METODA KONACNIH ELEMENATA - Osnovne akademske studije, … · Rešetkasti nosači u prostoru Napomene o numeričkim metodama METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije,

Rešetkasti nosači u prostoruNapomene o numeričkim metodama

METODA KONAČNIH ELEMENATAOsnovne akademske studije, VI semestar

Prof dr Stanko Brčićemail: [email protected]

Departman za Tehničke naukeDržavni Univerzitet u Novom Pazaru

2014/15

Stanko Brčić Metoda konačnih elemenata


Sadržaj

1 Rešetkasti nosači u prostoruMatrica krutosti i matrica transformacijeMatrica krutosti u globalnom sistemuFormiranje jednačina u globalnom sistemu

2 Napomene o numeričkim metodamaMetoda konačnih razlikaMetode težinskih ostatakaVarijacione metode



Matrica krutosti i matrica transformacijeMatrica krutosti u globalnom sistemuFormiranje jednačina u globalnom sistemu

Sadržaj






Matrična analiza rešetkastih nosača u prostoru

Matrica krutosti prostog štapa u 3DKod rešetkastog štapa, u ravni ili u prostoru, zbog zglobnihveza na oba kraja štapa, označenih sa i, k, nepoznatageneralisana pomeranja u čvorovima su komponente vektorapomeranjaKod rešetkastog štapa u 2D, to su pomeranja u, v u lokalnojravni x, y, a kod štapa u prostoru to su pomeranja u, v, w uodnosu na lokalne ose x, y, z, pri čemu je lokalna osa štapa xu pravcu ose štpa, sa smerom i→ k

Komponente pomeranja rešetkastog štapa u prostoru suui, vi, wi u čvoru i, kao i komponente uk, vk, wk u čvoru k




Rešetkasti nosača u prostoru

Matrica krutosti prostog štapa u 3DNapisano u vektorskom prikazu, generalisana pomeranjarešetkastog štapa u 3D prostoru su

q =

qiqk

=

uiviwi

ukvkwk

=

q1

q2

q3

q4

q5

q6

(1)





Matrica krutosti prostog štapa u 3DOsnovna jednačina neopterećenog rešetkastog štapa je vezaizmeđu čvornih sila i čvornih pomeranja R = Kq

Napisana u razvijenom obliku ova veza glasi

R1

R2

R3

R4

R5

R6

=E F

`

1 0 0 −1 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0−1 0 0 1 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

q1

q2

q3

q4

q5

q6

(2)

Matrica krutosti K u lokalnom sistemu načelno je ista kao i zaštap u ravni, samo je reda 6 umesto 4




Rešetkasti štap u 3D prostoru

Rešetkasti štap u 3D: lokalni i u globalni koordinatni sistemi





Matrica krutosti prostog štapa u 3DKod rešetkastog štapa u prostoru, sa čvornim tačkama i i k,odn. sa tačkama Pi i Pk, lokalna osa x štapa je osa štapa, sasmerom i→ k

Kako je od geometrijskih karakteristika poprečnog presekabitna samo površina F , glavne centralne ose preseka nisu bitneza definisanje lokalnog sistemaMože da se, slično kao i kod punih nosača, lokalna ravan x, yodredi sa bilo kojom pogodno izabranom trećom tačkom Pm

izvan ose štapaU tom slučaju, lokalna osa y određena je sa tri tačkePi, Pk, Pm, kao linija u ravni Pi, Pk, Pm, upravna na pravaci− k





Transformacija iz lokalnog u globalni sistem

Štap (rešetkasti konačni element) određen je u prostoru sasvoje tri tačke:

- tačka Pi . . . početak štapa i- tačka Pk . . . kraj štapa k- tačka Pm . . . bilo koja tačka u lokalnoj ravni štapa xy

Koordinate ovih tačaka date su u globalnom sistemu XY Z:

Pi(Xi, Yi, Zi) Pk(Xk, Yk, Zk) Pm(Xm, Ym, Zm)

Jedinični vektor lokalne ose x određen je sa tačkama Pi i Pk:

~ı =

−−→PiPk

PiPk

= cos γ11~I + cos γ12

~J + cos γ13~K




Lokalni sistem štapa u prostoru

Štap (gredni element) u prostoru

Položaj štapa u prostoru određen sa tri tačke i, j, k (odn. i, k,m)




Lokalni sistem štapa u prostoru

Štap (gredni element) u prostoru

Položaj štapa u prostoru određen sa tri tačke 1, 2, 3 (odn. i, k,m)





Transformacija iz lokalnog u globalni sistemJedinični vektor ~eim u lokalnoj ravni xy određen je sa tačkamaPi i Pm:

~eim =

−−−→PiPm

PiPm

Jedinični vektor ~k lokalne ose z određen je sa vektorskimproizvodom

~k =~ı× ~eimNajzad, jedinični vektor ~ lokalne ose y određen je vektorskimproizvodom

~ = ~k ×~ı





Transformacija iz lokalnog u globalni sistemPrema tome, ortovi osa lokalnog sistema štapa određeni su uodnosu na globalni koordinatni sistem sa tri navedene tačke:početak štapa, kraj štap i bilo koja (pomoćna) tačka u lokalnojglavnoj ravni štapa xyKoordinate ortova lokalnih osa date su sa kosinusima uglovakoje zaklapaju sa osama globalnog sistemaTakve relacije mogu da se prikažu u matričnom obliku

~ı~~k

=

cos γ11 cos γ12 cos γ13



~I~J~K

(3)






Matrica u relacijama (3) naziva se matrica rotacije λ

λ =




(4)

Matrica rotacije je ortogonalna matrica:

λ−1 = λT

Položaj sistema xyz u odnosu na sistemXY Z određen je,prema tome, matricom rotacije λ






Relacije između ortova dva sistema (3) mogu da se napišu uobliku

~ı~~k

= [λ]

~I~J~K

(5)

Kako je matrica rotacije ortogonalna, onda važi~I~J~K

= [λ]T

~ı~~k

(6)






Posmatra se proizvoljan vektor ~R koji može da se izrazi ili uglobalnom sistemu ili u lokalnom sistemuU globalnom sistemu vektor ~R označava se sa gornjimindeksom ()∗

Prikazano u matričnom obliku, isti vektor može da se prikaže ujednom ili u drugom sistemu, čiji su ortovi povezanimeđusobno matricom rotacije λ

- u globalnom sistemu

R∗T = R∗1, R

∗2, R

∗3

- u lokalnom sistemu

RT = R1, R2, R3





Transformacija iz lokalnog u globalni sistemNapisano u vektorskom obliku, isti vektor u dva prikaza R∗ iR može da se napiše

- u globalnom sistemu

R∗T = R∗1~I +R∗

2~J +R∗

3~K (7)

- u lokalnom sistemu

RT = R1~ı+R2 ~+R3~k (8)





Transformacija iz lokalnog u globalni sistemImajući u vidu relacije između jediničnih vektora lokalnog iglobalnog sistema date sa (5), odn, (6), između različitihprikaza istog vektora (7) i (8) mogu da se uspostave relacije

- vektor u lokalnom sistemu prikazan preko vektora u globalnomsistemu

R = λT R∗ (9)

- vektor u globalnom sistemu prikazan preko vektora u lokalnomsistemu

R∗ = λR (10)





Transformacija iz lokalnog u globalni sistemProizvoljan vektor u dva prikaza R∗ i R može da bude vektorčvornih sila R ili vektor generalisanih pomeranja q u čvoru i iliu čvoru kPrema tome, između ovih vektora, koji mogu da se prikažu ulokalnom ili globalnom sistemu, mogu da se uspostave relacije

- Čvorne sile (za čvor i i čvor k)Ri

Rk

=

[λT

λT

]R∗

i

R∗k

(11)





Transformacija iz lokalnog u globalni sistemPrema tome, između ovih vektora, koji mogu da se prikažu ulokalnom ili globalnom sistemu, mogu da se uspostave relacije(nastavak)

- Generalisana (čvorna) pomeranja (za čvor i i k)qiqk

=

[λT

λT

]q∗iq∗k

(12)

Relacije (11) i (12) mogu da se prikažu skraćeno u obliku kojise odnosi na oba čvora (vektori i matrice su reda 6)

R = T TR∗ q = T Tq∗ (13)






U relacijama (13) uvedene su oznake za vektore čvornih sila,generalisanih pomeranja i za transponovanu matricutransformacije

R =

Ri

Rk

q =

qiqk

T T =

[λT

λT

](14)

Transponovana matrica transformacije je kvazidijagonalnamatrica koju čine transponovane matrice rotacijeKako je matrica rotacije ortogonalna, onda je i T T

ortogonalna, pa je T matrica transformacije (reda 6)

T =

[λ

λ

](15)





Transformacija iz lokalnog u globalni sistemKod rešetkastih nosača spoljašnje opterećenje činekoncentrisane sile u čvorovimaPrema tome, vektor opterećenja formira se neposredno uglobalnom koordinatnom sistemuKako je matrica rotacije ortogonalna, to je i matricatransformacije takođe ortogonalna matrica, pa važe relacije

R∗ = TR q∗ = Tq (16)

Relacije (13) pretstavljaju transformaciju iz globalnog u lokalnisistem, dok su relacije (16) transformacija iz lokalnog uglobalni sistem





Rešetkasti štap u 3D: generalisane sile (pomeranja) u lokalnom i uglobalnom sistemu




Sadržaj







Matrica krutosti u globalnom sistemuU osnovnu jednačinu rešetkastog štapa R = Kq unosi serelacija (13)/2: q = T Tq∗

Množenjem dobijene jednačine R = KT Tq∗ sa leve strane saT , dobija se

TR = TKT Tq∗

Imajući u vidu relaciju (16)/1: R∗ = TR, dobija se

R∗ = K∗q∗ (17)





Matrica krutosti u globalnom sistemu

U jednačinu (17) uvedena je oznaka K∗

K∗ = TKT T (18)

koja pretstavlja matricu krutosti rešetkastog štapa u globalnomsistemuImajući u vidu simetriju matrice krutosti u lokalnom sistemu,matrica krutosti K∗ u globalnom sistemu može da se takođeprikaže i u obliku

K∗ = T TKT (19)




Sadržaj







Formiranje jednačina u globalnom sistemuZa svaki štap e rešetkastog nosača u prostoru formira se

- matrica krutosti u lokalnom sistemu Ke

- matrica transformacije štapa Te

- matrica krutosti u globalnom sistemu K∗e

Prema globalnim brojevima čvorova rešetkastog nosača uprostoru formira se globalna matrica krutosti nosača

K∗ =∑e

K∗e





Formiranje jednačina u globalnom sistemuVektor opterećenja S∗ se direktno formira na osnovu zadatihspoljašnjih sila koje deluju u čvorovima rešetkastog nosačaTime se dobijaju jednačine ravnoteže sila u čvorovimarešetkastog nosača u obliku

K∗ q∗ = S∗ (20)

U jednačine ravnoteže se takođe unose i odgovarajući graničniuslovi, tako da se dobija regularan sistem algebarskih jednačinapo nepoznatim slobodnim generalisanim pomeranjimaSmatra se da su u jedn. (20) već uneti granični uslovi popomeranjima



Metoda konačnih razlikaMetode težinskih ostatakaVarijacione metode

Napomene o numeričkim metodama

Opšte napomene

Metoda konačnih elemenata (MKE) je numerički postupak zapribližno rešavanje fizičkih problema koji su definisani u oblikugraničnih i/ili početnih problemaGranični problem je definisan sa diferencijalnom jednačinom uodređenom prostoru definisanosti i sa odgovarajućim graničnimuslovimaPočetni problem je definisan sa diferencijalnom jednačinomkoja je određena ne samo u datom domenu (prostoru), već i uvremenu, tako da, osim graničnih uslova, moraju da budu datii početni uslovi





Opšte napomeneNajbolji način rešenja graničnog ili početnog problema jedobijanje analitičkog rešenjaIma puno razloga zbog čega nije moguće da se odredianalitičko rešenje:

- domen definisanosti problema je suviše nepravilan ikomplikovan za analitičko opisivanje

- domen može da bude formiran od nekoliko različitih materijalačije podoblasti teško mogu da se matematički opišu

- anizotropne osobine materijala su velika smetnja analitičkomrešavanju

- nelinearni članovi u diferencijalnim jednačinama problemaonemogućavaju nalaženje analitičkog rešenja





Opšte napomeneU slučajevima kada ne postoji analitičko rešenje, određuje senumeričko rešenje kao približno rešenje posmatranog problemaSvakako da je bolje približno numeričko rešenje problema negonikakvo rešenjeNumeričkim rešenjima dobijaju se vrednosti u diskretnimtačkama za jedan skup nezavisnih parametaraSa promenom tih nezavisnih parametara kompletna procedurarešavanja se ponavlja i menjaDobijena približna rešenja u diskretnim tačkama ipak daju nekiuvid u prirodu ponašanja fizičkog problema koji se posmatra





Opšte napomeneIma više numeričkih postupaka za rešavanje graničnih ipočetnih problemaNumerički postupci mogu da se svrstaju u tri osnovne grupe:

1 metoda konačnih razlika (diferencni postupak, “finite differencemethod”)

2 metode težinskih ostataka (“weighted residual methods”)3 varijacione metode (“variational methods”)

Pri tome, svaka od navedenih metoda pretstavlja višepodgrupa (odn. varijanti) numeričkih metoda




Sadržaj







Opšte napomene - metoda konačnih razlikaMetoda konačnih razlika zasniva se na aproksimaciji izvoda udiferencijalnoj jednačini graničnog problemaMetoda je pogodna za 2D probleme, posebno za oblasti kojesu pravougaonog oblika (granice su paralelne sa koordinatnimosama)Ispisujući diferencijalnu jednačinu u tačkama presekaortogonalne mreže domena definisanosti problema (u čvornimtačkama), uz odgovarajuću aproksimaciju izvoda, dobija sesistem algebarskih jednačina po nepoznatim vrednostimatražene funkcije u čvorovima





Opšte napomene - metoda konačnih razlikaMetoda konačnih razlika zasniva se na definiciji prvog izvodafunkcije jedne promenljive f(x):

df(x)

dx= f ′(x) = lim

∆x→0

f(x+ ∆x)− f(x)

∆x

U metodi konačnih razlika, koristeću malu, ali konačnuvrednost ∆x, prvi izvod se aproksimira sa izrazom:

df(x)

dx= f ′(x) ≈ f(x+ ∆x)− f(x)

∆x




Aproksimacija prvog izvoda

Aproksimacija prvog izvoda funkcije jedne promenljive





Opšte napomene - metoda konačnih razlikaNa primer, posmatra se diferencijalna jednačina 1. reda, datasa

f ′ + x = 0 u domenu 0 ≤ x ≤ 1

i sa graničnim uslovom f(x = 0) = f(0) = A = const

Diferencijalna jednačina može da se aproksimira diferencnimpostupkom kao

f(x+ ∆x)− f(x)

∆x+ x = 0





Opšte napomene - metoda konačnih razlika

Iz ove jednačine dobija se rešenje za f(x+ ∆x):

f(x+ ∆x) = f(x)− x ·∆x

Sa ovakvim rešenjem može da se formuliše rekurzivnorešavanje problemaUsvoji se neki (relativno) mali korak integracije ∆x koji sedobija kada se domen integracije ` = 1.0 podeli na izabran brojdelova

∆x =1

n

gde je, na primer, n = 100





Opšte napomene - metoda konačnih razlikaPosmatraju se diskretne vrednosti promenljive x

xi+1 = xi + ∆x i = 0, 1, . . . , n− 1

pri čemu je x0 = 0, a xn = 1

Rešenje za traženu funkciju f(x) dobija se u diskretnimvrednostima tačaka intervala xi, primenom rekurzivnog izraza:

fi+1 = fi − xi ·∆x i = 0, 1, . . . , n− 1

pri čemu je, zbog datog graničnog uslova, f0 = A





Opšte napomene - metoda konačnih razlikaNaravno, diferencijalne jednačine problema su uvek složenijeod prikazanog primeraAko se posmatra drugi izvod funkcije jedne promenljive, on seprikazuje kao prvi izvod prvog izvoda i dobija se

f ′′(x) =f(x+ h)− 2f(x) + f(x− h)

h2

gde je h = ∆x




Diferencni postupak 1D problem

Diferencijalna jednačina 2. reda jedne promenljive




















Opšte napomene - metoda konačnih razlikaSlično se aproksimiraju treći i viši izvodiMetoda konačnih razlika proširuje se na aproksimiranje funkcijadve i tri promenljive f(x, y) i f(x, y, z) (2D i 3D problemi)Rešavanje diferencijalne jednačine savijanja ploča

∆∆w =q

D

primenom diferencnog postupka dugo je bio korišćen postupak(do pojave MKE)












Sadržaj







Opšte napomene - metode težinskih ostatakaNeka je posmatrani fizički problem, u domenu Ω, koji može dabude 1D do 3D, definisan sa diferencijalnom jednačinom

L(u) + fΩ = 0 (21)

U jednačini (21) uvedene su oznake- L . . . odgovarajući (linearni) diferencijalni operator- u(x) . . . nepoznata funkcija problema, koja zavisi odkoordinata x untar prostora Ω, pri čemu funkcije u(x)zadovoljavaju date granične uslove na granicama domena Ω

- fΩ . . . vektor slobodnih članova u jednačinama





Opšte napomene - metode težinskih ostatakaGranični uslovi na konturi domena Ω mogu da budu

1 esencijalni . . . uslovi po pomeranjima (kinematički graničniuslovi): vrednosti generalisanih pomeranja zadate su na delukonture

2 prirodni . . . uslovi po silama (naponima): vrednosti izvodageneralisanih pomeranja, kojima se prikazuju sile ili naponi,zadate su na delu konture

Nepoznata funkcija problema u(x) aproksimira se sapribližnom funkcijom u(x):

u(x) ≈ u(x) (22)

pri čemu približna funkcija u(x) zadovoljava granične uslovepo pomeranjima, ali ne mora da zadovoljava uslove po silama





Opšte napomene - metode težinskih ostataka

Kako je u(x) približno rešenje jednačine (21), unosećipribližno rešenje, jednačina (21) neće da bude zadovoljenaDrugim rečima, unoseći približno rešenje u (21) dobija seostatak ili rezidijum:

L(u) + fΩ = R(u) 6= 0 (23)

Kako je jedn. (21) sistem jednačina, odn. matrična jednačina,to je rezidijum R(u) vektorNaravno, kada bi u(x) bilo tačno rešenje, onda bi vektorostatka R(u) bio jednak nultom vektoru





Opšte napomene - metode težinskih ostatakaIdeja metode je da se traži da se vektor greške, odn. vektorostatka R(u) “prinudi” (svede) na nulti vektor “u prosečnomsmislu”Naime, izaberu se težinske funkcije, u ovom slučaju vektortežinskih funkcija, W (u) i traži se da integral skalarnogproizvoda vektora težinskih funkcija i vektora ostatka unutardomena Ω bude jednak nuli:

I(u) =

∫ΩW T (u) ·R(u) dΩ =

=

∫ΩW T (u) · (L(u) + fΩ) dΩ = 0

(24)





Opšte napomene - metode težinskih ostataka

Pri tome težinske funkcije u vektoru W (u) moraju dazadovoljavaju granične uslove po pomeranjima (esencijalneuslove)Skalarni proizvod dva vektora (u Euklidskom 2D/3D prostoru)jednak je nuli ukoliko su ti vektori međusobno ortogonalniIsto važi i u n-dimenzionalnom prostoru: ako su dvan-dimenzionalna vektora međusobno ortogonalna, onda jenjihov skalarni proizvod jednak nuliPrema tome, integralna jednačina (24) pretstavlja uslovortogonalnosti projekcije vektora ostatka na izabrani vektortežinskih funkcija





Opšte napomene - metode težinskih ostatakaMetode rezidijuma, ili Metode težinskih ostataka sastoje se unalaženju funkcija u za koje će integralna jednačina (24) dabude zadovoljenaAko je jednačina (24) zadovoljena za bilo koji vektor težinskihfunkcija, onda će vektor ostatka R(u) da se približava nultomvektoruNa taj način, približno rešenje u(x) aproksimira nepoznatotačno rešenje u(x)

Sva rešenja u(x) koja zadovoljavaju (21) moraju dazadovoljavaju i (24) bez obzira na izbor težinskih funkcija





Opšte napomene - metode težinskih ostatakaDimenzija vektora težinskih funkcija jednaka je brojunepoznatih (odn. broju stepeni slobode) datog problemaTežinske funkcije moraju da budu diferencijabilne i da imajunulte vrednosti na granicama konture gde su zadati graničniuslovi po pomeranjima (moraju da zadovoljavaju esencijalnegranične uslove)U zavisnosti od izbora težinskih funkcija postoje raznevarijante Metode težinskih ostataka





Opšte napomene - metode težinskih ostatakaOsnovne varijante Metode težinskih ostataka, za minimizacijurezidijuma, su

1 Metoda kolokacije (collocation method)2 Metoda podoblasti (sub-domain method)3 Metoda najmanjih kvadrata (least square method)4 Galerkinova metoda (Galerkin’s method)

Najviše se koristi Galerkinova metoda težinskih ostataka(posebno kao osnov za formulaciju MKE)





Opšte napomene - Galerkinova metoda težinskih ostatakaGalerkinova varijanta metode težinskih ostataka prikazaće sena primeru skalarne diferencijalne jednačine jedne promenljive(obična dif. jed.):

L[y(x)] + f(x) = 0 a ≤ x ≤ b (25)

Sa L(. . .) označen je (linearni) diferencijalni operatorU zavisnosti od reda diferencijalne jednačine dati su iodgovarajući granični uslovi





Opšte napomene - Galerkinova metoda težinskih ostataka

Jednačina (25) množi se sa proizvoljnom funkcijom w(x) iintegrali u granicama a i b:∫ b

aw(x) (L[y(x)] + f(x)) dx = 0 (26)

Jednačine (25) i (26) su međusobno ekvivalentne jer je w(x)proizvoljna funkcijaNepoznata funkcija y(x) koja pretstavlja rešenje diferencijalnejednačine (25) traži se u obliku približnog rešenja kao linearnakombinacija izabranih probnih funkcija Φi(x) i nepoznatihkoeficijenata ci






Dakle, nepoznata funkcija y(x) traži se u obliku:

y(x) ≈ u(x) =

n∑i=1

ci Φi(x)

pri čemu izabrane probne (bazne) funkcije Φi(x) zadovoljavajuesencijalne granične uslove (u ovom slučaju uslove na konturidomena x = a i x = b)Kako je u(x) neko približno prikazivanje nepoznate traženefunkcije y(x), unoseći u(x) u dif. jedn. (25), jednačina,naravno, neće da bude zadovoljena






Unoseći pretpostavljeni oblik rešenja u jedn. (25) dobija seostatak (rezidijum) r(x):

r(x) = L[u(x)] + f(x) 6= 0

Ideja (cilj) metode težinskih ostataka je da se odredi približnorešenje, odnosno nepoznati koeficijenti ci uz poznate probnefuncije, tako da ostatak r(x) bude jednak nuli u prosečnomsmislu






Zato se postavlja uslov (26) u koji se unosi približno rešenjeu(x), u kojem figurišu nepoznati koeficijenti ci, kao iproizvoljna funkcija w(x):∫ b

aw(x) r(x) dx =

∫ b

aw(x) (L[u(x)] + f(x)) dx = 0

Galerkinova metoda težinskih ostataka za težinsku funkcijuw(x) usvaja probne funkcije Φi(x):

wi(x) = Φi(x) (i = 1, 2, . . . , n)





Opšte napomene - Galerkinova metoda težinskih ostatakaDobija se sistem jednačina po nepoznatim koeficijentima ci:∫ b

aΦi(x) [L(

n∑j=1

cjΦj(x)) + f(x)] dx = 0 (i = 1, 2, . . . , n)

Izračunavanjem integrala dobija se sistem od n jednačina ponepoznatim koeficijentima ciRešavanjem dobijenog sistema i određivanjem koeficijenata cidobija se približno rešenje za traženu funkciju y(x):

y(x) ≈ u(x) =

n∑i=1

ci Φi(x)






U slučaju matrične diferencijalne jednačine, npr. (21),pretpostavljeno približno rešenje (22) je vektor sa probnimfunkcijama kao elementimaPribližna funkcija se usvaja u vidu zbira proizvoda nepoznatih(vektora) koeficijenata ci i poznatih probnih (baznih) funkcijaΦi(x):

u(x) ≈ u(x) =∑i

ciΦi(x) (27)

Probne (bazne) funkcije (“trial functions”) zadovoljavajugranične uslove po pomeranjima posmatranog problema





Opšte napomene - Galerkinova metoda težinskih ostatakaU Galerkinovoj metodi težinskih ostataka težinske funkcije seusvajaju tako da budu jednake sa probnim funkcijama:

W (x) = Φi(x) =

Φ1(x)

...Φn(x)

(28)

Uslov za anuliranje vektora ostatka u prosečnom smislu (a ne usvim tačkama domena) dat je sa integralnom jednačinom (24)






Jednačina (24) u slučaju Galerkinove metode težinskihostataka glasi:

I(u) =∑i

ci

∫Ω

Φj(x) · [L(Φi(x)) + fΩ] dΩ = 0 (29)

za j=1,2,. . . ,nGalerkinova metoda težinskih ostataka najčešće dovodi dosimetričnih matrica u dobijenim jednačinama, pa je zatodominantna varijanta metode težinskih ostataka upravoGalerkinova metoda





Primer primene Galerkinove metode težinskih ostatakaKao ilustracija Galerkinove metode težinskih ostatakaposmatra se numeričko rešavanje 1D diferencijalne jednačine

y′′(x)− 10x2 = 5 0 ≤ x ≤ 1 (30)

sa graničnim uslovima y(0) = y(1) = 0

Tačno (analitičko) rešenje jednačine (30) može da se dobijekao

y(x) =5

6x4 +

5

2x2 − 10

3x (31)





Primer primene Galerkinove metode težinskih ostataka

Prisustvo kvadratnog člana u dif. jed. (30) ukazuje da jepogodno da se za probne funkcije usvoje polinomiImajući u vidu homogene uslove na granicama x = xa ix = xb, polinomne funkcije koje zadovoljavaju homogenegranične uslove na granicama x = xa i x = xb mogu da budu

Φ(x) = (x− xa)p · (x− xb)q

Traži se približno rešenje samo sa jednom probnom funkcijom,pa je najjednostavnija probna funkcija koja zadovoljava dategranične uslove:

Φ(x) = x (x− 1)





Primer primene Galerkinove metode težinskih ostatakaPrema tome, približno resenje je pretpostavljeno u obliku

y(x) = c1 x (x− 1)

Prvi i drugi izvodi približnog resenja su onda

y′ = c1 (2x− 1) y′′ = 2 c1

Vidi se da izabrano približno resenje ne zadovoljavadiferencijalnu jednačinu, jer je dobijeno da je 2. izvodkonstantan, a u dif. jed. je kvadratna funkcija(ipak se nastavlja analiza)






Unoseći dobijeni drugi izvod približnog resenja u dif. jed. (30)dobija se ostatak (rezidijum):

R(x, c1) = 2 c1 − 10x2 − 5

Jasno se vidi da ostatak nije jednak nuliSa ovim je integral (24) dat u obliku

I =

∫ 1

0x (x− 1) (2c1 − 10x2 − 5) dx = 0 ⇒ c1 = 4

Prema tome, približno rešenje dif. jed. je funkcija

y = 4x (x− 1) (32)






Uporedni prikaz tačnog i približnog rešenja sa jednom probnomfunkcijom





Primer primene Galerkinove metode težinskih ostatakaPosmatra se približno rešenje sa dve probne funkcije u obliku:

Φ1(x) = x(x− 1) Φ2(x) = x2(x− 1)

Prema tome, približno rešenje traži u se obliku

y(x) = c1 x(x− 1) + c2 x2(x− 1)

Drugi izvod približnog rešenja dobija se kao

y′′ = 2c1 + 2c2(3x− 1)





Primer primene Galerkinove metode težinskih ostatakaUnoseći drugi izvod približnog rešenja u dif. jed. dobija seostatak:

R(x, c1, c2) = 2c1 + 2c2(3x− 1)− 10x2 − 5

Jednačine za osrednjeni minimum rezidijuma sada glase

I1 =

∫ 1

0x(x− 1)R(x, c1, c2) dx = 0

I2 =

∫ 1

0x2(x− 1)R(x, c1, c2) dx = 0






Unoseći rezidijum R(x, c1, c2) u jednačine I1 = 0 i I2 = 0dobija se

I1 =

∫ 1

0x(x− 1) [2c1 + 2c2(3x− 1)− 10x2 − 5]dx = 0

I2 =

∫ 1

0x2(x− 1) [2c1 + 2c2(3x− 1)− 10x2 − 5]dx = 0

Integracijom dobija se sistem jednačina po koeficijentima ci,prikazano u matričnom obliku, kao[

13

16

16

215

]c1

c2

=

4334





Primer primene Galerkinove metode težinskih ostatakaRešenje jednačina I1 = 0 i I2 = 0 je

c1 =19

6c2 =

5

3

tako da se približno rešenje sa dve probne funkcije dobija,posle sređivanja, u obliku

y(x) =5

3x3 +

3

2x2 − 19

6x

Ovo rešenje znatno bolje prikazuje tačno rešenje koje je dato sa

y(x) =5

6x4 +

5

2x2 − 10

3x (33)






Uporedni prikaz tačnog i oba približna rešenja sa jednom i sa dveprobne funkcije




Sadržaj







Opšte napomene - varijacione metode

Fizički zakoni (npr. u Mehanici) mogu da se formulišu u oblikuuslova da izvesni integrali dostignu ekstremnu vrednostVarijacione metode su zasnovane na primeni varijacionogračuna, koji se bavi ekstremnim vrednostima funkcionala -funkcija drugih funkcijaPrincip o minimumu potencijalne energije je primervarijacionog principa u Mehanici:

Od svih mogućih pomeranja, koja zadovoljavajugeometrijske granične uslove, stvarna pomeranja su ona zakoja ukupna potencijalna energija ima minimum






Na primer, može da se posmatra linijski (1D) problem sadomenom definisanosti x ∈ [x1, x2]:

I(u) =

∫ x2

x1

Π

(x, u(x),

du(x)

dx,d2u(x)

dx2, . . .

)dx

gde je Π(. . .) funkcional funkcija u(x), du(x)dx , d

2u(x)dx2 , . . .

Varijaciona formulacija je da se odredi ona funkcija u(x) iodgovarajući funkcional Π(. . .) koja daje ekstremnu vrednostfunkcionalu I(u)





Opšte napomene - varijacione metodeVarijacione metode se zasnivaju na principu stacionarnostifunkcionalaUslov stacionarnosti funkcionala prikazuje se uslovom da jeprva varijacija funcionala jednaka nuli:

δΠ

(x, u(x),

du(x)

dx,d2u(x)

dx2, . . .

)= 0

Može da se pokaže da je uslov stacionarnosti zaviše-dimenzionalni problem (21) integralna jednačina data sa:

I(u) =

∫Ωδu [L(u) + fΩ] dΩ = 0 (34)






U jednačini (34) sa δu označena je varijacija promenljivih uIz skupa dopustivih funkcija u, sa stanovišta diferencijabilnostii zadovoljenja graničnih uslova, samo one funkcije kojezadovoljavaju (21) čine funkcional stacionarnim, odnosnozadovoljavaju uslov (34)AKo se uporede uslovi (34) i (24) vidi se da pretstavljaju,formalno gledano, isti uslov ako je

W (u) = δu

Najpoznatija varijaciona metoda je metoda Ritz-a, koji je i“otac” varijacionog računa


Documents

METODA KONACNIH ELEMENATA - Osnovne akademske studije, … · Rešetkasti nosači u prostoru Napomene o numeričkim metodama METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije,