIa del cual habra un cargo extra.i,Que valor de c es tal que 99% de todos los paquetes estenpor 10 menos I Ib por debajo del peso de cargo extra?

48. Suponga que la tabla A.3 del apendice contiene <I>(z) s610para z 2: 0. Explique c6mo aun asi podria calculara. P(-I.72 s Z s -0.55)b. P(-I.72 S Z S 0.55)

i,Es necesario tabular <I>(z) para z negativo? i,Que propiedadde la, curva normal estandar justifica su respuesta?

49. Considere los bebes nacidos en el rango "normal" de 37-43semanas de gestaci6n. Datos extensos sustentan la suposi-ci6n de que el peso de nacimiento de estos bebes nacidos enEstados Unidos esta normalmente distribuido con media de3432 g y desviaei6n estandar de 482 g. [EI articulo "Are Ba-

", bies NomlalT (The American Statistician (1999): 298-302)analiz6 datos de un ano particular; con una selecci6n sensi-ble de intervalos de c1ase, un histograma no parecia del todonormal pero despues de una investigaci6n se determin6 queesto se debia a que en algunos hospitales median el peso engramos. en otros 10 median a la onza mas cercana y luego 10convertian en gramos. Una selecci6n modificada de interva-10s de c1ase que permitia esto produjo un histograma que eradeserito muy bien par una distribuci6n normaL]a. i,Cual es la probabi!idad de que el peso de nacimiento de

un bebe seleccionado al azar de este tipo exceda de 4000gramos? i,Este entre 3000 y 4000 gramos?

b. LCual es la probabilidad de que el peso de nacimiento deun bebe seleccionado al azar de este tipo sea de menosde 2000 gramos 0 de mas de 5000 gramos?

c. i,Cual es la probabilidad de que el peso de nacimientode un bebe seleccionado al azar de este tipo exeeda de7 libras?

d. i,C6mo caracterizaria el 0.1 % mas extremo de todos lospesos de nacimiento?

e. 5i X es una variable aleatoria con una distribuci6n nor-mal y a es una constante numerica (a "'" 0), entoneesY = aX tam bien tiene una distribuci6n normal. Use estopara deterrninar la distribuci6n de pesos de nacimientoexpresados en libras (forma, media y desviaci6n estan-

dar) y luego calcule otra vez la prub,:hdl'i,Como se compara esta con su n"pU'."k

50. En respuesta a preocupaciones sobre e] Clli1t>:' ,

de las comidas rapidas. McDonald's ha ~t!wn

zara un nuevo aceite de cocinar para ~U'. p"""que reducira sustancialmente ios nivele:; (le:"

incrementara la cantidad de grasa poJi;n~;.""",.ca. La compania afirma que 97 de !0(' f'e~':i"f,ces de detectar una diferencia de sabai' ':litre "viejos aceites. Suponiendo que esta ci I'm c',

proporci6n de largo plazo) i,cual es 1a PWh,),!

mada de que en una muestra aleatoria de Ii i(',; •.

han comprada papas a la francesa en 1YL:D')l;~""a. i,Por 10menos 40 puedan Botar!a Jikr(;'] ..;

tre los dos aceites?b. Cuando mucho 5% pueda notal' b Ijk"-

entre los dos aceites"

51. La desigualdad de Chebyshev (vCa~<.' c! ""capitulo 3), es valida para dislribucionc:, ~'"cretas. Estipula que para cualquier I1\jm,~w '

k 2: I, P( IX - JL I 2: ku) S IIk2 (vea,c ei 'el capitulo 3 para una interpretacion). Ob\t'r,~bilidad en el caso de una distribuci6n LIlll'Jld

3 y compare con el Ifmite superior.

52. Sea X el numero de defectos en un carretl: ,'.tica de 100 m (una variable de valor emcru)X tiene aproximadamente una distribucion n",:25 y u = 5. Use la correcci6n pOl'colltimri\L.lar la probabilidad de que el numcro de lIef:·:'·a. Entre 20 y 30, inclusive.b. Cuando mucho 30, Menos de 30.

53. Si X tiene una distribuci6n binomial l'\'j'l ".,

p, ca\cule cada una de las siguienlcs p'otd ..,j,la aproximaci6n normal (con Ja COITCCC[,,'l\ p,,:en los casos p = 0.5, 0.6, y 0.8 y compare (""dades exaetas calculadas con la tabla A. j de! .T'

a. P(l5 S X S 20)b. P(X S 15)c. P(20 S X)

54. Suponga que 10% de todas las tlecha\ (k "".por medio de un proceso no cumplen con b,'. , .nes pero pueden ser relrabajada\ (en lug,:r ddas). Considere una Illuestra alealori~l de 2',':X el numero entre estas que no cumph:o e'm 'ciones y pueden ser retrabajadas, (,C,\~\i,',aproximada de que X sea .a. Cuando mucho 30'1b. Menos que 3D?c. Entre 15 y 25 (inclusive)?

55. Suponga que s610 75% de todos los COliduu",

do usan con regularidad el cinturon de "<:'1,,,;,1 ,ciona una muestra aleatoria de son conduC!' .,.probabilidad de quea. Entre 360 y 400 (inclusive) de ]u, "u,."

muestra usen con regularidad el cirnur,'.';b. Menos de 400 de aquellos en Ia mU,;,I'..1 •

laridad el cintur6n de seguridad'!

~6. Demuestnral y el pcesta secci,

~1. a. Demu,paramneal d·les SOl

E()'} )buciolque irXy lude del

b. Si cu,menudar d,temp'