Integrantes:

Ambar Gómez C.I: 21.054.698

Cesar Nieto C.I: 21.126.634. Sección: MI-23

1. Definición de variable aleatoria:

Se llama variable aleatoria (v.a) a toda aplicación que asocia a cada

elemento del espacio muestral de un experimento, un número real.

Los valores posibles de una variable aleatoria pueden representar los

posibles resultados de un experimento aún no realizado, o los

posibles valores de una cantidad cuyo valor actualmente existente es

incierto (por ejemplo, como resultado de medición incompleta o

imprecisa). Intuitivamente, una variable aleatoria puede tomarse

como una cantidad cuyo valor no es fijo pero puede tomar

diferentes valores; una distribución de probabilidad se usa para

describir la probabilidad de que se den los diferentes valores.

2. Tipos de variable aleatoria:

- Variable aleatoria discreta:

Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede tomar

valores enteros.

- Variable aleatoria Continua:

Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar

todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de

la recta real.

3. Función de la densidad:

Para variables aleatorias continuas, la distribución teórica o FUNCION

DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD (FDP) puede representarse por una

curva continua.

Por DENSIDAD entendemos la concentración de probabilidad dentro de

un intervalo de valores de la variable x.

Esta PROBABILIDAD puede ser interpretada como un AREA (integral)

bajo la curva f(x), llamada CURVA DE DENSIDAD, limitada por las

ordenadas en dos puntos de un intervalo.

Entonces

Una función y = f(x) es una función de densidad de una variable

aleatoria continua si cumple las siguientes condiciones:

o Es positiva en todo su dominio (0" f( x) "1)

o El cálculo directo de la porción de área bajo la curva requiere la

integración de la función de densidad que es específica para cada modelo:

P (a " X " b) =

4. Función de la distribución:

La función de distribución describe el comportamiento probabilístico

de una variable aleatoria X asociada a un experimento aleatorio y se

representa como:

F(x) o Fx

Función de la distribución en las variables aleatorias continúa:

Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f(x),

se define la

Función de distribución, F(x), como:

∞

F(x)= P [x ≤ X] = ∫ f (x) dx

-∞

La función de distribución para una variable continua siempre

verifica las siguientes propiedades:

A) F(x) ≥ 0.

∞

B) ∫ f (x) dx =1.

-∞

b

C) P [ a ≤ x ≤ b] = ∫ f (x) dx = F (b) – F (a)

a

D) F (x) = F’ (x) ⇒ la función de densidad es la derivada de la

función de distribución.

Función de la distribución en las variables aleatorias Discreta:

Sea X una variable aleatoria discreta asociada a un espacio

probabilístico, se

Define la función de distribución:

F (x): R → [0, 1] que verifica F (x) = P [x ≤ x] = ∑xi < x Pi.

5. Esperanza matemática:

- Esperanza matemática para una variable aleatoria discreta

Dada una variable aleatoria X que toma valores

x1,x2,x3....xn con distribución de probabilidad P(x=x i)= P i,

se define la esperanza matemática de una variable aleatoria

como:

E[x]= ∑ i=1 x i P(X = x i)= ∑ i=1 x i P i.

- Esperanza matemática para una variable aleatoria continua

Sea X una variable aleatoria continua con función de

densidad f(x), se define la esperanza matemática de esa

variable aleatoria como:

+∞

E[x]= ∫ xf (x) dx =µ. -∞

6. Varianza:

A continuación vamos a definir la varianza de una variable aleatoria

diferenciando para el caso discreto y continuo. Dada una variable

aleatoria X que toma valores x1,x2,x3....xn con distribución de

probabilidad, se define la varianza de X:

Varianza en las variables aleatorias discretas:

2 n n 2

V [x] = (x – E(x)) = ∑ (xi - µ) = ∑ Xi Pi - µ

i=1 i=1

Varianza en las variables aleatorias Continuas:

∞ 2

V [x] = ∫ (x - µ) f(x) dx

-∞

7. Función acumulativa:

La función de distribución acumulada, F(x), para una variable aleatoria

continua X, está definida para todo númerox mediante:

Para cada x, F(x) es el área bajo la curva de densidad a la izquierda

de x. F(x) se incrementará de manera uniforme cuando aumenta x.

La función de distribución acumulada es muy útil para calcular

probabilidades: Sea X una variable aleatoria continua con función de

densidad de probabilidad f(x) y función de distribución acumulada F(x).

Entonces, para cualquier número a, la probabilidad es:

P(X > a) = 1 - F(a)

Y para dos números cualquiera a y b, con b > a, la probabilidad es:

P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a)

8. Ejemplos:

Variable aleatoria Discreta

Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda al

aire. Los sucesos elementales del experimento, <<que salga cara>>,

<<que salga cruz>>, no vienen representados por los números, por

lo que casa suceso elemental se le hace corresponder un número

real. Así al suceso elemental <<que salga cara>> se le hace

corresponder el número “1” y al suceso elemental <<que salga

cruz>> se le hace corresponder el número “2”.

La variable aleatoria será: X = (1,2).

Se trata de una variable aleatoria discontinua o discreta, ya que

únicamente puede adoptar los valores 1 y 2.

Variable aleatoria Continua

Con el fin de realizar un control de calidad en una fábrica de

baterías, se mide el tiempo de duración de baterías elegidas al azar

y se define la v.a.

X: tiempo de duración de una batería

La v.a. X es esencialmente continua (“tiempo”), siendo su rango

el intervalo real [0,∞). pero supongamos que medimos la duración

de la batería en días, es decir “discretizamos” el rango de la v.a.

y se convierte en No = N ∪ {0}. Por tratarse de una v.a.

discreta, su función de probabilidad puntual puede representarse

mediante un histograma con área total igual a 1. Si medimos la

duración en horas, obtenemos un histograma con mayor número de

intervalos de menor longitud cada uno, pero que sigue teniendo

área total igual a 1.

Si continuamos aumentando la precisión de la medición (minutos,

segundos, décimas de segundo, etc), obtenemos como límite de los

histogramas una curva suave, y la probabilidad de que la duración de

la batería se encuentre entre dos valores a y b ( a < b) estará

dada por el área bajo la curva entre a y b.

Definición: Una v.a. X es continua si existe una función

F ℜ→ℜ+ = [0,∞)

Llamada función de densidad de la v.a. X tal que

P(X ∈ A) = ∫ f (x) dx ∀ A ⊆ ℜ

En particular, si A = [ a , b ], entonces

b

P(a ≤ X ≤ a) = ∫ f (x)dx

a

y P(X = a) = P(a ≤ X ≤ a) = 0 ∀a∈ℜ.

Propiedad: Para que una función f (x) sea una función de densidad,

debe satisfacer

f (x) ≥ 0 ∀ x∈ℜ

∞

∫ f (x)dx =1

−∞

Observación: Notar que f (x) no es una probabilidad, de hecho

puede ser mayor que 1.

Es simplemente el valor de una función en un punto.